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% (c) Copyright 2008 Andrea Lo Pumo aka AlpT <alpt@freaknet.org>
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\documentclass[a4paper]{article}
%%% 	 Orientamento	      %%%
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%%%			      %%%

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\begin{document}
\title{}
\author{alopumo@gmail.com}


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\maketitle{}


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\clearpage
\tableofcontents
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\pagenumbering{arabic}

\let\oldsection\section
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\let\oldsubsection\subsection
\renewcommand{\subsection}[1]{\oldsubsection{#1}\ilabel{#1}}
\let\oldsubsubsection\subsubsection
\renewcommand{\subsubsection}[1]{\oldsubsubsection{#1}\ilabel{#1}}

\begin{oss}\label{lll1}
	Una partizione di $\Omega$ puo' essere specificata da una qualsiasi funzione $f:\Omega \longrightarrow S$, dove $S$ e' un insieme non vuoto. Cosi': $\mathcal{D}=\pgra{\inv f (s) \;|\; s\in S}$. Inoltre, $|S|=|\mathcal{D}|$.
	
	Una funzione $\Omega \longrightarrow S$ puo' essere specificata da una partizione $\mathcal{D}$ di $\Omega$ tale che $|\mathcal{D}|=|S|$. Infatti, sia $b:D\longrightarrow S$ la biezione che rende vera $|\mathcal{D}|=|S|$, allora una funzione e' $f(d) = s\in S$, dove $s$ e' l'unica soluzione della formula 	$d\in \inv b (x),\;\;x\in S$.
\end{oss}
\begin{statm}
	La definizione di $f$ e' stata resa dal cercare un qualcosa che funzionasse come un $p$ 
	di una variabile. %$p(\inv f {s})$  p associa a un $D$ qualcosa 
	%	e cche  di n 
	Data la definizione, ho scelto di svolgere quanto di dovere; 
ho controllato, che $f$ e' ben definita, ovvero che quella formula strana ha senso e definisce una funzione;
per definire una funzione serve dimostrare che per ogni elemento del dominio esiste un solo elemento del codominio;   $\forall d \in dom(f) \exists ! s \in cod(f): (d,s) \in f$;\\
ho visto che bastava dire la soluzione di $d\in \inv b(x)$ fosse unica;
ho cercato di dimostrare $\exists ! x\in S\;\;d\in \inv b (x)$, 
ho prima visto che esiste un tale $x$; mi sono avvalso della proprieta' $\bigcup_{D\in \mathcal{D}} D=\Omega$
della partizione $\Omega$; successivamente provando con un $s' \neq s$  che rendesse vera $d \in \inv b (s')$, ho trovato un assurdo; e' spuntata la proprieta' $D \cap D' = \0\;\;\forall D\neq D' \in \mathcal{D}$ che mi ha fatto arrivare alla conclusione.  
\end{statm}

\begin{thm}(caratterizzazione di ``variabile random che segue una certa distribuzione'')\\
	$\Omega$ non vuoto.\\
	$S$ non vuoto.\\ 
	Una variabile random  $X$ che segue una distribuzione $\mathcal{P}_S:S \longrightarrow [0,1]$  
	e' un insieme $X \( \Omega \longrightarrow S$ tale che $f\in X \= \mathcal{P}_\Omega(\inv f (s)) = \mathcal{P}_S(\pgra{s})$.
\end{thm}



\def\Pr{{\ona{Pr}}}
\section{Case Splitting}

\begin{prop}
	
Sia $B=B1 \U B2$, con $B1 \cap B2 = 0$, allora

      \eal{&  \Pr(A|B) = \Pr(A | B1)\Pr(B1 | B) + \Pr(A | B2)\Pr(B2 | B) }
                 
\end{prop}
\begin{proof}
	per definizione di $\Pr(A|B)$: espandi il secondo membro e vedi,
   e anche perche' $|A \^ B| = |A\^B1|+|A\^B2|$.\\
\end{proof}







%%%%%%%
\printindex
\end{document}