%        File: fondamenti.tex
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% (c) Copyright 2008 Andrea Lo Pumo aka AlpT <alpt@freaknet.org>
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%

\documentclass[a4paper]{article}
%%% 	 Orientamento	      %%%
%\usepackage[landscape]{geometry}
%%%			      %%%

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\renewcommand{\label}[1]{ [#1] \oldlabel{#1}}
\fi


\def\N{{\mathbb{N}}}
\def\lege{{\gtreqless}}

\begin{document}
\title{Fondamenti della Matematica\\
\small{Per chi ha paura dell'infinito}
}
\author{AlpT (@freaknet.org)\\
\small{\url{http://freaknet.org/alpt}}
}


\pagenumbering{roman}
\maketitle{}

\begin{abstract}
Questo testo e' una rielaborazione personale degli appunti presi durante
il corso di Fondamenti della Matematica, tenuto dal Prof. Micale Biagio presso il dipartimento di
Matematica, Catania, A.A. 2008/2009.\\
Saro' ben lieto di correggere ogni eventuale errore che mi comunicherai.

Buon lettura.
\begin{center}
	\verb|^_^|
\end{center}
\end{abstract}

\input{gpl}

\clearpage
\tableofcontents
\clearpage
\pagenumbering{arabic}

\let\oldsection\section
\renewcommand{\section}[1]{\oldsection{#1}\ilabel{#1}}
\let\oldsubsection\subsection
\renewcommand{\subsection}[1]{\oldsubsection{#1}\ilabel{#1}}
\let\oldsubsubsection\subsubsection
\renewcommand{\subsubsection}[1]{\oldsubsubsection{#1}\ilabel{#1}}
\def\P{{\mathcal{P}}}
\def\f{{\varphi}}

\def\QUA#1#2{\T{[QUA,#1,pg.#2]}} %% Appunti sul quaderno
%% Quando trascrivi le proposizioni qui, come \ilabel usa \ilabel{QUA#1#2}
%% e sostituisci QUA con \def\QUA#1#2{\see{QUA#1#2}} 
\section{Introduzione}
Questi appunti digitali fanno riferimento a i relativi appunti cartacei che
sono stati acquisiti e inclusi nell'appendice.\\
Notazione:
	\QUA{OssX.Y.Z}{123} e' un riferimento alla proposizione OssX.Y.Z
		che trovate nell'appendice A, a pagina 123.

\section{Insiemi}
\begin{defn}
	Sia $M \neq \0$ un  insieme. 
	\eal{&\f \T{ e' una funzione di scelta } \definizione{\=}
	\f \in M^{{\P (M)^*}}	\= \T{ $\f$ e' del tipo } \f:\P (M)^*
	\longrightarrow  M\T{ e inoltre } 
	\f(A)\in A
	}
	dove $\P(M)^*=\P(M)\-\pgra{0}$.
\end{defn}
\section{POSET ben ordinati}
\begin{defn}\ilabel{DefBenOrdinato}
Sia $M \neq \0$. Diremo che  $(M, <)$ e' un insieme ben ordinato
$\definizione{\=}$
\eal{&B1.\;\;\forall a,b\in M \;\;\lnot ( a<b   \&  b<a)\NN
B2.\;\;\forall \0 \neq A \( M  \;\;\exists a\in A \T{ tale che } (x\in A\-\pgra{a} \> a<x)
}
L'elemento $a$ e' unico e lo indichiamo con $\min_< A$.\\

Diremo che $(M,\le )$ e' un POSET ben ordinato $\definizione{\=}$ $M$ e' un
POSET e inoltre
\eal{&\forall \0  \neq  A \( M \;\; \exists \min_{\le } A \T{ dove } \min_{\le } A = 
a\T{ tale che } a\in A,\;a\le x\;\;\forall x\in A
}
\end{defn}
\begin{prop}
	\ilabel{MinimoUnico}
Il minimo e' unico.
\end{prop}
\begin{proof}
Supponiamo per assurdo che $a,b$ siano due minimi di $A$, allora per
definizione si deve avere:
\eal{&
a \neq b, \;a,b\in A,\;a\T{ minimo }  \> a <b \NN
a \neq b, \;a,b\in A,\;b\T{ minimo }  \> b<a
}
assurdo contro la $B1$.
\end{proof}
\begin{prop}
	\label{oss19.2}
	\ilabel{PropBenOrdinamento}
Sia $(M,<)$ un insieme ben ordinato, allora
	\eal{&0.\;\;a<b \> a \neq b\NN
	1.\;\;\lnot ( a <  a)\;\;\forall a\in M\NN
	2.\;\; a,b,c\in M,\;(a<b  \&  b<c \> a<c)\NN
	3.\;\;a,b\in M,\;\;(a \neq b \> a<b  \|  b<a)
	}
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{Dim. $0.,\;1.$}
	\begin{prova}
Segue direttamente dalla $B1$.
	\end{prova}
	\step{}{Dim. $2.$}
	\begin{prova}
Se per assurdo $a=c$, allora
\eal{&a< b  \&  b<c  \ubrace{\=}{a=c} a<b,\;b<a
}
assurdo contro $B1$. Quindi,
\eal{&a \neq c,\; a<b,\;b<c \> a,b,c\T{ distinti } \NN
\pgra{a,b,c}\( M  \ubrace{\>}{B2} \exists \min_< \pgra{a,b,c}\NN
a<b,b<c \> \min_< \pgra{a,b,c}  \neq  b,c \> \min_< = a \> a < c
}
	\end{prova}
	\step{}{Dim. $3.$}
	\begin{prova}
		\eal{&a \neq b,\;\min_< \pgra{a,b} \T{ unico }  \>
		\> \min_< \pgra{a,b}= a \|  \min_< \pgra{a,b}=b
		\> a< b  \|  b < a 
		}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{prop}
	\ilabel{BenOrdinatoEquivalenza}
	Dato un insieme ben ordinato $(M,<)$, la relazione 
	\eal{&a\le b \definizione{\=} (a<b  \|  a=b)
	}
	rende $(M,\le )$ un POSET ben ordinato.\\
	Viceversa, dato il POSET $(M,\le )$ ben ordinato, la relazione
	\eal{&a<b \definizione{\=} (a\le b  \&  a \neq b)}
	rende $(M,<)$ un insieme ben ordinato.\\

	Per questo motivo possiamo ritenere equivalenti le due definizioni di
	buon ordinamento e da ora in poi non faremo piu' distinzione tra le
	due.
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{$\>$}
	\begin{prova}
		\begin{enumerate}
			\item Riflessiva $a\le a$:
		\eal{&a=a \> a\le a
				}
			\item Antisimmetrica:
	\eal{&a\le b \= a<b  \|  a=b\NN
	b\le a \= b <a  \|  a=b\NN
	\T{Se per assurdo } a \neq b \> a<b,\;b<a \T{ assurdo contro } B1\NN
	\T{quindi, } a=b
	}
\item Transitiva:
\eal{&a\le b\le c \= (a<b  \|  a=b),\;(b<c \|  b=c)
	}
Se $a=b \| b=c$ e' chiaro che $a\le c$, altrimenti:
\eal{&a<b,\;b<c  \ubrace{\>}{\see{PropBenOrdinamento}} 
a<c}
\item $(M,\le )$ e' ben ordinato: sia $\0  \neq  A \( M$, allora
	\eal{&\0  \neq  A \( M  \ubrace{\>}{B2}  
	\exists a=\min_< A \> a<x\;\;\forall x\in A\-\pgra{a} 
	\> a\le  x \;\;\forall x\in A \> a=\min A 
	}
		\end{enumerate}
	\end{prova}
	\step{}{$\<$}
	\begin{prova}
\begin{enumerate}
	\item $B1$:
		se per assurdo $a<b  \&  b<a$, si ha
\eal{&a<b \= (a\le b \& a \neq b)\NN
b< a \= (b\le a  \&  a \neq b)\NN
\qq  \ubrace{\>}{\T{antisimmetrica}} a=b\T{ assurdo contro }a \neq b
		}
	\item $B2$:  sia $\0  \neq  A \( M$
		\eal{&(M,\le )\T{ POSET ben ordinato } \> 
		\exists a=\min_{\le } A 
		\> a\le x \;\;\forall x \in A
		\> (a\le  x  \& a \neq x)\;\;\forall x\in A\-\pgra{a}
		\= a=\min_< A
		}
\end{enumerate}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{defn}\ilabel{DefOmomorfismoOSET}
	Siano $(M,<),\;(M',<')$ due insiemi con due relazioni binarie $<,<'$.
	Una funzione $f:M\longrightarrow M'$ si dira' omomorfismo $\=$ 
	\eal{&\forall a,b\in M\;\;(a<b \> f(a)\; <' \;f(b))
	}
$f$ si dira' immersione se iniettiva, e isomorfismo se biettiva.

Se $\exists f:M\longrightarrow M'$ isomorfismo, scriveremo $M\simeq M'$
\end{defn}
\begin{prop}
	\ilabel{ImmersionePOSET}
 Siano $(M,<),\;(M',<)$ due insiemi ben ordinati\foonote{$M,M'$ hanno due relazioni
 d'ordinamento non necessariamente uguali. Ma d'ora in avanti utilizzeremo lo
 stesso simbolo $<$ per entrambe}, allora
 \eal{&
 \T{ $f:M\longrightarrow M'$
 omomorfismo } \> f\T{ immersione }}
 inoltre
 \eal{&\inv f: f(M) \longrightarrow  M \T{ e' un isomorfismo}}
\end{prop}
\begin{proof}
	$f$ e' iniettiva:
	\eal{&a \neq b  \ubrace{\>}{\see{PropBenOrdinamento}} 
	a<b  \|  b< a \> f(a)<f(b)  \| f(b) < f(a) \> f(a) \neq f(b)
	}
	Si ha:
	\eal{&f\T{ iniettiva } \> f:M \longrightarrow  f(M) \T{ biettiva } 
	\> \exists \inv f : f(M) \longrightarrow  M\NN
	f(a) < f(b) \> \inv f f (a) < \inv f f (b) \= a<b\T{, infatti, se per
	assurdo $\lnot(a< b)$ si ha}:\NN
	\qq \lnot(a< b)  \ubrace{\=}{\see{PropBenOrdinamento}} 
	a\ge b \= a>b \| a=b \> f(a) >f(b)  \|  f(a)=f(b)\T{ assurdo contro
	}f(a)<f(b)
	}
\end{proof}

\begin{defn}
	\ilabel{DefSegmento}
Sia $(A,<)$ ben ordinato e $\0  \neq B \( A$, allora
\eal{&B\T{ e' un segmento di }A \definizione{\=} 
\pgra{a\in A\;|\;\exists b\in B:\;a<b} \( B\=
\pton{(a<b \> a\in B)
\;\;\forall b \in B\;\;\forall a\in A}
}
Nota: $\0,A$ sono segmenti di $A $.\\
Sia $a\in A$, definiamo il seguente insieme:
\eal{&A_a\definizione{=} 
\pgra{ x\in A \;|\;x<a}}
\end{defn}
\begin{prop}
	\ilabel{SegMinMax}
	\eal{&
	B\subset A \T{ segmento } 
	\> A\-B \( \pgra{\T{ maggioranti di }B}
	}
\end{prop}
\begin{proof}
	\eal{&B\subset A \> A\-B \neq \0  \ubrace{\>}{ A\T{ ben ordinato}}
	\exists m=\min A \-B 
	}
	Sia $a\in A\-B$. 
	Se per assurdo $\exists b \in B : \;\; b > a $, allora
	\eal{&a <b \in B,\;B\T{ segmento } \> a\in B 
	\T{ assurdo contro } a\in A\- B
	}
	Quindi ogni elemento di $A\-B$ e' un maggiorante per $B$.
\end{proof}
\begin{prop}
	\ilabel{PropAaSegmento}
	\eal{&1.\;\;A_a\T{ e' un segmento di }A \NN
	2.\;\;B\subset A \T{ e' un segmento} \> 
	B=A_{a},\T{ con } a=\min A\-B
	}
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{1.}
	\begin{prova}
		Sia $b\in A_a $ e $x\in A:\;x<b$. Dimostriamo che $x\in A_a$
	\eal{&b \in A_a \=  b\in A,\;b<a \NN
	x<b <a \> x<a  \ubrace{\>}{x\in A}  x\in A_a
		}
	\end{prova}
	\step{}{2.}
	\begin{prova}
		\eal{&
		B \subset A \> A\-B \neq \0 
		\> \exists a\in A\-B  \ubrace{\>}{\see{SegMinMax}} 
		a\T{ e' un maggiorante di } B \= a\ge b\;\;\forall b\in
		B\;\;(0)
		%\ubrace{\>}{(A,<)\T{ ben ordinato }}  \exists a=\min A\-B 
		}
		\step{}{Dim. $B\( A_a$}
		\begin{prova}
	Sia $x\in B$
	\eal{&(0) \> x\le  a  \ubrace{\>}{a\in A\-B,\;x\in B }  x< a 
	\ubrace{\>}{x\in B \( A,\;\T{def } A_a}  x\in A_a
	}
		\end{prova}
		\step{}{Dim. $B\) A_a$}
		\begin{prova}
Nella $(0)$, come $a$ possiamo scegliere $a=\min A\-B$,
		infatti:
		\eal{&A\-B \neq \0  \ubrace{\>}{A\T{ b.o.}}  \exists
		a=\min A\-B} 
Quindi
	\eal{&
	x\in A_a \> x\in A,\;x< a =\min A\-B  \> x \in A\-(A\-B) = B
			}
		\end{prova}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{prop}
	\ilabel{STsegmenti}
	\eal{&S,T\T{ segmenti di A } \> S\( T  \|  T\(S }
\end{prop}
\begin{proof}
Se $S=A \| T=A$ la tesi e' vera. Supponiamo che non sia cosi'.
\eal{&S\subset A\T{ segmento }  \ubrace{\>}{\see{PropAaSegmento}}  
S=A_a\NN
T\subset A\T{ segmento }  \ubrace{\>}{\see{PropAaSegmento}}
T=A_b\NN
(A,<)\T{ ben ordinato} 
\ubrace{\>}{\see{PropBenOrdinamento}}  a=b \|  a< b \|  b<a
\> A_a=A_b  \|  A_a\(A_b \| A_b\(A_a
}
\end{proof}
\begin{prop}
	\ilabel{UnioneIntersezioneSegmenti}
	\eal{&S_i\( A \T{ segmento } \forall i\in I \> 
	\bigcup_{i\in I} S_i,\;\;\bigcap _{i\in I}S_i\T{ segmenti di  }A
}
\end{prop}
\begin{proof}
	Sia $x\in \bigcap _{i\in I}S_i$ e sia $a\in A:\;a<x$,
\eal{&x\in \bigcap _{i\in I}S_i \> 
x\in S_i \;\;\forall i\in I\NN
S_i\T{ segmento } \NN
a\in A,\;a<x\NN
\qq \> a\in S_i\;\;\forall i\in I \> a\in \bigcap _{i\in I}S_i
	}
	Sia $x\in \bigcup _{i\in I}S_i$ e sia $a\in A:\;a<x$,
\eal{&x\in \bigcup _{i\in I}S_i \> 
\exists i\in I:\;x\in S_i,\;
S_i\T{ segmento } \NN
a\in A,\;a<x\NN
\qq \> a\in S_i \> a\in \bigcup _{i\in I}S_i
	}
quindi la definizione \see{DefSegmento} e' soddisfatta.
\end{proof}
\begin{prop}
	\ilabel{ST-Restrizione}
	\label{STRestrizione}
Siano $(A,<),\;(A',<)$ ben ordinati,
\eal{&\sist{S,T\(A \T{ segmenti } \\
f:S\longrightarrow  A',\;g:T\longrightarrow  A',\;\T{ omomorfismi }\\
f(S),\;g(T) \( A'\T{ segmenti }} 
\> f_{|S\^T } =g_{|S\^T}
}
\end{prop}
\begin{proof}
	\eal{&S,T\T{ segmenti }  \ubrace{\>}{\see{STsegmenti} } 
	S\( T  \|  S\) T \NN
	\T{Supponiamo } S\( T \= S\^T=S \;\;(0)
	}
	Supponiamo per assurdo che  $f_{|S\^T }  \neq g_{|S\^T} $
\eal{&f_{|S\^T }  \neq g_{|S\^T} 
\= M=\pgra{x\in S\^T \;|\; f(x) \neq g(x)} \neq \0\NN
M \ubrace{=}{(0)}  \pgra{x\in S\;|\;  f(x) \neq g(x)}\;\;(1)\NN
\0  \neq  M \( A   \ubrace{\>}{A\T{ b.o.}} 
\exists m=\min M \in M\(S \;\;(2)\NN
m\in M \> f(m)  \neq g(m)  \ubrace{\=}{\see{PropBenOrdinamento}}
f(m)< g(m)  \|  g(m) < f(m)
}
Dimostriamo che in entrambi i casi troviamo un assurdo
\case{$f(m)<g(m)$}
\begin{prova}
\eal{&\sist{f(m)<g(m)\in g(T)\\
g(T) \T{ segmento} } \> f(m)\in g(T) \> \exists t\in T:\;\;g(t)=f(m)\;\;(3)\NN
g(t)=f(m) < g(m) \> g(t) < g(m)  \ubrace{\>}{g\T{
omomorfismo},\see{ImmersionePOSET}}  t < m\in S,\;S\T{ segmento } \> t\in S
\;\;(4)\NN
t\in S,\;t <m=\min M \(S  \> t\in S \- M  \> f(t) = g(t)  \ubrace{=}{(3)}
f(m)  \> f(t) = f(m)  \=\NN
\ubrace{\=}{g\T{
omomorfismo},\see{ImmersionePOSET}}  t=m \T{ assurdo contro }t<m
}
\end{prova}
\case{$g(m)<f(m)$}
\begin{prova}
	E' analogo al caso precedente, con qualche lieve differenza:
\eal{&\sist{g(m)<f(m)\in f(S)\\
f(S) \T{ segmento} } \> g(m)\in f(S) \> \exists s\in S:\;\;f(s)=g(m)\;\;(3)'\NN
f(s)=g(m) < f(m) \> f(s) < f(m)  \ubrace{\>}{f\T{
omomorfismo},\see{ImmersionePOSET}}  s < m = \min M \( S 
\> s\in S\-M  \= g(s)=f(s)    = \NN
\ubrace{=}{(3)'} 
g(m) \> s=m \T{ assurdo contro } s<m
}
\end{prova}

\end{proof}
\begin{prop}\ilabel{UnicoOmodiA}
	Sia $(A,<)$ ben ordinato, 
	\eal{&\sist{f:A \longrightarrow  A \T{ omomorfismo }\\
	f(A) \(A \T{ segmento } } 
	\> f=\id_A
	}
	Ovvero, l'unico omomorfismo da $A$ in $A$, che porta $A$ in un
	segmento di $A$, e' l'identita'.
\end{prop}
\begin{proof}
	Basta applicare la \see{STRestrizione} utilizzando
	\eal{&S=T=A,\;g=\id_A,\;A'=A}
\end{proof}
\begin{prop}\ilabel{SsegmentoAisomorfoAalloraSestA}
\eal{&S\( A \T{ segmento },\; S\simeq A \> S =A }
\end{prop}
\begin{proof}
\eal{&S\simeq A \> \exists f:S \longrightarrow  A \T{ isomorfismo }
\ubrace{\>}{\see{ImmersionePOSET}} 
\inv f: A \longrightarrow  S \T{ isomorfismo }\NN
\sist{\inv f ( A) = S \(A \T{ segmento } \\
\inv f:A \longrightarrow  S \( A}  \ubrace{\>}{\see{UnicoOmodiA} } \inv f =
\id_A \> 
A=\id_A(A) = \inv f (A ) = S \> S=A
	}
\end{proof}
\begin{prop}
	\ilabel{IncollamentoDiOmomorfismi}
	Siano $(A,<),\;(A',<)$ insiemi ben ordinati, 
	$S_i\( A,\;S_i'\(A'$ segmenti $\forall i\in I$ e 
	siano $f_i:S_{i}\longrightarrow S_i'$ isomorfismi fra essi, allora
	\eal{&f=\bigcup_{i\in I } f_i
	}
	e' un omomorfismo.\\
Nota: la funzione $f$ si puo' cosi' definire:
	\eal{&
	f:\bigcup S_i \longrightarrow  \bigcup S_i'\NN
	x\in S_i \mapsto f_i(x)
	}
	od anche:
	\eal{&f_{|S_i}=f_i}
\end{prop}
\begin{proof}
	Sia $S=\bigcup S_i ,\;\;S'=\bigcup S_i'$. $S,S'$ sono ancora segmenti
	per la \see{UnioneIntersezioneSegmenti}
	\step{p0}{$f$ e' una funzione}
	\begin{prova}
Dobbiamo dimostrare che $f$ e' ben posta, ovvero che
$x\in S_i\^S_j \> f_i(x)=f_j(x)$.\\
\eal{&S_i,S_j\T{ segmenti } \NN
f_i\T{ isomorfismo } \> f_i(S_i) =S_i' \( A'\T{ segmento }\NN
f_j\T{ isomorfismo } \> f_j(S_j) =S_j' \( A'\T{ segmento }\NN
\qq  \ubrace{\>}{\see{STRestrizione}} 
\pton{f_{i}}_{|S_i\^S_j} = 
\pton{f_{j}}_{|S_i\^S_j}   \ubrace{\>}{x\in S_i\^S_j} f_i(x)=f_j(x)
}
	\end{prova}
	\step{}{$f$ e' un isomorfismo}
	\begin{prova}
Siano $x,y\in S$ 
\eal{&x,y\in S \> x\in S_i,\;y\in S_j\NN
S_i,S_j\T{ segmenti }  \ubrace{\>}{\see{STsegmenti} }
S_i\(S_j \|  S_j\( S_i \> x,y\in S_i\U S_j. \T{ Supponiamo ad esempio,
}S_j\(S_i \NN
\qq \> f(x) = f_{|S_{i}}(x)  \ubrace{=}{\sref{p0}} f_i(x)\;\;(1)\NN
\qq \> f(y) = f_{|S_{i}}(y)  \ubrace{=}{\T{\sref{p0}}} f_i(y)\;\;(2)\NN
f_i\T{ isomorfismo },\; x<y,\;x,y\in S_i \> f_i(x)<f_i(y)
\ubrace{\=}{(1),(2)} f(x)<f(y)
}
Per la \see{ImmersionePOSET}, basta provare che $f$ e' surriettiva:
\eal{&f(S) =f\pton{\bigcup_{i\in I} S_i} = 
\bigcup_{i\in I}f(S_i)  =  
\bigcup_{i\in I}f_{|S_i}(S_i)  =  
\bigcup_{i\in I}f_i(S_i)   \ubrace{=}{f_i\T{ isomorfismo}} 
\bigcup_{i\in I}S_i'=S'
}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{defn}
	Siano $(A,<),\;(A',<)$ ben ordinati,
\eal{&A\immerso A' \definizione{\=} \exists S'\( A'\T{ segmento: } A\simeq S'
	}
\end{defn}
\begin{lem}
	\ilabel{LemmaSegUnioneSingoletto}
	\eal{&S\subset A\T{ segmento, } a= \min A\-S 
	\> S\U\pgra{a}\( A\T{ segmento } 
	}
\end{lem}
\begin{proof}
Sia $x\in A$,
	\eal{& x< s\in S  \ubrace{\>}{S\T{ segm.} }s\in S\(S\U\pgra{ a}\NN
x<a=\min A\-S \> x\in A\-(A\-S)= S \( S\U\pgra{a}
}
\end{proof}
\begin{thm}\ilabel{BenOrdinatiImmersione}
\eal{&\T{$(A,<),\;(A',<)$ ben ordinati } \> A \immerso A'  \| A'\immerso A
	}
\end{thm}
\begin{proof}
	\def\F{{\Phi}}
	\def\f{{\phi}}
Sia
\eal{&\F=\pgra{\f:s\longrightarrow s'\;|\;s\(A\T{ segmento},\;
s'\( A' \T{ segmento },\; f\T{ isomorfismo }
}}
Per la \see{IncollamentoDiOmomorfismi}, la funzione:
\eal{&f= \bigcup_{\f\in \F}\f\;\;(0)\NN
f:S\longrightarrow S'
}
e' un isomorfismo. Inoltre, 
\eal{&f= \max \F, \;\T{ secondo la relazione } (\f\le \f'\definizione{\=} \f \( \f' \= \dom \f \(\dom
\f',\;\cod \f \( \cod \f',\;\f'_{|\dom \f}=\f)\qq(1)
}
\step{}{$\F \neq \0$}
\begin{prova}
	Infatti, un elemento di $\F$ e' 
	\eal{&\f:\pgra{\min A} \longrightarrow  \pgra{\min A'}
	}
	Nota: il singoletto $\pgra{\min A}$ e' un segmento di $A$.
\end{prova}
\step{}{$A\simeq S' \|  A' \simeq S $ }
\begin{prova}
Per la $(0)$, basta dimostrare che
\step{}{$A=S \| A'=S'$}
\begin{prova}
Procediamo per assurdo:
\eal{&\NOT (A=S \| A'=S'),\;\;S\( A,\;S'\( A' \=
 S\subset A  \&  S'\subset A'
 \ubrace{\>}{A,A'\T{ b. o.} } 
 \exists \ove a=\min A\-S,\;\ove a' =\min A\-S'\;\;(3)\NN
 S\T{ segmento di }A,\;(3)  \ubrace{\>}{\see{LemmaSegUnioneSingoletto}}
 S\U\pgra{\ove a}\T{ e' un segmento di }A\;\;(3.1)\NN
 \T{Analogamente }  S'\U\pgra{\ove a'}\T{ e' un segmento di }A'\;\;(3.2)
% S,S'\T{ segmenti}, (3)  \ubrace{\>}{\see{SegMinMax} } 
% \ove a \T{ maggiorante di } S,\;\;\ove a'\T{ maggiorante di }S'
% \> 
% \ove a = S\U\pgra{\ove a},\;
% \ove a' = S'\U\pgra{\ove a'} 
}
Sia 
\eal{&\ove f: S\U\pgra{\ove a} \longrightarrow  S'\U\pgra{\ove a'}\NN
\ove f(x) = \sist{f(x)& x\in S\\\ove a' & x= \ove a }
}
e' immediato verificare che $\ove f$ e' un isomorfismo,
\eal{&\ove f\T{ isomorfismo, } (3.1), (3.2) \> \ove f \in \F 
}
e questo e' assurdo contro la (1).
\end{prova}
\end{prova}
\end{proof}
\begin{defn}\ilabel{DefCCDF}
	Sia $(M,\le )$ POSET, 
\eal{&\T{Vale la $c.c.d.f$ (condizione catene discendenti finite ) }
\definizione{\=} \nexists \0 \neq  A=\pgra{a_i}_{i\( I\( \N}\(M:\;\;a_0>a_1
>a_2> \dots \NN
\T{Vale la c.m (condizione di minimo) } 
\definizione{\=} 
\forall  \0 \neq  A\(M\;\exists \T{ un elemento minimale di }A
}
\end{defn}
\begin{prop}\ilabel{CCDFestMinimale}
	\eal{&c.m \= c.d.d.f}
\end{prop}
\begin{proof}
	\BEGINpnecessaria
Per assurdo esiste una catena discendente infinita:
\eal{&a_0>a_1>\dots}
Per Hp 
\eal{&\exists i:\;\; a_i\T{ minimale }  \> \T{ assurdo contro } a_{i+1} <
a_i}
	\END
\BEGINsufficiente
\eal{&\T{Per assurdo non esiste un minimale di $A$ } (*)\NN
A \neq  \0 \> \exists a\in A  \ubrace{\>}{(*)}  
\exists a_1\in A\-\pgra{a}:\;a_1 < a  \ubrace{\>}{
(*)
} \exists a_2\in A\-\pgra{a_1}:\;a_2 < a_1  \ubrace{\>}{(*)} \dots
}
Nota: in questa dimostrazione abbiamo fatto uso dell'assioma della scelta.
\END

\end{proof}
\begin{defn}
Sia	$M \neq \0$.
	E sia $\0 \neq A\( M$.\\
	$A\T{ e' $\f$-differenziato } \= $ 
	\eal{&
	D1.\;\;\exists \le :\;\;(A,\le )\T{ e' ben ordinato }\NN
	D2.\;\;\exists \f\T{ funzione di scelta su } M\NN
	D3.\;\; \forall a\in A\;\;a=\f (M\-A_a)}
	Sostanzialmente, se $A$ e' $\f$-diff, possiamo estrarre da ogni $A_a$
	l'elemento $a$, usando una funzione di scelta $\f$
\end{defn}
\begin{prop}
	\ilabel{fdifferenziatiallorasegmenti}
	\eal{&A,B\T{ $\f$-diff } \> 
	\sist{A\(B\T{ segmento}\\\le=\le_{|A}' }
	\T{ oppure }\;\;
	\sist{B\( A\T{ segmento}\\\le_{|B}=\le' }
}
dove $\le $ e' la relazione d'ordinamento associata ad $A$ e $\le '$ e' quella
associata a $B$.
Con $\le_{|B}$ intendiamo la restrizione di $\le $ su $B$, e quindi
con $\le_{|B}=\le_{|B}' $ intendiamo: $\forall x,y\in  B\;\pton{x\le y \= x\le
' y}$. (Nota \footnote{$\le=\le_{|A}'$ equivale a dire che $\le \(
\le'$})
\end{prop}
\begin{proof}
	\eal{&A,B\T{ $\f$-diff } 
	\> (A,\le ),\;\;(B,\le ') \T{ sono ben ordinati }
	\> \exists a=\min_{\le } A,\;\;\exists b=\min_{\le '} B \;\;(1)\NN
	A,B\T{ $\f$-diff } \> a=\f(M\-A_a),\;\;b=\f(M\-B_b)\;\;(2)
	}
	\step{}{Dim. $a=b$}
	\begin{prova}
		\eal{&a=\min_{\le } A \> A_a= \0\NN
		b=\min_{\le '} B \> B_b= \0\NN
		a \ubrace{=}{(2)} \f(M\-A_a)=\f(M)=\f(M\-B_b) \ubrace{=}{(2)}
		b
		}
	\end{prova}
Consideriamo l'insieme $S$ cosi' definito:
\eal{&S=\pgra{s\(A\^B \;|\; s\T{ segmento di $(A,\le )$}, s\T{
segmento di $(B,\le ')$},\; \le_{|s}=\le_{|s}'}\;\;(3)\NN
\T{ dove con $\le_{|s}$ intendiamo la restrizione di $\le $ su $s$, e quindi
con $\le_{|s}=\le_{|s}' $ intendiamo: $\forall x,y\in  s\;\pton{x\le y \= x\le '
y}$}}
Si ha:
\step{}{$T=\bigcup S\;\; \in S$}
\begin{prova}
\eal{&
\min_{\le }A =a=b= \min_{\le '}B \> \pgra{a}\in S \> S \neq \0\;\;(4)\NN
\T{Per la
{\see{UnioneIntersezioneSegmenti}} }\;T=\bigcup_{s\in S}s \T{ e' un segmento di $A$ e segmento di $B$}\;\;(4.1)\NN
\le_{|T}=\le_{|T}',\T{ infatti, }\;\;(4.2)\NN
\qq x,y\in T \> x\in r,\;y\in s,\;\T{ con } r,s\in S\NN
\qq \T{Supponiamo $x\le y$ e dimostriamo $x\le' y$: }\NN
\qq \qq \sist{x\le y\in s\\s\T{ segmento di $A$}\\x\in r\(A}
\ubrace{\>}{\T{def. di segmento}} 
x\in s \NN
\qq \qq x,y\in s,\;\;x\le y  \ubrace{\>}{s\in S,\;\le_{|s}=\le_{|s'}}  x\le 'y
\NN
\qq \T{Analogamente si vede che $(x\le 'y \> x\le y)$}\NN
(4),\;(4.1),\;(4.2) \> T\in S \;\;(5)
}
\end{prova}
	\step{}{$T=A \| T=B$}
	\begin{prova}
Se per assurdo $T\subset A,\;T\subset B$, allora
\eal{&T\subset A,\;\;T\subset B 
\> \exists a'=\min_{\le} A\-T,\;\;\exists b'=\min_{\le '} B\-T
}
\step{}{$a'=b'$}
\begin{prova}
	\eal{&T\subset A\T{ segmento (per la (5))} 
	\ubrace{\>}{\see{PropAaSegmento}} 
	T=A_{a'}\NN
	\T{Analogamente } T=B_{b'}\NN
	a'=\f(M\-A_{a'}) = \f(M\-T ) =\f(M\-B_{b'})= b'
	}
\end{prova}
\eal{&T\T{ segmento di }A,B,\;\;\min_{\le }A\-T=a'=b'=\min_{\le '}A\-T
\ubrace{\>}{\see{LemmaSegUnioneSingoletto}} 
T\U\pgra{a'}\T{ segmento di }A,B\;\;(6.0)\NN
\sist{T\( A\T{ segmento}\\a'\in (A\-T,\le ),\;(A\-T,\le ')}   \ubrace{\>}{\see{SegMinMax}} 
a' \ge t,\;a'\ge't\;\;\forall t\in T \;\;(6.1)\NN
\sist{T\in S \> \le_{|T}=\le_{|T}'\\
(6.1)
} \>   \le_{|T\U\pgra{a'}}=\le_{|T\U\pgra{a'}}' \;\;(6.2)\NN
(6.0),\;(6.2) \> T\U\pgra{a'} \in S\;\;(6)\NN
T = \bigcup S  \ubrace{\>}{(6)} T\U\pgra{a'} \( T \> a'\in T \T{ assurdo
contro } a'=\min_{\le }A\-T\notin T
}
%O in alternativa, si puo' osservare che la $(6)$ e' in contrasto con:
%\eal{&(5) \> T=\max S
%}
	\end{prova}
	\qedstep
	\begin{prova}
Per il precedente passo 
\eal{&	T=A \| T=B  \ubrace{\>}{(5)}  A\in S \| B\in S \=
\sist{A\T{ segmento di B}\\\le_{|A}=\le_{|A}' }
\|
\sist{B\T{ segmento di A}\\\le_{|B}=\le_{|B}' }
}
e poiche' $\le_{|A}=\le,\;\le_{|B}'=\le '$, si ha la tesi.
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{thm}
	di Zermelo.\ilabel{ThmZermelo}
	\\
	Sia $M \neq \0$
	\eal{&\T{Assioma della scelta } \=
 \exists \le :\;\;(M,\le )\T{ e' ben ordinato} 
	}
\end{thm}
\begin{proof}
	\BEGINsufficiente
Come funzione di scelta $\f$ prendiamo
\eal{&\f(A)=\min A 
}
E' valida perche' $(M,\le )$ e' ben ordinato, e quindi il $\min$ esiste
sempre.
	\END
\BEGINpnecessaria
Per l'assioma della scelta, $\exists \f$ funzione di scelta su $M$.\\
Il singoletto \eal{&A=\pgra{\f(M)}}
e' un insieme $\f$-diff, infatti,
\eal{&\T{Sia } a= \f(M)\NN
A_{a}=\pgra{x\in A=\pgra{a}\;|\; x< a} =\0
\> \f(M\-A_{a}) = a=  \f(M) 
}
quindi, il seguente insieme non e' vuoto:
\eal{&L= \bigcup\pgra{\0 \neq A\(M \;|\;A\T{ $\f$-diff}}
}
Per comodita' indiciziamo gli insiemi $\f$-diff:
\eal{&\pgra{\0 \neq A\(M \;|\;A\T{ $\f$-diff}}=\pgra{A_i\;|\;i\in I}\NN
\T{chiamiamo $\le_i$ la relazione che rende $A_i$ $\f$-diff, ovvero }
(A_i,\le_i)\T{ e' ben ordinato } (1)\NN
L= \bigcup_{i\in I}A_i\;\; (2)
}
\step{}{$L$ e' $\f$-diff}
\begin{prova}
	\step{}{$\exists \le :\;\;(L,\le )$ e' ben ordinato}
	\begin{prova}
\eal{&
a,b\in L \> \exists i,j:\;a\in A_i,\;b\in A_j\NN
A_i,A_j\T{ $\f$-diff } \ubrace{\>}{\see{fdifferenziatiallorasegmenti}} 
A_i\(A_j \| A_j\(A_i  \> a,b\in A_{ij}\definizione{=}\max \pgra{A_i,A_j}\;\;(2') \NN
\ubrace{\>}{(1)} a\lege_{ij}
b,\;\;\T{ dove con } a\lege
b\T{ indichiamo } (a\le b \| a\ge b)
\;\;\;(3)
\NN
\T{Come relazione $\le $ su $L$ scegliamo: }
\qq a\le b \definizione{\= } a\le_{ij} b 
}	


\step{}{
Tale relazione e' ben posta
, ovvero
\eal{&a\in A_i',\;b\in A_j',\; A_i'\) A_j' \> \pton{a\le_i b \=
a\le_{i}' b}
}
infatti,
}
\begin{prova}
	Supponiamo $\max\pgra{A_i,A_j}=A_i$, 
	\eal{&A_{ij}=\max\pgra{A_i,A_j}=A_i\> \le_{ij}=\le_{i}\NN
	A_i,A_i'\T{ $\f$-diff }
	\ubrace{\>}{\see{fdifferenziatiallorasegmenti}} 
	\sist{A_i\(A_i'\T{ segmento}\\\le_{i}=({\le_i}')_{|A_i} }
	\T{ oppure }\;\;
	\sist{A_i'\( A_i\T{ segmento}\\({\le_i})_{|A_i'}=\le_{i}' }
	\;\;(*)\NN
\T{in ogni caso, poiche' $a,b\in A_i'\^A_i$ si ha }a\le_i b \= a\le_i'b
	}	
\end{prova}

\step{LTOT}{$(L,\le )$ e' ben ordinato}
\begin{prova}
	\step{LTOTOTOTO}{$(L,\le )$ e' un TOTET}
	\begin{prova}
	Siano $a,b,c\in L$, allora
	\eal{& a,b,c\in L \> a,b,c\in A_{ijk}=\max\pgra{A_i,A_j,A_k} \;\;(3)\NN
	A_h\T{ $\f$-diff	} \forall h \> 
	(A_h,\le_h)\T{ ben ordinato }\forall h  
	\> (A_h,\le_h) \T{ TOTET }\;\forall h   \> (A_{ijk},\le_{ijk})
	\T{ TOTET } \;\;(4)\NN
	\T{Per definizione di $(L,\le )$, la relazione usata per confrontare
	$a,b,c$ e' $\le_{ijk}$. }\;\;(5)\NN
	(4),(5) \> \T{ a,b,c soddisfano le proprieta' di un TOTET} }
Quindi, per l'arbitrarieta' di $a,b,c\in L$, segue che $(L,\le )$ e' un TOTET.
	\end{prova}
\step{pccc}{Vale la c.c.d.f per $(L,\le )$}
\begin{prova}
Supponiamo per assurdo che esista
\eal{&a_0>a_1>\dots>a_n>\dots}
allora
\eal{&(2') \> a_0 \in A_i,\;a_n \in A_j,\;\;A_i\(A_j\T{ segm.} \| A_j\( A_i
\T{ segm.} \;\;(6)\NN
a_n\in A_i,\T{ altrimenti:  }\;\;(7)\NN
\qq a_n\notin A_i  \ubrace{\>}{(6)} A_i\( A_j\NN
\qq \sist{ A_i\( A_j\T{ segmento }\\
a_n < a_0\in A_i } \> a_n \in A_i\T{ assurdo contro l'ipotesi } a_n\notin
A_i\NN
(7) \> \pgra{a_0,a_1,\dots}\( A_i   \ubrace{\>}{(A_i,\le_i)\T{ ben ordinato}}
\exists \min \pgra{a_0,a_1,\dots}
}
assurdo.
\end{prova}
\step{}{QED}
\begin{prova}
Sia $\0 \neq A\(L$, dimostriamo che $\exists \min A$.
\eal{&\sref{pccc}  \ubrace{\>}{\see{CCDFestMinimale}} \T{ vale la condizione
di minimo } \> \exists a\in A \T{ minimale }  \ubrace{\>}{(L,\le )\T{ e' un
TOTET}}
%, (L,\le)\T{ e' un TOTET }} a= \min A 
a=\min A
}
\end{prova}
\end{prova}
\step{}{$L$ e' $\f$-diff}
\begin{prova}
Dobbiamo dimostrare che 
\eal{&a=\f(M\-L_a)\;\;\forall a\in L }
Si ha
\eal{&a\in L  \ubrace{\>}{(2')}  a\in A_i \( L
}
Sia $A=A_i$
\step{}{$L_a=A_a$}
\begin{prova}
	\step{}{$\)$}
	\begin{prova}
		\eal{&L_a=\pgra{x\in L \;|\; x<a} 
		\ubrace{\)}{A=A_i\( L } \pgra{x\in A\;|\;x<a}=A_a}
	\end{prova}
	\step{}{$\($}
	\begin{prova}
	Sia $x\in L_a$
	\eal{&x\in L_a \> x<a,\;x\in L }
	Se per assurdo $x\notin A$, allora
	\eal{&(2') \> x\in A_j,\;A_j\(A_i=A\T{ segmento } \|  A\(A_j\T{
	segmento }
	\ubrace{\>}{x\notin A } A\subset A_j\T{ segmento }\;\;(**)
	\NN
	x<a  \ubrace{\>}{\T{def. di $(L,\le)$},\;A\(A_j} x<_j a
	\ubrace{\=}{x,a\in A}\NN
	\sist{x<_j a\in A\\
	x\in A_j}  \ubrace{\>}{(**)} x\in A\T{ assurdo}
	}
quindi, 
\eal{&x\in A }
	\end{prova}
\end{prova}
Infine,
\eal{&\f(M\-L_a)=\f(M\-A_a) \ubrace{=}{A\T{ e' $\f$-diff}} a}
\end{prova}
\step{}{$L=M$}
\begin{prova}
Supponiamo per assurdo $L\subset M$,
\eal{&L\subset M \> M\-L \neq \0 \> \exists a=\f(M\-L) 
}
Sia $L'=L\U\pgra{a}$
\step{}{$L'$ e' $\f$-diff}
\begin{prova}
Siano $x,y\in L'$, poniamo la seguente relazione
\eal{&x,y\in L \definizione{\>} (x\le'y \definizione{\=} x\le y  ) \NN
x\in L,\;y=a \definizione{\>} x<a\;\;(7)}
Si ha:
\eal{&(7) \> a=\max_{\le '}L'\;\;(7.1)\NN
}
Poiche' $(L,\le )$ e' ben ordinato, e' facile vedere che $(L',\le ')$ e' ben
ordinato. 
Sia $x\in L'$, allora
\case{$x\in L$}
\begin{prova}
	\eal{&x\in L \>  \ubrace{\>}{\T{def di $\le '$}} L_x=L_x'\NN
	\f(M\-L_x')=\f(M\-L_x) \ubrace{=}{L\T{ e' $\f$-diff}} x}
\end{prova}
\case{$x=a$}
\begin{prova}
	\eal{&(7.1) \> L_a'=L\NN
	\f(M\-L_a')= \f(M\-L) \ubrace{=}{\T{per def.} }a
	}
\end{prova}
In ogni caso
\eal{&\f(M\-L_x') =x}
\end{prova}
\eal{&L'\T{ $\f$-diff }\> L'\( L \= L\U\pgra{a}\(L \> a\in L\NN
a \ubrace{=}{\T{per def.}} \f(M\-L),\;\;\f\T{ funzione di scelta } 
\> a\in M\-L \> a\notin L
}
assurdo.
\end{prova}
\qedstep
\begin{prova}
	\eal{&L=M,\;(L,\le )\T{ ben ordinato} \> (M,\le )\T{ ben ordinato}}
\end{prova}
	\end{prova}
\end{prova}
\END
\end{proof}

\begin{thm}\ilabel{InduzioneTransfinita}
	Induzione transfinita.\\
	Sia $(M,\le )$ ben ordinato, e $I\(M$, allora
	\eal{&\sist{1.\;\min M \in I\\
	2.\;\forall a\in M  \;\; \pton{ M_a \( I \> a\in I }
} \> I=M
}
Nota: questo teorema e' una generalizzazione dell'induzione, infatti, per
$M=\N$ si ottiene l'induzione classica.
\end{thm}
\begin{proof}
Supponiamo per assurdo che $I\subset M$
\eal{&I\subset M \> M\-I  \neq \0  \ubrace{\>}{M\T{ ben ordinato }} 
\exists m=\min M\-I\NN
\sist{m\in M\-I \> m\notin I \\
1.\= \min M \in I } \> m  \neq \min M 
\> M_m  \neq \0 \NN
x\in M_m \> x<m=\min M\-I \> x\in M\-(M\-I)=I \NN
\qq \> M_m \( I  \ubrace{\>}{2.}  m\in I\T{ assurdo contro } m=\min M\-I\notin
I
}
\end{proof}
\begin{thm}\ilabel{Hausdorff}
	di Hausdorff.\\
	Sia $(M,\le )$ un POSET
	\eal{& C\(M \T{ e' una catena } 
	\> \exists C'\(M\T{ catena massimale di $M$: } C\(C'
	}
	Nota\footnote{$C$ catena di $(M,\le )$  $\definizione{\Leftrightarrow}$ 
	$(C,\le )$ e' un TOTET. (C utilizza la stessa relazione $\le $ di $M$}
\end{thm}
\begin{proof}
	Se $C=M$, allora la tesi e' vera: basta scegliere $C'=C$.\\
	Supponiamo $C\subset M$.\\
	\pfsketch{La dimostrazione procede cosi': ben ordiniamo $M\-C$ ed
	estendiamo la  catena $C$ considerando tutti gli elementi di $M\-C$
	che sono confrontabili con $C$. L'estensione ottenuta sara' la catena
	massimale cercata}
	\eal{&C\subset M 
	\> B=M\-C  \neq \0  \ubrace{\>}{\T{Zermelo }\see{ThmZermelo}} 
	\exists \le ':\;\;(B,\le ')\T{ e' ben ordinato } (1)
	}
	Sia $m=\min_{\le '}B$.\\
	Definiamo per induzione gli insiemi $B_1,B_2$:
	\eal{&m\definizione{\in} \sist{B_1 & m\le \ge C\\
	B_2& \T{ altrimenti}
	}\;\;(2)\NN
\qq 	\T{ dove $m\le\ge C$ indica che $m$ e' confrontabile con tutti gli
elementi di $C$
	}\NN
	\T{ Sia }	b\in B\-\pgra{m},\NN
	b\definizione{\in} \sist{B_1& b\le \ge C,\;\;b\le \ge \pgra{y\in
	B_1\;|\; y<' b}\\
	B_2&\T{altrimenti}}\;\;(3)
	}
	Chiaramente $B_1\U B_2=B$. Sia $C'=C\U B_1$
	\step{}{$C'$ e' una catena}
	\begin{prova}
	Dobbiamo dimostrare che $\forall a,b\in C'\;\;a\le \ge b$.
	\eal{&C\T{ catena } \> \forall a,b\in C \;\;a\le \ge b\NN
	(2)\> a\in C,\;b\in B_1 \> a\le \ge b\NN
	b_1 , b_2\in B_1  \ubrace{\>}{\T{$B_1 \( B$,\;$(B,\le ')$ ben ordinato}} 
	b_1\le' \ge' b_2 
	}
	\case{$b_1\le' b_2$}
	\begin{prova}
		\case{$b_2= m=\min_{\le '} B$}
		\begin{prova}
	\eal{&b_1\le' b_2= m=\min_{\le '} B \> b_1=b_2 \> b_1\le \ge b_2 
			}
		\end{prova}
		\case{$b_2 >m$}
		\begin{prova}
			\eal{&
			(3) \> 
			b_2 \le \ge \pgra{y\in B \;|\; y<' b_2}
			\ubrace{\>}{b_1 \le ' b_2 } 
			b_2 \le  \ge  b_1  
			}		
		\end{prova}
	\end{prova}
	\case{$b_1 \ge ' b_2$}
	\begin{prova}
		Analogamente.
	\end{prova}
	\end{prova}
	\step{}{$C'$ e' una catena massimale}
	\begin{prova}
Se per assurdo $\exists C'' :\;\; C''\supset C'$, allora
\eal{&C'' \supset C'=C\U B_1 
\> \exists c \in C'':\;\;c\in M\-(C\U B_1) = (M\-C)\^ (M\-B_1)= B\^(M\-B_1) =
B_2  \>\NN
\ubrace{\>}{(2),(3)} \exists d\in C\U \pgra{y\in B_1\;|\;y<' c} \(
C':\;\;c,d\T{ non sono confrontabili }}
Assurdo contro $C''$ catena.
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{cor}\ilabel{CorHausdorff}
Sia $\0 \neq (M,\le )$ un POSET, allora, per il teorema di Hausdorff
		si ha
	\eal{& 
	\exists C'\(M\T{ catena massimale di $M$}
	}
\end{cor}
\begin{proof}
\eal{&M \neq \0 \> \exists a\in M\NN
\pgra{a}\T{ e' una catena di } M  \ubrace{\>}{\see{Hausdorff} } 
\exists C'\T{ catena massimale di $M$}
}
\end{proof}
\begin{proof}
	
\end{proof}
\begin{defn}\ilabel{Zorn lemma}
	\label{zorn}
	Lemma di Kuratowski-Zorn.\\
	Sia $A \neq \0$ un POSET, 
	\eal{&\forall \Gamma\( A \T{ catena di $A$ }\;\;
	\exists a\in A:\;a\T{ e' un maggiorante di }\Gamma 
	\> \exists m\in A\T{ elemento massimale di }A
	}
\end{defn}

\begin{thm}\ilabel{AZHKZ}
	\eal{&\T{ Assioma della scelta }  \= 
	\T{ Teorema di Zermelo } \= \T{ Teorema di Hausdorff }
	\= \T{ Lemma di Zorn}
	}
\end{thm}
\begin{proof}
	\step{}{$\T{ Assioma della scelta }  \=
        \T{ Teorema di Zermelo }$}
	\begin{prova}
		Vedi \see{ThmZermelo}
	\end{prova}
	\step{}{$\T{ Teorema di Zermelo } \> \T{ Teorema di Hausdorff }$}
	\begin{prova}
		La dimostrazione del teorema di Hausdorff vista in
		\see{Hausdorff}, fa uso del teorema di Zermelo.
	\end{prova}
	\step{}{$ \T{ Teorema di Hausdorff }\>
	\T{ Lemma di Zorn}$}
	\begin{prova}
Supponendo che per ogni catena di $\0 \neq (A,\le )$ esiste un maggiorante,
dimostriamo che $ \exists m\in A\T{ elemento massimale di }A$.\\
\eal{&A \neq \0  \ubrace{\>}{Hausdorff, \see{CorHausdorff}} 
\exists C' \T{ catena massimale di }A\NN
\T{Per Hp } \exists m\in A\T{ maggiorante di }C'
}
Supponiamo per assurdo che $m$ non e' un massimale di $A$, allora
\eal{&m\T{ no-massimale } \> \exists a\in A:\;a> m 
\ubrace{\>}{m\T{ maggiorante di } C'}  
C'\U\pgra{a}\T{ e' una catena di }A
}
assurdo contro la massimalita' di $C'$
	\end{prova}
	\step{}{$\T{ Lemma di Zorn } \> \T{Assioma della scelta}$}
	\begin{prova}
		\def\f{{\varphi}}
		\def\F{{\Phi}}
Sia $M \neq \0$. Dimostriamo che esiste una funzione $\f$ di scelta su $M$.\\
Definiamo il seguente insieme:
\eal{&\F=\pgra{\f:S\longrightarrow M\;|\;S\( \P(M)^*,\;\f(X)\in X\;\;\forall X
\in S
}\NN
\T{Sia } \f_a:\pgra{a}\longrightarrow  M,\T{ con } \f_a(\pgra{a}) =a \NN
\f_a\in \F \> \F \neq \0
}
Su $\F$ definiamo la seguente relazione d'ordine\footnote{gia' vista in
precedenza nella dimostrazione di \see{BenOrdinatiImmersione}}:
\eal{&\f\le \f' \definizione{\=}\f\( \f' }
$(\F,\le )$ e' un POSET.\\
\def\ff{\psi}
Sia $C$ una catena di $(\F,\le )$. Consideriamo
\eal{&\psi = \bigcup_{\f\in C} \f}
\step{}{$\ff \in \F$}
\begin{prova}
	\step{}{$\ff$ e' una funzione}
	\begin{prova}
		
Sia $x\in \dom \psi$ e siano $\f,\f'\in C:\;x\in \dom \f \^ \dom \f'$, allora
\eal{&\f,\f\in C,\;C\T{ catena } \> \f \( \f'  \|  \f' \( \f 
\> \f(x) = \f'(x) 
}
Quindi $\ff$ e' una funzione.
	\end{prova}
	\step{}{$\ff(x)\in x$}
	\begin{prova}
Infatti
\eal{&\ff(x) = \f(x) \ubrace{\in}{\f\in C\( \F} x}
	\end{prova}
	\step{}{$\dom \ff \( \P(M)^*$}
	\begin{prova}
	\eal{&\f\in C\(\F \> \dom \f \( \P(M)^*\;\;(*)\NN
	\dom \ff =\bigcup_{\f\in C} \dom \f \ubrace{\(}{(*)} \P(M)^*}
	\end{prova}
Possiamo quindi affermare che $\ff\in \F$
\end{prova}
\eal{&\ff\in \F,\;\;\ff=\bigcup_{\f\in C}\f \> \f\T{ maggiorante di }C 
}

Abbiamo cosi' dimostrato che ogni catena di $\F$ ha un maggiorante. Allora per
il Lemma di Zorn:
\eal{&\exists \ff'\in \F \T{ massimale per }\F}
\step{}{$\ff'$ e' la funzione di scelta cercata}
\begin{prova}
Supponiamo per assurdo che $\dom \ff' \neq \P(M)^*$, ovvero che 
$\dom \ff' \subset \P(M)^*$. Allora, possiamo estendere $\ff'$ contraddicendo
la massimalita' di $\ff'$:
\eal{&\dom \ff' \subset \P(M)^* \> \exists A\in \P(M)^* \-\dom \ff'\NN
\T{Sia } \ff''= \ff\U\pgra{(A,a)},\;\T{ dove $a\in A$ e' fissato }\NN
\ff''\in \F,\;\; \ff''\) \ff\T{. Assurdo}.
}
\end{prova}
	\end{prova}
\end{proof}
\section{Numeri ordinali}
\def\a{{\alpha}}
\def\b{{\beta}}
\def\g{{\gamma}}
\def\d{{\delta}}
\def\Ord{{\oname{Ord}}}
\def\Card{{\oname{Card}}}
\def\lo{{\stackrel{\in}{<}}}
\def\leo{{\stackrel{\in}{\le}}}
\begin{defn}\ilabel{DefOrdinale}
	Sia $\a$ una classe. 
\eal{&\a\T{ e' un numero ordinale } \= \NN
\qq O1.\;\; \a\T{ e' un insieme }\NN
\qq O2.\;\;\b\in \a \> \b\( \a\NN
\qq O3.\;\;(\a,\in )\T{  e' un insieme ben ordinato }
}
Sia $\Ord$ la classe di tutti i numeri ordinali.\\
Nota: $\0\in \Ord$.\\
Nota: alcune volte useremo la scrittura $a\lo b$ al posto di $a\in b$, per
sottolineare che $a<b$ secondo la relazione d'ordine $(\a,\in)$.\\
Con $a\leo b$ intendiamo $a\lo b \| a=b$.
\end{defn}
\begin{prop}\ilabel{OrdTrans}
Sia $\a\in \Ord$, 
	\eal{&1.\;\;\b\in \a \> \b \neq \a\NN
	2.\;\; \g\in \b \in \a \> \g\in \a
	}
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{}
	\begin{prova}
\eal{&\b=\a  \> \a\in \a
		}
		assurdo contro \QUA{Oss8}{21}.
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
	\eal{&\b\in \a\in \Ord  \ubrace{\>}{O2}  
	\b \( \a  \ubrace{\>}{\g\in \b}  \g\in \a
	}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{lem}
	\ilabel{OrdAlphaMax}
\eal{&\a = \max_{\lo} \a\U \pgra{\a}}
\end{lem}
\begin{proof}
\eal{&\b\in \a\U\pgra{\a}
\> \b\in \a \|  \b=\a \= \b\lo \a  \|  \b=\a \= \b\leo \a
	}
\end{proof}
\begin{thm}
	\ilabel{SuccEstOrd}
	\eal{&\a\in \Ord \> S\a \in \Ord}
	dove $S\a=\a\U\pgra{\a}$ e' il successivo di $\a$ (vedi
	\QUA{Def}{18}).
\end{thm}
\begin{proof}
	Dimostriamo le $O1,O2,O3$ della def \see{DefOrdinale}
\step{}{$O1$}
\begin{prova}
	\eal{&\a\in \Ord \> \a \T{ insieme }  \ubrace{\>}{\QUA{Oss5}{18}}  S\a\T{ insieme } }	
\end{prova}
\step{}{$O2$}
\begin{prova}
	\eal{&\b\in S\a=\a\U\pgra{\a} \> \b\in \a  \|  \b =\a 
	}
	\case{$\b\in \a$}
	\begin{prova}
		\eal{&\b\in \a \in \Ord  \ubrace{\>}{O2}  \b\( \a \( S\a}
	\end{prova}
	\case{$\b=\a$}
	\begin{prova}
		\eal{&\b=\a\( S\a}
	\end{prova}
\end{prova}
\step{}{$O3$}
\begin{prova}
	\eal{&\a\in \Ord  \ubrace{\>}{O3}  (\a,\in) \T{ ben ordinato
	}\;\;(1)\NN
	\a  \ubrace{=}{\see{OrdAlphaMax}} 
	\max_{\lo} S\a \> \a\T{ e' confrontabile con tutti gli elementi di
	}S\a\;\;(2)\NN
	(1),\;(2) \> (S\a,\in)\T{ ben ordinato}
	}
\end{prova}
\end{proof}
\begin{prop}\ilabel{UnioneDiCatenaOrdinali}
	Sia $\pgra{\a_i}_I\( \Ord$.
\eal{&(\pgra{\a_i}_I, \()\T{ e' una catena } 
\> \bigcup_{i\in I} \a_i \in \Ord
}
In particolare, se abbiamo la successione di ordinali $\a_1,\a_2,\dots$, si ha
\eal{&\a_1\in \a_2\in \dots \> \bigcup_{i\in \N}\a_i\in \Ord
}
\end{prop}
\begin{proof}
\eal{&(\pgra{\a_i}_I, \()\T{ e' una catena }
\= \a_i\( \a_j \| \a_j\(\a_i\;\;\forall i,j\in I\;\;(1)
}
	\step{}{$O1$}
	\begin{prova}
\eal{&\a_i\in \Ord \;\;\forall i\in I 
\ubrace{\>}{O1} \a_i\T{ insieme }\;\;\forall i\in I
\ubrace{\>}{\QUA{Oss16}{22}} 
\bigcup_{i\in I} \a_i\T{ e' un insieme}
}
	\end{prova}
	\step{}{$O2$}
	\begin{prova}
\eal{&\b\in \bigcup_{i\in I} \a_i
\> \b\in \a_i\in \Ord \> \b\( \a_i \( \bigcup_{i\in I} \a_i
}
	\end{prova}
	\step{}{$O3$}
	\begin{prova}
	Siano $a,b\in \bigcup_{i\in I} \a_i$ e dimostriamo che $a,b$ sono
	confrontabili secondo $\in$:
\eal{&a,b\in \bigcup_{i\in I} \a_i
\> a\in \a_i,\;b\in \a_j 
\ubrace{\>}{(1)} a,b\in a_{ij}=\max\pgra{a_i,a_j}\NN
(a_{ij},\in)\T{ ben ordinato } \> a,b\T{ confrontabili }
}
	\end{prova}
	\step{}{Dimostriamo la seconda parte della proposizione}
	\begin{prova}
		E' sufficiente provare che $\pgra{\a_1,\a_2,\dots}$ e' una
		catena:
\eal{&\pgra{\a_1,\a_2
}\T{ e' una catena, infatti, }
\a_i,\a_j,\;i<j \= h=i+h,\;\a_i\in \a_{i+1}\in \dots\in  \a_{i+h}
\ubrace{\>}{\see{OrdTrans}} \a_i\in  \a_{i+h}=\a_j 
}
	\end{prova}
\end{proof}

\def\w{{\omega }}
\begin{defn}
	\ilabel{SuccessioneOrdinali}
	Poniamo 
	\eal{&\a +1 }
Grazie al teorema \see{SuccEstOrd} possiamo considerare la seguente
successione di ordinali:
\eal{&
0\definizione{=} \0 \NN
1\definizione{=} 0+1=S0 = S\0=\0 \U \pgra{0}= \pqua{0} \NN
2\definizione{=} 1+1=S1 =  1\U \pgra{1} = \pgra{0, 1}\NN
3\definizione{=} 2+1=S2 = \pgra{0,1,2}\NN
\vdots\NN
n\definizione{=} (n-1)+1 = S(n-1) = \pgra{0,1,\dots,n-1}\NN
\vdots
}
Questi ordinali vengono chiamati \emph{ordinali finiti}, in quanto $|n| = n<
\8$. Gli ordinali non finiti si chiamano \emph{ordinali transfiniti}.
Indichiamo con $\Ord_\8$ la classe di tutti gli ordinali transfiniti.\\
Consideriamo  
\eal{&\omega \definizione{=} \bigcup_n n = \pgra{0,1,2,\dots} = \N
}
Per la \see{UnioneDiCatenaOrdinali}, $\omega \in \Ord$. Possiamo quindi
considerare la succesione di ordinali:
\eal{&\w,\w+1,\w+2,\dots\NN
2\w\definizione{=} \w +\w\definizione{=}\bigcup_{n\in \w} \w+n
}
Sempre per la $ \see{UnioneDiCatenaOrdinali}$, $\w+\w\in \Ord$. \\
E cosi' via\dots
\end{defn}
\begin{lem}\ilabel{NinAlpha}
Sia $\a\in \Ord $,
	\eal{&n\in \a \> 0,1,\dots,n-1\in \a }
\end{lem}
\begin{proof}
\eal{&
n=\pgra{0,1,\dots,n-1} \> n-i \in n \in  \a\in \Ord
\ubrace{\>}{\see{OrdTrans}} n-i\in \a
}
\end{proof}
\begin{prop}\ilabel{OmegaEstPiuPiccolo}
	$\omega\T{ e' il piu' piccolo ordinale transfinito}$, ovvero
	\eal{&\a\in \Ord_\8,\;\a\( \w \> \a=\w
	}
\end{prop}
\begin{proof}  
\eal{&|\a| =\8 \> \a \neq \0 \;\;(0)
}
\step{p0}{$0\in \a$}
\begin{prova}
\eal{&(0) \> \a \neq \0,\;\;\a \subset \omega
= \N  \> \exists n\in \a  \ubrace{\>}{\see{NinAlpha}} 0\in \alpha
}
\end{prova}
\step{p1}{$n\in \a \> n+1 \in \a$}
\begin{prova}
\eal{&|\a| =\8,\;|n|=n \> |\a\-n| = \8 \> \exists m
\in \a\-n\subset \w\NN
m\notin n,\;m\in \w \> m= \pgra{0,1,\dots, n,n+1,\dots,m-1} \in \a
\ubrace{\>}{\see{NinAlpha}} n+1\in \a
}	
\end{prova}
\qedstep
\begin{prova}
\eal{&\sref{p0},\;\sref{p1}  \ubrace{\>}{\T{def. di $\w$}} 
\w \( \a\NN
\sist{\a\(\w\\
\w\(\a } \> \a=\w
}	
\end{prova}
\end{proof}
\begin{thm}\ilabel{ainAlphaEstOrd}
	\eal{&\a\in \Ord \> \a\( \Ord }
	In altri termini:
	\eal{&\b\in \a \in \Ord \> \b\in \Ord}
\end{thm}
\begin{proof}
	Sia $\b\in \a$ e dimostriamo che $\b\in \Ord$
	\step{}{O1}
	\begin{prova}
		\eal{&\b\in \a \ubrace{\>}{\T{def. di insieme } } 
		\b\T{ e' un insieme }
		}
	\end{prova}
	\step{}{O2}
	\begin{prova}
	Sia $\g\in \b$ dimostriamo che $\g\( \b$. Sia $\d\in \g$, dimostriamo
	che $\d\in \b$:
	\eal{&\g\in \b\in \a  \ubrace{\>}{\see{OrdTrans}} 
	\g\in \a \in \Ord  \ubrace{\>}{O2}  \g\( \a\NN
	\d\in \g\in \a \> \d\in \a\NN
	\b,\g,\d\in \a,\;\;\d \lo \g \lo \b  \ubrace{\>}{(\a,\lo)\T{ ben
	ordinato}} \d\lo \b \= \d\in \b
}
	\end{prova}
	\step{}{O3}
	\begin{prova}
		\eal{&\b\in \a \ubrace{\>}{O2} \b\( \a
		\ubrace{\>}{(\a,\in)\T{ ben ordinato}} \> (\b,\in)\T{ ben
		ordinato}
		}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{thm}
	\ilabel{OrdSegmento}
	\eal{&\a\in \Ord,\;\;S\(\a\T{ segmento } \> S\in \Ord}
\end{thm}
\begin{proof}
	\step{}{O1}
	\begin{prova}
		\eal{&\a\in \Ord  \ubrace{\>}{O1}  \a\T{ insieme }\NN
		S\(\a,\;\a\T{ insieme }  \ubrace{\>}{\QUA{Oss2}{20}}  S\T{ insieme } 
		}
	\end{prova}
	\step{}{O2}
	\begin{prova}
Sia $\b\in S$ dimostriamo che $\b\( S$:\\
sia $\d\in \b$ dimostriamo che $\d\in S$.
\eal{&\d \in \b \= \d \lo \b ,\;\;S\T{ segmento }  \ubrace{\>}{(**)} 
\d \in S 
}
L'implicazione $(**)$ vale pero' se $\d\in \a$, perche' $S$ e' un segmento di
$\alpha$. Dimostriamo che $\d\in \a$:
\eal{&\d\in \b \in S \( \a  \ubrace{\>}{\see{OrdTrans}} 
\d\in \a
}
	\end{prova}
	\step{}{O3}
	\begin{prova}
\eal{&
S\( \a
		\ubrace{\>}{(\a,\in)\T{ ben ordinato}} \> (S,\in)\T{ ben
		ordinato}}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{thm}
	\ilabel{OrdConfronto}
	\eal{&\a,\b\in \Ord \> \a=\b \| \a\in \b  \|  \b\in \a}	
\end{thm}
\begin{proof}
	Supponiamo $\a \neq \b$ e dimostriamo $\a\in \b  \|  \b\in \a$.\\
	\step{p0}{Dimostriamo che 
	\eal{&1.\;\;\a\^\b \subset \a \> \a\^ \b \in \a\-\a\^\b\NN
2.\;\;	\a\^\b\subset \b \> \a \^ \b \in \b\-\a\^\b}
	\lineapiccola
	}
	\begin{prova}
Basta dimostrare la $1.$, la $2.$ si ottiene scambiando $\a$ con $\b$.
\eal{&\a\in \Ord \> (\a,\in )\;\;\T{ ben ordinato }\;\;(0)\NN
\a\^\b \subset \a,\;(\a,\in )\;\T{ b. o. } 
\> \exists \a' = \min_{\in} \a\-\a\^\b\;\;(1)\NN\NN
\a'\in \a\-\a\^\b\;\> \a'\in\a,\; \a'\notin \b\;(1.1)
		}	
		\step{p1}{$\a'=\a\^\b$}
		\begin{prova}
			\step{}{$\($}
			\begin{prova}
	\eal{&
	\d\in \a'\ubrace{\in}{(1.1)} \a \in \Ord  \ubrace{\>}{\see{OrdTrans}}
	\d\in \a\;\;\;(2)\NN
	\qq \> \a'\( \a\;\;\;(2.1)\NN
	\d \in \a' \= \d \lo \a'  \ubrace{=}{(1)}  \min \a\-\a\^\b
	\> \d \notin  \a\-\a\^\b  \ubrace{\>}{(2)} \d\in \a\-(\a\-\a\^\b
	)=\a\^\b\(\b \> \d\in \b\NN
				}
Quindi, $\d\in \a\^\b$
			\end{prova}
			\step{}{$\)$}
			\begin{prova}
\eal{&\d\in \a\^\b \> 
\d \in \a,\;\;\d\in \b\NN
\d\in \a,\;\a'\ubrace{\in}{(1.1)}\a
,\;(\a,\in)\T{ b.o } 
\> \d=\a' \| \d\in \a' \| \a'\in \d\;\;(3)\NN
\a'=\d\in \a\^\b \> \a' \in \b\T{ assurdo contro (1.1)}\;\;(3.1)\NN
\a'\in \d \in \b \in \Ord  \ubrace{\>}{\see{OrdTrans}} \a'\in \b \T{ assurdo
contro (1.1)}\;\;(3.2)\NN
(3),\;(3.1),\;(3.2) \> \d\in \a'
}
			\end{prova}
		\end{prova}
Possiamo cosi' dimostrare la $1.$:
\eal{&\a\^\b \ubrace{=}{\sref{p1}} \a' \ubrace{\in }{(1)} \a\-\a\^\b
	}
	\end{prova}
	\step{p2}{Si ha:
\eal{&\a\^\b= \b \;\| \;\a\^\b=\a }
	}
	\begin{prova}
	Infatti,
se per assurdo $\a\^\b\subset \b  \& \a\^\b\subset\a$:
\eal{&\a\^\b\subset \b  \& \a\^\b\subset\a  \ubrace{\>}{\sref{p0}} 
\a\^\b\in \pton{\a\-\a\^\b}\^\pton{\b\-\a\^\b}=\0 \;\;\T{ assurdo }
}
	\end{prova}
	Distinguiamo due casi
	\case{$\a\^ \b\subset \a$}
	\begin{prova}
		\eal{&\a\^ \b\subset \a  \ubrace{\>}{\sref{p2}} 
		\a\^\b= \b\NN
		\a\^ \b\subset \a  \ubrace{\>}{\sref{p0}}
			\b=\a\^\b \in\a\-\a\^\b\( \a  \> \b\in \a
		}	
		che e' quello che volevamo dimostrare.
	\end{prova}
	\case{$\a\^\b = \a$}
	\begin{prova}
		\eal{&\a\^\b = \a  \ubrace{\>}{\sref{p2}} 
		\a\^\b \subset \b  \ubrace{\>}{\sref{p0}} 
		\a=\a\^\b\in \b\-\b\^\a \( \b\> \a\in \b
		}	
		che e' quello che volevamo dimostrare.
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{cor}
	\ilabel{O2Forte}
Siano $\a,\b\in \Ord$ 
\eal{&\b\subset \a \= \b\in \a}
In particolare,
\eal{&\b\(\a \= \b\leo \a}
\end{cor}
\begin{proof}
	\BEGINsufficiente
	\eal{&\b\in\a\in \Ord  \ubrace{\>}{O2} \b\( \a
	\NN
	\a=\b\> \b\in \a =\b \> \b\in\b\T{ assurdo contro \QUA{Oss8}{21}}\;\;(1.1)
	}
	Quindi $\b\subset \a $
	\END
	\BEGINpnecessaria
	\eal{&\a,\b\in \Ord  \ubrace{\>}{\see{OrdConfronto} }
	\a=\b \| \a\in \b \| \b\in \a
	\ubrace{\>}{\a \subset \b} \a\in \b \| \b\in \a\;\;(1)\NN
	\a\in \b  \ubrace{\>}{O2}\a\( \b \subset \a 
	\> \a\subset \a \T{ assurdo }\;\;(2)\NN
	(1),\;(2) \> \b\in \a 
	}
	\END
\end{proof}
\begin{prop}
\ilabel{BetaInAlphaEstSegmento}
	\eal{&\b\in \a\in 
	\Ord \> \b\T{ e' un segmento di }(\a,\in)}
\end{prop}
\begin{proof}
	\eal{&\b\in\a\in\Ord  \ubrace{\>}{\see{OrdTrans}} 
	\b\( \a
	}
	Sia $\d \in \b$, $\g\in \a$ e $\g\lo \d$, dimostriamo che $\g\in \b$:
	\eal{&\b\in \a\in \Ord  \ubrace{\>}{\see{ainAlphaEstOrd}} \b\in
	\Ord\NN
\g\lo \d \= \g\in \d\NN
\g\in \d\in \b \in \Ord  \ubrace{\>}{\see{OrdTrans}} \g\in \b
	}
\end{proof}
\begin{cor}
	\ilabel{AlphaBetaIsomAlloraUguali}
	\ilabel{AlphaIsomBetaAlloraUguali}
	Siano $\a,\b\in \Ord$
	\eal{&(\a,\in) \simeq (\b, \in) \> \a=\b
	}
\end{cor}
\begin{proof}
	\eal{&\a,\b\in \Ord  \ubrace{\>}{\see{OrdConfronto}} 
	\a=\b \| \a\in \b \|  \b\in \a
	}
	\case{$\a=\b$}
	\begin{prova}
		La tesi e' vera.
	\end{prova}
	\case{$\a\in \b  \|  \b\in \a$}
	\begin{prova}
		\eal{&\a\in \b  \|  \b\in \a
		\ubrace{\>}{\see{BetaInAlphaEstSegmento} }
		\a\T{ segmento di } \b  \| \b\T{ segmento di }\a\;\;(1)\NN
		(1),\;\a\simeq \b
		\ubrace{\>}{\see{SsegmentoAisomorfoAalloraSestA} } 
		\a=\b
		}
		quindi la tesi e' vera.
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{prop}
\ilabel{UnioneIntersezioneEstOrd}
\eal{&\pgra{\a_i}_{i\in I}\( \Ord \> \bigcap_{i\in I}
\a_i,\;\bigcup_{i\in I}\a_i\in \Ord}
\end{prop}
\begin{proof}
\step{}{$\bigcap$}
	\begin{prova}
		\step{}{$O1$}
		\begin{prova}
	Intersezione di insiemi e' un insieme.		
		\end{prova}
		\step{}{$O2$}
		\begin{prova}
			\eal{&\b\in \bigcap_{i\in I}
			\a_i\> \b\in \a_i\in \Ord \;\forall i  \ubrace{\>}{O2}
			\b\(\a_i\;\forall i \> \b\( \bigcap_{i\in I}
                        \a_i
			}
		\end{prova}
		\step{}{$O3$}
		\begin{prova}
\eal{&\bigcap_{i\in I}
                        \a_i \( \a_i,\;\;(\a_i,\in )\;b.o. \> 
			\pton{\bigcap_{i\in I}
			\a_i,\; \in)}\T{ e' ben ordinato}
			}
		\end{prova}
	\end{prova}
	\step{}{$\bigcup$}
	\begin{prova}
		\step{}{O1}
		\begin{prova}
			Unione di insieme e' un insieme.
		\end{prova}
		\step{}{$O2$}
		\begin{prova}
	\eal{&\b\in \bigcup_{i\in I}
			\a_i\> \exists i:\;\b\in \a_i\in \Ord  \ubrace{\>}{O2}
			\b\(\a_i\(  \bigcup_{i\in I}
                        \a_i
			}
		\end{prova}
		\step{}{$O3$}
		\begin{prova}
Dimostriamo che $S=\bigcup_{i\in I}
                        \a_i
$ e' ben ordinato secondo $\in$ utilizzando direttamente la definizione
\see{DefBenOrdinato}.
\step{}{B1}
\begin{prova}
	Siano $\a,\b\in S$. Se per assurdo $\a\in \b \& \b\in \a$, allora:
	\eal{&\a,\b\in S \> \a\in \a_i\in \Ord,\;\b\in \b_j\in \Ord  
	\ubrace{\>}{\see{ainAlphaEstOrd}} \a,\b\in \Ord\NN
	\a\in \b\in \a \in \Ord  \ubrace{\>}{\see{OrdTrans}} 
	\a\in \a\T{ assurdo}
	}
\end{prova}
\step{}{B2}
\begin{prova}
	Sia $
	\0 \neq A\( S$. Dimostriamo che $\exists \min_{\in} A$.
	\eal{&\0 \neq  A \( S = \bigcup_{i\in I}\a_i \> \exists i:\;A\^
	\a_i \neq \0  \ubrace{\>}{(\a_i,\in)\T{ b.o.} } 
	\exists \b=\min_{\in}A\^\a_i\;\;(1)\NN
	\b\in A\^\a_i \> \b\in \a_i\in \Ord  \ubrace{\>}{\see{ainAlphaEstOrd}
	} \b\in \Ord \;\;(2)
	}
	\step{}{$\b=\min_{\in} A$}
	\begin{prova}
		Sia $\g\in A\-\pgra{\b}$, dimostriamo che $\b \lo \g$.
		\eal{&\g\in A \( S=\bigcup_{i\in I} \a_i \> \g\in \a_j \in
		\Ord  \ubrace{\>}{\see{ainAlphaEstOrd} } \g\in \Ord\NN
		\g,\b\in \Ord,\;\g \neq \b  \ubrace{\>}{\see{OrdConfronto}}
		\g\in \b  \|  \b\in \g\;\;(3)\NN
		\T{Supp. per assurdo che } \g\in \b:\NN
		\qq \b=\min A\^ \a_i \> \b\in \a_i\NN
\qq 		\g\in \b\in \a_i \> \g\in \a_i \NN
\qq 		\g\in A \> \g\in A\^\a_i \> \b=\min A\^\a_i \in \g\NN
\qq 	\b\in \g,\;\g\in \b \> \b\in\b\T{ assurdo}\;\;(3.1)\NN
		(3),\;(3.1) \> \b\in \g\= \b\lo \g
		}
	\end{prova}
\end{prova}
		\end{prova}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{prop}\ilabel{Ordcccdf}
	\ilabel{OrdBenOrdinato}
	\eal{&1.\;\;\T{In $(\Ord,\in)$ vale la $c.c.d.f$}\NN
	2.\;\;\0 \neq C\( \Ord \> \exists \min_{\in}C\NN
	3.\;\;(\Ord ,\in ) \T{ e' ben ordinato}
	}
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{}
	\begin{prova}
	Se cosi' non fosse si avrebbe una catena infinita di ordinali:
	\eal{&\a_0\ni\a_1 \ni \a_2 \ni \dots}
	ma ogni $\a_i$ e' un insieme. Assurdo contro \QUA{thm17}{23}
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		\eal{&1.  \ubrace{\>}{\see{CCDFestMinimale}}
		\exists c\in C\T{ minimale di }C\;\;(*) \NN
		\a  \neq c\in C\(\Ord  \ubrace{\>}{\see{OrdConfronto}}
		\a \lo c  \|  c\lo \a  \ubrace{\>}{(*)} c\lo a\NN
		\qq \> \forall \a\in C\-\pgra{c}\;c\lo a \> c=\min_{\in }C
		}
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		Usiamo la definizione \see{DefBenOrdinato}.
		\step{}{B1}
		\begin{prova}
			Siano $\a,\b\in \Ord $. Se per assurdo $\a\in \b,\b\in
			\a$, allora
			\eal{&\a\in\b\in \a\in \Ord
			\ubrace{\>}{\see{OrdTrans} }\a\in \a\T{ assurdo }
			}
		\end{prova}
		\step{}{B2}
		\begin{prova}
			Per la $2.$
		\end{prova}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{thm}\ilabel{OrdNonEstInsieme}
	$\Ord$ non e' un insieme
\end{thm}
\begin{proof}
	Se per assurdo lo fosse, grazie al \see{OrdBenOrdinato} e alla
	\see{ainAlphaEstOrd}, $\Ord$ sarebbe un ordinale e quindi
	\eal{&\Ord\in \Ord}
	assurdo contro \QUA{Oss8}{21}.
\end{proof}
\begin{prop}\ilabel{OrdSuccessivoEstIniettivo}
	Siano $\a,\b\in \Ord$
	\eal{& S\a =S\b \> \a=\b}
\end{prop}
\begin{proof}
\eal{& S\a =S\b  \= 
\a\U\pgra{\a}=\b\U\pgra{\b}\;\;(*)
	}
	Se per assurdo $\a \neq \b$, allora
	\eal{&\a\in S\a = S\b  \ubrace{\>}{(*),\;\a \neq \b} \a\in \b\NN
	\b\in S\b=S\a \ubrace{\>}{(*),\;\a \neq \b}\b\in \a\NN
	\b\in\a\in\b\in\Ord \> \b\in \b\T{ assurdo.}
	}
\end{proof}
\subsection{Ordinali limite}
\def\l{{\lambda}}
\begin{defn}\ilabel{DefOrdinaleLimite}
	$\l\in \Ord$ e' un \iemph{ordinale limite} $\definizione{\=}$
	$\nexists \a\in \Ord:\;\l=S\a$.
\end{defn}
\begin{prop}\ilabel{UnicoPrecImmediato}
	Se $\b$ non e' un ordinale limite, allora esiste un unico $\a\in
	\Ord:\;\b=S\a$.\\
	$\a$ si chiama il \iemph{precedente immediato} di $\b$.
\end{prop}
\begin{proof}
	Basta applicare la \see{OrdSuccessivoEstIniettivo}.
\end{proof}
\begin{prop}\ilabel{OrdLimMax}
	\eal{&1.\;\;\exists \a:\;\b=S\a \> \exists \;\max_{\in} \b=\a\NN
	2.\;\;\nexists \max_{\in}\b \> \b\T{ e' un ordinale limite }
	}
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		\eal{&\b=S\a= \a\U\pgra{\a}\NN
(		\d\in \a \= \d\lo \a) \>\a = \max S\a
		}
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		La contronominale della $1.$
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{prop}\ilabel{AlcuniOrdinaliLimite}
	\eal{&0,\w,2\w,3\w,\dots,n\w,\dots}
sono ordinali limite.
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{0}
	\begin{prova}
Se per assurdo $0=S\a$, allora
\eal{&\0 =0= \a\U\pgra{\a}\> \a\in \0  .\;\;\T{ assurdo }}
	\end{prova}
	\step{}{$\w$}
	\begin{prova}
		\eal{&\w=S\a =\a\U\pgra{\a}\>\a\in \w  \ubrace{\>}{\T{def. di
		$\w$}}  S\a\in \w \= \w\in\w \T{ assurdo}
		}
	\end{prova}
	\step{}{$n\w$}
	\begin{prova}
	Analogamente al passo predente.
	\end{prova}
\end{proof}
\def\l{{\lambda}}
\begin{thm}
	\ilabel{OrdPeano}
Sia $\l$ un ordinale limite, allora, $(\Ord, \lambda, +)$ soddisfano i primi
$4$ assiomi di Peano, ovvero
\eal{&1.\;\;\l\in\Ord\NN
2.\;\;\a\in \Ord \> S\a=\a+1\in \Ord\NN
3.\;\;S\a=S\b\> \a=\b\NN
4.\;\;\nexists \a\in \Ord:\;\;\l=S\a}
Il $5.$ assioma\foonote{l'assiome di induzione} non vale: non e' vero che
\eal{&\l\in M\( \Ord,\;\pton{\b\in M \> S\b \in M} \> M=\Ord
}
\end{thm}
\begin{proof}
Basta applicare la definizione \see{DefOrdinaleLimite}, la \see{SuccEstOrd} e
la \see{OrdSuccessivoEstIniettivo}.\\
\step{}{Il $5.$ assioma non vale}
\begin{prova}
	Come controesempio poniamo $\lambda=0,\;M=\w$.\\
	$M$ soddisfa, per costruzione, l'Hp del $5.$ assioma, ma $\w  \neq
	\Ord$, perche' $\w+1\in \Ord$.
\end{prova}
\end{proof}
\begin{prop}
	\ilabel{BetaInOrdLimiteAlloraSuccBetaInOrdLim}
	Sia $\l$ un \uline{ordinale limite}, allora
\eal{&\b\in \l \> S\b\in \l
	}
\end{prop}
\begin{proof}
	\eal{&\b\in \l  \ubrace{\>}{O2} \b \subset \a \NN
	\b\in \a,\;\b\subset \a \> S\b=\b\U\pgra{\b}\( \a\NN
	\a\T{ ordinale limite } \> S\b \neq \a \> S\b\subset \a \NN
	\b\in \l\in \Ord  \ubrace{\>}{\see{ainAlphaEstOrd}} \b\in \Ord\NN
	\qq \ubrace{\>}{\see{O2Forte} } S\b\in \a
	}
\end{proof}

\subsection{Ordinali e Insiemi Ben Ordinati}
\begin{thm}\ilabel{ThmFondamentaleOrdinali}
	\ilabel{OrdinaleEstInsiemeBO}
	\eal{&1.\;\;(A,<)\;\T{ ben ordinato } \> \exists !\ove A \in
	\Ord:\;\;(\ove A,\in ) \simeq (A,<)\NN
	2.\;\; A,A'\T{ ben ordinati, } A\simeq A' \>  \ove A = \ove {A'}
	}
	Quindi ad ogni classe di equivalenza di insiemi ben ordinati
	corrisponde uno ed uno solo ordinale. Questo ordinale e' esso stesso
	un insieme ben ordinato e fa parte della classe di equivalenza. In
	altre parole, $\ove A$ e' un rappresentante della classe di
	equivalenza $A$. Inoltre, per la $2.$, $\ove \cdot$  e' proprio una
	funzione,
	ovvero, ad ogni classe di equivalenza associa uno ed un solo
	rappresentante.\\

	$	\ove A$ e' chiamato il \iemph{tipo d'ordine} di $A$.
\end{thm}
\begin{proof}
	\step{}{}
	\begin{prova}
	\pfsketch{In questa dimostrazione gioca un ruolo fondamentale il
	teorema \see{BenOrdinatiImmersione} e la stretta relazione che 
	che sussiste tra i segmenti e gli ordinali
	(\see{BetaInAlphaEstSegmento}, \see{OrdSegmento}}

	\eal{&\T{Sia } a=\min_{<} A \> \pgra{a}\( A \T{ segmento } \NN
(	\pgra{a},<) \simeq (1,\in )\;\;(*)
	}
	dove $1$ e' l'ordinale $1$.
	\eal{&\T{Sia } I =\pgra{s\( A\T{ segmento } \;|\;
	\exists \a\in \Ord:\;(s,<)\simeq (\a,\in)}\NN
	(*) \> I \neq \0\NN
	i\in I \> \exists ! \a_i\in \Ord:\;i\simeq\a_i,\T{ infatti:
	}\;\;(1)\NN
	\qq \a_i\simeq i \simeq \a_i' \> 
	\a_i  \simeq\a_i'  \ubrace{\>}{\a_i,\a_i'\in
	\Ord,\;\;\see{AlphaIsomBetaAlloraUguali} }
	\a_i=\a_i'\NN
	\T{Sia } \a= \bigcup_{i\in I}\a_i
	\ubrace{\in}{\see{UnioneIntersezioneEstOrd}}\in \Ord\;\;(2)\NN
	\a\in \Ord  \ubrace{\>}{\see{SuccEstOrd}}  S\a \in \Ord\;\;(2.1)\NN
	(2.1)  \ubrace{\>}{O3}  (S\a,\in ) \T{ ben ordinato }\;\;(2.2)\NN
	(A,<)\T{ b.o,  } (2.2)  \ubrace{\>}{\see{BenOrdinatiImmersione}} 
	 (A,<) \immerso (S\a,\in )  \|  
	  (S\a,\in ) \immerso (A,<)\;\;(3)
	}
	Supponiamo per assurdo che $(S\a,\in ) \immerso (A,<)$, allora
\eal{&
 (S\a,\in ) \immerso (A,<) \= \exists B\( A\T{ segmento: }
 ( S\a,\in ) \simeq (B , <)\NN
 \qq  \ubrace{\>}{\T{def. di $\a$ }} 
 S\a \( \a \> \a \subset S\a \( \a \> \a\subset \a \T{ assurdo }
}
Quindi, per la $(3)$, l'unico caso possibile e' $ (A,<) \immerso (S\a,\in )$,
e si ha:
\eal{& (A,<) \immerso (S\a,\in )
\= (A,<) \simeq (\b,\in),\;\T{ con } \b\( S\a\T{ segmento } 
\ubrace{\>}{S\a\in \Ord, \see{OrdSegmento} }
\b\in \Ord \NN
\> A\simeq\b\in \Ord 
}
L'unicita' di $\b$ segue dal thm \see{AlphaIsomBetaAlloraUguali}
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		Segue dalla $1.$ e dal thm \see{AlphaIsomBetaAlloraUguali}.
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{thm}
di induzione su $\Ord$.\\
\ilabel{InduzioneSuOrd}
Sia $C\( \Ord$,
\eal{&\sist{
1.\;\;0\in C\\
2.\;\;\a\( C \> \a \in C}
\> C=\Ord}
\end{thm}
\begin{proof}
Applichiamo il thm \see{InduzioneTransfinita}
\eal{&\T{Sia } M=\Ord\NN
(\Ord, \in ) \T{ e' ben ordinato (\vedi{OrdBenOrdinato})}\NN
\min_{\in}\Ord = 0 \ubrace{\in}{2.} C\NN
M_\a=\pgra{ \b\in M \;|\; \b\lo \a }=
\pgra{\b\in \Ord \;|\;\b\in \a}=\a \NN
M_\a \( C \= \a\( C  \ubrace{\>}{3.}   \a\in \C
}	
Quindi applicando il thm \see{InduzioneTransfinita}, con $M=\Ord,\;I=C$, si ha
la tesi.
\end{proof}
\begin{thm}
	\ilabel{InduzioneSuOrdII}
di induzione su $\Ord$ (seconda versione).\\
Sia $C\( \Ord$,
\eal{&\sist{
1.\;\;0\in C\\
2.\;\;\a\in C \> S\a \in C\\
3.\;\;\l\T{ ordinale limite, } \l\( C \> \l\in C
}
\> C=\Ord}
\end{thm}
\begin{proof}
	Utilizziamo il thm \see{InduzioneSuOrd}. Basta provare che vale la
	$2.$: supponiamo  $\a\( C$ e dimostriamo $\a\in C$. Distinguiamo pero'
	due casi:
	\case{$\a=S\b$}
	\begin{prova}
		\eal{&\b\in S\b=\a \( C \> \b\in C  \ubrace{\>}{3.} 
		S\b\in C \= \a\in C
		}
	\end{prova}
	\case{$\a=\l$ ordinale limite}
	\begin{prova}
		\eal{&\l\T{ ord. lim.,\; } \l=\a\( C \ubrace{\>}{{4.}} 
\l\in C\= \a\in C}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{prop}\ilabel{AlphaInOrdAlloraAlphaLessEqualF(Alpha)}
	Sia $F:(\Ord,\in ) \longrightarrow  (\Ord,\in ) $ un omomorfismo
	(\vedi{DefOmomorfismoOSET}), allora
\eal{&\a\in \Ord \> \a\leo F(\a)	}
dove $\a\leo \b \=\a\in \b  \|  \a=\b$
\end{prop}
\begin{proof}
	\eal{&\a,\b \in \Ord,\;\a\in \b  \ubrace{\>}{ F\T{ omomorfismo }}
	F(\a)\in F(\b)\;\;(1)}
Procediamo per induzione (applicando il \see{InduzioneSuOrd}):
\eal{&\T{Sia } C=\pgra{\a\in \Ord \;|\; \a\leo F(\a)
}\NN
0=\min_{\in} \Ord  \> 0 \leo \a\;\;\forall \a\in \Ord
\ubrace{\>}{F(0)\in \Ord}  0 \leo F(0)\NN
\qq \> 0\in C\NN
\T{Sia } \a\( C\T{ dimostriamo che } \a\in C\= \a\leo F(\a): \NN
\qq \a\( C \= \forall \b\in \a \;\;\b\leo F(\b) \;\;(2)\NN
\qq \b\in \a \= \b\lo \a  \ubrace{\>}{(1)} F(\b) \lo F(\a) \;\;(3)\NN
\qq (2),(3) \> 
\b \lo F(\a) \;\;\forall \b\in \a  
\= 
\b \in F(\a) \;\;\forall \b\in \a  
\= \a \( F(\a)\NN
\qq \qq \a =F(\a) \> \a\leo F(\a) \> \a\in C\NN
\qq \qq \a \subset F(\a)  \ubrace{\>}{\a,F(\a)\in \Ord,\;\see{O2Forte}} 
\a \in F(\a) \= \a\lo F(\a) \> \a\in C
}
\end{proof}
\begin{defn}
	\ilabel{DefOperazioniOrdinali}
Siano $\a,\b\in \Ord$, e siano $(A,<_A),(B,<_B)$ insiemi ben ordinati tali che
$\ove{(A,<_A)}=\a,\;\ove{(B,<_B)} =
\b,\;A\^ B=\0$, dove $\ove A$ e' l'ordinale definito in
\see{ThmFondamentaleOrdinali} (nota\footnote{
sostanzialmente, $A$ si puo' pensare come l'insieme $\a$ con gli elementi
rinominati, in modo che $A\^B=\0$.
}).\\
Definiamo cosi' la somma tra $\a$ e $\b$:
\eal{&\a+\b\definizione{=} \ove{(A\U B,<)}\NN
\T{ dove } < \T{ e' la seguente relazione: } 
x<y \definizione{\=} (
(x,y\in A,\;x<_A y )  \| 
(x,y\in B,\;
x<_B y )
 \|  
(x\in B,\;y\in A)\NN
\T{Ovvero, gli elementi di $A$ sono minori di quelli di $B$, e gli elementi di
$A$ si confrontano usando $<_A$}
}
e definiamo il prodotto:
\eal{&\a\b\definizione{=}\ove{(\a\* \b,<)}\;\;\T{ ( prodotto cartesiano )},\NN
\T{ dove } < \T{ e' la seguente relazione: } 
(x,y)<(x',y') \definizione{\=} (
x<_\a x')  \| ( x=x',\;y <_{\b} y')\NN
\T{Ovvero, $<$ e' l'ordinamento lessicografico (quello del dizionario)}
}
\end{defn}
\def\.{{\cdot}}
\begin{prop}
	\eal{&1.\;\;\T{ Le definizioni di somma e prodotto sono ben poste}\NN
	2.\;\;\a,\b\in \Ord \T{ sono finiti } \> \a+\b,\;\a\.\b\T{ coincidono
	con le usuali operazioni aritmetiche}\NN
	3.\;\;\T{$+$ e $\.$ coincidono con le definizioni date in \see{SuccessioneOrdinali} }\NN
	4.\;\; \T{Per gli ordinali transfiniti, $+,\.$ sono associative ma non commutative }
}
\end{prop}
\begin{proof}
	Nota: scrivendo $A=\pgra{a_0,\dots,a_n,\dots}$ intediamo che la
	relazione $<_A$ e' tale che
	\eal{&a_0<_A a_1 <_A \dots
	}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		Bisogna fare vedere che $+$ non dipende dalla scelta di $A,B$,
		ovvero che
		\eal{&\ove { A' } =\ove {A} =\a,\;
		\ove { B' } =\ove {B} =\b \> (A'\U B',<) \simeq ( A\U B,<)
		}
		(questo e' vero perche' $A,B$ sono sostanzialmente una
		rinominazione di $\a,\b$).\\
		E dopo basta far vedere che $(A\U B,<)$ e $(\a\*\b, <) $ sono ben
		ordinati.\\
		Questo e' semplice, perche'
		\eal{& \0 \neq C\( A\U B \> \min C = \sist{\min_{<_A} A\^C & A\^C
		 \neq \0\\
		 \min_{<_B} B\^C & A\^C=\0 
		 }\NN
		 \0  \neq C=C_1\*C_2\( \a\*\b 
		 \> \min C = 
		 \pton{\min_{<_\a} C_1, \min_{<_\b} C_2}
}
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		\eal{&
		|\a| <\8 \> \a=n\;\;\T{ con } n\in \w\NN
		\a= \ove{A},\;\T{ con } A=\pgra{a_0,a_1,\dots,a_{n-1}}\NN
		\b=\ove{B},\;\;\T{ con } B=\pgra{b_0,\dots,b_{m-1}}\NN
		\a+\b= \ove{A\U B } = \ove{\pgra{a_0,a_1,\dots,a_{n-1},
		b_0,\dots,b_{m-1}}}=n+m 
		}
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		Si procede ragionando come prima:
		\eal{&
		\a= \ove{A},\;\T{ con } A=\pgra{a_0,a_1,\dots}\NN
		1=\ove{B},\;\;\T{ con } B=\pgra{b_0}\NN
		\a+1= \ove{A\U B } = \ove{\pgra{a_0,a_1,\dots, b_0}}=
		\ove{A\U\pgra{A}} = \ove {S(A)}  = S\a
		}
		analogamente si procede per gli altri casi.
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		Dimostriamo che non vale la commutativa per $+$:
		\eal{&\w+n = \ove{\pgra{a_0,a_1,\dots}\U
		\pgra{b_0,\dots,b_{n-1}}}
		=\ove{\{a_0,a_1,\dots,b_0,\dots,b_{n-1}\}}= 
		\pgra{0,1,\dots,\w,\w+1,\dots,\w+n-1}\NN
		n+\w =  \ove{
                \pgra{b_0,\dots,b_{n-1}}\U
		\pgra{a_0,a_1,\dots}}
		=\ove{\{b_0,\dots,b_{n-1}, a_0,a_1,\dots\}}=
		\w\NN
		\qq \> n+\w  \neq \w+n
		}
		Non vale neanche per $\.$:
		\eal{&\w 2 = \ove{
		\pgra{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1), (2,0),(2,1),\dots}}=
		\w \NN
		2 \w = \ove{ \pgra{(0,0),(0,1),(0,2),\dots,
		(1,0),(1,1),(1,2),\dots}}
		= \pgra{0,1,\dots,\w,\w+1,\w+2,\dots}\NN
		\qq \> \w 2  \neq  2\w
		}
	\end{prova}
\end{proof}
\subsection{Cardinali}
\def\Cardi{\Card_{\8}}
\def\lec{\precsim}
\def\lce{\precsim}
\def\gec{\succsim}
\def\lcne{\precnsim}
\def\gcne{\succnsim}
\def\card#1{{\norm{#1}}}
\begin{defn}\ilabel{DefCardinali}
	Definiamo la classe di tutti i \iemph{cardinali}:
	\eal{&\Card \definizione{=} \pgra{ \a\in \Ord \;|\; \pton{\b\in \a \>
	\b\not\sim \a}}
}
dove con $\b\not\sim \a $ intendiamo che $\b$ non e' equipotente ad $\a$
(vedi \QUA{Def1}{4}).\\
Definiamo la classe di tutti i cardinali transfiniti (ovvero, cardinali non
finiti):
\eal{&\Cardi\definizione{=}\Card \- \w =\pgra{\a\in \Card\;|\;\a\notin \w} 
}
Sia $\a \in \Ord$, definiamo il \iemph{numero cardinale} di $\a$:
\eal{&[\a]_\sim \definizione{=} \pgra{\b\in \Ord \;|\; \b\sim \a}
\NN
\norm \a \definizione{=} \min_{\in} \pgra{\b\in \Ord \;|\; \b\sim \a}
= \min_\in [\a]_\sim
}
Nota: il minimo esiste per la \see{OrdBenOrdinato}.
\end{defn}
\begin{exemp}
	\ilabel{AlcuniCardinali}
	\eal{&n,\;\w \in \Card\NN
	\w+n,\;\w+\w\notin \Card}
\end{exemp}
\begin{proof}
	Per definizione $n,\;\w \in \Card$. Invece,
	\eal{&\w+n=\pgra{0,1,\dots,\w,\w+1,\dots,\w+n-1}
	\sim \w \> \w+n \notin \Card\NN
	\w+\w=\bigcup_{n\in \w}\w+n \sim \w \;\;\;{\T{Unione di numerabili e'
	un insieme numerabile, vedi \QUA{Oss7}{6}}} 
	}
\end{proof}
\begin{prop}
	\ilabel{PropCardinali}
	Si ha:
	\eal{&1.\;\;\a\in\Card,\;\b\in \Ord \> \pton{\b\in \a \= \b \lcne \a}\NN
	2.\;\;\a \neq \b\in \Card \;\>\; \a\nsim \b
	}
	In altre parole, la $1.$ afferma che un cardinale possiede tutti e
	solo gli ordinali strettamente piu' piccoli in potenza.
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		\BEGINpnecessaria
		\eal{&\b\in \a\in \Ord  \ubrace{\>}{O2} \b\(\a\NN
		\b\in \a \in \Card  \ubrace{\>}{\T{def. di $\Card$}}\b\nsim
		\a\NN
		\qq  \ubrace{\>}{\T{def. di $\lce$}} \b\lcne \a\NN
		}
		\END
		\BEGINsufficiente
		\eal{&\b \lcne \a \> \sist{\b\lce \a \\ \b\nsim \a }\;\;(1)\NN
\b,\a\in \Ord  \ubrace{\>}{\see{OrdConfronto}} 
\b=\a \| \a\in \b \|  \b\in \a  \ubrace{\>}{\b\nsim \a 
} \a\in \b \|  \b\in \a\;\;(2)\NN
\T{Se per assurdo }\a\in \b:\NN
\qq \a\in \b \in \Ord  \ubrace{\>}{O2} \a\( \b \> \a \lce \b\NN
\qq \a\lce \b,\;\b\lce \a  \ubrace{\>}{\QUA{22.1}{12}} \b\sim \a \T{ assurdo
}\NN
\ubrace{\>}{(2)}  \b\in \a
}
		\END
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		\eal{&\a \neq \b,\;\a,\b\in \Ord
		\ubrace{\>}{\see{OrdConfronto}} \a\in \b \| \b\in \a
		}
		Se per assurdo $\a\sim \b$, allora
\eal{&
\a\sim \b,\;\a\in \b \> \b\notin \Card\NN
\a\sim \b,\;\b\in \a \> \a\notin \Card
		}
		In ogni caso si ottiene un assurdo.
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{prop}
	Siano $\a,\b\in \Ord$,
	\ilabel{PropNumeriCardinali}
	\eal{&1.\;\;\card \a \in \Card \NN
	2.\;\;\card \a \leo \a\NN
	3.\;\;\card \a = \a \= \a\in \Card \NN
	4.\;\;\b\lce \a \= \card \b\leo \card \a\NN
	5.\;\;\a\sim \b \= \card \a  = \card \b
	}
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		\eal{&\card {\a } \definizione{=} 
 \min_\in [\a]_\sim=
		\min_\in \pgra{\b\in \Ord \;|\;\b\sim \a}
		\;\;(1)\NN
		\b \in \card {\a } \= \b \lo \card \a=\min [\a]_\sim  \ubrace{\>}{(1)} 
		\b \notin [\a]_\sim \= \b\nsim \a
		\ubrace{\>}{\card \a \sim \a } \b \nsim \card \a\NN
		\pton{ \b \in \card {\a } \> \b\nsim\card \a }
		\> \card \a\in \Card
		}
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		\eal{&\card \a, \a \in \Ord  \ubrace{\>}{\see{OrdConfronto}}
		\card \a = \a  \|  \card \a \in\a  \| \a \in \card \a\NN
		\T{Se per assurdo }  \a \in \card \a,\T{ allora}\NN
\qq \a\in \card \a \= \a\lo \card \a = \min_\in [\a]_\sim \> \a\notin
[\a]_\sim \= \a\nsim \a \T{ assurdo }
}
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		\BEGINpnecessaria
		Segue dalla $1.$
		\END
		\BEGINsufficiente
	Supponiamo per assurdo $\a \neq \card \a $
	\eal{&\a \neq \card \a \in \Card  \ubrace{\>}{\see{PropCardinali}} 
\a\nsim \card \a\NN
\T{Assurdo contro } \card \a\in [\a]_\sim
}
		\END
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		\BEGINpnecessaria
		\eal{&\card \b,\card \a \in \Ord
		\ubrace{\>}{\see{OrdConfronto}} 
		\card \b=\card \a \| 
		\card \b\in\card \a \| 
		\card \a\in\card \b
		}
		Supponiamo per assurdo che $\card \a\in\card \b$, 
\eal{&\card \a \lo \card \b = \min_\in [\b]_\sim \> \card \a \nsim \b\sim
\card \b\> \card \a \nsim \card \b\NN
\card \a \in \card \b\in \Ord  \ubrace{\>}{O2} 
\card \a \( \card \b\NN
\qq \> \card \a \lcne \card \b\;\;(4)\NN
(4),\; \b \lce \a  \> \a \sim \card \a \lcne \card \b   \lce \a 
\> \a\lcne \a.\T{ Assurdo}
	}
		\END
	\BEGINsufficiente
	\eal{&\card \b \leo \card \a\in\Ord  \ubrace{\>}{O2} 
	\card \b \( \card \a \> \card \b\lce \card \a\NN
	\b\sim \card \b \lce \card \a \sim \a \> \b \lce \a 
	}
	\END
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		\BEGINpnecessaria
		\eal{&\a\sim \b  \ubrace{\>}{\T{per def. di $\card{}$}}
\card \a \sim \a \sim \b\sim \card \b
\> \card \a \sim \card \b \;(1)\NN
\card \a \in \Ord, \;\card \a\sim \b \> \card \a \in [\b]_\sim 
\ubrace{\>}{2.} \card \b= \min [\b]_\sim  \leo  \card \a \;\;(2)\NN
\T{Analogamente } \card \a= \min [\a]_\sim  \leo  \card \b\;\;(3)\NN
(2),(3) \> \card \a \leo \card \b \leo \card \a \> \card \a=\card \b
}
		\END
		\BEGINsufficiente
\eal{&\a\sim \card \a = \card \b \sim \b
		}
		\END
	\end{prova}

\end{proof}
\begin{prop}\ilabel{UnioneCardinaliEstCardinale}
	\eal{&\pgra{\b_i}_{i\in I}\( \Card \> \bigcup_{i\in I}\b_i \in \Card }
\end{prop}
\begin{proof}
	\eal{&\T{Sia }\g = \bigcup_{i\in I}\b_i \NN
	\b_i\in \Ord  \ubrace{\>}{\see{UnioneIntersezioneEstOrd}} \g\in \Ord
	\NN
	\T{Supponiamo per assurdo che $\g\notin \Card$}\NN
	\g \in \Ord \-\Card  \ubrace{\>}{\see{PropNumeriCardinali}} 
	\card \g \lo \g 
	\= \card \g \in \g \> 
	\exists i:\;\card \g \in \b_i\= \card \g \lo \b_i\;\;(1)\NN
	\b_i\in \Card  \ubrace{\>}{\see{PropNumeriCardinali}} \card {\b_i}=\b_i\;\;(2)\NN
	\b_i \( \g  \ubrace{\>}{\see{PropNumeriCardinali}} 
	\card {\b_i} \leo  \card \g \;\;(3)\NN
	(1),(2),(3) \> \card \g \lo \b_i =\card {\b_i} \leo \card \g \> 
	\card \g \lo \card \g.\;\;\T{ Assurdo}
	}
\end{proof}
\def\ocar#1{{\card {\ove {#1}}}}
\begin{defn}
	\ilabel{DefNumeroCardinaleDiA}
	Sia $A$ un insieme, sia $(A,<)$ un POSET ben ordinato $A$ dato dal thm
	\see{ThmZermelo}. Sia $\ove A$ il tipo d'ordine di $A$ dato dal thm
	\see{ThmFondamentaleOrdinali}.
	Chiameremo $\ocar A$ il numero cardinale dell'insieme $A$.\\
	Notazione:
	\eal{&|A|\definizione{=}\ocar A
	}
\end{defn}
\begin{prop}
	La definizione di $\ocar A$ e' ben posta, ovvero, non dipende dalla scelta della
	relazione d'ordine $<$ su $A$.
\end{prop}
\begin{proof}
\eal{&\a=\ove{(A,<)}\NN
\b=\ove{(A,<')}\NN
\a\sim A \sim \b \> \a\sim \b  \ubrace{\>}{\see{PropNumeriCardinali}} 
\card \a = \card \b
}
\end{proof}
\begin{prop}\ilabel{PropOcar}
\eal{&1.\;\;\ocar A \in [A]_\sim = \pgra{X\;|\;X\T{ insieme}, X\sim A}\NN
2.\;\;A\sim B \> \ocar A = \ocar B}
 La $1.$ dice che 
$\ocar A$ e' un rappresentante della classe di equipotenza di $A$. Inoltre,
per la $2.$
$\ocar \cdot$ e' proprio una
	funzione,
	ovvero, ad ogni classe associa uno ed un solo
	rappresentante.
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		Per definizione di $\card {}$:
\eal{&\ocar A  \ubrace{\sim}{\T{def di $\card{}$}} \ove A
\sim A \> \ocar A \sim A \> \ocar A \in [A]_\sim
		}
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
\eal{& \ove A \sim A\sim B\sim \ove B
\ubrace{\>}{\see{PropNumeriCardinali}}\ocar A =\ocar B 
		}
	\end{prova}
\end{proof}
\def\A{\aleph}
\def\X{{\A}}
\begin{thm}
	(Cantor)\ilabel{ThmCantorCardinali}
	\eal{&(\Ord ,\in ) \simeq (\Cardi,\in )}
L'isomorfismo presentato nella dimostrazione lo indicheremo con $\A$.
\end{thm}
\begin{proof}
Sia $\a\in \Ord$, poniamo
\eal{&\a^*\definizione{=}\min_{\in} \pgra{\b\in \Card\;|\;\a\lo \b}\;\;(0)
}
\step{p0}{$\pgra{\b\in \Card\;|\;\a\lo \b} \neq \0$}
\begin{prova}
Sia $\P(\a)$ l'insieme delle parti di $\a$,
\eal{&
\a \ubrace{\lcne}{\QUA{thm27}{17}}\P(\a) \sim \ocar {\P(\a)} \in \Card
\ubrace{\>}{\see{PropCardinali}} \a\in \ocar {\P(\a)}\NN
 \T{Quindi } \a\in  \ocar {\P(\a)}  \>  \ocar {\P(\a)} \in \pgra{\b\in \Card\;|\;\a\lo \b}
}
\lineapiccola
\end{prova}
Osserviamo che:
\eal{&\sref{p0}, \see{OrdBenOrdinato}\>\T{la definizione $(0)$ e' ben
posta}\NN
\a^*=\min\pgra{\b\in \Card\;|\;\a\lo \b} \> \a\lo \a^* \;\;(1)
}

	Definiamo per induzione transfinita una funzione $\A$ su $\Ord$:
	\eal{&\A_0 =  \w \NN
	\A_{\a+1}= (\A_\a)^*\NN
	\l \neq 0\T{ ordinale limite, }	\A_{\l}=\bigcup_{\b\in \l}\A_\b
	}
	\step{}{$\A$ e' una funzione del tipo:
	\eal{&\A:\Ord \longrightarrow \Cardi}
	}
	\begin{prova}
	Dimostriamo intanto che $\dom \X=\Ord$. 
Procediamo per induzione transfinita (\vedi{InduzioneSuOrdII}): 
\eal{&1.\;\;0\in \dom \X\T{ (perche' abbiamo definito }\X_0=\w)\NN
2.\;\;\a\in \dom \X \> S\a=\a+1\in \dom \X,\;\;\T{ (perche' abbiamo definito
} \A_{\a+1}=\A_\a^*)\NN
3.\;\;\l\( \dom \X  \> \l\in \dom \X,\;\T{ (perche' abbiamo definito }\X_\l )\NN
\qq  \ubrace{\>}{\see{InduzioneSuOrdII}} \dom \X  = \Ord
}
(questo e' il motivo per cui si dice che $\A$ e' definita per induzione
transfinita).\\
$\X$ e' una funzione, ovvero ad un elemento di $\dom \X$
corrisponde un solo elemento:
\eal{&\d = 0 \> \d  \neq  \a+1,\;\d \T{ non e' un ordinale limite diverso da
$0$ }  \ubrace{\>}{\T{def di }\X} \T{l'elemento associato a $\d$ e' solo
}\X_0\NN
\d=\a+1= S\a\> \d \neq 0,\;\d\T{ non e' un ordinale limite } \> \X_\d =
\X_{\a+1}\NN
\a+1=\b+1 \= S\a = S\b\=  \a=\b \> \X_\a=\X_\b\NN
\d=\l \neq 0\T{ e' un ordinale limite } \> \l \neq \a+1,\;\l \neq 0 \> 
\X_\d=\X_\l
}
Adesso dimostriamo che $\Im \X\( \Cardi$. Procediamo per induzione
\eal{&C=\pgra{\a\in \Ord \;|\; \X_\a \in \Cardi }\NN
1.\;\;\X_0=\w \in \Cardi \> 0 \in C\NN
2.\;\;\a\in C \> \X_\a\in \Cardi\;\;(2)\NN
\qq \w \ubrace{\leo}{(2)} \X_\a \lo \pton{\X_\a}^*   \> \X_{\a+1} =
\pton{\X_\a}^*\in \Cardi\NN
3.\;\;\l \neq 0 \T{ ord. lim },\;\l \( C  \> \forall \b\in \l \;\;\X_\b \in
\Cardi  \ubrace{\>}{\see{UnioneCardinaliEstCardinale}}  
\X_\l=\bigcup_{\b\in\l}\X_\b \in \Cardi
\NN
\qq  \ubrace{\>}{\see{InduzioneSuOrdII}} C=\Ord
}
	\end{prova}
	\step{}{$\A$ e' un omomorfismo tra $(\Ord,\in)$ e $(\Cardi,\in)$}
	\begin{prova}
Procediamo per induzione,
\eal{&C=\pgra{\a\in \Ord\;|\; \b\lo \a \> \X_\b \lo \X_\a}\U\pgra{0}
}
\begin{enumerate}
	\item $0\in C$ per costruzione
	\item Supponiamo $\a\in C$, dimostriamo $\a+1\in C$:
\eal{&
\b\lo \a+1 \= \b\in \a+1=\a\U\pgra{\a} \> \b \leo \a  \ubrace{\>}{\a\in C} 
\X_\b \leo \X_\a \ubrace{\lo}{(1)} (\X_\a)^* = \X_{\a+1}\NN
\pton{\b\lo \a+1  \> \X_\b \lo \X_{\a+1} } \> \a+1\in C
		}
	\item Supponiamo $\l \neq 0$ ordinale limite, $\l\(C$. Dimostriamo
		$\l\in C$. Sia $\b\in \l$
\eal{&
%\X_l = \bigcup_{\b'\in \l}\b' \> \b \( \X_\l  \ubrace{\>}{\see{O2Forte}} \b \leo \X_\l\;\;(3)\NN
 \b\in \l\T{ ord. lim }
\ubrace{\>}{\see{BetaInOrdLimiteAlloraSuccBetaInOrdLim} } \b+1\in \l\NN
\b\lo\b+1  \ubrace{\>}{\lambda\(C} \A_\b \lo \A_{\b+1} \ubrace{\(}{\b+1\in
\lambda=\bigcup \A_\b} \A_\l \> \A_\b \lo \A_\l
%\qq \b+1\in \l \( C \> \X_{\b+1} \lo \X_{\l} \= (\X_\b)^*\lo \X_\l\NN
%\qq \X_\b  \ubrace{\lo}{(1)} (\X_\b)^*\lo \X_\l
	}
	Quindi $\l\in C$
\end{enumerate}
	\end{prova}
	\step{}{$\X$ e' iniettiva}
	\begin{prova}
		\eal{&\X\T{ omomorfismo }
		\ubrace{\>}{\see{ImmersionePOSET}}\X\T{ iniettiva} }
	\end{prova}
	\step{}{$\X$ e' surriettiva}
	\begin{prova}
Sia $\g\in \Cardi$, troveremo un $\a$ tale che
$ \X_\a=\g$.
\eal{&\T{Sia } T= \pgra{\b\in \Ord \;|\;\g \lo \X_\b} \NN
\g \ubrace{\leo}{\X\T{ omomorfismo}, \see{AlphaInOrdAlloraAlphaLessEqualF(Alpha)} }
\X_\g   \ubrace{\lo}{(1)} (\X_\g)^* = \X_{\g+1} \> \g+1\in T \> T \neq \0\NN
\T{Sia } \a =\min_\in T}
	\end{prova}
	\step{pp}{$\a$ non e' un ordinale limite}
	\begin{prova}
Supponiamo per assurdo che lo sia
\case{$\a=0$}
\begin{prova}
\eal{&0=\a\in T \> \g \lo \X_0 =\w \= \g\in \w \>\T{ assurdo contro } \g\in
\Cardi=\Card\-\w
	}
\end{prova}
\case{$\a \neq 0$}
\begin{prova}
	\eal{&\a \neq 0,\;\a\T{ ord. lim } \> \X_\a = \bigcup_{\b\in \a}\A_\b\NN
	\a\in T \> \g \lo  \X_\a \;\;(5)\NN
\b\in \a\= \b\lo \a= \min T \> \b\notin T \> \X_\b \leo \g\;\;(6)\NN
(6)\ubrace{\>}{O2}  \A_\b \( \g\;\forall \b\in\a \> \A_\a \( \g\NN
\qq \> \X_\a  = \bigcup_{\b\in \a}\b \( \g  \ubrace{\>}{\see{O2Forte}} 
\X_\a \leo \g.\;\;\T{ Assurdo contro $(5)$}
	}
\end{prova}
\eal{&\sref{pp} \> \exists \d:\;\a=S\d =\d+1\NN
\a =\d+1\> \d\in \a  \ubrace{\>}{(6)}  \X_\d \leo \g \lo \X_\a= \X_{\d+1}=
(\X_\d)^*\> 
\X_\d \leo \g \lo (\X_\d)^*
\ubrace{=}{\T{def. di }*} \min\pgra{\b\in\Card\;|\;\X_\d \lo \b}
\ubrace{\>}{\g\in \Card} \X_\d=\g
}
Abbiamo cosi' trovato che
\eal{&\g=\X_\d }
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{rem}
L'isomorfismo $\A$ dato nella dimostrazione \see{ThmCantorCardinali}, permette di mettere in ``successione'' tutti i cardinali:
\eal{&\X_0=\w,\;\X_1=\w^*,\;\X_2=(\w^*)^*,\dots,\X_{\w}=\bigcup_{n\in
\w}\X_n,\dots
}
Se assumiamo l'ipotesi del continuo si ha:
\eal{&\X_0=\w=|\mathbb{N}|,\;\X_1=\w^*=|\mathbb{R}|}
Nota: l'Ipotesi del continuo e' indipendente dagli assiomi della teoria degli
insiemi.\\
Se assumiamo l'ipotesi del continuo generalizzata si ha:
\eal{&\X_{\a+1}=\pass{\P(\X_\a)}
}
\end{rem}
\begin{defn}\ilabel{SommaProdottoInOcar}
	Possiamo definire le operazioni di somma e prodotto su $\Card$:
	\eal{&\a+\b\definizione{=} \card{A\U B},\T{ dove $A,B$ sono insiemi tali che
	$\a=\ocar A,\;\b=\ocar B$}\NN
	\a\b\definizione{=} \ocar {\a\*\b}
	}
\end{defn}
\begin{prop}\ilabel{PropSommaProdottoInOcar}
	\eal{&1.\;\;\T{La definizione di somma non dipende dalla scelta di
	$A,B$}\NN
	2.\;\;+,\.\T{ ristrette ai cardinali finiti $0,1,\dots,n,\dots$  sono
	le usuali operazioni su $\mathbb{N}$ }\NN
	3.\;\;\T{Vale la proprieta' commutativa e associativa}}
	Su $\Card_\8$, non otteniamo l'aritmetica usuale perche':
	\eal{&\A_0+\A_0=\A_0\;\;\T{ (Unione di insiemi numerabile e'
	numerabile)
	}\NN
\A_0\A_0=\A_0\NN
1+\A_0=\A_0
	}
\end{prop}

%%%%%%%%%
\section{Appendice A}
Qui di seguito vengono inclusi gli appunti cartacei.\\
\ifpdf
\includepdf[pages=1-16,fitpaper=true,trim=0 0 0 0,offset=0 0,turn=true,noautoscale=false]{QUADERNO/QUADERNO-6mag09.pdf}
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