\section{Esercizi}
\begin{exemp}
	\ilabel{EF1-Eser11}
	Sia $F$ la curva $x^2z-yz^2=0$,
	\begin{enumerate}
		\item i punti impropri di $F$ si ottengono col sistema
			\eal{&\sist{x^2z-yz^2=0\\
			z=0}
			\= \sist{z=0}
			}
			Quindi
			\eal{&F\^(\P^2\-\A^2)= (\P^2\-\A^2)}
			ovvero, la retta impropria e' contenuta in $F$, ed e'
			una sua componente. (Infatti, possiamo mettere $z$ in
			evidenza in $x^2z-yz^2$)
		\item la restrizione affine di $F$ e'
			\eal{&F_* = x^2 -y=0}
		\item per il punto $1.$, $F$ non e' irriducibile in $\P^2$
(			$\P^2\-\A^2$ e' una sua componente).\\
Vediamo cosa accade in $\A^2$:
\eal{&G=(F_*)^*  = x^2-yz\T{ e' una conica }\NN
\T{Cerchiamo i punti singolari: }\NN
\qq \sist{\dpa G x = 2x=0\\\dpa G y = -z=0 \\ \dpa G z = -y=0 }\=
(x,y,z)=(0,0,0) \T{ che non e' un punto in $\P^2$ }  \> G \T{ non ha punti
singolari }  \=\NN
\qq \ubrace{\=}{\T{G e' una
conica},\;\see{ConicaSempliceIrriducibile}} G\T{ e' irriducibile }
}
Quindi $F$ e' irriducibile in $\A^2$.
\item Consideriamo la retta $R=x$,
	\eal{&R\^F:\;\sist{x^2z-yz^2\\
	x=0}\= \sist{yz^2=0\\x=0} \=  (x,y,z)\in \pgra{(0,0,1), \;(0,1,0)}}
	Calcoliamo $I(R\^F, (0,0,1))$:
	\eal{&R:\;\;\lambda (0,0,1)+\mu(0,1,0) \NN
	F((0,0,1)+\mu(0,1,0)) = F(0,\mu,1)=-\mu \> \NN
	\>\mu=0 \T{ ha molteplicita'
	}  1 \= I(R\^F, (0,0,1)) =1 
	}
	Infine,
	\eal{&I(R\^F, (0,0,1)) + I(R\^F, (0,1,0))= \deg F= 3 \>  I(R\^F,
	(0,1,0))=2}
\item 
\item Per la \gpi{prop5.3.5}{144'}, la molteplicita' di $(0,1,0)$ e' data da
	$3-1=2$, dove $1$ e' l'esponente massimo di $y$ in $F$. Il cono
	tangente in $(0,1,0)$ e' (\vedi{ConoTgImmediato}) $z^2=0$.\\
	Procediamo in maniera diversa:
	\eal{&R:\;\;\lambda (0,1,0) + \mu (b_1,b_2,b_3)\NN
	F( (0,1,0) + \mu (b_1,b_2,b_3)) 
	= b_1b_3\mu^3-(\lambda+\mu b_2)\mu^2 b_3^2 
	\> \NN
	\>\mu=0 \T{ ha molteplicita' }2 \T{ per } F( (0,1,0) + \mu
	(b_1,b_2,b_3)) \in K[b_1,b_2,b_3]   \ubrace{\>}{\gpi{oss5.1.4}{142'}}
	m_{(0,1,0)}(F) =2 
	}

	\end{enumerate}

\end{exemp}
\begin{exemp}
	\ilabel{EF1-Eser2}
	Il polinomio $f(x)=x^4-9x^3+29x^2-39x+18\in \mathbb{C}[x]$ ha soluzioni multiple?
\end{exemp}
\begin{proof}
	Per il teorema \gpi{thm3.7}{123} si ha
	\eal{&
	f(x)\T{ separabile } \= \R(f(x),f'(x)) \neq 0
	}
	ovvero
	\eal{&
	f(x)\T{ ha una radice multipla } \= \R(f(x),f'(x)) = 0
	}
Calcoliamo $\R(f(x),f'(x)) $:
\eal{&f'(x) = 4{x}^{3}-27{x}^{2}+58x-39\NN
\R(f(x),f'(x))=
 \begin {vmatrix}
 1&-9&29&-39&18&0&0\\\noalign{\medskip}0&1&-9&29&-39&18&0\\\noalign{\medskip}0&0&1&-9&29&-39&18\\\noalign{\medskip}4&-27&58&-39&0&0&0\\\noalign{\medskip}0&4&-27&58&-39&0&0\\\noalign{\medskip}0&0&4&-27&58&-39&0\\\noalign{\medskip}0&0&0&4&-27&58&-39\end
 {vmatrix}
= 0
}
\end{proof}

\begin{prop}
Sia $F$ una ipersuperficie di $\P^n$ e sia $\pi$ un iperpiano tangente a $F$
in un suo punto $O\in F$.\\
Sia $f$ l'ipersuperficie di $\P^{n-1}$ ottenuta dal sistema
\eal{&\sist{F=0\\
\pi=0}
}
allora,
\eal{&1.\;\;I(R\^f,O )
=I(R\^F,O )\T{ dove $R$ e' una qualsiasi retta $\( \pi$}\NN
2.\;\;m_O(f) \ge 2 \NN
3.\;\;R\(\pi\T{ retta } \T{ e' tangente a $f$ in $O$ } \> I(R\^f,O ) \ge 3
}
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{}
	\begin{prova}
L'equazione di $f$ e' proprio quella di $F$ ristretta in $\pi$. Quindi,
applicando la definizione di $I()$ si ottiene
\eal{&I(R\^f,O )
=I(R\^F,O )
}
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		\eal{&\pi\T{ iperpiano tangente in $O$}, O\in R\( \pi 
		\ubrace{\>}{\gpi{Oss5.9.10}{147'}} 
		R\T{ e' tangente in $O$ a $F$ } \= \NN
		\=
		I(R\^F,O) \ge 2  \ubrace{\=}{1.}   I(R\^f,O) \ge 2\NN
		\T{Quindi } \forall R:\;O\in R\( \pi \;  I(R\^f,O) \ge 2\NN
\qq		\> m_O(f)=\min  I(R\^f,O)  \ge 2
		}
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
\eal{&
R\(\pi\T{ retta } \T{ e' tangente a $f$ in $O$ }  \ubrace{\>}{\T{def. di
tangente}}
I(R\^f,O ) > m_O(f) \ge 2 \> I(R\^f,O ) \ge 3
		}
	\end{prova}
\end{proof}
\pagebreak
\begin{exemp}
	In $\P^2$, sia data la seguente famiglia di quartiche:
	\eal{&F:\;\;x^4-2ky^3-3k^2y^2-2k^2x^2+k^4=0}
	dove $k\in \C$ e' un parametro.\\
	Studiare la sua razionalizzazione.
\end{exemp}
\begin{proof}
Notiamo che possiamo scrivere $F$ nella seguente forma equivalente:
\eal{&F:\;\;(x^2-k^2)^2-ky^2(2y+3k)=0
}
Se $k=0$, $F$ diventa il seguente cono:
\eal{&x^4=0}
quindi, non e' razionale (la razionalita' e' definita solo per curve
irriducibili).\\
Supponiamo $k \neq 0$.\\
Calcoliamo i punti impropri di $F$:
\def\Y{Y_\8}
\eal{&\sist{F^*=0\\t=0} \= \sist{x^4=0\\t=0} \= Y_\8=(0,1,0)\T{ e' l'unico punto
improprio }
}
Poiche' l'esponente massimo di $y$ nell'equazione di $F$ e' $3$, si ha che
$Y_\8$ e' semplice (vedi \gpi{prop5.3.5}{144'}). Allora,
\eal{&\sist{Y_\8\T{ semplice}\\
Y_\8\T{ e' l'unico
punto
improprio }}  \ubrace{\>}{\see{Curva1soloPtImpr}}
F\T{ e' irriducibile }\;\;(1)
}
Calcoliamo i punti singolari propri di $F$:
\eal{&
\sist{\dpa F x = 4x^3-4k^2x=0\\
\dpa F y = -6ky^2-6k^2y=0\\
F=0\\
}
\ubrace{\=}{k \neq 0}  \sist{x(x^2-k^2)=0\\
y(y+k)=0\\
(x^2-k^2)^2-ky^2(2y+3k)=0
}
}
Distinguendo i casi $x=0,\;x^2=k^2$ si vede che gli unici punti singolari sono
\eal{&A=(0,-k),\;B=(k,0 ),\;C=(-k,0)
}
A,B,C non annullano le derivate seconde di $F$, quindi sono dei punti doppi.\\
Si ha:
\eal{&A,B,C\T{ sono gli unici punti singolari e sono doppi, $F$ e' una
quartica irriducibile } \ubrace{\>}{\see{AlgoEquParam}}  F\T{ e' razionale } \forall k \neq 0}
Come fascio di sub-aggiunte, consideriamo il seguente fascio di coniche:
\eal{&(AC)(BY_\8)+\lambda(AY_\8)(BC)\;\;
}
Le equazioni delle rette $AC,\;BY_\8,\;AY_\8,\;BC$ sono:
\eal{&BY_\8:\;x-k=0\NN
AC:\;x+y+k=0\NN
A\Y:\;x=0\NN
BC:\;y=0
}
Quindi l'equazione del fascio diventa:
\eal{&(x-k)(x+y+k) + \lambda xy=0\;\;(2)
}
Calcoliamo adesso l'intersezione tra il fascio e $F$:
\eal{&
\sist{(x-k)(x+y+k) + \lambda xy=0\\
(x^2-k^2)^2-ky^2(2y+3k)=0
}\;\;(3)\NN
(x-k)(x+y+k) + \lambda xy=0
\=x^2-k^2 +(x-k)y+ \lambda xy=0
\= y= -\frac{x^2-k^2}{x-k+\lambda x}\;\;(4)\NN
(x^2-k^2)^2-ky^2(2y+3k)=0 
\= (x^2-k^2)^2- k\frac{(x^2-k^2)^2}{(x-k+\lambda x)^2}
\pton{-2\frac{x^2-k^2}{x-k+\lambda x}+3k} =0\=\NN
\= (x^2-k^2)^2\pton{ (x-k+\lambda x)^3 - k \pton{-2(x^2-k^2)+3k(x-k+\lambda
x)}}=0 \=\NN
\= (x^2-k^2)^2 
x^2(x+3\lambda x+3x\lambda^2+x\lambda^3-3k\lambda^2-k-6k\lambda)
 =0 
}
Escludendo le soluzioni che si hanno per $(x^2-k^2)^2
x^2=0$, si ha:
\eal{&x = k\frac{3\lambda^2+1+6\lambda}{1+3\lambda+3\lambda^2+\lambda^3}
}
Infine, sostituendo la $x$ in $(4)$, si ottiene la parametrizzazione di $F$.
\end{proof}