%        File: GIII.tex
%
% (c) Copyright 2008 Andrea Lo Pumo aka AlpT <alpt@freaknet.org>
%
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%

\documentclass[a4paper]{article}
%%% 	 Orientamento	      %%%
%\usepackage[landscape]{geometry}
%%%			      %%%

\usepackage{xr-hyper}
\usepackage{amath}
\usepackage{pdfpages}


\externaldocument[GIIIPI-]{GIII-parteI-penna}[GIII-parteI-penna.pdf]
\externaldocument[GI-]{geometriaI}[../1/geometriaI.pdf]
\externaldocument[GII-]{geometriaII}[../2/geometriaII.pdf]
\ifpdf
\newcommand{\GI}[1]{\T{[GI,\ref{GI-#1},pg.\pageref{GI-#1}]}}
\newcommand{\GII}[1]{\T{[GII,\ref{GII-#1},pg.\pageref{GII-#1}]}}
\newcommand{\GPI}[1]{\T{[P1,#1,pg.\pageref{GIIIPI-#1}]}}
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% add label debugging if we are not compiling pdf.
\let\oldlabel\label
\renewcommand{\label}[1]{ [#1] \oldlabel{#1}}
\fi

\def\gpi#1#2{\T{[QUA,#1,pg.#2]}} %% Appunti GEII.pdf modificati a penna
%% Quando trascrivi le proposizioni qui, come \ilabel usa \ilabel{QUA#1#2}
%% e sostituisci gpi con \def\gpi#1#2{\see{QUA#1#2}} 

\def\dpa#1#2{{\frac{\partial #1}{\partial #2}}}
\def\dpf#1#2{{\frac{\partial #1}{#2}}}
\def\dpaq#1#2{{\frac{\partial^2 #1}{\partial {#2}^2}}}

\begin{document}
\title{Geometria III}
\author{AlpT (@freaknet.org)\\
\small{\url{http://freaknet.org/alpt}}
}


\pagenumbering{roman}
\maketitle{}

\begin{abstract}
Questo testo e' una rielaborazione personale degli appunti presi durante
il corso di \mbox{Geometria III}, tenuto dalla Prof.ssa Raciti Grazia  presso il dipartimento di
Matematica, Catania, A.A. 2008/2009.\\
Saro' ben lieto di correggere ogni eventuale errore che mi comunicherai.

Buon lettura.
\begin{center}
	\verb|^_^|
\end{center}
\end{abstract}

\input{gpl}

\clearpage
\tableofcontents
\clearpage
\pagenumbering{arabic}

\let\oldsection\section
\renewcommand{\section}[1]{\oldsection{#1}\ilabel{#1}}
\let\oldsubsection\subsection
\renewcommand{\subsection}[1]{\oldsubsection{#1}\ilabel{#1}}
\let\oldsubsubsection\subsubsection
\renewcommand{\subsubsection}[1]{\oldsubsubsection{#1}\ilabel{#1}}

%%% NOTA: USA SEMPRE ilabel

\def\A{{\mathbb{A}}}
\def\P{{\mathbb{P}}}
\def\R{{\mathcal{R}}}
\def\mol#1#2{{m_{#1}\pton{#2}}}
\def\ctg#1#2{{\oname{Ctg}_{#1}\pton{#2}}}
\def\pl#1#2#3{{\mathcal{P}_{#1}^{#2}\pton{#3}}}
\section{Introduzione}
Questi appunti digitali sono un complemento degli appunti cartacei che
sono stati acquisiti e inclusi nell'appendice.\\
L'ordine di lettura consigliato e' quello degli appunti cartacei.\\
Notazione:
	\gpi{OssX.Y.Z}{123} e' un riferimento alla proposizione OssX.Y.Z
		che trovate nell'appendice A, a pagina 123.

\section{Notazioni}
\begin{defn}
	\eal{&\P_i=\P_i^n=\T{ punto fondamentale $i$-esimo di $\P^n$ }\NN
	\P_{ij}=\delta_{ij}\NN
	\T{$K$ e' un campo di caratteristica $0$, algebricamente chiuso}
	}
\end{defn}
%\begin{defn}
%	Alcune volte indicheremo con lo stesso simbolo sia i luoghi di punti
%	della 
%	sia l'equazione d
%\end{defn}
\section{Polinomi ed Ipersuperfici}
\begin{prop}
	Siano $F,G\in K[x_1,\dots,x_r]$.\\
	\eal{& F\nsubseteq G \> F\ndiv G
	}
	Per verificare che $F\ndiv  G$, e' sufficiente trovare un punto che
	sta' in $F$ ma non in $G$.
\end{prop}
\begin{proof}
\eal{&F\div G \> G=FH\NN
F(P) =0 \> G(P)=0
	}
\end{proof}
\subsection{Disomogeneizzato}
\begin{prop}
	\ilabel{Lemma2.8-5}
	Sia $F\in A[x_1,\dots,x_r]$ omogeneo, allora
	\eal{&s=\max \pgra{t\;|\;x_r^t \div F} \> F=x_r^s (F_*)^*}
	dove l'omogeneizzazione e' stata fatta rispetto a $x_r$.
\end{prop}
\begin{proof}
Scriviamo $F$ come somma di monomi omogenei:
\eal{&F=f_1+\dots+f_h,\;\;\deg f_i = \deg F =m\;\;(1)\NN
x_r^s\div F \> F=x_r^s(g_1+\dots+g_h),\;\;g_i=x_r^sf_i,\;\;\deg g_i=\deg
f_i-s=m-s \;\;(2)\NN
s=\max \pgra{t\;|\;x_r^t \div F} \> \exists i:\;\;
x_r\ndiv g_i \; \> {g_i}_*=g_i\;(2.1)\NN
F_* \ubrace{=}{\gpi{lemma2.8, 2)}{118}} {g_1}_*+\dots+{g_h}_* \;\;(3)\NN
\T{Sja } s_j = \max \pgra{t\;|\; x_r^t\div g_j } \> \deg {g_j}_* = \deg g_j -
s_j  \ubrace{=}{(2)}  m-s-s_j\;\;(4)\NN
\T{Nota: per def. di $s_j$ si ha } x_r^{s_j}{g_j}_* = g_j\;\;(4.1)\NN
(2.1) \> \deg {g_i}_*= \deg g_i = m-s \> s_i =0 \> 
m-s=\deg {g_i}_* = \max \pgra{\deg g_j\;|\;j=1,\dots,h}\;\;(5)\NN
(3),(5)  \ubrace{\>}{\T{def di ${}^*$}}
(F_*)^* = 
\sum_{j=1}^{h} x_r^{(m-s)-\deg {g_j}_*} {g_j}_*
\ubrace{=}{(4)} \sum_{j=1}^{h} x_r^{s_j} {g_j}_*
\ubrace{=}{(4.1)}  \sum_{j=1}^{h} {g_j}\;\;(6)\NN
x_r^s (F_*)^*  \ubrace{=}{(6),\;(2)}  F
}

\end{proof}
\begin{prop}
	\ilabel{FdivGsseF*divG*}
	Siano $F,G\in A[x_1,\dots,x_r]$ omogenei.
	Supponendo che $x_r\ndiv F$, si ha
	\eal{&F\div G \= F_* \div G_* }
\end{prop}
\begin{proof}
	\BEGINpnecessaria
	\eal{&G=FH  \ubrace{\>}{\gpi{lemma2.8}{118}}  G_*=F_*H_*
	}
	\END
	\BEGINsufficiente
	\eal{&x_r\ndiv F  \ubrace{\>}{\gpi{lemma2.8}{118}} 
	(F_*)^*=F\;\;(1)\NN
	F_*\div G_* \> 	G_*=F_*H \> (G_*)^*=(F_*)^*H^*  \ubrace{=}{(1)}
	FH^*\NN
	G \ubrace{=}{\gpi{lemma2.8}{118}} x_r^{s}(G_*)^* =  x_r^{s}FH^*
	}
	\END
\end{proof}
\begin{prop}\ilabel{DpaNulla}
Sia 	$G\in A[x_1,\dots,x_r]$, allora
	\eal{&
	\dpa G{x_i} \equiv 0 \> G\in
	K[x_1,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_r]\T{, ovvero $x_i$ non e' presente in G }
	}
\end{prop}
\subsection{Varie}
\begin{prop}\ilabel{ComponenteAcomuneConDerivata}
	Sia $F$ una ipersuperficie di $\P^r$ e $G$ una sua componente irriducibile, con
	$\deg G>1$. \\Supponendo che $\P_i\notin F$,  si ha
	\eal{&G\div \dpa F {x_i} \= G^2 \div F
	}
	ovvero, $G$ e' una componente comune a $F$ e a $ \dpa F {x_i}$ sse e'
	una componente multipla di $F$
\end{prop}
\begin{proof}
	\BEGINpnecessaria
	\eal{&G\div F \> F=GH\;\;(1)\NN
	\dpa F {x_i}  = \dpa G {x_i} H + \dpa H {x_i} G\;\;(1) \NN
	G\div \dpa F {x_i}   \ubrace{\>}{ (1)} G\div \dpa G {x_i} H
	\ubrace{\>}{G\T{ irrid. }}  
	G\div \dpa G {x_i}  \|  G\div H \;\;(2)
	}
	Se $G\div H$, per la $(1)$ abbiamo la tesi. Supponiamo per assurdo che
	$G \ndiv H$, allora
	\eal{&G\ndiv H  \ubrace{\>}{(2)} 
	G\div \dpa G {x_i}  \ubrace{\>}{\deg  \dpa G {x_i}  < \deg G} 
	\dpa G {x_i}\equiv 0  \ubrace{\>}{DpaNulla} 
	G\in K[x_1,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_{r+1}]\>\NN
	\> G(\P_i)= G(0,0,\dots,1,\dots,0)=G(\ubrace{0,0,\dots,0}{r\T{
	zeri}})  \ubrace{=}{G\T{ omogeneo}}  0 
	\> \P_i\in G\div F \> \P_i \in F\T{ assurdo contro Hp}.
	}
	\END
	\BEGINsufficiente
	\eal{&G^2 \div F \> F=G^2H= G(GH) \NN
	\dpa F {x_i} = \dpa G {x_i} GH + \dpa {GH} {x_i} G
	\> G\div  \dpa F {x_i}
	}
	\END
\end{proof}
\subsection{Ipersuperficie minima}
\def\G{{\mathcal{G}}}
\begin{defn}\ilabel{DefIpersupMinima}
Sia $\0 \neq \Gamma \( \P^n$. Sia $G$ una  ipersuperficie, poniamo
\eal{&G=\Gamma \definizione{\=} \pgra{X\in \P^n\;|\; G(X) =0  } =\Gamma}
Supponendo non vuoto l'insieme $ \G=\pgra{G\T{ ipersuperficie }\;|\;G=\Gamma}$,
sia 
\eal{&G' \in \pgra{G\in \G\;|\;\deg G=\min \pton{ \deg \G}  }\NN
\T{ dove } \deg \G=\pgra{\deg G\;|\;G\in \G}
}
$G$' e' l'ipersuperficie di $\G$ di grado minimo.
%
%\min_{\le } \pgra{G\T{ ipersuperficie }\;|\;G=\Gamma}\NN
%\T{dove }\le \T{ e' la seguente relazione d'ordine sull'insieme
%$ \pgra{G\T{ ipersuperficie }\;|\;G=\Gamma}$: }\NN
%\qq \qq F\le H\=\deg F \le \deg H
%}
Chiameremo $G'$ la \iemph{ipersuperficie minima} di $\Gamma$, o diremo piu'
brevemente ``ipersuperficie di $\Gamma$''. \\
Nota: nella proposizione \see{ChiEstLaSupMinima} vedremo che $G'$ e' unica, ovvero che
\eal{&|\pgra{G\in \G\;|\;\deg G=\min (\deg \G) }|=1
}
\end{defn}
\begin{prop}\ilabel{ChiEstLaSupMinima}
	Sia $\0 \neq \Gamma\( \P^n$, $G'$ una ipersuperficie minima di
	$\Gamma$ e sia $G\in \G$ con $G=F_1^{r_1}\cdots F_{s}^{r_s}$, con $F_i$ irriducibili e distinti
	fra loro, allora
	\eal{&G=\Gamma \> G'= F_1F_2\cdots F_s
	}
Questo dimostra che l'ipersuperficie minima e' unica, ovvero:
\eal{&\pgra{G\in \G\;|\;\deg G=\min (\deg \G) } =\pgra{(F_1F_2\cdots F_s)}
}
%Inoltre, questa proposizione dimostra che
%\eal{&H\in \G \> H=F_1^{h_1}\cdots F_s^{h_s}
%}
\end{prop}
\begin{proof}
	\eal{&\pgra{X\;|\; G'(X)=0} =\Gamma = \pgra{X\;|\;G(X)=0}
\ubrace{\>}{\gpi{cor4.4}{131}} 
G',G\T{ hanno gli stessi fattori irriducibili } 
\= \NN
\=\sist{G=F_1^{g_1}\cdots F_s^{g_s}\\
G'=F_1^{g_1'}\cdots F_s^{g_s'}}\;\;(1)\NN
\T{Se per assurdo $g_i >1$, allora: }\NN
\qq\T{sia } G''= F_1\cdots F_s\NN
\qq \sist{\deg G' = \sum_{i=1}^{s'} g_i' > s=\deg G''  \\
G',G''\in \G}
\>G'\T{ non e' una ipersuperficie  minima. Assurdo contro Hp.}
}
Quindi,
\eal{&g_i'=1 \;\forall i \> G'= F_1\cdots F_s
}
\end{proof}
\begin{prop}
	\ilabel{StessoGradoEstSupMinima}
Sia $G'$ l'ipersuperficie minima di $\Gamma$, e sia $G$ una ipersuperficie,
\eal{& \sist{G=\Gamma\\
\deg G = \deg G'} \> G=G'}
\end{prop}
\begin{proof}
\case{$G'$ irriducibile}
		\begin{prova}
Nota: qui di seguito intenderemo le uguaglianze a meno di costanti non nulle 
\eal{&\T{Supponiamo per assurdo che } \nexists s:\;G=(G')^s\NN
\pgra{X\;|\; G'(X)=0 } =\pi_{P,F} = \pgra{X\;|\;G(X)=0},\;
G'\T{ irriducibile} 
\ubrace{\>}{\gpi{Thm4.3}{130}} G'\div G \NN
G'\div G \> G=(G')^sH,\;\T{ con }G'\ndiv H \;\;(1)\NN
G \neq (G')^s \> H\T{ non e' costante }\= \deg H > 0\NN
\sist{\pgra{X\;|\;H(X) =0 }\( \pgra{X\;|\;G(X)=0} = \pgra{X\;|\; G'(X)=0 }\\
\deg H > 0 }\>\NN
\qq 
\ubrace{\>}{\gpi{Thm4.3}{130}} \exists H_1\T{ fattore irriducibile di
}H:\;\;H_1\div G'  \ubrace{\>}{G'\T{ irriducibile } } H_1=G' \> \NN
\> G'=H_1\div H \T{ assurdo contro }(1)
}
Quindi si deve avere:
\eal{&G=(G')^s \T{ per qualche $s$ }  \ubrace{\>}{\deg G=\deg G'}  s=1,\;G=G'
}
		\end{prova}
		\case{$G'$ spezzato}
		\begin{prova}
			\eal{&\sist{G=F_1^{g_1}\cdots F_s^{g_s},\;F_i\T{
			irriducibili e distinti}\\
			G=\Gamma=G'}  \ubrace{\>}{\see{ChiEstLaSupMinima}}
			G'=F_1\cdots F_s\NN
s=\deg G' = \deg G = \sum_{i=1}^{s} g_i \> g_i = 1\;\;\forall
i \> G=G'
}
		\end{prova}
\end{proof}
\begin{prop}\ilabel{MoltIntersezSupMinima}
	Sia $G\in \G$ e sia $G'\in \G$ l'ipersuperficie minima di $\Gamma$,
	sia $R$ una retta e $P\in R\^\Gamma$, 
	allora
	\eal{&I(G'\^R, P) \le I(G\^R, P)\;\;\
	}
\end{prop}
\begin{proof}
	\pfsketch{Se $G=F_1^{g_1}\cdots F_s^{g_s}$, allora per la 
	\see{ChiEstLaSupMinima},  $G'=F_1\cdots F_s$, quindi per definizione di
	molteplicita' d'intersezione si vede che deve essere $I(G'\^R, P) \le
	I(G\^R, P)$
	}
\end{proof}
\section{Molteplicita' d'intersezione}
\begin{prop}\ilabel{MolIntDalSistema}
In $\P^2$ sia $F$ una ipersuperficie e $R=ax+by+ct$ una retta, con $b \neq
0$. Presentiamo un metodo per calcolare i punti $F\^R$ e le loro molteplicita' $I(R\^F,P)\;\;\forall P\in F\^R$.
\begin{enumerate}
\item 
Ricavando $y=\frac{-ax-ct}{b}$ e sostituendo in $F$, si ottiene
un polinomio $H$, nelle due variabili $x,t$. 
\item
Per il teorema \gpi{thm2.11}{119}
$H$ si spezza in fattori lineari $h_1,\dots,h_t$ distinti,
\eal{&H=h_1^{s_1}\cdots h_r^{s_r}}
\item 
Ad ogni $h_i$ corrisponde un punto $P_i\in F\^R$ e inoltre
$F\^R = \pgra{P_1,\dots,P_r}$.
\item Infine, $s_i=I(R\^F,P_i)$
	\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
	Il metodo esposto segue direttamente dalla definizione di $I(R\^F,P)$,
	infatti, la retta $R$ si puo' scrivere nella seguente forma
	parametrica:
	\eal{&R:\;\;\sist{x=\mu\\
	y=\frac{-a\mu-c\lambda}{b}= -\frac{a}{b}\mu - \frac{c}{b}\lambda\\
	t=\lambda
	} \= (x,y,t)\in R \= (x,y,t) = \lambda A+\mu B,\;\;\T{ con }
	A=\begin{pmatrix}
	0\\
	-\frac{c}{b}\\
	1
\end{pmatrix},\;\;B=\begin{pmatrix}
	1\\
	 -\frac{a}{b}\\
	 0
\end{pmatrix}
	}
	e sostituire $y$ in $F$ equivale a considerare il polinomio 
	$F(\lambda A+\mu B)$, dove pero' $\lambda,\mu$ sono indicate ancora
	con le lettere $t,x$, ovvero se $[F]_y$ e' $F$ con $y$ sostituita,
	allora
	\eal{&[F]_y= F(tA +x B)}
	Applicando allora la definizione di $I(R\^F,P)$, si ha la tesi.
\end{proof}
\begin{exemp}
	Sia $F=x^3+y^4-xy$ e $R=x$, allora
	\eal{&F\^R:\;\;\sist{x=0\\
	y^4=0 }  \ubrace{\>}{\see{MolIntDalSistema}} 
	(0,0)\T{ e' l'unico punto d'intersezione ed ha }
	I(F\^R,(0,0))=4
	}
	Osserviamo pero' che questo non basta per affermare che 
	\eal{&m_{(0,0)}(F)=4}
	infatti, considerando la retta $S:\;x=y$, si ha
	\eal{&\sist{
	x^3+y^4-xy =0\\
	x=y
	}\= 
	\sist{x^2(x+x^2-1)=0\\
	x=y} 
	\= \sist{x^2(x-P_{1x})(x-P_{2x})=0\\x=y},\;\T{ $P_{1x},P_{2x}$\T{
	distinti }}\>\NN
	\ubrace{\>}{\see{MolIntDalSistema}
	} 
	S\^F=\pgra{(0,0),\;\ubrace{P_1,P_2}{\T{distinti}},\;\;
	I(S\^F, (0,0)) =2,\;\;I(S\^F, P_i)=1}
	}
	Da quest'ultimo deduciamo:
	\eal{&
	m_{(0,0)}(F) \ubrace{=}{\T{def}} \min_{r\T{ retta per }(0,0)}
	I(r\^F,(0,0)) \le   I(S\^F, (0,0)) =2
	}
\end{exemp}
\section{Sistemi lineari di ipersuperfici}
\begin{defn}\ilabel{Lambdan}
	Indichiamo con $\Lambda_n$ il sistema delle ipersuperfici di grado $n$ di $\P^r$, 
	ovvero
	\eal{&\Lambda_n=\P\pton{K[x_1,\dots,x_{r+1}]_{n}}\NN
	\T{ dove } K[x_1,\dots,x_{r+1}]_{n}=\pgra{F\in
	K[x_1,\dots,x_{r+1}]\;|\;F\T{ omogeneo con }\deg F=n \| F\equiv 0
	}
	}
\end{defn}
\begin{defn}\ilabel{DefPuntoBase}

	Sia $\Lambda$ un sistema lineare di ipersuperfici di $\P^h$.
	\eal{&
	P\T{ e' un punto base di }\Lambda\definizione{\=} \forall F\in \Lambda \;P\in F\= \forall F\in \Lambda \;F(P)=0
	}
	$\bigcap \Lambda$ e' l'insieme di tutti i punti base di $\Lambda$.\\
	Con $\Lambda(P_1,\dots,P_n)$  indichiamo il sottospazio di $\Lambda$
	tale che
	\eal{& P_1,\dots,P_n\in F\;\;\forall F\in \Lambda }
\end{defn}
\begin{prop}\ilabel{TrovarePuntiBase}
	\eal{&\Lambda = \P(\gen{F_1,\dots,F_{d+1}}) \> \bigcap \Lambda = F_1\^
	F_2\^\dots\^ F_{d+1}
	}
	Quindi, per trovare i punti base di $\Lambda$, e' sufficiente prendere
	le intersezioni di $d+1$ ipersuperfici che formano una base di
	$\Lambda$.\\
	In particolare, nel caso di un fascio ($d=1$), basta prendere due
	qualsiasi
	$F_1 \neq F_2\in \Lambda$.\\
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{$\($}
	\begin{prova}
\eal{&P\in  \bigcap \Lambda  \> F(P) =0\;\;\forall F\in \Lambda 
\> F_i(P)=0\;\;\forall i=1,\dots,d+1
		}
	\end{prova}
	\step{}{$\)$}
	\begin{prova}
		Sia $P:\;\;F_1(P)=\dots=F_{d+1}=0$
		\eal{&F\in \Lambda  =\P(\gen{F_1,\dots,F_{d+1}}) 
		\> F=\lambda_1 F_1 + \dots + \lambda_{d+1}F_{d+1} \NN
		F(P)=\lambda_1 F_1(P) + \dots + \lambda_{d+1}F_{d+1}(P)
	=0 \> P\in F
	}	
	Quindi $P$ e' un punto base di $\Lambda$
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{cor}\ilabel{CorTrovarePuntiBase}
	Sia $\Lambda=\P(\gen{F_1,\dots,F_{d+1}})$, con $F_i\in \Lambda_n$,
	allora:
	\eal{&F_i,F_j\T{ non hanno componenti a comune } \;\forall i \neq j
	\> \pass{\bigcap \Lambda} \le n^2
	}
	In particolare $\pass{\bigcap \Lambda}< \8$.\\
	Inoltre, vale un viceversa piu' debole:
	\eal{&\pass{\bigcap \Lambda} <\8
\> \T{ non esiste una componente comune a tutti gli $F_i$}
	}
\end{cor}
\begin{proof}
	\step{}{Dimostriamo la prima parte}
	\begin{prova}
	Si utilizza il thm di Bezout \gpi{thm1.2}{158}.\\
		Sia $m=\deg F_i\deg F_j = n^2$ 
Se per assurdo $\pass{\bigcap \P(\gen{F_1,\dots,F_{d+1}})} = m+1$, si deve
avere:
\eal{&|F_1\^\dots\^F_{d+1} |  \ubrace{=}{\see{TrovarePuntiBase} }\pass{\bigcap
\Lambda} = m+1 \NN
|F_i\^F_j | \ge  |F_1\^\dots\^F_{d+1} | =m+1=\deg F_i\deg F_j+1\>\NN
\ubrace{\>}{\T{Bezout }{\gpi{thm1.2}{158}} }
F_i,F_j\T{ hanno una componente a comune
}}
Assurdo contro Hp.
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
Supponiamo 
$
	\pass{\bigcap \Lambda} <\8$ se per assurdo esiste una componente $C$
	comune a tutti gli $F_i$, si ha:
	\eal{&C\( F_i\;\forall i \> C\( F_1\^\dots\^F_{d+1}
	\ubrace{=}{\see{TrovarePuntiBase}} \bigcap \Lambda 
	\> \pass{\bigcap \Lambda} \ge  |C| = \8 
	}
	assurdo.
	\end{prova}
\end{proof}

\begin{prop}\ilabel{ImporreCondizioniIndipendenti}
\eal{&\dim \Lambda(P) = \dim \Lambda -1 \=  P\notin \bigcap \Lambda
	}
	ovvero, $P$ impone una condizione a $\Lambda$ sse $P$ non e' un suo punto
	base. \\
	Per prendere dei punti che impogono ognuno una
	condizione su $\Lambda$ si puo' procedere cosi':
	\eal{&P_1\notin \bigcap \Lambda\NN
	P_2\notin \bigcap \Lambda(P_1)\NN
	P_3\notin \bigcap \Lambda(P_1,P_2)\NN
	\vdots
	}
	Al massimo possiamo arrivare fino a $P_d$, con $d=\dim \Lambda$. In
	questo caso, $\Lambda(P_1,\dots,P_d)$ e' formato da una sola
	ipersuperficie.
\end{prop}
\def\l{{\lambda}}
\begin{proof}
Sia $B=\pgra{F_1,\dots,F_{d+1}}$ una base di $\Lambda$. 
Le coordinate rispetto a $B$ degli elementi del sottospazio
$\Lambda(P_1,\dots,P_{r})$ si ottengono dalle soluzioni di
\eal{&
\begin{pmatrix}
	F_1(P_1) & \ldots  & F_{d+1}(P_1)\\
	F_1(P_2) & \ldots  & F_{d+1}(P_2)\\
	\vdots\\
	F_1(P_{r}) & \ldots  & F_{d+1}(P_{r})
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
	\l_1\\
	\vdots\\
	\l_{d+1}
\end{pmatrix}=0
}
Infatti,
\eal{&F \in \Lambda\= F=\lambda_1F_1+\dots+\lambda_{d+1}F_{d+1}\NN
F(P_i)=0 \= \lambda_1F_1(P_i)+\dots+\lambda_{d+1}F_{d+1}(P_i)=0
}
Nel caso $r=1$, $P=P_1$, $\Lambda(P)$ e' dall'equazione:
\eal{&
\begin{pmatrix}
	F_1(P) & \ldots  & F_{d+1}(P)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
	\l_1\\
	\vdots\\
	\l_{d+1}
\end{pmatrix}=0\;\;(1)
}
\BEGINpnecessaria
Se per assurdo $P$ e' un punto base di $\Lambda$, allora
\eal{&P\in \bigcap \Lambda \> F(P) =0\;\;\forall F \in \Lambda \> F_i(P) =0
}
Quindi la $(1)$ ha come soluzione tutte i possibili
$(\lambda_1,\dots,\lambda_{d+1})\in K^{d+1}$, ovvero
\eal{&\Lambda(P)=\Lambda \> \dim \Lambda=\Lambda(P)
}
e questo e' assurdo contro $\dim \Lambda(P)=\dim\Lambda-1$
\END
\BEGINsufficiente
Supponiamo per assurdo che $\dim \Lambda(P) \neq \dim\Lambda-1$,
\eal{&\Lambda(P) \( \Lambda \> \dim \Lambda-1 \le \dim \Lambda(P) \le \dim \Lambda
\ubrace{\>}{\dim \Lambda(P) \neq \dim\Lambda-1}  \dim \Lambda(P)= \dim \Lambda
\NN
\sist{\Lambda(P) \( \Lambda \\ \dim \Lambda(P)= \dim \Lambda}
\> \Lambda(P)=\Lambda\NN
\Lambda=\Lambda(P)=\pgra{F\in \Lambda \;|\; P\in F }
\> P\in F \;\;\forall F\in \Lambda \> P\in \bigcap \Lambda
}
assurdo contro ipotesi.
\END
Il caso generale si ottiene per induzione.
\end{proof}
\begin{prop}
	\ilabel{NonBasesseUnaSola}
	Sia $\Lambda=\P(\gen{F_1,F_2})$ un fascio, ovvero $\dim \Lambda =1$, allora 
	\eal{&\exists ! F \in \Lambda:\;\;P\in F \= 
	P\notin \bigcap \Lambda=F_1\^F_2
	}
\end{prop}
\begin{proof}
	Basta applicare la \see{ImporreCondizioniIndipendenti} o rileggere  il
	punto $b')$ di \gpi{Esempio6.6}{156}.
\end{proof}
\begin{prop}\ilabel{EquazioneDeterminanteUnicaIpersuperfice}
	Sia dato il seguente sistema lineare di ipersuperfici:
	\eal{&\Lambda = \P(\gen{F_1,\dots,F_{d+1}}) }
	allora
	\eal{&\dim \Lambda(P_1,\dots,P_{d}) = 0
	\> \T{L'equazione $F(X)$ dell'unica ipersuperficie di
	$\Lambda(P_1,\dots,P_{d})$ e' data da: }\NN
	\qq\qq
	F(X)=
	\begin{vmatrix}
		F_1(X) & F_2(X) & \ldots & F_{d+1}(X) \\
		F_1(P_1) & F_2(P_1) & \ldots & F_{d+1}(P_1) \\
		F_1(P_2) & F_2(P_2) & \ldots & F_{d+1}(P_2) \\
		\vdots\\
		F_1(P_{d+1}) & F_2(P_{d+1}) & \ldots & F_{d+1}(P_{d+1}) 
	\end{vmatrix} =0
	}
\end{prop}
\begin{proof}
	Sviluppando secondo la prima riga, con la regola di Laplace, il
	determinante della tesi si vede che  $F(X)$ e' combinazione lineare di
	$F_1(X),\dots,F_{d+1}(X)$ e quindi:
	\eal{&F=\lambda_1F_1+\dots+\lambda_{d+1}F_{d+1} \> F\in 
	 \P(\gen{F_1,\dots,F_{d+1}}) =\Lambda
	}
	Inoltre, $F(P_i)=0$ perche' il determinante $F(P_i)$ ha due righe
	uguali.
	\eal{&F(P_i)=0\;\;\forall i,\;\;F\in\Lambda \> F\in
	\Lambda(P_1,\dots,P_d)
	}
	Poiche' $\dim  \Lambda(P_1,\dots,P_d)
=0$, $F$ e' proprio l'unica ipersuperficie di $ \Lambda(P_1,\dots,P_d)$.
\end{proof}

\begin{prop}
	\ilabel{NumDiCondizioni}
Sia $\Lambda$ un sistema lineare di \uline{curve} di ordine $m$,
allora 
\eal{&1.\;\;\T{Imporre che un punto $P$ sia tale che } \sist{P\in F\\m_P(F)\ge
s_i} \;\;\forall F \in
\Lambda \T{ equivale a imporre }\frac{s_i(s_i+1)}{2}\T{ condizioni}\NN
2.\;\;\T{Imporre che: } 
\big((m_P(F)\le m-r, \;\pl P {r} F=G)  \|  m_P(F) > m-r\big) \;\;\forall F\in \Lambda \NN
\qq \T{ equivale a imporre } 
\frac{(m-r)(m-r+3)}{2}=\dim \Lambda_{m-r}\T{ condizioni}\NN
\;\;\T{ con $\pl P {r} F =G$ intendiamo che l'equazione della $r$-polare di $P$ e' uguale a
una fissata curva $G$},\NN
\;\;\Lambda_{m-r} \T{ e' il sistema lineare delle curve di ordine $m-r$}
}
Se $c$ e' il numero totale di condizioni imposte e $\Lambda'$ e' il
sottospazio di $\Lambda$ che rispetta le condizioni, allora:
\eal{&\dim \Lambda' \ge \dim \Lambda -c
}
L'uguaglianza vale sse le condizioni sono tutte indipendenti tra loro.\\
Ricordiamo che 
$\dim \Lambda_m= \frac{m(m+3)}{2}$ (vedi \gpi{Esempio6.3}{154}).
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{}
	\begin{prova}
	Basta rileggere la \gpi{Cor6.5}{155}
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		$\pl P {r} F$ ha equazione (vedi \gpi{Def4.1}{177}):
	\eal{&\sum_{i_1+\dots+i_{3}=m-r} \frac{\partial^{m-r} F(P)}{
	\partial x_1^{i_1}
	\partial x_2^{i_2}
	\partial x_3^{i_3}
	}
	 x_1^{i_1}
	x_2^{i_2}
	x_3^{i_3}
	}
Inoltre,
\eal{&F\in \Lambda \= F= \lambda_1F_1+\dots+\lambda_{d+1}F_{d+1}\NN
\T{ con } \pgra{F_1,\dots,F_{d+1}} \T{ base di } \Lambda,\;d=\dim \Lambda
}
Quindi ogni coefficiente di $\pl P {r} F$ e' del tipo
\eal{&
C_{i_1i_2i_3}=\lambda_1\frac{\partial^{m-r} F_1(P)}{
        \partial x_1^{i_1}
        \partial x_2^{i_2}
        \partial x_3^{i_3}
        }        
	+\dots+
	\lambda_{d+1}\frac{\partial^{m-r} F_{d+1}(P)}{
        \partial x_1^{i_1}
        \partial x_2^{i_2}
        \partial x_3^{i_3}
        }\\
}
\case{
Supponiamo che $m_P(F) \le n-r$, cosi' che' $\pl P {r} F$ esiste
}
\begin{prova}
	
Imporre che $\pl P {r} F=G$ equivale a  dire che
\eal{&\exists \lambda\in K^*:\;\;C_{i_1i_2i_3}=\lambda
G_{i_1i_2i_3}\;\;\forall i_1,i_2,i_3\;\;(1)
}
ovvero che i coefficienti $C_{i_1i_2i_3}$ siano un multiplo dei coefficienti di
$G$. In generale, se abbiamo un vettore $X=(x_1,\dots,x_n)$ non nullo
(supponiamo ad esempio $x_n \neq 0$), allora imporre $X=\lambda Y$ equivale a 
\eal{&X=\lambda Y \= 
\begin{pmatrix}
	x_1\\
	\vdots\\
	x_n
\end{pmatrix} = \lambda
\begin{pmatrix}
	y_1\\
	\vdots\\
	y_n
\end{pmatrix}  
 \=
\lambda=\frac{x_n}{y_n},\;
\begin{pmatrix}
	x_1\\
	\vdots\\
	x_n
\end{pmatrix} = \frac{x_n}{y_n}
\begin{pmatrix}
	y_1\\
	\vdots\\
	y_n
\end{pmatrix}  \= 
\begin{pmatrix}
	x_1/x_n\\
	\vdots\\
	x_{n-1}/x_n\\
	1
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
	y_1/y_n\\
	\vdots\\
	y_{n-1}/y_n\\
1
\end{pmatrix}  \=\NN
\= x_i/x_n = y_i/y_n \;\forall i =1,\dots,n-1\=
x_iy_n=y_ix_n\;\forall i =1,\dots,n-1\=\NN
\=
\begin{pmatrix}
	y_n \\
	0 & y_n \\
	0 & 0 & y_n \\
	\vdots\\
	0 & 0 & \ldots & 0 &y_n
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
	x_1\\x_2\\\vdots\\x_{n-1}
\end{pmatrix} = x_n \begin{pmatrix}
	y_1\\
	y_2\\
	\vdots\\
	y_{n-1}
\end{pmatrix}
}
(nota\footnote{alternativamente si puo' dire che
\eal{&X=\lambda Y \Leftrightarrow \rho\begin{pmatrix}
	x_1 & \ldots & x_n \\
	y_1 & \ldots & y_n 
\end{pmatrix}=1 
}})
Quindi imporre la proporzionalita' tra due vettori di lunghezza $n$, equivale
a imporre $n-1$ condizioni.\\
Se con $Y$ indichiamo il vettore dei coefficienti di $G$ e con $X$ quello dei
coefficienti $C_{i_1i_2i_3}$ abbiamo che  la $(1)$ impone $\nu_{2+1,m-r}-1$ condizioni, dove $\nu_{2+1,m-r}$ e'
il numero di tutti i coefficienti $C_{i_1i_2i_3}$.\\
 $\nu_{2+1,m-r}$
 e' pari al numero di monomi di grado
$m-r$ con $3$ variabili (vedi \gpi{Oss6.1.1}{153}): 
\eal{&\nu_{2+1,m-r}= \binom{2+m-r}{2}  = \frac{(2+m-r)(1+m-r)}{2}
}
Quindi il numero di condizioni imposte e':
\eal{& \frac{(2+m-r)(1+m-r)}{2} -1 =
\frac{(m-r)(m-r+3)}{2}
}
\end{prova}
\case{
 $m_P(F) > m-r$
}
\begin{prova}
In questo caso $\pl P {r} F$ non esiste e $C_{i_1i_2i_3}=0$. Quindi il vettore
$X$ che avevamo visto in $(2)$ e' nullo, cioe' $x_i=0\;\forall i$. Ma allora,
le condizioni $(2)$ sono verificate da $F$.\\
Questo dimostra che le $(2)$ includono anche le $F$ tali che $m_P(F)>m-r$.
\end{prova}
	\end{prova}
Infine, 
\eal{&
\dim \Lambda' \ubrace{\ge}{ \gpi{thm6.4}{155}} \dim \Lambda -c
\ubrace{=}{\gpi{Esempio6.3}{154} }  \frac{m(m+3)}{2}-c
}
\end{proof}
\begin{prop}
	\ilabel{NumDiCondizioniTangente}
Sia $\Lambda$ un sistema lineare di \uline{curve} di ordine $m$, e sia $P$ un
punto,
allora
\eal{&
\T{Imporre che:}\;\forall F\in\Lambda\;(m_P(F)=1,\;t_P(F)=R) \| m_P(F)> 1,\T{ dove 
$R$ e' una retta fissata,}\NN
\T{equivale a imporre } 
2\T{ condizioni}
}
\end{prop}
\begin{proof}
	Basta osservare che:
\eal{&\pl P {m-1} F = t_P(F),\;\T{ con }m=\deg F
}
e applicare la \see{NumDiCondizioni}.
\end{proof}

\begin{thm}\ilabel{CubicaPer8PtPassaPerIlNono}
	Siano $F_1,F_2$ due cubiche distinte con 
	\eal{&F_1\^F_2 = \pgra{P_1,\dots,P_9},\;\;|F_1\^F_2|=9}
	Sia $F$ una cubica, si ha:
	\eal{&\pgra{P_1,\dots,P_8 }\( F\> P_9\in F }
\end{thm}
\begin{proof}
\eal{&F_1,F_2 \T{ distinte } \> \Lambda=\P(\gen{F_1,F_2})\T{ e' un fascio } (1)\NN
(1)  \ubrace{\>}{\see{TrovarePuntiBase}} 
F_1\^F_2 = \pgra{P_1,\dots,P_9}\T{ sono i punti base di }\Lambda\;\;(2)
}
\step{}{Dimostriamo che $F\in \Lambda$}
\begin{prova}
	Supponiamo per assurdo che $F\notin \Lambda$. Sia
	$\Lambda'=\P(\gen{F_1,F_2,F})$, si ha:
\eal{&F\notin \Lambda,\;\dim \Lambda=1 \> \dim \Lambda' = 2\;\;(3)\NN
\pgra{P_1,\dots,P_8}\(F_1\^F_2\^F\(\pgra{P_1,\dots,P_9}  \ubrace{\=}{{\see{TrovarePuntiBase}}} 
 \pgra{P_1,\dots,P_8}\(\bigcap\Lambda' \(  \pgra{P_1,\dots,P_9}\;\;(3.1)
}
\step{p0}{
Dimostriamo che
\eal{&\nexists T\(F_1\^F_2:\; |T|=4,\;F_1\^F_2 \^R = T,\;\T{ con $R$ retta }}
ovvero, i punti $P_1,\dots,P_9$ sono quattro a quattro non allineati.
}
\lineapiccola
\begin{prova}
Se cosi' non fosse, 
\eal{&T=\pgra{Q_1,\dots,Q_4},\;F_1\^F_2 \^R = T,\;\T{ con $R$ retta }\NN
\sum_{i=1}^4I(R\^F_j,Q_i) \ge 4 > \deg F_j   \ubrace{\>}{\gpi{thm5.1}{140'}}  R\T{ componente di $F_j$ } 
\NN
\qq \> \T{ $R$ e' componente di $F_1$ e di $F_2$. Assurdo contro Hp}
}
\end{prova}
\step{p1}{
Dimostriamo che
\eal{&\nexists T\(F_1\^F_2:\; |T|=7,\;F_1\^F_2 \^C = T,\;\T{ con $C$ conica }}
}
\lineapiccola
\begin{prova}
Si procede come prima utilizzando Bezout (\gpi{thm1.6}{162}): 
\eal{&T=\pgra{Q_1,\dots,Q_7},\;F_1\^F_2 \^C = T,\;\T{ con $C$ conica }\NN
\sum_{i=1}^7I(C\^F_j,Q_i) \ge 7 > 6=2\deg F_j   \ubrace{\>}{\gpi{thm1.6}{162}}  C\T{ componente di $F_j$ } 
\NN
\qq \> \T{ $C$ e' componente di $F_1$ e di $F_2$. Assurdo contro Hp}
}
\end{prova}
\step{p2}{
Dimostriamo che
\eal{&\nexists T\(F_1\^F_2:\; |T|=3,\;F_1\^F_2 \^R = T,\;\T{ con $R$ retta }}
ovvero, i punti $P_1,\dots,P_8$ sono tre a tre non allineati.
}
\lineapiccola
\begin{prova}
	Se cosi' non fosse, supponiamo per semplicita' $T=\pgra{P_1,P_2,P_3}$,
	si ha
\eal{&T=\pgra{P_1,P_2,P_3},\;F_1\^F_2 \^R = T,\;\T{ con $R$ retta }\NN
R=P_1P_2\NN
\T{Sia } A\in R \-\pgra{P_1,\dots,P_9}\NN
A\notin \pgra{P_1,\dots,P_9}\ubrace{\)}{(3.1)}\bigcap\Lambda'
\ubrace{\>}{\see{ImporreCondizioniIndipendenti}} A\T{ impone una condizione
indipendente per $\Lambda'$}\;\;(4)\NN
(4) \> \dim \Lambda'(A) = \dim \Lambda'-1 = 1\;\;(4.1)\NN
G\in \Lambda'(A) \> G \^ R \)\pgra{P_1,P_2,P_3,A}\>R\T{ e' una componente di
G} \>   \NN
\> G=R+C\T{ dove $C$ e' una conica, spezzata o meno }\NN
|\pgra{P_4,P_5,P_6,P_7}|=5,\;\T{ sono $4$ a $4$ non allineati (\sref{p0}) }
\>\NN
\qq\ubrace{\>}{\GI{tfc1},\GI{tfc2}} 
\exists ! \T{ conica C': } P_4,\dots,P_7\in C' \> C=C'\NN
G=R+C'\;\;\forall G\in \Lambda'(A) 
\> \Lambda'(A) = \pgra{G} \>\dim \Lambda'(A)=0
}
Assurdo contro $(4.1)$.
\end{prova}
\step{p3}{
Dimostriamo che
\eal{&\nexists T\(F_1\^F_2:\; |T|=6,\;F_1\^F_2 \^C = T,\;\T{ con $C$ conica }}
}
\lineapiccola
\begin{prova}
Si procede come prima, considerando
\eal{&T=\pgra{P_1,\dots,P_6}}
e scegliendo pero' $A\in C\-\pgra{P_1,\dots,P_6}$.  Si avra' cosi' che:
\eal{&\Lambda'(A) = \pgra{G}
\T{ dove $G$ e' la cubica spezzata in } G=C+R,\;\T{ con } R=P_7P_8
}
questo e' assurdo perche' si deve avere $\dim \Lambda'(A)=1$.
\end{prova}
\qedstep
\begin{prova}
	Sia $A\in P_1P_2\-\pgra{P_1,\dots,P_9}$, allora, come prima
	\eal{&\dim \Lambda'(A) = 1
	}
	Sia $B\in P_1P_2\-\pgra{P_1,\dots,P_9,A}$, 
	\eal{&\dim \Lambda'(A,B)\ge \dim  \Lambda'(A) -1 =0 
	\> \exists F'\in  \Lambda'(A,B)\NN
F'\in \Lambda'(A,B)\(\Lambda' \> \bigcap \Lambda'\( F' \> P_1,\dots,P_8
\in F'\NN
	F'\in \Lambda'(A,B),\;P_1,P_2\in F'\> P_1P_2\^ F' \) \pgra{P_1, P_2,A,B} \> P_1P_2 \T{ e' una
	componente di $F'$}\> F'=P_1P_2 + C\;\;\NN
%	F'\in  \Lambda'(A,B)\( \Lambda' \> 
	\sist{P_1,\dots,P_8 \in F'=P_1P_2+C \;\;\\
	\T{ Per il \sref{p1} e il \sref{p3} si ha: }
	\pgra{P_3,\dots,P_8}\nsubseteq C \> \exists P_i\notin C }
	\>  P_i\in P_1P_2 \>\NN
	\> P_1,P_2,P_i \in P_1P_2\^ F' 
	}
	e questo e' assurdo contro il $\sref{p2}$.
%	Sia $\pgra{F_1',F_2'}$ una base di $\Lambda'(A)$. \\
%	Si ha:
%	\eal{&F_1,F_2\in \Lambda'(A)\(\Lambda' \>
%	F_1,F_2\T{ sono cubiche irriducibili} \;\;(5)
%	}
%	Infatti, 
%	se $F_i$ e' spezzata, almeno tre punti base di $\Lambda'$, ad esempio
%	$P_1,P_2,P_3$, 
%	stanno su una sua retta-componente e questo e' contro 
%	quanto osservato nei passi precedenti.\\
%	Quindi,
%	\eal{&F_1 \neq F_2, (5) \> F_1,F_2\T{ no componenti a comune}
%	\ubrace{\>}{\see{CorTrovarePuntiBase}} 
%	\pass{	\bigcap \Lambda'(A) } < \8
%	}
%	Possiamo allora scegliere un punto $B\in P_1P_2\-\bigcap \Lambda'(A)
%	$,
%	\eal{&B\notin \bigcap \Lambda'(A
%)
%\ubrace{\>}{\see{ImporreCondizioniIndipendenti}} 
%B\T{ impone una condizione indipendente } \NN
%\qq \> \dim \Lambda'(A,B)=\dim \Lambda'(A) -1 = 0
%	}
%	, $F_1',F_2'$ non possono 
%	Sia $B\in P_1 P_2\-\pgra{P_1,\dots,P_9,A}$.
%\end{prova}
\end{prova}
\end{prova}
\qedstep
\begin{prova}
	\eal{&F\in \Lambda  \ubrace{\>}{(2)} P_9\in \Lambda
	}
\end{prova}
\end{proof}
\def\.{{\cdot}}
\begin{prop}\ilabel{SistemaCheContieneC}
	Sia $C\in \Lambda_m$, con $m\le n$ (\vedi{Lambdan}).\\
Indichiamo con $\Lambda_n(C)$ il sottospazio di $\Lambda_n$ formato dalle 
ipersuperfici $\Lambda_n$ che hanno
	$C$ come componente, ovvero
	\eal{&\Lambda_n(C)\definizione{=}\P\pton{\pgra{F\in
	K[x_1,\dots,x_{r+1}]_n\;\Big|\;C\div F}}}
	allora
%Sia $\Lambda_n\-\Lambda_n(C)$ il sottospazio delle curve che non hanno $C$ come componente, allora
\eal{&
\dim \Lambda_n(C) = \dim \Lambda_{n-m}
%1.\;\; \Lambda_n = \Lambda_n(C)\oplus \pton{\Lambda_n\-\Lambda_n(C)}\NN
%2.\;\;\dim \Lambda_n = \dim  \Lambda_n(C) + \dim  \pton{\Lambda_n\-\Lambda _n(C)
}
\end{prop}
\begin{proof}
	Nota: qui di seguito con $C$ indichiamo direttamente l'equazione di $C$.
%	\step{}{}
%	\begin{prova}
Sia 
\eal{&
W=\pgra{F\in K[x_1,\dots,x_{r+1}]_n\;|\;C\div F}
}
		\step{}{$W$ e' un sottospazio vettoriale}
		\begin{prova}
	Siano $F_1,F_2\in W$, allora
\eal{&F_1,F_2\in W \= C\div F_1,\;C\div F_2 
\= F_1=H_1C,\;F_2=H_2C \NN
\lambda F_1+\mu F_2 = (\lambda H_1+\mu H_2)C \> \lambda F_1+\mu F_2 \in
W
	}
		\end{prova}
%		\step{}{$\Lambda_n\-\Lambda_n(C)$ e' un sottospazio
%		vettoriale}
%		\begin{prova}
%		%%%TODO TODO TODO	
%		%%%TODO TODO TODO	
%!!!		TODO TODO TODO!!!\\
%Da dimostrare\\
%!!!		TODO TODO TODO!!!\\
%		%%%TODO TODO TODO	
%		%%%TODO TODO TODO	
%		\end{prova}
%%		\eal{&\Lambda_n(C)\^ \pton{\Lambda_n\-\Lambda_n(C)}=0
%%		\>
%%		}
%	\end{prova}
Consideriamo la seguente applicazione lineare :
\eal{&C\.: K[x_1,\dots,x_{r+1}]_{n-m} \longrightarrow W \NN
H \mapsto CH
}
che associa $H$ ad $H$ moltiplicato per $C$.\\
E' chiaro che $C\.$ e' biettiva (per definizione di $W$), quindi
\eal{&C\.\T{ isomorfismo } \> \dim W= \dim
K[x_1,\dots,x_{r+1}]_{n-m}\;\;(1)\NN
\dim \Lambda_n(C) = \dim \P(W) = \dim W -1   \ubrace{=}{(1)}  \dim
K[x_1,\dots,x_{r+1}]_{n-m} -1 = \dim \P(K[x_1,\dots,x_{r+1}]_{n-m})=
\dim \Lambda_{n-m}
}
\end{proof}

\begin{prop}
	\ilabel{CurvePassantiPerPuntiDiIrriducibile}
	Sia $C$ una \uline{curva irriducibile}, $\deg C=n$. Sia $\Lambda_m$ il sistema di
	curve di ordine $m<n$, e  $\Lambda\(\Lambda_m$, allora
	\eal{&\sist{\bigcap \Lambda\( C\NN
	\pass{\bigcap\Lambda }\le  mn}\> \dim \Lambda \le  mn-\pass{\bigcap\Lambda }}
\end{prop}
\begin{proof}
	Sia $\sigma=  mn-\pass{\bigcap
\Lambda }$. Supponiamo per assurdo che $\dim \Lambda > \sigma$, allora
\eal{&\dim \Lambda > \sigma \> \exists D \in
\Lambda(P_1,\dots,P_{\sigma+1}),\T{ dove } P_1,\dots,P_{\sigma+1}\in
C\-\pass{\bigcap \Lambda}\T{ sono punti distinti }\NN
D\in \Lambda \> \bigcap \Lambda\( D\^C\NN
P_1,\dots,P_{\sigma+1}\in D\^C\-\pton{\bigcap \Lambda}\NN
\qq \> |D\^C| \ge  \pass{\bigcap \Lambda} + \sigma+1 = mn+1 > mn
\ubrace{\>}{\gpi{thm1.2}{158}, \T{Bezout}} C,D\T{ hanno una componente a
comune }   \>\NN
\ubrace{\>}{C\T{ irriducibile } } C\div D \> \deg C \le \deg D
\= n \le m
}
assurdo contro ipotesi: $m<n$.
\end{proof}
\section{Cono tangente}
\begin{prop}
\ilabel{ConoTgImmediato}
In alcuni casi l'equazione del cono tangente e' immediata 
\begin{enumerate}
	\item Data $F\in \A^n$, scritta in componenti omogenee
		$F=f_1+f_2+\dots+ f_m$, 
		e $O\in F$ l'origine di $\A^n$, si ha
		\eal{&\mol O F =s \> f_s=\ctg O F
	}
	ovvero, $f_s=0$ e' l'equazione del cono tangente.\\
	Nota: $f_s$ e' il sotto-polinomio di grado piu' piccolo, non nullo, omogeneo di $F$.
\item Data $F\in \P^n$, scritta mettendo in evidenza $x_i$:
	\eal{&F=\sum_{i=0}^{m}F_ix_i^{m-i}\NN
	F_i \in K[x_1,x^{i-1}, x^{i+1},\dots,x_{n+1}],\;\;\deg
	F_i=i,\;\;F_i\T{ omogeneo }
	}
	si ha
	\eal{&
	\mol {\P_i} F  =s \> F_s = \ctg {\P_i} F
	}
	Nota: $F_s$ e' il primo coefficiente non nullo della $x_i$ ddi grado massimo. 
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{Dim. $1$}
	\begin{prova}
		\eal{&\mol O F = s  \ubrace{\=}{ \gpi{prop5.3.3}{52}} 
	f_0=f_1=\dots=f_s\equiv 0,\;f_{s+1} \neq 0\;\;(1)\NN
	B\in \ctg O F   \ubrace{\=}{\gpi{conotangente}{147} }
	OB \T{ e' una retta tg } 
	\= I(OB\^ F ,O) > \mol O F = s \NN
	I(OB\^ F ,O)  = r \ge  s+1
	\ubrace{\=}{\T{dimostraz. di \gpi{prop5.3.3}{143}}}
	f_0(B)=f_1(B)=\dots=f_{r-1}(B) =0,\;\;f_{r}(B) \neq 0\=\NN
	\ubrace{\=}{(1)} 
	f_{s}(B)=f_{s+1}(B)=\dots=f_{r-1}(B)=0,\;\;f_r(B) \neq 0\;\;(2)
	}
	Quindi
	\eal{&B\in \ctg O F  \ubrace{\>}{(2)} f_s(B)=0 }
	viceversa
	\eal{&f_s(B)=0 \> \exists r\ge s+1:\;f_{s}(B)=f_{s+1}(B)=\dots=f_{r-1}(B)=0,\;\;f_r(B)
	\neq 0\T{ (nota: se $OB\( F$ allora $r=m$)}\>\NN
	\ubrace{\>}{(2)} B\in \ctg O F}
	Quindi $f_s=0$ e' proprio l'equazione di $\ctg O F$.
	\end{prova}
	\step{}{Dim. $2$}
	\begin{prova}
Riutilizzando quanto visto nella
dimostrazione di \gpi{prop5.3.5}{144'}
, si procede analogamente a prima (sostituendo $f_i$ con $F_i$ e $O$ con
$A_i$. 
	\end{prova}
\end{proof}


\subsection{Bezout}
\begin{lem}
	\ilabel{LemmaIIBezout}
Siano $F$, $G$ curve in $\P^2$. Sia $r(x_1,x_2,x_3)=p_3x_1-p_1x_3$ una
retta.\\
Supponendo che $\P_2=Y_\8\notin F\U G$, si ha
\eal{&r\div \R_{x_2}(F,G) \= \exists P\in r\^F\^G
}
\end{lem}
\begin{proof}
	\step{p0}{$\R_{x_2}(F,G)=R(x_1,x_3)$ con $R$ polinomio omogeneo, $\deg
	R=mn$, oppure $R=0$}
	\begin{prova}
Scriviamo $F,G$ mettendo in evidenza $x_2$:
\eal{&
F=\sum_{i=0}^nA_ix_2^i,\;\;A_i\in K[x_1,x_3],\;\;\T{ omogeneo },\;\deg A_i = n-i\NN
G=\sum_{i=0}^mB_ix_2^i,\;\;B_i\in K[x_1,x_3],\;\;\T{ omogeneo },\;\deg B_i = m-i\NN
A_i(0x,0y) \ubrace{=}{A_i\T{ omogeneo }} 0^{\deg A_i} A_i(x,y)
\ubrace{=}{0^0=1} \sist{0 & \deg
A_i = n-i > 0\\
A_n& n-i =0} \> F(\P_2)=F(0,1,0)=A_n 1^n=A_n \>\NN
  \ubrace{\>}{\P_2\notin F\= F(\P_2) \neq 0} A_n\in K\-\pgra{0}
\> \deg_{x_2} F = n=\deg F \NN
\T{analogamente } \deg_{x_2} G =\deg G\NN
\sist{F,G\T{ omogenei}\\
\deg_{x_2} F =\deg F\\
\deg_{x_2} G =\deg G\\
}  \ubrace{\>}{\gpi{thm3.10}{124}} \R_{x_2}(F,G)=R(x_1,x_3)
}
	\end{prova}
\BEGINpnecessaria
Sia $f=F(p_1,x_2,p_3),\;\;g=G(p_1,x_2,p_3)\in K[x_2]$.\\
\eal{&\T{Sia $P=(p_1,p_2,p_3)$ un punto di $r$}\;\;(2)\NN
r\div \R_{x_2}(F,G)  \ubrace{=}{\sref{p0}} R(x_1,x_3)\NN
P\in r \> r(p_1,p_3) =0  \ubrace{\>}{r\div \R } \R_{x_2}(F,G) (p_1,p_3)=0 \NN
\R(f,g) \ubrace{=}{\T{def}} \R_{x_2}(F,G)(p_1,p_3)=0
\ubrace{\>}{\gpi{thm3.3}{121}} 
\exists H \in K[x_2]:\;\; H\div f,\;H\div g,\;\deg H >0 \;\;(1)\NN
K\T{ alg. chiuso }\exists p_2\in K:\;\;H(p_2)=0  \> f(p_2)=g(p_2)=0
\= F(p_1,p_2,p_3)=G(p_1,p_2,p_3)=0\= P\in F\^G \;\;(3)\NN
(2),(3)\> P\in r\^F\^G
}
\END
\BEGINsufficiente
\eal{&P\in F\^G \> F(P)=G(P)=0 \= f(p_2)=g(p_2)=0 \> x_2-p_2 \div f,g
\ubrace{\>}{\gpi{thm3.3}{121}} \R(f,g)=0 \=\NN
\ubrace{\=}{\sref{p0}}
\R_{x_2}(F,G)(p_1,p_3)=0  \= R(p_1,p_3)=0\ubrace{\=}{\R_{x_2}\T{ omogeneo } }
R(\lambda p_1, \lambda p_3)=0\;\;\forall \lambda \in K\;\;(4)\NN
P\in r \> r(P) =0 \= r(p_1,p_3)=0  \ubrace{\=}{r\T{ omogeneo} } 
r(\lambda p_1,\lambda p_3) =0 \;\;\forall \lambda \in K\;\;(5)\NN
\pgra{(\lambda p_1,\lambda p_3)\;|\;\lambda\in K}\T{ sono tutte le radici di }
r,\;(4),\;(5)  \ubrace{\>}{\gpi{thm4.3}{130}} 
r\div R
}
\END
\end{proof}
\begin{thm}
	\ilabel{Teorema1.7}
	Siano $F,G$ due curve in $\P^2$, e siano
	\begin{enumerate}
		\item $P\in F\^G\^\A^2, P=(p_1,p_2,1)$
		\item $\P_2\notin F\U G$
		\item $\pgra{P}= F\^G\^\pgra{Q\in \P^2\;|\;q_1=p_1}$\\
			ovvero, la retta $x=p_1$ si incontra solo in $P$ con
			$F$ e $G$
	\end{enumerate}
	allora
	\eal{&I(C\^D, P)=m_{x_1=p_1}\R_y(F_*,G_*)(x_1)}
\end{thm}
\begin{proof}
	Sia $r=p_3x_1-p_1x_3 \ubrace{=}{p_3=1} x_1-p_1x_3 $. $P$ e' un punto
	di $r$.
	Per definizione (\gpi{thm1.5}{161}), 
	\eal{&I(C\^D,P) = s\T{ tale che } 
	\R_{x_2}(F,G)= r^s H,\;\;r\ndiv H
	\>  r_*^s H_*= \R_{x_2}(F,G)_*=\R_{x_2}(F_*,G_*)\=\NN
	\ubrace{\=}{r_*=x_1-p_1} 
	(x_1-p_1)^s  H_* = 
	\R_{x_2}(F_*,G_*)\;\;(1)\NN
	r\ndiv H  \ubrace{\>}{\see{FdivGsseF*divG*}} 
	r_*\ndiv H  \ubrace{\>}{(1),\T{ def di molteplicita' }}  s=m_{x_1=p_1}\R_{x_2}(F_*,G_*)
	}
	\end{proof}
\begin{thm}
	\ilabel{ThmPrePascal}
	\ilabel{thm1.11}
Siano $F_1,F_2$ curve di grado $n$, con
\eal{&\pgra{P_1,\dots,P_{n^2}}=F_1\^F_2\T{ punti distinti}}
Sia $D$ curva \uline{irriducibile} di grado $m$, tale che 
\eal{&D\^F_1=\pgra{P_1,\dots,P_{mn}}}
allora si ha 
\eal{&\exists E \T{ curva di grado }n-m:\;\;E\^F_1 = \pgra{ P_{mn+1},\dots, P_{n^2}}
}
	\end{thm}
\begin{proof}
Sia $P\in D\-F_1$, e sia $F:\;\;\lambda_1F_1+\lambda_2F_2=0$ il fascio di base
$F_1,F_2$.
\eal{&P\notin F_1 \> P \neq P_i\;\;\forall i=1,\dots,n^2\;\;(0)
}
Per la \gpi{Esempio6.6,a'}{156}, si ha
\eal{&\exists \ove \lambda_1, \ove \lambda_2:\;\; P \in C=\ove
\lambda_1F_1+\ove\lambda_2F_2 \;\;(1)\NN
(1) \> \deg C = \deg F_1=\deg F_2 = n \;\;(1.1)}
Inoltre,
\step{p0}{$\exists H\T{ curva }: C=DH$}
\begin{prova}
\eal{&P_i\in F_1\^F_2 \= F_1(P_i)=F_2(P_i)=0  \ubrace{\>}{(1)}C(P_i)=0\=
F_1\^F_2  \( C \= 
P_1,\dots,P_{n^2} \in C \;\;(2)\NN
D\^F_1 = \pgra{P_1,\dots,P_{mn}},\;\;(2) 
\> D\^ C \) \pgra{P_1,\dots,P_{mn}} \;\;(3)\NN
P\in D\-F_1,\;P\ubrace{\in}{(1)} C,\;(3),\;(0)
\>  |D\^C| \ge  mn+1  \>\NN
\ubrace{\>}{\gpi{thm1.2}{158}} 
C,D\T{ hanno una componente in comune }  \ubrace{\>}{D\T{
irriducibile },\;\;\gpi{oss4.31}{131'}}
D\(C \> C=DH\;\;(4)\NN
DH=C,\;\deg D = m, \; (1.1) \> \deg H=n-m\;\;(5)\NN
}
\end{prova}
\step{p1}{$P_{mn+1},\dots,P_{n^2}\in H$}
\begin{prova}
	
	\eal{&\pgra{P_{mn+1},\dots,P_{n^2}}\^ D =\0 \;\;(6),\T{ infatti} \T{
	se per assurdo }  P_{mn+i}\in D\NN
	\qq D\^F_1  \ubrace{=}{\T{Hp} } \pgra{P_1,\dots,P_{mn}}\;\;(*)\NN
	\qq P_{mn+i}\in F_1\^F_2 \>  P_{mn+i}\in F_1 \;\;\T{, assurdo
	contro $(*)$}\NN
	(6) \= D(P_{mn+i}) \neq 0\;\;(6.1)
	}
	Inoltre,
	\eal{&(2) \> P_{mn+i} \in C = DH \= 
	D(P_{mn+i})H(P_{mn+i}) =0  \ubrace{\>}{(6.1)}  H(P_{mn+i}) =0 
	\> P_{mn+i}\in H
	}
\end{prova}
\step{p2}{$H,F_1$ non hanno componenti a comune}
\begin{prova}
Osserviamo che  $\ove \lambda_2  \neq 0$, infatti
\eal{&\ove \lambda_2 =0  \ubrace{\>}{(1)} C= \ove \lambda_1 F_1 
\> 0 \ubrace{=}{P\in C,\;\;(1)} C(P) = \ove \lambda_1 \ubrace{F_1(P)}{ \neq
0,\;\;P\in D\-F_1} \ >\ove \lambda_1 =0\NN
\ove \lambda_1=\ove \lambda_2 =0 \> C=0\T{ assurdo }
}
Se per assurdo $L\div H, F_1$,
\eal{&
\sist{DH \ubrace{=}{(4)} C \ubrace{=}{(1)} \ove \lambda_1F_1+\ove
\lambda_2F_2\\
L\div H, F_1 \\
\ove \lambda_2  \neq 0
} \> L \div F_2 \NN
L\div F_1,F_2 \> F_1,F_2 \T{ hanno una componente a comune } \> |F_1\^F_2|=\8
\T{ assurdo contro ipotesi }
}
\end{prova}
\qedstep
\begin{prova}
	Se per assurdo  $H\^F_1\supsetneq \pgra{P_{mn+1},\dots,P_{n^2}}$ si ha
\eal{& |H\^F_1| > n^2-(mn+1)+1 = n(n-m)=\deg F \deg H \>\NN
\ubrace{\>}{\gpi{thm1.2}{158}, \T{Bezout}} 
H, F_1\T{ hanno una componente a comune } 
}
assurdo contro $\sref{p2}$.
Quindi, per il $\sref{p1}$ si ha
\eal{&H\^F_1= \pgra{P_{mn+1},\dots,P_{n^2}}
}
che e' la tesi.
\end{prova}
\end{proof}
\section{Cono proiettante}
\begin{defn}\ilabel{DefConoProiettante}
	Sia $F$ un'ipersuperficie di $\P^n$ e $\pi$ un iperpiano. 
	Preso un punto $P\notin \pi$, possiamo considerare il
	seguente insieme di punti:
	\eal{&\pi_{P,F}\definizione{=}\bigcup_{Q\in F\^\pi} PQ
	}
	ovvero, l'insieme formato dai punti di tutte le rette passanti per $P$ e
	per un punto di $F\^\pi$. \\
	$\pi_P,F$ si chiama \iemph{cono proiettante}.
\end{defn}
\begin{lem}\ilabel{ProiezionePiP}
	Sia $\pi\(\P^n$ un iperpiano e $P\in \P^n\-\pi$.
	Indicheremo con $\pi_P(X)$ la proiezione di centro $P$ sull'iperpiano $\pi$
(vedi \GII{Proiezione (spazi proiettivi)}),
ovvero
\eal{&\pgra{\pi_P(X)} = PX \^ \pi}
$\pi_P(X)$ e' una funzione di tipo
\eal{&\pi_P(X):\P^n\-\pgra{P}\longrightarrow \pi
}
$\pi_P(X)$ si puo' pero' intendere come un vettore di polinomi in
$(K[X])^{n+1}$, infatti si ha:
\eal{&\pi_P(X) = k(X) P + X\NN
\T{ con }
k(X)=-\frac{\pi(X)}{\pi(P)}=-\frac{\sum_ia_ix_i}{\sum_ia_iP_i} \in K[X]\NN
\T{ dove } \pi\T{ ha equazione } \pi(X)=a_1 x_1+\dots+a_{n+1}x_{n+1}=0
}
Con questa interpretazione $\pi_P(X)$ diventa una funzione del tipo:
\eal{&\pi_P(X):\P^n\longrightarrow \pi\U\pgra{(0,0,\dots,0)}
}
infatti, l'unica cosa che cambia e'
\eal{&\pi_P(P)=(0,0,\dots,0)
}
\end{lem}
\begin{proof}
	\step{}{Dimostriamo che $\pi_P(X)\in K[X]$ }
\begin{prova}
	L'equazione $\pi(X)$ di $\pi$ e':
	\eal{&\pi(X)=a_1x_1+\dots+a_{n+1}x_{n+1}=0\;\;\T{ con qualche ${a_i
	\neq 0}$}\NN\NN
	P\notin \pi \> 
	\pi(P)  \neq 0 \= \sum_ia_iP_i  \neq 0 \;\;(0)
	}
	Si ha:\eal{&
	 \pi_P(X) \in \pi,\;\;P\notin \pi \>  \pi_P(X)  \neq P\;(2)
	\pgra{\pi_P(X)}= \pi\^ PX \;(1)\NN
	Q=\pi_P(X) \ubrace{\=}{(1),(2)} \sist{Q\in PX \\
	\pi(Q)=0\\
	X \neq P\\
	Q \neq P}
	\= \sist{Q= \lambda P + \mu X \\
	\pi(Q)=0\\
	Q,X \neq P
	}\;(2)\NN
\qq 	Q,X \neq P \= 
Q=\frac{\lambda}{\mu} P +X,\;
\mu  \neq 0,\;X \neq P
\= Q
= kP + X , \;X \neq P \NN
(2) \= \sist{Q=  k P +X \\
\pi(kP +X)=0\\
X \neq P
}\;(3)\NN
\qq \pi(kP +X)=0 \= \sum_{i}a_i(kP_i+X_i) =0 
\= k\sum_ia_iP_i+\sum_ia_iX_i  \ubrace{\=}{(0)\>\sum_ia_iP_i \neq 0}  k= -\frac{\sum_ia_iX_i}{\sum_ia_iP_i}\NN
(3) \= \sist{Q=  k(X)P +X \\
k(X)=-\frac{\sum_ia_iX_i}{\sum_ia_iP_i}\\
X \neq P
}
}	
Abbiamo cosi' ottenuto che
\eal{&\pi_P(X) = k(X) P + X,\;\;\T{ con }
k(X)=-\frac{\sum_ia_iX_i}{\sum_ia_iP_i} \in K[X]
}
\end{prova}
\step{}{Dimostriamo che $\pi_P(P)=(0,0,\dots,0)$}
\begin{prova}
	\eal{&\pi_P(P) = k(P)P+P \ubrace{=}{k(P)=-1}  -P+P=(0,0,\dots,0)
	}
\end{prova}
\end{proof}
\begin{prop}\ilabel{PropConoProiettante}
	Nelle ipotesi della def \see{DefConoProiettante}, si ha:
	\eal{&
	1.\;\;\pi_{P,F}\T{ e' una ipersuperficie }\NN
	2.\;\;\pi_{P,F}\T{ e' un cono di vertice $P$}\NN
	3.\;\;\T{Un'equazione di $\pi_{P,F}$ e': } F(\pi_P(X))=0,\;\T{ dove }
	\pi_P(X)\T{ e' data dalla \see{ProiezionePiP}}\NN
	4.\;\;\T{$F'$ e' l'ipersuperficie minima di $F$}
	\> 
	F'(\pi_P(X))=0\T{ e' l'ipersuperficie minima di } \pi_{P,F}\NN
	4.1\;\;\deg  F'(\pi_P(X)) =\deg F' \NN
	}
	Per la def. di ipersuperficie minima 
	\vedi{DefIpersupMinima}.
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{p0}{}
	\begin{prova}
\eal{&\pi_{P,F}=\bigcup_{Q\in F} PQ=\pgra{ 
X\in \P^n \;|\; X\in PQ,\;Q\in F\^\pi
} \;\;(1)\NN
X\in \pi_{P,F}\-\pgra{P}\ubrace{\=}{(1)} 
\sist{X\in PQ\-\pgra{P}\\
Q\in \pi\\
F(Q) = 0 
} \= \sist{
Q= \pi_P(X) \\
F(Q)=0\\
X \neq P
} 
\= F(\pi_P(X)) =0,\;X \neq P\;\;(2)\NN
\pi_P(X)  \ubrace{=}{\see{ProiezionePiP}}  k(X)P+X = \pton{- \sum_{i=1}^{n+1}\frac{a_i}{\pi(P)}x_i}P + X\T{ e'  lineare } \;(3)\NN
\pi_P(X) \ubrace{\in}{\see{ProiezionePiP}} (K[X])^{n+1} \> F(\pi_P(X))\in 
K[X],\;\;(3.1)\NN
F\T{ omogeneo}, \;\pi_P(X)\T{ lineare },\;(3.1) \> F(\pi_P(X))\T{ e'
omogeneo}\;\;(3.2)\NN
\pi_P(P)  \ubrace{=}{\see{ProiezionePiP}} 0 
\> P \in F(\pi_P(X)) \;\;(2.1)\NN
(2),(2.1) \> \pton{X\in \pi_{P,F}\= F(\pi_P(X)) =0 }\;\;(3.3)
}
Per le $(3.1),(3.2),(3.3)$, possiamo cosi' concludere che $G(X)= F(\pi_P(X))=0$ e' una ipersuperficie che ha per soluzione tutti e soli i punti di $\pi_{P,F}$.
	\step{}{
	$\pi_{P,F}\T{ e' un cono di vertice $P$}$
	}
	\begin{prova}
Infatti, basta applicare la definizione di $\pi_{P,F}$ e la definizione
		di cono \gpi{Def}{134}.\\
		\lineapiccola
	\end{prova}

	\eal{&\T{Sia }\G=\pgra{H\T{ ipersuperficie} \;|\;\pgra{X\;|\;H(X)=0}=
\pi_{P,F}}\NN
G\in \G \> \G \neq \0  \ubrace{\>}{\see{DefIpersupMinima}} 
\exists \T{ $G'$ ipersuperficie minima di $\pi_{P,F}$ }
}
\step{}{
Supponiamo che $F'$ sia l'ipersuperficie minima di $F$, e per
semplicita' poniamo $F=F'$. Tutti i conti fin'ora svolti rimangono validi.
Dimostriamo che l'equazione $G$  data dalla $(3.3)$ e' proprio $G'$.
}
\begin{prova}
\eal{&G'\T{ ipersuperficie minima } \> \sist{\pgra{X\;|\;G'(X)=0}=\pi_{P,F}
=\pgra{X\;|\;G(X)=0}\\ \deg G' \le  \deg G}\;\;(3.4)}
	\end{prova}
			\eal{&
		G(X)= F(\pi_P(X))  \ubrace{\>}{(3)}
		 \deg G \le  \deg F \;\;(4)
		}
		\step{}{
		Dimostriamo che $G'=0$  e $G=0$ sono la stessa equazione.
		}
		\begin{prova}
Per definizione di $G'$ si ha
\eal{&\pgra{X\in \pi\;|\;G'(X)=0}= \pgra{X\in \pi\;|\;F(X)=0}\;\;(4.1)
}
Ovvero, l'equazione $G'$ ristretta nei punti di $\pi$ e' una equazione dei
punti di $F$. 
\eal{&\sist{F\T{ e' per ipotesi l'ipersuperficie minima di $\pgra{X\in
\pi\;|\;F(X)=0}$}\\
(4.1)}  \ubrace{\>}{\see{MoltIntersezSupMinima}}  
I(R\^F,Q)\le I(R\^G',Q)\;\;(4.2)\NN
\T{ dove } R\T{ e' una qualsiasi retta di }\pi \T{ e }Q\in R
}
	Sia $R$ una retta tale che $R\(\pi$ e che non sia una
		componente di $F\^\pi$ e di $G'$,
per il \gpi{thm5.1}{140'} si ha:
		\eal{&\sum_{Q\in F\^ R } I(R\^F,Q)= \deg F \;\;(5)\NN
		R\(\pi,\;\pi_{P,F}\^\pi \( F,\;F\^\pi\( \pi_{P,F} \>
		R\^F=\pi_{P,F}\^R \= R\^F = G'\^R \;\;(6)\NN
		\deg F  \ubrace{=}{(5)} \sum_{Q\in F\^ R } I(R\^F,Q)
		\ubrace{ \le }{(4.2)} \sum_{Q\in F\^ R } I(R\^G',Q)
		\ubrace{=}{(6)}  \sum_{Q\in G'\^R }
		I(R\^G',Q)  =\NN
		\ubrace{=}{\gpi{thm5.1}{140'}} 
		\deg G' \ubrace{\le}{(3.4)} \deg G \ubrace{\le }{(4)} \deg F 
		\NN
		\qq \> \deg F = \deg G' =\deg G\NN
		\sist{G'\T{ ipersuperficie minima di }\pi_{P,F}\\
		G=\pi_{P,F}\\
		\deg G=\deg G' }
		\ubrace{\>}{\see{StessoGradoEstSupMinima}} 
		G=G'
		}
		\end{prova}
\end{prova}
\end{proof}
\begin{prop}\ilabel{ConoProiettantePuntoFondamentale}
	Nelle ipotesi della def \see{DefConoProiettante}, se $\P_r$ e'
	l'$r$-esimo punto fondamentale, si ha:
	\eal{&\T{L'equazione di $\pi_{\P_r,F}$ e': } F\pton{x_1,\dots,x_{r-1}, 
	-\frac{\sum_{i \neq r}a_ix_i}{a_r}, x_{r+1},\dots,x_{n+1}}=0\NN
	\T{ dove l'equazione di } \pi \T{ e': } a_1x_1+\dots+a_{n+1}x_{n+1}=0
	}
In altre parole, per trovare l'equazione di $\pi_{\P_r,F}$ si calcola $x_r$
dall'equazione di $\pi$ e si sostituisce in $F$.
\end{prop}
\begin{proof}
	Basta applicare la \see{PropConoProiettante} al punto
	\eal{&P=\P_r=(0,0,\dots,0,\ubrace{1}{\T{posto $r$}},0,\dots,0)}
\end{proof}
\begin{prop}
Alcuni dei teoremi di Geometria $I$ riguardanti il vertice  di un cono
	(\GI{vertice (quartica)}) valgono per le ipersuperfici $F$ di $\P^3$.\\
	Riportiamo qui di seguito gli enunciati:
	\eal{&1.
\;\;
\exists V_1 \neq V_2\in F\T{ vertici }\;\Rightarrow \;F\T{ e' spezzata}\NN
2.\;\;
V\;\T{ e' vertice }\;\Leftrightarrow \; \forall \T{rette r}:\;V\in r\;\T{
si ha } r\cap F=r\;\lor\; r\cap F= V\NN
3.\;\;
	\sist{R_1 \neq R_2\( F\;\T{ rette}\\
	\pgra{V'}=R_1\^R_2\\
	\exists V\in F\T{ vertice } }\> V'=V\T{ e' un vertice di }F
	}
	Il seguente teorema vale solo per le $F$ con $\deg F=2$:
	\eal{&
F \T{ e' spezzata }\;\Rightarrow \;\exists \infty \T{vertici }\in F\NN
	}
\end{prop}

\section{Punti singolari}
\begin{prop}\ilabel{Oss2.1.0}
Sia $F$ una curva priva di componenti multiple, ovvero
\eal{&F=F_1+\dots+F_r,\;\;\T{ $F_i$ componenti irriducibili } }
allora
\eal{&m_P(F) > 1 \> (\exists i \neq j:\;P\in F_i\^F_j \;\; \| \;\;
m_P(F_i) >1)
}
\end{prop}
\begin{proof}
	Vedi \gpi{Oss5.3.2}{142'}
\end{proof}
\begin{thm}
\ilabel{NumeroPtsingolari}
Sia $F$ una curva, tale che 
	\eal{&F=F_1+\dots+F_r,\;\;\T{ $F_i$ componente irriducibile,\;$F_i \neq
	F_j\;\forall i \neq j$} \NN
	\pgra{P\in F\;|\;m_{P}(F)>1}=\pgra{P_1,\dots,P_h},\;\;h<\8,\;P_i \neq
	P_j\;\;\forall i \neq j\NN
	s_i= m_{P_i}(F)
	}
	allora
	\eal{&
	\sum_{i=1}^{h} s_i(s_i-1) \le  n(n-1)
	}
\end{thm}
\begin{proof}
Se $n=1$, il thm e' vero perche' $h=0$ (una retta non ha punti singolari).\\
	A meno di proiettivita', possiamo supporre che 
	\eal{(0,0,1)\notin F \;\;(0)
	}
	Sia $F'=\dpa F {x_3}$, 
	\eal{&
	m_P(F) > 1  \ubrace{\>}{\gpi{thm5.8}{147},\;\gpi{prop5.8.1}{146'}} 
	P\in F\^ F'
	}
	\step{p0}{$F,F'$ non hanno componenti in comune}
	\begin{prova}
	Se per assurdo $\exists G$ irriduc. t.c. $G\div F,G\div F'$, allora
	\eal{&G\div F \> F=GH \> F'=\dpa F {x_3} = \dpa G{x_3}  H 
	+ G\dpa H {x_3} \;\;(1) \NN
	G\div F',\;G\div G ,\;(1) \> G\div  \dpa G{x_3}  H  \ubrace{\>}{G\T{
	irrid. }} G\div \dpa G{x_3}  \|  G\div H
	}
	\case{$G\div H$}
	\begin{prova}
		\eal{&G\div H,\;\;F=GH \> F=G^{t}\ove H ,\;t>1\> 
		F \T{ ha una componente multpla } 
		}
		assurdo contro Hp.
	\end{prova}
	\case{$G\div  \dpa G{x_3} $}
	\begin{prova}
		\eal{&\sist{\deg G > \deg  \dpa G{x_3}\\
		G\div  \dpa G{x_3}  } \>  \dpa G{x_3} \equiv 0
		\ubrace{\>}{\see{DpaNulla}}
		G\in K[x_1,x_2]\NN
		F=GH\T{ omogeneo } \ubrace{\>}{\gpi{lemma2.4}{117}} G\T{
		omogeneo }\NN
		\qq \> G(0,0,1)=G(0,0)=0  \ubrace{\>}{F=GH} F(0,0,1)  = 0
		}
		Assurdo contro $(0)$
	\end{prova}
\end{prova}
\qedstep
\begin{prova}
	
\eal{&F,F'\T{ non hanno componenti a comune }  \ubrace{\>}{\gpi{thm1.2}{158},
Bezout} |F\^F'|<\8 \> F\^F'=\pgra{P_1,\dots,P_h}\NN
m_{P_i}(F) =s_i\>\NN
\ubrace{\>}{\gpi{thm5.8}{147}} 
\T{ le derivate di ordine } s_i-1 \T{ sono nulle } \>\NN
\> \T{ le derivate di } F'=\dpa F{x_3}\T{ di ordine } s_i-2\T{ sono nulle }
\ubrace{\>}{\gpi{thm5.8}{147}} m_{P_i}(F') \ge s_i  -1\;\;(3)\NN
\sum_{i=1}^{h}s_i(s_i-1)\ubrace{ \le}{(3)}  \sum_{i=1}^{h}m_{P_i}(F)m_{P_i}(F')
\ubrace{\le }{\gpi{cor1.10}{165}} \deg F\deg F'= n (n-1)\NN
	\sum_{i=1}^{h} s_i(s_i-1) \le  n(n-1)
}
\end{prova}
\end{proof}

\section{Curve irriducibili}
\begin{prop}\ilabel{CurvaSempliceIrriducibile}
	Sia $C$ una curva in $\P^2$,
	\eal{&C\T{ non ha punti singolari } \> C\T{ e' irriducibile } }
\end{prop}
\begin{proof}
	Se per assurdo $C$ e' spezzata in almeno due componenti $C_1,C_2$
	(distinte o meno) si ha:
	\eal{&C_1\^C_2 \ubrace{\neq}{\T{Bezout }\gpi{thm1.2}{158}} 0
	\> \exists P\in C_1\^C_2\;\;(1)\NN
	C_1 \neq C_2  \ubrace{\>}{(1)} P\T{ e' un punto comune a due
	componenti }  \ubrace{\>}{\gpi{oss5.3.2}{142'}} P\T{ e' singolare }\NN
	C_1 = C_2  \ubrace{\>}{(1)} P\T{ sta' in una componente che ha
	molteplicita' almeno 2}  \ubrace{\>}{\gpi{oss5.3.2}{142'}} P\T{ e'
	singolare }
	}
	in ogni caso si ha un'assurdo.
\end{proof}
\begin{prop}
	\ilabel{Ipersup1SoloPtRetta}
Sia $F$ una ipersuperficie in $\P^n$ e $R$ una retta, allora
	\eal{&\sist{F\^R=\pgra{P}\\m_P(F)=1} \> F\T{ e' irriducibile }}
	In altre parole, se $F$  incontra in un solo punto la retta $R$
	e questo punto e' semplice,  allora $F$ e' irriducibile.
\end{prop}
\begin{proof}
		Supponiamo per assurdo che sia spezzata in almeno due componenti
	$F_1,F_2$.\\
	\eal{&\T{Per \gpi{Oss5.1.0}{140'} si ha: }F_1\^R \neq \0,\;\;F_2\^R
	\neq \0 \NN
	F_1\^R , \;F_2\^R\( F \^ R  \ubrace{=}{\T{per Hp}} 
	\pgra{P}\NN
	\qq \> F_1\^R =F_2\^R = \pgra{P}\;\;(1) 
	}
	Infine,
	\eal{&(1) \> P \in F_1\^F_2  \ubrace{\>}{\gpi{oss5.3.2}{142'}}m_P(F)
	\ge  2  }
	assurdo contro $m_P(F)=1$.
\end{proof}

\begin{prop}\ilabel{Curva1soloPtImpr}
	Sia $C$ una curva, allora
	\eal{&\sist{C\^R_\8=\pgra{P}\\m_P(C)=1} \> C\T{ e' irriducibile }}
	dove $R_\8=\P^2\-\A^2$ e' la retta impropria.\\
	In altre parole, se $C$ ha un solo punto improprio e questo punto improprio e' semplice,  allora $C$ e' irriducibile.
\end{prop}
\begin{proof}
	Applica la \see{Ipersup1SoloPtRetta}
\end{proof}

\begin{prop}
	\ilabel{CurvaIrriducibileConPuntoMultiploMassimo}
	Sia 
	\begin{enumerate}
		\item 
			
	$C$ una curva, $\deg C=n$
\item $P\in C,\;m_P(C)=n-1$
\item $P$ unico punto
	singolare di $C$
	\end{enumerate}
allora
\eal{&C\T{ riducibile } \= \exists R\T{ retta: } R\( \ctg P C \^ C}
\end{prop}
\begin{proof}
	\BEGINsufficiente
	\eal{&R\( C \> R\div C \> C\T{ riducibile }
	}
	\END
	\BEGINpnecessaria
	\eal{&C=F_1+F_2}
	\case{$F_1$  e' una retta}
	\begin{prova}
		Poniamo $R=F_1$
		\eal{&P\T{ unico pt. singolare }  \ubrace{\>}{
\gpi{Oss5.1.2}{140'}
		} 
		R\^F_2=\pgra{P} 
		\> P\in R\(C \> I(R\^C ,P)=\8 \>\NN
		\> R\T{ e' una tangente in }P \=
		R\( \ctg P C}
	\end{prova}
	\case{$F_1$ non e' una retta}
	\begin{prova}
	Possiamo supporre che $F_1$ sia irriducibile. Sia $d_i=\deg
	F_i,\;m_i=m_P(F_i)$
	\eal{&d_1+d_2=\deg C = n\NN
P\T{ unico pt. singolare }  \ubrace{\>}{
\gpi{Oss5.1.2}{140'}
                }
	F_1\^F_2 = \pgra{P} \;(1) \NN
	F_1\T{ irrid. } \> m_P(F_1) < \deg F_1 \= 
	m_1 < d_1 \= m_1 = d_1-r,\;\T{ con } r>0\;\;(2)\NN
	n-1=m_P(C)  \ubrace{=}{(1),\;\gpi{Oss5.1.2}{140'}}  m_1+m_2
	\ubrace{=}{(2)} 
	d_1-r +m_2  \> m_2 = n-1 -d_1+r  \ubrace{=}{n=d_1+d_2} 
	d_2-1+r \ge d_2 \NN
	m_2 \ge d_2 \= m_P(F_2) \ge  \deg F_2 \= m_P(F_2) = \deg F_2 \>\NN
	\ubrace{\>}{\gpi{Oss5.3.6}{144'}, \;\gpi{Oss5.7}{145'}}   F_2 \T{ e' un cono spezzato in } d_2\T{ rette }
	}
	Allora, se chiamiamo $R$ una tale retta, possiamo procedere come nel
	caso precedente e avremo:
	\eal{&  R\( \ctg P C
	}
	\end{prova}
	\END
\end{proof}

\begin{defn}
	\ilabel{DefCuspideNodo}
	Sia $C$ una curva e $P\in C$.\\
	$P$ e' ordinario $\definizione{\=}$ ha tutte le tangenti distinte.
	\index{punto ordinario}\\
	Una \iemph{cuspide} e' un punto doppio non ordinario.\\
	Un \iemph{nodo} e' un punto doppio ordinario.\\
	Una \iemph{cuspide ordinaria} e' un punto doppio $P$ non ordinario, e
	la sua unica retta tangente $r$ e' tale che 	$I(C\^r, P)=3$.
\end{defn}

\subsection{Conica}
\begin{prop}\label{ConicaSempliceIrriducibile}
	Sia $C$ una \uline{conica} in $\P^2$,
	\eal{&C\T{ e' irriducibile } \= C\T{ non ha punti singolari }}
\end{prop}
\begin{proof}
	\BEGINpnecessaria
	\eal{&C\T{ irriducibile }  \ubrace{\>}{\gpi{oss2.2}{168}} C\T{ non ha
	punti singolari}
	}
	\END
	\BEGINsufficiente
	Basta applicare la \see{CurvaSempliceIrriducibile}
	\END
\end{proof}
\begin{prop}
	\ilabel{ConicaMatA}
	Sia $F\in \P^2$ una conica. La matrice $A$ (nota\footnote{$A$ si
	chiama discriminante della conica}) che usavamo in geometria I
	(vedi \GI{SezioneConiche})
	e' la matrice dei coefficienti del sistema
	\eal{&\sist{\dpa F x =0\\
	\dpa F y =0 \\
	\dpa F z = 0
	}}
	nelle incognite $x,y,z$.
Quindi dal teorema $\gpi{thm5.8}{147}$ segue:
\eal{&\rho(A)=3\= |A|  \neq 0 \=\T{ l'unica soluzione e' $(0,0,0)$ (che non e'
un punto) } \= \NN
\qq \qq \=
\nexists P\in F:\;\;m_P(F) > 1  \ubrace{\=}{\see{ConicaSempliceIrriducibile}}
F\T{ e' irriducibile }\NN
\rho(A) =2 \= 
\exists \8^1 \T{ soluzioni } \= \exists ! P:\;\;m_P(F)=2 \= F=R+S,\;\;\T{rette distinte, } R\^S=\pgra{P}\NN
\rho(A) =1 \=  
\exists \8^2 \T{ soluzioni } \= \exists R\T{ retta }:\;\forall  P\in
R\;\;m_P(F)=2 \= F=2R
}
\end{prop}

\subsection{Cubica}
\begin{prop}
	\ilabel{CubicaFlessoIrriducibile}
	Sia $C$ una cubica (nota\footnote{per la definizione di flesso vedi
	\see{DefFlesso}}),
	\eal{&\exists P\in C\T{ flesso: }t_P(C)\nsubseteq C \> C\T{ e' irriducibile }
	}
\end{prop}
\begin{proof}
	\eal{&P\in C\T{ flesso} \= \sist{m_P(C) =1 \\
I(t_P(C)\^C,P)\ge 3   }\NN
I(t_P(C)\^C,P)\ge 3 =\deg C  \ubrace{\>}{\gpi{thm5.1}{140'}}
\> t_P(C)\( C  \| t_P(C) \^ C =\pgra{P}
\ubrace{\>}{\T{per Hp } t_P(C)\nsubseteq C} 
t_P(C) \^ C =\pgra{P}\NN
\sist{m_P(C)=1\\
t_P(C) \^ C =\pgra{P}} \ubrace{\>}{\see{Ipersup1SoloPtRetta}} 
C\T{ irriducibile }
}
\end{proof}
\begin{prop}\ilabel{CubicaIrriducibile}
	Sia $C$ una cubica.
	\eal{&C\T{ e' irriducibile } 
	\= \T{ si verifica una delle seguenti: }\NN
	\qq\qq 1.\;\;C\T{ e' priva di punti singolari }\NN
	\qq\qq 2.\;\;\T{ $P$ e' l'unico punto singolare di $C$ e inoltre 
una delle seguenti condizioni e' verificata: }\NN
	\qq\qq\qq 2.1\;\;\;P\T{ e' un nodo }\NN
	\qq\qq\qq2.2\;\;P\T{ e' una cuspide con retta tangente non contenuta in } C
	}
\end{prop}
\begin{proof}
	\BEGINpnecessaria
Supponiamo che $C$ abbiamo qualche punto singolare e dimostriamo la $2.$	
	\step{p0}{$C$ irriducibile $\>$ l'unico punto singolare e' un $P$
	punto doppio }
	\begin{prova}
		Procediamo per assurdo.
		\eal{&Q\in C \ubrace{\>}{\deg C =3 }1\le  m_Q(C) \le  3}
		Si hanno quindi due casi:
		\case{$\exists Q\in C:\;\; m_Q(C)=3$}
		\begin{prova}
			\eal{& m_Q(C)=3 =\deg C
			\ubrace{\=}{\gpi{Oss5.3.6}{144'} }
			C\T{ e' un cono  di vertice $Q $}
			\ubrace{\>}{\gpi{Oss5.7}{145'}} C\T{ e' riducibile }
			} 
			assurdo.
		\end{prova}
		\case{$\exists Q\in C\-\pgra{P}:\;\;m_Q(C)=2$}
		\begin{prova}
			Questo e' assurdo contro \gpi{Oss2.2.1}{168}.
		\end{prova}
	\end{prova}
	Se $C$ e' irriducibile abbiamo solo due casi: $P$ e' un nodo oppure
	$P$ e' una cuspide.
	\case{$P$ cuspide}
	\begin{prova}
		In questo caso esiste una sola tangente $r$ per $P$.
		\case{$r\(C $}
		\begin{prova}
			Allora, 
			\eal{&r\div C \> C\T{ riducibile }}
			assurdo
		\end{prova}
	\end{prova}
	\END
	\BEGINsufficiente
	\case{$1.\;$}
	\begin{prova}
		Basta applicare la prop \see{CurvaSempliceIrriducibile}.
%
%		\eal{&1.\=\forall P\in C\;\;m_P(C)=1\;\;(1)}
%	Supponiamo per assurdo che $C$ sia spezzata  ed esaminiamo i vari
%	casi.
%	\case{$C=3R$, $R$ retta}
%	\begin{prova}
%		In questo caso tutti i punti di $C$ sono tripli. Assurdo
%		contro $(1)$
%	\end{prova}.
%	\case{$C=2R+S$ oppure $C=R+S+T$, con  $R,S,T$ rette distinte}
%	\begin{prova}
%	Sia $ \pgra{A}=R\^S$.
%			\eal{&A\in R\^S \> A\T{ sta' in due componenti di } C
%			\ubrace{\>}{\gpi{oss5.3.2}{142'}} 
%			m_A(C) \ge 2
%			}
%			assurdo contro $(1)$
%	\end{prova}
%	\case{$C=F+R$, con $F$ conica irriducibile e $R$ retta}
%	\begin{prova}
%		Per \gpi{thm1.2}{158} si ha $F\^R \neq 0$.
%		Sia $P\in F\^R$.
%		\eal{&P \in F\^R \> P \T{ sta' in due componenti di }
% C
%                        \ubrace{\>}{\gpi{oss5.3.2}{142'}}
%                        m_P(C) \ge 2
%		}
%		assurdo contro $(1)$.
%	\end{prova}
	\end{prova}
	\case{$2.$}
	\begin{prova}
	\eal{&2. \> P\T{ e' l'unico punto singolare di $C$ }\;\;(2)\NN
	2. \> P\T{ e' un nodo o una cuspide con retta tg non $\( C$ }
	\;\;(2.1)\NN
	2. \> m_P(C)=2\;\;(2.2)
		}
	Supponiamo per assurdo che $C$ sia spezzata  e come prima esaminiamo i vari
	casi.
	\case{$C=3R$, $R$ retta}
	\begin{prova}
		In questo caso tutti gli infiniti\footnote{sono infiniti per
		\gpi{thm4.1}{129'}} punti di $C$ sono tripli. Assurdo
		contro $(2)$.
	\end{prova}
	\case{$C=2R+S$ , con  $R,S$ rette distinte}
	\begin{prova}
Sia $P\in R$.
\eal{&R\T{ e' una componente di molteplicita' 2 }
\ubrace{\>}{\gpi{oss5.3.2}{142'}} m_P(C)\ge 2  }
quindi tutti gli infiniti punti di $R$ sono singolari. Assurdo contro $(2)$
	\end{prova}
	\case{$C=R+S+T$, con  $R,S,T$ rette distinte}
	\begin{prova}
		Sia $ \pgra{A_1}=R\^S,\;\pgra{A_2}=S\^T$
		\case{$A_1=A_2$}
		\begin{prova}
			\eal{&\sist{A_1=A_2\\R,S,T\T{ distinte }} \> R\^S\^T=\pgra{A_1}
			\ubrace{\>}{\gpi{oss5.3.2}{142'}} 
			m_{A_1}(C) \ge 3
	}
	Questo e' assurdo contro $(2),(2.2)$, in quanto $P$ e' l'unico punto
	singolare, ed ha $m_P(C)=2$
		\end{prova}
		\case{$A_1 \neq A_2$}
		\begin{prova}
			\eal{&
			A_1\in R\^S  \ubrace{\>}{\gpi{oss5.3.2}{142'}} m_{A_1}(C) \ge 2\NN
			A_2\in S\^T  \ubrace{\>}{\gpi{oss5.3.2}{142'}}
			m_{A_2}(C) \ge 2\NN
			\qq \> C\T{ ha almeno due punti singolari }
			}
			assurdo contro $(2)$.
		\end{prova}
	\end{prova}
	\case{$C=F+R$, con $F$ conica irriducibile e $R$ retta}
	\begin{prova}
		Per \gpi{thm1.2}{158} si ha $F\^R \neq 0$.
		Sia $P\in F\^R$.\\
		Supponiamo che $P$ non sia un nodo, ovvero che sia una
		cuspide e sia $r$ la tangente a $C$ in $P$.\\
		\eal{&C=F+R \> R\(C ,\;\;P\in R \>  I(R\^C, P ) = \8 
		\ubrace{\>}{\T{definizione}}  R\T{ e' tangente }
		\ubrace{\>}{P\T{ cuspide} } R=r\NN
		r=R\(C
		}
		quindi la tangente e' contenuta in $C$
	\end{prova}
	\qedstep
	\begin{prova}
		In conclusione gli unici casi possibili sono
		\eal{&2.1 \T{ e } 2.2}
	\end{prova}
	\end{prova}
	\END
\end{proof}

\begin{exemp}
	Vedi pg. 43,44 degli appunti gialli.
\end{exemp}
\subsection{Quartiche}
\begin{defn}
	Una quartica e' una curva di ordine $4$.
\end{defn}
Per le quartiche irriducibili non abbiamo alcuna caratterizzazione.
\begin{prop}\ilabel{Quartica1SoloPtTriplo}
	Sia $C$ una quartica e sia $P\in C$ l'unico punto singolare di $C$,
	con $m_P(C)=3$, allora
	\eal{&C\T{ riducibile } 
	\= C\T{ ha per componente una retta tangente in }P
	}
	Corollario:
	\eal{&\T{Nessuna delle rette del cono tangente in $P$ divide $C$ }
	\= C\T{ e' irriducibile }}
\end{prop}
\begin{proof}
	Basta applicare la proposizione
	\see{CurvaIrriducibileConPuntoMultiploMassimo}.
%
%	Per ipotesi
%	\eal{&P\T{ e' l'unico punto singolare di $C$}\;\;(1)}
%	\case{$C$ ha per componente una retta $R$}
%	\begin{prova}
%		In questo caso, $C$ e' del tipo
%		\eal{&C=R+G}
%		con $R$ retta e $G$ curva (spezzata o meno).\\
%	Dimostriamo che $R$ e' tangente in $P$.
%	\step{}{$P\in R$}
%	\begin{prova}
%		\eal{&R\^G  \ubrace{\neq}{ \gpi{thm1.2}{158}}
%		0 \> \exists Q\in R\^G 
%		\ubrace{\>}{\gpi{oss5.3.2}{142'}} 
%		Q\T{ e' singolare } \ubrace{\>}{(1)}  Q=P \>P\in R
%		}
%	\end{prova}
%	\eal{&\sist{P\in R\\
%	R\( C } \> I(R\^C,P) = \8  \ubrace{\>}{\gpi{oss5.9.0}{147}}  R\T{ e' tangente }
%	}
%	\end{prova}
%	\case{$C$ non ha rette per componenti}
%	\begin{prova}
%		$C$ si deve allora spezzare in due coniche irriducibili
%		$C_1,C_2$.
%\eal{&
%C_1\^C_2 \ubrace{\neq}{\T{Bezout }\gpi{thm1.2}{158}} 0
%        \> \exists Q\in C_1\^C_2
% \ubrace{\>}{\gpi{oss5.3.2}{142'}}
%                Q\T{ e' singolare } \ubrace{\>}{(1)}  Q=P\NN
%		\T{Tuttavia, sempre per la }\gpi{oss5.3.2}{142'}
%		\T{ si ha } m_Q(C) =  m_Q(C_1)+ m_Q(C_2) =\NN
%		\ubrace{=}{C_1,C_2\T{ irriducibili,
%		\see{ConicaSempliceIrriducibile}}} =1+1=2
%		\> m_{P}(C)=2
%}
%assurdo contro ipotesi.\\
%Quindi questo caso non si puo' verificare.
%	\end{prova}
\end{proof}
\begin{exemp}\label{expQuartica1SoloPtTriplo}
	Dimostriamo che $C=x^4+y^4-xy^2$ e' irriducibile.
	\eal{&\sist{C^*=0\\
	t=0}\= \sist{ x^4+y^4=0\\
	t=0}
	\= \sist{(x^2-iy^2)(x^2+iy^2)
	=0 \\
	t=0}
	\=  \sist{(x-\sqrt{i}y)(x+\sqrt{i}y)(x-i\sqrt{i}y)(x+i\sqrt{i}y)
        =0 \\
        t=0}\=\NN
	\= C^*\^ \pgra{t=0} = \pgra{\T{quattro punti di molteplicita' 1}}
	}
	Quindi non esistono punti singolari impropri.\\
	Applicando il teorema \gpi{thm5.8}{146} si vede che $O=(0,0)$ e'
	l'unico punti singolare proprio:
	\eal{&\sist{\dpa C x = 4x^3-y^2=0 \\
	\dpa C y =  (4y^2 -2x)y =0 \\
	C=0
	}\= (x,y)=(0,0)
	}
	Quindi l'unico punto singolare e' $O$\;\;(1).\\
	Direttamente dall'equazione (vedi \gpi{prop5.3.3}{143}) si vede che
	$O$ e' un punto triplo\;\;\;(2).\\
	Per la \see{ConoTgImmediato}, il cono tangente ad $O$ e' $xy^2=0$.
	Quindi le rette tangenti sono $x=0,y=0$, tuttavia 
	\eal{&x\ndiv C,\;\;y\ndiv C}
	quindi non sono contenute in $C$.\\
	Allora per \see{Quartica1SoloPtTriplo} $C$ e' irriducibile.\\
\end{exemp}
\begin{prop}\ilabel{Quartica3PtDoppi}
Sia $C$ una quartica e siano $P_1,P_2,P_3\in C$  gli unici punti singolari
distinti, con $m_{P_i}(C)=2\;\;\forall i$,
allora
\eal{&C\T{ riducibile } 
\> \T{si verifica uno dei seguenti casi: }\NN
\qq \qq 1.\;\; C\T{ si spezza in due coniche irridicibili}\NN
\qq \qq 1. \> \T{i punti }P_1,P_2,P_3 \T{ sono una cuspide e due nodi }\NN
\qq \qq 2.\;\; C\T{ ha per componente una retta $R$, e si ha: }\NN
\qq\qq \qq 2.1\;\;R=P_iP_j\T{ con $i \neq j$ } \NN
\qq \qq \T{oppure}\NN
\qq \qq\qq 2.2\;\;\exists i:\;\; R \in \ctg {P_i} C
}
Corollario:
\eal{&\sist{P_1,P_2,P_3 \T{ non sono  cuspide-nodo-nodo}\\
P_iP_j\nsubseteq C\;\;\forall i \neq j\\
\pton{\forall\T{ retta } R\( \ctg {P_i} C\;\;R\nsubseteq C } \;\forall
i=1,2,3
 } \> C\T{ e' irriducibile }
}
\end{prop}
\begin{proof}
	Per ipotesi:
	\eal{&\T{gli unici punti singolari di } C \T{ sono }P_1,P_2,P_3\T{ e
	inoltre sono doppi}\;\;(1)}
	\case{$C$ si spezza in $C_1,C_2$ coniche irriducibili\\
	(!)ATTENZIONE(!) dimostrazione incompleta
	}
	\begin{prova}
Si deve avere $C_1 \neq C_2$, infatti
\eal{&C_1=C_2  \ubrace{\>}{\gpi{Oss5.3.2}{142'}} 
\T{ tutti gli infiniti punti di $C_1=C_2$ sono singolari. assurdo contro (1)}}
inoltre,
		\eal{&(1),\;
		C_1 \neq C_2
		\ubrace{\>}{\gpi{Oss5.3.2}{142'}} 
		C_1\^C_2 = \pgra{P_1,P_2,P_3} \>\NN
		\ubrace{\>}{\T{Bezout }\gpi{thm1.6}{162}}
	I(C_1\^C_2,P_1) + 
	 I(C_1\^C_2,P_2) +  I(C_1\^C_2,P_3)
	  =4 
	  \> \exists i:\;\;  I(C_1\^C_2,P_i)=2
		}

	Si dimostra che 
	\eal{&
	 I(C_1\^C_2,P_i)=2\>t_1(P_i)=t_2(P_i), \T{ con $t_j(P)$ tangente di
	 $C_j$ in $P$}  \ubrace{\>}{\gpi{exemp5.15}{151}}
	 \ctg {P_i} C = (t_1(P_i))^2 \= \NN
	 \=P_i\T{ e' una cuspide }
	}
	Si dimostra anche che 
	$\pgra{P_1,P_2,P_3}\-\pgra{P_i}$ sono nodi.\\
	\end{prova}
	\case{C ha per componente una retta $R$}
	\begin{prova}
%		Osserviamo che $C=R+G,\;\;G\T{ cubica irriducibile }$,
%		infatti, se per assurdo $C=R+S+C_1$, allora
%		\eal{&i
%		}
%		\eal{&(1), \;R\( C \> C=R+G,\;\;G\T{ cubica irriducibile } 
%}
Per \gpi{Oss5.3.2}{142'}, $C$ si deve spezzare. 
		Supponiamo che 
		$R \neq P_iP_j\;\;\forall i \neq j$, allora
		\eal{&C=R+G,\;(1),\;R\^G \ubrace{\neq}{\gpi{thm1.2}{158}} \0  \ubrace{\>}{\gpi{Oss5.3.2}{142'}}  
		\exists i:\;\;P_i\in R\^G  
%		\ubrace{\>}{R \neq P_iP_j\;\;\forall i \neq j} P_j\notin R\;\;\forall j \neq i
		}
		Infine, 
		\eal{&P_i\in R\( C\> I(R\^C, P_i) =\8
		\ubrace{\>}{\gpi{oss5.9.0}{147}} 
		R\T{ e' tangente a }C\T{ in }P_i\= R\( \ctg {P_i} C
		}
	\end{prova}
\end{proof}

\section{Curve razionali}
\begin{thm}\ilabel{AlgoEquParam}
	Se $C$ e' irriducibile e $\delta(C)=0$ allora $C$ e' razionale.\\
	Per trovare le equazioni parametriche si utilizza questo metodo:
	\begin{enumerate}
		\item Siano $P_1,\dots,P_h$ i punti singolari di $C$
		\item Siano $Q_1,\dots,Q_{n-3}\in C$ punti distinti e distinti dai
			punti $\pgra{P_i}$, dove $n=\deg C$
		\item Sia $\Lambda_d$ il fascio di sub-aggiunte di $C$, di
			ordine $n-2$, 
			passanti per $Q_1,\dots,Q_{n-3}$.\\
			Tale fascio puo' essere trovato considerando due
			qualsiasi di queste subaggiunte $G,H$
			(nota\footnote{in alcuni casi $G,H$ si possono
			scegliere spezzate per agevolare i calcoli}):
			\eal{&\lambda G+\mu H =0}
			Che per $\mu \neq 0$ (\footnote{$\mu=0$ rappresenta
			un'eccezione}), e' equivalente a 
			\eal{&\lambda G+H=0}
			Quindi, al variare di $\lambda$ otteniamo una
			subaggiunta $D_\lambda$.
		\item $D_\lambda\^ C=
			\pgra{P_1,\dots,P_h}\U\pgra{Q_1,\dots,Q_{n-3}}
			\U\pgra{R_\lambda}$\\
			Scrivendo le coordinate di $R_\lambda$ (dipendenti da
			$\lambda$), si ottengono le equazioni parametriche di
			$C$
	\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{proof}
	Vedi \gpi{thm3.4}{173}.
\end{proof}
\begin{prop}\ilabel{FascioEquParam}
	Sia $C$ curva di ordine $n$.\\
	Se $C$ e' irriducibile con un  punto $P$ di molteplicita' $n-1$,
	allora la procedura \see{AlgoEquParam} puo' essere cosi' semplificata:
	\begin{enumerate}
		\item Sia $r_\lambda$ il fascio di rette passanti per $P$ (al
			variare di $\lambda$)
		\item $r_\lambda\^C=\pgra{P, R_\lambda}$\\
			Le coordinate di $R_\lambda$ danno le equazioni
			parametriche di $C$.
	\end{enumerate} 
\end{prop}
\begin{proof}
	$C$ e' razionale per \gpi{Cor3.6}{175}.\\
	Applichiamo il \see{AlgoEquParam}:
sia $D$ una curva subaggiunta di ordine $n-2$.
\eal{&P\in C,\;m_P(C)=n-1  \ubrace{\>}{\T{def di  subaggiunta}} 
m_P(D) \ge  n-2  \ubrace{\>}{D\T{ ha ordine }n-2} m_P(D) = n-2 =\deg D\=\NN
\ubrace{\=}{\gpi{oss5.3.6}{144'}} D\T{ e' un cono in } P 
\ubrace{\>}{\gpi{oss5.7}{145'}} D\T{ si spezza in } n-2\T{ rette
$r_1,\dots,r_{n-2}$ passanti per
} P\;\;(1)\NN
}
Supponiamo che $D$ passi per $Q_1,\dots,Q_{n-3}$, allora
\eal{&Q_i,P\in D  \ubrace{\>}{D\T{ cono in P}} 
Q_iP \( D  \ubrace{\>}{(1)} \exists j_i:\;\;r_{j_i}=Q_iP\;\;(2)\NN
Q_iP \neq Q_jP\;\;\forall i \neq j\;\;(3)\T{ infatti, }\NN
\qq Q_i,Q_j,P\in Q_iP\^C \> I(C\^Q_iP, Q_i) + 
 I(C\^Q_iP, Q_j) 
 +  I(C\^Q_iP, P) \ubrace{\ge}{m_P(C) =n-1} 1+1+n-1 = n+1\>\NN
 \qq 
 \ubrace{\>}{\gpi{thm5.1}{140'}} Q_iP\( C\>C\T{ e' spezzata. Assurdo }\NN
 (1),(2),(3) \> \pgra{r_1,\dots,r_{n-2}}=\pgra{Q_1P,Q_2P,\dots,Q_{n-3}P}\U
 \pgra{r_D}\;\;(4)\NN
 C\^Q_1P=\pgra{Q_1,P},\;\;(5)\T{ infatti,}\NN
 \qq\T{ se per assurdo $\exists Q\in
 C\^Q_1P\-\pgra{Q_1,P}$, procedendo come in $(4)$, $C$ sarebbe spezzata.
 asssurdo.}
}
Quindi qualsiasi subaggiunta $D$ e' spezzata in $n-3$ rette fisse e in una
$r_D$ variabile. Allora,
\eal{&C\^ D = C\^Q_1P \U C\^Q_2P \U \dots\U C\^ Q_{n-3}P 
\U C\^r_D
\ubrace{=}{(5)}\pgra{P,Q_1,\dots,Q_{n-3}} \U \pgra{R_D}
}
Quindi al variare delle subaggiunte $D$ del fascio, l'unico punto che varia e'
$\pgra{R_D}=C\^r_D$. Le sue coordinate danno l'equazione parametrica di $C$.\\
Sia $r_\lambda$ il fascio di rette passanti per $P$.
\eal{&m_P(C) = n-1,\;\deg C =n,\;\;C\T{ irrid. } \> r_\lambda\^
C=\pgra{P,R_\lambda},\;R_\lambda \neq P
}
Al variare di $\lambda$, $R_\lambda$ puo' essere $Q_1,Q_2,\dots,Q_{n-3}$
oppure $R_{D}$, per qualche $D$.\\
In definitiva, per ottenere $R_D$, basta considerare $r_\lambda\^C$.
\end{proof}
\begin{exemp}
E' possibile applicare la \see{FascioEquParam} all'esempio
\see{expQuartica1SoloPtTriplo}.
\end{exemp}

\begin{prop}\ilabel{QuarticaEquParam}
Per scrivere le equazioni parametriche di una quartica $C$ nel caso in cui
\eal{&|\pgra{P\in C\;|\;P\T{ singolare }}|=|\pgra{P\in C\;|\;m_{P}(
C)=2}|
        = 3
}
possiamo adottare la
seguente procedura:
\begin{enumerate}
\item Verifica l'irriducibilita' di $C$ provando ad applicare
	\see{Quartica3PtDoppi}. \\
	Se non e'
	irriducibile o se non e' possibile provare la sua irriducibilita',
	fermati. Non sappiamo se e' razionale.
\item Siano $P_1,P_2,P_3$ i punti doppi distinti. Considera il fascio di
	coniche  passanti per $P_1,P_2,P_3$,
	\eal{&F_\lambda= G+\lambda H}
	per costruire tale fascio, come coniche base $G,H$ scegli:
	\eal{&H=P_1P_2\cdot P_1P_3\NN
	G=P_2P_3\cdot t(P_1),\T{ dove } t(P_1) \T{ e' una tangente qualsiasi di $C$ in
	$P_1$, ovvero $t(P_1)\(\ctg {P_1} C$ } 
	}
\item $F_\lambda \^ C = \pgra{P_1,P_2,P_3,R_\lambda}$.\\
	Le coordinate di $R_\lambda$ danno le equazioni parametriche di $C$.
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
	La procedura si basa sul \see{AlgoEquParam}, tuttavia, al posto di 
	considerare $\pgra{Q_1,\dots,Q_{n-3}} \ubrace{=}{n=4}  \pgra{Q_1}$, e
	imporre il passaggio del fascio da $P_1,P_2,P_3,Q_1$, stiamo imponendo
	la condizione:
	\eal{&
	\sist{P_1,P_2,P_3\in F_\lambda\\
	\ctg {P_1} {F_{\lambda}} = t(P_1)
	}\;\;\forall \lambda\in K\;\;(*)
	}
Si puo' dimostrare la condizione $(*)$ conduce comunque ad avere:
\eal{&F_\lambda \^ C = \pgra{P_1,P_2,P_3,R_\lambda}}
Per imporre $(*)$, basta scegliere come conica base del fascio
$(P_2P_3)t(P_1)$, ad esempio $G=(P_2P_3)t(P_1)$ (vedi Geometria I,
\GI{fascio!di coniche}, Fascio di
coniche, Dati 4 punti, caso $A=B \neq C \neq D$),
%
%, infatti, utilizzando le equazioni del cono tangente si
%vede che:
%\eal{&\ctg {P_1} F_{\lambda} 
%=\ctg {P_1} {G+\lambda H } =
%\ctg {P_1} G +\lambda \ctg {P_1} { H }
%=  
%}
\end{proof}

\section{Polare}
\begin{prop}
	\ilabel{PolareEsiste}
	Sia $C$  una curva di ordine $n$, e $A\in \P^2$
	\eal{&\pl A r C\T{ esiste } \= m_A(C) \le  n-r}
\end{prop}
\begin{proof}
\BEGINpnecessaria
\eal{&m_A(C) > n-r  \ubrace{\>}{\gpi{thm5.8}{147}} 
\T{ le derivate di ordine } m_A(C)-1 \T{ sono tutte nulle }\>\NN
\ubrace{\>}{\gpi{prop5.8.1}{146'}} \T{ le derivate di ordine } n-r \T{ sono
tutte nulle }  \> \pl A r C\T{ non esiste }
}
\END
\BEGINsufficiente
\eal{&m_A(C) \le  n-r  \ubrace{\>}{\gpi{thm5.8}{147}} 
\T{ qualche derivata di ordine } m_A(C) \T{ non si annulla }\;\;(1)
}
Se per assurdo si annullassero tutte le derivate di ordine $n-r$ si avrebbe:
\eal{&\sist{m_A(C) \le  n-r  \\
\T{tutte le derivate $n-r$-esime nulle}}   \ubrace{\>}{\gpi{prop5.8.1}{146'}} 
\T{ tutte derivate le derivate $m_{A}(C)$-esime nulle }
}
assurdo contro $(1)$.\\
Quindi l'equazione di $\pl A r C$ esiste.
\END
\end{proof}
\begin{prop}
	\ilabel{PolareDiUnaConica}
Sia $C$ una conica. La sua unica polare e' la retta polare $\pl A 1 C=\pl A
{n-1} C$. Distinguiamo i seguenti casi:
\begin{prova}
\case{$C$ irriducibile}
\begin{prova}
	$\pl A 1 C$ e' la retta polare che conoscevamo in Geometria I
	(\GI{retta!polare}) e 
	\eal{&A \in C \> \pl A 1 C = t_A(C)
	}
	dove $t_A(C)$ e' la tangente di $C$ in $A$.
\end{prova}
\case{$C$ riducibile}
\begin{prova}
	\case{$C=2R$,\;\;$R$ retta }
	\begin{prova}
	\eal{&A\in C \> \nexists \;\pl A 1 C
		}
	inoltre
	\eal{&A\notin C \> \pl A 1 C = R
	}
	\end{prova}
	\case{$C=R+S$,\;\;$R,S$ rette distinte }
	\begin{prova}
		Sia $\pgra{P}=R\^S$, allora
		\eal{&
		\nexists\;\;\pl P 1 C }
e inoltre,
\eal{&1.\;\;P\in \pl A 1 C \;\;\forall A \neq P\NN
2.\;\;A\in R \> \pl A 1 C = R\NN
\invisible{2.\;\;}A\in S \>  \pl A 1 C = S
}
	\end{prova}
  \end{prova}
\end{prova}
\end{prop}
\begin{proof}
	Sia $F$ l'equazione di $C$.
\case{$C$ irriducibile}
\begin{prova}
	L'equazione di $\pl A 1 C$ e' (vedi \gpi{oss4.1.1}{178}):
	\eal{&\dpa F x a_1 + \dpa F y a_2 \dpa F t a_3=0\;\;(1)
	}
	quindi utilizzando la \see{ConicaMatA}, si ha la tesi.
\end{prova}
\case{$C$ riducibile}
\begin{prova}
	\case{$C=2R$,\;\;$R$ retta }
	\begin{prova}
		\case{$A \in C$}
		\begin{prova}
			\eal{&A\in C=2R  \ubrace{\>}{
			\gpi{oss5.3.2}{142'}} 
			m_{A}(C) = 2  \ubrace{\>}{\gpi{oss4.2}{179'}} 
			\pl A 1 C \T{ non esiste  }
			}
		\end{prova}
		\case{$A \notin C$}
		\begin{prova}
		\eal{&C=2R \> F=(ax+by+ct)^2=R^2 \;\;(2) \NN
		(1)  \ubrace{\=}{(2)} 2R (aa_1+ba_2+ca_3)
		=0  \ubrace{\=}{A\notin R \=  (aa_1+ba_2+ca_3) \neq 0} 
		R=0 \NN
		\qq \> \pl A 1 C = R
		}
		\end{prova}
	\end{prova}
	\case{$C=R+S$,\;\;$R,S$ rette distinte }
	\begin{prova}
		\eal{&P\in R\^S,\;\;C=R+S  \ubrace{\>}{
			\gpi{oss5.3.2}{142'}} 
			m_{P}(C) = 2  \ubrace{\>}{\gpi{oss4.2}{179'}} 
			\pl A 1 C \T{ non esiste  }
			}
		Sia $\pgra{P}=R\^S$ e $A \neq P$
		\eal{& m_{P}(C) = 2    \ubrace{\>}{\gpi{thm5.8}{147},\;\;(1)}
		P\in \pl A 1 C
		}
		Infine,
		\eal{&A\in R\-\pgra{P} \> m_A(C) =1\;\;(3)\NN
	(3),\;C=R+S \> R=t_A(C)
		\ubrace{=}{\gpi{oss4.2}{178'}} \pl A 1 C
		}
	\end{prova}
\end{prova}
\end{proof}
\begin{prop}
	\ilabel{Teorema4.8'}
	(questo teorema e' una versione piu' debole di $\gpi{thm4.8}{181}$).\\
	Sia $C$ una curva \uline{irriducibile}, con $n\ge 1$, e sia $A\in
	\P^2$ un punto fissato, allora
	\eal{&m_A(C) \le  n-1 \> \NN
	\>
|\pgra{t\T{ retta } \;|\;P\in C,\; m_P(C)=1,\;t=t_P(C),\;A\in t}|
	\le
	n(n-1)-\pass{\pgra{P\in C\;|\;m_P(C)>1}} \le n(n-1)
	}
	In altre parole, il numero di rette tangenti in punti semplici di $C$,
	che passano per $A$, e' $\le n(n-1)$. Tale numero viene chiamato la
	\iemph{classe di C}.\\
Nota \footnote{\qq
\eal{&m_P(C) =1 \> \deg \ctg P C =1 \Leftrightarrow \T{ il cono tangente e' una sola retta
} \Leftrightarrow \ctg P C = t_P(C)
}
}
\end{prop}
\begin{proof}
Si ha,
\eal{&m_A(C) \le  n-1  \ubrace{\>}{\see{PolareEsiste}} 
	\pl A 1 C\T{ esiste } \;\;(1)\NN
	C\T{ irriducibile }  \ubrace{\>}{\T{Bezout }\gpi{thm1.2}{158}}   |C\^
	\pl A 1 C| \le  \deg C \deg \pl A 1 C =  n (n-1) \;\;(2)\NN
	(1) \ubrace{\>}{\gpi{thm4.5}{179'}} 
	C \^ \pl A 1 C = {\pgra{P\in C\;|\;m_P(C)>1}}\U \pgra{P\in
	C\;|\;m_P(C) = 1,\;t_P(C)\ni A }\;\;(3)\NN
(3) \> 
\pgra{t\T{ retta } \;|\;P\in C,\; m_P(C)=1,\;t=t_P(C),\;A\in t_P(C)}
	=\pgra{ AP \T{ retta } \;|\;
	P\in C \^ \pl A 1 C \- {\pgra{P\in C\;|\;m_P(C)>1}}
	} \> \NN
	\> |\pgra{t\;\T{ retta }|\;t\( \ctg P C,\;
        m_P(C)=1,\;A\in t}| =
	|  C \^ \pl A 1 C \- {\pgra{P\in C\;|\;m_P(C)>1}}|=\NN
	\ubrace{=}{(3)}  | C \^ \pl A 1 C | - | {\pgra{P\in C\;|\;m_P(C)>1}}|
	\ubrace{\le }{(2)} n(n-1)  - |{\pgra{P\in C\;|\;m_P(C)>1}}|
}
\end{proof}
\begin{prop}
	\ilabel{PolareStessaTg}
Sia $C$ una curva, $\deg C=n\ge 3$ e sia $P\in C, m=m_P(C)$,  si ha
\eal{&1.\;\;m\ge 3 \> \pl P {n-2} C \T{ non esiste } \NN
2.\;\; m= 2 \> \pl P {n-2 } C = \ctg P C \NN
3.\;\;m = 1 \>  \NN
3.1 \qq\>\;\;P\in \pl P {n-2 } C\NN
3.2 \qq\>\;\;m_P\pton{\pl P {n-2 } C} =1 \NN
3.3 \qq\>\;\;t_P\pton{\pl P {n-2 } C} = t_P(C) \NN
3.4\qq\>\;\;  \pton{\pl P {n-2 } C \T{ e' spezzata in } R_1+R_2 \> R_i =  t_P(C) ,\;
R_j \not\ni P}
}
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{Dim $.1$}
	\begin{prova}
		Per la prop \see{PolareEsiste}
	\end{prova}
	\step{}{Dim. $2.$}
	\begin{prova}
		Per la \gpi{oss4.2}{178'}
	\end{prova}
	\step{}{Dim. $3.1$}
	\begin{prova}
		Per la \gpi{oss4.2.2}{178}
	\end{prova}
	\step{}{Dim $3.2$}
	\begin{prova}
L'equazione di $ \pl P {n-2 } C$ e' 
\eal{&G=\sum_{i,j} \dpf {^2F(P)} {\partial x_i\partial x_j} x_ix_j=0\;\;(1)
}
Calcoliamo le derivate di $G$  per applicare il teorema
\gpi{thm5.8}{147}:
\eal{&\dpa {G} {x_1} = \dpa {} {x_1} 
\pton{
\dpf {^2F(P)} {\partial x_1\partial x_1} x_1^2+
2\dpf {^2F(P)} {\partial x_1\partial x_2} x_1x_2  +
2\dpf {^2F(P)} {\partial x_1\partial x_3} x_1x_3
} 
= 
2\dpf {^2F(P)} {\partial x_1\partial x_1} x_1+
2\dpf {^2F(P)} {\partial x_1\partial x_2} x_2  +
2\dpf {^2F(P)} {\partial x_1\partial x_3} x_3\NN
\dpa {G(P)}{x_1} = 
2\dpf {^2F(P)} {\partial x_1\partial x_1} p_1+
2\dpf {^2F(P)} {\partial x_1\partial x_2} p_2  +
2\dpf {^2F(P)} {\partial x_1\partial x_3} p_3 
\ubrace{=}{\gpi{ThmDiEulero}{116}} 
2(n-1)  \dpa {F(P)} {x_1} \NN
\T{ analogamente si ha: } \dpa {G(P)} {x_i} = 2(n-1)  \dpa {F(P)}
{x_i}\;\;\forall i=1,2,3\;\;(2)
} 
Quindi,
\eal{&m_P(C)  \ubrace{=}{\T{per Hp}} 1 
\ubrace{\>}{\gpi{thm5.8}{147} } \exists i:\;\;\dpa {F(P)}
{x_i}  \neq 0  \ubrace{\>}{(2)} \dpa {G(P)} {x_i}  \neq 0
\ubrace{\>}{\gpi{thm5.8}{147}} m_P\pton{\pl P {n-2} C}=1 
}
	\end{prova}
	\step{}{Dim $3.3$}
	\begin{prova}
Per la $3.2$, il cono tangente a $P$ in $\pl P {n-2} C$ e' la retta di
equazione:
\eal{&\sum_i \dpa {G(P)} {x_i} x_i =0  \ubrace{\=}{ (2)} 
\sum_{i} \dpa {F(P)}
{x_i} x_i =0
}
ovvero e' la stessa equazione del cono tangente $\ctg P C=t_P(C)$
	\end{prova}
	\step{}{Dim $3.4$}
	\begin{prova}
Supponiamo $\pl P {n-2} C$ spezzata. Poiche' ha grado $2$ deve essere
spezzata in due rette $R,S$. Sia $R$ la retta che passa per $P$, allora
\eal{&R\in P,\;R\( \pl P {n-2} C\> I(R\^ \pl P {n-2} C ,P)=\8 \> R\T{ e' tangente a $\pl P {n-2} C$ in $P$
}\;\;(3)\NN
m_P\pton{\pl P {n-2} C} \ubrace{=}{3.2}  1
\> \T{ la tangente e' unica } \> R =t_P\pton{{\pl P {n-2} C}} \ubrace{=}{3.3} t_P(C)
}
Se per assurdo anche $S\ni P$, allora 
\eal{&P\in R\^S  \ubrace{\>}{\gpi{prop5.3.3}{52}} 
m_P\pton{{\pl P {n-2} C}} \ge 2
}
	\end{prova}
\end{proof}

\subsection{Flessi}
\begin{defn}\ilabel{DefFlesso}
	Sia $C$ una curva.\\
	\eal{&P\in C\T{ e' un flesso } \definizione{\=} 
	P\T{ e' semplice },\;\; I(t_P(C) \^ C , P) \ge 3\NN
	P\in C\T{ e' un flesso ordinario} 
	\definizione{\=} 
	P\T{ e' semplice },\;\; I(t_P(C) \^ C , P) = 3
	}
\end{defn}
\begin{prop}
	\eal{&1.\;\;\T{Per una retta tutti i suoi punti sono flessi}\NN
	2.\;\; \T{Per una curva spezzata in rette, tutti i suoi punti sono
	flessi}\NN
	3.\;\;\T{Per una conica irriducibile, non esistono flessi}
	}
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		Infatti, 
		\eal{&t_P(R) = R \= I(t_P(R)\^R, P)=\8 }
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		Dalla $1.$
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		Infatti,
		\eal{&C\T{ irriducibile }  \ubrace{\>}{\gpi{thm5.1}{140'}}
		I(t_P(C)\^C,P) \le \deg C=2 \> P\T{ non e' un flesso}
		}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{thm}
	\ilabel{FlessoPolareSpezzata}
	Sia $C$ una curva con $\deg C\ge 3$ e $P\in C$ \uline{punto semplice}, allora\\
\eal{&P\T{ e' un flesso } \= \pl P {n-2} C \T{ e' spezzata }}
\end{thm}
\begin{proof}
	Sia $F$ l'equazione di $C$,
	\BEGINpnecessaria
	\eal{&P\T{ semplice } \> \T{ $P$  ha una sola tangente $R=t_P(C)$} \NN
	P\T{ flesso } \= I(R\^C, P ) \ge 3
	\ubrace{\=}{\gpi{Oss5.1.2}{140'}}\NN
	\=
	\T{la molteplicita' di $\mu=0$ per }F(P+\mu B)=\alpha_0(B)
	+\alpha_1(B)\mu + \dots + 
	\alpha_m(B)\mu^m \in K[\mu] \T{ e' } \ge 3,
	\;\;\forall B \in R\-\pgra{P}\=\NN
	\= \alpha_0(B)=\alpha_1(B)=\alpha_2(B)=0 \;\;\forall B\in R\-\pgra{P}
	\> \alpha_2(B) \ubrace{=}{\gpi{prop5.8.2}{146'}} 
	\sum_{i,j}\dpf{^2 F(P)}{\partial x_i \partial x_j } 
	b_ib_j =0 \;\;\forall B \in R\-\pgra{P} \=\NN
	\ubrace{\=}{\T{def. di equazione polare}}  R\-\pgra{P}\( \pl P {n-2} C
	\ubrace{\=}{\gpi{Cor5.1.3}{140'}} 
	\= R\( \pl P {n-2} C \> \pl P {n-2} C \T{ e' spezzata }\;\;(1)
	}
	\END
	\BEGINsufficiente
	\eal{&m_P(C) =1,\;\pl P {n-2} C \T{ spezzata }
	\ubrace{\>}{\see{PolareStessaTg},3.4} R=t_P(C) \( \pl P {n-2} C 
	\ubrace{\=}{(1)} \alpha_2(B) =0\;\; \forall B \in R\-\pgra{P}\NN
R=t_P(C),\;m_P(C) = 1  \>  I(R\^C,P) \ge 2 
\> \alpha_0(B)=\alpha_1(B)=0\;\;\forall B \in R\-\pgra{P}\NN
\alpha_0(B)=\alpha_1(B)=\alpha_3(B)=0   \ubrace{\>}{\gpi{prop5.8.2}{146'}} 
I(R\^C,P)\ge 3 \= \T{ $P$ e' un flesso}
}
	\END
\end{proof}

\begin{prop}\ilabel{TrovareFlessi}
	Sia $H$ l'Hessiana della curva $C$, con $\deg C\ge 3$, allora
	\eal{&1.\;\;\T{$H(P)$ e' il discriminante della conica polare in $P$ }
\NN
2.\;\;H\^ C = \pgra{P\in C\;|\;m_P(C) > 1 }\U \pgra{P\in C \;|\;P\T{ flesso}}
}
Questa proposizione fornisce un metodo costruittivo per trovare i flessi di
una curva:
\begin{enumerate}
	\item Trova tutti i punti singolari di $C$ utilizzando il
		\gpi{thm5.8}{147}
	\item Calcola l'equazione $H$ dell'Hessiana
	\item Calcola i punti del sistema $H\^C$
	\item Scarta da $H\^C$ i punti singolari trovati al passo $1.$
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{}
	\begin{prova}
La conica polare $\pl P {n-2} C$ ha equazione :
\eal{&
\sum_{i,j}\dpf{^2 F(P)}{\partial x_i \partial x_j }x_ix_j =0 \;\;(1)
}
il discriminante della $(1)$ e' il determinante della matrice $A=(
\dpf{^2 F(P)}{\partial x_i \partial x_j })_{i,j=1,2,3}$ che e' proprio
l'Hessiana.
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		\step{}{$\)$}
		\begin{prova}
	Sia $P\in C:\;\;m_P(C)>1$, allora
	\case{$m_P(C)\ge 3$}
	\begin{prova}
		\eal{&m_P(C)\ge 3  \ubrace{\>}{\gpi{thm5.8}{147}} 
		\dpf{^2 F(P)}{\partial x_i \partial x_j } =0\;\;\forall i,j
		\> H(P)=0 \> P \in H 
		}
	\end{prova}
	\case{$m_P(C)= 2$}
	\begin{prova}
		\eal{&m_P(C)= 2  \ubrace{\>}{\gpi{oss4.2}{178'}} 
		\pl P {n-2} C = \ctg P C\>\NN
		\ubrace{\>}{\gpi{oss5.7}{145'}} 
		\pl P {n-2} C \T{ e' spezzata  }
		\ubrace{\>}{1.,\;\see{ConicaMatA}} 
		A=H(P)=0 \> P\in H
		}
	\end{prova}
		\end{prova}
		\step{}{$\($}
		\begin{prova}
Sia $P\in H\^C$.
\case{$m_P(C)>1$}
\begin{prova}
	allora $P\in\pgra{P\in C\;|\;m_P(C)>1}$
\end{prova}
\step{}{$m_P(C)=1$}
\begin{prova}
\eal{&
P\in H \> A=H(P)=0  \ubrace{\>}{1.,\;\see{ConicaMatA}} 
\pl P {n-2} C \T{ e' spezzata  }\;\;(*)\NN
m_P(C)=1,\;(*)  \ubrace{\>}{\see{FlessoPolareSpezzata}} 
P\T{ e' un flesso di $C$ } 
}
\end{prova}
		\end{prova}
	\end{prova}
\end{proof}

\subsubsection{Cubiche}
\begin{prop}\ilabel{CubicaNumFlessi}
	Sia $C$ una cubica irriducibile, allora
	\eal{&
	1.\;\;C\T{ ha  un nodo } \> C\T{ ha solo $3$ flessi e questi flessi
	sono allineati}\NN
	2.\;\;C\T{ ha una cuspide } \> C\T{ ha solo $1$ flesso}\NN
	3.\;\;C\T{ e' non singolare } \> C\T{ ha solo $9$ flessi}
}
Nota\footnote{Se $C$ e' irriducibile, puo' avere al massimo un punto doppio.
Quindi questo puo' essere o un nodo o una cuspide ordinaria}.
\end{prop}
\begin{proof}
	Segue dalla terza formula di Plucker (\gpi{oss5.7}{183}). Qui di
	seguito diamo una
	dimostrazione alternativa.
	\step{}{}
	\begin{prova}
		\eal{&C\T{ irriducibile con un nodo }
		\> C\T{ e' proiettivamente equivalente a } 
		xyt=x^3+y^3}
		Applicando il metodo \see{TrovareFlessi}, si vede che
		$xyt=x^3+y^3$ ha solo tre flessi, che sono soluzione del
		sistema
		\eal{&\sist{x^3+y^3=0\\t=0}
		\ubrace{\=}{y \neq 0}  \sist{\pton{\frac{x}{y}}^3+1=0\\t=0}
		\=  \sist{\pton{-\frac{x}{y}}^3-1=0\\t=0} 
		\= -\frac{x}{y}=1,\omega ,\omega ^2\T{ radici terze
		dell'unita' },\;t=0
		}
		Tutti questi punti stanno nella retta $t=0$.\\
		Poiche' la molteplicita' di
		intersezione $I(R\^C,P)$ e l'allineamento dei tre punti sono
		proprieta' preservate dalle proiettivita', si ha la tesi.
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
	Si procede analogamente, considerando 
	\eal{&tx^2=y^3
	}
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		Si procede analogamente, considerando 
		\eal{&y^2=x(x-1)(x-k),\;\;k\in K\-\pgra{0,1}\NN
		\T{Per i calcoli vedi \gpi{Oss6.6.1}{187}}
	}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{prop}\ilabel{TangentiUscentiDalFlesso}
	Sia $C$ una cubica \uline{irriducibile} e $P\in C$ un punto di flesso, allora 
	\eal{&\pgra{t\;|\;t\T{ tangente di C, } P\in t} =
	\pgra{t_P(C)} \U \pgra{PB\;|\;B\in S\^C,\;m_B(C)=1} 
	}
	dove la conica polare in $P$ e' spezzata in $\pl P 1 C=R+S$, con
	$R=t_P(C),\;P\notin S$.\\
	Nota: questa proposizione fornisce un metodo costruttivo per trovare
	le tangenti uscenti da un punto di flesso $P$ di una cubica
	irriducibile:
	\begin{enumerate}
		\item Verifica che $P$ e' un flesso e che $C$ e' irriducibile
		\item Calcola l'equazione della tangente $R=t_P(C)$
			(nota\footnote{Se $P$ e' un punto fondamentale, puoi
			utilizzare il thm \see{ConoTgImmediato}.})
		\item Calcola l'equazione della conica polare $\pl P 1 C$
		\item Se riesci a individuare le componenti $R$, $S$,
			considera $T=S$, altrimenti considera $T=\pl P 1 C$.
			(nota\footnote{Si puo' ricavare $S$ dividendo $\pl P 1
			C$ con $R$})
		\item Interseca $T\^C$ ed escludi $P$ ed i punti singolari.
		\item Per ogni punto $B$ cosi' ottenuto, calcola la retta
			$PB$.
		\item $\pgra{R}\U \pgra{PB\;|\;B\T{ punto ottenuto prima}}$ sono le
			tangenti cercate.
	\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
	\eal{&P\T{ flesso }  
\ubrace{\>}{\see{FlessoPolareSpezzata}}   \pl {P} {n-2} C = \pl P 1 C  \T{ e'
spezzata }\;\;(0)\NN
P\T{ flesso} \> m_P(C)=1 ,\;(0) 
\ubrace{\>}{\see{PolareStessaTg}}
 \pl P 1 C  \T{ e' spezzata in due rette }R+S,\;\T{
	con } P\in R=t_P(C),\;P\notin S\;\;(1)\NN
	P\T{ flesso } \> I(t_P(C)\^C , P ) =3 = \deg C
	\ubrace{\>}{\gpi{thm5.1}{140'}} t_P(C)\^C =\pgra{P}\;\;(1.1)\NN
	m_P(C) =1  \ubrace{\>}{\gpi{thm4.5}{179'}} 
	\pl P 1  C \^ C = \pgra{B\in C\;|\; m_B(C) > 1}
	\U\pgra{B\in C\;|\;m_B(C)= 1,\;P\in t_B(C) }\;\;(2)\NN
\pl P 1  C \^ C  \ubrace{=}{(1)} (R\U S) \^ C = R\^C \U S\^C
\ubrace{=}{(1)}( t_P(C)\^C) \U (S\^C ) \ubrace{=}{(1.1)} 
\pgra{P}\U (S\^C) \;\;(2.1)\NN
t\T{ tangente di }C,\;P\in t  \= t=t_B(C)\;\;\T{ con }
B\T{ semplice, infatti: }\;\;\;(3)\NN
\qq m_B(C) \ge 2 ,\;t=t_B(C)  \>  I(t\^C,B)> m_B(C) \ge 2 
\ubrace{\>}{P\in t}  I(t\^C,B) + I(t\^C,P) > 3 \> t\( C\T{ assurdo,
}C\T{ e' irrid.}\NN
{t\T{ tangente di }C,\;P\in t}  \ubrace{\=}{(3)} 
{t=t_B(C),\;B\in C,\;m_B(C)=1,\;P\in t}
\ubrace{\=}{(2)} 
\;t=t_B(C),\;B\in \pl P 1  C \^ C \^\pgra{B\;|\;m_B(C)=1} \=\NN
\ubrace{\=}{(2.1)} 
{t=t_B(C),\;B\in (\{P\}\U(S\^C))\^\pgra{B\in C\;|\;m_B(C)=1} }
\ubrace{=}{m_P(C)=1} \pgra{P}\U (S\^\pgra{B\in C\;|\;m_B(C)=1} )
\=\NN
\ubrace{\=}{P\in t} 
t=t_P(C)=R  \| 
{t=PB,\;B\in S\^\pgra{B\in C\;|\;m_B(C)=1}}  
}
\end{proof}
\begin{prop}
	        \ilabel{NumTangentiPassantiFlessoCsingolare}
		Sia $C$ una cubica \uline{irriducibile e singolare}. Sia $P\in C$ un suo flesso, allora
	\eal{&1\le |\pgra{t\;|\;t\T{ tangente di }C,\;P\in t}|\le 2}
	Se $C$ ha una cuspide, allora 
	\eal{&|\pgra{t\;|\;t\T{ tangente di }C,\;P\in t}|= 2}
\end{prop}
\begin{proof}
Nota: in questa dimostrazione faremo ricorso al Gruppo di una Cubica
	(\vedi{DefGruppoCubica}).\\
	\step{}{Dim che $|\pgra{t\;|\;t\T{ tangente di }C,\;P\in t}|<4$}
	\begin{prova}
\eal{&
C\T{ singolare  }\= \pgra{B\in C\;|\;m_B(C)>1} \neq \0\;\;(0)\NN
|\pgra{t\;|\;t\T{ tangente di C, } P\in t}|
\ubrace{=}{\see{TangentiUscentiDalFlesso}} 
|	\pgra{t_P(C)} \U \pgra{PB\;|\;B\in S\^C,\;m_B(C)=1}|
= \NN
=1 + | \pgra{PB\;|\;B\in S\^C,\;m_B(C)=1}|\;\;(1)\NN
S\T{ retta, $C$ cubica } \> |S\^C| \le 3\;\;(2)}
%Sfruttiamo il fatto che tutti i punti singolari di $C$ stanno in $S$ , infatti, 
Per quanto visto nella dim. di \see{TangentiUscentiDalFlesso}, si ha:
\eal{&
\pgra{P}\U (S\^C)  \ubrace{=}{\see{TangentiUscentiDalFlesso}}  \pgra{B\in C\;|\; m_B(C) > 1}
        \U\pgra{B\in C\;|\;m_B(C)= 1,\;P\in t_B(C) }\;\;(3.0)\NN
	\>  \pgra{B\in C\;|\; m_B(C) > 1}
	\( \pgra{P}\U (S\^C)   \ubrace{\>}{m_P(C)=1} 
	  \pgra{B\in C\;|\; m_B(C) > 1}\( S\^C\;\;(3.1)\NN
	  (3.1),\;(0)\> \exists 
	 B\in S\^C:\;m_B(C)>1\;\;(3)\NN
	 C\T{ cubica irriducibile, }(0)  \ubrace{\>}{\gpi{Oss2.2.1}{168}}  \exists ! \;B\in
	 C:\;m_B(C)=2
	 \ubrace{\>}{(3)} \exists ! \;B\in S\^C:\;m_B(C)>1 \>\NN
	  \ubrace{\>}{(2),(3.1)}S\^C=\pgra{B,A_1,A_2},\T{ con }m_{A_i}(C)=1,\;m_B(C)=2\;\;
	 \;\;(3.1)
}
\eal{&(1),(2),(3),(3.1) \> |\pgra{t\;|\;t\T{ tangente di C, } P\in t}| \le 3
		}	
	\end{prova}
Nel caso in cui $A_1,A_2,B$ coincidono, ovvero non esistono punti semplici in
$S\^C$ , per la $(1)$, si ha
\eal{&|\pgra{t\;|\;t\T{ tangente di }C,\;P\in t}|= 1}
Supponiamo adesso che $B\notin \pgra{A_1,A_2}$, ovvero esistono punti semplici
in $S\^C$, allora per quanto visto nella dim. \see{TangentiUscentiDalFlesso} si
	ha:
	\eal{& \pgra{A_1,A_2} = \pgra{B\in S\^C\;|\;m_B(C)=1 }
	\ubrace{= }{\see{TangentiUscentiDalFlesso}} 
	\pgra{B\in S\^C\;|\;m_B(C)=1,\;t_{B}(C)\ni P}\;\;(4)
	}
	Per imporre la legge di gruppo su $C^*$ scegliamo $O=P_0=P$.
	\eal{&(4)  \ubrace{\=}{\see{PuntiUscentiFlessoEstGruppo}}  2A_i =O\;\forall i=1,2\NN
	2(A_1+A_2)=2A_1+2A_2 = O+O= O
	\ubrace{\=}{\see{PuntiUscentiFlessoEstGruppo}} 
	A_1+A_2 \in \pgra{B\in C\;|\;t_B(C)\ni P} \ubrace{=}{(3.0)} \pgra{P,A_1,A_2}\>\NN
	\> A_1+A_2= P=O \| A_1+A_2=A_1 \| A_1+A_2=A_2
	}
	Supponiamo per assurdo che $A_1 \neq A_2$, allora
	\case{$A_1+A_2=O$}
	\begin{prova}
		\eal{&A_1+A_2=O \> A_1=-A_2 \ubrace{=}{2A_2=O}A_2 \> A_1=A_2
		}assurdo
	\end{prova}
	\case{$ A_1+A_2=A_1 $}
	\begin{prova}
		\eal{&A_1+A_2=A_1 \> A_2 = O = P\NN
		P=A_2\in S \> P\in S\T{ assurdo, in quanto }S \T{ e' la
		componente di }\pl P 1 C\T{ tale che } P\notin S
		}
	\end{prova}
	\case{$A_1+A_2=A_2$}
	\begin{prova}
		come prima.
	\end{prova}
	Quindi deve necessariamente essere $A_1=A_2$, e allora
	\eal{&\pgra{B\in S\^C \;|\;m_B(C)=1 } \ubrace{=}{(3.1)}
	\pgra{A_1,A_2}=\pgra{A_1}  \ubrace{\>}{(1)} 
	|\pgra{t\;|\;t\T{ tangente di }C,\;P\in t}|= 2
	}
	\step{}{$C$ ha una cuspide}
	\begin{prova}
		Questo caso viene esaminato nella prop
		\see{NumTangentiPassantiFlessoCconCuspide}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{prop}
	\ilabel{NumTangentiPassantiFlessoCconCuspide}
	Sia $C$ una cubica irriducibile con cuspide e sia $P\in C$ il suo
	flesso, allora
	\eal{&|\pgra{t\;|\;t\T{ tangente di }C,\;P\in t}|=2}
\end{prop}
\begin{proof}
	Basta usare la prop \see{NumTangentiPassantiFlessoCsingolare},
	tuttavia diamo qui di seguito una dimostrazione alternativa piu' diretta:
applichiamo la \see{TangentiUscentiDalFlesso} alla forma canonica di
	$C$:
	\eal{&tx^2=y^3
	}
	Qui di seguito includiamo i conti svolti con Maple:
\ifpdf
\includepdf[frame=true,pages=-]{maple/numTangentiUscenti.pdf}
\fi
\end{proof}
\begin{prop}\ilabel{NumTangentiPassantiFlesso}
Sia $C$ una cubica \uline{non singolare}, e sia $P\in C$ uno dei suoi $9$
flessi,  allora
	\eal{&|\pgra{t\;|\;t\T{ tangente di }C,\;P\in t}|=4 }
\end{prop}
\begin{proof}
\eal{&	P\T{ flesso }  
\ubrace{\>}{\see{FlessoPolareSpezzata}}   \pl {P} {n-2} C = \pl P 1 C  \T{ e'
spezzata }\;\;(0)\NN
P\T{ flesso} \> m_P(C)=1 ,\;(0) 
\ubrace{\>}{\see{PolareStessaTg}}
 \pl P 1 C  \T{ e' spezzata in due rette }R+S,\;\T{
	con } P\in R=t_P(C),\;P\notin S\;\;(1)\NN
	P\T{ flesso } \> I(t_P(C)\^C , P ) =3 = \deg C
	\ubrace{\>}{\gpi{thm5.1}{140'}} t_P(C)\^C =\pgra{P}\;\;(1.1)\NN
	m_P(C) =1  \ubrace{\>}{\gpi{thm4.5}{179'}} 
	\pl P 1  C \^ C = \pgra{B\in C\;|\; m_B(C) > 1}
	\U\pgra{B\in C\;|\;m_B(C)= 1,\;P\in t_B(C) } =\NN
	\ubrace{=}{C\T{ non singolare}} 
\pgra{B\in C\;|\;m_B(C)= 1,\;P\in t_B(C) }\;\;(2)\NN
\pl P 1  C \^ C  \ubrace{=}{(1)} (R\U S) \^ C = R\^C \U S\^C
\ubrace{=}{(1)}( t_P(C)\^C) \U (S\^C ) \ubrace{=}{(1.1)} 
\pgra{P}\U (S\^C) \;\;(2.1)
}
\step{p0}{Si ha 
\eal{& |\pgra{t\;|\;t\T{ tangente di }C,\;P\in t} | = 1+|S\^C|}
}
\begin{prova}
	Infatti,
\eal{&
%P\in R\^C \>  P\in   \pl P 1  C \^ C  \> \pgra{B\in C\;|\;m_B(C)= 1,\;P\in t_B(C) } = \NN =\pgra{P}\U\pgra{B\in C\-\pgra{P}\;|\;m_B(C)= 1,\;P\in t_B(C) }\;\;(2.1)\NN
t\T{ tangente di }C \ubrace{\=}{C\T{ non singolare}} t=t_B(C)\;\;\T{ con }
B\T{ semplice }\;\;(3)\NN
{t\T{ tangente di }C,\;P\in t}  \ubrace{\=}{(3)} 
{t=t_B(C),\;B\in C,\;m_B(C)=1,\;P\in t}
\ubrace{\=}{(2)} 
\;t=t_B(C),\;B\in \pl P 1  C \^ C \=\NN
\ubrace{\=}{(2.1)} 
{t=t_B(C),\;B\in \{P\}\U(S\^C)}  \ubrace{\=}{P\in t} 
{t=PB,\;B\in S\^C}  \|  t=t_P(C)=R \;\;(3.1)\NN
\T{Se per assurdo }PB=R \> B\in R  \> \pgra{P,B} \( R\^C  \ubrace{\>}{
P\notin S \> P \neq B
} |R\^C | \ge 2 \T{ Assurdo contro }(1.1).\;\;\;(3.2)\NN
B \neq B' \in S \^C \> PB \neq PB' ,\T{ infatti: } \;\;\;(3.3)\NN
\qq PB=PB' \> B,B'\in PB  \ubrace{\>}{B \neq B'\in S } PB=S \> P\in S \T{
assurdo contro }(1.1)\NN
(3.1),\;(3.2),\;(3.3)\>  |\pgra{t\;|\;t\T{ tangente di }C,\;P\in t} |  
= |\pgra{t\;|\;t=PB,\;B\in S\^C}| + |\pgra{R}| = |S\^C|+1
}
\end{prova}
Quindi non ci resta che contare $|S\^C|$.
\eal{&C\T{ non singolare }  \ubrace{\>}{\see{CurvaSempliceIrriducibile} }
C\T{ irriducibile }\NN
S\T{ retta},\;\deg C =3,\;C\T{ irriducibile }   \ubrace{\>}{\gpi{thm5.1}{140'}} 
|S\^C | \le 3 
}
\step{p1}{$|S\^C |=3$}
\begin{prova}
Supponiamo per assurdo che $|S\^C| < 2 $
\eal{&|S\^C| < 2    \ubrace{\>}{\gpi{thm5.1}{140'}}
\exists B\in S\^C:\;\;I(S\^C,B)=2  \ubrace{\>}{C\T{ non sing.}\> m_B(C)=1 }
S=t_B(C)  \;\;(4)\NN
B\in S  \ubrace{\>}{(2),(2.1)} P\in t_B(C)  \ubrace{=}{(4)}S \> P\in S \T{
assurdo contro (1)} 
%\ubrace{=}{m_B(C)=1,\;\gpi{oss4.2}{178'}} 
%\pl B {n-1} C \;\;(4)\NN
%B\in S \ubrace{ \( }{(1)} \pl P {1} C  \ubrace{\>}{\gpi{thm4.4}{179}} 
%P\in \pl B {n-1} C  \ubrace{=}{(4) } S \> P\in S \T{ assurdo contro $(1)$}
}
\end{prova}
Quindi
\eal{& |\pgra{t\;|\;t\T{ tangente di }C,\;P\in t} |  \ubrace{=}{\sref{p0}}
1+|S\^C|  \ubrace{=}{\sref{p1}}4 }
\end{proof}

\section{Gruppo di una cubica}
\def\res#1#2{\pqua{#1#2}}
\def\rest#1{\res{#1}{}}
\begin{defn}\ilabel{DefGruppoCubica}
	Sia $C$ una cubica irriducibile e sia 
	\eal{&C^*\definizione{=} \pgra{B\in C\;|\;m_B(C)=1}}
Siano $A,B\in C^*$. Poiche' $C$ e' irriducibile, per il thm \gpi{thm5.1}{140'}
la retta $AB$ 
si incontra con $C$ in un'unico
punto punto $P\in C^*$ tale che
\eal{&I(AB\^C, A)+I(AB\^C, B)+I(AB\^C, P)=\deg C=3
}
Se $A=B$ poniamo $AB=t_A(C)$,
dove $t_A(C)$ e' la tangente in $A$ di $C$. Se inoltre $A=B$ e' un flesso,
allora poniamo $P=A$ (nota\foonote{
In pratica se contiamo le rispettive molteplicita' dei punti, abbiamo:
\eal{&C\^AB=\pgra{A_1,A_2,A_3} 
}
con $A_1=A,A_2=B$ e $P=A_3$. Ogni $A_i$ contribuisce di 1 punto nel conteggio
delle molteplicita'.})

.\\

Possiamo allora definire la seguente funzione:
\eal{&\res{}{}:C^*\*C^* \longrightarrow C^*\NN
\res{A}{B} \definizione{=} P 
}
%Nota: $\res{}{}$ e' definita solo sui punti semplici di $C$!
Utilizzeremo la seguente notazione:
\eal{&\rest{A}\definizione{=}\res{A}{A}}
$\rest A $ si chiama \iemph{tangenziale} di $A$.
\end{defn}
\begin{prop}\ilabel{PropDiRes}
Siano $A,B,A_1,A_2,A_3\in C^*$, si ha
	\eal{&1.\;\;\res A B = \res B A \NN
	2.\;\;\res A {\res A B} = B\NN
	3.\;\;A_1,A_2,A_3 \T{ sono allineati } \= \res{A_1}{A_2}=A_3\NN
	3.1\;\;\res{A_1}{A_2} = A_3 \= \res{A_i}{A_j}=A_h\;\forall i,j,h\T{
	distinti }
	}
	Nota: con ``sono allineati'' intediamo che i punti $A_1,A_2,A_3$ sono
	l'intersezione di $C$ con una retta, ovvero
	\eal{&C\^R=\pgra{A_1,A_2,A_3},\;\;\sum_iI(C\^R, A_i)=\deg C =3
	}
	(gli $A_i$ potrebbero anche coincidere)
\end{prop}
\begin{proof}
	Seguono direttamente dalla definizione di $\res{}{}$. La $3.1$ e'
	un'immediata conseguenza della $3.$.
\end{proof}
\begin{prop}\ilabel{ResPFlesso}
	\eal{&P\T{ e' un flesso di }C \= \rest P  = P  
	}
\end{prop}
\begin{proof}
\eal{&PP=t_P(C)\NN
P\T{ flesso } \= I(PP\^C,P)=3 =\deg C \= PP\^C=\pgra{P}
\= \res{P}{P} = P
}
\end{proof}
\begin{prop}\ilabel{ResFissataIniettiva}
	Siano $A,B,P\in C^*$, 
	\eal{&A=B\= \res  P  A= \res  P B
	}
	In altre parole, $\res P {\cdot }$ e' una funzione iniettiva.
\end{prop}
\begin{proof}
	\BEGINsufficiente
Sia $C=\res P A =\res P B$.
\eal{&
A  \ubrace{=}{\see{PropDiRes}} 
\res P {\res P A } 
= \res P C = \res P {\res P B }    \ubrace{=}{\see{PropDiRes}} B\NN
\qq 
\> A = B
}
	\END
\end{proof}
\def\som#1#2{\res{P_0}{\res{#1}{#2}}}
\begin{defn}\ilabel{DefSommaInCstar}
Fissato un punto $P_0\in C^*$, definiamo la seguente operazione su $C^*$:
	\eal{&+:C^*\*C^*\longrightarrow C^*\NN
	A+B\definizione{=} \res{P_0}{\res{A}{B}}
	}
\end{defn}
\begin{prop}\ilabel{PropSommaCstar}
	\ilabel{TreAllineatiSommaCstar}
	Siano $A,B,C\in C^*$, allora
	\eal{&C=\res{A}{B} \= A,B,C\T{ sono allineati } \= (A+B)+C =
	\rest{P_0}
	}
\end{prop}
\begin{proof}
%OK%MA%INUTILE%	\BEGINpnecessaria
%OK%MA%INUTILE%	
%OK%MA%INUTILE%	\eal{& A,B,C\T{ allineati }  \ubrace{\=}{\see{PropDiRes}} 
%OK%MA%INUTILE%	\res A B  =C\;\;(1)\NN
%OK%MA%INUTILE%	(A+B)+ C = 
%OK%MA%INUTILE%	\res{P_0}{\res{{\res{P_0}{\res{A}{B}}}}{C}  }
%OK%MA%INUTILE%	\ubrace{=}{(1)} 
%OK%MA%INUTILE%	\res{P_0}{\res{{\res{P_0}{C}}}{C}  }
%OK%MA%INUTILE%	\ubrace{=}{\see{PropDiRes}} 
%OK%MA%INUTILE%	\res{P_0}{P_0}\;\;(2)
%OK%MA%INUTILE%	}
%OK%MA%INUTILE%	\END
%OK%MA%INUTILE%	\BEGINsufficiente
	\eal{&(A+B)+C = \res{P_0}{P_0}
	\=  \res{P_0}{\res{{\res{P_0}{\res{A}{B}}}}{C}  } = 
	 \res{P_0}{P_0}
	 \ubrace{\=}{\see{ResFissataIniettiva}} 
	 \res{{\res{P_0}{\res{A}{B}}}}{C}  = P_0 
	 \ubrace{\=}{\see{PropDiRes},\;3.1} 
	 \res{P_0}{{\res{P_0}{\res{A}{B}}}} = C\=\NN
	 \ubrace{\=}{\see{PropDiRes},\;2.} \res{A}{B} =C 
	 \ubrace{\=}{(1)} A,B,C\T{ allineati}
	}
%OK%MA%INUTILE%	\END
\end{proof}
\begin{prop}\ilabel{2PPP}
	Sia $A\in C^*$, allora
	\eal{&2A + \rest A = \rest{P_0} }
	dove con $2A$ intendiamo $(A+A)$.
\end{prop}
\begin{proof}
	\eal{&A,A,\res{A}{A} \T{ allineati }
	\ubrace{\>}{\see{PropSommaCstar}}  2A + \res A A = \res {P_0}{P_0}
	}
\end{proof}
\begin{prop}\ilabel{EquazioneFlessi}
	Sia  $O\in C$ un flesso, poniamo $P_0=O$, e sia $X\in C$ allora
	\eal{&X\T{ e' un flesso } \= 3X =O
	}
	dove con $3X$ intendiamo $(X+X)+X$.
\end{prop}
\begin{proof}
	\eal{&P_0=O\T{ flesso }  \ubrace{\=}{\see{ResPFlesso}} 
	\res {P_0} {P_0}  = P_0=O\;\;(1)\NN
X\T{ flesso } \= X,X,X\T{ sono allineati }
\ubrace{\=}{\see{TreAllineatiSommaCstar}} (X+X)+X=\res{P_0}{P_0}
\ubrace{=}{(1)} O
}
\end{proof}


\begin{thm}\ilabel{NoveAllineati}
	Sia $C$ una cubica irriducibile e $D$ una conica. 
	Siano 
	\eal{&C\^D= \pgra{A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,B_3}
	}
 i $6$ punti di intersezione tra $C$ e $D$ (nota\footnote{possono
	anche coincidere tra loro. Sono $6$ se contati con le rispettive
	molteplicita' (vedi Bezout).}). Si ha:
	\eal{&C\^D \( C^* \> \res{A_1}{B_1},\;\res{A_2}{B_2},\;
	\res{A_3}{B_3}\T{ sono allineati }
	}
	Nota: imponiamo che $C\^D \( C^*$ perche' altrimenti l'operazione
	$\res {A_1}{B_1}$ non e' definita.
\end{thm}
\begin{proof}
	Sia $R=\res{A_1}{B_1}\res {A_2}{B_2}$ la retta passante per i punti
	$\res{A_1}{B_1},\res {A_2}{B_2}$.
Consideriamo la cubica
\eal{&C'=D+R}
allora
\eal{&C\^C' =(C\^D) \U( C\^R )= \pgra{A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,B_3}
\U\pgra{\res{A_1}{B_1},\res {A_2}{B_2}, \res{\res{A_1}{B_1}}{\res
{A_2}{B_2}}}\NN
C\T{ irriducibile } \> C,C'\T{ non hanno componenti a comune }\NN
A_1,B_1,\res{A_1}{B_1}\T{ sono allineati (\vedi{PropDiRes})}\NN
\qq  \ubrace{\>}{\gpi{thm6.7}{188}} 
C\^C'\-\pgra{A_1,B_1,\res{A_1}{B_1}} = C\^E,\;\;\T{ dove } E \T{ e' una conica
}\NN
C\^E= C\^C'\-\pgra{A_1,B_1,\res{A_1}{B_1}}=  \pgra{A_2,A_3,B_2,B_3,\res
{A_2}{B_2}, \res{\res{A_1}{B_1}}{\res {A_2}{B_2}}} \NN
 C,E\T{ non hanno componenti a comune }\NN
A_2,B_2,\res{A_2}{B_2}\T{ sono allineati }\NN
\qq  \ubrace{\>}{\gpi{thm6.7}{188}}
C\^E\- \pgra{A_2,B_2,\res{A_2}{B_2}}=C\^R,\;\T{ dove $R$ e' una retta } 
\> C\^R\T{ sono allineati }\;\;(*)
\NN
(*) \= A_3,B_3,\;\res{\res{A_1}{B_1}}{\res {A_2}{B_2}}\T{ sono allineati }
\ubrace{\=}{\see{PropDiRes}} 
\res{A_3}{B_3} = 
\res{\res{A_1}{B_1}}{\res {A_2}{B_2}}\=\NN
\ubrace{\=}{\see{PropDiRes}} \res{A_3}{B_3},\;\res{A_1}{B_1},\;\res
{A_2}{B_2}\T{ sono allineati }
}
\end{proof}
\begin{thm}\ilabel{TangenzialiAllineati}
	Sia $C$ una cubica irriducibile e $R$ una retta
	Siano 
	\eal{&C\^R= \pgra{A_1,A_2,A_3}
	}
 i $3$ punti di intersezione tra $C$ e $R$, contati con le rispettive
 molteplicita'.
 Si ha:
	\eal{&C\^R\( C^* \> \rest{A_1},\;\rest{A_2},\;
	\rest {A_3}\T{ sono allineati }
	}
	Nota: imponiamo che $C\^R \( C^*$ perche' altrimenti l'operazione
	$\res {A_1}{A_1}$ non e' definita.
\end{thm}
\begin{proof}
	Applichiamo la \see{NoveAllineati} considerando la conica 
	\eal{&R+R
	}
\end{proof}
\begin{prop}
	\ilabel{PerDueFlessiTerzoFlesso}
Sia $C$ una cubica irriducibile
\eal{&
A,B \T{ sono flessi } \> \res {A}{B}\T{ e' un flesso } 
}
O equivalentemente, per la \see{EquazioneFlessi}:
\eal{&
A,B \T{ flessi } \> 3\res {A}{B}=O
}
\end{prop}
\begin{proof}
	Poniamo $A_1=A,A_2=B,A_3=\res {A}{B}$. Applicando la
	\see{TangenzialiAllineati} si ha:
	\eal{&
	\res {A_1}{A_1},\;\res {A_2}{A_2},\;
        \res {A_3}{A_3}\T{ sono allineati }
	\ubrace{\=}{A_1,A_2\T{ flessi}, \see{ResPFlesso}}
	A_1,A_2, \res {A_3}{A_3}\T{ sono allineati }\=\NN
	\ubrace{\=}{\see{PropDiRes}} 
	\res {A_3}{A_3}=\res{A_1}{A_2} \ubrace{=}{\T{def}} A_3
	\ubrace{\=}{\see{ResPFlesso}} A_3\T{ flesso}
	}
\end{proof}
\begin{thm}
	\ilabel{CstarEstGruppo}
	Sia $C$ una cubica \uline{irriducibile}, allora
	$(C^*,+)$ e' un gruppo abeliano, dove $+$ e' l'operazione definita in
	\see{DefSommaInCstar}. In particolare, 
	\eal{&1.\;\;P_0\T{ e' l'elemento neutro}\NN
	2.\;\;-A= \res{A}{ \rest{P_0}}
	}
\end{thm}
\begin{proof}
	\step{}{$P_0$ e' l'elemento neutro}
	\begin{prova}
		\eal{&P_0+P_0 = \som {P_0}{P_0}  \ubrace{=}{\see{PropDiRes}}
		P_0
		}
	\end{prova}
	\step{}{$-A= \res{A}{ \res{P_0}{P_0}}$}
	\begin{prova}
	Infatti,
	\eal{&A+\res{A}{ \res{P_0}{P_0}}
	= \res{P_0}{\res{A}{\res{A}{ \res{P_0}{P_0}}}}
	\ubrace{=}{\see{PropDiRes}}  \res{P_0}{ \res{P_0}{P_0}}
	\ubrace{=}{\see{PropDiRes}} P_0
	}
	\end{prova}
	\step{}{$+$ e' commutativa}
	\begin{prova}
		\eal{&A+B = \som A B  \ubrace{=}{\see{PropDiRes}} 
		\som B A  = B+A
		}
	\end{prova}
	\step{}{$+$ e' associativa}
	\begin{prova}
	Dobbiamo dimostrare che 
	\eal{&(A+B)+C= A+(B+C)}
	Si ha:
	\eal{&(A+B)+C= A+(B+C)
	\= \som{(A+B)}{C}  = \som {A}{(B+C)} 
	\ubrace{\=}{\see{ResFissataIniettiva}} 
	\res{(A+B)}{C} = \res{A}{(B+C)}  \=\NN
	\ubrace{\=}{\see{PropDiRes}} 
	A,B+C,\res{(A+B)}{C} \T{ allineati }\;\;(*)
	}
Poniamo \eal{A_1= B\qq&\;A_2 = P_0&\;A_3=A+B\\
	B_1=\res{A}{B}\qq&\;B_2=\res{B}{C}&\;B_3=C}
e sia $D$ la seguente conica spezzata:
\eal{&D= B_2B_3 +A_2A_3
}
Per la \see{PropDiRes},
\eal{&A_1,B_2,B_3\T{ sono allineati} \NN
B_1,A_2,A_3\T{ sono allineati }\NN
\qq \> D\^ C = \pgra{A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,B_3}
}
Allora, per la \see{NoveAllineati} si ha che  i punti 
	\eal{&A= \res{B}{\res{A}{B}}\NN
	B+C=\res{P_0}{\res{B}{C}}\NN
	\res{(A+B)}{C} = \res{C}{(A+B)}
	}
	sono allineati, ovvero la $(*)$.
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{thm}
	\ilabel{Intersezione3nGruppo}
	Sia $C$ una cubica \uline{irriducibile} e siano $Q_1,\dots,Q_{3n}\in C^*$,
	allora
\eal{&\exists D\T{ curva di ordine $n$ t.c. }
D\^C = \pgra{Q_1,\dots,Q_{3n}}\= Q_1+ \dots +Q_{3n} = n\rest{P_0}}
\end{thm}
\begin{proof}
	\BEGINpnecessaria
	Procediamo per induzione su $n$
	\step{}{$n=1$}
	\begin{prova}
		Gia' visto nella prop \see{PropSommaCstar}
	\end{prova}
	\step{}{$n-1\>n$}
	\begin{prova}
	Consideriamo
	\eal{&A_1=\res{Q_1}{Q_2}\NN
	A_2=\res{Q_3}{Q_4}\NN
	A_3=\res{A}{B}
	}
	E sia $E$ la seguente curva di ordine $n+1$:
	\eal{&E=D+A_1A_2
	}
	si ha
	\eal{&E\^C =(C\^D )\U (C\^A_1A_2)
	=  \pgra{ Q_1,\dots,Q_{3n}} \U \pgra{A_1,A_2,\res{A_1}{A_2}}
	\( C^*\NN
	Q_1,Q_2,A_1\T{ allineati } \NN
	\qq  \ubrace{\>}{\gpi{thm6.7}{188}} 
	C\^E' = \pgra{ Q_3,\dots,Q_{3n},A_2,\res{A_1}{A_2}},\;\;\T{
	dove } E'\T{ e' una curva di ordine } n\NN
	Q_3,Q_4,A_2\T{ allineati}\NN
	\qq \ubrace{\>}{\gpi{thm6.7}{188}}
	C\^E''=\pgra{Q_5,\dots,Q_{3n},\res{A_1}{A_2}},\;\T{ con $E''$ curva di
	ordine $n-1$}\NN
	\ubrace{\>}{\T{Hp induttiva}}
	Q_5+\dots+Q_{3n}+\res{A_1}{A_2}=(n-1)\res{P_0}{P_0}\;\;(1)\NN
	A_1= \res{Q_1}{Q_2}   \ubrace{\>}{\see{PropSommaCstar}} A_1+Q_1+Q_2= \res{P_0}{P_0}\NN
	A_2= \res{Q_3}{Q_4}   \ubrace{\>}{\see{PropSommaCstar}} A_2+Q_3+Q_4= \res{P_0}{P_0}\NN
	\qq Q_1+Q_2 + Q_3+Q_4 +A_1+A_2 = 2\res{P_0}{P_0}\;\;(2)\NN
(1),(2) \> Q_1+\dots+Q_{3n} + A_1+A_2 +\res{A_1}{A_2} = (n+1)\res{P_0}{P_0}\NN
A_3=\res{A_1}{A_2}  \ubrace{\>}{\see{PropSommaCstar}} 
A_1+A_2+	\res{A_1}{A_2} =  \res{P_0}{P_0}\NN
\qq \>  Q_1+\dots+Q_{3n} =  (n+1)\res{P_0}{P_0} -  \res{P_0}{P_0}= n \res{P_0}{P_0}
}

	\end{prova}
	\END
	\BEGINsufficiente
	\END
\end{proof}
\begin{prop}\ilabel{PuntiUscentiFlessoEstGruppo}
Sia $C$ irriducibile,  $P_0=O\in C^*$ un flesso, allora
	\eal{&1.\;\;2X = O \= X\in\pgra{B\in C \;|\;O\in t_B(C)
	}\NN
	2.\;\;\rest{P+X}=\rest{P}\;\;\forall P\in C,\;\forall X\in
	\pgra{X\;|\;2X=O}}
	Nota: la prop \see{TangentiUscentiDalFlesso} fornisce un metodo per
	trovare i punti $B$ della $1.$.\\
	Se inoltre  $C=C^*$, ovvero se $C$ e' \uline{non singolare}, allora
	\eal{&
	1.1\;\;\pgra{X\in C\;|\;2X=O} = \pgra{A_0,A_1,A_2,A_3},\;\T{ con
	}A_i \neq A_j\;\forall i \neq j,\;\;A_0=O\NN
	3.\;\;A_i+A_j=A_h\;\;\forall  i , j, h  >0 \T{ distinti }\NN
	4.\;\;\T{Sia }\sigma_i:C\longrightarrow C,\;\sigma_i(P)=P+A_i,\T{
	allora } \pgra{\sigma_0,\sigma_1,\sigma_2,\sigma_{3}} \T{ e' un gruppo di
	funzioni }
	}
\end{prop}
\begin{proof}
	\eal{&O\T{ flesso } \> \res O O = O}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		\eal{&2X = X + X = \res{O}{\res{X}{X}} \NN
		O= \res O O \NN
		\qq \>   \res{O}{\res{X}{X}} = \res O O
		\ubrace{\>}{\see{ResFissataIniettiva} } \res X  X = O 
		\= X \in \pgra{B\in C \;|\;O\in t_B(C) }
		}
		\step{}{}
		\begin{prova}
			Infine, se $C$ e' non singolare, per la \see{TangentiUscentiDalFlesso} e la
		\see{NumTangentiPassantiFlesso} si ha 
		\eal{&
\pgra{B\in C \;|\;O\in t_B(C)
        }=\pgra{O=A_0,A_1,A_2,A_3},\;\T{ con }A_i \neq A_j\;\forall i \neq j
		}
		\end{prova}
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		\eal{&
		2P + \rest{P}  \ubrace{=}{\see{2PPP}}  O
		\ubrace{=}{\see{2PPP}} 2(P+X) +\rest{P+X}
		 = 2P + 2X +\rest{P+X}
		\ubrace{=}{2X=O } 2P +\rest{P+X} \>\NN
		\>  \rest{P}  = \rest{P+X}
		}
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		\eal{&2(A_i+A_j)=2A_i+2A_j = O  \ubrace{\>}{1.1} 
		\exists h:\;A_i+A_j=A_h\NN
		(1) \= A_i=-A_i\;\;(1.1)\NN
		A_h=O \> A_i+A_j=O   \= A_i =-A_j =A_j \> A_i=A_j\NN
	A_h =A_i \> 		A_i+A_j=A_i \> A_j = O
A_h =A_j\>		A_i+A_j=A_j \> A_i = O
		}
		In definitiva, se supponiamo  $0<i \neq j$, si deve avere
		\eal{&A_h\notin \pgra{O=A_0,A_i,A_j} }
		ovvero
		\eal{&i,j,h>0\T{ distinti}
		}
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		\step{}{$\sigma_i$ e' biettiva}
		\begin{prova}
			\eal{&\T{iniettiva: }\sigma_i(P)=\sigma_i(Q) \= 
			P+A_i = Q+A_i \= P=Q\NN
			\T{surriettiva: }\sigma_{i}(Q-A_i)= Q
			}
		\end{prova}
		\step{}{
	Per dimostrare che le $\sigma_i$ formano un sottogruppo
		finito di $S(C)$ (permutazioni su $C$), basta provare
		che(\footnote{Questo per la caratterizzazione dei sottogruppi
		finiti}):
		\eal{&\sigma_i\sigma_j \in
		\pgra{\sigma_0,\dots,\sigma_3}\;\;\forall i,j
		}
\lineapiccola
		}
		\begin{prova}
			\eal{&\sigma_i^2 = +2A_i = +O = \sigma_0\NN
			i \neq j \> \sigma_i\sigma_j= +A_i+A_j  \ubrace{=}{3.}
			+A_h = \sigma_h
			}		
		\end{prova}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{prop}\ilabel{SommaFlessi}
	Sia $C$ irriducibile e $Q_1,\dots,Q_r\in C^*$, $O=P_0$ flesso di
	$C$.\\
	Supponiamo che $ Q_1+\dots+Q_r=O$, allora
	\eal{&1.\;\;Q_1,\dots,Q_s\T{ sono flessi } \> Q_{s+1}+\dots+Q_r\T{ e'
	un flesso }\NN
	2.\;\;\pgra{Q_1,\dots,Q_s}=\pgra{P\in C\;|\;P\T{ flesso } },
	\T{ tutti distinti} \> Q_{s+1}+\dots+Q_r = O
	}
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{}
	\begin{prova}
		\eal{&Q_1,\dots,Q_s\T{ flessi }
		\ubrace{\=}{\see{EquazioneFlessi}} 3Q_1,\dots,3Q_s=O\;\;(1)\NN
	 Q_1+\dots+Q_r=O \> 3( Q_1+\dots+Q_r)=O 
	 \= 3Q_1+\dots+3Q_s+3(Q_{s+1}+\dots+Q_r)=O \=\NN
	 \ubrace{\=}{(1)} 3(Q_{s+1}+\dots+Q_r)=O
	 \ubrace{\=}{\see{EquazioneFlessi}} Q_{s+1}+\dots+Q_r\T{ flesso }
		}
	\end{prova}
	\step{}{}
	\begin{prova}
	Per la \gpi{Oss6.20.1}{197}, si ha
\eal{&Q_1+\dots+Q_s = O}
e quindi la tesi.
	\end{prova}
\end{proof}

\section{Teoremi ``geometrici''}
In questa sezione elenchiamo alcuni teoremi (gia' dimostrati altrove) che riguardano proprieta' che possono essere interpretate solo dal punto di vista geometrico.

\begin{thm}\ilabel{Thm6.7Generalizzato}
Sotto le seguenti ipotesi:
\begin{enumerate}
	\item $C$ curva, $\deg C=m$
	\item $D$ curva, $\deg D=n\ge m$
	\item $|C\^D|=mn$ (nota\footnote{i punti sono contati con le
		rispettive molteplicita'}). In altre
		parole, $C,D$ non hanno componenti a comune.
	\item $R$ retta, $|C\^R|=m$.
	\item $C\^R \( C\^D$, ovvero $C\^R=C\^D\^R$.
	\item $I(R\^D, P)=I(R\^C,P)\;\;\forall P\in C\^D$
\end{enumerate}
si ha
\eal{&\exists E\T{ curva: }\sist{\deg E = n-1\\
C\^D\-R = E\^C\\
| E\^C| = m(n-1)
}
}	
\end{thm}
\begin{proof}
	Basta usare la stessa dimostrazione del \gpi{thm6.7}{188}, cambiando
	$3$ con $m$.
\end{proof}

\begin{thm}
	Siano $F_1,F_2$ curve di grado $n$, con
\eal{&\pgra{P_1,\dots,P_{n^2}}=F_1\^F_2\T{ punti distinti}}
Sia $D$ curva \uline{irriducibile} di grado $m$, tale che 
\eal{&D\^F_1=\pgra{P_1,\dots,P_{mn}}}
allora si ha 
\eal{&\exists E \T{ curva di grado }n-m:\;\;E\^F_1 = \pgra{ P_{mn+1},\dots, P_{n^2}}
}
\end{thm}
\begin{proof}
	Vedi \see{ThmPrePascal}
\end{proof}
\begin{thm}
Sia $C$ una conica irriducibile, e siano $A_1,\dots,A_6\in C$, allora
\eal{&\sist{A_1,\dots,A_6\T{ sono a tre a tre non allineati }  \\
\pgra{P_i}=A_{i}A_{i+1}\^A_{i-2}A_{i+3} } \> P_1,P_2,P_3\T{ sono allineati}
}
\end{thm}
\begin{proof}
	\gpi{Cor1.12}{166}
\end{proof}
\begin{thm}
	Siano $F_1,F_2$ due cubiche distinte con 
	\eal{&F_1\^F_2 = \pgra{P_1,\dots,P_9},\;\;|F_1\^F_2|=9}
	Sia $F$ una cubica, si ha:
	\eal{&\pgra{P_1,\dots,P_8 }\( F\> P_9\in F }
\end{thm}
\begin{proof}
	\see{CubicaPer8PtPassaPerIlNono}
\end{proof}
\begin{thm}
	Sia
	\begin{enumerate}
		\item $C$ cubica irriducibile
		\item $D$ curva, $\deg D=n+m$
		\item $C\ndiv D$
		\item $C\^D \( C^*$
		\item $\exists E\T{ di ordine $n$ t.c. } E\^C \( C\^D
			,\;|E\^C|=3n$.  (nota\footnote{il conteggio di
			$|E\^C|$ si intende con le rispettive molteplicita'
			dei punti})
	\end{enumerate}
	allora
	\eal{&\exists F\T{ di ordine $m$ t.c. } C\^D \-E\^C =F\^C,\;|F\^C|=3m}
\end{thm}
\begin{proof}
	\gpi{Cor6.19}{195}
\end{proof}
\begin{thm}
	Sia $C$ una cubica irriducibile e $D$ una conica. 
	Siano 
	\eal{&C\^D= \pgra{A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,B_3}
	}
 i $6$ punti di intersezione tra $C$ e $D$ (nota\footnote{possono
	anche coincidere tra loro. Sono $6$ se contati con le rispettive
	molteplicita' (vedi Bezout).}). Si ha:
	\eal{&C\^D \( C^* \> \res{A_1}{B_1},\;\res{A_2}{B_2},\;
	\res{A_3}{B_3}\T{ sono allineati }
	}
\end{thm}
\begin{proof}
	\see{NoveAllineati}
\end{proof}
\begin{thm}
	Sia $C$ una cubica irriducibile e $R$ una retta
	Siano 
	\eal{&C\^R= \pgra{A_1,A_2,A_3}
	}
 i $3$ punti di intersezione tra $C$ e $R$, contati con le rispettive
 molteplicita'.
 Si ha:
	\eal{&C\^R\( C^* \> \rest{A_1},\;\rest{A_2},\;
	\rest {A_3}\T{ sono allineati }
	}
\end{thm}
\begin{proof}
	\see{TangenzialiAllineati}
\end{proof}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\include{eser}

\section{Appendice A}
Qui di seguito vengono inclusi gli appunti cartacei.\\
\ifpdf
\includepdf[pages=-,fitpaper=true,trim=0 0 0 0,offset=0 0,turn=true,noautoscale=false]{scans/Indice1.pdf}
\includepdf[pages=-,fitpaper=true,trim=0 0 0 0,offset=0 0,turn=true,noautoscale=false]{scans/Indice2.pdf}
\includepdf[pages=-,fitpaper=true,trim=0 0 0 0,offset=0 0,turn=true,noautoscale=false]{scans/GIII_scan_1.pdf}
\includepdf[pages=-,fitpaper=true,trim=0 0 0 0,offset=0 0,turn=true,noautoscale=false]{scans/GIII_scan_2.pdf}
%\includepdf[pages=-,fitpaper=true,trim=0 0 0 0,offset=0 %0,turn=true,noautoscale=false]{GIII-parteII-penna.pdf}
\fi

%%%%%%%
\printindex

\end{document}