% File: geometriaII.tex % % (c) Copyright 2007 Andrea Lo Pumo aka AlpT % % This source code is free software; you can redistribute it and/or % modify it under the terms of the GNU General Public License as published % by the Free Software Foundation; either version 2 of the License, % or (at your option) any later version. % % This source code is distributed in the hope that it will be useful, % but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of % MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. % Please refer to the GNU Public License for more details. % % You should have received a copy of the GNU Public License along with % this source code; if not, write to: % Free Software Foundation, Inc., 675 Mass Ave, Cambridge, MA 02139, USA. % \documentclass[a4paper]{article} %%%% Includes \usepackage{xr-hyper} \usepackage{amath} \renewcommand{\I}{\mathcal{I}} \renewcommand{\V}{\mathbf{V}} \renewcommand{\C}{\mathcal{C}} \renewcommand{\B}{\mathcal{B}} \renewcommand{\A}{\mathcal{A}} \newcommand{\E}{\mathbf{E}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\Ll}[1]{\mathcal{L}\pton{#1}} \externaldocument[AL-]{alineare}[../../algebra/lineare/alineare.pdf] \ifpdf \newcommand{\AL}[1]{\T{[AL,\ref{AL-#1},pg.\pageref{AL-#1}]}} \else \newcommand{\AL}[1]{\T{[AL,xx.x.x,pg.xx]}} \fi \begin{document} \title{Geometria II} \author{AlpT (@freaknet.org)\\ \small{http://freaknet.org/alpt} } \def\vz{{\underline{0}}} \def\PQ{{\vec{PQ}}} \def\QP{{\vec{QP}}} \def\bil#1{{\operatorname{Bil}\pton{#1}}} \def\bilvk{{\bil{\V,\K}}} \def\bvk{{\bilvk}} \def\Sym{{\operatorname{Sym}}} \def\giac{{\operatorname{giac}}} \def\glnk{{GL_n(\K)}} \def\B{{\mathcal{B}}} \pagenumbering{roman} \maketitle{} \begin{abstract} Questo testo e' una rielaborazione personale degli appunti presi durante il corso di Geometria II, tenuto dalla Prof.ssa Orlando presso il dipartimento di Matematica, Catania, A.A. 2007/2008.\\ Saro' ben lieto di correggere ogni eventuale errore che mi comunicherai. Buon lettura. \begin{center} \verb|^_^| \end{center} \end{abstract} \input{gpl} \clearpage \tableofcontents \clearpage \pagenumbering{arabic} \let\oldsection\section \renewcommand{\section}[1]{\oldsection{#1}\ilabel{#1}} \let\oldsubsection\subsection \renewcommand{\subsection}[1]{\oldsubsection{#1}\ilabel{#1}} \let\oldsubsubsection\subsubsection \renewcommand{\subsubsection}[1]{\oldsubsubsection{#1}\ilabel{#1}} \section{Spazio affine} \ilabel{spazio!affine} Uno spazio affine e' una terna $(\A, \V, \vec{})$, dove $\A$ e' un qualsiasi insieme non vuoto, $\V$ e' un $\K$ spazio vettoriale, e $\vec{}$ e' una funzione \eal{&\vec{}:\A\times \A\longrightarrow \V\\ &Q-P:=\vec{PQ}:=\vec{}(a,b)} dotato della seguente struttura: \label{afas} \eal{ &\textbf{As 1.}\qq\qq \forall P \in \A,\;\forall v \in \V\;\;\exists ! Q \in \A:\;\; \vec{PQ}=v\\ &\textbf{As 2.}\qq\qq \forall P,O,Q \in \A\;\; \vec{PO}+\vec{OQ}=\vec{PQ} } Gli elementi di $\A$ vengono chiamati punti.\\ Si dice che $\A$ ha una struttura di spazio affine sullo spazio vettoriale $\V$.\\ Alcune immediate proposizioni che valgono $\forall P,Q,P_1,P_2,Q_1,Q_2\in \A$: \begin{enumerate} \item $\vec{PP}=\vz$ \begin{prova} \pf \eal{&\vec{PP}\ubrace{=}{As. 2}\vec{PP}+\vec{PP}\> \vec{PP}=\vz} \end{prova} \item $\vec{PQ}=-\vec{QP}$ \begin{prova} \pf \eal{&\vec{PQ}+\vec{QP}=\vec{PP}=\vz} \end{prova} \item $\vec{P_1P_2}=\vec{Q_1Q_2}\=\vec{P_1Q_1}=\vec{P_2Q_2}$ (proposizione del parallelogramma) \begin{prova} \pf \eal{&\vec{P_1Q_1} = \ubrace{\vec{P_1P_2}}{=\vec{Q_1Q_2}}+\ubrace{\vec{P_2Q_1}}{=\vec{P_2Q_2}+\ubrace{\vec{Q_2Q_1}}{=-\vec{Q_1Q_2}}}=\vec{Q_1Q_2}-\vec{Q_1Q_2}+\vec{P_2Q_2}=\vec{P_2Q_2} } \end{prova} \end{enumerate} \begin{exemp} di spazio affine.\\ \eal{&\A=\V,\;\;\vec{uv}=v-u } E' uno spazio affine, infatti \eal{ &\forall u, v \in \V\;\;\exists ! w \in \V:\;\; \vec{uv}=w\\ &\qq w=v-u\\ &\forall u,w,v \in \A\;\; \vec{uw}+\vec{wv}=w-u+v-w=v-u=\vec{uv} } Indicheremo questo particolare spazio affine con $\V_a$.\\ Un caso particolare si ha quando $\V=\K^n$.\\ $(\K^n)_a$ lo indicheremo con $\A^n$ o con $\A^n(\K)$ \end{exemp} \subsection{Sistema di riferimento} \ilabel{riferimento} Dato uno spazio affine $(\A,\V,\vec{})$, possiamo fissare un riferimento affine $\Omega=(O, \varepsilon={e_1,e_2,\dots,e_n})$, dove $O\in \A$ e $\varepsilon$ e' una base di $\V$, con $\dim \V=n$.\\ Poiche' le componenti di un vettore di $\V$ rispetto alla base fissata sono uniche, chiamiamo $[\vec{OP}]_\varepsilon$ le coordinate di $P\in \A$, ovvero \eal{&\vec{OP}=p_1e_1+p_2e_2+\dots+p_ne_n\\ &[\vec{OP}]_\varepsilon=(p_1, p_2,\dots,p_n)\in \K^n } Con $P(p_1,p_2,\dots,p_n)_\Omega$, o con $\coord{P}{\Omega}$ indichiamo le coordinate di $P$ rispetto al sistema di riferimento $\Omega $. \begin{prop} Le componenti di $\vec{PQ}$ sono: \eal{& \coord{\vec{PQ}}{\varepsilon}=\coord{Q}{\Omega }-\coord{P}{\Omega }=(q_1-p_1,q_2-p_2,\dots,q_n-p_n)} \end{prop} \begin{prova} \pf \eal{&\vec{PQ}= \vec{PO}+\vec{OQ}= -\vec{OP}+\vec{OQ}=\\ &\qq= -(p_1e_1+p_2e_2+\dots+p_ne_n) +(q_1e_1+q_2e_2+\dots+q_ne_n)= (q_1-p_1)e_1+\dots+(q_n-p_n)e_n } \end{prova} \begin{prop} \label{propcambiamentobase} Supponiamo di avere due riferimenti $\Omega =(O,B)$ e $\Omega '=(O',C)$. Allora si ha \eal{& {\coord{P}{\Omega '}}={\coord{O}{\Omega '}} + P_{B\rightarrow C} {\coord{P}{\Omega }} } dove $P_{B\rightarrow C}$ e' la matrice del cambiamento di base. \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} per cambiare le coordinate di un punto $Q$ da un sistema all'altro basta cambiare la base del vettore $\vec{OQ}$ e quindi \eal{ &\vec{O'P}=\vec{O'O}+\vec{OP}\\ &[\vec{O'P}]_C=[\vec{O'O}]_C+[\vec{OP}]_C=[\vec{O'O}]_C+ P_{B\rightarrow C}[\vec{OP}]_B\;\;\T{[P e' la mat. di cambiamento di base]}\\ &{\coord{O}{\Omega '}}=[\vec{O'O}]_C\\ &{\coord{P}{\Omega }}=[\vec{OP}]_B,\;\;{\coord{P}{\Omega '}}=[\vec{O'P}]_C\\ &{\coord{P}{\Omega '}}={\coord{O}{\Omega '}} + P_{B\rightarrow C} {\coord{P}{\Omega }} } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{defn} Sia $\A=\A^n$. Il riferimento $\Omega = ((0,0,\dots,0), \varepsilon)$, dove $\varepsilon$ e' la base canonica, viene detto riferimento standard o canonico. \end{defn} \begin{prop} Sia $\A=\A^n$, e $\Omega $ il suo riferimento canonico. Preso un $P\in \A$, vale la seguente: \eal{&\coord{P}{\Omega }=P} \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} \eal{&P\ubrace{=}{\varepsilon \T{ e' la base canonica}} [P]_\varepsilon \\ &\coord{P}{\Omega }=\coord{OP}{\varepsilon} =\coord{P}{\Omega }-\ubrace{\coord{O}{\Omega }}{=(0,0,\dots,0)} =\coord{P}{\Omega }=P } \end{prova} \qed \end{prova} \subsection{Sottospazio affine} Dato uno spazio affine $(\A,\V,\vec{})$, un punto $P_0\in \A$ e un sottospazio $W\(\V$, nasce il sottospazio affine $S\le \A$: \eal{&S=(P_0, W):=\pgra{Q\in \A:\;\;\vec{P_0Q}\in W}} che viene detto \emph{sottospazio passante per $P_0$ e parallelo a $W$}. $W$ e' la giacitura del sottospazio.\\ Di sicuro $P_0\in S$, perche' $P_0P_0=\vz\in W$.\\ Se $\dim W=0$, allora $W=\pgra{\vz}$ e quindi $S=\pgra{P_0}$. In questo caso, $S$ si chiama punto.\\ Se $\dim W=1$, $S$ si dice retta.\\ Se $\dim W=2$, $S$ si dice piano.\\ Se $\dim W=\dim \V-1$, $S$ si dice iperpiano. \begin{prop} \label{propsottaffestspazioaffine} Sia $S=(P_0,W)$ un sottospazio affine di $(\A,\V,\vec{})$, allora $(S,W,\vec{})$ e' uno spazio affine. \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} \textbf{As 2} e' verificato perche' stiamo usando sempre la stessa $\vec{}$ dello spazio iniziale.\\ \eal{ &\T{In $\A$, per \textbf{As 1}: }\forall P \in S,\;\forall v \in W\(\V\;\;\exists ! Q \in \A:\;\; \vec{PQ}=v\in W\\ &\T{ma per definizione di S si ha che }Q\in S,\T{ quindi vale l'\textbf{As 1} per }S:\\ &\forall P \in S,\;\forall v \in W\;\;\exists ! Q \in S:\;\; \vec{PQ}=v } \end{prova} \end{prova} \begin{prop} In $\V_a$, sia $S=(v, W)$ un suo sottospazio, allora \eal{&S=v+W}.\\ Si dice che $S$ e' un traslato di $W$. \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} \eal{&S=\pgra{v'\in \A=\V\;|\;\vec{v'v}=v-v'\in W}\\ &v-v'\in W\=v'-v\in W\=v'-v=w\in W \= v'=w+v\\ &S=\pgra{v+w\;|\;w\in W}} \end{prova} \end{prova} \begin{prop} \label{propSnondipendedap0} Preso $P_1\in S$, $(P_1, W)=(P_0,W)$. Quindi un sottospazio non determina univocamente $P_0$. \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\($} \begin{prova} \eal{&Q\in (P_1,W)\> \vec{P_1Q}\in W\\ &\vec{P_1Q}=\vec{P_1P_0}+\vec{P_0Q}\\ &\= \vec{P_0Q}=\ubrace{\vec{P_1Q}}{\in W}+\ubrace{\vec{P_0P_1}}{\in W \T{per Hp}}\in W\= Q\in (P_0, W) } \end{prova} \step{}{Dim $\)$} \begin{prova} La dimostrazione e' simmetrica: basta usare la precedente, sostituendo a $P_0$ $P_1$ e viceversa. \end{prova} \end{prova} \end{prop} \begin{prop} \label{propabinW} Immediata conseguenza: \eal{&\forall A,B\in S\;\;\vec{AB}\in W}, infatti \eal{&A\in S \>(P_0,W)=(A,W),\;B\in S\>\vec{AB} \in W } \end{prop} \begin{prop} \label{propestremi} $v\in W$ e' un vettore che ha per estremi due punti di $S$. \begin{prova} \pf \eal{&P_0\in S\\ &\exists ! Q \in \A:\; P_0Q=v\ubrace{\in}{Hp} W\qq \T{[per \textbf{As. 1}]}\\ &\qq \> Q\in S} \end{prova} \end{prop} \begin{prop} \ilabel{intersezione sottospazi} Intersezione non vuota di sottospazi affini di $\A$ e' ancora un sottospazio affine di $\A$, ovvero: \eal{&S_i=(P_i,W_i) \le \A \;\;\forall i\in I\\ &\bigcap_{i\in I}S_i\neq \0 \> \bigcap_{i\in I}S_i=\pton{P, \bigcap_{i\in I}W_i} \le \A,\;\;\T{ con } P\in \bigcap_{i\in I}S_i} \end{prop} \begin{prova} \pf\step{}{Dim che $\bigcap_{i\in I}S_i \le \A$} \begin{prova} \eal{ &\bigcap_{i\in I } W_i \T{ e' un sottospazio vett. di } \V\; \T{ [prop \AL{propsottospazivettoriali}]}\\ & \bigcap_{i\in I}S_i\neq \0 \> \exists P \in S_i\;\;\forall i\in I\\ &\forall i \in I\;P \in S_i\ubrace{\>}{\see{propSnondipendedap0}} \forall i\in I\;S_i=(P, W_i) } \end{prova} \step{}{Dim. che $\bigcap_{i\in I}S_i= \pton{P, \bigcap_{i\in I}W_i}$ } \begin{prova} \eal{& Q\in \bigcap_{i\in I}S_i\= \forall i \in I\;Q\in S_i \= \forall i \in I\;\vec{PQ} \in W_i\= \vec{PQ} \in \bigcap_{i\in I}W_i\= Q\in \pton{P, \bigcap_{i\in I}W_i}} \end{prova} \qed \end{prova} %%%%%%%% \subsection{Equazioni cartesiane} \subsubsection{Dato il sottospazio} Sia $S=(P,W)$ un sottospazio affine di $(\A, \V, \vec{})$, con $\dim \A=n,\dim S=k$. Sia \eal{& \ubrace{\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\ldots & a_{1n}\\ \vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots & a_{mn} \end{pmatrix}}{A} \ubrace{\begin{pmatrix} x_{1}\\x_2\\\vdots\\x_n \end{pmatrix}}{X}= \begin{pmatrix} 0\\0\\\vdots\\0 \end{pmatrix},\;\;m=n-k } il sistema che rappresenta $W$ rispetto alla base $\varepsilon$.\\ Fissato il riferimento $\Omega =(O, \varepsilon = \pgra{v_1,v_2,\dots,v_n})$, con $O\in \A$ arbitrario, le equazioni cartesiane di $S$ sono: \eal{& (1)\;\;AX=A\TR\coord{P}{\Omega},\\&\qq \T{ con } (A\TR\coord{P}{\Omega})_{j1}=a_{j1}p_1+a_{j2}p_2+\dots+a_{jn}p_n } Ovvero, se $I$ e' l'insieme delle soluzioni del sistema $(1)$ si ha \eal{& Q\in S \= \coord{Q}{\Omega} \in I } \def\cq{{\coord{Q}{\Omega }}} \begin{prova} \pf \step{}{Dim. che $Q\in S \> \cq \in I$} \begin{prova} \label{dimssolsottspaz} \eal{ & Q\in S \= \vec{PQ} \in W \= A\TR\coord{\vec{PQ}}{\varepsilon}=\TR\vz\\ & \sist{ A\TR\coord{\vec{PQ}}{\varepsilon}=\TR\vz\\ \coord{\vec{PQ}}{\varepsilon}=\coord{Q}{\Omega}-\coord{P}{\Omega}} \= A\begin{pmatrix} q_1-p_1\\q_2-p_2\\\vdots\\q_n-p_n \end{pmatrix}=\TR\vz\\ &\qq \= A\TR\pton{\coord{Q}{\Omega}-\coord{P}{\Omega} } =\TR\vz\=A\TR\coord{Q}{\Omega}=A\TR\coord{P}{\Omega}\=\coord{Q}{\Omega} \in I \\ } \end{prova} \step{}{Dim. che $\coord{Q}{\Omega }\in I\>Q\in S$} \begin{prova} Basta procedere a ritroso. \end{prova} \qed \end{prova} \subsubsection{Date le equazioni} In $(\A, \V, \vec{})$, con $\dim \A=n$, $P\in \A$, e riferimento $\Omega =(O, \varepsilon)$. Sia dato il sistema \eal{&A\TR X=B\;\;(1)\\ &A\in M^{m,n}(\K),\;\;B\in M^{m,1}(\K) } se $(1)$ ammette coordinate di punti di $\A$ come soluzioni, allora rappresenta un sottospazio affine $S$ di $\A$, passante per uno dei punti le cui coordinate soddisfano $(1)$, e giacente nel sottospazio definito da $A\TR X=\TR \vz$, rispetto alla base $\varepsilon$, ovvero \eal{& Q\in S \= \coord{Q}{\Omega} \in I } dove $I$ sono le soluzioni del sistema. Inoltre, $\dim S=n-\rho(A)$. \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\<$} \begin{prova} Sia $\coord{P}{\Omega }$ una soluzione di $(1)$, ovvero \eal{&A\TR\coord{P}{\Omega }=B} Sia $\coord{Q}{\Omega }$ un'altra soluzione (non necessariamente distinta) di $(1)$, ovvero \eal{&A\TR\coord{Q}{\Omega }=B}, allora \eal{&A\TR\coord{P}{\Omega }=A\TR\coord{Q}{\Omega}\= A\TR\coord{\vec{PQ}}{\varepsilon}=\vz\= \vec{PQ} \in \T{un certo } W\(\V } quindi $\forall Q\in \A:\;\;\coord{Q}{\Omega} \in I\;\;\vec{PQ} \in W$. \end{prova} \step{}{Dim $\>$} \begin{prova} Per Hp $A\TR X = B$ e' l'equazione di $S$, quindi $Q\in S \> A\TR \coord{Q}{\Omega } = B$ \end{prova} \qed \end{prova} \subsubsection{Dato il sottospazio - II} Poniamoci nelle ipotesi di \see{Dato il sottospazio}. Per trovare le equazioni cartesiane di $S$, conoscendo l'equazione di $W$ e un punto $P\in S$, si puo' procedere in questo modo: \begin{enumerate} \item Calcoliamo $B=(b_1,b_2,\dots,b_n)$ cosi' \eal{&\TR B= A\TR \coord{P}{\Omega } } \item Le equazioni cartesiane di $S$ sono: \eal{&A\TR X = B\;\;(1)} con $X=(x_1,x_2,\dots,x_n)$ \end{enumerate} \begin{prova} \pf \begin{prova} Per la prop. \see{Date le equazioni}, la $(1)$ e' il sistema del sottospazio $S'$ che ha per giacitura il sottospazio definito da $A\TR X =\TR \vz$, ovvero proprio $W$. Inoltre, $S'$ passa per un punto $Q$ t.c. $\coord{Q}{\Omega }$ e' soluzione di $(1)$. Ma per costruzione, $\coord{P}{\Omega }$ e' soluzione di $(1)$. Quindi $S'=(P, W)=S$ \end{prova} \qed \end{prova} \subsubsection{Data la base del sottospazio} Nelle ipotesi di \see{Dato il sottospazio}, sia $B={w_1,w_2,\dots,w_k}$ una base di $W$, dove $\coord{w_i}{\varepsilon}=(w_{1i}, w_{2i}, \dots,w_{ni}),\;\;i=1,2,\dots,k=\dim W$.\\ La condizione \eal{&\rho\begin{pmatrix} w_{11}& w_{21}& \dots&w_{n1}\\ w_{12}& w_{22}& \dots&w_{n2}\\ \vdots\\ w_{1k}& w_{2k}& \dots&w_{nk}\\ x_1-p_1&x_2-p_2&\ldots& x_n-p_n \end{pmatrix}=k\\ &\T{dove } \coord{P}{\Omega }=(p_1,p_2,\dots,p_n),\;\;X=(x_1,x_2,\dots,x_n) } da' le equazioni cartesiane di $S$: per Kroneker basta trovare un minore di ordine $k$ non nullo e imporre che tutti i suoi orlati abbiano determinante nullo. Otteniamo cosi' $n-k$ equazioni. \begin{prova} \pf Per definizione $Q\in S\= \vec{PQ} \in W$. Allora imponendo che $\vec{PQ}\in W$, cosi' come facevamo in \AL{eqcarsottospazio} (nota\footnote{ovvero imponiamo che le componenti di $\vec{PQ}$ siano c.l. delle componenti dei vettori base di $W$}), otteniamo la tesi. \end{prova} \subsubsection{Equazioni parametriche} Nelle ipotesi di \see{Dato il sottospazio}, sia $B={w_1,w_2,\dots,w_k}$ una base di $W$, dove $\coord{w_i}{\varepsilon}=(w_{1i}, w_{2i}, \dots,w_{ni}),\;\;i=1,2,\dots,k=\dim W$. Il seguente sistema rappresenta $S$ al variare dei parametri $t_1,t_2,\dots,t_k$: \eal{& \TR X = \TR \coord{P}{\Omega} + \sum_{i=1}^k t_i \TR \coord{w_i}{\varepsilon} } in altri termini: \eal{& \sist{x_1=p_1 + t_1w_{11}+\cdots+t_kw_{1k}\\ \vdots\\ x_n=p_n+t_1w_{n1}+\cdots+t_kw_{nk} } } \begin{prova} \pf \begin{prova} Sia $Q\in S$, e $X=\coord{Q}{\Omega }$, \eal{&Q\in S \> \vec{PQ} \in W \> \vec{PQ}=t_1w_1+t_2w_2+\dots+t_kw_k\;\;(3)\\ &w_i=w_{1i}e_1+w_{2i}e_2+\dots,w_{ni}e_n,\;\;i=1,2,\dots,k\\ &(3)\> \vec{PQ}= t_1(w_{11}e_1+ w_{21}e_2+ \dots+w_{n1}e_n)+\cdots+ t_k(w_{1k}e_1+w_{2k}e_2+\dots,w_{nk}e_n)=\\ &\qq = (t_1w_{11}+\cdots+t_kw_{1k})e_1+\cdots+(t_1w_{n1}+\cdots+t_kw_{nk})e_n\\ &\coord{\vec{PQ}}{\varepsilon}=(t_1w_{11}+\cdots+t_kw_{1k}, \cdots, t_1w_{n1}+\cdots+t_kw_{nk})\;\;(4)\\ &\coord{\vec{PQ}}{\varepsilon}=\coord{Q}{\Omega }-\coord{P}{\Omega }\;\;(5)\\ &(4),(5)\>\coord{Q}{\Omega }=X=\coord{P}{\Omega }+(t_1w_{11}+\cdots+t_kw_{1k}, \cdots, t_1w_{n1}+\cdots+t_kw_{nk}) } \end{prova} \end{prova} \begin{exemp} Se nello spazio standard volessimo trovare le equazioni cartesiane di una retta passante per un punto $P$ e parallela a un vettore $v$, bastera' considerare il sottospazio $S=(P, \Ll{v})$, dove $\Ll{v}$ e' il sottospazio vettoriale generato da $v$: $\Ll{v}=\pgra{av,\;\;a\in \mathbb{R}}$, ovvero tutti i vettori paralleli a $v$. $S=(P, \Ll{v})$ e' proprio la retta, infatti: \eal{& S=(P, \Ll{v})=\pgra{\T{punti Q} \;|\;\vec{PQ} \in \Ll{v}} } \end{exemp} \subsubsection{Equazione dell'iperpiano} In $(\A,\V,\vec{}),\;\;\dim \A=n$, l'equazione di un qualsiasi iperpiano $S$ e' del tipo \eal{&a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n=b} Ovvero, il suo numero di equazioni e' $1$, infatti, $\dim \A - \dim S=1$. \begin{exemp} Supponiamo di voler trovare l'equazione dell'iperpiano $S$ che contiene il sottospazio $T$, di equazioni: \eal{& \sist{ a_{11}x_1+\dots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+\dots+a_{2n}x_n=b_2\\ \dots\\ a_{m1}x_1+\dots+a_{mn}x_n=b_m\\ }\;\;(1)} allora, l'equazione di $S$ e' una combinazione lineare delle equazioni di $T$, cioe': \eal{& \lambda_1 (a_{11}x_1+\dots+a_{1n}x_n-b_1)+ \lambda_2(a_{21}x_1+\dots+a_{2n}x_n-b_2)+\dots+ \lambda_m(a_{m1}x_1+\dots+a_{mn}x_n-b_m)=0\;\;(2) } \begin{prova} \pf \begin{prova} Infatti, $T\( S \> T=S\^T$, ma allora si deve avere che \eal{& (1) \;\=\; \sist{ a_{11}x_1+\dots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+\dots+a_{2n}x_n=b_2\\ \dots\\ a_{m1}x_1+\dots+a_{mn}x_n=b_m\\ a_1x_2+\dots+a_nx_n=b }\\ &\T{ con $a_1x_2+\dots+a_nx_n=b$ equazione di $S$} } e quindi l'ultima equazione (quella di $S$) e' c.l. delle precedenti, ovvero, \eal{& a_1x_2+\dots+a_nx_n-b= \lambda_1 (a_{11}x_1+\dots+a_{1n}x_n-b_1)+\dots+ \lambda_m(a_{m1}x_1+\dots+a_{mn}x_n-b_m)=0 } \end{prova} \qed \end{prova} Ovviamente, al variare dei parametri $\lambda_i,\;i=1,\dots,m$ otteniamo iperpiani diversi. Se avessimo altre condizioni, potremmo ridurre il numero dei parametri. Ad esempio, se sappiamo che $P\in S$, possiamo sostituire le coordinate di $P$, e ricavarci un parametro in funzione degli altri.\\ E' da notare che in $\A^3$, la $(2)$ e' il fascio di piani che consideravamo in geometria I. \end{exemp} \subsection{Congiungente} Siano $S_1=(P_1,W_1),\;\;S_2=(P_2,W_2)$ due sottospazi affini di $(\A,\V,\vec{})$. \begin{defn} La congiungente $\ove{S_1S_2}$ e' il piu' piccolo sottospazio affine di $\A$ che contiene $S_1\v S_2$, ovvero, sia $S'$ un sottospazio, si ha $S_1\v S_2\(S'\>\ove{S_1S_2}\( S'$.\\ Grazie alla proposizione \see{intersezione sottospazi}, $\ove{S_1S_2}$ puo' essere pensato come \eal{&\ove{S_1S_2}=\bigcap_{i\in I} T_i\\ &\qq \T{ con }T_i \le \A:\;S_1\v S_2\( T_i\;\;\forall i \in I } Nota\footnote{in effetti, il concetto di congiungente e' simile a quello di chiusura di un insieme (topologia) e a quello di gruppo generato da un insieme (algebra II)}. \end{defn} \begin{thm} \ilabel{congiungente!teorema} \eal{\ove{S_1S_2\dots S_r}=\pton{ P_1,\;W_1+W_2+\dots+W_r+\Ll{\vec{P_1P_2}, \vec{P_1P_3}, \dots, \vec{P_1P_r}}} } \end{thm} \begin{prova} \pf \end{prova} \begin{prova} \pf Dimostriamo per $r=2$.\\ Sia $Z=\giac \ove{S_1S_2}$, e sia $Z'=W_1+W_2+\Ll{\vec{P_1P_2}}$\\ \step{}{Dim $\($ } \begin{prova} Poiche' $P_1\in S_1\(S_1\v S_2\(\ove{S_1S_2}$ si ha $\ove{S_1S_2} =(P_1, Z)$.\\ \eal{&w\in W_1\ubrace{\>}{\T{prop. \see{propestremi}}}\exists Q_1\in S_1:\;w=P_1Q_1\\ &P_1,Q_1\in S_1 \( \ove{S_1S_2} \ubrace{\>}{\T{prop. \see{propabinW}}} \vec{P_1Q_1}=w\in Z\\ &\pton{w\in W_1 \> w\in Z}\> W_1 \( Z } analogamente si vede che $W_2 \( Z$. Inoltre, \eal{&P_1,P_2 \( S_1\v S_2\(\ove{S_1S_2} \ubrace{\>}{\T{prop. \see{propabinW}}} \vec{P_1P_2} \in Z \\ &Z\T{ e' un sottospazio vettoriale, quindi, } \vec{P_1P_2} \in Z \= \Ll{\vec{P_1P_2}} \( Z } Poiche' $W_1+W_2+\Ll{\vec{P_1P_2}}$ e' il piu' piccolo sottospazio che contiene entrambi i tre addendi (vedi \AL{sommadisottospazivett}), si ha \eal{&Z \) W_1+W_2+\Ll{\vec{P_1P_2}} = Z'\\ &P\in (P_1,Z') \> \vec{P_1P} \in Z' \( Z \> P\in \ove{S_1S_2}\\ &\ove{S_1S_2} \) \pton{P_1,\;W_1+W_2+\Ll{\vec{P_1P_2}} }} \end{prova} \step{}{Dim $\)$} \begin{prova} \eal{& P\in S_1 \= \vec{P_1P}\in W_1 \( W_1+W_2+\Ll{\vec{P_1P_2}} \> P\in \pton{P_1,\;W_1+W_2+\Ll{\vec{P_1P_2}}}\> \\ &\qq \> S_1\( \pton{P_1,\;W_1+W_2+\Ll{\vec{P_1P_2}}}\\ &\vec{P_1P_2} \in \Ll{\vec{P_1P_2}} \( W_1+W_2+\Ll{\vec{P_1P_2}} = Z' \> P_2 \in (P_1,Z') \> (P_1,Z')=(P_2,Z')\\ &P \in S_2 \> \vec{P_2P}\in W_2 \( W_1 +W_2+\Ll{\vec{P_1P_2}} \> P\in (P_2,Z')\\ &\qq \> S_2 \( (P_2,Z')\\ &S_1,S_2\( (P_2,Z') \ubrace{\>}{\T{per def. di congiungente } } \ove{S_1S_2} \( (P_2,Z') = (P_1,Z')= \pton{P_1,W_1+W_2+\Ll{\vec{P_1P_2}}} } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{cor}\label{corpropcongiungente} \eal{&1.\;\;\ove{S_1}=(P_1,W_1)=S_1;\\ &2.\;\;\ove{S_1S_2S_3}=\ove{\ove{S_1S_2}S_3}\\ &3.\;\;S_1\(S_2 \> \ove{S_1S_2}=S_2 } \end{cor} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $2.$} \begin{prova} \eal{&\ove{S_1S_2}\ubrace{=}{\T{\see{congiungente!teorema}}} \pton{P_1, W_1+W_2+\Ll{\vec{P_1P_2}}}\\ &\ove{\ove{S_1S_2}S_3}= \pton{P_1, \pton{W_1+W_2+\Ll{\vec{P_1P_2}}}+W_3+\Ll{\vec{P_1P_3}}}\\ &\qq=\pton{P_1, W_1+W_2+W_3+\Ll{\vec{P_1P_2}, \vec{P_1P_3}}}= \ove{S_1S_2S_3} } \end{prova} \step{}{Dim $3.$} \begin{prova} \eal{&\ove{S_1S_2}=(P_1,W_1+W_2+\Ll{\vec{P_1P_2}})\\ &S_1\( S_2 \> W_1 \( W_2 \T{, infatti }\\ &\qq w_1\in W_1 \> \exists ! Q_1 \in S_1 :\;W_1=\vec{P_1Q_1}\\ &\qq P_1,Q_1\in S_1 \( S_2 \> P_1,Q_1 \in S_2 \> \vec{P_1Q_1} \in W_2 \> w_1 \in W_2\\ &\sist{W_1 \( W_2 \> W_1+W_2 =W_2\\ P_1,P_2 \in S_2 \> \vec{P_1P_2} \in W_2 } \> W_2 + \Ll{\vec{P_1P_2}} =W_2\\ & W_1+W_2+\Ll{\vec{P_1P_2}}= W_2 \> \ove{S_1S_2}=(P_1,W_2) \ubrace{=}{P_1\in S_2} S_2 } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{cor} \ilabel{congiungente!corollario} Siano $P_1,P_2,\dots,P_r\in \A$. $P_i$ lo possiamo considerare come il sottospazio affine $P_i=(P_i, \pgra{\vz})$. Si ha: \eal{&\ove{P_1P_2\dots P_r}=\pton{P_1,\;\Ll{\vec{P_1P_2},\vec{P_1P_3},\dots,\vec{P_1P_r}}} } \end{cor} \begin{prova} \pf \begin{prova} Dal thm \see{congiungente!teorema}: \eal{&\ove{P_1P_2\dots P_r}=\pton{P_1,\;\pgra{\vz}+\pgra{\vz}+\dots+\pgra{\vz}+\Ll{ \vec{P_1P_2},\dots,\vec{P_1P_r} }}\\&\qq=\pton{P_1,\;\Ll{\vec{P_1P_2},\vec{P_1P_3},\dots,\vec{P_1P_r}}} } \end{prova} \qed \end{prova} \pagebreak \begin{defn}\qq\\ \ilabel{punti linearmente indipendenti} I punti $P_1,P_2,\dots,P_r \in \A$ si dicono linearmente indipendenti $\= \dim \ove{P_1P_2\dots P_r}= r-1$, ovvero se la congiungente ha la dimensione massima.\\ Ad esempio: due punti sono l.i quando individuano una retta, tre punti sono l.i quando individuano un piano, \dots\\ La condizione $\dim \ove{P_1P_2\dots P_r}= r-1$, equivale alla l.i. dei vettori $\vec{P_1P_2}, \vec{P_1P_3},\dots, \vec{P_1P_r}$.\\ Diamo queste altre definizioni: \eal{ &P_1,P_2,\dots,P_r\T{ sono allineati } \definizione{\=} \dim \ove{P_1P_2\dots P_r} \le 1\\ &P_1,P_2,\dots,P_r\T{ sono complanari } \definizione{\=} \dim \ove{P_1P_2\dots P_r} \le 2 } \end{defn} \begin{thm} \label{thmp1p2inw1w2} \eal{&S_1\^S_2\neq \0\;\=\;\vec{P_1P_2}\in W_1+W_2} \end{thm} \begin{prova} \pf\step{}{Dim $\Rightarrow $} \begin{prova} \eal{& S_1\^S_2\neq \0 \= \exists P\in S_1,S_2\= \vec{P_1P}\in W_1\;\&\;\vec{P_2P}\in W_2\;\;(1)\\ &\vec{PP_2} =-\vec{P_2P} \in W_2 \> \vec{PP_2} \in W_2\\ &\vec{P_1P_2} = \ubrace{\vec{P_1P}}{\in W_1} +\ubrace{\vec{PP_2}}{\in W_2} \in W_1 + W_2 } \end{prova} \step{}{Dim $\<$} \begin{prova} \eal{& \vec{P_1P_2}\in W_1+W_2 \= \vec{P_1P_2} = w_1+w_2\in W_1+W_2\ubrace{\>}{\see{propabinW}}\exists P\in S_1: w_1=\vec{P_1P}\\ &\vec{P_1P_2} = \vec{P_1P} + w_2 \= \ubrace{-w_2}{\in W_2}= \vec{P_2P_1}+\vec{P_1P} =\vec{P_2P}\in W_2\\ &\vec{P_2P}\in W_2\> P \in S_2\\ &P\in S_1\^S_2\> S_1\^S_2\neq \0 } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{cor} \label{corp1p2inw1w2} \eal{&\ove{S_1S_2}=(P_1,W_1+W_2)\= S_1\^S_2\neq \0 } \end{cor} \begin{prova} \pf \begin{prova} \eal{& S_1\^S_2\neq \0\ubrace{\=}{\see{thmp1p2inw1w2}} \vec{P_1P_2} \in W_1+W_2\= \Ll{\vec{P_1P_2}}\( W_1+W_2\= W_1+W_2 = W_1+W_2+\Ll{\vec{P_1P_2}}\\ &\ove{S_1S_2}=\pton{P_1,W_1+W_2+\Ll{\vec{P_1P_2}}}=(P_1,W_1+W_2) } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{thm} \ilabel{teorema delle dimensioni} \label{thmdelledimensioni} \eal{& \dim \ove{S_1S_2} = \sist{ \dim S_1+\dim S_2 -\dim S_1\^S_2 & S_1\^S_2\neq \0\\ \dim (W_1+W_2)+1& S_1\^S_2= \0\\ } } \end{thm} \begin{prova} \pf \case{$S_1\^S_2\neq \0$} \begin{prova} Per il thm \see{congiungente!teorema}, \eal{&\ove{S_1S_2} = \pton{P_1, \;W_1+W_2+\Ll{\vec{P_1P_2}}} \ubrace{=}{\see{corp1p2inw1w2}} \pton{P_1, \;W_1+W_2} \> \dim \ove{S_1S_2} = \dim (W_1+W_2) } \end{prova} \case{$S_1\^S_2=\0$} \begin{prova} Per il thm \see{congiungente!teorema}, \eal{&\ove{S_1S_2} = \pton{P_1, \;W_1+W_2+\Ll{\vec{P_1P_2}}}\\ &\dim \ove{S_1S_2} = \dim (W_1+W_2+\Ll{\vec{P_1P_2}})=\\ &\ubrace{=}{\T{thm \AL{teoremadiGrassman}}} \dim (W_1+W_2) + \dim \Ll{\vec{P_1P_2}} - \dim (W_1+W_2)\^\Ll{\vec{P_1P_2}}=\\ &\qq\qq S_1\^S_2=\0 \ubrace{\>}{\see{corp1p2inw1w2}} \vec{P_1P_2} \notin W_1+W_2\> \\ &\qq\qq \>(W_1+W_2)\^\Ll{\vec{P_1P_2}} =\0 \> \dim (W_1+W_2)\^\Ll{\vec{P_1P_2}} = 0\\ &= \dim (W_1+W_2) + \dim \Ll{\vec{P_1P_2}} = \dim (W_1+W_2) +1 } \end{prova} \qed \end{prova} \subsection{Spazi paralleli} \label{sottospazi!paralleli} Siano $S_1=(P_1,W_1),\;\;S_2=(P_2,W_2)$ due sottospazi affini di $(\A,\V,\vec{})$, con $0<\dim S_1 \le \dim S_2$. \begin{defn} \eal{&S_1\parallel S_2 \= W_1 \( W_2 \lor W_2 \( W_1 } \end{defn} \begin{prop} \label{propparalssew1eqw2} \eal{&\dim S_1=\dim S_2\,\;S_1\parallel S_2 \;\=\; W_1=W_2 } \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\>$} \begin{prova} \eal{&\dim S_1 = \dim S_2 \= \dim W_1 =\dim W_2\;\;(1)\\ &S_1 \parallel S_2 \= W_1 \( W_2 \lor W_2 \( W_1\\ &\T{supponiamo } W_1 \( W_2\;\;(2)\\ &(1),(2) \ubrace{\>}{\AL{altrepropbaseedimensioni}} W_1=W_2 } \end{prova} \step{}{Dim $\<$} \begin{prova} Per definizione. \end{prova} \qed \end{prova} \begin{thm} \eal{&S_1\^S_2\neq \0\,\dim S_1 \le \dim S_2\,\;\;S_1\parallel S_2\;\;\=\;\; S_1 \( S_2} Ad esempio, in $\A^3$, se una retta si incontra con un piano, e il piano e la retta sono paralleli, allora la retta e' contenuta nel piano. \end{thm} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\> $} \begin{prova} \eal{&S_1\parallel S_2 , \dim S_1 \le \dim S_2\> W_1\( W_2\\ &S_1\^S_2 \neq \0 \> \exists Q\in S_1 \^S_2 \> S_1 = (Q,W_1),\;\;S_2 = (Q,W_2)\\ &P\in S_1=(Q,W_1) \> \vec{QP} \in W_1 \( W_2 \> P\in S_2 } \end{prova} \step{}{Dim $\<$} \begin{prova} \eal{&S_1 \T{ sottospazio } \> S_1 \neq \0; S_1 \( S_2 \> S_1 \^ S_2 \neq \0\\ &w\in W_1\ubrace{\>}{\see{propestremi}} \exists P \in S_1:\;\vec{P_1P}=w\\ &P_1,P \in S_1 \( S_2\ubrace{\>}{\see{propabinW}} \vec{P_1P}=w \in W_2 \\ &W_1\( W_2 \> \dim W_1 \le \dim W_2 \= \dim S_1 \le \dim S_2} \end{prova} \qed \end{prova} \begin{cor}\label{cordims1eqdims2sses1eqs2} Supponendo che $S_1\^S_2\neq \0$, $S_1\parallel S_2$, \eal{&\dim S_1 = \dim S_2 \= S_1=S_2} \end{cor} \begin{prova} \pf\eal{&\T{per il thm di prima: }S_1\(S_2\,S_2\(S_1\> S_1=S_2} \end{prova} \begin{cor} \label{corVposteuclide} Il $V$ postulato di Euclide e' verificato.\\ Dato $S\le \A, P\in \A$, \eal{\exists ! T \le \A:\;\dim T=\dim S,\;P\in T,\;\;T\parallel S} \end{cor} \begin{prova} \pf \begin{prova} Sia $S=(P_0, W)$.\\ Poiche' $\dim T=\dim S$, per la proposizione \see{propparalssew1eqw2}, la giacitura di $T$ deve essere proprio $W$. Allora, poiche' $P\in T$, si ha $T=(P,W)$. \end{prova} \qed \end{prova} \begin{thm} \label{thmparalSintTvuoto} Supponendo che $S_1\^S_2 =\0$, $\dim S_1 \le \dim S_2$ si ha: \eal{&S_1 \parallel S_2 \= \dim \ove{S_1S_2} = \dim S_2 + 1} \end{thm} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\>$} \begin{prova} \eal{&S_1 \parallel S_2 \> W_1 \( W_2 \;\;(1)\\ &\dim \ove{S_1S_2} \ubrace{=}{\see{teorema delle dimensioni}} \dim(W_1+W_2) + 1 \ubrace{=}{(1)} \dim(W_2) + 1 = \dim S_2 + 1 } \end{prova} \step{}{Dim $\<$} \begin{prova} \eal{&S_1\^S_2 =\0 \ubrace{\>}{\see{teorema delle dimensioni}} \dim \ove{S_1S_2} \dim(W_1+W_2) + 1\;\;(2)\\ &\T{Hp} \> \dim \ove{S_1S_2} -1 = \dim S_2\ubrace{\=}{(2)} \dim(W_1+W_2)= \dim S_2 = \dim W_2 \> \\ &\ubrace{\>}{\T{thm \AL{teoremadiGrassman}}} \dim W_1 +\dim W_2 -\dim W_1\^W_2 = \dim W_2 \= \dim W_1 = \dim W_1\^W_2\\ &\qq\> W_1 \( W_2 \> S_1\parallel S_2 } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop} Dati $S_1=(P_1,W),\;S_2=(P_2,W)$ si ha \eal{&S_1 = S_2 \| S_1\^S_2 = \0} ovvero, sottospazi aventi la stessa giacitura coincidono o sono disgiunti. \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} \eal{&\dim S_1 =\dim W =\dim S_2 \\ &W=W \> S_1 \parallel S_2 \\ &\T{Se }S_1 \^ S_2 \neq \0 \ubrace{\>}{\see{cordims1eqdims2sses1eqs2}} S_1 =S_2 \\ &\T{altrimenti } S_1\^S_2 =\0} \end{prova} \qed \end{prova} \begin{defn} Dati $S_1,S_2 \le \A$, \label{sottospazi!sghemo} \label{sottospazi!incidenti} \eal{&S_1,S_2\T{ si dicono sghembi }\= S_1 \nparallel S_2,\;\;S_1 \^ S_2=\0\\ &S_1,S_2\T{ si dicono incidenti}\= S_1 \nparallel S_2,\;\;S_1 \^ S_2\neq \0} \end{defn} \subsection{Proiezione} Siano $S,T\le \A$ con $\dim \A =n,\;\dim S =s,\;\dim T=t$. \begin{lem} \label{lemdimSintS} \eal{&S\^T \neq \0 \> \dim S+\dim T-\dim \A \le \dim(S\^T) \le \min\pgra{\dim S, \dim T} } \end{lem} \begin{prova} \pf \begin{prova} Intanto, \eal{&S\^T\neq \0 \ubrace{\>}{\see{intersezione sottospazi}} S\^T\le \A } Per il thm \see{Dato il sottospazio}, il sistema cartesiano di $S$ ha $n-s$ equazioni, quello di $T$ ne ha $n-t$. Il sistema cartesiano di $S\^T$ comprende semplicemente le equazioni del sistema di $S$ e di $T$, infatti, \eal{P\in S\^T\=P\in S\;\;\land\;\;P\in T\;\=\;\coord{P}{} \T{ soddisfano il sistema di S e il sistema di T} }Ovviamente non tutte le $(n-s)+(n-t)$ equazioni del sistema di $S\^T$ sono l.i. Percio' possiamo solo affermare che il rango $r$ della matrice dei coefficienti e' t.c.: \eal{&r\le (n-s)+(n-t)=2n-(s+t)\;\;(1)} Sappiamo che $\dim S\^T=n-r$, quindi per la $(1)$ \eal{&\dim S\^T=n-r \ge n-(2n-(s+t))=s+t-n=\dim S+\dim T-\dim \A } Infine, \eal{S\^T \( S,\;\;S\^T\( T\>\dim S\^T \le \dim S,\;\;\dim S\^T\le \dim T} In conclusione: \eal{&\dim S+\dim T-\dim \A \le \dim(S\^T) \le \min\pgra{\dim S, \dim T} } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{thm} \label{thmdimSintT} Dati $S,T\le \A$ di giacitura $U,W$, si ha \eal{&S\^T\neq \0,\; \dim(S\^T) = \dim S+\dim T-\dim \A \;\=\; \V=U+W } \end{thm} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\>$} \begin{prova} \eal{&S\^ T \neq \0 \ubrace{\>}{\see{intersezione sottospazi}} \dim S\^T= \dim U\^W\;\;(1)\\ &\dim \A=\dim \V,\;\dim S=\dim U,\;\dim T=\dim W\;\;(2)\\ &\dim(S\^T) = \dim S+\dim T-\dim \A\= \dim S+\dim T -\dim(S\^T)=\dim \A \ubrace{\=}{(1),(2)} \\ &\qq\= \dim U +\dim W - \dim(U\^W)= \dim \V\\ &\qq \= \dim \V = \dim U +\dim W - \dim(U\^W) \ubrace{=}{\T{Grassman \AL{teoremadiGrassman}}} \dim(U+W)\\ &\qq \= \dim \V =\dim (U+W)\;\;(3)\\ &U+W\( \V,\;(3) \ubrace{\=}{\T{prop. \AL{altrepropbaseedimensioni}}} \V=U+W } \end{prova} \step{}{Dim $\<$} \begin{prova} Se per assurdo $S\^T=\0$, allora \eal{&S\^T=\0 \> \dim \ove{ST}=\dim (U+W) +1 \ubrace{=}{\T{Hp}} \dim \V+1 =\dim \A+1\\ &\ove{ST}\le \A \> \dim \ove{ST }\le \dim \A } assurdo.\\ Quindi $S\^T \neq \0$. A questo punto basta procedere a ritroso nel passo precedente. \end{prova} \qed \end{prova} \begin{cor} \label{cordimSintT} \eal{&\V=U\xor W\>\dim S\^T =0} ovvero $S\^T$ e' un punto. In altre parole, se $S,T$ non sono paralleli, e la somma delle loro giaciture e' una somma diretta che da' tutto $\V$, allora $S,T$ si incontreranno in un punto. \end{cor} \begin{prova} \pf \begin{prova} \eal{&\V=U\xor W \ubrace{\>}{\T{prop \AL{sec:somma_diretta_prop}}} \V=U+W\;\land \;U\^W=\pgra{\0}\\ &\V=U+W \ubrace{\>}{\see{thmdimSintT}} S\^T \neq 0 \ubrace{\>}{\see{intersezione sottospazi}} \dim S\^T=\dim U\^W \ubrace{=}{U\^W =\vz } 0 } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{exemp} Dal precedente teorema segue che due rette non parallele in un piano si incontrano in un unico punto. \end{exemp} \def\pro#1{{p_{#1}}} \begin{defn} Siano $S=(P_0,U),T=(P_1,W)\le \A$, t.c. $V=U\xor W$. Definiamo la seguente applicazione: \eal{&\pro{S,T}:\A \longrightarrow S\\ &\pro{S,T}(P)=Q,\;\;\T{ dove }\pgra{Q}=(P,W)\^S } la proposizione \see{corVposteuclide} assicura che $(P,W)\le \A$ e' unico, inoltre il cor \see{cordimSintT} assicura che $(P,W)\^S=\pgra{Q}$.\\ In poche parole, stiamo prendendo il punto $P$ e lo stiamo proiettando nel sottospazio affine $S$ parallelamente al sottospazio $T$. \end{defn} \begin{exemp} In $\A^3$ consideriamo \eal{S=(P_0,\Ll{\vec v, \vec w}),\;T=(P_1, \Ll{\vec u}),\T{ t.c. } \A^3 = \V = S\xor T} Ovvero, $S$ e' un piano, $T$ una retta e non sono paralleli tra loro.\\ $\pro{S,T}(P)$ e', in questo caso, il punto d'intersezione con $S$ della retta parallela a $T$ e passante per $P$. \end{exemp} \subsection{Teoremi classici} \begin{lem} \label{lemmathmclassici} In un qualsiasi spazio affine $\A$ di dimensione 2, date le tre rette $r_1,r_2,s,t$ tali che \eal{&r_1\neq r_2 &s\nparallel r_1,\;\;s\nparallel r_2\\ &P\in s\^r_1\^r_2\\ &t\parallel s,\;t\neq s } si ha \eal{&t\^r_1\neq t\^r_2} \end{lem} \begin{prova} \pf \begin{prova} Intanto, se $W_1,W_2$ sono rispettivamente la giacitura di $r_1,r_2$, si ha \eal{ &\dim W_1=\dim W_2=1\\ &P\in r_1 \> r_1=(P,W_1)\\ &P\in r_2 \> r_2=(P,W_2) } Supponiamo per assurdo $t\^r_1=t\^r_2$, allora \eal{& t\^r_1=t\^r_2 \> r_1=r_2 \| t=s \| \exists Q \in t\^r_1\^r_2} Ser per assurdo $P=Q$, allora \eal{&P\in s \> s= (P,W_3)\\ \sist{P=Q\in t\\ t\parallel s} \> t=(P,W_3)\\ &t=s } assurdo. Quindi $P \neq Q$.\\ Si ha \eal{&\exists Q \in t\^r_1\^r_2\\ &Q\in r_1,\;P\in r_1 \> \vec{PQ} \in W_1 \ubrace{\>}{\dim W_1=1,\;P \neq Q} W_1=\Ll{\vec{PQ}}\\ &P\in r_1 \> r_1=(P,W_1)=\pton{P,\Ll{\vec{PQ}}} \ubrace{=}{\see{congiungente!corollario}} \ove{PQ}\\ &r_1=\ove{PQ} } analogamente \eal{ &Q\in r_2,\;P\in r_2 \> \ove{PQ}=r_2 } Ma allora $r_2=r_1$, il che' e' assurdo contro Hp. \end{prova} \qed \end{prova} \subsubsection{Teorema di Talete} \def\p#1{{P_{#1}}} \def\pp#1#2{{\vec{\p{#1}\p{#2}}}} \begin{thm} \label{thmtalete} In un qualsiasi spazio affine $\A$ di dimensione 2, date tre rette $s_i,\;\;i=1,2,3$ distinte e parallele, e due rette $r_i,\;i=1,2$, non parallele a $s_i$, siano dati i seguenti punti: \eal{&\p{ij}=r_i\^ s_j,\;i=1,2,\;j=1,2,3 } se \eal{&\pp{11}{13}=k\pp{11}{12}} allora \eal{&\pp{21}{23}=k\pp{21}{22}} \end{thm} \begin{prova} \pf \begin{prova} Se $r_1=r_2$ allora il teorema e' vero. Supponiamo quindi $r_1\neq r_2$\\ Se $\p{11}=\p{21}$, allora per il lemma \see{lemmathmclassici}, basta scambiare $s_1$ con $s_2$ o $s_3$, e avremo $\p{11}\neq \p{21}$.\\ Quindi, possiamo supporre $\p{11}\neq \p{21}$. Procediamo, \eal{& \sist{ \p{11},\p{21}\in s_1\\ \p{12},\p{22}\in s_2\\ s_1\parallel s_2} \> \exists \lambda'\neq 0:\;\;\pp{12}{22} =\lambda' \pp{11}{21}=\lambda \pp{11}{21}+\pp{11}{21}\>\\ &\qq\qq\qq\qq \> \pp{12}{22}-\pp{11}{21}=\lambda\pp{11}{21},\;\;\;(1) &\\ &\pp{21}{22}=\pp{21}{12}+\pp{12}{22}=\pp{21}{11}+\pp{11}{12}+\pp{12}{22}\\ &\pp{21}{22}-\pp{11}{12}= \pp{12}{22}-\pp{11}{21}\ubrace{=}{(1)}\lambda\pp{11}{21}\\ & \sist{\pp{21}{22}-\pp{11}{12}=\lambda\pp{11}{21}\\ \pp{12}{22}-\pp{11}{21}=\lambda\pp{11}{21}}\;\;(2)\\ } Analogamente si vede che \eal{&\pp{21}{23}-\pp{11}{13}=\pp{13}{23}-\pp{11}{21}=\mu\pp{11}{21}\;\;(3) } \case{$\lambda=0$} \begin{prova} \eal{&\lambda=0\ubrace{\>}{(2)} \sist{\pp{21}{22}=\pp{11}{12}\\ \pp{12}{22}=\pp{11}{21}}\;\;(4)\\ &\pp{12}{11}=\pp{22}{21} \> r_1 \parallel r_2 } Se per assurdo $\mu\neq 0$ si avrebbe per la $(3)$: \eal{& \sist{r_1 \parallel r_2 \> \pp{21}{23}=h\pp{11}{13}\\ s_1 \parallel s_2 \> \pp{13}{23}=k\pp{11}{21}} \\ & \qq\qq\ubrace{\>}{(3)} (h-1)\pp{11}{13}=(k-1)\pp{11}{21}=\mu\pp{11}{21} \=\frac{h-1}{\mu}\pp{11}{13}=\pp{11}{21} \> r_1\parallel s_1\\ } assurdo contro l'Hp $r_1\nparallel s_1$. Quindi deve essere $\mu=0$, allora per la $(3)$ \eal{&\pp{21}{23}=\pp{11}{13},\;\;\pp{13}{23}=\pp{11}{21}\\ &\pp{21}{23}=\pp{11}{13}\ubrace{=}{\T{Hp}}k\pp{11}{12}\ubrace{=}{(4)}k\pp{21}{22} } che e' la tesi. \end{prova} \case{$\lambda\neq 0$} \begin{prova} In questo caso $r_1\nparallel r_2$. Infatti, se per assurdo lo fossero, si avrebbe \eal{&\exists t\neq 0:\;\pp{21}{22}=t\pp{11}{12}\ubrace{\>}{(2)} (t-1)\pp{11}{12}=\lambda\pp{11}{21} \> \frac{t-1}{\lambda}\pp{11}{12}=\pp{11}{21} \> r_1\parallel s_1} assurdo. Percio', $r_1\nparallel r_2$.\\ Dalle $(2),(3)$, \eal{&\pp{21}{23}-\pp{11}{13}=\mu\inv\lambda(\pp{21}{22}-\pp{11}{12})\;\;(5)} Inoltre, \eal{&\pp{11}{13}=k\pp{11}{12}\;\;\T{ [per Hp]}\\ &\p{21},\p{22},\p{23}\in r_2 \> \pp{21}{23}=k'\pp{21}{22}\;\;(T)} e quindi \eal{&\pp{21}{23}-\pp{11}{13}=k'\pp{21}{22}-k\pp{11}{12}\;\;(6) } sottraendo membro a membro dalla $(5)$ la $(6)$ abbiamo \eal{&\vz = (\mu\inv\lambda-k')\pp{21}{22}+(k-\mu\inv \lambda)\pp{11}{12}\;\;(7) } e poiche' $r_1\nparallel r_2$, $\pp{21}{22}, \pp{11}{12}$ sono l.i, ovvero \eal{&(7)\= \sist{\mu\inv\lambda-k'=0\\k-\mu\inv \lambda=0} \= k'=\mu\inv\lambda=k\>k=k'} Quindi, dalla $(T)$ si ha la tesi: \eal{&\pp{21}{23}=k\pp{21}{22}} \end{prova} \end{prova} \qed \end{prova} \subsubsection{Teorema di Pappo} \def\p#1{{P_{#1}}} \def\pp#1#2{{\vec{\p{#1}\p{#2}}}} \def\rp#1#2{{\ove{\p{#1}\p{#2}}}} \def\op#1{{\vec{O\p{#1}}}} \def\po#1{{\vec{\p{#1}O}}} \begin{lem} \label{lemmapappo} Hp: \eal{&\dim \A =2,\;r_i,s_i\T{ rette }i=1,2\\ & r_1\parallel r_2\\ &s_1\nparallel r_1\\ &s_2\parallel s_1\\ &\p{ij}=r_i\^s_j\;\;i=1,2} Ts: \[\pp{11}{21}=\pp{12}{22}\] \end{lem} \begin{prova} \pf \begin{prova} \eal{&\pp{11}{21}=\pp{11}{22}+\pp{22}{21}=\pp{11}{12}+\pp{12}{22}+\pp{22}{21}\\ & \pp{11}{21}-\pp{12}{22}=\pp{11}{12}-\pp{21}{22}\\ &r_1\parallel r_2\>\pp{11}{21}=\lambda\pp{12}{22}\\ &s_1\parallel s_2\>\pp{11}{12}=\mu\pp{21}{22}\\ } dalle ultime tre segue \eal{&(\lambda-1)\pp{12}{22}=(\mu-1)\pp{21}{22} \= k\pp{12}{22}=\pp{21}{22}\;\;(1)\\ &\sist{r_2\nparallel s_2\\ (1)} \> k=0 \> \lambda=1\>\pp{11}{21}=\pp{12}{22} } Nota\footnote{nella $(1)$ abbiamo diviso per $\mu-1$. Se $\mu-1=0$ la divisione non sarebbe stata necessaria, poiche' per la prop. del parallelogramma avremmo ottenuto la tesi.} \end{prova} \qed \end{prova} \begin{thm} \label{thmpappo} In un qualsiasi spazio affine $\A$ di dimensione 2, date due rette $r_1,r_2$, e i punti $\p{ji}\in r_j,\;i=1,2,3,\;j=1,2$, distinti fra loro e tutti diversi da $O=r_1\^r_2$ (se esiste), tali che: \eal{ &\ove{\p{11}\p{22}}\parallel \ove{\p{12}\p{23}}\;\;(Hp1)\\ &\ove{\p{21}\p{12}}\parallel \ove{\p{22}\p{13}}\;\;(Hp2) } si ha che \eal{&s_1=\ove{\p{11}\p{21}}\parallel \rp{13}{23}=s_2} \end{thm} \begin{prova} \pf \begin{prova} \case{$r_1 \nparallel r_2$} \begin{prova} \eal{ &\p{21},\p{22}\in r_2 \> \op{21}=k\op{22}\;\;(1)\\ &\sist{\op{21}=k\op{22}\\ Hp2} \ubrace{\>}{Talete \see{thmtalete}} \op{12}=k\op{13}\;\;(2)\\ &\\ &\p{11},\p{12}\in r_1 \> \op{11}=h\op{12}\;\;(3)\\ &\sist{\op{11}=h\op{12}\\ Hp1} \ubrace{\>}{Talete \see{thmtalete}} \op{22}=h\op{23}\;\;(4)\\ } Consideriamo due vettori di $s_1$ e $s_2$: \eal{& \pp{11}{21}=-\pp{21}{11}=-(\po{21}+\op{11})=\op{21}-\op{11} \ubrace{=}{(1),(3)}k\op{22}-h\op{12}\;\;(5)\\ &\pp{13}{23}=-\pp{23}{13}=-(\po{23}+\op{13})=\op{23}-\op{13} \ubrace{=}{(2),(4)}\inv h \op{22}-\inv k \op{12}\;\;(6)\\ &(5),(6) \> \pp{11}{21}=hk\pp{13}{23}\> s_1\parallel s_2 } \end{prova} \case{$r_1\parallel r_2$} \begin{prova} In questo caso, per il lemma \see{lemmapappo} abbiamo \eal{ &\pp{22}{23}=\pp{11}{12}\\ &\pp{21}{22}=\pp{12}{13} & } sommando membro a membro: \eal{&\pp{21}{23}=\pp{11}{13}\ubrace{\>}{\T{parallelogramma}} \pp{21}{11}=\pp{23}{13} \>s_1\parallel s_2} \end{prova} \end{prova} \qed \end{prova} \subsubsection{Teorema di Desargues} \def\p#1{{P_{#1}}} \def\pp#1#2{{\vec{\p{#1}\p{#2}}}} \def\rp#1#2{{\ove{\p{#1}\p{#2}}}} \def\op#1{{\vec{O\p{#1}}}} \def\rop#1{{\ove{O\p{#1}}}} \def\ope#1{{\ove{O\p{#1}}}} \def\po#1{{\vec{\p{#1}O}}} \def\oc{{\vec{OC_2}}} \def\occ{{\vec{OC_3}}} \begin{thm} \label{thmdesargues} In un qualsiasi spazio affine $\A$ di dimensione 2, date due terne di punti non allineati: $(\p{j1},\p{j2},\p{j3}),\;\;j=1,2$, se \eal{& \rp{11}{12}\parallel \rp{21}{22},\;\rp{12}{13}\parallel \rp{22}{23},\;\rp{13}{11}\parallel \rp{23}{21} } si ha che le rette \eal{&\rp{1i}{2i},i=1,2,3} sono parallele o incidenti in uno stesso punto. \end{thm} \begin{prova} \pf \begin{prova} Supponiamo che $\rp{1i}{2i},i=1,2,3$ non siano parallele (altrimenti la tesi e' verificata). Allora possiamo porre $\pgra{O}=\rp{11}{21}\^\rp{12}{22}$.\\ Per il thm di Talete (\see{thmtalete}) applicato a $\rp{11}{12},\;\rp{21}{22}$, abbiamo \eal{ &O,\p{11},\p{21}\in \rp{11}{21}\>k\op{11}=\op{21}\\ &\sist{k\op{11}=\op{21}\\ \rp{11}{12}\parallel \rp{21}{22}} \ubrace{\>}{\T{Talete \see{thmtalete}}} k\op{12}=\op{22}\;\;(1)} Sia $\{C_2\}=\rop{13}\^\rp{21}{23}$. \eal{& \sist{ \rp{11}{13}\parallel \rp{21}{23}\\ k\op{11}=\op{21} }\ubrace{\>}{\T{Talete \see{thmtalete}}} k\op{13}=\oc\;\;(2) } Poniamo $\pgra{C_3}=\rop{13}\^\rp{22}{23}$, \eal{& \sist{ \rp{12}{13}\parallel \rp{22}{23}\\ k\op{12}=\op{22} }\ubrace{\>}{\T{Talete \see{thmtalete}}} k\op{13}=\occ{}\;\;(3) } Allora, dalla $(2)$ e $(3)$, $\occ{} = \oc{}$, \eal{&\occ{} = \oc{} \> C_2=C_3 \>\ove{OC_2}=\ove{OC_3}\ubrace{=}{(3)}\ove{O\p{13}}\;\;(4)\\ &C_2=C_3 \= \op{13}\^\rp{21}{23}=\op{13}\^\rp{22}{23} \= \rp{21}{23}=\rp{22}{23} \| \exists ! Q \in \rop{13}\^\rp{21}{23}\^\rp{22}{23} \\ &\T{la I possibilita' e' assurda contro ipotesi, quindi accettiamo la II}\\ &\p{23} \in \rp{21}{23}\^\rp{22}{23} \> Q=\p{23} \\ &C_2=C_3\in \op{13}\^\rp{21}{23}\^\rp{22}{23} \> C_2=C_3=\p{23} } In conclusione \eal{&\ope{23}=\ove{OC_2}=\ove{OC_3}\ubrace{=}{(4)}\ope{13}\\ &\ope{23}=\ope{13} } che e' la tesi. \end{prova} \qed \end{prova} \subsection{Isomorfismi affini} \def\f{{\mathbf{f}}} \def\g{{\mathbf{g}}} \begin{defn} \ilabel{affinita'} Siano $(\A, \V, \vec{}),\;\;(\A',\V', \cev{})$ due spazi affini.\\ La funzione $f:\A\longrightarrow \A'$ si dice \emph{isomorfismo affine} $\=\exists \f:\V\longrightarrow \V'$ applicazione lineare (isomorfismo vettoriale) tale che \eal{&\forall P,Q\in \A\;\; \f({\vec{PQ}})=\cev{f(P)f(Q)} } diremo che $\f$ e' l'isomorfismo vettoriale associato a $f$. Diremo inoltre che $\A\simeq \A'$ (leggasi $\A$ affinemente isomorfo a $\A'$).\\ Se $f:\A\longrightarrow \A$, $f$ verra' chiamato \emph{affinita'}.\\ \newline \textbf{Nota generale sugli isomorfismi}\\ \newline Si suole dire che un isomorfismo da un insieme strutturato a un altro insieme strutturato, preserva tutte le proprieta' dell'uno e dell'altro. Spiegamo adesso il motivo.\\ Supponiamo di avere due insiemi strutturati: $(A,R),(A',R')$, dove $R,R'$ sono le relazioni che definiscono rispettivamente la struttura di $A,A'$. Supponiamo per convenienza che $R,R'$ siano relazioni binarie interne, cioe' $R\(A\*A,\;R'\(A',A'$. Allora, un isomorfismo $f:A\longrightarrow A'$ e' una funzione biettiva tale che $(a,b)\in R\=(f(a),f(b))\in R'$.\\ Se vale una proposizione per $a,b,R$ varra' anche per $f(a),f(b),R'$. Ad esempio, \eal{&1.\;\;a,b\in A,\;(a,b)\in R \;\>\;a=b\\ &2.\;\;a',b'\in A,\;(a',b')\in R'\;\>\;a'=b' } la $1.$ e $2.$ sono equivalenti, infatti, la $2.$ implica la $1.$: \eal{&(a,b)\in A, \T{f biuniv.} \> \exists a',b'\in A':\;(a,b)=(f(a'),f(b'))\\ &(a,b)\in R \> (f(a),f(b))\in R'\\ &2. \> a'=b' \\ &a' = b' \= f(a')=f(b')\= a=b } e la $1.$ implica la $2.$.\\ Ora torniamo agli isomorfismi affini. Quello che ci interessa e' trasportare la struttura di $(\A,\V,\vec{})$ in $(\A',\V',\cev{})$ e viceversa. Abbiamo percio' bisogno di isomorfismo tra insiemi per legare $\A$ ed $\A'$, un isomorfismo vettoriale per legare $\V$ e $\V'$ e infine questi due isomorfismi devono conservare la relazione $\vec{}:\A\*\A\longrightarrow \V$ e $\cev{}:\A'\*\A'\longrightarrow \V'$ (che essendo una funzione e' una particolare relazione binaria interna). Con $R,R'$ indichiamo rispettivamente $\vec{}$ ed $\cev{}$, per evidenziare che e' una relazione (cioe', $R\((\A\*\A)\*\V,\;R'\((\A'\*\A')\*\V'$). Quindi, i nostri due isomorfismi $f,\f$ devono essere tali che: \eal{&((a,b),v)\in R\= ((f(a),f(b)),\f(v))\in R'\\ &\qq \= \vec{}(a,b)=v\=\cev{}{(f(a),f(b))}=\f(v)\\ &\qq \= \vec{ab}=v\=\cev{f(a)f(b)}=\f(v)\\ &\qq \=\cev{f(a)f(b)}=\f(\vec{ab}) } che e' proprio la definizione data di isomorfismo affine. \end{defn} \begin{prop}\qq\\ \label{propdatafffestunicdet} \begin{enumerate} \item $f$ e' biunivoca. \item Data $f$, $\f$ e' univocamente determinata. \end{enumerate} \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $1.$} \begin{prova} \step{}{Dim $f$ iniettiva: $P,Q\in \A f(P)=f(Q)\>P=Q$} \begin{prova} \eal{&f(P)=f(Q)\>\cev{f(P)f(Q)}=\vz\\ &\cev{f(P)f(Q)}=\f({\vec{PQ}})\\ &\f({\vec{PQ}})=\vz \ubrace{\>}{\f\T{ e' un'applicazione lineare }} \vec{PQ}=\vz\= P=Q } \end{prova} \step{}{Dim $f$ surriettiva: $P'\in \A' \> \exists P\in \A:\;f(P)=P'$} \begin{prova} Sia $O\in \A$ e $O'=f(O)$. \eal{&O',P'\in \A' \> \cev{O'P'}=v'\in \V'\\ &O\in \A,\;\inv \f (v') =v \ubrace{\>}{\textbf{As. 1}} \exists ! P\in \A:\;\vec{OP}=v\\ &\f(v)=v'\=\f(\vec{OP})=\cev{O'P'}\= \cev{f(O)f(P)}=\cev{O'P'} \=\cev{O'f(P)}=\cev{O'P'} \= f(P)=P' \\ } \end{prova} \end{prova} \step{}{Dim $2.$} \begin{prova} Supponiamo che esista un'altra $\varphi:\V\longrightarrow \V'$, isomorfismo vettoriale associata a $f$.\\ \eal{ &v\in \V \ubrace{\>}{\textbf{As. 1}} \exists P,Q\in A: \vec{PQ}=v\\ &\forall P,Q\in \A\;\;\f(\vec{PQ})=\cev{f(P)f(Q)}\\ &P,Q\in \A\;\;\varphi(\vec{PQ})=\cev{f(P)f(Q)}\\ &\forall v\in \V\;\;\f(v)=\varphi(v) } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{defn} \ilabel{traslazione} Fissato un $v\in \V$, chiameremo \emph{traslazione} la funzione $t_v$ che soddisfa la seguente relazione: \eal{&t_v:\A\longrightarrow \A\\ &\forall P\in \A\;\;\vec{Pt_v(P)}=v } $t_v$ e' una affinita', infatti, per l'\textbf{As. 1}, $t_v$ e' una funzione ben definita ed e' anche biettiva. Inoltre, l'isomorfismo vettoriale ad essa associato e' l'identita'. \end{defn} \begin{prop} \label{identesttraslazione} \eal{&t_v:\A\longrightarrow \A\T{ e' una traslazione } \> \f=\id\\ &f:\A\longrightarrow \A\T{ una affinita' t.c. } \f=\id \> f\T{ e' una traslazione }} \end{prop} \begin{prova} \pf\step{}{Dim $\>$} \begin{prova} Dimostriamo che $\f=\id$: \eal{&\vec{t_v(P)t_v(Q)} =\vec{t_v(P)P}+\vec{Pt_v(Q)}=\vec{t_v(P)P}+\vec{PQ}+\vec{Qt_v(Q)}=-v+\vec{PQ}+v=\vec{PQ}\\ &\id(\vec{PQ})=\vec{PQ}=\vec{t_v(P)t_v(Q)}} \end{prova} \step{}{Dim $\<$} \begin{prova} In sostanza, basta procedere a ritroso: siano $P,Q\in \A$, si ha: \eal{&\vec{f(P)P}+\vec{PQ}+\vec{Qf(Q)} = \vec{t_v(P)P}+\vec{Pt_v(Q)} = \vec{f(P)f(Q)} =\f(\vec{PQ}) \ubrace{=}{\T{per Hp }} \vec{PQ}\\ &\vec{f(P)P}+\vec{PQ}+\vec{Qf(Q)} = \vec{PQ} \> \vec{Qf(Q)} =\vec{Pf(P)} } quindi, chiamando $v=\vec{Qf(Q)}$, abbiamo $\forall P\in \A \;\;\vec{Pf(P)}=v$. Percio' $f=t_v$. \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop} Fissando un isomorfismo vettoriale $\f$, l'isomorfismo affine $f$ non e' univocamente determinato. \end{prop} \begin{prova} \pf Infatti, dalla proposizione \see{identesttraslazione} segue che per ogni $v\in V$ riusciamo a trovare un isomorfismo affine che ha la stesso isomorfismo vettoriale (l'identita'). \end{prova} \begin{exemp} \label{exempisomadimn} Sia $(\A,\V,\vec{}),\;\dim \A=n$, e sia $\Omega =(O,e_1,e_2,\dots,e_n)$ un riferimento\\ \eal{&f:\A\longrightarrow \A^n\\ &f(P)=\coord{P}{\Omega }} e' un isomorfismo. \end{exemp} \begin{prova} \pf \begin{prova} Per la definizione di $\coord{P}{\Omega }$, $f$ e' ben definita ed e' biunivoca \footnote{il vettore $\vec{OP}$ e' combinazione unica di $e_1,e_2,\dots,e_n$}. Resta da trovare $\f$: sia $P,Q\in \A$ \eal{&\cev{f(P)f(Q)}=f(Q)-f(P)=\coord{Q}{\Omega }-\coord{P}{\Omega } } quindi basta porre $\f(\vec{PQ})=\coord{Q}{\Omega }-\coord{P}{\Omega } $ \end{prova} \qed \end{prova} \def\.{{\circ}} \def\h{{\mathbf{h}}} \def\g{{\mathbf{g}}} \begin{prop} \label{propcompisoaffi} Dati due isomorfismi affini \eal{&f:\A\longrightarrow \A'\\ &g:\A'\longrightarrow A''} la loro composizione $h=g\.f$ e' un isomorfismo affine, e inoltre $\h=\g\.\f$ \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} Troviamo $\h$ (nota\footnote{Usiamo impropriamente il simbolo $\vec{}$ per tutti e tre gli spazi $\A,\A',\A''$}): \eal{&\vec{h(P)h(Q)}= \vec{g(f(P))g(f(Q))}= \g(\vec{f(P)f(Q)})= \g(\f(\vec{PQ}))=\g\.\f(\vec{PQ}) } quindi, $\h=\g\.\f$ \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop} La relazione di isomorfismo affine e' una relazione d'equivalenza nella classe di tutti gli spazi affini. \end{prop} \begin{prova} \pf\step{}{Riflessivita': $\A\simeq\A$} \begin{prova} Basta una qualsiasi traslazione di $\A$. \end{prova} \step{}{Simmetria: $\A\~\A'\>\A'\~\A$} \begin{prova} Siano $f$ l'isomorfismo affine di $\A\longrightarrow \A'$. Scegliamo $g=\inv f$ come isomorfismo affine inverso, calcoliamo il suo $\g$ per dimostrare che si tratta di un isomorfismo affine: \eal{&P',Q'\in \A'\> \vec{g(P')g(Q')}=\g(\cev{P'Q'})\;\;(1)\\ &\exists P,Q\in \A:\;f(P)=P',\;f(Q)=Q'\;\;\=\;\;P=\inv f(P'),\;\;Q=\inv f(Q')\\ &\vec{g(P')g(Q')}=\vec{PQ}\\ &\f(\vec{PQ})=\cev{f(P)f(Q)}=\cev{P'Q'}\\ &(1)\=\vec{PQ}=\g(\f(\vec{PQ}))\\ &\g:=\inv \f } quindi $\inv \f$ e' l'isomorfismo vettoriale cercato. \end{prova} \step{}{Transitivita': $\A\~\A'\~\A''\>\A\~\A''$} \begin{prova} Per la prop. \see{propcompisoaffi} segue la tesi. \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop} \label{propspazidiugualdimsonoisomorfi} Spazi di dimensione uguale sono isomorfi. \end{prop} \begin{prova} \pf Basta considerare l'esempio \see{exempisomadimn}: dati due spazi $\A$, $\A'$ di ugual dimensione: \eal{&\A\~\A^n\~\A'\>\A\~\A' } \end{prova} \begin{prop} Dati $(\A,\V,\vec{}),\;(\A',\V',\cev{})$ affinemente isomorfi mediante $f:\A\longrightarrow \A'$, si ha \eal{&1.\;\;S=(P,W)\le \A\=f(S)=(f(P),\f(W)) \le \A'\\ &2.\;\;\dim S=k \= \dim f(S) = k\\ &3.\;\;S\parallel T\=f(S)\parallel f(T)\\ &4.\;\;f(\ove{P_1P_2\dots P_n})=\ove{f(P_1)f(P_2)\dots f(P_n)}\\ &5.\;\;f(\ove{ST})=\ove{f(S)f(T)} } Inoltre, dati $S\le \A,\;\;T\le \A'$ \eal{&6.\;\; \dim S=\dim T \= \exists f:S\longrightarrow T\T{ isom. affine}} \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} Le proposizioni $1.,2.,3.$ derivono direttamente dal fatto che $f$, essendo un isomorfismo affine, preserva le relazioni degli spazi affini (vedi \textbf{Nota generale sugli isomorfismi} \see{affinita'}). Infatti, \begin{enumerate} \item La relazione \emph{essere un sottospazio} e' basata sulla relazione $\vec{}$ e $\in$ che sono tutte e due preservate da $f,\f$. Quindi, \eal{& S=(P, W)=\pgra{Q\in \A:\;\;\vec{PQ}=w\in W}\\ &f(S)=\pgra{f(Q)\in f(\A)=\A':\;\;\vec{f(P)f(Q)}=\f(w)\in \f(W)}=(f(P),\f(W))\le \A' } \item Poiche' $\f$ e' un isom. vett., si ha che $\dim W=\dim \f(W)$ \item La relazione $\parallel $ e' basata sulla relazione $\($, che e' preservata da qualunque isomorfismo tra insiemi, e in particolare da $\f$ \item La relazione di congiungente e' basata sulla relazione di $\($, di $\^$ e di sottospazio: $\ove{ST}$ e' il piu' piccolo sottospazio contente $S$ e $T$. \end{enumerate} Dimostriamo la $6.$ \eal{&S\le \A \ubrace{\>}{\see{propsottaffestspazioaffine}} S\T{ e' uno spazio affine}\\ &T\le \A'\> T\T{ e' uno spazio affine }\\ &\dim S=\dim T\\ &\qq \ubrace{\>}{\see{propspazidiugualdimsonoisomorfi}} S\simeq T } il viceversa deriva dal fatto che $\f$ e' un isom. vett. e quindi le due giaciture di $S,T$ hanno ugual dimensione. \end{prova} \qed \end{prova} \begin{thm} \label{thmdatooofunicdet} Dati due spazi affini $(\A,\V,\vec{}),(\A',\V',\cev{})$, un isomorfismo vettoriale $\f:\V\longrightarrow \V'$, due punti $O\in \A,\;O'\in \A'$, allora \eal{&\exists !f:\A\longrightarrow \A'\T{ isom. aff. tale che }\\ &\qq f(O)=O'\\ &\qq \f \T{ e' l'isom. vett. associato a }f} \end{thm} \begin{prova} \pf\step{}{Calcoliamo $f$} \begin{prova} Sia $P\in \A$ \eal{&\f(\vec{OP})=\cev{f(O)f(P)}=\cev{O'f(P)} } allora come $f(P)$ prendiamo quell'unico punto, dato dall'\textbf{As.1}, tale che $\f(\vec{OP})=\cev{O'f(P)}$\\ Cosi' $f$ resta ben definita. E' ovviamente unica: se esistesse un'altra $g$ si avrebbe, \eal{&\cev{O'g(P)}=\cev{g(O)g(P)}=\f(\vec{OP})=\cev{f(O)f(P)}=\cev{O'f(P)}\\ &\cev{O'g(P)}=\cev{O'f(P)}\=g(P)=f(P) } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{cor} \label{corthmdatooofunicdet} Dati due spazi affini $(\A,\V,\vec{}),(\A',\V',\cev{}),\;\;\dim \A=\dim \A'=n$, e i punti $P_i\in \A,\;Q_i\in \A'\;\;i=0,1,\dots,n$ rispettivamente indipendenti, si ha \eal{&\exists ! f\T{ isom. aff. tale che }\\ &\qq f(P_i)=Q_i\;\;i=0,1,\dots,n } \end{cor} \begin{prova} \pf \begin{prova} \eal{&P_0,P_1,\dots,P_n\in \A\;l.i. \ubrace{\=}{\see{punti linearmente indipendenti}} \T{ i vettori } \vec{P_0P_i}, i=1,\dots,n \T{ sono l.i }\\ &\Big|\pgra{\vec{P_0P_i}\;|\;i=1,\dots,n}\Big|=n=\dim \V \> \pgra{\vec{P_0P_i}\;|\;i=1,\dots,n} \T{ e' una base di $\V$}\\ &Q_0,Q_1,\dots,Q_n\in \A\;l.i. \= \vec{Q_0Q_i}\;i=1,2,\dots,n\T{ l.i}\\ &\pgra{\vec{Q_0Q_i}\;|\;i=1,\dots,n} \T{ e' una base di $\V'$}\\ } Supponiamo che esista una $f$ isom. aff. Allora $\forall i=1,2,\dots,n$, si ha \eal{& \sist{\cev{f(P_0)f(P_i)}=\f(\vec{P_0P_i})\\ f(P_0)=Q_0,\;f(P_i)=Q_i \> \cev{f(P_0)f(P_i)} = \cev{Q_0Q_i} } \> \f{(\vec{P_0P_i})}=\cev{Q_0Q_i}\;\;(1) } Ma di $\f:\V\longrightarrow \V'$ isom. vett. che soddisfa la $(1)$, ne esiste una sola, perche' $\vec{P_0P_i}$ e $\vec{Q_0Q_i}$ sono i vettori della base di $\V$ e $\V'$ (vedi \AL{thmfdefinitadallabase}).\\ A questo punto, poiche' $f(P_0)=Q_0$, e poiche' abbiamo trovato la $\f$, per il thm \see{thmdatooofunicdet}, \eal{&\exists !g:\A\longrightarrow \A'\T{ isom. aff.} tale che \\ &g(P_0)=Q_0\\ &\g=\f } Dimostriamo che $g=f$: per ogni $i=1,2,\dots,n$ si ha:\\ \xymatrix{ \cev{g(P_0)g(P_i)}\ar@{=}[d]& = \g(\vec{P_0P_i})= \f(\vec{P_0P_i})=\cev{f(P_0)f(P_i)}=&\cev{Q_0Q_i}\\ \cev{Q_0g(P_i)} } \eal{& \cev{Q_0g(P_i)}=\cev{Q_0Q_i}\= g(P_i)=Q_i } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{cor} \label{corcorthmdatooofunicdet} Nelle ipotesi del cor \see{corthmdatooofunicdet}, dati i punti $P_i\in \A,\;Q_i\in \A'\;\;i=0,1,\dots,k$ rispettivamente l.i., ma con $k\inv g \in \Aff_O(\A)\\ &f\.g(O)=f(g(O))=f(O)=O\> f\.g \in \Aff_O(\A) } \end{prova} \step{}{Dim $\Aff_O(\A)\~GL(\V)$} \begin{prova} Usiamo l'applicazione $\psi:\Aff_O(\A)\longrightarrow GL(\V)$ che associa ad un $f\in \Aff_O(\A)$ il suo $\f$ isom. vett.\\ Come abbiamo visto in prop.\see{propdatafffestunicdet}, $\f$ e' univocamente determinata da $f$. Quindi $\psi$ e' ben definita. Inoltre, $\psi$ e' biunivoca perche', per il thm \see{thmdatooofunicdet}, anche $f$ e' univocamente determinata da $\f$. Infine, \\ \eal{&\psi(f\.g)= \f\.\g= \psi(f)\.\psi(g) } per quanto visto in prop.\see{propcompisoaffi}. \end{prova} \qed \end{prova} \begin{exemp} \label{exptraslgrupp} Dato $(\A,\V,\vec{})$, \eal{&T(\A):=\pgra{t_v:\A\longrightarrow \A\T{ traslazione }\;|\;v\in\V}\\ &1.\;\;T(\A) \ubrace{\le}{\T{sottogruppo}} \Aff(\A)\\ &2.\;\;T(\A)\ubrace{\~}{\T{isom. di gruppi}} \V } La proposizione $2.$ spiega perche' possiamo pensare ai vettori di uno spazio vettoriale come le ``freccie'' di traslazione. \end{exemp} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $T(\A)\le \Aff(\A)$} \begin{prova} Usiamo la prima caratterizzazione dei sottogruppi: \eal{&\id=e \in \Aff(\A),\;\id=t_{\vz}\in T(\A)\\ &t_v,t_w\in T(\A),\;\;P\in \A\\ &t_w(P)=Q\\ &\vec{Pt_vt_w(P)}= \vec{Pt_w(P)}+\vec{t_w(P)t_vt_w(P)}= w+\vec{t_w(P)t_vt_w(P)}= w+\vec{Qt_v(Q)}= w+v\in \V\\ &\qq \> t_vt_w=t_{v+w}\in T(\A)\\ & t_vt_{-v}=t_{v-v}=t_{\vz}=id\= \inv{t_v}=t_{-v}\in T(\A) } \end{prova} \step{}{Dim $T(\A)\~\V$} \begin{prova} Usiamo l'applicazione $\psi:T(\A)\longrightarrow \V$ cosi' definita: \eal{&\psi(t_v)=v} $\psi$ e' sicuramente biettiva. Inoltre, \eal{&\psi(t_vt_w)=\psi(t_{v+w})=v+w=\psi(t_v)+\psi(t_w)} \end{prova} \qed \end{prova} \begin{thm} Data $f\in\Aff(\A)$, si ha \eal{&\exists ! g\in \Aff_O(\A),\;\exists ! v,w \in \V:\;\;\sist{1.\;\;f=g\.t_{v}\\ 2.\;\;f=t_{w}\.g} } ovvero, ogni affinita' si puo' esprimere come composizione di una traslazione e di una rotazione o omotetia. \end{thm} \begin{prova} \pf \begin{prova} Poniamo \eal{&v=-\vec{O\inv f(O)}\in \V\\ &w = \vec{Of(O)}\in \V\\ &g=f\.\inv t_{v}=f\.t_{-v} \in \Aff(\A)\\ &g'=\inv t_{w}\.f=t_{-w}\.f\in \Aff(\A)\\ } per costruzione $g$ e $g'$ soddisfano rispettivamente la $1.$ e $2.$\\ \eal{&\vec{Ot_{-v}(O)} \ubrace{=}{t_{-v}\T{ e' una trasl.}} = -v = \vec{O\inv f(O)} \> t_{-v}(O)=\inv f(O)\\ &g(O) = f\.t_{-v}(O)=f\.\inv f(O)=O \> g\in \Aff_O(\A)\\ &\vec{Ot_{w}(O)} = w=\vec{Of(O)} \> f(O)=t_{w}(O)\\ &g'(O)=t_{-w}\.f(O)=t_{-w}\.t_w(O)=\id(O)=O\> g'\in \Aff_O(\A) } Per la \see{propcompisoaffi}, abbiamo: \eal{&\g=\f.\mathbf{t}_{-v}=\f\.\id =\f\\ &\g'=\mathbf{t}_{-w}\.\f=\id\.\f=\f\\ &\sist{g,g'\in \Aff(\A)\\ g(O)=g'(O)=O\\ \g=\g'=\f} \ubrace{\>}{thm\see{thmdatooofunicdet}} g=g' } Quindi $g$ e' unico.\\ \eal{&f=g\.t_{v}\= \inv g \. f=t_{v}} allora $t_{v}$ e' determinato da $g$ e da $f$. Ma $g$ e' unicamente determinato da $f$. Quindi $t_v$ e' unicamente determinato da $f$.\\ Poiche' per l'exp \see{exptraslgrupp} si ha $T(\A)\simeq \V$, abbiamo che $v$ e' unicamente determinato da $t_v$ e quindi da $f$.\\ Analogo ragionamento per $w$. \end{prova} \qed \end{prova} \subsubsection{Omotetia} \def\Om#1{{\Omega}_{#1}} \begin{defn} Sia $\psi:\Aff_O(\A)\longrightarrow GL(\V)$ visto in \see{expAffO}. Sia inoltre $c\in \K$.\\ Sia $\f \in GL(\V)$, definita da $\f(x)=cx$.\\ $f=\inv{\psi}(\f) \in \Aff_O(\A)$ si dice \emph{omotetia} di centro $O$ e rapporto $c$.\\ Definiamo i seguenti insieme: \eal{&\Om O=\pgra{f\in \Aff_O(\A)\;|\;f=\inv{\psi}(\f),\;\;\f(x)=cx\in GL(\V),\;\;c\in \K} \\ &\Om {O,c} = \pgra{f\in \Om O \;|\;f=\inv{\psi}(\f),\;\;\f(x)=cx\in GL(\V)} } ovvero, l'insieme di tutte le omotetie di centro $O$ e l'insieme di tutte le omotetie di centro $O$ e rapporto $c$. \end{defn} \begin{prop} \label{propomcaratt} Dato $f\in \Aff_O(\A)$, \eal{& f\in \Om {O,c} \= \vec{Of(P)}=c\vec{OP}} \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\=$} \begin{prova} \begin{center} \xymatrix{\vec{f(O)f(P)}\ar@{=}[r]\ar@{=}[d] & \vec{Of(P)}\\ \f\pton{\vec{OP}}\ar@{=}[r] & c\vec{OP} \ar@{=}[u] } \end{center} \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop} \label{propOmOsottAffO} \eal{&(\Om O,\.) \ubrace{\le}{\T{sottogruppo}} (\Aff_O(\A),\.)} \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} Di certo $\Om O \( \Aff_O(\A)$. \begin{enumerate} \item L'elemento neutro di $\Aff_O(\A)$ e' $\id$.\\ \eal{&\vec{O\id(P)} = \vec{OP} \ubrace{\>}{prop\see{propomcaratt}} \id \in \Om{O,1} \(\Om O } \item Siano $f\in \Om{O,c}, g\in \Om{O,d}$.\\ \eal{&\vec{Ofg(P)}=\vec{Of(g(P))} = c\vec{Og(P)} =cd\vec{OP} \ubrace{\>}{prop\see{propomcaratt}} fg\in \Om{O, cd}\( \Om{O} } \item L'inverso di $f\in \Aff_O(\A)$ e' $\inv f$. Dimostriamo che sta' in $\Om O$.\\ Sia $g\in \Om{O,\inv c}$, \eal{&\vec{Og(P)}=\frac{1}{c}\vec{OP}\\ &\vec{Ofg(P)} = c\vec{Og(P)}=c\inv c \vec{OP} = \vec{OP}\\ &\vec{Ofg(P)} = \vec{OP} \> fg(P)=P \> fg=\id \ubrace{\>}{f,g\;\T{biett.}} g=\inv f\\ &\inv f = g\in \Om{O,\inv c} } \end{enumerate} \end{prova} \qed \end{prova} \def\so{{\sigma_O}} \begin{defn} $f \in \Om{O, -1}$ si chiama simmetria, e si indica con $\so$\\ $f(P)$ si dice simmetrico.\\ Dalla \see{propomcaratt} si ha: \eal{&\vec{Of(P)} = -\vec{OP} } \begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{fig/sim} \end{center} Un insieme $X\(\A$ si dice simmetrico di centro $O \= \so:X\longrightarrow X$ e' biunivoca $\= \forall x\in X\;\;\so(x)\in X$ \end{defn} \begin{prop} \eal{&S\le \A \> \forall O\in S\;\;S\T{ e' simmetrico di centro } O } ovvero, $S$ e' simmetrico rispetto a ogni suo punto. \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} \eal{&P\in S=(P,W)\\ &\vec{O\so(P)}=-\vec{OP}\in W \= \vec{O\so(P)}\in W \> \so(P) \in S } \end{prova} \qed \end{prova} \subsubsection{Equazioni di un'isomorfismo} \begin{prop} \label{propeqisomorfismo} Sia dato $f:\A\longrightarrow \A'$ isomorfismo affine e siano stabiliti due riferimenti $\Omega =(O,B),\Omega' =(O',C)$ su $\A$ e $\A'$. Allora, preso $P\in \A$, si ha \eal{&\TR \coord{f(P)}{\Omega '}=M_{B,C}(\f)\TR \coord{P}{\Omega }+\TR\coord{f(O)}{\Omega '}\\ &M_{B,C}(\f)\T{ matrice associata all'isom.vett. } \f } Nota: se $f=\id:\A\longrightarrow \A$, allora otteniamo l'equazione del cambiamento di base vista in \see{propcambiamentobase} \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} Sia \eal{&\vec{O'f(P)}=\vec{O'f(O)}+\vec{f(O)f(P)}=\vec{O'f(O)}+\f(\vec{OP})\\ &\coord{\vec{O'f(P)}}{C}=\coord{\vec{O'f(O)}}{C}+\coord{\f(\vec{OP})}{C}\=\\ &\qq \= \coord{f(P)}{\Omega '} = \coord{f(O)}{\Omega'} + \TR\pton{M_{B,C}(\f)\TR\coord{\vec{OP}}{B}}\=\\ &\qq \= \TR \coord{f(P)}{\Omega '} = \TR \coord{f(O)}{\Omega'} + {M_{B,C}(\f)\TR\coord{\vec{OP}}{B}} } \end{prova} \step{}{Dimostrazione alternativa} \begin{prova} Indichiamo con $f(\Omega )$ il seguente riferimento: $(f(O),\f(B))$.\\ Poiche' $f$ e' un'isomorfismo affine, esso preserva le relazioni definite in $\A$ nelle relazioni corrispondenti in $\A'$, quindi si ha: \eal{&\coord{P}{\Omega } = \coord{\vec{OP}}{B} \> \coord{f(P)}{f(\Omega) } = \coord{\f(\vec{OP})}{\f(B)}=\TR \pton{M_{B,\f(B)}(\f)\TR\coord{\vec{OP}}{B}}\\ &\TR\coord{f(P)}{f(\Omega) } = M_{B,\f(B)}(\f)\TR\coord{\vec{OP}}{B}\;\;(1) } A questo punto basta cambiare base in $\A'$: passiamo da $f(\Omega )$ ad $\Omega '$, usando la prop \see{propcambiamentobase}: \eal{&\TR\coord{f(P)}{\Omega '} =\TR\coord{f(O)}{\Omega '} + P_{\f(B)\rightarrow C}\TR\coord{f(P)}{f(\Omega )}\;\;(2) } Ricordandoci che $P_{\f(B)\rightarrow C}=M_{\f(B),C}(\id)$, e utilizzando la $(1)$ abbiamo: \eal{&(2) \= \TR\coord{f(P)}{\Omega '} =\TR\coord{f(O)}{\Omega '} +M_{\f(B),C}(\id){M_{B,\f(B)}(\f)\TR\coord{\vec{OP}}{B}}\;\;(1.1) } Per il thm \AL{propprodottotramatriciassociate} di Algebra Lineare, \eal{&M_{\f(B),C}(\id)M_{B,\f(B)}(\f)=M_{B,C}(\f\.\id)=M_{B,C}(\f) } quindi \eal{&(1.1) \= \TR\coord{f(P)}{\Omega '} =\TR\coord{f(O)}{\Omega '} +M_{B,C}(\f)\TR\coord{\vec{OP}}{B}} che e' la tesi. \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop} \label{propequdefinisceisomaff} Dati i due spazi affini $\A,\A'$ di dimensione $n$, e i due rispettivi riferimenti $\Omega=(O,B) ,\Omega'=(O',C)$ sia data la seguente equazione \eal{ &Y=MX+B\;\;(1)\\ &M\in K^{n,n},\;\;\det M \neq 0\\ &Y,X,B\in K^{n,1} } dove $X$ e' la coordinata di un punto di $\A$ e $Y$ di $\A'$. La $(1)$ definisce univocamente un isomorfismo affine $f:\A\longrightarrow \A'$. \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} Poiche' $\det M \neq 0$, $\rho(M)=n$, quindi a $M$ possiamo associare per il thm \AL{thmisomorfismovetttraHOMeKmn}, un unico isom. vett. $\g:\A\longrightarrow \A'$.\\ Per la $(1)$ ricaviamo $Y$: \eal{&Y=M\TR\coord{O}{\Omega } + B } a $Y$ associamo quell'unico punto $P'\in \A'$ t.c. $\TR\coord{P'}{\Omega '}=Y$. $P'$ esiste grazie all'isomorfismo visto in exp. \see{exempisomadimn}. Ovvero, imponiamo che: \eal{&f(O)=P' } Allora per la \see{thmdatooofunicdet} $f$ t.c. $f(O)=P'$ e $\f=\g$ esiste ed e' unico. \end{prova} \qed \end{prova} \section{Forme bilineari} \def\f{{\Psi}} Sia dato un $\K$ spazio vettoriale $\V$ finitamente generato, ovvero di dimensione finita $n$. \begin{defn} \label{bilineare} Una forma bilineare e' una funzione \eal{&b:\V\*\V \longrightarrow \K} che rispetta le seguenti condizioni $\forall v,v',w,w'\in \V\;\;\forall c\in \K$: \eal{&b(v+v',w)=b(v,w)+b(v',w)\\ &b(v,w+w')=b(v,w)+b(v,w')\\ &cb(v,w)=b(cv,w)=b(v,cw) } Se vale \eal{&b(v,w)=b(w,v) } allora $b$ si dira' simmetrica.\\ Con $\bilvk$ indichiamo l'insieme di tutte le forme bilineari del tipo $b:\V\*\V \longrightarrow \K$. \end{defn} \begin{prop} \eal{&b(v,\vz)=b(\vz,w)=0\;\;\forall v,w\in \V} \end{prop} \begin{prova} \pf \eal{&b(v,\vz)=b(v,\vz+\vz)=b(v,\vz)+b(v,\vz) \=b(v,\vz)=0} \qed \end{prova} \begin{prop} \label{propmatestbilinear} Sia $B=\pgra{e_1,e_2,\dots,e_n}$ una base di $\V$.\\ Sia $A\in \K^{n,n}$. Allora, \eal{&b(v,w):=([v]A\TR [w])_{11}\;\;\forall v,w\in \V\\ &\T{ con }[v]\T{ vettore delle componenti di } v \T{ rispetto a }B} e' una forma lineare.\\ (Nota \footnote{$[v]A\TR [w]$ e' una matrice $1\times 1$. $([v]A\TR [w])_{11}$ e' il suo elemento di posto $1,1$}).\\ Inoltre, \eal{& b(e_i,e_j)=A_{ij} } \end{prop} \begin{prova} \pf\step{}{Dim che $b$ e' bilineare } \begin{prova} Usando le proprieta' delle matrici: \eal{ &b(v+v',w)=([v+v']A\TR [w])_{11}= (([v]+[v'])A\TR [w])_{11}=([v]A\TR[w]+[v']A\TR[w])_{11}=\\ &\qq =([v]A\TR[w])_{11}+([v']A\TR[w])_{11}=b(v,w)+b(v',w)\\ &b(v,w+w')=([v]A\TR [w+w'])_{11}= (([v])A\TR ([w]+[w']))_{11}=([v]A\TR[w]+[v]A\TR[w'])_{11}=\\ &\qq =([v]A\TR[w])_{11}+([v]A\TR[w'])_{11}=b(v,w)+b(v,w')\\ &cb(v,w)=c([v]A\TR [w])_{11}=([cv]A\TR [w])_{11}=b(cv,w)\\ &\qq = ([v]A\TR [cw])_{11}=b(v,cw) } \end{prova} \step{}{Dim $b(e_i,e_j)=A_{ij}$} \begin{prova} \eal{&[e_i]=(0 ,0 ,\ldots, \ubrace{1}{\T{posto $i$-esimo}},0,\ldots,0)\= ([e_i])_{h}=\sist{0&i \neq h\\1&i=h}\\ &[e_i]A\TR [ e_j] = \begin{pmatrix} 0 &0 &\ldots& \ubrace{1}{\T{posto $i$-esimo}}&0&\ldots&0 \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \vdots\\ \ubrace{1}{\T{posto $j$-esimo}}\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}=\\ &\qq =\ubrace{\begin{pmatrix} \sum_{k=1}^n \pton{\sum_{h=1}^n([e_i])_{h}A_{hk}}([e_j])_{k} \end{pmatrix}}{\T{matrice }1\* 1}= \begin{pmatrix} A_{ij} \end{pmatrix} } Allora, per definizione di $b$: \eal{&b(e_i,e_j)=([e_i]A\TR [ e_j])_{11}=A_{ij} } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop} \label{propbilnestmat} Sia $B=\pgra{e_1,e_2,\dots,e_n}$ una base di $\V$.\\ Data $b:\V\*\V\longrightarrow \K$, forma bilineare, poniamo la seguente matrice $n\*n$: \eal{&A_{ij}=b(e_i,e_j)\;\;i,j\in \pgra{1,2,\dots,n} } allora si ha \eal{&b(v,w)=([v]A\TR [w])_{11}\;\;\forall v,w\in \V } \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} \def\b{{\ove b}} Scomponiamo $v,w$ utilizzando la base $B$: \eal{& v=x_1e_1+\dots+x_ne_n\\ &w=y_1e_1+\dots+y_ne_n } allora \eal{&b(v,w)=b(x_1e_1+\dots+x_ne_n,y_1e_1+\dots+y_ne_n)= \sum_{i,j\in \pgra{1,2,\dots,n}} b(x_ie_i,y_je_j)= \\ &=\qq \sum_{i,j\in \pgra{1,2,\dots,n}} x_ib(e_i,e_j)y_j= \sum_{j=1}^n\pton{\sumin x_ib(e_i,e_j)}y_j=\\ &=\qq \begin{pmatrix} x_1&x_2&\ldots&x_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b(e_1,e_1)& b(e_1,e_2)&\ldots&b(e_1,e_n)\\ \ldots\\ b(e_n,e_1)& b(e_n,e_2)&\ldots&b(e_n,e_n) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1\\ \vdots\\ y_n \end{pmatrix}=[v]A\TR [w] } \end{prova} \end{prova} \begin{prop} \label{propformapolinomdib} \eal{ &[v]=(x_1,x_2,\dots,x_n),\;\;[w]=(y_1,y_2,\dots,y_n)\\ &b(v,w)=([v]A\TR [w])_{11}= \sum_{i,j\in \pgra{1,2,\dots,n}} b(e_i,e_j)x_iy_j =\sum_{i,j\in \pgra{1,2,\dots,n}} A_{ij}x_iy_j } \end{prop} \begin{prova} \pf La dimostrazione e' implicita nelle dimostrazioni delle prop \see{propbilnestmat}, \see{propmatestbilinear} \end{prova} \begin{prop} \def\.{{\cdot}} Definiamo le operazioni $+,\.$ su elementi di $\bvk$: \eal{ &(b_1+b_2)(v,w):=b_1(v,w)+b_2(v,w)\\ &(c\.b_2)(v,w):=c\.b_2(v,w)\\ &\forall b_1,b_2\in \bvk,\;\;\forall v,w\in \V,\;\;\forall c\in \K } $(\bvk, +,\K,\.)$ e' uno spazio vettoriale. \end{prop} \begin{prova} \pf\step{}{Dimostriamo che $(\bvk, +)$ e' un gruppo abeliano} \begin{prova} \step{}{L'operazione $+$ e' interna e ben definita} \step{}{$+$ e' associativa} \begin{prova} \eal{&(b_1+(b_2+b_3))(v,w)=b_1(v,w)+(b_2+b_3)(v,w)=\\ &\qq = b_1(v,w)+b_2(v,w)+b_3(v,w)=(b_1(v,w)+b_2(v,w))+b_3(v,w)=((b_1+b_2)+b_3)(v,w) } In sostanza, $+$ e' associativa perche' si basa sul $+$ del campo $\K$.\\ \end{prova} \step{}{$+$ e' commutativa} \begin{prova} Come prima: $+$ e' commutativa perche' si basa sul $+$ del campo $\K$. \end{prova} \step{}{La funzione nulla e' l'elemento neutro} \step{}{L'inverso di $b(v,w)$ e' $-b(v,w)$} \end{prova} \def\.{{\cdot}} \step{}{Poiche' $+$,$\.$ si basano sul $+$,$\.$ del campo $\K$, si verifica facilmente che valgono le proprieta' del prodotto esterno} \qed \end{prova} \begin{prop} \label{isombvkeKnn} Fissata una base $B$ di $\V$, si ha \eal{(\bvk, +,\K,\.)\simeq(\K^{n,n}, +,\K,\.)} ovvero esiste un isomorfismo vettoriale tra $\bvk$ e $\K^{n,n}$. \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} Sia $b\in \bvk$. Sia $B=\pgra{e_1, e_2,\dots,e_n}$ una base di $\V$. \eal{&\f_B(b)=A\\ &\T{ con } A_{ij} = b(e_i,e_j) } e' l'isomorfismo cercato. \step{}{$\f_B$ e' iniettiva} \begin{prova} Sia $\f_B(b)=\f_B(b')$, ovvero \eal{b(e_i,e_j)=b'(e_i,e_j)\;\;i,j\in\pgra{1,2,\dots,n}} Per la prop \see{propbilnestmat}, \eal{&b(v,w)=([v]f(b)\TR [w])_{11}=([v]f(b')\TR [w])_{11}=b'(v,w)\\ &\qq\qq\forall v,w\in \V } \end{prova} \step{}{$\f_B$ e' surriettiva} \begin{prova} Sia $A\in \K^{n,n}$. Allora, per la prop \see{propmatestbilinear}, possiamo prendere la forma bilineare definita come: \eal{&b(v,w):=[v]A \TR [w]\;\;\forall v,w\in \V} e sempre per la prop $ \see{propmatestbilinear}$, \eal{&b(e_i,e_j)=A_{ij} } Quindi $\f_B(b)=A$ \end{prova} \step{}{$\f_B$ e' lineare} \begin{prova} \eal{ &\f_B(b+b')=C\\ &\T{ con } C_{ij}=(b+b')(e_i,e_j)=b(e_i,e_j)+b'(e_i,e_j)=A_{ij}+A'_{ij}\\ & \qq \> C=A+A'\\ &\f_B(b+b')=C=A+A'=\f_B(b)+\f_B(b')\\ &\\ &\f_B(cb)=C\\ &\T{ con } C_{ij}=(cb)(e_i,e_j)=c(b(e_i,e_j))=cA_{ij}\\ &\qq \> C=cA_{ij}\\ &\f_B(cb)=C=cA_{ij}=c\f_B(b) } \end{prova} \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop} $b$ e' una forma bilineare simmetrica $\= \f_B(b) $ e' una matrice simmetrica \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\>$} \begin{prova} \eal{&b\T{ simmetrica } \= b(v,w)=b(w,v)\\ &\f_B(b) = A,\;\;\T{ con } A_{ij}=b(e_i,e_j)=b(e_j,e_i)=A_{ji}\\ &\qq \> A\T{ e' sym} } \end{prova} \step{}{Dim $\<$} \begin{prova} \eal{&A\T{ sym } \= A=\TR A\\ &b(v,w)=[v]A\TR [w] \ubrace{=}{\T{e' una matrice }1\* 1} \TR \pton{[v]A\TR [w]}=[w] A\TR [v] = b(w,v) } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop} \label{isombvkeKnnSYM} Dall'ultima proposizione segue che $\bvk_{s} \simeq \Sym(n,\K)$.\\ Dove $\bvk_{s}$ e' l'insieme delle forme bilineari simmetriche e $\Sym(n,\K)$ e' l'insieme delle matrici $n\* n$ simmetriche.\\ Anzi, questo e' un isomorfismo tra sottospazi vettoriali. \end{prop} \begin{prop} \label{formebilpassaggiodibase} Siano $B=\pgra{e_1,\dots,e_n},B'=\pgra{e_1',\dots,e_n'}$ due basi di $\V$.\\ Siano \eal{&b,b':\V\*\V \longrightarrow \K } due forme bilineari e infine sia, \eal{&A_{ij}=b(e_i,e_j),\;\;A_{ij}'=b'(e_i',e_j')}allora \eal{&b=b' \= A=\TR P_{B\to B'} A'P_{B\to B'} } dove $P_{B\to B'}$ e' la matrice di passaggio. \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\=$} \begin{prova} Per la prop \see{propbilnestmat} abbiamo \eal{ &b(v,w)=\coord{v}{B} A \TR\coord{w}{B}\\ &b'(v,w)= \coord{v}{B'} A' \TR\coord{w}{B'}\\ &b=b' \> b(v,w)=b'(v,w) \= \coord{v}{B} A \TR\coord{w}{B}= \coord{v}{B'} A' \TR\coord{w}{B'} = \\ & \ubrace{=}{ \TR\coord{v}{B'} = P_{B\to B'} \TR \coord{v}{B} } \TR (P_{B\to B'} \TR \coord{v}{B}) A' (P_{B\to B'} \TR \coord{w}{B})= \coord{v}{B} (\TR P_{B\to B'} A' P_{B\to B'}) \TR\coord{w}{B}\\ & \forall v,w\in \V \;\;\coord{v}{B} A \TR \coord{w}{B}=\coord{v}{B} (\TR P_{B\to B'} A' P_{B\to B'}) \TR \coord{w}{B} \= A =\TR P_{B\to B'} A' P_{B\to B'} } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{cor} \label{corformebilpassaggiodibase} Nelle ipotesi della prop \see{formebilpassaggiodibase}, si ha \eal{&A=\TR MA'M,\;M\in \K^{n,n},\;\det M \neq 0 \= b=b'} o equivalentemente: \eal{&A=\TR MA'M,\;\;M\in GL_n(\K) \= b=b'} \end{cor} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\>$} \begin{prova} Infatti, poiche' $M$ e' invertibile, per la prop \AL{propfissatabaseesistebase}, \eal{&\exists ! B\T{ base di } V:\;\;M=P_{B\to B'} } allora \eal{&A=\TR P_{B\to B'} A' P_{B\to B'} } e quindi per la prop \see{formebilpassaggiodibase} si ha $b=b'$ \end{prova} \step{}{Dim $\<$} \begin{prova} Dalla prop $\see{formebilpassaggiodibase}$ abbiamo \eal{&A=\TR P_{B\to B'} A' P_{B\to B'} } ma $ P_{B\to B'} $ essendo matrice di passaggio e' invertibile, quindi la tesi. \end{prova} \qed \end{prova} \subsection{Congruenza} \begin{defn} \label{matricicongruenti} Date $A,A'\in \K^{n,n}$ \eal{&A\sim A' \=\exists M\in GL_n(\K):\;\;A=\TR M A' M } diremo che $A$ e' congruente a $A'$ \end{defn} \begin{prop} $\sim$ e' una relazione d'equivalenza \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{$A\sim A$} \begin{prova} Basta scegliere $M=I$, con $I$ matrice identica. \end{prova} \step{}{$A\sim A'\> A'\sim A$} \begin{prova} \eal{&A\sim A' \= A=\TR M A' M \= \inv{(\TR M)}A\inv M = A' \ubrace{\=}{prop \AL{propdellamatinversa}} \TR (\inv M ) A \inv M=A'\\ & \det M \neq 0 \> \det \inv M = \frac{1}{\det M} \neq 0 \> \inv M \in GL_n(\K)\\ & A'\sim A} \end{prova} \step{}{$A\sim A',\;A'\sim A''\> A\sim A''$} \begin{prova} \eal{& \sist{A\sim A'\\ A'\sim A''} \= \sist{A=\TR M_1 A' M_1\\ A'=\TR M_2 A'' M_2 } \> A=\TR M_1 \TR M_2 A'' M_2 M_1 = \TR (M_2 M_1)A''(M_2M_1)\\ &\det M_2M_1 \ubrace{=}{\T{thm Binet}} \ubrace{\det M_2}{ \neq 0}\ubrace{\det M_1 }{ \neq 0} \neq 0\\ &A\sim A'' } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop} \label{propAsimAssebeqbb} Dal cor \see{corformebilpassaggiodibase} e dalla precedente proposizione, segue che \eal{&A\sim A' \=b=b' } ovvero, le matrici associate a una stessa forma bilineare sono congruenti, e viceversa, matrici congruenti definiscono una stessa forma bilineare. \end{prop} \begin{prop} \label{propAsimAprhoAeqrhoAp} \eal{A\sim A' \> \rho(A) = \rho(A')} \end{prop} \begin{prova}\pf \begin{prova} \eal{&A\sim A' \= A=\TR M A' M\\ &\rho(A'M) \ubrace{=}{prop. \AL{proprangodiAMeqrandoMAeqrangoA}} \rho(A')\\ &N:=A'M\\ &\sist{M\in \glnk\\ A'\in \K^{n,n}} \> \det M =\det \TR M \neq 0 \> \TR M \in \glnk\\ &\sist{\TR M \in \glnk\\ N\in \K^{n,n}} \ubrace{\>}{{prop. \AL{proprangodiAMeqrandoMAeqrangoA}}} \rho(\TR M N)=\rho(N)\\ &\rho(\TR M N)=\rho(\TR M (A'M))=\rho(A'M)=\rho(A')\\ &\rho(A)=\rho(\TR M A'M)=\rho(A') } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{defn} \ilabel{rango bilineare} Da quest'ultima proposizione \see{propAsimAprhoAeqrhoAp} e dalla prop \see{propAsimAssebeqbb} si ha che le matrici associate a una stessa forma bilineare hanno tutte le stesso rango.\\ Ha allora senso definire il rango di una forma bilineare: \eal{&\rho(b) = \rho(A) } dove $A$ e' una qualsiasi matrice associata a $b$ \end{defn} \subsection{b degenere} \begin{defn} Sia $b:V\*V\longrightarrow \K$ una forma bilineare, \eal{ &b\T{ e' degenere } \= \rho(b) < \dim V\\ &b\T{ non e' degenere } \= \rho(b) = \dim V } \end{defn} \begin{prop} \label{propcarattbnondegenere} \eal{&b\T{ non e' degenere } \= \forall v\in V\-\pgra{\vz}\;\;\exists w\in V:\;b(v,w) \neq 0\=\forall w\in V\-\pgra{\vz}\;\;\exists v\in V:\;b(v,w) \neq 0 } \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\>$} \begin{prova} Sia $A$ la matrice associata a $b$ rispetto alla base $B$.\\ Dobbiamo dimostrare che preso $v\in V,\;v \neq \vz$, esiste $w\in V$ t.c. \eal{&b(v,w) =\coord{v}{B}A\TR \coord{w}{B} \neq 0 } allora, \eal{&b\T{ non e' degenere } \= \rho(b)=\rho(A) = \dim V = n\\ &A\in K^{n,n},\;\rho(A)=n \> \det A \neq 0\\ &\T{Sia }X\in \K^{1,n}\\ &\det A \neq 0 \ubrace{\=}{\T{ per Cramer}} \T{ l'unica soluzione di }\;XA=(0,0,\dots,0)\;\T{ e' }X=(0,0,\dots,0)\\ &\\ &v \neq \vz \> \coord{v}{B} \neq (0,0,\dots,0) \> \coord{v}{B}A \neq (0,0,\dots,0) } Sia $ (u_1,u_2,\dots,u_n)=\coord{v}{B}A$ e supponiamo che $u_i$ sia il primo elemento non nullo. Allora, poniamo \eal{&Y=(0,0,\dots,0,\ubrace{1}{\T{posto }i-\T{esimo}},0,0\dots,0,0) } avremo allora \eal{&XAY=(XA)Y=\begin{pmatrix} 0&0&\ldots&0&u_i&u_{i+1}&\ldots&u_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\0\\\vdots\\\ubrace{1}{\T{posto }i-\T{esimo}}\\0\\\vdots\\0 \end{pmatrix}=(u_i) \neq 0\\ &XAY \neq 0 } Quindi, se come vettore $w$ scegliamo $w\in V:\;\coord{w}{B}=\TR Y$, avremo \eal{&b(v,w)=\coord{v}{B}A\TR \coord{w}{B}=XAY \neq 0 } \end{prova} \step{}{Dim $\<$} \begin{prova} Pensiamo in termini di componenti.\\ Se per assurdo presa una $X\in \K^{1,n}:\;\;X \neq (0,0,\dots,0)$ \eal{&XA=(0,0,\dots,0)} allora $\forall Y\;\; XAY=0$, questo e' assurdo, perche' per Hp \eal{\exists Y\in \K^{n,1}:\;\;XAY \neq 0} Quindi, \eal{&\forall X\in \K^{1,n}:\;\;X \neq (0,0,\dots,0) \;\;\;XA \neq (0,0,\dots,0) } Quindi, l'unica soluzione di $XA=(0,0,\dots,0)$ e' $X=(0,0,\dots,0)$, e percio' per Cramer, $\det A \neq 0$. \eal{&\det A \neq 0 \= \rho(A)=n \= b\T{ non degenere } } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{defn} \ilabel{indotta} Sia $b:\V\*\V\longrightarrow \K$ una forma bilineare.\\ Sia $U\(\V$ sottospazio.\\ La forma bilineare: \eal{ & b':U\*U\longrightarrow \K\\ &b'(v,w):=b(v,w) } si chiama \emph{indotta di $b$} su $U$ \end{defn} \begin{prop} \label{prop9489ej93} Sia $U\(\V$ sottospazio.\\ \eal{&b:\V\*\V\longrightarrow \K \T{ non degenere } \nRightarrow b':U\*U\longrightarrow \K\T{ non degenere }} dove $b'$ e' l'indotta di $b$ su $U$. \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Mostriamo un controesempio} \begin{prova} \def\rd{{\mathbb{R}^2}} Poniamoci in $\V=\rd$.\\ \eal{&b:\rd\*\rd \longrightarrow \mathbb{R}\\ &b(v,w)=\coord{v}{\varepsilon}A\TR \coord{w}{\varepsilon}\\ &A=\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}\\ &\rho(A)= 2\\ &U:=\Ll{e_1}=\Ll{(1,0)}\\ &\ove A =\begin{pmatrix} b(e_1,e_1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix}\\ &\rho(\ove A)=0 } quindi $A$ e' non degenere, mentre $\ove A$, una matrice associata a $b'$, lo e'.\\ A titolo dimostrativo, calcoliamo $A'$, la matrice associata di $b$ rispetto alla base $B=\pgra{(1,1),(1,-1)}$: \eal{&P_{B\to \varepsilon } = \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix}\\ &A'=\TR P_{B\to \varepsilon}AP_{B\to \varepsilon}= \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2&0\\ 0&-2 \end{pmatrix} } \end{prova} \qed \end{prova} \subsection{Ortogonalita'} Sia $b:\V\*\V\longrightarrow \K$ una forma bilineare \textbf{simmetrica}. \def\pb{{\perp_b}} \def\pbb{{\perp_{b'}}} \def\ppb#1{{{#1}^{\pb}}} \def\ppbb#1{{{#1}^{\pbb}}} \begin{defn} Presi $v,w\in \V$, diremo che \eal{&v\pb w\= b(v,w)=0 } Sia $S \( \V$, \eal{&S^{\pb}=\pgra{v\in \V\;|\;\forall w \in S \;\;v\pb w} } Siano $U,W\( \V$, diremo che \eal{&U\pb W \definizione{\=} U\( W^{\pb} \= W\( U^{\pb} } \end{defn} \begin{prop} \label{proportoestspaziovett} $S^{\pb}$ e' un sottospazio vettoriale di $\V$ \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} \eal{ &v,w\in S^{\pb}\= v\pb s,\;w\pb s \;\forall s \in S \;\;\= b(v,s)=b(w,s)=0\;\;\forall s\in S\\ &b(v+w,s)=b(v,s)+b(w,s)=0\=v+w\pb s\;\;\forall s\in S\;\;v+w\in S^{\pb}\\ &\\ &k\in \K\\ &b(kv,s)=kb(v,s)=0\;\;\forall s\in S\=kv\pb s\;\;\forall s\in S\= kv\in S^{\pb} } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop} \label{proportobase} Sia $U\( \V$ sottospazio vettoriale, e sia $C=\pgra{u_1,u_2,\dots,u_r}$ una sua base, allora preso un $v\in \V$, \eal{&v\in \ppb U \= v \pb u_i\;\;\forall i=1,2,\dots,r} In sostanza, per verificare che $v$ sta' in $\ppb U$, basta verificare che $v$ sia ortogonale con i vettori della base di $U$. \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\>$} \begin{prova} Per la definizione di $\ppb U$ e perche' $u_i\in U$. \end{prova} \step{}{Dim $\<$} \begin{prova} Preso un qualsiasi $u\in U$, possiamo scomporlo usando la base $C$: \eal{&u=\sumir a_i u_i} Quindi \eal{&b(v,u) = b(v,\sumir a_i u_i) =\sumir a_i\ubrace{b(v,u_i)}{=0} = 0\\ &\qq \> v \pb u } per l'arbitrarieta' di $u$, $v$ e' perpendicolare ad ogni $U$. \end{prova} \qed \end{prova} \begin{defn} \ilabel{radicale} $\V^{\pb}$ si chiama \emph{radicale di $\V$ rispetto a $b$} \end{defn} \begin{prop} \label{propcarattbnondegenereRadicale} $b:\V\*\V\longrightarrow \K$ forma bilineare simmetrica, \eal{&b\T{ e' non degenere } \= \V^{\pb}=\pgra{\vz} } \end{prop} \begin{prova} \pf Per la prop \see{propcarattbnondegenere} \eal{& b\T{ e' non degenere } \= \forall v\in \V:\;v \neq \vz\;\;\exists w\in \V:\;b(v,w) \neq 0\\ &\exists w\in \V:\;\;b(v,w) \neq 0 \= v \notin \V^{\pb}\;\;\forall v\in \V:\;v\neq \vz \= \V^{\pb}=\pgra{\vz} } \end{prova} \begin{prop} \label{propcarattbnondegenereRadicaleIndotta} Data la forma bilineare simmetrica $b:\V\*\V\longrightarrow \K$, sia $b'$ la sua indotta su $U$, si ha \eal{&b' \T{ e' non degenere } \= \ppb U \^ U=\pgra{\vz} } \end{prop} \begin{prova} \pf Per la prop \see{propcarattbnondegenereRadicale}, si ha \eal{& &b'\T{ e' non degenere } \= \ppbb U=\pgra{\vz} } $\ppbb U$ sono tutti quei vettori di $U$ ortogonali a tutti i vettori di $U$ tramite $b'$, cioe' $\ppbb U$ e' il radicale di $U$ rispetto a $b'$, quindi: \eal{&\ppbb U =\pgra{ v\in U\;|\; \forall u \in U\;\; v\pbb u } } Poiche' \eal{& v\pbb u \ubrace{\=}{\T{$b'$ e' l'indotta di $b$}} v\pb u } abbiamo \eal{&\ppbb U =\pgra{ v\in U\;|\; \forall u \in U\;\; v\pb u}=\ppb U \^ U } \end{prova} \begin{prop} \label{propdimppbU} Data $b:\V\*\V\longrightarrow \K$, forma bilineare simmetrica, \eal{&\sist{b\T{ non degenere }\\ U\( \V\T{ sottospazio} }\> \dim U +\dim \ppb U = \dim \V } \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} Sia $C=\pgra{u_1,u_2,\dots,u_r}$ una base di $U$. Completiamola a una base di $V$: \eal{&B=C\U \pgra{u_{r+1},\dots,u_n}} \step{}{Sappiamo per la prop \see{proportoestspaziovett} che $\ppb U$ e' uno spazio vettoriale. Calcoliamo le sue equazioni cartesiane.} \begin{prova} Sia $A$ la matrice associata a $b$ secondo la base $B$, cioe' $A_{ij}=b(u_i,u_j)$.\\ Per la prop \see{proportobase}, \eal{&v\in \ppb U \= v\pb u_i\;\forall i=1,2,\dots,r \= b(u_i,v)=0\;\forall i=1,2,\dots,r\=\\ &\= \coord{u_i}{B} A \TR \coord{v}{B} = 0 \; \forall i=1,2,\dots,r\;\;(1) } Poiche' \eal{\coord{u_i}{B}=(0,0,\dots,\ubrace{1}{i-\T{esimo posto}},0,0,\dots)}, si ha \eal{&\coord{u_i}{B} A \TR \coord{v}{B} = 0 \= A_{i} \TR\coord{v}{B} =0 } dove $A_i$ e' la riga $i$-esima di $A$.\\ Allora, il sistema $(1)$ equivale a \eal{&A'\TR \coord{v}{B} =\vz\;\;(2)} dove $A'$ e' la matrice formata dalle prime $r$ righe di $A$, e $\vz$ in questo caso e' la colonna tutta di zeri.\\ \step{}{$\rho(A')=r$} \begin{prova} Se per assurdo $\rho(A') < r$, allora ci sarebbe almeno una riga $A'_c$ di $A'$ dipendente dalle altre, ma le righe di $A'$ sono le prime $r$ di $A$, quindi $\rho(A) \dim U +\dim \ppb U = \dim \V } \end{prop} \begin{prova} \pf Basta usare la dimostrazione della proposizione \see{propdimppbU}. L'unica differenza e' che non e' necessario calcolare $\rho(A')$: \begin{prova} Sia $A''$ la sua matrice associata di $b'$. Poiche' $b'$ e' non degenere, $\rho(A'')=r=\dim U$ \\ $A''$ e' un minore di $A'$, quindi $\rho(A')\ge r$. Ma $A'$ ha $r$ righe, quindi $\rho(A')=r$. \end{prova} \qed \end{prova} \begin{cor} Data $b:\V\*\V\longrightarrow \K$ f.b. simmetrica, non degenere, e $U\( \V$ sottospazio, \eal{&\ppb{\pton{\ppb U}} = U} \end{cor} \begin{prova} \pf \step{}{$U \( \ppb{\ppb U}$} \begin{prova} \eal{ &\ppb U=\pgra{v\in V\;|\;v\pb u\;\;\forall u \in U}\\ &u\in U,\;v \in \ppb U \> u\pb v\\ &\qq \> \forall v \in \ppb U \;\;u\pb v \= u \in \ppb{\ppb U} =\pgra{v\in V\;|\; \forall w \in \ppb U\;\; v\pb w} } \end{prova} \eal{&\dim \ppb{\pton{\ppb U}} \ubrace{=}{prop \see{propdimppbU} } \dim \V - \dim \pton{\ppb U} = \dim \V- (\dim \V -\dim U)=\dim U\\ &\sist{\dim \ppb{\pton{\ppb U}} = \dim U\\ U \( \ppb{\ppb U} } \> U=\ppb{\ppb U} } \qed \end{prova} \begin{prop} \label{propnondegeVeqUxorppbU} Data $b:\V\*\V\longrightarrow \K$ f.b. simmetrica, e $U\( \V$ sottospazio, $b'$ indotta di $b$ su $U$ \eal{&b' \T{ e' non degenere } \= U+\ppb U = U\xor \ppb U} inoltre \eal{&b' \T{ e' non degenere } \= \V=U\xor \ppb U} \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\>$} \begin{prova} \eal{&b' \T{ e' non degenere } \ubrace{\=}{prop \see{propcarattbnondegenereRadicaleIndotta}} \ppb U \^ U =\pgra{\vz} \ubrace{\=}{\AL{sec:somma_diretta_prop} } \ppb U + U = \ppb U \xor U\\ &\dim \ppb U \xor U \ubrace{=}{\T{thm Grassman}} \dim \ppb U +\dim U \ubrace{=}{prop \see{propdimppbUII}} \dim \V \\ &\sist{\ppb U \xor U \( \V\\ \dim \ppb U \xor U = \dim \V } \> \ppb U \xor U = \V } \end{prova} \step{}{Dim $\<$} \begin{prova} Basta seguire a ritroso la prima riga del precedente passo. \end{prova} \qed \end{prova} \subsubsection{Isotropo} \begin{defn} \ilabel{isotropo} Data $b:\V\*\V\longrightarrow \K$ forma bilineare,\\ $v\in \V$ si dice \emph{isotropo} rispetto a $b\= b(v,v)=0$ \end{defn} \begin{prop} \label{propvettisotropodiversodazero} Tutti i vettori non isotropi sono diversi da $\vz$. \end{prop} \begin{prova} \pf Infatti, se per assurdo $u=\vz$, allora $b(u,u)=b(\vz,\vz)=0$ assurdo.\\\qed \end{prova} \begin{prop} \label{propvisotroposommadiretta} \eal{& v\in \V \T{ non isotropo rispetto a }b:\V\*\V\longrightarrow \K \T{ bilineare e simmetrica }\= \V=\Ll{v}\xor \ppb {\Ll{v}} } \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} \eal{&v\in \V \T{ non isotropo rispetto a }b \= b(v,v) \neq 0 \> A=(b(v,v)) \T{ e' non degenere} \>\\ &\qq \> b'\T{ indotta di }b\T{ su }\Ll{v} \T{ e' non degenere } \ubrace{\=}{prop \see{propnondegeVeqUxorppbU}} V=\Ll{v}\xor \ppb {\Ll{v}} } $A$ e' la matrice associata a $b'$, che in questo caso e' formata dal solo scalare $b(v,v)$. \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop} \eal{&\forall v \in \V^* \;\; v\T{ non isotropo rispetto a } b:\V\*\V\longrightarrow \K \T{ bilineare e simmetrica } \> \ppb \V=\pgra{\vz} \= b\T{ e' non deg.}\\ &\nLeftarrow } Ovvero, se tutti i vettori di $\V$, tranne lo $\vz$, non sono isotropi, allora $b$ e' non degenere. Non vale il viceversa. \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} Se per assurdo $\exists w\in \ppb \V:\;w \neq \vz$, allora \eal{&w\pb w \= b(w,w)=0 \= w \T{ e' isotropo } } assurdo. \end{prova} \step{}{Dim $\nLeftarrow$} \begin{prova} Consideriamo il controesempio della prop \see{prop9489ej93}: in $\mathbb{R}^2$, consideriamo \eal{&A=\begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix} } e sia $b$ la forma bilineare associata ad $A$ secondo la base $\pgra{e_1,e_2}$.\\ $A$ e' non degenere, ma $b(e_1,e_1)=A_{11}=0$. \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop} La contronominale della precedente proposizione: data $b:\V\*\V\longrightarrow K\T{ bil. e sym. } $ \eal{&b \T{ degenere } \> \exists v\in \V\-\pgra{\vz}:\;\;v\T{ e' isotropo rispetto } a b} \end{prop} \begin{prop} \label{propbsymalloraesistenonisotropo} Data $b:\V\*\V\longrightarrow \K$ forma bilineare, \eal{&\sist{b\T{ non nulla }\= \exists v,w\in \K:\;b(v,w) \neq 0\\ b\T{ simmetrica }} \> \exists u\in V:\;\;u\T{ non isotropo } } \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} Siano $v,w\in \K:\;b(v,w) \neq 0$.\\ Se $v$ o $w$ e' non isotropo, allora $u=v$ o $u=w$.\\ Se $v$ e $w$ sono isotropi, allora $u=v+w$: \eal{&v \neq w, \T{ infatti, se per assurdo $v=w$ allora }, b(v,w)=b(v,v)=0\T{ assurdo}\\ &b(v+w,v+w)=\ubrace{b(v,v)}{=0}+\ubrace{b(w,w)}{=0}+\ubrace{2b(v,w)}{\T{b e' sym}}=2b(v,w) \neq 0 } \end{prova} \qed \end{prova} \subsection{Forma quadratica} \begin{defn} Data $b:\V\*\V\longrightarrow \K$, forma bilineare, si definisce la seguente applicazione: \eal{&q:\V \longrightarrow \K\\ &q(v)=b(v,v) } \end{defn} \begin{prop} Se $b$ e' una f.b simmetrica \eal{&1.\;\;q(kv)=k^2q(v)\\ &2.\;\;2b(v,w)=q(v+w)-q(v)-q(w) } Dalla $2.$ segue che ogni $q$ determina univocamente la sua forma bilineare associata, che viene chiamata \emph{forma bilineare polare} di $q$. In altre parole, non possono esistere due forme bilineari distinte che hanno la stessa $q$. \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Dim. la $1.$} \begin{prova} \eal{&q(kv)=b(kv,kv)=kb(v,kv)=k^2b(v,v) } \end{prova} \step{}{Dim la $2.$} \begin{prova} \eal{&q(v+w)-q(v)-q(w) =b(v+w,w+v)-b(v,v)-b(w,w)=\\ &= b(v,w+v)+b(w,w+v)-b(v,v)-b(w,w)=\\ &= b(v,w)+\underline{b(v,v)}+b(w,w)+b(w,v)-\underline{b(v,v)}-b(w,w)= b(v,w)+b(w,v) \ubrace{=}{\T{b e' sym}} 2b(v,w) } \end{prova} \end{prova} \begin{prop} \label{propformapolinomdiq} Sia data $b:\V\*\V\longrightarrow \K$ e sia $B=\pgra{e_i}$ una base di $\V$.\\ Sia $A=(A_{ij})=(b(e_i,e_j))$ la matrice associata a $b$.\\ Allora, preso $v\in \V$ e posto $\coord{v}{B}=(x_1,x_2,\dots,x_n)$, \eal{&q(v)=b(v,v)=\coord{v}{B}A \TR \coord{v}{B} \ubrace{=}{prop\see{propformapolinomdib}} \sum_{i,j}^n A_{ij}x_ix_j \ubrace{=}{A\T{ e' sym}} \sumin A_{ii}x_i^2 + \sum_{j>i}^n2A_{ij}x_{i}x_{j}=\\ &\qq =A_{11}x_1^2+A_{22}x_2^2+\dots+A_{nn}x_n^2 \;+\; 2A_{12}x_1x_2+2A_{13}x_1x_3+2A_{23}x_2x_3+\dots+2A_{n-1,n}x_{n-1}x_n } quindi tutti i monomi di $q(v)$ sono di secondo grado. \end{prop} \subsection{Diagonalizzazione di b simmetrica} \begin{defn} \label{baseortonormale} Sia $B=\pgra{v_1,v_2,\dots,v_n}$ una base di $\V$. \eal{&B \T{ e' diagonalizzante o ortogonale }\definizione{\=} b(v_i,v_j)=0\;\;\forall i \neq j \= \\ &\qq \= \T{la matrice }A=(A_{ij})=(b(v_i, v_j))\T{ e' diagonale}\\ &B\T{ e' ortonormale } \definizione{\= } B\T{ e' diagonalizzante e }b(v_j,v_j)=1\;\;j=1,2,\dots,n\=\\ &\qq\= \T{la matrice }A=(A_{ij})=(b(v_i, v_j))\T{ e' la matrice identica}} \end{defn} \begin{prop} \label{propformaqvdiagonale} Preso $v\in \V$ e posto $\coord{v}{B}=(x_1,x_2,\dots,x_n)$, \eal{ &B\T{ diagonalizzabile } \= q(v)=b(v,v)= \sum_{i}^n A_{ii}x_i^2 =A_{11}x_1^2+A_{22}x_2^2+\dots+A_{nn}x_n^2\\ &B\T{ ortonormale } \= q(v)=b(v,v)= \sum_{i}^n x_i^2 =x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2 } ovvero, tutti monomi di sono di secondo grado e non ci sono termini misti. \end{prop} \begin{prova} \pf Deriva direttamente dalla definizione \see{baseortonormale}, e dalla prop \see{propformapolinomdiq}. \qed \end{prova} \begin{thm} \label{thmdiagonalizzazione} \eal{&b:\V\*\V\longrightarrow \K\T{ bilineare e simmetrica } \> \exists B'\T{ base di $\V$ diagonalizzante per $b$}} $B'$ non e' unica perche', ad esempio, $kB'$ e' un'altra base diagonalizzante. \end{thm} \begin{prova} \pf Daremo due dimostrazioni. Ogni dimostrazione da' anche un metodo costruttivo per trovare la base $B'$. \step{}{Dim $I$} \begin{prova} Se $b(v,w)=0\;\;\forall v,w\in \V$, allora ogni base e' diagonalizzante per $b$. Supponiamo quindi che \eal{\exists v,w\in \V:\;b(v,w) \neq 0\;\;(1)} Per la prop. \see{propbsymalloraesistenonisotropo}, $\exists u \in \V$ non isotropo.\\ Procediamo per induzione su $\dim V=n$. \step{}{$n=1$} \begin{prova} In questo caso ogni base $B=\pgra{e_1}$ e' diagonalizzante. \end{prova} \step{}{Dimostriamo $P(n-1) \> P(n)$, dove $P()$ e' la tesi} \begin{prova} Supponiamo che $P(n-1)$ sia vera.\\ Poiche' $u$ e' non isotropo, per la prop \see{propvisotroposommadiretta}, si ha \eal{&\V=\Ll{u}\xor \ppb {\Ll{u}}\;\;(2)\\ &\dim \ppb{\Ll{u}}=\dim \V-\dim \Ll{u} = n-1\;\;(2.1) } Consideriamo l'indotta $b'$ di $b$ su $\ppb {\Ll{u}}$. \eal{& (2.1) \ubrace{\>}{P(n-1)\T{ vera}} \exists B''=\pgra{e_1,e_2,\dots,e_{n-1}}\T{ base di } \ppb {\Ll{u}} \T{ diag. per $b'$ }\;\;(2.3) } Completiamo $B''$ con $u$ ottendo $B'=B''\U\pgra{u}$.\\ Per la $(2)$, $B'$ e' una base di $\V$. Controlliamo che sia diagonalizzante: \eal{&(2.3) \> b(e_i,e_j)=0\;\;\forall i \neq j } resta da controllare $u$: \eal{&B''\( \ppb {\Ll{u}} \> e_i\in \ppb {\Ll{u}} \;\; \> e_i\pb u \= b(e_i,u)=0 } quindi $B'$ e' una base diagonalizzante per $b$. \end{prova} \step{}{Descriviamo il metodo costruttivo} \begin{prova} \begin{enumerate} \item Se non esistono vettori non isotropi di $\V$, ovvero se tutti i vettori sono isotropi, allora per la contronominale della prop. \see{propbsymalloraesistenonisotropo} si ha \eal{&\forall v,w\in \V\;\;b(v,w)=0} e quindi ogni base e' diagonalizzante. \item Troviamo un vettore $u$ non isotropo di $\V$.\\ Se conosciamo due vettori $v,w$ isotropi, tali che $b(v,w) \neq 0$, allora $u=v+w$. \item Troviamo l'equazioni di $\ppb {\Ll{u}}$, usando il metodo visto nella dimostrazione della prop \see{propdimppbU}, ovvero cerchiamo quel generico vettore $w\in \V$ tale che \eal{&b(w,u)=0} \item Adesso dobbiamo trovare una base $B_1$ diagonalizzante per $b'$, ovvero, l'indotta di $b$ su $\ppb {\Ll{u}}$.\\ Se $\dim \ppb {\Ll{u}}=1$, abbiamo finito: $B_1$ e' formata da un qualsiasi vettore di $\ppb {\Ll{u}}$, altrimenti, ricursivamente, ripartiamo dal passo $1:$ \begin{enumerate} \item sia $b':\ppb {\Ll{u}}\longrightarrow \K$ l'indotta di $b$ su $\ppb {\Ll{u}}$ \item dobbiamo trovare un vettore $u_1 \in \ppb {\Ll{u}}$ non isotropo.\\ Se non esistono vettori non isotropi, allora ogni base $\pgra{u_1,\dots,u_{n-1}}$ di $ \ppb {\Ll{u}}$ e' diagonalizzante per $b'$ e possiamo evitare di andare oltre. Altrimenti, per trovare $u_1$, imponiamo \eal{&\sist{u_1\in \ppb {\Ll{u}}\\ b(u_1,u_1) \neq 0 }} \item Troviamo le equazioni di $\Ll{u_1}^{\perp_{b'}}$. Per far cio', dobbiamo trovare quel generico vettore $w$ tale che \eal{&b'(w,u_1)=0 \= \sist{b(w,u_1)=0\\ w\in \ppb {\Ll{u}}} } per imporre che $w\in \ppb {\Ll{u}}$ e' sufficiente usare le equazioni di $ \ppb {\Ll{u}}$ che abbiamo gia' trovato prima. \item Troviamo una base $B_2$ diagonalizzante per $b$ indotta su $\Ll{u_1}^{\perp_{b'}}$.\\ Se $\dim \Ll{u_1}^{\perp_{b'}}=1$, una qualsiasi base e' diagonalizzante,\\ altrimenti procediamo ricursivamente: troviamo un vettore $u_2\in \Ll{u_1}^{\perp_{b'}}$ non isotropo, \dots \end{enumerate} \item La base diagonalizzante per $b$ sara' $\pgra{u,u_1,u_2,\dots,u_{n-1}}$ \end{enumerate} \qed \end{prova} \step{}{Dim II} \begin{prova} Se $b$ e' nulla, ogni base e' diagonalizzante. Supponiamo che $b$ non sia nulla, ovvero \eal{&\exists w,w'\in \V:\;b(w,w') \neq 0} allora per la prop \see{propbsymalloraesistenonisotropo}, $\exists u \in \V$ non isotropo.\\ Procediamo per induzione su $\dim V=n$. La tesi induttiva $P(n)$ e': $q(v)$ e' una forma qudratica diagonalizzabile e si puo' scrivere come: \eal{& q(v)= \alpha_1(x_1+h_{12}x_2+\dots+h_{1n}x_n)^2+ \\ &\qq + \alpha_2(x_2+h_{23}x_2+\dots+h_{2n}x_n)^2+\dots+ \alpha_n x_n^2\\ &\T{ con } \alpha_i \neq 0,\;\;i=1,2,\dots,n } \step{}{$n=1$} \begin{prova} In questo caso ogni base $B=\pgra{e_1}$ e' diagonalizzante e per la prop \see{propformaqvdiagonale}, si ha \eal{&q(v)=x_1^2} con $\coord{v}{B}=(x_1)$. \end{prova} \step{}{Dimostriamo $P(n-1) \> P(n)$, dove $P()$ e' la tesi} \begin{prova} Supponiamo che $P(n-1)$ sia vera.\\ Sia $B=\pgra{u_1,u_2,\dots,u_n}$ una base di $\V$ in cui $u_1$ e' non isotropo. Possiamo sempre formare questa base: basta considerare $u$ e completarlo con altri $n-1$ vettori l.i di $\V$.\\ Consideriamo $A=(A_{ij})=(b(u_i,u_j))$, e sia $v\in \V,\;\coord{v}{B}=(x_1,x_2,\dots,x_n)$, allora per la prop \see{propformapolinomdiq}, \eal{&q(v)=\sumin A_{ii}x_i^2 + \sum_{j>i}^n2A_{ij}x_{i}x_{j} = \\ & \ubrace{=}{(*)} A_{11}x_1^2+\sum_{j=2}^n 2A_{1j}x_{1}x_{j} + \ubrace{\sum_{i=2}^n A_{ii}x_i^2 + \sum_{j>i}^n2A_{ij}x_{i}x_{j}}{F}=\\ &\qq u_1\T{ non isotropo } \= b(u_1,u_1) \neq 0 \= A_{11} \neq 0\\ &= A_{11}\pton{x_1^2+\sum_{j=2}^n 2A_{11}^{-1}A_{1j}x_{1}x_{j} } + F = \\ & \ubrace{=}{(**)} A_{11}\pton{x_1+\sum_{j=2}^nA_{11}^{-1} A_{1j}x_{j} }^2 - \ubrace{A_{11} \pton{\sum_{j=2}^n (A_{11}^{-1}A_{1j}x_{j} )^2 - (\T{i vari doppi prodotti})} +F}{\ove F} =\\ &= A_{11}\pton{x_1+\sum_{j=2}^n A_{11}^{-1}A_{1j}x_{j} }^2 - \ove F \;\;(1) } (*) In sostanza abbiamo preso tutti i termini con $x_1$ e li abbiamo esclusi dal resto.\\ (**) Metodo del completamento dei quadrati.\\ In $\ove F$ non ci sono monomi con la $x_1$, quindi $\ove F$ ha $n-1$ variabili.\\ Allora, $\ove F$ individua una forma quadratica $\ove q:W\*W \longrightarrow \K$ la cui matrice associata $\ove A\in \K^{n-1,n-1}$. Ovvero, $\dim W=n-1$. Allora, per l'ipotesi induttiva, $\ove q$ e' diagonalizzabile e possiamo scrivere $q(v)=\ove F$ come \eal{&q(v)=\ove F = \sum_{i=2}^n \ove A_{ii}y_i^2 } dove \eal{& y_i=x_i+h_{i,i+1}x_{i+1}+\dots+h_{i,n}x_n\;\;i=2,3,\dots,n-1\\ &y_n=x_n } Allora se nella $(1)$ poniamo \eal{y_1=x_1+\sum_{j=2}^n A_{11}^{-1}A_{1j}x_{j}} avremo \eal{&q(v)=A_{11}y_1^2+\sum_{i=2}^n \ove A_{ii}y_i^2 } Questo e' un polinomio omogeneo di secondo grado senza termini misti, quindi sempre per la \see{propformaqvdiagonale}, $q$ e' una forma quadratica diagonalizzante.\\ Dai coefficienti di $q(v)$ ricaviamo la sua nuova matrice diagonale associata $A'$.\\ $A'$ sara' relativa a qualche base $B'=\pgra{e_1',\dots,e_n'}$, che e' la base che cerchiamo. Si tratta adesso di capire chi e'.\\ Poiche' conosciamo gia' le relazioni tra le componenti del generico vettore $v$ in $B$ e quelle in $B'$, possiamo costruire la matrice di passaggio: \eal{& \sist{y_1=x_1+\sum_{j=2}^nA_{11}^{-1}A_{1j}x_{j}\\ y_2=x_2+h_{2,3}x_{3}+\dots+h_{2,n}x_n\\ \dots\\ y_n=x_n }\\ &\ubrace{\longrightarrow }{\T{ricaviamo le $x$ in funzione delle $y$ }} \sist{ x_n=y_n\\ x_{n-1}=y_{n-1}- h_{n-1,n}x_{n}=y_{n-1}- h_{n-1,n}y_{n}\\ \dots\\ x_1=y_1-\sum_{j=2}^n\beta_jy_{j} }\\ &\T{ che espresso mediante matrici: }\\ &\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \ldots\\ x_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1& \beta_2& \beta_3 & \ldots & \ldots & \beta_{n-1}&\beta_n\\ 0&1&*&*&\ldots&*&*\\ 0&0&1&*&\ldots&*&*\\ \vdots\\ 0&0&0&0&\ldots&1&- h_{n-1,n}\\ 0&0&0&0&\ldots&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1\\y_2\\\ldots\\y_n \end{pmatrix} } la matrice $P$ nel mezzo e' la nostra matrice $P_{B'\to B}$, infatti $\det P=1 \neq 0$ (nota \footnote{$\det P=1$ perche' $P$ e' diagonale, quindi il det e' il prodotto degli elementi della diagonale.})\\ A questo punto, conoscendo $P_{B'\to B}$ possiamo ricavarci i vettori di $B'$: per definizione di matrice di passaggio, si ha che $P^j=\coord{e_j'}{B}$, dove $P^i$ e' la colonna $j$-esima di $P$. Allora \eal{&\coord{e_j'}{B}=P^j\;\;\forall i=1,2,\dots,n \> e_j'=\sumin P_{ij} e_i\\ } ecco che abbiamo trovato i vettori di $B'$. \end{prova} \step{}{Il metodo costruttivo relativo a questa dimostrazione, consiste semplicemente nel seguire i passi della dimostrazione, con l'accortezza che quando bisogna usare l'ipotesi induttiva, si deve procedere ricursivamente.} \begin{prova} Se poi ci troviamo in una situazione del tipo: \eal{ &q(v)=x_1x_2\T{ rispetto alla base $B=\pgra{e_1,e_2,\dots,e_n}$}} allora, si puo' effettuare una sostituzione del tipo \eal{&\sist{x_1=y_1-y_2\\ x_2=y_1+y_2} \;\;(1)} questa sostituzione e' lecita perche' il sistema $(1)$ nelle incognite $y_1,y_2$ ammette un'unica soluzione, avendo determinante delle matrice dei coefficienti non nulla: \eal{&\det \begin{pmatrix} 1&-1\\ 1&1 \end{pmatrix} = 2} otteniamo \eal{&q(v)=(y_1-y_2)(y_1+y_2)=y_1^2-y_2^2} La base diagonalizzante si puo' ricavare direttamente dalla $(1)$: \eal{ & \begin{pmatrix} 1&-1\\ 1&1 \end{pmatrix} \T{ e' la matrice di passaggio } \\ &B=\{e_1+e_2,-e_1+e_2\} \T{ e' la base diagonalizzante }} \end{prova} \end{prova} \end{prova} \qed \end{prova} \begin{cor} \label{cordiagonalizzOssVarie} Nelle ipotesi del thm \see{thmdiagonalizzazione}, considerando le matrici $A,A'$ associate a $b$ rispettivamente alle basi $B,B'$, dove $B'$ e' la base diagonalizzante per $b$ , si ha \eal{&A=\TR P_{B\to B'} A' P_{B\to B'}\\ &\T{$A'$ e' diagonale}} Inoltre se $b$ e' non degenere, ogni elemento della diagonale di $A'$ e' non nullo. \end{cor} \begin{prova} \pf Poiche' $A,A$' sono associate alla stessa forma bilineare $b$, per la prop \see{formebilpassaggiodibase} si ha la tesi.\\ $A'$ e' diagonale perche' associata a $b$ rispetto alla base $B'$. $B'$ e' la base diagonalizzante per $b$.\\ Se per assurdo ci fosse un elemento nullo nella diagonale di $A'$, \eal{&\rho(A') b\T{ degenere }} assurdo. \qed \end{prova} \begin{cor}\label{cordiagonalizzAsymAdiag} \eal{&A\in \Sym(n,\K) \> \exists A'\in \Sym(n,\K)\T{ diagonale t.c. }A\sim A' } \end{cor} \begin{prova} \pf Per l'isomorfismo \see{isombvkeKnnSYM}, ogni $A\in \Sym(n,\K)$, determina una $b:\V\*\V \longrightarrow \K $ simmetrica. Per il thm \see{thmdiagonalizzazione}, esiste la base $B'=\pgra{e_1',\dots,e_n'}$ diagonalizzante per $b$, che determinera' una $A'\in \Sym(n,\K)$ diagonale, cioe' \eal{&A'_{ij}=b(e_i',e_j')\T{ e' diagonale } } Allora, poiche' $A,A'$ sono associate alla stessa $b$, per la prop, \see{propAsimAssebeqbb} si ha $A\sim A'$. \qed \end{prova} \begin{thm} \label{thmdiagonalizzazionecanonica} Data $b:\V\*\V\longrightarrow \K$, forma bilineare simmetrica, con $\K$ campo algebricamente chiuso\footnote{ Un campo $\K$ e' algebricamente chiuso se ogni polinomio diverso dal polinomio nullo ha una radice in $\K$. \\ Ad esempio, $\C$ e' algebricamente chiuso perche' ogni polinomio in $\mathbb{C}$ ammette radici (teorema fondamentale dell'algebra).\\ $\mathbb{R}$ non e' algebricamente chiuso: \eal{&x^2=-1} non ha soluzioni in $\mathbb{R}$. } , allora $\exists $ una base (non unica) $B'=\pgra{e_1',\dots,e_n'}$ diagonalizzante per $b$ e tale che considerando $A'=(b(e_i', e_j'))$, si abbia \eal{& A'=\begin{pmatrix} I_r & \vz_1\\ \vz_2 & \vz_3 \end{pmatrix} } dove $r=\rho(b)$, $I_r$ e' la matrice identica di ordine $r$, e $\vz_1 \in \K^{r,n-r}, \vz_2 \in \K^{n-r,r},\vz_1 \in \K^{n-r,n-r}$. Ovvero, \eal{&A'_{ij}=\sist{1& i=j,\;\;i\le r\\ 0&\T{ altrimenti}}} o in altri termini, $A'$ e' del tipo \eal{& A'=\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &0& 0&0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 &1& 0 &0 &0&0 & 0 & \ldots & 0 \\ & & \ddots\\ 0 &0 &0 & 1 &0 &0& 0 & \ldots & 0 \\ 0 &0 &\ldots &0&0&0&0&\ldots & 0\\ \vdots\\ 0 &0 &\ldots &0&0&0&0&\ldots & 0 \end{pmatrix}} \end{thm} \begin{prova} \pf \begin{prova} Per il thm \see{thmdiagonalizzazione}, esiste una base $B=\pgra{e_1,\dots,e_n}$ diagonalizzante per $b$. Sia $A$ la matrice associata a $b$ relativa a $B$, cioe' $A=(b(e_i,e_j))$.\\ Possiamo riordinare i vettori di $B$, mettendo per primi i vettori non isotropi, otteniamo cosi' la base: \eal{&\pgra{u_1,\dots,u_n}} \step{}{I vettori non isotropi devono essere necessariamente $r$, ovvero $\pgra{u_1,\dots,u_r}$ sono isotropi, i rimanenti $n-r$ no.} \begin{prova} Poiche' $A$ e' diagonale, il suo rango $\rho(A)$ e' uguale al numero degli elementi non nulli della sua diagonale. Ma poiche' \eal{&A_{ii}=b(e_i,e_i) \neq 0 \> e_i\T{ non isotropo }} abbiamo che gli elementi non nulli sono tanti quanti gli elementi non isotropi. \end{prova} A questo punto, basta costruire la base \eal{&B'=\pgra{\ubrace{\frac{u_1}{\sqrt{b(u_1,u_1)}} }{w_1} , \ubrace{\frac{u_2}{\sqrt{b(u_2,u_2)}}}{w_2},\dots, , \ubrace{\frac{u_r}{\sqrt{b(u_r,u_r)}}}{w_r}, \ubrace{u_{r+1}}{w_{r+1}}, \dots, \ubrace{u_n}{w_n} }=\\ &= \pgra{w_1,w_2,\dots,w_n}} E' lecito calcolare $\sqrt{b(u_r,u_r)}$, perche' $\K$ e' algebricamente chiuso.\\ La matrice $A'=(b(w_i,w_j))$, e' quella cercata, infatti, scelto $i\le r$, \eal{&b(w_i,w_i)=b \pton{\frac{u_i}{\sqrt{b(u_i,u_i)}},{\frac{u_i}{\sqrt{b(u_i,u_i)}}}} \ubrace{=}{\T{b e' bilineare}} \\ &=\pton{\frac{1}{\sqrt{b(u_i,u_i)}}} ^2 b(u_i,u_i) \ubrace{=}{\T{$u_i$ e' non isotropo }} = 1 } Scelto invece $i > r$: \eal{&b(w_i,w_i)=b(u_i, u_i) \ubrace{=}{\T{$u_i$ e' isotropo } } 0} e infine, scelto $i \neq j$ \eal{&b(w_i,w_j) \ubrace{=}{\T{e' diagonale}} 0} \end{prova} \end{prova} \begin{cor} \label{corthmdiagonalizzazionecanonica} Se $\K$ e' algebricamente chiuso, si ha \eal{&A\in \Sym(n,\K) \> A \sim A',\\ &\T{ con } A'_{ij}=\sist{1& i=j,\;\;i\le \rho(A)\\ 0&\T{ altrimenti}}} \end{cor} \begin{prova} \pf Per l'isomorfismo \see{isombvkeKnnSYM}, ogni $A\in \Sym(n,\K)$, determina una $b:\V\*\V \longrightarrow \K $ simmetrica. Per il thm \see{thmdiagonalizzazionecanonica}, esiste la base $B'=\pgra{e_i'}$ diagonalizzante per $b$ tale che \eal{& A'_{ij}=b(e_i',e_j')=\sist{1& i=j,\;\;i\le \rho(b)=\rho(A)\\ 0&\T{ altrimenti}} } Allora, poiche' $A,A'$ sono associate alla stessa $b$, per la prop, \see{propAsimAssebeqbb} si ha $A\sim A'$. \qed \end{prova} \begin{thm} \label{thmdiagonalizzazionecanonicaII} Data $b:\V\*\V\longrightarrow \K$, forma bilineare simmetrica, con $\K=\mathbb{R}$ , allora $\exists $ una base $B'=\pgra{e_1',\dots,e_n'}$ diagonalizzante per $b$ e tale che considerando $A'=(b(e_i', e_j'))$, si abbia \eal{& A'=\begin{pmatrix} I_p & \vz & \vz\\ \vz & -I_{r-p} & \vz\\ \vz & \vz & \vz \end{pmatrix} } dove $r=\rho(b)$ e $p\le r$.\\ Ovvero, \eal{& A'_{ij}=\sist{1& i=j,\;\;i\le p\\ -1 & i=j,\;\; p0$ non ha senso in $\mathbb{R}$, al posto di \eal{&w_i=\frac{u_i}{\sqrt{b(u_i,u_i)}} } bisogna porre \eal{& w_i=\frac{u_i}{\sqrt{|b(u_i,u_i)|}} } e quindi avremo $b(w_i,w_i)=\pm 1$.\\ A questo punto si tratta di riordinare $B'$, mettendo per primi i vettori $w_i$ tali che $b(w_i,w_i)=1$, e dopo i vettori t.c. $b(w_i,w_i)=-1$. \end{prova} \step{}{Dimostriamo che $p$ e' indipendente da $b$} \begin{prova} Supponiamo per assurdo che $t \neq p$. Supponiamo inoltre $p>t$.\\ Siano dati i seguenti sottospazi vettoriali: \eal{&U=\Ll{e_1',e_2',\dots,e_p'}\\ &W=\Ll{e_{t+1}'', \dots, e_{n}''} } allora \eal{&\dim U +W \ubrace{=}{\T{Grassman}} \dim U +\dim W -\dim U\^W=p+(n-t)-\dim U\^W \\ &U +W \( \V \> \dim U+W \le \dim \V=n \= p+(n-t)-\dim U\^W \le n \= p-t-\dim U\^W \le 0 } ma poiche' $\dim U+W$ non puo' essere negativa, si deve avere \eal{&\dim U+ W = 0 \= \dim U\^W = p-t \ubrace{>}{p>t}0\\ &\dim U\^W >0 \> \exists u\in U\^W:\;u \neq \vz\\ &u\in U \> u=a_1e_1'+a_2e_2'+\dots+a_pe_p'+0e_{p+1}' +\dots+0e_n'\\ &\qq \=\coord{u}{B'} = (a_1,a_2,\dots,a_p,0,0,\dots,0) \\ &\qq u \neq \vz \> \exists j\le p:\;\;a_j \neq 0\;\;(2.1)\\ &u\in W \> u= 0e_{1}'' +\dots+0e_t'+b_{t+1}e_{t+1}''+b_{t+2}e_{t+2}''+\dots+b_{n}e_n''\\ &\qq \= \coord{u}{B''}=(0,0,\dots,0,b_{t+1}, b_{t+2},\dots,b_n)\\ &\qq u \neq \vz \> \exists j\ge t+1:\;\;b_j \neq 0\;\;(2.2)\\ } Consideriamo \eal{ &\coord{v}{B'}=(x_1,x_2,\dots,x_n)\\ &\coord{v}{B''}=(y_1,y_2,\dots,y_n)\\ } Poiche' $B'$ e' diagonalizzante, per la prop \see{propformaqvdiagonale} si ha \eal{&q(v)=\coord{v}{B'} A' \TR \coord{v}{B'} = \sumin A'_{ii}x_i^2 \ubrace{=}{\T{def. di $A'$}} \sum_{i=1}^{p} x_i^2 -\sum_{i=p+1}^{r}x_i^2 } quindi \eal{&q(u)= \sum_{i=1}^{p} a_i^2 -\sum_{i=p+1}^{r} 0 = \sum_{i=1}^{p} a_i^2 \ubrace{>}{(2.1)} 0 } Lo stesso vale per $B''$: \eal{&q(v) = \sum_{i=1}^{t} x_i^2 -\sum_{i=t+1}^{r}x_i^2\\ &q(u)= \sum_{i=1}^{t} 0 -\sum_{i=t+1}^{r}b_i^2 = -\sum_{i=t+1}^{r}b_i^2 \ubrace{<}{(2.2)} 0 } Ma allora, \eal{&\sist{q(u) > 0\\ q(u)< 0} \T{ assurdo }} \end{prova} \qed \end{prova} \begin{cor} \label{corthmdiagonalizzazionecanonicaII} Si ha \eal{&A\in \Sym(n,\mathbb{R}) \> A \sim A',\\ &\T{ con } A'_{ij}=\sist{1& i=j,\;\;i\le p\\ -1 & i=j,\;\; p0\;\;\forall v\in \V:\;v\neq \vz$\\ $q$ si dira' definita negativamente sse $q(v)<0\;\;\forall v\in \V:\;v\neq \vz$\\ $q$ si dira' semidefinita positivamente sse $q(v) \ge 0\;\;\forall v\in \V:\;v\neq \vz$\\ $q$ si dira' semidefinita negativamente sse $q(v) \le 0\;\;\forall v\in \V:\;v\neq \vz$\\ La matrice $A$ si dira' definita positivamente sse la forma quadratica $q(v)$ che essa induce e' definita positivamente.\\ Analogamente per gli altri casi.\\ Nota: queste definizioni hanno senso solo per campi $\K$ che sono dei POSET. Ad esempio, in $\mathbb{C}$ non ha' senso dire $q(v)>0$. Per questo motivo, possiamo restringerci in $\K=\mathbb{R}$. \end{defn} \begin{prop} \label{definitapositivaalloranondegenere} Se $q$ e' definita positivamente o negativamente $\>$ $q$ e' non degenere. \end{prop} \begin{prova} \pf Consideriamo la matrice $A$ che diagonalizza $q$. Poiche' $q$ e' definita positivamente, $q(e_i)>0$ e quindi $A_{ii} > 0$. Poiche' non esiste alcun elemento nullo nella diagonale principale, e poiche' $A$ e' diagonale, $A$ ha rango massimo. \qed \end{prova} \begin{prop} Data $B=\pgra{e_1,\dots,e_n}\T{ base \textbf{diagonalizzante} per }q$, si ha \eal{ &q(e_i) >0 \;\;\forall i=1,2,\dots,n \= q\T{ e' definita positivamente }\\ &q(e_i) <0 \;\;\forall i=1,2,\dots,n \= q\T{ e' definita negativamente } } \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\<$} \begin{prova} \eal{&q\T{ e' definita positivamente } \= q(v)>0\;\;\forall v\in \V:\;v\neq \vz \> q(e_i) >0 \;\;\forall i=1,2,\dots,n } \end{prova} \step{}{Dim $\>$} \begin{prova} Data $A=(b(e_i,e_j))$, per la prop \see{propformaqvdiagonale}, preso $v \neq \vz $ si ha \eal{& q(v) \ubrace{=}{B \T{ e' diagonalizzante}} \sumin A_{ii}x_i^2\\ &\qq q(e_i) > 0 \= b(e_i,e_i) > 0 \= A_{ii} >0\\ &\> \sumin A_{ii}x_i^2 >0 } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop}\qq\\ \label{carattdefinitaposdefinitaneg} Una matrice $A\in \Sym(n,\mathbb{R})$ e' definita positivamente $\= D_1,D_2,\dots,D_n >0$.\\ $A$ e' definita negativamente $\=D_1 <0, D_2>0, D_3<0,\dots$,\\ Dove $D_i$ e' il minore principale di $A$ di ordine $i$ (nota \footnote{Per la definizione di minore principale vedi \AL{minoreprincipale}}) \end{prop} \section{Spazio vettoriale euclideo} \def\.{{\mathbf{\cdot}}} \begin{defn} Sia dato $\V$ spazio vettoriale su $\K$, dove $\K$ e' un campo POSET (ad esempio, $\mathbb{R}$).\\ \eal{&b\T{ e' un prodotto scalare } \definizione{\=} b:\V\*\V\longrightarrow \K \T{ e' una forma bilineare simmetrica definita positiva }} Useremo la seguente notazione: \eal{&b(v,w)=v\.w } Per la proposizione \see{definitapositivaalloranondegenere}, $b$ e' non degenere \end{defn} \begin{prop} \label{propvnonnega} \label{propvscalvnonnega} \eal{&v\.v \ge 0\\ &v\.v = 0 \= v=\vz} \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} Per definizione $v\.v=b(v,v)=q(v)$.\\ Per quanto visto in \see{forma canonica} possiamo scrivere $q$ in forma canonica: \eal{& q(v)= \sum_{i=1}^{p} x_i^2 -\sum_{i=p+1}^{r}x_i^2 = x_1^2+x_2^2+\dots+x_p^2-x_{p+1}^2-x_{p+2}^2-\dots-x_r^2 } e poiche' $\.$ e' definita positiva, la sua segnatura sara' $(n,0)$, ovvero \eal{& q(v)= \sum_{i=1}^{n} x_i^2 } quindi $q(v)\ge 0$.\\ Infine, \eal{&q(v)=0 \= x_i=0\;\forall i=1,2,\dots,n \= [v]=\vz \= v=\vz } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop} \ilabel{schwartz} Disuguaglianza di Schwartz \eal{&(v\.w)^2 \le (v\.v)( w\.w) } l'uguaglianza vale $ \= v\parallel w$ \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} \eal{&(v\.w)^2 \le (v\.v) (w\.w) \= (v\.w)^2 - (v\.v)(w\.w) \le 0 } Interpretiamo $(v\.w)^2 - (v\.v)( w\.w )$ come il determinante $\frac{\Delta}{4}$ di un trinomio: \eal{&\frac{b^2}{4} = (v\.w)^2 \> b = 2v\.w \\ &ac= (v\.v)(w\.w) \> a=v\.v,\;\;c=w\.w\\ &(v\.v)x^2+2(v\.w)x+w\.w } ma questo trinomio non e' altro che \eal{&(v\.v)x^2+2(v\.w)x+w\.w = (xv)\.(xv)+(xv\.w)+(xv\.w)+w\.w =(xv+w)\.(xv+w) } e per la prop \see{propvscalvnonnega}, $(xv+w)\.(xv+w)\ge 0\;\;\forall x\in \mathbb{R}$, allora \eal{&(v\.v)x^2+2(v\.w)x+w\.w \ge 0 \;\;\forall x\in \mathbb{R} } e quindi e' vero che $\frac{\Delta}{4}\le 0$, ovvero la tesi e' vera.\\ Inoltre, \eal{& \frac{\Delta}{4} = 0 \= \T{il trinomio }=(xv+w)\.(xv+w)= 0 \= xv+w =\vz \= xv=-w \= v\parallel w } \qed \end{prova} \end{prova} \begin{defn} Uno spazio vettoriale $\V$ dotato di prodotto scalare viene detto \emph{spazio vettoriale euclideo}. \end{defn} \begin{defn} Una norma $f$ e' una funzione $f:\V\longrightarrow \K$ tale che $\forall v,w\in \V,\;\;\forall k\in \mathbb{R}$ si ha \eal{ &f(v) \ge 0\\ &f(v) = 0 \= v=\vz\\ &f(kv)=|k|f(v)\\ &f(v+w)\le f(v)+f(w) } \end{defn} \begin{prop} \label{propnormaeuclidea} In uno spazio euclideo $\V$, consideriamo la funzione \eal{&\norm{-}:\V\longrightarrow \K\\ &\norm v = \sqrt{v\.v} } Questa funzione e' una norma, ovvero \eal{&\norm v \ge 0\\&\norm v =0\= v=\vz\\ &\norm {kv} = |k|\norm v\\ &\norm {v+w} \le \norm v + \norm w \T{ Inoltre, l'uguaglianza vale $\= v\parallel w$}\\ } \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{$\norm v \ge 0$} \begin{prova} \eal{&\norm v = \sqrt{\ubrace{v\.v}{\ge 0 \T{ prop \see{propvscalvnonnega}}}} \ge 0} \end{prova} \step{}{$\norm v =0\= v=\vz$} \begin{prova} \eal{&\norm v = 0 \= v\.v=0 \ubrace{\=}{\T{ prop \see{propvscalvnonnega}}} v=\vz } \end{prova} \step{}{$\norm {kv} = |k|\norm v$} \begin{prova} \eal{&\norm {kv} = \sqrt{kv\.kv}=\sqrt{q(kv)}=\sqrt{k^2q(v)}=|k|\sqrt{q(v)}=|k|\sqrt{v\.v}=|k|\norm v } \end{prova} \step{}{$\norm {v+w} \le \norm v + \norm w$} \begin{prova} \eal{&\norm {v+w} \le \norm v + \norm w \= (\norm {v+w})^2 \le (\norm v + \norm w)^2 \\ &\= (v+w)\.(v+w) \le v\.v+w\.w+2\norm v\norm w \\ &\= v\.v+w\.w +2v\.w \le v\.v+w\.w+2\norm v\norm w \\ &\= v\.w \le \norm v\norm w = \sqrt{v\.v}\sqrt{w\.w}\\ &\= v\.w \le \sqrt{v\.v}\sqrt{w\.w}\\ &\= v\.w \le |v\.w | \le \sqrt{v\.v}\sqrt{w\.w} \T{ vera per la prop. \see{schwartz}} } \end{prova} \end{prova} \begin{prop} \label{propschwartznormalizzato} Usando la norma, la disuguaglianza di Schwartz diventa: \eal{&|v\.w| \le \norm v\norm w } se inoltre $v,w \neq \vz$ abbiamo: \eal{& \frac{|v\.w|}{\norm v\norm w } \le 1 } \end{prop} \begin{defn} \label{angolovettori} Dati i vettori $v,w \neq \vz$, \eal{&\exists ! \alpha \in [0,\pi]:\;\;\cos \alpha = \frac{v\.w}{\norm v\norm w } \\ &\alpha = \arccos \frac{|v\.w|}{\norm v\norm w } } $\alpha$ viene chiamato \emph{l'angolo convesso} compreso tra $v,w$.\\ Questa definizione ha senso grazie alle proprieta' della norma e alla prop. \see{propschwartznormalizzato}: \eal{& \norm v, \norm w \ge 0;\;\;\;\;\frac{|v\.w|}{\norm v\norm w } \le 1 \= -1\le \frac{v\.w}{\norm v\norm w } \le 1 } Osserviamo anche che se $v\perp w$ allora \eal{&v\perp w \= b(v,w) =0 \= v\.w = 0 \= \cos \alpha = \frac{|v\.w|}{\norm v\norm w } =0 \= \alpha=\frac{\pi}{2} } Infine, abbiamo che: \eal{&v\.w = \norm v\norm w \cos \alpha } \end{defn} \begin{defn} $U\( \V$ finito e' ortogonale $\= \vz\notin U\T{ e }\forall v,w\in U:\;v \neq w\;\;\;v\perp w$, ovvero se i vettori di $U$ sono a due a due ortogonali. \end{defn} \begin{prop} \label{propUortogonaleimplicaUbase} $U$ ortogonale, $|U|=\dim \V \> U $ e' una base di $\V$ \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Dimostriamo che i vettori di $U$ sono l.i} \begin{prova} Consideriamo una c.l. dei vettori di $U$: \eal{&a_1v_1+\dots+a_nv_n=\vz} Ricordandoci che $v_i\.v_j=0\;\;\forall i \neq j$, abbiamo \eal{&v_1\.(a_1v_1+\dots+a_nv_n) = a_1v_1\.v_1+a_2\ubrace{v_2\.v_1}{=0} +0+\dots+0 = a_1v_1\.v_1\\ &a_1v_1+\dots+a_nv_n=\vz \> v_1\.(a_1v_1+\dots+a_nv_n) =0 \= a_1v_1\.v_1 = 0 \\ &v_1 \in U \> v_1 \neq \vz \> v_1\.v_1 > 0\\ &a_1\ubrace{v_1\.v_1}{>0} = 0 \> a_1 =0} Cosi' procedendo per gli altri coefficienti abbiamo \eal{&a_1=a_2=\dots=a_n=0} quindi $v_1,\dots,v_n$ sono l.i \end{prova} \qed \end{prova} \begin{defn} \ilabel{versore} Si dice versore un vettore di norma unitaria, ovvero \eal{&v\T{ e' un versore } \= \norm v = 1 \= v\.v =1 } Il normalizzato di un vettore $w$ e' il suo versore: \eal{&\frac{w}{\norm w} } infatti, dalle proprieta' \see{propnormaeuclidea}, \eal{&\norm{\frac{w}{\norm w}} = |\frac{1}{\norm w}|\norm w \ubrace{=}{\T{la norma e' non neg.}} 1 } $U\( \V$ finito e' ortonormale $ \= $ U e' ortogonale e inoltre $\forall v\in U$ $v$ e' un versore, o in altri termini: \eal{&v\.w=\sist{1 & v=w\\ 0&v \neq w}} \end{defn} \begin{prop} \label{propinsortonormestbase} E' chiaro che da ogni insieme ortogonale e' possibile formare un insieme ortonormale: \eal{&U=\pgra{v_1,v_2,\dots,v_n } \longrightarrow \pgra{\frac{v_1}{\norm v_1},\dots, \frac{v_n}{\norm v_n} } } Se $|U|=\dim \V$, per la prop. \see{propUortogonaleimplicaUbase}, $U$ e' una base di $\V$ \end{prop} \begin{prop} \label{prodscalortonormale} Sia $B$ una base ortonormale, allora \eal{&v\.w = \coord{v}{B}\TR \coord{w}{B}} \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} Essendo $B=\pgra{v_i}$ ortonormale, la matrice $A=(b(v_i,v_j))$ e' la matrice identica: $A=I$, e quindi \eal{&v\.w= b(v,w)= \coord{v}{B}I\TR \coord{w}{B} = \coord{v}{B}\TR \coord{w}{B}} \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop} \label{propBCmatdipassortonormaliortogonali} Data $B$ base ortonormale, e $C$ base, si ha \eal{&C\T{ e' ortonormale } \= M=P_{C\to B} \T{ e' ortogonale, ovvero } \TR M M = I} \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\>$} \begin{prova} Sia $C=\pgra{w_1,\dots,w_n}$ e $B=\pgra{v_1,\dots,v_n}$.\\ La matrice di passaggio e' \eal{&M=P_{C\to B}= \begin{pmatrix} \TR \coord{w_1}{B} & \TR \coord{w_2}{B} & \ldots & \TR \coord{w_n}{B} \end{pmatrix} } dove con questa simbolismo abbiamo indicato le colonne di $M$.\\ Allora \eal{&\TR M = \begin{pmatrix} \coord{w_1}{B}\\ \coord{w_2}{B} \\ \ldots \\ \coord{w_n}{B} \end{pmatrix} } $\TR M M$ e' la seguente matrice $n\*n$: \eal{&\TR M M = \begin{pmatrix} \coord{w_1}{B}\TR \coord{w_1}{B} & \coord{w_1}{B}\TR \coord{w_2}{B} & \ldots & \coord{w_1}{B}\TR \coord{w_n}{B}\\ \coord{w_2}{B}\TR \coord{w_2}{B} & \coord{w_2}{B}\TR \coord{w_2}{B} & \ldots & \coord{w_2}{B}\TR \coord{w_n}{B}\\ \ldots\\ \coord{w_n}{B}\TR \coord{w_n}{B} & \coord{w_n}{B}\TR \coord{w_2}{B} & \ldots & \coord{w_n}{B}\TR \coord{w_n}{B} \end{pmatrix} } Poiche' $B$ e' ortogonale, per la prop \see{prodscalortonormale}, abbiamo \eal{&w_i\.w_j= \coord{w_i}{B}\TR \coord{w_j}{B} } ma $B$ e' ortonormale, percio' \eal{&w_i\.w_j = \sist{1&1=j\\0&\T{ altrimenti}}} ecco che $\TR M M =I$ \end{prova} \step{}{Dim $\<$} \begin{prova} Basta procedere a ritroso. \end{prova} \end{prova} \begin{cor} $B,C$ basi ortonormali $\> $ la matrice di passaggio $M=P_{C\to B}$ e' ortogonale, ovvero $\TR M M = I$. \end{cor} \begin{prova} \pf Conseguenza della \see{propBCmatdipassortonormaliortogonali}. \end{prova} \begin{prop} \ilabel{Gram-Schmidt} Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.\\ Data una base $B=\pgra{v_1,\dots,v_n}$ la base $C=\pgra{w_1,\dots,w_n}$, dove \eal{& w_1=v_1\\ &w_2=v_2-\frac{w_1\.v_2}{w_1\.w_1}w_1\\ &w_3=v_3-\frac{w_1\.v_3}{w_1\.w_1}w_1 -\frac{w_2\.v_3}{w_2\.w_2}w_2\\ &\dots\\ &w_n=v_n-\sum_{i=1}^{n-1} \frac{w_i\.v_n}{w_i\.w_i}w_i } e' ortogonale. \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} Poniamo \eal{&w_1=v_1\\ &w_2= x_2w_1 +v_2= x_2v_1+v_2\\ &w_3= x_{31}w_1+x_{32}w_2+v_3\\ &\dots\\ &w_n= x_{n1}w_1+\dots+x_{n,n-1}w_{n-1}+v_n} Dimostriamo che $w_1,w_2,\dots,w_n$ sono l.i. Per far cio' consideriamo la matrice delle componenti rispetto alla base $B$: \eal{& \begin{pmatrix} \TR\coord{w_1}{B} & \TR\coord{w_2}{B} & \ldots & \TR\coord{w_n}{B} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & x_2 & * & \ldots & * \\ 0& 1 & * & \ldots & * \\ 0& 0 & 1 & \ldots & * \\ \ldots\\ 0&0&0&\ldots & 1 \end{pmatrix} } essendo triangolare superiore, il suo determinante e' uguale al prodotto degli elementi della diagonale principale, percio' e' $1$.\\ Adesso ricaviamo le varie $x$, imponendo l'ortogonalita' tra i vettori: \eal{&w_1\perp w_2 \= w_1 \. w_2 = 0 \= w_1\.(x_2w_1+v_2) =0\= x_2 w_1\.w_1 + w_1\.v_2 =0 \= x_2=\frac{w_1\.v_2}{w_1\.w_1} } nota: e' lecito dividere per $w_1\.w_1$ perche' $w_1 \neq 0 \ubrace{\>}{\see{propvscalvnonnega}} w_1\.w_1 >0$.\\ Cosi' procedendo ci ricaviamo le altre $x$. \end{prova} \qed \end{prova} \subsection{Endomorfismo unitario} \begin{defn} Sia $\V$ uno spazio vettoriale euclideo e sia $T:\V\longrightarrow \V$ un endomorfismo, allora \eal{&T\T{ e' unitario } \definizione{\=} v\.w=T(v)\.T(w) \;\;\forall v,w\in \V} ovvero, $T$ preserva il prodotto scalare. \end{defn} \begin{thm} \label{thmunitario} Le seguenti condizioni sono equivalenti \eal{&1\;\;T:\V\longrightarrow \V\T{ endomorfismo unitario}\\ &2.\;\; T:\V\longrightarrow \V\T{ endomorfismo t.c. } \norm v =\norm {T(v)}\\ &3.\;\; T:\V\longrightarrow \V\T{ funzione t.c. } \sist{T(\vz)=\vz\\ \norm{T(v)-T(w)}=\norm{v-w}}\\ &4.\;\; T:\V\longrightarrow \V\T{ endomorfismo t.c. } \forall B\T{ base ortonormale } \;\;\;T(B)\T{ e' una base ortonormale }\\ &5.\;\; T:\V\longrightarrow \V\T{ endomorfismo t.c. } \exists B\T{ base ortonormale }:\;\;T(B)\T{ e' una base ortonormale }\\ &6.\;\;T:\V\longrightarrow \V\T{ endomorfismo t.c. } \forall B\T{ base ortonormale }\;\;\; M_{B,B}(T) \T{ e' ortogonale } } \end{thm} \begin{prova} \pf Per dimostrare tutte le equivalenze, dimostreremo le seguenti implicazioni:\\ \begin{center} \qq\xymatrix{ 4.\ar@{=>}[dd]\ar@{<=>}[r] & 6. & 2.\ar@{=>}[dd]\\ &1.\ar@{=>}[ul]\ar@{=>}[ur]&\\ 5.\ar@{=>}[ur]& & 3.\ar@{=>}[ul] } \end{center} \step{}{Dim $1.\>2.$} \begin{prova} Poiche' la norma e' definita sul prodotto scalare, e poiche' $T$ preserva il prodotto scalare, si ha la tesi. \end{prova} \step{}{Dim $2.\>3.$} \begin{prova} \eal{&T\T{ endomorfismo } \> T(\vz)=\vz\\ &\norm{v-w} \ubrace{=}{2.} \norm{T(v-w)} \ubrace{=}{T\T{ endomorfismo}} \norm{T(v)-T(w)} } \end{prova} \step{}{Dim $3.\>1.$} \begin{prova} \step{}{$T$ preserva il prodotto scalare} \begin{prova} Per la $3.$ abbiamo: \eal{&\norm v = \norm{v-\vz} = \norm{T(v)-T(\vz)} = \norm{T(v)- \vz} = \norm {T(v)} \= v\.v = T(v)\.T(v)\\ &T(v)\.T(v) = v \.v \forall v\in \V\;\;(1)\\ & \norm{T(v)-T(w)}=\norm{v-w} \= (T(v)-T(w))\.(T(v)-T(w)) = (v-w)\.(v-w) \= \\ & \qq \= T(v)\.T(v)+T(w)\.T(w) -2T(v)T(w) = v\.v+w\.w-2v\.w \ubrace{\=}{(1)} -2T(v)T(w) =-2v\.w \= \\ &\qq \= v\.w =T(v)T(w)\;\;(2) } \end{prova} \step{}{$T$ e' un endomorfismo} \begin{prova} Sia $B=\pgra{e_1,\dots,e_n}$ una base ortonormale, $T(B)$ e' una base ortonormale, infatti, \eal{ &\norm{T(e_i)} \ubrace{=}{(1)} \norm {e_i} \\ &T(e_i) =\vz \= \norm{T(e_i)} = 0 \= \norm {e_i} =0 \= e_i =\vz\T{ assurdo perche' }B \T{ e' una base}\\ &\T{quindi } T(e_i) \neq \vz\;\;i=1,\dots,n\\ &T(e_i)\.T(e_j) \ubrace{=}{(2)} e_i\.e_j \ubrace{=}{B\T{ ortonormale}} \sist{1 &i=j\\0&i \neq j} \> T(B)\T{ e' un insieme ortornormale }\\ &\sist{\vz \notin T(B)\\ T(B)\T{ e' un insieme ortornormale } } \ubrace{\>}{\see{propinsortonormestbase}} T(B)\T{ e' una base} } allora, preso $v\in V$, \eal{ &\coord{v}{B}=(x_1,\dots,x_n)\\ &\coord{e_i}{B} = (0,0,\dots,\ubrace{1}{i-\T{esimo posto}},0,0,\dots,0)\\ &v\.e_i \ubrace{=}{\T{ prod scal. su } B\T{, che e' una base ortonormale}} x_i\\ &\coord{T(v)}{T(B)} = (y_1,\dots,y_n) \\ &\coord{T(e_i)}{T(B)} = (0,0,\dots,\ubrace{1}{i-\T{esimo posto}},0,0,\dots,0)\\ &T(v)\.T(e_i) \ubrace{=}{\T{ prod scal. su } T(B)\T{, che e' una base ortonormale}} y_i\\ &T(v) \ubrace{=}{\T{scomposto secondo }T(B)} \sumin (T(v)\.T(e_i))T(e_i) \ubrace{=}{(2)} = \sumin (v\.e_i)T(e_i) = \sumin x_i T(e_i)\\ &T(v) =\sumin x_i T(e_i) } A questo punto e' facile vedere che $T$ e' lineare: \eal{&T(v)=\sumin x_i T(e_i)\\ &T(w)=T\pton{\sumin z_i e_i}= \sumin z_i T(e_i)\\ &T(v+w)=T\pton{\sumin (x_i+z_i)e_i}= \sumin (x_i+z_i) T(e_i) = T(v)+T(w)\\ &T(\lambda v) = \sumin \lambda x_i T(e_i) = \lambda \sumin x_i T(e_i) = \lambda T(v) } \end{prova} \step{}{Dim $1.\> 4.$} \begin{prova} Presa $B$ ortonormale, allora $T(B)$ e' ortonormale: l'abbiamo dimostrato nel passo precedente. \end{prova} \step{}{$4.\>5.$} \begin{prova} Per il thm \see{thmdiagonalizzazionecanonica}, e poiche' $\.$ e' una forma bilineare definita positiva, esiste una base $B$ ortonormale.\\ Quindi, $B \T{ ortonormale } \ubrace{\>}{4.} T(B)\T{ ortonormale} $ \end{prova} \step{}{$5.\>1.$} \begin{prova} Per Hp $B,T(B)$ sono basi ortonormali. \\ Consideriamo $v,w\in V$, \eal{&\coorB v = (x_1,\dots,x_n)\\ &T(v)=T\pton{\sumin x_ie_i} \ubrace{=}{T\T{ endomorfismo }} \sumin x_iT(e_i) \= \coord{T(v)}{T(B)} = \coord{v}{B}\\ &\coorB w = (y_1,\dots,y_n)\\ &\T{Lo stesso per $w$: }\coord{T(w)}{T(B)}=\coord{w}{B}\\ &T(v) \. T(w) \ubrace{=}{\T{$T(B)$ e' ortonormale}} \coord{T(v)}{T(B)}\TR \coord{T(w)}{T(B)} = \coord{v}{B}\TR\coord{w}{B} \ubrace{=}{B \T{ e' ortonormale}} v\.w } \end{prova} \end{prova} \step{}{$4.\>6.$} \begin{prova} Sia $B=\pgra{e_1,\dots,e_n}$ una base ortonormale.\\ Per la $4.$, \eal{&T\T{ e' unitario } \ubrace{\>}{prop \see{GOV}} \inv T \T{ e' unitario }, \;\;T\T{ e' un isomorfismo } \\ &B\T{ e' ortonormale } \ubrace{\>}{4.} \inv T(B) \T{ e' una base ortonormale}\\ & e_i= x_1\inv T(e_1)+\dots+x_n\inv T(e_n) = \inv T(x_1e_1+\dots+x_ne_n) \= T(e_i)=x_1e_1+\dots+x_ne_n\\ &\coord{T(e_i)}{B}= \coord{e_i}{\inv T(B)} \\ &M_{B,B}(T)= \begin{pmatrix} \TR \coord{T(e_1)}{B} & \TR \coord{T(e_2)}{B} & \ldots & \TR \coord{T(e_n)}{B} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \TR \coord{e_1}{\inv T(B)} & \TR \coord{e_2}{\inv T(B)} & \ldots &\coord{e_n}{\inv T(B)} \end{pmatrix} = \\ &\qq = M_{B,\inv T(B)}(\id) = P_{B\to \inv T(B)}\\ &B,\inv T(B) \T{ ortonormali } \ubrace{\>}{cor\see{propBCmatdipassortonormaliortogonali}} P_{B\to \inv T(B)}\T{ e' ortogonale } } \end{prova} \step{}{$6.\>4.$} \begin{prova} Sia $B=\pgra{e_1,\dots,e_n}$ una base ortonormale.\\ \eal{&M=M_{B,B}(T)\\ &M\T{ ortogonale } \= M\TR M = I \= \TR M M=I\\ & T(e_i)\.T(e_j) \ubrace{=}{B\T{ ortonormale}} \coord{T(e_i)}{B}\TR \coord{T(e_j)}{B} = \pton{\TR M}_iM^j = \sist{1&i=j\\0&i \neq j}\\ & \> T(B)\T{ e' un insieme ortonormale }\\ &\T{come abbiamo visto altre volte: }T(e_i)=\vz \= e_i=\vz, \T{ e quindi } \vz \notin T(B)\\ &\qq \ubrace{\>}{prop. \see{propinsortonormestbase}} T(B)\T{ e' una base ortonormale} } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop} \label{propTunitarioestisomorf} \eal{&T:\V\longrightarrow \V\T{ unitario } \> T\T{ e' un isomorfismo vettoriale}} \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} Sia $B$ base ortonormale. La $4.$ del thm \see{thmunitario} ci assicura che $B'=T(B)$ e' ancora una base. Allora per la prop \AL{thmfdefinitadallabase}, si ha la tesi. \end{prova} \qed \end{prova} \def\o{{\circ}} \begin{prop} \label{GOV} \eal{&O(\V):=\pgra{T:\V\longrightarrow \V\;|\;T\T{ e' unitario }}\\ &(O(\V),\o) \ubrace{\le }{\T{sottogruppo}} (GL(\V), \o)} $O(\V)$ si chiama \emph{gruppo ortogonale} a causa della $6.$ del thm \see{thmunitario}.\\ Fissata la base $B$ ortonormale, si ha anche: \eal{&SO(\V) \le O(\V)\\ &SO(\V) = \pgra{T\in O(\V)\;|\;\det M_{B,B}(T)=1}} \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{$O(\V)\( GL(\V)$} \begin{prova} Per la prop \see{propTunitarioestisomorf}. \end{prova} \step{}{$\id \in O(\V)$} \begin{prova} \end{prova} \step{}{$\inv T\in O(\V)$} \begin{prova} \eal{&v'=T(v),\;\;w'=T(w)\\ &\inv T(v')\.\inv T(w') = v\.w=T(v)\.T(w)=v'\.w'} \end{prova} \step{}{$T\o T' \in O(\V)$} \begin{prova} \eal{&T\o T'(v) \. T\o T'(w) = T(v)\.T(w)= v\.w } \end{prova} \step{}{$SO(\V) \le O(\V)$} \begin{prova} Si vede facilmente che $SO(\V) \le O(\V)$ utilizzando la formula di Binet e $\det \inv M = \frac{1}{\det M}$.\\ E' da notare che \eal{& T\in O(\V) \> \det M_{B,B}(T) = \pm 1 } infatti, \eal{&\sist{T\in O(\V)\\ B\T{ base ortonormale } } \ubrace{\>}{6. \T{ del thm \see{thmunitario}}} M_{B,B}(T) \T{ ortogonale } \ubrace{\>}{\AL{propmatortogonale}} det M_{B,B}(T) = \pm 1 } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop} \eal{&(O(\V),\o) \simeq (O_n(\K),\.)\\ &O_n(\K)=\pgra{M\in \K^{n,n}\;|\;M\T{ e' ortogonale } \= \inv M = \TR M}} \end{prop} \begin{prova} \pf Fissiamo una base $B$ ortonormale.\\ Restringiamo l'isomorfismo $\Phi_{B,B}$ (vedi \AL{thmGLisomGLn}) a $O(\V)$. Per la $6.$ del thm \see{thmunitario}, poiche' $B$ e' ortonormale, abbiamo che ogni $\Phi_{B,B}(T)=M_{B,B}(T)$ e' una matrice ortogonale, e quindi $\Im \Phi_{B,B}/_{O(\V)}= O_n(\K)$.\\ $\Phi_{B,B}$ e' iniettiva, e quindi anche la sua restrizione lo e'. Allora, \eal{&\Phi_{B,B}/_{O(\V)}:O(\V)\longrightarrow O_n(\K)} e' un isomorfismo.\\ E' anche un isomorfismo tra gruppi, perche' $\Phi$ e' un isomorfismo vettoriale e quindi preserva il $+$, e inoltre $O(\V)$ e $O_n(\K)$ sono dei gruppi. \end{prova} \begin{prop} \def\l{{\lambda}} Dato $T:\V\longrightarrow \V$ endomorfismo unitario, e $\l\in \K$, allora \eal{&\l\T{ e' un autovalore di }T \= \l=\pm 1} \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\=$} \begin{prova} \eal{&\lambda \T{ autovalore } \= \exists v\in \V:\;v \neq \vz,\;\;T(v)=\lambda v \\\ & T\T{ unitario } \ubrace{\>}{thm \see{thmunitario}} \norm{T(v)}=\norm{v} \\ & T(v) = \lambda v \> \norm{T(v)}=\norm{\lambda v}\\ & \norm{v} = \norm{\lambda v} \ubrace{=}{\T{prop. norma \see{propnormaeuclidea}}} |\lambda | \norm v \ubrace{\=}{v \neq \vz \= \norm v > 0 } |\lambda| = 1 } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop}\ilabel{endomorfismo trasposto} \label{propendotrasp} \eal{&f:\V\longrightarrow \V\T{ endomorfismo } \> \exists ! g:\V\longrightarrow \V\T{ endomorfismo t.c. }\;\forall v,w\in V\;\;f(v)\. w =v\. g(w)} $g$ viene chiamato \emph{endormofismo trasposto di }$f$ e si indica con $\TR f$.\\ Se $M_{B,B}(f)$ e' la matrice associata a $f$, dove $B$ e' una base ortonormale rispetto al prodotto scalare, allora quella associata a $\TR f$ sara' $\TR M_{B,B}(g)$, ovvero \eal{&M_{B,B}(\TR f) = \TR M_{B,B}(f)} \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Dimostriamo che $g$ esiste} \begin{prova} Fissiamo $B$ base ortonormale, e consideriamo $M=M_{B,B}(f)$. Sia inoltre $g$ quell'endomorfismo associato a $\TR M$ (la sua esistenza e' garantita dall'isomorfismo \AL{thmGLisomGLn}). Si ha\footnote{ Per brevita' stiamo usando la notazione $\coord{v}{}$ al posto di $\coord{v}{B}$.} \eal{& \TR \coord{f(v)}{} = M\TR \coord{v}{} \= \coord{f(v)}{}=\coord{v}{} \TR M\;\;(1)\\ &\TR \coord{g(w)}{}= \TR M \TR \coord{w}{} \;\;(2) } \eal{&f(v)\.w \ubrace{=}{\T{$B$ e' ortonormale}} \coord{f(v)}{}\TR \coord{w}{} \ubrace{=}{(1)} \coord{v}{} \TR M \TR \coord{w}{} \ubrace{=}{(2)} \coord{v}{} \TR \coord{g(w)}{} = v\.g(w) } \end{prova} \step{}{Dimostriamo che $g$ e' unico} \begin{prova} Supponiamo che \eal{&\exists h:\V\longrightarrow \V\T{ endomorfismo t.c. }\;\forall v,w\in V\;\;f(v)\. w =v\. h(w) } e sia $M'=M_{B,B}(h)$, allora \eal{ &v\.g(w) = f(v)\.w = v\.h(w) \> v\.g(w) = v\.h(w) \=\\ &\qq \= \coord{v}{}\TR \coord{g(w)}{} = \coord{v}{}\TR \coord{h(w)}{}\= \coord{v}{} \TR M \TR \coord{w}{} = \coord{v}{}M' \TR \coord{w}{}\;\;(3) } Poiche' la $(3)$ vale per ogni $v,w$, possiamo scegliere $v,w$ in modo tale da avere: per ogni scelta: \eal{&\coord{v}{} = (1,0,0,\dots)=e_1,\;\;\coord{w}{}=e_1\;\;\> (\TR M)_{11} = M'_{11}\\ &\coord{v}{}=e_1,\;\;\coord{w}{}=e_2\;\;\> (\TR M)_{12} = M'_{12}\\ &\dots\\ &\coord{v}{}=e_i,\;\;\coord{w}{}=e_j\;\;\> (\TR M)_{ij} = M'_{ij}} Percio' $\TR M =M'$ e quindi $h=g$. \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop} Dato $T:\V\longrightarrow \V $ endomorfismo, \eal{&T \T{ e' unitario } \= T\o \TR T = \id \= \TR T= \inv T } \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{$\=$} \begin{prova} Sia $B$ una base ortonormale, e sia $M=M_{B,B}(T)$ \eal{&\TR M = M_{B,B}(\TR T)\T{ [vedi \see{propendotrasp}]}\;\;(1)\\ &T\T{ unitario } \ubrace{\=}{6.\T{di thm \see{thmunitario}}} M\T{ ortogonale } \= M\TR M = I \\ &M\TR M \ubrace{=}{(1)} M_{B,B}(T)M_{B,B}(\TR T) \ubrace{=}{\AL{propprodottotramatriciassociate}} M_{B,B}(T\o \TR T)= I \ubrace{\=}{thm \AL{thmGLisomGLn}} T\o \TR T = \id } \qed \end{prova} \end{prova} \begin{defn} \label{defendosimmetrico} Dato $f:\V\longrightarrow \V$ endormofismo, \eal{&f\T{ si dice }simmetrico \definizione{\=} \TR f = f \= M_{B,B}(f)=\TR M_{B,B}(f)} dove $B$ e' una base ortonormale rispetto al prodotto scalare. \end{defn} \begin{prop} \label{propautovettendsim} Dato un endomorfismo simmetrico $f$, su $\V$ spazio vett. euclideo \eal{&\sist{f(v)=\lambda v\\ f(w)=\mu w\\ \lambda \neq \mu} \> v\.w=0\= v\perp_{\.} w} ovvero, gli autovettori di $f$ associati ad autovalori distinti sono ortogonali. \end{prop} \begin{prova} \pf \eal{&f(v)\.w \ubrace{=}{f\T{ e' sym}} v\.f(w) = \mu v\.w\\ &f(v)\.w=\lambda v\.w \\ &\lambda v\.w = \mu v\.w \= (\lambda-\mu)v\.w =\vz \ubrace{\=}{\lambda-\mu>0} v\.w=\vz } \end{prova} \section{Spazio affine euclideo} \begin{defn} Uno spazio affine $\A$ euclideo e' uno spazio affine su $\V$, dove $\V$ e' uno spazio vettoriale euclideo e si indica con $\E$.\\ $\A^n(\mathbb{R})$ euclideo si indica con $\E^n$.\\ \end{defn} \begin{defn} Un sistema di riferimento $\Omega =(O,B)$ si dira' \emph{cartesiano } $\definizione{\=} B$ e' una base ortonormale. \end{defn} \begin{prop} Sia $n=\dim E$.\\ La funzione \eal{&d:\E\*\E \longrightarrow \mathbb{R}_+\\ &d(P,Q)=\norm{\vec{PQ}} } e' una metrica. \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{$d(P,P)=0$} \begin{prova} \eal{&d(P,P)=\norm{\vec{PP}}=\norm{\vz} \ubrace{=}{prop\see{propnormaeuclidea}} 0} \end{prova} \step{}{$d(P,Q)=d(Q,P)$} \begin{prova} \eal{&d(P,Q)=\norm{\vec{PQ}}\\ &d(Q,P)=\norm{\vec{QP}}= \norm{-\vec{PQ} } =|-1|\norm{\vec{PQ}} = \norm{\vec{PQ}} = d(P,Q)} \end{prova} \step{}{$d(P,Q)\le d(P,R)+d(R,Q)$} \begin{prova} \eal{&d(P,Q)=\norm{\vec{PQ}} = \norm{\vec{PR}+\vec{RQ}} \ubrace{\le }{prop\see{propnormaeuclidea}} \norm{\vec{PR}}+\norm{\vec{RQ}} = d(P,R)+d(R,Q) } \end{prova} \qed \end{prova} \def\O{{\Omega }} \begin{prop} Dato il sistema di riferimento cartesiano $\Omega=(O,B)$, i punti $P,Q$ e \eal{&\coome P=(x_1,\dots,x_n)\\ &\coome Q = (y_1,\dots,y_n)} allora \eal{& d(P,Q)=\sqrt{\sumin (y_i-x_i)^2}} \end{prop} \begin{prop} \eal{&\coorB{\vec{PQ}}=\coome Q - \coome P =(y_1-x_1,\dots,y_n-x_n)\\ &d(P,Q)=\norm{\vec{PQ}} = \sqrt{\vec{PQ} \. \vec{PQ}} \ubrace{=}{B \T{ e' ortonormale } } \sqrt{(y_1-x_1)(y_1-x_1)+\dots+(y_n-x_n)(y_n-x_n)} } \qed \end{prop} \begin{defn} Siano $r=(P,\Ll{v}),\;\;s=(Q,\Ll{w})$ due rette.\\ Definiamo il loro angolo come l'angolo piu' piccolo tra i vettori $\lambda v,\mu w$.\\ Precisiamo ``piu' piccolo'' perche', ad esempio, con $k>0$ e $\ove v=-k v$ si ha \eal{&\hat{\ove v w} = \pi-\hat{vw} } come e' facile verificare usando la def. \see{angolovettori}. \end{defn} \subsection{Isometria} \def\f{{\mathbf{f}}} \def\g{{\mathbf{g}}} \begin{defn} Data $f:\E\longrightarrow \E$ affinita', \eal{&f\T{ e' una isometria } \definizione{\=} \f\T{ e' un endomorfismo unitario} } \end{defn} \begin{prop} Sia $f:\E\longrightarrow \E$ una qualsiasi applicazione, allora \eal{&f:\E\longrightarrow \E\T{ e' una isometria } \= \forall P,Q\in \E\;\;d(P,Q)=d(f(P),f(Q))} \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\>$} \begin{prova} \eal{&d(P,Q)=\norm{\vec{PQ}} \ubrace{=}{\f\T{ e' unitario}}\norm{\f(\vec{PQ})} = \norm{\vec{f(P)f(Q)}} = d(f(P),f(Q)) } \end{prova} \step{}{Dim $\<$} \begin{prova} Fissiamo $O\in \E$.\\ Definiamo $\f$: preso $v\in \V$, per l'\textbf{As.1} $\exists! P\in \E:\;\vec{OP}=v$, allora poniamo $\f(v)=\vec{f(O)f(P)}$. \step{}{$\f$ e' un endomorfismo unitario} \begin{prova} Usiamo la $3.$ del thm \see{thmunitario}, \eal{&\f(\vz ) =\f(\vec{OO})= \vec{f(O)f(O)}=\vz\;\;(1)\\ &v,w\in \V \ubrace{\>}{\textbf{As.1}} v=\vec{OP},\;w=\vec{OQ}\\ &\f(v)-\f(w)=\f(\vec{OP})-\f(\vec{OQ}) = \vec{f(O)f(P)}-\vec{f(O)f(Q)}= \vec{f(Q)f(P)} \\ &\vec{QP} = \vec{QO}+\vec{OP} = v-w\\ & \norm{\f(v)-\f(w)} = \norm{\vec{f(Q)f(P)}} = d(f(Q),f(P)) \ubrace{=}{\T{Hp}} d(Q,P) = \norm{\vec{QP}} = \norm{v-w}\\ &\norm{\f(v)-\f(w)} = \norm{v-w} \;\;(2)\\ &(1),(2) \ubrace{\>}{\T{$3.$ del thm \see{thmunitario}}} \f\T{ end. unit.} } \end{prova} \step{}{$f$ e' una affinita'} \begin{prova} Basta dimostrare che \eal{&\forall P,Q\;\;\vec{f(P)f(Q)} = \f(\vec{PQ}) } \lineapiccola\\ \eal{&\vec{f(P)f(Q)} = \vec{f(P)f(O)}+\vec{f(O)f(Q)} \\ &\f(\vec{PQ}) =\f(\vec{PO}+\vec{OQ}) \ubrace{=}{\f\T{ endomorf.}} \f(\vec{PO})+\f(\vec{OQ}) \ubrace{=}{\T{def. di }\f} \vec{f(P)f(O)}+\vec{f(O)f(Q)}\\ &\qq \> \vec{f(P)f(Q)} = \f(\vec{PQ}) } Nota: questo dimostra anche che $\f$ non e' dipendente dal punto $O$ che abbiamo scelto per la sua definizione (vedi \see{propdatafffestunicdet}). \end{prova} \end{prova} \qed \end{prova} \def\Isom{{\operatorname{Isom}}} \begin{prop} \eal{&\Isom(\E)=\pgra{f:\E\longrightarrow \E\T{ isometria}}\\ &(\Isom(\E),\o)\le (\Aff(\E),\o) } \end{prop} \begin{prova} \pf $\id\in \Isom(\E)$ perche' $\f=\id$ e' un endomorfismo unitario,\\ Siano $f,g\in \Isom(\E)$, \eal{&\sist{\T{ l'isomorfismo vettoriale associato a $\inv f$ e' $\inv \f$}\\ \f \in O(\V) \ubrace{\>}{ \T{$O(\V)$ e' un gruppo}} \inv \f\in O(\V)} \> \inv f \in \Isom(\E)\\ &\sist{\T{ l'isomorfismo vettoriale associato a $f\o g$ e' $\f\o\g$}\\ \f,\g \in O(\V) \ubrace{\>}{ \T{$O(\V)$ e' un gruppo}} \f\o\g\in O(\V)} \> f\o g \in \Isom(\E) } \qed \end{prova} \begin{prop}\textbf{Osservazione:} Se consideriamo riferimenti cartesiani, ovvero riferimenti con basi ortonormali, allora la matrice quadrata $M$ che compare nelle equazioni dell'isometria (vedi \see{propeqisomorfismo} e \see{propequdefinisceisomaff}) sara' ortogonale.\\ Questo e' vero per la $6.$ del thm \see{thmunitario}. \end{prop} \subsubsection{Teorema spettrale} \begin{lem} \label{lemspettro} \eal{&A\in \Sym_n(\mathbb{R}) \> \T{gli autovalori di $A$ sono tutti in $\mathbb{R}$}} Nota\footnote{Gli autovalori di una matrice quadrata $A \in \K^{n,n}$ sono gli autovalori dell'endomorfismo $f:\K^n\longrightarrow \K^n$ t.c. $M_{B,B}(f)=A$, dove $B$ e' una qualsiasi base di $\K^n$ (gli autovalori sono indipendenti dalla base: vedi \AL{sezionepolinomiocaratteristico})} \end{lem} \begin{prova} \pf \def\l{{\lambda}} \begin{prova} Essendo $\l$ autovalore di $A$ si ha almeno che $\l \in \mathbb{C}$. Noi vogliamo dimostrare che $\l\in \mathbb{R}$.\\ Consideriamo l'endomorfismo su $\mathbb{C}^n$ associato ad $A$, ovvero \eal{&f:\mathbb{C}^n \longrightarrow \mathbb{C}^n\T{ endomorfismo t.c. } M_{B,B}(f)=A} dove come base $B$ scegliamo la base canonica, cosi' che' $\coord{v}{B}=v$. Come prodotto scalare su $\mathbb{C}^n$ consideriamo quello standard, avendo cosi' $B$ ortonormale.\\ Per definizione di autovalore, \eal{&\exists v\in \mathbb{C}\-\pgra{\vz}:\; f(v)=\lambda v \= \TR \coord{f(v)}{B} = \lambda \TR \coord{v}{B}\= M_{B,B}(f)\TR v = \lambda \TR v \= A\TR v = \lambda \TR v \;\;(1)\\ } Per la definizione di endomorfismo simmetrico \see{defendosimmetrico}, abbiamo: \eal{&M_{B,B}(f)=A\T{ e' simmetrica } \> f\T{ e' un endomorfismo simmetrico } \> f(\ove v)\. v = \ove v \. f(v) \;\;(2)} Con $\ove v$ indichiamo il complesso coniugato degli elementi di $v$. Calcoliamo $f(\ove v)$: \eal{&\TR f(\ove v) = A \TR \ove v \ubrace{=}{A\T{ e' reale}} \ove A \TR \ove v = \ove {A\TR v} \ubrace{=}{(1)} \ove{\lambda\TR v }= \ove \lambda \TR\ove v\\ &f(\ove v)=\ove \lambda \TR \ove v } Quindi ritornando alla $(2)$: \eal{& (2) \= \ove \lambda \ove v\. v =\lambda \ove v \. v \= \\ &\qq \ove v\.v=\ove v \TR v \in \mathbb{R}_+ \T{ per le prop del coniugato }\\ & \ubrace{\=}{\ove v \TR v >0 } \ove \lambda=\lambda \> \lambda\in \mathbb{R} } \qed \end{prova} \end{prova} \begin{thm} spettrale.\\ \label{thmspettrale} Sia $V$ uno spazio vettoriale euclideo (quindi $\K=\mathbb{R}$), e sia $\dim V=n$, \eal{&f:V\longrightarrow V\T{ endomorfismo simmetrico} \> \exists B\T{ base ortonormale formata solo da autovettori di $f$}} Nella dimostrazione daremo anche un metodo per costruire $B$. \end{thm} \begin{prova} \pf \step{}{Dim. del teorema} \begin{prova} \eal{&f:V\longrightarrow V\T{ endomorfismo simmetrico} \ubrace{\=}{\see{defendosimmetrico}} f= \TR f \= f(v)\.w=v\.f(w)\;\;\forall v,w\in V\;\;(0) } Lavoriamo per induzione su $\dim V=n$ \step{}{$n=1$} \begin{prova} \eal{&\dim V=1 \> V=\Ll{v},\;v \neq \vz\\ &f(v)=w\in V=\Ll{v} \> w=\lambda v \> f(v)=\lambda v\> v\T{ autovettore di $f$}\\ &\> \pgra{v}\T{ e' una base ortonormale formata solo da autovettori di $T$} } \end{prova} \step{}{$P(n-1) \> P(n)$} \begin{prova} \def\ps{{\perp_{\.}}} \def\pss#1{{{#1}^{\ps}}} Sia $B$ una base ortonormale di $V$, che esiste per il thm \see{thmdiagonalizzazione}.\\ \eal{&f\T{ simmetrico } \> M_{B,B}(f)\T{ e' simmetrica (e reale)} \ubrace{\>}{\T{lemma }\see{lemspettro}} \forall \lambda\T{ autovalore di $f$ } \;\;\lambda\in \mathbb{R}} Fissiamo $\lambda$ autovalore di $f$. Sia $e_1\in \V$ un suo autovettore, che esiste perche' $\lambda \in \mathbb{R}$. Allora, \eal{&e_1 \neq \vz,\;f(e_1)=\lambda e_1\;\;(1)} supponiamo che $e_1$ sia un versore (se non lo e' possiamo normalizzarlo).\\ Per le proprieta' del prod. scalare: \eal{&e_1 \neq \vz \= e_1\. e_1 >0 \> e_1\T{ e' non isotropo rispetto $\.$} \ubrace{\>}{prop \see{propvisotroposommadiretta}} V=\Ll{e_1}\xor\ubrace{\pss{\Ll{e_1}}}{U}\\ &f'=f/_U:U\longrightarrow V\T{ restrizione di $T$ ad $U$}} \step{}{$f'$ e' un endomorfismo su $U$, ovvero dimostriamo che $\Im f' \( U$, cioe' che e' corretto scrivere: \eal{&f':U\longrightarrow U}} \begin{prova} $f'$ conserva le operazioni vettoriali su $U$ perche' restrizione dell'endomorfismo $f$ su $V\)U$. Quindi basta dimostrare che $\Im f' \( U$ per poter affermare che $f'$ e' un endomorfismo su $U$.\\ \eal{&u\in U,\;\; f'(u)\in \Im f'\\ &u\in U=\pss{\Ll{e_1}} \= u\ps e_1 \= u\.e_1=0\;\;(*)\\ &f'(u)=f(u)\in U=\pss{\Ll{e_1}} \= f(u)\ps e_1 \= f(u)\.e_1 = 0\ubrace{\=}{(0)} u\.f(e_1)=0 \ubrace{\=}{(1)} \lambda u\.e_1 = 0 \ubrace{\=}{(*)} 0=0 } \end{prova} \step{}{$f'$ e' simmetrico} \begin{prova} \eal{&f\T{ simmetrico } \= \forall v,w \in V\;\;f(v)\.w=v\.f(w) \ubrace{\>}{U\( V} \forall v,w\in U\;\; f'(v)\.w=v\.f'(w) \= f'\T{ e' simmetrico }} \end{prova} Quindi $f'$ e' un endomorfismo simmetrico su $U$, e poiche' $\dim U=n-1$, possiamo applicare l'ipotesi induttiva: $\exists \pgra{e_2,\dots,e_n}$ base ortonormale rispetto al prodotto scalare indotto su $U$ e formata da autovettori di $f'$, ovvero da autovettori di $f$.\\ La base cercata e' allora: \eal{&\pgra{e_1,\dots,e_n}} infatti, ogni $e_i$ e' un versore, $e_2,\dots,e_n$ sono ortogonali tra loro per ipotesi induttiva, $e_1$ e' ortogonale a $e_2,\dots,e_n$ perche' $e_2,\dots,e_n\in U=\pss{\Ll{e_1}}$, e infine sono tutti autovettori di $f$. \end{prova} \qed \end{prova} \step{}{Metodo per la costruzione di $B$} \begin{prova} \begin{enumerate} \item Sia $A=M_{B,B}(f)$, dove $B$ e' una base ortonormale (ad esempio, la base canonica) \item Siano $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ gli autovalori distinti di $f$. Li possiamo facilmente calcolare con il polinomio caratteristico (\AL{sezionepolinomiocaratteristico}). \item Per il thm appena dimostrato $f$ e' semplice e quindi per la prop \AL{propcaratendosemplice} si ha \eal{&\V=V_{\lambda_1}\xor V_{\lambda_2}\xor \dots\xor V_{\lambda_r} } Calcoliamo allora l'equazioni $E_i$ dell'autospazio $V_{\lambda_i}$, per $i=1,\dots,r$. \item Per ogni $\lambda_i$ adoperiamo questa procedura: \begin{enumerate} \item dalle equazioni $E_i$ ricaviamo un autovettore $v_i$ (\AL{sezequcartautospazio}) \item Troviamo la base $B_i$ di $V_{\lambda_i}$ ortogonale secondo il prodotto scalare indotto su ${V_{\lambda_i}}$.\\ Per far cio' basta considerare che $v_i$ e' non isotropo\footnote{infatti, per le prop del prod scalare $v_i \neq \vz \Leftrightarrow v_i\.v_i >0$} , e usare il metodo noto (\see{thmdiagonalizzazione}) per l'ortogonalizzazione, tenendo presente che dobbiamo soddisfare le equazioni $E_i$ perche' dobbiamo rimanere in $V_{\lambda_i}$. \item \eal{&B=B_1'\U B_2' \U \dots\U B_r'} dove con $B_i'$ si intende la base $B_i$ normalizzata.\\ $B$ e' la base cercata, perche' ogni $B_i'$ e' ortonormale e formata da autovettori di $f$, e per la prop \see{propautovettendsim} i vettori delle varie $B_i',B_j'$ sono ortogonali tra loro. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{prova} \qed \end{prova} \begin{cor}\label{corspettrI} \eal{&A\in \Sym_n(\mathbb{R}) \> \exists M\in O(n):\;\inv M A M \T{ e' diagonale }} In particolare, scegliendo $M=P_{B'\rightarrow B}$, dove $B'$ e' una base ortonormale formata dagli autovettori di $A$, ad esempio, quella data dal thm \see{thmspettrale}, e dove dove $B$ e' una qualunque base ortonormale (ad esempio la base canonica).\\ Questo corollario da' quindi un metodo costruttivo per diagonalizzare una matrice simmetrica. \end{cor} \begin{prova} \pf \begin{prova} Scelta $B$ base ortonormale di $\mathbb{R}^n$, sia $f:\mathbb{R}^n\longrightarrow \mathbb{R}^n$ l'endomorfismo tale che $M_{B,B}(f)=A$.\\ \eal{&A=M_{B,B}(f)\T{ e' simmetrica } \> f\T{ e' simmetrico } \ubrace{\>}{thm \see{thmspettrale}} \exists B'\T{ ortonormale formata da autovettori di $f$} \\ &\qq \> \ubrace{\>}{prop\AL{propendosemplice}} M_{B',B'}(f)\T{ e' diagonale}} E usando la matrice di passaggio si ha la tesi: \eal{&A=M_{B,B}(f)=\inv{P_{B\to B'}} M_{B',B'}(f)P_{B\to B'} \= P_{B\to B'} A \inv{P_{B\to B'}} = M_{B',B'}(f)\T{ diagonale } } $P_{B,B'}$ e' ortogonale, infatti, \eal{&B,B'\T{ basi ortonormali } \ubrace{\>}{prop\see{propBCmatdipassortonormaliortogonali}} P_{B,B'}\T{ ortogonale } } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{cor} \label{corspettrII} Dato $\V$ spazio vettoriale euclideo, e $q:\V\longrightarrow \mathbb{R}$ forma quadratica simmetrica, allora \eal{& \exists B'\T{ base ortonormale rispetto al prodotto scalare, e diagonalizzante per $q$}} In particolare, una tale $B'$ e' una base ortonormale formata dagli autovettori di $A$, ad esempio, quella data dal thm \see{thmspettrale}. $A$ e' la matrice simmetrica associata a $q$. \end{cor} \begin{prova} \pf Sia $A$ la matrice simmetrica associata a $q$ rispetto ad una base $B$ ortonormale di $\V$.\\Per il cor \see{corspettrI}, scegliendo $M=P_{B'\rightarrow B}$, dove $B'$ e' una base ortonormale formata dagli autovettori di $A$, si ha \eal{&M \in O(n),\;\;\inv M A M=M'\T{ e' diagonale }\\ &M'=\inv M A M \ubrace{=}{M\in O(n)} \TR M A M \> M' \T{ congrua ad }A \>M'\T{ e' associata a $q$ rispetto a una certa base $B'$}\\ &\qq \> \T{$B'$ diagonalizza $q$}\\ } Quindi $B'$ e' una base ortonormale che diagonalizza $q$\\ \qed \end{prova} \section{Spazio proiettivo} \def\P{{\mathbb{P}}} \def\pv{{\P(\V)}} \begin{defn} Sia $\V$ un $\K$ spazio vettoriale di dimensione $\dim \V=n+1$. \eal{&\P(V)=\pgra{U \le V\;|\;\dim U =1 }} e' lo \emph{spazio proiettivo di $\V$} (nota \footnote{da ora in poi con $U\le V$ indicheremo un sottospazio vettoriale di $V$})\\ Per definizione si pone: \eal{&\dim \P(\V) = \dim \V -1} Quando non ci sara' possibilita' d'equivoco utilizzeremo il simbolo $\P$ al posto di $\pv$, e \eal{&\P^n(\K)\definizione{=} \P(\K^{n+1})} Se $\dim \pv=1$, $\P$ si dira' retta proiettiva,\\ se $\dim \pv=2$, $\P$ si dira' piano improprio.\\ Un elemento $P\in \pv $ lo chiameremo \emph{punto}. \end{defn} \begin{prop} \label{propproiequoz} I punti di $\pv$ sono sottospazi di dimensione $1$, e sono quindi generati da un singolo vettore di $\V$. Allora, a meno di fattori non nulli, ad ogni punto $P$ possiamo associare un vettore $v$, e viceversa. Piu' precisamente: stabiliamo la seguente relazione d'equivalenza in $\V^*$ (nota\footnote{$\V^*=\V\-\pgra{\vz}$}): \eal{&v\sim w \= \exists \lambda \in \K:\;\;v=\lambda w} allora\footnote{$\lambda$ non puo' mai essere $=0$, altrimenti $v=\vz$, ma $v\in V^*$}, se con $\gen{v}$ indichiamo la classe d'equivalenza di $v$, abbiamo \eal{&\Ll{v}\-\pgra{\vz} = \gen{v}} e quindi \eal{&\pv \ubrace{\simeq}{\T{isom. tra insiemi}} \V^*/_{\sim}} Possiamo percio' dire che presi due punti $P=\Ll{v},Q=\Ll{w}$, si ha \eal{&P=Q\= v\in \gen w \= w\in \gen v} Da ora in poi, useremo l'isomorfismo $\pv \simeq \V^*/_{\sim}$ liberamente, senza preoccuparci di richiamarlo. Ad esempio, diremo $P=\gen v$. \end{prop} \begin{prop} \eal{&\dim \pv = -1 \= \pv = \0} \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} \eal{&\dim \pv = -1 \= \dim \V = 0 \= \nexists U\le \V:\;\dim U = 1 \= \pv = \0} \end{prova} \qed \end{prova} \subsection{Sottospazio proiettivo} \begin{defn} \eal{& \T{$\P(W)$ sottospazio proiettivo di $\pv$} \= \P(W)\le \pv \definizione{\=} W\le \V\T{ sottospazio vettoriale} } Si ha: \eal{&\P(W)\(\pv} Per la definizione data di dimensione, si ha \eal{&\dim \P(W) \le \dim \pv}\\ Se $\dim \P(W)=\dim \pv-1$, allora $\P(W)$ si dira' iperpiano\\ se $\dim \P(W) = 1$, allora $\P(W)$ si dira' retta\\ se $\dim \P(W)= 2$, allora $\P(W)$ si dira' piano. \end{defn} \begin{prop} \label{propcontenutoinproiettivo} Sia $W\le \V$, \eal{&w \in W^* \= P=\gen w \in \P(W)} \end{prop} \begin{prova} \pf \eal{&w\in W^* \> \gen{w} \in W^*/_{\sim} \ubrace{=}{prop. \see{propproiequoz}} \P(W)} Viceversa: \eal{&\gen w \in \P(W) \> \gen w \le W \> \forall \lambda \;\;\lambda w\in W \ubrace{\>}{\lambda=1} w\in W} \qed \end{prova} \begin{prop}\label{propunionesottospazi} \eal{ &1.\;\;\P(W)\( \pv \= W\( \V\\ &1.1\;\;\P(W)= \pv \= W= \V\\ &2.\;\;\P(W_1)\U\P(W_2)\( \P(\V) \= W_1\U W_2 \( \V} \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $1.$} \begin{prova} Dim. $\>$ \eal{&w\in W \> \gen w \in \P(W) \( \pv \> \gen w\in \pv \= w\in \V } Dim $\<$ \eal{&\gen w \in \P(W) \> w\in W\( \V \> w \in \V \> \gen w \in \pv} \end{prova} \step{}{Dim $2.$} \begin{prova} Dim $\>$ \eal{ &\P(W_1)\(\P(W_1)\U\P(W_2)\( \P(\V) \> \P(W_1) \( \pv \= W_1 \( \V\\ &\P(W_2)\(\P(W_1)\U\P(W_2)\( \P(\V) \> \P(W_2) \( \pv \= W_2 \( \V\\ &W_1\U W_2\(\V } Dim $\<$ \eal{&\sist{ W_1 \( \V \= \P(W_1) \( \pv \\ W_2 \( \V \= \P(W_2) \( \pv }\> \P(W_1) \U \P(W_2) \( \pv } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop} \label{propintsottproiett} Dati $W_1,W_2\( \V$ sottospazi, si ha \eal{&\P(W_1)\^\P(W_2) = \P(W_1\^W_2)} e piu' in generale, dato un insieme $S$ qualsiasi di sottospazi di $\V$ si ha \eal{&\bigcap_{W\in S} \P(W) = \P\pton{\bigcap_{W\in S} W}} \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\($} \begin{prova} \eal{&P \in \P(W_1)\^\P(W_2) \= \sist{P = \gen{w_1},\;\;w_1\in W_1\\ P = \gen{w_2},\;\;w_2 \in W_2} \= P=\gen{w_1}=\gen{w_2} \> w_1 = \lambda w_2 \= w_1 \in W_2\\ &w_1 \in W_1\^W_2 \> P=\gen{w_1} \in \P(W_1\^W_2)} \end{prova} \step{}{Dim $\)$} \begin{prova} \eal{&P\in \P(W_1\^W_2) \= P=\gen{w},\;w\in W_1\^W_2 \> \sist{P=\gen{w},\;w \in W_1 \> P \in \P(W_1)\\ P=\gen{w},\;w \in W_2 \> P \in \P(W_2)} \> P \in \P(W_1)\^\P(W_2)} \end{prova} \qed \end{prova} \begin{defn} Dato $W_1,W_2\le \V$, \eal{&\P(W_1),\P(W_2)\T{ sono sghembi } \definizione{\=} \P(W_1)\^\P(W_2)=\0\\ &\P(W_1),\P(W_2)\T{ sono incidenti } \definizione{\=} \P(W_1)\^\P(W_2) \neq \0 } \end{defn} \begin{prop} \label{exppropdimcontenutoint} \eal{&\dim \P(W_1) \ge \dim \P(W_1)\^\P(W_2)} Infatti, \eal{&\dim \P(W_1)\^\P(W_2)=\dim \P(W_1\^W_2) = \dim W_1\^W_2 -1\\ &W_1 \) W_1\^W_2 \> \dim W_1 \ge \dim W_1\^W_2 \= \dim W_1 -1 \ge \dim W_1\^W_2 -1 } \qed \end{prop} \begin{prop} \label{expproiestessadimcontenuto} \eal{&\sist{\dim \P(W_1) = \dim \P(W_2)\\ \P(W_1) \( \P(W_2) } \> \P(W_1)=\P(W_2) } Infatti, \eal{&\sist{ \dim \P(W_1) = \dim \P(W_2) \= \dim W_1 = \dim W_2\\ \P(W_1) \( \P(W_2) \= W_1 \( W_2} \> W_1=W_2 \= \P(W_1)=\P(W_2) } \end{prop} \begin{prop}\label{propintersezioneiperpianiproiett} Sia dato $S\le \pv$, con $\dim S = r,\;\dim \pv =n$. Allora, \eal{&S= \bigcap_{i=1}^{n-r} H_i\\ &H_i\T{ iperpiano}, \;S\( H_i\;\;i=1,2,\dots,n-r\\ &\forall i=1,2,\dots,n-r \T{ equazione di }H_i \T{ linearmente indipendente dalle equazioni degli iperpiani } \{H_j\;|\; j \neq i\}\\ } \end{prop} \begin{proof} Sia $S=\P(W)$. Intanto di iperpiani che contengono $S$ ne esistono infiniti , infatti, se $B=\pgra{w_1,\dots,w_{r+1}}$ e' una base di $W$, completandola con altri $n-r-1$ vettori, otteniamo la base di un $U\le \V$, tale che \eal{&\dim U= n \> \dim \P(U) = n-1\\ &W \le U \> \P(W) \le \P(U) } Detto questo, consideriamone $n-r$ distinti e che abbiano equazioni l.i.: $H_1=\P(W_1),\dots,H_{n-r}=\P(W_{n-r})$ . Per la \see{exppropdimcontenutoint} abbiamo: \eal{&\dim H_1 \^ H_2 \le \dim H_1 } se per assurdo si avesse l'ugualianza allora \eal{& \sist{\dim H_1 \^ H_2 = \dim H_1\\ H_1 \( H_1 \^ H_2 } \ubrace{\>}{\see{expproiestessadimcontenuto}} H_1=H_2\T{ assurdo contro l'Hp di lineare indipendenza} } Quindi, \eal{& \dim H_1 > \dim H_1 \^ H_2\= n-1 > \dim H_1\^H_2\;\;(1) } Inoltre, dalla formula di Grassmann proiettiva (\vedi{propgrassmanproiettivo}), si ha: \eal{&\dim L(H_1,H_2)=\dim H_1+\dim H_2 -\dim H_1\^ H_2 \le \dim \pv=n\= (n-1)+(n-1)- \dim H_1\^ H_2 \le n \=\\ &\qq \= \dim H_1\^H_2 \ge n-2\\ &n-1 \ubrace{>}{(1)} \dim H_1\^H_2 \ge n-2 \> \dim H_1 \^H_2 = n-2\\ & \bigcap_{i=1}^{2} H_i = n-2 } Cosi' procedendo, si arriva a: \eal{&\dim \bigcap_{i=1}^{n-r} H_i = n-(n-r) =r = \dim S \;\;(2)} allora \eal{&S \le H_i \;\;\forall i=1,2,\dots,n-r \> S \le \bigcap_{i=1}^{n-r} H_i\\ &\sist{S \( \bigcap_{i=1}^{n-r} H_i\\ (2)} \ubrace{\>}{\see{expproiestessadimcontenuto}} S = \bigcap_{i=1}^{n-r} H_i } \end{proof} \subsection{Riferimento} \begin{defn} \ilabel{coordinate omogenee} \label{coordomo} Sia dato $\V$ di dimensione $n+1$, e sia $\K$ il campo di $\V$.\\ Sia $B=\pgra{e_1,e_2,\dots,e_{n+1}}$ una base ordinata\footnote{la base deve essere ordinata affinche' sia possibile parlare di riferimento. Nel seguito assumeremo implicitamente che la base sia ordinata o meno} di $\V$, e sia $P = \gen v \in \pv$. Con $\coord{P}{B}$ indicheremo le \emph{coordinate omogenee} di $P$ rispetto a $B$, che sono cosi' definite: \eal{ &\coord{P}{B} = \coord{\gen v}{B} \definizione{=} \gen{\coord{w}{B}}\\ &\qq \T{dove $w$ e' qualsiasi vettore di $\gen v$}} E' facile vedere che questa definizione e' indipendente dalla scelta di $w\in \gen v$\\ Per chiarire: sia $\mathbf{k}=\coord{w}{B}$. $\mathbf{k}$ e' il vettore delle componenti di $w$ secondo $B$, percio' $\mathbf{k}\in \K^{n+1}$. Poiche' $\K^{n+1}$ e' uno spazio vettoriale, possiamo considerare $\P(\K^{n+1})$. Allora, $\gen{ \mathbf{k} }\in \P(\K^{n+1})$, dove $\gen{ \mathbf{k}}$ e' la classe d'equivalenza della relazione definita in \see{propproiequoz}. E quindi, per definizione $\gen{ \mathbf{k} }= \coord{P}{B} \in \P(\K^{n+1})$. \end{defn} \begin{prop} \label{proptuttelecoordinatediP} Dato $P \in \pv$, si ha \eal{&\coord{P}{B}=\pgra{\coord{u}{B} \;|\; u\in P}} \end{prop} \begin{prova} \pf \eal{&P \in \pv \= \exists v\in \V^*:\;P=\gen v\\ &\coord{P}{B}=\coord{\gen v }{B}\definizione{=} \gen{\coord{v}{B}} = \pgra{\lambda \coord{v}{B} \;|\;\lambda \neq 0} = \pgra{\coord{\lambda v}{B} \;|\;\lambda \neq 0} = \pgra{\coord{u}{B} \;|\; u\in \gen v} } \qed \end{prova} \begin{prop} \label{propbasiproiettiveproporzionali} Siano $B,B'$ due basi di $\V$ e sia $P\in \pv$ \eal{&B'=kB,\;\;k \neq 0 \> \coord{P}{B} = \coord{P}{B'}} dove \eal{&B=\pgra{v_1,v_2,\dots,v_{n+1}}\\ &kB\definizione{=} \pgra{kv_1,kv_2,\dots,kv_{n+1}}} \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} Sia $P=\gen v \in \pv$. Chiaramente $k\gen {v} = \gen v$, quindi \eal{&\coord{P}{B'}=\coord{P}{kB} = \coord{\gen v}{kB} \ubrace{=}{\T{def}} \coord{w}{kB} = \coord{kw}{B} = \coord{k\gen{v} } {B} = \coord{\gen v } {B} = \coord{P}{B} } dove $w$ e' un qualsiasi vettore di $\gen v$ \end{prova} \qed \end{prova} \begin{defn} Una base ordinata $B$ di $\V$ e' un elemento dello spazio vettoriale $\V^{n+1}$.\\ Diamo la seguente definizione: \eal{&\B=\gen B \in \P(\V^{n+1}) \T{ e' un riferimento proiettivo di }\P(\V) \definizione{\=} B'\T{ e' una base di } \V^{n+1}\\ &\T{ dove } \gen B \T{ e' la classe d'equivalenza secondo la relazione definita in \see{propproiequoz}}\\ &\T{ } B'\T{ e' un qualsiasi }B'\in \gen B } Questa definizione e' indipendente dalla scelta di $B'\in \gen B$, perche' se $B'$ e' una base, anche $kB'$, con $k \neq 0$, lo e'.\\ $\gen B$ si dira' riferimento proiettivo standard di $\P(\V)$ se $B'\in \gen B$, dove $B'$ e' la base canonica di $\V$.\\ Con $\coord{P}{\B}$ indicheremo le \emph{coordinate omogenee} di $P$ rispetto al riferimento proiettivo $\B$, che sono cosi' definite: \eal{&\coord{P}{\B}\definizione{=}\coord{P}{B'}\\ &\T{ dove } B'\T{ e' una qualsiasi base }B'\in \gen B } questa definizione e' indipendente dalla scelta di $B'$, grazie alla prop. \see{propbasiproiettiveproporzionali}. \end{defn} \begin{prop} \label{propcambiorifproiett} Siano $\B,\B'$ due riferimenti proiettivi distinti, e sia $P=\gen v \in \pv$, allora \eal{&\qq\qq\qq\TR \coord{P}{\B'} = \gen{P_{B,B'}} \TR \coord{P}{\B} = P_{\B,\B'} \TR \coord{P}{\B}\\ &\T{ dove } \\ &\qq P_{\B,\B'} \definizione{=} \gen{P_{B,B'}}\\ &\qq B,B'\T{ due qualsiasi basi in } \B,\B'\\ &\qq \TR \coord{P}{\B} = \TR \coord{P}{B} = \TR \coord{\gen v}{B} = \TR \gen{\coord{v}{B}} \definizione{=} \gen{\TR \coord{v}{B}}\\ &\qq \gen{P_{\B,\B'}} \T{ e' una classe d'equiv. dello spazio quoziente } {\K^{n+1,n+1}}^*/_{\sim}, \T{ dove, $\sim$ e' la relazione \see{propproiequoz}} } \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Dim. che $P_{\B,\B'} \definizione{=} \gen{P_{B,B'}}$ e' ben posta} \begin{prova} Dobbiamo dimostrare che prendendo $\ove B\in \B$ si ha \eal{&\gen{P_{B,B'}}=\gen{P_{\ove B,B'}}} \lineapiccola \eal{&\ove B \in \B = \gen B \> \ove B = kB,\;\;k \neq 0\\ &v\in B \= kv\in kB \> \coord{kv}{B'} = k\coord{v}{B'}\\ &\qq \> P_{kB,B'} = k P_{B,B'} \> \gen{P_{kB,B'}}=\gen{P_{B,B'}} } Analogamente, scelto $kB'\in \B'$, si ha \eal{&\coord{v}{kB'}=k\coord{v}{B'} \> P_{B,kB'} = k P_{B,B'} } \end{prova} \step{}{} \begin{prova} \eal{ &\TR \coord{P}{\B} = \gen{\TR \coord{v}{B}}\\ & \TR \coord{P}{\B'} = \gen{\TR \coord{v}{B'}} = \gen{P_{B\to B'}\TR \coord{v}{B}} \ubrace{=}{(*)} \gen{P_{B\to B'}}\gen{\TR \coord{v}{B}} = \gen{P_{B\to B'}} \TR \coord{P}{\B} = P_{\B,\B'} \TR \coord{P}{\B} } (*) Dove, se $H,J$ sono due insiemi, con $HJ$ indichiamo il loro ``prodotto'', ovvero $HJ=\pgra{hj\;|\;h\in H,\;j\in J}$. \end{prova} \qed \end{prova} \subsection{Equazioni cartesiane proiettive} \begin{prop} Sia $W\(\V$, e siano $AX=\vz$ le equazioni cartesiane di $W$ rispetto alla base $B$. Allora, \eal{ &1.\;\;\gen{w} \in \P(W) \= A\TR \coord{w}{B} =\vz,\;\;w \in \V^*\\ &2.\;\;P \in \P(W) \= \\ &\qq P\in \pv,\;\;\exists X\in \TR \coord{P}{B}:\;AX=\vz \=\\ &\qq P\in\pv, \;\;\forall X\in \TR \coord{P}{B}:\;AX=\vz } In altre parole, la $1.$ dice che $A X=\vz$ e' il sistema di tutti i vettori di tutti i punti di $\P(W)$. La $2.$ dice che tutte le coordinate di $P$ soddisfano l'equazione, e che appena una coordinata di $P$ soddisfa l'equazione, allora $P\in \P(W)$ (d'altronde le coordinate di $P$ sono tutte proporzionali tra loro). \end{prop} \begin{prova} \pf \step{passounouno}{Dim $1.$} \begin{prova} \eal{&\gen{w} \in \P(W)=W^*/_{\sim} \= w \in W^* \= A\TR \coord{w}{B} =\vz,\;\;w \neq \vz } \end{prova} \step{}{Dim $2.$} \begin{prova} \eal{&X \in \TR\coord{P}{B} \ubrace{\=}{\see{proptuttelecoordinatediP}} \exists w\in P:\;X=\TR \coord{w}{B}\;\;(1)\\ &\exists X\in \TR \coord{P}{B}:\;A X=\vz \ubrace{\=}{(1)} \exists w\in P:\;A\TR \coord{w}{B} =0 \= w\in \V^*,\;A\TR \coord{w}{B} =0 \ubrace{\=}{\T{passo \stepref{passounouno}}} \gen w \in \P(W) \= P \in \P(W) } Infine, \eal{ &X'\in \TR \coord{P}{B} \= X' = \lambda X,\;\;\lambda \neq 0\\ &A X' = \vz \= A \lambda X = \vz \= AX=\vz } Quindi \eal{&\forall X'\in \TR \coord{P}{B}:\;AX'=\vz } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop} Sia $W\(\V$, sia $C=\pgra{w_1,\dots,w_k}$ una base di $W$, e $B=\pgra{v_1,\dots,v_{n+1}}$ una base di $\V$, con $\dim W=k,\;\dim \V=n+1$.\\ L'equazione parametrica di $W$, nei parametri $t_1,t_2,\dots,t_k$, rispetto alla base $B$, e': \eal{& \TR X = \sum_{i=1}^k t_i \TR \coord{w_i}{B}\;\;(1) } al variare dei parametri $t_1,t_2,\dots,t_k$.\\ Si ha \eal{&1.\;\; P \in \P(W) \= \exists X\in \coord{P}{B}:\;X\T{ soddisfa la $(1)$}\\ &2.\;\;\gen{w} \in \P(W) \= X=\coord{w}{B} \T{ soddisfa la $(1)$ } } In altre parole, la $(1)$ e' l'equazione di tutti i vettori di tutti i punti di $\P(W)$. \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Dim la $(1)$} \begin{prova} \eal{&w\in W \= w=t_1w_1+\dots+t_{k} w_k \= \coord{w}{B} = t_1 \coord{w_1}{B}+\dots+t_k\coord{w_k}{B} } che e' la $(1)$. \end{prova} \step{}{Dim la $2.$} \begin{prova} \eal{&\gen w\in \P(W) \= w\in W \= X=\coord{w}{B} \T{ soddisfa la $(1)$ }} \end{prova} \step{}{Dim la $1.$} \begin{prova} \eal{&\exists X\in \coord{P}{B}:\;X\T{ soddisfa }(1) \= \exists w\in P:\; X=\coord{w}{B}\T{ soddisfa }(1) \=\\ &\qq \= \exists w\in P:\;w\in W \= P=\gen w,\;w\in W\=P\in \P(W)} \end{prova} \qed \end{prova} \subsection{Sottospazio generato} \begin{defn} Sia $J \( \pv$ non vuoto, allora poniamo \eal{&L(J)\definizione{=}\bigcap_{\P(W)\le \pv:\;J\( \P(W)} \P(W) } In virtu' della proposizione \see{propintsottproiett}, $L(J)$ e' quindi il piu' piccolo sottospazio proiettivo che contiene $J$. $L(J)$ si chiama \emph{sottospazio proiettivo generato da $J$}\\ Se $J=\pgra{P_1,\dots,P_t}$, scriveremo \eal{&L(P_1,\dots,P_t)\definizione{=}L(\pgra{P_1,\dots,P_t})} Se $J=J_1\U J_2\U \dots \U J_t$, scriveremo \eal{&L(J_1,J_2,\dots,J_t) \definizione{=} L(J_1\U J_2\U \dots \U J_t) } \end{defn} \begin{prop} \label{propproiespaziogenerato} \label{propspaziogenproiettivo} Sia $P_1=\gen {v_1},P_2=\gen {v_2},\dots,P_t=\gen {v_t} \in \pv$ non vuoto. Si ha \eal{&L(P_1,P_2,\dots,P_t) = \P\pton{\Ll{v_1,\dots,v_t}} } \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} Sia $J=\pgra{P_1,\dots,P_t}$. \eal{&\P(W) \le \pv \= W\le \V\\ &J \( \P(W) \= P_i=\gen{v_i}\in \P(W)\;\;\forall i=1,\dots,t \= v_i\in W\;\forall i=1,\dots,t \= \Ll{v_1,\dots,v_t}\( W\\ &J\( \P(W) \= \Ll{v_1,\dots,v_t}\( W\;\;(*)\\ &L(J) = \bigcap_{\P(W)\le \pv:\;J\( \P(W)} \P(W) \ubrace{=}{(*)} \bigcap_{W\le \V:\;\Ll{v_1,\dots,v_t}\( W} \P(W) \ubrace{=}{ \see{propintsottproiett}} \P\pton{\bigcap_{W\le \V:\;\Ll{v_1,\dots,v_t}\( W} W} = \\ &\qq \ubrace{=}{\Ll{v_1,\dots,v_t}\le \V} \P\pton{\Ll{v_1,\dots,v_t}} } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{defn} \eal{&P_1,\dots,P_{t} \in\pv \T{ sono linearmente indipendenti} \definizione{\=} \dim L(P_1,P_2,\dots,P_t) =t-1\\ &\T{Ad esempio, }\\ &\qq P_1,P_2\T{ sono l.i quando } L(P_1,P_2) \T{ e' una retta} \\ &\qq P_1,P_2,P_3\T{ sono l.i quando } L(P_1,P_2,P_3) \T{ e' un piano}\\ &P_1,P_2,\dots,P_t\T{ sono allineati } \definizione{\=} L(P_1,P_2,\dots,P_t) \le 1\\ &P_1,P_2,\dots,P_t\T{ sono complanari } \definizione{\=} L(P_1,P_2,\dots,P_t) \le 2 } \end{defn} \begin{prop} \label{propmaxdimpuntiproiett} \label{propcarattpuntiproiettli} Dati $P_i=\gen{v_i}\in \pv,\;i=1,\dots,t$, si ha \eal{&P_1,\dots,P_{t}\T{ sono l.i} \= v_1,\dots,v_t\T{ sono l.i.} } Segue allora che il massimo numero di punti l.i. in $\pv$ e' $n+1$, dove $\dim \pv=\dim \V- 1 = n$. \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} Per la prop \see{propspaziogenproiettivo}, abbiamo \eal{&L(P_1,\dots,P_{t}) = \P\pton{\Ll{v_1,\dots,v_t}} \\ &\dim L(P_1,\dots,P_{t}) = \dim \P\pton{\Ll{v_1,\dots,v_t}} = \dim \Ll{v_1,\dots,v_t} -1 \\ & \dim L(P_1,P_2,\dots,P_t) =t-1 \= \dim \Ll{v_1,\dots,v_t} -1 = t -1 \= v_1,\dots,v_t\T{ sono l.i.} } \qed \end{prova} \end{prova} \begin{defn} \ilabel{posizione generale} Sia $P_1,\dots,P_{t}\in \pv$, con $t > n+1$.\\ Dalla proposizione \see{propmaxdimpuntiproiett}, segue che $ P_1,\dots,P_{t}$ sono certamente l.d. Diamo allora questa definizione: sia $J=\pgra{P_1,\dots,P_t}$ \eal{& P_1,\dots,P_{t}\T{ si dicono in posizione generale } \definizione{\=} \forall K \(J:|K|=n+1 \;\;\;K\T{ e' un insieme di pt. l.i. } } ovvero, comunque scelti $n+1$ punti, essi sono l.i. \end{defn} \begin{defn} \ilabel{punti fondamentali} \ilabel{punto unita'} Sia $\B$ un riferimento proiettivo di $\pv$ e sia $B=\pgra{v_1,\dots,v_{n+1}}\in \B$ una qualsiasi base in $\B$. I punti \eal{&P_1=\gen {v_1},\;\;P_2=\gen {v_2},\;\;\dots,P_{n+1}=\gen{v_{n+1}} } si dicono \emph{punti fondamentali} rispetto a $B$ oppure a $\B$. Il punto \eal{&P=\gen{v_1+\dots+v_{n+1}}} si chiama \emph{punto unita'} rispetto a $B$ oppure a $\B$.\\ \end{defn} \begin{prop} Sia $B=\pgra{v_1,\dots,v_{n+1}}$ una base di $\V$, $P_1=\gen{v_1},\dots,P_{n+1}=\gen{v_{n+1}}$ i rispettivi pt. fondamentali, e $P$ il punto unita', allora i punti \eal{&P_1,\dots,P_{n+1},P} sono in posizione generale. \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} $J=\pgra{P_1,\dots,P_{n+1},P}$.\\ Escludendo $P$ da $J$, controlliamo che i pt. di $J\-\pgra{P}$ siano l.i: \eal{&P_1=\gen{v_1},\dots,P_{n+1}=\gen{v_{n+1}} \T{ sono l.i } \ubrace{\=}{\see{propcarattpuntiproiettli}} v_1,\dots,v_{n+1}\T{ l.i.} } e questo e' vero perche' sono vettori di una base.\\ Ora escludiamo un generico $P_i$, \eal{&P_1=\gen{v_1},\dots,P_{i-1}=\gen{v_{i-1}},P_{i+1}=\gen{v_{i+1}},\dots,P_{n+1}=\gen{v_{n+1}}, P = \gen{v_1+\dots+v_{n+1}} \T{ sono l.i. } \\ &\qq \ubrace{\=}{\see{propcarattpuntiproiettli}} v_1,\dots,v_{i-1},v_{i+1}, \dots,v_{n+1},v_1+\dots+v_{n+1}\T{ sono l.i.}\;\;(*) } Applichiamo il criterio degli scarti successivi (vedi \AL{criteriodegliscartisuccessivi}): un qualsiasi $v_i$, con $1\le i\le n+1$ non lo possiamo scartare, perche' $v_1,\dots,v_{n+1}$ sono l.i. Se per assurdo $v_1+\dots+v_{n+1}$ fosse l.d. dagli altri, allora \eal{&v_1+\dots+v_i+\dots+v_{n+1} = a_1v_1+\dots+a_{i-1}v_{i-1}+a_{i+1}v_{i+1}+\dots+a_{n+1}v_{n+1} \>\\ &\qq \> v_i= (a_{1}-1)v_{1} + \dots+ (a_{i-1}-1)v_{i-1} + (a_{i+1}-1)v_{i+1} + \dots + (a_{n+1}-1)v_{n+1} } e quindi $v_i$ sarebbe o l.d. dai vettori di $B$, oppure sarebbe nullo. In entrambi i casi cio' e' assurdo, perche' $v_i\in B$.\\ Quindi, non possiamo scartare neanche $v_1+\dots+v_{n+1}$. Allora, per il criterio degli scarti successivi, la $(*)$ e' vera.\\ Abbiamo percio' visto che i punti di un qualsiasi sottoinsieme di $J$ di cardinalita' $n+1$ sono l.i. \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop}\label{propproieunicoriferimento} Sia $\dim \pv=n$, allora \eal{&P_1,\dots,P_{n+2} \T{ sono in posizione generale } \>\\ &\> \exists ! \B\T{ riferimento proiettivo di }\pv\T{ tale che }\\ & \qq \qq \;\;\pgra{P_1,\dots,P_{n+1}} \T{ sono pt. fondamentali e }P=P_{n+2}\T{ e' il pt. unita' rispetto a }\B } \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} Poiche' gli $n+2$ pt. sono in posizione generale, gli $n+1$ pt. sono l.i.\\ Consideriamo allora la base $B'=\pgra{v_1,\dots,v_{n+1}}$, dove $P_i=\gen{v_i},\;\;i=1,\dots,n+1$.\\ Poniamo $v=v_{n+2}$. Si ha: \eal{&v=a_1v_1+\dots+a_{n+1}v_{n+1} } Se per assurdo $a_i=0$, allora $\pgra{v,v_1,\dots,v_{n+1}}$ sono $n+1$ vettori l.d., questo e' assurdo contro l'Hp della posizione generale.\\ Se come nuova base scegliamo \eal{&B=\pgra{a_1v_1,\dots,a_{n+1}v_{n+1}}} e poniamo $\ove v_i = a_iv_i$, avremo che \eal{&P_i=\gen {v_i} =\gen {a_iv_i } = \gen{\ove v_i},\;\;i=1,\dots,n+1\\ &v=\ove v_1+\ove v_2 + \dots + \ove v_{n+1} \\ &P=P_{n+2}=\gen {v_{n+2}}=\gen {v} = \gen{\ove v_1+\ove v_2 + \dots + \ove v_{n+1}} } e quindi la tesi: $P_i$ sono pt. fondamentali, e $P$ e' il punto unita', il tutto rispetto alla base $B$. Allora, $\B=\gen B$ e' il riferimento proiettivo cercato. \end{prova} \step{}{Dim. l'unicita'} \begin{prova} Supponiamo che esista un altro riferimento $\B'=\gen B'$ per cui \eal{&B'=\pgra{w_1,\dots,w_{n+1}}\\ &P_i=\gen {w_i},\;i=1,\dots,w_{n+1}\\ &P= \gen {w_1+w_2+\dots+w_{n+1}}} allora, considerando il riferimento $\B$ di prima, abbiamo \eal{ &P_i=\gen w_i =\gen {\ove v_i} \> w_i=\lambda_i \ove v_i,\;\;\lambda_i \neq 0\;\;\;(*)\\ &P= \gen{w_1+\dots+w_{n+1}} = \gen{\ove v_1+\ove v_2 + \dots + \ove v_n} \> \sum_{i=1}^{n+1} w_i= \ubrace{\lambda }{ \neq 0} \sum_{i=1}^{n+1} \ove v_i \ubrace{\=}{(*)} \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i \ove v_i = \sum_{i=1}^{n+1}\lambda\ove v_i \= \\ &\qq \= (\lambda-\lambda_1)\ove v_1+(\lambda-\lambda_2)\ove v_2+\dots+(\lambda-\lambda_{n+1})\ove {v_{n+1}}=0 } e poiche' $\pgra{\ove v_i}$ sono l.i., l'unica combinazione lineare nulla e' quella che ha i coefficienti tutti nulli, da cui \eal{&\lambda=\lambda_1=\lambda_2=\dots=\lambda_{n+1} } In definitiva\eal{&w_i=\lambda v_i \;\;i=1,\dots,n+1} quindi \eal{& B'=\lambda B \> B'\in \gen B \> \B=\B' } \end{prova} \qed \end{prova} \subsubsection{Formula di Grassman proiettiva} \begin{prop}\label{propgrassmanproiettivo} Dati due sottospazi proiettivi, $S_1,S_2\le \pv$, $S_i=\P(W_i)$, si ha \eal{ &1.\;\;L(S_1,S_2)=\P(W_1+W_2)\\ &1.1\;\;L(S_1,S_2,\dots,S_n)=\P(W_1+W_2+\dots+W_n),\;\;n\ge 2\\ &2.\;\;\dim L(S_1,S_2) = \dim S_1 +\dim S_2-\dim S_1\^S_2 } Poiche' $\dim L(S_1,S_2)\le \dim \pv$, dalla $2.$ si ha \eal{&3.\;\;\dim S_1\^S_2 \ge \dim S_1 +\dim S_2 -\dim \pv } \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $1.$} \begin{prova} \eal{&\sist{\P(W)\le \pv\\ \P(W_1)\U \P(W_2)\( \P(W)} \ubrace{\=}{\see{propunionesottospazi}} \sist{W\le \V\\ W_1\U W_2\(W}\;\;(*)\\ &L(S_1,S_2)= L(S_1\U S_2) = \bigcap_{ \P(W)\le \pv:\;\;S_1\U S_2 \( \P(W) } \P(W) \ubrace{=}{(*)} \bigcap_{W\le \V:\;W_1\U W_2 \( W} \P(W) = \\ &\qq \ubrace{=}{\see{propintsottproiett}} \P\pton{\bigcap_{W\le \V:\;W_1\U W_2 \( W} W} \ubrace{=}{(**)} \P(W_1+W_2) } (**) Il piu' piccolo sottospazio che contiene $W_1\U W_2$ e' $W_1+W_2$. \end{prova} \step{}{Dim $1.$} \begin{prova} Procediamo per induzione su $n$. La base e' stata gia' provata nel passo precedente.\\ Supponiamo la tesi vera per $n-1$.\\ Sia $L(S_1,\dots,S_n)=\P(W)$. \eal{&L(S_1,\dots,S_{n-1}) \ubrace{=}{\T{Hp induttiva}} \P(W_1+\dots+W_{n-1})\\ &L(S_1,\dots,S_{n-1}) \ubrace{\(}{\T{per def. di $L(X)$}} L(S_1,\dots,S_n) \= \P(W_1+\dots+W_{n-1}) \( \P(W)\=\\ &\qq \ubrace{\=}{\see{propunionesottospazi} } W_1+\dots+W_{n-1} \( W \;\;(1)\\ &S_n \( L(S_1,\dots,S_n) \= \P(W_n) \( \P(W) \= \ W_n \( W\;\;(2)\\ &(1),(2) \> (W_1+\dots+W_{n-1})+W_n \( W \= \P( (W_1+\dots+W_{n-1})+W_n ) \( \P(W) = L(S_1,\dots,S_n)\;\;(3)\\ &W_1,W_2,\dots,W_n \( W_1+W_2+\dots+W_n \> \P(W_1),\P(W_2),\dots,\P(W_n)\( \P( W_1+W_2+\dots+W_n)\= \\ &\qq \= S_1,\dots,S_n \( \P( W_1+\dots+W_{n-1}+W_n ) \ubrace{\>}{\T{per def. di $L(X)$}} L(S_1,\dots,S_n) \( \P( W_1+W_2+\dots+W_n) \;\;(4)\\ &(3),(4) \> L(S_1,\dots,S_n)=\P(W_1+W_2+\dots+W_n) } \end{prova} \step{}{Dim $2.$} \begin{prova} \eal{&\sist{\dim W_1 = \dim \P(W_1) +1\\ \dim W_2 = \dim \P(W_2)+1\\ \dim W_1\^W_2 = \dim \P(W_1\^W_2) + 1 \ubrace{=}{\see{propintsottproiett}} \dim \P(W_1)\^\P(W_2)+1}\;\;(***)\\ &\dim L(S_1,S_2) = \dim \P(W_1+W_2) = \dim (W_1+W_2) -1 = \dim W_1 +\dim W_2 -\dim W_1\^W_2 -1 =\\ &\qq \ubrace{=}{(***)} \dim \P(W_1) +1+ \dim \P(W_2)+1 -\pton{ \dim \P(W_1)\^\P(W_2)+1} -1 = \\ &\qq= \dim \P(W_1) +\dim \P(W_2)-\dim \P(W_1)\^\P(W_2) } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop} \label{propsommaproiettiva} Dati $S_i=\P(W_i),\;i=1,2,\dots,n$, allora \eal{&1.\;\;L(S_1) = S_1\\ &2.\;\;L(L(S_1,S_2,\dots,S_{n-1}),S_n)=L(S_1,S_2,\dots,S_n),\;\;\;n\ge 2\\ &3.\;\;S_1 \( S_2 \> L(S_1,S_2) = L(S_2) = S_2\\ &3.1\;\;S_1 \( L(S_2,S_3,\dots,S_n) \> L(S_1,S_2,\dots,S_n) = L(S_2,\dots,S_n)\\ &4.\;\;P,Q\in S_1 \> L(P,Q)\( S_1\\ } queste sono le proprieta' analoghe a quelle della congiungente (\vedi{corpropcongiungente}). \end{prop} \begin{proof} \step{}{Dim $1.$} \begin{prova} \eal{&S_1 \( S_1 \ubrace{\>}{(*)} L(S_1) \( S_1 \\ &\T{Per definizione: } S_1\( L(S_1)\\ &S_1=L(S_{1})} $L(S_1)$ e' il piu' piccolo sottospazio che contiene $S_1$. \end{prova} \step{}{Dim $2.$} \begin{prova} Procediamo per induzione su $n$.\\ Base: $n=2$ \eal{&L(L(S_1),S_2)) \ubrace{=}{1.} L(S_1,S_2) } Supponiamo che sia vero per $n-1$.\\ \eal{& L(S_1,S_2,\dots,S_{n-1}) \ubrace{=}{\see{propgrassmanproiettivo}} \P(W_1+W_2+\dots+W_{n-1})\\ & L(L(S_1,S_2,\dots,S_{n-1}),S_n) =\P((W_1+W_2+\dots+W_{n-1})+W_n) \ubrace{=}{\see{propgrassmanproiettivo}} L(S_1,S_2,\dots,S_n) } \end{prova} \step{}{Dim $3.$} \begin{prova} \eal{&S_1 \( S_2 \= W_1 \( W_2 \> W_1+W_2 =W_2\\ &L(S_1,S_2)=\P(W_1+W_2)=\P(W_2)=L(S_2)} \end{prova} \step{}{Dim $3.1$} \begin{prova} \eal{&S_1 \( L(S_2,\dots,S_n) \ubrace{\>}{3.} L(S_1,L(S_2,\dots,S_n)) = L(L(S_2,\dots,S_n)) \ubrace{=}{1.} L(S_2,\dots,S_n)\;\;(1)\\ &L(S_1,L(S_2,\dots,S_n)) \ubrace{=}{2.} L(S_1,S_2,\dots,S_n) \;\;(2)\\ &(1),(2) \> L(S_2,\dots,S_n) = L(S_1,S_2,\dots,S_n) } \end{prova} \step{}{Dim $4.$} \begin{prova} \eal{&P=\gen v, \;Q=\gen u,\;\;S_1=\P(W)\\ &P,Q\in S_1 \ubrace{\>}{\see{propcontenutoinproiettivo}} v,u \in W \> \Ll{v,u}\( W \ubrace{\>}{\see{propunionesottospazi}} \P(\Ll{v,u}) \( \P(W) \= L(\gen v,\gen u)=L(P,Q) \( S\\ } \end{prova} \end{proof} \begin{defn} Dati $S_1,S_2\le \pv$, \eal{&S_1,S_2\T{ sono in posizione generale } \definizione{\=} \dim S_1\^S_2 = \max \pgra{-1, \dim S_1+\dim S_2 -\dim \pv} } \end{defn} \begin{exemp} \label{exppropiperpianoerettasiincontrano} Un iperpiano e una retta hanno almeno un punto in comune.\\ Sia $\alpha$ l'iperpiano, ovvero $\dim \alpha = \dim \pv -1$.\\ Sia $r$ la retta, ovvero $\dim r = 1$.\\ \eal{&\dim L(r,\alpha) \le n \ubrace{\=}{\see{propgrassmanproiettivo}} \dim r+\dim \alpha -\dim \alpha\^r \le n \= 1+n-1 - \dim \alpha\^ r \le n \= \dim \alpha \^ r \ge 0 } In particolare, in $\pv$ con $\dim \pv =2 $, due rette si incontrano in un punto, oppure sono coincidenti. \end{exemp} \subsection{Proiezione (spazi proiettivi)} \begin{defn} Sia $\dim \pv = n$, e $H\le \pv$ un iperpiano, ovvero $\dim H=n-1$. Sia $P\notin H$ e sia definita la seguente mappa: \eal{&\pi_{P,H}: \pv\-\pgra{P}\longrightarrow H\\ &\pi_{P,H}(Q) \in L(P,Q)\^H=\pgra{R} } $\pi$ si chiama \emph{proiezione} di centro $P$, sull'iperpiano $H$.\\ Questa definizione e' ben posta perche' $|L(P,Q)\^H|=1\;\;\forall Q\in \pv\-\pgra{P}$ \end{defn} \begin{prova} \pf \step{}{Dimostriamo che $L(P,Q)\^H$ e' formato da un solo punto} \begin{prova} Sia $Q\in \pv\-\pgra{P}$.\\ $L(P,Q)$ e' una retta, infatti, \eal{&Q \neq P \> P\^Q =\pgra{\vz} \> \dim P\^Q = 0-1 =-1\\ &\dim L(P,Q)=\dim P + \dim Q -\dim P \^ Q = 0+0-(-1) = 1 } Un iperpiano e una retta hanno sempre un punto in comune (vedi \see{exppropiperpianoerettasiincontrano}), quindi \eal{&\dim L(P,Q) \ubrace{\ge}{\see{exppropdimcontenutoint}} \dim L(P,Q)\^H \ge 0 \= 0 \le \dim L(P,Q)\^H \le 1} Se per assurdo $\dim L(P,Q)\^H =1$, allora \eal{&\sist{\dim L(P,Q)\^H =1=\dim L(P,Q)\\ L(P,Q)\^H \( L(P,Q) } \ubrace{\>}{\see{expproiestessadimcontenuto}} L(P,Q)\^H = L(P,Q) \= L(P,Q)\( H } assurdo perche' $P\notin H$.\\ Quindi, $\dim L(P,Q)\^H=0$. \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop} Sia $\dim \pv = n$, e $H\le \pv$ un iperpiano, ovvero $\dim H=n-1$. Sia $Q \in\pv \-H$ e sia $\pi$ la proiezione di centro $Q$ sull'iperpiano $H$. Si ha \eal{& S \le \pv,\;\;Q\notin S \> \sist{\pi(S) = L(S,Q)\^ H \\ \dim \pi(S) = \dim S} } Nota: $\pi(S)$ e' l'immagine di tutto $S$. \end{prop} \begin{proof} \step{}{Dim $1.$} \begin{prova} Dobbiamo dimostrare che $\{\pi(S)\}= L(S,Q)\^H$. \step{}{Dim $\($} \begin{prova} Sia $\pi(P) \in \pi(S)$, \eal{&\pi \T{ proiezione } \> \{\pi(P)\} = L(P,Q)\^ H \;\;(1)\\ &P,Q \in L(S,Q) \ubrace{\>}{ \see{propsommaproiettiva}} L(P,Q) \( L(S,Q) \> L(P,Q)\^H\( L(S,Q)\^H \ubrace{\>}{(1)} \pgra{\pi(P)} \( L(S,Q)\^H \\ & \pi(P) \in L(S,Q)\^H } \end{prova} \step{}{Dim $\)$} \begin{prova} Sia $P\in L(S,Q)\^H$. \step{}{Dim che $ \dim L(P,Q)\^S =0$, ovvero che $L(P,Q)\^S$ e' un punto } \begin{prova} \eal{&P\in H, Q\notin H \> P \neq Q \> \dim L(P,Q)=1\;\;(2')\\ &L(L(P,Q),S) \ubrace{=}{\see{propsommaproiettiva}} L(P,Q,S) \;\;(2)\\ &P\in L(S,Q) \ubrace{\>}{\see{propsommaproiettiva}} L(P,S,Q)=L(S,Q)\;\;(2.1)\\ & Q\notin S\> S\^ Q = \0 \> \dim S\^Q =-1\\ &\dim L(P,S,Q) \ubrace{=}{(2.1)} \dim L(S,Q) = \dim S + \ubrace{\dim Q}{=0} -\dim S\^Q =\dim S +1 \;\;(3)\\ &\dim L(L(P,Q),S)=\dim L(P,Q)+\dim S-\dim L(P,Q)\^S \;\;(4)\\ &(2) \> \dim L(P,Q,S) = \dim L(L(P,Q),S) \ubrace{\=}{(4)} \dim S+1 = \dim L(P,Q)+\dim S-\dim L(P,Q)\^S \= \\ &\qq \=\dim L(P,Q)\^S = \dim L(P,Q)-1 \ubrace{=}{(2')} 0 } \end{prova} \step{}{Dim. che $\pi(R)=P$, dove $\pgra{R}=L(P,Q)\^S$} \begin{prova} \eal{&\pgra{R}= L(P,Q)\^S \> \sist{R\in L(P,Q)\\ R\in S \ubrace{\>}{Q\notin S} R \neq Q } \> L(P,Q)=L(R,Q)\;\;(5) \\ & \{\pi(R)\}=L(R,Q)\^H \ubrace{=}{(5)} L(P,Q)\^H\;\;(6)\\ &\sist{ P\in H\\ P\in L(P,Q) } \> P\in L(P,Q)\^H = \pgra{\pi(R)} \> P=\pi(R) \> P\in \pi(S) } \end{prova} Abbiamo cosi' dimostrato che preso $P\in L(S,Q)\^H$, si ha $P\in \pi(S)$, ovvero \eal{&L(S,Q)\^H \( \pi(S)} \end{prova} Dalle due doppie inclusioni di sopra, segue la tesi. \end{prova} \step{}{Dim $\dim \pi(S)=\dim S$} \begin{prova} \eal{&L(S,Q)\^H \( L(S,Q) \ubrace{\>}{\see{exppropdimcontenutoint}} \dim L(S,Q)\^H \le \dim L(S,Q) \ubrace{=}{\T{vedi passo precedente}} \dim S+1 \;\;(7)\\ &\dim \pv \ge \dim L(S,Q,H) = \dim L(L(S,Q),H) = \\ & = \dim L(S,Q)+\ubrace{\dim H}{=\dim \pv-1} - \dim L(S,Q)\^H = \dim S+1 +\dim \pv -1 -\dim L(S,Q)\^H\;\;(7.1)\;\=\\ &\qq \= \dim L(S,Q)\^H \ge \dim L(S,Q)-1 =\dim S\;\;(8.)\\ &(7),(8) \> \dim S+1 \ge \dim L(S,Q)\^H \ge \dim S\;\;(8.1) } Se per assurdo, $\dim S+1 = \dim L(S,Q)\^H$, allora \eal{&\dim S+1 = \dim L(S,Q)\^H \ubrace{\>}{(7.1)} \dim L(S,Q,H) = \dim \pv -1 = \dim H\\ &\sist{\dim L(S,Q,H)=\dim H\\ H\( L(S,Q,H)} \ubrace{\>}{\see{expproiestessadimcontenuto}} L(S,Q,H)=H\\ &Q\in L(S,Q,H)=H \> Q\in H } assurdo. Quindi, $\dim S+1 \neq \dim L(S,Q)\^H$, e allora dalla $(8.1)$ si ha \eal{& \dim S+1 > \dim L(S,Q)\^H \ge \dim S \= \dim L(S,Q)\^H =\dim S } e per il passo precedente: \eal{&\dim S =\dim L(S,Q)\^H =\dim \pi(S) } \end{prova} \end{proof} \subsection{Isomorfismo proiettivo} \def\pvv{{\P(\V')}} \def\pvvv{{\P(\V'')}} \def\f{{\textbf{f}}} \begin{defn} Considerando $\pv,\pvv$, \eal{&f:\pv \longrightarrow \pvv\\ &f\T{ isomorfismo proiettivo } \definizione{\=} \exists \f:\V\longrightarrow \V'\T{ isom. vett. tale che } f(\gen v)=\gen {\f(v)} } Se $\pv=\pvv$, allora $f$ si dira' \emph{proiettivita'}.\\ \end{defn} \begin{prop} Sia $\f:\V\longrightarrow \V'$ isom. vett., allora \eal{&f:\pv \longrightarrow \pvv\\ &f(\gen v)=\gen{\f(v)} } $f$ e' un isomorfismo proiettivo e si dira' l'\emph{isomorfismo indotto da} $\f$. \end{prop} \begin{prop} $f$ e' biettiva. \end{prop} \begin{prova} \pf E' iniettiva: \eal{&f(\gen v) = f(\gen w) \> \gen{\f(v)}=\gen{\f(w)} \> \f(w)=\lambda\f(v) =\f(\lambda v) \ubrace{\=}{\f \T{ isomorf.}} w=\lambda v \= \gen w =\gen v } E' surriettiva: \eal{&\gen{v'} \in \pvv \> v'\in \V' \> \exists v\in \V:\;\f(v) = v'\\ &\gen{v'} = \gen{\f(v)}= f(\gen v) } \qed \end{prova} \begin{prop} \label{isomproimultiplo} Dati due isomorfismi proiettivi $f,g$, \eal{&f=g \= \f=\lambda \g,\;\;\lambda \neq 0 } dove $\lambda \g$ e' l'isomorfismo vettoriale definito da \eal{&(\lambda \g)(v)=\lambda \g(v) } \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\<$} \begin{prova} \eal{&f(\gen v) = \gen{\f(v)}= \gen{\lambda\g(v)} =\gen{\g(v)} = g(\gen v) } \end{prova} \step{}{Dim $\>$} \begin{prova} E' chiaro che se $v=\vz$, allora \eal{&\f(v)=\f(\vz) \ubrace{=}{\f\T{ isomorf.}} \vz = \lambda \vz \ubrace{=}{\g\T{ isomorf.}} \lambda \g(\vz) = \lambda \g(v)\;\;\forall \lambda\\ } Quindi, dobbiamo preoccuparci solo dei vettori $v \neq \vz$.\\ Sia $v \neq \vz$ \eal{&f(\gen v)=g(\gen v) \= \gen{\f(v)}=\gen{\g(v)} \= \f(v)=\lambda_v {\g(v)},\;\;\lambda_v \neq 0} \step{}{$\lambda_v=\lambda\;\;\forall v\in \V$} \begin{prova} \eal{&\f(v) = \lambda_v\g(v) \= (\inv \g\f)(v)=\lambda_vv\;\;\forall v\in \V\\ &\T{ sia }\varphi=\inv \g\f:\V\longrightarrow \V\\ &\T{ ogni vettore e' un autovettore per $\varphi$ }\\ &\T{ Presi $v,w\in \V$, supponiamo per assurdo che $\lambda_w \neq \lambda_v$ }\\ &\sist{\varphi(v)=\lambda_vv\\ \varphi(w)=\lambda_ww\\ \lambda_w \neq \lambda_v} \ubrace{\>}{\AL{propautovaloridistintialloraautovettorilinind}} v,w\T{ sono l.i.}\\ &\varphi(v+w)=\lambda (v+w) = \lambda v + \lambda w\\ &\varphi(v+w)=\varphi(v)+\varphi(w)=\lambda_vv+\lambda_ww\\ &\lambda v+\lambda w = \lambda_vv+\lambda_ww \= (\lambda-\lambda_v) v + (\lambda-\lambda_w)w = \vz \ubrace{\=}{v,w\T{ sono l.i}} \sist{\lambda-\lambda_v=0\\ \lambda-\lambda_w=0} \= \lambda_v=\lambda=\lambda_w \\ &\qq \> \lambda_v=\lambda_w\T{ assurdo } } \end{prova} Quindi, \eal{&\forall v\in V \;\;\f(v)=\lambda \g(v) \= \f=\lambda \g} \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop}\label{spazidiugualdimensionesonoisomorfi} \eal{&\pv \simeq \pvv \= \dim \pv = \dim \pvv} In particolare, \eal{&\dim \pv = n \= \pv \simeq\P(\K^{n+1}) } \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\>$} \begin{prova} \eal{&\pv \simeq\pvv \> \exists f:\pv \longrightarrow \pvv \T{ isom. proiett. } \> \f:\V\longrightarrow \V' \T{ isom. vettoriale } \> \\ &\qq \> \dim \V =\dim \V' \> \dim \pv =\dim \pvv } \end{prova} \step{}{Dim $\<$} \begin{prova} \eal{&\dim \pv =\dim \pvv \= \dim \V=\dim \V'= n+1} Allora per la prop \AL{spazidiugualdimensionesonoisomorfi}, si ha \eal{&\V\simeq \V' } e quindi \eal{&\V\simeq\V' \= \pv\simeq\pvv } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop}\label{propisomorfiallorastessecoordinate} Dati due spazi $\pv,\pvv$ isomorfi, e rispettivamente $\B,\B'$ due loro riferimenti, allora \eal{&\exists f:\pv \longrightarrow \pvv \T{ isom. proiettivo tale che } \\ &\coord{P}{\B} = \coord{f(P)}{\B'} } \end{prop} \begin{proof} \eal{&\pv \simeq \pvv \= \V \simeq \V'} Allora per la prop. \AL{propisomorfiallorastessecoordinate}, si ha \eal{&\exists \f:\V\longrightarrow \V'\T{ isomorfismo tale che }\\ &\qq \coord{v}{B}=\coord{\f(v)}{B'}\;\;\forall v\in \V\;\;(1)} dove $B\in \B,B'\in \B'$.\\ E quindi scegliendo l'isom. proiettivo associato $f$, si ha \eal{&P\in \pv \= P=\gen v ,\;\;v\in \V^*\\ &\coord{f(P)}{\B'} = \coord{f(P)}{B'} = \coord{f(\gen v )}{B'} = \coord{\gen{\f(v)}}{B'} = \gen{\coord{\f(v)}{B'}} \ubrace{=}{(1)} \gen{\coord{v}{B}} = \coord{\gen{v}}{B} = \coord{P}{B}= \coord{P}{\B} } \end{proof} \def\.{{\circ}} \def\h{{\mathbf{h}}} \def\g{{\mathbf{g}}} \begin{prop} \label{propcompisoproie} Dati due isomorfismi proiettivi \eal{&f:\pv\longrightarrow \pvv\\ &g:\pv\longrightarrow \pvv} la loro composizione $h=g\.f$ e' un isomorfismo proiettivo, e inoltre $\h=\g\.\f$ \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} \eal{&h(\gen v)=g\.f(\gen v)=g(f(\gen v))=g(\gen{\f(v)})=\gen{\g\f(v)}} $\g\f$ e' un isom. vett. perche' composizione di isom. vettoriali. Quindi $h$ e' un isomorfismo proiettivo e $\h=\g\f$. \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop}\label{propreltraspaziproiettivi} La relazione di isomorfismo proiettivo e' una relazione d'equivalenza nella classe di tutti gli spazi proiettivi. \end{prop} \begin{prova} \pf\step{}{Riflessivita': $\pv\simeq\pv$} \begin{prova} L'identita' e' una proiettivita'. \end{prova} \step{}{Simmetria: $\pv\~\pvv\>\pvv\~\pv$} \begin{prova} Siano $f$ l'isomorfismo proiettivo di $\pv\longrightarrow \pvv$. Basta scegliere $g=\inv f$ come isomorfismo proiettivo inverso. Verifichiamo che $\inv f$ sia un isomorfismo proiettivo: \eal{&P'=\gen{v'}\in \pvv \ubrace{\>}{\T{f surriettiva } } \exists P=\gen v \in \pv :\;f(P)=P'\\ &f(P)=f(\gen v)=\gen{\f(v)} = P'=\gen{v'} \> \gen{\f(v)}=\gen{v'} \> \f(v)=\lambda v'\\ &\inv f(P')=P=\gen v = \gen {\inv \f(\f(v))} = \gen {\inv \f(\lambda v')} = \gen {\lambda \inv \f(v')} = \gen {\inv \f(v')} } Quindi $\inv f$ e' un isom. proiettivo e inoltre $\inv \f $ e' il suo isom. vettoriale associato. \end{prova} \step{}{Transitivita': $\A\~\A'\~\A''\>\A\~\A''$} \begin{prova} Per la prop. \see{propcompisoaffi} segue la tesi. \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop}\ilabel{PGL} \eal{&PGL(\V)=\pgra{f:\pv\longrightarrow \pv\;|\;f\T{ proiettivita' }}} e' un gruppo con l'operazione di composizione. \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} Per la prop. \see{propcompisoproie}, l'operazione di composizione e' ben posta.\\ L'elemento neutro e' l'identita'.\\ La proprieta' associativa sicuramente vale.\\ L'inverso di $f$ e' $\inv f$, che e' ancora una proiettivita', come visto in \see{propreltraspaziproiettivi}. \end{prova} \qed \end{prova} \begin{thm} \label{thmproiefissatin2punti} Siano $\dim \pv=\dim \pvv=n $ e $P_i\in \pv,Q_i\in\pvv\;\;i=1,2,\dots,n+2$, entrambi in posizione generale, allora \eal{&\exists ! f:\pv \longrightarrow \pvv \T{ isom. proiettivo tale che }\\ &\qq f(P_i)=Q_i\;\;i=1,\dots,n+2} \end{thm} \begin{proof} \step{}{Troviamo $f$} \begin{prova} Poiche' $\pgra{P_i\;|\;i=1,\dots,n+2}$ sono in posizione generale, per la proposizione \see{propproieunicoriferimento} \eal{&\exists ! \B\T{ riferimento di }\pv \T{ t.c } \pgra{P_1,\dots,P_{n+1}}\T{ sono pt. fondamentali e } P=P_{n+2}\T{ e' il punto unita', percio' }\\ &P_i=\gen {v_i} i=1,\dots,n+2,\;\;v=v_{n+2}\> B=\pgra{v_1,\dots,v_{n+1}} \T{ e' una base di } \V,\;\;v=v_1+\dots+v_{n+1}} Analogamente per i $Q_i$ \eal{ &Q_i=\gen {w_i} i=1,\dots,n+2,\;\;w=w_{n+2}\> B'=\pgra{w_1,\dots,w_{n+1}} \T{ e' una base di } \V',\;\;w=w_1+\dots+w_{n+1}} Allora, come $\f$ scegliamo quell'isomorfismo vettoriale t.c. $\f(v_i)=w_i,\;i=1,\dots,n+1$, che esiste per il thm \AL{thmfdefinitadallabase}. L'isomorfismo proiettivo $f$ indotto da $\f$ e' quello cercato. \end{prova} \step{}{Dimostriamo che e' unico} \begin{prova} Supponiamo che esista $g:\pv\longrightarrow \pvv$ isom. proiet. tale che \eal{&g(P_i)=Q_i\;\;i=1,\dots,n+2} allora\\ \xymatrix{ f(P_i)\ar@{=}[d]\ar@{=}[r] & Q_i \ar@{=}[r] & g(P_i)\ar@{=}[d]\\ \gen{\f(v_i)} & & \gen{\g(v_i)} }\\ \eal{ &\gen{\f(v_i)} = \gen{\g(v_i)} \= \f(v_i)=\lambda_i\g(v_i)\;\;i=1,\dots,n+2\;\;(*)\\ &\f(v)=\f(v_{n+2})=\lambda_{n+2} \g(v) \ubrace{=}{\T{sia }\lambda=\lambda_{n+2}} \lambda\g(v)\\ &\f(v)=\f(v_1+\dots+v_{n+1})=\f(v_1)+\dots+\f(v_{n+1}) } \xymatrix{ \f(v) \ar@{=}[r] & \f(v_1)+\dots+\f(v_{n+1}) \ar@{=}[d]\ar@{=}[r] & \lambda \g(v) \ar@{=}[d] \\ & \lambda_1 \g(v_1) +\dots+\lambda_{n+1}\g(v_{n+1}) & \lambda \g(v_1)+\dots+\lambda\g(v_{n+1}) \ar@{=}[l] }\\ \eal{&(\lambda-\lambda_1)\g(v_1)+\dots+(\lambda-\lambda_{n+1})\g(v_{n+1})=\vz \ubrace{\=}{v_1,\dots,v_{n+1} \T{ l.i. e }\g \T{ isom. vett}} \lambda=\lambda_1=\lambda_2=\dots=\lambda_{n+1} } Quindi \eal{&\f=\lambda \g \> f=g} \end{prova} \end{proof} \begin{cor} In $\pv$, con $\dim \pv =n$, siano $P_i\in \pv\;\;i=1,\dots,n+2$ in posizione generale, allora \eal{&\sist{f:\pv\longrightarrow \pv\T{ proiettivita' }\\f(P_i)=P_i} \> f=\id} \end{cor} \begin{proof} Dal thm \see{thmproiefissatin2punti} \eal{&\exists!\;g:\pv\longrightarrow \pv\T{ proiettivita' tale che } g(P_i)=P_i} e una tale proiettivita' e' proprio $\id$. Quindi per l'unicita' si ha la tesi. \end{proof} \begin{prop} \label{propmatproiettisomproiett} Siano $\B,\B'$ due riferimenti proiettivi rispettivamenti di $\pv,\pvv$. Sia $f:\pv\longrightarrow \pvv$ isom. proiettivo e sia $P=\gen v \in \pv$, allora \eal{&\qq\qq\qq\TR \coord{f(P)}{\B'} = \gen{M_{B,B'}(\f)} \TR \coord{P}{\B} = M_{\B,\B'}(\f) \TR \coord{P}{\B}\\ &\T{ dove } \\ &\qq M_{\B,\B'}(\f) \definizione{=} \gen{M_{B,B'}(\f)}\\ &\qq B,B'\T{ due qualsiasi basi in } \B,\B' } questa proposizione e' il caso generale della proposizione \see{propcambiorifproiett}, che si riottiene con $f=\id$. \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Dim. che $M_{\B,\B'} \definizione{=} \gen{M_{B,B'}}$ e' ben posta} \begin{prova} Dobbiamo dimostrare che prendendo $\ove B\in \B$ si ha \eal{&\gen{M_{B,B'}}=\gen{M_{\ove B,B'}}} \lineapiccola \eal{&\ove B \in \B = \gen B \> \ove B = kB,\;\;k \neq 0\\ &v\in B \= kv\in kB \> \coord{\f(kv)}{B'} = \coord{k\f(v)}{B'} = k\coord{\f(v)}{B'}\\ &\qq \> M_{kB,B'} = k M_{B,B'} \> \gen{M_{kB,B'}}=\gen{M_{B,B'}} } Analogamente, scelto $kB'\in \B'$, si ha \eal{&\coord{\f(v)}{kB'}=k\coord{\f(v)}{B'} \> M_{B,kB'} = k M_{B,B'} } \end{prova} \step{}{} \begin{prova} \eal{&P=\gen v\\ &\TR \coord{P}{\B} = \gen{\TR \coord{v}{B}}\\ & \TR \coord{f(P)}{\B'} = \TR \coord{f(\gen v)}{\B'}=\TR \coord{\gen{\f(v)}}{\B'}= \TR \gen{\coord{\f(v)}{B'}} = \gen{\TR\coord{\f(v)}{B}} = \gen{M_{B, B'}\TR \coord{v}{B}}=\\ &\qq = \gen{M_{B, B'}}\gen{\TR \coord{v}{B}} = \gen{M_{B, B'}} \TR \coord{P}{\B} = M_{\B,\B'} \TR \coord{P}{\B} } \end{prova} \qed \end{prova} \subsubsection{Punti uniti e autovalori} \begin{prop}\label{propproipuntiuniti} Data $f:\pv \longrightarrow \pv$ proiettivita', si ha \eal{&f(\gen v)=\gen v\= v \T{ e' un autovettore di }\f } Ovvero, i punti uniti di $f$ sono generati da tutti e soli gli autovettori di $\f$. \end{prop} \begin{proof} \begin{pnecsuf} \eal{&f(\gen v) \ubrace{=}{\T{ per Hp}} \gen v \= \gen{\f(v)} =\gen v \> \f(v) = \lambda v,\;\;\lambda \neq 0 \= v\T{ autovettore di } \f } \end{pnecsuf} \end{proof} \begin{prop} \label{propautovaloreunicoperlaproiettunita} Data $f:\pv \longrightarrow \pv$ proiettivita', si ha \eal{&f=\id \= \forall P\in \pv\;\;f(P)=P \= \V=V_{\lambda} \= \pv =\P(V_{\lambda}) } dove $\lambda$ e' un autovalore non nullo di $\f$ e $V_{\lambda}$ e' il relativo autospazio di $\f$. \end{prop} \begin{proof} \begin{pnecessaria} \def\bid{{\operatorname{\textbf{id}}}} Poiche' l'endomorfismo associato ad $\id:\pv\longrightarrow \pv$ e' $\bid:\V\longrightarrow \V$, per la prop \see{isomproimultiplo}, si ha \eal{&\f=\lambda \bid,\;\;\lambda \neq 0 } e quindi \eal{&\forall v\in \V\;\;\f(v) = (\lambda\bid)(v) = \lambda v \> v\in V_\lambda\\ &V\( V_\lambda } e per definizione $V_\lambda\( V$. Percio' \eal{& V_\lambda= \V} \end{pnecessaria} \begin{psufficiente} \eal{&P\in \pv \= P=\gen v,\;\;v\in \V\-\{\vz\}\\ &f(P)=f(\gen v) \ubrace{=}{\see{propproipuntiuniti}} \gen {v} = P } Quindi $f=\id$. \end{psufficiente} \end{proof} \begin{prop} Data $f:\pv \longrightarrow \pv$ proiettivita', e dato $S=\P(W) \le \pv$, si ha \eal{&f_{|S}=\id \= \forall P\in S\;\;f(P)=P \= W \le V_{\lambda} \= S \le \P(V_\lambda) } dove $f_{|S}$ e' la restrizione di $f$ ad $S$, $\lambda$ e' un autovalore non nullo di $\f$ e $V_{\lambda}$ e' il relativo autospazio di $\f$. \end{prop} \begin{proof} Consideriamo $g=f_{|S}:\P(W)\longrightarrow \P(W)$, per ipotesi $g=\id:\P(W)\longrightarrow \P(W)$. Quindi $g$ e' ancora una proiettivita' (quella identica), ma allora per la prop \see{propautovaloreunicoperlaproiettunita}, si ha \eal{&W=\ove V_{\lambda}} dove $\ove V_{\lambda}$ e' l'autospazio relativo a $\g:W\longrightarrow W$ rispetto all'autovalore non nullo $\lambda$. Ma poiche' \eal{&\g=\f_{|W}} si ha \eal{&W=\ove V_{\lambda} \le V_{\lambda}} dove $V_{\lambda}$ e' l'autospazio relativo a $\f$. \end{proof} \begin{defn} Sia dato $S=\P(W)\le \pv$ e sia $f:\pv \longrightarrow \pv$ una proiettivita', allora \eal{&S\T{ e' uno spazio unito} \definizione{\=} f(S)=S} \end{defn} \begin{prop} Sia dato $S=\P(W)\le \pv$ e sia $f:\pv \longrightarrow \pv$ una proiettivita', allora \eal{&S\T{ e' unito } \= f(S) \( S \= \f_{|W} \T{ e' un isomorfismo }} dove $\f_{|W}$ e' la restrizione di $\f$ a $W$ \end{prop} \begin{proof} \step{}{Dim $1.$} \begin{prova} \begin{pnecessaria} \eal{&S\T{ unito } \> f(S) = S \> f(S) \( S} \end{pnecessaria} \begin{psufficiente} \eal{&f\T{ proiett.} \> \dim f(S) = \dim S\\ &\sist{f(S) \( S\\ \dim f(S) = \dim S } \ubrace{\>}{\see{expproiestessadimcontenuto}} f(S)=S } \end{psufficiente} \end{prova} \step{}{Dim $2.$} \begin{prova} Chiaramente $\f_{|W}$ e' ancora iniettiva. Dimostriamo che e' surriettiva. \eal{&S\T{ unito } \= f(S) \( S \= \forall w\in W^*\;\; f(\gen{w}) \in S=\P(W) \=\forall w\in W^*\;\;\gen{\f(w) } \in \P(W) \=\\ &\qq \=\forall w\in W^*\;\;\f(w)\in W^* \= \f(W^*) \( W^* \ubrace{\=}{\f\T{ isomorf}\> \f(\vz)=\vz } \f(W) \( W \\ &\sist{\f(W) \( W \\ \dim \f(W) \ubrace{=}{\f\T{ isomorfismo}} \dim W \> \f(W) = W }} Quindi $\f_{|W}$ e' surriettiva. \end{prova} \end{proof} \section{Spazio affine proiettivo} \def\P{{\mathbb{P}}} \def\pv{{\P(\V)}} \def\pa{{\tilde{A}}} \begin{thm} \label{thmaffproi} Sia $\V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n+1$, e sia $\P = \pv$ il suo spazio proiettivo. Preso un qualsiasi spazio affine $\A$ di dimensione $n$, si ha \eal{&\A \simeq \pv \- H } dove $H$ e' un iperpiano di $\P$. L'isomorfismo e' inteso tra spazi affini. \end{thm} \begin{proof} \def\w{{\omega }} \eal{&H\T{ iperpiano di $\P$ } \= H = \P(W),\;\;W\le \V,\;\;\dim W = n} Sia $v\in V\-W$, \step{}{$W+\Ll{v}=W\xor \Ll{v}$} \begin{prova} Infatti, se per assurdo $\Ll{v} \^ W \neq \pgra{\vz}$, allora, \eal{&\lambda v\in W,\;\;\lambda \neq 0 \> v\in W } assurdo \end{prova} \eal{&\sist{\dim W = n\\ \dim \Ll{v} = 1\\ \Ll{v}+W = \Ll{v}\xor W } \> W+\Ll{v} = \V\;\;(1) } Consideriamo $P\in \P \- H$, si ha \eal{&P \in \P \- H \= P = \gen u,\;u\in \V\-W\\ & u\ubrace{=}{(1)} w + \mu_P v,\;\;w\in W\\ &u\notin W \> \mu_P \neq 0 \> \exists \inv \mu\\ &P = \gen u = \gen{ w + \mu_P v } = \gen{\inv{ \mu_P }\pton{ w + \mu_P v }} = \gen{\inv{ \mu_P} w + v } \ubrace{=}{w_P:=\inv {\mu_P} w} \gen {w_P+v} } quindi ad ogni $P\in \P \- H$ riusciamo ad associare un vettore $w_P\in W$.\\ Consideriamo allora la funzione \eal{&\w:\P\- H \longrightarrow W\\ &\w(P)=w \in W \T{ tale che } P = \gen { w + v} = \gen{\w(P)+v}} \step{}{$\w(P)$ e' una funzione, ovvero, per ogni $P$ $\exists ! w\in W$ tale che $P= \gen {w+v}$} \begin{prova} Supponiamo che esista un altro $w'\in W:\;\;P=\gen {w'+v}$, allora \eal{&\gen{w+v}= P= \gen {w'+v} \> w+v = k(w' +v) \=\ubrace{w-kw'}{\in W} = {(k-1)v} \\ } Se per assurdo $k \neq 1$, allora \eal{&v= \frac{w-kw'}{(k-1)}\in W} assurdo, perche' $v\in V\-W$. Quindi, $k=1$, \eal{&w-w' = \vz \= w= w' } \end{prova} \step{}{Chiaramente $\w(P)$ e' biettiva} \begin{prova} infatti, la sua inversa e': \eal{&\inv \w(w) = \gen { w + v} } \end{prova} Sia $\pa=\P \- H$. Scelta la funzione \eal{&\vec{}: \pa \* \pa \longrightarrow W \\ &\vec{RQ} = \w(Q)-\w(R) } $\pa$ diventa uno spazio affine su W, infatti \begin{enumerate} \item Verifichiamo il primo assioma: sia $R\in \pa,\;w\in W$, \eal{&\vec{RQ}=w \= \w(Q)-\w(R) =w \= \w(Q)=w+\w(R) \\ &\qq \= Q = \inv \w (w+\w(R))= \gen{w+\w(R)+v}= \gen{\vec{RQ}+\w(R)+v} } quindi $Q$ esiste ed e' unico. \item \eal{&\vec{RQ}+\vec{QS} = \w(Q)-\w(R) +\w(S)-\w(Q) = \w(S)-\w(R) = \vec{RS}} \end{enumerate} \step{}{$\pa \simeq \A$} \begin{prova} \eal{&\dim \pa = \dim W = n\\ & {\dim \pa = n = \dim \A } \ubrace{\>}{\see{propspazidiugualdimsonoisomorfi}} \pa \simeq \A} \end{prova} \end{proof} \begin{defn} Sotto le ipotesi del thm \see{thmaffproi}, lo spazio $\P(\V)$ viene chiamato \emph{completamento proiettivo} di $\A$, perche' \eal{& \A \U H \simeq \pa \U H = \P(\V)} $H$ viene chiamato \emph{iperpiano dei punti impropri}.\\ Ogni punto di $H$ viene chiamato punto \emph{improprio}.\\ Ogni punto di $\P(\V)\-H$ viene chiamato punto \emph{proprio}. \end{defn} \subsection{Coordinate proprie improprie} \begin{prop}\qq\\\label{propcoordimproprie} Sia dato $\P(\V)$, $\dim \V=n+1$, e $H=\P(W) \le \P(\V)$ iperpiano.\\ Sia $B=\pgra{w_1,\dots,w_n}$ base di $W$ e $C=\pgra{w_1,\dots,w_n,v}$ base di $\V$, dove $v\in \V\-W$.\\ Sia infine $\Omega = (O=\gen{v}, B)$ un riferimento affine dello spazio affine $\pa=\P(\V)\-H$ costruito\footnote{vedi la dimostrazione del thm \see{thmaffproi}} su $W$.\\ Allora, tutti e soli i punti impropri $P\in H$ avranno coordinate del tipo \eal{&\coord{P}{C} = \gen{(a_1,a_2,\dots,a_{n}, 0)} } tutti e soli i punti propri $Q\in \pa=\P\-H$ avranno coordinate del tipo \eal{&\coord{Q}{C} = \gen{(b_1,b_2,\dots,b_n,1)} } Lo stesso punto $Q$, pensato nello spazio spazio affine $\pa$, ha coordinate \eal{&\coord{Q}{\Omega } = (b_1,b_2,\dots,b_n) } Infine, il sottospazio proiettivo $H$, nel sistema di rif. $\Omega $ ha equazioni: \eal{&x_{n+1}=0 } \end{prop} \begin{proof} \def\w{{\omega }} \eal{& P\in H=\P(W) \= P=\gen{w},\;w\in W \\ &w\in W \= w=a_1w_1+\dots+a_nw_n + 0 v \= \coord{w}{C} = (a_1,a_2,\dots,a_{n}, 0)\\ &\coord{P}{C} =\coord{\gen{w}}{C}= \gen{\coord{w}{C}} = \gen{(a_1,a_2,\dots,a_{n}, 0)}\;\;(*)\\ &\\ &Q\in \pa \ubrace{\=}{\T{vedi dim. thm \see{thmaffproi}}} Q = \gen{\w(Q) +v},\;\;\w(Q)\in W \\ &\w(Q) \in W \= \coord{\w(Q)}{C} = (b_1,\dots,b_n,0)\;\;\;(1)\\ &\coord{Q}{C} = \gen{\coord{\w(Q)+v}{C}} = \gen{\coord{\w(Q)}{C}+\coord{v}{C}} = \gen{(b_1,\dots,b_n,0) + (0,0,\dots,0,1)} = \gen{(b_1,b_2,\dots,b_n,1)}\\ &\\ &\coord{Q}{\Omega } = \coord{\vec{OQ}}{B} = \coord{\w(Q)-\w(O)}{B} = \coord{\w(Q)}{B}-\coord{\w(O)}{B}\\ &\qq O=\gen{v}=\gen{\vz+v} \= \w(O)=\vz \= \coord{\w(O)}{B}=(0,0,\dots,0)\\ &= \coord{\w(Q)}{B} \ubrace{=}{(1)} (b_1,\dots,b_n) } Poiche' $P=\gen{v}\in H$, come abbiamo visto si ha \eal{&\coord{v}{C} \ubrace{=}{(*)} (x_1,x_2,\dots,x_n,0) \T{ soddisfano l'equ. di $H$ } \= x_{n+1}=0 } ma $H$ e' un iperpiano, quindi ha solo una equazione lineare. Percio' $x_{n+1}=0$ e' sufficiente per descrivere $H$. \end{proof} \begin{prop} \label{propchiusuraproi} Poniamoci nelle ipotesi della prop. \see{propcoordimproprie}. Sia dato inoltre uno spazio affine $\A,\;\;\dim \A = \dim \pa =n$.\\ Preso un sottospazio $S\le \A$, si ha \eal{ &S \simeq \ove S \- H\\ &\giac S \simeq \ove S\^H } dove $\ove S\le \P$ e' la \emph{chiusura proiettiva} di $S$: e' il sottospazio proiettivo definito dalla equazioni di $S$, in cui ogni termini noto e' moltiplicato per la $n+1$ variabile indipendente, ad esempio, se $S$ e' il sottospazio \eal{&S:\;\;a_1x_1+\dots+a_{n}x_n +a_{n+1}=0} $\ove S$ sara' \eal{&S:\;\;a_1y_1+\dots+a_{n}y_n +a_{n+1}y_{n+1}=0}\\ In sostanza, questa proposizione afferma che $\ove S$ non e' nient'altro che $ S$ con l'aggiunta dei punti impropri, e che la giacitura di $S$ e' l'insieme dei punti impropri di $\ove S$.\\ Se $\A=\pa$, allora si ha l'uguaglianza: \eal{ &S = \ove S \- H\\ &\giac S =\ove S\^H } \end{prop} \begin{proof} Poiche' $\A\simeq\pa$ (hanno la stessa dimensione), possiamo considerare $S'\le \pa:\;\;S'\simeq S$. Tutte le proposizioni che vedremo varrano anche per $S$, a meno di isomorfismo.\\ \step{}{$\giac S' \simeq \ove S'\^H$} \begin{prova} Nel riferimento $\Omega $, il sottospazio affine $S'$ avra' equazioni: \eal{& \sist{ a_{11}x_1+\dots+a_{1n}x_n+a_{1n+1}=0\\ a_{21}x_1+\dots+a_{2n}x_n+a_{2n+1}=0\\ \dots\\ a_{m1}x_1+\dots+a_{mn}x_n+a_{mn+1}=0\\ }\;\;(1) } Consideriamo allora $\ove S' \le \P$ di equazioni: \eal{& \sist{ a_{11}y_1+\dots+a_{1n}y_n+y_{n+1}a_{1n+1}=0\\ a_{21}y_1+\dots+a_{2n}y_n+y_{n+1}a_{2n+1}=0\\ \dots\\ a_{m1}y_1+\dots+a_{mn}y_n+y_{n+1}a_{mn+1}=0\\ }\;\;(2) } Se intersechiamo $\ove S'$ con $H$, che ha equazione $y_{n+1}=0$ (vedi \see{propcoordimproprie}), otteniamo: \eal{& \sist{ a_{11}y_1+\dots+a_{1n}y_n=0\\ a_{21}y_1+\dots+a_{2n}y_n=0\\ \dots\\ a_{m1}y_1+\dots+a_{mn}y_n=0\\ }\;\;(3) } che sono le equazioni della giacitura di $S'$. \end{prova} \step{}{$S \simeq \ove S \- H$} \begin{prova} \eal{&Q \in S' \le \pa = \P\-H \ubrace{\>}{ prop. \see{propcoordimproprie}} \sist{\coord{Q}{C} = \gen{(x_1,x_2,\dots,x_n,1)} \> x_{n+1}=1\\ \coord{Q}{\Omega } = (x_1,x_2,\dots,x_n)}\\ &Q \in S' \> \coord{Q}{\Omega }\T{ soddisfa la }(1) \ubrace{\>}{x_n+1=1} \coord{Q}{C} \T{ soddisfa la (2) } \;\;(**)\\ &\sist{Q\in S' \le \pa = \P\-H \> Q \in \P\\ \ove S' \le \P\\ (**) } \> Q \in \ove S'\-H } Quindi $S' \(\ove S'\-H$ E poiche' \eal{&R\in \ove S' \- H \( \P \-H \ubrace{\>}{prop. \see{propcoordimproprie}} \coord{R}{C} = \gen{(y_1,y_2,\dots,y_n,1)} \> y_{n+1}=1\\ &R\in \ove S' \> \coord{R}{C}\T{ soddisfa la }(2) \ubrace{\>}{y_{n+1}=1} \coord{R}{\Omega }\T{ soddisfa la (1)} \\ &\sist{R\in \P\-H = \pa \\ S' \le \pa\\ \coord{R}{\Omega }\T{ soddisfa la (1)} } \> R\in S' } Quindi $\ove S' \-H\( S'$.\\ In definitiva, \eal{&S\simeq S'=\ove S' \-H \simeq \ove S \- H} \end{prova} \end{proof} \begin{prop} Nelle ipotesi della prop. \see{propchiusuraproi}, si ha \eal{&\dim \ove S\^H = \dim \ove S - 1 } \end{prop} \begin{proof} \eal{&\dim L(\ove S,H) = \dim \ove S + \dim H - \dim \ove S\^H \le \dim \P\=\\ &\qq \= \dim \ove S +\dim \P -1 - \dim \ove S\^H \le \dim \P \= \\ & \qq \= \dim \ove S - 1 \le \dim \ove S\^H \le \dim \ove S } Se per assurdo $ \dim \ove S\^H = \dim \ove S $, allora \eal{&\sist{\dim \ove S\^H = \dim \ove S \\ \ove S \^ H \le \ove S} \> \ove S\^H = \ove S \= \ove S \( H } e questo e' assurdo perche' \eal{&\ove S \- H \ubrace{\simeq}{\see{propchiusuraproi}} S \neq \0 \> \ove S \- H \neq \0 \> \ove S \nsubseteq H} Quindi \eal{& \dim \ove S -1 \le \dim \ove S\^H < \dim \ove S \= \dim \ove S\^ H = \dim \ove S -1 } \end{proof} \begin{prop} \label{propcongiungenteaffineproiettiva} Nelle ipotesi della prop. \see{propchiusuraproi}, presi due punti $P_1,P_2\in \pv\-H$ distinti, si ha \eal{&\ove{P_1P_2} = L(P_1,P_2)\-H } dove $\ove{P_1P_2}$ e' la congiungente di $P_1,P_2$ nello spazio affine $\pa = \pv\-H$. \end{prop} \begin{proof} \def\w{{\omega }} \eal{& P_1\in \pa \> P_1 = \gen{\w(P_1)+v}\\ &P_2\in \pa \> P_2 = \gen{\w(P_2)+v} } Ricordiamo inoltre che \eal{&\ove{P_1P_2} = \pton{P_1,\Ll{\vec{P_1P_2}}}\;\;(0)} \step{}{Dim $L(P_1,P_2)\-H \( \ove{P_1P_2}$} \begin{prova} \eal{&P\in L(P_1,P_2)\-H=\P(\Ll{\w(P_1)+v,\w(P_2)+v})\-H \> \\ &\qq \> P = \gen{\lambda(\w(P_1)+v)+\mu(\w(P_2)+v)}= \gen{\lambda \w(P_1)+\mu \w(P_2)+\pton{\lambda+\mu} v}\\ &P\notin H \> \lambda+\mu \neq 0 \> P=\gen{\frac{\lambda \w(P_1)+\mu \w(P_2)}{\lambda+\mu}+v}\;\;(1)\\ &P \in \pa \> P=\gen{\w(P)+v} \ubrace{=}{(1)} \gen{\frac{\lambda \w(P_1)+\mu \w(P_2)}{\lambda+\mu}+v} \= \w(P) = \frac{\lambda \w(P_1)+\mu \w(P_2)}{\lambda+\mu}\;\;(2)\\ &\vec{P_1P} = \w(P)-\w(P_1) = \frac{\mu}{\lambda+\mu}\pton{\w(P_2)-\w(P_1)} = \frac{\mu}{\lambda+\mu}\vec{P_1P_2} \\ &\vec{P_1P} = \frac{\mu}{\lambda+\mu}\vec{P_1P_2} \> P \in \pton{P_1,\Ll{\vec{P_1P_2}}} \ubrace{=}{(0)} \ove{P_1P_2} } e per l'arbitrarieta' di $P$, si ha \eal{& L(P_1,P_2)\-H\( \ove{P_1P_2}} \end{prova} \step{}{Dim $\($} \begin{prova} Basta procedere a ritroso, con le dovute modifiche. \end{prova} \end{proof} \subsection{Teoremi classici (proiettivi)} \def\p#1{{P_{#1}}} \def\ppr#1{{P_{#1}'}} \def\pp#1#2{{\vec{\p{#1}\p{#2}}}} \def\rp#1#2{{\ove{\p{#1}\p{#2}}}} \def\rpp#1#2{{\ove{\ppr{#1}\ppr{#2}}}} \def\op#1{{\vec{O\p{#1}}}} \def\po#1{{\vec{\p{#1}O}}} \begin{thm} di Pappo.\\ \label{thmpappoproiettivo} In un qualsiasi spazio proiettivo $\P$ di dimensione 2, date due rette $r_1,r_2$ distinte, e i punti $\p{ji}\in r_j,\;i=1,2,3,\;j=1,2$, distinti fra loro e tutti diversi da $O=r_1\^r_2$ si ha che i punti $A,B,C$ tali che \eal{&\pgra{A}=L(\p{11},\p{22})\^L(\p{21},\p{12})\\ &\pgra{B}=L(\p{11},\p{23})\^L(\p{21},\p{13})\\ &\pgra{C}=L(\p{12},\p{23})\^L(\p{22},\p{13}) } sono allineati. \begin{figure}[h] \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{fig/pappo} \end{center} \caption{Rappresentazione del thm di Pappo proiettivo, dove $\p{11}=E,\p{12}=F,\p{13}=G,\p{21}=E',\p{22}=F',\p{23}=G'$} \end{figure} \end{thm} \begin{proof} Intanto ricordiamo che per la prop. \see{exppropiperpianoerettasiincontrano}, due rette in $\P^2$ si incontrano in un solo punto oppure sono coincidenti.\\ \step{}{Le rette $L(\p{1j},\p{2j'}), \;\;j,j'=1,2,3$ sono tutte distinte } \begin{prova} Supponiamo per assurdo che $\exists j,j',k,k':\;\; j \neq k \| j'\neq k'$ per cui si ha \eal{&L(\p{1j},\p{2j'}) = L(\p{2k'},\p{1k}) } Supponiamo $j \neq k$ (se cosi' non fosse, basterebbe considerare $j' \neq k'$ e procedere analogamente).\\ \eal{&\sist{j \neq k\\ \T{i pt. sono a distinti per Hp} } \> \p{1j} \neq \p{1k} } E quindi si ha \eal{&\sist{\p{1j} \neq \p{1k}\\ \p{1j} , \p{1k}\in r_1 } \> r_1 = L(\p{1j},\p{1k})\\ & L(\p{1j},\p{2j'}) = L(\p{2k'},\p{1k}) \> \sist{\p{1k}\in L(\p{1j},\p{2j'})\\ \p{1k} \neq \p{1j}} \> L(\p{1j},\p{2j'}) = L(\p{1k},\p{1j}) =r_1 \> \p{2j'} \in r_1 \^ r_2 } assurdo contro ipotesi.\\ \end{prova} \step{}{$A \neq C$} \begin{prova} Se per assurdo, $A=C$, allora \eal{& \sist{ A=C,\p{22} \in L(\p{11},\p{22}) \\ A=C,\p{22} \in L(\p{22},\p{13}) \\ \T{i pt. $P_{ij}$ sono distinti fra loro } } \> L(\p{11},\p{22}) = L(\p{22},\p{13}) } E come gia' visto, questo e' assurdo.\\ \lineapiccola \end{prova} Poniamo $H=L(A,C)$, e $\pa = \P\-H$. Poiche' $A \neq C$, $H$ e' una retta.\\ Per il thm \see{thmaffproi}, $\pa$ e' un piano affine (nota \footnote{in pratica stiamo considerando $L(A,C)$ come retta impropria}). \step{}{Dim. che \eal{&\ubrace{\rp{1j}{2j'}}{\T{retta affine}}=L(\p{1j},\p{2j'})\-H\;\;\T{ con }j=1,2,3 } Ovvero, la congiungente $\rp{1j}{2j'}$, che sta' nel piano affine $\pa$, e' uguale alla retta $L(\p{1j},\p{2j'})$ senza i punti di $H$.\\ \lineapiccola\\ } \begin{prova} Supponiamo $j=1$. Si ha che $\p{11} \notin H $, infatti, se per assurdo lo fosse, \eal{&\p{11} \in H \^ L(\p{11},\p{22}) =\pgra{A} \> \p{11} =A \in L(\p{21}, \p{12}) \> L(\p{21}, \p{12})=L(\p{11},\p{12}) =r_1 \> \p{21} \in r_1 \^ r_2 } assurdo. Analogamente si vede che $\p{1j},\p{2j'}\notin H$, quindi per la prop. \see{propcongiungenteaffineproiettiva}, si ha \eal{&\rp{1j}{2j'}=L(\p{1j},\p{2j'})\-H } \end{prova} \step{}{$\rp{11}{22}\^\rp{21}{12} =\0$} \begin{prova} Infatti, l'unico punto d'incontro di $L(\p{11},\p{22}),L(\p{21},\p{12})$ e' $A$: se per assurdo ce ne fosse un altro, allora sarebbero coincidenti, ma questo e' assurdo per cio' che abbiamo visto nel primo passo.\\ Ma $A\in H$, quindi \eal{&\rp{11}{22}\^\rp{21}{12} = \0} \end{prova} Quindi, poiche' siamo in un piano affine \eal{& \rp{11}{22}\^\rp{21}{12}=\0 \> \rp{11}{22}\parallel \rp{21}{12} \;\;(1) } Analogamente per $\rp{12}{23},\rp{22}{13}$: \eal{& \rp{12}{23}\^\rp{22}{13}=\0 \> \rp{12}{23}\parallel \rp{22}{13} \;\;(2) } Ma allora per il thm di Pappo affine (\vedi{thmpappo}) applicato ai punti \footnote{in pratica stiamo applicando Pappo, con gli stessi punti $P_{ij}$, ma considerando in ordine inverso i punti $P_{2j}$ della retta $r_2$} \eal{&P_{1j}'=P_{1j}\;\;j=1,2,3\\ &P_{2j}' = P_{2(4-j)}\;\;j=1,2,3\\ &\\ &(1),(2) \= \sist{\rpp{11}{22} \parallel \rpp{23}{12} \\ \rpp{12}{21} \parallel \rpp{22}{13} } \ubrace{\>}{\T{ thm Pappo \see{thmpappo}}} \rpp{11}{21} \parallel \rpp{13}{23} \= \rp{11}{23} \parallel \rp{13}{21} } Quindi \eal{&\rp{11}{23}\parallel \rp{13}{21} \ubrace{\>}{\T{siamo in $\pa$, spazio affine}} \rp{11}{23}\^ \rp{13}{21}=\0 \= \\ &\qq L(\p{11},\p{23})\-H \^ L(\p{13},\p{21})\-H =\0 \= \pton{ L(\p{11},\p{23})\^ L(\p{13},\p{21})}\-H =\0 \= \\ &\qq \= \ubrace{L(\p{11},\p{23}) \^ L(\p{13},\p{21})}{= \pgra{B}} \( H \= B \in H \\ } Quindi \eal{&A,B,C\in H} \end{proof} \def\p#1{{P_{#1}}} \def\pp#1#2{{\vec{\p{#1}\p{#2}}}} \def\rp#1#2{{L({\p{#1},\p{#2})}}} \def\op#1{{\vec{O\p{#1}}}} \def\ope#1{{\ove{O\p{#1}}}} \def\po#1{{\vec{\p{#1}O}}} \def\oc{{\vec{OC_2}}} \def\occ{{\vec{OC_3}}} \begin{thm}Teorema di Desargues proiettivo.\\ \label{thmdesarguesproiettivo} In un qualsiasi spazio proiettivo $\pv$ di dimensione 2, date due terne di punti distinti: $(\p{j1},\p{j2},\p{j3}),\;\;j=1,2$, se \eal{&L(\p{11},\p{21})\^L(\p{12},\p{22})\^L(\p{13},\p{23})=\pgra{O}\\ &O \neq \p{ij}\;\;\forall i,j } si ha che i punti \eal{ &\pgra{A}=\rp{11}{12}\^\rp{21}{22}\\ &\pgra{B}=\rp{11}{13}\^\rp{21}{23}\\ &\pgra{C}=\rp{12}{13}\^\rp{22}{23} } sono allineati. \end{thm} \begin{proof} \eal{&P_{ij}=\gen v_{ij}\;\;\forall i,j\\ &O=\gen v \\ &O \in L(\p{11},\p{21}) \> v = a_1 v_{11}+a_2v_{21}\;\;\\ &O \in L(\p{12},\p{22}) \> v = a_2 v_{12}+a_3v_{22}\\ &O \in L(\p{13},\p{23}) \> v = a_4 v_{13}+a_5v_{23}\\ &\T{cerchiamo di ricondurci ai vettori delle rette finali }\\ &\sist{ w_1:=a_1v_{11}-a_2v_{12} = a_3v_{22}-a_2v_{21}\\ w_2:=a_1v_{11}-a_4v_{13} = a_5v_{23}-a_2v_{21}\\ w_3:=a_2v_{12}-a_4v_{13} = a_5v_{23}-a_3v_{22} }\\ &\sist{ \gen{w_1}=\ubrace{\gen{a_1v_{11}-a_2v_{12}}}{\in \rp{11}{12}} = \ubrace{\gen{a_3v_{22}-a_2v_{21}}}{\in \rp{21}{22}}\\ \gen{w_2}=\ubrace{\gen{a_1v_{11}-a_4v_{13}}}{\in \rp{11}{13}} = \ubrace{\gen{a_5v_{23}-a_2v_{21}}}{\in \rp{23}{21}}\\ \gen {w_3}=\ubrace{\gen{a_2v_{12}-a_4v_{13}}}{\in\rp{12}{13}} =\ubrace{\gen{ a_5v_{23}-a_3v_{22}}}{\in \rp{23}{22}} }\\ &\gen {w_1} = {A},\;\;\gen{w_2}={B},\;\;\gen{w_3}={C}\\ &w_1-w_2+w_3 = a_1v_{11}-a_2v_{12} - a_1v_{11}+a_4v_{13} +a_2v_{12}-a_4v_{13} = 0\\ &\qq \> w_1,w_2,w_3 \T{ sono linearmente dipendenti } \= A,B,C\T{ sono l.d. } \> \dim L(A,B,C) = 1 \> \\ &\qq \> A,B,C\T{ sono allineati, ovvero }A,B,C\in L(A,B,C) = L(A,B) } \end{proof} \subsection{Dualita'} \def\P{{\mathbb{P}}} \def\pv{{\P(\V)}} \def\ho{{\dual \V}} \def\pvp#1{{\P_{#1}(\V)}} \def\pvn#1{{\P_{-#1}(\V)}} \def\pva{{\P_{*}(\V)}} \def\php#1{{\P_{#1}(\ho)}} \def\phn#1{{\P_{-#1}(\ho)}} \def\pha{{\P_{*}(\ho)}} \def\ipv{{\pvn{}}} \def\pa{{\tilde{A}}} \def\pho{{\P(\ho)}} \begin{defn} Poniamo \eal{&\dual \V = \Hom(\V,\K)\\ &\ipv= \pgra{\alpha \le \pv \;|\;\dim \alpha = \dim \pv - 1}\\ &\pvn r= \pgra{S \le \pv \;|\;\dim S = \dim \pv - r-1}\\ &\pvp r= \pgra{S \le \pv\;|\;\dim S = r}\\ &\pva = \pgra{S \le \pv} } \end{defn} \begin{prop}\label{biezionetraphoeipv} \eal{&|\pho| = |\ipv| } Ovvero, esiste una biezione tra $\pho$ e $\ipv$, e in particolare, una tale biezione e': \eal{&\delta:\pho \longrightarrow \ipv\\ &\delta(\gen f) = \P(\ker f) } Grazie a questa biezione, possiamo considerare $\ipv$ come uno spazio proiettivo: se vogliamo considerare una proposizione $P(x)$ che riguarda concetti proiettivi, e vogliamo applicarla ad un elemento $\beta \in \ipv$, bastera' considerare $P(\inv \delta(\beta))$. Ad esempio, presi $\beta,\beta'\in \ipv$, avremo: \eal{&L(\beta,\beta'):=L(\inv\delta(\beta),\inv\delta(\beta'))\\ &\T{coordinate di $\beta$ } = \coord{\beta}{} = \coord{\inv \delta(\beta)}{}} \end{prop} \begin{proof} Si ha \eal{&F\in \pho \= \exists f\in \ho\-\pgra{\vz}:\;\;F=\gen f } Consideriamo allora la seguente applicazione \eal{&\delta:\pho \longrightarrow \ipv\\ &\delta(\gen f ) =\P(\ker f) } \def\d{{\delta}} $\delta$ e' ben definita, perche' per la prop. \AL{propdimkerfduale} si ha \eal{&\gen f \in \pho \> f \in \ho\-\{\vz\} \ubrace{\>}{\AL{propdimkerfduale}} \dim \ker f = \dim \V -1 = \dim \pv \\ & \dim \P(\ker f) = \dim \ker f - 1 = \dim \pv-1 \> \P(\ker f) \in \ipv } $\delta$ e' inoltre ben posta, ovvero \eal{&g\in \gen f \> \d(\gen g ) = \d(\gen f) } Infatti, \eal{&g\in \gen f \> \exists \lambda \neq 0:\;\;g=\lambda f \ubrace{\>}{\T{prop. }\AL{propdualkeruguali}} \ker g =\ker f \> \P(\ker g)=\P(\ker f) \= \d(\gen g)=\d(\gen f) } \step{}{$\delta$ e' iniettiva} \begin{prova} \eal{&\delta(\gen g) =\d(\gen f) \=\P(\ker g)=\P(\ker f) \ubrace{\=}{\see{propunionesottospazi}} \ker g = \ker f \ubrace{\=}{\AL{propdualkeruguali}} \exists \lambda \neq 0:\;f=\lambda g \= \gen f = \gen g } \end{prova} \step{}{$\delta$ e' surriettiva} \begin{prova} Sia $\alpha=\P(W) \in \ipv$. Il nostro obbiettivo e' trovare una $f$ non nulla t.c. $\delta(f)=\alpha$, ovvero \eal{&\delta(\gen f) = \alpha \= \P(\ker f ) = \P(W) \= \ker f = W } cioe' dobbiamo trovare una $f$ che come nucleo abbia proprio $W$.\\ Sia $C =\{v_1,v_2,\dots,v_n\}$ una base di $W$, e sia $v\notin W$. Allora $B=C \U \pgra{v}$ e' una base di $\V$. Possiamo cosi' definire la seguente applicazione lineare: \eal{&f(v_i)=0\;\;i=1,2,\dots,n\\ &f(v) = \mu \neq 0} Si ha che $\delta(\gen f) = \alpha$, infatti, \eal{ &f(u) =0\=f(a_1v_1+\dots+a_2v_n+a_{n+1}v) = 0\= a_1f(v_1)+\dots+a_nf(v_n)+a_{n+1}f(v) =0 \= a_{n+1}\mu =0\=\\ &\qq \ubrace{\=}{\mu \neq 0}a_{n+1} =0 \= u= a_1v_1+\dots+a_2v_n \= u\in W\;\;(1) \\ &\ker f = \pgra{u\in \V\;|\;f(u)=0 \ubrace{\=}{(1)} u\in W } = W\\ &\delta(\gen f) = \P(\ker f )=\P(W) } \end{prova} \end{proof} \begin{prop} \label{propequazioneiperpianoduale} Nelle ipotesi della prop \see{biezionetraphoeipv}, data $B$ base di $\V$, e preso $P\in \pho$, si ha \eal{&\T{L'equazione dell'iperpiano } \delta(P) \T{ e' }\\ &\qq\qq\qq AX =0 \\ &\T{dove $A$ e' un qualsiasi elemento t.c. } A\in \coord{P}{C}\\ &C\T{ e' la base canonica di } \ho\T{ rispetto alla base }B\T{ di }\V } Viceversa, se $AX=0$ e' l'equazione di un iperpiano in $\beta\in \ipv$, allora \eal{&\beta=\delta(P),\T{ con }P\in \pho:\;\coord{P}{C}=\gen A } \end{prop} \begin{proof} \step{}{} \begin{prova} \eal{&P\in \pho \= P=\gen f ,\;\;f \neq \vz\\ &f(v) \ubrace{=}{\AL{basecanonicadihom}} \coord{f}{C}\TR \coord{v}{B}\\ & \delta(\gen f) = \P(\ker f )\\ &\ker f = \pgra{v\in \V\;|\;f(v) =0 \= \coord{f}{C}\TR \coord{v}{B}=0 }\\ &\\ &A\in \coord{P}{C} = \coord{\gen f }{C} = \gen{\coord{f}{C}} \> A = \lambda \coord{f}{C} \> \pton{\coord{f}{C}\TR \coord{v}{B}=0 \= A\TR \coord{v}{B}=0} } \end{prova} \step{}{Viceversa} \begin{prova} Sia $P\in \pho:\;\coord{P}{C}=\gen A$, allora per quanto abbiamo visto prima. $\delta(P)$ ha equazione: \eal{& A' X =0 \T{ con $A'\in \coord{P}{C}=\gen A$ }\\ &A'\in \gen A \= A'= \lambda A ,\;\;\lambda \neq 0\\ &A'X =0 \= \lambda A X =0 \ubrace{\=}{\lambda \neq 0} AX= 0 } quindi $\delta(P)$ ha la stessa equazione di $\beta$ \end{prova} \end{proof} \def\L{{\Lambda}} \def\Ln#1{{\Lambda_{#1}}} \def\Lr{{\Ln r}} \begin{defn} Definiamo la seguente funzione: \eal{&\Lr:\pvp r \longrightarrow \Lr({\ipv})\\ &\Lr(S) = \pgra{\beta \in \ipv \;|\;S\( \beta}} dove con $\Lr(\ipv)$ abbiamo indicato impropriamente l'immagine di $\Lr$.\\ Quindi preso un $S\in \pvp r$, $\Lr(S)$ e' l'insieme di iperpiani di $\ipv$ che contengono $S$.\\ $\Lr(S)$ si chiama \emph{sistema lineare di iperpiani di centro} $S$.\\ Quando non c'e' pericolo di ambiguita', useremo il simbolo $\L(S)$. \end{defn} \begin{prop}\label{Luguale} \eal{ &1.\;\;\L(A) \( \L(B) \= A \) B\\ &2.\;\;\L(A) = \L(B) \= A = B\\ &3.\;\;\L(L(A,B)) = \L(A) \^ \L(B) } \end{prop} \begin{proof} \step{}{Dim $1.$} \begin{prova} \begin{psufficiente} \eal{&\alpha \in \L(A) \> \alpha \) A \) B \> \alpha \in \L(B)\\ &\L(A) \( \L(B) } \end{psufficiente} \begin{pnecessaria} Sia $n=\dim \pv,\;\;r=\dim A,\;\;s=\dim B$.\\ Per la prop \see{propintersezioneiperpianiproiett}, possiamo pensare $A$ come intersezione di $n-r$ iperpiani distinti che contengono $A$: \eal{&A=\bigcap_{i=1}^{n-r}H_i\\ &A\( H_i \> H_i \in \L(A) \( \L(B) \> H_i \) B \;\;\forall i=1,2,\dots,n-r\\ &\qq \> B\( \bigcap_{i=1}^{n-r}H_i= A \> B\( A } \end{pnecessaria} \step{}{Dim $2.$} \begin{prova} Immediata conseguenza del passo precedente. \end{prova} \step{}{Dim $3.$} \begin{prova} \step{}{Dim $\($} \begin{prova} \eal{&\alpha\in \L(L(A,B)) \> \alpha \) L(A,B) \) A,B \> \sist{\alpha \) A\\ \alpha \) B\\ \alpha\T{ iperpiano }} \> \alpha \in \L(A)\^\L(B) } \end{prova} \step{}{Dim $\)$} \begin{prova} \eal{&\alpha \in \L(A) \^\L(B) \> \alpha \) A,B \> \alpha \) L(A,B) \> \alpha\in \L(L(A,B)) } \end{prova} \end{prova} \end{prova} \end{proof} \def\d#1{{\delta_{#1}}} \def\dr{{\d r}} \def\da{{\d *}} \begin{thm} \label{biezionetraphoeipvgeneralizzata} \eal{&|\phn r| = |\pvp r| } Ovvero, esiste una biezione tra $\phn r$ e $\pvp r$, e in particolare, una tale biezione e': \eal{&\dr: \pvp r \longrightarrow \phn r\\ &\dr(S) = \inv \delta(\Lr(S)) = \pgra{\inv \delta(\alpha) \;|\; \alpha\in \Lr(S)} } Inoltre, se $H_1,\dots, H_{m}$ sono iperpiani qualsiasi, tali che intersecati danno $S$, allora si ha \eal{&\dr(S)=\dr\pton{\bigcap_{i=1}^{m} H_i} = L(\inv \delta(H_1),\dots,\inv\delta(H_{m}))} Per $r=n-1$ si riottiene la proposizione \see{biezionetraphoeipv}. Quindi, questa proposizione e' una sua generalizzazione. Valgono percio' analoghe considerazioni: ogni elemento di $\phn r$ si possono considerare come sottospazi vettoriali di $\pv$ di dimensione $r$. \end{thm} \begin{proof}\step{}{ Dimostriamo intanto che $\dr$ e' ben definita, ovvero che $\dr(S) \in \phn r$ } \begin{prova} Per la prop. \see{propintersezioneiperpianiproiett}, abbiamo \eal{&S= \bigcap_{i=1}^{n-r} H_i\;\;(1)\\ &n=\dim \pv,\;\dim H_i=n-1,\;S\(H_i\;\forall i=1,\dots,n-r,\;\;\;H_i \neq H_j\;\;\forall i \neq j\\ &\forall i=1,2,\dots,n-r \T{ equazione di }H_i \T{ linearmente indipendente dalle equazioni degli iperpiani } \{H_j\;|\; j \neq i\}\\ &H_i=\P(W_i)\\ &S=\P(W) = \bigcap_{i=1}^{n-r} \P(W_i) = \P\pton{\bigcap_{i=1}^{n-r}W_i}\;\;(1.1)\\ &\qq \= W = \bigcap_{i=1}^{n-r}W_i\;\;(1.2) } Siano \eal{&P_i=\inv\delta(H_i)\;\;\forall i=1,2,\dots,n-r} si ha \eal{ &P_i\in \pho\= P_i=\gen f_i,\;f_i \neq \vz\;\;i=1,2,\dots,n-r\\ &H_i=\delta(P_i)=\P(\ker f_i) \= W_i = \ker f_i\\ &h\in W \ubrace{=}{(1.2)} \bigcap_{i=1}^{n-r} W_i = \bigcap_{i=1}^{n-r} \ker f_i \> f_i(h)=0\;\;\forall i=1,2,\dots,n-r\;\;(3)\\ } \step{uguaglianzadidr}{Dimostriamo che \eal{&\dr\pton{\bigcap_{i=1}^{n-r} H_i} = L(\inv \delta(H_1),\dots,\inv\delta(H_{n-r})) } ovvero che $\dr(S)=L(P_1,\dots,P_{n-r}) \= \L(S) = \delta(L(P_1,\dots,P_{n-r}))$} \begin{prova} \step{}{Dim $\L(S) \) \delta(L(P_1,\dots,P_{n-r}))$} \begin{prova} Sia $\alpha\in \delta(L(P_1,\dots,P_{n-r}))$, si ha \eal{&P:=\inv\delta(\alpha) \in L(P_1,\dots,P_{n-r})\;\;(2) \\ &P\in L(P_1,\dots,P_{n-r}) = \P(\Ll{f_1,f_2,\dots,f_{n-r}}) \> P = \gen {\ubrace{a_1f_1+\dots+a_{n-r}f_{n-r}}{f}}\\ &h\in W\;\;f(h) = ({a_1f_1+\dots+a_{n-r}f_{n-r}})(h) = a_1f_1(h)+\dots+a_{n-r}f_{n-r}(h) \ubrace{=}{(3)} 0 \> \\ &\qq \> h\in \ker f\;\;\forall h\in W\;\;(3.1)\\ &\alpha=\delta(P)=\delta(\gen{f})=\P(\ker f )\;\;(4)\\ & (3.1) \> W \le \ker f \= \P(W) \le \P(\ker f) \= S \le \P(\ker f) \ubrace{=}{(4)} \alpha } Quindi, essendo $\alpha$ un iperpiano che contiene $S$, concludiamo che: \eal{&\alpha\in \L(S) } e in definitiva: \eal{&\delta(L(P_1,\dots,P_{n-r})) \( \L(S) } \end{prova} \step{}{Dim $\L(S) \( \delta(L(P_1,\dots,P_{n-r}))$ } \begin{prova} Sia adesso $\alpha=\P(U)\in \L(S)$.\\ $\alpha$ e' un iperpiano che contiene $S$, allora analogamente a quanto abbiamo visto molto tempo fa' (\vedi{Equazione dell'iperpiano}), l'equazione di $\alpha$ e' del tipo: \eal{&\alpha:\;\;\lambda_1F_1+\lambda_2F_2 +\dots+\lambda_{n-r}F_{n-r}=0\;\;(5) } dove $F_i$ e' l'equazione dell'iperpiano $H_i$.\\ Poiche' $H_i=\delta(P_i)$, per la prop \see{propequazioneiperpianoduale} abbiamo che l'equazione dell'iperpiano $H_i$ e' \eal{&H_i:\;\;A_i X=0 ,\;\;\;A_i\in \coord{P_i}{C}=\gen{\coord{f_i}{C}}\;\;\forall i=1,\dots,n-r\;\;\;(6) } quindi sostituendo nella $(5)$: \eal{&\alpha:\;\;\lambda_1A_1X+\lambda_2A_2 X +\dots+\lambda_{n-r}A_{n-r}X = \pton{\lambda_1 A_1+\dots+\lambda_{n-r}A_{n-r}}X =0 } e sempre per la prop. \see{propequazioneiperpianoduale}, si ha \eal{&\inv\delta(\alpha) = Q=\gen g,\T{ con } \coord{Q}{C} = \gen{\coord{g}{C}} = \gen{\lambda_1 A_1+\dots+\lambda_{n-r}A_{n-r}}\\ & \> \coord{g}{C} = \mu (\lambda_1 A_1+\dots+\lambda_{n-r}A_{n-r}) = \mu_1A_1 +\dots+ \mu_{n-r}A_{n-r} \\ & \ubrace{\>}{A_i \in \gen{\coord{f_i}{C}}} g \in \Ll{f_1,\dots,f_{n-r}} \> \gen {g} \in \P(\Ll{f_1,\dots,f_{n-r}}) =L(P_1,\dots,P_{n-r})\=\\ & \ubrace{\=}{\inv\delta(\alpha) =\gen g} \inv\delta(\alpha) \in L(P_1,\dots,P_{n-r}) \= \alpha \in \delta(L(P_1,\dots,P_{n-r})) } E per l'arbitrarieta' di $\alpha$ abbiamo cosi' dimostrato che \eal{&\L(S) \( \delta(L(P_1,\dots,P_{n-r}))} %Essendo $f_1,\dots,f_{n-r}$ l.i., possiamo completarli fino a formare una base %$C'$ di $\ho$: %\eal{&C'=\pgra{f_1,\dots,f_{n-r},f_{n-r+1}', \dots, f_{n+1}'}} \end{prova} \end{prova} Abbiamo cosi' dimostrato la doppia inclusione e quindi \eal{ &\L(S) = \delta(L(P_1,\dots,P_{n-r}))\\ &\dr(S) = \inv \delta (\L(S)) = L(P_1,\dots,P_{n-r})\;\;(*) } Nota: per dimostrare la $(*)$ abbiamo sfruttato solo l'ipotesi che gli $H_i$ sono iperpiani che intersecati danno $S$. Non abbiamo sfruttato la loro lineare indipendenza. Non abbiamo neanche sfruttato il fatto che $n-r$ fosse un particolare numero. Possiamo quindi dedurre che: dati $K_1,\dots, K_{m}$ iperpiani qualsiasi, tali che intersecati danno $S$, allora si ha \eal{&\dr(S)=\dr\pton{\bigcap_{i=1}^{m} K_i} = L(\inv \delta(K_1),\dots,\inv\delta(K_{m}))} \step{}{I punti $P_1,\dots,P_{n-r}$ sono l.i.} \begin{prova} Infatti, se per assurdo $P_i$ e' dipendente dagli altri, allora anche $f_i$ e' dipendente dagli altri $f_j$, cioe' \eal{&f_i = \sum_{j=1,\;j \neq i}^{n-r} k_j f_j\\ &\coord{f_i}{C} = \sum_{j=1,\;j \neq i}^{n-r} k_j \coord{f_j}{C} } Ma allora, per la $(6)$, deduciamo che l'equazione di $H_i$ e' dipendente dalle equazioni degli altri iperpiani $H_j$. Assurdo contro la $(1)$. \end{prova} In conclusione: \eal{&\L(S) = \delta(L(P_1,\dots,P_{n-r})) \= \inv\delta(\L(S)) = L(P_1,\dots,P_{n-r}) \= \dr(S) = L(P_1,\dots,P_{n-r}) } e poiche' i punti $P_1,\dots,P_{n-r}$ sono l.i. si ha \eal{&\dim L(P_1,\dots,P_{n-r})= n-r-1 } quindi $\dr(S)\in \phn r$.\\ Ecco che $\dr$ e' effettivamente ben definita. \end{prova} \step{}{$\dr$ e' iniettiva} \begin{prova} \eal{&\dr(A)=\dr(B) \= \inv\delta(\L(A))= \inv\delta(\L(B)) \ubrace{\=}{\delta\T{ e' biett.} } \L(A) = \L(B) \ubrace{\=}{\see{Luguale}} A=B } \end{prova} \step{}{$\dr$ e' surriettiva} \begin{prova} Sia $S'\in \phn r $. Poiche' $S'$ ha dimensione $n-r-1$, scegliamo i punti $P_1,\dots,P_{n-r}$ l.i. tali che \eal{&S'=L(P_1,\dots,P_{n-r})\\ &\T{Sia } H_i=\delta(P_i)\;\;i=1,\dots,n-r\\ &P_i=\gen {f_i} \\ &P_1,\dots,P_{n-r} \T{ l.i } \> f_1,\dots,f_{n-r} \T{ l.i.} \> \coord{f_1}{C},\dots,\coord{f_{n-r}}{C} \T{ l.i.} \;\;(7) } Poiche' $H_i=\delta(P_i)$, per la prop \see{propequazioneiperpianoduale} abbiamo che l'equazione dell'iperpiano $H_i$ e' \eal{&H_i:\;\;A_i X=0 ,\;\;\;A_i\in \coord{P_i}{C}=\gen{\coord{f_i}{C}} \= A_i=\kappa_i \coord{f_i}{C},\;\;\kappa_i \neq 0 \\ &H_i:\;\;\kappa_i \coord{f_i}{C} X=0 \= \coord{f_i}{C} X=0 } Allora, per la $(7)$, anche le equazioni degli iperpiani $H_i$ sono l.i.\\ Quindi se consideriamo la loro intersezione, abbiamo \eal{&S= \bigcap_{i=1}^{n-r} H_i \le \pvp r\\ & \dim S = r } Ed $S$ e' proprio la controimmagine che cerchiamo, infatti, \eal{&\dr(S) =\dr\pton{\bigcap_{i=1}^{n-r} H_i } \ubrace{=}{\T{per il passo precedente}} L(\inv\delta(H_1),\dots,\inv\delta(H_{n-r})) = L(P_1,\dots,P_{n-r}) = S' } \end{prova} \end{proof} \begin{cor} \label{biezionetraphoeipvgeneralizzatacorollario} \eal{&|\pha| = |\pva| } In particolare, una biezione tra $\pha$ e $\pva$ e': \eal{&\da: \pva \longrightarrow \pha\\ &\da(S) = \dr(S) = \inv \delta (\Lr(S)),\;\;\;r=\dim S\\ } dove $\dr $ e' definita in \see{biezionetraphoeipvgeneralizzata}. Inoltre, \eal{&\dim \da(S) =n - r -1,\;\;\;n=\dim \pv} In particolare, poiche' sussiste l'isomorfismo $\V\simeq\dual \V$, indicando con $\ove \da$ la composizione di $\da$ con tale isomorfismo, si ha che $\ove \da$ associa, biettivamente, sottospazi di dimensione $r$ di $\pv$ a sottospazi di dimensione $n-r-1$ di $\pv$. \end{cor} \begin{proof} Per il thm \see{biezionetraphoeipvgeneralizzata}, la $\da$ e' sicuramente ben posta, e vale \eal{\dim \da(S) = \dim \dr(S) = n-r-1} \step{}{Dim $\da$ iniettiva} \begin{prova} \eal{&\da(A) = \da(B) \= \dr(A) =\dr(B) \ubrace{\=}{\dr\T{ e' biettiva }} A=B } \end{prova} \step{}{Dim $\da$ surriettiva} \begin{prova} Preso $S'\in \pha$, allora basta prendere $S=\inv\dr(S')$, cosi' che' \eal{&\da(S)=\dr(S)=S' } \end{prova} \end{proof} \begin{cor} La funzione $\Lr$ e' biettiva. \end{cor} \begin{proof} $\Lr$ e' per definizione surriettiva.\\ Poiche' \eal{&\dr=\inv \delta \circ \Lr \T{ e' una funzione biettiva} } segue per le proprieta' delle funzioni che $\Lr$ e' iniettiva.\\ Quindi la tesi. \end{proof} \begin{prop}\label{proprietaduali} Valgono le seguenti proprieta': \eal{&1.\;\;A\( B \= \da(A) \) \da(B) \\ &2.\;\;\da(L(A,B)) = \da(A)\^\da(B)\\ &3.\;\;\da(A\^B) = L(\da(A),\da(B)) } \end{prop} \begin{proof} \step{}{Dim $1.$} \begin{prova} \eal{&A\( B \ubrace{\=}{\see{Luguale}} \L(A) \) \L(B) \ubrace{\=}{\delta\T{ biettiva}} \inv \delta \L(A) \)\inv \delta \L(B) \= \da(A) \) \da(B) } \end{prova} \step{}{Dim $2.$} \begin{prova} \eal{&\da(L(A,B)) = \inv \delta \L(L(A,B)) \ubrace{=}{\see{Luguale}} = \inv \delta (\L(A)\^\L(B)) =\\ &\qq \ubrace{=}{\inv \delta\T{ e' iniettiva}} \inv \delta(\L(A)) \^ \inv \delta(\L(B)) = \da(A)\^\da(B) } \end{prova} \step{}{Dim $3.$} \begin{prova} Com abbiamo gia' fatto nella dim. del thm \see{biezionetraphoeipvgeneralizzata}, scriviamo $A$ e $B$ come intersezione di iperpiani: \eal{&A=\bigcap_{i=1}^{n-r} H_i,\;\;\;\; B=\bigcap_{i=1}^{n-s} K_i} Si ha \eal{ &\da(A)=\da\pton{\bigcap_{i=1}^{n-r} H_i}\ubrace{=}{\see{biezionetraphoeipvgeneralizzata}} L(\inv\delta(H_1),\dots,\inv\delta(H_{n-r}))\\ &\da(B)=\da\pton{\bigcap_{i=1}^{n-s} K_i}\ubrace{=}{\see{biezionetraphoeipvgeneralizzata}} L(\inv\delta(K_1),\dots,\inv\delta(K_{n-s}))\\ &\da(A\^B)=\da\pton{\bigcap_{i=1}^{n-r} H_i \bigcap \bigcap_{i=1}^{n-s} K_i} \ubrace{=}{\see{biezionetraphoeipvgeneralizzata}} L(\inv\delta(H_1),\dots,\inv\delta(H_{n-r}),\inv\delta(K_1),\dots,\inv\delta(K_{n-r}))=\\ &= L(L(\inv\delta(H_1),\dots,\inv\delta(H_{n-r})), L(\inv\delta(K_1),\dots,\inv\delta(K_{n-r}))=L(\da(A),\da(B)) } \end{prova} \end{proof} \def\oda{{\ove\da}} \pagebreak \begin{thm}Principio di dualita' proiettivo.\\ \label{thmprincipioduale} In uno spazio proiettivo $\pv, \dim \pv =n$, sia data una proposizione qualunque $\mathcal{P}$ basata sulle relazioni $\(,\;L(,),\;\^$, o su relazioni derivate dalle precedenti, allora \eal{&\mathcal{P} \= \da(\mathcal{P})} dove con $\da(\mathcal{P})$ intendiamo la proposizione \emph{duale} di $\mathcal{P}$, ottenuta effettuando le seguenti sostituzioni letterali in $\mathcal{P}$: \eal{&1.\;\;\T{``sottospazio $A$ di dimensione $r$''} \longrightarrow \T{``sottospazio $\oda(A)$ dimensione $n-r-1$''}\\ &2.\;\;A\( B \longrightarrow \oda(A) \) \oda(B) \\ &3.\;\;L(A,B) \longrightarrow \oda(A)\^\oda(B)\\ &4.\;\;A\^B \longrightarrow L(\oda(A),\oda(B)) } \end{thm} \begin{proof} Come abbiamo visto in \see{biezionetraphoeipvgeneralizzatacorollario}, la funzione $\oda:\pv\longrightarrow \pv$ e' biettiva, e porta sottospazi di dimensione $r$ in sottospazi di dimensione $n-r-1$.\\ Tramite la funzione $\oda$ portiamo biunivocamente elementi di $\pv$ in elementi di $\pv$, e tramite la \see{proprietaduali}, le relazioni si preservano nel modo indicato dalle sostituzioni.\\ $\oda$ e' quindi una specie di isomorfismo che preserva alcune relazioni scambiandole con altre.\\ Notiamo infine che se $(a,b)\in \mathcal{R}$, dove $\mathcal{R}$ e' una relazione che non si basa sulle relazioni $1.,2.,3.,4.$, allora non e' detto che $(\oda(a),\oda(b))\in \mathcal{R}$. \end{proof} \subsection{Teoremi duali} \def\p#1{{r_{#1}}} \def\ppr#1{{r_{#1}'}} \def\rp#1#2{{\ove{\p{#1}\p{#2}}}} \def\rpp#1#2{{\ove{\ppr{#1}\ppr{#2}}}} \def\op#1{{\vec{O\p{#1}}}} \def\po#1{{\vec{\p{#1}O}}} \begin{thm} In virtu' del thm \see{thmprincipioduale}, enunciamo il duale del teorema di Pappo (\vedi{thmpappoproiettivo}\\ \label{thmpappoproiettivoduale} In un qualsiasi spazio proiettivo $\P$ di dimensione 2, dati due punti $O_1,O_2$ distinti, e le rette $\p{ji}\in r_j,\;i=1,2,3,\;j=1,2$, distinte fra loro e tutte diverse da $L(O_1,O_2)$, si ha che le rette $e,f,g$ tali che \eal{ & e = L(\p{11}\^\p{22}, \p{21}\^\p{12})\\ & f = L(\p{11}\^\p{23}, \p{21}\^\p{13})\\ & g = L(\p{12}\^\p{23}, \p{22}\^\p{13}) } si intersecano in uno stesso punto\footnote{il thm di pappo diceva ``i tre punti A,B,C sono allineati''. Per definizione, tre punti sono allineati quando sono contenuti in una stessa retta: \eal{&A,B,C\( r} Quindi il duale di questa proposizione e': \eal{&e,f,g\) P} ovvero, le tre rette $e,f,g$ contengono uno stesso punto $P$.} \begin{figure}[h] \begin{center} \includegraphics[scale=0.3]{fig/pappoduale} \end{center} \caption{Rappresentazione del duale del thm di Pappo proiettivo, dove $O_1=P,\;O_2=Q,\;\p{11}=a,\p{12}=b,\p{13}=c,\p{21}=a',\p{22}=b',\p{23}=c'$ } \end{figure} \end{thm} \begin{proof} In virtu' del principio duale! \end{proof} \def\p#1{{r_{#1}}} \def\pp#1#2{{\vec{\p{#1}\p{#2}}}} \def\rp#1#2{{{\p{#1}\^\p{#2}}}} \def\op#1{{\vec{O\p{#1}}}} \def\ope#1{{\ove{O\p{#1}}}} \def\po#1{{\vec{\p{#1}O}}} \def\oc{{\vec{OC_2}}} \def\occ{{\vec{OC_3}}} \begin{thm} Duale del thm di Desargues (\vedi{thmdesarguesproiettivo}).\\ \label{thmdesarguesproiettivoduale} In un qualsiasi spazio proiettivo $\pv$ di dimensione 2, date due terne di rette distinte: $(\p{j1},\p{j2},\p{j3}),\;\;j=1,2$, se \eal{ &L(\p{11}\^\p{21},\p{12}\^\p{22},\p{13}\^\p{23})=s\\ &\T{ ovvero, i punti } \p{11}\^\p{21},\p{12}\^\p{22},\p{13}\^\p{23} \T{ sono allineati in }s\\ &s \neq \p{ij}\;\;\forall i,j } si ha che le rette \eal{ &a=L(\rp{11}{12},\rp{21}{22})\\ &b=L(\rp{11}{13},\rp{21}{23})\\ &c=L(\rp{12}{13},\rp{22}{23}) } si intersecano in uno stesso punto $O$. \begin{figure}[h] \begin{center} \includegraphics[scale=0.3]{fig/desarguesduale} \end{center} \caption{Rappresentazione del thm duale di Desargues} \end{figure} \end{thm} %%%%%%% \include{eser} \end{document}