\section{Esercizi}
\def\f{{\mathbf{f}}}
\begin{exemp}
	In $\A^5(\mathbb{R})$ sono assegnati i seguenti punti:
\eal{
&A_1=(1,1,0,0,0)\\
&A_2=(0,0,0,-1,0)\\
&A_3=(0,2,0,1,0)\\
&A_4=(0,-1,0,-2,2)
	}
e $T$ e' il sottospazio da essi generato.\\
\begin{prova}
	\step{}{Trova per quali valori di $a$ e $b$ i seguenti punti
	individuano un piano parallelo a $T$:
	\eal{
	&B_1=(0,4,3,2,0)\\
	&B_2=(0,4,b,2,1)\\
	&B_3=(a,4,3,2,1)
	}}
	\begin{prova}
\eal{&T=(A_1,W),\;\;W=\Ll{ \vec{A_1A_2}, \vec{A_1A_3}, \vec{A_1A_3}}\\
&\vec{A_1A_2}=A_2-A_1=(-1, -1, 0, -1, 0)\\
&\vec{A_1A_3}=A_3-A_1=(-1, 1, 0, 1, 0)\\
&\vec{A_1A_4}=A_4-A_1=(-1, -2, 0, -2, 2)\\
&\\
&\begin{vmatrix}
-1& -1& 0\\
-1& 1& 0\\
-1& -2&2
\end{vmatrix}=-4 \T{ e' un minore non nullo della matrice dei generatori di
$W$ }\\
&\qq \> \dim W = 3, \T{ e inoltre } \pgra{\vec{A_1A_i}\;|\;i=2,3,4} \T{ sono l.i }\\
&\\
&\pi=(B_1,U),\;\;U=\Ll{ \vec{B_1B_2}, \vec{B_1B_3}}\\
&\vec{B_1B_2}=B_2-B-1=(0, 0, b - 3, 0, 1)\\
&\vec{B_1B_3}=B_3-B_1=(a, 0, 0, 0, 1)\\
&\sist{\dim \pi=2 <\dim W=\dim T= 3 \\
\pi\parallel T \=U\( W \| W\( U }\>
U\( W \= U\^ W =U\;\;(1)
}
Possiamo affermare che 
\eal{&U\^ W =U \= \dim U\^ W = \dim U\;\;(1.1)
}
Infatti,
\eal{&\sist{U\^ W \( U\\
\dim U\^ W = \dim U
} \> U\^ W =U 
}
il viceversa e' ovvio.\\
Allora, per imporre la validita' della $(1)$, basta che ricerchiamo la
validita' della $(1.1)$, che equivale a:
\eal{&\dim U\^ W = \dim U \= \rho(\T{sistema di }U\^W) =5-\dim U=3\\
& \rho(\T{sistema di }U\^W) =
\rho
\begin{pmatrix}
-1& -1& 0& -1& 0\\
-1& 1& 0& 1& 0\\
-1& -2& 0& -2& 2\\
0& 0& b - 3& 0& 1\\
a& 0& 0& 0& 1
\end{pmatrix} =3  \\
&\ubrace{\=}{\T{ la colonna 2 e 4 sono uguali } }
\rho
\begin{pmatrix}
-1& -1& 0& 0\\
-1& 1& 0&  0\\
-1& -2& 0& 2\\
0& 0& b - 3&  1\\
a& 0& 0& 1
\end{pmatrix}=3
}
prima avevamo gia' trovato un minore non nullo. Imponendo che tutti i suoi
orlati siano nulli, otteniamo $b=3$.\\
Quindi $\pi$ cercato si ha per $b=3$ e per qualsiasi valore di $a$. Poiche'
$\pi$ deve essere un piano, $\vec{B_1B_2},\vec{B_1B_3}$ devono essere l.i.
quindi, $a \neq 0$.\\
In definitiva, $b=3, a \neq 0$.\\
Un altro metodo che avremmo potuto seguire e': trovare le equazioni cartesiane
di $W$, e imporre che $\vec{B_1B_2},\vec{B_1B_3}$ soddisfino queste
equazioni.
	\end{prova}
	\step{}{Verifica che esiste una ed una sola affinita'
	$f:\A^{5}(\mathbb{R})\longrightarrow \A^{5}(\mathbb{R})$
	 tale che
	 \eal{&f(A_i)=A_i\;\;i=1,2,3,4\\
	 &f(O)=O',\;\;O=(0,0,0,0,0),\;\;O'=(0,0,0,0,1)\\
	 &f(P)=P',\;\;P=(0,0,1,0,0),\;\;P'=(0,0,1,4,2)
	 }
	 prova che 
	 \eal{&\forall x \in T\;\;\;f(x)=x }
	}
	\begin{prova}
	Per il cor \see{corthmdatooofunicdet}, basta verificare che i punti
	\eal{&\pgra{A_i,O,P\;|\;i=1,2,3,4} \T{ e } 
	\pgra{A_i,O',P'\;|\;i=1,2,3,4} 
	}
	siano l.i., cioe' che
	$\pgra{\vec{A_1A_i},\;\vec{A_1O},\vec{A_1P}\;|\;i=2,3,4}$  e 
	$\pgra{\vec{A_1A_i},\;\vec{A_1O'},\vec{A_1P'}\;|\;i=2,3,4}$  e 
	sono l.i.\\
	Cominciamo con i primi,
	\eal{
	&\vec{A_1O}=-A_1=(-1,-1,0,0,0)\\
	&\vec{A_1P}=P-A_1=(-1, -1, 1, 0, 0)\\
	&
	\rho
	\begin{pmatrix}
-1& -1& 0& -1& 0\\
-1& 1& 0& 1& 0\\
-1& -2& 0& -2& 2\\
-1&-1&0&0&0\\
-1& -1& 1& 0& 0
	\end{pmatrix}=5}
Quindi sono l.i.\\
I vettori $\pgra{\vec{A_1A_i},\;\vec{A_1O'},\vec{A_1P'}\;|\;1=,2,3,4}$  sono
pure l.i.:
\eal{&\vec{A_1O'}=O'-A_1=(-1,-1,0,0,1)\\
	&\vec{A_1P'}=P'-A_1=(-1, -1, 1, 4, 2)\\
	\rho
	\begin{pmatrix}
-1& -1& 0& -1& 0\\
-1& 1& 0& 1& 0\\
-1& -2& 0& -2& 2\\
-1&-1&0&0&1\\
-1&-1&1&4&2
	\end{pmatrix}=5
	}
Allora, per il cor \see{corthmdatooofunicdet}, $f$ e' univocamente
determinata. Calcoliamola usando la prop \see{propeqisomorfismo}, scegliendo
il riferimento standard $\Omega =\pton{O,\varepsilon}$
\eal{&\TR \coord{f(P)}{\Omega }=M_{\varepsilon,\varepsilon}(\f)\TR \coord{P}{\Omega }+\TR\coord{f(O)}{\Omega} }
$f(O)$ lo conosciamo gia' (nota \footnote{
se non lo avessimo conosciuto, una volta trovata la matrice
$M_{\varepsilon,\varepsilon}(\f)$ avremmo potuto calcolarlo in questo modo:
\eal{&\TR\coord{f(O)}{\Omega}=\TR \coord{f(P)}{\Omega }-M_{\varepsilon,\varepsilon}(\f)\TR \coord{P}{\Omega }
}
dove al posto di $P$ usiamo un punto di cui conosciamo l'immagine, ad esempio
$A_1$.
})
per Hp: e' $O'$, percio'
\eal{&\coord{f(O)}{\Omega}=\coord{O'}{\Omega}=O'
}
ci serve quindi
conoscere la matrice associata a $\f$ rispetto a
$\varepsilon=\pgra{e_1,e_2,\dots,e_5}$, la base 
canonica di $\A^5$.
\eal{&
\vec{f(A_1)f(O)} \ubrace{=}{\T{per Hp}} \vec{A_1O'}
}
ma d'altra parte, essendo $f$ un'isomorfismo affine,
\eal{&\vec{f(A_1)f(O)}=\f(\vec{A_1O})
}
quindi
\eal{&\f(\vec{A_1O})=\vec{A_1O'}
}
Scomponiamo $\vec{A_1O}$ e $\vec{A_1O'}$ nella base canonica:
\eal{&\vec{A_1O} = (-1,-1,0,0,0)= -e_1-e_2 \\
&\vec{A_1O'} = (-1,-1,0,0,1)= -e_1-e_2+e_5
}
quindi
\eal{&\f(\vec{A_1O})=\vec{A_1O'} \= \f(-e_1-e_2) = -e_1-e_2+e_5 \= \f(e_1)+\f(e_2)= e_1+e_2-e_5
}

Cosi' procedendo per gli altri vettori ricaviamo il seguente sistema:
\eal{&
\sist{
\f(e_1)+\f(e_2)= e_1+e_2-e_5\\
\f(e_1)+\f(e_2)-\f(e_3)= e_1+e_2-e_3-4e_4-2e_5\\
\f(e_1)+\f(e_2)+\f(e_4)=+e_1+e_2+e_4\\
-\f(e_1)+\f(e_2)+\f(e_4)=-e_1+e_2+e_4\\
-\f(e_1)-2\f(e_2)-2\f(e_4)+2\f(e_5)=
-e_1-2e_2-2e_4+2e_5
}
}
che risolto da'
\eal{&\sist{
    \f(e_1) = e_1\\
   \f(e_2) = -e_5+e_2\\
\f(e_3) = e_5+e_3+4*e_4\\
  \f(e_4) = e_5+e_4\\
 \f(e_5) = e_5
    }
}
quindi
\eal{&M_{\varepsilon,\varepsilon}(\f)=\begin{pmatrix}
	1	&	0	&	0	&	0	&	0\\
	0	&	1	&	0	&	0	&	0\\
	0	&	0	&	1	&	0&	0\\
	0	&	0	&	4	&	1&	0\\
	0	&	-1	&	1	&	1&	1
\end{pmatrix}
}
Cosi' l'equazione di $f$ e' trovata.\\
Proviamo adesso che
	 \eal{&\forall x \in T\;\;\;f(x)=x }
Metodo 1: troviamo il vettore generico di $T$, calcoliamo con l'equazione
$\coord{f(T)}{}$ e verichiamo che $\coord{f(T)}{}=\coord{T}{}$\\
Metodo 2: notiamo che la tesi equivale a dire che
\eal{& f/_T=\id }
$A_1,A_2,\dots,A_4 \in T$ e inoltre abbiamo visto che sono l.i.
Allora, per il cor \see{corthmdatooofunicdet}
\eal{&\exists ! f' \T{ isom. aff. } t.c. f'(A_i)=A_i\;\;\forall i=1,2,\dots,4
}
Quindi per l'unicita' di $f'$, e poiche' $f/_T$, la restrizione di $f$ a $T$, rispetta queste condizioni ed
e' sempre un isom. aff., abbiamo che $f/_T=f'$.\\
Infine, anche $\id:T\longrightarrow T$ rispetta le stesse condizioni ed e'
pure un isom. aff., quindi
\eal{&f'=\id\\
&f/_T=f'=\id\\
&f/_T=\id}
che e' la tesi.
	\end{prova}
\end{prova}
\end{exemp}


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