% File: geometriaI.tex % Created: Tue Mar 6 16:52:47 CET 2007 % Last Change: Sat Oct 07 10:00 AM 2006 C % % % (c) Copyright 2007 Andrea Lo Pumo aka AlpT % % This source code is free software; you can redistribute it and/or % modify it under the terms of the GNU General Public License as published % by the Free Software Foundation; either version 2 of the License, % or (at your option) any later version. % % This source code is distributed in the hope that it will be useful, % but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of % MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. % Please refer to the GNU Public License for more details. % % You should have received a copy of the GNU Public License along with % this source code; if not, write to: % Free Software Foundation, Inc., 675 Mass Ave, Cambridge, MA 02139, USA. % \documentclass[a4paper]{article} \usepackage{prova} \usepackage{color,graphicx} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsthm} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsfonts} %\usepackage{txfonts} \usepackage{xypic} \usepackage{pstricks} %%%% Index \usepackage{makeidx} \makeindex \newcommand{\ilabel}[1]{\label{#1}\index{#1}} %%%% %%%% PDF \RequirePackage{ifpdf} % running on pdfTeX? \ifpdf \usepackage[pdftex,bookmarks=true, bookmarksnumbered=false, bookmarksopen=true, colorlinks=true, linkcolor=webred] {hyperref} \definecolor{webgreen}{rgb}{0, 0.5, 0} % less intense green \definecolor{webblue}{rgb}{0, 0, 0.5} % less intense blue \definecolor{webred}{rgb}{0.5, 0, 0} % less intense red \fi %%%% %%%% Math commands \newtheorem{thm}{Theorem}[section] \newtheorem{cor}[thm]{Corollary} \newtheorem{lem}[thm]{Lemma} \newtheorem{prop}[thm]{Proposition} \newtheorem{ax}{Axiom} \theoremstyle{definition} \newtheorem{defn}{Definition}[section] \newtheorem{exemp}[defn]{Example} \theoremstyle{remark} \newtheorem{rem}{Remark}[section] \newtheorem*{notation}{Notation} \newcommand{\qq}{\qquad} \newcommand{\Oo}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\T}[1]{\textrm{#1}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}} \newcommand{\V}{\mathcal{V}} \newcommand{\C}{\mathcal{C}} \newcommand{\B}{\mathcal{B}} \newcommand{\A}{\mathcal{A}} \newcommand{\TR}{{^t\!}} \newcommand{\inte}[2]{\int_{[#1,#2]}} \newcommand{\intd}[2]{\int_{#1}^{#2}} \newcommand{\den}[1]{{#1}^\circ} \newcommand{\mis}{\operatorname{mis}} \newcommand{\area}{\operatorname{area}} \newcommand{\tg}{\tan} \newcommand{\sen}{\sin} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{arsinh}} \newcommand{\arsenh}{\operatorname{arsinh}} \newcommand{\piano}{\piano} \newcommand{\rette}{\rette} %%%% \title{Geometria I} \author{AlpT (@freaknet.org)} \begin{document} \pagenumbering{roman} \maketitle{} \pagebreak \begin{small} Copyright \copyright 2007 Andrea Lo Pumo aka AlpT $<$alpt@freaknet.org$>$. All rights reserved. This document is free; you can redistribute it and/or modify it under the terms of the GNU General Public License as published by the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later version. This document is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE\@. See the GNU General Public License for more details. You should have received a copy of the GNU General Public License along with this document; if not, write to the Free Software Foundation, Inc., 675 Mass Ave, Cambridge, MA 02139, USA. \end{small} \clearpage \tableofcontents \clearpage \pagenumbering{arabic} \section{Geometria piana} \subsection{Segmento} Dato il punto $A\equiv (x_1, y_1)$ e il punto $B\equiv (x_2, y_2)$, la distanza $\overline{AB}$ e' pari a \[ \overline{AB} = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \] Le coordinate del punto medio M del segmento AB sono: \[ M\equiv \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) \] \subsection{Retta} Una retta, nella geometria analitica, puo' essere definita come l'insieme dei punti che soddisfano un equazione del tipo $ax+by+c=0$, dove $x,y$ sono le variabili. Esistono due forme per esprimere l'equazione di una retta: \begin{align*} & ax+by+c=0 \;\textrm{ equ. generale o implicita}\\ & y=mx+n \;\textrm{ equ. esplicita} \end{align*} Le equazioni esplicite non possono descrivere rette nella forma $ax+c=0$.\\ Quindi una retta $r$ nel piano e': \[ r= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2\;|\;ax+by+c=0 \} \] \subsubsection{Distanza punto-retta} Dato il punto $A\equiv (x_1, y_1)$ e la retta $r:\;ax+by+c=0$, la distanza da $A$ a $r$ e' la lunghezza del segmento perpendicore a $r$ che ha un estremo in $A$, analiticamente: \[ d(A,r) = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \] \subsubsection{Distanza retta-retta} Se abbiamo due rette $r\parallel s$, possiamo calcolare la loro distanza.\\ Sia $r:\;ax+by+c=0$ e $s:\;a'x+b'y+c'=0$, poiche' sono parallele, $(a,b)$ e' proporzionale a $(a',b')$ (vedi \ref{parallelismo}).\\ Dato che $(a',b')=k(a,b)$, possiamo riscrivere $s$ come: \[ a'x+b'y+c'=0\;\Leftrightarrow \;\frac{a'}{k}x+\frac{b'}{k}y+\frac{c'}{k}=0\;\Leftrightarrow \;ax+by+c^*=0 \] allora la distanza $d(r,s)$ e' \[ d(r,s)=\frac{|c-c^*|}{\sqrt{a^2+b^2}} \] La dimostrazione consiste nel prendere un della retta $r$ e applicare la formula della distanza punto-retta con la retta $s$. \subsubsection{Condizioni di parallelismo} \label{parallelismo} Prendiamo due rette $r,s$ definite dalle equazioni $ax+by+c=0$, $a'x+b'y+c'=0$. E calcoliamo la loro intersezione: \[ r\cap s = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2\;|\;ax+by+c=0\land a'x+b'y+c'=0\} \] che quindi equivale al sistema: \[ \begin{cases} ax+by+c=0\\ a'x+b'y+c'=0 \end{cases} \] Le matrici incompleta e completa del sistema sono: \[ A=\begin{pmatrix} a&b\\ a'&b' \end{pmatrix},\;\;C=\begin{pmatrix} a&b&-c\\ a'&b'&-c' \end{pmatrix} \] \case{ $|A|\neq 0$ } In questo caso, per il teorema di Cramer, il sistema ammette una sola soluzione $(\alpha, \beta)$, che descrive il punto di intersezione tra $r$ e $s$. \case{ $|A|=0$ } Qui abbiamo che $rk(A)=1$, perche' $rk(A)=0$ implicherebbe $a=0, b=0$, e dato che $|A|=0$ non puo' essere $rk(A)=2$. Invece, per $rk(C)$ abbiamo due ulteriori casi: \[ rk(C)=\begin{cases} 1\\ 2 \end{cases} \] Nel primo caso, per il teorema di Rouche-Capelli, abbiamo che esistono $\infty $ soluzioni. Geometricamente, questo vuol dire che le due rette $r$ e $s$ coincidono, e quindi, per definizione sono parallele.\\ Nel secondo caso, il sistema non ammette soluzioni ($rk(A)\neq rk(C)$), quindi le due rette non hanno nessun punto in comune, ovvero sono ancora parallele.\\ In conclusione: \[ r \parallel s \;\Leftrightarrow \;|A|=0\;\Leftrightarrow \;ab'-a'b=0 \] se le rette si possono scrivere in forma implita $y=mx+n,\;y=m'x+n'$, allora la condizione diventa: \[ r \parallel s \;\Leftrightarrow \;m=m' \] cioe' se hanno lo stesso coefficiente angolare. \\ Se abbiamo il punto $A\equiv (x_1, y_1)$ e la retta $r:\;ax+by+c=0$, per trovare la retta parallela a $s$ parallela a $r$ e passante per $A$ basta scrivere $a(x-x_1)+b(y-y_1)=0$ per ottenere la sua equazione. \subsubsection{Condizioni di perpendicolarita'} Date due rette $r,s$ definite dalle equazioni $ax+by+c=0$, $a'x+b'y+c'=0$, \[ r\perp s \;\Leftrightarrow \;aa'+bb'=0 \] se le rette si possono scrivere in forma implita $y=mx+n,\;y=m'x+n'$, allora la condizione diventa: \[ r \perp s \;\Leftrightarrow \;mm'=-1 \] \\ Se abbiamo il punto $A\equiv (x_1, y_1)$ e la retta $r:\;ax+by+c=0$, per trovare la retta parallela a $s$ perpendicore a $r$ e passante per $A$ basta scrivere\\ $-b(x-x_1)+a(y-y_1)=0$ per ottenere la sua equazione. \subsubsection{Equazioni parametriche} \label{equrettaparam} Dati due punti $(x_0,y_0),\;(x_1,y_1)$, l'equazione della retta passante per essi e': \begin{enumerate} \item Se $x_0\neq x_1,\;y_0\neq y_1$:\[ \frac{x-x_0}{x_1-x_0}=\frac{y-y_0}{y_1-y_0} \] \item Se $x_0=x_1$:\[x=x_0\] \item Se $y_0=y_1$:\[y=y_0\] \end{enumerate} In ogni caso possiamo scrivere l'equazione della retta in forma parametrica: \[ r:\;\begin{cases} x=x_0+k(x_1-x_0)\\ y=y_0+k(y_1-y_0) \end{cases} \] Per passare da una forma all'altra, basta introdurre o risolvere il parametro $k$.\\ Possiamo aggiungere nel sistema un numero arbitrario di parametri, introduciamo allora $h$: \[ \begin{cases} x=x_0(1-k)+kx_1\\ y=y_0(1-k)+ky_1 \end{cases}\;\Leftrightarrow \;\begin{cases} x=hx_0+kx_1\\ y=hy_0+ky_1\\ h=1-k\;\Leftrightarrow\;1=h+k \end{cases} \] a questo punto possiamo esprimere questo sistema usando le matrici: \[ \begin{bmatrix} x\\y\\1 \end{bmatrix}=h\begin{bmatrix} x_0\\y_0\\1 \end{bmatrix}+k\begin{bmatrix} x_1\\y_1\\1 \end{bmatrix} \] Per convenienza: \[ X=\begin{bmatrix} x\\y\\1 \end{bmatrix},\;X_0=\begin{bmatrix} x_0\\y_0\\1 \end{bmatrix}\;X_1=\begin{bmatrix} x_1\\y_1\\1 \end{bmatrix} \] e quindi \[ X=hX_0+kX_1 \] Questa modo di esprimere l'equazione della retta e' chiamata ``forma compatta''. \subsection{Asse di un segmento} Dati i due punti $A=(x_1,y_1), B=(x_2, y_2)$, l'asse del segmento $AB$ e' la retta perpendicolare alla retta $AB$ e passante per il punto medio di $AB$.\\ Esiste un teorema che dice che l'asse e' il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento, quindi se l'asse lo chiamiamo $r$ abbiamo: \[ P\in r \;\Leftrightarrow \;PA=PB \] con $P=(x,y)$ analiticamente diventa: \[ \sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2} = \sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2} \] e quindi elevando al quadrato e semplificando otteniamo l'equazione di $r$: \[ r:\;\;2(x_1-x_2)x +2(y_1-y_2)y + x_{2} ^{2} - x_{1} ^{2} + y_{2} ^{2} - y_{1} ^{2} =0 \] \subsection{Bisettrice} Date due rette $r,s$ di equazioni $ax+by+c=0$,$a'x+b'y+c'=0$, le loro bisettrici $b_1, b_2$ sono quelle rette che dividono i due angoli che $r,s$ formano in parti uguali. \begin{figure}[h] \begin{center} \includegraphics[scale=0.7]{fig/bis} \end{center} \caption{bisettrici} \end{figure} Le bisettrici sono caratterizzate dal luogo dei punti che hanno ugual distanza da $r$ e da $s$. Quindi \[ P\in r\lor P\in s \;\Leftrightarrow \;Pr=Ps \] analiticamente, con $P=(x,y)$: \[ \frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{|a'x+b'y+c'|}{\sqrt{a^2+b^2}} \] per ``eliminare'' il valore assoluto basta considerare questa proprieta': \[ |a|=|b|\;\Leftrightarrow \;a=b\lor a=-b \] e quindi si avranno due equazioni di rette, e piu' precisamente abbiamo che $ Ax + By +C = 0$ rappresenta l'equazione delle bisettrice, con: \[ A = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \pm \frac{a'}{\sqrt{a'^2+b'^2}},\ B = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \pm \frac{b'}{\sqrt{a'^2+b'^2}},\ C = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \pm \frac{c'}{\sqrt{a'^2+b'^2}}\] \textbf{Osservazione}: se avessimo tolto il valore assoluto elevando al quadrato ambo i membri, avremmo ottenuto un equazione di secondo grado del tipo $ax^2+by^2+\dots$, ovvero una conica. Questa conica descrive contemporaneamente tutte e due le bisettrici, ovvero descrive $r\cup s$. Per trovare le due equazioni sarebbe stato sufficiente risolvere ad una incognita. Questa situazione e' un caso particolare di un fatto piu' generale: se abbiamo un polinomio $f(x)$ che descrive una curva $c_1$ e un polinomio $g(x)$ che descrive $c_2$, $f(x)g(x)=0$ e' l'equazione che descrive $c_1 \cup c_2$ perche' $f(x)g(x)=0\;\Leftrightarrow\;f(x)=0\lor g(x)=0$. \subsection{Sistemi di riferimento} \subsubsection{Traslazione} Se abbiamo due sistemi di riferimento $xOy$ e $X\Omega Y$, con $\Omega \equiv (a,b)$, dove $(a,b)$ e' un punto rispetto a $xOy$, le equazioni che legano i due sistemi sono: \[ \begin{cases} x=X+a\\ y=Y+b \end{cases} \] \subsubsection{Rotazione} Se abbiamo due sistemi, aventi la stessa origine, l'uno ruotato rispetto all'altro di un angolo $\Theta$, le equazioni che li legano sono: \[ \begin{cases} x=X\cos \Theta - Y\sin\Theta \\ y=X\sin \Theta + Y\cos\Theta \end{cases} \] \subsubsection{Rototraslazione} Possiamo combinare sia la traslazione che la rotazione (non importa in che ordine), ottenendo: \[ \begin{cases} x=a+X\cos \Theta - Y\sin \Theta \\ y=b+X\sin \Theta + Y\cos \Theta \end{cases} \] dove $xOy$ e $X\Omega Y$, con $\Omega \equiv (a,b)$, sono i due sistemi di riferimento. \section{Geometria proiettiva} La geometria proiettiva e' l'estensione delle geometria affine (quella che abbiamo considerato fino adesso). E' costruita aggiungendo la definizione di punto improprio. \begin{figure}[h] \begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{fig/Drawing_Square_in_Perspective_2} \caption{La geometria proiettiva e' la geometria vista da un occhio} \end{center} \end{figure} \subsection{Punto improprio} Limitiamoci a un piano. Associamo a ogni fascio di rette parallele del piano un punto, che non appartiene al piano, e che chiamiamo punto improprio. In altri termini, il punto improprio di una retta e' la sua direzione.\\ Se prendiamo allora tutti i punti impropri di un piano, nasce la retta impropria, chiamata anche retta all'infinito: \[ r_\infty = \{ \textrm{punti impropri del piano} \} \] Nella geometria proiettiva il V postulato di Euclide non vale piu', infatti, non esistono rette parallele, dato che tutte le rette hanno un punto in comune (o proprio o improprio). \\ Nella geometria affine si distinguono due casi di fasci di rette (il fascio di retta parallele e il fascio di rette passanti per un punto), in quella proiettiva esiste solo il fascio di rette che condividono uno stesso punto (o proprio o improprio).\\ L'insieme dei punti propri e impropri del piano $\mathbb{R}^2$ costituisce il piano proiettivo e si indica con $\P^2$ \subsection{Coordinate omogenee} Per costruire la geometria analitica proiettiva, basta associare a ogni punto $P$ una tripletta $(x_1,x_2,x_3)$ tenendo conto di questa relazione: \[ (x_1,x_2,x_3)=\alpha(x_1,x_2,x_3),\;\;\alpha\neq 0 \] Ovvero, terne proporzionali individuano lo stesso punto.\\ $\alpha$ deve essere diverso da zero, altrimenti tutti i punti sarebbero uguali a $(0,0,0)$ e sempre per questo motivo il punto $(0,0,0)$ non e' incluso nel piano proiettivo.\\ \textbf{Osservazione: } considerando $(x_1,x_2,x_3)\neq \alpha(x_1,x_2,x_3)$ rientriamo nel classico spazio a 3 dimensioni. La relazione tra il piano proiettivo e lo spazio e' la seguente: a ogni retta dello spazio corrisponde un punto nel piano proiettivo, e a ogni piano corrisponde una retta, vedi figura \ref{fig:P2R3}. \begin{figure}[h] \begin{center} \includegraphics{fig/Proj_geom1} \end{center} \caption{Il piano proiettivo $\P^2$ e lo spazio $\mathbb{R}^3$} \label{fig:P2R3} \end{figure} Nel piano proiettivo un punto proprio e' un punto che ha la seguente proprieta': \[(x_1, x_2, x_3)=(xx_3, yx_3, x_3)\] cioe' \[ \begin{cases} x_1=xx_3\\ x_2=yx_3 \end{cases} \] I punti propri si caratterizzano nel modo seguente: \[ P=(x_1,x_2,x_3) \textrm{ punto proprio}\;\Leftrightarrow \;x_3\neq 0 \] di conseguenza \[ P=(x_1,x_2,x_3)\textrm{ punto improprio}\;\Leftrightarrow\; x_3=0 \] \subsubsection{Conversione di coordinate} Ricordandoci la relazione di un punto proprio: \[ \begin{cases} x_1=xx_3\\ x_2=yx_3 \end{cases} \] possiamo passare dalle coordinate non omogenee di un punto a quelle omogenee: se abbiamo $P\equiv (x,y)$, tutti i punti equivalenti a $P$ in $\P^2$ sono $(kx,ky,k)$ al variare di $k$, quindi per convenienza possiamo prendere $(x,y,1)$. Viceversa, per passare dalle omogenee alle non omogenee, ci riconduciamo a $(x,y,1)$ e $(x,y)$ saranno le coordinate di $P$ in $\mathbb{R}^2$\\ Se vogliamo scrivere una retta $ax+by+c=0$ usando le coordinate omogenee, bastera' usare le relazioni $x_1=xx_3, x_2=yx_3$, che con $x_3\neq 0$ equivalgono a \[ \begin{cases} x=\frac{x_1}{x_3}\\ y=\frac{x_2}{x_3} \end{cases} \] quindi abbiamo: \[ ax+by+c=0\longrightarrow a\frac{x_1}{x_3}+b\frac{x_2}{x_3}+c=0\Leftrightarrow ax_1+bx_2+cx_3=0 \] l'ultima equazione, poiche' rappresenta una retta parallela a $ax+by+c=0$, puo' essere riscritta come \[ ax+by+ct=0 \] con una certa costante $t$.\\ In generale, la regola pratica per convertire un'equazione non omogenea in una omogenea e': moltiplicare ogni monomio dell'equazione per una costante $t^c$, in modo tale da ottenere monomi che hanno tutti lo stesso grado, ad esempio: \[ x^3+3x^2y-y^2+2x-y+1=0\;\longrightarrow \;x^3+3x^2y-y^2t+2xt^2-yt^2+t^3=0 \] per il viceversa basta sostituire $t=1$. \subsubsection{Punto improprio di una retta} Il punto improprio associato ad una retta $ax+by+c=0$ e' $(-b, a, 0)$, o equivalentemente $(b,-a,0)$. \begin{prova} \step{}{Dimostriamolo geometricamente} \begin{prova} Data la retta $r:\;ax+by+c=0$, ogni sua retta parallela deve avere il suo punto improprio.\\ Se consideriamo la retta parallella a $r$e passante per l'origine, cioe' $ax+by=0$, abbiamo che $(b,-a,0)$ e' una sua soluzione, cosi' come $(kb,-ka,0)$, al variare di $k$. \qed \end{prova} \step{}{Dimostriamolo analiticamente} \begin{prova} Scriviamo la retta $r:\;ax+by+c=0$ in coordinate omogenee: $ax+by+ct=0$. Adesso basta trovare l'intersezione di $r$ con la retta impropria e quindi risolvere il sistema \[ \begin{cases} ax+by+ct=0\\ t=0 \end{cases} \] dove $t=0$ e' l'equazione della retta impropria. \[ \begin{cases} ax+by+ct=0\\ t=0 \end{cases}\;\Leftrightarrow \; \begin{cases} ax+by=0\\ t=0 \end{cases} \] Risolvendo il sistema, troviamo le infinite soluzioni $(kb,-ka,0)$. \qed \end{prova} \end{prova} Dal punto improprio $(b,-a,0)$ possiamo calcolare il coeff. angolare se $b\neq 0$: infatti, $(1, -\frac{a}{b}, 0 )$ individua lo stesso punto di $(b,-a,0)$, e $-\frac{a}{b}$ e' il coeff. angolare.\\ La regola pratica per trovare il punto improprio di una curva consiste nell'eliminare dalla sua equazione tutti i monomi che non hanno grado massimo, ad esempio: \begin{align*} &ax+by+t=0\;\longrightarrow \;ax+by=0\\ &x^3+3x^2y-y^2+2x-y+1=0\;\longrightarrow \;x^3+3x^2y=0 \end{align*} e trovare le soluzioni omogenee del tipo $(x,y,0)$, ad esempio: \begin{align*} & ax+by=0\textrm{ e' soddisfatta da } (-b,a,0)\\ &x^3+3x^2y=0\;\Rightarrow \;x^2(x+3y)=0\\ &\qq \begin{cases} x^2=0\\ t=0 \end{cases}\lor \begin{cases} x=-3y\\ t=0 \end{cases}\\ &\qq (0,k,0)=(0,1,0) \lor (-3h,h,0)=(-3,1,0) \end{align*} $Y_\infty\equiv (0,k,0)=(0,1,0)$ e' il punto improprio dell'asse $y$\\ $X_\infty\equiv (k,0,0)=(1,0,0)$ e' il punto improprio dell'asse $x$\\ $O_\infty\equiv (0,0,k)=(0,0,1)$ e' l'origine di coordinate omogenee. \section{Coniche} Una conica e' il luogo dei punti descritto da un'equazione di secondo grado a due incognite: \[ a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0\;\;(1) \] la sua forma omogenea e' \[ a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}xt+2a_{23}yt+a_{33}t^2=0\;\;(2) \] Sia \[ A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12} & a_{13}\\ a_{12}&a_{22} & a_{23}\\ a_{13}&a_{23} & a_{33}\\ \end{bmatrix} \] una matrice simmetrica, cioe' $a_{ij}=a_{ji}$. Poniamo \[ X=\begin{bmatrix} x\\y\\1 \end{bmatrix},\;\;Y=\begin{bmatrix} x\\y\\t \end{bmatrix} \] allora \[ (\TR X)AX=0\;\Leftrightarrow \;(1) \] e \[ (\TR Y)AY=0\;\Leftrightarrow \;(2) \] \subsubsection{Tipi di coniche} Distinguiamo 6 diversi tipi di coniche: \begin{enumerate} \item Le ellissi, come ad esempio $x^2+y^2-2x+2y-1=0$ \item Le parabole, $x^2-y=0$ \item Le iperboole, $x^2-y^2=1$ \end{enumerate} questi primi quattro si chiamano \emph{coniche non spezzate}, perche' i polinomi che le generano sono irriducibili. \begin{enumerate} \item Unione di due rette distinte, ad esempio \[ x^2-y^2+2y-1=0\;\Leftrightarrow \;x^2-(y-1)^2=0\;\Leftrightarrow \;\underbrace{(x-(y-1))}_{\textrm{retta } r}\underbrace{(x+(y-1))}_{\textrm{retta } s}=0 \] \item Unione di due rette coincidenti: \[ (x+y+1)^2=0 \] \item Unione di due rette immaginarie coniugate: \[ x^2+4y^2=0;\Leftrightarrow \;(x-2iy)(x+2iy)=0 \] Nota: l'intersezione di due rette immaginarie e' un punto reale. \end{enumerate} \subsubsection{Retta $\cap$ Conica} I punti di intersezione tra una retta e una conica sono i punti che risolvono il seguente sistema: \[ \begin{cases} (\TR X)AX=0\\ X=\lambda X_0+\mu X_1 \end{cases} \] dove la prima equazione e' quella di una conica e la seconda quella di una retta (vedi \ref{equrettaparam}). Possono essere sia in coordinate omogenea che in coordinate non omogenea. \label{intrettaconica} Risolviamo il sistema nelle incognite $\lambda,\mu$:\begin{align*} &\begin{cases} (\TR X)AX=0\\ X=\lambda X_0+\mu X_1 \end{cases}\;\Leftrightarrow \;\begin{cases} \TR(\lambda X_0+\mu X_1)A(\lambda X_0+\mu X_1)=0\\ X=\lambda X_0+\mu X_1 \end{cases} \;\Leftrightarrow \\ &\begin{cases} \lambda \TR X_0 A \lambda X_0+ \lambda \TR X_0 A \mu X_1 + \mu \TR X_1 A \lambda X_0 + \mu \TR X_1 A \mu X_1=0\\ X=\lambda X_0+\mu X_1 \end{cases} \;\Leftrightarrow \\ &\begin{cases} \lambda^2 (\TR X_0 A X_0) + \mu^2 (\TR X_1 A X_1)+ \lambda\mu (\TR X_0 AX_1) + \lambda\mu (\TR X_1AX_0) =0\\ X=\lambda X_0+\mu X_1 \end{cases}\\ &\TR(\TR X_0 AX_1)=\TR X_1 \TR A X_0=\TR X_1AX_0\;\textrm{ [$A$ e' una mat. sym]}\\ &\TR(\TR X_0 AX_1)=(\TR X_0 AX_1)\;\textrm{ [perche' $(\TR X_0 AX_1)$ e' una mat. 1x1]}\\ &\qq \Rightarrow \;\TR X_0 AX_1=\TR X_1AX_0\\ &\begin{cases} \lambda^2 (\TR X_0 A X_0) + \mu^2 (\TR X_1 A X_1)+ 2\lambda\mu (\TR X_0 AX_1) =0 \;\;(1)\\ X=\lambda X_0+\mu X_1\;\;(2) \end{cases} \end{align*} Dall'equazione $(1)$, al variare di $\mu$, possiamo ricavarci $\lambda$ e sostiturla in $(2)$, ricavando cosi' i punti d'intersezione $X$. Quindi, se consideriamo $\lambda$ come incognita, $(1)$ diventa un'equazione di secondo grado e nascono tre casi: \case{ $\Delta>0$ } Allora la conica si interseca con la retta in due punti reali e distinti. \case{ $\Delta=0$ } Allora la conica si interseca con la retta in due punti reali e coincidenti. \case{ $\Delta<0$ } In questo caso si intersecano in due punti immaginari e coniugati. \\ Si puo' anche verificare un caso in cui risolvendo il sistema si ottiene un'identita', come ad esempio: \[ \begin{cases} x^3-y^3=0\\ x-y=0 \end{cases}\;\Leftrightarrow \; \begin{cases} &0=0\\ &x=y \end{cases} \] In questo caso, tutti i punti che soddisfano la retta $x=y$ soddifano la curva $x^3-y^3$, in altre parole tutta la retta e' contenuta nella curva. \begin{thm} Data una conica $\Gamma$ e una retta $r$, si ha \[ r\cap \Gamma=r\;\;\lor \;\;r\cap \Gamma=\textrm{2 punti} \] \end{thm} \begin{cor} Se $\Gamma$ non e' spezzata$\;\Rightarrow \;r\cap \Gamma=\textrm{2 punti}$ \end{cor} \begin{defn} \label{deftg} Definizione di retta $r$, tangente a una conica $\Gamma$, non spezzata, in un punto $P_0$: \[ \textrm{$r$ e' tangente a $\Gamma$ in $P_0$}\;\Leftrightarrow \; r\cap \Gamma=\{P_0,P_0\} \] Cioe' se $r$ incontra $\Gamma$ in un punto ``contato due volte''.\\ La tangente a una conica in un punto improprio si chiama \emph{asintoto} \end{defn} \subsubsection{Classi di coniche} Data la conica $\Gamma$, non spezzata \begin{align*} &\Gamma\equiv \textrm{ellisse}\;\Leftrightarrow \;\Gamma\cap r_\infty = \textrm{2 punti immaginari coniugati}\\ &\Gamma\equiv \textrm{iperbole}\;\Leftrightarrow \;\Gamma\cap r_\infty=\textrm{2 punti reali e distinti}\\ &\Gamma\equiv \textrm{parabola}\;\Leftrightarrow \;\Gamma\cap r_\infty = \textrm{2 punti reali coincidenti} \end{align*} Se i due punti impropri dell'iperbole individuano rette perpendicolari tra loro, allora l'iperbole e' equilatera. \begin{enumerate} \item Data una parabola $\piano$, $\exists \textrm{ una retta }r $ detta direttrice, $\exists \textrm{un punto proprio} F,\;F\notin r $ detto fuoco tale che: \[ P\in \piano, \textrm{ proprio}\;\Leftrightarrow \; \overline{PF}=\overline{Pr} \] \item Data un'ellisse $\mathcal{E}$, $\exists \textrm{ i punti } F_1,F_2$, chiamati fuochi tale che: \[ P\in \mathcal{E}, \textrm{ proprio}\;\Leftrightarrow \; \overline{PF_1}+\overline{PF_2}=k \] Se $F_1=F_2$ allora si avra' un cerchio. \item Data un'iperbole $\mathcal{I}$, $\exists \textrm{ i punti } F_1,F_2$, chiamati fuochi tale che: \[ P\in \mathcal{I}, \textrm{ proprio}\;\Leftrightarrow \; |\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=k \] \end{enumerate} Data la conica $\Gamma$ spezzata \begin{align*} &\Gamma\equiv \textrm{due rette immaginarie distinte}\;\Leftrightarrow \;\Gamma\cap r_\infty = \textrm{2 punti immaginari coniugati}\\ &\Gamma\equiv \textrm{due rette reali distinte}\;\Leftrightarrow \;\Gamma\cap r_\infty=\textrm{2 punti reali e distinti}\\ &\Gamma\equiv \textrm{due rette reali coincidenti}\;\Leftrightarrow \;\Gamma\cap r_\infty = \textrm{2 punti reali coincidenti} \end{align*} \subsection{Equazioni ridotte e invarianti} \begin{thm} \label{thmsis} Data una conica \[\Gamma: \; a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0 \] esiste almeno un sistema di riferimento $X\Omega Y$ rispetto al quale $\Gamma$ si puo' scrivere in una delle seguenti forme: \begin{align*} &\alpha_{11}X^2+\alpha_{22}Y^2+\alpha_{33}=0\\ &\alpha_{11}X^2+2\alpha_{23}Y=0\\ \end{align*} \end{thm} \begin{thm} Data una conica \[\Gamma: \; a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0 \] \[ A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12} & a_{13}\\ a_{12}&a_{22} & a_{23}\\ a_{13}&a_{23} & a_{33}\\ \end{bmatrix} \] in qualsiasi sistema di riferimento $X\Omega Y$, le seguenti caratteristiche dell'equazione restano invariate: \begin{enumerate} \item $r(A)$, la caratteristica di $A$. \item $\det A$ . \item $A_{33}=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22} \end{vmatrix}$, il complemento algebrico di posto $(3,3)$. \item $I=a_{11}+a_{22}$, la somma dei primi due elementi della diagonale principale di $A$. \end{enumerate} \end{thm} \begin{thm} Proprieta' dell'$A_{33}$: \begin{itemize} \item $A_{33} >0\;\Rightarrow \;\Gamma $ ha 2 punti impropri immaginari e coniugati, ovvero puo' essere o l'unione di due rette immaginarie distinte oppure un ellisse \item $A_{33} <0\;\Rightarrow \;\Gamma $ ha 2 punti impropri reali e distinti, ovvero puo' essere o l'unione di due rette reali distinte oppure un iperbole \item $A_{33} = 0\;\Rightarrow \;\Gamma$ ha 2 punti impropri reali e coincidenti, ovvero puo' essere l'unione di due rette reali coincidenti oppure una parabola; oppure $r_\infty \subseteq \Gamma$. \end{itemize} \end{thm} \begin{prova} \pf Per il thm \ref{thmsis}, possiamo scrivere qualsiasi conica in una delle seguenti forme: \begin{align*} &\alpha_{11}X^2+\alpha_{22}Y^2+\alpha_{33}=0\\ &\alpha_{11}X^2+2\alpha_{23}Y=0\\ \end{align*} Limitiamoci al primo caso. Abbiamo che \[ A=\begin{pmatrix} \alpha_{11}&0&0\\ 0&\alpha_{22}&0\\ 0&0&\alpha_{33} \end{pmatrix} \] e quindi \[ A_{33}= \begin{vmatrix} \alpha_{11}&0\\ 0&\alpha_{22} \end{vmatrix} \] \step{}{Dim per $A_{33} >0$} \begin{prova} Se $A_{33} >0$ allora $\alpha_{11}\alpha_{22}>0$, quindi $\alpha_{11}$ e $\alpha_{22}$ sono concordi. Consideriamo l'intersezione $r_\infty \cap \Gamma$, in coordinate omogenee: \[ \begin{cases} \alpha_{11}X^2+\alpha_{22}Y^2+\alpha_{33}t=0\\ t=0 \end{cases}\;\Leftrightarrow \; \begin{cases} \alpha_{11}X^2+\alpha_{22}Y^2=0\;\;\;(1)\\ t=0 \end{cases} \] Poiche' $\alpha_{11}$ e $\alpha_{22}$ sono concordi, $(1)$ e' somma di quadrati e quindi e' irriducibile. Questo significa che le soluzioni sono immaginarie e coniugate. \qed \end{prova} \step{}{Dim per $A_{33} <0$} \begin{prova} Rifacendo lo stesso ragionamento di prima, notiamo che $\alpha_{11}$ e $\alpha_{22}$ sono discordi, e quindi $\alpha_{11}X^2+\alpha_{22}Y^2$ diventa una differenza di quadrati, ovvero $\alpha_{11}X^2+\alpha_{22}Y^2$ e' riducibile in $R[x,y]$ e quindi la $(1)$ ha due soluzioni reali e distinte. \qed \end{prova} \step{}{Dim per $A_{33} =0$} \begin{prova} $\alpha_{11}\alpha_{22}=0$. Distinguiamo i vari casi: \case{ $\alpha_{11}=\alpha_{22}=0$ } il sistema diventa \[ \begin{cases} 0=0\\ t=0 \end{cases} \] e quindi $r_\infty \subseteq \Gamma$ \qed \case{ $\alpha_{11}=0,\;\;\alpha_{22}\neq 0$ } il sistema diventa \[ \begin{cases} Y^2=0\\ t=0 \end{cases} \] Le soluzioni sono quindi: $(x,0,0),\;(x,0,0)$. Ovvero due punti reali e coincidenti. \case{ $\alpha_{11}\neq 0,\;\;\alpha_{22}= 0$ } e' analogo a quello di sopra. \end{prova} Se, invece, la conica e' della forma \[ \alpha_{11}X^2+2\alpha_{23}Y=0 \] allora \[ A=\begin{pmatrix} \alpha_{11}&0&0\\ 0&0&\alpha_{23}\\ 0&\alpha_{32}&0 \end{pmatrix},\;\;\alpha_{32}=\alpha_{23} \] e quindi \[ A_{33}= \begin{vmatrix} \alpha_{11}&0\\ 0&0 \end{vmatrix} \] \begin{prova} \pf poiche' $A_{33}$ ha det uguale a zero, dobbiamo considerare solo un caso. \step{}{Dim $A_{33}=0$} \begin{prova} \case{$\alpha_{11}=0$ } allora il sistema d'intersezione con $r_\infty $ diventa: \[ \begin{cases} 0=0\\ t=0 \end{cases} \] e quindi $r_\infty \subseteq \Gamma$ \case{ $\alpha_{11}\neq 0$ } il sistema diventa \[ \begin{cases} \alpha_{11}X^2+\alpha_{23}Yt=0\\ t=0 \end{cases}\;\Leftrightarrow \;\begin{cases} X^2=0\\ t=0 \end{cases} \] e quindi abbiamo due sol. reali e distinte. \qed \end{prova} \end{prova} \end{prova} \begin{cor} \label{cornonspezz} Se $\Gamma$ non e' spezzata, \begin{itemize} \item $A_{33} >0\;\Rightarrow \;\Gamma $ e' un ellisse. \item $A_{33} <0\;\Rightarrow \;\Gamma $ e' un iperbole. \item $A_{33} = 0\;\Rightarrow \;\Gamma$ e' una parabola. \end{itemize} \end{cor} \begin{thm} $I=0\;\Rightarrow \;r_\infty \subseteq \Gamma\;\lor \;\Gamma $ ha due punti impropri reali e distinti che individuano rette $\perp$ tra loro. \end{thm} \begin{prova} \pf \begin{prova} Per il thm \ref{thmsis}, possiamo scrivere qualsiasi conica in una delle seguenti forme: \begin{align*} &\alpha_{11}X^2+\alpha_{22}Y^2+\alpha_{33}=0\;\;\;(1)\\ &\alpha_{11}X^2+2\alpha_{23}Y=0\;\;\;(2)\\ \end{align*} \case{ $(1)$ } abbiamo che \[ A=\begin{pmatrix} \alpha_{11}&0&0\\ 0&\alpha_{22}&0\\ 0&0&\alpha_{33} \end{pmatrix} \] e quindi $I=\alpha_{11}+\alpha_{22}$. Per Hp $I=0$, allora $\alpha_{11}=-\alpha_{22}$. Consideriamo $r_\infty \cap \Gamma$: \[ \begin{cases} \alpha_{11}X^2+\alpha_{22}Y^2+\alpha_{33}t^2=0\\ t=0 \end{cases} \] Se $\alpha_{11}=-\alpha_{22}=0$ allora $r_\infty \subseteq \Gamma$, altrimenti se $\alpha_{11}=-\alpha_{22}\neq 0$ abbiamo \[ \begin{cases} \alpha_{11}X^2+\alpha_{22}Y^2+\alpha_{33}t^2=0\\ t=0 \end{cases}\;\Leftrightarrow \; \begin{cases} X^2-Y^2+\frac{\alpha_{33}}{\alpha_{11}}t^2=0\\ t=0 \end{cases}\;\Leftrightarrow \; \begin{cases} X^2-Y^2=0\;\Leftrightarrow \;(x-y)(x+y)=0\\ t=0 \end{cases} \] le soluzioni sono $(x,x,0),\;\;(x,-x,0)$ che sono la stessa cosa di $(1,1,0),\;\;(1,-1,0)$. Qquindi abbiamo due punti impropri reali e perpendicolari fra loro (perche' $(m=1)\cdot (m'=-1)=-1$) \case{ $(2)$ } siamo in questa situazione: \[ A=\begin{pmatrix} \alpha_{11}&0&0\\ 0&0&\alpha_{23}\\ 0&\alpha_{32}&0 \end{pmatrix},\;\;\alpha_{32}=\alpha_{23} \] e quindi $I=\alpha_{11}=0$, allora $r_\infty \cap \Gamma$ e': \[ \begin{cases} 2\alpha_{23}Yt=0\\ t=0 \end{cases}\;\Leftrightarrow \;\begin{cases} 0=0\\ t=0 \end{cases} \] quindi $r_\infty \subseteq \Gamma$ \qed \end{prova} \end{prova} \begin{cor} Se $\Gamma$ non e' spezzata, $I=0\;\Rightarrow \;\Gamma $ e' una iperbole equilatera. \end{cor} \begin{thm} Sia $r(A)$ il rango della matrice simmetrica $A$ della conica $\Gamma$, allora \begin{itemize} \item $r(A)=1\;\Leftrightarrow \;$ la conica si spezza in due rette coincidenti \item $r(A)=2\;\Leftrightarrow \;$ la conica si spezza in due rette distinte \item $r(A)=3\;\Leftrightarrow \;$ la conica non si spezza \end{itemize} \end{thm} \begin{prova} \pf \step{}{$r(A)=1\Rightarrow \Gamma=r=s$} \begin{prova} \case{ la conica e' nella forma $\alpha_{11}X^2+\alpha_{22}Y^2+\alpha_{33}=0$} Abbiamo che \[ A=\begin{pmatrix} \alpha_{11}&0&0\\ 0&\alpha_{22}&0\\ 0&0&\alpha_{33} \end{pmatrix} \] $A$ e' una matrice ridotta, dato che tutti i suoi elementi sono speciali. Poiche' $r(A)$ e' il numero di elementi speciali, e per Hp $r(A)=1$, almeno due elementi devono essere nulli. Quindi le tre possibili equazioni sono: \[ X^2=0\;\lor \;Y^2=0\;\lor \;t^2=0 \] in ogni caso abbiamo che $\Gamma$ si spezza in due rette coincidenti. \case{ la conica e' nella forma $\alpha_{11}X^2+2\alpha_{23}Y=0$ } \[ A=\begin{pmatrix} \alpha_{11}&0&0\\ 0&0&\alpha_{23}\\ 0&\alpha_{32}&0 \end{pmatrix},\;\;\alpha_{32}=\alpha_{23} \] Poiche' $\alpha_{32}=\alpha_{23}$ e poiche' due elementi speciali devono essere nulli (dato che $r(A)=1$), l'unica possibilita' e' che sia $\alpha_{32}=\alpha_{23}=0$, quindi l'equazione diventa $X^2=0$. In conclusione, anche in questo caso abbiamo due rette coincidenti. \qed \end{prova} \step{}{$r(A)=2\Rightarrow \Gamma \textrm{ si spezza in } r\neq s$} \begin{prova} Se la conica e' nella prima forma, un elemento speciale di $A$ deve essere nullo e quindi un termine di $\alpha_{11}X^2+\alpha_{22}Y^2+\alpha_{33}=0$ deve essere nullo. In ogni caso, l'equazione diventa o somma o differenza di quadrati e quindi la conica si spezza in due rette distinte (che possono essere o immaginarie o reali).\\ Se invece la conica e' nella forma $\alpha_{11}X^2+2\alpha_{23}Y=0$, $A$ e' \[ A=\begin{pmatrix} \alpha_{11}&0&0\\ 0&0&\alpha_{23}\\ 0&\alpha_{32}&0 \end{pmatrix},\;\;\alpha_{32}=\alpha_{23} \] poiche' $\alpha_{32}=\alpha_{23}$ e $r(A)=2$, l'unica possibilita' che rimane e' $\alpha_{11}=0$, quindi abbiamo \[ \begin{cases} 2\alpha_{23}Yt=0\\ t=0 \end{cases}\;\Leftrightarrow \;\begin{cases} Yt=0\;\Leftrightarrow \;(Y=0 \lor t=0)\\ t=0 \end{cases} \] e quindi si spezza nell'unione della retta impropria e dell'asse $X$ \qed \end{prova} Adesso dimostriamo il viceversa dei casi fin'ora considerati, cosi', per esclusione, dimostreremo automaticamente $r(A)=3$. \step{}{Dim $r(A)=1\Leftarrow \Gamma=r=s$} \begin{prova} Abbiamo due rette coincidenti $r,s$ in cui $\Gamma$ e' spezzata. Prendiamo la retta $r$ e una qualsiasi sua perpendicolare. A partire da questo nuovo sistema di riferimento scriviamo l'equazione della conica: \[ Y^2=0 \] allora \[ A=\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix} \] e quindi $r(A)=1$. Poiche' $r(A)$ e' un invariante, questo vale per tutti i sistemi di riferimento.\\ Se le due rette coincidenti sono $r_\infty \equiv r_\infty $, allora abbiamo $t^2=0$ e quindi \[ A=\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \] \qed \end{prova} \step{}{Dim $r(A)=2\Leftarrow \Gamma \textrm{ si spezza in } r\neq s$} \begin{prova} Distinguiamo tre casi \case{ $r=r_\infty$ } Consideriamo $s$ come l'asse $X$ e prendendo un suo punto qualsiasi, costruiamo l'asse $Y$. In questo nuovo sistema di riferimento l'equazione di $\Gamma$ diventa: \[ Yt=0 \] Quindi \[ A=\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&\frac{1}{2}\\ 0&\frac{1}{2}&0 \end{pmatrix} \;\Rightarrow \;r(A)=2 \] \case{ $r\neq s,\;\;r\parallel s$ } Costruiamo la retta equidistante da $r$ e da $s$ e chiamiamola $X$. Scegliendo un qualsiasi punto di $X$ costruiamo l'asse $Y$. In questo nuovo sistema di riferimento l'equazione di $r$ e' $Y=-k$ e di $s:\;Y=k$, quindi l'equ di $\Gamma$: \[ (Y-k)(Y+k)=Y^2-k^2=0 \] e quindi \[ A=\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-k^2 \end{pmatrix} \;\Rightarrow \;r(A)=2 \] \case{ $r$ incidente a $s$ } Prendiamo le bisettrici di entrambe le rette, una la usiamo come $X$ e l'altra come $Y$. L'equazione di $r$ diventa allora $Y=mX$ mentre quella di $s:\;Y=-mX$, quindi \[ \Gamma:\;\;(Y-mX)(Y+mX)=Y^2-m^2X^2=0 \] e quindi \[ A=\begin{pmatrix} -m^2&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\;\Rightarrow \;r(A)=2 \] \qed \end{prova} Poiche' abbiamo visto che \begin{itemize} \item $r(A)=1\;\Leftrightarrow \;$ la conica si spezza in due rette coincidenti \item $r(A)=2\;\Leftrightarrow \;$ la conica si spezza in due rette distinte \end{itemize} per esclusione otteniamo: $r(A)=3\;\Leftrightarrow \;$ la conica non si spezza \end{prova} \begin{cor} Poiche' $r(A)=3\;\Leftrightarrow \;|A|\neq 0$, per il cor \ref{cornonspezz} si ha \begin{itemize} \item $|A|\neq 0\;\land \; A_{33} >0\;\Rightarrow \;\Gamma $ e' un ellisse. \item $|A|\neq 0\;\land \; A_{33} <0\;\Rightarrow \;\Gamma $ e' un iperbole. \item $|A|\neq 0\;\land \; A_{33} = 0\;\Rightarrow \;\Gamma$ e' una parabola. \end{itemize} \end{cor} \subsection{Equazione retta tangente} In \ref{deftg} abbiamo dato la def. di retta tangente a una conica. Adesso troviamo la sua equazione. Data la conica $\Gamma:\;\;\TR XAX=0$, non spezzata, e preso un $P_0\in\Gamma$, l'equazione della tangente a $\Gamma$ in $P_0$ e' \[ \TR X_0 A X=0 \] \begin{prova} \pf \begin{prova} Dapprima individiamo una caratterizzazione delle rette tangenti a $\Gamma$. Data una retta $r$ passante per $P_0$ e $P_1$: \[ r\textrm{ tg a $\Gamma$ in $P_0$ }\;\Leftrightarrow \; \TR X_0 A X_1=0 \] dove $X_1$ sono le coordinate omogenee di $P_1$ e $ X_0 A X_1$ e' un numero. \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\Rightarrow $} \begin{prova} L'equazione di $r$, in forma compatta, e' $X=\lambda X_0+\mu X_1$, scrivendo il sistema per trovare i punti d'intersezione $\Gamma \cap r$, cosi' come abbiamo fatto in \ref{intrettaconica}, otteniamo: \[ \begin{cases} \lambda^2 (\TR X_0 A X_0) + \mu^2 (\TR X_1 A X_1)+ 2\lambda\mu (\TR X_0 AX_1) =0 \;\;(1)\\ X=\lambda X_0+\mu X_1\;\; \end{cases} \] Poiche' $P_0\in \Gamma$, si ha $\TR X_0 A X_0=0$: \[\begin{cases} \mu (\mu \TR X_1 A X_1+ \TR X_0 AX_1)=0 \\ X=\lambda X_0+\mu X_1\;\; \end{cases}\;\Rightarrow \;\mu_1=0\;\lor \;\mu_2=\frac{-\TR X_0 AX_1}{\TR X_1 A X_1}\] Nota: $\TR X_1 A X_1\neq 0$, infatti, se per assurdo lo fosse, allora $P_1\in \Gamma \cap r$, ma questo e' assurdo perche' $r$, essendo tangente, e' tale che $r\cap \Gamma=\{P_0,P_0\}$.\\ Sostituendo $\mu=\mu_1=0$ in $ X=\lambda X_0+\mu X_1$ ritroviamo $X=\lambda X_0=P_0$. Poiche', per Hp, $r$ e' tg $\mu$ deve individuare lo stesso punto, e quindi anche $\mu_2$ deve individuare $P_0$, cioe' \[ \mu_1=\mu_2=0\;\Leftrightarrow \;\frac{-\TR X_0 AX_1}{\TR X_1 A X_1}=0\;\Rightarrow \;\TR X_0 AX_1=0 \] \end{prova} \step{}{Dim $\Leftarrow $} \begin{prova} Per Hp $(\TR X_0 AX_1)=0$, quindi sostituendo nell'intersezione $r\cap \Gamma$ otteniamo: \[ \begin{cases} \lambda^2 (\TR X_0 A X_0) + \mu^2 (\TR X_1 A X_1)=0 \\ X=\lambda X_0+\mu X_1\;\; \end{cases} \] Poiche' $P_0\in \Gamma$, si ha $\TR X_0 A X_0=0$: \[ \begin{cases} \mu^2 (\TR X_1 A X_1)=0 \\ X=\lambda X_0+\mu X_1\;\; \end{cases}\;\Rightarrow \;\mu_1=\mu_2=0\;\Rightarrow \;X=\lambda X_0=P_0 \] Ovvero $r\cap \Gamma=\{P_0,P_0\}$ \end{prova} \end{prova} \begin{prova} Adesso facciamo vedere che prendendo una retta $s$ passante per $P_0$ della forma $s:\;\;\TR X_0 A X=0$, si ha che \[ \TR X_0 AX_1=0\;\Leftrightarrow \;r=s \] \begin{prova} \pf\step{}{Dim $\Rightarrow $} \begin{prova} Per le nostre Hp iniziali, $P_0,P_1\in r,\;\;P_0\in s$\\ Inoltre $\TR X_0 AX_1=0\;\Leftrightarrow \;P_1\in s$. Quindi, $r,s$ sono due rette che passano per gli stessi due punti, cioe' coincidono. \end{prova} \step{}{Dim $\Leftarrow $} \begin{prova} $P_0,P_1\in r=s\;\Rightarrow \;P_1\in s\;\Rightarrow \;\TR X_0 AX_1=0$ \end{prova} \end{prova} \end{prova} Ricapitolando tutto abbiamo: \[ r\textrm{ tg a $\Gamma$ in $P_0$ }\;\Leftrightarrow \; \TR X_0 A X_1=0\;\Leftrightarrow \;r=s \] Se quindi $t$ e' la retta tangente, avra' allora la stessa equazione di $s$, cioe': \[ t:\;\;\TR X_0 A X=0 \] \qed \end{prova} \end{prova} \begin{prop} Data la conica \[ a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y=0\] passante per l'origine (cioe' con $a_{33}=0$), la retta tangente a essa, passante per l'origine e' $a_{13}x+a_{23}y=0$ \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} La $A$ della conica e': \[ A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12} & a_{13}\\ a_{12}&a_{22} & a_{23}\\ a_{13}&a_{23} & 0\\ \end{bmatrix} \] Per cio' che abbiamo detto, la retta tangente e' $\TR X_0 A X$, dove in questo caso $X_0=[0,0,1]$ (l'origine). Quindi \[ \begin{pmatrix} 0&0&1 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12} & a_{13}\\ a_{12}&a_{22} & a_{23}\\ a_{13}&a_{23} & 0\\ \end{bmatrix}\begin{pmatrix} x\\y\\1 \end{pmatrix}=0\;\Leftrightarrow \;a_{13}x+a_{23}y=0 \] \end{prova} \qed \end{prova} \subsection{Equazioni canoniche} Data $\Gamma$ non spezzata, cioe' con $|A|\neq 0$, abbiamo: \begin{align*} &\Gamma\equiv \textrm{ellisse o iperbole}\;\Rightarrow \;\textrm{ la sua forma ridotta e' di tipo (1)}\\ &\Gamma\equiv \textrm{parabola}\;\Rightarrow \;\textrm{ la sua forma ridotta e' di tipo (2)} \end{align*} Le due forme ridotte sono (vedi \ref{thmsis}): \begin{align*} &\alpha_{11}X^2+\alpha_{22}Y^2+\alpha_{33}=0\;\;(1)\\ &\alpha_{11}X^2+2\alpha_{23}Y=0\;\;(2)\\ \end{align*} \begin{prova} \pf\begin{prova} Data un'ellisse o un'iperbole $\I$, per definizione, $\I \cap r_\infty =\{P_0,P_1\},\;P_0\neq P_1$. L'unica equazione ridotta che messa a sistema con $t=0$ da' due punti distinti e' il tipo $(1)$. Questo perche' la $(1)$ puo' essere o differenza o somma di quadrati.\\ Data una parabola $\piano$, per definizione, $\piano\cap r_\infty = \{P_0,P_0\}$. Allora, l'unica equazione che, a sistema con $t=0$, da' due punti coincidenti e' la $(2)$. Infatti: \[ \begin{cases} \alpha_{11}X^2+2\alpha_{23}Yt=0\\ t=0 \end{cases}\;\Leftrightarrow \;\begin{cases} X^2=0\\t=0 \end{cases} \] \end{prova} \end{prova} \subsubsection{Parabola} Poiche' la forma ridotta della parabola e' $\alpha_{11}X^2+2\alpha_{23}Y=0$, possiamo condurla a: \[ \alpha_{11}X^2+2\alpha_{23}Y=0\;\Leftrightarrow \;Y=-\frac{\alpha_{11}}{2\alpha_{23}}X^2\;\Leftrightarrow \;Y=aX^2 \] Questa e' la sua forma canonica.\\ $Y=aX^2$ e' una parabola che \begin{enumerate} \item passa per l'origine\item ha $Y$ per asse di simmetria \item$F\equiv (0,\frac{1}{4a})$\item la sua direttrice e' $y=-\frac{1}{4a}$ \end{enumerate} \subsubsection{Iperbole e ellisse} Poiche' la forma ridotta dell'iperbole e dell'ellisse e' $\alpha_{11}X^2+\alpha_{22}Y^2+\alpha_{33}=0$ possiamo condurla a: \[ \alpha_{11}X^2+\alpha_{22}Y^2+\alpha_{33}=0\;\Leftrightarrow \;\frac{X^2}{\frac{-\alpha_{33}}{\alpha_{11}}}+ \;\frac{Y^2}{\frac{-\alpha_{33}}{\alpha_{2}}}=1\;\Leftrightarrow \; \frac{X^2}{A}+\frac{Y^2}{B}=1 \] \case{ $A,B>0$ } possiamo ricondurla a \[ \frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1 \] Questa e' la forma canonica dell'ellisse reale. \case{ $A,B<0$ } possiamo ricondurla a \[ \frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=-1 \] Questa e' la forma canonica dell'ellisse immaginaria (tutti i suoi punti sono complessi). \case{ $A>0,B<0\;\;\lor \;\;A<0,B>0$ } possiamo ricondurla a \[ \frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}=1\;\;\textrm{ o ad }\;\;-\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1 \] Questa e' la forma canonica di un iperbole. La differenza tra le due e' che la seconda e' espressa nel sistema di riferimento in cui l'asse $X$ e' stato sostituito da $Y$ e viceversa.\\ \newline \textbf{Proprieta' dell'iperbole canonica: }\begin{enumerate} \item I punti impropri di un'iperbole sono \[ \left\{\frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}-t=t=0\right\}= \left\{Y=\pm\frac{a}{b}X=t=0\right\}= \left\{(a,b,0),\;(a,-b,0)\right\} \] \item L'asse $X,Y$ sono di simmetria per l'iperbole canonica. $O$ e' il centro di simmetria. \item \begin{align*} &c=\sqrt{a^2+b^2}\\ &F_1\equiv (c,0)\\ &F_2\equiv (-c,0) \end{align*} \item Gli asintoti, che sono le rette tangenti nei punti impropri sono: $Y=\pm\frac{b}{a}X$\\ Per ricavarli, basta usare la formula di retta tangente ($\TR X_0AX=0$) applicata a $(a,b,0),\;(a,-b,0)$, cioe' \[ \begin{pmatrix} a&\pm b&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{a^2}&0&0\\ 0&\frac{-1}{b^2}&0\\ 0&0&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\1 \end{pmatrix}=0\;\Leftrightarrow \;Y=\pm\frac{b}{a}X \] \end{enumerate} \textbf{Proprieta' dell'ellisse canonica: }\begin{enumerate} \item L'asse $X,Y$ sono di simmetria per l'iperbole canonica. $O$ e' il centro di simmetria. \item \case{ $a^2>b^2$ } \begin{align*} &c=\sqrt{a^2-b^2}\\ &F_1\equiv (-c,0)\\ &F_2\equiv (c,0)\\ \end{align*} \case{ $b^2>a^2$ } \begin{align*} &c=\sqrt{b^2-a^2}\\ &F_1\equiv (0,c)\\ &F_2\equiv (0,-c)\\ \end{align*} \end{enumerate} \subsection{Polarita'} \ilabel{polare} \ilabel{polarita'} \ilabel{retta!polare} \ilabel{punto!polare} Data una conica non spezzata $\Gamma$, possiamo definire la seguente applicazione biunivoca: \[ \pi:\piano\longrightarrow \rette \] Dove $\piano$ e' il piano, e $\rette$ e' l'insieme di tutte le rette del piano. La legge e': \[ \pi(P)=\left\{Q\in \piano\;|\;\TR PAQ=0\right\} \] In altre parole, a ogni punto $P$ viene associata la retta di equazione $\TR PAX=0$, dove $A$ e' la matrice sym di $\Gamma$.\\ $\pi$ e' chiamata \emph{polarita'}\\ $\pi(P)=r$ e' chiamata \emph{retta polare} di $P$. $P$ e' chiamato polo di $r$. \step{}{Dimostriamo che $\pi$ e' biunivoca} \begin{prova} \pf La biunivocita' di $\pi$ equivale a: \[ \forall r \in \rette\;\exists! P\in\piano:\;\pi(P)=r \] \step{}{ Prendiamo allora una retta $r:\;ax+by+c=0$ e verifichiamo se il sistema \[\{(x,y)\in \piano\;|\;ax+by+c=0\}=\pi(P)\], con incognite le coordinate di $P$, ammette una e una sola soluzione. } \pflet{$P=(x_0,y_0,t0)$} \begin{align*} &\pi(P):\;\TR PAX=0\;\Leftrightarrow \;(a_{11}x_0+ a12y0+a13t0)x+ (a_{21}x_0+ a22y0+a23t0)y+ (a_{31}x_0+ a32y0+a33t0)t\\ &\{ax+by+c\}=\pi(P)\;\Leftrightarrow \;ax+by+c=\TR PAX\;\Leftrightarrow \; \begin{cases} a_{11}x_0+ a12y0+a13t0=a\\ a_{21}x_0+ a22y0+a23t0=b\\ a_{31}x_0+ a32y0+a33t0=c \end{cases}\\ &\Gamma \textrm{ non spezzata}\;\Rightarrow \;|A|\neq 0\;\Rightarrow \;\textrm{ per Cramer, il sistema ammette un unica soluzione} \end{align*} Nota: Il sistema non e' omogeneeo, perche' se per assurdo $a=b=c=0$, l'equazione $ax+by+c=0$ non rappresenterebbe nessuna retta. Inolte, poiche' la soluzione del sistema e' unica, non sara' $(0,0,0)$, che e' invece unica soluzione del sistema quadrato omogeneo. \qed \end{prova} \begin{thm} \ilabel{teorema!della reciprocita'} \ilabel{reciprocita'} Teorema della reciprocita'.\\ Dati $P_0,P_1\in \piano$ \[ P_0\in \pi(P_1)\;\Leftrightarrow \;P_1\in \pi(P_0) \] \end{thm} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\Leftrightarrow $} \begin{prova} \begin{align*} &P_0\in \pi(P_1)\;\Leftrightarrow\; \TR P_1 A P_0=0\;\underbrace{\Leftrightarrow}_{(*)} \;\TR P_0 A P_1=0\;\Leftrightarrow \;P_1\in \{\TR P_0 A X =0\}\;\Leftrightarrow \;P_1\in \pi(P_0) \end{align*} Nota $(*)$\footnote{$(*)$ per quanto avevamo osservato in \ref{intrettaconica} si ha $\TR X_1 A X_0=\TR X_0AX_1$}. \end{prova}<++> \end{prova} %%%%%%% \section{Appendice} \printindex \end{document}