%        File: fisicaI.tex
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% (c) Copyright 2007 Andrea Lo Pumo aka AlpT <alpt@freaknet.org>
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\documentclass[a4paper]{article}
%%% 	 Orientamento	      %%%
%\usepackage[landscape]{geometry}
%%%			      %%%

\usepackage{amath}

\begin{document}
\title{Fisica I}
\author{AlpT (@freaknet.org)\\
\small{http://freaknet.org/alpt}
}


\pagenumbering{roman}
\maketitle{}

\begin{abstract}
Questo testo e' una rielaborazione personale degli appunti presi durante
il corso di Fisica I, tenuto dal Prof. Costa presso il dipartimento di
Matematica, Catania, A.A. 2007/2008.\\
Saro' ben lieto di correggere ogni eventuale errore che mi comunicherai.

Buon lettura.
\begin{center}
	\verb|^_^|
\end{center}
\end{abstract}

\input{gpl}

\clearpage
\tableofcontents
\clearpage
\pagenumbering{arabic}

\let\oldsection\section
\renewcommand{\section}[1]{\oldsection{#1}\ilabel{#1}}
\let\oldsubsection\subsection
\renewcommand{\subsection}[1]{\oldsubsection{#1}\ilabel{#1}}
\let\oldsubsubsection\subsubsection
\renewcommand{\subsubsection}[1]{\oldsubsubsection{#1}\ilabel{#1}}

\def\vec#1{{\mathbf{#1}}}
\def\vvec#1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\t{{\vartheta}}
\def\r{{\vec{r}}}
\def\v{{\vec{v}}}
\def\F{{\vec{F}}}
\def\Fatt{{\vec{F}_{\T{att}}}}
\def\p{{\vec{p}}}
\def\N{{\vec{N}}}
\def\R{{\vec{R}}}
\def\vR{{\vec{v_{R}}}}
\def\a{{\vec{a}}}
\def\ag{{\alpha}}
\def\dr{{\vec{r'}}}
\def\dv{{\vec{v'}}}
\def\da{{\vec{a'}}}
\def\dth{{\t'}}
\def\w{{\omega}}
\def\.{{\cdot}}
\def\qmoto{{\phi}}
\section{Cinematica}
Sia $\r(t):[t_0,t_1] \longrightarrow \mathbb{R}^n$ la rappresentazione
parametrica di una curva
$\mathbb{R}^n$ regolare e di classe $C^2$. Poniamo $I=[t_0,t_1]$.
\begin{defn}\qq\\ Velocita':
	\eal{&\v(t) \definizione{=} \dr(t)=\lim_{t\to
	t_0}\frac{\r(t)-\r(t_0)}{t-t_0}=
	(r_1'(t),r_2'(t),r_3'(t))
	}
	Accelerazione:
	\eal{&\a(t) \definizione{=} \dv(t)=\lim_{t\to
	t_0}\frac{\v(t)-\v(t_0)}{t-t_0}=
	(v_1'(t),v_2'(t),v_3'(t))
	}
	A volte, useremo la seguente convenzione:
	\eal{&\v(t_0)=\v_0\\
	&\a(t_0)=\a_0\\
	&\r(t_0)=\r_0\\
	}
\end{defn}
\subsection{Moto uniforme}
\begin{defn}
	$\r(t)$ e' un moto uniforme $\definizione{\=} \v(t)=\v\;\;\forall
	t\in I \= \a(t)=0\;\;\forall t\in I$.\\
	Nel moto uniforme, con $\v$ indicheremo $\v(t)$.
\end{defn}
\begin{prop}
	Per un moto uniforme, vale la seguente:
	\eal{&\r(t)=\r(t_0)+(t-t_0)\v
	}
\end{prop}
\begin{proof}
Si integra la velocita' in $[t_0,t]$:
\eal{&\v=\v(t)=\dr(t)\;\;\forall t\in I\=\\
&\=
\intd{t_0}{t} \v\;dt = \intd{t_0}{t} \dr(t)\;dt \= 
(t-t_0)\v = \r(t)-\r(t_0)\= \\
&\=\r(t)=\r(t_0)+(t-t_0)\v 
}
\end{proof}

\subsection{Moto accelerato uniforme}
\begin{defn}
$\r(t)$ e' un moto uniforme $\definizione{\=} \a(t)=\a\;\;\forall
t\in I \= \da(t)=0\;\;\forall t\in I$.\\
Nel moto uniforme, con $\a$ indicheremo $\a(t)$.
\end{defn}
\begin{prop}
Per un moto accelerato uniforme:
\eal{
& \v(t)= \v(t_0)+(t-t_0)\a\\
&\r(t)=\r(t_0)+\v(t_0)(t-t_0)+\frac{(t-t_0)^2}{2}\a
}
$\r(t)$ e' una curva piana, poiche' ogni $\r(t')$ e' combinazione lineare di
$\v(t_0)$ e $\a$ che sono vettori costanti.
\end{prop}
\begin{proof}
Si integra l'accelerazione in $[t_0,t]$:
\eal{&\a=\a(t)=\dv(t)\;\;\forall t\in I\=
\intd{t_0}{t} \a\;dt = \intd{t_0}{t} \dv(t)\;dt \= 
(t-t_0)\a = \v(t)-\v(t_0) \;\;\forall t\in I\= \\
& \=\intd{t_0}{t} (t'-t_0)\a +\v(t_0)\;dt= \intd{t_0}{t} \v(t)\;dt\=\\
&\=
\v(t_0)(t-t_0)+\frac{(t-t_0)^2}{2}\a = \intd{t_0}{t} \dr(t)\;dt =
\r(t)-\r(t_0)\=\\
&\= \r(t) = \r(t_0)+\v(t_0)(t-t_0)+\frac{(t-t_0)^2}{2}\a
}
\end{proof}
\subsubsection{Proiettili}
\begin{defn}
	$\r(t)$ e' un moto di un proiettile se e' un moto accelerato uniforme
	di accelerazione $\a=(0,-g)$.
\end{defn}
\begin{prop}
	Poiche' $\r(t)$ e' una curva piana, possiamo usare vettori in
	$\mathbb{R}^2$, scegliendo come riferimento
	$\pgra{O,\vec{x},\vec{y}}$. Considerando che
	$\v(t_0)=(\v(t_0)\.\vec x,\v(t_0)\.\vec y)=(|\v(t_0)|\cos\t,|\v(t_0)|\sin \t)$, si hanno le
	seguenti formule:
	\eal{&
	\sist{\v_1(t) = |\v(t_0)|\cos\t \\
	       \v_2(t)=|\v(t_0)|\sin \t-(t-t_0)g
	       }\\
	&\sist{
	\r_1(t)=\r_1(t_0) + |\v(t_0)|\cos\t(t-t_0)\\
	\r_2(t)=\r_2(t_0) + |\v(t_0)|\sin\t(t-t_0)-\frac{(t-t_0)^2}{2}g\\
	 }
	}
Inoltre, la versione non-parametrica della curva e' 
\eal{&
\sist{t(x)=  \frac{x-x_0}{v_0\cos\t} + t_0\\
y=y_0 + (x-x_0)\tan \t
- \frac{(x-x_0)^2}{v_0^2\cos^2\t}\frac{g}{2}
	}
}
\end{prop}
\begin{proof}
	\eal{&
	 \r_1(t)=\r_1(t_0) + |\v(t_0)|\cos\t(t-t_0) \= 
	 t=  \frac{\r_1(t)-\r_1(t_0)}{|\v(t_0)|\cos\t} + t_0\;\;(*)\\
&\sist{	\r_1(t)=\r_1(t_0) + |\v(t_0)|\cos\t(t-t_0)\\
	\r_2(t)=\r_2(t_0) + |\v(t_0)|\sin\t(t-t_0)-\frac{(t-t_0)^2}{2}g\\
	} \ubrace{\=}{(*)} 
	\sist{t=  \frac{\r_1(t)-\r_1(t_0)}{|\v(t_0)|\cos\t} + t_0\\
	\r_2(t)=\r_2(t_0) +
	|\v(t_0)|\sin\t\frac{\r_1(t)-\r_1(t_0)}{|\v(t_0)|\cos\t}
	- \frac{(\r_1(t)-\r_1(t_0))^2}{\v(t_0)^2\cos^2\t}\frac{g}{2}
	= \\
	\qq \qq =
	\r_2(t_0) + (\r_1(t)-\r_1(t_0))\tan \t
	- \frac{(\r_1(t)-\r_1(t_0))^2}{\v(t_0)^2\cos^2\t}\frac{g}{2}
	}
}
\end{proof}
\begin{defn}
	La \iemph{gittata} e' definita come:
	\eal{&git(\r)=\max{\r_1(t'),\r_2(t'')}
	}
	dove $\r_1(t')=\r_1(t'')=0$, e $t',t''$ sono le due radici
	dell'equazione non-parametrica di $\r$, per $y=0$.
\end{defn}
\begin{prop}
Supponendo $\r(t_0)=(0,0)$, si ha che la gittata e':
\eal{
&git(\r)=\frac{v_0^2}{g}\sin 2\t
}
E' chiaro che se $g>0$, la gittata massima si ha per $\t=\frac{\pi}{4}$ (il
$\max \sin 2\t=1 \T{ per $2\t=\frac{\pi}{2}$}$)
\end{prop}
\subsection{Moto circolare}
\begin{defn}
$\r(t)$ e' un moto circolare $\definizione{\=} \r(t)$ e' una circonferenza di
raggio $R>0$, ovvero
\eal{&\r(t)=(R\cos \t(t) , R\sin \t(t))}
dove $\t(t):I\longrightarrow \mathbb{R}$ e' una funzione di classe $C^1$.\\
Si definisce la \iemph{velocita' angolare}:
\eal{&\w(t) = \t'(t)
}
Si definisce la \iemph{accelerazione angolare}:
\eal{&\ag(t) = \w'(t)
}
\end{defn}
\begin{prop}\label{motocircolare}
In un moto circolare, si ha
\def\motocircvel{\v(t)=R\w(t)(-\sin\t(t), \cos\t(t))}
\def\motocircvelmod{|\v(t)|= R\w(t)}
\eal{&\motocircvel\\
&\motocircvelmod\\
&\a(t)=
R\Big(-\ag(t)\sin\t(t)-\w^2(t)\cos\t(t),\;\;
\ag(t)\cos\t(t)-w^2(t)\sin\t(t)\Big)
}
\end{prop}
\begin{proof}
\eal{&
\v(t)=\dr(t)
=(-R\sin\t(t)\t'(t),R\cos\t(t)\t'(t))=\w(t)(-R\sin\t(t), R\cos\t(t))\\
&|\v(t)|= |\w(t)R(-\sin\t(t), \cos\t(t))|=|\w(t)R| |(-\sin\t(t),
\cos\t(t))|=\w(t)R\\
&
\a(t)=\dv(t)=\w'(t)R(-\sin\t(t), \cos\t(t))
+\w(t)R(-\cos\t(t)\t'(t), -\sin\t(t)\t'(t))=\\
&\qq =
\ag(t)R(-\sin\t(t), \cos\t(t))
+\w^2(t)R(-\cos\t(t), -\sin\t(t))=
(-R(\ag(t)\sin\t(t)+\w^2(t)\cos\t(t)),
R(\ag(t)\cos\t(t)-\w^2(t)\sin\t(t)))
}
\end{proof}
\subsubsection{Moto circolare uniforme}
\begin{defn}
Sia $\r(t)$ un moto circolare.\\
$\r(t)$ e' un moto circolare uniforme $\definizione{\=} \w(t)=k\;\;\forall t\in I
 \= \ag(t)=0\;\;\forall t\in I$.\\
\end{defn}
\begin{prop}
In un moto circolare uniforme, si ha:
\eal{
&\t(t)=\t(t_0)+(t-t_0)\w\\
&\a(t)=-R\w^2\.(\cos\t(t),\;\;\sin\t(t))\\
&|\a(t)|=R\w^2\\
&\v(t)=\w R\Big(-\sin\pton{\t(t_0)+(t-t_0)\w }, \;\;\cos\pton{\t(t_0)+(t-t_0)\w}\Big)\\
&\r(t)=\Big(R\cos(\t(t_0)+(t-t_0)\w) , R\sin (\t(t_0)+(t-t_0)\w)\Big)
}
\end{prop}
\begin{proof}
\eal{&\w=\w(t)=\t'(t)\= \intd{t_0}{t} \w \;dt= 
\intd{t_0}{t}\t'(t)\;dt \= (t-t_0)\w=\t(t)-\t(t_0)\= \t(t)=\t(t_0)+(t-t_0)\w\\
&\ag(t)=\w'(t)
}
Poiche' $\ag(t)=0$, dalla \see{motocircolare}, si ha:
\eal{&
\a(t)=
R\Big(-\ag(t)\sin\t(t)-\w^2(t)\cos\t(t),\;\;
\ag(t)\cos\t(t)-w^2(t)\sin\t(t)\Big)=
-R\w^2(t)(\cos\t(t),\;\;\sin\t(t))
}
\end{proof}
\subsubsection{Moto armonico}
\begin{defn}
	Un moto armonico e' la proiezione sull'asse $\vec{x}$ di un moto
	circolare uniforme.\\
	E' quindi un moto rettilineo, sull'asse $\vec{x}$.
\end{defn}
\begin{prop}
	Per il moto armonico si ha:
	\footnote{basta usare le formule del moto circolare
	uniforme e prendere le prime coordinate}:
	\eal{
	&r(t)=R\cos(\t(t_0)+(t-t_0)\w)\\
	&v(t)=-\w R\sin\pton{\t(t_0)+(t-t_0)\w }\\
	&a(t)=-R\w^2\cos\pton{ \t(t_0)+(t-t_0)\w }\\
	}
\end{prop}
\subsection{Moto relativo}
\begin{defn}
Siano $\{O,x,y,z\},\{O_1,x',y',z'\}$ due sistemi di riferimento. Sia 
\eal{&\vR(t)=D\pqua{\vvec{OO_1}(t)}=\vR\;\;\forall t}
la velocita' costante di $O_1$ rispetto a $O$.\\
Sia $\r(t)=\vvec{OP(t)}$ la funzione vettoriale del moto del punto
$P(t)$ rispetto al riferimento $O$. Siano $\v(t),\a(t)$ le relative velocita'.\\
Siano $\r_1(t)=\vvec{O_1P(t)},\v_1(t),\a_1(t)$ rispetto a $O_1$.
\end{defn}
\begin{prop}
	\eal{
	&\r(t)=\vvec{OO_1}(t)+\r_1(t)\\
	&\v_1(t)=\v(t)-\vR
	}
\end{prop}
\begin{proof}
\eal{&\vvec{OP}=\vvec{OO_1}+\vvec{O_1P} \= \r(t)=\vvec{OO_1}+\r_1(t)\\
&\v_1(t)=\r_1'(t)=D[\r(t)-\vvec{OO_1}]=\v(t)-\vR(t)
}
\end{proof}

\section{Dinamica}
\begin{defn}
Sia $\r(t)$ un punto di massa inerziale $m(t)$, accelerazione $\a(t)$.
Definiamo la \iemph{quantita' di moto} di $\r(t)$:
\eal{&\qmoto(t)=m(t)\v(t)
}
Definiamo la forza a $\r(t)$:
\eal{&\vec{F}(t)\definizione{=}\qmoto'(t)}
\end{defn}
\begin{prop}
	E' facile verificare che se $m(t)=m\;\;\forall t$, si ha
\eal{&\vec{F}(t){=}m\a(t)
}
Si verifica nel moto relativo $\vec{F}(t)=\vec{F'}(t)$, dove $\F(t)$ e' la
forza nel primo riferimento, mentre $\vec{F'}$ e' quella nel secondo
riferimento.
\end{prop}
\subsection{Blocco sul piano non inclinato}
\begin{prop}
	Sia
	\begin{enumerate}
		\item Il corpo poggiato sull'asse $x$
		\item $\N$ la reazione vincolare (rivolta verso l'alto)
		\item $\p=(0,-mg)$ la forza peso, che deve essere $\p=-\N$
		\item $\F=(F\cos \t,F\sin \t)$ la forza applicata al corpo, che forma un angolo
			$\t$ con l'asse $x$
		\item $\mu_s$ l'attrito statico (valido quando il corpo e'
			fermo e deve cominciare a muoversi)
		\item $\mu_d$ l'attrito dinamico (valido quando il corpo si
			muove.
		\item L'attrito statico, dinamico ha modulo:
			$\mu_sN,\;\mu_dN$. Dove $N=|\N|$.
		\item Sia $\vec R$ la risultante delle forze, cioe'
			\eal{&\R=\F+\p+\N+\Fatt}
	\end{enumerate}
	Si ha
	\eal{&
	\R=0\= R_y=R_x=0\= \sist{-mg+N+F\sin\t=0\\
	F\cos\t-\mu_sN=0
	}\=F=\frac{mg\mu_s}{\cos \t+\mu_s\sin \t}\\
	&F\le \frac{mg\mu_s}{\cos \t+\mu_s\sin \t} \=\T{ il corpo non si muove}
	}
	Nel caso dinamico abbiamo:
	\eal{&
	\R=0\= R_y=0,\;R_x=ma\= \sist{-mg+N+F\sin\t=0\\F\cos\t-\mu_dN=ma }
	}
\end{prop}
\begin{proof}
Basta porre la condizione $\R=0$ nella componente $x$ e $y$.
\end{proof}
\subsection{Piano inclinato}
\begin{prop}
	$\t$ e' l'angolo formato dal piano inclinato con l'asse $x$. Nessuna
	forza, oltre a $\p$ e a $\N$ e' applicata al corpo poggiato sul piano
	inclinato.\\
	\case{ Caso dinamico senza attrito }
	\eal{&\R=m\a\=\N+\p=m\a\=
	\sist{N=P\cos \t\\
		a=g\sin \t}
	}
	\case{Caso statico con attrito}
		\eal{&\R=0\= \tg \t = \mu_s\\
		&\tg \t \le \mu_s \= \T{ il corpo rimane fermo}
		}
	\case{Caso dinamico con attrito}
	\eal{
	     &\R=m\a\=\sist{a=g(\sin\t-\mu_d\cos \t}\\
	     &a\le 0\= \sin\t-\mu_d\cos \t \le  0\=\tg \t \le \mu_d \= \T{ il corpo si ferma}
	    }
\end{prop}
\subsection{Forza elastica}
\begin{prop}
Il corpo si muove sull'asse $x$. La posizione di equilibrio della molla e'
$x_0$. La forza e' per definizione:
\eal{&F=-k(x-x_0)
}
Supponiamo che $x_0=0$.\\
$k$ e' il coeff. della molla.\\
Ponendo $F=ma$, si ha
\eal{
&a=-\w^2x\\
&\T{ con }w=\sqrt{\frac{k}{m}}
}
integrando $a=-\w^2 x \= x''(t)=-\w^2x(t)$, si ha:
\eal{&x(t)=A\sin(\w t+\phi_0)\\
&v(t)=x'(t)=\w A\cos(\w t+\phi_0)
}
dove $A,\phi_0$ sono costanti che si possono ricavare da $x(0),v(0)$:
\eal{&\sist{x(0)=A\sin(\phi_0)\\
v(0)=x'(0)=\w A \cos(\phi_0)
}
}
\end{prop}
\subsection{Forza centripeta}
\begin{prop}
Sia $\r(t)$ un moto curvilineo. 
\end{prop}

%%%%%%%
\include{formulario}
%%%%%%%
\printindex
\end{document}