% File: analisiIII.tex % % (c) Copyright 2007 Andrea Lo Pumo aka AlpT % % This source code is free software; you can redistribute it and/or % modify it under the terms of the GNU General Public License as published % by the Free Software Foundation; either version 2 of the License, % or (at your option) any later version. % % This source code is distributed in the hope that it will be useful, % but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of % MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. % Please refer to the GNU Public License for more details. % % You should have received a copy of the GNU Public License along with % this source code; if not, write to: % Free Software Foundation, Inc., 675 Mass Ave, Cambridge, MA 02139, USA. % \documentclass[a4paper]{article} %\usepackage[landscape]{geometry} \usepackage{xr-hyper} \usepackage{amath} \externaldocument[AII-]{analisiII}[../2/analisiII.pdf] \externaldocument[AI-]{analisiI}[../1/analisiI.pdf] \externaldocument[TOP-]{topologia}[../../topologia/topologia.pdf] \externaldocument[CII-]{calcoloII}[../2/calcoloII.pdf] \ifpdf \newcommand{\AII}[1]{\T{[AII,\ref{AII-#1},pg.\pageref{AII-#1}]}} \newcommand{\AI}[1]{\T{[AI,\ref{AI-#1},pg.\pageref{AI-#1}]}} \newcommand{\TOP}[1]{\T{[TOP,\ref{TOP-#1},pg.\pageref{TOP-#1}]}} \newcommand{\CII}[1]{\T{[CII,\ref{CII-#1},pg.\pageref{CII-#1}]}} \else \newcommand{\AII}[1]{\T{[AII,x.y.z,pg.xx]}} \newcommand{\AI}[1]{\T{[AI,x.y.z,pg.xx]}} \newcommand{\TOP}[1]{\T{[TOP,x.y.z,pg.xx]}} \newcommand{\CII}[1]{\T{[CII,x.y.z,pg.xx]}} \fi \begin{document} \title{Analisi III} \author{AlpT (@freaknet.org)\\ \small{http://freaknet.org/alpt} } \pagenumbering{roman} \maketitle{} \begin{abstract} Questo testo e' una rielaborazione personale degli appunti presi durante il corso di Analisi III, tenuto dal Prof. Mario Marino e dalla Prof.ssa Maria Fanciullo presso il dipartimento di Matematica, Catania, A.A. 2007/2008.\\ Saro' ben lieto di correggere ogni eventuale errore che mi comunicherai. Buon lettura. \begin{center} \verb|^_^| \end{center} \end{abstract} \input{gpl} \clearpage \tableofcontents \clearpage \pagenumbering{arabic} \let\oldsection\section \renewcommand{\section}[1]{\oldsection{#1}\ilabel{#1}} \let\oldsubsection\subsection \renewcommand{\subsection}[1]{\oldsubsection{#1}\ilabel{#1}} \let\oldsubsubsection\subsubsection \renewcommand{\subsubsection}[1]{\oldsubsubsection{#1}\ilabel{#1}} \section{Teoria delle curve piane} \def\rd{\mathbb{R}^2} \def\rdue{\mathbb{R}^2} \def\rt{\mathbb{R}^3} \def\de#1{{\accu{#1}}} \def\x{{\ove x}} \def\y{{\ove y}} \def\xt{{x(t)}} \def\yt{{y(t)}} \def\P{(\x,\y)} \def\Q{(x,y)} \def\Pt{(\xt,\yt)} \def\xh{{h(\tau)}} \def\yh{{k(\tau)}} \def\Ph{(\xh,\yh)} \def\ab{(a,b)} \def\AB{(\alpha,\beta)} \begin{defn} Sia data una funzione $f(x,y):X\longrightarrow \mathbb{R}, X \( \rd, X\neq \0$.\\ Una curva piana nel senso della geometria e' il seguente insieme: \eal{&\gamma=\pgra{(x,y)\in X\;|\; f(x,y)=0} } \end{defn} \begin{defn} Siano date due funzioni $f(x,y,z), g(x,y,z):Y\longrightarrow \mathbb{R}, \;Y\( \mathbb{R}^3,\; Y\neq \0$, una curva sghemba nel senso della geometria e' il seguente insieme: \eal{&\Gamma=\pgra{(x,y,z)\in Y\;|\;f(x,y,z)=g(x,y,z)=0}} \end{defn} \begin{defn} \ilabel{curva!sghemba} \ilabel{curva!piana} Data le seguenti funzioni reali $x(t),y(t),z(t):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, una curva piana nel senso dell'analisi e' il seguente insieme: \eal{&\gamma=\pgra{(x(t),y(t))\in \rd\;|\;t\in (a,b)}} Possiamo rappresentare parametricamente $\gamma$: \eal{&\sist{x=x(t)\\ y=y(t) },\;t\in (a,b) } $(a,b)$ e' chiamato \emph{intervallo base} Una curva sghemba nel senso dell'analisi e' invece il seguente insieme: \eal{&\Gamma=\pgra{(x(t),y(t),z(t))\in \rd\;|\;t\in (a,b)}} \end{defn} Da ora in poi, con \emph{curva piana} intenderemo la curva piana nel senso analitico.\\ La rappresentazione parametrica di $\gamma$ non e' unica, infatti, vale la seguente proposizione. \begin{prop}\qq \label{proprappralternativa} \pflet{ \begin{enumerate} \item La curva $\gamma$, definita dalle funzioni $x(t),y(t):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$ \item $\varphi(t):(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R}:\;\;\Im \varphi=(a,b)$ \item $h(\tau)=x(\varphi(\tau)),\;\;k(\tau)=y(\varphi(\tau))\;\;\forall \tau\in (\alpha,\beta)$ \item $\gamma'$ la curva piana definita da $h(\tau), k(\tau)$. \end{enumerate} } allora, $\gamma=\gamma'$. \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\gamma\(\gamma'$} \begin{prova} Sia $\P\in \gamma$, allora $\exists t\in \ab:\;\P=\Pt$.\\ Poiche' $t\in\ab$ e $\Im \varphi=\ab$, si ha che $\exists \tau\in (\alpha,\beta):\;\varphi(\tau)=t$. Allora, \eal{&\P=\Pt=(x(\varphi(\tau)),y(\varphi(\tau)))=\Ph\>\P\in \gamma' } \end{prova} \step{}{Dim $\gamma' \(\gamma$} \begin{prova} \def\x{{x^*}} \def\y{{y^*}} Sia $\P\in \gamma'$, allora $\exists \tau\in \AB:\;\P=\Ph$, ma ricordandoci delle ipotesi: \eal{&\Ph=(x(\varphi(\tau)),y(\varphi(\tau)))\\ &t:=\varphi(\tau)\in \ab\\ &\P=\Ph=\Pt\> \P\in \gamma } \end{prova} \end{prova} \begin{exemp} Le seguenti rappresentazioni definiscono la stessa curva (una circonferenza): \eal{ &\sist{x=\cos t\\ y=\sin t }, t\in [0,2\pi]\\ &\sist{x=\cos 2\pi-t\\ y=\sin 2\pi-t }, t\in [0,2\pi] } \end{exemp} \begin{defn} \ilabel{curva!continua} Sia $\gamma$ una curva piana nel senso dell'analisi, \eal{& \gamma\T{ e' continua } \= \T{ammette una rappresentazione parametrica del tipo }\\ &\qq\sist{x=x(t)\\ y=y(t) }, t\in [a,b], \T{ $x(t),y(t)$ continue in [a,b]} } \end{defn} \begin{prop} Ogni curva piana continua e' un insieme chiuso e limitato. \end{prop} \def\ab{{[a,b]}} \begin{prova}\pf \step{}{Dim. la limitatezza: \begin{enumerate} \item Sia $\gamma$ la nostra curva continua. \item costruiamo $f$ che da' la distanza dall'origine a un qualsiasi punto della curva. $f$ e' continua. \item sia $\delta$ maggiore del massimo di $f$ \item $I((0,0), \delta)$ contiene la curva \end{enumerate}} \begin{prova} Sia $f(t):\ab\longrightarrow \mathbb{R},\;f(t)=\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}$. Poiche' $\gamma$ e' continua, $x(t),y(t)$ sono continue in $\ab$. $f$ e' pure continua in $\ab$ perche' composizione di funzioni continue. Quindi per il thm di Weiestrass (vedi \AII{weierstrass}), ammette sia minimo che massimo $M$. Sia $\delta>M$. Sia $\Pt \in \gamma$, \eal{&d(\Pt, (0,0))=\sqrt{\xt^2+\yt^2} \le M < \delta\;\;\forall t\in \ab\\ &\qq \> \gamma \( I((0,0), \delta) } \end{prova} \step{}{Dim. la chiusura} \begin{prova} \def\xs{{x^*}} \def\ys{{y^*}} \def\Ps{(\xs, \ys)} \def\xm{{x(t_m)}} \def\ym{{y(t_m)}} \def\Pm{(\xm, \ym)} \def\t{{t^*}} \def\tn{{t_n}} \def\tkn{{t_{k_n}}} \def\xn{{x(\tn)}} \def\yn{{y(\tn)}} \def\Pn{(\xn, \yn)} \def\xkn{{x(\tkn)}} \def\ykn{{y(\tkn)}} \def\Pkn{(\xkn, \ykn)} Dobbiamo dimostrare che $\de \gamma \( \gamma$. Sia $\P \in \de \gamma$. \eal{&\P \in \de \gamma \ubrace{\>}{\T{prop. \AII{eser14}}}\\ &\qq\qq \exists \pgra{\Pn} \subseteq \gamma,\; \Pn\neq \Pm\;\forall n\neq m\;\T{ t.c. }\;\conv{\Pn}{\rd}{\P}\\ &t_n\in \ab\;\forall n\in \mathbb{N} \> \pgra{t_n}\T{ e' limitata } \ubrace{\>}{\T{AI}} \exists \pgra{\tkn}:\;\conv{\tkn}{\mathbb{R}}{\t}\;\;(1)\\ &\sist{ x(t),y(t)\T{ continue in }\ab \> \T{ continue in }\t\\ (1) }\ubrace{\>}{prop. \AII{fcontinuasuccsm}} \sist{ \conv{x(\tkn)}{\mathbb{R}}{x(\t)}\\ \conv{y(\tkn)}{\mathbb{R}}{y(\t)} }\\ &\qq \ubrace{\>}{thm \AII{thmdirp}} \conv{(x(\tkn), y(\tkn))}{\rd}{(x(\t), y(\t))}\;\;(2)\\ &\conv{\Pn}{\rd}{\P} \> \conv{\Pkn}{\rd}{\P}\;\;(3)\\ &(2),(3)\ubrace{\>}{unicita' limite} (x(\t), y(\t))=\P\;\;(4)\\ &\sist{(1)\ubrace{\>}{\T{prop. \AII{eser13}}} \t\in \ove\ab=\ab\\ (4)} \ubrace{\>}{\T{def. di $\gamma$}}\P\in\gamma } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{defn} \ilabel{curva!continua semplice} Sia $\gamma$ una curva piana. \eal{&\gamma\T{ e' una curva continua semplice }\= \T{ ammette almeno una rappresentazione del tipo}\\ &\qq\sist{ x=x(t)\\y=y(t) }t\in[a,b]\\ &\qq1.\;\;x(t),y(t)\T{ continue in $[a,b]$}\\ &\qq2.\;\;\forall t' \neq t''\in [a,b]\;\;\;\;(x(t'),y(t'))\neq (x(t''),y(t'')) } La seconda condizione stabilisce una corrispondenza biunivoca tra $[a,b]$ e $\gamma$, ovvero la funzione $g$ \eal{&g:[a,b]\longrightarrow \gamma\\ &g(t) = (x(t),y(t)) } e' biettiva\footnote{e' chiaramente surriettiva, perche' preso $(x,y)\in \gamma$, per def. di $\gamma$ esiste $t\in [a.b]:\;\;g(t)=(x,y)$}. \end{defn} \begin{defn} \ilabel{curva!continua semplice chiusa} Sia $\gamma$ una curva piana. \eal{&\gamma\T{ e' una curva continua, semplice e chiusa}\= \T{ ammette almeno una rappresentazione del tipo}\\ &\qq\sist{ x=x(t)\\y=y(t) }t\in[a,b]\\ &\qq1\T{(continua).}\;\;x(t),y(t)\T{ continue in $[a,b]$}\\ &\qq2\T{(semplice).}\;\;\forall t' \neq t''\in [a,b[\;\;\;\;(x(t'),y(t'))\neq (x(t''),y(t''))\\ &\qq3\T{(chiusa). }\;\;(x(a),y(a))=(x(b),y(b))\;\;\;\T{ovvero, i pt. terminali della curva coincidono} } \end{defn} \begin{defn} \ilabel{curva!regolare} Sia $\gamma$ una curva piana. \eal{&\gamma\T{ e' una regolare}\= \T{ ammette almeno una rappresentazione del tipo}\\ &\qq\sist{ x=x(t)\\y=y(t) }t\in [a,b]\\ &\qq1.\;\;x(t),y(t)\in\sczn{1}{[a,b]}\\ &\qq2.\;\;\forall t' \neq t''\in [a,b[\;\;\;\;(x(t'),y(t'))\neq (x(t''),y(t''))\\ &\qq3.\;\;{x'}^2(t)+{y'}^2(t) >0\;\;\forall t\in [a,b] } \end{defn} \begin{rem} La terza condizione equivale a dire che $x'(t) \neq 0 \| y'(t) \neq 0\;\;\forall t\in [a,b]$. Nei calcoli pero' e' generalmente piu' semplice controllare che ${x'}^2(t)+{y'}^2(t) >0$. \end{rem} \begin{defn} \ilabel{curva!generalmente regolare} \eal{&\gamma\T{ e' generalmente regolare}\= \T{ ammette almeno una rappresentazione del tipo}\\ &\qq\sist{ x=x(t)\\y=y(t) }t\in [a,b]\\ &\qq1.\;\;x(t),y(t)\T{ continua in }[a,b]\\ &\qq2.\;\;\exists [t_0,t_1],[t_1,t_2],\dots,[t_{n-1},t_n],\T{ con } a=t_0 \T{generalmente regolare} \> \T{continua}} \end{defn} \begin{thm} \label{thmgraficofregolare} \eal{&y(x)\in \sczn{1}{[a,b]}\> \T{ il grafico di $y(x)$ e' una curva regolare.}\\ &\T{non vale il viceversa} } \end{thm} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\>$} \begin{prova} Intanto osserviamo che $G_y$ e' una curva piana nel senso dell'analisi: \eal{&G_y=\pgra{(x,y)\in\mathbb{R}\;|\;x\in[a,b],\;y=y(x)}= \sist{x=x\\y=y(x)}t\in [a,b] } E' regolare, infatti, per Hp $x,y(x)\in \sczn{1}{[a,b]}$, inoltre, $\forall t',t''\in[a,b],t'\neq t''\;\;(t',y(t'))\neq (t'',y(t''))$.\\ Infine, $x'=1,\;\;y(x)\in \sczn{1}{[a,b]}\>\exists y'(x)$ e quindi $x'^2+y'(x)^2 = 1+y'(x)^2 > 0 \;\forall x\in [a,b]$. \end{prova} \step{}{Dim $\nLeftarrow $} \begin{prova} Consideriamo la funzione $y(x)=\sqrt{1-x^2},\;x\in [-1,1]$. Il suo grafico $G_y$ e' la semicirconferenza. $y(x)\notin\sczn{1}{[-1,1]}$ perche' non e' derivabile agli estremi. $G_y$ e' pero' regolare, basta infatti considerare questa sua rappresentazione: \eal{& \sist{x=\cos t\\y=\sin t}t\in[0,2\pi]} \end{prova} \qed \end{prova} \begin{defn} \ilabel{curva!di classe $C^1$} \eal{&\gamma\T{ e' di classe }C^1\= \T{ ammette almeno una rappresentazione del tipo}\\ &\qq\sist{ x=x(t)\\y=y(t) }t\in [a,b]\\ &\T{e tale che }\\ &\qq\sist{1.\;\;x(t),y(t) \in \sczn{1}{[a,b]}\\ 2.\;\;\forall t',t''\in [a,b]\;\;\;\;(x(t'),y(t'))\neq (x(t''),y(t''))\\}\\ &\T{oppure}\\ &\qq\sist{1.\;\;x(t),y(t) \in \sczn{1}{[a,b]}\\ 2.\;\;\forall t',t''\in [a,b[\;\;\;\;(x(t'),y(t'))\neq (x(t''),y(t''))\\ 3.\;\;(x(a),y(a))=(x(b),y(b))} } \end{defn} \subsection{Esempi di curve} \def\rd{\mathbb{R}^2} \def\rt{\mathbb{R}^3} \def\rn{\mathbb{R}^n} \def\de#1{{\accu{#1}}} \def\x{{\ove x}} \def\y{{\ove y}} \def\xt{{x(t)}} \def\yt{{y(t)}} \def\P{(\x,\y)} \def\Q{(x,y)} \def\Pt{(\xt,\yt)} \def\xh{{h(\tau)}} \def\yh{{k(\tau)}} \def\Ph{(\xh,\yh)} \def\ab{(a,b)} \def\AB{(\alpha,\beta)} \begin{enumerate} \item \textbf{Arco di cicloide} \eal{&\sist{x=r(t-\sin t)\\ y=r(1-\cos t)}t\in [0,2\pi]\\ &\T{ con } r> 0\\ &l(\gamma)=8r} \item \textbf{Elica cilindrica} \eal{&\sist{x=r\cos t\\ y=r\sin t\\ z=bt}t\in [0,2\pi]\\ &\T{ con } r> 0\\ &l(\gamma)=2\pi\sqrt{a^2+b^2}} \item \textbf{Spirale logaritmica} \eal{&f(\theta)=e^{k\theta}:[0,2\pi]\longrightarrow \mathbb{R}\\ &\T{con } k>0 } \item \textbf{Cardiode} \eal{&f(\theta)=a(1+\cos\theta):[0,\pi]\longrightarrow \mathbb{R}\\ &\T{con } a>0\\ &l(\gamma)=4a} \end{enumerate} \subsection{Lunghezza di una curva} \def\P{{\mathbb{P}}} \def\pp{{\mathcal{P}}} \def\sig{{\Sigma_{\P}}} Sia $\gamma$ una curva continua-semplice o continua-semplice-chiusa, e sia \eal{&\sist{x=x(t)\\y=y(t)} t\in [a,b] } una sua rappresentazione da cui si deduce che e' continua-semplice(-chiusa).\\ \label{lcurvadef} Sia $\P=\pgra{t_0,t_1,\dots,t_n}$ una partizione di $[a,b]$, ovvero \eal{&a=t_0$ $\gamma$ e' rettificabile, e inoltre \eal{& l(\gamma)=\inte{a}{b} \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\;dt\\ &\T{dove } \sist{x=x(t)\\y=y(t)}t\in [a,b]\T{ e' una rappresentazione di $\gamma$ da cui si riconosce che e' di classe $C^1$} } \end{thm} \begin{prova} \pf \step{}{Dim. che $\gamma$ e' rettificabile} \begin{prova} Presa una partizione $\P$, cosi' come abbiamo fatto in \see{lcurvadef}, consideriamo \eal{& p(\sig)=\sum_{i=1}^{n}d_{\rd}(P_{i-1},P_i)= \sumin \sqrt{\pton{x(t_{i})-x(t_{i-1})}^2+ \pton{y(t_{i})-y(t_{i-1})}^2}\;\;(1) } Per la formula fondamentale del calcolo integrale e per il fatto che $x(t),y(t)\in \sczn{1}{[a,b]}$, valgono le seguenti proposizioni: \eal{ & x(t_{i})-x(t_{i-1})=\intd{t_{i-1}}{t_i} x'(t)\;dt\\ & y(t_{i})-y(t_{i-1})=\intd{t_{i-1}}{t_i} y'(t)\;dt\\ } quindi, sostituendo in $(1)$ e utilizzando le prop. di additivita' degli integrali definiti: \eal{& p(\sig)=\sumin d_{\rd}(P_{i-1},P_i)= \sumin \sqrt{\pton{\intd{t_{i-1}}{t_i} x'(t)\;dt}^2+ \pton{\intd{t_{i-1}}{t_i} y'(t)\;dt}^2}\\&\qq \ubrace{\le}{\T{lemma \see{lemma1}}} \sumin \intd{t_{i-1}}{t_i}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\;dt= \intd{a}{b}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\;dt } Per l'arbitrarieta' di $\P$ si avra': \eal{& p(\sig)\le \intd{a}{b}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\;dt\;\;\forall \P\;\;(2) } quindi $\pp$ e' un insieme limitato, e percio' $\gamma$ e' rettificabile. \end{prova} \step{}{Dimostriamo che $\sup \pp=\intd{a}{b}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\;dt$} \begin{prova} Sia $T=\intd{a}{b}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\;dt$.\\ Dobbiamo dimostrare le due proprieta' del sup. La prima e' stata gia' dimostrata con la $(1)$. La seconda e': \def\e{{\varepsilon}} \eal{&\forall \e > 0 \exists p(\sig) \in \pp:\;\;p(\sig) > T - \e \= T -p(\sig) < \e \;\;(3)} %%%% \def\ti{{t_i^*}} \def\xii{{\xi_i}} \def\eii{{\eta_i}} \step{}{Maggioriamo $T -p(\sig)$} \begin{prova} Sia $H(t)=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\;\;\forall t\in [a,b]$.\\ Per definizione di integrale definito ed esteso \eal{ &T=\intd{a}{b}H(t)\;dt\ubrace{=}{a 0\;\exists \delta' >0:\;|x'(t')-x'(t'')| < \varepsilon \;\;\forall t',t'' \in [a,b]:\;|t'-t''|<\delta'\\ &\forall \varepsilon > 0\;\exists \delta'' >0:\;|y'(t')-y'(t'')| < \varepsilon \;\;\forall t',t'' \in [a,b]:\;|t'-t''|<\delta''\\ &\T{Fissato $\varepsilon >0$ e prendendo }\delta=\min{\delta',\delta''} \T{ segue che }\\ &\qq |x'(t')-x'(t'')| < \varepsilon,\;\;|y'(t')-y'(t'')| < \varepsilon\;\;\forall t',t'' \in [a,b]:\;|t'-t''|<\delta\;\;(5) } \end{prova} \step{}{Fissiamo $\P:\;|\P|<\delta$} \begin{prova} Nella $(3.3)$ abbiamo usato un $\P$ generico. Consideriamo adesso un $\P:\;|\P|<\delta$, avremo \eal{&t_i-t_{i-1} < \delta\;\;\forall 1=1,2,\ldots,n\\ &\sist{\ti \in [t_{i-1},t_i]\\ \xii \in ]t_{i-1},t_i[ }\> |\ti - \xii| < |t_{i}-t_{i-1}| < \delta\ubrace{\>}{(5)} |x'(\ti)-x'(\xii)| < \varepsilon \\ &\T{analogamente per }y:\; |y'(\ti)-y'(\eii)| < \varepsilon\;\;(6) } \end{prova} Utilizzando la $(6)$, maggioriamo la $(3.3)$: \eal{& T-p(\sig) \le \sumin (t_i-t_{i-1}) \sqrt{(x'(\ti)-x'(\xii))^2+(y'(\ti)-y'(\eii))^2} \ubrace{<}{(6)} \sumin (t_i-t_{i-1}) \sqrt{(\e)^2+(\e)^2}=\\ &\qq = \sumin (t_i-t_{i-1}) \e\sqrt{2}=\e\sqrt{2} \sumin (t_i-t_{i-1}) = \e\sqrt{2}(b-a) \;\;(3.4) } Fin qui abbiamo usato un $\e$ generico. Fissiamo allora \eal{\e:=\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}(b-a)} > 0} avremo cosi' dalla $(3.4)$ che \eal{&T-p(\sig) < \frac{\varepsilon}{\sqrt{2}(b-a)}\sqrt{2}(b-a) = \varepsilon\\ &T-p(\sig)<\e } che e' proprio la $(3)$. \end{prova} \qed \end{prova} \begin{cor} \label{corthmlunghezzacurva} Se $\gamma$ e' una curva regolare, allora vale la tesi del teorema \see{thmlunghezzacurva}. Inoltre, se abbiamo una funzione $y(x)\in \sczn{1}{[a,b]}$, si avra' \eal{& l(G_y)=\intd{a}{b} \sqrt{1+y'(x)^2}\;dx } \end{cor} \begin{prova} \pf \begin{prova} Una curva $\gamma$ regolare e' anche di classe $C^1$, quindi per lei vale il hm \see{thmlunghezzacurva}. Per il thm \see{thmgraficofregolare}, sappiamo che \eal{y(x)\in \sczn{1}{[a,b]}\> G_y\T{ e' una curva regolare.}} e una rappresentazione parametrica di $G_y$ da cui si evince che e' regolare e': \eal{&\sist{x=x\\ y=y(x)},x\in [a,b] } quindi, per il thm \see{thmlunghezzacurva}, abbiamo: \eal{&l(G_y)= \inte{a}{b} \sqrt{(x')^2+y'(x)^2}\;dx= \inte{a}{b} \sqrt{1+y'(x)^2}\;dx } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{cor} Data la funzione polare $f(\theta):[\theta_0,\theta_1]\longrightarrow \mathbb{R}]$, si ha \eal{&\sist{f(\theta) \ge 0\;\;\forall \theta \in [\theta_0,\theta_1]\\ f\in \sczn{1}{[\theta_0,\theta_1]}\\ f'(\theta)> 0\;\;\forall \theta\in [\theta_0,\theta_1] \;\;\lor \;\;f'(\theta) < 0\;\; \forall \theta \in [\theta_0,\theta_1] } \> G_f\T{ e' regolare e } l(G_f)=\intd{\theta_0}{\theta_1}\sqrt{f'(\theta)^2+f(\theta)^2}\;d\theta} Una sua rappresentazione parametrica da cui si evince che e' regolare e': \eal{&\sist{x=f(\theta)\cos(\theta)\\y=f(\theta)\sin(\theta)},\theta\in [\theta_0,\theta_1] } Nota: l'ultima ipotesi equivale a dire che $f$ e' strettamente crescente, o decrescente, in tutto $[\theta_0,\theta_1]$. \end{cor} \begin{prova} \pf \begin{prova} \eal{& f, \cos \in \sczn{1}{[\theta_0,\theta_1]} \> f(\theta)\cos(\theta) \in \sczn{1}{[\theta_0,\theta_1]}\\ &x'(t)=f'(\theta)\cos \theta-f(\theta)\sin\theta\\ &y'(t)=f'(\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos \theta\\ &H(\theta)= \sqrt{f'(\theta)^2\cos^2 \theta+f(\theta)^2\sin^2\theta+ f'(\theta)^2\sin^2\theta+f(\theta)^2\cos^2 \theta}=\\ &=\sqrt{f'(\theta)^2(\cos^2 \theta+\sin^2)+f(\theta)^2(\sin^2\theta+\cos^2 \theta)}=\sqrt{f'(\theta)^2+f(\theta)^2}\\ & f'(\theta)^2 \ubrace{>}{\T{per la II Hp}} 0\;\; \forall \theta \in [\theta_0,\theta_1]\;\> f'(\theta)^2+f(\theta)^2 > 0 \;\;\forall \theta \in [\theta_0,\theta_1] } Supponiamo per assurdo che non valga la semplicita', ovvero che \eal{\exists \theta',\theta'' \in [\theta_0,\theta_1],\;\theta'\neq \theta'':\;\;(x(\theta'),y(\theta'))=(x(\theta''),y(\theta''))} che equivale al sistema: \eal{& \sist{x(\theta')=x(\theta'')\\ y(\theta')=y(\theta'')} \= \sist{f(\theta')\cos(\theta')=f(\theta'')\cos(\theta'')\\ f(\theta')\sin(\theta')=f(\theta'')\sin(\theta'') }\\ &\> \sist{f(\theta')^2\cos(\theta')^2=f(\theta'')^2\cos(\theta'')^2\\ f(\theta')^2\sin(\theta')^2=f(\theta'')^2\sin(\theta'')^2 }\\&\> f(\theta')^2\cos(\theta')^2+f(\theta')^2\sin(\theta')^2=f(\theta'')^2\cos(\theta'')^2+f(\theta'')^2\sin(\theta'')^2\\ &\= f(\theta')^2=f(\theta'')^2 \ubrace{\=}{f(\theta) \ge 0\;\;\forall \theta} f(\theta')=f(\theta'')\;\;(2) } Per la II Hp e per il III cor di Lagrange $f$ e' strettamente crescente in $[\theta_0,\theta_1]$, quindi la $(2)$ e' assurda.\\ Con cio' che abbiamo visto fin'ora, possiamo concludere che $\gamma$ e' regolare, e quindi per il cor \see{thmlunghezzacurva} si ha \eal{&l(\gamma) = \intd{\theta_0}{\theta_1} H(\theta)\;d\theta =\intd{\theta_0}{\theta_1} \sqrt{f'(\theta)^2+f(\theta)^2}\;d\theta} \end{prova} \qed \end{prova} \begin{exemp} Consideriamo $f(x)=x^2,\;x\in [-1,1]$. $f\in \sczn{1}{[-1,1]}$, percio' non abbiamo problemi a calcolare la lunghezza di $G_f$, ovvero del ramo di parabola tra $[-1,1]$: \eal{& l(G_f)= \inte{-1}{1} \sqrt{1+f'(x)^2}\;dx= \intd{-1}{1} \sqrt{1+4x^2}\;dx\\ &\qq x=\frac{1}{2}\sinh t\;\;dx=\frac{1}{2}\cosh t\;\;t=\arsinh(2x)\\ &\int \sqrt{1+4x^2}\;dx = \frac{1}{2}\int \cosh^2 t= \frac{1}{4}\pton{\cosh t\sinh t+t}= \frac{1}{4}\pton{2x\cosh(\arsinh(2x))+\arsinh(2x)}=\\ &\qq \ubrace{=}{(*)} \frac{x}{2}\sqrt{4x^2+1} + \frac{\arcsinh 2x}{4} \\ &\intd{-1}{1} \sqrt{1+4x^2}\;dx=\pqua{ \frac{x}{2}\sqrt{4x^2+1} + \frac{\arcsinh 2x}{4} }_{-1}^{1} =\sqrt{5}+\frac{\arcsinh 2}{2} = \sqrt{5}+\frac{1}{2}\log(2+\sqrt{5}) } (*) Per controllare che $\cosh(\arsinh(2x))=\sqrt{4x^2+1}$, basta prendere la derivata in ambo i membri: \eal{& 4\frac{x}{\sqrt{(4x^2+1)}} = 4\frac{x}{\sqrt{(4x^2+1)}} } Sono uguali. Quindi per Lagrange le due funzioni differiscono per una costante $k$: \eal{&\cosh(\arsinh(2x))=\sqrt{4x^2+1} +k\;\;\forall x } Calcolando in $x=0$, si vede che tale $k=0$. \end{exemp} \begin{exemp} Calcoliamo la lunghezza di una circonferenza $\gamma$: \eal{&\sist{x=r\cos t\\ y=r\cos t }t\in [0,2\pi] }dove $r$ e' il suo raggio.\\ $\gamma$ e' di classe $C^1$, infatti, \eal{& x(t)=a\cos t,y(t)=b\cos t\in \sczn{1}{[0,2\pi]}\\ &\T{Negli intervalli } [0,\pi], [\pi, 2\pi], \cos t \T{ risulta biunivoca, e quindi: }\\ &\qq \forall t',t'' \in [0,\pi]: t'\neq t''\;\;\cos t' \neq \cos t''\> (x(t'),y(t'))\neq (x(t''),y(t''))\\ &\qq \forall t',t'' \in [\pi,2\pi[: t'\neq t''\;\;\cos t' \neq \cos t''\> (x(t'),y(t'))\neq (x(t''),y(t''))\\ &\T{Nel caso in cui } t'\in [0,\pi], t''\in ]\pi,2\pi[ \T{ si ha } \sin t' >0,\;\sin t'' <0, \T{ per cui: }(x(t'),y(t'))\neq (x(t''),y(t''))\\ &\T{infine, }x'(t)^2+y'(t) = (-\sin t)^2+(\cos t)^2 >0\;\;\forall t\in [0,2\pi] } Possiamo percio' applicare il thm \see{thmlunghezzacurva}: \eal{& l(\gamma)= \intd{0}{2\pi} \sqrt{(-r\sin t)^2+(r\cos t)^2}= r\intd{0}{2\pi} 1= r\pqua{x}^{2\pi}_0=2\pi r } \end{exemp} \begin{exemp} di una curva semplice, continua, ma non rettificabile.\\ \eal{&\gamma:\;\sist{x=0\\y=0}\;t=0\qq \gamma:\;\sist{x=t&t=0\\ y=t\cos\frac{\pi}{t}&0 \frac{1}{n}\;\;(1.1)\\ &d(Q_i, Q_{i+1}) = \sqrt{ \pton{\frac{1}{n-i-1}-\frac{1}{n-i}}^2+ \pton{\frac{(-1)^{n-i-1}}{n-i-1}-\frac{(-1)^{n-i}}{n-i}}^2 } =\\ &\sqrt{ \pton{\frac{1}{n-i-1}-\frac{1}{n-i}}^2+ \pton{(-1)^{n-i-1}}^2\pton{\frac{1}{n-i-1}-\frac{-1}{n-i}}^2 } =\\ &\sqrt{ \pton{\frac{1}{n-i-1}-\frac{1}{n-i}}^2+ \pton{\frac{1}{n-i-1}+\frac{1}{n-i}}^2 }=\\ &\sqrt{\frac{2}{(n-i-1)^2}+\frac{2}{(n-i)^2}} \ubrace{\ge}{\T{eleva per verificare}} \frac{1}{n-i-1}+\frac{1}{n-i}\;\;(1.2) \\ } Per definizione di lunghezza si ha \eal{&L \ge p(\sig) = d(Q,Q_0)+d(\sum_{i=0}^{n-2} d(Q_{i+1}, Q_{i}) = d(Q_1,Q_0) + d(Q_2,Q_1) + \dots + d(Q_{n-1}, Q_{n-2})\\ &\qq \ubrace{\ge}{(1.1),(1.2)} \frac{1}{n}+\pton{\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}}+ \pton{\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-2}}+\dots+\pton{\frac{1}{2}+\frac{1}{1}}=\\ &= \frac{1}{n}+\pton{\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}}+ \pton{\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-2}}+\dots+\pton{\frac{1}{2}+\frac{1}{1}}= \frac{2}{n}+\frac{2}{n-1}+\frac{2}{n-2}+\dots+2\\ & > \frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-2}+\dots+1\\ } quest'ultimo membro e' la somma parziale della serie armonica. Poiche' la serie armonica diverge a $+\infty$, quell'ultimo membro e' definitivamente piu' grande di qualsiasi $\mathbb{R}$ fissato, e in questo caso di $L$. Quindi abbiamo che definitivamente $L < \frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}\frac{1}{n-2}+\dots+1$. Assurdo. \end{exemp} \subsection{Retta tangente ad una curva} \ilabel{tangente!curva} Sia $\gamma$ una curva \textbf{regolare} e \eal{&\sist{x=x(t)\\y=y(t)}t\in [a,b]}una sua rappresentazione parametrica da cui si evince che e' regolare.\\ Sia $t_0,t\in [a,b]:\;t_0\neq t,\;\;P_0=(x(t_0),y(t_0)), P=(x(t),y(t))$.\\ La retta tangente a $\gamma$ nel suo punto $P_0$ e' \eal{& \sist{x=x(t_0)+{x'(t_0)}\tau\\ y=y(t_0)+{y'(t_0)} \tau} \T{ con } \tau \in \mathbb{R} \\ &\T{o equivalentemente, se $x'(t_0)\neq 0, y'(t_0)\neq 0$: }\\ &\frac{x-x(t_0)}{x'(t_0)}=\frac{y-y(t_0)}{y'(t_0)} } Se $\gamma$ fosse una curva a tre dimensioni, avremmo: \eal{& \sist{x=x(t_0)+{x'(t_0)}\tau\\ y=y(t_0)+{y'(t_0)}\tau\\ z=z(t_0)+{z'(t_0)}\tau\\ } \\ &\T{o equivalentemente, se $x'(t_0)\neq 0, y'(t_0)\neq 0,z'(t_0)\neq 0$: }\\ &\frac{x-x(t_0)}{x'(t_0)}=\frac{y-y(t_0)}{y'(t_0)}=\frac{z-z(t_0)}{z'(t_0)} } Nota: possiamo sempre scrivere la seconda forma dell'equazione, adoperando la seguente convenzione: se $x'(t_0)=0$ allora la scrittura dell'equazione equivale al sistema \eal{\sist{x-x(t_0)=0\\\frac{y-y(t_0)}{y'(t_0)}=\frac{z-z(t_0)}{z'(t_0)}}}. Analogamente per $y',z'$. \begin{prova} \pf \begin{prova} Innanzitutto \eal{&\gamma\T{ regolare}, t_0\neq t \> P_0\neq P} Sia $s$ la retta secante passate per $P_0P$, orientata da $P_0$ a $P$ se $t_00$, questo ha permesso di portare $t-t_0$ dentro la radice. \end{prova} \case{$t x'(t_0)^2+y'(t_0)^2 > 0 \> (\sqrt{x'(t_0)^2+y'(t_0)^2})^2 = x'(t_0)^2+y'(t_0)^2\\ &\cos^2 \hat{\vec{x}\vec{s}} + \sin^2 \hat{\vec{y}\vec{s}} = \frac{x'(t_0)^2}{x'(t_0)^2+y'(t_0)^2} + \frac{y'(t_0)^2}{x'(t_0)^2+y'(t_0)^2} = 1 } Percio' la retta tangente e': \eal{& \sist{x=x(t_0)+\frac{x'(t_0)}{H(t_0)}\tau\\ y=y(t_0)+\frac{y'(t_0)}{H(t_0)}\tau } \T{ con } \tau \in \mathbb{R},\;H(t)=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\;\;\forall t\in [a,b] } Possiamo moltiplicare i numeri direttori per $H(t_0)$ ottenendo sempre la stessa retta: \eal{& \sist{x=x(t_0)+{x'(t_0)}\tau\\ y=y(t_0)+{y'(t_0)}\tau } \T{ con } \tau \in \mathbb{R} } \end{prova} \qed \end{prova} \subsection{Superficie} \def\rtre{{\mathbb{R}^3}} Siano dati i seguenti oggetti: \eal{&X\( \rd,\;X \neq 0\\ &x(u,v):X\longrightarrow \mathbb{R}\\ &y(u,v):X\longrightarrow \mathbb{R}\\ &z(u,v):X\longrightarrow \mathbb{R} } come sinonimi delle tre funzioni a volte useremo \eal{&x_1(u,v),\;x_2(u,v),\;x_3(u,v)} \begin{defn} Chiameremo \emph{superficie} il seguente insieme \eal{&S=\pgra{(x,y,z)\in \rtre \;|\;x=x(u,v),\;y=y(u,v),\;z=z(u,v),\;\;(u,v)\in X} } Una sua rappresentazione parametrica e': \eal{& \sist{x=x(u,v)\\y=y(u,v)\\z=z(u,v)}\;\;(u,v)\in X} Per immaginare cosa sia una superficie: fissa una $v$. Con la $v$ fissata ritorniamo al caso di una curva sghemba, quindi le tre funzioni ``disegnano'' una curva nello spazio. Adesso fissa un'altra $v$, otterrai un'altra curva. Quindi al variare di $v$ ottieni diverse curve. L'unione di tutte queste curve descrive la superficie. Ad esempio, una sfera e' l'unione di circonferenze.\\ Diremo che $P_0=(x(u_0,v_0),y(u_0,v_0),z(u_0,v_0))$ e' un punto interno a $S\=(u_0,v_0)\in \den{X}$. \end{defn} \begin{defn} Diremo che la superficie $S$ e' regolare $\=$ esiste almeno una sua rappresentazione parametrica per cui vengono rispettate le seguenti condizioni: \eal{&1.\;\;X\T{ e' un dominio limitato e internamente connesso}\\ &2.\;\;x(u,v),y(u,v),z(u,v)\in C^1(X)\\ &3.\;\; M=\begin{pmatrix} x_u(u,v)&y_u(u,v)&z_u(u,v)\\ x_v(u,v)&y_v(u,v)&z_v(u,v) \end{pmatrix},\;\;\rho(M)=2\;\;\;\forall (u,v)\in X\\ &4.\;\;\T{deve essere semplice, ovvero: }\\ &\qq \forall (u,v) \neq (u',v')\;\;\sist{x(u,v) \neq x(u',v')\\ y(u,v) \neq y(u',v')\\ z(u,v) \neq z(u',v')} } \end{defn} \def\l{{\lambda}} \begin{lem} \label{lemmasuperficie} Sia $S$ una superficie regolare, e la seguente una sua rappresentazione parametrica da cui si evince che e' regolare: \eal{\sist{x=x(u,v)\\y=y(u,v)\\z=z(u,v)}\;\;(u,v)\in X} Siano date le seguenti funzioni definite da $X\longrightarrow \mathbb{R}$: \eal{ & A(u,v)=\begin{vmatrix} y_u&z_u\\ y_v&z_v \end{vmatrix}\qq B(u,v)=-\begin{vmatrix} x_u&z_u\\ x_v&z_v \end{vmatrix}\qq C(u,v)=\begin{vmatrix} x_u&y_u\\ x_v&y_v \end{vmatrix}\\ &E(u,v)=x_u^2+y_u^2+z_u^2\\ &F(u,v)=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v\\ &G(u,v)=x_v^2+y_v^2+z_v^2\\ } per brevita' con $x_u$ si intende $x_u(u,v)$.\\ Valgono le seguenti proposizioni $\forall (u,v)\in X$, \eal{&A(u,v)^2+B(u,v)^2+C(u,v)^2>0\\ &A(u,v)^2+B(u,v)^2+C(u,v)^2=E(u,v)G(u,v)-F(u,v)^2 > 0\\ &\l^2E(u,v)+2\l \mu F(u,v)+\mu^2 G(u,v)>0\;\;\forall \lambda,\mu\in \mathbb{R}:\;\lambda^2+\mu^2>0\\ } \end{lem} \begin{prova} \pf \step{}{Dim prop 1} \begin{prova} Se per assurdo $A(u,v)^2+B(u,v)^2+C(u,v)^2=0$, allora $A(u,v)=B(u,v)=C(u,v)=0$. Ma $A,B,C$ sono tutti i minori di ordine $2$ di $M$, quindi $\rho(M)<2$, il che e' assurdo perche' $S$ e' regolare. \end{prova} \step{}{Dim prop 2} \begin{prova} Si tratta di fare un po' di conti: \eal{&A(u,v)^2+B(u,v)^2+C(u,v)^2= (y_uz_v-y_vz_u)^2+ (x_uz_v-x_vz_u)^2+ (x_uy_v-x_vy_u)^2=\\ &=(y_u^2z_v^2+y_v^2z_u^2-2y_uz_vy_vz_u)+ (x_u^2z_v^2+x_v^2z_u^2-2x_uz_vx_vz_u)+ (x_u^2y_v^2+x_v^2y_u^2-2x_uy_vx_vy_u)=\\ &=z_v^2(y_u^2+x_u^2)+x_v^2(z_u^2+y_u^2)+ y_v^2(x_u^2+z_u^2)+\\ &\;\;-(2y_uz_vy_vz_u+2x_uz_vx_vz_u+2x_uy_vx_vy_u)=\\ &=z_v^2(y_u^2+x_u^2+z_u^2-z_u^2)+ x_v^2(z_u^2+y_u^2+x_u^2-x_u^2)+ y_v^2(x_u^2+z_u^2+y_u^2-y_u^2)+\\ &\;\;-(2y_uz_vy_vz_u+2x_uz_vx_vz_u+2x_uy_vx_vy_u)=\\ &=z_v^2(E(u,v)-z_u^2)+ x_v^2(E(u,v)-x_u^2)+ y_v^2(E(u,v)-y_u^2)+\\ &\;\;-(2y_uz_vy_vz_u+2x_uz_vx_vz_u+2x_uy_vx_vy_u)=\\ &=E(u,v)(\ubrace{z_v^2+x_v^2+y_v^2}{=G(u,v)})+\\ &\;\;-(z_v^2z_u^2+x_v^2x_u^2+y_v^2y_u^2+2y_uz_vy_vz_u+2x_uz_vx_vz_u+2x_uy_vx_vy_u)=\\ &=E(u,v)G(u,v)+\\ &\;\;-(z_vz_u+x_vx_u+y_vy_u)^2=\\ &=E(u,v)G(u,v)-F(u,v)^2\\ &A(u,v)^2+B(u,v)^2+C(u,v)^2=E(u,v)G(u,v)-F(u,v)^2\\ &A(u,v)^2+B(u,v)^2+C(u,v)^2>0\>E(u,v)G(u,v)-F(u,v)^2>0 } \end{prova} \step{}{Dim prop 3} \begin{prova} Dobbiamo dimostrare che \eal{\l^2E(u,v)+2\l\mu F(u,v)+\mu^2 G(u,v)>0\;\;\forall \lambda,\mu\in \mathbb{R}:\;\lambda^2+\mu^2>0} \case{$\mu=0$} \begin{prova} In questo caso dobbiamo verificare: \eal{&\l^2E(u,v) >0} Per Hp abbiamo\eal{&\mu=0,\;\lambda^2+\mu^2>0\>\lambda \neq 0} $E(u,v)$ e' somma di quadrati, quindi al massimo sara' nullo. Ma se per assurdo fosse nullo: \eal{&E(u,v)=0\=x_u^2+y_u^2+z_u^2=0\= x_u=y_u=z_u=0} questo implica che la prima riga della matrice $M$ e' nulla e quindi $\rho(M)<2$, che e' assurdo perche' $S$ e' per Hp regolare. \end{prova} \case{$\mu \neq 0$} \begin{prova} \eal{\l^2E(u,v)+2\l\mu F(u,v)+\mu^2 G(u,v)>0 \ubrace{\=}{\mu \neq 0} \pton{\frac{\l}{\mu}}^2E(u,v)+2\frac{\l}{\mu} F(u,v)+ G(u,v)>0 } Esaminiamo il $\Delta$ del trinomio nell'indeterminata $\frac{\l}{\mu}$: \eal{&\frac{\Delta}{4}=F(u,v)^2-E(u,v)G(u,v)=-(E(u,v)G(u,v)-F(u,v)^2)\ubrace{<}{\T{prop 2}} <0 } Inoltre $E(u,v) \neq 0$ (per quanto visto nel caso precedente).\\ Quindi, poiche' $\Delta<0$ e $E(u,v)>0$ si ha che il segno del trinomio e' sempre positivo. \end{prova} \end{prova} \qed \end{prova} \def\x{{\ove x}} \def\y{{\ove y}} \def\z{{\ove z}} \begin{prova} \begin{defn} Sia $\gamma$ una curva piana di rappresentazione parametrica: \eal{&\gamma:\;\sist{x=u(t)\\y=v(t) },\;\;t\in [a,b]\\ &\T{ tale che } \gamma \( \den{X}\=(u(t),v(t))\in \den{X}\;\forall t\in [a,b] } Sia $S$ una curva di rappresentazione parametrica: \eal{&\sist{x=x(u,v)\\y=y(u,v)\\z=z(u,v)}} Definiamo le seguenti funzioni, che hanno senso poiche' $\gamma \( \den{X}$: \eal{ &\x(t)=x(u(t),v(t))\\ &\y(t)=y(u(t),v(t))\\ &\z(t)=z(u(t),v(t))\\ &\;\;\forall t\in [a,b] } La seguente curva sghemba: \eal{&\Gamma:\;\;\sist{x=\x(t)\\y=\y(t)\\z=\z(t)}\;t\in [a,b]} si dice \emph{curva tracciata su $S$}. \ilabel{curva tracciata su S} \end{defn} \end{prova} \begin{thm} \label{thmgammaSregolareimpGregolare} Nelle ipotesi della definizione \see{curva tracciata su S}, si ha \eal{&\gamma \T{ regolare},\;S\T{ regolare}\>\Gamma \T{ regolare}} \end{thm} \begin{prova} \pf \step{passo72138}{Dim. $\x,\y,\z\in \sczn{1}{[a,b]}$} \begin{prova} \eal{&\x,\y,\z\in \sczn{0}{[a,b]}\;\;(1)} perche' composizione di funzioni continue.\\ \eal{&\sist{S\T{ regolare}\\ \gamma\T{ regolare}\\ (u(t),v(t))\in \den{X}\;\forall t \in [a,b] } \> \sist{x,y,z\in \sczn{1}{X}\\ u,v\in\sczn{1}{[a,b]}\\ (u(t),v(t))\in \den{X}\;\forall t \in [a,b] } \\ &\ubrace{\>}{\T{thm deriv. f. composte \AII{thmderifcomp}}}\sist{ \x'(t)=x'(u(t),v(t))= x_u(u(t),v(t))u'(t)+x_v(u(t),v(t))v'(t)\\ \y'(t)=y'(u(t),v(t))= y_u(u(t),v(t))u'(t)+y_v(u(t),v(t))v'(t)\\ \z'(t)=z'(u(t),v(t))= z_u(u(t),v(t))u'(t)+z_v(u(t),v(t))v'(t) }\;\;\forall t\in [a,b]\\ &\x',\y',\z'\T{ sono continue in $[a,b]$, perche' composizione, somma e prod. di f. continue}\;\;(2)\\ &(1),(2)\> \x,\y,\z\in \sczn{1}{[a,b]} } \end{prova} \step{}{Dim che $\Gamma$ e' semplice} \begin{prova} Siano $t,t'\in [a,b]:\;t \neq t'$.\\ \eal{&\gamma\T{ regolare } \> \gamma \T{ semplice } \> (u(t),v(t)) \neq (u(t'),v(t'))\;\;(3)\\ &S\T{ regolare },\;(3) \> \sist{x(u(t),v(t)) \neq x(u(t'),v(t'))\\ y(u(t),v(t)) \neq y(u(t'),v(t'))\\ z(u(t),v(t)) \neq z(u(t'),v(t'))} \=\\ &\qq \= \sist{\x(t) \neq \x(t')\\ \y(t) \neq \y(t')\\ \z(t) \neq \z(t')} } \end{prova} \step{}{Dim che $\x'(t)^2+\y'(t)^2+\z'(t)^2 >0\;\;\forall t\in [a,b]$} \begin{prova} \eal{&\x'(t)^2+\y'(t)^2+\z'(t)^2\ubrace{=}{\T{passo \stepref{passo72138}}} (x_uu'+x_vv')^2+ (y_uu'+y_vv')^2+ (z_uu'+z_vv')^2=\\ &=u'^2(x_u^2+y_u^2+z_u^2)+v'^2(x_v^2+y_v^2+z_v^2)+ 2u'v'(x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v)=\\ &=u'^2E(u,v)+v'^2G(u,v)+u'v'F(u,v) \ubrace{>}{\T{lem \see{lemmasuperficie}}} 0 \;\;\forall u',v'\in \mathbb{R}:\;u'^2+v'^2>0\\ &\T{$\gamma$ regolare } \> u'^2+v'^2>0\;\;\forall t\in [a,b]\\ &\qq \> u'^2E(u,v)+v'^2G(u,v)+u'v'F(u,v) > 0 \forall t\in [a,b] } Nota \footnote{per brevita' abbiamo scritto $u'$ al posto di $u'(t)$ e $x_u$ al posto di $x_u(u,v)$} \end{prova} \qed \end{prova} \begin{thm} \label{thmsuperfdiunafxy} Sia $f:X\longrightarrow \mathbb{R},\;X\(\rd,\;X \neq \0$, allora \eal{&X\T{ e' un dominio limitato e internamente connesso }, f\in \sczn{1}{X}\\ & \> G_f=\pgra{(x,y,f(x,y))\;|\;(x,y)\in X} \T{ e' una superficie regolare, con rappr. param: }\\ &\qq\qq \sist{x=x\\y=y\\z=f(x,y)}(x,y)\in X } \end{thm} \begin{prova} \pf \begin{prova} Delle 4 condizioni per la regolarita' di $G_f$, controlliamo solo la $3$, le altre sono immediate.\\ \eal{&M=\begin{pmatrix} 1&0&f_x (x,y)\\ 0&1&f_y (x,y) \end{pmatrix},\;\begin{vmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{vmatrix}=1 \>\rho(M)=2 } \end{prova} \qed \end{prova} \subsubsection{Piano tangente} \begin{defn} \ilabel{tangente!superficie} Il piano tangente in un punto $P_0$ a una superficie $S$ e' il luogo di tutte le rette tangenti in $P_0$ a curve tracciate su $S$ passanti per $P_0$.\\ Per chiarire: \eal{&\alpha=\T{piano tg a $S$ in $P_0$}=\bigcup_{r\in T_r}r\\ &T_r=\pgra{r\T{ retta }\;|\;P_0\in r,\;\;\exists \Gamma \in T_g:\;\;r\T{ tangente a } \Gamma}\\ &T_g=\pgra{\Gamma\T{ curva tracciata su $S$}\;|\; P_0\in \Gamma} } \end{defn} \begin{thm} \label{thmequpianotg} Dato $P_0\in S$, dove $S$ e' una superficie regolare, allora \eal{&A(u_0,v_0)(x-x_0)+B(u_0,v_0)(y-y_0)+C(u_0,v_0)(z-z_0)=0\\ &\T{ con }P_0=(x_0,y_0,z_0)=(x(u_0,v_0),y(u_0,v_0),z(u_0,v_0)),\;\;(u_0,v_0)\in \den{X} } e' l'equazione del piano tangente a $S$ in $P_0$. \end{thm} \begin{prova} \pf \begin{prova} Sia $\alpha$ il piano di equazione: \eal{&\alpha:\;\;A(u_0,v_0)(x-x_0)+B(u_0,v_0)(y-y_0)+C(u_0,v_0)(z-z_0)=0} Sia $\gamma=\pgra{(u(t),v(t)),\;t\in [a,b]}$ una qualsiasi curva regolare passante per $(u_0,v_0)$. La sua traccia $\Gamma$ su $S$ passera' per $P_0$: \eal{ &(u_0,v_0)\in \gamma \> \exists t_0 \in [a,b]:\;(u_0,v_0)=(u(t_0),v(t_0))\\ &\Gamma:\;\sist{x=\x(t):=x(u(t),v(t))\\ y=\y(t):=y(u(t),v(t))\\ z=\z(t):=z(u(t),v(t))}t\in [a,b] \\ &t_0\in [a,b] \> (\x(t_0),\y(t_0),\z(t_0))\in \Gamma \\ &\Gamma \ni (\x(t_0),\y(t_0),\z(t_0))=(x(u_0,v_0),y(u_0,v_0),z(u_0,v_0))=(x_0,y_0,z_0)=P_0 \\ &\qq\> P_0\in \Gamma\\ &\gamma,S\T{ regolare } \ubrace{\>}{thm \see{thmgammaSregolareimpGregolare}} \Gamma \T{ regolare}} Consideriamo la retta $r$ tangente alla curva $\Gamma$ in $P_0$, che per il thm \see{Retta tangente ad una curva} ha equazione: \eal{&r:\;\;\frac{x-\x(t_0)}{\x'(t_0)}=\frac{y-\y(t_0)}{\y'(t_0)}=\frac{z-\z(t_0)}{\z'(t_0)}} Notiamo che $P_0\in r\^\alpha$, basta infatti sostituire le coordinate di $P_0$, per vedere che sia l'equazione di $r$ che quella di $\alpha$ vengono soddisfatte. Allora, affinche' $r\( \alpha$, basta verificare che $r\parallel \alpha$.\\ Il vettore normale di direzione di $\alpha$ ha componenti $A(u_0,v_0),B(u_0,v_0),C(u_0,v_0)$. Il vettore di direzione di $r$ ha componenti $\x'(t_0),\y'(t_0),\z'(t_0)$. $\alpha \parallel r \= $ i loro vettori di direzione sono perpendicolari $\=$ il prod. scalare dei vett. e' nullo $\=$ \eal{& A(u_0,v_0)\x'(t_0)+B(u_0,v_0)\y'(t_0)+C(u_0,v_0)\z'(t_0)=0\=\\ &\= \x'(t_0)\begin{vmatrix} y_u&z_u\\ y_v&z_v \end{vmatrix} -\y'(t_0)\begin{vmatrix} x_u&z_u\\ x_v&z_v \end{vmatrix}+ \z'(t_0)\begin{vmatrix} x_u&y_u\\ x_v&y_v \end{vmatrix} =\\ &= \begin{vmatrix} \x'(t_0)&\y'(t_0)&\z'(t_0)\\ x_u(u_0,v_0)&y_u(u_0,v_0)&z_u(u_0,v_0)\\ x_v(u_0,v_0)&y_v(u_0,v_0)&z_v(u_0,v_0) \end{vmatrix}=0\;\;(1)\\ } E ricordando dalla dimostrazione del thm \see{thmgammaSregolareimpGregolare} che \eal{& \x'(t_0)=x_u(u(t_0),v(t_0))u'(t_0)+x_v(u(t_0),v(t_0))v'(t_0)\\ &\y'(t_0)=y_u(u(t_0),v(t_0))u'(t_0)+y_v(u(t_0),v(t_0))v'(t_0)\\ &\z'(t_0)=z_u(u(t_0),v(t_0))u'(t_0)+z_v(u(t_0),v(t_0))v'(t_0) } si vede che la prima riga della $(1)$ e' c.l. lineare delle altre due, e quindi il determinante e' $0$. \end{prova} \qed \end{prova} \begin{cor} \label{corpianotangente} Sia $f:X\longrightarrow \mathbb{R},\;X\(\rd,\;X \neq \0,\;P_0=(x_0,y_0,f(x_0,y_0))\in G_f$, allora \eal{&X\T{ e' un dominio limitato e internamente connesso }, f\in \sczn{1}{X}\\ & \> z-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)\\ &\qq \T{ e' l'equazione del piano tg in $P_0$ a $G_f$} } \end{cor} \begin{prova} \pf \begin{prova} Dal thm \see{thmsuperfdiunafxy} segue che $G_f$ e' una superficie regolare. Allora, dal thm \see{thmequpianotg}, segue che il piano tg a $G_f$ in $P_0$ e' \eal{&A(x_0,y_0)(x-x_0)+B(x_0,y_0)(y-y_0)+C(x_0,y_0)(z-z_0)=0\;\;(1)} dove $z_0=f(x_0,y_0)$. \eal{& A(x_0,y_0)=\begin{vmatrix} 0&f_x(x_0,y_0)\\ 1&f_y(x_0,y_0) \end{vmatrix}=-f_x(x_0,y_0)\\ & B(x_0,y_0)=-\begin{vmatrix} 1&f_x(x_0,y_0)\\ 0&f_y(x_0,y_0) \end{vmatrix}=-f_y(x_0,y_0) \qq C(x_0,y_0)=\begin{vmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{vmatrix}=1 } \eal{&(1)\= -f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0)+(z-z_0)=0\\ &(1) \ubrace{\=}{z_0=f(x_0,y_0)} z-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0) } \end{prova} \qed \end{prova} \subsubsection{Area di superficie} Nota: useremo dei concetti che verranno definiti in seguito (integrali multipli, misura, etc\dots). Passa avanti e ritorna dopo. \begin{defn}\label{defareasuperficie} Sia $T\( \rd$ dominio limitato, misurabile e internamente connesso. Sia inoltre \eal{&f:T\longrightarrow \mathbb{R},\;\;f\in \sczn{1}{T}} Consideriamo la superficie $S=G_f=\pgra{(x,y,f(x,y))\;|\;(x,y)\in T}$. Sia $\P=\pgra{T_1,\dots,T_m}$ una partizione\footnote{Per la definizione di partizione di un dominio limitato e misurabile, vedi \see{Integrale multiplo}} di $T$. Sia scelto un $P_i\in T_i,\;\;i=1,\dots,m$ e sia $\pi_i$ il piano tangente a $S$ in $P_i$. Consideriamo l'insieme \eal{&D_i=\pgra{(x,y,z)\in \pi_i\;|\;(x,y)\in T_i}} che si dimostra essere misurabile secondo Peano Jordan\footnote{vedi \see{Misurabilita' secondo Jordan}}, e sia \eal{&\tau=\sum_{i=1}^m\mis D_i } Poniamo infine: \eal{ &\area S \definizione{ = } \lim_{|\P| \to 0 } \tau } \end{defn} \def\nvec#1{{\norm{\vec{#1}}}} \begin{prop} \label{propareasuperficieintdoppio} Sia $T\( \rd$ dominio limitato, misurabile e internamente connesso. Sia inoltre \eal{&f:T\longrightarrow \mathbb{R},\;\;f\in \sczn{1}{T}} \eal{&\area G_f= \iint_T \sqrt{1+f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}\;dxdy} \end{prop} \begin{proof} Poniamoci nelle stesse condizioni della definizione \see{defareasuperficie}. Sia inoltre, \eal{&w(x,y)=\sqrt{1+f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}:T\longrightarrow \mathbb{R}\\ &P_i=(x_i,y_i) \in T_i\\ &Q_i=(x_i,y_i,f(x_i,y_i))\in G_f} \step{}{Dim. che $\mis D_i = \mis T_iw(x_i,y_i)$} \begin{prova} Sia $n_i$ la retta normale a $\pi_i$ passante per $Q_i$. Si puo' dimostrare che \eal{&\mis D_i = \frac{\mis T_i}{\cos(z\hat{}n_i)}\;\;(1)} dove $z$ e' l'asse $\vec{z}$. L'angolo $z\hat{}n_i$ e' cosi' definito: \eal{&z\hat{}n_i=\sist{0 & z=n_i\\ \T{angolo acuto tra $z$ e $n_i$} & z\^n_i \neq \0\\ \T{angolo acuto tra $z'$ e $n_i'$} & \T{ altrimenti } }\\ &\T{ dove } z',n_i'\T{ sono le rette parallele a } z,n_i \T{ e incidenti } } Calcoliamo allora $\cos(z\hat{}n_i)$: \eal{& \cos(z\hat{}n_i) = \frac{\vec{z}\cdot \vec{n_i}}{\norm{\vec{z}}\norm{\vec{n_i}}} \\ &\T{ dove } \vec{z}\cdot \vec{n_i} \T{ e' il prodotto scalare tra un vettore di $z$ e un vettore di $n_i$} } Un vettore di $z$ e' $(0,0,1)$. Per trovare $\vec{n_i}$, consideriamo l'equazione del piano tg in $Q_1$, che dal cor \see{corpianotangente} e' \eal{& z-f(x_i,y_i)=f_x(x_i,y_i)(x-x_i)+f_y(x_i,y_i)(y-y_i) \\ &\> \vec{n_i} = (-f_x(x_i,y_i), -f_y(x_i,y_i), 1)\\ } allora \eal{&(0,0,1)\cdot (-f_x(x_i,y_i), -f_y(x_i,y_i), 1) = 1\\ &\nvec{z}=1\\ &\nvec{n_i} = \sqrt{1+f_x^2(x_i,y_i)+f_y^2(x_i,y_i)} = w(x_i,y_i)\\ &\cos(z\hat{}n_i) =\frac{\vec{z}\cdot \vec{n_i}}{\nvec{z}\nvec{n_i}} = \frac{1}{w(x_i,y_i)} } E quindi dalla $(1)$ \eal{&\mis D_i = \frac{\mis T_i}{\cos(z\hat{}n_i)} = \mis T_i w(x_i,y_i) } \end{prova} \step{}{La tesi da provare equivale a: \eal{&\forall \varepsilon > 0 \exists \delta >0:\;\;\Big|\tau - \iint_T w(x,y)\;dxdy \Big| < \varepsilon \;\;\forall \P\T{ partizione di }T\T{ tale che } |\P|<\delta } \lineapiccola \\ } \begin{prova} Fissiamo $\varepsilon >0$\\ Passiamo a maggiorare $\Big|\tau - \iint_T w(x,y)\;dxdy \Big|$, facendo prima alcuni calcoli preliminari \eal{&\mis T_i = \iint_{T_i}\;dxdy \> \mis T_i w(x_i,y_i) = w(x_i,y_i) \iint_{T_i}\;dxdy = \iint_{T_i}w(x_i,y_i) \;dxdy\\ &\tau=\sum_{i=1}^m\mis D_i = \sum_{i=1}^m \mis T_i w(x_i,y_i) = \sum_{i=1}^m \iint_{T_i}w(x_i,y_i) \;dxdy\\ & \Big|\tau - \iint_T w(x,y)\;dxdy \Big| = \Big| \sum_{i=1}^m\iint_{T_i}w(x_i,y_i)\;dxdy- \sum_{i=1}^m\iint_{T_i} w(x,y)\;dxdy \Big| = \\ &=\Big| \sum_{i=1}^m\iint_{T_i}w(x_i,y_i)-w(x,y)\;dxdy \Big| \le \sum_{i=1}^m \Big| \iint_{T_i}w(x_i,y_i)-w(x,y)\;dxdy\Big| \le \\ &\ubrace{\le }{\see{cor5riem}} \sum_{i=1}^m\iint_{T_i} |w(x_i,y_i)-w(x,y)|\;dxdy \;\;(2) } Studiamo la $w$, \eal{&\sist{w\T{ e' continua in }T\\ T\T{ e' chiuso e limitato } \= T\T{ e' seq. compatto } } \ubrace{\>}{\AII{cantor-heine}} w\T{ e' unif. continua in }T \=\\ &\= \T{ per }\varepsilon > 0 \exists\delta'>0:\;\; |w(x,y)-w(x',y')| < \varepsilon \;\;\forall (x,y),(x',y')\in T:\;\;d((x,y),(x',y'))< \delta'\;\;(3) } Ponendo $\delta=\delta'$ e considerando $\P$ t.c. $|\P|<\delta$, si ha che la $(3)$ vale in tutto un $T_i$: \eal{ &(x,y),(x',y')\in T_i \> d((x,y),(x',y')) \le \diam T_i \ubrace{\le}{\T{def. di ampiezza}} |\P| < \delta=\delta' \\ &|w(x,y)-w(x',y')| < \varepsilon \;\;\forall (x,y),(x',y')\in T_i \\ &\qq \ubrace{\>}{\see{corminoreuguale}} \iint_{T_i}|w(x,y)-w(x',y')| \;dxdy< \iint_{T_i} \varepsilon\;dxdy = \varepsilon\mis T_i \;\;(4) } Infine, ritornando alla $(2)$, abbiamo \eal{& \Big|\tau - \iint_T w(x,y)\;dxdy \Big| \le \sum_{i=1}^m \iint_{T_i} |w(x_i,y_i)-w(x,y)|\;dxdy \ubrace{\le}{(4)} \sum_{i=1}^m \varepsilon\mis T_i = \varepsilon \sum_{i=1}^m \mis T_i =\varepsilon \mis T } allora, se come $\varepsilon$ scegliamo $\frac{\varepsilon}{2\mis T}$, abbiamo \eal{&\Big|\tau - \iint_T w(x,y)\;dxdy \Big| \le \frac{\varepsilon}{2\mis T} \mis T =\frac{\varepsilon}{2} <\varepsilon } e quindi la tesi. \end{prova} \end{proof} \begin{prop} \label{proparesupercondiversarappparam} Ponendoci sempre nelle ipotesi della definizione \see{defareasuperficie}, consideriamo una rappresentazione parametrica di $S=G_f$, da cui si evince che e' regolare\footnote{$S$ e' regolare per il thm\see{thmsuperfdiunafxy}} \eal{&S:\sist{x=x(u,v)\\y=y(u,v)\\z=z(u,v)}(u,v)\in D \\ &\T{ dove } D\T{ e' un dominio regolare limitato ad un solo contorno } } Si ha \eal{&\area S = \iint_D\sqrt{A^2(u,v)+B^2(u,v)+C^2(u,v)}\;dudv\\ & \T{ dove }\\ & A(u,v)=\begin{vmatrix} y_u(u,v)&z_u(u,v)\\ y_v(u,v)&z_v(u,v) \end{vmatrix}\qq B(u,v)=-\begin{vmatrix} x_u(u,v)&z_u(u,v)\\ x_v(u,v)&z_v(u,v) \end{vmatrix}\qq C(u,v)=\begin{vmatrix} x_u(u,v)&y_u(u,v)\\ x_v(u,v)&y_v(u,v) \end{vmatrix} } \end{prop} \begin{proof} \step{}{Dim. che \eal{&\frac{1}{w(x(u,v),y(u,v))} = \frac{|C(u,v)|}{\sqrt{A^2(u,v)+B^2(u,v)+C^2(u,v)}}\;\;\forall (u,v)\in D}} \begin{prova} Fissiamo $(u,v)\in \den{D}$ e sia $P=(x_0,y_0,z_0)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\in S$. Cosi' come abbiamo fatto nella dimostrazione della prop \see{propareasuperficieintdoppio}, si ha che il piano $\alpha$ tangente a $S$ in $P$ e':\eal{ &\alpha:\;\;z-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0) \\ &\T{ da cui si ha } \cos(z\hat{}n_i) =\frac{\vec{z}\cdot \vec{n_i}}{|\vec{z}| |\vec{n_i}|} = \frac{1}{w(x_0,y_0)} \;\;(1)} se pero' ricaviamo $\alpha$ dalla rappr. param. di $S$, usando il thm \see{thmequpianotg}, abbiamo \eal{&\alpha:\;\;A(u,v)(x-x_0)+B(u,v)(y-y_0)+C(u,v)(z-z_0)=0\\ &\T{ da cui } \cos(z\hat{}n_i) = \frac{|C(u,v)|}{ \sqrt{A^2(u,v)+B^2(u,v)+C^2(u,v)}}\;\;(2) } nota\footnote{stiamo considerando il valore assoluto nel coseno, perche' per definizione l'angolo $z\hat{}n_i$ e' acuto, ovvero $\in [0,\frac{\pi}{2}]$} Allora, confrontanto la $(1)$ e $(2)$ abbiamo \eal{& \frac{1}{w(x_0,y_0)} = \frac{1}{w(x(u,v),y(u,v))} = \frac{|C(u,v)|}{ \sqrt{A^2(u,v)+B^2(u,v)+C^2(u,v)} } \;\;(3) } Supponiamo adesso che $(u',v')\in F(D)$, allora prendendo nella $(3)$ il limite per $(u,v)\to (u',v')$, e per la continuita' delle funzioni, abbiamo \eal{&\lim_{(u,v)\to (u',v')} \frac{1}{w(x(u,v),y(u,v))} = \lim_{(u,v)\to (u',v')} \frac{|C(u,v)|}{ \sqrt{A^2(u,v)+B^2(u,v)+C^2(u,v)}} \= \\ &\= \frac{1}{w(x(u',v'),y(u',v'))}= \frac{|C(u',v')|}{ \sqrt{A^2(u',v')+B^2(u',v')+C^2(u',v')} } } In definitiva, la $(3)$ vale per tutti i punti di $D$. \end{prova} \qedstep \begin{prova} Per la prop \see{propareasuperficieintdoppio} abbiamo \eal{&\area S = \area G_f = \iint_T\;w(x,y)\;dxdy } effettuiamo il seguente cambio di variabili e utilizziamo il thm \see{thmdomreg}: \def\uv{{(u,v)}} \eal{&\sist{x'=x(u,v)\\y'=y(u,v)}(u,v)\in D \\ &\pqua{\frac{\partial (x,y)}{\partial (x,y)}}_{\uv} := \begin{pmatrix} x_u\uv & x_v\uv\\ y_u\uv &y_v\uv \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_u\uv & y_u\uv\\ x_v\uv &y_v\uv \end{pmatrix} = C(u,v)\\ &\area S = \area G_f = \iint_T\;w(x,y)\;dxdy = \iint_D w(x(u,v),y(u,v))|C(u,v)|\;dudv =\\ &\qq \ubrace{=}{\T{passo precedente}} \iint_D \sqrt{A^2(u,v)+B^2(u,v)+C^2(u,v)}\;dudv } \end{prova} \end{proof} \begin{prop} \label{propareesuperfnormali} Le proposizioni \see{propareasuperficieintdoppio}, \see{proparesupercondiversarappparam}, valgono analogamente anche nel caso in cui $G_f$ e' il grafico di $f$ normale all'asse $\vec{x}$ o $\vec{y}$, ovvero: \eal{ &\T{ normale a $\vec{y}$ } \\ &\qq f(x,z):T\longrightarrow \mathbb{R},\;\;f\in \sczn{1}{T}\\ &\qq G_f=\pgra{(x,f(x,z),z)\;|\;(x,z)\in T}\\ &\qq \area G_f= \iint_T \sqrt{1+f_x^2(x,z)+f_z^2(x,z)}\;dxdz\\ &\qq \area G_f = \iint_D\sqrt{A^2(u,v)+B^2(u,v)+C^2(u,v)}\;dudv\;\\ &\qq\qq\T{ dove $A,B,C$ sono relativi a una rappr. param. di $G_f$}\\ &\T{ normale a $\vec{x}$} \\ &\qq f(y,z):T\longrightarrow \mathbb{R},\;\;f\in \sczn{1}{T}\\ &\qq G_f=\pgra{(f(y,z),y,z)\;|\;(y,z)\in T}\\ &\qq \area G_f= \iint_T \sqrt{1+f_y^2(y,z)+f_z^2(y,z)}\;dydz\\ &\qq \area G_f = \iint_D\sqrt{A^2(u,v)+B^2(u,v)+C^2(u,v)}\;dudv\\ &\qq\qq\T{ dove $A,B,C$ sono relativi a una rappr. param. di $G_f$} } \end{prop} \begin{defn}\label{defareasuperregolare} Sia $S$ una superficie regolare e sia \eal{&S:\sist{x=x(u,v)\\y=y(u,v)\\z=z(u,v)}(u,v)\in D\\ &D\(\rd \T{ dominio regolare a uno o piu' contorni }} una sua rappr. parametrica da cui si evince che e' regolare.\\ Per la prop \see{propdominiregolariunione} si ha \eal{&D=\bigcup_{i=1}^pD_i\;\;\den{D_i}\^\den{D_j}=\0,\;\;D_i\T{ dominio regolare a un solo contorno} } Siano definite le seguenti superfici: \eal{&S_i:\;\;\sist{x=x(u,v)\\y=y(u,v)\\z=z(u,v)}(u,v)\in D_i \\ &\qq S_i\T{ superficie regolare }\\ &\qq \T{tale che } S_i \T{ e' il grafico, normale a un asse coordinato, di una certa funzione, cioe' $S_i=G_{f_i}$, e tale che }\\ &\qq \qq S=\bigcup_{i=1}^pS_i\\ } Possiamo cosi' porre \eal{&\area S\definizione{=} \sum_{i=1}^p \area S_i } \textbf{Interpretazione geometrica}: Le proposizioni \see{propareasuperficieintdoppio} e \see{proparesupercondiversarappparam} permettono di calcolare l'area di una superficie regolare che si puo' esprimere come grafico di una funzione $f$. Quest'ultima definizione permette di calcolare l'area di una \textbf{qualsiasi} superficie regolare spezzandola in superficii regolari che sono il grafico di qualche funzione. \end{defn} \begin{prop} Nelle ipotesi della def. \see{defareasuperregolare}, si ha \eal{&\area S = \iint_D \sqrt{A^2(u,v)+B^2(u,v)+C^2(u,v)}\;dudv } \end{prop} \begin{proof} Per la prop \see{propareesuperfnormali}, possiamo scrivere: \eal{&\area S_i = \iint_{D_i} \sqrt{A^2(u,v)+B^2(u,v)+C^2(u,v)}\;dudv } Poiche' $\pgra{D_i}$ formano una partizione di $D$, possiamo sfruttare la prop di additivita', ottenendo: \eal{&\area S = \sum_{i=1}^p \iint_{D_i} \sqrt{A^2(u,v)+B^2(u,v)+C^2(u,v)}\;dudv = \iint_{D} \sqrt{A^2(u,v)+B^2(u,v)+C^2(u,v)}\;dudv } \end{proof} \subsection{Ascisse curvilinee} \begin{defn} Possiamo pensare una curva regolare $\gamma$ come se fosse una ascissa.\\ Sia \eal{&\sist{x=x(t)\\y=y(t)}t\in [a,b]}una sua rappresentazione parametrica da cui si evince che e' regolare.\\ Fissiamo $P_0\in \gamma$ e sia $t_0\in [a,b]:\;(x(t_0),y(t_0))=P_0$. Prendiamo un generico punto $P=(x(t),y(t)) \in \gamma$. Se scegliamo il \emph{verso delle $t$ crescenti}, il vettore $\vec{P_0P}$ sara' positivo se $t > t_0$.\\ Possiamo associare a $P$ un numero reale $s(t)$, che chiameremo \emph{ascissa curvilinea} di $P$: \eal{&s(t)=\intd{t_0}{t} H(\tau)\;d\tau:\;\;[a,b]\longrightarrow [s(a),s(b)] } $s(t)$ non e' nient'altro che la lunghezza dell'arco della curva $\gamma$ che ha per estremi $P_0,P$. Se $P$ precede $P_0$, ossia $t}{\T{thm di torricelli \AII{torricelli}}} s'(t)=H(t)\;\;\forall t\in [a,b]} \item $s(t)\in \sczn{1}{[a,b]}$\\\pf \eal{&s(t) \T{ e' continua } \in [a,b],\;\;s'(t)=H(t)\;\;\T{ e' continua in $[a,b]$} } \item $s'(t) > 0\;\;\forall t \in [a,b]$\\ \pf \eal{&\gamma \T{ regolare } \> H(t) > 0\;\;\forall t\in [a,b]} \item $s(t)$ e' crescente in $[a,b]$\\\pf \eal{&s'(t) > 0\;\;\forall t \in [a,b] \ubrace{\>}{\T{cor Lagrange}} s(t) \T{ crescente} } \item $\Im s(t)=[s(a),s(b)]$\\\pf $s(t)$ e' continua in $[a,b]$, quindi per Weiestrass ammette massimo e minimo in $[a,b]$, inoltre e' crescente, quindi \eal{&\min_{t\in [a,b]}s(t)=s(a)\\ \max_{t\in [a,b]}s(t)=s(b)} \item $s(t)$ e' invertibile poiche' crescente.\\Denotiamo la sua inversa con $t(s):[s(a),s(b)]\longrightarrow [a,b]$, che e' anch'essa continua e crescente poiche' inversa di funzione continua e crescente. \item $t'(s)=\frac{1}{H(t(s))}$\\\pf Immediata conseguenza del teorema di derivazione della funzione inversa (\AI{thm_deriv_inv}) \item \eal{&\sist{x=x(t(s))\\y=y(t(s))}s\in [s(a),s(b)]} e' un'altra rappresentazione parametrica di $\gamma$ da cui si evince che $\gamma$ e' regolare.\\\pf Poiche' $\dom s(t) = \Im t(s)$, per la proposizione \see{proprappralternativa}, ${x=x(t(s))\\y=y(t(s))}$ e' una rappresentazione parametrica alternativa. \end{enumerate} \subsection{Curve geometriche e analitiche} \pflet{\begin{enumerate} \item $A\( \rd,\;A\neq \0$, aperto \item $f(x,y):A\longrightarrow \mathbb{R}$ \item $(x_0, y_0)\in A, f(x_0,y_0)=0$ \item $\Gamma=\pgra{(x,y)\in A\;|\;f(x,y)=0}\( A$ \end{enumerate} } \def\x{{x_0}} \def\y{{y_0}} \def\pz{{(\x,\y)}} ovviamente $(x_0, y_0)\in\Gamma$. Poiche' $\Gamma$ puo' essere un qualsiasi sottoinsieme di $A$, e quindi non per forza coincide con una curva piana regolare o continua o semplice, il problema che ci poniamo e' quello di trovare un conveniente intorno $\Delta$ di $\pz$ t.c. $\Delta\^\Gamma$ risulta essere il grafico di un funzione, ovvero \eal{&\exists ? \delta\in \mathbb{R}:\;\;\Delta=[\x-\delta,\x+\delta]\times [\y-\delta,y+\delta], \Delta\( A, \Delta\^\Gamma=G_y\\ &\T{ dove } y(x):[\x-\delta,\x+\delta]\longrightarrow [\y-\delta,\y+\delta] } \begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{fig/dini} \end{center} \label{fig:dini} Il teorema di Dini ci dara' una risposta. \begin{defn} Nelle seguenti ipotesi: \begin{enumerate} \item $A\( \rd,\;A\neq \0$, aperto \item $f(x,y):A\longrightarrow \mathbb{R}$ \item $\varphi(x):(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R}$ \end{enumerate} diamo la seguente definizione: \eal{&\varphi(x)\T{ e' implicita rispetto all'equazione $f(x,y)=0$ } \= \forall x\in (\alpha,\beta)\;\;(x,y(x))\in A \& f(x,y(x))=0 } \end{defn} \def\fy{{f_y}} \def\xy{{(x,y)}} \def\xz{{x_0}} \def\yz{{y_0}} \def\x{{\ove x}} \def\y{{\ove y}} \def\xx{{x^*}} \def\yy{{y^*}} \def\xn{{x_n}} \def\xkn{{x_{k_n}}} \def\yn{{y_n}} \def\ykn{{y_{k_n}}} \def\xyz{{(x_0,y_0)}} \def\d{{\delta}} \def\D{{\Delta}} \begin{thm} di Dini. \ilabel{teorema di Dini} \ilabel{thmdidini} \pflet{ \begin{enumerate} \item $A\( \rd,\;A\neq \0$, aperto \item $f(x,y):A\longrightarrow \mathbb{R},\;\;$continua in $A$ \item $(x_0, y_0)\in A, f(x_0,y_0)=0$ \item $\exists f_y\xy,\;\;\forall \xy\in A$ \item $f_y\xy $ continua in $\xyz$ \item \label{hpfyneq0} $f_y\xyz \neq 0$ \end{enumerate} } allora si ha \begin{enumerate} \item $\exists \d,k > 0:\;\;\D=\pqua{\xz-\d, \xz+\d}\*\pqua{\yz-k,\yz+k}\( A$ \item $f_y(x,y) \neq 0\;\;\forall \xy \in \D$ \item $\exists ! \T{ funzione }y:{\pqua{\xz-\d, \xz+\d}}\longrightarrow \pqua{\yz-k,\yz+k}$ tale che \begin{enumerate} \item $y(x)$ e' implicita rispetto a $f(x,y)=0$, ovvero \eal{&(x,y(x))\in A,\; f(x,y(x))=0\;\;\forall x\in \pqua{\xz-\d, \xz+\d}} \item $y(x)$ e' continua in ${\pqua{\xz-\d, \xz+\d}}$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{thm} \begin{prova} \pf\step{}{Troviamo $\D$} \begin{prova} Per l'Hp \ref{hpfyneq0}, possiamo supporre che $\fy \xyz >0$. \eal{& \sist{\fy \xyz >0\\ \fy\T{ continua in }\xyz } \ubrace{\>}{\T{perm segno}} \exists {\ove \d} >0:\;\;\fy\xy > 0\;\;\forall \xy \in I(\xyz, {\ove \d})\( A\;\;(1)\\ } \step{}{Nota su $I(\xyz, {\ove \d})\( A$} \begin{prova} \eal{&A \T{ aperto } \= A=\den{A}\\ &\xyz\in A=\den{A} \> \exists \ove \d':\;I(\xyz, {\ove \d}')\( A\\ } quindi se la permanenza del segno ci da' un raggio $\ove {\ove \d}$, bastera' scegliere ${\ove \d}=\min\{\ove {\ove \d},{\ove \d}'\}$ per avere la $(1)$. \end{prova} Sicuramente esiste il seguente rettangolino dentro il cerchio $I(\xyz, {\ove \d})$: \eal{&\exists h,k >0:\;\;\D'=\pqua{\xz-h,\xz+h}\*\pqua{\yz-k,\yz+k} \( I(\xyz, {\ove \d})\( A\\ &(1) \> \fy\xy > 0\;\;\forall \xy \in \D'\(I(\xyz, {\ove \d})\( A\;\;(1.1) } \step{}{Vediamo che $f(\xz, \yz-k)<0,\;\;f(\xz, \yz+k)>0$} \begin{prova} Consideriamo la funzione $f(\xz, y):\pqua{\yz-k,\yz+k} \longrightarrow \mathbb{R}$, \eal{& \sist{f'(\xz, y)=\fy (\xz,y) \ubrace{>}{(1.1)} 0\;\;\forall y\in \pqua{\yz-k,\yz+k} \\ f\xy\T{ continua in } A\> f(\xz,y)\T{ continua in }\pqua{\yz-k,\yz+k} }\\ &\qq \ubrace{\>}{\T{cor Lagrange}} f(\xz, y) \T{ e' crescente }in \pqua{\yz-k,\yz+k}\\ &f\xyz = 0,\;\;f(\xz, y) \T{ e' crescente } \> \sist{ f(\xz, y) > 0\;\;\forall y\in ]\yz, \yz+k]\\ f(\xz, y) < 0\;\;\forall y\in [\yz-k, \yz[ }\;\;(2) } \end{prova} \eal{&\sist{ f\T{ continua in } A\> f\T{ continua in } (\xz, \yz-k),(\xz, \yz+k)\\ (2) \> f(\xz, \yz-k) < 0,\;\;f(\xz, \yz+k) > 0 } \\ &\qq \ubrace{\>}{\T{perm segno}} \sist{ \exists \d'>0:\;\;f(x,y) <0\;\;\forall \xy \in I((\xz,\yz-k), \d')\( A\;\;(3.1)\\ \exists \d''>0:\;\;f(x,y) >0\;\;\forall \xy \in I((\xz,\yz+k), \d'')\( A\;\;(3.2) }\\ &\T{sia } \d >0:\;\d < \min\pgra{h,\d',\d''},\;\;\D=\pqua{\xz-\delta,\xz+\delta}\*\pqua{\yz-k,\yz+k}\\ &\d < h \> \D \( \D' \> \forall \xy\in \D\;\;\fy\xy >0\;\;(3.3) } \end{prova} \step{stepdefy}{Definiamo $y(x)$} \begin{prova} Fissiamo una $\x\in \pqua{\xz-\delta,\xz+\delta}$, e consideriamo la funzione $f(\x,y):\pqua{\yz-k,\yz+k}$.\\ \eal{&\sist{ f\T{ continua in A} \> f(\x,y)\T{ continua in } \pqua{\yz-k,\yz+k}\\ (\x,\yz-k)\in I((\xz,\yz-k), \d') \ubrace{\>}{(3.1)} f(\x,\yz-k) <0\\ (\x,\yz+k)\in I((\xz,\yz+k), \d'') \ubrace{\>}{(3.1)} f(\x,\yz+k) >0 } \\ &\qq \ubrace{\>}{\T{esistenza zeri}\AII{Edeglizeri}} \exists y(\x) \in \pqua{\yz-k,\yz+k}:\;\;f(\x,y(\x))=0\\ &f'(\x,y)=\fy(\x,y) \ubrace{>}{(3.3)} 0\;\;\forall y\in \pqua{\yz-k,\yz+k} \ubrace{\>}{\T{cor Lagrange}} f(\x,y)\T{ crescente in }\pqua{\yz-k,\yz+k}\\ &\qq\qq \> \exists ! y(\x) \in \pqua{\yz-k,\yz+k}:\;\;f(\x,y(\x))=0 } Nasce cosi' la funzione ben definita $y(x):\pqua{\xz-\delta,\xz+\delta}\longrightarrow \pqua{\yz-k,\yz+k}$ che ad ogni $x\in \pqua{\xz-\delta,\xz+\delta}$ associa l'unico valore $y(x) \in \pqua{\yz-k,\yz+k}$ t.c. $f(x,y(x))=0$. \end{prova} \step{}{Dimostriamo l'unicita' di $y(x)$} \begin{prova} Supponiamo che esista un'altra $\y(x):\pqua{\xz-\delta,\xz+\delta}\longrightarrow \pqua{\yz-k,\yz+k}$ tale che $f(x,\y(x))=0$.\\ Fissiamo una $\x\in \pqua{\xz-\delta,\xz+\delta}$. Come abbiamo visto prima, $\exists ! y^*\in \pqua{\yz-k,\yz+k}:\;f(\x,y^*)=0$, quindi necessariamente si ha \eal{&\y(x)=y^*=y(x)} \end{prova} \step{}{Dimostriamo che $y(x)$ e' continua} \begin{prova} \def\s{{\sigma}} \def\e{{\ove{\varepsilon}}} Fissiamo $\x \in \pqua{\xz-\delta,\xz+\delta}$. Supponiamo per assurdo che $y(x)$ non sia continua in $\x$, ovvero: \eal{&\T{ \emph{non e' vero che} }\forall \varepsilon > 0\exists \s >0:\;\;|y(x)-y(\x)| < \varepsilon \;\;\forall x\in \pqua{\xz-\delta,\xz+\delta}\^ ]\x-\s,\x+\s[\\ &\qq \= \exists \e >0:\;\forall \s > 0\;\exists \xx \in \pqua{\xz-\delta,\xz+\delta}\^ ]\x-\s,\x+\s[:\;\; \;|y(\xx)-y(\x)| \ge \e\;\;(*) } Poiche' $\s$ e' arbitrario, scegliamo $\s=\frac{1}{n}$. Avremo quindi, \eal{& \exists \e >0:\;\forall n\in \mathbb{N}\;\exists \xn \in \pqua{\xz-\d,\xz+\d}\^ ]\x-\frac{1}{n},\x+\frac{1}{n}[:\;\; \;|y(\xn)-y(\x)| \ge \e } Allora, notiamo la successione $\pgra{\xn}$ \eal{&\xn \in ]\x-\frac{1}{n},\x+\frac{1}{n}[ \= \ubrace{\x-\frac{1}{n}}{\to \x} \le \xn\le \ubrace{\x+\frac{1}{n}}{\to \x} \ubrace{\>}{\T{thm del confronto}} \conv{\xn}{\mathbb{R}}{\x}\;\;(4)\\ &\\ &y(\xn)\in \pqua{\yz-k,\yz+k} \> \pgra{y(\xn)}\T{ e' limitata } \> \exists \pgra{y(\xkn)}:\;\;\conv{y(\xkn)}{\mathbb{R}}{\y}\;\;(4.1)\\ &\y \ubrace{\in}{\AII{eser13}} \ove{\pqua{\yz-k,\yz+k}}=\pqua{\yz-k,\yz+k}\;\;(4.2)\\ &\\ &(4) \> \conv{\xkn}{\mathbb{R}}{\x}\;\;(4.3)\\ &(4.2), (4.3) \ubrace{\>}{\AII{thmdirp}} \conv{(\xkn, y(\xkn))}{\rd}{(\x,\y)}\;\;(4.4)\\ &\sist{f\T{ continua in } A\\ (4.4) } \ubrace{\>}{\AII{fcontinuasuccsm}} \conv{f(\xkn, y(\xkn))}{\mathbb{R}}{f(\x,\y)}\\ &y\T{ funz. implicita } \> f(\xkn, y(\xkn))=0\;\;\forall n\in \mathbb{N}\> \conv{f(\xkn, y(\xkn))}{\mathbb{R}}{0}\> f(\x,\y)=0\\ &\T{Per l'unicita' dello zero $y^*:\;f(x,y^*)=0$, vista in \stepref{stepdefy}, si ha: }\\ &\qq \y=y^*=y(\x) \ubrace{\>}{(4.1)} \conv{y(\xkn)}{\mathbb{R}}{y(\x)}\= \forall \varepsilon >0\;\exists v\in \mathbb{N}:\;\forall n>v\;\;|y(\xkn)-y(\x)|< \varepsilon } il che' e' assurdo contro la $(*)$ \end{prova} \qed \end{prova} \begin{cor} \label{cordiniderivydix} Nel contesto del thm di Dini (\see{thmdidini}), supponendo che $f$ sia differenziabile in tutto $A$, si ha che \eal{&\exists y'(x)\;\&\;y'(x)=-\frac{f_x(x,y(x))}{f_y(x,y(x))}\;\; \forall x\in \pqua{x_0-\delta,x_0+\delta} } \end{cor} \begin{prova} \pf \begin{prova} Non dimostriamo che $\exists y'(x)$.\\ Ponendo $(x(t),y(t))=(x,y(x))$, tutte le ipotesi del thm di derivazione di funzioni composte sono verificate (vedi \AII{thmderifcomp}), quindi \eal{&f'(x,y(x))=f_x(x,y(x))+f_y(x,y(x))y'(x)\\ &f(x,y(x))=0\;\;\forall x\in \pqua{x_0-\delta,x_0+\delta} \= f(x,y(x))\T{ e' la funzione identicamente nulla } \> D[f(x,y(x))]=0\\ &0 = f_x(x,y(x))+f_y(x,y(x))y'(x)\\ &y'(x)=-\frac{f_x(x,y(x))}{f_y(x,y(x))} } Nota: il thm di Dini ci assicura che $f_y(x,y(x)) \neq 0\;\;\forall x\in \pqua{x_0-\delta,x_0+\delta}$. \end{prova} \qed \end{prova} \begin{defn} \ilabel{punto regolare} \ilabel{punto singolare} Sia \begin{enumerate} \item $f:A\longrightarrow \mathbb{R},\;\;A\(\rd,A \neq 0,A\T{ aperto}$ \item $f\in \sczn{1}{A}$ \item $\Gamma=\pgra{(x,y)\in A\;|\;f(x,y)=0}$ \end{enumerate} allora, $(x_0,y_0)\in \Gamma$ si dira' \emph{punto regolare per }$\Gamma\= f_x(x_0,y_0) \neq 0\|f_y(x_0,y_0) \neq 0 \= f_x(x_0,y_0)^2 +f_y(x_0,y_0)^2>0$.\\ Un punto $\in \Gamma$ non regolare, si dira' \emph{singolare}. \end{defn} \def\pz{{(x_0,y_0)}} \def\xz{{x_0}} \def\yz{{y_0)}} \begin{cor} \label{cordinicurvageometricacurvaanalitica} Sia \begin{enumerate} \item $f:A\longrightarrow \mathbb{R},\;\;A\(\rd,A \neq 0,A\T{ aperto}$ \item $f\in \sczn{1}{A}$ \item $\Gamma=\pgra{(x,y)\in A\;|\;f(x,y)=0}$ \item $\pz\in\Gamma$ un punto regolare \end{enumerate} allora \eal{&\exists \delta,k>0:\;\;\Delta= \pqua{x_0-\delta,x_0+\delta}\*\pqua{y_0-k,y_0+k}\( A\\ &\Gamma\^\Delta=G_y\T{ e' una curva regolare }\\ &\T{ dove $G_y$ e' il grafico di $y(x):\pqua{x_0-\delta,x_0+\delta}\longrightarrow \pqua{y_0-k,y_0+k}$,}\\ &\qq \T{che e' la funzione implicita data dal thm di Dini}\\ &y(x_0)=y_0 } In altre parole, questo teorema dice che se $\pz$ e' un punto regolare di una curva geometrica $\Gamma$, allora si potra' trovare un suo conveniente intorno, in cui $\Gamma$ e' una curva regolare. \end{cor} \def\fx{{f_x}} \def\fy{{f_y}} \begin{prova} \pf \begin{prova} \eal{&f\in \sczn{1}{A} \ubrace{\>}{thm diff. totale \AII{thmdifftotale} } f\T{ differenziabile in }A\\ &\pz \in \Gamma \= f\pz =0\\ &\pz \T{ e' un pt. regolare } \= \fx\pz \neq 0 \| \fy\pz \neq 0 } Supponiamo $\fy\pz \neq 0$.\\ Tutte le ipotesi del thm di Dini (\see{thmdidini}) sono rispettate, e quindi abbiamo: \begin{enumerate} \item $\exists \d,k > 0:\;\;\D=\pqua{\xz-\d, \xz+\d}\*\pqua{\yz-k,\yz+k}\( A$ \item $f_y(x,y) \neq 0\;\;\forall \xy \in \D$ \item $\exists ! \T{ funzione }y:{\pqua{\xz-\d, \xz+\d}}\longrightarrow \pqua{\yz-k,\yz+k}$ tale che \begin{enumerate} \item $y(x)$ e' implicita rispetto a $f(x,y)=0$, ovvero \eal{&(x,y(x))\in A,\; f(x,y(x))=0\;\;\forall x\in \pqua{\xz-\d, \xz+\d}} \item $y(x)$ e' continua in ${\pqua{\xz-\d, \xz+\d}}$ \end{enumerate} \end{enumerate} Inoltre, per il cor \see{cordiniderivydix}, si ha \eal{&\exists y'(x)\;\&\;y'(x)=-\frac{f_x(x,y(x))}{f_y(x,y(x))}\;\; \forall x\in \pqua{x_0-\delta,x_0+\delta} } \step{}{Verifichiamo che $G_y$ e' una curva regolare} \begin{prova} \eal{&f\in \sczn{1}{A} \> f_x,f_y\T{ continue in }A\\ &f_x(x,y(x)), f_y(x,y(x))\T{ sono funz. continue, perche' composizione di f continue}\\ &y'(x)=-\frac{f_x(x,y(x))}{f_y(x,y(x))}\T{ e' una funzione continua}\;\;(1)\\ &\sist{3.(b)\\ (1)} \> y(x)\in \sczn{1}{\pqua{x_0-\delta,x_0+\delta}} \ubrace{\>}{thm \see{thmgraficofregolare}} G_y\T{ e' una curva regolare} } \end{prova} \step{}{Dimostriamo che $\Delta\^\Gamma=G_y$} \begin{prova} \eal{&\Delta\^\Gamma=\pton{\pqua{\xz-\d, \xz+\d}\* \pqua{\yz-k,\yz+k} }\^\pgra{(x,y)\in A\;|\;f(x,y)=0} \ubrace{=}{\Delta\(A} \pgra{(x,y)\in \Delta\;|\;f(x,y)=0} } Poiche' $y(x)$ e' la funzione implicita per $f(x,y)=0$, abbiamo \eal{&f(x,y(x))=0\;\;\forall x\in \pqua{\xz-\d, \xz+\d} \= f(x,y(x))=0\forall (x,y(x))\in G_y\(\Delta\\ & (x,y(x))\in G_y \> (x,y(x))\in \pgra{(x,y)\in \Delta\;|\;f(x,y)=0}\\ &G_y\(\Delta\^\Gamma } D'altronde, se $(x,y)\in \pgra{(x,y)\in \Delta\;|\;f(x,y)=0}$, per l'unicita' di $y(x)$, si ha che $y=y(x)$, e quindi $(x,y)\in G_y$. \end{prova} \qed \end{prova} \end{prova} \begin{defn}\ilabel{tangente!punto regolare} Nelle ipotesi del cor \see{cordinicurvageometricacurvaanalitica}, definiamo la tangente a $\Gamma$ in $\pz\in \Gamma$, punto regolare, come la tangente alla curva regolare $G_y$ in $(x_0,y_0)=(x_0,y(x_0))$. \end{defn} \begin{prop} \label{propequtangpuntoregolare} L'equazione della tangente a $\Gamma$ in $\pz\in \Gamma$ e' \eal{&f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)=0 } \end{prop} \begin{prova} \pf \begin{prova} Come sappiamo dall'analisi I, la tangente a $G_y$ in $(x_0,y_0)=(x_0,y(x_0))$ e' \eal{&y-y_0=y'(x_0)(x-x_0) \ubrace{\=}{cor \see{cordiniderivydix} } y-y_0=-\frac{f_x(x_0,y(x_0))}{f_{y}(x_0,y(x_0)}(x-x_0)\=\\ &\qq \= y-y_0=-\frac{f_x(x_0,y_0)}{f_{y}(x_0,y_0)}(x-x_0) \=\\ &\qq \= f_{y}(x_0,y_0)(y-y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)=0 } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{exemp} Troviamo la retta tangente a una ellisse in un suo punto.\\ La nostra $f(x,y)=0$ e' \eal{&f(x,y)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\;\;\forall (x,y)\in \rd } Troviamo prima di tutto i suoi punti singolari: \def\P{{(x,y)}} \eal{&\P\T{ e' singolare } \= \sist{\fx\P=0\\ \fy\P=0 }=\sist{\frac{2x}{a^2}=0\\ \frac{2y}{b^2}=0 }\=(x,y)=(0,0) } quindi $(0,0)$ e' l'unico punto singolare e inoltre \eal{& (0,0)\notin \Gamma=\pgra{(x,y)\in \rd\;|\;\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1} } Allora, possiamo applicare la prop \see{propequtangpuntoregolare}, prendendo $\pz \in \Gamma$: \eal{&r:\;\;f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)=0\=\\ &\= \frac{2x_0}{a^2}(x-x_0)+\frac{2y_0}{b^2}(y-y_0)\=\\ &\= \frac{x_0}{a^2}(x-x_0)+\frac{y_0}{b^2}(y-y_0)\=\\ &\= \frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2} \ubrace{=}{\pz\in\Gamma} =1 } In definitiva: \eal{&r:\;\;\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1} \end{exemp} \subsection{Massimo e minimo vincolato} \def\P{{(x,y)}} \def\f{{\varphi}} \begin{defn} Data $f:X\longrightarrow \mathbb{R},\;X\(\rd$, e data $\varphi:X\longrightarrow \mathbb{R}$, con $\Gamma=\pgra{(x,y)\in X\;|\;\f\P =0}$, diremo che \eal{& \pz\in \Gamma \T{ e' un punto di max relativo con vincolo $\f\P=0$ }\=\\ &\qq \=\exists \delta >0:\;\;f\P \le f\pz\;\;\forall \P\in I(\pz, \delta)\^X\^\Gamma \ubrace{=}{\Gamma\(X}I(\pz,\delta)\^\Gamma \\ &\qq \= \exists \delta >0:\;\;f\P \le f\pz\;\;\forall \P\in I(\pz, \delta)\^X:\;\;\f\P=0 } E' da notare che senza l'aggiunta del vincolo $\f\P=0$, avremmo la definizione di max relativo data in Analisi II. In sostanza, il vincolo ci dice che $\pz$ deve essere un massimo relativo, solo per i punti di $\Gamma\(X$.\\ Equivalentemente possiamo dire che $(x_0,y_0)$ e' un punto di massimo relativo con vincolo $\f\P=0$ sse e' un punto di massimo relativo per $f/_\Gamma$, cioe' per la restrizione di $f$ a $\Gamma$. \end{defn} \begin{prop} $\pz\in X$ punto di max relativo $\>\pz $ e' un punto di max relativo con vincolo $\f\P=0$. Non vale il viceversa \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\>$} \begin{prova} Per definizione di max rel: \eal{& \exists \delta >0:\;\;f\P \le f\pz\;\;\forall \P\in I(\pz, \delta)\^X\^\Gamma \ubrace{=}{\Gamma\(X}I(\pz,\delta)\^X } e quindi a maggior ragione \eal{& \exists \delta >0:\;\;f\P \le f\pz\;\;\forall \P\in I(\pz, \delta)\^X\^\Gamma \ubrace{=}{\Gamma\(X}I(\pz,\delta)\^X\^\Gamma } \end{prova} \step{}{Dim $\nLeftarrow $} \begin{prova} Portiamo un controesempio \eal{&X=\rd\\ &f(x,y)=yx^2\\ &\f\P = y+x^2\\ &\Gamma= \pgra{\P\in X\;|\;\f\P=0\= y=-x^2} &\pz = (0,0) } \step{}{$\pz$ e' un punto di max rel con vincolo $\f\P=0$, anzi e' un punto di max assoluto con vincolo} \begin{prova} Infatti, \eal{&f\P = yx^2 \le f\pz=0\;\forall \P \in \Gamma\= \forall \P: y=-x^2\\ &\= -x^2x^2\le 0 \forall x\in \mathbb{R} } che e' certamente vera. \end{prova} \step{}{$\pz$ non e' un punto di max} \begin{prova} Se per assurdo lo fosse, si dovrebbe avere: \eal{ \exists \delta >0:\;\;yx^2\le 0\;\;\forall \P\in I(\pz, \delta)\^X=I(\pz, \delta)} ma basta prendere un punto $\P\in I(\pz, \delta):\;y>0,x \neq 0$ che si ha l'assurdo. \end{prova} \end{prova} \qed \end{prova} \def\f{{\varphi}} \def\gz{{\Gamma_0}} \def\iX{{\den{X}}} \def\pz{{(x_0,y_0)}} \def\p{{(x,y)}} \def\x{{x_0}} \def\y{{y_0}} \def\xz{{x_0}} \def\yz{{y_0}} \def\fx{{f_x}} \def\fy{{f_y}} \def\h{{\varphi}} \def\hx{{\varphi_x}} \def\hy{{\varphi_y}} \def\pyx{{(x,y(x))}} \begin{thm} \ilabel{thm fondamentale max-min vincolati} \label{thmfondmaxminvinc} Teorema fondamentale sui massimi e minimi vincolati.\\ Sia \begin{enumerate} \item $X\(\rd,\;X \neq 0$ \item $f,\f:X\longrightarrow \mathbb{R}$ \item $f,\f\in \sczn{1}{\iX}$ \item $\gz=\pgra{(x,y)\in \iX\;|\;\f(x,y)=0}$ \item $(x_0,y_0)\in \gz$ punto regolare per $\gz$ \item $\pz$ punto di max o min rel per $f\p$ vincolato a $\f\p=0$ \end{enumerate} allora \eal{&\exists ! \lambda\in \mathbb{R}:\;\;\sist{\fx\pz +\lambda\hx\pz=0\\ \fy\pz +\lambda\hy\pz=0 } } Inoltre, $\lambda=-\frac{\fy\pz}{\hy\pz}$ \end{thm} \begin{prova} \pf \begin{prova} Poiche' $(x_0,y_0)\in \gz$ e' punto regolare per $\gz$, possiamo supporre che $\hy\pz \neq 0$. Supponiamo inoltre che $\pz$ sia di max rel. vincolato per $f\p$, ovvero che \eal{&\exists \sigma>0:\;\;f \p \le f\pz\;\;\forall \p \in I(\pz,\sigma):\;\h\p=0\;\;(0) } poiche' $\pz\in \iX$, possiamo scegliere $\sigma$ in modo da avere $I(\pz,\sigma)\(\iX$.\\ Applichiamo il thm di Dini e il cor \see{cordiniderivydix} alla restrizione di $\h$ a $\iX$, ottenendo: \def\d{{\delta}} \def\D{{\Delta}} \begin{enumerate} \item $\exists \d,k > 0:\;\;\D=\pqua{\xz-\d, \xz+\d}\*\pqua{\yz-k,\yz+k}\( \iX$ \item $\h_y(x,y) \neq 0\;\;\forall \xy \in \D$ \item $\exists ! \T{ funzione }y:{\pqua{\xz-\d, \xz+\d}}\longrightarrow \pqua{\yz-k,\yz+k}$ tale che \label{it91891} \begin{enumerate} \item $y(x)$ e' implicita rispetto a $\h\p=0$, ovvero \eal{&(x,y(x))\in \iX,\; \h(x,y(x))=0\;\;\forall x\in \pqua{\xz-\d, \xz+\d}} \label{it123121} \item $y(x)$ e' continua in ${\pqua{\xz-\d, \xz+\d}}$ \item \eal{&\exists y'(x)= -\frac{\hx(x,y(x))}{\hy(x,y(x))}\;\; \forall x\in \pqua{x_0-\delta,x_0+\delta}} \label{it815381} \end{enumerate} \end{enumerate} Consideriamo la funzione $F(x)=f(x,y(x)): \pqua{\xz-\d, \xz+\d}\longrightarrow \mathbb{R}$. Essa e' ben definita perche' $(x,y(x))\in G_y\( \Delta$.\\ \step{}{$x_0$ e' un punto di massimo per $F(x)$} \begin{prova} \pfsketch{ Sfruttiamo la $(0)$: avviciniamo $(x,y(x))$ a $\pz$, in modo da rientrare nell'intorno della $(0)$.}\\ Consideriamo la distanza tra $(x,y(x))$ e $\pz$ \eal{&d_{\rd}(\pyx, \pz)=\sqrt{(x-\x)^2+(y(x)-\y)^2}\;\;\T{ e' una funz. continua, perche' comp. di f continue}\\ &\lim_{x\to x_0}d_{\rd}(\pyx, \pz) = d_{\rd}((x_0,y(x_0)), \pz) \ubrace{=}{y(x_0)=y_0} d_{\rd}(\pz, \pz)=0 < \sigma\\ &\qq \ubrace{\>}{\T{perm del segno}} \exists\delta_1>0:\;\;d_{\rd}(\pyx, \pz)<\sigma\;\;\forall x\in [x-\delta_1,x+\delta_1]\([x-\d,x+\d] } e quindi \eal{&\pyx\in I(\pz,\sigma)\;\;\forall x \in [x-\delta_1,x+\delta_1]\;\;(4) } allora, \eal{&(4), (\ref{it123121}) \ubrace{\>}{(0)} f\pyx \le f\pz\;\;\forall x \in [x-\delta_1,x+\delta_1] } e poiche' \eal{&f\pyx \le f\pz\= F(x)\le F(\x) } abbiamo dimostrato che $x_0$ e' un punto di massimo per $F(x)$. \end{prova} \step{}{Utilizziamo il teorema di Fermat su $F(x)$} \begin{prova} \eal{& \sist{f\in \sczn{1}{\iX} \ubrace{\>}{\AII{thmdifftotale}} f\T{ differenz. in }\iX\\ \exists y'(x)\;\;\forall x \in \pqua{x-\d,x+\d}}\\ &\qq \ubrace{\>}{\AII{thmderifcomp}} \exists F'(x)= \fx \pyx +\fy\pyx y'(x)\;\;\forall x\in \pqua{x-\d,x+\d}\;\;\;(5)\\ &\sist{x_0\in ]x-\d,x+\d[\\ x_0 \T{ pt. di max rel per } F(x)\\ \exists F'(x)\;\;\forall x \in \pqua{x-\d,x+\d} } \\ &\qq\ubrace{\>}{thm di Fermat \AI{thmdifermat}} F'(\x)=0 \= \\ &\qq \qq \= \fx (\x,y(\x)) +\fy(\x,y(\x))y'(\x)= \fx\pz+\fy\pz y'(\x)=0 } A questo punto, per la (\ref{it815381}), possiamo espandere $y'(x)$ \eal{&\fx\pz+\fy\pz y'(\x) =\fx\pz-\frac{\hx\pz}{\hy\pz}\fy\pz } \end{prova} \qedstep \begin{prova} Ponendo \eal{&\lambda=-\frac{\fy\pz}{\hy\pz}} otteniamo \eal{&\fx\pz+\lambda\hx\pz =0 } che e' un punto della tesi. Verifichiamo anche il secondo: \eal{&\fy\pz+\lambda\hy\pz =0\= \fy\pz-\frac{\fy\pz}{\hy\pz}\hy\pz= \fy\pz-{\fy\pz}=0 } Dimostriamo che $\lambda$ e' unico: \eal{&\exists ! \lambda_1\in \mathbb{R}:\;\;\sist{\fx\pz +\lambda_1\hx\pz=0\\ \fy\pz +\lambda_1\hy\pz=0 }\\ & \fy\pz +\lambda_1\hy\pz=0 \ubrace{\>}{\hy\pz \neq 0} \lambda_1=-\frac{\fy\pz}{\hy\pz}=\lambda } \end{prova} \end{prova} \qed \end{prova} \begin{thm}Metodo dei moltiplicatori di Lagrange. \ilabel{moltiplicatori di Lagrange} \label{thmmollagrange} Sia \begin{enumerate} \item $X\(\rd,\;X \neq \0$ \item $f,\f:X\longrightarrow \mathbb{R}$ \item $f,\f\in \sczn{1}{\iX}$ \item $\gz=\pgra{(x,y)\in \iX\;|\;\f(x,y)=0}$ \end{enumerate} si ha \eal{&\pz \T{ e' un punto di estremo rel per }f\p \T{ vincolato a } \f\p=0 \\ &\qq \> \pz \in Y_1\U Y_2 \U Y_3\\ &\T{ dove}\\ &Y_1 = \pgra{\p \in F(X)\^X \;|\;\f\p=0}\\ &Y_2 = \pgra{\p \in \gz \;|\;\p\T{ singolare per }\gz\= \hx\p=\hy\p=0}\\ &Y_3 = \pgra{(x,y)\in \gz \;\Big|\; (x,y,\lambda)\T{ soluzione di } \sist{\fx(x,y) +\lambda\hx(x,y)=0\\ \fy(x,y) +\lambda\hy(x,y)=0\\ \varphi(x,y)=0},\;\;\T{ con } \p\T{ regolare per } \gz,\;\lambda\in \mathbb{R} } } \end{thm} \begin{prova} \pf \begin{prova} Analizziamo tutti i casi che si possono verificare. \eal{&\pz \T{ e' un punto di estremo rel per }f\p \T{ vincolato a } \f\p=0 \ubrace{\>}{\T{ per definizione }} \f\pz =0 } \case{$\pz\in F(X)$} \begin{prova} allora $\pz\in Y_1$. \end{prova} \case{$\pz \notin F(X)$} \begin{prova} \eal{ &\pz \notin F(X),\;\pz \in X \ubrace{\>}{X\-F(X)\(\den{X}} \pz \in \den{X}} \case{$\pz$ singolare} \begin{prova} allora $\pz \in Y_2$ \end{prova} \case{$\pz$ regolare} \begin{prova} Per il thm \see{thmfondmaxminvinc} si ha che $\pz\in Y_3$ \end{prova} \end{prova} \end{prova} \qed \end{prova} \begin{exemp} Un'utile applicazione del thm dei moltiplicatori e' lo studio dei massimi e minimi di $f/_{X_3}$. Dove $X_3=F(X)$, e' l'insieme che si usa durante lo studio dei massimi e minimi assoluti (vedi Analisi II). \end{exemp} \section{Misurabilita' secondo Jordan} \def\rn{{\mathbb{R}^n}} \def\ret{{\mathcal{R}}} \def\pol{{\mathcal{P}}} \def\D{{\Delta}} \begin{defn}\label{rettangolorn} \ilabel{rettangolo di Rn} Un rettangolo chiuso di $\rn$, di vertici principali $a=(a_1,a_2,\dots,a_n),b=(b_1,b_2,\dots,b_n)\in \rn$ e' un insieme del tipo: \eal{&\Delta = \pqua{a_1,b_1}\*\pqua{a_2,b_2}\*\dots\*\pqua{a_n,b_n}= \prod_{i=1}^{n} \pqua{a_i,b_i}\\ &a_i < b_i\;\;i=1,2,\dots,n } Il punto \eal{&c=(c_1,c_2,\dots,c_n)\in \rn:\;\;c_i=\frac{a_i+b_i}{2}\;\;i=1,2,\dots,n } viene chiamato \emph{centro} di $\Delta$.\\ Con $\ret$ indichiamo l'insieme di tutti i rettangoli chiusi di $\rn$.\\ Definiamo la misura di $\Delta$, come \eal{&\mis \D = \prod_{i=1}^{n} b_i-a_i } Per $n=1$, $\mis \D$ e' la lunghezza del segmento $\D$,\\ per $n=2$, $\mis \D$ e' l'area del rettangolo $\D$,\\ per $n=3$, $\mis \D$ e' il volume del parallelepipedo $\D$,\\ \dots \end{defn} \begin{defn} Un \emph{polirettangolo} di $\rn$ e' un insieme del tipo \eal{&\pi = \bigcup_{i=1}^p\Delta_i\\ &\qq \Delta_i \in \ret \;\;i=1,2,\dots,p\\ &\qq \den{\D_i}\^\den{\D_j} =\0 \;\;\T{ per } i \neq j } Con $\pol$ indichiamo l'insieme di tutti i polirettangoli di $\rn$.\\ Definiamo la misura di $\pi$: \eal{& \mis\pi=\sum_{i=1}^{n} \mis \Delta_i } questa definizione non dipende dalla particolare scelta dei rettangolini.\\ \end{defn} \def\x{{x^{*}}} \def\xx{{\ove x}} \def\d{{\delta}} \begin{prop}\label{proprettangoli} Proprieta': \begin{enumerate} \item $\pi,\pi'\in \pol,\;\;\pi\( \pi' \> \mis \pi \le \mis \pi'$ \item $\forall I_{\rn}(\x, r)\;\;\exists \D,\D' \in \ret:\;\;\D \( I_{\rn}(\x, r),\;\;\D' \) I_{\rn}(\x, r)$ \item $\forall \D\in \ret\;\T{ di centro $c$ }\;\;\exists r,r' > 0:\;\;I(c,r) \( \D,\;\;I(c,r') \) \D$ \end{enumerate} \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $1.$} \begin{prova} \eal{&\pi\( \pi' \> \pi'=\pi\U (\pi'\-\pi)\\ &\mis \pi' \ubrace{=}{(*)} \mis \pi+\mis (\pi'\-\pi) \> \mis \pi' \ge \mis \pi } (*) per questa uguaglianza si dovrebbe dimostrare che $\pi'\-\pi$ e' un polirettangolo, e che quindi ha senso prendere la sua misura. \end{prova} \step{}{Dim $2.$} \begin{prova} \step{}{Dim per $\D$} \begin{prova} Fissiamo $I_{\rn}(\x, r)$.\\ Consideriamo il seguente rettangolo $\D$ di centro $c=\x$: \eal{&\D=\prod_{i=1}^{n}[c_i-\delta,c_i+\d],\\ &\T{ con } \delta>0:\;\;\delta \sqrt{n} < r \;\;(1) } Prendiamo un $y\in \D$, e dimostriamo che $y\in I_{\rn}(\x, r)$.\\ \eal{&y\in \D \= y_i \in [c_i-\d,c_i+\d] \= |y_i-c_i| \le \d\;\;(2)\\ &d(c,y)=\sqrt{\sumin (c_i-y_i)^2} \ubrace{\le }{(2)} \sqrt{\sumin \d^2}=\d \sqrt{n} \ubrace{<}{(1)} r\\ &d(c,y) y\in I_{\rn}(c, r)=I_{\rn}(\x, r) } \end{prova} \step{}{Dim per $\D'$} \begin{prova} Fissiamo $I_{\rn}(\x, r)$.\\ Consideriamo il seguente rettangolo $\D$ di centro $c=\x$: \eal{&\D=\prod_{i=1}^{n}[c_i-\delta,c_i+\d],\\ &\T{ con } \delta \ge r \;\;(1) } Prendiamo un $y\in I_{\rn}(\x, r)$, e dimostriamo che $y\in\D'$.\\ \eal{ &y\in I_{\rn}(\x, r)=I_{\rn}(c, r) \= d(c,y) < r \= \sqrt{\sumin (c_i-y_i)^2} < r\\ &|c_j-y_j| \ubrace{\le }{\T{(*)}} \sqrt{\sumin (c_i-y_i)^2} < r \ubrace{\le }{(1)} \d \;\;\;\;j=1,2,\dots,n\\ &|c_j-y_j| < \d \;\;j=1,2,\dots,n \= y \in \D' } (*) per verificare, basta elevare al quadrato. \end{prova} \end{prova} \step{}{Dim $3.$} \begin{prova} \step{}{Dim $\($} \begin{prova} Fissiamo $\D\in \ret$ di centro $c$: \eal{&\D=\prodin \pqua{c_i-\d_i,c_i+\d_i},\\ &\T{ con } \d_i > 0\;\;i=1,2,\dots,n } Sia $0 0\;\;i=1,2,\dots,n } Sia $r' > \sumin \d_i $.\\ Prendiamo un $y\in \D$ e dimostriamo che $y\in I(c,r')$.\\ \eal{&y\in \D \= |c_j-y_j| \le \d_j \;\;j=1,2,\dots,n\;\;(1)\\ & d(c,y) = \sqrt{\sumin (c_i-y_i)^2} \ubrace{\le }{(*)} \sumin |c_i-y_i| \ubrace{\le }{(1)} \sumin \d_i < r'\\ &d(c,y) < r' \> y\in I(c,r') } (*) per verificare, basta elevare al quadrato. \end{prova} \end{prova} \qed \end{prova} \begin{defn} A questo punto diamo le stesse definizioni di misurabilita' date in Analisi II (vedi \AII{j1}), con queste uniche differenze: \begin{enumerate} \item Stiamo lavorando in $\rn$, ovvero $X\( \rn$ \item Stiamo lavorando con polirettangoli e non con poligoni regolari: $\pol$ rappresenta l'insieme dei polirettangoli di $\rn$ \item La possibilita' di trovare un polirettangolo inscritto, o circoscritto a un intorno $I(x,r)$ e' data dalle osservazioni viste in prop. \see{proprettangoli} \end{enumerate} \end{defn} \def\rn{{\mathbb{R}^n}} \begin{prop} \label{propmisurarn} \ilabel{isotonia} \label{propdijordan} Varranno anche le stesse proprieta' della misura di Jordan (vedi \AII{propdijordan}), con l'aggiunta della seguente proprieta': \eal{&T\( \rn, \T{ dominio, limitato e misurabile }, \delta >0\\ &\qq \> \exists \pgra{T_i\;|\;T_i \T{ dominio limitato e misurabile },\;\diam T_i < \delta,\;\;i=1,2,\dots,p} \T{ tale che }\\ &\qq \qq \bigcup_{i=1}^p T_i =T,\;\;\;\; \den{T_i}\^ \den{T_j}=\0 \T{ per } i \neq j } In altre parole, se $T$ e' un dominio limitato e misurabile, possiamo partizionarlo in $p$ dominii, la cui unione da' tutto $T$ e che non hanno punti interni in comune (al massimo si incontrano nelle loro frontiere).\\ (Nota \footnote{$\diam T_i$ e' il diametro dell'insieme $T_i$ (vedi \AII{sec:diametro})}) \end{prop} \subsection{Integrale multiplo} \def\P{{\mathbb{P}}} A questo punto possiamo definire l'integrale multiplo secondo Riemann, ripercorrendo i passi di Analisi II.\\ Sia $f(x):T\longrightarrow \mathbb{R}$ una funzione limitata in $T$, dove $T\( \rn$ e' un dominio limitato e misurabile ($0<\mis T < +\infty $)\\ Una partizione di $T$ si indica con $\P$: \eal{& \P=\pgra{T_i\;|\;T_i\T{ dominio, limitato, misurabile },\;i=1,2,\dots,p} \T{ tale che }\\ &\qq \bigcup_{i=1}^p T_i =T,\;\;\;\; \den{T_i}\^ \den{T_j}=\0 \T{ per } i \neq j } Nota: $f(x)$ limitata in $T$ vuol dire che esistono $h,k\in \mathbb{R}: h\le f(x)\le k\;\forall x\in T$. \[ |\P|=\textrm{ampiezza di $\P$ }= \max \pgra{ \diam T_i,\;\;i=1,2,\dots,p} \] Il massimo esiste: $T_i$ e' un dominio limitato, quindi e' un insieme con punti interni e limitato, allora $0\le \mis T_i < +\infty $.\\ Poiche' $f$ e' limitata in $T$, lo sara' pure in $T_i$, cioe' anche $f/_{T_i}$ e' limitata, quindi: \eal{ & \exists \T{ finito }m_i=\inf f/_{T_i}=\inf_{x\in T_i}f(x)=\inf \pgra{f(x)\;|\;x\in T_i} \\ & \exists \T{ finito } M_i=\sup f/_{T_i}=\sup_{x\in T_i}f(x)=\sup \pgra{f(x)\;|\;x\in T_i} } Definiamo la somma inferiore e la somma superiore: \[ s(f,\P)=\sum_{i=1}^p m_i\mis T_i\qq S(f,\P)=\sum_{i=1}^pM_i\mis T_i \] Al variare di $\P$, partizione di $T$, nascono i seguenti insiemi numerici: \[ A=\pgra{s(f,\P)}_\P\qq B=\pgra{S(f,\P)}_\P \] $A$ e' l'insieme numerico delle somme inferiori, e $B$ quello delle somme superiori. \begin{thm} Dato $T$ dominio limitato e misurabile, \[ f:T\longrightarrow \mathbb{R},\;\textrm{ limitata in $T$}\;\Rightarrow \;A,B \textrm{ sono separati} \] Essere separati vuol dire che \[ \forall x\in A,\;y\in B\;\;x\le y \] \end{thm} \begin{defn} Dato $T\( \rn$ dominio limitato e misurabile, $f:T\longrightarrow \mathbb{R}$ limitata in $T$ \[ f \textrm{ e' integrabile secondo Riemann in }T\;\Leftrightarrow \; \textrm{ $A,B$ sono separati e contigui} \] Essere contigui vuol dire che: \[ \forall \varepsilon>0\;\;\exists x\in A,\;y\in B:\;y-x<\varepsilon \] L'integrale secondo Riemann e' l'elemento di separazione di $A,B$, e si indica con \[ \int_T f(x)\;dx\;:=\;\sup A=\inf B \] Se $n=2$, si puo' usare questo simbolo: \eal{&\iint_T f(x_1,x_2)\;\;dx_1dx_2=\int_T f(x)\;dx } dove $x=(x_1,x_2)$. \end{defn} \begin{thm} \label{ttt13}\qq\\ Dato $T\( \rn$ dominio limitato e misurabile, $f:T\longrightarrow \mathbb{R}$, continua in $T$, allora \begin{enumerate} \item $f$ e' limitata in $T$ \item $f$ e' integrabile secondo Riemann in $T$ \end{enumerate} \end{thm} \begin{prova} \pf \step{}{Dim la $1$} \begin{prova} La $f$ e' continua in $T$. \eal{&T\T{ dominio } \> T\T{ chiuso } } $T$ e' un chiuso limitato di $\rn$, quindi per il cor del teorema di Weierstrass (vedi \AII{corweierstrass}) $f$ ammette minimo e massimo assoluto: \[\exists m = \min{f(T)},\; \;\exists M=\max{f(T)}\] Quindi $f$ e' limitata.\\ \end{prova} \step{}{Dim la $2$} \begin{prova} $f$ e' continua in $T$, allora per il teorema di Cantor-Heine (vedi \AII{cantor-heine}) e' anche uniformemente continua, cioe' \[ \forall \varepsilon > 0\; \exists \delta >0: |f(x)-f(y)|<\varepsilon\;\;\;\forall x,y \in T:\;d(x,y)<\delta \] fissiamo $\varepsilon>0$ e consideriamo $\frac{\varepsilon}{\mis T}$ (che possiamo fare dato che $\mis T>0$): \[ \frac{\varepsilon}{\mis T} > 0\; \exists \delta >0: |f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{\mis T}\;\;\;\forall x,y \in T:\;d(x,y)<\delta \;\;\;(*)\] Adesso prendiamo una partizione $\overline{P}$ di $T$ in modo tale che $|\overline{P}|<\delta$, $|\overline{P}|$ e' l'ampiezza della partizione, cioe': \[|\overline{P}|=\max \pgra{ \diam T_i,\;\;i=1,\dots,n} < \delta\;\Rightarrow \;\diam T_i <\delta\;\forall i=1,\dots,n\] Consideriamo questa differenza: \begin{align*} m_i&=\inf f/_{T_i} \\ &= \min f/_{T_i}\;\textrm{ [per la continuita' di $f$ e per il thm di Weierstrass]}\\ &=f(\eta_i),\;\;\eta_i\in T_i\\ M_i&=\sup f/_{T_i}\\ &= \max f/_{T_i}=f(\xi_i),\;\;\xi_i\in T_i\\ &\eta_i,\;\;\xi_i\T{ sono punti di minimo e di massimo}\\ S(f,\overline{P})-s(f,\overline{P})&= \sum_{i=1}^pM_i\mis T_i-\sum_{i=1}^pm_i\mis T_i= \sum_{i=1}^p(M_i-m_i)\mis T_i\\ &=\sum_{i=1}^p(f(\xi_i)-f(\eta_i))\mis T_i \ubrace{=}{f(\xi_i)-f(\eta_i) >0} \sum_{i=1}^p|f(\xi_i)-f(\eta_i)|\mis T_i \end{align*} Cerchiamo adesso di sfruttare la diseguaglianza dell'uniforme continuita': \begin{align*} &\eta_i,\xi_i \in T_i\subseteq T\\ &d(\xi_i,\eta_i) \le \diam T_i\;\textrm{ [dato che $\xi_i$ e $\eta_i$ sono dentro $T_i$] }\\ &\qq \diam T_i < \delta\;\;\textrm{ [per quello che avevamo visto prima]}\\ &d(\xi_i,\eta_i) < \delta \end{align*} quindi $\xi_i$ e $\eta_i$ rispettano le condizioni della $(*)$, percio' \[|f(\xi_i)-f(\eta_i)|<\frac{\varepsilon}{\mis T}\;\;\forall i=1,2,\dots,p\] maggioriamo adesso la differenza che avevamo prima considerato: \begin{align*} &S(f,\overline{P})-s(f,\overline{P})=\sum_{i=1}^p|f(\xi_i)-f(\eta_i)|\mis T_i < \sum_{i=1}^p\frac{\varepsilon}{\mis T}\mis T_i \ubrace{=}{(**)} \frac{\varepsilon}{\mis T} \mis T=\varepsilon\\ &S(f,\overline{P})-s(f,\overline{P})<\varepsilon \end{align*} (**) $\sum_{i=1}^p \mis T_i=\mis T$ per la proprieta' di finita additivita' (\vedi{propmisurarn}).\\ Quindi $\forall \varepsilon>0$, riusciamo a trovare due partizioni $P_1=P_2=\overline{P}$ tali che $S(f,\overline{P})-s(f,\overline{P})<\varepsilon$. Questo vuol dire che $\pgra{S(f,P)}_P,\;\;\pgra{s(f,P)}_P$ sono due insiemi contigui, percio', in definitiva, $f$ e' integrabile secondo Riemann. \qed \end{prova} \end{prova} \begin{exemp} Dato $T\( \rn$ dominio limitato e misurabile, consideriamo una funzione costante: \eal{&f:T\longrightarrow \mathbb{R}\\ &f(T)=\pgra{c} } $f$ essendo costante, e' continua in $T$, percio' per il thm precedente e' integrabile secondo Riemann.\\ Per ogni partizione $\P$ di $p$ elementi, e $\forall i=1,2,\dots,p$, si ha \eal{&m_i=\inf f_{|T_i} = c\\ &M_i=\sup f_{|T_i}=c\\ &s(f,\P)=\sumip m_i \mis T_i=c\sumip \mis T_i = c\mis T\\ &S(f,\P)=\sumip M_i \mis T_i=c\sumip \mis T_i = c\mis T\\ } quindi \eal{&\sup A =\inf B =\int_T f(x)\;dx =c\mis T } \end{exemp} \subsubsection{Proprieta'} \label{propinr} Date $f,g:T\longrightarrow \mathbb{R}$, integrabili secondo Riemann in $T\( \rn$, dominio, limitato e misurabile. Presi $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$, valgono le seguenti proprieta' \begin{enumerate} \item Proprieta' distributiva dell'integrale esteso: \[ \begin{cases} \alpha f(x)+\beta g(x):T\longrightarrow \mathbb{R}\textrm{ e' integrabile secondo Riemann}\\ \int_{T} \alpha f(x)+\beta g(x)\;dx=\alpha\int_{T} f(x)\;dx+\beta\int_{T} g(x)\;dx \end{cases} \] \item Proprieta' di additivita': data la partizione $\P=\pgra{T_1,T_2,\dots,T_p}$ di $T$, si ha \[ \begin{cases} f\T{ e' integrabile in } T_1,T_2,\dots,T_p\\ \int_T f(x)\;dx=\int_{T_1} f(x)\;dx+\int_{T_2} f(x)\;dx+ \dots \int_{T_p} f(x)\;dx \end{cases} \] \end{enumerate} \subsubsection{Teorema della media} \begin{thm} Dato $T\( \rn$ dominio, limitato, misurabile, data $f:T \longrightarrow \mathbb{R}$, integrabile secondo Riemann, e posto \[ m=\inf f/_T\;\;\;M=\sup f/_T \] si ha \[ m\mis T\le \int_Tf(x)\;dx\le M\mis T \] Se inoltre $f$ e' continua, e $T$ e' connesso, si ha \[ \exists \xi\in T:\;\int_T f(x)\;dx=f(\xi)\mis T \] \end{thm} \begin{prova} \pf \begin{prova} \step{}{Prima parte} \begin{prova} Per Hp $f$ e' integrabile $\Rightarrow f $ e' limitata $\Rightarrow \; \exists \T{ finito }M=\sup f(T),\;\exists\T{ finito } m=\inf f(T)$. Inoltre \[ \int_Tf(x)\;dx=\sup \pgra{s(f, P)}_P=\inf \pgra{S(f,P)}_P\]e quindi\[s(f, P_1)\le \int_Tf(x)\le S(f,P_2)\;\;\forall P_1,P_2\textrm{ part. di }T \] Consideriamo allora $P_1=P_2=\tilde{P}=\pgra{T}$ (la part. banale). Abbiamo che \[ s(f, \tilde{P})\le \int_Tf(x)\;dx\le S(f,\tilde{P}) \] Poiche' $\tilde{P}$ e' la part. banale, abbiamo che sia la somma inferiore sia quella superiore sono formate da un solo elemento: \eal{ &s(f, \tilde{P}) = m_1\mis T \ubrace{=}{m=m_1} m\mis T \\ &S(f, \tilde{P}) = M_1\mis T \ubrace{=}{M=M_1} M\mis T } allora \[ m\mis T \le \int_Tf(x)\le M\mis T \] Questo completa la prima parte della dim. \end{prova} \step{}{Seconda parte: supponiamo adesso che $f$ sia continua e che $T$ sia connesso.} \begin{prova} Poiche' $T$ e' chiuso e limitato, per il cor del thm di Weierstrass (\AII{corweierstrass}) \[ M=\sup f(T)=\max f(T),\;m=\inf f(T)=\min f(T) \] Consideriamo \eal{ & m\mis T \le \int_Tf(x)\le M\mis T \= \min f(T)\mis T \le \int_Tf(x)\le \max f(T)\mis T\\ & \min f(T) \le\frac{1}{\mis T } \int_Tf(x)\le \max f(T)\\ &\T{sia }\gamma = \frac{1}{\mis T } \int_Tf(x) \qq \T{ [che si chiama \emph{media integrale}]}\\ &\sist{\T{$T\( \rn$ e' chiuso e connesso} \\ f\T{ continua in }T } \\&\qq \ubrace{\>}{\T{cor } \AII{thmdeivaloriintermedi}} \T{$f$ assume tutti i valori compresi tra il min e il max}\;\;(**)\\ &\sist{ \min f(T) \le \gamma\le \max f(T)\\ (**) } \> \exists \xi\in T:\;f(\xi)=\gamma=\frac{1}{\mis T } \int_Tf(x)\;\Rightarrow \;\int_Tf(x)=f(\xi)\mis T } \end{prova} \qed \end{prova} \end{prova} \begin{cor} \label{cor1riem} Dato $T\( \rn$ dominio, limitato, misurabile, data $f:T \longrightarrow \mathbb{R}$, integrabile secondo Riemann, \[ \forall x \in T\;\;f(x) \ge 0\;\Rightarrow \;\int_T f(x)\;dx \ge 0 \] \[ \forall x \in T\;\;f(x) \le 0\;\Rightarrow \;\int_T f(x)\;dx \le 0 \] \end{cor} \begin{prova} \pf \step{}{Dim. la $1$} \begin{prova} Poiche' almeno $0$ e' un minorante di $f(T)$ \[ f(x) \ge 0\;\;\forall x \in [a,b]\;\Rightarrow \; m=\inf f(T) \ge 0 \] allora per il thm della media: \[ m\mis T \le \int_Tf(x)\;dx \] ma poiche' $T$ ha punti interni ed e' limitato, $\mis T>0$ e $m\ge 0$, quindi \[ 0 \le m\mis T\le \int_Tf(x)\;dx \] \qed \end{prova} \end{prova} \begin{cor} \label{corminoreuguale} Dato $T\( \rn$ dominio, limitato, misurabile. Date $f,g:T \longrightarrow \mathbb{R}$, integrabili secondo Riemann in $T$, \[ f(x)\le g(x)\;\forall x\in T\;\Rightarrow \;\int_T f(x)\;dx\le \int_T g(x)\;dx \] \end{cor} \begin{prova} \pf \begin{prova} Consideriamo $\varphi(x)=f(x)-g(x) \le 0$. Per le proprieta' \see{propinr}, \[ \int_T \varphi(x)=f(x)-g(x)\;dx=\int_T f(x)\;dx-\int_T g(x)\;dx \] per il corollario \see{cor1riem}, \[ \int_T\varphi(x)\;dx\le 0\;\Leftrightarrow \;\int_T f(x)\;dx-\int_T g(x)\;dx\le 0\;\Leftrightarrow \;\int_T f(x)\;dx\le \int_T g(x)\;dx \] \end{prova} \qed \end{prova} \begin{cor} \label{cor5riem} Dato $T\(\rn $ dominio, limitato e misurabile. Data $f:{T}\longrightarrow \mathbb{R}$, integrabile secondo Riemann, valgono queste due proposizioni: \begin{enumerate} \item $|f(x)|:{T}\longrightarrow \mathbb{R}$ e' integrabile secondo Riemann \item \[ \left|\int_T f(x)\;dx\right| \le \int_T |f(x)|\;dx \] \end{enumerate} \end{cor} \begin{prova} \pf \step{}{Dimostriamo solo la $2.$} \begin{prova} Per le proprieta' del valore assoluto: \[ -|f(x)| \le f(x)\le |f(x)|,\;\;\forall x\in {T} \] allora integrando ogni membro, e usando il corollario \see{corminoreuguale}, \[ \int_T -|f(x)|\;dx \le \int_T f(x)\;dx \le \int_T |f(x)|\;dx \] che per la proprieta' distributiva: \[ -\int_T |f(x)|\;dx \le \int_T f(x)\;dx \le \int_T |f(x)|\;dx \] e per la proproprieta' del valore assoluto \[ \Big|\int_T f(x)\;dx\Big| \le \int_T |f(x)|\;dx \] \end{prova} \qed \end{prova} \subsection{Cilindroidi a tre dimensioni} \def\rtre{{\mathbb{R}^3}} \ilabel{cilindroide} Le definizioni, i teoremi e le dimostrazioni dei cilindroidi di $\mathbb{R}^3$ sono l'analogo dei rettangoloidi di $\rd$ (vedi \AII{rettangoloide}). \\ \ilabel{trapezoide} \ilabel{rettangoloide} \begin{defn} Dato $T\( \rd$, dominio, misurabile, limitato. Data $f:{T}\longrightarrow \mathbb{R}$, limitata in $T$, con $f(x,y) \ge 0\; \forall (x,y) \in {T}$, definiamo il \emph{cilindroide} di $f$ relativo alla \emph{base} ${T}$: \[ C(f)=\pgra{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\;|\; (x,y)\in {T},\;0\le z\le f(x,y)} \] In sostanza, $C(f)$ e' la porzione dello spazio che sta' sotto il grafico di $f(x,y)$. Nota che $f(x,y) \ge 0$ \end{defn} \begin{prop} $C(f)$ e' limitato. \end{prop} \begin{prova} \pf $T$ e' limitato, quindi possiamo trovare un rettangolo $\Delta'$ di $\rd$ che lo contenga. Allora, basta considerare il parallelepipedo che ha per base $\Delta'$ e altezza $M> \sup f_{|T}$ (il sup e' finito perche' $f$ e' limitata.): \eal{&\Delta = \Delta'\*[0,M]} \\ Si verifica subito che $\Delta \) C(f)$. Poiche' il parallelepipedo corrisponde ad un rettangolo di $\rtre$, per le prop. dei rettangoli (\vedi{proprettangoli}) esiste un intorno $I$ di $\rtre$. Quindi\\ \eal{&I\) \Delta \) C(f) \> C(f)\T{ e' limitato }} \qed \end{prova} \begin{thm} \label{thmtrap} \label{thmcilindroide} \[ \begin{cases} T\( \rd,\T{ dominio, misurabile, limitato} \\ f:{T}\longrightarrow \mathbb{R},\;\textrm{ continua}\\ f(x,y) \ge 0\; \forall (x,y) \in {T} \end{cases}\;\Rightarrow \; \begin{cases} C(f)\textrm{ e' misurabile}\\ \mis C(f)=\iint_{T} f(x,y)\;dx\;dy \end{cases} \] \end{thm} \subsection{Insieme normale} \begin{defn} \ilabel{insieme!normale} Dato $T\( \rd$, dominio, misurabile, limitato. Data $f:{T}\longrightarrow \mathbb{R}$ e $g:{T}\longrightarrow \mathbb{R}$, con $g(x,y) \ge f(x,y) \; \forall (x,y)\in {T}$. Definiamo l'\emph{insieme} normale di $f,g$ rispetto al piano $z=0$: \[ C(f,g)=\left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\;|\; (x,y)\in {T},\;f(x,y)\le z\le g(x,y)\right\} \] In altre parole, $C(f,g)$ e' l'insieme dei punti compresi tra il grafico di $g$ (che sta' sopra) e il grafico di $f$.\\ Definiamo l'\emph{insieme} normale di $f,g$ rispetto al piano $x=0$: \[ C(f,g)=\left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\;|\; (x,y)\in {T},\;f(y,z)\le x\le g(y,z)\right\} \] \end{defn} \begin{lem} \label{lemmadim1} Sia dato $T\( \rd$, dominio limitato e misurabile.\\ Indicando con $G_f$ il grafico della funzione $f:T\longrightarrow \mathbb{R}$, continua in $T$: \[G_f=\pgra{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\;|\;(x,y)\in T,\;z=f(x,y)}\] valgono le seguenti proposizioni: \begin{enumerate} \item $\den{G_f}=\emptyset$ \item $G_f$ e' misurabile secondo Jordan e $\mis G_f=0$ \end{enumerate} \end{lem} \begin{thm} \[ \sist{\T{$T\( \rd$, dominio, limitato e misurabile.}\\ f,g:{T}\longrightarrow \mathbb{R}\T{ continue in }T\\ g(x,y) \ge f(x,y) \; \forall (x,y)\in {T} } \> \begin{cases} 1.\;\;C(f,g) \textrm{ e' misurabile}\\ 2.\;\;\mis C(f,g)=\iint_{T} g(x,y)-f(x,y)\;dx\;dy \end{cases} \] \end{thm} \begin{prova} \pf \step{p1}{Dimostriamo il thm nel caso in cui $f(x,y) \ge 0 \;\forall (x,y)\in {T}$} \begin{prova} Osserviamo che \begin{align*} &g(x,y) \ge f(x,y)\;\forall (x,y)\in{T}\;\Rightarrow \;C(f)\subseteq C(g)\;\;(1)\\ &\qq \;\Rightarrow \; \mis C(f) \le \mis C(g)\;\textrm{ [propr. di isotonia, vedi \see{isotonia}]}\\ &g(x,y) \ge f(x,y) \ge 0\;\forall (x,y)\in{T}\;\;(2)\\ &\\ &C(f,g)=[C(g)\setminus C(f)]\cup G_f\;\;(3)\\ &\qq \den{G_f}=\emptyset \;\;\textrm{ [per il lemma \see{lemmadim1}]}\\ &\qq \mis G_f = 0\;\;\textrm{ [per lo stesso lemma]]} \end{align*} Per la $(2)$ e per la continuita' di $f,g$, applichiamo il thm \see{thmtrap} su $f,g$: \begin{align*} &\mis C(f)=\iint_{T}f(x,y)\;dxdy\\ &\mis C(g)=\iint_{T}g(x,y)\;dxdy \end{align*} $C(f), C(g)$ sono misurabili, allora dalla $(1)$ e $(3)$ e per le varie proprieta' della misura (vedi \see{isotonia}), si ha: \begin{align*} \mis C(f,g)&=\mis [C(g)\setminus C(f)]\cup G_f =\mis[C(g)\setminus C(f)] +\underbrace{\mis G_f}_{=0}= \mis C(g)-\mis C(f)\\ &= \iint_{T}g(x,y)\;dxdy-\iint_{T}f(x,y)\;dxdy= \iint_{T}g(x,y)-f(x,y)\;dxdy \end{align*} \end{prova} \step{}{Dimostriamo il caso $f(x,y) <0 \;\T{ per qualche } (x,y)\in {T}$} \begin{prova} Trasliamo $f,g$ in modo da avere $G_f,G_g \ge 0$, per poi applicare il thm \see{thmtrap}: \begin{align*} &m=\min f({T})\;\textrm{ [che esiste perche' $f$ e' continua]}\\ &\qq f(x,y) <0 \;\T{ per qualche } (x,y)\in {T}\;\Rightarrow \;m <0\\ &f_1(x,y)=f(x,y)-m\\ &g_1(x,y)=g(x,y)-m\\ &m\le f(x,y)\;\forall (x,y)\in {T}\;\Rightarrow \;f(x,y)-m\ge 0\;\forall (x,y)\in {T}\\ &\qq g(x,y) \ge f(x,y)\;\forall (x,y)\in {T}\;\Rightarrow \;g(x,y)-m\ge f(x,y)-m\ge 0\;\forall (x,y)\in {T} \end{align*} A questo punto possiamo applicare i risultati del passo \stepref{p1}: $T(f_1,g_1)$ e' misurabile, e inoltre \eal{ &\mis T(f_1,g_1)=\iint_{T}g_1(x,y)-f_1(x,y)\;dxdy=\\ &= \iint_{T}g(x,y)-m-f(x,y)+m\;dxdy=\iint_{T}g(x,y)-f(x,y)\;dxdy } Poiche' $T(f_1,g_1)$ e' una traslazione di $C(f,g)$, per la quinta proprieta' della misura (vedi \see{isotonia}), si ha: \[ \mis C(f,g)=\mis T(f_1,g_1) \] \end{prova} \qed \end{prova} \begin{thm} \label{thmdominiodentrodominio} \eal{& \sist{T,T' \( \rd \T{ domini limitati e misurabili}\\ T' \( T\\ f(x,y):T\longrightarrow \mathbb{R}\T{ continua in }T\\ f(x,y) \ge 0 \;\;\forall (x,y) \in T } \> \iint_{T'} f(x,y)\;dx\;dy\le \iint_{T}f(x,y)\;dx\;dy } si puo' provare che questo teorema vale anche in $\rn$ \end{thm} \begin{prova} \pf \begin{prova} Siano $C,C'$ i cilindrodi relativi a $f$ rispetto alla base $T,T'$ \eal{&T' \( T \> C' \( C \ubrace{\>}{\T{prop. di isotonia}} \mis C' \le \mis C \ubrace{\=}{thm \see{thmtrap}} \iint_{T'} f(x,y)\;dx\;dy \le \iint_{T} f(x,y)\;dx\;dy } \end{prova} \qed \end{prova} \subsection{Formule di riduzione} \def\a{{\alpha}} \def\b{{\beta}} \begin{prop} \label{formularidintdoppi} \textbf{Formula di riduzione per integrali doppi}\\ Siano $\a(x),\b(x):[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ funzioni continue in $[a,b]$ con $\a(x)<\b(x) \;\;\forall x\in ]a,b[$. Questa ipotesi assicura che $\a(a)\le \b(a),\;\;\a(b)\le \b(b)$ (nota \footnote{ infatti, basta prendere limite per $x\to a^+$ e poi per $x\to b^-$ nella disuguaglianza $\a(x)<\b(x)\;\;\forall x\in ]a,b[$.})\\ Sia \eal{& T=T(\a,\b)=\pgra{(x,y)\in \rd \;|\; x\in [a,b],\;\;\a(x)\le y\le \b(x)}} ovvero, $T$ e' l'insieme normale di $\a,\b$ rispetto all'asse delle $x$ e di base $[a,b]$ (vedi analisi II).\\ Si dimostra che $T$ e' un dominio limitato e misurabile di $\rd$.\\ Allora, data la funzione \eal{&f(x,y):T \longrightarrow \mathbb{R}\T{ continua in }T} vale la seguente formula: \eal{&\iint_T f(x,y)\;dx\;dy \definizione{=} \intd{a}{b} \pton{\intd{\a(x)}{\b(x)} f(x,y)\;dy} \;dx \definizione{=} \intd{a}{b}dx\;\intd{\a(x)}{\b(x)} f(x,y)\;dy } dove \eal{&H(x)=\intd{\a(x)}{\b(x)} f(x,y)\;dy\\ &H(x):[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}} e' una funzione reale continua definita nel seguente modo: \eal{& H(\ove x)=\sist{\intd{\a(\ove x)}{\b(\ove x)} f(\ove x,y)\;dy & \ove x \in ]a,b[\\ \sist{0&\a(a)=\b(a)\\ \intd{\a(\ove x)}{\b(\ove x)} f(\ove x,y)\;dy &\a(a)< \b(a)} &\ove x=a\\ \sist{0&\a(b)=\b(b)\\ \intd{\a(\ove x)}{\b(\ove x)} f(\ove x,y)\;dy &\a(b)< \b(b)} &\ove x=b } \= H(\ove x)= \sist{0 & \alpha(\ove x)=\b(\ove x)\\ \intd{\a(\ove x)}{\b(\ove x)} f(\ove x,y)\;dy &\T{ altrimenti}} } Nota: $\ove x$ rappresenta la $x$ fissata. $f(\ove x,y)$ e' quindi una funzione nella $y$ definita in $[\a(\ove x),\b(\ove x)]$.\\ Nei casi in cui $\a(a)=\b(a)$ (o $\a(b)=\b(b)$), abbiamo che $f(\ove x,y)$ resta definita solo nel punto $\a(a)$ (o $\a(b)$). Ecco perche' non possiamo piu' considerare il suo integrale definito e poniamo $H(a)=0$ (o $H(b)=0$).\\ \textbf{Interpretazione geometrica}: supponiamo che $\a(x),\b(x),f(x,y) \ge 0$ nei loro intervalli di definizione. Fissiamo un $\ove x \in [a,b]$. $H(\ove x)$ e' l'area del trapezoide che risulta essere l'intersezione del piano tridimensionale $x=\ove x$ con il cilindroide $C(f)$. Variando le $\ove x\in [a,b]$ stiamo percio' sezionando $C(f)$ con i piani $x=\ove x$. Di ogni sezione, stiamo calcolando l'area. A questo punto sommiamo tutte queste infinite aree con l'ultimo integrale in $[a,b]$.\\ Analogamente, se $T$ e' un insieme normale rispetto all'asse $y$: \eal{&\a(y),\b(y):[c,d]\longrightarrow \mathbb{R}\\ &T(\a,\b)=\pgra{(x,y)\in \rd\;|\;y\in [c,d],\;\;\a(y)\le x\le \b(y)} } abbiamo \eal{&\iint_T f(x,y)\;dx\;dy \definizione{=} \intd{a}{b} \pton{\intd{\a(y)}{\b(y)} f(x,y)\;dx} \;dy \definizione{=} \intd{a}{b}dy\;\intd{\a(y)}{\b(y)} f(x,y)\;dx } \end{prop} %\begin{prova} % \pf % \step{}{Dimostriamo la formula di riduzione per integrali doppi} % \begin{prova} %Siamo nelle ipotesi della proposizione \see{formularidintdoppi}: %\eal{&\a(x),\b(x):[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}\T{ continue in $[a,b]$ con %$\a(x)<\b(x) \;\;\forall x\in ]a,b[$}\\ %&T=T(\a,\b)=\pgra{(x,y)\in \rd \;|\; x\in [a,b],\;\;\a(x)\le y\le \b(x)}\\ %&f(x,y):T \longrightarrow \mathbb{R}\T{ %continua in }T\\ %&H(x)=\intd{\a(x)}{\b(x)} f(x,y)\;dy= \sist{0 & \alpha(\ove x)=\b(\ove x)\\ %\intd{\a(\ove x)}{\b(\ove x)} f(\ove x,y)\;dy &\T{ altrimenti}}\\ %&H(x):[a,b]\longrightarrow \mathbb{R},\T{ si puo' dimostrare che $H(x)$ e' continua in $[a,b]$} %} %Vogliamo dimostrare che %\eal{&\intd{a}{b}H(x)\;dx = \iint_Tf(x,y)\;dxdy %} %\def\PP{{\ove \P}} %\step{}{Dimostriamo che $\intd{a}{b}H(x)\;dx \le \iint_Tf(x,y)\;dxdy$} %\begin{prova} %Bastera' trovare un somma superiore $S(H,\PP)$ di $H$ in $[a,b]$, tale che %\eal{&S(H,\PP) \le S(f,\P)\;\;\;\forall \P\T{ partizione di }T\;\;(1)} %infatti, %\eal{&(1) \> S(H,\PP) \le \inf\pgra{S(f,\P)}_{\P} = \iint_Tf(x,y)\;dxdy\\ %&\intd{a}{b}H(x)\;dx =\inf \pgra{S(H,\PP) }_{\PP} \le S(H,\PP) \le %\iint_Tf(x,y)\;dxdy\\ %&\intd{a}{b}H(x)\;dx \le \iint_Tf(x,y)\;dxdy %} %Procediamo.\\ %Le partizioni $\P$ %di $T$ che considereremo saranno solo %quelle del tipo: %\eal{&\P=\pgra{T_0,\dots,T_r}\;\;(2)\\ %&T_j=T(\alpha,\beta)\T{ dominio normale di base %$[t_{j},t_{j+1}]$}\;\;\;\;\forall j=0,1,\dots,r\\ %&\T{dove } \pgra{t_0,\dots,t_r,t_{r+1}} \T{ e' una partizione di }[a,b]} %Questo non compromettera' la validita' della dimostrazione: infatti, poiche' $T$ e' il dominio normale $T(\alpha,\beta)$ di base $[a,b]$, e' %possibile ricondurre una partizione $\P$ di $T$ in una partizione $\P'$ del %tipo $(2)$, in modo tale che: %\eal{&S(f,\P)=S(f,\P')} %Fissiamo quindi una partizione $\P=\pgra{T_0,\dots,T_r}$ di $T$, del tipo %$(2)$.\\ %\def\t{{\ove t}} %Sia %\eal{&\PP=\pgra{\t_0,\t_1,\dots,\t_{(r+1)k}}\T{ una partizione di $[a,b]$ tale %che}\\ %&\qq \t_{kj} = t_j\;\;\forall j=0,1,\dots,r+1\\ %&\qq \T{ dove $k\ge 2$} %} %\def\M{{\ove M}} %\eal{& %S(H,\PP)= %\sum_{i=1}^{(r+1)k} \M_i(\t_{i}-\t_{i-1}) = %\sum_{j=1}^{r+1} \pton{\sum_{i=k(j-1)+1}^{kj} \M_i(\t_{i}-\t_{i-1}) %}\;\;(3)\\ %&\T{ dove } \M_i = \sup_{x\in [\t_{i-1},\t_i]}H(x) \ubrace{=}{\T{$H(x)$ e' %continua}} \max_{x\in [\t_{i-1},\t_i]} %H(x) \ubrace{=}{x_i\T{ punto di max}} H(x_i) \\ %&\qq \M_i=H(x_i)\;\;(3.1)\\ %&S(f,\P) = %\sum_{j=1}^{r} M_j\mis T_j \\ %&\T{ dove } M_j \ubrace{=}{\T{ f e' continua }} \max_{(x,y)\in T_j} f(x,y)\\ %&\qq T_j=T(\a,\b)\T{ dominio normale di base $[t_j,t_{j+1}]$ }\> \mis T_j= %\intd{t_{j}}{t_{j+1}} \b(x)-\a(x)\;dx %} %\def\Mt{{\tilde{M}}} %\step{}{ %Dimostriamo che %\eal{&\M_i \le \Mt_iM_{j-1}\;\;\;\\ %&\qq\qq\forall i=k(j-1)+1,k(j-1)+2,\dots,kj\;\;(4)\\ %&\T{ dove } \Mt_i = \max_{x\in [\t_{i-1},\t_i]}\b(x)-\a(x)} } %\begin{prova} % \linea\\ % % \eal{&\M_i \ubrace{=}{(3.1)} H(x_i) = % \intd{\a(x_i)}{\b(x_i)}f(x_i,y)\;dy} %Supponiamo $x_i \neq a$ e $x_i \neq b$, allora $H(x_i)$ coincide con %l'integrale definito, anzi poiche' $\a(x_i)<\b(x_i)$, coincide con l'integrale %esteso. Possiamo quindi usare il teorema della media: %\def\x{{\xi}} %\eal{&\exists \x_i\in [\a(x_i),\b(x_i)]:\;\; %\intd{\a(x_i)}{\b(x_i)}f(x_i,y)\;dy = f(x_i,\x_i)(\b(x_i)-\a(x_i))\\ %&\sist{x_i\in [\t_{i-1},\t_i]\( \pqua{t_{j-1},t_j}\\ %\xi_i\in [\a(x_i),\b(x_i)]\\ %T_{j-1}=T(\a,\b)\T{ di base }[t_{j-1},t_{j}] %} \> (x_i,\x_i)\in T_{j-1}\;\;(4.1)\\ %&\M_i=(\b(x_i)-\a(x_i))f(x_i,\x_i) \ubrace{\le }{x_i\in [\t_{i-1},\t_i]} \pton{ \max_{x\in %[\t_{i-1},\t_i]}\b(x)-\a(x)}f(x_i,\x_i) = \Mt_if(x_i,\x_i) %\ubrace{\le}{(4.1)} \Mt_iM_{j-1} %} %\end{prova} % %\end{prova} % % \end{prova} %\end{prova} \begin{lem} \label{lemmatripli} Sia $X\( \rd$ dominio limitato, allora \eal{&X\( \rd \T{ dominio limitato } \> \sist{\exists \T{ finito } M=\sup \pgra{y\in \mathbb{R}\;|\;(x,y)\in X} \\ \exists \T{ finito } m=\inf \pgra{y\in \mathbb{R}\;|\;(x,y)\in X} \\ m < M } } Vale un risultato analogo per $X \( \rn$. \end{lem} \begin{prova} \pf \def\xz{{x_0}} \def\yz{{y_0}} \step{}{$X\T{ limitato } \> \exists \T{ finito }m,M$} \begin{prova} \eal{&X\T{ limitato } \ubrace{\>}{\see{proprettangoli}} \exists \Delta=[a_1,b_1]\*[a_2,b_2]:\;\;X\( \Delta \\ &\qq \> \sist{ \exists \T{ finito } M=\sup \pgra{y\in \mathbb{R}\;|\;(x,y)\in X} \le b_2\\ \exists \T{ finito } m=\inf \pgra{y\in \mathbb{R}\;|\;(x,y)\in X} \ge a_2 }} \end{prova} \step{}{$X \T{dominio } \> \exists P=(x_0,y_0)\in \den{X}$} \begin{prova} \eal{&X\T{ dominio } \> X \neq \0, \;\;X\(D(\den{X}) } allora se prendiamo un $x\in X\( D(\den{X})$, per la def. di derivato abbiamo: \eal{&\forall r>0\;\;I(x,r)\^\den{X}\-\pgra{x} \neq \0 \ubrace{\>}{\T{ fissato }r} \exists P \in \den{X}} \end{prova} \step{}{Dimostriamo che $(x,m) \in X \> (x,m) \in F(X)$} \begin{prova} \def\yy{{\ove y}} Per la prop \TOP{propAdominioimplicaAeqFAvDenA} vista in topologia, abbiamo: \eal{&X \T{ dominio } \> X \T{ chiuso } \ubrace{\>}{\TOP{propAdominioimplicaAeqFAvDenA} } X=F(X)\U \den{X}\\ &(x,m)\in X \> (x,m)\in F(X) \| (x,m)\in \den{X} } Se per assurdo $(x,m)\in \den{X}$, si ha \eal{&(x,m) \in \den{X} \> \exists r > 0:\;I((x,m),r) \( X\\ &\T{Sia }\varepsilon:\; 0<\varepsilon \inf\pgra{y\;|\;(x,y)\in X } \le m-\varepsilon \= m \le m-\varepsilon \= 0\ge \varepsilon } Assurdo. Quindi $(x,m)\in F(X)$. \end{prova} \qedstep \begin{prova} \eal{& P=(x_0,y_0)\in \den{X} \( X } Se per assurdo $y_0=m$, allora, per quanto abbiamo visto nel passo precedente, avremo: \eal{&(x_0,y_0)\in F(X)} ma questo e' assurdo, perche $F(X)\^\den{X}=\0$.\\ Quindi $y_0 \neq m$.\\ Allora, \eal{&m=\inf \pgra{y\in \mathbb{R}\;|\;(x,y)\in X} \> m \le y_0 \ubrace{\>}{y_0 \neq m} m < y_0 } e in definitiva: \eal{&m< y_0 \le M \> m}{\T{per Hp}} \a(\x,\y) < \b(\x,\y) \> \exists [\a(\x,\y),\b(\x,\y)]\\ &\sist{f\T{ continua in X }\\(\x,\y)\in T} \> f(\x,\y,z):[\a(\x,\y),\b(\x,\y)] \longrightarrow \mathbb{R}\T{ continua } \> \exists \intd{\a(\x,\y)}{\b(\x,\y)}f(\x,\y,z)\;dz } Si puo' dimostrare che $H(\x,\y)$ e' continua in $T$ e che \eal{& \iiint_X f(x,y,z)\;dxdydz = \iint_T H(x,y)\;dxdy \definizione{= } \iint_T\;dxdy\intd{\a\xy}{\b\xy}\;f(x,y,z)\;dz} Questa e' la formula di riduzione per proiezione rispetto al piano $z=0$.\\ Analogamente valgono le formule rispetto agli altri piani: \eal{&\iiint_X f(x,y,z)\;dxdydz = \iint_{T'}\;dydz\intd{\a(y,z)}{\b(y,z)}\;f(x,y,z)\;dx \\ &\iiint_X f(x,y,z)\;dxdydz = \iint_{T''}\;dxdz\intd{\a(x,z)}{\b(x,z)}\;f(x,y,z)\;dy } \end{prop} \subsection{Solido di rotazione} \begin{prop} Sia data una funzione $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$, continua in $[a,b]$. Facendo ruotare $G_f$ attorno all'asse $\vec{x}$ otteniamo un dominio limitato e misurabile di rotazione: \eal{& T=\pgra{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3\;|\;d((x,y,z),\vec{x}) \le |f(x)|,\;\;x\in [a,b]} = \pgra{ (x,y,z) \in \rtre\;|\;\sqrt{y^2+z^2} \le |f(x)|,\;\;x\in [a,b] } } Il volume di tale dominio e' \eal{&\mis T = \pi\intd{a}{b}f(x)^2\;dx } \end{prop} \begin{proof} Procediamo per sezione\footnote{$\pi(x,y,z)=(y,z)$}: \eal{&T_{\ove x } = \pi_x(T\^ \pgra{(x,y,z)\in \rtre\;|\; x=\ove x }) = \pgra{ (y,z)\in \rd \;|\; y^2+z^2 \le f(\ove x)^2}\\ &\mis T_{x} = \pi f(x)^2\qq \qq \T{$T_x$ e' un cerchio di raggio $f(x)$}\\ &\mis T = \iiint_{T}\;dxdydz = \intd{a}{b} \;dx\iint_{T_x}\;dydz = \intd{a}{b}\pi f(x)^2\;dx = \pi \intd{a}{b}f(x)^2\;dx } \end{proof} \subsection{Baricentro e momento} \begin{defn} Dato $T$ dominio di $\rd$ limitato e misurabile, si definisce il suo baricentro $P_0$: \eal{&P_0=(x_0,y_0)\in \rd\\ &x_0=\frac{\iint_T x\;dx\;dy}{\mis T},\qq y_0=\frac{\iint_T y\;dx\;dy}{\mis T} } \end{defn} \begin{defn} Dato $X$ dominio di $\rt$ limitato e misurabile, si definisce il suo baricentro $P_0$: \eal{&P_0=(x_0,y_0,z_0)\in \rt\\ &x_0=\frac{\iiint_X x\;dx\;dy\;dz}{\mis X},\qq y_0=\frac{\iiint_X y\;dx\;dy\;dz}{\mis X},\qq z_0=\frac{\iiint_X z\;dx\;dy\;dz}{\mis X} } Se consideriamo la densita' di massa variabile, espressa dalla funzione \eal{&\mu(x,y,z):X\longrightarrow \mathbb{R}} avremo \eal{&P_0=(x_0,y_0,z_0)\in \rt\\ &x_0=\frac{\iiint_X x\mu(x,y,z)\;dx\;dy\;dz}{M},\qq y_0=\frac{\iiint_X y\mu(x,y,z)\;dx\;dy\;dz}{M},\qq z_0=\frac{\iiint_X z\mu(x,y,z)\;dx\;dy\;dz}{M}\\ &M=\iiint_X\mu(x,y,z)\;dxdydz\T{ massa totale}} Se $\mu(X)=\pgra{1}$, si ricava la definizione data prima. \end{defn} \begin{prop} Sia $X$ dominio di $\rn$. Se $X$ e' simmetrico rispetto all'iperpiano coordinato $\pgra{x_i=0}$, ovvero \eal{&(y_1,y_2,\dots,y_{i-1},y_i,y_{i+1},\dots,y_n)\in X \> (y_1,y_2,\dots,y_{i-1},-y_i,y_{i+1},\dots,y_n)\in X } allora $P_i=0$, dove $P$ e' il baricentro di $X$.\\ \end{prop} \begin{proof} Diamo la dimostrazione per $n=2$, supponendo che $X$ sia simmetrico rispetto all'asse $\pgra{x=0}$.\\ Si ha \eal{&X=X_1\U X_2=\ubrace{\pgra{(x,y)\in X\;|\;x\ge 0}}{X_1} \U \ubrace{\pgra{(-x,y)\in X \;|\;(x,y)\in X_1}}{X_2}\\ &\den{X_1}\^\den{X_2} = \0 \\ &P_0 = \frac{\iint_X x \;dx}{\mis X}\\ &\iint_X x\;dx = \iint_{X_1} x\;dx + \iint_{X_2}x\;dx = \iint_{X_1} x\;dx + \iint_{X_2}-(-x)\;dx = \iint_{X_1} x\;dx + \iint_{X_1}-x\;dx = 0 } \end{proof} \begin{defn} Dato $X$ dominio di $\rt$ limitato e misurabile, si definisce il suo momento di inerzia $I$ rispetto ad una retta $r$, o ad un punto $Q$ detto polo, il seguente numero reale non negativo: \eal{&I=\iiint_X\delta^2(x,y,z)\;dxdydz\\ &\delta(P)=d(P,Q):X\longrightarrow \mathbb{R}\; \| \;\delta(P)=d(P,r):X\longrightarrow \mathbb{R}} Se consideriamo la densita' di massa variabile, espressa dalla funzione \eal{&\mu(x,y,z):X\longrightarrow \mathbb{R}} avremo \eal{&I=\iiint_X\delta^2(x,y,z)\mu(x,y,z)\;dxdydz} \end{defn} \begin{exemp} \label{exmomentodiinerzi} In particolare il momento di inerzia rispetto all'asse $\vec x$ e': \eal{&d((x,y,z),\vec x)=\sqrt{y^2+z^2}\\ &I_{\vec{x}} =\iiint_X y^2+z^2\;dxdydz\\ } rispetto agli altri assi: \eal{&I_{\vec{y}}= \iiint_X x^2+z^2\;dxdydz\\ &I_{\vec{z}} =\iiint_X y^2+x^2\;dxdydz } rispetto all'origine: \eal{&I_O=\iiint_X x^2+y^2+z^2\;dxdydz} Usando la prop. distributiva degli integrali, si ha: \eal{&I_O=\frac{1}{2}\pton{I_{\vec{x}} +I_{\vec{y}}+I_{\vec{z}}}} \end{exemp} \begin{exemp} \def\r{{\rho}} \def\t{{\vartheta}} Calcoliamo il baricentro $(x_0,y_0,z_0)$ della semisfera non negativa usando la formula di riduzione per proiezione rispetto al piano $z=0$: \eal{&S=\pgra{(x,y,z)\in \rt \;|\; x^2+y^2+z^2\le r^2,\;z \ge 0}\\ &T=\T{ proiezione di $S$ su $z=0$ } = \pgra{(x,y)\in \rd \;|\; x^2+y^2 \le r^2 }\\ &\alpha(x,y)=0,\beta(x,y)=\sqrt{r^2-x^2-y^2}\;\;\forall (x,y)\in T\\ &S=X=T(\alpha,\beta)\T{ di base }T } In sostanza, fin qui, abbiamo scritto $S$ come un dominio normale di $\rt$ rispetto all'asse $z$, e di base $T$. $\a,\b$ sono continue in $T$ e vale \eal{&\a(x,y)=0 < \b(x,y)=\sqrt{r^2-x^2-y^2} \;\;\forall (x,y)\in \den{T}=\pgra{ (x,y)\;\in \rd\;|\;d((x,y),(0,0)) \sin \f =|\sin \f|\\ &\qq D_\r=\T{ sezione di piede $\r$ } = \pqua{0,2\pi}\*\pqua{0,\pi}=\Delta\;\;\forall \r\in [0,r]\\ &= \intd{0}{r}\rho^4\;d\r \iint_{\Delta}(\sin^2\f+\cos^2\f)\sin \f \;d\t d\f= \intd{0}{r}\rho^4\;d\r \iint_{\Delta} \sin \f d\t d\f= \\ &= \intd{0}{r}\rho^4\;d\r \intd{0}{2\pi}\;d\t\intd{0}{\pi}\sin \f df = \\ &= \intd{0}{r}\rho^4\;d\r \intd{0}{2\pi}\;d\t\pqua{-\cos \f }_0^{\pi} =\\ &= 2\intd{0}{r}\rho^4\;d\r \intd{0}{2\pi}\;d\t =\\ &=4\pi \intd{0}{r}\rho^4 = 4\pi \frac{r^5}{5} = \frac{4\pi}{5}r^5 } \end{exemp} \begin{exemp} Calcoliamo il momento di inerzia della sfera rispetto all'asse $\vec{x}$: \def\f{{\varphi}} \def\t{{\vartheta}} \def\r{{\rho}} \eal{&X=\pgra{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \;|\;x^2+y^2+z^2 \le r}\\ &I_{\vec{x}}=\iiint_X y^2+z^2\;dxdydz } Come nell'esempio precedente, utilizziamo la formula di passaggio a coordinate sferiche \vedi{propcoordsferiche}: \eal{&\iiint_X y^2+z^2\;dxdydz = \iiint_D \pton{(\r\sin \f \sin \t)^2+\r^2\cos^2\f}\rho^2\sin \f= \\ &= \intd{0}{r}\;d\r \intd{0}{2\pi}\;d\t\;\intd{0}{\pi} \rho^4(\sin^3\f\sin^2\t+\sin\f\cos^2\f)\;d\f = \\ &= \intd{0}{r}\rho^4\;d\r \intd{0}{2\pi}\;d\t\;\intd{0}{\pi} \sin^3\f\sin^2\t+\sin\f\cos^2\f\;d\f\;\;(1) } Calcoliamo l'ultimo integrale: \eal{&\intd{0}{\pi} \sin^3\f\sin^2\t+\sin\f\cos^2\f\;d\f = \intd{0}{\pi} \sin^3\f\sin^2\t \;d\f+ \intd{0}{\pi} \sin\f\cos^2\f \;d\f=\\ &\qq \intd{0}{\pi} \sin\f\cos^2\f\;d\f= \pqua{\frac{-\cos^3\f}{3}}^\pi_0 = \frac{2}{3}\;\;(*)\\ &\qq \intd{0}{\pi} \sin^3\f\sin^2\t = \sin^2\t \intd{0}{\pi} \sin^3\f\;d\f=\\ &\qq \qq \intd{0}{\pi} \sin^3\f\;d\f = \intd{0}{\pi}\sin\f\pton{1-\cos^2\f}\;d\f= \intd{0}{\pi}\sin\f \;d\f - \intd{0}{\pi}\sin \f \cos^2\f\;d\f \\ &\qq \qq \ubrace{=}{(*)}\intd{0}{\pi}\sin\f \;d\f -2 = 2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}\\ &\qq = \frac{4}{3}\sin^2\t\\ &= \frac{4}{3}\sin^2\t+\frac{2}{3} } Ritorniamo all'integrale principale: \eal{&(1)= \intd{0}{r}\rho^4\;d\r \intd{0}{2\pi}\frac{4}{3}\sin^2\t+\frac{2}{3}\;d\t\\ &\qq \intd{0}{2\pi}\frac{4}{3}\sin^2\t+\frac{2}{3}\;d\t = \frac{4}{3} \intd{0}{2\pi}\sin^2\t \;d\t + \intd{0}{2\pi}\frac{2}{3}\;d\t= \\ &\qq = \frac{4}{3} \intd{0}{2\pi}\sin^2\t\;d\t + \frac{4}{3}\pi = \\ &\qq\qq \intd{0}{2\pi}\sin^2\t \;d\t = \frac{1}{2}\pqua{\t-\sin\t\cos\t}_0^{2\pi}= \pi \\ &\qq = \frac{8}{3}\pi\\ &= \frac{8}{3}\pi \intd{0}{r}\rho^4\;d\r = \frac{8}{15}r^5 } Quindi \eal{&I_{\vec{x}}= \frac{8}{15}r^5} analogamente si vede che \eal{&I_{\vec{y}}= I_{\vec{z}}=I_{\vec{x}}= \frac{8}{15}r^5} \end{exemp} \begin{exemp} Rassicuriamoci sull'esattezza dei calcoli usando la formula vista in \see{exmomentodiinerzi}: \eal{& I_O=\frac{1}{2}\pton{I_{\vec{x}} +I_{\vec{y}}+I_{\vec{z}}}\\ &I_O \ubrace{=}{\see{exIOsfera}} = \frac{4\pi}{5}r^5 \\ &I_{\vec{y}}= I_{\vec{z}}=I_{\vec{x}}= \frac{8}{15}r^5\\ &\frac{4\pi}{5}r^5 = \pton{3 \frac{8}{15}r^5}\frac{1}{2} } \end{exemp} \subsection{Domini regolari} \begin{thm} \label{thmjordan} Teorema di Jordan.\\ \eal{&\T{Sia $\gamma$ una curva generalmente regolare, semplice e chiusa } \\ &\qq\> \exists ! \T{dominio } T\( \rd \T{ limitato e internamente connesso tale che }F(T)=\gamma} Questo teorema e' facilmente intuibile ma difficilmente dimostrabile: il teorema dice che se disegnamo nel piano una curva chiusa, che non si interseca, e che sia continua, allora la curva delimita quella porzione del piano $T$, che si trova ``dentro'' la curva. \end{thm} \begin{defn}\label{puntiinterniadunacurva} Il dominio $T$ associato a $\gamma$ si chiama \emph{dominio regolare ad un solo contorno} di $\gamma$.\label{contorno}\\ $\gamma$ si chiama contorno di $T$\\ I punti di $\den{T}$ si dicono punti interni a $\gamma$\\ I punti di $\ext{T}$ si dicono punti esterni a $\gamma$ \end{defn} \begin{rem} $T(\alpha,\beta)$ e' un dominio regolare ad un solo contorno. Dove $T(\alpha,\beta)$ e' il dominio normale rispetto all'asse delle $x$ o delle $y$, definito in \see{Formule di riduzione} \end{rem} \begin{rem} Dato $T\( \rd$ dominio limitato e intern. connesso, \eal{&F(T)=\gamma\T{ curva gen. reg. semp. e chiusa} \> T\T{ e' il dominio regolare di }\gamma } infatti, per il thm di Jordan, \eal{&\exists ! T'\T{ dominio limit. intern. connesso tale che }F(T')=\gamma} ma un tale dominio e' proprio $T$, quindi per l'unicita' di $T'$ si ha $T=T'$. E poiche' $T'$ e' per def. un dominio regolare, anche $T$ lo e'. \end{rem} \begin{defn} Siano date $\gamma_0,\gamma_1,\dots,\gamma_n$, curve generalmente regolari, semplici e chiuse tali che \eal{&\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_n \T{ sono interne a }\gamma_0\\ &\gamma_2\T{ e' esterna a }\gamma_1\\ &\gamma_3\T{ e' esterna a }\gamma_2,\gamma_1\\ &\dots\\ &\gamma_n\T{ e' esterna a }\gamma_{n-1},\gamma_{n-2},\dots,\gamma_1 } dove con ``interno'' ed ``esterno'' sono usati secondo la definizione \see{puntiinterniadunacurva}.\\ Il dominio $T$ dei punti del piano non esterni a $\gamma_0$ e non interni a $\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_n$ si chiama \emph{dominio piano regolare }ad $n+1$ \emph{contorni}.\\ $\gamma_0$ si dice \emph{contorno esterno}.\\ \begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{fig/contorno} \end{center} In poche parole, stiamo delimitando con la curva $\gamma_0$ una porzione del piano, e questa porzione del piano la stiamo ``bucando'', ovvero la stiamo privando dei punti del piano interni alle varie curve $\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_n$. \end{defn} \begin{prop} \label{propdominiregolariunione} Dato $T$ dominio piano regolare ad uno o piu' contorni, allora \begin{enumerate} \item $T$ e' internamente connesso \item \eal{&T=\bigcup_{i=1}^m T_i\\ &\den{T_i}\^\den{T_j}=\0\;\;\forall i \neq j } dove $m\in \mathbb{N}$ e ogni $T_i$ e' un dominio regolare a un solo contorno, normale, rispetto all'asse $x$ o all'asse $y$. \item $T$ e' misurabile secondo Jordan. \end{enumerate} \end{prop} \def\f{{\varphi}} \def\p{{\psi}} \def\uv{{(u,v)}} \def\xy{{(x,y)}} \begin{thm}\qq\\ \label{thmdomreg} \begin{enumerate} \item $D$ dominio piano regolare ad un solo contorno \item \eal{&\f \uv,\p \uv : D\longrightarrow \mathbb{R}\\ &\f,\p \in \sczn{1}{D}\\ &\det\pqua{\frac{\partial (\f,\p)}{\partial (\f,\p)}}_{\uv} \neq 0\;\;\forall \uv \in D\\ & \pqua{\frac{\partial (\f,\p)}{\partial (\f,\p)}}_{\uv} := \begin{pmatrix} \f_u\uv & \f_v\uv\\ \p_u\uv &\p_v\uv \end{pmatrix}\T{ chiamata matrice Jacobiana}\\ &T=\pgra{(x,y)\in \mathbb{R}^2\;|\;x=\f\uv,\;\;y=\p\uv\;\;\uv\in D}\\ &f\xy:T\longrightarrow \mathbb{R}\T{ continua in T}\\ &\T{la relazione } (x,y)=(\f\uv,\p\uv)\T{ stabilisce una relazione biunivoca fra } F(T) \T{ e } F(D) } allora \eal{&1.\;\;T\T{ e' un dominio regolare a un solo contorno }\\ &2.\;\;\iint_Tf\xy\;\;dxdy=\iint_Df(\f\uv,\p\uv)\Big|\det\pqua{\frac{\partial (\f,\p)}{\partial (\f,\p)}}_{\uv} \Big| \;dudv} questa e' la cosidetta formula di cambio di variabili per integrali doppi. \end{enumerate} \qed \end{thm} \begin{prop} \label{propformulapolare} \def\xy{{(x,y)}} \def\t{{\theta }} \def\r{{\rho}} \def\tr{{(\t,\r)}} \def\ftint#1{{\iint_{#1} f(x,y)\;\;dxdy}} \def\fdint#1{{\iint_{#1} f(\rho\cos\t,\r\sin \t)\r \;\;d\t d\r}} Siano $r,R\in \mathbb{R}$, $00$, il determinante e' $ \neq 0$.\\ Grazie alla $(*)$, esiste una corrispondenza biunivoca tra $F(T),F(D)$, infatti:\\ \begin{figure}[h] \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{fig/corona2} \end{center} \caption{Corona non negativa di centro $(0,0)$} \label{fig:corona2} \end{figure} $F(D)$ e' composta dai segmenti del rettangolo\\ al segmento $\pgra{0}\*\pqua{r,R}$ di $F(D)$ corrisponde il segmento di $F(T)$ giacente sull'asse $x$ positiva.\\ al segmento $\pgra{\pi}\*\pqua{r,R}$ di $D$ corrisponde il segmento di $F(T)$ giacente sull'asse $x$ negativa.\\ al segmento $\pqua{0,\pi}\*\pgra{r}$ di $D$ corrisponde l'arco piu' piccolo di $F(T)$.\\ al segmento $\pqua{0,\pi}\*\pgra{R}$ di $D$ corrisponde l'arco piu' grande di $F(T)$.\\ Allora, tutte le ipotesi del teorema \see{thmdomreg} sono rispettate e quindi \eal{&\ftint T = \fdint D } \end{prova} \step{}{$ T=\pgra{(x,y)\in \rd\;|\; r^2\le x^2+y^2 \le R^2,\;\;y\le 0},\;\; D=\pgra{\tr\in \rd\;|\; \pi\le \t\le 2\pi,\;\;r\le \r\le R}$} \begin{prova} Si procede come nel passo precedente, la differenza sostanziale risiede in \eal{&D=\pqua{\pi,2\pi}\*[r,R]} \end{prova} \step{}{$T=\pgra{(x,y)\in \rd\;|\; r^2\le x^2+y^2 \le R^2},\;\; D=\pgra{\tr\in \rd\;|\; 0\le \t\le 2\pi,\;\;r\le \r\le R}$} \begin{prova} In questo caso non possiamo applicare direttamente il teorema \see{thmdomreg} perche' non vi e' piu' corrispondenza biunivoca tra $F(T)$ e $F(D)$: come prima al segmento $\pgra{0}\*\pqua{r,R}$ di $F(D)$ corrisponde il segmento di $T$ giacente sull'asse $x$ positiva, quest'ultimo segmento pero' non e' piu' contenuto in $F(T)$.\\ Poniamo allora \eal{&T'=T\^\pgra{y\ge 0},\;\;D'=[0,\pi]\*[r,R]\\ &T''=T\^\pqua{y\le 0},\;\;D''=[\pi,2\pi]\*[r,R]} Ovvero $T'$ e' la corona non negativa vista prima e $D'$ e' il suo dominio relativo\\ $T''$ e' la corona non positiva vista prima e $D''$ e' il suo dominio relativo.\\ E' chiaro che \eal{&\den{T'}\^\den{T''}=\0,\;\;T'\U T''=T\\ &\den{D'}\^\den{D''}=\0,\;\;D'\U D'' =D } e quindi per le proprieta' degli integrali (\vedi{propinr}), abbiamo \eal{&\ftint T=\ftint{T'}+\ftint{T''}\\ &\fdint D =\fdint{D'}+\fdint{D''} } Su $T'$, $T''$ possiamo applicare quanto visto prima, e quindi \eal{& \ftint{T'}=\fdint{D'}\\ &\ftint{T''}=\fdint{D''} } In conclusione, \eal{&\ftint T=\ftint{T'}+\ftint{T''}=\\ &\qq =\fdint{D'}+\fdint{D''}=\fdint D } \step{}{$T=\pgra{(x,y)\in \rd\;|\; x^2+y^2 \le R^2,\;\;y\ge 0},\;\; D=\pgra{\tr\in \rd\;|\; 0\le \t\le \pi,\;\;0\le \r\le R}$} \begin{prova} In questo caso, poiche' $0\le \rho \le R$, il determinante Jacobiano e' zero quando $\rho=0$, quindi non possiamo applicare direttamente il teorema \see{thmdomreg}.\\ \step{}{ Consideriamo allora il cerchio come una corona circolare il cui raggio interno tende a $0$ e dimostriamo cosi' la formula. } \begin{prova} Sia \eal{&T_r'=\pgra{x^2+y^2 \le r^2},\;\;D_r'=[0,\pi]\*[0,r]\\ &T_r''=\pgra{r^2 \le x^2+y^2\le R^2},\;\;D_r''=[0,\pi]\*[r,R] } e' chiaro che \eal{&\den{T_r'}\^\den{T_r''}=\0,\;\;T_r'\U T_r''=T\\ &\den{D_r'}\^\den{D_r''}=\0,\;\;D_r'\U D_r'' =D } allora per la proprieta' di additivita' (\vedi{propinr}), \eal{&\ftint T=\ftint{T_r'}+\ftint{T_r''}\\ &\fdint D =\fdint{D_r'}+\fdint{D_r''}\;\;(2) } poiche' $T_r''$ e' una semicorona circolare non negativa, possiamo applicare ad esso la formula:\eal{&\ftint{T_r''} = \fdint{D_r''}} allora \eal{& \ftint{T_r''}= \fdint{D_r''} \\ & \qq \ubrace{=}{(2)} \fdint D -\fdint{D_r'}\\ &\ftint T=\ftint{T_r'}+\ftint{T_r''}=\\ &\qq = \fdint D + \ftint{T_r'} -\fdint{D_r'}\;\;(3) } \step{}{Dimostriamo che per $r\to 0^+$ anche $\fdint {T_r'} \to 0$} \begin{prova} $T_r'$ e' un dominio limitato e misurabile, allora per la prop \see{cor5riem}, e per il thm della media, segue: \eal{&0\le \Big| \ftint {T_r'} \Big| \le \iint_{T_r'} |f(x,y)|\;dxdy \ubrace{\le }{(o)} \mis T_r' \max_{(x,y)\in T_r'} |f(x,y)| \ubrace{\le }{(oo)} \frac{\pi r^2}{2}\max_{(x,y)\in T} |f(x,y)| \\ &0\le \Big| \ftint {T_r'} \Big| \le \frac{\pi r^2}{2}\max_{(x,y)\in T}|f(x,y)|\\ &\T{prendendo il limite per $r\to 0^+$, per il thm del confronto }\\ &\lim_{r\to 0^+} \Big| \ftint {T_r'} \Big| =0 \= \lim_{r\to 0^+} \ftint {T_r'} =0 } (o) possiamo usare direttamente il $\max$ al posto del $\sup$ perche' $f$ e' continua.\\ (oo) Di certo $\max f/_{T_r'} \le \max f/_{T}$. Essendo $T_r'$ una semicirconferenza, $\mis T_r' = \frac{\pi r^2}{2}$. \end{prova} \step{}{Dimostriamo che per $r\to 0^+$ anche $\fdint{D_r'}$} \begin{prova} Poniamo $F \tr = f(\r\cos \t , \r \sin \t )\r$.\\ Procedendo come nel passo precedente, abbiamo: \eal{& 0\le \Big| \iint_{D_r'} F\tr d\rho d \t\Big| \le \iint_{D_r'} |F\tr|\;d\rho d\t \ubrace{\le }{(o)} \max F/_{D_r'} \mis D_r' \ubrace{\le }{(oo)}\max F/_{T}{\pi r}{}\\ &0\le \Big| \iint_{D_r'} F\tr d\rho d \t \Big| \le \max F/_{T}{\pi r}{}\\ &\T{prendendo il limite per $r\to 0^+$, per il thm del confronto }\\ &\lim_{r\to 0^+} \Big| \iint_{D_r'} F\tr d\rho d \t\Big| =0 \= \lim_{r\to 0^+} \iint_{D_r'} F\tr d\rho d \t=0 } (oo) $\mis D_r'=\pi r$ \end{prova} Allora prendendo il limite nella $(3)$ abbiamo \eal{& \ftint T = \fdint D} \end{prova} \end{prova} \end{prova} \step{}{Il caso del cerchio si dimostra analogamente a quello della corona: si sfrutta la proprieta' di additivita' degli integrali} \begin{prova} \end{prova} \qed \end{prova} \begin{exemp} Calcoliamo il volume della sfera.\\ Sia \def\rtre{{\mathbb{R}^3}} \eal{&S=\pgra{(x,y,z)\in \rtre\;|\; x^2+y^2+z^2 \le r^2,\;\;z\ge 0}} la semisfera non negativa di raggio $r$.\\ Esprimiamo $S$ con una funzione: ricavandoci la $z$ non negativa, abbiamo: \eal{&f(x,y)=\sqrt{r^2-x^2-y^2}:T\longrightarrow \mathbb{R}\\ &T=\pgra{(x,y)\in \rd\;|\;x^2+y^2 \le r^2} \T{ cerchio di raggio $r$ e centro $(0,0)$}} allora \eal{&S=\pgra{(x,y,z)\in \rtre\;|\; 0\le z\le f(x,y),\;\;(x,y)\in T} =C(f)\\ &S=C(f)} Poiche' $f$ e' continua e non negativa in $T$ e $T$ e' un dominio limitato e misurabile, allora per il thm \see{thmcilindroide} si ha \eal{&\mis S = \mis C(f) = \iint_Tf(x,y)\;\;dxdy } Poiche' $T$ e' un cerchio di raggio $r$ e centro $(0,0)$, possiamo usare la formula \see{propformulapolare}: \def\t{{\theta }} \def\r{{\rho}} \def\tr{{(\t,\r)}} \eal{&D=[0,2\pi]\*[0,r]\\ &\iint_Tf(x,y)\;\;dxdy = \iint_D f(\r \cos \t , \r \sin \t ) \r \;\;d\t d\r } $D$ e' un dominio normale: \eal{ & \alpha(\t)=0,\beta(\t)=r\;\;\forall \t\in [0,2\pi]\\ &D=\pgra{(\t,\r)\in \rd\;|\; \alpha(\t) \le \r \le \beta(\t) \;\;\t \in [0,2\pi]} } Allora, per la formula di riduzione \see{formularidintdoppi}, abbiamo \eal{&\iint_D f(\r \cos \t , \r \sin \t ) \r \;\;d\t d\r = \intd{0}{2\pi} \;d\t\;\intd{0}{r}\;f(\r \cos \t , \r \sin \t ) \r \;\;d\r =\\ & = \intd{0}{2\pi} \;d\t\;\intd{0}{r}\; \r\sqrt{r^2-(\r\cos \t)^2-(\r\sin \t)^2} \;\;d\r = \intd{0}{2\pi} \;d\t\;\intd{0}{r}\; \r\sqrt{r^2-\r^2 } \;\;d\r = \\ & \ubrace{=}{\T{ moltiplicando e dividendo per }-2} \intd{0}{2\pi} -\frac{1}{2}\;d\t\;\intd{0}{r}\; (-2\r)(r^2-\r^2)^{\frac{1}{2}}\;\;d\r = \\ & = \intd{0}{2\pi} -\frac{1}{2}\;d\t\;\pqua{\frac{(r^2-\r^2)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}}^r_0 = \intd{0}{2\pi} \frac{1}{3}r^3 \;\;d\t= \frac{1}{3}r^3 \intd{0}{2\pi} 1\;\;d\t = \frac{2}{3}\pi r^3 } e poiche' questo e' il volume della semisfera, quello della sfera e': \eal{&\frac{4}{3}\pi r^3} \end{exemp} \def\a{{\alpha}} \def\b{{\beta}} \def\xy{{(x,y)}} \begin{defn} \textbf{Dominio regolare di $\rt$ normale rispetto a $z=0$}\\ \ilabel{dominio regolare normale di Rtre} Sia \begin{enumerate} \item $T\( \rd $ dominio regolare \item sia $\a,\b(x,y):T\longrightarrow \mathbb{R},\;\;\a,\b\in \sczn{2}{T}$ \item $\a\xy<\b\xy\;\;\forall \xy\in \den{T}$ \item $X=T(\a,\b)\T{ di base $T$}=\pgra{(x,y,z)\in \rt\;|\;(x,y)\in T,\;\a\xy\le z\le \b\xy}$ \end{enumerate} $X$ viene chiamato \emph{dominio regolare di $\rt$ normale rispetto a $z=0$}\\ Analogamente si definiscono i domini regolari normali rispetto a $y=0$ e $x=0$. \end{defn} \begin{defn} \ilabel{dominio regolare di Rtre} \eal{&X\(\rt \T{ e' un dominio regolare } \definizione{\=} X=\bigcup_{i=1}^nX_i\\ &\T{ con } X_i\T{ dominio regolare normale rispetto a un piano coordinato }} Nota: $X$ e' un dominio limitato e misurabile perche' unione di domini limitati e misurabili. \end{defn} \def\f{{\varphi}} \def\fu{{\f_1}} \def\fd{{\f_2}} \def\ft{{\f_3}} \def\uv{{(u,v,w)}} \def\xyz{{(x,y,z)}} \def\xy{{(x,y)}} \begin{thm}\qq\\ \label{thmdomregR3} \begin{enumerate} \item $D\(\rt$ dominio regolare \item \eal{&\fu \uv,\fd \uv, \ft \uv : D\longrightarrow \mathbb{R}\\ &\fu,\fd,\ft \in \sczn{1}{D}\\ &\det\pqua{\frac{\partial (\fu,\fd,\ft)}{\partial (\fu,\fd,\ft)}}_{\uv} \neq 0\;\;\forall \uv \in D\\ &\pqua{\frac{\partial (\fu,\fd,\ft)}{\partial (\fu,\fd,\ft)}}_{\uv} \T{ matrice Jacobiana del terzo ordine}\\ &X=\pgra{(\fu\uv,\fd\uv,\ft\uv)\in \rt\;|\;\uv\in D}\\ &f\xyz:X\longrightarrow \mathbb{R}\T{ continua in X}\\ &\T{la relazione } (x,y,z)=(\fu\uv,\fd\uv,\ft\uv)\T{ e' una relazione biunivoca fra } F(X) \T{ e } F(D) } allora \eal{&1.\;\;X\T{ e' un dominio regolare di $\rt$, ed e' quindi limitato e misurabile}\\ &2.\;\;\iiint_Xf\xyz\;\;dxdydz\\ &\qq =\iiint_Df(\fu\uv,\fd\uv,\ft\uv)\Big|\det\pqua{\frac{\partial (\fu,\fd,\ft)}{\partial (\fu,\fd,\ft)}}_{\uv} \Big| \;dudvdw} questa e' la cosidetta formula di cambio di variabili per integrali tripli. \end{enumerate} \qed \end{thm} \def\r{{\rho}} \def\t{{\vartheta}} \begin{prop} Siano $h>0, 0 f,g\T{ continue in } B\( T\-E \> f,g\T{ integrabili in } B\\ &\sist{ f,g\T{ integrabili in } B\\ |g(x)|\le |f(x)| \forall x\in B \(T\-E } \> \int_B |g(x)| \;dx \le \int_B|f(x)|\;dx \le \sup_{B\in \F} \int_B|f(x)| \;dx = k \ubrace{\in }{f\T{improp. integr.}} \mathbb{R}\\ &\int_B |g(x)| \;dx \le k\;\;\forall B\in \F \> \sup_{B\in \F} \int_B|g(x)| < +\8 } \end{prova} \qed \end{prova} \def\fp{{f_{+}}} \def\fm{{f_{-}}} \def\fpm{{f_{\pm}}} \begin{defn} Sia $T\(\rn$ dominio misurabile e $f:T\longrightarrow \mathbb{R}$ generalmente continua in $T$.\\ Supponiamo che $f$ sia impropriamente integrabile in $T$.\\ \case{$f$ e' non negativa in $T\-\Ef$, ovvero $f(x)\ge 0\;\;\forall x\in T\-\Ef$} \begin{prova} In questo caso, porremo: \begin{prova} \eal{&\int_Tf(x)\;dx \definizione{=} \sup_{B\in \F} \int_B|f(x)| \;dx } \end{prova} \case{$f$ e' di segno variabile} \begin{prova} Poniamo \eal{&\int_Tf(x)\;dx \definizione{=} \int_Tf_+(x)\;dx-\int_Tf_-(x)\;dx = \int_T\frac{|f(x)|+f(x)}{2}\;dx-\int_T\frac{|f(x)|-f(x)}{2}\;dx } dove gli integrali al secondo membro sono integrali impropri. \end{prova} \end{prova} \end{defn} \begin{prova} \pf \step{}{Dimostriamo che queste definizioni hanno senso} \begin{prova} \step{}{$f(x)$ non negativa} \begin{prova} Poiche' $f$ e' impropriamente integrabile in $T$, per definizione, il $\sup$ e' finito, quindi $\int_Tf(x)\;dx$ e' un numero reale. \end{prova} \step{}{$f(x)$ di segno variabile} \begin{prova} Siano date le seguenti funzioni: \eal{&\fp(x)=\frac{|f(x)|+f(x)}{2}= \max(f(x),0)\\ &\fm(x)=\frac{|f(x)|-f(x)}{2}=-\min(f(x),0) } definite in $T\-\Ef$. Si ha che: \eal{&0\le \fpm(x) \le |f(x)| \;\;\forall x\in T\-\Ef\;\;(1)} infatti: \eal{&0\le \fp(x) \= -f(x) \le |f(x)| \T{ vera per le prop. del val. ass. }\\ &0\le \fm(x) \= f(x) \le |f(x) |\\ &\fp(x) \le |f(x)| \= f(x) \le |f(x)| \\ &\fm(x) \le |f(x)| \= -f(x) \le |f(x)| } \step{}{Dimostriamo che $\fpm$ sono impropriamente integrabili in $T$ sfruttando il thm \see{thmimpropriamenteintegrabminorato}} \begin{prova} Poiche' $f(x)$ e' impropr. integrabile in $T$, anche $|f(x)|$ lo e' (segue immediatamente dalla definizione).\\ Vediamo che $E_{\fpm}= \Ef$: \eal{&\T{Sia } P\in E_{\fpm}, \T{ se per ass. } P\notin \Ef \> f\T{ continua in } P \> \\ &\qq \> |f(x)| \T{ continua in } P \> \fpm \T{ continua in } P \> P \notin E_{\fpm}\T{ assurdo }\\ &\T{Sia } P \in \Ef \> P\notin T\-\Ef \> \fpm \T{ non definita in }P \T{ e quindi non continua in } P \> P\in E_{\fpm} } Allora, \eal{& \sist{|f(x)| \T{ generalmente continua e improp. integrabile in } T\\ |\fpm(x)| \le |f(x)|\;\;\forall x\in T\-E\\ E_{\fpm}= \Ef} \ubrace{\>}{thm \see{thmimpropriamenteintegrabminorato}} \fpm(x)\T{ improp. int. in }T } \end{prova} Poiche' $\fpm$ sono non negative, si applica la prima definizione, quindi ha senso considerare: \eal{&\int_Tf_+(x)\;dx \T{ e } \int_Tf_-(x)\;dx } \end{prova} \qed \end{prova} \end{prova} \begin{prop} La definizione di integrale improprio in $T$ e' una generalizzazione dell'integrale di Riemann, infatti, se $f$ e' continua in $T$ e $T$ e' limitato, allora le definizioni coincidono. \end{prop} \begin{prova} \pf Supponiamo $f$ continua in $T$, ovvero $f$ e' generalmente continua in $T$ e $\Ef=\0$. Supponiamo che $f$ sia impropriamente integrabile in $T$ \case{$f$ non negativa in $T\-\Ef=T$} \begin{prova} Per def di int. improp. si ha: \eal{&f\T{ continua } \> T\-\Ef=T\\ &\sist{T\T{ dominio misurabile e limitato}\\ T\( T=T\-\Ef} \> T \in \F \> \int_{T}f(x)\;dx \le \sup_{B\in\F}\int_{B}f(x)\;dx\\ &\sist{B\( T\\ f(x) \ge 0\;\;\forall x\in T } \> \int_B f(x)\;dx \le \int_T f(x) \;dx \;\;\forall B\in \F \> \sup_{B\in\F}\int_{B}f(x)\;dx \le \int_{T}f(x)\;dx \\ &\int_T f(x)\;dx \definizione{=} \sup_{B\in \F} \int_Bf(x)\;dx = \int_T f(x) \;dx } \end{prova} \case{$f$ di segno variabile} \begin{prova} Avevamo gia' visto che \eal{&\int_Tf_+(x)\;dx \T{ e } \int_Tf_-(x)\;dx } sono integrali impropri. Ma $\fpm $ sono funzioni non negative e inoltre continue in $T$, perche' $f,|f|$ sono continue in $T$. Allora, per quanto visto nel passo precedente, i loro integrali impropri concidono con gli integrali. Ecco, che possiamo usare la proprieta' di additivita': \eal{& \int_Tf(x)\;dx \definizione{=} \int_Tf_+(x)\;dx-\int_Tf_-(x)\;dx =\\ &\qq = \int_T\frac{|f(x)|+f(x)}{2}\;dx-\int_T\frac{|f(x)|-f(x)}{2}\;dx = \int_T \frac{|f(x)|+f(x)-|f(x)|+f(x)}{2}\;dx = \int_Tf(x)\;dx } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{defn} Sia $T\( \rn$ un dominio misurabile e $f:T\longrightarrow \mathbb{R}$ generalmente continua in $T$.\\ La successione $\pgra{T_n}$ di domini limitati e misurabili t.c. \eal{&1.\;\;T_n \( T\-\Ef \;\;\forall n\in \mathbb{N}\= \pgra{T_n}\(\F\\ &2.\;\;T_n \( T_{n+1} \;\;\forall n\in \mathbb{N}\\ &3.\;\;H\(\rn \T{ chiuso e limitato }, \;H\( T\-\Ef\> \exists v\in \mathbb{N}:\;\;H\(T_n \;\;\forall n> v } la diremo \emph{successione di domini invadenti}.\\ La proprieta' $3.$ si chiama \emph{proprieta' di invadenza}. limitato. \end{defn} \begin{prop} \label{proplimintgen} Nelle ipotesi della precedente definizione: \eal{&\lim_{n\to+\8} \mis T_n = \mis T} \end{prop} \begin{thm} \label{thmlimintgen} \eal{& \sist{T\(\rn \T{ dominio misurabile}\\ f:T\longrightarrow \mathbb{R}\T{ generalmente continua in }T\\ \pgra{T_n}\T{ successione di domini invadenti}\\ f\T{ impropriamente integrabile in }T }\> \lim_{n\to +\8} \int_{T_n} f(x)\;dx = \int_Tf(x)\;dx} Nota: gli integrali su $T_n$ sono degli integrali usuali, perche' $f$ e' continua in $T_n\(T \-\Ef$ e $T_n$ e' limitato. Invece, l'integrale al secondo membro e' un integrale improprio.\\ Nota: Questo teorema e' utile per calcolare effettivamente l'integrale improprio: se $f$ e' impropriamente integrabile, basta trovare una opportuna successione invadente e calcolare il limite. \end{thm} \begin{thm} Teorema della media per integali impropri.\\ \eal{& \sist{\T{$T\( \rn$ dominio misurabile}\\ \T{$f:T\longrightarrow \mathbb{R}$ generalmente continua in $T$}\\ f\T{ limitata in } T\-\Ef } \> \sist{1.\;\;f\T{ e' impropriamente integrabile in }T\\ 2.\;\;m\mis T\le \int_Tf(x)\;dx\le M \mis T}\\ &\T{dove } m= \inf_{x\in T\-\Ef} f(x),\;\;M= \sup_{x\in T\-\Ef} f(x)} \end{thm} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $1.$} \begin{prova} \eal{&B\in \F\\ &f\T{ e' impropriamente integrabile in }T \> f\T{ continua in }B\( T\-\Ef\> \\ &\qq \> |f(x)|\T{ e' continua in } B \> \exists \int_B|f(x)|\;dx\\ &f\T{ limitata in }B\(T\-\Ef \> |f(x)| \le L \;\;\forall x\in B \> \int_B |f(x)|\;dx \le \int_B L\;dx = L \mis B \le \\ &\qq \ubrace{\le}{B\( T} L\mis T\;\;\;\;\forall B\in \F\\ &\int_B |f(x)|\;dx \le L\mis T\;\;\forall B\in \F \> \sup_{B\in \F } \int_B |f(x)|\;dx \le L\mis T < +\8 } e quindi $f$ e' impropriamente integrabile in $T$. \end{prova} \step{}{Dim $2.$} \begin{prova} Consideriamo una successione di domini invadenti $\pgra{T_n}$. Si ha \eal{&f\T{ continua in } T\-\Ef \ubrace{\>}{T_n \( T\-\Ef} \> f\T{ continua in } T_n\;\;(1)\\ &\sist{f\T{ continua in }T_n\\ T_n \T{ dominio limitato e misurabile } } \> \exists \int_{T_n} f(x)\;dx \\ &\qq \ubrace{\>}{\T{thm della media }\see{Teorema della media} } m_n\mis T_n \le \int_{T_n} f(x)\;dx \le M_n \mis T_n\\ &\T{dove } m_n=\inf_{x\in T_n}f(x),\;\;M_n=\sup_{x\in T_n}f(x)\\ &T_n \(T\-\Ef\( T \> m_n \ge m,\;\;M_n \le M \> m\mis T_n \le m_n\mis T_n \le \int_{T_n} f(x)\;dx \le M_n \mis T_n \le M\mis T_n \\ & m\mis T_n \le \int_{T_n} f(x)\;dx \le M\mis T_n } allora, prendendo i limiti per $n\to +\8$, e usando la prop. \see{proplimintgen} e il thm \see{thmlimintgen}, si ha: \eal{&m\mis T \le\int_{T} f(x)\;dx\le M\mis T } che e' la tesi. \end{prova} \qed \end{prova} \subsection{Integrale generalizzato} Studieremo l'integrabilita' secondo Riemann per funzioni generalmente continue.\\ \begin{defn} Sia $T\( \rn$, dominio misurabile, e $f:T\longrightarrow \mathbb{R}$ \eal{&f \T{ e' generalmente integrabile }\definizione{\=} \sist{ f\T{ e' impropriamente integrabile}\\ T\T{ e' limitato } }} Poiche' gli integrali generalizzati sono un caso particolare di quelli impropri, tutti i teoremi degli integrali impropri valgono anche per quelli generalizzati. \end{defn} \def\a{{\alpha}} \begin{thm} \textbf{Condizione di integrabilita'}.\\ \label{propintgencondint} Dato $T\(\rn$ dominio limitato e misurabile, \\ $f$ generalmente continua in $T$, con $\Ef=\pgra{P_0}$ \eal{&\exists h,\a \in \mathbb{R}:\; h>0,\;0<\a f\T{ e' generalmente integrabile in }T} \end{thm} \begin{prova} \pf \begin{prova} $f(x)$ gen. cont. $\> |f(x)|$ gen. cont.\\ $H(P)=\frac{h}{\pton{d_e(P,P_0)}^\a}\;\;\forall P \in T\-\pgra{P_0}$\\ $|f(x)| \le H(x)\;\;\forall x\in T\-\pgra{P_0}$\\ Allora, per il thm \see{thmimpropriamenteintegrabminorato}, basta dimostrare che $H(x)$ e' generalmente integrabile in $T$ per ottenere la tesi. \step{}{Dimostriamo che $H(x)$ e' generalmente integrabile in $T$.\\ \pfsketch{Quello che faremo e' considerare un $B\in \F$,\\ trovare una corona circolare che includa $B$, in modo tale da poter usare le formule per le coordinate polari nel calcolo di $\int_BH(x)\;dx$.\\ Fatto cio', vedremo che $\int_BH(x)\;dx$ e' minore di una certa costante indipendente da $B$. Quindi il $\sup_{B\in \F} \int_BH(x)\;dx$ sara' finito, e la tesi acquisita. } } \begin{prova} \eal{&T\T{ limitato } \> \exists R >0 :\;\;I(P_0, R) \) T\\ &B\in \F \> B\T{ dominio } \> B \T{ chiuso } \\ &\sist{B\T{ chiuso}\\ \pgra{P_0}=\Ef\> P_0\notin B} \> d(B,\{P_0\}) >0\T{ ,infatti, se per ass. }d(B,\{P_0\})=0 \\ &\qq \ubrace{\>}{\CII{corXchiusoDsingXestzeroallorayinX}} P_{0}\in B\T{ assurdo}\\ &d(B,\pgra{P_0}) >0 \> 0< \inf \pgra{d(b,P_0)\;|\;b\in B} } allora scelto $0 r I(P_0,r)\)I(P_0,R)\)T\)B \> I(P_0,r) \^B = B\T{ assurdo contro (1)}\\ } Consideriamo allora la corona circolare di raggi $r,R$ e centro $P_0$: \eal{& C=\pgra{P\in \rn \;|\;r\le d_e(P,P_0)\le R}} Si ha che $B\(C$, infatti, \eal{&P\in B\( I(P_0,R) \> d(P,P_0) P\notin I(P_0,r) \> d(P,P_0) \ge r } allora, per le proprieta' degli integrali (vedi \see{thmdominiodentrodominio}), si ha \eal{&B\( C \ubrace{\>}{thm \see{thmdominiodentrodominio}} \int_BH(x)\;dx\le \int_CH(x)\;dx } \step{}{Calcoliamo $\int_CH(x)\;dx$} \begin{prova} Dimostriamo per $n=2$, ovvero ci poniamo in $\rd$.\\ Trasliamo gli assi cartesiani in modo tale che $P_0$ diventi l'origine, o in altre parole, trasliamo $C$ in $O$: \def\x{{\ove x}} \def\y{{\ove y}} \eal{ &\T{Sia } P_0=(x_0,y_0)\\ &\sist{x-x_0=\x\\ y-y_0=\y} \= \sist{x=\x+x_0\\y=\y+y_0} } Utilizziamo la formula di cambiamento di variabile (vedi \see{thmdomreg}): \def\r{{\rho}} \def\t{{\vartheta }} \eal{& \sist{x=\varphi(\x,\y)=\x+x_0\\ y=\psi(\x,\y)=\y+y_0}\\ &C'=\T{ la corona $C$ traslata } = \pgra{(\x,\y)\in \rd \;|\;r\le d_e((\x,\y),(0,0))\le R}\\ &\T{Il det. Jacobiano e' } \begin{vmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{vmatrix}=1 \neq 0\\ &\int_CH(x,y)\;\;dxdy=\int_{C'}H(\x+x_0,\y+y_0)\;\; d\x d\y \ubrace{=}{C\T{ e' simmetrica }} =2\int_{C'_+} H(\x+x_0,\y+y_0)\;\; d\x d\y\\ &\T{ con } C'_+=C'\^\pgra{(x,y)\in\rd\;|\;y\ge 0}\\ &2\int_{C'_+} H(\x+x_0,\y+y_0)\;\; d\x d\y \ubrace{=}{\T{formule polari }\see{propformulapolare}} 2\int_D H(\r\cos \t +x_0,\r\sin \t +y_0)\r\;\;d \t d\r =\\ &\qq = 2h\int_D\frac{1}{\pton{\sqrt{(\r\cos \t +x_0-x_0)^2+(\r\sin \t +y_0-y_0)^2}}^\a}\r\;\;d\t d\r = 2h \int_D\r^{1-\a}\;\;d\t d\r=\\ &\qq \ubrace{=}{D=[0,\pi]\*[r,R]} 2h\intd{0}{\pi} \;d\t \intd{r}{R}\r^{1-\a}\;\;d\r = 2h\intd{0}{\pi} \pqua{\frac{\r^{2-\a}}{2-\a}}^R_r \;\;d\t = \\ &\qq =\frac{2h\pi}{2-\a}\pton{R^{2-\alpha}-r^{2-\alpha}}\\ &\int_CH(x,y)\;\;dxdy = \frac{2h\pi}{2-\a}\pton{R^{2-\alpha}-r^{2-\alpha}} \ubrace{\le}{r0,\;\a\ge n \T{ tale che } |f(x)| \ge \frac{h}{\pton{d_e(x,P_0)}^\a} \;\;\forall x\in T\-\pgra{P_0} \\ &\qq \> f\T{ \textbf{non} e' generalmente integrabile in }T} \end{thm} \begin{prova} \pf\\ Poniamo \eal{&H(P)=\frac{h}{\pton{d_e(P,P_0)}^\a}\;\;\forall P \in T\-\pgra{P_0}} \step{}{Dimostriamo per $n=2$} \begin{prova} \case{$\a >2$} \begin{prova} Supponiamo per assurdo che $f$ sia generalmente integrabile, allora \eal{&\frac{h}{\pton{d_e(P,P_0)}^\a} = \Big|\frac{h}{\pton{d_e(P,P_0)}^\a} \Big| \le |f(x,y)|\;\;\forall (x,y)\in T\-\Ef \\ &\qq \ubrace{\>}{thm \see{thmimpropriamenteintegrabminorato}} \frac{h}{\pton{d_e(P,P_0)}^\a} \T{ e' generalmente integrabile} } Poiche' $T$ e' un dominio, possiede punti interni. Supponiamo che $P_0\in \den{T}$. E' allora lecito considerare un cerchio $I(P_0,R) \( T$.\\ Sia $r>0:\;I(P_0, r) \subsetneq I(P_0,R-\varepsilon)$, dove $\varepsilon >0$ e' tale che $r C\in \F\\ & C\in \F \> \int_C H(x,y) \;\;dxdy \le \sup_{B\in \F} \int_BH(x,y)\;dxdy\;\;(1) } Calcoliamo allora $\int_CH(x,y)\;dxdy$: ripercorrendo la stessa parte della dimostrazione del teorema \see{propintgencondint} che riguardava l'integrabilita' di $H(x)$ (alla fine del passo \verb|<3>.1|), arriviamo a: \eal{&\int_CH(x,y)\;\;dxdy = \frac{2h\pi}{2-\a}\pton{R^{2-\alpha}-r^{2-\alpha}} = 2h\pi \pton{\frac{R^{2-\alpha}-r^{2-\alpha}}{2-\a}} } stavolta pero' $\a >2$ e quindi \eal{& \int_CH(x,y)\;\;dxdy = 2h\pi \pton{\frac{R^{2-\alpha}-r^{2-\alpha}}{2-\a}} = 2h\pi \pton{\frac{\frac{1}{r^{\a-2}}-R^{2-\alpha}}{\a-2}} } e prendendo i limiti per $r\to 0$ abbiamo \eal{& \lim_{r\to 0} \int_C H(x,y) \;\;dxdy = +\8 } e quindi prendendo i limiti nella $(1)$ deduciamo che il sup non e' finito, e questo e' in contrasto con l'ipotesi che $H(x,y)$ sia integrabile: assurdo. \end{prova} \case{$\a=2$} \begin{prova} Procediamo come prima. In questo caso si arriva pero' a: \eal{& \int_C H(x,y) \;\;dxdy = 2h\pi \log \frac{R}{r} } e anche in questo caso prendendo il limite per $r\to 0$ si arriva all'assurdo. \end{prova} \end{prova} Resta solo da dimostrare il caso in cui $P_0\in F(T)$. \qed \end{prova} \subsection{Integrale illimitato} Studieremo l'integrabilita' secondo Riemann per funzioni continue definite in $T$ non limitato.\\ \begin{defn} Sia $T\( \rn$, dominio misurabile, e $f:T\longrightarrow \mathbb{R}$ \eal{&f \T{ e' illimitatamente integrabile }\definizione{\=} \sist{ f\T{ e' impropriamente integrabile}\\ f\T{ e' continua in }T\T{, ovvero }\Ef=\0\\ T\T{ e' \textbf{non} limitato } }} Poiche' gli integrali illimitati sono un caso particolare di quelli impropri, tutti i teoremi degli integrali impropri valgono anche per quelli illimitati. \end{defn} \def\a{{\alpha}} \begin{thm} \textbf{Condizione di integrabilita'}.\\ \label{propintillcondint} Dato $T\(\rn$ dominio non limitato e misurabile, \\ $f$ continua in $T$, \eal{&\exists h,\a,\ove r \in \mathbb{R}:\; h,\ove r>0,\;\a>n, \T{ tale che }\\ &\qq |f(x)|\le \frac{h}{\pton{d_e(x,O)}^\a} \;\;\forall x\in T\-I(O,\ove r) \\ &\qq \> f\T{ e' illimitatamente integrabile in }T} dove con $O$ indichiamo l'origine di $\rn$, ovvero $(0,0,\dots,0)$, con $d_e$ la distanza euclidea, e con $I(O,r)$ un intorno di raggio $r$ di $O$. \end{thm} \begin{prova} \pf\\ Poniamo $H(P)= \frac{h}{\pton{d_e(P,O)}^\a}$ \step{}{Dimostriamo il thm in $\rd$, supponendo che $ I(O,\ove r)\nsubseteq T$ \\ Procediamo in modo analogo alla dimostrazione del thm \see{propintgencondint}. } \begin{prova} Consideriamo $B\in \F$. Sia $P_0=O$. Poiche' $O\notin T$, $P_0 \notin B$.\\ Poiche' $B$ e' limitato, $\exists R>0:\;I(P_0,R)\)B$\\ Poiche' $B$ e' chiuso, come visto nella dim. del thm \see{propintgencondint}, $\exists r>0:\; I(P_0,r)\^B=\0$.\\ Sia allora $C$ la corona circolare di centro $P_0$ con raggi $r,R$. $C$ contiene $B$.\\ Poiche' $\a > 2$, cosi' come fatto nella dim del thm \see{propcritnongenint}, arriviamo a: \eal{& \int_CH(x,y)\;\;dxdy = 2h\pi \pton{\frac{\frac{1}{r^{\a-2}}-\frac{1}{R^{\a-2}}}{\a-2}} } allora, prendendo i limiti per $r\to \ove r$ e per $R\to +\8$, abbiamo: \eal{&\lim_{r\to \ove r,\;R\to+\8} \int_CH(x,y)\;\;dxdy = 2h\pi {{\frac{1}{(\a-2){\ove r}^{\a-2}}}} = k \in \mathbb{R} } $k$ e' indipendente da $B$.\\ \eal{&B\( C \> \int_BH(x,y)\;dxdy \le \int_CH(x,y)\;dxdy \ubrace{\>}{\T{prendendo i limiti}} \int_BH(x,y)\;dxdy \le k } In conclusione, per l'arbitrarieta' di $B$ abbiamo dimostrato che \eal{&\forall B\in \F\;\; \int_BH(x,y)\;dxdy \le k } e quindi \eal{& \sup_{B\in \F} \int_BH(x,y)\;dxdy \le k } quindi $H(x,y)$ e' illimitatamente integrabile in $T$. \end{prova} \qedstep \begin{prova} \eal{&\sist{|f(x)| \le H(x)=|H(x)|\;\;\forall x\in T \\ H(x)\T{ illimitatamente integrabile in $T$ } } \ubrace{\>}{thm \see{thmimpropriamenteintegrabminorato}} f\T{ e' illimitatamente integrabile in $T$}} \end{prova} \qed \end{prova} \begin{thm} \textbf{Criterio di non integrabilita'}.\\ \label{propintillcondnonint} Dato $T\(\rn$ dominio non limitato e misurabile, \\ $f$ continua in $T$, \eal{&\exists h,\a,\ove r \in \mathbb{R}:\; h,\ove r>0,\;0<\a\le n, \T{ tale che }\\ &\qq |f(x)|\ge \frac{h}{\pton{d_e(x,O)}^\a} \;\;\forall x\in T \- I(O,\ove r) \\ & \> f\T{ \textbf{non} e' illimitatamente integrabile in }T} \end{thm} %%% %Non e' corretto prendere il limite per $R \to +\8$ perche' $C$ potrebbe non %essere piu' contenuta in $T$ %%% %\begin{prova} % \pf % \begin{prova} %L'idea della dimostrazione e' uguale a quella del thm %\see{propintgencondnonint}: supponiamo per assurdo che $f$ sia illimitatamente %integrabile, $H(x,y)$ sara' allora integrabile per il thm %\see{thmimpropriamenteintegrabminorato}. Prendiamo una corona circolare $C\(T$. Si ha $C\in \F$. %\eal{& %C\in \F \> \int_C H(x,y) \;\;dxdy < \sup_{B\in \F} %\int_BH(x,y)\;dxdy\;\;(1)} %Calcoliamo l'integrale %di $H$ esteso a $C$. %\case{$0< \a < 2$} %\begin{prova} %\eal{&\int_CH(x,y)\;\;dxdy = %\frac{2h\pi}{2-\a}\pton{R^{2-\alpha}-r^{2-\alpha}} %} %stavolta pero' $\a < 2$.\\ %Prendiamo il limite per $R\to +\8$ e abbiamo: %\eal{& \lim_{r\to 0} \int_C H(x,y) \;\;dxdy = +\8 %} %e quindi prendendo i limiti nella $(1)$ deduciamo che il sup non e' finito, e %questo e' in contrasto con l'ipotesi che $H(x,y)$ sia integrabile: assurdo. %\end{prova} %\case{$\a=2$} %\begin{prova} %L'unica differenza risiede nel fatto che %\eal{& \int_C H(x,y) \;\;dxdy = 2h\pi \log \frac{R}{r} } %Prendendo il limite per $R\to +\8$ si arriva all'assurdo. %\end{prova} %\qed % \end{prova} %\end{prova} % \section{Integrali curvilinei} \begin{defn} In $\mathbb{R}^3$ (ma analogamente in $\rn$), sia \begin{enumerate} \item $\gamma$ una curva sghemba regolare \item \eal{&\gamma:\;\sist{x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)}\;t\in [a,b]} una sua rappresentazione parametrica da cui si evince che e' regolare \item $f:\gamma\longrightarrow \mathbb{R}$ una funzione continua in $\gamma$ \end{enumerate} allora definiamo l'\emph{integrale curvilineo} esteso alla curva regolare $\gamma$ della funzione $f$: \eal{&\int_{\gamma} f(x,y,z)\;ds \definizione{=} \inte{a}{b} f(x(t),y(t),z(t))H(t)\;dt\\ &\T{ dove } H(t)=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2} } L'integrale a II membro esiste perche' la funzione integranda e' composizione e prodotto di funzioni continue.\\ Si puo' dimostrare che l'integrale a II membro e' indipendete dalla scelta della rappresentazione parametrica di $\gamma$. \end{defn} \begin{prop} \label{propintcurv} Valgono alcune proprieta' degli integrali estesi. Sia \eal{\gamma:\;\sist{x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)} \;t\in [a,b]} di rappresentazione parametrica regolare e sia $f:\gamma\longrightarrow \mathbb{R}$ una funzione continua in $\gamma$. \begin{enumerate} \item Prop. di additivita': preso un $c\in ]a,b[$ e considerando le curve \eal{&\gamma_1:\;(x(t),y(t),z(t))\;\;t\in [a,c]\\ &\gamma_2:\;(x(t),y(t),z(t))\;\;t\in [c,b] } la cui unione e' $\gamma$, si ha \eal{& \int_{\gamma} f(x,y,z)\;ds = \int_{\gamma_1} f(x,y,z)\;ds +\int_{\gamma_2} f(x,y,z)\;ds } \item Prop. distributiva: \eal{& { \int_{\gamma}\alpha f(x,y,z)+\beta g(x,y,z) \;ds = \alpha\int_{\gamma} f(x,y,z)\;ds+\beta\int_{\gamma} g(x,y,z) \;ds } } dove $f,g:\gamma\longrightarrow \mathbb{R}$ sono continue in $\gamma$. \item Teorema della media: \eal{ &ml(\gamma)\le \int_{\gamma}f(x,y,z)\;ds \le M l(\gamma)\\ &\T{dove }\\ &\qq l(\gamma)\T{ e' la lunghezza di $\gamma$, che essendo regolare, per il thm \see{thmlunghezzacurva} e'} \\ &\qq \qq l(\gamma)=\inte{a}{b} H(t)\;dt= \inte{a}{b} \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}\;dt\\ &\qq m=\min f(\gamma),\;\;M=\max f(\gamma) } \end{enumerate} \end{prop} \begin{prova} \pf Le prime due proprieta' si dimostrano immediatamente rifacendosi alla definizione e alle proprieta' degli integrali estesi.\\ Dimostriamo il teorema della media.\\ Per definizione di $m$ e $M$ abbiamo \eal{&m\le f(x(t),y(t),z(t)) \le M\\ &mH(t)\le f(x(t),y(t),z(t)) H(t) \le MH(t)\;\;\forall t\in [a,b] } da cui usando la proprieta' \AII{corminoreuguale} degli integrali estesi, che deriva dal thm della media degli integrali estesi, si ha: \eal{ &\inte{a}{b} mH(t)\;dt\le \inte{a}{b}f(x(t),y(t),z(t)) H(t)\;dt \le \inte{a}{b}MH(t) \;dt\\ &m\inte{a}{b} H(t)\;dt\le \int_{\gamma}f(x,y,z)\;ds \le M\inte{a}{b}H(t) \;dt\\ &m l(\gamma) \le \int_{\gamma}f(x,y,z)\;ds \le Ml(\gamma) } \qed \end{prova} \begin{defn} In $\mathbb{R}^3$ (ma analogamente in $\rn$), sia \begin{enumerate} \item $\gamma$ una curva sghemba generalmente regolare, oppure generalmente regolare e chiusa \item \eal{&\qq\gamma:\;\sist{ x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t) }t\in [a,b]\\ &\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_n\T{ curve regolari t.c. }\\ &\qq \bigcup_{i=1}^n \gamma_i = \gamma\\ &\qq \gamma_i\^\gamma_j\(\pgra{C_{i-1},C_{i},C_{j-1},C_{j}}\T{ per }i \neq j\qq \T{ ovvero, $\gamma_i,\gamma_j$ hanno in comune al piu' i loro estremi}\\ &\qq\qq C_{i-1},C_{i}\T{ sono gli estremi di }\gamma_i\\ &\qq\qq C_{j-1},C_{j}\T{ sono gli estremi di }\gamma_j } una sua rappresentazione parametrica da cui si evince che e' gen. reg. oppure gen. reg. chiusa. Poiche' $\gamma$ e' gen. reg., le varie $\gamma_i$ esistono per definizione. \item $f:\gamma\longrightarrow \mathbb{R}$ una funzione continua in $\gamma$ \end{enumerate} allora definiamo l'\emph{integrale curvilineo} esteso alla curva generalmente regolare $\gamma$ della funzione $f$: \eal{&\int_{\gamma} f(x,y,z)\;ds \definizione{=} \oint_{\gamma}f(x,y,z)\;ds \definizione{=} \sumin \int_{\gamma_i} f(x,y,z)\;ds\\ } Questo integrale appena definito si chiama anche \emph{circuitazione di} $f$ su $\gamma$. Si puo' dimostrare che e' indipendente dalla particolare scelta delle varie $\gamma_i$. \end{defn} \begin{prop} Valgono le stesse proprieta' viste in \see{propintcurv} \end{prop} \subsection{Baricentro e momento curvilinei} \begin{defn} Data $\Gamma$ curva sghemba, generalmente regolare semplice oppure generalmente regolare semplice e chiusa, si definisce il suo baricentro $P_0$: \eal{&P_0=(x_0,y_0,z_0)\in \rd\\ &x_0=\frac{\int_{\gamma} x\;dx\;dy}{l(\gamma)}\\ &y_0=\frac{\int_{\gamma} y\;dx\;dy}{l(\gamma)}\\ &z_0=\frac{\int_{\gamma} z\;dx\;dy}{l(\gamma)} } dove $l(\gamma)$ e' la lunghezza di $\gamma$ che esiste perche' essa e' rettificabile.\\ Se consideriamo la densita' di massa variabile, espressa dalla funzione \eal{&\mu(x,y,z):X\longrightarrow \mathbb{R}} avremo \eal{&P_0=(x_0,y_0,z_0)\in \rt\\ &x_0=\frac{\int_{\gamma} x\mu(x,y,z)\;dx\;dy\;dz}{M}\\ &y_0=\frac{\int_{\gamma} y\mu(x,y,z)\;dx\;dy\;dz}{M}\\ &y_0=\frac{\int_{\gamma} z\mu(x,y,z)\;dx\;dy\;dz}{M}\\ &M=\int_{\gamma}\mu(x,y,z)\;dxdydz\T{ massa totale}} Se $\mu(X)=\pgra{1}$, si ricava la definizione data prima. \end{defn} \begin{defn} Data $\Gamma$ curva sghemba, generalmente regolare semplice oppure generalmente regolare semplice e chiusa, si definisce il suo momento di inerzia rispetto ad una retta $r$, o ad un punto $Q$ detto polo, il seguente numero reale non negativo: \eal{&I=\int_{\gamma}\delta^2(x,y,z)\;dxdydz\\ &\delta(P)=d(P,Q):X\longrightarrow \mathbb{R}\; \| \;\delta(P)=d(P,r):X\longrightarrow \mathbb{R}} Se consideriamo la densita' di massa variabile, espressa dalla funzione \eal{&\mu(x,y,z):X\longrightarrow \mathbb{R}} avremo \eal{&I=\int_{\gamma}\delta^2(x,y,z)\mu(x,y,z)\;dxdydz} \end{defn} \begin{exemp} \label{exmomentodiinerzicurvilinei} In particolare il momento di inerzia rispetto all'asse $\vec x$ e': \eal{&d((x,y,z),\vec x)=\sqrt{y^2+z^2}\\ &I_{\vec{x}} =\int_{\gamma} y^2+z^2\;dxdydz\\ } rispetto agli altri assi: \eal{&I_{\vec{y}}= \int_{\gamma} x^2+z^2\;dxdydz\\ &I_{\vec{z}} =\int_{\gamma} y^2+x^2\;dxdydz } rispetto all'origine: \eal{&I_O=\int_{\gamma} x^2+y^2+z^2\;dxdydz} Usando la prop. distributiva degli integrali curvilinei, si ha: \eal{&I_O=\frac{1}{2}\pton{I_{\vec{x}} +I_{\vec{y}}+I_{\vec{z}}}} \end{exemp} \section{Forme differenziali lineari} \def\grad{{\operatorname{grad}}} \def\O{{\Omega}} \def\o{{\omega}} \def\w{{\omega}} \def\xyz{{(x,y,z)}} \def\xy{{(x,y)}} \def\fdl#1{{X#1dx+Y#1dy+Z#1dz}} \begin{defn} Sia $\O\( \rt,\;\O \neq\0,\;$ aperto.\\ La seguente espressione, \eal{&\fdl\xyz} che indichiamo brevemente con $\o$, si chiama \emph{forma differenziale lineare} in $\O$, nelle variabili $X,Y,Z$. Dove $X,Y,Z$ sono le seguenti funzioni: \eal{&X\xyz,Y\xyz,Z\xyz:\O \longrightarrow \mathbb{R}} Stabiliamo che \eal{&\o \T{ e' di classe }\sczn{k}{\O} \definizione{\=} X,Y,Z\in \sczn{k}{\O} } e infine \eal{&\o\T{ e' esatta o integrabile } \definizione{\=} \exists F\xyz:\O\longrightarrow \mathbb{R}\T{ t.c. }\sist{\exists F_x\xyz=X\xyz\\\exists F_y\xyz=Y\xyz\\\exists F_z\xyz=Z\xyz}\;\forall \xyz\in \O} $F$ si chiama \emph{primitiva} della forma differenziale $\o$.\\ Analogamente si possono ridare queste definizioni in $\rn$. \end{defn} \begin{prop} \label{propfdlprimitivadiffcostanteI} Sia $\omega $ una forma differenziale lineare esatta in $\O$. Si ha \eal{& \sist{F\xyz:\O \longrightarrow \mathbb{R}\T{ e' una primitiva di }\o\\ \exists c\in \mathbb{R}:\;G\xyz=F\xyz+c} \> G,F\T{ sono primitive di }\o \T{ in } \O } o equivalentemente \eal{& {F\xyz:\O \longrightarrow \mathbb{R}\T{ e' una primitiva di }\omega } \> F\xyz+c\T{ e' una primitiva di }\omega } Il viceversa vale pero' sotto opportune ipotesi. \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{La proposizione e' diretta conseguenza della definizione e delle proprieta' di derivazione: $D_x[F\xyz+c]=F_x\xyz$. Diamo percio' un controesempio per vedere che il viceversa non vale .} \begin{prova} Sia \eal{&\O_1 = \pgra{\xy\in \rd\;|\;y>0}\\ &\O_2 = \pgra{\xy\in \rd \;|\;y< 0}\\ &\O = \O_1 \U \O_2 } Consideriamo la funzione \eal{&F\xy=\frac{x}{y}:T\longrightarrow \mathbb{R}} e consideriamola come la primitiva di una forma differenziale $\o$: calcoliamo quindi le sue derivate parziali per trovare $X\xy,Y\xy$: \eal{&X\xy=F_x\xy = \frac{1}{y}:T \longrightarrow \mathbb{R}\\ &Y\xy = F_y \xy = -\frac{x}{y^2}: T \longrightarrow \mathbb{R} } Un'altra primitiva di $\o$ e' la funzione \eal{&G(x,y)=\sist{F\xy +1 & \xy\in \O_1\\F\xy+2 &\xy\in \O_2}} $G$ e $F$ non differiscono di una costante, infatti, \eal{&G\xy-F\xy = 1 \;\;\forall \xy \in \O_1\\ &G\xy-F\xy = 2 \;\;\forall \xy \in \O_2 } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop} Dato $\O \( \rt,\;\O \neq \0,\;\O$ aperto, e inoltre $\O$ internamente connesso, e data $\o$ forma differenziale lineare esatta in $\O$, si ha \eal{& \sist{F\xyz:\O \longrightarrow \mathbb{R}\T{ e' una primitiva di }\o\\ \exists c\in \mathbb{R}:\;G\xyz=F\xyz+c} \= G,F\T{ sono primitive di }\o \T{ in } \O } Quindi, in questo caso, l'insieme di tutte e' sole le primitive di $\o$ e': \eal{&\int \o = \int \fdl\xyz \definizione{=} \pgra{F\xyz+c\;|\;c\in \mathbb{R}}} dove $F\xyz$ e' una qualsiasi primitiva di $\o$. \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{ L'implicazione $\>$ e' stata gia' vista nella prop. \see{propfdlprimitivadiffcostanteI}. Dimostriamo il viceversa. } \begin{prova} \eal{&F\T{ primitiva di } \o \T{ in }\O \> \sist{\exists F_x\xyz=X\xyz\\\exists F_y\xyz=Y\xyz\\\exists F_z\xyz=Z\xyz}\;\forall \xyz\in \O} d'altronde, le derivate di $G\xyz$ sono le stesse di $F\xyz$, ovvero $G$ ed $F$ hanno lo stesso gradiente, allora \eal{& \sist{\grad F\xyz = \grad G\xyz \forall \xyz \in \O\\ \O\T{ aperto non vuoto internamente connesso } } \ubrace{\>}{\T{cor } \AII{cordiffdifunzagradientenullo}} \exists c\in \mathbb{R}:\;\;F\xyz-G\xyz=c\T{ in } \O } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop} \label{propFprimitivafdlalloradifferenziabile} Sia $\Omega $ un aperto e sia $\o$ una f.d.l esatta in $\O$ e sia $\o$ di classe $\sczn{0}{\O}$. \eal{&F\T{ e' una primitiva di } \O \> F\T{ e' differenziabile in }\O } \end{prop} \begin{prova} \pf \eal{&\O\T{ di classe } \sczn{0}{\O} \= X,Y,Z\in \sczn{0}{\O} \;\;(*)\\ &F\T{ primitiva di } \o \T{ in }\O \> \sist{\exists F_x\xyz=X\xyz\\\exists F_y\xyz=Y\xyz\\\exists F_z\xyz=Z\xyz}\;\forall \xyz\in \O \ubrace{\>}{(*)} F_x,F_y,F_z\in \sczn{0}{\O}\\ &\qq \ubrace{\>}{\AII{thmdifftotale}} F\T{ e' differenziabile in }\O} \qed \end{prova} \begin{exemp} \eal{&\int \frac{x}{x^2+y^2}dx+\frac{y}{x^2+y^2}dy = \frac{1}{2}\log(x^2+y^2)+c} \end{exemp} \begin{exemp} Esempio di forma differenziale lineare non esatta.\\ \eal{&\o = ydx+0dy,\;\;\O = \rd } Supponiamo per assurdo che $F\xy$ sia una primitiva di $\o$, allora \eal{&\sist{F_x\xy = y\\F_y\xy=0} \> \sist{F_{xy}\xy = 1 \\ F_{yx}\xy =0} } Ma per il thm sull'invertibilita' dell'ordine di derivazione di Schwartz (vedi \AII{ordinedideriv}), si ha: \eal{&F_{xy}\xy=F_{yx}\xy\= 1=0} assurdo. \qed \end{exemp} \subsection{Integrale curvilineo della f.d.l.} \def\fdlc{{X(x(t),y(t),z(t))x'(t)+Y(x(t),y(t),z(t))y'(t)+Z(x(t),y(t),z(t))z'(t)}} Sia $\O\( \rt,\;\O \neq \0,\;$ aperto, e siano $X,Y,Z$ le seguenti funzioni: \eal{&X\xyz,Y\xyz,Z\xyz:\O \longrightarrow \mathbb{R}} continue in $\O$, ovvero $X,Y,Z\in \sczn{0}{\O}$.\\ La forma diff. lin. $\o$ \eal{&\o = \fdl\xyz} e' quindi di classe $\sczn{0}{\O}$. \begin{defn} \textbf{$\gamma$ regolare}\\ Sia \eal{&\gamma:\;\;\sist{x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)}t\in [a,b]} la rappresentazione parametrica da cui si evince che $\gamma$ e' una curva sghemba regolare. Supponiamo inoltre che $\gamma \( \O$, allora poniamo \eal{& \intc{\gamma}{A}{B}\o = \intc{\gamma}{A}{B} \fdl\xyz \\ &\qq \definizione{=} \intd{a}{b}\pqua{\fdlc}\;dt\\ &\T{ dove } A=(x(a),y(a),z(a)),\;\;B=(x(b),y(b),z(b))\T{ sono gli estremi di } \gamma } \end{defn} \begin{defn}\label{deffdlgammagenregsemp} \textbf{$\gamma$ generalmente regolare semplice}\\ Sia \eal{&\gamma:\;\;\sist{x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)}t\in [a,b]} la rappresentazione parametrica da cui si evince che $\gamma$ e' una curva sghemba generalmente regolare e semplice. Supponiamo che $\gamma \( \O$.\\ Essendo $\gamma$ generalmente regolare, esistono $\gamma_1,\dots,\gamma_r$ curve regolari tali che \eal{&\gamma=\bigcup_{i=1}^r\gamma_i} allora poniamo \eal{& \intc{\gamma}{A}{B}\o \definizione{=} \sum_{i=1}^r \intc{\gamma_i}{C_{i-1}}{C_i}\o\\ &\T{ dove } A=(x(a),y(a),z(a)),\;\;B=(x(b),y(b),z(b))\T{ sono gli estremi di } \gamma\\ &\qq \T{$C_{i-1},\;C_i$ sono gli estremi di $\gamma_i$} } \end{defn} \begin{defn} \label{defgammagenregsempchiusa} \label{deffdlgammagenregsempchiusa} \textbf{$\gamma$ generalmente regolare semplice chiusa}\\ Sia \eal{&\gamma:\;\;\sist{x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)}t\in [a,b]} la rappresentazione parametrica da cui si evince che $\gamma$ e' una curva sghemba generalmente regolare semplice e chiusa. Supponiamo che $\gamma \( \O$.\\ Essendo $\gamma$ generalmente regolare, esistono $\gamma_1,\dots,\gamma_r$ curve regolari tali che \eal{&\gamma=\bigcup_{i=1}^r \gamma_i} Stavolta pero' $A=B$. Scegliamo allora un verso di percorrenza, ad esempio quello delle $t$ crescenti, e poniamo \eal{&\int_{+\gamma}\o = \int_{+\gamma}\fdl\xyz \definizione{=} \sum_{i=1}^r \intc{\gamma_i}{C_{i-1}}{C_i}\o\\ &\T{ dove il vettore $\vec{C_{i-1}C_i}$ e' positivo secondo il verso fissato su $\gamma$}\\ &\qq C_0=C_r } \end{defn} \begin{prop} \label{propfdladditivita} \label{propadditchiusa} Proprieta' di additivita'.\\ Nelle ipotesi della definizione \see{deffdlgammagenregsemp}, o della \see{deffdlgammagenregsempchiusa}, preso un punto $C=(x(c),y(c),z(c)),\;\;c\in ]a,b[$, si ha \eal{& \intc{\gamma}{A}{B}\o = \intc{\gamma_1}{A}{C}\o + \intc{\gamma_2}{C}{B} \o\\ &\T{ dove } \gamma_1=\pgra{(x(t),y(t),z(t)) \;|\;t\in [a,c]},\;\;\gamma_2=\pgra{(x(t),y(t),z(t))\;|\;t\in [c,b]}} \end{prop} \begin{prop} \label{propfdlformulaintcurv} Sia $\o$ una forma diff. lin. in $\O$, nei coefficienti $X,Y,Z$. Si ha \eal{&\sist{ \o\T{ di classe } \sczn{0}{\O}\\ \o \T{ esatta }\\ \gamma\( \O \T{ curva gen. reg. semp. di estremi $A,B$} }\> \intc{\gamma}{A}{B}\o = F(B)-F(A) } dove $F\xyz:\O \longrightarrow \mathbb{R}$ e' una qualsiasi primitiva di $\o$. \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Supponiamo inizialmente che $\gamma$ si regolare} \begin{prova} Sia $\gamma=\pgra{(x(t),y(t),z(t))\;|\;t\in [a,b]}$ una rappr. param. da cui si evince che $\gamma$ e' regolare. Quindi \eal{&B=(x(b),y(b),z(b)), A=(x(a),y(a),z(a))\\ &x,y,z\in \sczn{1}{[a,b]} \> x,y,z\T{ sono derivabili in }[a,b] \;\;(1)\\ &\o\T{ esatta } \> \exists F\xyz:\O \longrightarrow \mathbb{R}\T{ primitiva di $\o$ } \> \sist{\exists F_x\xyz=X\xyz\\\exists F_y\xyz=Y\xyz\\\exists F_z\xyz=Z\xyz}\;\forall \xyz\in \O \;\;(2)\\ &\sist{\o\T{ di classe }\sczn{0}{\O}\\ \o\T{ esatta} } \ubrace{\>}{ \see{propFprimitivafdlalloradifferenziabile}} F\T{ differenziabile in }\O \;\;(3)\\ &\intc{\gamma}{A}{B}\o = \intd{a}{b}\pqua{\fdlc}\;dt =\\ &\qq \ubrace{=}{(2)} \intd{a}{b}\pqua{F_x(x(t),y(t),z(t))x'(t)+\dots+ F_z(x(t),y(t),z(t))z'(t) }\;dt =\\ &\qq \ubrace{=}{(*)} \intd{a}{b} D\pqua{F(x(t),y(t),z(t))}\;dt = F(x(b),y(b),z(b))-F(x(a),y(a),z(a))= F(B)-F(A) } (*) Per il thm di derivazione di funzioni composte (vedi \AII{thmderifcomp}). Per la $(1)$ e $(3)$ e poiche' $\gamma\( \O$, le ipotesi sono rispettate. \end{prova} \step{}{Supponiamo adesso che $\gamma$ sia gen. reg. semp.} \begin{prova} Essendo $\gamma$ generalmente regolare, esistono $\gamma_1,\dots,\gamma_r$ curve regolari tali che \eal{&\gamma=\bigcup_{i=1}^r \gamma_i} Siano $C_{i-1},C_i$, gli estremi di ogni curva $\gamma_i$, dove $C_0=A,\;C_{r}=B$ \eal{ &\o\T{ esatta } \> \exists F\T{ primitiva di } \o \T{ in }\O\\ &\intc{\gamma}{A}{B}\o = \sum_{i=1}^r \intc{\gamma_i}{C_{i-1}}{C_i}\o \ubrace{=}{\T{passo prec.} } \sum_{i=1}^r F(C_i)-F(C_{i-1}) \ubrace{=}{\T{somma telescopica}} F(C_{r})-F(C_0) = F(B)-F(A) } \end{prova} \qed \end{prova} \begin{thm}\label{thmcritesattI} Criterio I per l'esattezza di $\o$\\ Sia $\O \( \rt$, non vuoto, aperto e \textbf{internamente connesso}.\\ Sia $\o$ una forma diff. lin. nei coefficienti $X,Y,Z$ e di classe $\sczn{0}{\O}$. Si ha \eal{&\o \T{ e' esatta in } \O \=\\ & \qq \= \forall P_0,P_1\in \O: P_0 \neq P_1\;\;\exists k\in \mathbb{R}:\;\;\intc{\gamma}{P_0}{P_1}\o = k\;\;\forall \gamma\( \O \T{ curva gen. reg. semplice di estremi }P_0,P_1} \end{thm} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\>$} \begin{prova} \eal{&\o\T{ esatta } \> \exists F\T{ primitiva di } \o \T{ in }\O\\ &\intc{\gamma}{P_0}{P_1}\o \ubrace{=}{\T{ prop \see{propfdlformulaintcurv} }} F(P_1)-F(P_0) = k \in \mathbb{R} } e ovviamente $k$ non dipende da $\gamma$.\\ Nota: l'esistenza di $\gamma$ e' garantita dal fatto che $\O$ sia internamente connesso: infatti, esiste almeno una poligonale di punti terminali $P_0,P_1$. \end{prova} \step{}{Dim $\<$} \begin{prova} Dobbiamo dimostrare che $\o$ e' esatta, ovvero dobbiamo trovare una sua primitiva. Sia fissato $P_0=(x_0,y_0,z_0)\in \Omega $ e sia definita la seguente funzione \eal{&F(P_1) = \sist{0& P_1=P_0\\ \intc{\gamma}{P_0}{P_1} \o &P_1 \neq P_0}:\O \longrightarrow \mathbb{R}\\ &\T{ dove } \gamma\( \O \T{ curva gen. reg. semplice di estremi }P_0,P_1} Per Hp $F(P_1)$ non dipende dalla particolare scelta di $\gamma$.\\ Dimostriamo che $F$ e' la primitiva cercata, ovvero dimostriamo che \eal{& \sist{\exists F_x(P_1)=X(P_1)\\\exists F_y(P_1)=Y(P_1)\\\exists F_z(P_1)=Z(P_1)}\;\forall P_1\in \O \;\;(*) } Distinguiamo due casi \case{$P_0=P_1$} \begin{prova} Dimostriamo la $(*)$ solo per $F_x$. \eal{&F_x(P_1) = \lim_{x\to x_1}\frac{F(x,y_1,z_1)-F(x_1,y_1,z_1) }{x-x_1} \ubrace{=}{P_0=P_1} \lim_{x\to x_0}\frac{F(x,y_0,z_0)-\obrace{F(P_0)}{=0} }{x-x_0} \ubrace{=}{P=(x,y_0,z_0) \neq P_1} \lim_{x\to x_0}\frac{F(P) }{x-x_0} =\\ & \ubrace{=}{(**)} \lim_{x\to x_0}\frac{\intc{\gamma}{P_0}{P}\o }{x-x_0} } (**) Poiche' stiamo considerando il limite, e' lecito supporre $P \neq P_1=P_0$ e quindi $x \neq x_0$.\\ Possiamo anche supporre che \eal{&P_0 \in \O \T{ aperto } \> \exists \delta_0 >0:\;\; I(P_0,\delta_0) \( \O\\ &\T{ supponiamo } x\in ]x_0-\delta_0,x_0+\delta_0[ \T{ cosi' da avere } \\ &\qq P,P_0\in I(P_0,\delta_0) \( \O \> \vec{PP_0} \( \O } fatto questo, come curva $\gamma$ scegliamo proprio il segmento $\vec{PP_0}$, di rappresentazione parametrica \eal{&\gamma=\vec{PP_0} :\;\;\sist{x=t\\y=y_0\\z=z_0}t\in [a,b]\\ &a=\min\pgra{x_0,x},\;\;b=\max\pgra{x_0,x}\;\;(1) } quindi dalla $(*)$ abbiamo \eal{&F_x(P_1) = \lim_{x\to x_0}\frac{\intc{\gamma}{P_0}{P}\o }{x-x_0}= \lim_{x\to x_0}\frac{ \intd{a}{b}X(t,y_0,z_0)\;dt } {x-x_0} \ubrace{=}{\T{thm della media (**)} } \lim_{x\to x_0}\frac{ X(\xi,y_0,z_0)(b-a)}{x-x_0}=\\ & \qq \ubrace{=}{(1)} \lim_{x\to x_0}\frac{ X(\xi,y_0,z_0)|x-x_0|}{x-x_0} = \lim_{x\to x_0} { X(\xi,y_0,z_0)\;\;(2) } } (**) $X$ e' continua perche' $\o$ e' di classe $\sczn{0}{\O}$.\\ Chiaramente per $x\to x_0$ si ha che $\xi\to x_0$, infatti, supponiamo per fissare le idee che $x>x_0$, allora $[a,b]=[x_0,x]$, si ha \eal{&\xi \in [a,b] = [x_0,x] \> x_0 \le \xi \le x \ubrace{\>}{\T{ per }x\to x_0} x_0 \le \lim_{x\to x_0}\xi \le x_0 \> \lim_{x\to x_0}\xi = x_0 } Quindi, poiche' $X$ e' continua, dalla $(2)$ abbiamo \eal{& F_x(P_1) = \lim_{x\to x_0} { X(\xi,y_0,z_0) } = X(x_0,y_0,z_0) = X(P_1) } \end{prova} \case{$P_0 \neq P_1$} \begin{prova} \eal{&P_1 \in \O \T{ aperto } \> \exists \delta_1' >0:\;\; I(P_1,\delta_1') \( \O\\ &\delta_1=\min \pgra{\delta_1', d(P_1,P_0)}\\ &\T{ supponiamo } x\in ]x_1-\delta_1,x_1+\delta_1[\-\pgra{x_1} \T{ cosi' da avere } \\ &\qq P=(x,y_1,z_1),P_1\in I(P_1,\delta_1) \( \O \> s=\vec{PP_1} \( \O\;\;(1') } Per la scelta di $\delta_1$ si ha che $P_0\notin I(P_1,\delta_1)$. \eal{&F_x(P_1) = \lim_{x\to x_1}\frac{F(x,y_1,z_1)-F(x_1,y_1,z_1) }{x-x_1} = \lim_{x\to x_1} \frac{\intc{\gamma'}{P_0}{P}\o - \intc{\gamma}{P_0}{P_1}\o}{x-x_1}} Cerchiamo adesso di sfruttare la proprieta' di additivita' (\vedi{propfdladditivita}) per semplificare gli integrali al numeratore. Per Hp possiamo scegliere liberamente sia $\gamma'$ sia $\gamma$, allora \eal{&\T{sia }\gamma'=s\U \gamma \\ &\qq \T{dove $s=\vec{PP_1}$ e' il segmento di estremi $P$, $P_1$}\\ &\qq \T{$\gamma$ e' una curva gen. reg. semplice di estremi $P_0P_1$, tale che } \gamma\^ s ={P_1},\;\;\gamma\( \O\;\;(2')\\ &(1'),(2') \> \gamma' \( \O,\;\;\gamma' \T{ gen. reg. semplice di estremi } P_0,P\\ &s:\sist{x=t\\y=y_1\\z=z_1}t\in [x_1,x] } L'esistenza di $\gamma$ e' assicurata dall'interna connessione di $\O$.\\ Ritorniamo la rapporto incrementale: \eal{&F_x(P_1) \ubrace{=}{\vedi{propfdladditivita}} \lim_{x\to x_1} \frac{\intc{\gamma}{P_0}{P_1} \o + \intc{s}{P_1}{P}\o - \intc{\gamma}{P_0}{P_1}\o}{x-x_1} =\lim_{x\to x_1} \frac{ \intc{s}{P_1}{P}\o }{x-x_1} =\lim_{x\to x_1} \frac{ \intd{x_1}{x} X(t,y_1,z_1)\;dt}{x-x_1 } } A questo punto procediamo come nel passo precedente: \eal{&F_x(P_1) \ubrace{=}{\T{thm della media} } \lim_{x\to x_1}\frac{ X(\xi,y_1,z_1)(x-x_1)}{x-x_1}= \lim_{x\to x_1} { X(\xi,y_1,z_1) } = X(x_1,y_1,z_1) } \end{prova} \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop} Il teorema \see{thmcritesattI} e' utile per il calcolo dell'integrale $\intc{\gamma}{P_0}{P_1}\o$. Infatti, nelle Hp del thm, non importa piu' chi sia $\gamma$, e quindi possiamo scegliere arbitrariamente una $\gamma'$, che sia gen. reg. semplice e di estremi $P_0,P_1$. Ovviamente, sceglieremo quella piu' semplice possibile. Fatto cio', avremo: \eal{&\intc{\gamma}{P_0}{P_1}\o =\intc{\gamma'}{P_0}{P_1}\o } Da cio' discende il seguente risultato: \eal{& \T{ se $\o$ e' esatta e $\gamma$ e' una curva gen. reg. semplice e di estremi $P_0,P_1$, si ha: }\\ & \intc{\gamma}{P_0}{P_1}\o \ubrace{=}{(*)} \intd{a_1}{b_1} X(t,y_0,z_0)\;dt+\intd{a_2}{b_2} Y(x_1,t,z_0)\;dt+\intd{a_3}{b_3} Y(x_1,y_1,t)\;dt\\ &\T{ dove }\\ &\qq P_0=(x_0,y_0,z_0),\;P_1=(x_1,y_1,z_1)\\ &\qq a_1=\min\{x_0,x_1\},\;\;b_1=\max\{x_0,x_1\}\\ &\qq a_2=\min\{y_0,y_1\},\;\;b_2=\max\pgra{y_0,y_1}\\ &\qq a_3=\min\{z_0,z_1\},\;\;b_3=\max\pgra{z_0,z_1} } \end{prop} \begin{prova} \pf Come curva $\gamma'$ possiamo prendere il segmento $\vec{P_0P_1}$, oppure una qualsiasi poligonale. Una poligonale che puo' rivelarsi utile e' $\gamma'=s_1\U s_2 \U s_3$, dove $s_1,s_2,s_3$ sono i segmenti: \eal{&s_1=\vec{P_0P_0'},\;\;s_2=\vec{P_0'P_1'},\;\;s_3=\vec{P_1'P_0}\\ &P_0'=(x_1,y_0,z_0),\;\;P_1'=(x_1,y_1,z_0)} Con questa scelta abbiamo: \eal{& \intc{\gamma}{P_0}{P_1}\o =\intc{\gamma'}{P_0}{P_1}\o \ubrace{=}{\see{propfdladditivita}} \intc{s_1}{P_0}{P_0'}\o +\intc{s_2}{P_0'}{P_1'}\o + \intc{s_3}{P_1'}{P_1}\o\;\;(*) } \begin{center} \includegraphics[scale=0.7]{fig/fdlsemplificazione} \end{center} e poiche' le rappr. param. di $s_1,s_2,s_3$ sono \eal{&a_1=\min\{x_0,x_1\},\;\;b_1=\max\{x_0,x_1\}\\ &a_2=\min\{y_0,y_1\},\;\;b_2=\max\pgra{y_0,y_1}\\ &a_3=\min\{z_0,z_1\},\;\;b_3=\max\pgra{z_0,z_1}\\ &s_1:\;\;\sist{x=t\\ y=y_0\\z=z_0}\;t\in [a_1,b_1],\qq s_2:\;\;\sist{x=x_1\\y=t\\z=z_0}\;t\in [a_2,b_2],\qq s_3:\;\;\sist{x=x_1\\y=y_1\\z=t}\;t\in [a_3,a_3] } per definizione avremo: \eal{ &\intc{s_1}{P_0}{P_0'}\o= \intd{a_1}{b_1} X(x(t),y(t),z(t))x'(t)+Y(x(t),y(t),z(t))y'(t)+Z(x(t),y(t),z(t))z'(t)\;dt =\\ &\qq \qq = \intd{a_1}{b_1} X(t,y_0,z_0)\;dt \\ &\intc{s_2}{P_0'}{P_1'}\o=\intd{a_2}{b_2} Y(x_1,t,z_0)\;dt\\ &\intc{s_3}{P_0'}{P_1'}\o=\intd{a_3}{b_3} Y(x_1,y_1,t)\;dt\\ &\intc{\gamma'}{P_0}{P_1}\o \ubrace{=}{(*)} \intd{a_1}{b_1} X(t,y_0,z_0)\;dt+\intd{a_2}{b_2} Y(x_1,t,z_0)\;dt+\intd{a_3}{b_3} Y(x_1,y_1,t)\;dt } \qed \end{prova} \begin{prop} Nelle stesse ipotesi del thm \see{thmcritesattI}, e fissato $P_0\in \O$ si ha \eal{&\o \T{ e' esatta } \> F(P) = \sist{0& P=P_0\\ \intc{\gamma}{P_0}{P} \o &P \neq P_0}:\O \longrightarrow \mathbb{R} \T{ e' una primitiva di $\o$} \\ &\qq \T{ dove } \gamma\( \O \T{ curva gen. reg. semplice di estremi }P_0,P} \end{prop} \begin{prova} \pf Segue dal thm \see{thmcritesattI} e dalla dimostrazione del secondo passo dello stesso thm. \end{prova} \begin{thm}\label{thmcritesattI'} Criterio I' per l'esattezza di $\o$\\ Sia $\O \( \rt$, non vuoto, aperto e \textbf{internamente connesso}.\\ Sia $\o$ una forma diff. lin. nei coefficienti $X,Y,Z$ e di classe $\sczn{0}{\O}$. Si ha \eal{ &\o \T{ e' esatta in } \O \= \forall \gamma\( \O\;\;\int_{+\gamma}\o = 0\\ &\qq \T{ dove } \gamma\T{ e' una curva gen. reg. semplice chiusa}\\ &\o \T{ e' esatta in } \O \= \forall \Sigma \( \O\;\;\int_{+\Sigma} \o = 0\\ &\qq \T{ dove } \Sigma \T{ e' una poligonale semplice e chiusa } } Osservazione: questo teorema e' utile per dimostrare che una f.d.l e' non esatta: basta trovare una $\gamma\(\O$ gen. reg. semplice chiusa tale che $\int_{+\gamma}\o \neq 0$. \end{thm} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\>$} \begin{prova} Sia $\gamma$ una curva gen. reg. semplice chiusa. Fissiamo $A \neq B \in \gamma$. Per la prop. di additivita' (\vedi{propadditchiusa}): \eal{&\int_{+\gamma}\o = \intc{\gamma_1}{A}{B}\o + \intc{\gamma_2}{B}{A}\o\\ &\T{ dove } \gamma_1\U \gamma_2 = \gamma,\;\;\gamma_1\^\gamma_2=\pgra{A,B}\\ &\qq \gamma_1 \T{ di estremi} A,B,\;\gamma_2\T{ di estremi } B,A\\ &\qq \gamma_1,\gamma_2\T{ curve gen. reg. semplici} } Poiche' $\o$ e' esatta e poiche' $A,B\in \gamma\(\O$, e per il thm \see{thmcritesattI} \eal{& \intc{\gamma_1}{A}{B} \o= k =\intc{\gamma_2}{A}{B}\o = -\intc{\gamma_2}{B}{A}\o \\ &\int_{+\gamma}\o =\intc{\gamma_1}{A}{B}\o + \intc{\gamma_2}{B}{A}\o = \intc{\gamma_1}{A}{B}\o -\intc{\gamma_1}{A}{B} \o =0 } \end{prova} \step{}{Dim $\<$. Daremo solo uno schizzo di dimostrazione. I passi segnati con $(!)$ sono quelli che non sono stati dimostrati.} \begin{prova} Dimostriamo che \eal{&\forall P_0,P_1\in \O: P_0 \neq P_1\;\;\exists k\in \mathbb{R}:\;\;\intc{\gamma}{P_0}{P_1}\o = k\;\;\forall \gamma\( \O \T{ curva gen. reg. semplice di estremi }P_0,P_1 } cosi' dal thm \see{thmcritesattI} seguira' la tesi.\\ \lineapiccola\\ Fissiamo $P_0,P_1$, e siano $\gamma_1,\gamma_2\(\O$ due curve gen. reg. semplici rispettivamente di estremi $P_0,P_1$ e $P_1,P_0$, che esistono perche' $\O$ e' internamente connesso.\\ Distinguiamo due casi. \case{$\gamma_1\^\gamma_2 = \pgra{P_0,P_1}$, ovvero $\gamma_1,\gamma_2$ hanno in comune al piu' gli estremi} \begin{prova} Se consideriamo $\gamma=\gamma_1\U\gamma_2$, avremo una curva gen. reg. semplice e chiusa. Infatti, e' semplice perche' $\gamma_1,\gamma_2$ non hanno punti a comune oltre agli estremi. E' gen. regolare perche' unione di curve gen. reg. Ed e' chiusa perche' non esistono estremi.\\ \begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{fig/fdlcrit1} \end{center} Allora, per Hp \eal{ &\int_{+\gamma}\o = 0\;\;(*)\\ &\T{ e per la proprieta' di additivita' (\vedi{propadditchiusa}:}\\ &\int_{+\gamma} \o \ubrace{=}{\T{ additivita' }} \intc{\gamma_1}{P_0}{P_1}\o + \intc{\gamma_2}{P_1}{P_0}\o \ubrace{=}{(*)} 0 \\ &\intc{\gamma_1}{P_0}{P_1}\o = - \intc{\gamma_2}{P_1}{P_0}\o = \intc{\gamma_2}{P_0}{P_1} } \end{prova} \case{$\gamma_1\^\gamma_2 \supset \pgra{P_0,P_1}$} \begin{prova} In questo caso \eal{& \gamma=\gamma_1\U\gamma_2 \ubrace{=}{(!)} \Gamma_1 \U \dots \U \Gamma_j\U s_1\U\dots s_k } dove $\Gamma_i$ e' una curva gen. reg. semplice e chiusa \eal{&\Gamma_i=\delta_i\U\delta_i',\T{ con } \delta_i \( \gamma_1,\;\;\delta_i \(\gamma_2\\ &\delta_i,\delta_i' \T{ curve gen. regolari semplici di estremi } D_{i-1},D_i \T{ e } D_{i},D_{i-1} } e $s_i$ sono segmenti e inoltre \eal{&\gamma_1 = \delta_1\U \dots\U \delta_j \U s_1 \U \dots \U s_k \\ &\qq \delta_i,s_k \T{ hanno al piu' gli estremi in comune }\\ &\gamma_2 = \delta_1'\U \dots \U \delta_j' \U s_1 \U \dots \U s_k\\ &\qq \delta_i',s_k \T{ hanno al piu' gli estremi in comune }\\ } \begin{center} \includegraphics[scale=0.6]{fig/fdlcrit2} \end{center} e quindi per l'additivita' (\vedi{propfdladditivita}) (!): \eal{& \intc{\gamma_1}{P_0}{P_1} \o = \sum_{i=1}^{j} \intc{\delta_i}{D_{i-1}}{D_i}\o + \sum_{i=1}^{k}\intc{s_i}{S_{i-1}}{S_i}\o\\ &\intc{\gamma_2}{P_0}{P_1}\o =\sum_{i=1}^{j}\intc{\delta_i'}{D_{i-1}}{D_{i}}\o + \sum_{i=1}^{k}\intc{s_i}{S_{i-1}}{S_i}\o } dove $S_{i-1},S_i$ sono gli estremi del segmento $s_i$.\\ Per quanto visto nel passo precedente abbiamo che \eal{&\sist{ \delta_i\^ \delta_{i'} = \pgra{D_{i-1},D_i}\\ \delta_i,\delta_{i'} \T{ gen. reg. semplici, contenute in } \O } \ubrace{\>}{\T{passo precedente }} \intc{\delta_i}{D_{i-1}}{D_i}\o =\intc{\delta_i'}{D_{i-1}}{D_{i}}\o\\ & \sum_{i=1}^{j} \intc{\delta_i}{D_{i-1}}{D_i}\o =\sum_{i=1}^{j}\intc{\delta_i'}{D_{i-1}}{D_{i}}\o } e quindi \eal{& \sum_{i=1}^{j} \intc{\delta_i}{D_{i-1}}{D_i}\o + \sum_{i=1}^{k}\intc{s_i}{S_{i-1}}{S_i}\o =\sum_{i=1}^{j}\intc{\delta_i'}{D_{i-1}}{D_{i}}\o + \sum_{i=1}^{k}\intc{s_i}{S_{i-1}}{S_i}\o \=\\ &\= \intc{\gamma_1}{P_0}{P_1} \o = \intc{\gamma_2}{P_0}{P_1}\o } \end{prova} \end{prova} \qed \end{prova} \begin{defn} \ilabel{condizioni di simmetria} Sia $\O \( \rt$, non vuoto, aperto.\\ Sia $\o$ una forma differenziale lineare in $\O$ nei coefficienti $X,Y,Z$. \eal{& \w\T{ rispetta le condizioni di simmetria } \definizione{\=} \sist{ \exists X_y(x,y),X_z(x,y),Y_x(x,y),Y_z(x,y)\;\;\forall (x,y)\in \O\\ \exists Z_x(x,y),Z_y(x,y)\;\;\forall (x,y)\in \O\\ X_y=Y_x\\ Y_z=Z_y\\ Z_x=X_z}} dove $X_y,Y_x,Y_z,Z_y,Z_x,X_z$ sono le varie derivate parziali prime. Analogamente, se $\w$ e' a due variabili $X,Y$: \eal{& \w\T{ rispetta le condizioni di simmetria } \definizione{\=} \sist{ \exists X_y(x,y),Y_x(x,y)\;\;\forall (x,y)\in \O\\ X_y=Y_x }} Infine, \eal{& \w \T{ e' chiusa in } \O \definizione{\=} \sist{\o\in \sczn{1}{\O} \\ \T{valgono le condizioni di simmetria per } \w}} \end{defn} \begin{thm} \label{thmfdlsimmetria} Sia $\O \( \rt$, non vuoto, aperto.\\ Sia $\o$ una forma diff. lin. nei coefficienti $X,Y,Z$ e di classe $\sczn{1}{\O}$. Si ha \eal{&\o \T{ e' esatta in } \O \>\o \T{ e' chiusa in }\O} Non vale il viceversa. \end{thm} \begin{prova} \pf \step{}{Dim $\>$} \begin{prova} \eal{&\o\T{ esatta } \in \O \> ` \sist{\exists F_x\xyz=X\xyz\\\exists F_y\xyz=Y\xyz\\\exists F_z\xyz=Z\xyz}\;\forall \xyz\in \O \= \sist{F_x=X\\ F_y=Y\\ F_z=Z}\\ &\o\T{ di classe } \sczn{1}{\O} \> X,Y,Z \in \sczn{1}{\O} \= F_x,F_y,F_z \in \sczn{1}{\O}\\ &\qq \> \exists F_{xy}, F_{yx},F_{xz},F_{zx},F_{zy},F_{yz}\T{ e' sono continue in }\O\\ & \sist{F_x=X\\ F_y=Y\\ F_z=Z} \> \sist{F_{xy}=X_{y} \\ F_{yx} = Y_x} \ubrace{\>}{\T{Schwartz {\AII{ordinedideriv}}}} F_{xy}=F_{yx} \= X_y=Y_x} analogamente si hanno le altre uguaglianze. \end{prova} \step{}{Dimostriamo che non vale il viceversa} \begin{prova} Consideriamo \eal{&\o = \frac{y}{x^2+y^2}dx-\frac{x}{x^2+y^2}dy\qq \O=\rd\-\pgra{(0,0)}\\ &X(x,y)= \frac{y}{x^2+y^2}:\O \longrightarrow \mathbb{R}\\ &Y(x,y)= \frac{-x}{x^2+y^2}:\O \longrightarrow \mathbb{R}\\ &X_y(x,y)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}=Y_x(x,y)\;\;\forall (x,y)\in \rd} \step{}{$\o$ non e' esatta} \begin{prova} Cerchiamo di usare il thm \see{thmcritesattI'}.\\ Scegliamo \eal{& \gamma=\T{circonferenza((0,0),1)}:\sist{x=\cos t\\y=\sin t}t\in [0,2\pi]\\ &A=(0,1),\;\;B=(1,0)} Per la prop. di additivita' (\vedi{propadditchiusa}): \eal{&\int_{+\gamma}\o= \intc{\gamma_1}{A}{B}\o +\intc{\gamma_2}{B}{A}\o\\ &\T{ dove }\gamma_1=\pgra{(\cos t,\sin t)\;|\;t\in[0,\pi]},\;\;\gamma_2=\pgra{(\cos t,\sin t)\;|\;t\in[\pi,2\pi]}\\ &\intc{\gamma}{A}{B}\o = \intd{0}{\pi}X(\cos t,\sin t)(-\sin t)+Y(\cos t,\sin t)\cos t \;dt=\\ &\qq =\intd{0}{\pi} \frac{-\sin^2 t}{\cos^2t+\sin^2t} + \frac{-\cos^2t}{\cos^2t+\sin^2t}\;dt = \intd{0}{\pi} -1\;dt= -\pi\\ &\intc{\gamma}{B}{A}\o = -\pi\\ &\int_{+\gamma}\o= \intc{\gamma_1}{A}{B}\o +\intc{\gamma_2}{B}{A}\o = -2\pi \neq 0 \ubrace{\>}{\T{thm } \see{thmcritesattI'}} \o\T{ e' non esatta} } \end{prova} \end{prova} \qed \end{prova} \begin{thm} \label{thmfdlsimmetriainverso} Sia $\O \( \rt$, non vuoto, aperto.\\ Sia $\o$ una forma diff. lin. nei coefficienti $X,Y,Z$. Si ha \eal{&\sist{\o \T{ e' chiusa in } \O\\ \O \T{ e' convesso rispetto ad un punto } P\in \O }\>\o \T{ e' esatta in }\O} Questo e' l'inverso del thm \see{thmfdlsimmetria}, con l'aggiunta dell'ipotesi di convessita'\footnote{per la definizione di insieme convesso vedi \AII{insieme convesso}}\\ Nel caso in cui $\w$ e' a due variabili $X,Y$, allora possiamo sostituire l'ipotesi della convessita' con quella della semplice connessione (che e' piu' debole): \eal{&\sist{\o \T{ e' chiusa in } \O\\ \O \T{ e' semplicemente connesso}}\>\o \T{ e' esatta in }\O} \end{thm} \begin{proof} \step{}{Dimostriamo solo il caso di due variabili} \begin{prova} Poiche' \eal{&\O \T{ semp. connesso } \ubrace{\>}{\AII{semplicemente connesso}} \O\T{ intern. connesso }\\ &\O \T{ aperto }\\ &\w \T{ chiusa } \> \w \in \sczn{1}{\O} \( \sczn{0}{\O} } \def\s{{\Sigma}} possiamo usare il thm \see{thmcritesattI'}. Sia allora $\s\( \O$ una poligonale semplice chiusa, dimostriamo che \eal{&\int_{+\s}\w = \int_{+\s}X(x,y)dx+Y(x,y)dy = 0} Consideriamo $\pi$, il poligono tale che $F(\pi)=\s$. Poniamo \eal{&T=\pi\\ &f(x,y) = Y(x,y)\;\;\forall (x,y) \in \pi\\ &g(x,y) = -X(x,y)\;\;\forall (x,y)\in \pi} Si ha \eal{&\w\T{ semp. conn.} \> \pi \( \O\\ &\w \in \sczn{1}{\O} \> X,Y\in \sczn{1}{\O} \ubrace{\>}{\pi\( \O} X,Y\in \sczn{1}{\pi} \> f,g\in \sczn{1}{\pi}} Possiamo allora applicare il thm di Stocks \see{thmdistocks}, ottenendo: \eal{& \iint_T f_x(x,y)+g_y(x,y)\;dxdy = \int_{+F(T)}\;-g(x,y)dx+f(x,y)dy\= \\ & \qq \= \iint_\pi Y_x(x,y)-X_y(x,y)\;dxdy = \int_{+\s}\;X(x,y)dx+Y(x,y)dy \= \\ &\qq \qq \w\T{ chiusa } \> X_y=Y_x\\ &\qq \= \iint_\pi 0 \;dxdy= \int_{+\s}\;w\= \int_{+\s}\;w =0 } \end{prova} \end{proof} \subsubsection{Integrale di frontiera} \begin{defn} Sia $T\( \rdue $ un dominio regolare ad uno o piu' contorni.\\ Definiamo il verso di percorrenza positivo su un contorno, come quello adottato da un osservatore che si muove lungo il contorno e che lascia alla sua sinistra i punti interni di $T$.\\ Sia $\w$ una f.d.l. in due variabili $X,Y$ in $F(T)$, e $\w\in \sczn{1}{F(T)}$.\\ Se $T$ e' ad un solo contorno, ovvero $F(T)=\gamma$, curva piana gen. reg. semp. chiusa, definiamo \eal{& \int_{+F(T)} \w \definizione{=} \int_{+\gamma} \w } Se invece, $T$ e' ad $n+1$ contorni, con $\gamma_0$ contorno esterno e $\gamma_1,\dots,\gamma_n$ contorni interni, definiamo \eal{& \int_{+F(T)} \w \definizione{=} \int_{+\gamma_0} \w -\sumin \int_{+\gamma_i}\w} \end{defn} \begin{thm} di Gauss. \ilabel{thm di gauss} \label{thmgauss} Sia $T\( \rd$ dominio regolare ad uno o piu' contorni.\\ Sia $f(x,y):T\longrightarrow \mathbb{R}$ \eal{& \sist{\exists f_x(x,y)\;\;\forall (x,y)\in \den{T}\\ \exists g:T\longrightarrow \mathbb{R}, \T{ continua in T tale che } g/_{\den T}=f_x\;\;(*) } \> \iint_T f_x(x,y)\;dxdy = \int_{+F(T)}\;0dx +f(x,y)dy\\ &\sist{\exists f_y(x,y)\;\;\forall (x,y)\in \den{T}\\ \exists g:T\longrightarrow \mathbb{R}, \T{ continua in T tale che } g/_{\den T}=f_y } \> \iint_T f_y(x,y)\;dxdy = \int_{+F(T)}\;-f(x,y)dx +0(x,y)dy } Nota: la condizione $(*)$ si enuncia dicendo che $f_x$ e' continua in $T$. \end{thm} \begin{thm} di Stocks (o del flusso, o della divergenza).\ilabel{thm di Stocks}\label{thmdistocks}\\ Sia $T\( \rd$ dominio regolare ad uno o piu' contorni.\\ Sia $f,g(x,y):T\longrightarrow \mathbb{R}$ \eal{& \sist{ \exists f_x(x,y)\;\;\forall (x,y)\in \den{T}\\ f_x\T{ continua in T}\\ \exists g_y(x,y)\;\;\forall (x,y)\in \den{T}\\ g_y\T{ continua in T} } \ubrace{\>}{\T{thm di Gauss}} \iint_T f_x(x,y)+g_y(x,y)\;dxdy = \int_{+F(T)}\;-g(x,y)dx+f(x,y)dy} \end{thm} \begin{prop} \label{propareastocks} Sia $T\( \rd$ dominio regolare ad uno o piu' contorni. Si ha \eal{&\mis T = \frac{1}{2}\int_{+F(T)}-ydx+xdy} \end{prop} \begin{proof} Applichiamo il thm di Stocks \see{thmdistocks}, usando \eal{ &f(x,y)=x\\ &g(x,y)=y} abbiamo: \eal{&\iint_T 1+1\;dxdy = \int_{+F(T)}\;-ydx+xdy \= 2\iint_T\;dxdy = \int_{+F(T)}\;-ydx+xdy \\ &\qq \= 2\mis T = \int_{+F(T)}\;-ydx+xdy} \end{proof} \begin{exemp} \def\t#1{{\vartheta_{#1}}} \def\tt{{\t{}}} Siano dati $0\le \t1<\t2\le 2\pi$, e sia \eal{&f:[\t1,\t2]\longrightarrow \mathbb{R}\\ &f\in \sczn{1}{[\t1,\t2]}\\ &f(\tt) >0 \;\;\forall \tt \in [\t1,\t2]\\ &T:\sist{x=\r\cos \tt\\ y=\r\sin \tt}\;\;\t{} \in [\t1,\t2],\;\;0\le \r \le f(\t{})\\ &T=\pgra{(\r\cos \tt, \r\sin \tt )\;|\; \tt\in \pqua{\t1,\t2},\;\;0\le \r\le f(\tt)} } $T$ in coordinate polari si esprime come: \eal{&T:\sist{0\le \r \le f(\tt)}\;\;\tt \in [\t1,\t2]} Vale la seguente identita': \eal{&\mis T = \area T = \frac{1}{2}\intd{\t1}{\t2}f(\tt)^2\;d\tt} Ad esempio, scegliendo la funzione costante $f(\tt)=r$, $T$ diventa il settore circolare di angolo $\t2-\t2$ e raggio $r$, la sua area e': \eal{&\area T = \frac{1}{2}\intd{\t1}{\t2} r^2\;d\tt = \frac{r^2(\t2-\t1)}{2} } e infatti, scegliendo $\t1=0,\t2=2\pi$, otteniamo l'area di tutto cerchio. \end{exemp} \begin{proof} \def\t#1{{\vartheta_{#1}}} \def\tt{{\t{}}} \step{}{Dimostriamo l'identita'} \begin{prova} \step{}{ $T$ e' un dominio regolare a un solo contorno. } \begin{prova} Bastera' dimostrare che $F(T)$ e' una curva gen. reg. semplice chiusa.\\ \case{ Supponiamo intanto che $0<\t1< \t2<2\pi$. } \begin{prova} Si ha che \begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{fig/areastocks} \end{center} \eal{&F(T)=s_1\U s_2 \U \gamma} dove $s_1,s_2$ sono rispettivamente i segmenti $OA, OB$ (vedi figura), ovvero: \eal{&s_1: \sist{x=\r \cos \t1 \\ y=\r \sin \t1}\;\;\r \in [0,f(\t1)]\\ &s_2: \sist{x=\r \cos \t2 \\ y=\r \sin \t2}\;\;\r \in [0,f(\t2)] } $\gamma$ e' invece la curva, \eal{&\gamma: \sist{x=x(\tt)=f(\tt) \cos \tt \\ y=y(\tt)=f(\tt)\sin \tt }\;\;\tt \in [\t1,\t2] } Poiche' $s_1,s_2$ sono segmenti, e quindi curve regolari, basta dimostrare che pure $\gamma$ e' una curva regolare. \step{}{$\gamma$ e' una curva regolare} \begin{prova} \begin{enumerate} \item Poiche' $f\in \sczn{1}{[\t1,\t2]}$, e' chiaro che $x(\tt),y(\tt)\in \sczn{1}{[\t1,\t2]}$. \item \eal{&{x'}^2(\tt) + {y'}^2(\tt) > 0\;\;\forall \tt \in [\t1,\t2] \;\;?\\ &\\ &x'(\tt) = f'(\tt)\cos \tt - f(\tt) \sin \tt\\ &y'(\tt) = f'(\tt)\sin \tt + f(\tt) \cos \tt\\ &{x'}^2(\tt) + {y'}^2(\tt) = {f'}^2(\tt)\cos^2 \tt + f^2(\tt)\sin^2\tt - 2f'(\tt)f(\tt)\cos \tt \sin \tt +\\ &\qq\qq +{f'}^2(\tt)\sin^2 \tt + f^2(\tt)\cos^2\tt + 2f'(\tt)f(\tt)\cos \tt \sin \tt= \\ &\qq = {f'}^2(\tt)(\cos^2 \tt +\sin^2) + f^2(\tt)(\sin^2\tt +\cos^2\tt) = {f'}^2(\tt)+f^2(\tt) \ubrace{>}{f(\tt) >0\;\;\forall \tt } 0 \;\;\forall \tt \in [\t1,\t2] } \item Dimostriamo che e' semplice, ovvero che la funzione \eal{&g:[\t1,\t2]\longrightarrow \gamma\\ &g(\tt)=(\r\cos \tt,\r\sin \tt)} e' iniettiva. \eal{&g(\tt)=g(\tt') \> \sist{f(\tt)\cos \tt =f(\tt') \cos \tt'\\ f(\tt)\sin \tt = f(\tt') \sin \tt' } \> \sist{f(\tt)^2\cos^2 \tt =f(\tt')^2 \cos^2 \tt'\\ f(\tt)^2\sin^2 \tt = f(\tt')^2 \sin^2 \tt' } \>\\ &\qq \> f(\tt)^2\cos^2 \tt + f(\tt)^2\sin^2 \tt=f(\tt')^2 \cos^2 \tt' +f(\tt')^2 \sin^2 \tt' \> f(\tt)^2 = f(\tt')^2 \>\\ &\qq \> \sist{f(\tt)\cos \tt =f(\tt) \cos \tt'\\ f(\tt)\sin \tt = f(\tt) \sin \tt' } \ubrace{\>}{f(\tt) > 0} \sist{\cos \tt =\cos \tt' \\ \sin \tt = \sin \tt'} \ubrace{\>}{ \tt\in[\t1,\t2]\( [0,2\pi] } \tt = \tt' } Quindi $g$ e' iniettiva. \end{enumerate} \end{prova} Abbiamo visto che $s_1,s_2,\gamma$ sono curve regolari, e poiche' $F(T)=s_1\U s_2\U \gamma$, si verifica facilmente\footnote{dalla figura e' immediato} che $F(T)$ e' una curva gen. regolare semplice e chiusa. \end{prova} \case{Supponiamo adesso che $\t1=0,\;\;\t2=2\pi$} \begin{prova} In questo caso non esistono i segmenti $s_1$, $s_2$, quindi $F(T)=\gamma$. \end{prova} \end{prova} Abbiamo cosi' visto che $T$ e' un dominio regolare ad un solo contorno. Allora, possiamo applicare la proposizione $\see{propareastocks}$, ottenendo: \eal{&\mis T = \area T = \frac{1}{2}\int_{+F(T)}-ydx+xdy } Il verso di percorrenza di $F(T)$ e' in questo caso quello antiorario, quindi \eal{&\int_{+F(T)}-ydx+xdy = \intc{s_1}{O}{A}-ydx+xdy + \intc{\gamma}{A}{B}-ydx+xdy + \intc{s_2}{B}{O}-ydx+xdy } \step{}{Calcoliamo $ \intc{s_1}{O}{A}-ydx+xdy$} \begin{prova} \eal{& \intc{s_1}{O}{A}-ydx+xdy = \intd{0}{f(\t1)}-\r \sin \t1 D\pqua{\r \cos \t1} + \r\cos \t1 D[\r\sin \t1] \;\;\;d\r = \\ &\qq = \intd{0}{f(\t1)} -\r \sin \t1 \cos \t1 + \r \cos \t1 \sin \t1 =\intd{0}{f(\t1)} 0 =0 } \end{prova} \step{}{Analogamente per $s_2$} \begin{prova} In questo caso bisogna pero' fare attenzione al verso di percorrenza di $s_2$. La rappr. param. di $s_2$ che abbiamo usato in precedenza e': \eal{& s_2: \sist{x=\r \cos \t2 \\ y=\r \sin \t2}\;\;\r \in [0,f(\t2)]\;\;\;(*) } In questa rappresentazione, il verso di percorrenza e' quello da $O$ a $B$. Noi pero' dobbiamo calcolare $\intc{s_2}{B}{O}-ydx+xdy$ che richiede il verso di percorrenza opposto. Ma allora per le proprieta' note: \eal{&\intc{s_2}{B}{O}-ydx+xdy = -\intc{s_2}{O}{B}-ydx+xdy } Quindi possiamo calcolare $\intc{s_2}{O}{B}$ usando la rappr. param. $(*)$ e poi prendendo l'opposto ricavare $\intc{s_2}{B}{O}$.\\ In questo caso pero' facendo i conti otteniamo comunque: \eal{&\intc{s_2}{B}{O}-ydx+xdy=0 } \end{prova} Quindi, non importa se i segmenti $s_1,s_2$ esistano o meno. \step{}{Calcoliamo $ \intc{\gamma}{A}{B}-ydx+xdy$} \begin{prova} \eal{& \intc{\gamma}{A}{B}-ydx+xdy = \intd{\t1}{\t2}-f(\tt)\sin \tt D[f(\tt)\cos \tt] + f(\tt)\cos \tt D[f(\tt)\sin \tt ]\;\;d\tt = \\ &\qq = \intd{\t1}{\t2}-f(\tt)\sin \tt\pton{ f'(\tt)\cos \tt - f(\tt) \sin \tt} + f(\tt)\cos \tt\pton{ f'(\tt)\sin \tt + f(\tt) \cos \tt}\;\;d\tt= \\ &\qq = \intd{\t1}{\t2}f^2(\tt) \pton{\cos^2\tt +\sin^2\tt }\;\;d\tt= \intd{\t1}{\t2}f^2(\tt) \;\;d\tt } \end{prova} In definitiva: \eal{&\mis T = \area T = \frac{1}{2}\int_{+F(T)}-ydx+xdy = \frac{1}{2}\intd{\t1}{\t2}f^2(\tt) \;\;d\tt } \end{prova} \end{proof} \section{Equazioni differenziali ordinarie} \begin{defn} Sia dato $X\( \mathbb{R}^{n+2}$, con $n\ge 1$ e \eal{&F(x,y,y',y'',\dots,y^{(n)}):X\longrightarrow \mathbb{R}\\ &(x,y,y',y'',\dots,y^{(n)}) \in X } La formula \eal{ &F(x,y,y',y'',\dots,y^{(n)}) = 0\;\;\qq(1) } indica un \emph{equazione ordinaria} di ordine $n\ge 1$, nell'equazione incognita $y(x)$.\\ Sia data $y(x):(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R}$, \eal{& y(x)\T{ e' una soluzione di $(1)$ } \definizione{\=} \sist{ \exists y^{(i)}(x), \T{ derivata $i$-esima di $y(x)$ calcolata in $x$ } \;\;\forall x\in (\alpha,\beta) \;\;\forall i=1,\dots,n\\ (x,y(x),y'(x),\dots,y^{(n)}(x)) \in X \;\;\forall x\in (\alpha,\beta)\\ F(x,y(x),y'(x),y''(x),\dots,y^{(n)}(x)) = 0\;\;\;\forall x\in (\alpha,\beta) }} L'\emph{integrale generale} di $(1)$ e' l'insieme di tutte le sue soluzioni.\\ Risolvere l'equazione ordinaria $(1)$ vuol dire trovare tutti gli elementi dell'integrale generale.\\ Se \eal{ &B \( \mathbb{R}^{n+1}\\ &X=B\*\mathbb{R}\\ &f(x,y,y',\dots,y^{(n-1)}):B\longrightarrow \mathbb{R}\\ &F(x,y,y',\dots,y^{(n)})=f(x,y,y',\dots,y^{(n-1)})-y^{(n)} } allora, l'equazione $(1)$ \eal{&f(x,y,y',\dots,y^{(n-1)})-y^{(n)} = 0} si indica con \eal{&f(x,y,y',\dots,y^{(n-1)})=y^{(n)}} e si chiama \emph{equazione ordinaria in forma normale}. \end{defn} \subsection{Problema di Cauchy} \begin{defn} \label{defprobcauchy} Sia data un'equazione ordinaria di ordine $n$ in forma normale: \eal{ &B \( \mathbb{R}^{n+1},\;\;y^{(n)}\in \mathbb{R}\\ &f(x,y,y',\dots,y^{(n-1)}):B\longrightarrow \mathbb{R}\\ &f(x,y,y',\dots,y^{(n-1)})=y^{(n)}\;\;(2) } e sia $(x_0,y_0,y_0',\dots,y_0^{(n-1)})\in B$, chiamato \emph{punto iniziale}.\\ Il problema di Cauchy consiste nel trovare soluzioni $y(x):(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R}$ di $(2)$ tali che \eal{&x_0\in (\alpha,\beta)\\ &y(x_0)=y_0,\;\;y'(x_0)=y_0',\;\;\dots,\;\;y^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)} } e si indica con il simbolo: \eal{& \sist{f(x,y,y',\dots,y^{(n-1)})=y^{(n)}\\ y(x_0)=y_0,\;\;y'(x_0)=y_0',\;\;\dots,\;\;y^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)} }\;\;\;\;(3) } \end{defn} \begin{thm} Nelle ipotesi della def \see{defprobcauchy}, e sotto le seguenti ipotesi: \begin{enumerate} \item $f$ continua in $B$ \item $f$ e' Lipschitziana, ovvero (vedi \AII{defflipschitziana}), \eal{&\exists L > 0:\;\;|f(P)- f(Q) | \le L d(P,Q) \;\;\forall P,Q\in B } dove $d(P,Q)$ e' la distanza euclidea tra $P,Q$.\\ Anzi, al posto di quest'ultima ipotesi, si puo' usare una ipotesi piu' debole: \eal{&\exists L > 0:\;\;|f(P)- f(Q) | \le L d(P,Q) \;\;\forall P,Q\in B:\;\;P_1=Q_1 } dove $P_1$ e' la prima componente del vettore $P$. \end{enumerate} si ha la seguente tesi $\forall \ubrace{(\alpha,\beta)}{\T{intervallo}}:\;\;x_0\in \pton{\alpha,\beta}$ si ha \eal{&y(x):(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R} \T{ soluzione del prob. di Cauchy (3) } \> y(x) \T{ e' unica }} \end{thm} \begin{proof} \step{}{Dimostriamo il thm nel caso $n=1$} \begin{prova} Supponiamo per assurdo che \eal{&\exists y_1(x),y_2(x):(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R}\T{ soluzioni del problema di Cauchy, tali che }y_1 \neq y_2} Quindi \eal{&y_1(x_0)=y_0=y_2(x_0)\\ &y_1'(x)=f(x,y_1(x))\;\;\forall x\in (\alpha,\beta)\\ &y_2'(x)=f(x,y_2(x))\;\;\forall x\in (\alpha,\beta)\\ } Notiamo che \eal{&\sist{y_1 \neq y_2\\ y_1(x_0)=y_2(x_0) }\> \exists x_1 \neq x_0:\;\;y_1(x_1) \neq y_2(x_1) } Continuiamo il resto della dimostrazione supponendo $x_1 > x_0$.\\ Per Hp $f$ e' continua in $B$, e quindi per la prop \see{propprobvolterraequivcauchy}, $y_1,y_2$ sono soluzioni del problema di Volterra: \eal{ &y_1(x)=y_0+\intd{x_0}{x}f(t,y_1(t))\;dt\\ &y_2(x)=y_0+\intd{x_0}{x}f(t,y_2(t))\;dt } e prendendo la differenza: \eal{&y_1(x)-y_2(x)=\intd{x_0}{x}f(t,y_1(t))-f(t,y_2(t))\;dt} e prendendone il valore assoluto: \eal{&|y_1(x)-y_2(x)|=|\intd{x_0}{x}f(t,y_1(t))-f(t,y_2(t))\;dt| \le \intd{x_0}{x}|f(t,y_1(t))-f(t,y_2(t))|\;dt\;\;(1) } L'ipotesi di Lipschitzianita' e': \eal{&|f(x,y)-f(x,y')| \le L \sqrt{(y-y')^2}=L|y-y'|\;\;\forall (x,y),(x,y')\in B } e poiche' $(x,y_1(t)),(x,y_2(t))\in B$ (essendo soluzioni), possiamo maggiorare la $(1)$, ottenendo: \eal{&|y_1(x)-y_2(x)| \le \intd{x_0}{x}L|y_1(t)-y_2(t)|\;dt\;\;(1.1) } Poiche' $y_1(t)-y_2(t)$ e' una funzione continua in $[x_0,x_1]$, per il thm di Weiestrass (vedi \AII{weierstrass}), esiste il suo massimo $M$: \eal{&\exists M=\max_{t\in[x_0,x_1]}y_1(t)-y_2(t)} Allora possiamo ancora maggiorare la $(1.1)$ ottenendo \eal{&|y_1(x)-y_2(x)| \le \intd{x_0}{x}LM\;dt = LM(x-x_0)\;\;(1.2)\;\;\forall x\in [x_0,x_1] } \step{}{Dimostriamo che \eal{&|y_1(x)-y_2(x)| \le M\frac{\pton{L(x-x_0)}^n}{n!}\;\;\forall n\in \mathbb{N} }} \begin{prova} Procediamo per induzione, la cui base e' gia' stata dimostrata con la $(1.2)$.\\ Supponiamo che sia vera per $n$. Allora, usando la $(1.1)$ abbiamo \eal{&|y_1(x)-y_2(x)| \le \intd{x_0}{x}L|y_1(t)-y_2(t)|\;dt \ubrace{\le}{\T{Hp induttiva}} \intd{x_0}{x}L M\frac{\pton{L(x-x_0)}^n}{n!} = \\ &\qq = \frac{L^{n+1}M}{n!} \pqua{\frac{(x-x_0)^{n+1}}{n+1}} = M\frac{\pton{L(x-x_0)}^{n+1}}{(n+1)!} } \end{prova} Percio' abbiamo \eal{& 0\le |y_1(x)-y_2(x)| \le M\frac{\pton{L(x-x_0)}^n}{n!}\;\;\forall n\in \mathbb{N} } Prendendo il limite per $n\rightarrow 0$ (vedi \AII{exxnnfac}) e usando il thm del confronto, otteniamo \eal{&|y_1(x)-y_2(x)|=0\= y_1(x)=y_2(x)\;\;\forall x\in[x_0,x_1]} ma questo e' assurdo perche' $y_1(x_1) \neq y_2(x_1)$. \end{prova} \end{proof} \begin{thm} Nelle ipotesi della def \see{defprobcauchy}, e sotto le seguenti ipotesi: \begin{enumerate} \item $f$ continua in $B$ \end{enumerate} si ha \eal{&\exists \delta >0\T{ t.c. }\;\;\exists y(x):[x_0-\delta,x_0+\delta] \longrightarrow \mathbb{R}\T{ soluzione del prob. di Cauchy (3)}} \end{thm} \begin{thm} \label{thmesistenzaunicaprobdicauchy} Nelle ipotesi della def \see{defprobcauchy}, e sotto le seguenti ipotesi: \begin{enumerate} \item $(a,b)\( \mathbb{R}$ intervallo qualsiasi \item $B=(a,b)\*\mathbb{R}^n$ \item $f$ continua in $B$ \item $\forall [c,d]\( (a,b)\;\;$ $f$ e' Lipschitziana in $[c,d]\*\mathbb{R}^n$, ovvero \eal{ &\exists L > 0:\;\;|f(P)- f(Q) | \le L d(P,Q) \;\;\forall P,Q\in [c,d]\*\mathbb{R}^n } in realta', si puo' usare un ipotesi piu' debole: \eal{&\exists L > 0:\;\;|f(P)- f(Q) | \le L d(P,Q) \;\;\forall P,Q\in [c,d]\*\mathbb{R}^n:\;\;P_1=Q_1 } \end{enumerate} si ha \eal{&\exists! y(x):(a,b) \longrightarrow \mathbb{R} \T{ soluzione del prob. di Cauchy (3)}} \end{thm} \begin{defn} Problema di Volterra.\ilabel{problema di Volterra}.\\ Sia dato $B\( \rd,\;\;B \neq \0$, $f(x,y):B \longrightarrow \mathbb{R}$ continua in $B$, con $(x_0,y_0)\in B$.\\ Data $y(x):(\alpha,\beta) \longrightarrow \mathbb{R}$ \eal{&y(x) \T{ e' soluzione del problema di Volterra }\definizione{ \=} \sist{x_0\in (\alpha,\beta)\\ y(x)\T{ e' continua in }(\alpha,\beta)\\ G_y \( B\= (x,y(x))\in B\;\;\forall x\in (\alpha,\beta)\\ y(x)=y_0+\intd{x_0}{x}f(t,y(t))\;dt } } \end{defn} \begin{prop} \label{propprobvolterraequivcauchy} Se $f$ e' continua in $B$, allora l'integrale generale del problema di Volterra coincide con quello del problema di Cauchy di ordine $1$, con punto iniziale $(x_0,y_0)$. \end{prop} \begin{proof} \step{}{Sia $y(x):(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R}$ soluzione del problema di Cauchy, dimostriamo che e' soluzione del problema di Volterra.} \begin{prova} Poiche' $y(x)$ e' soluzione del problema di Cauchy, si ha \eal{& \sist{ \exists y'(x)\;\;\forall x\in (\alpha,\beta)\\ (x,y(x)) \in B \;\;\forall x\in (\alpha,\beta)\;\;\;(1)\\ y'(x) = f(x,y(x)) \;\;\;\forall x\in (\alpha,\beta)\;\;\;(2)\\ x_0\in (\alpha,\beta)\\ y(x_0)=y_0\;\;(3) } } Essendo $y$ derivabile in $(\alpha,\beta)$ e' ivi continua.\\ $G_y\(B$ deriva dalla $(1)$.\\ Dalla $(2)$, preso $x\in \pton{\alpha,\beta}$ e integrando ambo i membri (operazione lecita perche' i due membri sono funzioni continue) otteniamo: \eal{& \intd{x_0}{x} y'(t)\;dt = \intd{x_0}{x} f(t,y(t))\;dt \=\\ &\= y(x)-y(x_0) = \intd{x_0}{x} f(t,y(t))\;dt \ubrace{\=}{(3)} &y(x) = y_0+ \intd{x_0}{x} f(t,y(t))\;dt } \end{prova} \step{}{Sia adesso $y(x)$ una soluzione di Volterra} \begin{prova} Poiche' $y,f$ sono funzioni continue, $f(x,y(x))$ e' continua in $(\alpha,\beta)$, e quindi per il thm di Torricelli, \eal{&\intd{x_0}{x} f(t,y(t))\;dt} e' una primitiva di $f(t,y(t))$ ed e' quindi derivabile in $(\alpha,\beta)$. Allora anche $y(x)$, che per Hp e' tale che \eal{&y(x)=y_0+\intd{x_0}{x} f(t,y(t))\;dt} e' derivabile in $(\alpha,\beta)$ e in particolare la sua derivata e' \eal{&y'(x)=f(x,y(x)) } Infine, \eal{&y(x_0)=y_0+\intd{x_0}{x_0}f(t,y(t))\;dt = y_0 } \end{prova} \end{proof} \subsection{Equazioni di ordine uno} \def\rd{\mathbb{R}^2} \def\rt{\mathbb{R}^3} \def\de#1{{\accu{#1}}} \def\x{{\ove x}} \def\y{{\ove y}} \def\xt{{x(t)}} \def\yt{{y(t)}} \def\P{(\x,\y)} \def\Q{(x,y)} \def\Pt{(\xt,\yt)} \def\xh{{h(\tau)}} \def\yh{{k(\tau)}} \def\Ph{(\xh,\yh)} \def\ab{(a,b)} \def\AB{(\alpha,\beta)} \begin{defn} Data $f:B\longrightarrow \mathbb{R},\;B\(\rd,\;B \neq \0$, consideriamo l'equazione differenziale ordinaria di ordine $1$ in forma normale: \eal{&y'=f(x,y)\;\;(1)} Per $n=1$, la definizione di soluzione di $(1)$ si puo' cosi' esprimere: una funzione $y(x):(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R}$ e' una soluzione $\=$ \eal{ &1.\;\;G_y\( B\\ &2.\;\;\exists y'(x)\; \& \;y'(x)=f(x,y(x))\;\;\forall x\in(\alpha,\beta) } dove $G_y=\pgra{(x,y(x))\;|\;x\in(\alpha,\beta)}$ e' il grafico di $y$, e si chiama anche \emph{linea integrale}. \ilabel{linea integrale}\\ Il problema di Cauchy di ordine $1$ e' del tipo: \eal{& \sist{y'=f(x,y)\\ y(x_0)=y_0 }} con $(x_0,y_0)\in B$. \end{defn} \subsubsection{A variabili separate} \begin{defn} Un'equazione differenziale di primo ordine del tipo \eal{&y'=f(x,y)=X(x)Y(y)\\ &\T{ con }\\ &\qq X:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}, \T{ continua in } (a,b)\\ &\qq Y:(c,d)\longrightarrow \mathbb{R}, \T{ continua in } (c,d)\\ &\qq f:(a,b)\times (c,d)\longrightarrow \mathbb{R} } si dice a variabili separate. \end{defn} \begin{lem}\label{lemmatuttapositivaonegatova} Data una funzione $y(x):(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R}$ continua in $(\alpha,\beta)$, si ha \eal{&0 \notin \Im y \> \Im y > 0 \; \| \;\Im y<0 } Nota: da ora in poi, useremo la seguente convenzione: data la funzione $y(x):X\longrightarrow \mathbb{R}$, e preso $k\in \mathbb{R}$ \eal{& \Im y >k \;\;\definizione{\Leftrightarrow }\;\; \forall x'\in \Im y \;\;x' > k \Leftrightarrow \forall x\in X \;\;y(x) > k } Analogamente per $\ge ,<,\le, =$. \end{lem} \begin{proof} Se per assurdo $\exists x_0,x_1\in (\alpha,\beta):\;y(x_0)y(x_1)<0$ allora poiche' $y$ e' continua, per il thm dell'esistenza degli zeri, si avrebbe $\exists \xi\in (\alpha,\beta):\;y(\xi)=0$, assurdo contro ipotesi. \end{proof} \begin{prop} \label{propsoluzioniequdiffvarseparate} Le soluzioni dell'equazione a variabili separate si dividono in tre classi: \eal{&\T{Classe 1}:\\ &\qq y:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}\\ &\qq\;\;y(x)=h\in (c,d)\;\;\forall x\in (a,b)\\ &\qq\;\T{ tale che }Yy(x)=Y(h)=0\\ &\T{Classe 2}:\\ &\qq (\alpha,\beta)\((a,b),\;\;y(x):(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R},\;\;Yy(x) \neq 0\;\;\forall x\in (\alpha,\beta)\\ &\qq y(x)\T{ sara' del tipo } y(x)=H(F(x)+k)\;\;\forall x\in (\alpha,\beta)\\ &\qq G\T{ primitiva di }\frac{1}{Y(y)} \T{ in }\Im y(x), H\T{ inversa di $G$}, F \T{ primitiva di $X(x)$ in }(\alpha,\beta)\\ &\T{Classe 3}:\\ &\qq (\alpha,\beta)\((a,b),\;\;y(x):(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R},\;\;\exists x_0,x_1\in (\alpha,\beta):\;Yy(x_0)=0,\;Yy(x_1) \neq 0\\ &\qq y(x)\T{ sara' del tipo }: \\ &\qq \qq y(x) = \sist{\dots\\ y_1(x)&\forall x\in (\alpha_1,\beta_1)\\ y_2(x)&\forall x\in (\alpha_2,\beta_2)\\\dots }\\ &\qq \qq \T{ con } \beta_i=\alpha_{i+1}\\ &\qq \qq \qq y_{2k}:(\alpha_{2k},\beta_{2k})\longrightarrow \mathbb{R}\T{ soluzione di I classe}\\ &\qq\qq \qq y_{2k+1}:(\alpha_{2k+1},\beta_{2k+1})\longrightarrow \mathbb{R}\T{ soluzione di II classe} } In pratica, $y(x)$ risulta l'unione di soluzioni di $I$ classe e soluzioni di $II$ classe, inoltre \eal{&\lim_{x\to \alpha_{2k+1}^+}Yy(x)=0\;\|\;\lim_{x\to \beta_{2k+1}^-}Yy(x)=0 } \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Verifichiamo che le funzioni di classe 1 sono delle soluzioni} \begin{prova} Dobbiamo verificare che: \eal{& 1.\;\;G_y\((a,b)\*(c,d) \\ &2.\;\;\exists y'(x)\; \& \;y'(x)=f(x,y(x))=X(x)Y(y(x))\;\;\forall x\in(\alpha,\beta) } La $1.$ e' vera per costruzione di $y(x)$. La $2.$: \eal{&y'(x)=0\;\;\forall x\in (\alpha,\beta)\\ &f(x,y(x))=X(x)Y(y(x))=X(x)Y(h)=X(x)0=0\;\;\forall x\in (\alpha,\beta) } \end{prova} \step{}{Mostriamo che ogni soluzione di seconda classe e' del tipo $y(x)=H(F(x)+k)$} \begin{prova} Supponiamo che $y(x):(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R}$ sia una soluzione di seconda classe. Ovvero, supponiamo che \eal{& 1.\;\;G_y\((a,b)\*(c,d) \\ &2.\;\;\exists y'(x)\; \& \;y'(x)=f(x,y(x))=X(x)Y(y(x))\;\;\forall x\in(\alpha,\beta)\\ &3.\;\;Y(y(x)) \neq 0\;\;\forall x \in (\alpha,\beta) } allora \eal{&1. \> (\gamma,\delta):= \Im y(x) \( (c,d)\;\;(1.1)\\ &(1.1),\; 3.\>Y(y) \neq 0\;\;\forall y\in (\gamma,\delta)\\ &\qq \ubrace{\>}{\see{lemmatuttapositivaonegatova}} Y(y) >0 \;\;\forall y\in (\gamma,\delta)\; \| \;Y(y)<0\;\;\forall y\in (\gamma,\delta) } \eal{&2.,3. \> \frac{y'(x)}{Y(y(x))}=X(x)\;\;\forall x\in (\alpha,\beta)\;\;(2.1)\\ &X(x) \T{ continua in }(\alpha,\beta)\( (a,b)\>\exists F(x) \T{ primitiva di $X(x)$ in } (\alpha,\beta)\\ &Y(y) \T{ continua in }(\gamma,\delta)\( (c,d),\;(3.1) \>\\ &\qq \>\frac{1}{Y(y)}\T{ e' continua e }\frac{1}{Y(y)}>0\forall y\in (\gamma,\delta)\; \| \frac{1}{Y(y)}<0\forall y\in (\gamma,\delta)\;\;(3.2)\\ &\> \exists G(y)\T{ primitiva di } \frac{1}{Y(y)} \T{ in }(\gamma,\delta)\\ &D[G(y(x))]=\frac{y'(x)}{Y(y(x))} \ubrace{=}{(2.1)} X(x)=D[F(x)]\;\;\forall x\in (\alpha,\beta)\\ & \ubrace{\>}{\T{cor Lagrange}} \exists k\in \mathbb{R}:\;\;G(y(x))=F(x)+k\;\;\forall x\in (\alpha,\beta)\;\;(2.2) } e' anche vero che \eal{&D[G(y)] =\frac{1}{Y(y)},\;\;(3.2) \> G(y)\T{ e' tutta crescente o decrescente in } (\gamma,\delta)\\ & \> G(y) \T{ e' invertibile in } (\gamma,\delta)\\ &\T{Sia $H(x)$ la sua inversa}\\ &(2.2) \> H(G(y(x)))=H(F(x)+k) \= y(x)=H(F(x)+k)\;\;\forall x\in(\alpha,\beta) } \end{prova} \step{}{Classe 3} \begin{prova} Supponiamo che $y(x)$ sia una soluzione di classe tre, ovvero $y(x)$ e' soluzione dell'equazione differenziale, e inoltre: \eal{& &(\alpha,\beta)\((a,b),\;\;y(x):(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R},\;\;\exists x_0,x_1\in (\alpha,\beta);\;Y(y(x_0))=0,\;Y(y(x_1)) \neq 0 } Poiche' $x_0 \neq x_1$, esistono due casi: $x_0 A\T{ limitato superiormente, }\sup A \in [x_0,x_1]\\ &x_0\in A\>A \neq \0\\ &\T{Sia } x_2=\sup A } \case{$Yy(x_2)>0$} \begin{prova} Poiche' $Yy$ e' composizione di funzioni continue, e' una funzione continua, quindi per la permanenza del segno: \eal{&\exists \delta >0:\;\;Yy(x) >0\;\;\forall x\in ]x_2-\delta,x_2+\delta[\\ &x_2=\sup A\>\exists \x\in A: x_2\ge \x > x_2-\delta \> \x\in ]x_2-\delta,x_2+\delta[ \> Yy(\x) >0 \\ &\x\in A\=Yy(\x)=0 } assurdo. Quindi questo caso non puo' verificarsi. \end{prova} \case{$Yy(x_2)<0$} \begin{prova} Analogamente al precedente. \end{prova} Quindi $Yy(x_2)=0$ e' l'unico caso ammissibile. \eal{&x_2\in A\= Yy(x_2)=0\\ &\> x_2 \neq x_1 \ubrace{\>}{x_2=\sup A} x_2x_2=\sup A\> x\notin A\= Yy(x) \neq 0\\ &\> Yy(x) \neq 0\;\;\forall x\in ]x_2,x_1] } quindi, $y(x)$ e' in effetti un prolungamento di una funzione di classe $2$, che rispetta la condizione $(*)$. \end{prova} \case{$x_1x\notin A\=Yy(x) \neq 0\\ &\> Yy(x) \neq 0\;\;\forall x\in[x_1,x_3[ } quindi, $y(x)$ e' un prolungamento di una funzione di classe $2$, che rispetta la condizione $(**)$. \end{prova} \end{prova} \qed \end{prova} \begin{exemp} Risolviamo la seguente equazione differenziale: \eal{&y'=|y|} che possiamo intendere come un'equazione differenziale a variabili separate: \eal{&y'=f(x,y)=X(x)Y(y)\\ &X(x)=1:\;\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R},\;\;\T{continua in }\mathbb{R}\\ &Y(y)=|y|:\;\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R},\;\;\T{continua in }\mathbb{R}\\ &f(x,y):\;\rd\longrightarrow \mathbb{R} } \begin{prova} \step{}{Troviamo le soluzioni di classe 1} \begin{prova} Cerchiamo i punti $y$ in cui $Y(y)=0$: \eal{&Y(y)=0\= |y|=0\= y=0 } allora la soluzione e' \eal{&y(x)=0} \end{prova} \step{}{Troviamo le soluzioni di classe 2} \begin{prova} Supponiamo di aver trovato $y(x)$. Poiche' e' di classe $2$: \eal{& 1.\;\;G_y\( \rd \\ &2.\;\;\exists y'(x)\; \& \;y'(x)=f(x,y(x))=X(x)Y(y(x))=|y(x)|\;\;\forall x\in(\alpha,\beta)\\ &3.\;\;Y(y(x)) \neq 0\;\;\forall x \in (\alpha,\beta) } allora \eal{& 3.\> |y(x)| \neq 0\;\forall x \in (\alpha,\beta) \= y(x) \neq 0 \;\forall x \in (\alpha,\beta) \\&\qq\ubrace{\>}{y\T{ e' continua perche' deriv. } } y(x)>0 \forall x \in (\alpha,\beta)\;\|y(x)<0 \forall x \in (\alpha,\beta)\;\;(3.1) } Per quanto abbiamo visto in \see{propsoluzioniequdiffvarseparate}, essa sara' del tipo: \eal{&\qq y(x)=H(F(x)+k)\;\;\forall x\in (\alpha,\beta)\\ &\qq G\T{ primitiva di }\frac{1}{Y(y)}, H\T{ inversa di $G$ }, F \T{ primitiva di }X(x)} ovvero \eal{&F(x)\in \int X(x)\;dx=\int 1\;dx=x+c\\ &\T{ scegliamo }F(x)=x\;\;\forall x\in (\alpha,\beta)\\ &G(y)\in\int \frac{1}{Y(y)}\;dy = \int \frac{1}{|y|}\;dy=\log |y|+c\\ &G(y):=\log |y|\;\;\forall y\in \Im y(x) } a questo punto, per la $(4.1)$ possiamo distiguere due casi: \end{prova} \case{$y(x)<0 \forall x \in (\alpha,\beta)$} \begin{prova} \eal{&G(y)=\log -y\\ &H(x)=-e^x } allora, \eal{& y(x)=H(F(x)+k)=-e^{x+k}:(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R}} Fissiamo una $k\in \mathbb{R}$ e verifichiamo che effettivamente $-e^{x+k}$ e' una soluzione: \eal{& 1.\;\;G_y\( \rd \\ &\qq \T{e' vero}\\ &2.\;\;\exists y'(x)\; \& \;y'(x)=f(x,y(x))=X(x)Y(y(x))=|y(x)|\;\;\forall x\in(\alpha, \beta)\\ &\qq y'(x) = -e^{x+k}\\ &\qq |y(x)| = e^{x+k}\\ &\qq \textbf{No!} } quindi in questo caso non ci sono soluzioni. \end{prova} \case{$y(x)>0 \forall x \in (\alpha,\beta)$} \begin{prova} \eal{&G(y)=\log y\\ &H(x)=e^x } allora, \eal{& y(x)=H(F(x)+k)=e^{x+k}:(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R}} Fissiamo una $k\in \mathbb{R}$ e verifichiamo che effettivamente $e^{x+k}$ e' una soluzione: \eal{& 1.\;\;G_y\( \rd \\ &\qq \T{e' vero}\\ &2.\;\;\exists y'(x)\; \& \;y'(x)=f(x,y(x))=X(x)Y(y(x))=|y(x)|\;\;\forall x\in(\alpha, \beta)\\ &\qq y'(x) = e^{x+k}\\ &\qq |y(x)| = e^{x+k}\\ &\qq \> y'(x)=f(x,y(x)) } quindi in questo caso, per ogni $k$ otteniamo una soluzione.\\ Poiche' $e^{x+k}$ e' definita in tutto $\mathbb{R}$, possiamo possiamo porre $(\alpha,\beta)=\mathbb{R}$, e otterremo effettivamente le soluzioni. \end{prova} \step{}{Troviamo le soluzioni di classe 3} \begin{prova} Se $y(x)$ e' una soluzione di classe $3$ allora deve essere un prolungamento di $e^{x+k}$, e si deve avere: \eal{&\lim_{x\to \beta_1^-}Yy(x)=0\=\lim_{x\to \beta_1^-} |e^{x+k}|=0 } ma questo e' assurdo perche' $e^{x+k} \neq 0\;\forall x\in \mathbb{R}$. \end{prova} \qed \end{prova} \end{exemp} \subsubsection{Omogenee} Data $g(t):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, continua in $(a,b)$, \def\yx{{\frac{y}{x}}} \eal{&y'=g\pton{\frac{y}{x}}\;\;(1) } si dice equazione differenziale di tipo omogeneo di I ordine.\\ \begin{prop} L'integrale generale della $(1)$ e' \eal{&I_g=\pgra{y(x):(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R}\;|\;y(x)=xz(x)\;\;\forall x\in (\alpha,\beta)}\\ &\T{dove }z(x):(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R} \T{ e' soluzione dell'eq. diff. a variabili separate }\\ &\qq z'=\frac{1}{x}(g(z)-z)\;\;(1.1) } \end{prop} \begin{prova} \def\R{{\mathbb{R}}} \pf Intanto la $(1)$ si puo' intendere come \eal{&y'=f(x,y)=g\pton{\frac{y}{x}}\\ &f:B\longrightarrow \mathbb{R}\\ &B=\pgra{(x,y)\in \mathbb{R}^2\;|\;x \neq 0,\;\frac{y}{x}\in (a,b)} } La $(1.1)$ si puo' intendere come, \eal{&z'=\ove f (x,z)=\frac{1}{x}(g(z)-z)\\ &\ove f:B'\longrightarrow \mathbb{R}\\ &B'=\pgra{(x,y)\in \mathbb{R}^2\;|\;x \neq 0,\;z\in (a,b)}= \mathbb{R}^*\*(a,b) } Dobbiamo dimostrare che $I=I_g$, dove $I$ e' l'insieme di tutte le soluzioni di $(1)$. \step{}{Prendiamo una $y(x)\in I$ e dimostriamo che $y(x)\in I_g$} \begin{prova} Supponiamo che $y(x):(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R}$.\\ Poiche' $y(x)$ e' una soluzione, si ha \eal{ &1.\;\;G_y\( B \= (x,y(x))\in B \forall x\in (\alpha,\beta)\;\=\; \frac{y(x)}{x}\in (a,b),\;\;x \neq 0\;\;\forall x\in (\alpha,\beta)\\ &\qq \>0\notin (\alpha,\beta) \\ &2.\;\;\exists y'(x)\; \& \;y'(x)=f(x,y(x))=g\pton{\frac{y(x)}{x}}\;\;\forall x\in(\alpha,\beta) } Sia $z(x)=\frac{y(x)}{x}:(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R}$. E' ben definita perche' $0\notin (\alpha,\beta)$.\\ \eal{&\exists z'(x)=\frac{y'(x)x-y(x)}{x^2}=\frac{1}{x}\pton{y'(x)-\frac{y(x)}{x}} \ubrace{=}{2.} \frac{1}{x}\pton{g\pton{\frac{y(x)}{x}}-\frac{y(x)}{x}}=\\ & = \frac{1}{x}\pton{g\pton{z(x)}-z(x)} } E poiche' \eal{&\frac{y(x)}{x} \in (a,b),\;x \neq 0\;\;\forall x\in (\alpha,\beta) \= G_z\( \R^*\*(a,b)=B' } si ha che $z(x)$ e' una soluzione della $(1.1)$ \end{prova} \step{}{Prendiamo una $y(x)\in I_g$ e dimostriamo che $y(x)\in I$} \begin{prova} \eal{&y(x):(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R}\\ &y(x)\in I_g\= y(x)=xz(x)\;\;\forall x\in (\alpha,\beta)\\ &\T{dove }z(x) \T{ e' soluzione di } (1.1) \= \\ & \qq 1.\;\;G_z\( B'=\R^*\*(a,b) \= (x,z(x))\in \R^*\*(a,b) \;\;\forall x\in (\alpha,\beta) \\ &\qq\qq \> 0\notin (\alpha,\beta) \> \pton{y(x)=xz(x) \> z(x)=\frac{y(x)}{x}}\;\;(3)\\ &\qq 2.\;\;\exists z'(x)\; \& \;z'(x)=\ove f(x,z(x))=\frac{1}{x}(g(z(x))-z(x))\;\;\forall x\in(\alpha,\beta) } Poiche' la $(1.1)$ e' un'equazione a variabili separate, possiamo trovare la soluzione $z(x)$ grazie alla prop. \see{propsoluzioniequdiffvarseparate}.(nota \footnote{Qui stiamo sfruttando la continuita' di $g(t)$}) Vogliamo dimostrare che $y(x)$ e' soluzione della $(1.1)$, \eal{ &\exists y'(x) = D[xz(x)] =z(x)+ xz'(x) \ubrace{=}{2.}z(x)+x\pton{\frac{1}{x}(g(z(x))-z(x))}=\\ & =z(x)+g(z(x))-z(x)=g(z(x)) \ubrace{=}{(3)} g\pton{\frac{y(x)}{x}}\;\;\forall x\in (\alpha,\beta) } E poiche' \eal{&\frac{y(x)}{x}=z(x)\in (a,b),\;x \neq 0\;\;\forall x\in (\alpha,\beta) \= G_y \( B } si ha che $y(x)$ e' una soluzione della $(1)$. \end{prova} \qed \end{prova} \subsubsection{Lineari} Date $a(x),f(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, continue in $(a,b)$, \eal{&y'=-a(x)y+f(x)\;\;(1) } e' un'equazione differenziale lineare di primo ordine.\\ \eal{&y'=-a(x)y\;\;(2) } e' un'equazione differenziale lineare omogenea di primo ordine. \begin{prop} \label{propdiffsollineare2} L'integrale generale della $(2)$ e' \eal{&I_g=\pgra{y(x):(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R}\; |\;y(x)=ke^{-A(x)}\;\;k\in \mathbb{R}\;\;\forall x\in (\alpha,\beta) \( (a,b)}} dove $A(x)$ e' una primitiva di $a(x)$ \end{prop} \begin{prova} \pf La $(2)$ si puo' intendere come \eal{&y'=f(x,y)=X(x)Y(y)=-a(x)y\\ &X(x): (a,b) \longrightarrow \mathbb{R},\;\;X(x)=-a(x)\\ &Y(y):\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R},\;\;Y(y)=y\\ &f(x,y):B \longrightarrow \mathbb{R}\\ &B=(a,b)\*\mathbb{R} } ovvero e' una equazione a variabili separate.\\ Sia $I$ l'insieme di tutte le soluzioni di $(2)$. Dimostriamo che $I=I_g$. \step{}{$I\( I_g$} \begin{prova} Sia $y(x)\in I,\;\;y(x):(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R}$, ovvero \eal{&1.\;\;G_y \( B \= x\in (a,b)\;\;\forall x\in (\alpha,\beta) \= (\alpha,\beta)\( (a,b)\\ &2.\;\;\exists y'(x)=-a(x)y(x)\;\;\forall x\in (\alpha,\beta) } Se $a(x)=0\;\;\forall x\in (a,b)$, allora, tutte e sole le soluzioni sono le funzioni costanti.\\ Supponiamo $a(x) \neq 0$ per qualche $x\in (a,b)$.\\ Poiche' la $(2)$ e' un'equazione a variabili separate, possiamo studiarla utilizzando la prop. \see{propsoluzioniequdiffvarseparate}.\\ \step{}{Troviamo le soluzioni di classe 1} \begin{prova} Cerchiamo i punti $y$ in cui $Y(y)=0$: \eal{&Y(y)=0\= y=0} allora la soluzione e' \eal{&y(x)=0} In questo caso $y(x)\in I_g$ scegliendo $k=0$.\\ \end{prova} \step{}{Troviamo le soluzioni di classe 2} \begin{prova} Supponiamo che $y(x):(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R}$ sia di classe 2, allora \eal{&Y(y(x))=y(x) \neq 0\;\;\forall x\in (\alpha,\beta)\;\;(2.1)} Poiche' $y(x)$ e' derivabile, e' anche continua. Allora, $y(x)$ e' tutta positiva o tutta negativa: \eal{&y(x) \neq 0 \;\forall x \in (\alpha,\beta) \\&\qq\ubrace{\>}{y\T{ e' continua perche' deriv. } } y(x)>0 \forall x \in (\alpha,\beta)\;\|y(x)<0 \forall x \in (\alpha,\beta)\;\;(2.2) } Per quanto abbiamo visto in \see{propsoluzioniequdiffvarseparate}, essa sara' del tipo: \eal{& (\alpha,\beta)\((a,b),\;\;y(x):(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R},\;\;x\neq 0\;\;\forall x\in (\alpha,\beta)\\ &\qq y(x)=H(F(x)+k)\;\;\forall x\in (\alpha,\beta)\\ &\qq G\T{ primitiva di }\frac{1}{Y(y)}=\frac{1}{y} \T{ in }\Im y(x), \\ &\qq H\T{ inversa di $G$ in } \Im y(x), F \T{ primitiva di $X(x)=-a(x)$ in }(\alpha,\beta)\\ &\qq G(y)=\log|y|,\;\;F(x)=-A(x),\;\;\T{ con $A(x)$ primitiva di } a(x) } per la $(2.2)$ dobbiamo distinguere due casi: \case{$y(x)>0\;\;\forall x \in (\alpha,\beta)$} \begin{prova} \eal{&G(y)=\log|y|=\log y\\ &H(z)=e^{z}\\ &y(x)=H(F(x)+k)=e^{-A(x)+c}=e^{-A(x)}e^c \ubrace{=}{k=e^c \neq 0} ke^{-A(x)} \> y(x)\in I_g } %Verifichiamo che effettivamente $y(x)$ sia una soluzione: %\eal{&y'(x)=k(-a(x))e^{-A(x)}= %} \end{prova} \case{$y(x)<0\;\;\forall x \in (\alpha,\beta)$} \begin{prova} \eal{&G(y)=\log|y|=\log -y\\ &H(z)=-e^{z}\\ &y(x)=H(F(x)+c)=-e^{-A(x)+c}=-e^{-A(x)}e^c \ubrace{=}{k=-e^c \neq 0} ke^{-A(x)} \> y(x)\in I_g } \end{prova} Quindi in entrambi i casi $y(x)\in I_g$ \end{prova} \step{}{Non esistono soluzioni di classe $3$} \begin{prova} Se per assurdo esiste $y(x):(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R} $ soluzione di classe $3$, allora si ha \eal{& y(x):(\alpha,\beta)\T{ e' un prolugamento di una soluzione $\ove y(x):(\alpha_1,\beta_1)\longrightarrow \mathbb{R}$ di classe 2 e inoltre }\\ &\qq \lim_{x\to \alpha_1^+}Yy(x)=0\;\|\;\lim_{x\to \beta_1^-}Yy(x)=0} Poiche' $\ove y$ e' di classe $2$, sara' del tipo: \eal{&\ove y(x) = ke^{-A(x)},\T{ con }k \neq 0} allora\eal{ &\lim_{x\to \alpha_1^+} Y(\ove y(x))= 0 \= \lim_{x\to \alpha_1^+} ke^{-A(x)} =0 } ma questo e' assurdo, perche' $A(x)$ e' continua in $(\alpha,\beta)$ (essendo una primitiva), e quindi non puo' tendere a $+\infty $, per $x\to \alpha_1^+$, e inoltre $k \neq 0$.\\ Analogamente si vede che anche \eal{&\lim_{x\to \beta_1^-} Y(\ove y(x)) \neq 0 } quindi e' assurdo che $y(x)$ sia una soluzione di classe $3$. \end{prova} Concludendo: tutte le soluzioni di classe $1,2$ sono contenute in $I_g$, soluzioni di classe di $3$ non esistono, quindi $I \( I_g$. \end{prova} \step{}{Dimostriamo che $I_g\( I$} \begin{prova} Sia $y(x):(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R}$, un elemento di $I_g$, ovvero \eal{&y(x)=ke^{-A(x)} } \eal{&G_y \( (\alpha,\beta)\* \mathbb{R} \( (a,b)\*\mathbb{R}=B\\ &y'(x)= D\pqua{ke^{-A(x)}} = -a(x)ke^{-A(x)}=-a(x)y(x) } quindi $y(x)$ e' effettivamente una soluzione di $(2)$. \end{prova} \qed \end{prova} \begin{prop} L'integrale generale della $(1)$ e' \eal{& e^{-A(x)}\int e^{A(t)}f(t)\;dt } tenendo presente che l'integrale indefinito e' un insieme di primitive. \end{prop} \begin{prova} \pf \step{}{Utilizzando i teoremi che vedremo in seguito, si ha una immediata dimostrazione} \begin{prova} Per la prop. \see{propdiffsollineare2} $e^{-A(x)}$ e' una soluzione di $(2)$. Il determinante Wroskiano, di $(2)$ e' \eal{&W(x) = \begin{vmatrix} e^{-A(x)} \end{vmatrix} \neq 0 \;\;\forall x\in (a,b) } Quindi, $\pgra{e^{-A(x)}}$ e' un sist. fondamentale di soluzioni della $(2)$. Allora, per la prop. \see{propintgendellacompletalineare}, \eal{&I=\pgra{Y(x)+ke^{-A(x)}\;|\;k\in \mathbb{R}}} dove $I$ e' l'integrale generale della $(1)$ e $Y(x)$ e' una soluzione della $(1)$. Per la prop. \see{propmetodovarcostanti}, possiamo scegliere: \eal{&Y(x) = \gamma_1(x) y_1(x) = e^{-A(x)}\intd{x_0}{x}\frac{f(t)W_{1,1}(t)}{W(t)}\;dt = e^{-A(x)}\intd{x_0}{x}\frac{f(t)}{W(t)}\;dt = e^{-A(x)}\intd{x_0}{x}f(t)e^{A(t)}\;dt } Quindi \eal{& I=\pgra{e^{-A(x)}\intd{x_0}{x}f(t)e^{A(t)}\;dt +ke^{-A(x)}\;|\;k\in \mathbb{R}} = \\ &\qq = \pgra{e^{-A(x)}\pton{\intd{x_0}{x}f(t)e^{A(t)}\;dt+k} \;|\;k\in \mathbb{R}}= e^{-A(x)}\int f(t)e^{A(t)}\;dt } \end{prova} \step{}{Dimostriamo, senza usare teoremi aggiuntivi, che l'integrale generale e' il seguente insieme: \eal{&I_g'=\pgra{Y(x)+ce^{-A(x)}:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}\;|\;c\in \mathbb{R}} } dove $Y(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$ e' una particolare soluzione della $(1)$. In altre parole, una soluzione della $(1)$ e' la somma di una soluzione della $(1)$ e di una soluzione della $(2)$. } \begin{prova} La $(1)$ si puo' intendere come \eal{&y'=f(x,y)=-a(x)y+f(x)\\ &f(x,y):B \longrightarrow \mathbb{R}\\ &B=(a,b)\*\mathbb{R} } \begin{prova} \step{}{ Dimostriamo che presa $z(x)=Y(x)+ce^{-A(x)}\in I_g'$, allora $z(x)\in I'$ } \begin{prova} Essendo $Y(x)$ una soluzione della $(1)$, si ha \eal{&Y'(x)=-a(x)Y(x)+f(x)\;\;\forall x\in (a,b)\;\;(1.1) } \eal{&G_z\( B\\ &z'(x)=D\pqua{Y(x)+ce^{-A(x)}}= Y'(x)-a(x)ce^{-A(x)}= -a(x)Y(x)+f(x)-a(x)ce^{-A(x)}=\\ &=-a(x)\pton{Y(x)+ce^{-A(x)}}+f(x)= -a(x)z(x)+f(x) } quindi $z(x)$ e' proprio una soluzione di $(1)$. \end{prova} \step{}{Dimostriamo il viceversa, ovvero: \eal{& z(x)\in I'\> z(x)\in I_g' \= \= \exists \ove c \in \mathbb{R}:\;\;z(x)=Y(x)+\ove ce^{-A(x)} }} \begin{prova} Prendiamo una soluzione $z(x)$.\\ La tesi equivale a dimostrare che \eal{&\exists \ove c\in \mathbb{R}:\;\;z(x)-Y(x)=\ove ce^{-A(x)} \ubrace{\=}{prop. \see{propdiffsollineare2}} z(x)-Y(x)\T{ e' soluzione della $(2)$ } } Poiche' $z(x), Y(x)$ sono soluzioni di $(1)$, $\forall x\in (a,b)$ abbiamo \eal{&z'(x)=-a(x)z(x)+f(x)\\ &Y'(x)=-a(x)Y(x)+f(x) } allora \eal{&D\pqua{z(x)-Y(x)}=z'(x)-Y'(x)=-a(x)z(x)+f(x)+a(x)Y(x)-f(x)=-a(x)\pton{z(x)-Y(x)} } e quindi $z(x)-Y(x)$ e' una soluzione della $(2)$. \end{prova} \end{prova} \step{}{A questo punto troviamo una particolare $Y(x)$ soluzione di $(1)$} \begin{prova} Supponiamo che $Y(x)=g(x)e^{-A(x)}$ sia una soluzione della $(1)$, dove $g$ e' derivabile in $(a,b)$, allora da una parte \eal{&Y'(x)=-a(x)Y(x)+f(x)=-a(x){g(x)e^{-A(x)}}+f(x) } e dall'altra \eal{&Y'(x)=D\pqua{g(x)e^{-A(x)}}=g'(x)e^{-A(x)}-a(x)e^{-A(x)}g(x) } quindi \eal{&-a(x){g(x)e^{-A(x)}}+f(x)=g'(x)e^{-A(x)}-a(x)e^{-A(x)}g(x)\=\\ &\= f(x)=g'(x)e^{-A(x)} \= g'(x)=e^{A(x)}f(x) } Essendo $g(x)$ derivabile, e quindi continua, in $(a,b)$, per il teorema di Torricelli \eal{&g(x)=\intd{x_0}{x}e^{A(t)}f(t)\;\;dt +\ove c\\ &\T{ con }x_0\in (a,b),\;\;\ove c\in \mathbb{R} } Possiamo a questo punto chiederci se \eal{&Y(x)=g(x)e^{-A(x)}=e^{-A(x)}\pton{\intd{x_0}{x}e^{A(t)}f(t)\;\;dt +\ove c}} sia una soluzione della $(1)$. In effetti, lo e': \eal{&Y'(x)=g'(x)e^{-A(x)}-a(x)e^{-A(x)}g(x)=e^{A(x)}f(x)e^{-A(x)} -a(x)e^{-A(x)}g(x)=\\ &=-a(x)e^{-A(x)}g(x)+f(x)=-a(x)Y(x)+f(x) } Al variare di $\ove c\in \mathbb{R}$ otteniamo infinite soluzioni. Scegliamo allora quella con $\ove c=0$: \eal{&Y(x)=g(x)e^{-A(x)}=e^{-A(x)}\intd{x_0}{x}e^{A(t)}f(t)\;\;dt } \end{prova} \qedstep \begin{prova} Abbiamo in precedenza visto che l'integrale generale della $(1)$ e': \eal{&I_g'=\pgra{Y(x)+ce^{-A(x)}:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}\;|\;c\in \mathbb{R}}} adesso conosciamo anche una $Y(x)$, quindi \eal{&I_g'=\pgra{e^{-A(x)}\pton{\intd{x_0}{x}e^{A(t)}f(t)\;\;dt+c}:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}\;|\;c\in \mathbb{R}}} che in forma compatta possiamo scrivere come: \eal{& e^{-A(x)}\int e^{A(t)}f(t)\;dt } \end{prova} \end{prova} \qed \end{prova} \subsubsection{Di Bernoulli} Date $a(x),f(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$ continue in $(a,b)$, $m\in \mathbb{R}$, la seguente \eal{&y'=-a(x)y+f(x)y^m\;\;(1)} e' l'equazione differenziale di Bernoulli.\\ Consideriamo l'equazione lineare\footnote{ che sappiamo risolvere per quanto visto in \see{Lineari}} \eal{&z'= (1-m)(-a(x)z+f(x)) \= z'=-a_1(x)z+f_1(x)\;\;(2)\\ &a_1(x)=(1-m)a(x)\\ &f_1(x)=(1-m)f(x)} Siano dati i seguenti insiemi \def\abR{{\mathbb{R}^{(\alpha,\beta)}}} \eal{ %& \abR = \pgra{y(x):(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R} \;|\; %(\alpha, \beta)\( (a,b)} =\\ %&\qq = \T{tutte %le funzioni da $(\alpha,\beta)$ a $\mathbb{R}$, con $(\alpha,\beta)$ %sottointervallo di $(a,b)$}\\ &I=\T{integrale generale di (1)}\\ &I_{\ge }=\pgra{ y(x)\in I\;|\;\Im y \ge 0},\;\;I_{>} = \pgra{y(x)\in I\;|\; \Im y > 0 },\;\;I_{\le },\;\;I_{<}\\ &Z = \T{integrale generale di (2) } \\ &Z_{\ge }=\pgra{ z(x)\in Z\;|\;\Im z \ge 0},\;\;Z_{>} = \pgra{z(x)\in Z\;|\; \Im z > 0 },\;\;Z_{\le },\;\;Z_{<}\\ &I_0 = \pgra{y(x)\in \abR\;|\; \Im y =0}\qq \T{ovvero, l'insieme delle funzioni identicamente nulle }\\ &I_1 = \pgra{z(x)^{\frac{1}{1-m}} \;|\; z(x)\in Z_{>}}\\ &I_2 = \pgra{-z(x)^{\frac{1}{1-m}} \;|\; z(x)\in Z_{>}}\\ &I_3 = \pgra{-(-z(x))^{\frac{1}{1-m}} \;|\; z(x)\in Z_{<}}} Distinguiamo i seguenti casi: \begin{prova} \case{$m=0,1$} \begin{prova} Si ritorna ad un'equazione differenziale lineare, vedi \see{propdiffsollineare2}. \end{prova} \case{$m \notin \{0,1\}$} \begin{prova} \eal{&I_> = I_1} \case{$m\notin \mathbb{Z}$} \begin{prova} \eal{&I = I_{\ge}} \case{$01$} \begin{prova} \eal{&I=I_0 \U I_1 } \end{prova} \case{$m<0$} \begin{prova} \eal{&I=I_{\ge}=I_{>}=I_1} \end{prova} \end{prova}%case{$m\notin \mathbb{Z}$} \case{$m\in \mathbb{Z}$} \begin{prova} \eal{&I= I_{>} \U I_{<} \U I_0 } \case{$m\T{ dispari }$} \begin{prova} \eal{&I_< = I_2} \case{$m\ge 3$} \begin{prova} \eal{&I= I_0 \U I_1 \U I_2} \end{prova} \case{$m\le -1$} \begin{prova} \eal{&I=I_1 \U I_2} \end{prova} \end{prova} \case{$m\T{ pari }$} \begin{prova} \eal{&I_< = I_3} \case{$m\ge 2$} \begin{prova} \eal{&I=I_0 \U I_1 \U I_3 } \end{prova} \case{$m\le -2$} \begin{prova} \eal{&I=I_1 \U I_3} \end{prova} \end{prova} \end{prova} \end{prova} \end{prova} % \begin{prova} \pf \case{$m \notin \pgra{0,1}$ } \begin{prova} \step{}{Dim. che $I_{>} = I_1$} \begin{prova} Sia $y(x)\in I_{>}$, cioe' \eal{&y(x):(\alpha,\beta) \longrightarrow \mathbb{R}\\ &y(x) >0 \;\;\forall x\in (\alpha,\beta)} \step{}{Dimostriamo che $y(x)\in I_1$} \begin{prova} Poniamo $z(x)=y(x)^{1-m} \;\;\forall x \in (\alpha,\beta)$. E' una posizione lecita perche' $y(x)$ e' positiva, e quindi ha senso anche se $1-m < 0$.\\ Si ha subito che \eal{&y(x) \in I_{>} \> \Im z > 0} Poiche' $y(x)$ e' soluzione della $(1)$, abbiamo \eal{&G_y \( B\\ &\exists y'(x)=-a(x)y(x)+f(x)y(x)^m\;\;(*)} $z(x)$ e' derivabile perche' composizione di funzioni derivabili: \eal{&z'(x)=(1-m)y(x)^{-m}y'(x) \ubrace{=}{(*)} (1-m)y(x)^{-m}(-a(x)y(x)+f(x)y(x)^m)= \\ &= - \ubrace{(1-m)a(x)}{a_1(x)}\ubrace{y(x)^{1-m}}{z(x)}+\ubrace{(1-m)f(x) }{f_1(x)}= -a_1(x)z(x)+f_1(x)\\ &z'(x) = -a_1(x)z(x)+f_1(x) \> z(x) \in Z } Quindi \eal{&z(x) \in Z,\;\; \Im z > 0 \> z(x) \in Z_>} Infine, \eal{&z(x)=y(x)^{1-m} \ubrace{\=}{(!)} y(x)=z(x)^{\frac{1}{1-m}}} $(!)$ Operazione lecita perche' $y(x)$ e' positiva.\\ Abbiamo cosi' provato che $y(x)\in I_1$. \end{prova} \step{}{ Prendiamo $y(x) \in I_1$ e dimostriamo che $y(x)\in I_{>}$} \begin{prova} \eal{&y(x)\in I_1 \> \sist{y(x)=z(x)^{\frac{1}{1-m}}\\ z(x) \in Z_> } } Si ha quindi \eal{& \Im y > 0 \\ &z'(x)=-a_1(x)z(x)+f_1(x) \;\;\forall x\in (\alpha,\beta)\;\;(**) } Calcoliamo $y'(x)$: \eal{&y'(x)=\frac{1}{1-m}z(x)^{\frac{1}{1-m} -1 }z'(x) \ubrace{=}{(**)}\\ & =\frac{1}{1-m}z(x)^{\frac{1}{1-m} -1 }(-a_1(x)z(x)+f_1(x) ) \ubrace{=}{\T{espandendo $a_1,f_1$}} \\ &= \frac{1}{1-m}z(x)^{\frac{1}{1-m} -1 }(-(1-m)a(x)z(x)+(1-m)f(x) ) \ubrace{=}{\T{moltiplicando}} \\ &= -a(x)z(x)^{\frac{1}{1-m}} + f(x)z(x)^{\frac{1}{1-m} -1 } =\\ &= -a(x)z(x)^{\frac{1}{1-m}} + f(x)z(x)^{\frac{m}{1-m} } =\\ &=-a(x)y(x)+f(x)y(x)^{m}\\ &y'(x)=-a(x)y(x)+f(x)y(x)^{m} \> y(x) \in I } Quindi \eal{&y(x)\in I,\;\;\Im y >0 \> y(x) \in I_{>}} che e' quello che volevamo dimostrare. \end{prova} \end{prova} \step{}{Lemma 1. \eal{&m< 0 \; \| \;m > 1 \;\;\>\;\; I\-I_0 = I_> \U I_< }} \lineapiccola\\ \begin{prova} Dimostriamo intanto che $0\notin \Im y$.\\ Se $m<0$, si ha $B\((a,b)\*\mathbb{R}\-\pgra{0}$, perche' $m$ e' negativo e quindi $y^m$ non sarebbe un operazione lecita: $0^{m}=\frac{1}{0^{-m}}$ non avrebbe senso. Allora, $I_0=\0$ e inoltre \eal{& y(x) \in I \> G_y \( B \( (a,b)\*\mathbb{R}\-\pgra{0} \> \Im y \( \mathbb{R}\-\pgra{0} \> 0 \notin \Im y } Supponiamo adesso $m>1$ e sia $y(x) \in I\-I_0$, ovvero $y(x)$ e' una soluzione non identicamente nulla di $(1)$.\\ Supponiamo per assurdo che che $0 \in \Im y$. Allora, \eal{&y(x)\in I \> y'(x)=-a(x)y(x)+f(x)y(x)^m \obrace{=}{(**)} y(x){\ubrace{\pton{-a(x)+f(x)y(x) ^{m-1}}}{-b_1(x)}} =-b_1(x)y(x) } quindi $y(x)$ e' soluzione della \eal{&y'=-b_1(x)y\;\;(3)} che e' un'equazione differenziale lineare omogenea, quindi la $y(x)$ per la prop \see{propdiffsollineare2} e' del tipo \eal{y(x)=ke^{-B_1(x)}\;\;k\in \mathbb{R}\;\;\forall x\in (\alpha,\beta)} $k \neq 0$ perche' altrimenti $y\in I_0$, contro ipotesi.\\ \eal{&0\in \Im y \> \exists x_0:\;\;ke^{-B_1(x_0)}=0 } assurdo.\\ Nota: abbiamo bisogno di suppore $m> 1$ perche' se $m<1$, allora $m-1< 0$ e non avrebbe senso considerare $y(x) ^{m-1}=\frac{1}{y(x)^{1-m}}$ dato che $0\in \Im y$. Quindi non avremmo potuto mettere in evidenza in $(**)$\\ Infine, \eal{&y(x) \in I \> \exists y'(x)\;\;\forall x\in (\alpha,\beta) \> y(x) \T{ e' continua in } (\alpha,\beta)\\ &\sist{y(x) \T{ continua in }(\alpha,\beta)\\ 0\notin \Im y } \ubrace{\>}{\see{lemmatuttapositivaonegatova}} \Im y >0 \; \| \;\Im y <0 } e quindi $y(x) \in I_{>}\U I_{<}$\\ Per l'arbitrarieta' di $y(x)$ si ha $I\-I_0 \( I_> \U I_<$ e poiche' per definizione vale la $\)$, abbiamo cosi' dimostrato l'uguaglianza. \end{prova} \lineapiccola (fine lemma) \lineapiccola\\ \case{$m\notin \mathbb{Z}$} \begin{prova} \step{}{Dim. che $I = I_{\ge }$} \begin{prova} L'insieme $B$ di definizione della $(1)$ e' \eal{&B=(a,b)\*[0,+\infty [} infatti dobbiamo tenere conto degli intervalli di definizione di $a(x),f(x)$ e del fatto che, essendo $m$ non intero, $y^m$ e' definito solo per $y$ non negative.\\ Quindi, presa $y(x)\in I$, si ha \eal{& y(x) \in I \> G_y\( B=(a,b)\*[0,+\infty[ \> y(x) \in I_{\ge}} Quindi $I \( I_{\ge }$, e poiche' per definizione $I \) I_{\ge}$ si ha la tesi. \end{prova} \case{$01$} \begin{prova} \step{}{Dim. che $I = I_0 \U I_1$} \begin{prova} \step{}{Dim $\($} \begin{prova} Sia $y(x)\in I$. Se $y(x)\in I_0$, non abbiamo nulla da dimostrare. Supponiamo che $y(x)\notin I_0$. Dimostriamo che $y(x)\in I_1$.\\ \eal{&\sist{y(x) \in I\-I_0\\ m >1 } \ubrace{\>}{\T{Lemma 1.}} \in I_{>} \U I_{<}\;\;(*)} Ma poiche' $I=I_{\ge }$, si ha \eal{&y(x) \in I \;\;\ubrace{=}{m\notin \mathbb{Z}}\;\; I_{\ge }\;\; \> y(x) \notin I_{<}\\ &\qq \ubrace{\>}{(*)} y(x)\in I_{>} \ubrace{=}{m\notin \pgra{0,1}} I_1 } \end{prova} \step{}{Dim $\)$} \begin{prova} Per definizione. \end{prova} \end{prova} \end{prova}%\case{$m>1$} \case{$m<0$} \begin{prova} \step{}{Dim. che $I = I_{1}$} \begin{prova} $I_1\( I$ e' vero per definizione.\\ Si ha che $B=(a,b)\*]0,+\infty [$, ovvero stiamo escludendo lo zero, perche' essendo $m$ negativo, $y^m=\frac{1}{y^{-m}}$.\\ Quindi non esistono soluzioni identicamente nulle, ovvero $I_0 =\0$. Infine, \eal{& y(x) \in I \> G_y \( B \> \Im y \( ]0,+\infty [ \> \Im y > 0 \> y(x) \in I_{>} \ubrace{=}{m\notin \pgra{0,1}} I_1 } \end{prova} \end{prova}%\case{$m<0$} \end{prova}%case{$m\notin \mathbb{Z}$} \case{$m\in \mathbb{Z}$} \begin{prova} \step{}{Dim. che $I= I_{<} \U I_{>} \U I_0$} \begin{prova} L'inclusione $\)$ si ha per definizione. Si ha \eal{&m \in \mathbb{Z}\-\pgra{0,1} \> m\ge 2 \; \| \;m \le -1 \> m> 1 \; \| \;m < 0 } Per il lemma $1.$ si ha quindi \eal{&m> 1 \; \| \;m < 0 \ubrace{\>}{\T{lemma 1.}} I\-I_0 \( I_{<} \U I_{>} } e quindi la tesi. \end{prova} \case{$m$ dispari} \begin{prova} \step{}{Dim. che $I_< = I_2$ } \begin{prova} Si procede analogamente alla dimostrazione $I_> = I_1$. Elenchiamo solo le differenze: nel primo passo si ha le differenze del primo passo \eal{&m\T{ dispari } \> 1-m \T{ pari } \;\;(d.1)\\ &\sist{y(x)\in I_<\\ z(x)=y(x)^{1-m}} \ubrace{\>}{(d.1)} \Im z >0\\ &z(x)=y(x)^{1-m} \ubrace{\>}{y(x)\in I_<} -z(x)^{\frac{1}{1-m}} = y(x) } nel secondo passo si ha: \eal{&\Im y <0\\ &y'(x)=a(x)z(x)^{\frac{1}{1-m}} - f(x)z(x)^{\frac{m}{1-m} } =\\ &=a(x)(-y(x))-f(x)(-y(x))^{m} \ubrace{=}{m\T{ dispari }} = -a(x)y(x)+f(x)y(x)^{m} } \end{prova} \case{$m \ge 3$} \begin{prova} \step{}{Dim. che $I= I_0 \U I_1 \U I_2$ } \begin{prova} \eal{& I \ubrace{=}{m\in \mathbb{Z}} I_{>}\U I_{<} \U I_0 \ubrace{=}{m\notin \pgra{0,1},\;\;m\T{ dispari } } I_{1} \U I_2 \U I_0 } \end{prova} \end{prova}%\case{$m \ge 3$} \case{$m \le -1$} \begin{prova} \step{}{Dim. che $I= I_1 \U I_2$ } \begin{prova} Poiche' $m$ e' negativo, le funzioni nulle non sono soluzioni (al solito, non avrebbe senso $0^m$), quindi $I_0=\0$. Allora, \eal{& I \ubrace{=}{m\in \mathbb{Z}} I_{>}\U I_{<} \U I_0 \ubrace{=}{I_0 =\0} I_{>}\U I_{<} \ubrace{=}{m\notin \pgra{0,1},\;\;m\T{ dispari } } I_{1} \U I_2 } \end{prova} \end{prova}%\case{$m \le -1$} \end{prova}%\case{$m$ dispari} \case{$m$ pari} \begin{prova} \step{}{Dim. che $I_< = I_3$} \begin{prova} Si procede analogamente alla dimostrazione $I_> = I_1$. Elenchiamo solo le differenze: nel primo passo si ha le differenze del primo passo \eal{&m\T{ pari } \> 1-m \T{ dispari } \;\;(p.1)\\ &\sist{y(x)\in I_<\\ z(x)=y(x)^{1-m}} \ubrace{\>}{(p.1)} \Im z <0\\ &z(x)=y(x)^{1-m} \= -z(x) = - y(x)^{1-m} \ubrace{=}{m\T{dispari}} (-y(x))^{1-m} \ubrace{\>}{\Im -y,\Im -z >0} (-z(x))^{\frac{1}{1-m}} = -y(x) } nel secondo passo si ha: \eal{& \Im y <0,\;\; y(x)=- (-z(x))^{\frac{1}{1-m}} \\ &y'(x)=a(x)(-z(x))^{\frac{1}{1-m}} + f(x)(-z(x))^{\frac{m}{1-m} } =\\ &=a(x)(-y(x))+f(x)(-y(x))^{m} \ubrace{=}{m\T{ pari }} = -a(x)y(x)+f(x)y(x)^{m} } \end{prova} \case{$m \ge 2$} \begin{prova} \step{}{Dim. che $I= I_0 \U I_1 \U I_3$ } \begin{prova} \eal{& I \ubrace{=}{m\in \mathbb{Z}} I_{>}\U I_{<} \U I_0 \ubrace{=}{m\notin \pgra{0,1},\;\;m\T{ pari } } I_{1} \U I_3 \U I_0 } \end{prova} \end{prova}%\case{$m \ge 2$} \case{$m \le -2$} \begin{prova} \step{}{Dim. che $I= I_1 \U I_3$ } \begin{prova} Poiche' $m$ e' negativo, le funzioni nulle non sono soluzioni (al solito, non avrebbe senso $0^m$), quindi $I_0=\0$. Allora, \eal{& I \ubrace{=}{m\in \mathbb{Z}} I_{>}\U I_{<} \U I_0 \ubrace{=}{I_0 =\0} I_{>}\U I_{<} \ubrace{=}{m\notin \pgra{0,1},\;\;m\T{ pari } } I_{1} \U I_3 } \end{prova} \end{prova}%\case{$m \le -1$} \end{prova}%\case{$m$ pari} \end{prova}%\case{$m\in \mathbb{Z}$} \end{prova}%\case{$m \notin \pgra{0,1}$ } \qed \end{prova} \def\yn#1{{y^{(#1)}}} \def\y{{y}} \def\nyn#1#2{{y_{#1}^{(#2)}}} \def\ny#1{{y_{#1}}} \def\fyn#1{{\yn {#1}(x)}} \def\fy{{\y(x)}} \def\nfyn#1#2{{\nyn{#1}{#2}(x)}} \def\nfy#1{{\ny{#1}(x)}} \def\ndy#1{{\ny{#1}'(x)}} \def\xz{{x_{0}}} \def\an#1{{a_{#1}(x)}} \subsection{Equazioni lineari} \begin{defn} Sia data la seguente equazione differenziale: \eal{ &\yn {n} = f(x,y,y',y'', \dots, \yn{n-1})\\ &\T{dove }\\ &\qq B=(a,b)\*\mathbb{R}^{n}\\ &\qq f:B\longrightarrow \mathbb{R}\\ &\qq f(x,y,y',\dots,\yn {n-1}) = -\an 1 \yn{n-1} -\an 2 \yn{n-2} - \dots - \an{n-1}\y' - \an n \y +g(x)\\ &\qq \an 1,\an 2, \dots,\an n, g:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R} } che possiamo indicare con \eal{&\yn {n} + \an 1 \yn{n-1} + \dots + \an{n-1}\y' + \an n \y = g(x)\;\;(1) } La $(1)$ si chiama \emph{equazione differenziale lineare} in $(a,b)$, di ordine $n$, completa, di coefficienti $\an 1,\dots,\an n$ e termine noto $g(x)$. L'equazione \emph{omogenea} associata alla $(1)$ e' \eal{& \yn {n} + \an 1 \yn{n-1} + \dots + \an{n-1}\y' + \an n \y =0\;\;(2) } \end{defn} \begin{prop} \label{propequdifflincomblineare} Siano date le seguenti $m\ge 1$ equazioni diff. lineari in $(a,b)$: \eal{ &\yn {n} + \an 1 \yn{n-1} + \dots + \an{n-1}\y' + \an n \y = g_i(x)\;\;i=1,2\dots,m\;\;(1) } Se $y_1,y_2,\dots,y_m:(a,b) \longrightarrow \mathbb{R}$ sono rispettivamente soluzioni delle equazioni $(1)$, allora la funzione \eal{&y(x) = k_1y_1(x)+k_2y_2(x)+\dots+k_my_m(x) } e' soluzione dell'equazione differenziale \eal{& &\yn {n} + \an 1 \yn{n-1} + \dots + \an{n-1}\y' + \an n \y = k_1g_1(x)+k_2g_2(x) + \dots+ k_mg_m(x)\;\;(3) } e questo per ogni scelta di $k_1,k_2,\dots,k_m\in \mathbb{R}$. \end{prop} \begin{proof} Procediamo per induzione. \step{}{Base dell'induzione: $m=1$} \begin{prova} Per $m=1$ abbiamo $y(x)=k_1y_1(x)$, e inoltre l'equazione $(3)$ diventa: \eal{&\yn {n} + \an 1 \yn{n-1} + \dots + \an{n-1}\y' + \an n \y = k_1g_1(x)\;\;(3.1) } Poiche' \eal{&\yn j (x) = k_1 \nyn 1 j (x)\;\;\forall j=1,2,\dots,n } sostituendo $y(x)$ nella $(3.1)$, si ha: \eal{& k_1\nfyn 1 {n} + k_1\an 1 \nfyn 1 {n-1} + \dots + k_1\an{n-1}\nfyn 1 1 + k_1 \an n \nfy 1 = k_1g_1(x) \=\\ & \nfyn 1 {n} + \an 1 \nfyn 1 {n-1} + \dots + \an{n-1}\nfyn 1 1 + \an n \nfy 1 = g_1(x) } e quest'ultima uguaglianza e' vera perche' $y_1(x)$ e' soluzione dell'equazione: \eal{& \yn {n} + \an 1 \yn {n-1} + \dots + \an{n-1}\yn 1 + \an n \y = g_1(x)\;\;(3.2) } \end{prova} \step{}{Supponiamo la tesi vera per $m-1$ e dimostriamo per $m$} \begin{prova} Poiche' la tesi e' vera per $m-1$ si ha che la funzione \eal{k_1y_1(x)+k_2y_2(x)+\dots+k_{m-1}y_{m-1}(x)} e' soluzione dell'equazione differenziale \eal{& &\yn {n} + \an 1 \yn{n-1} + \dots + \an{n-1}\y' + \an n \y = k_1g_1(x)+k_2g_2(x) + \dots+ k_{m-1}g_{m-1}(x) } ovvero, si ha la seguente uguaglianza: \eal{& \pton{k_1\nfyn 1 {n} +k_2\nfyn 2 {n} + \dots + k_{m-1}\nfyn {m-1} {n}} + \\ &\qq +\an 1 \pton{k_1\nfyn 1 {n-1} +k_2\nfyn 2 {n-1} + \dots + k_{m-1}\nfyn {m-1} {n-1}}+\\ &\qq + \dots +\\ &\qq + \an n \pton{k_1\nfy 1 +k_2\nfy 2 + \dots + k_{m-1}\nfy {m-1}} = \\ &\qq \qq = k_1g_1(x) + k_2g_2(x) + \dots + k_{m-1}g_{m-1}(x)\;\;(*) } Poiche', per quanto visto nel passo precedente, la funzione $k_my_m(x)$ e' soluzione della equazione con termine noto $k_mg_m(x)$, si ha \eal{& &k_m\nfyn m {n} + \an 1 k_m\nfyn m{n-1} + \dots + \an{n-1}k_m\nfyn m 1 + \an n k_m\nfy m = k_mg_m(x)\;\;(**) } Allora sommando membro a membro la $(*)$ con la $(**)$ si ha: \eal{& \pton{k_1\nfyn 1 {n} +k_2\nfyn 2 {n} + \dots + k_{m}\nfyn {m} {n}} + \\ &\qq +\an 1 \pton{k_1\nfyn 1 {n-1} +k_2\nfyn 2 {n-1} + \dots + k_{m}\nfyn {m} {n-1}}+\\ &\qq + \dots +\\ &\qq + \an n \pton{k_1\nfy 1 +k_2\nfy 2 + \dots + k_{m}\nfy {m}} = \\ &\qq \qq = k_1g_1(x) + k_2g_2(x) + \dots + k_{m}g_{m}(x)\;\;(4) } E poiche' \eal{&y(x)=k_1\nfy 1 +k_2\nfy 2 + \dots + k_{m}\nfy {m}\\ &D^{(j)}[y(x)] = k_1\nfyn 1 {j} +k_2\nfyn 2 {j} + \dots + k_{m}\nfyn {m} {j} } Per la $(4)$ si ha che $y(x)$ e' soluzione dell'equazione \eal{&\yn {n} + \an 1 \yn{n-1} +\an 2 \yn{n-2} + \dots + \an{n-1}\y' + \an n \y = k_1g_1(x)+k_2g_2(x) + \dots+ k_mg_m(x)} \end{prova} \end{proof} \begin{prop} \label{propcombinazlineareancorsoluzione} Sia data la seguente equazione diff. lineare omogenea in $(a,b)$: \eal{ &\yn {n} + \an 1 \yn{n-1} + \dots + \an{n-1}\y' + \an n \y = 0\;\;(2) } Se $y_1,y_2,\dots,y_m:(a,b) \longrightarrow \mathbb{R}$ sono tutte soluzioni della $(2)$, allora la funzione \eal{&y(x) = k_1y_1(x)+k_2y_2(x)+\dots+k_my_m(x) } e' ancora soluzione della $(2)$, e questo per ogni scelta di $k_1,k_2,\dots,k_m\in \mathbb{R}$. \end{prop} \begin{proof} Basta applicare la prop \see{propequdifflincomblineare}. scegliendo $g_i(x)=0\;\;\forall x\in (a,b)\;\;\forall i=1,\dots,m$. \end{proof} \def\anx#1{{a_{#1}(x)}} \def\adx#1{{a_{#1}'(x)}} \begin{lem}\label{lemmaderivatadeterminante} Sia data la seguente funzione reale: \eal{&M(x)= \begin{vmatrix} \anx {11} & \anx {12} & \ldots & \anx {1n} \\ \anx {21} & \anx {22} & \ldots & \anx {2n} \\ \ldots\\ \anx {n1} & \anx {n2} & \ldots & \anx {nn} \\ \end{vmatrix} :(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}\\ } dove $\anx{ij}$ sono tutte funzioni reali derivabili in $(a,b)$. In altre parole $M$ e' il determinante di una matrice formata da funzioni.\\ Si ha \eal{&M'(x) = \begin{vmatrix} \adx {11} & \adx{12} & \ldots & \adx {1n} \\ \anx {21} & \anx {22} & \ldots & \anx {2n} \\ \ldots\\ \anx {n1} & \anx {n2} & \ldots & \anx {nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \anx {11} & \anx {12} & \ldots & \anx {1n} \\ \adx {21} & \adx{22} & \ldots & \adx {2n} \\ \ldots\\ \anx {n1} & \anx {n2} & \ldots & \anx {nn} \end{vmatrix}+\dots+\\ &\qq + \begin{vmatrix} \anx {11} & \anx {12} & \ldots & \anx {1n} \\ \anx {21} & \anx {22} & \ldots & \anx {2n} \\ \ldots\\ \adx {n1} & \adx{n2} & \ldots & \adx{nn} \end{vmatrix} } \end{lem} \begin{proof}Procediamo per induzione su $n$ \step{}{$n=1$} \begin{prova} \eal{&M(x)= \begin{vmatrix} \anx{11} \end{vmatrix} = \anx{11}\\ &M'(x) = \adx{11} } quindi la base e' vera. \end{prova} \step{}{Supponiamo che la tesi sia vera per $n-1$ e dimostriamola per $n$} \begin{prova} Poniamo \eal{&M'(x)_1 := \begin{vmatrix} \adx {11} & \adx{12} & \ldots & \adx {1n} \\ \anx {21} & \anx {22} & \ldots & \anx {2n} \\ \ldots\\ \anx {n1} & \anx {n2} & \ldots & \anx {nn} \end{vmatrix}\\ &M'(x)_2 := \begin{vmatrix} \anx {11} & \anx {12} & \ldots & \anx {1n} \\ \adx {21} & \adx{22} & \ldots & \adx {2n} \\ \ldots\\ \anx {n1} & \anx {n2} & \ldots & \anx {nn} \end{vmatrix}\\ &\dots\\ &M'(x)_{n} := \begin{vmatrix} \anx {11} & \anx {12} & \ldots & \anx {1n} \\ \anx {21} & \anx {22} & \ldots & \anx {2n} \\ \ldots\\ \adx {n1} & \adx{n2} & \ldots & \adx{nn} \end{vmatrix} } La tesi che dobbiamo dimostrare e': \eal{&M'(x) = \sumin M'(x)_i } Per il teorema di Laplace, sviluppando $M(x)$ lungo la prima riga, abbiamo \eal{&M(x) = \sumin (-1)^{1+i} a_{1j}(x) N_{1i}(x) } dove $N_{1i}(x)$ e' il determinante del minore complementare di posto $(1,i)$, ed e' quindi una matrice $n-1\*n-1$. La derivata prima di $M(x)$ e' quindi \eal{&M'(x) = \sumin (-1)^{1+i} a_{1i}'(x)N_{1i}(x)+(-1)^{1+i}a_{1i}(x) N_{1i}'(x)=\\ &= \sumin (-1)^{1+i} a_{1i}'(x)N_{1i}(x)+ \sumin (-1)^{1+i}a_{1i}(x) N_{1i}'(x)\;\;(1) } Sempre per Laplace si ha \eal{&\sumin (-1)^{1+i} a_{1i}'(x)N_{1i}(x) = \begin{vmatrix} \adx {11} & \adx{12} & \ldots & \adx {1n} \\ \anx {21} & \anx {22} & \ldots & \anx {2n} \\ \ldots\\ \anx {n1} & \anx {n2} & \ldots & \anx {nn} \end{vmatrix} = M'(x)_1 } Quindi sostituendo nella $(1)$ abbiamo \eal{&M'(x) = M'(x)_1 + \sumin (-1)^{1+i}a_{1i}(x) N_{1i}'(x)\;\;(1.1) } Per definizione si ha \eal{& N_{1i}(x) = \begin{vmatrix} \anx {2i_{1}} & \anx{2i_{2}} & \ldots & \anx {2i_{n-1}} \\ \anx {3i_{1}} & \anx {3i_{2}} & \ldots & \anx {3i_{n-1}} \\ \ldots\\ \anx {n,i_{1}} & \anx {n,i_{2}} & \ldots & \anx {n,i_{n-1}} \end{vmatrix}\\ &\T{ con } i_{k}=\sist{k & k< i\\ k+1 & k\ge i } } Poiche' $N_{1i}(x)$ e' una matrice $n-1\*n-1$, per l'Hp induttiva abbiamo: \eal{&N_{1i}'(x) = \begin{vmatrix} \adx {2i_{1}} & \adx{2i_{2}} & \ldots & \adx {2i_{n-1}} \\ \anx {3i_{1}} & \anx {3i_{2}} & \ldots & \anx {3i_{n-1}} \\ \ldots\\ \anx {n,i_{1}} & \anx {n,i_{2}} & \ldots & \anx {n,i_{n-1}} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \anx {2i_{1}} & \anx {2i_{2}} & \ldots & \anx {2i_{n-1}} \\ \adx {3i_{1}} & \adx{3i_{2}} & \ldots & \adx {3i_{n-1}} \\ \ldots\\ \anx {n,i_{1}} & \anx {n,i_{2}} & \ldots & \anx {n,i_{n-1}} \end{vmatrix}+\dots+\\ &+ \begin{vmatrix} \anx {2i_{1}} & \anx {2i_{2}} & \ldots & \anx {2i_{n-1}} \\ \anx {3i_{1}} & \anx {3i_{2}} & \ldots & \anx {3i_{n-1}} \\ \ldots\\ \adx {n,i_{1}} & \adx{n,i_{2}} & \ldots & \adx{n,i_{n-1}} \end{vmatrix} = N_{1i}'(x)_2+ N_{1i}'(x)_3+ \dots+ N_{1i}'(x)_{n} \\ &\T{ dove abbiamo posto }\\ &\qq N_{1i}'(x)_j := \begin{vmatrix} \anx {2i_1} & \anx{2i_2} & \ldots & \anx {2i_{n-1}} \\ \anx {3i_1} & \anx {3i_2} & \ldots & \anx {3i_{n-1}} \\ \ldots\\ \anx {j-1,i_1} & \anx{j-1,i_2} & \ldots & \anx {j-1,i_{n-1}} \\ \adx {ji_1} & \adx{ji_2} & \ldots & \adx {ji_{n-1}} \\ \anx {j+1,i_1} & \anx{j+1,i_2} & \ldots & \anx {j+1,i_{n+1}} \\ \ldots\\ \anx {n,i_1} & \anx {n,i_2} & \ldots & \anx {n,i_{n-1}} \end{vmatrix}\\ } Con queste posizioni abbiamo: \eal{& \sumin (-1)^{1+i}a_{1i}(x) N_{1i}'(x) = \sumin (-1)^{1+i}a_{1i}(x) N_{1i}'(x)_2+ \sumin (-1)^{1+i}a_{1i}(x) N_{1i}'(x)_3+ \dots+\\ &\qq + \sumin (-1)^{1+i}a_{1i}(x) N_{1i}'(x)_{n} \;\;(2) } Consideriamo la prima sommatoria: \eal{&\sumin (-1)^{1+i}a_{1i}(x) N_{1i}'(x)_2 =\\ &= a_{11}(x) \begin{vmatrix} \adx {22} & \adx{23} & \ldots & \adx {2n} \\ \anx {32} & \anx {33} & \ldots & \anx {3n} \\ \ldots\\ \anx {n2} & \anx {n3} & \ldots & \anx {nn} \end{vmatrix} + \\ & + a_{12}(x) \begin{vmatrix} \adx {21} & \adx{23} &\adx{24} & \ldots & \adx {2n} \\ \anx {31} & \anx {33} & \anx{34} & \ldots & \anx {3n} \\ \ldots\\ \anx {n1} & \anx {n3} & \anx{n4}& \ldots & \anx {nn} \end{vmatrix} + \dots + \\ &\qq + a_{1n}(x) \begin{vmatrix} \adx {21} & \adx{22} & \ldots & \adx {2,n-1} \\ \anx {31} & \anx {32} & \ldots & \anx {3,n-1} \\ \ldots\\ \anx {n1} & \anx {n2} & \ldots & \anx {n,n-1} \end{vmatrix} } che e' proprio lo sviluppo di Laplace, secondo la prima riga, del determinante: \eal{& M'(x)_2 = \begin{vmatrix} \anx {11} & \anx {12} & \ldots & \anx {1n} \\ \adx {21} & \adx{22} & \ldots & \adx {2n} \\ \ldots\\ \anx {n1} & \anx {n2} & \ldots & \anx {nn} \end{vmatrix} } e quindi \eal{& \sumin (-1)^{1+i}a_{1i}(x) N_{1i}'(x)_2 = M'(x)_2 } procedendo analogamente si arriva a: \eal{& \sumin (-1)^{1+i}a_{1i}(x) N_{1i}'(x)_j = M'(x)_j,\;\;j=2,3,\dots,n } Allora sostituendo nella $(2)$ abbiamo \eal{& \sumin (-1)^{1+i}a_{1i}(x) N_{1i}'(x) = M'(x)_2 + M'(x)_3+\dots+ M'(x)_{n}\;\;(3) } Infine, dalla $(1.1)$ arriviamo a: \eal{& M'(x) = M'(x)_1 + \sumin (-1)^{1+i}a_{1i}(x) N_{1i}'(x) \ubrace{=}{(3)} M'(x)_1 + M'(x)_2 + M'(x)_3+\dots+ M'(x)_{n} } che e' la tesi. \end{prova} \end{proof} \begin{prop} \label{propwroski} Sia data la seguente equazione diff. lineare omogenea in $(a,b)$: \eal{ &\yn {n} + \an 1 \yn{n-1} + \dots + \an{n-1}\y' + \an n \y = 0\;\;(2) } e siano $y_1,\dots,y_n:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$ sue soluzioni\footnote{nota: sono esattamente in numero $n$}.\\ Definita la seguente funzione $(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}^{n,n}$: \eal{&\ove W(x)= \begin{pmatrix} \nfy 1 & \nfy 2 & \ldots & \nfy n\\ \nfyn 1 1 & \nfyn 2 1 & \ldots & \nfyn n 1\\ \nfyn 1 2 & \nfyn 2 2 & \ldots & \nfyn n 2\\ \ldots\\ \nfyn 1 {n-1} & \nfyn 2 {n-1} & \ldots & \nfyn n {n-1} \end{pmatrix} } e definita la funzione \eal{&W(x) = \det \ove W(x):(a,b) \longrightarrow \mathbb{R} } \ilabel{determinante Wroskiano} chiamata \emph{determinante Wroskiano} relativo a $y_1,\dots,y_n$. Si ha: \eal{&W'(x) = -a_1(x)W(x)\;\;\forall x\in (a,b)} Se poi $a_1,\dots,a_n$ sono funzioni continue in $(a,b)$, allora scelto un arbitrario $x_0\in (a,b)$ , si ha \eal{& W(x)=W(x_0)e^{-\intd{x_0}{x}a_1(t)\;dt}\;\;\forall x\in (a,b) } Quest'ultima viene chiamata \emph{formula di Liouville}. \ilabel{formula di Liouville} \end{prop} \begin{proof} \step{}{Dim $1.$} \begin{prova} E' chiaro che tutte le funzioni in $\ove W(x)$ sono derivabili in $(a,b)$, allora usando il lemma \see{lemmaderivatadeterminante}, calcoliamo $W(x)$: \eal{&W(x) = \begin{vmatrix} \nfyn 1 1 & \nfyn 2 1 & \ldots & \nfyn n 1 \\ \nfyn 1 1 & \nfyn 2 1 & \ldots & \nfyn n 1\\ \nfyn 1 2 & \nfyn 2 2 & \ldots & \nfyn n 2\\ \ldots\\ \nfyn 1 {n-1} & \nfyn 2 {n-1} & \ldots & \nfyn n {n-1} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \nfy 1 & \nfy 2 & \ldots & \nfy n\\ \nfyn 1 2 & \nfyn 2 2 & \ldots & \nfyn n 2\\ \nfyn 1 2 & \nfyn 2 2 & \ldots & \nfyn n 2\\ \ldots\\ \nfyn 1 {n-1} & \nfyn 2 {n-1} & \ldots & \nfyn n {n-1} \end{vmatrix} +\dots+\\ &+ \begin{vmatrix} \nfy 1 & \nfy 2 & \ldots & \nfy n\\ \nfyn 1 1 & \nfyn 2 1 & \ldots & \nfyn n 1\\ \nfyn 1 2 & \nfyn 2 2 & \ldots & \nfyn n 2\\ \ldots\\ \nfyn 1 {n-1} & \nfyn 2 {n-1} & \ldots & \nfyn n {n-1}\\ \nfyn 1 {n-1} & \nfyn 2 {n-1} & \ldots & \nfyn n {n-1} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} \nfy 1 & \nfy 2 & \ldots & \nfy n\\ \nfyn 1 1 & \nfyn 2 1 & \ldots & \nfyn n 1\\ \nfyn 1 2 & \nfyn 2 2 & \ldots & \nfyn n 2\\ \ldots\\ \nfyn 1 {n-2} & \nfyn 2 {n-2} & \ldots & \nfyn n {n-2}\\ \nfyn 1 {n} & \nfyn 2 {n} & \ldots & \nfyn n {n} \end{vmatrix} } i primi $n-1$ addendi sono tutti nulli perche' hanno due righe uguali, quindi \eal{&W(x)= \begin{vmatrix} \nfy 1 & \nfy 2 & \ldots & \nfy n\\ \nfyn 1 1 & \nfyn 2 1 & \ldots & \nfyn n 1\\ \nfyn 1 2 & \nfyn 2 2 & \ldots & \nfyn n 2\\ \ldots\\ \nfyn 1 {n-2} & \nfyn 2 {n-2} & \ldots & \nfyn n {n-2}\\ \nfyn 1 {n} & \nfyn 2 {n} & \ldots & \nfyn n {n} \end{vmatrix}\;\;(3) } poiche' $y_i(x)$ e' soluzione della $(2)$, si ha \eal{& &\nfyn i n= -\an 1 \nfyn i {n-1}- \dots - \an n\nfy i } \def\nfyni#1{{-\an 1 \nfyn #1 {n-1}- \dots - \an n\nfy #1}} sostituendo in $(3)$, abbiamo \eal{& W(x) = \begin{vmatrix} \nfy 1 & \ldots & \nfy n\\ \nfyn 1 1 & \ldots & \nfyn n 1\\ \nfyn 1 2 & \ldots & \nfyn n 2\\ \ldots\\ \nfyn 1 {n-2} & \ldots & \nfyn n {n-2}\\ \nfyni 1 & \ldots & \nfyni n \end{vmatrix} \ubrace{=}{\T{prop. determ.}} \\ &= \begin{vmatrix} \nfy 1 & \ldots & \nfy n\\ \nfyn 1 1 & \ldots & \nfyn n 1\\ \nfyn 1 2 & \ldots & \nfyn n 2\\ \ldots\\ \nfyn 1 {n-2} & \ldots & \nfyn n {n-2}\\ -\an 1 \nfyn 1 {n-1} & \ldots & -\an 1 \nfyn n {n-1} \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} \nfy 1 & \ldots & \nfy n\\ \nfyn 1 1 & \ldots & \nfyn n 1\\ \nfyn 1 2 & \ldots & \nfyn n 2\\ \ldots\\ \nfyn 1 {n-2} & \ldots & \nfyn n {n-2}\\ -\sum_{i=2}^{n} \an i\nfyn 1 {n-i} & \ldots & -\sum_{i=2}^{n} \an i\nfyn n {n-i} \end{vmatrix} } il secondo addendo e' nullo perche' l'ultima riga e' combinazione lineare delle prime $n-1$ righe, quindi \eal{& W(x)= \begin{vmatrix} \nfy 1 & \ldots & \nfy n\\ \nfyn 1 1 & \ldots & \nfyn n 1\\ \nfyn 1 2 & \ldots & \nfyn n 2\\ \ldots\\ \nfyn 1 {n-2} & \ldots & \nfyn n {n-2}\\ -\an 1 \nfyn 1 {n-1} & \ldots & -\an 1 \nfyn n {n-1} \end{vmatrix} = -\an 1 \begin{vmatrix} \nfy 1 & \ldots & \nfy n\\ \nfyn 1 1 & \ldots & \nfyn n 1\\ \nfyn 1 2 & \ldots & \nfyn n 2\\ \ldots\\ \nfyn 1 {n-2} & \ldots & \nfyn n {n-2}\\ \nfyn 1 {n-1} & \ldots & \nfyn n {n-1} \end{vmatrix} = -\an 1 W(x) } \end{prova} \step{}{Dim $2.$} \begin{prova} Supponiamo adesso che $a_1,\dots,a_n$ siano funzioni continue in $(a,b)$., allora la relazione \eal{&W'(x)=-a_1(x) W(x)} mostra che $W(x)$ e' soluzione dell'equazione differenziale omogenea di primo grado: \eal{&y'=-a_1(x)y\;\;(*)} Per quanto abbiamo visto in \see{propdiffsollineare2}, l'integrale generale della $(*)$ e' \eal{&\pgra{y(x):(\alpha,\beta) \longrightarrow \mathbb{R} \;|\;y(x) = ke^{-A_1(x)} \;\forall x\in (\alpha,\beta),\;\;\;\;k\in \mathbb{R} }} dove $A_1(x)$ e' una primitiva di $a_1(x)$. Quindi, poiche' $W(x)$ e' una soluzione, appartiene all'integrale generale: \eal{&\exists k\in \mathbb{R}:\;\;W(x) = k e^{-A_1(x)}\\ &a_1(x) \T{ continua in }(a,b) \ubrace{\>}{\T{thm Torricelli} } A_1(x)= \intd{x_0}{x}a_1(t)\;dt } dove $x_0$ e' un numero arbitrario in $(a,b)$.\\ Concludendo: \eal{&W(x) = k e^{-\intd{x_0}{x}a_1(t)\;dt}\\ &W(x_0)= k e^{-\intd{x_0}{x_0}a_1(t)\;dt} = ke^0=k\\ &W(x) = W(x_0) e^{-\intd{x_0}{x}a_1(t)\;dt} } \end{prova} \end{proof} \begin{prop} Sia data la seguente equazione diff. lineare omogenea in $(a,b)$: \eal{ &\yn {n} + \an 1 \yn{n-1} + \dots + \an{n-1}\y' + \an n \y = 0\;\;(2) } Con $a_1,\dots,a_n$ funzioni continue in $(a,b)$. Siano $y_1,\dots,y_n:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$ sue soluzioni. Sia $W(x)$ il determinante Wroskiano relativo ad esse. Si ha \eal{&1.\;\;\exists x_0\in (a,b):\; W(x_0) \neq 0\= W(x) \neq 0\;\;\forall x\in (a,b)\;\;\\ &2.\;\;\exists x_0\in (a,b):\;W(x_0)=0 \= W(x)=0\;\;\forall x\in (a,b) } Nel caso $1.$ diremo che le soluzioni $y_1,\dots,y_n$ sono indipendenti, e che l'insieme $\pgra{y_1,\dots,y_n}$ e' un sistema fondamentale di soluzioni della $(2)$. \end{prop} \begin{proof} \step{}{Dim $1.$} \begin{prova} Per la formula di Liouville \see{propwroski}, si ha \eal{&W(x) \neq 0 \= W(x_0)e^{\intd{x_0}{x}a_1(t)\;dt} \neq 0 \ubrace{\=}{e^x>0\;\forall x } W(x_0) \neq 0 } \end{prova} \end{proof} \begin{lem} \label{lemmacauchydiff} Siano $a_1(x),\dots,a_n(x):(a,b) \longrightarrow \mathbb{R}$ funzioni continue in $(a,b)$, e sia $(x_0,y_0,y_0',\dots,y_0^{n-1}) \in (a,b)\*\mathbb{R}^n$, allora \eal{&\exists ! \T{ soluzione del seguente problema di Cauchy}\\ &\sist{\yn {n} + \an 1 \yn{n-1} + \dots + \an{n-1}\y' + \an n \y = 0\\ y(x_0)=y_0,\;\;y'(x_0)=y_0',\;\;y^{(2)}(x_0)=y_0^{(2)},\;\;\dots,y^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)} } } \end{lem} \begin{proof} Cerchiamo di utilizzare il teorema \see{thmesistenzaunicaprobdicauchy}.\\ In questo caso abbiamo: \eal{&B=(a,b)\*\rn\\ &f(x,y,y',\dots,\yn {n-1}) = - \an 1 \yn{n-1} - \dots - \an{n-1}\y' - \an n \y } $f$ e' continua in $(a,b)$ perche' lo sono le funzioni $\an i$.\\ Fissiamo un intervallo $\pqua{c,d}\( (a,b)$ e presi due punti \eal{&P=(x,y_1,y_1',\dots,y_1^{(n-1)}),\;Q=(x,y_2,y_2',\dots,y_2^{(n-1)})\in \pqua{c,d}\*\mathbb{R}^{n} } consideriamo la differenza \eal{&\Delta = |f(x,y_1,y_1',\dots,y_1^{(n-1)}) - (x,y_2,y_2',\dots,y_2^{(n-1)})| } si ha \eal{&\Delta = |- \an 1 \nyn 1 {n-1} - \dots - \an{n-1}\ny 1 ' - \an n \ny 1 + \an 1 \nyn 2 {n-1} + \dots + \an{n-1}\ny 2 ' + \an n \ny 2 |= \\ &\qq =|\an 1 (\nyn 2 {n-1} -\nyn 1 {n-1}) + \dots + \an{n-1}(\ny 2 ' - \ny 1 ' ) + \an n (\ny 2 -\ny 1 ) | \le \\ &\qq\le |\an 1| |\nyn 2 {n-1} -\nyn 1 {n-1}| + \dots + |\an{n-1}| |\ny 2 ' - \ny 1 '| + |\an n| |\ny 2 -\ny 1| \;\;(1) } Poiche' $a_i(x)$ sono funzioni continue, e $[c,d]$ e' chiuso e limitato, per il thm di Weierstrass, si ha che \eal{&\exists M_i = \max_{x\in [c,d]}a_i(x)\;\;i=1,\dots,n} prendendo $M=\max{M_1,\dots,M_n}$, possiamo continuare a maggiorare $\Delta$: \eal{&\Delta \le M |\nyn 2 {n-1} -\nyn 1 {n-1}| + \dots + M |\ny 2 ' - \ny 1 '| + M |\ny 2 -\ny 1| =\\ &\qq =M(|\nyn 2 {n-1} -\nyn 1 {n-1}| + \dots + |\ny 2 ' - \ny 1 '| + |\ny 2 -\ny 1| ) \le \\ &\qq \ubrace{\le}{(*)} \sqrt{n} M \sqrt{(\nyn 2 {n-1} -\nyn 1 {n-1})^2 + \dots + (\ny 2 ' - \ny 1 ')^2 + (\ny 2 -\ny 1)^2} = \sqrt{n}M d(P,Q) } $(*)$ abbiamo applicato la diseguaglianza di Cauchy-Schwartz (vedi \AII{schwartzi}).\\ Ponendo $L=\sqrt{n}M $, per l'arbitrarieta' di $P$ e $Q$, le ipotesi del thm \see{thmesistenzaunicaprobdicauchy} sono verificate, e quindi si ha la tesi. \end{proof} \begin{prop} Siano $a_1(x),\dots,a_n(x):(a,b) \longrightarrow \mathbb{R}$ funzioni continue in $(a,b)$, e sia data l'equazione diff. lineare omogea \eal{ & {\yn {n} + \an 1 \yn{n-1} + \dots + \an{n-1}\y' + \an n \y = 0}\;\;\;(2)} allora, esistono \eal{&\nfy 1, \nfy 2, \dots, \nfy n:(a,b) \longrightarrow \mathbb{R}} soluzioni indipendenti di $(2)$. \end{prop} \begin{proof} Fissiamo un arbitrario $x_0 \in (a,b)$, e poniamo \eal{&(y_0,y_0',\dots,y^{(n-1)}) = (1,0,0,\dots,0) } Per il lemma \see{lemmacauchydiff}, si ha che esiste un'unica soluzione $y_1(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$ del problema di Cauchy: \eal{&\sist{\yn {n} + \an 1 \yn{n-1} + \dots + \an{n-1}\y' + \an n \y = 0\\ y(x_0)=y_0=1,\;\;y'(x_0)=y_0'=0,\;\;y^{(2)}(x_0)=y_0^{(2)}=0,\;\;\dots,y^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)}=0 }} Quindi $y_1(x)$ e' anche soluzione dell'equazione $(2)$. \\ In modo analogo, ponendo \eal{&(y_0,y_0',\dots,y^{(n-1)}) = (0,1,0,\dots,0) } esiste un'unica soluzione $y_2(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$ del problema di Cauchy: \eal{& \sist{\yn {n} + \an 1 \yn{n-1} + \dots + \an{n-1}\y' + \an n \y = 0\\ y(x_0)=y_0=0,\;\;y'(x_0)=y_0'=1,\;\;y^{(2)}(x_0)=y_0^{(2)}=0,\;\;\dots,y^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)}=0 } } Cosi' procedendo troviamo $y_1(x),\dots,y_n(x)$ soluzioni di $(2)$ in $(a,b)$, tali che \eal{ &(\nfy 1 , \nfyn 1 1,\dots,\nfyn 1 {n-1}) = (1,0,0,\dots,0)\\ &(\nfy 2 , \nfyn 2 1,\dots,\nfyn 2 {n-1}) = (0,1,0,\dots,0)\\ &\dots\\ &(\nfy n , \nfyn n 1,\dots,\nfyn n {n-1}) = (0,0,0,\dots,1) } Allora, il determinante Wroskiano di $y_1,\dots,y_n$ e' proprio il determinante della matrice identica e quindi \eal{&W(x) = 1 \neq 0 \> y_1,\dots,y_n \T{ sono soluzioni indipendenti }} \end{proof} \begin{prop} \label{thmintgeneraledellaomogenealineare} Siano $a_1(x),\dots,a_n(x):(a,b) \longrightarrow \mathbb{R}$ funzioni continue in $(a,b)$, e sia data l'equazione diff. lineare omogea \eal{ & {\yn {n} + \an 1 \yn{n-1} + \dots + \an{n-1}\y' + \an n \y = 0}\;\;\;(2)} Siano inoltre $y_1(x),\dots,y_n(x)$ sue soluzioni indipendenti.\\ Allora, il suo integrale generale e' il seguente insieme: \eal{&\pgra{k_1y_1(x)+k_2y_2(x)+\dots+k_ny_n(x):(a,b) \longrightarrow \mathbb{R}\;|\; k_1,\dots,k_n\in \mathbb{R}} } \end{prop} \begin{proof} Denotiamo con $I'$ l'insieme della tesi e con $I$ l'integrale generale della $(2)$. \step{}{Dim. $I\) I'$} \begin{prova} Sia $y(x) \in I'$, ovvero \eal{&y(x) = k_1y_1(x)+k_2y_2(x)+\dots+k_ny_n(x) } allora per la prop. \see{propcombinazlineareancorsoluzione} si ha che $y(x) \in I$ \end{prova} \step{}{Dim. $I \( I'$} \begin{prova} Sia $y(x)\in I$ e fissiamo $x_0\in (a,b)$. \\ \def\f{{\varphi}} Consideriamo la funzione \eal{&\f(x) = k_1y_1(x)+\dots+k_ny_n(x)\;\;\forall x\in (a,b)} dove le costanti $k_i$ sono incognite che determiniamo in questo modo: \eal{&\T{imponiamo che $\f^{(j)}(x_0)= \yn j (x_0)\;\;\forall j=0,\dots,n-1$}\\ &\qq \= \sist{ k_1 y_1(x_0) + \dots + k_ny_n(x_0) = y(x_0)\\ k_1 \nyn 1 1 (x_0) + \dots + k_n \nyn n 1 (x_0) = \yn 1 (x_0)\\ k_1 \nyn 1 2 (x_0) + \dots + k_n \nyn n 2 (x_0) = \yn 2 (x_0)\\ \dots\\ k_1 \nyn 1 {n-1} (x_0) + \dots + k_n \nyn n {n-1} (x_0) = \yn {n-1} (x_0) }\;\;(*) } la $(*)$ e' un sistema in $n$ equazioni e $n$ incognite, e la matrice dei coefficienti e' proprio il determinante Wroskiano. Allora, \eal{&y_1,\dots,y_n\T{ indipendenti } \> W(x) \neq 0 \;\forall x\in (a,b)\> W(x_0) \neq 0 \ubrace{\>}{\T{Cramer}} \exists ! \T{ soluzione } (\ove k_1,\dots,\ove k_n) } Per la prop. \see{propcombinazlineareancorsoluzione}, $\f(x)$ e' ancora soluzione della $(2)$.\\ Quindi, sia la $\f$ che la $y(x)$ sono soluzioni del problema di Cauchy \eal{& \sist{\yn {n} + \an 1 \yn{n-1} + \dots + \an{n-1}\y' + \an n \y = 0\\ y(x_0)=y(x_0),\;\;y'(x_0)=y'(x_0),\;\;y^{(2)}(x_0)=y^{(2)}(x_0),\;\;\dots,y^{(n-1)}(x_0)=y^{(n-1)}(x_0) } } Ma per il thm \see{thmesistenzaunicaprobdicauchy}, la soluzione a tale problema e' unica, quindi \eal{&y(x)=\f(x) = \ove k_1y_1(x)+\dots+\ove k_ny_n(x) \;\;\forall x\in (a,b) \> y(x) \in I' } \end{prova} \end{proof} \begin{prop} \label{propintgendellacompletalineare} Siano $\an 1,\dots,\an n,f(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$ continue in $(a,b)$ e sia data la seguente equazione differenziale completa in $(a,b)$: \eal{&\yn {n} + \an 1 \yn{n-1} + \dots + \an{n-1}\y' + \an n \y = f(x)\;\;(1) } Se $y_1(x),\dots,y_n(x)$ sono soluzioni indipendenti della sua omogenea \eal{& \yn {n} + \an 1 \yn{n-1} + \dots + \an{n-1}\y' + \an n \y =0\;\;(2) } e se $Y(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$ e' una soluzione della $(1)$, allora l'integrale generale della $(1)$ e' il seguente insieme: \eal{&\pgra{Y(x) + k_1y_1(x)+\dots+k_n y_n(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R} \;|\; k_1,\dots,k_n \in \mathbb{R} } } \end{prop} \begin{proof} \def\f{{\varphi}} Detoniamo con $I'$ l'insieme della tesi e con $I$ l'integrale generale della $(1)$. \step{}{Dim. $I' \(I $} \begin{prova} Sia \eal{&\f(x)=Y(x) + k_1y_1(x)+\dots+k_n y_n(x) \in I' } Sia $0(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$ la funzione nulla. $\nfy 1,\nfy 2 ,\dots,\nfy n$ sono soluzioni della $(2)$ e quindi anche dell'equaz. diff. \eal{&\yn {n} + \an 1 \yn{n-1} + \dots + \an{n-1}\y' + \an n \y = 0(x) } $Y(x)$ e' soluzione della $(1)$. Per la prop. \see{propequdifflincomblineare} si ha che la funzione $Y(x) + k_1y_1(x)+\dots+k_n y_n(x)$ e' soluzione dell'equazione \eal{&\yn {n} + \an 1 \yn{n-1} + \dots + \an{n-1}\y' + \an n \y = f(x) +k_10(x)+k_20(x) + \dots + k_n0(x) = f(x) } ovvero e' soluzione della $(1)$. Quindi $\f(x)\in I$ \end{prova} \step{}{Dim $I\( I'$} \begin{prova} Sia $y(x)\in I$. Sempre per la prop. \see{propcombinazlineareancorsoluzione}, la funzione $y(x)-Y(x)$ e' soluzione della $(2)$, e quindi per il thm \see{thmintgeneraledellaomogenealineare} si ha \eal{&\exists k_1,\dots, k_n \in \mathbb{R}:\; y(x)-Y(x) = k_1y_1(x) + k_2y_2(x) +\dots + y_n(x) } Quindi $y(x)\in I'$ \end{prova} \end{proof} \def\ng#1{{\gamma_{#1}}} \def\nfg#1{{\ng{#1}(x)}} \def\ndg#1{{\ng{#1}'(x)}} \begin{prop} \label{propmetodovarcostanti} Metodo di variazione delle costanti.\\ Siano $\an 1,\dots,\an n,f(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$ continue in $(a,b)$ e sia data la seguente equazione differenziale completa in $(a,b)$: \eal{&\yn {n} + \an 1 \yn{n-1} + \dots + \an{n-1}\y' + \an n \y = f(x)\;\;(1) } Se $y_1(x),\dots,y_n(x)$ sono soluzioni indipendenti della sua omogenea \eal{& \yn {n} + \an 1 \yn{n-1} + \dots + \an{n-1}\y' + \an n \y =0\;\;(2) } Una particolare soluzione di $(1)$ e' la funzione \eal{& y(x)=\nfg 1 \nfy 1 + \nfg 2 \nfy 2 + \dots + \nfg n \nfy n} con \eal{&\nfg i = \intd{x_0}{x} \frac{{f(t)W_{ni}(t)}}{W(t)}\;dt + c_i\qq \forall x\in (a,b) } dove $W_{ni}(x)$ e' il complemento algebrico di posto $(n,i)$ della matrice Wroskiana relativa alle soluzioni $\nfy 1, \nfy 2 ,\dots, \nfy n$,\\ $x_0$ e' un qualsiasi reale $ \in (a,b)$ e infine $c_i$ e' un qualsiasi reale $ \in \mathbb{R}$.\\ Nota \footnote{la funzione integrale $\gamma_i(x)$ e' ben definita perche' $a_1,\dots,a_n,f$ sono funzioni continue.}, \footnote{la prop. \see{propintgendellacompletalineare} permette di conoscere tutte le altre soluzioni di $(1)$.}. \end{prop} \begin{proof} Poiche' $y_i(x)$ e' soluzione dell'omogenea, si ha \eal{& \nfyn i {n} + \an 1 \nfyn i {n-1} + \dots + \an{n-1}\ny i '(x) + \an n \ny i (x) =0 \;\;\forall x\in (a,b),\;\;\forall i=1,\dots,n\;\;\;(3) } Inoltre, \eal{& \ndg 1 = \frac{{f(t)W_{n1}(t)}}{W(t)}\;dt = \frac{ f(x)(-1)^{n+1}\begin{vmatrix} \nfy 2 & \ldots & \nfy n\\ \nfyn 2 1 & \ldots & \nfyn n 1\\ \nfyn 2 2 & \ldots & \nfyn n 2\\ \ldots\\ \nfyn 2 {n-2} & \ldots & \nfyn n {n-2} \end{vmatrix} }{ W(x)}= \\ &\qq\qq \ubrace{=}{\T{Laplace}} \frac{ \begin{vmatrix} 0 & \nfy 2 & \ldots & \nfy n\\ 0 & \nfyn 2 1 & \ldots & \nfyn n 1\\ 0 & \nfyn 2 2 & \ldots & \nfyn n 2\\ \vdots& \vdots & & \vdots \\ 0 & \nfyn 2 {n-2} & \ldots & \nfyn n {n-2}\\ f(x) & \nfyn 2 {n-1} & \ldots & \nfyn n {n-1} \end{vmatrix} }{W(x)}\\ & \ndg 2 = \frac{{f(t)W_{n2}(t)}}{W(t)}\;dt = \frac{ \begin{vmatrix} \nfy 1 & 0 & \nfy 3& \ldots & \nfy n\\ \nfyn 1 1 & 0 & \nfyn 3 1 &\ldots & \nfyn n 1\\ \nfyn 1 2 & 0 & \nfyn 3 2 & \ldots & \nfyn n 2\\ \vdots& \vdots & \vdots & & \vdots \\ \nfyn 1 {n-2} & 0& \nfyn 3 {n-2} & \ldots & \nfyn n {n-2}\\ \nfyn 1 {n-1} & f(x) & \nfyn 3 {n-1} & \ldots & \nfyn n {n-1} \end{vmatrix} }{W(x)}\\ &\dots\\ & \ndg n = \frac{{f(t)W_{nn}(t)}}{W(t)}\;dt = \frac{ \begin{vmatrix} \nfy 1 & \nfy 2 & \ldots & \nfy {n-1} & 0\\ \nfyn 1 1 & \nfyn 2 1 & \ldots & \nfyn {n-1} 1 & 0\\ \nfyn 1 2 & \nfyn 2 2 & \ldots & \nfyn {n-1} 2 & 0\\ \vdots& \vdots & & \vdots & \vdots \\ \nfyn 1 {n-2} & \nfyn 2 {n-2} & \ldots & \nfyn {n-1} {n-2} & 0\\ \nfyn 1 {n-1} & \nfyn 2 {n-1} & \ldots & \nfyn {n-1} {n-1} & f(x) \end{vmatrix} }{W(x)} } Quindi $\ndg i$ e' dato dal rapporto tra il determinante della matrice Wroskiana in cui e' stata sostituita la $i$-esima colonna con la colonna e $W(x)$ \eal{&C=\begin{pmatrix} 0\\0\\\vdots\\0\\ f(x) \end{pmatrix} } e questo $\forall x\in (a,b)$. Inoltre, poiche' $y_1,\dots,y_n$ sono indipendenti, abbiamo $W(x) \neq 0$. Allora, fissata una $x$, per la regola di Cramer, possiamo interpretare la colonna \eal{&Y = \begin{pmatrix} \ndg 1\\ \ndg 2\\ \vdots\\ \ndg n \end{pmatrix}} come la soluzione del sistema \eal{&\ove W(x) X = C } ovvero, si ha \eal{&\ove W(x)Y =C \= \begin{pmatrix} \nfy 1 & \nfy 2 & \ldots & \nfy n\\ \nfyn 1 1 & \nfyn 2 1 & \ldots & \nfyn n 1\\ \nfyn 1 2 & \nfyn 2 2 & \ldots & \nfyn n 2\\ \ldots\\ \nfyn 1 {n-1} & \nfyn 2 {n-1} & \ldots & \nfyn n {n-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ndg 1\\ \ndg 2\\ \vdots\\ \ndg n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\\vdots\\0\\ f(x) \end{pmatrix} \=\\ &\qq \= \sist{ \nfy 1\ndg 1 + \nfy 2 \ndg 2 + \ldots + \nfy n\ndg n = 0\\ \nfyn 1 1 \ndg 1+ \nfyn 2 1 \ndg 2 + \ldots + \nfyn n 1\ndg n=0\\ \dots\\ \nfyn 1 {n-2}\ndg 1 + \nfyn 2 {n-2}\ndg 2 + \ldots + \nfyn n {n-2}\ndg n=0\\ \nfyn 1 {n-1}\ndg 1 + \nfyn 2 {n-1}\ndg 2 + \ldots + \nfyn n {n-1}\ndg n=f(x) } \\ &\qq \= \sist{ \sumin \nfy i\ndg i =0\\ \sumin \nfyn i 1\ndg i =0\\ \dots\\ \sumin \nfyn i {n-2}\ndg i =0\\ \sumin \nfyn i {n-1}\ndg i =f(x)\\ } \;\;(*) } Calcoliamo ora le derivate di $y(x)$: \eal{&y(x)=\sumin \nfg i \nfy i\\ &y'(x)=D\pqua{\sumin \nfg i \nfy i}=\sumin \pton{\ndg i\nfy i + \nfg i\ndy i}= \sumin \ndg i\nfy i + \sumin \nfg i\ndy i = \\ & \qq \ubrace{=}{(*)} 0 + \sumin \nfg i\ndy i = \sumin \nfg i\ndy i\\ &\fyn 2 = D\pqua{\sumin \nfg i\ndy i} = \sumin \ndg i\ndy i + \sumin \nfg i\nfyn i 2 \ubrace{=}{(*)} \sumin \nfg i\nfyn i 2 \\ &\dots\\ &\fyn {n-1} = D\pqua{\sumin \nfg i\nfyn i {n-2}} = \sumin \ndg i\nfyn i {n-2} + \sumin \nfg i\nfyn i {n-1} \ubrace{=}{(*)} \sumin \nfg i\nfyn i {n-1} \\ &\fyn {n} = D\pqua{\sumin \nfg i\nfyn i {n-1}} = \sumin \ndg i\nfyn i {n-1} + \sumin \nfg i\nfyn i {n} \ubrace{=}{(*)} f(x) + \sumin \nfg i\nfyn i {n} } Calcoliamo il primo membro della $(1)$ sostituendo $y(x)$ e le derivate appena trovate: \eal{& \fyn {n} + \an 1 \fyn{n-1} + \dots + \an{n-1}\y'(x) + \an n \y(x) =\\ &= \pton{f(x) + \sumin \nfg i\nfyn i {n} } + \an 1 \pton{ \sumin \nfg i\nfyn i {n-1} } + \dots + \an n \pton{\sumin \nfg i \nfy i} = \\ &= f(x) + \sumin \nfg i\pton{ \nfyn i {n} + \an 1 \nfyn i {n-1} + \dots + \an n \nfy i} \ubrace{=}{(3)} f(x) + \sumin \nfg i 0 =f(x)\\ &\qq \= \fyn {n} + \an 1 \fyn{n-1} + \dots + \an{n-1}\y'(x) + \an n \y(x) = f(x) } e per l'arbitrarieta' di $x$, abbiamo che $\fy$ e' una soluzione della $(1)$. \end{proof} \subsubsection{Con coeff. costanti} \begin{prop} \label{propequazcaratt} Sia data la seguente equazione differenziale lineare omogenea \eal{&\yn {n} + a_1 \yn{n-1} + \dots + a_{n-1}\y' + a_n \y = 0\;\;(2')} dove $a_1,\dots,a_n$ sono funzioni reali costanti, definite in tutto $\mathbb{R}$: \eal{&a_i(x)=a_i\;\;\forall x\in \mathbb{R}} allora, \eal{&y(x)=e^{\lambda x}\;\;\forall x\in \mathbb{R} \T{ e' soluzione della $(2')$} \= \\ &\qq \= \lambda \T{ e' soluzione dell'equazione algebrica } \xi^{n} + a_1\xi^{n-1} +\dots+ a_{n-1}\xi + a_n =0 \T{ nell'incognita }\xi } Quest'ultima equazione si chiama \ilabel{equazione caratteristica} equazione caratteristica della $(2')$. \end{prop} \begin{proof} \begin{pnecsuf} Calcoliamo le derivate di $y(x)$: \eal{&y(x) = e^{\lambda x}\\ &y'(x)=\lambda e^{\lambda x}\\ &\fyn 2=\lambda^2 e^{\lambda x}\\ &\dots\\ &\fyn n=\lambda^n e^{\lambda x} } Supponiamo che $y(x)$ sia soluzione, allora \eal{& \fyn {n} + a_1 \fyn{n-1} + \dots + a_{n-1}\y'(x) + a_n \y(x) = 0 \=\\ &\qq \= \lambda^n e^{\lambda x} + a_1 \lambda^{n-1} e^{\lambda x} + \dots + a_n e^{\lambda x} =0 \= \\ &\qq \= e^{\lambda x } \pton{ \lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} + \dots + a_n } =0 \=\\ &\qq \ubrace{\=}{e^x >0\;\;\forall x\in \mathbb{R}} \lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} + \dots + a_n =0 } \end{pnecsuf} \end{proof} \def\l#1{{\lambda_{#1}}} \def\el#1{{e^{\l {#1} x}}} \def\ll#1#2{{{\l{#1}}^{#2}}} \def\del#1#2{{\ll{#1}{#2}e^{\l {#1} x}}} \begin{prop} \label{propradicirealiequcaratt} Consideriamo l'equazione $(2')$ vista in \see{propequazcaratt}.\\ Se $\l 1,\l2, \dots, \l n \in \mathbb{R}$ sono soluzioni reali e distinte dell'equazione $(2')$, allora l'insieme \eal{&\pgra{\el 1, \el2,\dots, \el n:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}} } e' un sistema fondamentale della $(2')$. \end{prop} \begin{proof} Abbiamo gia' visto che $\el i$ e' soluzione della $(2')$. Resta quindi da vedere se $W(x) \neq 0$. \eal{&W(x) = \begin{vmatrix} \el 1 & \el 2 & \ldots & \el n\\ \l 1 \el 1 & \l2 \el 2 & \ldots & \l n\el n \\ \ldots\\ \del 1 {n-1} & \del 2 {n-1} & \ldots & \del n {n-1} \end{vmatrix} \ubrace{=}{\T{mettiamo in evidenza $\el 1,\el 2,\dots,\el n$ nelle colonne}}\\ & = \el 1 \el 2 \dots \el n \begin{vmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ \l 1 & \l 2 & \ldots & \l n \\ \dots\\ \ll 1 {n-1} & \ll 2 {n-1} & \ldots & \ll n {n-1} \end{vmatrix} } quest'ultimo determinante si chiama \emph{determinante di Cauchy-Vandermonde} \ilabel{determinante Cauchy-Vandermonde}, la cui risoluzione e' nota, per cui \eal{&W(x) = e^{x(\l 1+\l2+\dots+\l n)} \prod_{r>s}{\l r - \l s} } Poiche' le radici sono a due a due distinte si ha che \eal{& \l r - \l s \neq 0 \;\;\forall r > s} e quindi, essendo l'esponenziale sempre positivo, si ha che $W(x) \neq 0$. \end{proof} \begin{prop} \label{propradmoltdueequcaratt} Consideriamo l'equazione $(2')$ vista in \see{propequazcaratt}.\\ Se $\lambda$ e' una radice di molteplicita' $2$, allora le funzioni \eal{&e^{\lambda x},\;\;xe^{\lambda x} } sono soluzioni della $(2')$. \end{prop} \begin{proof} Per quanto abbiamo visto nella prop. \see{propequazcaratt}, $e^{\lambda x}$ e' soluzione della $(2')$.\\ Calcoliamo le derivate dell'altra funzione: \eal{ &D[xe^{\lambda x}] = e^{\lambda x} + \lambda x e^{\lambda x } \\ &D^{(2)}[xe^{\lambda x}] = \lambda e^{\lambda x} + \lambda e^{\lambda x } + \lambda^2 x e^{\lambda x} = 2 \lambda e^{\lambda x } + \lambda^2 x e^{\lambda x}\\ &D^{(3)}[xe^{\lambda x}] = 2 \lambda^2 e^{\lambda x} + + \lambda^2 e^{\lambda x} + \lambda^3x e^{\lambda x} = 3 \lambda^2 e^{\lambda x } + \lambda^3 x e^{\lambda x}\\ &\dots\\ &D^{(n)}[xe^{\lambda x}] = n \lambda^{n-1} e^{\lambda x} + \lambda^{n} x e^{\lambda x} } E sostituendo nella $(2')$ abbiamo \eal{&n \lambda^{n-1} e^{\lambda x} + \lambda^{n} x e^{\lambda x} + a_1 \pton{(n-1) \lambda^{n-2} e^{\lambda x} + \lambda^{n-1} x e^{\lambda x} } + \dots + a_{n-1}\pton{e^{\lambda x} + \lambda x e^{\lambda x }} + a_n{xe^{\lambda x}} = \\ & = e^{\lambda x } \pton{n\lambda^{n-1} + a_1(n-1) \lambda^{n-2}+\dots+a_{n-1}} + e^{\lambda x}x\pton{\lambda^{n}+a_1\lambda^{n-1}+ \dots + a_{n-1}\lambda +a_n} = \\ & \ubrace{=}{\T{ponendo }a_0=1} e^{\lambda x}\pton{\sum_{i=1}^{n} a_{n-i}i\lambda^{i-1} + x\sum_{i=0}^{n} a_{n-i}\lambda^{i}}\;\;(3) } Poiche' $\lambda$ e' una radice dell'equaz. caratteristica si ha \eal{& \lambda^{n} + a_1\lambda^{n-1} +\dots+ a_{n-1}\lambda + a_n =0 \= \sum_{i=0}^{n}a_{n-i}\lambda^{i} =0\;\;(4) } Sia $P(\xi)=0$ l'equazione caratteristica, ovvero $P(\xi)$ e' il polinomio a primo membro dell'equazione. Si ha \eal{&\lambda \T{ radice di molteplicita' } 2 \T{ di } P(\xi)=0 \> P'(\lambda)=0} ovvero $\lambda$ e' anche una radice di $P'(\xi)=0$. Quindi, \eal{&P'(\lambda)=0 \= n\lambda^{n-1} + a_1(n-1)\lambda^{n-2} +\dots+ a_{n-2}2\lambda+ a_{n-1} =0 \= \sumin a_{n-i} i\lambda^{i-1} =0 \;\;(5) } Allora sostituendo $(4),(5)$ in $(3)$ si ha la tesi, ovvero $xe^{\lambda x} $ e' soluzione della $(2')$ in $\mathbb{R}$. \end{proof} \def\m#1{{\mu_{#1}}} \def\a#1{{\alpha_{#1}}} \def\b#1{{\beta_{#1}}} \def\r#1{{\rho_{#1}}} \begin{thm} \label{teoremageneraledellequazionecaratt} Sia data la seguente equazione differenziale lineare omogenea \eal{&\yn {n} + a_1 \yn{n-1} + \dots + a_{n-1}\y' + a_n \y = 0\;\;(2')} dove $a_1,\dots,a_n$ sono funzioni reali costanti.\\ Sia \eal{& \xi^{n} + a_1\xi^{n-1} +\dots+ a_{n-1}\xi + a_n =0\;\;(eq) } la sua equazione caratteristica.\\ Siano \eal{&\l 1,\l 2 ,\dots, \l r } sono tutte le soluzioni reali distinte di $(eq)$, rispettivamente di molteplicita' \eal{&\m 1, \m 2, \dots , \m r } e siano \eal{&\a 1\pm i\b 1,\;\;\a 2 \pm i\b 2,\;\;\dots,\;\;\a s \pm i\b s } ognuna di molteplicita' \eal{&\r 1, \r2 ,\dots, \r s } allora, il seguente insieme e' un sistema fondamentale di soluzioni della $(2')$: \eal{& \sist{ e^{\l 1 x},\;xe^{\l 1x},\;x^2e^{\l 1x},\;\dots,\; x^{\m 1-1}e^{\l 1 x},\\ e^{\l 2 x},\;xe^{\l 2x},\;x^2e^{\l 2x},\;\dots,\; x^{\m 2-1}e^{\l 2 x},\\ \vdots\\ e^{\l r x},\;xe^{\l rx},\;x^2e^{\l rx},\;\dots,\; x^{\m r-1}e^{\l r x},\\ \\ e^{\a 1 x}\cos(\b 1 x),\;e^{\a 1 x}\sin(\b 1 x),\;\; xe^{\a 1 x}\cos(\b 1 x),\;xe^{\a 1 x}\sin(\b 1 x),\;\; x^2e^{\a 1 x}\cos(\b 1 x),\;x^2e^{\a 1 x}\sin(\b 1 x),\;\; \dots \\ \qq\qq \dots, x^{\r 1-1}e^{\a 1 x}\cos(\b 1 x),\;x^{\r 1 -1}e^{\a 1 x}\sin(\b 1 x),\\ e^{\a 2 x}\cos(\b 2 x),\;e^{\a 2 x}\sin(\b 2 x),\;\; xe^{\a 2 x}\cos(\b 2 x),\;xe^{\a 2 x}\sin(\b 2 x),\;\; x^2e^{\a 2 x}\cos(\b 2 x),\;x^2e^{\a 2 x}\sin(\b 2 x),\;\; \dots\\ \qq\qq \dots, x^{\r 2-1}e^{\a 2 x}\cos(\b 2 x),\;x^{\r 2 -1}e^{\a 2 x}\sin(\b 2 x),\\ \vdots\\ e^{\a s x}\cos(\b s x),\;e^{\a s x}\sin(\b s x),\;\; xe^{\a s x}\cos(\b s x),\;xe^{\a s x}\sin(\b s x),\;\; x^2e^{\a s x}\cos(\b s x),\;x^2e^{\a s x}\sin(\b s x),\;\; \dots\\ \qq\qq \dots, x^{\r s-1}e^{\a s x}\cos(\b s x),\;x^{\r s -1}e^{\a s x}\sin(\b s x) } } \end{thm} \begin{proof} Dimostriamo solo per $n=2$. La $(2')$ diventa \eal{& y^{(2)}+a_1 y' + a_2 y =0 } l'equazione caratteristica e' \eal{&\xi^2 + a_1 \xi + a_2 =0 } che e' una equazione di secondo grado, e il suo discriminante e' \eal{&\Delta=a_1^2 - 4a_2 } \case{$\Delta > 0$} \begin{prova} Le uniche radici della $(2')$ sono due radici reali distinte di molteplicita' $1$. Allora, per quanto visto in \see{propradicirealiequcaratt} si ha la tesi. \end{prova} \case{$\Delta =0$} \begin{prova} Si ha un unica radice reale $\lambda$ di molteplicita' $2$. Quindi per quanto abbiamo visto in \see{propradmoltdueequcaratt}, $e^{\lambda x},\;xe^{\lambda x}$ sono soluzioni. Dobbiamo pero' controllare che siano indipendenti: \eal{&W(x)= \begin{vmatrix} e^{\lambda x} & xe^{\lambda x}\\ \lambda e^{\lambda x} & e^{\lambda x}+ \lambda x e^{\lambda x} \end{vmatrix} = e^{2\lambda x} \begin{vmatrix} 1&x\\ \lambda & 1+ \lambda x \end{vmatrix} = e^{2\lambda x} \neq 0 \;\;\forall x\in \mathbb{R} } \end{prova} \case{$\Delta <0 $} \begin{prova} Abbiamo due radici complesse coniugate fra loro: \eal{&\alpha\pm i \beta } Notiamo che \def\b{{\beta}} \def\a{{\alpha}} \eal{&\alpha \pm i \beta \in \mathbb{C} \> \beta \neq 0} \step{}{Verifichiamo che $e^{\a x}\cos \b x$ e' soluzione della $(2')$} \begin{prova} \eal{&D[e^{\a x}\cos \b x] = \a e^{\a x}\cos \b x - \b \sin \b x e^{\a x}= e^{\a x} \pton{\a\cos \b x - \b \sin \b x }\\ &D^{(2)}\pqua{e^{\a x}\cos \b x} = \a e^{\a x} \pton{\a\cos \b x - \b \sin \b x } + e^{\a x}\pton{-\a \b\sin \b x - \b^2 \cos \b x} =\\ &\qq =e^{\a x} \pton{\a^2 \cos \b x -2 \a\b\sin \b x -\b^{2} \cos \b x} } E sostituendo nella $(2')$ abbiamo: \eal{& e^{\a x} \pton{\a^2 \cos \b x -2 \a\b\sin \b x -\b^{2} \cos \b x} + a_1\pton{e^{\a x} \pton{\a\cos \b x - \b \sin \b x }} + a_2 e^{\a x}\cos \b x = \\ & = e^{\a x} \pton{\a^2 \cos \b x -2 \a\b\sin \b x -\b^{2} \cos \b x + a_1 \a\cos \b x -a_1 \b \sin \b x + a_2 \cos \b x } = \\ &=e^{\a x} \pton{ \cos \b x\pton{ \a^2 -\b^{2} + a_1 \a+ a_2 } }- \sin \b x \pton{ 2 \a\b+a_1 \b }\;\;(*) } Poiche' $\alpha + i\beta$ e' soluzione della della $(2')$, si ha \eal{&(\a +i\b )^2 + a_1(\a +i \b) + a_2=0 \= \\ &\qq \= (\a^2-\b^2 +a_1 \a +a_2) + i (2\a\b+a_1 \b) =0 \= \sist{\a^2-\b^2 +a_1 \a +a_2=0\\ 2\a\b+a_1 \b=0 } } E usando queste ultime due relazioni annulliamo la $(*)$. Quindi, $e^{\a x}\cos \b x$ e' una soluzione di $(2')$. \end{prova} \step{}{Analogamente si vede che $e^{\a x}\sin \b x$ e' una soluzione di $(2')$} \begin{prova} \end{prova} \step{}{Dimostriamo che $e^{\a x}\cos \b x,\;\;e^{\a x}\sin \b x$ sono indipendenti.} \begin{prova} \eal{& W(x) = \begin{vmatrix} e^{\a x}\cos \b x&e^{\a x}\sin \b x\\ \a e^{\a x}\cos \b x - \b \sin \b x e^{\a x} & \a e^{\a x}\sin \b x + \b \cos \b x e^{\a x} \end{vmatrix} = \\ &= e^{2\a x} \begin{vmatrix} \cos \b x&\sin \b x\\ \a \cos \b x - \b \sin \b x & \a \sin \b x + \b \cos \b x \end{vmatrix} =\\ &= e^{2\a x} \begin{vmatrix} \cos \b x&\sin \b x\\ \a \cos \b x & \a \sin \b x \end{vmatrix} +e^{2\a x} \begin{vmatrix} \cos \b x&\sin \b x\\ - \b \sin \b x & \b \cos \b x \end{vmatrix}=\\ &= 0 + e^{2\a x} \pton{\b \cos^2 \b x +\b \sin^2 \b x } = \b e^{2\a x} \ubrace{\neq }{\b \neq 0} 0\;\;\forall x\in \mathbb{R} } \end{prova} \end{prova} \end{proof} \begin{prop} \label{propsolparticolaredella1concoeffcost} Sia data la seguente equazione completa a coeff. costanti: \eal{&\yn {n} + a_1 \yn{n-1} + \dots + a_{n-1}\y' + a_n \y = f(x)\;\;(1')} con $f(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$.\\ Sia \eal{& \xi^{n} + a_1\xi^{n-1} +\dots+ a_{n-1}\xi + a_n =0\;\;(eq) } la sua equazione caratteristica.\\ Se \eal{f(x)=e^{\alpha x}(Q_1(x)\cos( \beta x) + Q_2(x)\sin (\beta x))\;\;\forall x\in (a,b) } dove $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$ e $ Q_1(x),\;Q_2(x)\in \mathbb{R}[x]$, allora si ha \case{se $\alpha + i\beta $ e' una radice di $(eq)$ di molteplicita' $\mu$, allora } \begin{prova} una soluzione particolare della $(1')$ e' \eal{&y(x) = x^{\mu}e^{\alpha x }(P_1(x)\cos \beta x +P_2(x)\sin \beta x) } dove $P_1(x),P_2(x)\in \mathbb{R}[x]$, tale che \eal{&\deg P_1(x) = \deg P_2 (x) = \max \pgra{\deg Q_1(x),\;\deg Q_2(x)} } (nota \footnote{$\deg F(x)$ indica il grado del polinomio $F(x)$}) \end{prova} \case{se $\alpha + i\beta $ \textbf{non} e' una radice di $(eq)$, allora } \begin{prova} una soluzione particolare della $(1')$ e' la stessa di prima ma con $\mu=0$, ovvero \eal{&y(x) = e^{\alpha x }(P_1(x)\cos \beta x +P_2(x)\sin \beta x) } \end{prova} Se $\beta=0$, allora la situazione si semplifica in: \eal{& f(x)=e^{\alpha x}Q_1(x)\;\;\forall x\in (a,b) \\ &\alpha + i\beta\T{ radice di }(eq) \> y(x) = x^{\mu}e^{\alpha x }P_1(x)\\ &\alpha + i\beta\T{ \textbf{non} e' radice di }(eq) \> y(x) = e^{\alpha x }P_1(x)\\ } \end{prop} \subsubsection{Algoritmo risolutivo} \begin{prop} Siano $\an 1,\dots,\an n,f(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$ continue in $(a,b)$ e sia data la seguente equazione differenziale completa in $(a,b)$: \eal{&\yn {n} + \an 1 \yn{n-1} + \dots + \an{n-1}\y' + \an n \y = f(x)\;\;(1) } Per trovare il suo integrale generale si procede cosi': \begin{enumerate} \item Consideriamo la sua omogenea associata \eal{& \yn {n} + \an 1 \yn{n-1} + \dots + \an{n-1}\y' + \an n \y =0\;\;(2) } \item Si trovano le $n$ soluzioni indipendenti $y_1(x),\dots,y_n(x)$ della $(2)$ \begin{enumerate} \item Se $\an 1,\dots,\an n$ sono funzioni costanti, allora si considera l'equazione caratteristica \eal{& \xi^{n} + a_1\xi^{n-1} +\dots+ a_{n-1}\xi + a_n =0 } e si applica il teorema \see{teoremageneraledellequazionecaratt}. \item Altrimenti, non e' ancora noto un algoritmo per trovare un sistema fondamentale di soluzioni per $(2)$. \end{enumerate} \item Si trova una soluzione particolare $Y(x)$ della $(1)$ \begin{enumerate} \item Se $\an 1,\dots,\an n$ sono funzioni costanti, allora si applica la prop. \see{propsolparticolaredella1concoeffcost} \item Altrimenti si applica il metodo di variazione delle costanti: \see{propmetodovarcostanti} \end{enumerate} \item Per la prop. \see{propintgendellacompletalineare}, l'integrale generale della $(1)$ e' \eal{&\pgra{Y(x) + k_1y_1(x)+\dots+k_n y_n(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R} \;|\; k_1,\dots,k_n \in \mathbb{R} } } \end{enumerate} \end{prop} %%%%%%% \printindex \end{document}