%        File: analisiII.tex
%     Created: Sat Oct 07 10:00 AM 2006 C
% Last Change: Sat Oct 07 10:00 AM 2006 C
%
%
% (c) Copyright 2007 Andrea Lo Pumo aka AlpT <alpt@freaknet.org>
%
% This source code is free software; you can redistribute it and/or
% modify it under the terms of the GNU General Public License as published 
% by the Free Software Foundation; either version 2 of the License,
% or (at your option) any later version.
%
% This source code is distributed in the hope that it will be useful,
% but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
% MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.
% Please refer to the GNU Public License for more details.
%
% You should have received a copy of the GNU Public License along with
% this source code; if not, write to:
% Free Software Foundation, Inc., 675 Mass Ave, Cambridge, MA 02139, USA.
%

\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{prova}
\usepackage{color,graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
%\usepackage{txfonts}
\usepackage{xypic}

%%%% Index
\usepackage{makeidx}
\makeindex
\newcommand{\ilabel}[1]{\label{#1}\index{#1}}
%%%%

%%%% PDF
\RequirePackage{ifpdf} % running on pdfTeX?
\ifpdf
\usepackage[pdftex,bookmarks=true,
		   bookmarksnumbered=false,
		   bookmarksopen=true,
		   colorlinks=true,
		   linkcolor=webred] {hyperref}
\definecolor{webgreen}{rgb}{0, 0.5, 0} % less intense green
\definecolor{webblue}{rgb}{0, 0, 0.5} % less intense blue
\definecolor{webred}{rgb}{0.5, 0, 0}   % less intense red
\fi
%%%%

%%%% Math commands
\newtheorem{thm}{Theorem}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Corollary}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemma}
\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
\newtheorem{ax}{Axiom}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defn}{Definition}[section]
\newtheorem{exemp}[defn]{Example}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem{rem}{Remark}[section]
\newtheorem*{notation}{Notation}

\newcommand{\qq}{\qquad}
\newcommand{\Oo}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\T}[1]{\textrm{#1}}

\newcommand{\I}{\mathcal{I}}
\newcommand{\V}{\mathcal{V}}
\newcommand{\C}{\mathcal{C}}
\newcommand{\B}{\mathcal{B}}
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\newcommand{\inte}[2]{\int_{[#1,#2]}}
\newcommand{\intd}[2]{\int_{#1}^{#2}}
\newcommand{\den}[1]{{#1}^\circ}
\newcommand{\ext}[1]{\operatorname{ext} #1}
\newcommand{\fron}[1]{\operatorname{F}(#1)}
\newcommand{\accu}[1]{D(#1)}
\newcommand{\mis}{\operatorname{mis}}
\newcommand{\area}{\operatorname{area}}
\newcommand{\tg}{\tan}
\newcommand{\sen}{\sin}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{arsinh}}
\newcommand{\arsenh}{\operatorname{arsinh}}
\newcommand{\cotan}{\operatorname{cotan}}
\renewcommand{\P}{\mathcal{P}}
\newcommand{\plim}[3]{\lim_{n\to +\infty} #1 \stackrel{p.}{=} #2\;\T{in}\;#3}
\newcommand{\ulim}[3]{\lim_{n\to +\infty} #1 \stackrel{u.}{=} #2\;\T{in}\;#3}
\newcommand{\limn}{\lim_{n\to +\infty}}
\newcommand{\conv}[3]{#1 \stackrel{#2}{\longrightarrow } #3}
\newcommand{\pconv}[3]{#1 \stackrel{p.}{\longrightarrow } #2\;\T{in}\;#3}
\newcommand{\uconv}[3]{#1 \stackrel{u.}{\longrightarrow } #2\;\T{in}\;#3}
\newcommand{\tconv}[3]{#1 \stackrel{t.}{\longrightarrow } #2\;\T{in}\;#3}
\newcommand{\serie}[1]{\sum_{#1}^{\infty}}
\newcommand{\serien}{\sum_{n=1}^{\infty}}
\newcommand{\eqtxt}[1]{\stackrel{\T{#1}}{=}}
\newcommand{\eqpun}{\eqtxt{p.}}
\newcommand{\equni}{\eqtxt{u.}}
\newcommand{\pserie}[4]{\serie{#1}#2 \stackrel{p.}{=} #3\;\T{in}\;#4}
\newcommand{\userie}[4]{\serie{#1}#2 \stackrel{u.}{=} #3\;\T{in}\;#4}
\newcommand{\aserie}[4]{\serie{#1}#2 \stackrel{a.}{=} #3\;\T{in}\;#4}
\newcommand{\tserie}[4]{\serie{#1}#2 \stackrel{t.}{=} #3\;\T{in}\;#4}
\newcommand{\pserieconv}[4]{\serie{#1}#2 \stackrel{p.}{\longrightarrow } #3\;\T{in}\;#4}
\newcommand{\userieconv}[4]{\serie{#1}#2 \stackrel{u.}{\longrightarrow } #3\;\T{in}\;#4}
\newcommand{\aserieconv}[4]{\serie{#1}#2 \stackrel{a.}{\longrightarrow } #3\;\T{in}\;#4}
\newcommand{\tserieconv}[4]{\serie{#1}#2 \stackrel{t.}{\longrightarrow } #3\;\T{in}\;#4}
\newcommand{\deriv}[1]{D\left[#1\right]}
\newcommand{\derivn}[2]{D^{#1}\left[#2\right]}
\newcommand{\dclasseinf}[1]{C^{\infty}({#1})}
\newcommand{\sczero}[1]{C^{0}({#1})}
\newcommand{\sczn}[2]{C^{#1}({#2})}
\newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}}
\newcommand{\obrace}[2]{\overbrace{#1}^{#2}}
\newcommand{\sumin}{\sum_{i=1}^{n}}
\newcommand{\diam}{\operatorname{diam}}
\newcommand{\asse}[1]{\stackrel{\rightarrow}{#1}}
\renewcommand{\succ}[1]{\left\{#1
\right\}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\def\grad#1{{\operatorname{grad} #1}}
\def\dpa#1#2{{\frac{\partial #1}{\partial #2}}}
%%%%

%%%% Misc
\renewcommand{\see}[1]{\T{[\ref{#1},pg.\pageref{#1}]}}
\newcommand{\vedi}[1]{\T{vedi \see{#1}}}
\newcommand{\pgra}[1]{\left\{#1
\right\}}
\newcommand{\pqua}[1]{\left[#1\right]}
\newcommand{\pton}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\pass}[1]{\Big|#1\Big|}
\newcommand{\sist}[1]{{ \begin{cases} #1 \end{cases} }}
\newcommand{\eal}[1]{{\begin{align*} #1 \end{align*}}}
\def\definizione#1{{\stackrel{\T{def}}{#1}}}

%% Defs
\def\*{{\times}}
\def\|{{\;\lor\;}}
\def\&{{\;\land\;}}
\def\-{{\setminus}}
\def\0{{\emptyset}}
\def\8{{\infty}}
\def\v{{\cup}}
\def\^{{\cap}}
\def\<{{\;\Leftarrow\;}}
\def\>{{\;\Rightarrow\;}}
\def\={{\;\Leftrightarrow\;}}
\def\({{\subseteq}}
\def\){{\supseteq}}
\def\'{{\;\;\;}}
\def\,{{,\;}}
\renewenvironment{proof}{\begin{prova}\pf}{ \qed\end{prova}}
\newenvironment{pnecessaria}{ \step{}{Dim. $\>$} \begin{prova}}{\end{prova}}
\newenvironment{psufficiente}{ \step{}{Dim. $\<$} \begin{prova}}{\end{prova}}
\newenvironment{pnecsuf}{ \step{}{Dim. $\=$} \begin{prova}}{\end{prova}}

%%%%

\title{Analisi II}
\author{AlpT (@freaknet.org)}
\begin{document}

\pagenumbering{roman}
\maketitle{}

\pagebreak
\begin{small}
  Copyright \copyright 2007 Andrea Lo Pumo aka AlpT $<$alpt@freaknet.org$>$. All rights reserved.

  This document is free; you can redistribute it and/or modify it
  under the terms of the GNU General Public License as published by
  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  (at your option) any later version.

  This document is distributed in the hope that it will be useful, but
  WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE\@.  See the GNU
  General Public License for more details.

  You should have received a copy of the GNU General Public License
  along with this document; if not, write to the Free Software
  Foundation, Inc., 675 Mass Ave, Cambridge, MA 02139, USA.
\end{small}

\clearpage
\tableofcontents
\clearpage
\pagenumbering{arabic}

\section{Teoria dell'integrazione}
\subsection{Primitiva}
Data $f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$ ed $F:(a,b)\longrightarrow
\mathbb{R}$,
\[
F(x)\equiv \textrm{ primitiva di $f(x)$ su $(a,b)$}\;\Leftrightarrow
\;\begin{cases}
	1) \forall x \in (a,b)\;\exists F'(x)\\
	2) \forall x \in (a,b)\; F'(x)=f(x)
\end{cases}
\]
Ad esempio, $\frac{x^2}{2}$ e' una primitiva di $x$,  $\sin x$ e' una
primitiva di $\cos x$.
\begin{prop}
	\label{pr1}
	Se $F(x)$ e' una primitiva di $f(x)$ su $(a,b)$, allora anche
	$F(x)+c,\;c\in \mathbb{R}$
	lo e'.
	\begin{prova}
		\pf\\
		Basta notare che $D[F(x)+c]=F'(x)+0=F'(x)=f(x),\;\forall x \in
		(a,b)$
		\qed
	\end{prova}
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{pr2}
	\[
	F(x), G(x) \textrm{ primitive di $f(x)$ su $(a,b)$}\;\Rightarrow \;
	F(x)-G(x)=c,\;c\in\mathbb{R}
	\]
	\begin{prova}
		\pf\\
		\begin{align*}
			&F'(x)=f(x)\;\;\forall x \in (a,b)\\
			&G'(x)=f(x)\;\;\forall x \in (a,b)\\
			&F'(x)=G'(x)\;\Rightarrow \;\exists c\in
			\mathbb{R}:\;F(x)-G(x)=c\;\textrm{ [cor. di Lagrange]}
		\end{align*}
		\qed
	\end{prova}
\end{prop}
\begin{thm}
	Dalle proposizioni \see{pr1} e \see{pr2} segue che se $f(x)$ e' dotata
	di primitiva e se $F(x)$ e' una sua primitiva su $(a,b)$, allora
	l'insieme di tutte le primitive di $f(x)$ su $(a,b)$ e'
	$\pgra{F(x)+c,\;c\in \mathbb{R}}$
\end{thm}
\begin{exemp}
	Ecco un esempio di una funzione che non ammette primitiva.
	\[
	f(x)=\begin{cases}
		1&x\in[0,+\infty [\\
		-1&x\in]-\infty , 0[
	\end{cases}
	\]
	\begin{prova}
		\assume{
		$\exists F(x)$ primitiva di $f(x)$ su $]-\infty, +\infty [$
		}
		\prove{
		assurdo
		}
		\pf\\
		\begin{align*}
			& F'(x)=f(x)\;\forall x \in (a,b)\\
			&\textrm{Nel caso in cui } x\in[0,+\infty [, \textrm{ si ha che:}\\
			&\qq F'(x)=1\\
			&\qq F'(x)=1=D[x]\\
			&\qq\exists c\in\mathbb{R}:\; F(x)-x=c \textrm{ [cor. di Lagrange]}\\
			&\textrm{Nel caso in cui } x\in]-\infty ,0[, \textrm{ si ha che:}\\
			&\qq F'(x)=-1\; \\
			&\qq F'(x)=-1=D[-x]\; \\
			&\qq \exists c'\in\mathbb{R}:\;F'(x)+x=c' \;\textrm{ [cor. di Lagrange]}\\
			&\textrm{ allora:}\\
			&F(x)=\begin{cases}
				x+c&x\in[0,+\infty [\\
				-x+c'& x\in]-\infty ,0[
			\end{cases}\\
			&\textrm{ poiche' $F(x)$ e' deriv. in $(a,b)$ e' anche
			continua in $(a,b)$:}\\
			&\qq \lim_{x\to 0} F(x)=F(0)=c\\
			&\qq \lim_{x\to 0} F(x)=\lim_{x\to 0^-}F(x)=\lim_{x\to 0^-}-x+c'=c'\\
			&\qq c=c'\\
			&\textrm{ quindi:}\\
			&F(x)=\begin{cases}
				x+c&x\in[0,+\infty [\\
				-x+c& x\in]-\infty ,0[
			\end{cases}\\
			&\textrm{che equivale a: }F(x)=|x|+c\qq\forall x \in (a,b)
		\end{align*}
		Poiche' $F(x)$ e' derivabile in ogni punto, deve anche esserlo
		in $x_0=0$, ma la derivata di $|x|$ in $x_0=0$ non esiste.
		Assurdo.
		\qed
	\end{prova}
\end{exemp}
\begin{thm}
	\label{t2}
	Data $f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$
	\[
	f\equiv \textrm{ continua in $(a,b)$}\;\Rightarrow \;f \textrm{
	ammette primitiva in $(a,b)$}
	\]
	Non vale sempre il viceversa.
	\step{}{ Controesempio di questo thm}
	\begin{prova}
		\assume{
		 \[
		 f(x)=\begin{cases}
			 2x\cos
			 \frac{1}{x}+\sin\frac{1}{x}&x\in\mathbb{R}\setminus
			 \pgra{0}\\
			 0&x=0
		 \end{cases}
		 \]
		}
		\prove{
		$f(x)$ non continua
		}
		\pf\\
		La primitiva di $f(x)$ e'
		\[
		F(x)=\begin{cases}
			x^2\cos \frac{1}{x}&x\in\mathbb{R}\setminus \pgra{0}\\
			0&x=0
		\end{cases}
		\]
		Infatti, abbiamo
		\[\forall x \in\mathbb{R}\setminus
		\pgra{0}\;\;\;D\pqua{x^2\cos \frac{1}{x}}=2x\cos \frac{1}{x}+\sin\frac{1}{x}\]
		e poi
		\[
		\lim_{x\rightarrow 0^-} F'(x)=\lim_{x\rightarrow 0^+} F'(x)=
		 \lim_{x\rightarrow 0}
		 \underbrace{x^2}_{infinitesima}\underbrace{\cos
		 \frac{1}{x}}_{limitata}=0=F_-'(0)=F_+'(0)=F'(0)
		\]
		pero' $f(x)$ non e' continua, infatti, 
		\[
		 \lim_{x\rightarrow 0} f(x)=  \lim_{x\rightarrow 0} 2x\cos
		 \frac{1}{x}+\sin\frac{1}{x}= \lim_{x\rightarrow 0} 2x\cos \frac{1}{x}+
		 \lim_{x\rightarrow 0}\sin\frac{1}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}
		 \sin\frac{1}{x}
		\]
		e il $\lim_{x\rightarrow 0} \sin\frac{1}{x}$ non esiste.
		\qed
	\end{prova}
\end{thm}
\begin{thm}
	Data $f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, dotata di primitiva in
	$(a,b)$, 
	\[
	\begin{cases}
		F:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}, \textrm{ continua in $x_0$}\\
		F(x) \textrm{ primitiva di f(x) in $(a,x_0[$}\\
		F(x) \textrm{ primitiva di f(x) in $]x_0, b)$}
	\end{cases} \;\Rightarrow \;F(x) \textrm{  primitiva di f(x) in (a,b)}
	\]
	\step{}{Dim }
	\begin{prova}
		\assume{
		\begin{enumerate}
			\item $G(x)$ primitiva di $f(x)$ su $(a,b)$
			\item $F(x) \textrm{ primitiva di f(x) in $(a,x_0[$}$
			\item $F(x) \textrm{ primitiva di f(x) in $]x_0, b)$}$
			\item $F(x) \textrm{ continua in $x_0$}$
		\end{enumerate}
		}
		\pf\\
		\begin{align*}
			&\textrm{ Per Hp 1: }\\
			&\qq G'(x)=f(x)\;\;\forall x\in (a,b)\\
			&\textrm{ Per Hp 2 e per } \forall x \in (a,x_0[:\\
			&\qq F'(x)=f(x)=G'(x)\\
			&\qq F'(x)=G'(x)\;\Rightarrow
			\;\exists c\in \mathbb{R}:\;F(x)-G(x)=c\;\textrm{ [cor. di Lagrange]}\\
			&\textrm{ Per Hp 3 e per } \forall x \in ]x_0, b):\\
			&\qq F'(x)=f(x)=G'(x)\\
			&\qq F'(x)=G'(x)\;\Rightarrow
			\;\exists c'\in\mathbb{R}:\;F(x)-G(x)=c'\;\textrm{ [cor. di Lagrange]}\\
			& \textrm{ Riassemblando: }\\
			&\qq F(x)= \begin{cases}
				G(x)+c&x \in (a,x_0[\\
				G(x)+c'&x \in ]x_0, b)
			\end{cases}\\
			&\textrm{ Per Hp 4: }\\
			&\qq\lim_{x\to x_0} F(x) = F(x_0)\\
			&\qq\lim_{x\to x_0} F(x) =\lim_{x\to x_0^-} F(x) =\lim_{x\to x_0}G(x)+c=G(x_0)+c\\
			&\qq\lim_{x\to x_0} F(x) =\lim_{x\to x_0^+} F(x)
			=\lim_{x\to x_0}G(x)+c'=G(x_0)+c'\\
			&\qq \lim_{x\to x_0^-} F(x) =\lim_{x\to x_0^+}
			F(x)\;\Rightarrow \; G(x_0)+c'=G(x_0)+c\;\Rightarrow
			\;c=c'\\
			&\qq\lim_{x\to x_0} F(x) = \lim_{x\to x_0^-} F(x) \;\Rightarrow \;F(x_0)=G(x_0)+c\\
			&\textrm{ e ritroviamo: }\\
			&\qq F(x)= \begin{cases}
				G(x)+c&x \in (a,x_0[\\
				G(x)+c&x \in ]x_0, b)\\
				G(x_0)+c&x=x_0
			\end{cases}\;\Leftrightarrow \;F(x)=G(x)+c\;\forall x
			\in (a,b)\\
			&\textrm{ e quindi $F(x)$ e' proprio la primitiva di $f(x)$:}\\
			&\qq F'(x)=D\pqua{G(x)+c}=G'(x)=f(x)\;\;\;\forall x \in (a,b)
		\end{align*}
		\qed
	\end{prova}
\end{thm}
\begin{exemp}
	Vediamo un'applicazione del precedente teorema. Troviamo una primitiva
	di $f(x)=|x|$. (Per il thm \see{t2}, dato che $f(x)$ e' continua, e' sicuro che
	ammetta una primitiva.)\\
	Se ci restringiamo a $]0,+\infty [$, abbiamo $f(x)=x$ e quindi
	$F(x)=\frac{x^2}{2}$. Invece, in $]-\infty , 0[$ abbiamo $f(x)=-x$ e
	quindi $F(x)=-\frac{x^2}{2}$. Allora, se consideriamo 
	\eal{
	&F(x)=\begin{cases}
		\frac{x^2}{2}&x\in]0,+\infty [\\
		-\frac{x^2}{2}&x\in]-\infty , 0[\\
		0&x=0
	\end{cases}\\
	&\'\'=|x|\frac{x}{2}
	}
	avremo che $F(x)$ e' continua in $x_0=0$. Allora per il teorema
	precedente, $F(x)$ e' una primitiva di $f(x)$ in $\mathbb{R}$.

\end{exemp}
\subsection{Integrale indefinito}
L'integrale indefinito della $f$ e' l'insieme di tutte le primitive assegnate
a $f$, si denota con:
\[
\int f(x)dx =\begin{cases}
	\emptyset &\textrm{ se non esistono primitive per $f$}\\
	\pgra{F(x)+c,\;c\in\mathbb{R}}&\textrm{ $F(x)$ e' una primitiva per $f$}
\end{cases}
\]
$f(x)$, posta dentro un'integrale, viene chiamata funzione integranda.
\subsubsection{Integrali indefiniti immediati}
\begin{tabular}{ll}
	(*) $\int x^\alpha dx= {x^{\alpha+1}\over {\alpha+1}}+c$, $\;\;\alpha\neq
	-1, x>0,\alpha\in\mathbb{R}$ &
		(0) $\int \frac{1}{x}dx=\int x^{-1}dx=\log |x|+c $, $\;\;x\neq 0$	\\
	(1) $\int [f(x)]^\alpha f'(x) dx = \frac{[f(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c$ &
		(2) $\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log |f(x)|+c$\\
	(*) $\int \sin x dx = - \cos x +c$ &
		(*) $\int \cos x dx = \sin x + c$\\
	(*) $\int e^xdx=e^x+c$ &
		(*) $\int 0 dx = c$\\
	(3) $\int \frac{1}{\cos^2x}dx= \tg x +c$ &
	(4) $\int \frac{1}{\sin^2 x}dx=-\cotan x +c$
\end{tabular}
(0) $\frac{1}{x}$ e' continua in $]-\infty ,0[\cup ]0,+\infty [$ e quindi
ammette primitiva. La sua primitiva in $]-\infty ,0[$ e' $\log -x$, invece in
$]0,+\infty [$ e' $\log x$, quindi in definitiva una sua primitiva e' sempre
$\log |x|$\\
(1) con $\alpha\neq -1$, $f$ derivabile nel suo intervallo di definizione e
$f(x) > 0$\\
(2) con $f$ derivabile nel suo intervallo di definizione e $f(x)\neq 0$\\
(3) stiamo considerando le primitive in ogni $(a,b) \subseteq
\mathbb{R}\setminus \pgra{\frac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}}$\\
(4) stiamo considerando le primitive in ogni $(a,b) \subseteq
\mathbb{R}\setminus \pgra{\pi k,\;k\in\mathbb{Z}}$

\subsection{Metodi d'integrazione}
Vedremo alcuni metodi che semplificano il calcolo di integrali.

\subsubsection{Integrazione per decomposizione}
\begin{thm}
Sia $f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$ dotata di primitive in $(a,b)$ e sia
$k\in\mathbb{R}\setminus \pgra{0}$ allora valgono le seguenti proposizioni:
\begin{enumerate}
	\item Anche $kf(x)$ e' dotata di primitive
	\item $\int kf(x) dx=k\int f(x) dx$
\end{enumerate}
dove $k\int f(x) dx$ e' un insieme definito in questo modo:
\[
k\int f(x) dx = \{ k(F(x)+c),\;c\in \mathbb{R} \;| \; F(x) \textrm{ primitiva
di $f(x)$} \}
\]
\end{thm}
\step{}{Dimostriamo la 1}
\begin{prova}
	\pf Per Hp $\exists F(x):\;F'(x)=f(x)$. Dimostriamo allora che $kF(x)$ 
	e' una primitiva di $kf(x)$:
	\begin{align*}
		& \textrm{intanto $kF(x)$ e' derivabile perche' prodotto di f.
		deriv.}\\
		&D[kF(x)] = kF'(x)=kf(x)\;\Rightarrow \;kF(x) \textrm{ e' una
		primitiva di $f(x)$}
	\end{align*}
	\qed
\end{prova}
\step{}{Dimostriamo la 2}
\begin{prova}
	Dobbiamo dimostrare l'inclusione tra i due insiemi.
	\pflet{
	\begin{enumerate}
		\item $k\neq 0$
		\item $A=\int kf(x) dx$
		\item $B=k\int f(x) dx$
	\end{enumerate}
	}
	\step{}{Dimostriamo $A\subseteq B$}
	\begin{prova}
		\pf 
		\pflet{
		$H(x)\in A$
		}
		allora 
		\begin{align*}
			& H'(x)=kf(x)\\
			& H(x)=k\left(\frac{1}{k}H(x)\right),\;\;k\neq 0\\
			& \textrm{Basta adesso provare che $\frac{1}{k}H(x)$
			e' primitiva di } f(x):\\
			& \qq
			D\left[\frac{1}{k}H(x)\right]=\frac{1}{k}H'(x)=\frac{1}{k}kf(x)=f(x)\\
			&H(x)\in B\;\Rightarrow \;A\subseteq B
		\end{align*}
		\qed
	\end{prova}
	\step{}{Dimostriamo $B\subseteq A$}
	\begin{prova}
		\pf\pflet{
		$kF(x) \in B$
		}
		allora $D[kF(x)]=kF'(x)=kf(x)$, ovvero $kF(x)$ e' una
		primitiva di $kf(x)$ e quindi $kF(x)\in A$\\
		\qed
	\end{prova}

	\textbf{Osservazione}: se $k=0$ abbiamo
	\begin{align*}
		&A = \int 0dx=\pgra{ c\in \mathbb{R} }\\
		&B = \pgra{ k(F(x)+c),\;c\in \mathbb{R} } = \pgra{ 0 }
	\end{align*}
	e quindi $A \neq  B$
	\qed
\end{prova}
\begin{thm}
Sia $f,g:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$ dotate di primitive in $(a,b)$, allora valgono le seguenti proposizioni:
\begin{enumerate}
	\item Anche $f(x)+g(x)$ e' dotata di primitive
	\item $\int f(x)+g(x) dx=\int f(x)dx + \int g(x) dx$
\end{enumerate}
dove $\int f(x)dx + \int g(x) dx$ e' un insieme definito in questo modo:
\[
\int f(x)dx + \int g(x) dx = \{
(F(x)+c)+(G(x)+c'),\;c,c'\in\mathbb{R}\;|\;\textrm{ $F,G$ primitive di
$f,g$}\}
\]
\end{thm}
\step{}{Dim. 1}
\begin{prova}
	\assume{
	\begin{enumerate}
		\item $\exists F(x)$ primitiva di $f(x)$
		\item $\exists G(x)$ primitiva di $g(x)$
	\end{enumerate}
	}
	\pf Per Hp $\exists F(x):\;F'(x)=f(x)$ e lo stesso per $g(x)$, allora
	$F(x)+G(x)$ e' una primitiva di $f(x)+g(x)$, infatti
	\[
	D[F(x)+G(x)]=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x)
	\]
	\qed
\end{prova}
\step{}{Dim. 2}
\begin{prova}
	\pflet{
	$A = \int f(x)+g(x) dx$\\
	$B= \int f(x)dx + \int g(x) dx$
	}
	\step{}{Dim. $A\subseteq B$}
	\begin{prova}
		\pflet{
		$H(x) \in A$\\
		$F(x) \in  \int f(x)dx$
		}
		Abbiamo che $H(x) = F(x)+[H(x)-F(x)]$, quindi basta mostrare
		che $[H(x)-F(x)]$ e' la prim. di $g(x)$:
		\[
		D[H(x)-F(x)]= H'(x)-F'(x)=f(x)+g(x)-f(x)=g(x)
		\]
		\qed
	\end{prova}
	\step{}{Dim. $B\subseteq A$}
	\begin{prova}
		\pflet{ $F(x)+G(x)\in B$ }
		\[
		D[F(x)+G(x)]=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x)\;\Rightarrow \;F(x)+G(x)
		\textrm{ prim. di $f(x)+g(x)$}
		\]
		\qed
	\end{prova}
	\qed
\end{prova}
\begin{cor} Come corollario dei due precedenti teoremi si ha subito che:
	\[
	\int k_1f_1(x)+\dots+k_nf_n(x) dx=k_1\int f_1(x)dx + \dots+k_n\int f_n(x) dx
	\]
	dove $k_i\neq 0$ e $f_i(x)$ sono dotate di primitive nell'intervallo
	di definizione.\\
	Possiamo riscrivere il II membro in questo modo:
	\[
	k_1\int f_1(x)dx + \dots+k_n\int f_n(x) dx =\{ k_1F_1(x)+\dots+k_nF_n(x)
	+C,\;\;C\in\mathbb{R}\}
	\]
	dove $F_i(x)$ e' una primitiva di $f_i(x)$.
	
\end{cor}
\subsubsection{Integrazione per parti}
\begin{thm}
	Siano $f,g:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$ derivabili in $(a,b)$. Se la
	funzione $f'(x)g(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$ e' dotata di
	primitive, allora:
	\begin{enumerate}
		\item $f(x)g'(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$ e' dotata di
			primitive
		\item	$\int f(x)g'(x)\;dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$, ovvero\\
			$\int f'(x)g(x)\;dx+\int f(x)g'(x)\;dx=f(x)g(x)$,\\
		      dove $f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$ e' l'insieme delle
		      funzioni che sono una differenza tra $f(x)g(x)$ e una
		      primitiva di $f'(x)g(x)$.\\
		      $f(x)$ si chiama fattore finito e $g'(x)$ fattore
		      differenziale.
	\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{prova}
	\step{}{Dimostriamo la 1}
	\begin{prova}
		Per Hp esiste $H(x)$ primitiva di $f'(x)g(x)$. Consideriamo
		$G(x)=f(x)g(x)-H(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$.
		$G(x)$ e' la primitiva di $f(x)g'(x)$, infatti, e' derivabile
		in $(a,b)$ e abbiamo:
		\begin{align*}
			&G'(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)-f'(x)g(x)=g'(x)f(x)\;\;\forall
			x \in (a,b)
		\end{align*}
	\end{prova}
	\step{}{Dimostriamo la 2}
	\begin{prova}
		Sia $A=\int f(x)g'(x)$ e $B=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$.
		\step{}{Dimostriamo $A\subseteq B$}
		\begin{prova}
			Sia $H(x)\in A$, che possiamo scrivere come:
			\[
			H(x)=f(x)g(x)-[f(x)g(x)-H(x)]
			\]
			per vedere che $H(x)\in B$
			dobbiamo quindi dimostrare che $f(x)g(x)-H(x)$ e' una
			primitiva di $f'(x)g(x)$. Intanto e' derivabile in
			$(a,b)$ perche' lo era pure $H(x)$ e $f,g$, e inoltre:
			\begin{align*}
				&
				D[f(x)g(x)-H(x)]=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)-f(x)g'(x)=f'(x)g(x)
			\end{align*}
			\qed
		\end{prova}
		\step{}{Dimostriamo $B\subseteq A$}
		\begin{prova}
			Sia $P(x)=f(x)g(x)-H(x)\in B$. $P(x)$ e' derivabile in
			$(a,b)$ perche' lo e' pure $H(x)$ e $f,g$. Inoltre la
			sua derivata e':
			\[
			P'(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)-f'(x)g(x)=g'(x)f(x)\;\;\forall
			x \in (a,b)
			\]
			quindi $P(x)$ e' una primitiva di $f(x)g'(x)$. In
			conclusione $P(x)\in A$
			\qed
		\end{prova}
	\end{prova}
\end{prova}
\subsubsection{Integrazione per sostituzione}
\begin{thm}
	
Data $f(x):(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R}$, dotata di primitiva in
$(\alpha,\beta)$\\
$\varphi:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$ derivabile in $(a,b)$, con
$cod(\varphi)\subseteq (\alpha,\beta)$, valgono queste due proposizioni:
\begin{enumerate}
	\item $f(\varphi(x))\varphi'(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$ e'
		dotata di primitiva in $(a,b)$.
	\item \[\int f(\varphi(x))\varphi'(x)dx=\left[\int f(y) dy
		\right]_{y=\varphi(x)}\]
		dove il secondo membro e' un insieme che contiene funzioni 
		del tipo $F(\varphi(x))$, con $F(x)$ primitiva di $f(y)$.
\end{enumerate}
La $2$ e' chiamata prima formula d'integrazione per sostituzione.
\end{thm}
\begin{prova}
\def\f{{\varphi}}
\pf
\step{}{Dim $1.$}
\begin{prova}
Sia $F(x)$ la primitiva di $f$ in $(\alpha,\beta)$, che esiste per Hp. Una
primitiva di $f(\f(x))\f'(x)$ e' la funzione composta $F(\f(x))$, infatti,
\eal{&D\pqua{F(\f(x))}=F'(\f(x))\f'(x)=f(\f(x))\f(x)}
\end{prova}
\step{}{Dim $2.$}
\begin{prova}
Sia $A=\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\;dx,\;\;B=\left[\int f(y) dy \right]_{y=\varphi(x)}$
	\step{}{Dim $A\(B$}
	\begin{prova}
Sia $H(x)$ una primitiva di $f(\f(x))\f'(x)$ in $(a,b)$, e $F(x)$ una
primitiva di $f(x)$, allora
\eal{&F(\f(x))\in B\\
&H'(x)=f(\f(x))\f'(x)=D\pqua{F(\f(x))}\;\forall x\in (a,b)\;\>\;H(x)\in B
}
	\end{prova}
	\step{}{Dim $B\(A$}
	\begin{prova}
Sia $F(\f(x))\in B$, poiche'
\eal{&
D\pqua{F(\f(x))}
=f(\f(x))\f'(x)\;\;\forall x\in (a,b)
}
	\end{prova}
si ha che $F(\f(x))\in A$
\end{prova}
\qed
\end{prova}

\begin{thm}
	Data $f(x):(\alpha,\beta)\longrightarrow \mathbb{R}$, dotata di primitiva in
	$(\alpha,\beta)$\\
	$\varphi:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$ derivabile e invertibile in  $(a,b)$, con
	$cod(\varphi)\subseteq (\alpha,\beta)$, valgono queste due proposizioni:
	\begin{enumerate}
		\item $f(\varphi(x))\varphi'(x):(a,b)\longrightarrow
			\mathbb{R}$ e'
			dotata di primitiva in $(a,b)$
		\item \[\int f(x)dx=\left[\int f(\varphi(y))\varphi'(y) dy
			\right]_{y=\psi(x)}\]
			dove $\psi(x):(\alpha,\beta)\longrightarrow (a,b)$ e'
			la funzione inversa di $\varphi$
	\end{enumerate}
	La $2$ e' chiamata seconda formula d'integrazione per sostituzione.
\end{thm}
\begin{prova}
\def\f{{\varphi}}
\def\g{{\psi}}
\pf
\step{}{Il punto $1.$ e' stato gia' dimostrato nel precedente thm. Dimostriamo
il punto $2.$}
\begin{prova}
Sia $A=\int f(x)dx,\'\'B=\left[\int f(\varphi(y))\varphi'(y) dy
                        \right]_{y=\psi(x)}$
\step{}{Dim $A\(B$}
\begin{prova}
Sia $F(x)$ una primitiva di $f(x)$, allora
\eal{&
F(x)=F(\f(\g(x))),\;\;y=\g(x)\\
&
D\pqua{F(\f(y))}=f(\f(y))\f'(y)\\
&\> F(x)\in B
}
\end{prova}
\step{}{Dim $B\(A$}
\begin{prova}
Sia $H(\g(x))\in B$, allora
\eal{&
D\pqua{H(\g(x))}=H'(\g(x))\g'(x)=
f(\f(\g(x)))\f'(\g(x))\g'(x)=
f(x)\f'(\g(x))\g'(x)=\\
&\qq\qq \f'(\g(x)) =\frac{1}{\g'(x)}\T{ [thm di derivazione delle funz.
inverse]}\\
&=f(x)\frac{1}{\g'(x)}\g'(x)=f(x)
}
quindi $H(\g(x))\in A$
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\end{prova}
\begin{thm}
Data una $f(t)$ e $\varphi(x)$, con $cod \varphi \subseteq dom f$, e data
$\psi(t)$, inversa di $\varphi$, vale la seguente uguaglianza:
\[
\int f(\varphi(x))\;dx =\left[ \int f(t)\psi'(t)\;dt\right]_{t=\varphi(x)}
\]
Noi la chiameremo terza formula d'integrazione per sostituzione.
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
	\begin{prova}
		Per il teorema di derivazione delle funzioni inverse, abbiamo
		che \[
		\psi'(\varphi(x))=\frac{1}{\varphi'(x)}
		\]
		allora
		\begin{align*}
			& \int f(\varphi(x))\;dx = \int
			f(\varphi(x))\frac{1}{\varphi'(x)}
			\varphi'(x)\;dx \\
			& = \int f(\varphi(x))\psi'(\varphi(x))\varphi'(x)\\
			&\qq \textrm{ poniamo }h(t)=f(t)\psi'(t)\\
			& = \int h(\varphi(x))\varphi'(x)\\
			&\textrm{per la prima formula di sost. abbiamo:}\\
			& = \left[ \int h(t)\; \;dt\right]_{t=\varphi(x)}
			= \left[ \int f(t)\psi'(t)\;dt\right]_{t=\varphi(x)}
		\end{align*}
	\end{prova}
	\qed
\end{prova}
\begin{exemp}
	\begin{align*}
			& \int \frac{e^x+1}{e^{2x}+e^x+1} \; dx=\\
			&\qq f(t)=\frac{t+1}{t^2+t+1}\;\;\varphi(x)=e^x\;\;\psi(t)=\log t \\
			& = \left[ \int f(t)\psi'(t)\;dt
			\right]_{t=\varphi(x)} \\
			& = \left[ \frac{t+1}{t(t^2+t+1)}
			\;dt\right]_{t=\varphi(x)}\\
			&\textrm{da qui si procede risolvendo questo integrale
			razionale}
		\end{align*}
\end{exemp}
\subsubsection{Regola pratica di sostituzione}
Una volta fatta una qualsiasi sostituzione di tipo $t=f(x)$, basta considerare $dx$ come la
derivata di $x$, dove $x$ diventa $f^{-1}(t)$, alcuni esempi:
\eal{&
\int f(x) \;dx=\\
&\qq x=\varphi(t),\;\;t=\psi(x)\T{ [l'inversa di $\varphi$]},\;\;\;dx=D\pqua{\varphi(t)}=\varphi'(t)\;\;\\
&=\int f(x) \;dx=\pqua{\int f(\varphi(t))\varphi'(t) \;dt}_{t=\psi(x)}\T{ [questa e' la
seconda formula di sost.]}\\
&\\
&\int f(\varphi(x))\varphi'(x) \;dx=\\
&\qq
t=\varphi(x),\;\;x=\psi(t),\;\;dx=D\pqua{\psi(t)}=\psi'(t),\;\;\varphi'(x)=\varphi'(\psi(t))=\frac{1}{\psi'(t)}\T{
[thm. di deriv. funz. inversa]}
\\
&=\pqua{\int f(t)\frac{1}{\psi'(t)}\psi'(t)\;dt}_{t=\varphi(x)}
=\pqua{\int f(t)\;dt}_{t=\varphi(x)}=\T{ [questa e' la prima formula]}\\
&\\
&\int f(\varphi(x)) \;dx=\\
&\qq t=\varphi(x),\;\;x=\psi(t),\;\;dx=D\pqua{\psi(t)}=\psi'(t)\\
&=\pqua{\int f(t)\psi'(t)\;dt}_{t=\varphi(x)}\T{ [questa e' la terza]}\\
}
\subsection{Integrale di Riemann}
Data $f(x):[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ limitata in $[a,b]$, una
partizione di $[a,b]$ si indica con $\P$:
\[
\P=\pgra{x_0,\dots,x_n},n\in\mathbb{N}:\;\;x_0=a<x_1<x_2<\dots<x_n=b
\]
In altre parole stiamo suddividendo $[a,b]$ in $n$ intervallini di tipo
$[x_{i-1},x_i]$.\\
Nota: $f(x)$ limitata in $[a,b]$ vuol dire che 
esistono $h,k\in \mathbb{R}: h\le f(x)\le k\;\forall x\in[a,b]$.
\[
|\P|=\textrm{ampiezza di $\P$ }= \max \pgra{ (x_i-x_{i-1}),\;\;i=1,2,\dots,n}
\]
Poiche' $f$ e' limitata in $[a,b]$, lo sara' pure in $[x_{i-1},x_i]$, quindi:
\[
\begin{cases}
	\exists m_i=\inf f(x) \;\;x\in [x_{i-1},x_i]\\
	\exists M_i=\sup f(x) \;\;x\in [x_{i-1},x_i]
\end{cases}
\]
Definiamo la somma inferiore e la somma superiore:
\[
s(f,\P)=\sum_{i=1}^nm_i(x_i-x_{i-1})\qq S(f,\P)=\sum_{i=1}^nM_i(x_i-x_{i-1})
\]
Al variare di $\P$ di $[a,b]$ nascono i seguenti insiemi numerici:
\[
A=\pgra{s(f,\P)}_\P\qq B=\pgra{S(f,\P)}_\P
\]
$A$ e' l'insieme numerico delle somme inferiori, e $B$ quello delle somme
superiori.
\begin{thm}
	\[
	f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R},\;\textrm{ limitata in
	$[a,b]$}\;\Rightarrow \;A,B \textrm{ sono separati}
	\]
	Essere separati vuol dire che 
	\[
	\forall x\in A,\;y\in B\;\;x\le y
	\]
\end{thm}
\begin{defn}
	\[
	f(x) \textrm{ e' integrabile secondo Riemann }\;\Leftrightarrow \;
	\textrm{ $A,B$ sono separati e contigui}
	\]
	Essere contigui vuol dire che:
	\[
	\forall \varepsilon>0\;\;\exists x\in A,\;y\in B:\;y-x<\varepsilon
	\]
\end{defn}
\begin{defn}
	L'integrale secondo Riemann e' l'elemento di separazione di $A,B$, e
	si indica con 
	\[
	\int_{[a,b]} f(x)dx
	\]
	e quindi, essendo l'elemento di separazione:
	\[
	\int_{[a,b]} f(x)dx=\sup A=\inf B
	\]
\end{defn}
\begin{thm}
	Ogni funzione continua o monotona o generalmente continua in $[a,b]$
	e' integrabile secondo Riemann.
\end{thm}
\subsubsection{Esempi}
\textbf{Esempio 1}\\
Data $f(x)=k$, vogliamo calcolare il suo integrale secondo Riemann in
$[a,b]$.\\
$f$ e' sicuramente limitata in $[a,b]$ dato che e' costante. Inoltre, 
\[m_i=\inf f(x)=k,\;\;M_i=\sup f(x)=k\;\;\;\;x\in[x_{i-1},x_i]\]
Percio', 
\begin{align*}
	&s(f,\P)=\sum_{i=1}^n m_i(x_i-x_{i-1}) =
	m_i\sum_{i=1}^n(x_i-x_{i-1})=\\
&=m_i(x_1-x_0+x_2-x_1+\dots+x_n-x_{n-1})=m_i(x_n-x_0)=m_i(b-a)=k(b-a)\\
&S(f,\P)=k(b-a)\;\;\textrm{ [per procedimento analogo a $s(f,\P)$]}
\end{align*}
allora
\[
\pgra{s(f,\P)}_\P=\pgra{k(b-a)}\qq \pgra{S(f,\P)}_\P=\pgra{k(b-a)}
\]
e in definitiva:
\[
\int_{[a,b]} k dx= k(b-a)
\]
\textbf{Esempio 2}\\
Esempio di funzione non integrabile secondo Riemann: la funzione di Dirichlet
\[
f(x)=\begin{cases}
	1&\forall x\in[0,1]\cap \mathbb{Q}\\
	0&\forall x\in[0,1]\setminus \mathbb{Q}
\end{cases}
\]
abbiamo che 
\begin{align*}
	&m_i=\inf f(x)=0\;\;x\in[x_{i-1},x_i]\\
	&M_i=\sup f(x)=1\;\;x\in[x_{i-1},x_i]\\
	&s(f,\P)=\sum_{i=1}^n m_i(x_{i}-x_{i-1})=0\\
	&S(f,\P)= M_i(x_1-x_0+x_2-x_1+\dots+x_n-x_{n-1})=1(x_n-x_0)=b-a=1-0=1\\
	&A=\pgra{s(f,\P)}_\P=\pgra{0}\qq B=\pgra{S(f,\P)}_\P=\pgra{1}
\end{align*}
e ovviamente $A,B$ non sono contigui. 
\subsubsection{Condizioni di integrabilita'}
\begin{thm}
	\label{ttt13}
	$f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$, continua in $[a,b]$ allora
	\begin{enumerate}
		\item $f$ e' limitata in $[a,b]$
		\item $f$ e' integrabile secondo Riemann in $[a,b]$
	\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{Dim la $1$}
	\begin{prova}
		La $f$ e' continua in $[a,b]$, quindi per il teorema di
		Weierstrass \[\exists m = \min\pgra{f([a,b])},\;
		\;\exists M=\max\pgra{f([a,b])}\]
		allora
		\[
		m\le f(x)\le M\;\;\forall x\in [a,b]
		\]
		quindi $f$ e' limitata
		\qed
	\end{prova}
	\step{}{Dim la $2$}
	\begin{prova}
		$f$ e' continua in $[a,b]$, allora per il teorema di
		Cantor-Heine (\vedi{cantor-heine}) e' anche uniformemente continua, cioe'
		\[
		\forall \varepsilon > 0\; \exists \delta >0: \;\forall x,y \in
		[a,b], \;|x-y|<\delta\;\;\Rightarrow\;\; |f(x)-f(y)|<\varepsilon
		\]
		fissiamo $\varepsilon>0$ e consideriamo
		$\frac{\varepsilon}{b-a}$:
		\[
		(*)\;\;\varepsilon > 0\; \exists \delta >0: \;\forall x,y \in
		[a,b], \;|x-y|<\delta\;\;\Rightarrow\;\; |f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{b-a}
		\]
		Adesso prendiamo una partizione $\overline{P}$ di $[a,b]$ in
		modo tale che $|\overline{P}|<\delta$, $|\overline{P}|$ e'
		l'ampiezza della partizione, cioe':
		\[|\overline{P}|=\max \pgra{ x_{i}-x_{i-1},\;\;i=1,\dots,n} < \delta\;\Rightarrow
			\;x_{i}-x_{i-1}<\delta\;\forall i=1,\dots,n\]
		Consideriamo questa differenza:
		\begin{align*}
			 m_i&=\inf f(x) \;\;x\in [x_{i-1},x_i]\\
			&= \min f([x_{i-1},x_i])\;\textrm{ [per la
			continuita' di $f$ e per il thm di Weierstrass]}\\
			&=f(\eta_i),\;\;\eta_i\in[x_{i-1},x_i]\\
			M_i&=\sup f(x) \;\;x\in [x_{i-1},x_i]\\
			&= \max f([x_{i-1},x_i])=f(\xi_i),\;\;\xi_i\in[x_{i-1},x_i]\\
			S(f,\overline{P})-s(f,\overline{P})&=
\sum_{i=1}^nM_i(x_i-x_{i-1})-\sum_{i=1}^nm_i(x_i-x_{i-1})=
\sum_{i=1}^n(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1})\\
			 &=\sum_{i=1}^n(f(\xi_i)-f(\eta_i))(x_i-x_{i-1})=
			 \sum_{i=1}^n|f(\xi_i)-f(\eta_i)|(x_i-x_{i-1})
		\end{align*}
		Cerchiamo adesso di sfruttare la diseguaglianza
		dell'uniforme continuita':
		\begin{align*}
			&\eta_i\in[x_{i-1},x_i]\subseteq [a,b]\;\Rightarrow \;\eta_i\in[a,b]\\
			&\xi_i\in[x_{i-1},x_i]\subseteq [a,b]\;\Rightarrow \;\xi_i\in[a,b]\\
			&|\xi_i-\eta_i| < x_i-x_{i-1}\;\textrm{ [dato che
			$\xi_i$ e $\eta_i$ sono nello stesso int.
			$[x_{i-1},x_i]$}\\
			&\qq x_i-x_{i-1} < \delta\;\;\textrm{ [per quello che
			avevamo visto prima]}\\
			&|\xi_i-\eta_i| < \delta
		\end{align*}
		quindi $\xi_i$ e $\eta_i$  rispettano le condizioni della
		$(*)$, percio'
		\[|f(\xi_i)-f(\eta_i)|<\frac{\varepsilon}{b-a}\]
		maggioriamo adesso la differenza che avevamo prima
		considerato:
		\begin{align*}
			&S(f,\overline{P})-s(f,\overline{P})=\sum_{i=1}^n|f(\xi_i)-f(\eta_i)|(x_i-x_{i-1})
			<
			\sum_{i=1}^n\frac{\varepsilon}{b-a}(x_i-x_{i-1})=\frac{\varepsilon}{b-a}
			(b-a)=\varepsilon\\
			&S(f,\overline{P})-s(f,\overline{P})<\varepsilon
		\end{align*}
		Quindi $\forall \varepsilon>0$, riusciamo a trovare due
		partizioni $P_1=P_2=\overline{P}$ tali che
		$S(f,\overline{P})-s(f,\overline{P})<\varepsilon$. Questo vuol
		dire che $\pgra{S(f,P)}_P,\;\;\pgra{s(f,P)}_P$ sono due insiemi
		contigui, percio', in definitiva, $f$ e' integrabile secondo
		Riemann,
		\qed
	\end{prova}
\end{prova}
\begin{thm}
	$f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$, monotona in $[a,b]$ allora
	\begin{enumerate}
		\item $f$ e' limitata in $[a,b]$
		\item $f$ e' integrabile secondo Riemann in $[a,b]$
	\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf Dimostriamo solo il caso in cui la funzione e' non decrescente.
	Tutti gli altri casi sono analoghi.
	\step{}{Dim la $1$}
	\begin{prova}
		Sia $x\in [a,b]$, allora $a\le x\le b$, poiche' f e' non
		decrescente $f(a)\le f(x)\le f(b)$, quindi $f$ e' limitata in
		$[a,b]$
		\qed
	\end{prova}
	\step{}{Dim la $2$}
	\begin{prova}
		Procedendo analogamente alla dimostrazione del teorema
		\see{ttt13}, e considerando
		$\delta=\frac{\varepsilon}{f(b)-f(a)+1}>0$ arriviamo a 
		\[|\overline{P}|=\min \pgra{ x_{i}-x_{i-1},\;\;i=1,\dots,n} <
		\delta=\frac{\varepsilon}{f(b)-f(a)+1}\;\Rightarrow
			\;x_{i}-x_{i-1}<\delta\;\forall i=1,\dots,n\]
		Poiche' f e' non decrescente, abbiamo
		\begin{align*}
			&M_i=\sup f([x_{i-1}, x_i]) =f(x_i)\\
			&m_i=\inf f([x_{i-1}, x_i]) =f(x_{i-1})
		\end{align*}
		Allora considerando la solita differenza, arriviamo a 
		\begin{align*}
			&S(f,\overline{P})-s(f,\overline{P})=\sum_{i=1}^n(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1})=
			\sum_{i=1}^n(f(x_i)-f(x_{i-1}))(x_i-x_{i-1})\\
			&\qq \le \sum_{i=1}^n(f(x_i)-f(x_{i-1})) \delta =
			\sum_{i=1}^n(f(x_i)-f(x_{i-1}))
			\frac{\varepsilon}{f(b)-f(a)+1}=\\&\qq\qq=
			\frac{\varepsilon}{f(b)-f(a)+1}
			\sum_{i=1}^n(f(x_i)-f(x_{i-1}))=\frac{\varepsilon}{f(b)-f(a)+1}(f(x_n)-f(x_0))\\
			&\qq\qq=\varepsilon\frac{f(b)-f(a)}{f(b)-f(a)+1} <
			\varepsilon\cdot 1\\
			&S(f,\overline{P})-s(f,\overline{P})<\varepsilon
		\end{align*}
		La dimostrazione e' conclusa.
		\qed
	\end{prova}
\end{prova}
\begin{thm}
	$f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$, generalmente continua e limitata in $[a,b]$
	$\;\Rightarrow \;$ $f$ e' integrabile secondo Riemann.\\

	Una funzione e' generalmente continua in $[a,b]$ quando e' continua in
	$[a,b]\setminus E$, dove $E$ e' un sottoinsieme finito di $[a,b]$.
	Ovvero e' generalmente continua, se e' continua in tutto $[a,b]$,
	tranne un numero finito di punti.
\end{thm}
\subsubsection{Proprieta'}
\label{propinr}
Date $f,g:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$, integrabili secondo Riemann in
$[a,b]$, e presi $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$, valgono le seguenti proprieta'
\begin{enumerate}
	\item Proprieta' distributiva dell'integrale esteso:
		\[
		\begin{cases}
			\alpha f(x)+\beta g(x):[a,b]\longrightarrow
			\mathbb{R}\textrm{ e' integrabile secondo Riemann}\\
			\int_{[a,b]} \alpha f(x)+\beta
			g(x)\;dx=\alpha\int_{[a,b]} f(x)\;dx+\beta\int_{[a,b]}
			g(x)\;dx
		\end{cases}
		\]
	\item Proprieta' di additivita':
		\[
		\begin{cases}
		\forall [\alpha,\beta]\subseteq [a,b]\textrm{ $f$ e'
		integrabile secondo Riemann in } [\alpha,\beta]\\
		c\in ]a,b[\;\Rightarrow \inte{a}{b} f(x)\;dx=\inte{a}{c}
		f(x)\;dx+\inte{c}{b} f(x)\;dx
		\end{cases}
		\]
\end{enumerate}
\subsubsection{Teorema della media}
\begin{thm}
Data $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$, integrabile secondo Riemann, e posto
\[
m=\inf f([a,b])\;\;\;M=\sup f([a,b])
\]
si ha
\[
m(b-a)\le \inte{a}{b}f(x)\;dx\le M(b-a)
\]
Se inoltre $f$ e' continua, si ha
\[
\exists \xi\in[a,b]:\;\inte{a}{b}f(x)\;dx=f(\xi)(b-a)
\]
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
	\begin{prova}
		Per Hp $f$ e' int. sec. R. $\Rightarrow $ e' limitata
		$\Rightarrow \; \exists \T{ finito }M=\sup
		f([a,b]),\;\exists\T{ finito } m=\inf
		f([a,b])$. Inoltre
		\[
		\inte{a}{b}f(x)\;dx=\sup \pgra{s(f, P)}_P=\inf
		\pgra{S(f,P)}_P\]e quindi\[s(f, P_1)\le
		\inte{a}{b}f(x)\le  S(f,P_2)\;\;\forall
		P_1,P_2\textrm{ part. di }[a,b]
		\]
		Consideriamo allora $P_1=P_2=\tilde{P}=\pgra{a,b}$ (la part.
		banale). Abbiamo che
		\[ s(f, \tilde{P})\le \inte{a}{b}f(x)\le  S(f,\tilde{P}) \]
		Poiche' $\tilde{P}$ e' la part. banale, abbiamo che sia la somma
		inferiore sia quella superiore sono formate da un solo elemento:
		\eal{
		&s(f, \tilde{P}) = m_1(b-a)  \ubrace{=}{m=m_1}  m(b-a)\\
		&S(f, \tilde{P}) = M_1(b-a)  \ubrace{=}{M=M_1}  M(b-a)
		}
		allora
		\[
		m(b-a)\le \inte{a}{b}f(x)\le M(b-a)
		\]
		Questo completa la prima parte della dim.\\
		Supponiamo adesso che $f$ sia continua, allora per il thm di
		Weierstrass
		\[
		M=\sup f([a,b])=\max f([a,b]),\;m=\inf f([a,b])=\min f([a,b])
		\]
		Consideriamo
		\begin{align*}
			& m(b-a)\le \inte{a}{b}f(x)\le M(b-a)\\
			& m\le\frac{1}{(b-a)} \inte{a}{b}f(x)\le M\\
			&\gamma = \frac{1}{(b-a)} \inte{a}{b}f(x)
		\end{align*}
		$\frac{1}{(b-a)} \inte{a}{b}f(x)$ si chiama la \emph{media
		integrale}. Per quanto detto
		\[
		\min f([a,b])=
		\inf f([a,b])=m \le \gamma\le M=\sup f([a,b])=\max f([a,b])
		\]
		poiche' le funzioni continue assumono tutti i valori compresi
		tra il min e il max, si avra'
		\[
		\exists \xi\in[a,b]:\;f(\xi)=\gamma=\frac{1}{(b-a)}
		\inte{a}{b}f(x)\;\Rightarrow \;\inte{a}{b}f(x)=f(\xi)(b-a)
		\]
		\qed
	\end{prova}
\end{prova}
\begin{cor}
	\label{cor1riem}
Data $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$, integrabile secondo Riemann,
\[
\forall x \in [a,b]\;\;f(x) \ge 0\;\Rightarrow \;\inte{a}{b} f(x)\;dx \ge 0
\]
\[
\forall x \in [a,b]\;\;f(x) \le 0\;\Rightarrow \;\inte{a}{b} f(x)\;dx \le 0
\]
\end{cor}
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{Dim. la $1$}
	\begin{prova}
		Poiche' almeno $0$ e' un minorante di $f([a,b])$
		\[
		f(x) \ge 0\;\;\forall x \in [a,b]\;\Rightarrow \;
		m=\inf f([a,b]) \ge 0
		\]
		allora per il thm della media:
		\[
		m(b-a)\le \inte{a}{b}f(x)\;dx
		\]
		ma $b-a>0$ e $m\ge 0$, quindi \[
		 0 \le  m(b-a)\le \inte{a}{b}f(x)\;dx
		\]
		\qed
	\end{prova}
	\step{}{Dim. la $2$}
	\begin{prova}
		Poiche' almeno $0$ e' un maggiorante di $f([a,b])$
		\[
		f(x) \le  0\;\;\forall x \in [a,b]\;\Rightarrow \;
		M=\sup f([a,b]) \le  0
		\]
		allora per il thm della media:
		\[
		\inte{a}{b}f(x)\;dx\le M(b-a)
		\]
		ma $b-a>0$ e $M\le  0$, quindi \[
		 \inte{a}{b}f(x)\;dx\le M(b-a) \le 0
		\]
		\qed
	\end{prova}
\end{prova}
\begin{cor}
	\label{corminoreuguale}
Date $f,g:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$, integrabili secondo Riemann in
$[a,b]$,
\[
f(x)\le g(x)\;\forall x\in[a,b]\;\Rightarrow \;\inte{a}{b}f(x)\;dx\le
\inte{a}{b}g(x)\;dx
\]
\end{cor}
\begin{prova}
	\pf
	\begin{prova}
		Consideriamo $\varphi(x)=f(x)-g(x) \le 0$. Per le proprieta'
		\see{propinr}, \[
		\inte{a}{b} \varphi(x)=f(x)-g(x)\;dx=\inte{a}{b}
		f(x)\;dx-\inte{a}{b} g(x)\;dx
		\]
		per il corollario \see{cor1riem},
		\[
		 \inte{a}{b}\varphi(x)\;dx\le 0\;\Leftrightarrow \;\inte{a}{b} f(x)\;dx-\inte{a}{b} g(x)\;dx\le 0\;\Leftrightarrow \;\inte{a}{b} f(x)\;dx\le \inte{a}{b} g(x)\;dx
		\]
		\qed
	\end{prova}
\end{prova}
\begin{cor}
	\label{cor3riem}
Data $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$, integrabile secondo Riemann,
\[
\forall x \in [a,b]\;\;f(x) \ge 0,\;\;[\alpha,\beta]\subseteq
[a,b]\;\Rightarrow \;\inte{a}{b} f(x)\;dx \ge \inte{\alpha}{\beta} f(x)\;dx
\]
\end{cor}
\begin{prova}
	\pf
	\begin{prova}
		Supponiamo che $a<\alpha<\beta<b$, per la proprieta' di additivita'
		\[
		\inte{a}{b} f(x)\;dx=\inte{a}{\alpha} f(x)\;dx +\inte{\alpha}{\beta} f(x)\;dx \inte{\beta}{b} f(x)\;dx 
		\]
		Per il cor \see{cor1riem} $\inte{a}{\alpha} f(x)\;dx\ge 0$  e
		$\inte{\beta}{b} f(x)\;dx\ge 0$, allora maggiorando:
		\[
		\inte{a}{\alpha} f(x)\;dx +\inte{\alpha}{\beta} f(x)\;dx \inte{\beta}{b} f(x)\;dx\ge  0+\inte{\alpha}{\beta} f(x)\;dx+0=\inte{\alpha}{\beta} f(x)\;dx \]
		\qed
	\end{prova}
\end{prova}
\begin{cor}\label{integralestrettpositivo}
Data $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$, continua in $[a,b]$,
\[
\forall x \in [a,b]\;\;f(x) \ge 0,\;\;\exists x_0\in[a,b]\;\;f(x_0) > 0\;\Rightarrow \;\inte{a}{b} f(x)\;dx > 0
\]
\end{cor}
\begin{prova}
	\pf
	\begin{prova}
		Essendo continua in $[a,b]$, $f$ e' anche continua
		$x_0$: \[
		\lim_{x\to x_0} f(x)= f(x_0) >0
		\]
		Per il thm della permanenza del segno:
		\[
		\exists [\alpha,\beta]\subseteq [a,b], \;x_0\in
		[\alpha,\beta]:\;\;\forall x \in [\alpha,\beta]\;f(x) > 0\;\;(1)
		\]
		Per il corollario precedente:
		\[
		\inte{a}{b} f(x)\;dx \ge \inte{\alpha}{\beta} f(x)\;dx
		\]

		Applichiamo il thm della media a $f(x)$ ristretta a
		$[\alpha,\beta]$:
		\[
		\exists \xi\in[\alpha,\beta]:\;\inte{\alpha}{\beta} f(x)\;dx
		= f(\xi)(\beta-\alpha)
		\]
		$(\beta-\alpha) >  0$\\
		poiche'  $\xi$ soddisfa la $(1)$ si ha $f(\xi) >0$, quindi
		\[
		\inte{a}{b} f(x)\;dx \ge \inte{\alpha}{\beta} f(x)\;dx = f(\xi)(\beta-\alpha) > 0
		\]
		\qed
	\end{prova}
\end{prova}
\begin{cor}
	\label{cor5riem}
Data $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$, integrabile secondo Riemann, valgono
queste due proposizioni:
\begin{enumerate}
	\item $|f(x)|:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ e' integrabile secondo
		Riemann
	\item \[
		\left|\inte{a}{b} f(x)\;dx\right|  \le  \inte{a}{b} |f(x)|\;dx
		\]
\end{enumerate}
\end{cor}
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{Dimostriamo solo nel caso in cui $f$ sia continua}
	\begin{prova}
		\step{}{Da $f(x)$ continua, segue che $|f(x)|$ e' continua}
		\begin{prova}
\begin{align*}
	&x_0\in [a,b]\\
	&\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)\;\Leftrightarrow \;
	\forall \varepsilon > 0\;\exists \delta >0:\;|f(x)-f(x_0)|
	<\varepsilon\;\forall x\in ]x-\delta,x+\delta[\cap [a,b]\\
	&\varepsilon > |f(x)-f(x_0)| \ge  | |f(x)| - |f(x_0)| |\\
	&\forall \varepsilon >0 \;\delta'=\delta:\;
	| |f(x)| - |f(x_0)| | < \varepsilon\;\forall x\in
	]x-\delta,x+\delta[\cap [a,b]\\
	&\qq \;\Leftrightarrow \; \lim_{x\to x_0} |f(x)|=|f(x_0)|
\end{align*}
		\end{prova}
\qedstep
\begin{prova}
	Per le proprieta' del valore assoluto:
	\[
	-|f(x)| \le f(x)\le |f(x)|,\;\;\forall x\in [a,b]
	\]
	allora integrando ogni membro, e usando il corollario
	\see{corminoreuguale}, 
	\[
	\inte{a}{b} -|f(x)|\;dx \le  \inte{a}{b} f(x)\;dx \le \inte{a}{b} |f(x)|\;dx
	\]
	che per la proprieta' distributiva:
	\[
	-\inte{a}{b} |f(x)|\;dx \le  \inte{a}{b} f(x)\;dx \le \inte{a}{b} |f(x)|\;dx
	\]
	e per la proproprieta' del valore assoluto
	\[
	\Big|\inte{a}{b} f(x)\;dx\Big| \le \inte{a}{b} |f(x)|\;dx
	\]
\end{prova}
	\end{prova}
	\qed
\end{prova}
\begin{exemp}
	\label{expintestlim}
	Sia $f(x)$ una funzione integrabile secondo Riemann in $[a,b]$,
	proviamo che data la funzione\[
	F(c)=\inte{a}{c} f(x)\;dx:\;[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}
	\]
	si ha
	\[
	\lim_{c\to b^{-}} F(c)= \inte{a}{b} f(x)\;dx
	\]
	\pf
	La tesi equivale a:
	\[
	\forall \varepsilon >0:\;\exists \delta >0:\;
	\Big|\inte{a}{c} f(x)\;dx-\inte{a}{b}
	f(x)\;dx\Big|<\varepsilon\;\forall c\in ]b-\delta,b[\cap [a,b]
	\]
	se scegliamo $\delta\in ]0,b-a[$, possiamo riscrivere l'ultima
	condizione direttamente come: $\forall c\in ]b-\delta,b[$\\
	Per la proprieta' di additivita' possiamo scrivere:
	\begin{align*}
	&\Big|\inte{a}{c} f(x)\;dx-\inte{a}{b} f(x)\;dx\Big|
	=\Big|-\inte{c}{b} f(x)\;dx\Big|= \Big|\inte{c}{b} f(x)\;dx\Big|
	\end{align*}
	per il corollario di prima:
	\[
	\Big|\inte{c}{b} f(x)\;dx\Big|\le \inte{c}{b} |f(x)|\;dx
	\]
	per il thm della media
	\begin{align*}
		&M=\sup |f([c,b])|\\
	&\inte{c}{b} |f(x)|\;dx \le M(b-c)
	\end{align*}
	Si ha $c\in  ]b-\delta,b[\;\Rightarrow \;b-c<\delta$. Ponendo $\delta
	\in ]0,b-a[:\; \delta M < \varepsilon$, abbiamo infine:
	\[
	M(b-c) \le M\delta< \varepsilon
	\]
\end{exemp}
\subsection{Integrale definito}
Sia data $f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, integrabile secondo Riemann in tutti
gli intervalli chiusi contenuti in $(a,b)$. Siano $\alpha,\beta\in(a,b)$
\[
\intd{\alpha}{\beta} f(x)\;dx := \begin{cases}
	\inte{\alpha}{\beta} f(x)\;dx & \alpha<\beta\\
	0&\alpha=\beta\\
	-\inte{\beta}{\alpha} f(x)\;dx & \alpha>\beta
\end{cases}
\]
da questa definizione si ha questa immediata proprieta':
\[
\intd{\alpha}{\beta} f(x)\;dx = -\intd{\beta}{\alpha} f(x)\;dx
\]
\begin{thm}
	Proprieta' distributiva dell'integrale definito:\\
	Siano $h,k\in \mathbb{R}$. Data la funzione
	$hf(x)+kg(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, integrabile secondo
	Riemann in tutti gli intervalli chiusi contenuti in $(a,b)$, e dati
	$\alpha,\beta\in(a,b)$, si ha
	\[
	\intd{\alpha}{\beta}hf(x)+kg(x)\;dx=h\intd{\alpha}{\beta}f(x)\;dx+k\intd{\alpha}{\beta}g(x)\;dx
	\]
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
	\begin{prova}
		\case{
		$\alpha<\beta$
		}
		\begin{align*}
			& \intd{\alpha}{\beta}hf(x)+kg(x)\;dx=
			\inte{\alpha}{\beta}hf(x)+kg(x)\;dx\\
			&\qq=
			h\inte{\alpha}{\beta}f(x)\;dx+k\inte{\alpha}{\beta}g(x)\;dx\;\;\textrm{
			[per la prop. distr. degli int. estesi.]}
		\end{align*}
		\case{
		$\alpha>\beta$	
		}
		\begin{align*}
			& \intd{\alpha}{\beta}hf(x)+kg(x)\;dx=
			-\inte{\beta}{\alpha}hf(x)+kg(x)\;dx\\
			&\qq=
			-h\inte{\beta}{\alpha}f(x)\;dx-k\inte{\beta}{\alpha}g(x)\;dx\;\;\textrm{
			[per la prop. distr. degli int. estesi.]}\\
			&\qq=h\intd{\alpha}{\beta}f(x)\;dx+k\intd{\alpha}{\beta}g(x)\;dx 
		\end{align*}
		\case{
		$\alpha=\beta$
		} $0=0+0$
	\end{prova}
	\qed
\end{prova}
\begin{thm}
	Proprieta' di additivita' per l'integrale definito:\\
	Data la funzione
	$f(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, integrabile secondo
	Riemann in tutti gli intervalli chiusi contenuti in $(a,b)$, e dati
	$\alpha,\beta,\gamma\in(a,b)$, si ha
	\[
	\intd{\alpha}{\beta}f(x)\;dx=\intd{\alpha}{\gamma}f(x)\;dx+\intd{\gamma}{\beta}g(x)\;dx
	\]
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
\begin{prova}
	\case{ $\alpha<\beta$ }
	\begin{prova}
		\case{
		$\alpha<\gamma<\beta$
		}
	\begin{align*}
		&\intd{\alpha}{\beta}f(x)\;dx=\inte{\alpha}{\beta}f(x)\;dx\\
		&\qq
		=\inte{\alpha}{\gamma}f(x)\;dx+
		\inte{\gamma}{\beta}f(x)\;dx\;\;\textrm{ [prop. di additivita' degli
		int. estesi]}
	\end{align*}
	\case{
	$\alpha<\beta<\gamma$
	}
	\begin{align*}
		&\intd{\alpha}{\gamma}f(x)\;dx=\inte{\alpha}{\gamma}f(x)\;dx\\
		&\qq
		=\inte{\alpha}{\beta}f(x)\;dx+\inte{\beta}{\gamma}f(x)\;dx\;\;\textrm{
		[prop. di additivita' degli int. estesi]}\\
		&\qq=\intd{\alpha}{\beta}
		f(x)\;dx+\intd{\beta}{\gamma}\;f(x)\;dx\\
		&\intd{\alpha}{\beta}f(x)\;dx=\intd{\alpha}{\gamma}f(x)\;dx-\intd{\beta}{\gamma}\;f(x)\;dx\\
		&\qq=\intd{\alpha}{\gamma}f(x)\;dx+\intd{\gamma}{\beta}\;f(x)\;dx
	\end{align*}
	\case{
	$\gamma<\alpha<\beta$
	}\begin{align*}
		&\intd{\gamma}{\beta}f(x)\;dx=\inte{\gamma}{\beta}f(x)\;dx\\
		&\qq
		=\inte{\gamma}{\alpha}f(x)\;dx+\inte{\alpha}{\beta}f(x)\;dx\;\;\textrm{
		[prop. di additivita' degli int. estesi]}\\
		&\qq=\intd{\gamma}{\alpha} f(x)\;dx+\intd{\alpha}{\beta}\;f(x)\;dx\\
		&\intd{\alpha}{\beta}f(x)\;dx=\intd{\gamma}{\beta}f(x)\;dx-\intd{\gamma}{\alpha}\;f(x)\;dx\\
		&\qq=\intd{\alpha}{\gamma}f(x)\;dx+\intd{\gamma}{\beta}\;f(x)\;dx
	\end{align*}
	\qed
\end{prova}
\begin{prova}
	\case{
	$\beta<\alpha$
	} Si procede analogamente al caso precedente
	\qed
\end{prova}
\end{prova}
\end{prova}
\begin{thm}
	Teorema della media per gli integrali definiti:\\
	Data la funzione
	$f(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, continua, e
	$\alpha,\beta\in(a,b)$ con $\alpha\neq \beta$ $\;\Rightarrow \;$
	\[
	\exists \xi\in[\alpha,\beta]:\;\;\intd{\alpha}{\beta}f(x)\;dx=
	f(\xi)(\beta-\alpha)
	\]
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf\begin{prova}
		\case{
		 $\alpha<\beta$
		}Per definizione
		\[
		\intd{\alpha}{\beta}f(x)\;dx=\inte{\alpha}{\beta}f(x)\;dx
		\]
		Poiche' $f$ e' continua, e per il teorema della media degli
		integrali estesi:
		\[
		\exists
		\xi\in[\alpha,\beta]:\;\;\inte{\alpha}{\beta}f(x)\;dx=f(\xi)(\beta-\alpha)
		\]
		\case{
		$\beta<\alpha$
		}
Per definizione
		\[
		\intd{\alpha}{\beta}f(x)\;dx=-\inte{\beta}{\alpha}f(x)\;dx
		\]
		Poiche' $f$ e' continua, e per il teorema della media degli
		integrali estesi:
		\[
		\exists
		\xi\in[\beta,\alpha]:\;\;\inte{\beta}{\alpha}f(x)\;dx=f(\xi)(\alpha-\beta)
		\]
		e quindi
		\[
		\intd{\alpha}{\beta}f(x)\;dx=-\inte{\beta}{\alpha}f(x)\;dx=-f(\xi)(\alpha-\beta)=f(\xi)(\beta-\alpha)
		\]
	\end{prova}
	\qed
\end{prova}
\subsubsection{Funzione integrale}
Data la funzione
$f(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, integrabile secondo
Riemann in tutti gli intervalli chiusi contenuti in $(a,b)$, e dato
$x_0\in (a,b)$, possiamo definire la funzione integrale
$F(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$:
\[
F(x)=\intd{x_0}{x}f(t)\;dt
\]
cioe', associamo a ogni $x\in(a,b)$ il punto $\intd{x_0}{x}f(x)\;dx\in
\mathbb{R}$
\subsubsection{Teorema di Torricelli}
\ilabel{teorema!di Torricelli}
\ilabel{torricelli}
Data la funzione
$f(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, continua in $(a,b)$, $x_0\in(a,b)$ e
$F(x)=\intd{x_0}{x}f(t)\;dt$, funzione integrale
di $f(x)$, valgono le seguenti proposizioni:
\begin{enumerate}
	\item $F(x)$ e' derivabile in $(a,b)$
	\item $F'(x)=f(x)\;\;\forall x \in (a,b)$
\end{enumerate}
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{Dim. la $1$ e la $2$}
	\begin{prova}
	Sia $x'\in(a,b)$. Per la genericita' di $x'$, e' sufficiente provare
	che $\exists F'(x')=f(x')$, cioe'
	\begin{align*}
		&\exists F'(x')=f(x')\;\Leftrightarrow \;
		\lim_{x\to x'}\frac{F(x)-F(x')}{x-x'}=f(x')\\
		&\qq\;\Leftrightarrow \;\forall \varepsilon >0\;\exists
		\delta>0:\;\forall x \in (a,b)\cap
		]x'-\delta,x'+\delta[\setminus \pgra{x'}\textrm{ si ha }
		\Big|\frac{F(x)-F(x')}{x-x'}-f(x')\Big|<\varepsilon\;\;(1)
	\end{align*}
	Poiche' la $f$ e' continua:
	\begin{align*}
		& \lim_{x\to x'} f(x)=f(x')\;\;\Rightarrow  \;\textrm{ in corrispondenza di }\varepsilon\textrm{ si ha}\\
		&\qq \exists \delta'>0:\;\forall
		x\in(a,b):\;|x-x'|<\delta'\textrm{ si ha
		}|f(x)-f(x')|<\varepsilon\;\;(2)\\
	\end{align*}
	\step{}{Dimostriamo che fissando $\delta=\delta'$ la $(1)$ e'
	soddisfatta}
	\begin{prova}
		Fissiamo $\delta=\delta'$ e prendiamo una $x$ che rispetti le
		condizioni della $(1)$, cioe'
		\[
		x \in (a,b)\cap ]x'-\delta',x'+\delta'[\setminus \pgra{x'}\;\Leftrightarrow \;x\in(a,b),\;|x-x'|<\delta',\;x\neq x'
		\]
		procediamo:
		\begin{align*}
			&\left|\frac{F(x)-F(x')}{x-x'}-f(x')\right|=
			\left|\frac{\intd{x_0}{x}f(t)\;dt-\intd{x_0}{x'}f(t)\;dt}{x-x'}-f(x')\right|\\
			&\qq =\left|\frac{
			\left(\intd{x_0}{x'}f(t)\;dt+\intd{x'}{x}f(t)\;dt\right)
			-\intd{x_0}{x'}f(t)\;dt}{x-x'}-f(x')\right|\;\;\textrm{ [per l'additivita']}\\
			&\qq =\left|\frac{ \intd{x'}{x}f(t)\;dt}{x-x'}-f(x')\right|\\
			&\qq\qq \exists
			\xi\in[x',x]:\;\intd{x'}{x}f(t)\;dt=f(\xi)(x-x')\;\;\textrm{ [thm della media per int. def.]}\\
			&\qq = \left|\frac{f(\xi)(x-x')}{x-x'}-f(x')\right|
			=\left|f(\xi)-f(x')\right|\;\;\textrm{ [nota che
			$x\neq x'$]}\\
			&\textrm{Poiche' }\xi\in [x',x], \textrm{ la $\xi$
			rispetta la condizione della $(2)$, quindi: }\\
			&\qq \left|f(\xi)-f(x')\right|<\varepsilon\\
			&\;\Rightarrow \;\left|\frac{F(x)-F(x')}{x-x'}-f(x')\right|
			=\left|f(\xi)-f(x')\right|<\varepsilon
		\end{align*}
		
	\end{prova}
	\end{prova}
	\qed
\end{prova}
\begin{prop}
	\[
	f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R},\;\textrm{
	continua}\;\Rightarrow \;\textrm{ $f$ ammette primitive, e una sua
	primitiva e' la funzione integrale}
	\]
	Questo e' proprio quello che afferma il teorema di Torricelli.
\end{prop}
\subsubsection{Formula fondamentale del calcolo integrale}
\begin{cor} del teorema di Torricelli.\\
	Data $f(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, continua e data $G(x)$
	primitiva di $f(x)$ in $(a,b)$, e presi $\alpha,\beta\in(a,b)$si ha
\[
\intd{\alpha}{\beta}f(x)\;dx=
G(\beta)-G(\alpha)
\]
Per convenzione, si pone:
\[\left[G(x)\right]^{\beta}_{\alpha}:=G(\beta)-G(\alpha)\]
\end{cor}
\begin{prova}
	\pf
	\begin{prova}
		Sia \[
F(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R},\;\;\;\; F(x)=\intd{x_0}{x}f(t)\;dt
		\] la funzione integrale.\\
		Per il thm di Torricelli $F(x)$ e' una primitiva di $f(x)$ in
		$(a,b)$, quindi
		\[
		\exists c\in\mathbb{R}:\;\;		G(x)=F(x)+c\;\;\forall x \in (a,b)
		\]
		\begin{align*}
			&G(\beta)=F(\beta)+c\\
			&G(\alpha)=F(\alpha)+c\\
			&G(\beta)-G(\alpha)=F(\beta)-F(\alpha)
			=\intd{x_0}{\beta}f(t)\;dt-\intd{x_0}{\alpha}f(t)\;dt\\
			&\qq =
			\intd{x_0}{\beta}f(t)\;dt+\intd{\alpha}{x_0}f(t)\;dt\\
			&\qq = \intd{\alpha}{\beta} f(t)\;dt\;\;\textrm{
			[prop. di additivita']}
		\end{align*}
	\end{prova}
	\qed
\end{prova}
\subsubsection{Formule di sostituzione per integrali definiti}
Conseguenza della formula fondamentale del calcolo integrale:
\eal{&
\intd{a}{b} f(x) \;dx=\\
&\qq x=\varphi(t),\;\;t=\psi(x)\T{ [l'inversa di $\varphi$]},\;\;\;dx=D\pqua{\varphi(t)}=\varphi'(t)\;\;\\
&=\intd{a}{b} f(x) \;dx=\pqua{\int f(\varphi(t))\varphi'(t)
\;dt}^{\psi(b)}_{\psi(a)}=
\intd{\psi(a)}{\psi(b)} f(\varphi(t))\varphi'(t)\;dx\\
&\\
&\intd{a}{b} f(\varphi(x))\varphi'(x) \;dx=\\
&\qq
t=\varphi(x),\;\;x=\psi(t),\;\;dx=D\pqua{\psi(t)}=\psi'(t),\;\;\varphi'(x)=\varphi'(\psi(t))=\frac{1}{\psi'(t)}\\
&
=\pqua{\int f(t)\;dt} ^{\varphi(b)}_{\varphi(a)}=
\intd{\varphi(a)}{\varphi(b)} f(t)\;dt
\\
&\\
&\int f(\varphi(x)) \;dx=\\
&\qq t=\varphi(x),\;\;x=\psi(t),\;\;dx=D\pqua{\psi(t)}=\psi'(t)\\
&=\pqua{\int f(t)\psi'(t)\;dt} ^{\varphi(b)}_{\varphi(a)}=
\intd{\varphi(a)}{\varphi(b)} f(t)\psi'(t)\;dt
}

\section{Misurabilita' secondo Jordan}
\ilabel{jordan peano}
\ilabel{misurabilita'}
Sia $X\subseteq \mathbb{R}^2$, con $\den{X}$ indichiamo l'interno di $X$ (vedi
gli appunti di topologia), ovvero nella topologia euclidea:
\[
x\in \den{X}\;\Leftrightarrow \;\exists I(x,r):\;I(x,r) \subseteq X
\]
dove con $I(x,r)$ indichiamo il cerchio di raggio $r>0$ e centro $x$.\\
Inoltre, diremo che 
\[
X\textrm{ e' limitato }\;\Leftrightarrow \;\exists I(x,r):\;X\subseteq I(x,r)
\]con $x\in X, r>0$.\\
Useremo anche la seguente famiglia:
\[
\P=\pgra{\pi \textrm{ poligono elementare o unione di poligoni elementari}}
\]
Cioe' l'insieme di tutti i poligoni.
\begin{defn}
	\label{j1}
	Sia $X\subseteq \mathbb{R}^2$ un insieme limitato e dotato di punti
	interni. E siano
	\[
	\alpha=\pgra{\pi\in \P\;|\;\pi\subseteq X}\qq
	\beta=\pgra{\pi'\in\P\;|\;\pi \supseteq X}
	\]
	ovvero, l'insieme dei poligono contenuti in $X$ e quello dei poligoni
	che contengono $X$. Infine, poniamo
	\[
	A=\pgra{\textrm{area }\pi\in \alpha}\qq B=\pgra{\textrm{area }\pi'\in \beta}
	\]
	Diremo che $X$ e' misurabile secondo Peano Jordan se $A$ e $B$ sono
	separati e contigui. E chiameremo $\mis X$ l'elemento di separazione,
	cioe'
	\[
	\mis X = \sup A = \inf B > 0
	\]
\end{defn}
\begin{prop}
	In questo caso $A\neq 0$, $B\neq 0$ e inoltre $A$ e $B$ sono separati.
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf\begin{prova}
	Poiche' $X$ e' dotato di punti interni $\exists
	I(x,r):\;I(x,r)\subseteq X$, allora se prendiamo un qualunque poligono
	$\pi$ inscritto a $I(x,r)$, abbiamo
	\[
	\pi\subseteq I(x,r)\subseteq X\;\Rightarrow \;\pi\subseteq
	X\;\Rightarrow \;\pi\in \alpha\;\Rightarrow \;\area \pi\in A
	\]
	Poiche' $X$ e' limitato $\exists I(x,r):\;I(x,r) \supseteq X$, allora
	basta prendere un poligono $\pi'$ circoscritto a $I(x,r)$ e si ha:
	\[
	\pi'  \supseteq I(x,r) \supseteq X\;\Rightarrow \;\pi' \supseteq
	X\;\Rightarrow \pi'\in \beta\;\Rightarrow \;\area \pi' \in B
	\]
	Ovviamente, per costruzione, $\alpha,\beta$ sono separati, infatti,
	prendendo un qualsiasi $\pi\in\alpha,\;\pi'\in\beta$, si ha:
	\[
	\pi\subseteq X\subseteq \pi'\;\Rightarrow \;\pi\subseteq \pi'
	\]
	allora $\area \pi \le  \area \pi'$
	\end{prova}
	\qed
\end{prova}
\begin{defn}
	\label{j2}
	Sia $X\subseteq \mathbb{R}^2$ un insieme limitato, ma non dotato di punti
	interni, cioe' $\den{X}=\emptyset $.\\
	In questo caso avremo $A=\emptyset $. Allora diremo che
	\[
	X\textrm{ misurabile secondo Jordan}\;\Leftrightarrow \;
	\inf B =0
	\]
	e poniamo
	\[
	\mis X = \inf B = 0
	\]
\end{defn}
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{Dimostriamo che $A=\emptyset $}
	\begin{prova}
Se per assurdo $\exists \pi\in A$, allora e' possibile trovare un intorno
$I(x,r) \( \pi $. Ma allora
\eal{&I(x,r) \( \pi  \( X \> x \in \den{X} \> \den{X} \neq \0
}
assurdo.
	\end{prova}
	\qed
\end{prova}
\begin{defn}
	\label{j3}
	Sia $X\subseteq \mathbb{R}^2$, non limitato. Diremo che $X$ e'
	misurabile secondo Jordan se ogni $X\cap \pi$, con $\pi\in \P$, e'
	misurabile secondo definizione \see{j1}, \see{j2}. Poniamo
	\[
	\mis X = \sup \pgra{ \mis X\cap \pi\;|\;\pi\in \P}\;\le +\infty 
	\]
\end{defn}
\subsubsection{Proprieta' della misura secondo Jordan}
\ilabel{jordan!proprieta'}
\label{propdijordan}
\ilabel{isotonia}
\ilabel{invariante}
Dati $X,Y\subseteq \mathbb{R}^2$
\begin{enumerate}
	\item $X,Y\;\textrm{ misurabili}\;\Rightarrow \; X\cap Y,X\cup Y,X\setminus Y,Y\setminus X\textrm{ misurabili} $
	\item Proprieta' di isotonia.\\
		$X,Y\;\textrm{ misurabili}\;,\;X\subseteq Y\;\Rightarrow
		\;\mis X \le \mis Y$
	\item Proprieta' di additivita' finita
		\eal{\sist{
		\mis X,\mis Y < +\infty \\
		\den{X}\cap \den{Y}=\emptyset}
		\;\Rightarrow \;\mis X\cup
		Y =\mis X+\mis Y}
	\item $\mis Y < +\infty ,\;X\subseteq
		Y\;\Rightarrow \;\mis Y\setminus X=\mis Y - \mis X$
	\item La misura e' invariante per traslazione.\\
		\[X \textrm{ misurabile},\;Y\textrm{ e' una traslazione di X}\;\Rightarrow \;
		Y\textrm{ misurabile},\;\mis X =\mis Y\]
	\item $X \neq \mathbb{R}^2,\;X \neq \0$, allora
		\eal{&X\T{ misurabile } \= F(X) \T{ e' misurabile }
		}
\end{enumerate}

\subsubsection{Esempi}
\begin{exemp} di insieme non limitato e misurabile secondo Jordan:\\
Consideriamo il primo quadrante in alto a destra e chiamiamolo $X$, cioe'
\[
X=\pgra{(x,y)\in \mathbb{R}^2\;|\;x\ge 0,\;y\ge 0}
\]
Ovviamente $X$ non e' limitato.\\
Prendendo un poligono $\pi$ qualsiasi, abbiamo questi casi:
\[
X\cap \pi=\begin{cases}
	\tilde{\pi}\in \P&\textrm{un altro poligono, che e' quindi mis.
	secondo def \see{j1}}\\
	\textrm{unione di un numero finito di segmenti}&\textrm{questo e' un poligono mis.
	secondo def \see{j2}}\\
	\textrm{unione di un numero finito di punti}&\textrm{e' mis.
	secondo def \see{j2}}\\
	\emptyset 
\end{cases}
\]
Quindi $X$ e' misurabile secondo Jordan.\\
Consideriamo adesso il seguente quadrato:
\[
\pi_n=[0,n]\times [0,n]=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\;|\; 0\le x\le n,\;0\le y\le n
\]
ovviamente $X\cap \pi_n = \pi_n$. Consideriamo allora 
\[
Y=\pgra{ \mis X\cap \pi_n,\;n\in \mathbb{N}},\;\;\sup Y= +\infty 
\]
Poiche' $Y\subseteq \pgra{\mis X\cap \pi,\;\pi\in \P}$, allora a maggior
ragione
\[
\sup \pgra{\mis X\cap \pi,\;\pi\in \P} = \mis X = +\infty 
\]
\end{exemp}
\begin{exemp}\label{quadratodidirichlet}
	di ins. non misurabile secondo Jordan.\\
	Consideriamo il quadrato $\Delta=[0,1]\times [0,1]$ e 
	\[
	X=\pgra{(x,y)\in \Delta\;|\;x,y\in \mathbb{Q}}
	\]
	cioe' quadrato di lato $1$ formato solo dai punti razionali.\\
	Ovviamente e' limitato, perche' contenuto in un cerchio di centro $O$
	e raggio $2$.
	\begin{prova}
		\pf \step{}{Dim che non contiene punti interni}
		\begin{prova}
	Infatti, se per
	assurdo $p=(x_0,y_0)\in X$ fosse un punto interno, allora $\exists
	I(p,r):\;I(p,r) \subseteq X$. Consideriamo 
	$\tilde{p_0}=(x_0+\frac{\sqrt{2}}{n}, y_0)$, con
	$n\in \mathbb{N}:\;\frac{\sqrt{2}}{n}<r$. Si ha che
	\begin{align*}
	&d(\tilde{p_0}, p) = \sqrt{(x_0+\frac{\sqrt{2}}{n}-x_0)^2+(y_0-y_0)}=
	\frac{\sqrt{2}}{n} < r \\
	&\;\Rightarrow \; \tilde{p_0}\in I(p,r) \subseteq X\;\Rightarrow
	\;\tilde{p_0} \in X\\
	&\;\Rightarrow \;x_0+\frac{\sqrt{2}}{n}\in
	\mathbb{Q}\;\textrm{ [assurdo]}
	\end{align*}
		\end{prova}
		\qed
	\end{prova}
	Siamo nel caso di def. \see{j2}, controlliamo quindi
	se $\inf B=0$:
	\[B = \pgra{ \area \pi'\;|\;\pi' \in \P,\;\pi' \supseteq X}\]
	E' intuitivo il fatto che 
	\[\pi' \supseteq X\;\Rightarrow \;\pi'
	\supseteq \Delta\;\Rightarrow \;\area \pi' \ge \area \Delta
	=1\;\;\forall \pi'\in P,\;\pi'\)X\]
quindi, si ha \[
	\inf B \ge 1, \textrm{ anzi,
poiche' $\area \Delta \in B$,
	} \inf B = \min B = 1
	\]
	ecco quindi che $\inf B = 1\neq 0$, percio'
	secondo def \see{j2}, $X$ non e' misurabile.
\end{exemp}
\subsection{Trapezoide o rettangoloide}
\ilabel{trapezoide}
\ilabel{rettangoloide}
\begin{defn}
	Data $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$, limitata in $[a,b]$, con $f(x) \ge 0\; \forall x
	\in [a,b]$, definiamo il \emph{trapezoide} di $f$ relativo
	all'intervallo chiuso $[a,b]$:
	\[
	T(f)=\pgra{(x,y)\in \mathbb{R}^2\;|\; x\in [a,b],\;0\le y\le f(x)}
	\]
	In sostanza, $T(f)$ e' la porzione del piano che sta' sotto il grafico
	di $f(x)$. Nota che $f(x) \ge 0$
\end{defn}
\begin{thm}
	\label{thmtrap}
	\[
	\begin{cases}
		f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R},\;\textrm{ continua}\\
		f(x) \ge 0\; \forall x \in [a,b]
	\end{cases}\;\Rightarrow \;
	\begin{cases}
		T(f)\textrm{ e' misurabile}\\
		\mis T(f)=\inte{a}{b} f(x)\;dx
	\end{cases}
	\]
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
	\begin{prova}
		\step{}{Vediamo che $T(f)$ e' sia limitato che dotato di pt.
		interni}
		\begin{prova}
			Per semplicita', supponiamo $f(x) >0$. $f$ e' continua, quindi per
			Weierstrass,
			\begin{align*}
				&\exists \max f([a,b])=M\\
				&\exists \min f([a,b])=n
			\end{align*}
			Consideriamo questi due rettangoli:
			\begin{align*}
				&\Delta=[a,b]\times [0,M]\;\supseteq T(f)\\
				&\Delta'=[a,b]\times [0,m]\;\subseteq T(f)
			\end{align*}
			\step{}{$T(f)$ e' limitato}
			\begin{prova}
				Esiste infatti un cerchio di centro $I(O,r)$, di raggio $r>
				\max\pgra{d((0,0),(0,M)),\;d((0,0),(-b,M))}$ che contiene $\Delta$ e che
				quindi contiene $T(f)$
			\end{prova}
			\step{}{$T(f)$ e' dotato di punti interni}
			\begin{prova}
				Infatti, esiste un cerchio $I(c,r)$, dove $c$ e' il centro del
				rettangolo $\Delta'$ e $r< \min \pgra{m-c_y,\;c_x-a}$, che e' contenuto
				in $\Delta'$ e quindi in $T(f)$.
			\end{prova}
		\end{prova}
		\pflet{
		$A=\pgra{\area \pi\;|\;\pi\in \P,\;\pi \subseteq  T(f)}$\\
		$B=\pgra{\area \pi'\;|\;\pi'\in \P,\;\pi \supseteq T(f)}$
		}
		\step{}{Dimostriamo che $A,B$ sono contigui, utilizzando
		l'integrale esteso di Riemann}
		\begin{prova}
			Intanto osserviamo che
			\[
			A,B\textrm{ contigui}\;\Leftrightarrow \;
			\forall \varepsilon >0\;\exists \area \pi\in A,\;\area
			\pi' \in B:\;\area \pi'-\area \pi< \varepsilon
			\]
			Poiche' $f$ e' continua, per il thm \see{ttt13}, e'
			integrabile secondo Riemann. 
		Nella dimostrazione del thm \see{ttt13} avevamo visto che
		\[
		\forall \varepsilon > 0\;\exists \delta > 0:\;\forall
		P, \textrm{ partizione di $[a,b]$
		}:\;|P|<\delta\;\Rightarrow
		\;S(f,P)-s(f,P)<\varepsilon\;\;(*)
		\]
			Ricordandoci che
			\begin{align*}
				&s(f,P)=\sum_{i=1}^nm_i(x_i-x_{i-1})\qq
				S(f,P)=\sum_{i=1}^nM_i(x_i-x_{i-1})\\
				&m_i=\inf f([x_{i-1},x_i])\underbrace{=}_{\textrm{$f$ e' continua}}\min f([x_{i-1},x_i])\\
				&M_i=\sup f([x_{i-1},x_i])\underbrace{=}_{\textrm{$f$ e' continua}}\max f([x_{i-1},x_i])
			\end{align*}
			consideriamo ora
			\begin{align*}
				&\pi = \bigcup_{i=1,\dots,n}[x_{i-1},x_i]\times [0,m_i]\\
				&\pi' = \bigcup_{i=1,\dots,n}[x_{i-1},x_i]\times [0,M_i]\\
			\end{align*}
			Ovviamente $\pi \subseteq T(f),\;\pi'\supseteq T(f)$.
			Calcoliamo le loro aree:
			\begin{align*}
				&\area \pi = \sum_{i=1}^n
				(x_i-x_{i-1})m_i\;\;(1)\\
				&\area \pi' = \sum_{i=1}^n
				(x_i-x_{i-1})M_i\;\;(2)\\
				&\;\Rightarrow \;\area \pi = s(f,P),\;\area
				\pi' = S(f,P)\;\;(1)
			\end{align*}
			quindi per la $(*)$, abbiamo
			\[
			S(f,P)-s(f,P)<\varepsilon\;\Leftrightarrow \;\area
			\pi'-\area \pi<\varepsilon
			\]
			ecco dimostrato che $T(f)$ e' misurabile.
		\end{prova}
		\step{}{Ultimo passo}
		\begin{prova}
			Poiche' la $f$ e' integrabile secondo Riemann,
			$\inte{a}{b}f(x)\;dx$ e' l'elemento di separazione dei
			due insiemi
			\[\pgra{s(f,P)}_P,\;\; \pgra{S(f,P)}_P\]
			cioe'
			\[
			s(f,\P)\le \inte{a}{b}f(x)\;dx\le S(f,\P')\;\;\forall
			\P,\P'
			\]
			Fissiamo $\P=\P'=P$:
			\[
			s(f,P)\le \inte{a}{b}f(x)\;dx\le S(f,P)\;\;(2)
			\]
			Per la $(1)$ e per la definizione di $\mis X$,	abbiamo:
			\[
			\area \pi \le \mis X \le \area \pi'\;\Leftrightarrow
			\;s(f,P)\le \mis X \le  S(f,P)\;\;(3)
			\]
			allora, dalla $(2)$ e $(3)$, per le proprieta' del valore assoluto
			\footnote{vedi proprieta' 12 del valore assoluto in
			analisiI.pdf} si ha:
			\[
			\Big|\mis X-\inte{a}{b}f(x)\;dx\Big| \le
			S(f,P)-s(f,P)
			\] e sempre per la $(*)$:
			\[
			S(f,P)-s(f,P) <\varepsilon
			\]
			Quindi, abbiamo trovato che per ogni $\varepsilon$, 
			\[
			\Big|\mis X-\inte{a}{b}f(x)\;dx\Big|<\varepsilon
			\]
			e percio'
			\[
			\mis X-\inte{a}{b}f(x)\;dx = 0\;\Rightarrow \;\mis X = \inte{a}{b}f(x)\;dx
			\]
		\end{prova}
\end{prova}
\qed
\end{prova}

\subsection{Insieme normale}
\ilabel{insieme!normale}
Data $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ e $g:[a,b]\longrightarrow
\mathbb{R}$, con $g(x) \ge f(x) \; \forall x\in [a,b]$. 
Definiamo l'\emph{insieme} normale di $f,g$:
\[
T(f,g)=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\;|\;
x\in [a,b],\;f(x)\le y\le g(x)\right\}
\]
In altre parole, $T(f,g)$ e' l'insieme dei punti compresi tra il grafico di
$g$ (che sta' sopra) e il grafico di $f$.
		\begin{lem}
			\label{lemmadim1}
	Indicando con $G_f$ il grafico della funzione $f:[a,b]\longrightarrow
	\mathbb{R}$, continua in $[a,b]$:
	\[G_f=\pgra{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;|\;x\in [a,b],\;y=f(x)}\] valgono le seguenti
	proposizioni:
	\begin{enumerate}
		\item $\den{G_f}=\emptyset $
		\item $G_f$ e' misurabile secondo Jordan e $\mis G_f=0$
	\end{enumerate}
	\end{lem}
\begin{prova}
		\pf
\begin{prova}
\step{}{$G_f$ e' limitato}
\begin{prova}
Considerando il rettangolo $T=[a,b]\times [0,\max\pgra{f([a,b])}]$. basta prendere
il cerchio $C=I(O,r)$ che lo contenga, cosi' che':
\[
C\supseteq T\supseteq G_f
\]
\end{prova}
\step{}{$G_f$ non ha punti interni}
\begin{prova}
Sia $P=(x,f(x))\in G_f$, non sara' mai possibile trovare un cerchio
$I(P,r):\;I(P,r)\subseteq G_f$, infatti, se per assurdo esistesse, allora
anche $(x,f(x)+\varepsilon), \;\varepsilon< r$ dovrebbe appartenere a $G_f$,
ma questo e' assurdo.
\end{prova}
\step{}{
Rientriamo percio' nel caso della def
\see{j2}. Usando una cornice che racchiude $G_f$, con
l'altezza che tende a $0$, si puo' dimostrare che $\inf B=\mis G_f=0$.
}
\begin{prova}
Vogliamo dimostrare che $\inf B=0$, ovvero che 
\[\begin{cases}
\forall \area \pi\in B,\;\inf B \le \area \pi\= 0\le \area \pi
\\
\forall \varepsilon > 0:\;\exists  \area \pi\in B:\;\area \pi < \inf B +
\varepsilon=\varepsilon
\end{cases}\]
Poiche' tutte le aree sono $\ge 0$, la prima condizione
e' gia' provata.
\\
Fissiamo $\varepsilon$. Nella dimostrazione del thm \see{ttt13} avevamo visto
che, fissata la $\frac{\varepsilon}{2}>0$
\[
\exists \delta > 0:\;\forall P, \textrm{ partizione di $[a,b]$
}:\;|P|<\delta\;\Rightarrow \;S(f,P)-s(f,P)<\frac{\varepsilon}{2}\;\;(*)
\]
Fissando una determinata partizione, consideriamo allora questo poligono:
\begin{align*}
	&\pi=\bigcup_i^n[x_{i-1},x_{i}]\times[m_i,M_i+\sigma]\\
&m_i=\min\{f([x_{i-1},x_{i}]),\;\;M_i=\max\{f([x_{i-1},x_{i}])\\
&\sigma=\frac{\varepsilon}{2(b-a)}
\end{align*}
la sua area e':
\begin{align*}
	&\area \pi = \sum_{i=1}^n(x_{i}-x_{i-1})(M_i+\sigma-m_i)=
	\sum_{i=1}^nM_i(x_{i}-x_{i-1})-\sum_{i=1}^nm_i(x_{i}-x_{i-1})+
	\sum_{i=1}^n\sigma (x_{i}-x_{i-1})=\\
	&=S(f,P)-s(f,P)+\sigma (b-a) \\
	&\qq < \frac{\varepsilon}{2} + \sigma (b-a)= \frac{\varepsilon}{2} +
	\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\;\;\T{ [per la $(*)$]}
\end{align*}
\end{prova}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{thm}
Data $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ e $g:[a,b]\longrightarrow
\mathbb{R}$, con $g(x) \ge f(x) \; \forall x\in [a,b]$. 
	\[
	f,g\textrm{ continue in }[a,b]\;\Rightarrow \;
	\begin{cases}
		1.\;\;T(f,g) \textrm{ e' misurabile}\\
		2.\;\;\mis T(f,g)=\inte{a}{b} g(x)-f(x)\;dx
	\end{cases}
	\]
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
	\step{p1}{Dimostriamo il thm nel caso in cui $f(x) \ge  0 \;\forall x \in
	[a,b]$}
	\begin{prova}
		Osserviamo che
		\begin{align*}
			&g(x) \ge  f(x)\;\forall x \in[a,b]\;\Rightarrow
			\;T(f)\subseteq T(g)\;\;(1)\\
			&\qq \;\Rightarrow \; \mis T(f) \le \mis T(g)\;\textrm{ [propr. di isotonia, vedi \see{isotonia}]}\\
			&g(x) > f(x) \ge 0\;\forall x \in[a,b]\;\;(2)\\
			&\\
			&T(f,g)=[T(g)\setminus T(f)]\cup G_f\;\;(3)\\
			&\qq \den{G_f}=\emptyset \;\;\textrm{ [per il lemma \see{lemmadim1}]}\\
			&\qq \mis G_f = 0\;\;\textrm{ [per lo stesso lemma]]}
		\end{align*}
		Per la $(2)$ e per la continuita' di $f,g$, applichiamo il thm
		\see{thmtrap} su $f,g$:
		\begin{align*}
			&\mis T(f)=\inte{a}{b}f(x)\;dx\\
			&\mis T(g)=\inte{a}{b}g(x)\;dx
		\end{align*}
		$T(f), T(g)$ sono misurabili, allora dalla $(1)$ e $(3)$ e per
		le varie proprieta' della misura (vedi \see{isotonia}), si ha:
		\begin{align*}
		\mis T(f,g)&=\mis [T(g)\setminus T(f)]\cup G_f
		=\mis[T(g)\setminus T(f)] +\underbrace{\mis G_f}_{=0}=
		\mis T(g)-\mis T(f)\\
		&=
		\inte{a}{b}g(x)\;dx-\inte{a}{b}f(x)\;dx=
		\inte{a}{b}g(x)-f(x)\;dx
		\end{align*}
	\end{prova}
	\step{}{Dimostriamo il caso $f(x) <0 \;\T{ per qualche } x \in [a,b]$}
	\begin{prova}
		Trasliamo $f,g$ in modo da avere $G_f,G_g \ge 0$, per poi
		applicare il thm \see{thmtrap}:
		\begin{align*}
			&m=\min f([a,b])\;\textrm{ [che esiste perche' $f$ e'
			continua]}\\
			&\qq f(x) <0 \;\T{ per qualche } x \in [a,b]\;\Rightarrow \;m
			<0\\
			&f_1(x)=f(x)-m\\
			&g_1(x)=g(x)-m\\
			&m\le f(x)\;\forall x\in [a,b]\;\Rightarrow \;f(x)-m\ge 0\;\forall x \in [a,b]\\
			&\qq g(x) \ge  f(x)\;\forall x\in [a,b]\;\Rightarrow 
			\;g(x)-m\ge f(x)-m\ge 0\;\forall x \in [a,b]
		\end{align*}
		A questo punto possiamo applicare i risultati del passo
		\stepref{p1}: $T(f_1,g_1)$ e' misurabile, e inoltre
		\[
		\mis T(f_1,g_1)=\inte{a}{b}g_1(x)-f_1(x)\;dx=
		\inte{a}{b}g(x)-m-f(x)+m\;dx=\inte{a}{b}g(x)-f(x)\;dx
		\]
		Poiche' $T(f_1,g_1)$ e' una traslazione di $T(f,g)$, per la
		quinta proprieta' della misura (vedi \see{isotonia}), si ha:
		\[
		\mis T(f,g)=\mis T(f_1,g_1)
		\]
	\end{prova}
	\qed
\end{prova}

\section{Integrali impropri}
\ilabel{integrale!improprio}
\subsection{Integrali generalizzati}
\ilabel{integrale!generalizzato}
\begin{defn}\qq\\
	\label{gen1}
	\pflet{$f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ oppure $f:[a,b[\longrightarrow
	\mathbb{R}$\\
	$f$ non limitata in un intorno di $b$\\
	$f$ integrabile secondo Riemann in tutti gli intervalli del tipo
	$[a,c],\;\;c\in ]a,b[$}
	Diremo che $f$ e' integrabile in senso generalizzato in $[a,b]$ se
	$\exists \T{finito}\;\lim_{c\to b^-}\inte{a}{c}f(x)\;dx$ e con 
	\[
	\intd{a}{b}f(x)\;dx:=\inte{a}{b}f(x)\;dx:=\lim_{c\to
	b^-}\inte{a}{c}f(x)\;dx
	\]
	indicheremo l'integrale generalizzato (o improprio).
\end{defn}
\begin{defn}\qq\\
	\label{gen2}
	\pflet{$f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ oppure $f:]a,b]\longrightarrow
	\mathbb{R}$\\
	$f$ non limitata in un intorno di $a$\\
	$f$ integrabile secondo Riemann in tutti gli intervalli del tipo
	$[c,b],\;\;c\in ]a,b[$}
	Diremo che $f$ e' integrabile in senso generalizzato in $[a,b]$ se
	$\exists \T{finito}\;\lim_{c\to a^+}\inte{c}{b}f(x)\;dx$ e con 
	\[
	\intd{a}{b}f(x)\;dx:=\inte{a}{b}f(x)\;dx:=\lim_{c\to
	a^+}\inte{c}{b}f(x)\;dx
	\]
	indicheremo l'integrale generalizzato (o improprio).
\end{defn}
\begin{defn}\qq\\
	\label{gen3}
	\pflet{$c_1,c_2,\dots,c_r\in [a,b]:\;a\le c_1<c_2<\dots<c_r\le
	b$\\
	$f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ oppure\\\qq
	$f:[a,b]\setminus \pgra{c_1} \longrightarrow \mathbb{R}$ oppure\\\qq
	$f:[a,b]\setminus \pgra{c_1,c_2} \longrightarrow \mathbb{R}$ oppure\\\qq
	$f:[a,b]\setminus \pgra{c_1,c_2,\dots,c_r} \longrightarrow \mathbb{R}$ oppure\\
	$f$ non limitata in un intorno di $c_1$, di $c_2$,\dots, di $c_r$\\
	$\P=\pgra{x_0,\dots,x_n}$ una partizione di $[a,b]$, tale che
	$[x_{i-1}, x_i]$ contiene un solo $c_j$ in uno dei due
	estremi\footnote{$x_{i-1}=c_j\;\T{XOR}\;x_i=c_k$}
	}
	Diremo che $f$ e' integrabile in senso generalizzato, se e'
	integrabile, secondo le def \see{gen1},\see{gen2} o secondo Riemann,
	in ogni intervallino del tipo $[x_{i-1}, x_i]$, e porremo:
	\[
	\intd{a}{b}f(x)\;dx:=\inte{a}{b}f(x)\;dx:=\sum_{i=1}^{n}\inte{x_{i-1}}{x_i}f(x)\;dx
	\]
	Si puo' dimostrare che quest'ultimo integrale e' indipendente dalla
	scelta di $\P$
\end{defn}
\subsubsection{Condizioni per l'integrabilita'}
\begin{thm}
	\qq\\
	\label{cgen1}
	\pflet{$f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ oppure $f:[a,b[\longrightarrow
	\mathbb{R}$\\
	$f$ non limitata in un intorno di $b$\\
	$f$ integrabile secondo Riemann in tutti gli intervalli del tipo
	$[a,c],\;\;c\in ]a,b[$}
	\[
	\exists A,\alpha,\delta>0:\;\alpha< 1,\;\delta\le b-a:\;\;|f(x)|\le
	\frac{A}{(b-x)^\alpha}\;\forall x \in [b-\delta, b[\]\[\;\Rightarrow \;f
	\T{ e' integrabile in senso generalizzato in } [a,b]
	\]
\end{thm}
\begin{thm}
	\qq\\
	\label{cgen2}
	\pflet{$f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ oppure $f:]a,b]\longrightarrow
	\mathbb{R}$\\
	$f$ non limitata in un intorno di $a$\\
	$f$ integrabile secondo Riemann in tutti gli intervalli del tipo
	$[c,b],\;\;c\in ]a,b[$}
	\[
	\exists A,\alpha,\delta>0:\;\alpha< 1,\;\delta\le b-a:\;\;|f(x)|\le
	\frac{A}{(x-a)^\alpha}\;\forall x \in ]a,a+\delta]\]\[\;\Rightarrow \;f
	\T{ e' integrabile in senso generalizzato in }[a,b]
	\]
\end{thm}
\subsubsection{Condizioni per la non integrabilita'}
\begin{thm}
	\qq\\
	\label{cngen1}
	\pflet{$f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ oppure $f:[a,b[\longrightarrow
	\mathbb{R}$\\
	$f$ non limitata in un intorno di $b$\\
	$f$ integrabile secondo Riemann in tutti gli intervalli del tipo
	$[a,c],\;\;c\in ]a,b[$}
	\[
	\exists A,\alpha,\delta>0:\;\alpha \ge  1,\;\delta\le b-a:\;\;f(x) \ge 
	\frac{A}{(b-x)^\alpha}\;\forall x \in [b-\delta, b[\]\[\;\Rightarrow \;f
	\T{ \textbf{non} e' integrabile in senso generalizzato in }[a,b]
	\]
\end{thm}
\begin{thm}
	\qq\\
	\label{cngen2}
	\pflet{$f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ oppure $f:]a,b]\longrightarrow
	\mathbb{R}$\\
	$f$ non limitata in un intorno di $a$\\
	$f$ integrabile secondo Riemann in tutti gli intervalli del tipo
	$[c,b],\;\;c\in ]a,b[$}
	\[
	\exists A,\alpha,\delta>0:\;\alpha\ge  1,\;\delta\le b-a:\;\;f(x) \ge 
	\frac{A}{(x-a)^\alpha}\;\forall x \in ]a,a+\delta]\]\[\;\Rightarrow \;f
	\T{ \textbf{non} e' integrabile in senso generalizzato in }[a,b]
	\]
\end{thm}
\subsubsection{Proprieta'}
\begin{prop}
	Sia $f:[a,b[\longrightarrow \mathbb{R}$, non limitata in un intorno
	sinistro di  $b$, ed integrabile in ogni intervallo $[a,c]$ con $c\in
	]a,b[$
	\[
\exists 
\inte{a}{b} |f(x)|\;dx 
	\> \begin{cases}
	\exists 
\inte{a}{b} f(x)\;dx\\
	\Big|\inte{a}{b} f(x) \;dx\Big| \le \inte{a}{b} |f(x)|\;dx
\end{cases}
	\]
Nota\footnote{$ \inte{a}{b} f(x)\;dx$ e' l'integrale generalizzato di
$f(x)$.}
\end{prop}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
	Poniamo 
	\begin{align*}
		&F(c)=\inte{a}{c} f(x)\;dx\\
&H(c)=\inte{a}{c} |f(x)|\;dx
	\end{align*}
Per Hp
	\begin{align*}
		&\exists \inte{a}{b} |f(x)|\= \exists \T{ finito } \lim_{c\to b^-} \inte{a}{c} |f(x)|\;dx\\
		&\T{Per la cond. di Cauchy sulle funzioni: }\\
		&\;\;\forall \varepsilon > 0\;\exists \delta' > 0:\; |H(c')-H(c'')| <\varepsilon \;\;\forall c', c''\in ]b-\delta', b[\^[a,b[
	\end{align*}
se scegliamo $\delta'\in ]0,b-a[$, possiamo riscrivere l'ultima condizione
direttamente come: $\forall c',c''\in ]b-\delta',b[$\\
\step{}{Proviamo che vale la condizione di Cauchy per $f(x)$}
\begin{prova}
	La tesi e':
	\[
\forall \varepsilon > 0\;\exists \delta \in ]0,b-a[:\; |F(c')-F(c'')| <\varepsilon \;\;\forall c', c''\in ]b-\delta,b[
	\]
	Se supponiamo $c'=c''$, allora la tesi e' vera.\\
	Se, invece, $c'<c''$, per le prop. degli int. estesi abbiamo:
	\begin{align*}
	&|F(c')-F(c'')|=|F(c'')-F(c')|=
		\Big|\inte{a}{c''} f(x)\;dx\;-
		\inte{a}{c'} f(x)\;dx\Big|=
		\Big|\inte{c'}{c''}f(x)\;dx\Big|\\
		&\qq \ubrace{\le }{\T{per il cor \see{cor5riem}}}
		\inte{c'}{c''}|f(x)|\;dx = 
		\inte{a}{c''} |f(x)|\;dx\;-
		\inte{a}{c'} |f(x)|\;dx\\
		&\qq\qq=
		|H(c'')-H(c')|< \varepsilon \;\;\forall c',c''\in ]b-\delta',b[
	\end{align*}
	Quindi abbiamo dimostrato la tesi con $\delta=\delta'$.\\
	Analogamente si vede per $c''<c'$.
\end{prova}
\qedstep
\begin{prova}
Adesso sappiamo che entrambi i limiti esistono e sono finiti, quindi per def
di integrale generalizzato:
\begin{align*}
&\inte{a}{b} |f(x)|\;dx\= \lim_{c\to b^-} \inte{a}{c} |f(x)|\;dx\\
&\Big|\inte{a}{b} f(x)\;dx\Big|\= \lim_{c\to b^-}
\Big| \inte{a}{c} f(x)\;dx\Big|\\
\end{align*}
Per il cor \see{cor5riem}:
\begin{align*}
	&\Big|\inte{a}{c} f(x)\;dx\Big| \;\le \;\inte{a}{c} |f(x)|\;dx\;\;\forall c\in ]a,b[
\end{align*}
Allora prendendo i limiti di ambo i membri con $c\to b^-$, avremo la tesi.
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\end{prova}
\begin{prop}
	Siano $f,g:[a,b[\longrightarrow \mathbb{R}$, non limitate in un intorno
	sinistro di  $b$, ed integrabili in ogni intervallo $[a,c]$ con $c\in
	]a,b[$
	\[
\begin{cases}
|f(x)|\le g(x)\;\forall x\in [a,b[\\
\exists\;\inte{a}{b} g(x)\;dx
\end{cases}
\>
\begin{cases}
\exists \inte{a}{b} |f(x)|\;dx\\
\inte{a}{b} |f(x)|\;dx\;\le \;
\inte{a}{b} g(x)\;dx
\end{cases}
	\]
\end{prop}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
	Poniamo 
	\begin{align*}
		&F(c)=\inte{a}{c} |f(x)|\;dx\\
&G(c)=\inte{a}{c} g(x)\;dx
	\end{align*}
Per Hp:
	\begin{align*}
		&\exists \inte{a}{b} g(x)\= \exists \T{ finito } \lim_{c\to
		b^-} \inte{a}{c} g(x)\;dx\\
		&\T{Per la cond. di Cauchy sulle funzioni: }\\
		&\forall \varepsilon > 0\;\exists \delta' \in ]0,b-a[:\;
		|G(c')-G(c'')| <\varepsilon \;\;\forall c', c''\in
		]b-\delta',b[
	\end{align*}
\step{}{Proviamo che vale la condizione di Cauchy per $|f(x)|$}
\begin{prova}
	La tesi e':
	\[
\forall \varepsilon > 0\;\exists \delta \in ]0,b-a[:\;
		|F(c')-F(c'')| <\varepsilon \;\;\forall c', c''\in
		]b-\delta,b[
	\]
	Se supponiamo $c'=c''$, la tesi e' vera.\\
	Se, invece, $c'<c''$, per le prop. degli int. estesi abbiamo:
	\begin{align*}
	&|F(c')-F(c'')|=|F(c'')-F(c')|=
		\Big|\inte{a}{c''} |f(x)|\;dx\;-
		\inte{a}{c'} |f(x)|\;dx\Big|=\\
	&=
		\Big|\inte{c'}{c''} |f(x)|\;dx\Big|=
		\inte{c'}{c''} |f(x)|\;dx\;\\
		&\qq\ubrace{\le }{corollario \see{corminoreuguale}} 
		\inte{c'}{c''} g(x)\;dx=
		\inte{a}{c''} g(x)\;dx\;-
		\inte{a}{c'} g(x)\;dx=\\
		&\qq\qq	|H(c'')-H(c')|< \varepsilon \;\;\forall c',c''\in
		]b-\delta',b[\\
		&|F(c'')-F(c')| < \varepsilon \;\;\forall c',c''\in
		]b-\delta',b[
	\end{align*}
	Quindi abbiamo dimostrato la tesi con $\delta=\delta'$.\\
	Analogamente si vede per $c''<c'$.
\end{prova}
\qedstep
\begin{prova}
Adesso sappiamo che entrambi i limiti esistono e sono finiti, quindi per def
di integrale generalizzato:
\begin{align*}
&\inte{a}{b} g(x)\;dx= \lim_{c\to b^-} \inte{a}{c} g(x)\;dx\\
&\inte{a}{b} |f(x)|\;dx= \lim_{c\to b^-}
\inte{a}{c} |f(x)|\;dx\\
\end{align*}
Per il cor \see{corminoreuguale}:
\begin{align*}
	&\inte{a}{c} |f(x)|\;dx\;\le \;\inte{a}{c} g(x)\;dx\;\;\forall c\in ]a,b[
\end{align*}
Allora prendendo i limiti di ambo i membri con $c\to b^-$, avremo la tesi.
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\end{prova}

\subsection{Integrali illimitati}
\ilabel{integrale!illimitato}
\begin{defn}\qq\\
	\label{egen1}
	\pflet{$f:[a,+\infty [\longrightarrow \mathbb{R}$\\
	$f$ integrabile secondo Riemann in tutti gli intervalli del tipo
	$[a,b],\;\;b\in [a,+\infty [$}
	Diremo che $f$ e' integrabile in senso generalizzato in $[a,+\infty [$ se
	$\exists \T{finito}\;\lim_{b\to +\infty }\inte{a}{b}f(x)\;dx$ e con 
	\[
	\intd{a}{+\infty }f(x)\;dx:=\inte{a}{+\infty }f(x)\;dx:=\lim_{b\to
	+\infty}\inte{a}{b}f(x)\;dx
	\]
	indicheremo l'integrale generalizzato (o improprio).
\end{defn}
\begin{defn}\qq\\
	\label{egen2}
	\pflet{$f:]-\infty,b] \longrightarrow \mathbb{R}$\\
	$f$ integrabile secondo Riemann in tutti gli intervalli del tipo
	$[a,b],\;\;a\in ]-\infty,b]$}
	Diremo che $f$ e' integrabile in senso generalizzato in $]-\infty,b]$ se
	$\exists \T{finito}\;\lim_{a\to -\infty}\inte{a}{b}f(x)\;dx$ e con 
	\[
	\intd{-\infty }{b}f(x)\;dx:=\inte{-\infty }{b}f(x)\;dx:=\lim_{a\to
	-\infty}\inte{a}{b}f(x)\;dx
	\]
	indicheremo l'integrale generalizzato (o improprio).
\end{defn}
\begin{defn}\qq\\
	\label{egen3}
	\pflet{$f:]-\infty,+\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}$\\
	$f$ integrabile secondo Riemann in tutti gli intervalli del tipo
	$[a,b]:\; [a,b]\subseteq ]-\infty,+\infty[$}
	Diremo che $f$ e' integrabile in senso generalizzato in $]-\infty,+\infty[$ se
	fissato ad arbitrio $c\in \mathbb{R}$, si ha che $\exists \intd{-\infty
	}{c}f(x)\;dx,\;\exists \intd{c}{+\infty }f(x)\;dx$.\\
	Con
	\[
	\intd{-\infty }{+\infty}f(x)\;dx:=\inte{-\infty
	}{+\infty}f(x)\;dx:=\intd{-\infty }{c}f(x)\;dx+\intd{c}{+\infty }f(x)\;dx
	\]
	indicheremo l'integrale generalizzato (o improprio).\\
	Si puo' dimostrare che quest'ultimo integrale e' indipendente dalla
	scelta di $c$.
\end{defn}
\subsubsection{Condizioni per l'integrabilita'}
\begin{thm}\qq\\
\pflet{$f:[a,+\infty [\longrightarrow \mathbb{R}$\\
	$f$ integrabile secondo Riemann in tutti gli intervalli del tipo
	$[a,b],\;\;b\in [a,+\infty [$}
	\[\exists A,\alpha,x^* > 0,\;\alpha > 1,\;x^*\ge a:\;|f(x)|\le
	\frac{A}{{|x|}^\alpha}\;\forall x > x^{*}\]\[\qq\Rightarrow \;f \T{ e' int. in
	senso generalizzato in } [a,+\infty [\]
\end{thm}
\begin{thm}\qq\\
\pflet{$f:]-\infty ,b]\longrightarrow \mathbb{R}$\\
	$f$ integrabile secondo Riemann in tutti gli intervalli del tipo
	$[a,b],\;\;a\in ]-\infty , b]$}
	\[\exists A,\alpha,x^* > 0,\;\alpha > 1,\;x^*\le b:\;|f(x)|\le
	\frac{A}{{|x|}^\alpha}\;\forall x \le  x^{*}\]\[\qq\Rightarrow \;f \T{ e' int. in
	senso generalizzato in } [a,+\infty [\]
\end{thm}

\subsubsection{Condizioni per la non integrabilita'}
\begin{thm}\qq\\
\pflet{$f:[a,+\infty [\longrightarrow \mathbb{R}$\\
	$f$ integrabile secondo Riemann in tutti gli intervalli del tipo
	$[a,b],\;\;b\in [a,+\infty [$}
	\[\exists A,\alpha,x^* > 0,\;\alpha \le  1,\;x^*\ge a:\;f(x) \ge 
	\frac{A}{{|x|}^\alpha}\;\forall x > x^{*}\]\[\qq\Rightarrow \;f \T{
	\textbf{non} e' int. in
	senso generalizzato in } [a,+\infty [\]
\end{thm}
\begin{thm}\qq\\
\pflet{$f:]-\infty ,b]\longrightarrow \mathbb{R}$\\
	$f$ integrabile secondo Riemann in tutti gli intervalli del tipo
	$[a,b],\;\;a\in ]-\infty , b]$}
	\[\exists A,\alpha,x^* > 0,\;\alpha \le  1,\;x^*\le b:\;f(x) \ge 
	\frac{A}{{|x|}^\alpha}\;\forall x \le  x^{*}\]\[\qq\Rightarrow \;f \T{
	\textbf{non} e' int. in
	senso generalizzato in } [a,+\infty [\]
\end{thm}
\subsubsection{Proprieta'}
\begin{thm}\qq\\
	\pflet{
\begin{enumerate}
	\item $f:[a,+\8[\longrightarrow \mathbb{R}$
	\item $f$ integrabile in ogni intervallo $[a,b]$ con $b>a$
\end{enumerate}
\item $a'\in \mathbb{R},\;a<a'$
	}
\[
\exists \inte{a}{+\infty } f(x)\;dx\>
\begin{cases}
	\exists \inte{a'}{+\8} f(x)\;dx\\
\inte{a'}{+\8} f(x)\;dx= \inte{a}{+\infty } f(x)\;dx\;-\; \inte{a}{a'} f(x)\;dx
\end{cases}
\]
\[
\exists \inte{a'}{+\infty } f(x)\;dx\>
\begin{cases}
	\exists \inte{a}{+\8} f(x)\;dx\\
\inte{a}{+\8} f(x)\;dx=
\inte{a'}{+\infty } f(x)\;dx\;+\;
\inte{a}{a'} f(x)\;dx
\end{cases}
\]
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf\step{}{Dim. il primo caso}
\begin{prova}
	Per le prop degli integrali estesi
	\[
\inte{a'}{b} f(x)\;dx= \inte{a}{b} f(x)\;dx\;-\; \inte{a}{a'}
f(x)\;dx\;\;\forall b > a\;\;(1)
	\]
Per Hp:
\[
\exists \T{ finito } \lim_{b\to +\8} \inte{a}{b} f(x)\;dx=
\inte{a}{+\infty } f(x)\;dx
\]
Allora, passando al limite nella $(1)$, otteniamo 
	\[
	\lim_{b\to +\8}\inte{a'}{b} f(x)\;dx= \inte{a}{+\8} f(x)\;dx\;-\; \inte{a}{a'}
f(x)\;dx
	\]
che e' la tesi.
\end{prova}
Analogamente si vede per il secondo caso.
\qed
\end{prova}

\section{Successioni di funzioni}
\ilabel{successione!di funzioni}
\begin{defn}
	Una succesione di funzioni e' una applicazione
	$f:\mathbb{N}\longrightarrow
	\mathbb{R}^{(a,b)}$\footnote{$\mathbb{R}^{(a,b)}=\{f\;|\;f:(a,b)\longrightarrow
	\mathbb{R}\}$}, ovvero e' una legge che associa a ogni numero naturale
	$n$ una funzione, che indicheremo con $f_n$, definita da $(a,b)$ in
	$\mathbb{R}$.\\
	Per indicare una succesione di funzioni useremo le seguenti scritture
	equivalenti:
	\[
	\pgra{f_n},\;\;\pgra{f_1,\dots,f_n,\dots}
	\]
\end{defn}
\begin{defn}
	Sia $x\in (a,b)$. Se la successione numerica $\{f_1(x),
	f_2(x),\dots\}$ converge e ha come limite $f(x)\in \mathbb{R}$, diremo che la
	successione $\pgra{f_n}$ e' puntualmente convergente con limite $f(x)$.\\
	Formalmente:
	\[
	\pgra{f_n}\T{ e' p. conv. in } x\;\Leftrightarrow \;
	\forall \varepsilon > 0\;\exists \underbrace{v=v(\varepsilon)}_{v
	 \T{ dipende da $\varepsilon$}} \in \mathbb{N}:\;|f_n(x)-f(x)|
	<\varepsilon \;\forall n > v
	\]
	Se $\forall x \in (a,b)$, la successione $\pgra{f_n}$ e' puntualmente
	convergente con limite $f(x)$, diremo allora che $\pgra{f_n}$ e'
	puntualmente convergente in $(a,b)$ con limite $f$, 
	e scriveremo:
	\[
	\plim{f_n(x)}{f(x)}{(a,b)}
	\]
	oppure 
	\ilabel{convergenza!puntuale}
	\[
	\pconv{f_n}{f}{(a,b)}
	\]
	Formalmente:
	\[
	\plim{f_n(x)}{f(x)}{(a,b)}\;\Leftrightarrow \;
	\forall x \in (a,b)\;\forall \varepsilon > 0\;\exists
	\underbrace{v=v(\varepsilon,x)}_{v
	 \T{ dipende da $\varepsilon$ e da $x$}} \in \mathbb{N}:\;|f_n(x)-f(x)|
	<\varepsilon \;\forall n > v
	\]
\end{defn}
\begin{defn}\qq\\
	Data la successione di funzioni $\pgra{f_n}$, con
	$f_n:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}\;\forall n\in \mathbb{N}$, diremo che 
	$\pgra{f_n} \T{ e' uniformemente convergente}$ con limite
	$f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}\;\Leftrightarrow \;$ 
	\[
	\forall \varepsilon > 0\;\exists v=v(\varepsilon) \in \mathbb{N}:\;|f_n(x)-f(x)| <\varepsilon \;\forall n > v\;\forall x\in (a,b)
	\]
	e scriveremo
	\[
	\ulim{f_n(x)}{f(x)}{(a,b)}
	\]oppure
	\ilabel{convergenza!uniforme}
	\[
	\uconv{f_n}{f}{(a,b)}
	\]
	In sostanza, la differenza dalla convergenza puntuale in $(a,b)$ e'
	che l'indice $v$ non dipende piu' da $x$.
\end{defn}
\begin{prop}
	\label{proprestrizionesuccessione}
	Dalle stesse definizioni, segue immediatamente che se la successione e'
	uniformemente convergente a $f(x)$ in $(a,b)$, allora
	lo sara' in qualsiasi $(\alpha,\beta) \( (a,b)$, convergendo alla
	restrizione $f/_{(\alpha,\beta)}(x)$
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{ovviamenteuniformeconvergenza}
	Ovviamente la uniforme convergenza implica la puntuale convergenza.
	Non vale pero' il viceversa.
\end{prop}
\begin{prova}
	\label{exc1}
	\pf \step{}{Portiamo un controesempio}
	\begin{prova}
		\pflet{$\forall n\in \mathbb{N}\;\forall
		x\in[0,1]\;f_n(x)=x^n$}
		\case{$x=0$} $\pgra{f_n}=\pgra{0,0,\dots}\;\Rightarrow \; \pgra{f_n}$
		converge puntualmente a $0$ in $x=0$.
		\case{$x=1$} $\pgra{f_n}=\pgra{1,1,\dots}\;\Rightarrow \; \pgra{f_n}$
		converge puntualmente a $1$ in $x=1$.
		\case{$x\in ]0,1[$}
		$\pgra{f_n}=\pgra{x,x^1,\dots,x^n,\dots}\;\Rightarrow \;\pgra{f_n}$
		converge puntualmente a $0$ in $x\in ]0,1[$.
		In definitiva, posto \[f(x)=
		\begin{cases}
			0&x\in[0,1[\\
			1&x=1
		\end{cases}
		\]
		si ha $\plim{x^n}{f(x)}{[0,1]}$, cioe' $\pgra{f_n}$ e'
		puntualmente convergente in $[0,1]$ con limite $f(x)$. Questa
		successione non e' pero uniformemente convergente.\\Supponiamo
		per assurdo che lo sia, ovvero supponiamo che 
	\[
	\forall \varepsilon > 0\;\exists
	v=v(\varepsilon) \in \mathbb{N}:\;|x^n-f(x)|
	<\varepsilon \;\forall n > v\;\forall x\in [0,1]
	\]
	fissiamo $\varepsilon=\frac{1}{2}$ e consideriamo le $x\in [0,1[$,
	abbiamo percio' $f(x)=0\;\forall x\in [0,1[$ e quindi
	\[
	\varepsilon=\frac{1}{2}> 0\;\exists v=v(\varepsilon) \in
	\mathbb{N}:\;x^n<\frac{1}{2} \;\forall n > v\;\forall x\in
	[0,1[\'\'(1)
	\]
	considerando $n:=v+1$, 	prendendo i limiti per $x\to 1^-$ si ha \begin{align*}
		&x^{v+1}\longrightarrow 1,\;\;\frac{1}{2} \longrightarrow \frac{1}{2}
	\end{align*}
	per i teoremi sui limiti si ha \[
	f(x)<g(x)\;\forall x\;\Rightarrow\;
	\lim_{x\to c} f(x) \le \lim_{x\to c} g(x)\'\'(2)
	\]
	quindi 
	\eal{&
	(1)\>x^{v+1} < \frac{1}{2}\;\forall x\in [0,1[\ubrace{\>}{(2)}
	\lim_{x\to 1^{-}} x^{v+1} \le \lim_{x\to 1^{-}} \frac{1}{2} \= 1\le
	\frac{1}{2}
	}
	il che' e' assurdo.
	\end{prova}
	\qed
	\begin{exemp}
	\label{exc2}
	Un esempio di funzione uniformemente convergente e'
	$f_n(x)=\frac{x}{n}\;\forall n\in \mathbb{N} \forall x\in [0,1]$.\\
	Procedendo come prima si vede che \[\plim{\frac{x}{n}}{f(x)}{[0,1]}\]
	dove $f(x)=0\;\forall x \in [0,1]$. Dimostriamo che $\pgra{\frac{x}{n}}$
	e' uniformemente convergente. Considerando che $f(x)=0$, vogliamo dimostrare che:
	\[
	\forall \varepsilon > 0\;\exists v=v(\varepsilon) \in \mathbb{N}:\;|\frac{x}{n}| <\varepsilon \;\forall n > v\;\forall x\in [0,1]
	\]
	Sappiamo che $\lim_{n\to \infty } \frac{1}{n}=0$ ovvero
	\[
	\varepsilon >0 \exists v'\in
	<\mathbb{N}:|\frac{1}{n}|<\varepsilon\;\forall n>v'
	\]
	inoltre $x\in [0,1]\;\Rightarrow \;0\le x\le 1$. Mettendo insieme queste
	informazioni, ricaviamo che 
	\begin{align*}
		&|\frac{x}{n}|=\frac{x}{n}\le \frac{1}{n}
		=|\frac{1}{n}|<\varepsilon\;\Rightarrow \;\\&\qq |\frac{x}{n}|
		< \varepsilon\;\forall n > v'
	\end{align*}
	ed ecco la tesi.
	\end{exemp}
\end{prova}
\subsection{Criterio di convergenza uniforme di Cauchy}
\ilabel{criterio di Cauchy}
Data la successione $\pgra{f_n}$, con $f_n:(a,b)\longrightarrow
\mathbb{R}\;\forall n\in \mathbb{N}$, si ha
\[
\pgra{f_n} \T{ e' unif. conv.}\;\Leftrightarrow \;
	\forall \varepsilon > 0\;\exists v=v(\varepsilon) \in \mathbb{N}:\;|f_n(x)-f_m(x)| <\varepsilon \;\forall n,m > v\;\forall x\in (a,b)
\]
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{Dim $\Rightarrow $}
	\begin{prova}
		Fissiamo $\frac{\varepsilon}{2}> 0$, per l'Hp si ha:
\[
	\exists
	v=v(\varepsilon) \in \mathbb{N}:\;|f_n(x)-f(x)|
	<{\varepsilon \over 2} \;\forall n > v\;\forall x\in (a,b)\;(1)
	\]
	consideriamo $n,m>v$, e maggioriamo $|f_n(x)-f_m(x)|$:
	\begin{align*}
		&|f_n(x)-f_m(x)| = |f_n(x)-f(x)+f(x)-f_m(x)|\\&\;\;\le
		|f_n(x)-f(x)|+|f_m(x)-f(x)| \underbrace{<}_{\T{per la }(1)}
		\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
	\end{align*}
	\end{prova}
	\step{}{Dim $\Leftarrow $}
	\begin{prova}
		\prove{$\uconv{f_n}{f}{(a,b)}\;\;\Leftrightarrow \;\;\forall \varepsilon > 0\;\exists v'=v'(\varepsilon)\in
		\mathbb{N}:\;|f_n(x)-f(x)| < \varepsilon\;\forall n> v'\forall
		x\in (a,b)$}
		Fissiamo $\frac{\varepsilon}{2}>0$ e $x\in (a,b)$, allora per
		Hp \[
		\exists  v=v(\varepsilon) \in \mathbb{N}:\;|f_n(x)-f_m(x)| <
		\frac{\varepsilon}{2} \;\forall n,m > v \;\;(1)\]
		Avendo fissato $x$, $\pgra{f_n(x)}$ diventa una serie numerica,
		che soddisfa la $(1)$. La $(1)$ e' proprio la condizione di
		Cauchy per le successioni numeriche, quindi $\pgra{f_n(x)}$ converge
		a un certo limite $f(x)\in \mathbb{R}$. Poiche' la $x$ e'
		stata scelta
		arbitrariamente, possiamo dire che $\pconv{f_n}{f}{(a,b)}$.
		\step{}{Dim $\uconv{f_n}{f}{(a,b)}$}
		\begin{prova}
			Fissiamo $n\in \mathbb{N}:\;n>v$ e $x\in (a,b)$. Per
			la $(1)$:
			\[
			|f_n(x)-f_m(x)| < \frac{\varepsilon}{2}\;\forall m >
			v\;\;(2)
			\]
			facendo tendere $m\to \infty $ si ha che
			$\pconv{f_m}{f}{(a,b)}$ e che $\frac{\varepsilon}{2}
			\to \frac{\varepsilon}{2}$, allora, passando al limite in
			$(2)$, si avra'\footnote{Stiamo usando il teorema sui
			limiti che dice: $ f(x)<g(x)\;\forall x\;\Rightarrow\;\lim_{x\to c} f(x) \le \lim_{x\to c} g(x) $}:
			\[
			|f_n(x)-f(x)| \le  \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon
			\]
			per l'arbitrarieta' di $x$ si ha infine:
			\[
			|f_n(x)-f(x)| < \varepsilon\;\forall n > v\;\forall x\in (a,b)
			\]
			che e' quindi la tesi con $v'=v$
		\end{prova}
	\end{prova}
	\qed
\end{prova}
\subsection{Condizioni per le successioni di funzioni}
\begin{thm}
	\label{tccsfl}
	Condizione caratterizzante le successioni uniformemente convergenti di funzioni limitate:
	\pflet{
	$\pgra{f_n},\;f_n:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}\;\forall n \in \mathbb{N}$\\
	$f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$\\
	$\forall n\in \mathbb{N}\;\exists \T{ finito } \sup_{x\in (a,b)}|f_n(x)-f(x)|= L_n$ (cioe' tutte le $f_n$ sono limitate in
	$(a,b)$)}
	si ha:
	\[
	\uconv{f_n}{f}{(a,b)}\;\Leftrightarrow  \;\lim_{n\to \infty}L_n=0
	\]
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{Dim $\Rightarrow $}
	\begin{prova}
		Notiamo innanzitutto che $L_n\ge 0$ poiche' e' il sup di un
		insieme i cui elem. sono tutti valori assoluti. Quello che
		dobbiamo provare e':
		\prove{$\lim_{n\to \infty}L_n=0\;\Leftrightarrow \;
		\forall \varepsilon  >0 \;\exists
		v=v(\varepsilon)\in\mathbb{N}:\;\underbrace{|L_n-0|}_{=L_n}<\varepsilon\;\forall n
		>v$
		}
		Per Hp, fissata $\frac{\varepsilon}{2} >0$:\[
	\exists v'=v'(\varepsilon) \in
	\mathbb{N}:\;|f_n(x)-f(x)| <\frac{\varepsilon}{2} \;\forall n > v'\;\forall x\in
	(a,b)\]
	questo vuol dire che, fissato $n > v'$,  $\frac{\varepsilon}{2}$ e' un maggiorante di
	$\pgra{|f_n(x)-f(x)|}_{x\in (a,b)}$, allora poiche' $L_n$ e' il minimo
	dei maggioranti si ha:
	\[
	L_n \le \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon
	\]
	ovvero
	\[
	L_n < \varepsilon\;\forall n > v'
	\]
	che e' la tesi con $v=v'$
	\end{prova}
	\step{}{Dim $\Leftarrow $}
	\begin{prova}
		Per Hp \[\lim_{n\to \infty}L_n=0\;\Leftrightarrow \;
		\forall \varepsilon  >0 \;\exists
		v=v(\varepsilon)\in\mathbb{N}:\;|L_n-0|=L_n=\sup_{x\in
		(a,b)}|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\;\forall n >v\]
		percio' per def. di $\sup$:
		\[
		\sup_{x\in (a,b)}|f_n(x)-f(x)| <\varepsilon\;\forall n
		>v\;\Rightarrow \;|f_n(x)-f(x)| < \varepsilon \;\forall x \in
		(a,b) \;\forall n > v
		\]
		e questa e' proprio la tesi.
	\end{prova}
	\qed
\end{prova}
\begin{exemp}
	Riconducendoci all'esempio visto in \see{exc1}, applichiamo
	quest'ultimo teorema.
	\begin{align*}
		&|x^n-f(x)|=\begin{cases}
			x^n&x\in [0,1[\\
			0&x=1
		\end{cases}\\
		&\lim_{x\to 1^-}|x^n-f(x)|=1\;\Rightarrow \;
		&L_n=\sup \pgra{|x^n-f(x)|}_{x\in [0,1]} = 1\;\forall n\in
		\mathbb{N}\\
		&\lim_{n\to \infty }L_n=1\neq 0
	\end{align*}
	quindi per il thm \see{tccsfl}, $\pgra{x^n}$ non e' unif. convergente a
	$f(x)$
\end{exemp}
\begin{exemp}
	Riconducendoci all'esempio \see{exc2} dimostriamo che
	$\frac{x}{n}$ e' unif. conv.
	\begin{align*}
		&f(x)=0\\
		&L_n=\sup \pgra{|\frac{x}{n}-f(x)|}_{x\in [0,1]} = 
		\sup \pgra{\frac{x}{n}}_{x\in [0,1]} = \max \pgra{\frac{x}{n}}_{x\in
		[0,1]} = \frac{1}{n}\\
		&\lim_{n\to \infty } \frac{1}{n} = 0
	\end{align*}
	quindi per il thm \see{tccsfl}, $\pgra{\frac{x}{n}}$  e' unif. conv. a
	$f(x)$.
\end{exemp}
\begin{thm}
	\label{tcfls}
	Teorema di continuita' della funzione limite:
	\pflet{
	$\pgra{f_n},\;f_n:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}, \T{ continua in $x_0$}\;\forall n \in \mathbb{N}$\\
	$f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$\\
	$x_0\in (a,b)$
	}
	si ha
	\[
	\uconv{f_n}{f}{(a,b)}\;\Rightarrow \;f \T{ continua in $x_0$}
	\]
	\textbf{Osservazione: } con $\pconv{f_n}{f}{(a,b)}$ il teorema non
	funziona.
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
	\begin{prova}
		\prove{
		$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\;\Leftrightarrow \;
			\forall \varepsilon > 0 \exists \delta:\;|f(x)-f(x_0)| <
			\varepsilon\;\forall x \in (a,b)\cap
			]x_0-\delta,x_0+\delta[$
		}
		Per Hp, fissato $\frac{\varepsilon}{3} > 0$:
		\[
		\exists v=v(\varepsilon) \in \mathbb{N}:\;|f_n(x)-f(x)| <\frac{\varepsilon}{3}
		\;\forall n > v\;\forall x\in (a,b)
		\]
		Fissato $n=v+1\in \mathbb{N}$ abbiamo:
	\[
	|f_{v+1}(x)-f(x)| <\frac{\varepsilon}{3}\;\forall x\in (a,b)\;\;(1)
	\]
	fissando $x=x_0$:
	\[
	|f_{v+1}(x_0)-f(x_0)| <\frac{\varepsilon}{3}\;\;(2)
	\]
		Per Hp di continuita' di $f_n$
		in $x_0$ abbiamo che
		\[
		\exists \delta':\;|f_{v+1}(x)-f_{v+1}(x_0)| <
		                        \frac{\varepsilon}{3}\;\forall x \in (a,b)\cap
					                        ]x_0-\delta',x_0+\delta'[\;\;(3)
		\]
		Maggioriamo $|f(x)-f(x_0)|$:
		\begin{align*}
			&|f(x)-f(x_0)| =
			|(f(x)-f_{v+1}(x))+(f_{v+1}(x)-f_{v+1}(x_0))+(f_{v+1}(x_0)-f(x_0))|\\
			&\qq \le  |f(x)-f_{v+1}(x)| +
			|f_{v+1}(x)-f_{v+1}(x_0)| + |f_{v+1}(x_0)-f(x_0)| \\
			&\qq\qq  |f(x)-f_{v+1}(x)|= |f_{v+1}(x)-f(x)| < \frac{\varepsilon}{3} \;\T{per la (1)}\\
			&\qq\qq  |f_{v+1}(x)-f_{v+1}(x_0)|  < \frac{\varepsilon}{3} \;\T{per la (3)}\\
			&\qq\qq  |f_{v+1}(x_0)-f(x_0)|  < \frac{\varepsilon}{3} \;\T{per la (2)}\\
			&\qq < \frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon
		\end{align*}
		Quindi la tesi e' provata con $\delta=\delta'$
	\end{prova}
	\step{}{Dim. che usando l'Hp $\pconv{f_n}{f}{(a,b)}$ il teorema non
	funziona}
	\begin{prova}
		Consideriamo la successione dell'esempio \see{exc1}.\\
		$x^n$ e' continua in $1$ $\forall n\in \mathbb{N}$,
		$\pconv{x^n}{f}{(a,b)}$, dove \[f(x)=\begin{cases}
			0&x\in [0,1[\\
			1&x=1
		\end{cases}\]
		$f(x)$ non e' continua in $1$:
		\[
		\lim_{x\to 1} f(x) = \lim_{x\to 1^-} f(x)=0 \neq f(1)=1
		\]
	\end{prova}
	\qed
\end{prova}
\begin{thm}
	\label{derivfunzlimite}
	Teorema di derivazione della funzione limite:
	\pflet{
	$(a,b)$ limitato\\
	$\pgra{f_n},\;f_n:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}, \T{ deriv. in $(a,b)$}\;\forall n \in \mathbb{N}$\\
	$\pgra{f_n}$ e' conv. punt. in almeno un punto $c$, ovvero $\exists c\in
	(a,b):\;\pgra{f_n(c)}$ converge\\
	$\pgra{f_n'}=\pgra{f_1', \dots, f_n',\dots}$\\
	$\uconv{f_n'}{g}{(a,b)}$\\
	$f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$\\
	}
	allora
	\begin{enumerate}
		\item $\uconv{f_n}{f}{(a,b)}$, dove
			$f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$
		\item $\exists f'(x)=g(x)\;\forall x \in (a,b)$
	\end{enumerate}
	ovvero,
	\[
	D\pqua{\limn f_n(x)}=\limn f_n'(x)\;\;\forall x\in (a,b)
	\]
\end{thm}
\subsection{Limite sotto integrale}
\[\pgra{\intd{a}{b} f_n(x)\;dx},\;\;n\in \mathbb{N}\]
e' una successione numerica, dove\\
$\qq f_n:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}\;\T{continua in $[a,b]$}\forall n\in \mathbb{N}$\\
$\qq\pconv{f_n}{f}{[a,b]}$
il problema che ci poniamo e':
\[
\lim_{n\to \infty }\intd{a}{b}f_n(x)\;dx\stackrel{?}{=}\intd{a}{b}f(x)\;dx
\]
che equivale a scrivere:
\[
\lim_{n\to \infty }\intd{a}{b}f_n(x)\;dx=\intd{a}{b}\lim_{n\to \infty }f_n(x)\;dx
\]
\begin{exemp} 
	\label{ex821124}
	Esempio di successione per cui vale il passaggio al limite sotto il segno d'integrale.\\
	Usiamo la successione di funzioni dell'esempio \see{exc1}:
	\begin{align*}
		&f_n(x)=x^n:[0,1]\longrightarrow \mathbb{R}\;\forall n \in
		\mathbb{N}\\
		&f(x)=\begin{cases}
			0&x\in [0,1[\\
			1&x=1
		\end{cases}\\
		&\\
		&\lim_{n\to \infty }\intd{0}{1}f_n\;dx=
		\lim_{n\to \infty }\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]^1_0=
		\lim_{n\to \infty } \frac{1}{n+1}=0
	\end{align*}
	Calcoliamo, usando la definizione, $\inte{0}{1} f(x)\;dx$:
	\begin{align*}
		&\inte{0}{1} f(x)\;dx=\sup \pgra{s(f,\P)}_\P\\
		&s(f,\P)=\sum_{i=1}^{n} m_i(x_i-x_{i-1})\\
		&m_i=\inf_{x\in [x_{i-1},x_i]} f(x)=0\;\forall i \le n\;\T{
		proprio per costruz. di $f(x)$}\\
		&s(f,\P)=0\;\forall \P\;\Rightarrow \;\sup \pgra{s(f,\P)}_\P=0\\
		&\;\Rightarrow \; \inte{0}{1} f(x)\;dx=0
	\end{align*}
	In definitiva
	\[
	\lim_{n\to \infty }\intd{0}{1}f_n(x)\;dx=0=\inte{0}{1} f(x)\;dx=0
	\]
\end{exemp}
\begin{exemp}
	\label{ex821123}
	Esempio di successione per cui\textbf{ non} vale il passaggio al limite sotto il segno d'integrale.\\
Consideriamo
\[
f_n(x)=\begin{cases}
	4n^2x&x\in\left[0,\frac{1}{2n}\right]\\
	4n-4n^2x&x\in\left[\frac{1}{2n},\frac{1}{n}\right]\\
	0&x\in\left[\frac{1}{n},1\right]\\
\end{cases}
\]
definita in $[0,1]$. Il suo grafico come quello di fig \see{fig:fng}.
\begin{figure}[h]
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.6]{fig/fn}
	\end{center}
	\caption{Grafico di $f_n$, per una particolare $n \in \mathbb{N}$}
	\label{fig:fng}
\end{figure}
\end{exemp}
Calcoliamo i vari limiti.
\begin{align*}
	&\intd{0}{1}f_n(x)\;dx=
	\intd{0}{\frac{1}{2n}}4n^2x\;dx\;+\;
	\intd{\frac{1}{2n}}{\frac{1}{n}}4n-4n^2x\;dx\;+\;
	\intd{\frac{1}{n}}{1}0\;dx=\\
	&=
	4n^2 \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{\frac{1}{2n}} +
	4n\left(\left[x\right]_{\frac{1}{2n}}^{\frac{1}{n}} -
		n\left[\frac{x^2}{2}\right]_{\frac{1}{2n}}^{\frac{1}{n}}\right)
		+0=\\
		&=\frac{1}{2}+4n\left(\frac{1}{2n}-\frac{3}{8n}\right)=
		\frac{1}{2}+2-\frac{3}{2}=1\\
	&\lim_{n\to \infty }\intd{0}{1}f_n(x)\;dx=1
\end{align*}
Si ha:
\begin{align*}
	&\lim_{n\to\infty }f_n(0)=0\\
	&\lim_{n\to\infty }f_n(1)=0\\
	&\T{sia } x\in ]0,1[\\
	&\qq\lim_{n\to\infty } \frac{1}{n} =0 <x \;\Rightarrow 
	\;\exists v\in \mathbb{N}:\;\forall n>v\;\frac{1}{n} < x\;\;\;(1)\\
	&\qq \;\Rightarrow \;\forall n>v\;x\in
	\left[\frac{1}{n},1\right]\;\Rightarrow \;\forall n>v\;f_n(x)=0\\
	&\qq \;\Rightarrow \;\lim_{n\to\infty }f_n(x)=0\\
	&\\
	&\pconv{f_n}{f}{[0,1]},\;\;f(x)=0\;\forall x \in [0,1]\\
	&\\
	&\inte{0}{1} f(x)\;dx=0
\end{align*}
La $(1)$, intuitivamente, deriva dal fatto che man mano che $n$ cresce, il
punto $(\frac{1}{n},0)$ si sposta sulla sinistra, fino a che $x$ viene
``inglobato'' nel terzo segmento (vedi la fig. del grafico).\\
Riassumendo:
\[
\lim_{n\to \infty }\intd{0}{1}f_n(x)\;dx=1\;\neq \;0=\inte{0}{1} f(x)\;dx
\]
Nota: usando il thm \see{tccsfl}, si vede che $f_n$ non e' unif. conv. a $f(x)$
\begin{thm}
	\label{delpassaggioallimite}
	del passaggio al limite.\\
	\pflet{$f_n:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}, \;$ continua in $[a,b]$,$\;\forall
	n\in \mathbb{N}$}
	\[
	\uconv{f_n}{f}{[a,b]}\;\Rightarrow \;
	\lim_{n\to \infty }\intd{a}{b}f_n(x)\;dx{=}\intd{a}{b}f(x)\;dx
	\]
	Nota \footnote{se abbiamo solo l'Hp $\pconv{f_n}{f}{[a,b]}$, non possiamo
	affermare nulla sul passaggio al limite, come dimostrano gli esempi
	\see{ex821123}, \see{ex821124}.}
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
	\begin{prova}
	Prima di tutto osserviamo che $f$ e' continua per il thm \see{tcfls}.\\
	La tesi che dimostriamo e':
	\[
	\forall \varepsilon >0:\;\exists
	v=v(\varepsilon):\;\Big|\intd{a}{b}f_n(x)\;dx-\intd{a}{b}f(x)\;dx\Big|<\varepsilon\;\forall 
	n>v
	\]
	Per Hp, e fissato $\frac{\varepsilon}{b-a}>0$
	\[
	\uconv{f_n}{f}{[a,b]}\;\Rightarrow \;\exists v'=v'(\varepsilon) \in \mathbb{N}:\;
	|f_n-f(x)| < \frac{\varepsilon}{b-a} \;\forall n > v'\;\forall x\in
	[a,b]\;\;(1)
	\]
	Proviamo la tesi con $v=v'$:
	\begin{align*}
&\Big|\intd{a}{b}f_n(x)\;dx-\intd{a}{b}f(x)\;dx\Big|=
\Big|\intd{a}{b}f_n(x)-f(x)\;dx\Big|=\\
&=\Big|f_n(\xi)-f(\xi)\Big|(b-a)\;\T{ thm della media}\\
&\underbrace{<}_{\T{per la (1), con $n>v'$}} (b-a) \frac{\varepsilon}{b-a}
=\varepsilon
	\end{align*}
\end{prova}
\qed
\end{prova}

\section{Serie di funzioni}
\ilabel{serie di funzioni}
Data la successione di funzioni $\pgra{f_n}$ con $f_n:(a,b)\longrightarrow
\mathbb{R}\;\forall n\in \mathbb{N}$
definiamo la \emph{serie di funzioni}:
\[
\serie{i=1}f_i(x)=f_1(x)+\dots + f_n(x)+\dots,\;\;(1)
\]
con $x$ variabile in $(a,b)$.\\
\ilabel{somma parziale}
La somma parziale di posto $n$ della serie $(1)$ e':
\[
s_n(x)=\sum_{i=1}^{n}f_i(x),\;\;x\in (a,b)
\]
nasce cosi' $\pgra{s_n}$, ovvero la successione delle somme parziali della serie
di funzioni $(1)$.
\begin{defn}
	\ilabel{convergenza!puntuale (serie)}
	Fissato $x\in (a,b)$, la serie $(1)$ converge puntualmente in $x$, con
	somma $f(x)\in \mathbb{R}\;\Leftrightarrow \;$ la serie numerica 
	$\serie{i=1}f_i(x)$ ha per somma $f(x)$, ovvero se la successione
	numerica $\pgra{s_n(x)}$
	converge con limite $f(x)$
	Scriveremo:
	\[
	\pserie{i=1}{f_i(x)}{f(x)}{x}
	\]
	che equivale a dire:
\[\plim{s_n(x)}{f(x)}{x}\]
\end{defn}
\begin{defn}
	La serie $(1)$ converge puntualmente in $(a,b)$, con funzione somma
	$f(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, se
	$\forall x\in (a,b)$ converge puntualmente in $x$, ovvero
	\[
	\pserie{i=1}{f_i(x)}{f(x)}{(a,b)}\;\Leftrightarrow \;
	\forall x \in (a,b)\; \pserie{i=1}{f_i(x)}{f(x)}{x}
	\]
	che equivale a dire 
	\[
	\pconv{s_n}{f}{(a,b)}
	\]
\end{defn}
\begin{defn}
	\ilabel{convergenza!uniforme (serie)}
	La serie $(1)$ converge uniformemente in $(a,b)$, con funzione somma
	$f(x):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, se $\uconv{s_n}{f}{(a,b)}$:
	\[
	\userie{i=1}{f_i(x)}{f(x)}{(a,b)}\;\Leftrightarrow \;
	\uconv{s_n}{f}{(a,b)}
	\]
\end{defn}
\begin{defn}
	\ilabel{convergenza!assoluta (serie)}
	Convergenza assoluta:
	\[
	\aserie{i=1}{f_i(x)}{f(x)}{(a,b)}\;\Leftrightarrow \;
	\pserie{i=1}{|f_i(x)|}{f(x)}{(a,b)}
	\]
\end{defn}
\begin{defn}
	\ilabel{convergenza!totale (serie)}
	Convergenza totale:
	\[
	\tserie{i=1}{f_i(x)}{f(x)}{(a,b)}\;\Leftrightarrow \;
\exists \underbrace{\serien L_n}_{\T{serie num.}},\;
	\T{ convergente e }\;
	\forall n\in \mathbb{N}\;L_n\ge 0\;
	:\;|f_n(x)|\le L_n\;\forall n\in \mathbb{N}\;\forall x\in
	(a,b)
	\]
\end{defn}
\begin{prop}
	\label{proprestrizioneserie}
	Dalle stesse definizioni, segue immediatamente che se la serie e'
	uniformemente (o totalemente) convergente a $f(x)$ in $(a,b)$, allora
	lo sara' in qualsiasi $(\alpha,\beta) \( (a,b)$, convergendo alla
	restrizione $f/_{(\alpha,\beta)}(x)$
\end{prop}

\begin{thm} Criterio di Cauchy di convergenza uniforme di serie di funzioni.\\
\index{criterio di Cauchy}
\begin{align*}
&\userie{n=1}{f_n(x)}{f(x)}{(a,b)}\;\Leftrightarrow \;\\
&\qq \;\Leftrightarrow \;
\forall \varepsilon >0 \;\exists
v=v(\varepsilon):\;|f_{n+1}(x)+f_{n+2}(x)+\dots+f_{n+p}(x)|<\varepsilon\;\forall
n > v\;\forall p\in \mathbb{N}\;\forall x\in (a,b)	
\end{align*}
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
	Prima di tutto notiamo che \[
	f_{n+1}(x)+f_{n+2}(x)+\dots+f_{n+p}(x)=s_{n+p}(x)-s_{n}(x)
	\] dove $s_n(x)$ e' la somma parziale di posto $n$.
	\step{}{Dim $\Rightarrow $}
\begin{prova}
\begin{align*}
	&\userie{n=1}{f_n(x)}{f(x)}{(a,b)}\;\Leftrightarrow \;
	\uconv{s_n}{f}{(a,b)}\\
	&\;\Leftrightarrow \;
	\forall \varepsilon > 0\;\exists v'=v'(\varepsilon) \in
	\mathbb{N}:\;|s_{n'}(x)-s_m(x)| <\varepsilon \;\forall n',m > v'\;\forall
	x\in (a,b)
	\T{ [Cauchy per succ. di funz]} \;
	\\
	&\T{Fissato $n>v', p\in \mathbb{N}$, poniamo } v=v',\;n'=n+p,\;m=n,\;\T{ottenendo cosi' la tesi: }\\
	&|s_{n'}(x)-s_m(x)| = |s_{n+p}(x)-s_n(x)| =
	|f_{n+1}(x)+f_{n+2}(x)+\dots+f_{n+p}(x)| <\varepsilon\;\forall n >
	v'\;\forall p\in \mathbb{N}\;\forall x\in (a,b)
\end{align*}
\end{prova}
\step{}{Dim $\Leftarrow $}
\begin{prova}
	Dobbiamo dimostrare che vale la condizione di Cauchy per la
	successione di funzioni $s_n(x)$, ovvero che
	\[
	\forall \varepsilon > 0\;\exists v=v(\varepsilon) \in
	\mathbb{N}:\;|s_{n}(x)-s_m(x)| <\varepsilon \;\forall n,m > v\;\forall
	x\in (a,b)
	\]
	Per Hp abbiamo:
	\[
\forall \varepsilon >0 \;\exists
v'=v'(\varepsilon):\;|s_{n'+p}(x)-s_{n'}(x)|<\varepsilon\;\forall
n' > v'\;\forall p\in \mathbb{N}\;\forall x\in (a,b)\;\;(1)
	\]
	Allora, ponendo $v=v'$ e prendendo $n,m>v'$, abbiamo:
	\case{$n=m$}
	\begin{prova}
		\begin{align*}
			&|s_n(x)-s_m(x)|=0<\varepsilon
		\end{align*}
	\end{prova}
	\case{$n>m$}
	\begin{prova}
		\begin{align*}
			&|s_n(x)-s_m(x)|< \varepsilon\;\T{per la
			(1), dove $n'=m,\;p=n-m$}
		\end{align*}
	\end{prova}
	\case{$n<m$}
	\begin{prova}
	\begin{align*}
		&|s_n(x)-s_m(x)|=|s_m(x)-s_n(x)| < \varepsilon\;\T{per la
		(1), dove $n'=n,\;p=m-n$}
	\end{align*}
	\end{prova}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{cor} Data la serie di funzioni $\pgra{f_n(x)}$, con
	$f_n:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R},\;\forall n\in \mathbb{N}$, la seguente e' una condizione equivalente a quella di Cauchy:
	\[
\forall \varepsilon > 0\;\; \exists \ubrace{v=v(\varepsilon)}{\T{indip. da
$x$}}:\;
|s_n(x)-s_m(x)|<\varepsilon\;\;\forall n,m > v\;\;\forall x\in (a,b)\;\;(i)
	\]
	Ovvero, se con $(j)$ indichiamo la condizione di cauchy, allora
	\[
	(i)\=(j)
	\]
\end{cor}
\begin{prova}
\pf
\step{}{Dim $\>$}
\begin{prova}
	Fissiamo $\varepsilon >0$, $n>v$, $p\in \mathbb{N}^*$ e $m=n+p$, allora
	\[
	|s_n(x)-s_{n+p}(x)|<\varepsilon\;\;\forall x\in (a,b)
	\]
	che equivalente a
	\[
|f_{n+1}(x)+f_{n+2}(x)+\dots+f_{n+p}(x)|<\varepsilon\;\forall x\in (a,b)
	\]
	per l'arbitrarieta' di $p,n$, la tesi e' acquisita.
\end{prova}
\step{}{Dim $\<$}
\begin{prova}
Per Hp:
\[
\forall \varepsilon >0\;\;\exists v\in \mathbb{N}:\;
|f_{n+1}(x)+f_{n+2}(x)+\dots+f_{n+p}(x)|<\varepsilon\;\forall n>v\;\;\forall
p\in \mathbb{N}\;\;\forall x\in (a,b)
\]
Prendiamo un $m>v$ e fissiamo $\varepsilon>0$.
\case{$n=m$}
\begin{prova}
	\[
	|s_n(x)-s_m(x)|=
	|s_m(x)-s_m(x)|=0<\varepsilon
	\]
	\qed
\end{prova}
\case{$n<m$}
\begin{prova}
	Poniamo $p=m-n$, e avremo:
	\[
	|f_{n+1}(x)+f_{n+2}(x)+\dots+f_{m}(x)|<\varepsilon\;\forall
	n>v\;\forall x\in (a,b)
	\]
	che equivale a 
	\[
|s_m(x)-s_n(x)|<\varepsilon\;\forall
	n>v\;\forall x\in (a,b)
	\]
	\qed
\end{prova}
\case{$m<n$}
\begin{prova}
	Poniamo $p=n-m$, e avremo:
	\[
	|f_{m+1}(x)+f_{m+2}(x)+\dots+f_{n}(x)|<\varepsilon\;\forall
	m>v\;\forall x\in (a,b)
	\]
	che equivale a 
	\[
|s_n(x)-s_m(x)|<\varepsilon\;\forall
	m>v\;\forall x\in (a,b)
	\]\qed
\end{prova}
\end{prova}
\qed
\end{prova}


\begin{cor}
	\label{corassconv}
	\[
	\userieconv{n=1}{|f_n(x)|}{}{(a,b)}\;\Rightarrow \;
	\begin{cases}
		1)\;\;\aserieconv{n=1}{f_n(x)}{}{(a,b)}\\
		2)\;\;\userieconv{n=1}{f_n(x)}{}{(a,b)}
	\end{cases}\]
\end{cor}
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{Dim $\Rightarrow 1)$}
\begin{prova}
Per definizione.
\end{prova}
\step{}{Dim $\Rightarrow 2)$}
\begin{prova}
\begin{align*}
	&\userieconv{n=1}{|f_n(x)|}{}{(a,b)}\;\Leftrightarrow \;\T{ [criterio di
Cauchy]}\\
&\;\Leftrightarrow \;
\forall \varepsilon >0 \;\exists
v'=v'(\varepsilon):\;| |f_{n+1}(x)|+|f_{n+2}(x)|+\dots+|f_{n+p}(x)| |<\varepsilon\;\forall
n > v'\;\forall p\in \mathbb{N}\;\forall x\in (a,b)
\end{align*}
Sempre per il criterio di convergenza uniforme di Cauchy, la tesi equivale a dire:
\[
\forall \varepsilon >0 \;\exists
v=v(\varepsilon):\;|f_{n+1}(x)+f_{n+2}(x)+\dots+f_{n+p}(x)|<\varepsilon\;\forall
n > v\;\forall p\in \mathbb{N}\;\forall x\in (a,b)
\]

Per la proprieta' del valore assoluto:
\begin{align*}
	&|f_{n+1}(x)+f_{n+2}(x)+\dots+f_{n+p}(x)|\le
	|f_{n+1}(x)|+|f_{n+2}(x)|+\dots+|f_{n+p}(x)| =<\varepsilon\;\forall
	\varepsilon > v'
\end{align*}
Quindi, in definitiva la tesi e' provata con $v=v'$.
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{thm}
	\label{thmtotass}
	\[
	\tserieconv{n=1}{f_n(x)}{}{(a,b)}\;\Rightarrow \;\userieconv{n=1}{|f_n(x)|}{}{(a,b)}
	\]
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
	\begin{prova}
\begin{align*}
	&\tserieconv{n=1}{f_n(x)}{}{(a,b)}\;\Leftrightarrow \;
	\exists \underbrace{\serien L_n}_{\T{serie num.}},\;
	\T{ convergente e }\;
	\forall n\in \mathbb{N}\;L_n\ge 0\;
	:\;|f_n(x)|\le L_n\;\forall n\in \mathbb{N}\;\forall x\in
	(a,b)
\end{align*}
	Per il criterio di convergenza delle serie numeriche di Cauchy, dire
	che $\serien{L_n}$ converge equivale a:
	\[
	\forall \varepsilon >0 \exists v'=v'(\varepsilon)\in \mathbb{N}:\;
	|L_{n+1}+L_{n+2}+\dots+L_{n+k}| <\varepsilon\;\forall n>v'\;\forall
	k\in \mathbb{N}
	\]
	Per il criterio di convergenza uniforme di Cauchy per serie, la tesi equivale a:
\[
\forall \varepsilon >0 \;\exists
v=v(\varepsilon):\;| |f_{n+1}(x)|+|f_{n+2}(x)|+\dots+|f_{n+p}(x)| |<\varepsilon\;\forall
n > v\;\forall p\in \mathbb{N}\;\forall x\in (a,b)
\]
Allora, ponendo $v=v'$:
\begin{align*}
	&|L_{n+1}+L_{n+2}+\dots+L_{n+k}|= L_{n+1}+L_{n+2}+\dots+L_{n+k}\;\T{
	per l'Hp $L_n\ge 0$}\\
	&|f_{n+1}(x)|+|f_{n+2}(x)|+\dots+|f_{n+p}(x)| \le
	L_{n+1}+L_{n+2}+\dots+L_{n+k}=
	\;\T{
	[per l'Hp $|f_n(x)|\le L_n$]}\\
	&\qq = |L_{n+1}+L_{n+2}+\dots+L_{n+k}|<\varepsilon
\end{align*}
\qed
	\end{prova}
\end{prova}
\begin{thm}
	\label{timplicserie}
	Data una serie di funzioni \[
	\serien f_n(x)\;\;\;\;(1)
	\]
	con $f_n:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R},\;\forall n\in \mathbb{N}$,
	valgono le seguenti implicazioni (relative all'intervallo $(a,b)$):
\[
\xymatrix{ &\T{totale conv.} \ar@{=>}[dl] \ar@{=>}[dr]\\
\T{unif. conv.} \ar@{=>}[dr] & & \T{ass. conv.} \ar@{=>}[dl]\\
&\T{puntuale conv.}&}
\]
	\begin{align*}
		&\T{totale conv.}\;\nLeftarrow \;\T{unif. conv.}\;\nLeftarrow \;\T{puntuale conv.}\\
		&\T{totale conv.}\;\nLeftarrow \;\T{ass. conv.}\;\nLeftarrow \;\T{puntuale conv.}\\
		&\T{ass. conv.}\;\nLeftarrow \;\T{uni.  conv.}\;\nLeftarrow\;\T{ass. conv.}
	\end{align*}
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{Unif. conv $\;\Rightarrow \;$ punt. conv}
	\begin{prova}
		Deriva immediatamente dalla proposizione
		\see{ovviamenteuniformeconvergenza}
	\end{prova}
	\step{}{Ass. conv $\;\Rightarrow \;$ punt. conv}
	\begin{prova}
		\begin{align*}
&s_n(x)=|f_1(x)|+|f_2(x)|+\dots+|f_n(x)|\\
&\pconv{s_n(x)}{f(x)}{(a,b)}\;\T{ per Hp}\\
&\T{fissato }x\in (a,b)\;\Rightarrow \;\pgra{t_n(x)=f_1(x)+f_2(x)+\dots+f_n(x)}\;\T{ e' una serie num. ass.
conv.}\\
&\;\Rightarrow \;\pgra{t_n(x)}\T{ e' una succ. conv.
(vedi il thm $ass. conv.\;\Rightarrow \;conv.$ negli appunti calcolo.pdf}\\
&\;\Rightarrow \;\T{la serie $(1)$ e' punt. conv in $x$}\\
&\T{$x$ e' arbitraria}\;\Rightarrow \;\T{la serie $(1)$ e' punt. conv in
$(a,b)$}
		\end{align*}
	\end{prova}
	\step{}{Totale conv $\;\Rightarrow \;$ unif. conv $\land $ ass. conv}
	\begin{prova}
		Per il thm \see{thmtotass} si ha:
\[
\tserieconv{n=1}{f_n(x)}{}{(a,b)}\;\Rightarrow \;\userieconv{n=1}{|f_n(x)|}{}{(a,b)}
\]
per il		corollario \see{corassconv} si ha:
\[
\userieconv{n=1}{|f_n(x)|}{}{(a,b)}\;\Rightarrow \;
	\begin{cases}
		1)\;\;\aserieconv{n=1}{f_n(x)}{}{(a,b)}\\
		2)\;\;\userieconv{n=1}{f_n(x)}{}{(a,b)}
	\end{cases}
\]
	\end{prova}
\qed
\end{prova}

\begin{thm}
	\[	
	\begin{cases}
	\userie{n=1}{f_n(x)}{f(x)}{(a,b)}\\
	\forall n\in \mathbb{N}\;f_n\;\T{ continua in } x_0\in (a,b)
\end{cases}\;\Rightarrow \;f(x)\;\T{ continua in } x_0\]
\end{thm}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
\begin{align*}
	&(1)\;\;\userie{n=1}{f_n(x)}{f(x)}{(a,b)}\;\Rightarrow \;
	\uconv{s_n}{f}{(a,b)}\\
	&(2)\;\;\forall n\in \mathbb{N}\;f_n\;\T{ continua in } x_0\;\Rightarrow \;
	s_{n}(x)\;\T{e' continua, in $x_0$, poiche'somma di funz. continue}\\
	&(1),(2)\;\Rightarrow \;f(x)\;\T{e' continua, in $x_0$, per il thm
	\see{tcfls}}
\end{align*}
\qed
\end{prova}
\end{prova}
\begin{thm}
	\label{derivflimserie}
	di derivazione della funzione limite della serie.\\
	\pflet{
	\begin{itemize}
		\item 
	$(a,b)$ limitato\\
\item	$\pgra{f_n},\;f_n:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}, \T{ deriv. in $(a,b)$}\;\forall n \in \mathbb{N}$\\
\item	$\exists c\in (a,b):\;\serien{f_n(x)}$ converge puntualmente in $c$,\\ovvero
	$\exists c\in (a,b):\;\serien f_n(c)$ converge\\
\item	$\userie{n=1}{f_n'(x)}{g(x)}{(a,b)}$
	\end{itemize}
	}
	allora
	\begin{enumerate}
		\item $\userie{n=1}{f_n(x)}{f(x)}{(a,b)}$, \\dove
			$f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$
		\item $\exists f'(x)\;\forall x \in (a,b)$,\\
			$f'(x)=g(x)\;\;\forall x \in (a,b)$, ovvero
			\[
			\exists f'(x)=\serien f_n'(x)
			\]
	\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
	\begin{prova}
$\serien f_n(c)$ converge $\;\Rightarrow \; \pgra{s_n(c)}$ converge
$\;\Rightarrow\;\pconv{s_n}{}{c}$\\
Ponendo $T_n=f_1'(x)+\dots+f_n'(x)$, abbiamo
\[\userie{n=1}{f_n'(x)}{g(x)}{(a,b)}\;\Rightarrow \;\uconv{T_n}{g}{(a,b)}\]
Da tutte queste ipotesi, per il thm \see{derivfunzlimite} segue che \\
$\uconv{s_n}{f}{(a,b)}\;\Rightarrow \;\userie{n=1}{f_n(x)}{f(x)}{(a,b)}$\\
$f'(x)=g(x)\;\;\forall x \in (a,b)$
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\subsection{Serie sotto integrale}
\begin{thm} dell'integrazione per serie.\\
	\pflet{$f_n:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}, \;$ continua in $[a,b]$, $\;\forall
	n\in \mathbb{N}$}
	\[
	\userie{n=1}{f_n(x)}{f(x)}{[a,b]}\;\Rightarrow \;
	\serien \inte{a}{b}f_n(x)\;dx{=}\inte{a}{b}f(x)\;dx
	\]
	Questo teorema ci permette di scrivere
	\footnote{nota che $\pgra{\serien \inte{a}{b}f_n(x)\;dx}$ e' una serie
	numerica}
	\[
	\userie{n=1}{f_n(x)}{f(x)}{[a,b]}\;\Rightarrow \;
	\serien \inte{a}{b}f_n(x)\;dx{=}\inte{a}{b}\serien{f_n(x)}\;dx
	\]
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
\begin{prova}
Poniamo 
\[
T_n=\inte{a}{b}f_1(x)\;dx+\dots+\inte{a}{b}f_n(x)\;dx=
\inte{a}{b} f_1(x)+\dots+f_n(x)\;dx=\inte{a}{b} s_n(x)\;dx
\]
la tesi che vogliamo dimostrare e':
\[
\serien \inte{a}{b}f_n(x)\;dx{=}\inte{a}{b}f(x)\;dx\;\Leftrightarrow \:\lim_{n\to +\infty } T_n = \inte{a}{b}f(x)\;dx
\]
Per Hp:
\begin{align*}
	&\userie{n=1}{f_n(x)}{f(x)}{[a,b]}\;\Rightarrow \;
	\uconv{s_n}{f}{[a,b]}
\end{align*}
Allora per il thm \see{delpassaggioallimite}, si ha
\[
\lim_{n\to +\infty }\inte{a}{b} s_n(x)\;dx=\inte{a}{b} f(x)\;dx
\]
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\section{Serie di potenze}
\ilabel{serie di potenze}
Sia $\pgra{a_n}$ una successione di numeri reali e $x_0\in \mathbb{R}$, 
\[
a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\dots+a_{n-1}(x-x_0)^{n-1}+\dots\;\;(1)
\]
viene chiamata \emph{serie di potenze} di centro $x_0$. Compattamente si
scrive come:
\[
\serien a_{n-1}(x-x_0)^{n-1}
\]
\ilabel{raggio di convergenza}
Definiamo il raggio di convergenza della serie $(1)$:
\[
r=\sup H
\]
dove
\[
H=\pgra{h\ge 0:\;\serien|a_{n-1}|h^{n-1}\;\T{ converge}}
\]
ovviamente $0\in H$.
\begin{prova}
\case{$0<r< +\infty $}
\begin{prova}
	L'intervallo 
	\[
	I=]x_0-r,x_0+r[
	\]
	\ilabel{intervallo di convergenza}
	viene chiamato intervallo di convergenza della serie $(1)$
\end{prova}
\case{$r=+\infty $}
\begin{prova}
	L'intervallo 
	\[
	I=]-\infty ,+\infty [
	\]
	viene chiamato intervallo di convergenza della serie $(1)$

\end{prova}
\case{$r=0$}
\begin{prova}
	Non viene definito alcun intervallo di convergenza.
\end{prova}
\end{prova}
\begin{exemp}
	\label{exrc2}
	Calcoliamo l'r di questa serie:
\[
\serien  \frac{1}{(n-1)!}x^{n-1}
\]
allora
\[
H=\pgra{h\ge 0:\;\serien\frac{1}{(n-1)!}h^{n-1}\;\T{ converge}}
\]
usiamo il criterio del rapporto fissando $h\ge 0$:
\begin{align*}
	&\lim_{n\to +\infty }
	\frac{\frac{1}{(n)!}h^{n}}{\frac{1}{(n-1)!}h^{n-1}}
	=\lim_{n\to +\infty }
	\frac{h}{n}=0 < 1\;\Rightarrow \;\T{converge}
\end{align*}
quindi $H=[0,+\infty [$ e in definitiva $r=+\infty $.
\end{exemp}
\begin{exemp}
	\label{exrc1}
	Consideriamo la serie geometrica:
\[
\serien x^{n-1}
\]
che e' una serie di potenze con $a_n=1\;\forall n\in \mathbb{N}$ e $x_0=0$.
\[
H=\pgra{h\ge 0:\;\serien h^{n-1}\;\T{ converge}}
\]
quest'ultima e' ancora una serie geometrica, e si ha 
$\serien h^{n-1}\;\T{ converge}\;\Leftrightarrow \;-1<h<1$, quindi
\[
H=[0,1[
\]
e in definitiva $r=1$.
\end{exemp}
\begin{thm}
	\label{tnotnotconv1}
	Consideriamo la serie di potenze
\[
\serien a_{n-1}(x-x_0)^{n-1}\;\;(1)
\]
allora
\[
0<r\le +\infty \;\Rightarrow \;\begin{cases}
	1.\;\;\T{La (1) e' tot. conv. in ogni interv. }
	[x_0-\delta,x_0+\delta] \subset \T{ nel interv. di convergenza}\\
	2.\;\;\T{La (1) e' ass. conv. nell'interv. di convergenza}
\end{cases}
\]
\end{thm}
\begin{prova}
\pf 
\step{}{Dim. per $0<r< +\infty $}
\begin{prova}
In questo caso, l'interv. di convergenza e' $]x_0-r,x_0+r[$.\\
Fissiamo $ [x_0-\delta,x_0+\delta] \subset ]x_0-r,x_0+r[$.\\
Dobbiamo provare che \[
\exists \serien{L_n},\T{ convergente, a termini non neg.}:\;|a_{n-1}(x-x_0)^{n-1}|
\le  L_n\;\;\forall n \in \mathbb{N}\;\forall x \in [x_0-\delta,x_0+\delta]\]
$r=\sup H$, per la sec. prop. del sup:
\[
\forall \varepsilon > 0\;\exists h\in H:\;h>r-\varepsilon
\]
notando che $[x_0-\delta,x_0+\delta] \subset ]x_0-r,x_0+r[\;\Rightarrow
\;x_0+\delta<x_0+r\;\Leftrightarrow \;\delta<r$, fissiamo
$\varepsilon=r-\delta>0$, ottenendo:
\[
\exists h\in H:\;h>\delta
\]
poiche' $h\in H$, si ha che la serie numerica (a termini non negativi)
$\serien |a_{n-1}|h^{n-1}$ converge. Proviamo la tesi con $L_n=|a_{n-1}|$ e per
$\forall x\in [x_0-\delta,x_0+\delta]$
\begin{align*}
	&|a_{n-1}(x-x_0)^{n-1}| \le  |a_{n-1}|h^{n-1}\;\Leftrightarrow \;
	|a_{n-1}| |(x-x_0)|^{n-1} \le  |a_{n-1}|h^{n-1}\;\Leftrightarrow \;\\
	&\;\Leftrightarrow \; |x-x_0|^{n-1} \le  h^{n-1}\\
	&\qq  x\in [x_0-\delta,x_0+\delta]\;\Rightarrow \; x_0-\delta<x<
	x_0+\delta\;\Leftrightarrow \;|x-x_0|<\delta\;\Leftrightarrow
	\;|x-x_0|^{n-1} <\delta^{n-1} \\
	&\qq h>\delta\;\Leftrightarrow \;h^{n-1} > \delta^{n-1}\\
	&\qq |x-x_0|^{n-1} <\delta^{n-1} < h^{n-1}\;\Rightarrow
	\;|x-x_0|^{n-1} \le  h^{n-1}
\end{align*}
\end{prova}
\step{}{Dim con $r=+\infty $}
\begin{prova}
In questo caso, l'intervallo di convergenza e' $]-\infty ,+\infty [$.\\
\[
r=\sup H=+\infty \;\Leftrightarrow \;
\forall k >0:\;\exists h\in H:\; h>k
\]
fissando $k=\delta$, abbiamo $h>\delta$. Allora procedendo esattamente come
nel precedente passo della dimostrazione, otteniamo la tesi.
\end{prova}
\step{}{Dimostriamo il punto 2}
\begin{prova}
Dimostriamo sia per il caso $0<r< +\infty$ che per $r=+\infty $.\
Fissato $x\in I$, dove $I$ e' l'intervallo di
convergenza.
\begin{prova}
	\case{$0<r< +\infty $}
	\begin{prova}
\begin{align*}
	&x\in I=]x_0-r,x_0+r[\;\Rightarrow \;|x-x_0| < r
\end{align*}
	\end{prova}
	\case{$r=+\infty $}
	\begin{prova}
		\[
		|x-x_0 | < r=+\infty 
		\]
	\end{prova}
\end{prova}
Scegliamo una $\delta > 0:\;|x-x_0| \le  \delta < r$.
\begin{align*}
&|x-x_0| \le  \delta \;\Leftrightarrow  \;x\in[x_0-\delta,x_0+\delta]\\
&\delta < r\;\Rightarrow \;[x_0-\delta,x_0+\delta] \subseteq I
\end{align*}
Per il passo precedente della dimostrazione, la $(1)$ e' totalmente
convergente in $[x_0-\delta,x_0+\delta]$. Per il thm \see{timplicserie},  e' anche assolutamente
convergente in $[x_0-\delta,x_0+\delta]$ e in particolar modo in $x$.
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{cor}\qq\\
	\label{totconvserie}
	\pflet{
$\serien a_{n-1}(x-x_0)^{n-1}\;\;(1)$\\
	$r$ raggio di convergenza di $(1)$\\
	$I$ intervallo di convergenza} si ha
	\[
	0<r\le +\infty \;\Rightarrow \;\tconv{\T{la serie }(1)}{\;}{\T{ogni
	interv. di tipo } [a,b] \subseteq I}
	\]
\end{cor}
\begin{prova}
	\pf
\begin{prova}
Sia $[a,b] \subseteq  I$.\\
Alcuni casi che si possono presentare:\\
\newline
\begin{verbatim}
-------|---------|--------|------------|------|------
      x_0-r      a       x_0           b     x_0+r

-------|-----------------|-----|------|------|------
      x_0-r             x_0    a      b     x_0+r

-------|---------|----|----|------------------|------
      x_0-r      a    b   x_0                x_0+r
\end{verbatim}
Poniamo $\delta=\max\pgra{x_0-a,b-x_0}$, che e' in sostanza la lunghezza del
segmento piu' lungo tra $x_0a$ e $x_0b$.\\
\step{}{$\delta>0$}
\begin{prova}
	\case{$x_0>a$}
	\begin{prova}
		\begin{align*}
			&x_0>a\=x_0-a>0\>\delta>0
		\end{align*}
	\end{prova}
	\case{$x_0>b$}
	\begin{prova}
		\begin{align*}
			&x_0>b>a\>x_0-a>0\>\delta>0
		\end{align*}
	\end{prova}
	\case{$x_0<a$}
	\begin{prova}
		\begin{align*}
			&x_0<a<b\>b-x_0>0\>\delta>0
		\end{align*}
	\end{prova}
	\case{$x_0<b$}
	\begin{prova}
		\begin{align*}
			&x_0<b\>b-x_0>0\>\delta>0
		\end{align*}
	\end{prova}
	\case{$x_0=a$}
	\begin{prova}
		\begin{align*}
			&x_0=a<b\>b-x_0>0\>\delta>0
		\end{align*}
	\end{prova}
	\case{$x_0=b$}
	\begin{prova}
		\begin{align*}
			&x_0=b>a\>x_0-a>0\>\delta>0
		\end{align*}
	\end{prova}
\end{prova}
\step{}{$[a,b]\( [x_0-\delta,x_0+\delta]$}
\begin{prova}
	\case{$\delta=x_0-a$}
	\begin{prova}
		\begin{align*}
			&\delta=x_0-a \= a=x_0-\delta\\
			&\delta > b-x_0\> b<\delta+x_0\\
			&a=x_0-\delta<b<\delta+x_0\>[a,b]\( [x_0-\delta,x_0+\delta]
		\end{align*}
	\end{prova}
	\case{$\delta=b-x_0$}
	\begin{prova}
		\begin{align*}
			&\delta=b-x_0 \= b=x_0+\delta\\
			&\delta > x_0-a\> a>x_0-\delta\\
			& x_0+\delta=b>a>x_0-\delta \>[a,b]\( [x_0-\delta,x_0+\delta]
		\end{align*}
	\end{prova}
\end{prova}
\step{}{$[x_0-\delta,x_0+\delta]\( I$}
\begin{prova}
	\case{$r=+\8$}
	\begin{prova}
		E' ovvio, perche' $I=]-\8,+\8[$
	\end{prova}
	\case{$r\in \mathbb{R}^+$}
	\begin{prova}
	\begin{align*}
		&[a,b]\subseteq I=[x_0-r,x_0+r]\> \begin{cases}
			a\ge x_0-r\\
			b\le x_0+r
		\end{cases}\=
		\begin{cases}
			x_0-a \le r\\
			b-x_0\le r
		\end{cases}\>\max\pgra{x_0-a,b-x_0}=\delta \le r\\
		&\qq\>\begin{cases}
			x_0+\delta\le x_0+r\\
			x_0-\delta\ge  x_0-r
		\end{cases} \> [x_0-\delta, x_0+\delta]\([x_0-r,x_0+r]
	\end{align*}
	\end{prova}
\end{prova}
\qedstep
\begin{prova}
	Allora, per il thm \see{tnotnotconv1}, la $(1)$ 
e' tot. conv
in $[x_0-\delta, x_0+\delta]$ e di conseguenza, per la prop
\see{proprestrizioneserie}, in $[a,b]$
\end{prova}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{thm}\qq\\
	\label{tnotconv}
	\pflet{
$\serien a_{n-1}(x-x_0)^{n-1}\;\;(1)$\\
$r$ raggio di convergenza di $(1)$, $0\le r< +\infty$ \\
fissato $x\in \mathbb{R}:\;|x-x_0| > r$
} 
\[
\;\Rightarrow \;\T{ la serie $(1)$ non converge in $x$}
\]
\end{thm}
\begin{prova}
\pf
\step{}{Dimostriamo per assurdo}
\begin{prova}
	Fissiamo $x'\in \mathbb{R}:\;|x'-x_0| > r$, e supponiamo che la serie
	numerica
	\[
	a_{n-1}(x'-x_0)^{n-1}
	\]
	converga.
Allora, per il thm sulle serie numeriche si ha
\[
\lim_{n\to +\infty } a_{n-1}(x'-x_0)^{n-1}=0
\]
Poiche' per le successioni numeriche la convergenza implica la limitatezza, la
successione \[
\pgra{ a_{n-1}(x'-x_0)^{n-1} }
\]
e' limitata, ovvero
\[
\exists M>0:\;|a_{n-1}(x'-x_0)^{n-1} | =|a_{n-1}| |x'-x_0|^{n-1}<M\;\forall n \in \mathbb{N}\;\;(2)
\]
Dalle Hp:
\begin{align*}
	&|x'-x_0| > r\;\Rightarrow \;\begin{cases}
		|x'-x_0| > 0\;\Leftrightarrow \;x'\neq x_0&r=0\\
		x'\in \mathbb{R}\setminus [x_0-r,x_0+r] &0< r < +\infty
	\end{cases}
\end{align*}
Scegliamo un $h\in \mathbb{R}:\;|x'-x_0| >  h > r$.
\step{}{Proviamo che $h\in H$}
\begin{prova}
Ovviamente $h\ge 0$ dato che $h>r\ge 0$. Proviamo allora che la serie
\[
\serien |a_{n-1}|h^{n-1}\;\;(3)
\]
converge. Maggioriamo:
\begin{align*}
	&|a_{n-1}|h^{n-1}=|a_{n-1}|
	|x'-x_0|^{n-1}\frac{h^{n-1}}{|x'-x_0|^{n-1}}=
	|a_{n-1}(x'-x_0)^{n-1} |\left(\frac{h}{|x'-x_0|}\right)^{n-1}\\
	&\;\;\;\; < M \left(\frac{h}{|x'-x_0|}\right)^{n-1}\;\forall n\in
	\mathbb{N}\;\;\T{ [per la (2)]}
\end{align*}
La serie 
\[
\serien M  \left(\frac{h}{|x'-x_0|}\right)^{n-1} = M \serien
\left(\frac{h}{|x'-x_0|}\right)^{n-1} 
\]
e' la serie geometrica di ragione $\frac{h}{|x'-x_0|}$. Poiche', 
\[|x'-x_0| >h>r>0\;\Rightarrow \;  -1<0<\frac{h}{|x'-x_0|} < 1\], essa
converge. Per il teorema del confronto sulle serie $(3),(4)$\footnote{che possiamo usare perche'
le serie sono a termini non negativi}, la serie $(3)$ converge.
In conclusione $h\in H$.
\end{prova}
\qedstep
\begin{prova}
	\begin{align*}
		&h\in H\;\Rightarrow \; h\le \sup H = r\\
		&h > r\;\;\T{per Hp}
	\end{align*}
	assurdo.
\end{prova}
\end{prova}\qed
\end{prova}
\begin{prop}
	Rissumiamo i risultati dei thm \see{tnotconv}, \see{tnotnotconv1}.
\begin{itemize}
	\item $r=0\;\Rightarrow \;$ la $(1)$ converge solo in $x_0$ (in altre
		$x\neq x_0$ non converge)
	\item $r=+\8\;\Rightarrow \;$ la $(1)$ converge assolutamente in
		$]-\infty ,+\infty $
	\item $0<r < +\infty \;\Rightarrow \;$
		la $(1)$ converge assolutamente in $]x_0-r,x_0+r[$,
		\textbf{non} converge in $\mathbb{R}\setminus [x_0-r,
		x_0+r]$.\\
		Negli estremi $x_0-r,x_0+r$, abbiamo un caso dubbio: potrebbe
		converge o non convergere.
\end{itemize}
\end{prop}



\begin{thm}
	di Abel\\
	\ilabel{teorema!di Abel}
	\pflet{
$\serien a_{n-1}(x-x_0)^{n-1}\;\;(1)$\\
$r$ raggio di convergenza di $(1)$, $0< r< +\infty$ }
\begin{align*}
	&\T{(1) converge in } x_0-r,x_0+r\;\Rightarrow \;\uconv{(1)}{}{[x_0-r,x_0+r]}\\
	&\T{(1) converge in } x_0-r \T{ ma non in }x_0+r\;\Rightarrow\\
	&\qq\qq
	\;\uconv{(1)}{}{\T{ ogni interv. del tipo }[x_0-r,b]\;\forall x_0-r< b
	<x_0+r}\\
	&\T{(1) converge in } x_0+r \T{ ma non in }x_0-r\;\Rightarrow\\
	&\qq\qq \;\uconv{(1)}{}{\T{ ogni interv. del tipo }[a,x_0+r]\;\forall x_0-r< a
	<x_0+r}
\end{align*}
\end{thm}
\begin{thm}
	di Cauchy-Hadamad.
	\ilabel{teorema!di Cauchy-Hadamad}
	\pflet{
$\serien a_{n-1}(x-x_0)^{n-1}\;\;(1)$\\
$r$ raggio di convergenza di $(1)$\\
$\exists \;\lim_{n \to \infty} |a_n|^{\frac{1}{n}}=l$
}
allora
\[
r=\begin{cases}
	\frac{1}{l}&0<l< +\infty\\
	+\infty & l=0\\
	0&l=+\infty
\end{cases}
\]
\textbf{Attenzione: } $a_n$ non e' il termine generale della serie, ma il
coefficiente del termine generale!
\end{thm}
\begin{prova}
\pf
\step{}{Dimostriamo solo il punto $1$}
\begin{prova}
	La tesi e' $\sup H = \frac{1}{l}$, che equivale a provare
	\[
	H=[0,\frac{1}{l}[\;\lor \;H=[0,\frac{1}{l}]
	\]
	dove $J$ e' un qualsiasi insieme $\subseteq  H$. Che equivale ancora a 
	\[
	\begin{cases}
		i)\;\; 0\le h < \frac{1}{l},\;\;\Rightarrow \;h\in H\\
		ii)\;\; h  > \frac{1}{l}\;\lor h<0\;\Rightarrow \; h\notin H
	\end{cases}
	\]
	ovvero
	\[
	[0,\frac{1}{l}[ \subseteq  H \subseteq
	[0,\frac{1}{l}]
	\]
	\step{}{Dim $i)$}
	\begin{prova}
		Avendo $0\le h < \frac{1}{l}$, per far vedere che $h\in H$ e'
		sufficiente dimostrare che
		\[\serien |a_{n-1}| h^{n-1}\;\;\;(+)\] converge. Per Hp
		\begin{align*}
	&\lim_{n \to \infty} |a_n|^{\frac{1}{n}}=l,\;0<l<
	+\infty\\&
	\;\Rightarrow \;
	\forall \varepsilon>0\;\;\exists v\in \mathbb{N}:\;
	| |a_n|^{\frac{1}{n}} - l | < \varepsilon\;\;\forall
	n > v;\\
	&\;\;\Leftrightarrow \;l-\varepsilon < |a_n|^{\frac{1}{n}} <
	l+\varepsilon\;\forall  n>  v\;\;(*)
		\end{align*}
	\end{prova}
	Sia $k\in \mathbb{R}:\; h< k < \frac{1}{l}$,
	\begin{align*}
	&  k < \frac{1}{l}\;\Leftrightarrow \;\frac{1}{k} > l
	\end{align*}
	fissiamo $\varepsilon = \frac{1}{k}-l>0$, per la  $(*)$
	\[
	\exists v \in \mathbb{N}:\;|a_n|^{\frac{1}{n}}
	<l+\varepsilon=\frac{1}{k}\;\forall n > v\;\Leftrightarrow \;|a_n| <
	\frac{1}{k^n}
	\]
	\[
	\;\Rightarrow \; |a_n|h^{n} \le  \frac{h^n}{k^n}
	\]
	$\serien \left(\frac{h}{k}\right)^n$ e' la serie geom. di ragione
	$(\frac{h}{k})$ e poiche' $h<k\;\Rightarrow \;\frac{h}{k}<1$,
	converge. Per il criterio del confronto, anche la $(+)$ converge.
\end{prova}
\step{}{Dim $ii)$}
\begin{prova}
	Per assurdo supponiamo che $h\in H$, $h>\frac{1}{l}$, allora
\[
\serien |a_{n-1}| h^{n-1}
\]
converge, e quindi
\[ \lim |a_{n-1}| h^{n-1} =0\;\Leftrightarrow \; \lim |a_{n}| h^{n}=0 \;\;\;\;(a)\]
per Hp possiamo fissare $\varepsilon = l-\frac{1}{h} > 0$, per la  $(*)$
	\[
	\exists v \in \mathbb{N}:\;l-\varepsilon=\frac{1}{h}<|a_n|^{\frac{1}{n}}
	\;\forall n > v\;\]\[\Leftrightarrow \;1 < |a_n|
	h^{n} \;\forall n > v\;\>\limn |a_n|h^n\ge 1
	\]
	che e' assurdo contro la $(a)$.\\
	Infine, per definizione, $h<0 \>h\notin H$.
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{cor}\qq\\
\pflet{
$\serien a_{n-1}(x-x_0)^{n-1}\;\;,a_n\neq 0\;\forall n \in \mathbb{N}\;\;\;(1)$\\
$r$ raggio di convergenza di $(1)$\\
$\exists \;\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=l$
}
allora
\[
r=\begin{cases}
	\frac{1}{l}&0<l< +\infty\\
	+\infty & l=0\\
	0&l=+\infty
\end{cases}
\]
\textbf{Attenzione: } $a_n$ non e' il termine generale della serie, ma il
coefficiente del termine generale!
\end{cor}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
Vale la seguente implicazione:
\[
\lim \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=l\;\Rightarrow \;\lim |a_n|^{\frac{1}{n}}=l
\]
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{exemp}
	\label{exxnnfac}
	Continuiamo dall'esempio \see{exrc2}, ricavandoci con le nuove teniche
	$r$:
	\begin{align*}
	&\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=
	\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{(n)!}}{ \frac{1}{(n-1)!}}=
	\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}=0\\
	&\;\Rightarrow \; r=+\infty 
	\end{align*}
	Quindi la serie converge assolutamente in $]-\infty ,+\infty [$. 
	Da questo, possiamo dedurre anche un limite notevole:
	sia $x\in ]-\infty ,+\infty [$, abbiamo visto che la serie $\serien
	\frac{x^{n-1}}{(n-1)!} $ converge in $x$, allora per il criterio di convergenza
	delle serie numeriche:
	\begin{align*}
		&\lim  \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} =0\;\Rightarrow  \;
		\lim  \frac{x^{n}}{n!} =0\;\forall x \in \mathbb{R}
	\end{align*}
\end{exemp}
\begin{exemp}
Continuiamo dall'esempio \see{exrc1},
	\begin{align*}
	&\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=
	\lim_{n \to \infty} 1= 1\\
	&\;\Rightarrow \; r=1
	\end{align*}
	Quindi la serie converge assolutamente in $]-1 ,+1[$,
	\textbf{non} converge in $\mathbb{R}\setminus [-1,+1]$.
	A priori non possiamo dire nulla per i punti $-1,+1$, pero' si vede
	che:
	\begin{align*}
		&x=-1\;\Rightarrow \;\serien x^{n-1} \;\T{ e' oscillante}\\
		&x=1\;\Rightarrow \;\serien x^{n-1}=+\infty 
	\end{align*}
\end{exemp}
\begin{thm}\qq\\
	\label{t8wjn}
\pflet{
\begin{itemize}
	\item 
$\serien a_{n-1}(x-x_0)^{n-1}\;\;(1)$\\
\item $r$ raggio di convergenza di $(1)$\\
\item $\serien D[a_{n-1}(x-x_0)^{n-1}]$ la 
serie ottenuta dalla $(1)$ derivando ogni suo termine, ovvero 
\[a_1+2a_2(x-x_0)+3a_3(x-x_0)^2+\dots+na_{n}(x-x_0)^{n-1}+\dots\;\;(1')\]
\end{itemize}
}
allora
le serie $(1)$ e $(1')$ hanno lo stesso raggio di convergenza.\\
\newline
Da questo risultato possiamo dedurre che la serie 
\[
\serien \derivn{k}{a_{n-1}(x-x_0)^{n-1}}
\]
con $k\in \mathbb{N}$, ha lo stesso raggio di convergenza della $(1)$.
\end{thm}
\begin{thm} sulla derivabilita' della funzione somma di una serie di
	potenze.\\
	\label{derivseriepot}
	\pflet{
	\begin{itemize}
	\item	$r$ raggio di convergenza della serie di potenze $(1)$, e sia
	$r>0$\\
	\item $I$ l'intervallo di convergenza della $(1)$\\
	\item 	$f(x)$ la funzione somma della $(1)$
	\end{itemize}
	} allora
	\begin{enumerate}
		\item $f(x)$ e' derivabile in $I$
		\item $f'(x)=\serien
			\deriv{a_{n-1}(x-x_0)^{n-1}}=a_1+2a_2(x-x_0)+3a_3(x-x_0)^2+\dots+na_{n}(x-x_0)^{n-1}+\dots\;\;\forall
			x \in I$
	\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
\begin{prova}
	Per il thm \see{t8wjn}, la serie $(1')$ ha lo stesso raggio di
	convergenza di $(1)$, e quindi ha anche lo stesso intervallo di
	convergenza.\\
	\step{}{Sia $x'\in I$, proviamo la tesi per questo arbitrario punto $x$}
	\begin{prova}
		Sia $[a,b]\subseteq I:\;x'\in [a,b]$, per il cor
		\see{totconvserie}, sia $(1)$ sia $(1')$ convergono totalmente
		in $[a,b]$, e quindi anche uniformemente. Per il thm
		\see{derivflimserie}, si ha che 
		\[
		\exists f'(x)=\serien \deriv{a_{n-1}(x-x_0)^{n-1}}\;\forall x \in [a,b]\]
		quindi a maggior ragione 
		\[
		\exists f'(x')=\serien \deriv{a_{n-1}(x'-x_0)^{n-1}}
		\]
	\end{prova}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{cor}
	\label{corderivseriepot}
	Sotto le ipotesi del teorema \see{derivseriepot} e applicandolo
	ripetutamente, si ha
	\begin{enumerate}
		\item $f(x)\in \dclasseinf{I}$, ovvero la $f$ e' derivabile
			infinite volte nell'intervallo $I$.
		\item 
	$\derivn{k}{f(x)}=\serien \derivn{k}{a_{n-1}(x-x_0)^{n-1}}$\\
	E poiche' ogni derivazione abbassa di un grado i termine, e le
	costanti derivate sono pari a 0, si ha
	\[
	\derivn{k}{f(x)}=\derivn{k}{a_{k}(x-x_0)^{k}}+
	\derivn{k}{a_{k+1}(x-x_0)^{k+1}}+\dots
	\]
	\end{enumerate}
\end{cor}
\begin{thm} sulla relazione tra i coefficienti della serie di potenze e la
	funzione somma.\\
	Sotto le ipotesi del thm \see{derivseriepot}, si ha
	\begin{align*}
	&a_0=f(x_0)\qq
	a_1=\frac{f'(x_0)}{1!}\qq
	a_2=\frac{f''(x_0)}{2!}\;\;\dots\;\;
	a_n=\frac{\derivn{n}{f(x_0)}}{n!}
	\end{align*}
	che equivale a dire
	\[
f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac{\derivn{n-1}{f(x_0)}}{(n-1)!}(x-x_0)^{n-1}+\dots
	\] cioe'
	\[
f(x)=\serien \frac{\derivn{n-1}{f(x_0)}}{(n-1)!}(x-x_0)^{n-1}
	\]
\end{thm}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
Per il cor \see{corderivseriepot}, possiamo procedere in questo modo:
\begin{align*}
	&f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\dots+a_{n-1}(x-x_0)^{n-1}+\dots\\
	&f'(x)= a_1+2a_2(x-x_0)+3a_3(x-x_0)^2+\dots+na_{n}(x-x_0)^{n-1}+\dots\\
	&\qq f'(x_0)=a_1+0+0+\dots=a_1\\
	&\derivn{k}{f(x)}=\derivn{k}{a_{k}(x-x_0)^{k}}+\derivn{k}{a_{k+1}(x-x_0)^{k+1}}+\dots
\end{align*}
Calcoliamo $\derivn{k}{a_{k}(x-x_0)^{k}}$:
\begin{align*}
	&\derivn{1}{a_{k}(x-x_0)^{k}}=a_kk(x-x_0)^{k-1}\\
	&\derivn{2}{a_{k}(x-x_0)^{k}}=a_kk(k-1)(x-x_0)^{k-2}\\
	&\derivn{3}{a_{k}(x-x_0)^{k}}=a_kk(k-1)(k-2)(x-x_0)^{k-3}\\
	&\vdots\\
	&\derivn{k}{a_{k}(x-x_0)^{k}}=a_kk(k-1)(k-2)\dots(k-(k-1))(x-x_0)^{k-k}=
	a_kk!
\end{align*}
quindi
\begin{align*}
&\derivn{k}{f(x_0)}=\derivn{k}{a_{k}(x-x_0)^{k}}+0+0+\dots=
a_kk!+0+0+\dots=a_kk!\\
&a_k=\frac{\derivn{k}{f(x_0)}}{k!}
\end{align*}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\section{Serie di Taylor e Mac-Laurin}
\ilabel{Taylor}
\ilabel{Mac-Laurin}
\subsection{Formula di Taylor}
Data una funzione $f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$ e $x_0\in (a,b)$, se la
$f$ e' derivabile $n$ volte, allora
\begin{align*}
	&\forall x\in (a,b)\setminus \pgra{x_0}\;\exists \ubrace{\xi=\xi_n(x)}
{\T{dip. da $n,x$}}\in T,\;\T{ dove T e' l'int. aperto di estremi $x,x_0$}\\
&\;\;
f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\dots+\frac{\derivn{n-1}{f(x_0)}}{(n-1)!}(x-x_0)^{n-1}+
\ubrace{\frac{\derivn{n}{f(\xi)}}{(n)!}(x-x_0)^{n}}{R_n(x)}
%f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\dots+\frac{\derivn{n-1}{f(x_0)}}{(n-1)!}(x-x_0)^{n-1}+R_n(x)
\end{align*}
$R_n(x)$ e' chiamato il termine complementare $n$-esimo della formula di
Taylor, nella forma di Lagrange.\\
$f(x_0)$ e' chiamato punto iniziale, e $f(\xi)$ punto finale.\\
\newline
Osserviamo che se $n=1$, allora
\[
f(x)=f(x_0)+\frac{f'(\xi)}{1!}(x-x_0)\;\Leftrightarrow \;\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(\xi)
\]
e questo e' proprio il teorema di Lagrange, applicato alla $f$ ristretta
all'intervallo di estremi $x,x_0$.\\
Per $x_0=0\in (a,b)$, si ha la formula di Mac-Laurin:
\[
f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\dots+\frac{\derivn{n-1}{f(0)}}{(n-1)!}x^{n-1}+
\frac{\derivn{n}{f(\xi)}}{(n)!}x^{n}
\]
\subsection{Serie di Taylor}
Sia $f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, con $x_0\in(a,b)$. Se $\exists
\derivn{n}{f(x_0)}\;\forall n \in \mathbb{N}$  allora ha senso definire la
serie di Taylor:
\[
f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac{\derivn{n-1}{f(x_0)}}{(n-1)!}(x-x_0)^{n-1}+\dots\;\;(t)
\]
\begin{defn}
Sia  $f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, con $f(x)\in \dclasseinf{(a,b)}$,
$x_0\in(a,b)$.\\
Prendendo un $\Oo{x}\in (a,b)$, diremo che la $f$ e' sviluppabile in serie di
Taylor in $\Oo{x}$, se la $(t)$ converge puntualmente a $f(x)$ in $\Oo{x}$, ovvero se 
\[
f(\Oo{x})=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(\Oo{x}-x_0)+\dots+\frac{\derivn{n-1}{f(x_0)}}{(n-1)!}(\Oo{x}-x_0)^{n-1}+\dots
\]
\textbf{Oss: } dalla definizione segue immediatamente che $f$ e' sviluppabile
in serie di Taylor in $x_0$, infatti
\[
f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x_0-x_0)+\dots+\frac{\derivn{n-1}{f(x_0)}}{(n-1)!}(x_0-x_0)^{n-1}+\dots=
f(x_0)+0+0+\dots=f(x_0)
\]
\end{defn}
\begin{thm}
	\label{thmrn}
Sia  $f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, con $f(x)\in \dclasseinf{(a,b)}$,
$x_0\in(a,b)$, allora
\[
f\T{ e' sviluppabile in $x\in (a,b)\setminus \pgra{x_0}$ in serie di Taylor di centro $x_0$ }\;\Leftrightarrow \;
\limn R_n=0
\]
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf \step{}{Dim $\Leftrightarrow $}
\begin{prova}
	\begin{align*}
&\T{Hp}\;\Leftrightarrow
\;f({x})=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}({x}-x_0)+\dots+\frac{\derivn{n-1}{f(x_0)}}{(n-1)!}({x}-x_0)^{n-1}+\dots\\
&\;\Leftrightarrow \;\limn
s_n(x)=f(x),\;\;s_n(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}({x}-x_0)+\dots+\frac{\derivn{n-1}{f(x_0)}}{(n-1)!}({x}-x_0)^{n-1}\\
&\;\Leftrightarrow \; \limn (f(x)-s_n(x))= 0
	\end{align*}
Per la formula di Taylor:
\begin{align*}
	&f(x)=\ubrace{f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\dots+\frac{\derivn{n-1}{f(x_0)}}{(n-1)!}(x-x_0)^{n-1}}{s_n(x)}+R_n(x)\\
&\;\Leftrightarrow \;f(x)-s_n(x)=R_n(x)
\end{align*}
quindi
\begin{align*}
&\limn (f(x)-s_n(x))= 0\;\Leftrightarrow \;\limn R_n(x)=0
\end{align*}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{cor}\qq\\
	\label{cortaylorthm}
	\pflet{
	$f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, con $f(x)\in \dclasseinf{(a,b)}$\\
	$x,x_0\in(a,b),\;x\neq x_0$\\
	$T$ l'intervallo aperto di estremi $x,x_0$
	}
allora\\
$
\exists M=M(x_0,x)> 0:\;|\derivn{n}{f(t)}|\le M\;\forall n\in
\mathbb{N}\;\forall t\in T\;\Rightarrow \;
$
$f$ e' sviluppabile in $x\in (a,b)\setminus \pgra{x_0}$ in serie di Taylor di
centro $x_0$
\end{cor}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
	Cerchiamo di usare il thm \see{thmrn}, ovvero cerchiamo di dimostrare
	che
	\[
	\limn R_n = \limn \frac{\derivn{n}{f(\xi)}}{(n)!}(x-x_0)^{n}
	=0,\;\;\xi\in T
	\]
	Per Hp e ponendo $t=\xi$, abbiamo
	\begin{align*}
	&0\le  |\derivn{n}{f(\xi)}|\le M\;\Leftrightarrow \;
	0\le \frac{\derivn{n}{f(\xi)}}{(n)!}|x-x_0|^{n} 
	\le  \frac{M}{(n)!}|x-x_0|^{n}\;\;\forall n\in \mathbb{N}
	\end{align*}
	Nell'esempio \see{exxnnfac} abbiamo visto che 
	\[
	\limn  \frac{a^{n}}{n!} =0\;\forall a \in \mathbb{R}
	\]
	ponendo $a=|x-x_0|$ e otteniamo
	\[
	\limn \frac{|x-x_0|^n}{(n)!}=0
	\]
	percio':
	\begin{align*}
		&\frac{M}{(n)!}|x-x_0|^{n}\longrightarrow 0\\
		&0\longrightarrow 0
	\end{align*}
	e per il criterio del confronto
	\[
	\limn \frac{\derivn{n}{f(\xi)}}{(n)!}|x-x_0|^{n} = \limn R_n=0
	\]
	quindi per il thm  \see{thmrn}, la tesi e' dimostrata.
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{exemp}
	Proviamo che la funzione $f(x)=e^x$ e' sviluppabile in serie di Taylor
	di centro $x_0=0$, ovvero che
	\begin{align*}
	&f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}({x}-0)+\dots+\frac{\derivn{n-1}{f(0)}}{(n-1)!}({x}-0)^{n-1}+\dots\\
	&e^x=1+
	\frac{x}{1!}+\dots+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\dots\;\;(1)\\
	\end{align*}
Abbiamo gia' visto che la serie $(1)$ converge.
\begin{prova}
\case{$x=0$}
\begin{prova}
	Allora, l'uguaglianza $(1)$ e' banalmente vera
\end{prova}
\case{$x>0$}
\begin{prova}
Ricordando che $e^x$ e' crescente:
\begin{align*}
	& |\derivn{n}{e^t}|=e^t \le \ubrace{e^x}{\T{nota che $x$ e'
	fissato}}\;\forall t \in ]x_0, x[\;\;\forall n \in \mathbb{N}\\
	&M=e^x
\end{align*}
per il corollario \see{cortaylorthm}, la $f$ e' qui sviluppabile in serie di
T.
\end{prova}
\case{$x<0$}
\begin{prova}
	\begin{align*}
	& |\derivn{n}{e^t}|=e^t \le e^0=1 \;\forall t \in ]x, x_0[\;\;\forall
	n \in \mathbb{N}\\
	&M=1
\end{align*}
per il corollario \see{cortaylorthm}, la $f$ e' qui sviluppabile in serie di
T.
\end{prova}
\end{prova}
\end{exemp}
\begin{exemp}
	E adesso espandiamo $f(x)=\sin x$. Prendiamo sempre $x_0=0$, e
	dimostriamo che
\begin{align*}
	&f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}({x}-0)+\dots+\frac{\derivn{n-1}{f(0)}}{(n-1)!}({x}-0)^{n-1}+\dots\\
	&\\
	&f'(x)=\cos x\;f''(x) = -\sin x\;\derivn{3}{f(x)}=-\cos x\;\derivn{4}{f(x)}=\sin x\\
	&f'(0)=1\;f''(0) = 0\;\derivn{3}{f(0)}=-1\;\derivn{4}{f(0)}=0\\
	&\sin(x)=0+\frac{x}{1!}+0-\frac{x^3}{3!}+0+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots+
	\frac{(-1)^{n+1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\dots\;\;(1)\\
	\end{align*}
Per $x=0$, la $(1)$ e' verificata.\\
Per $x\neq 0$, osserviamo che $\derivn{n}{f(t)}\le 1\;\forall n \in
\mathbb{N}\;\forall t\in \mathbb{R}$, quindi per il corollario
\see{cortaylorthm}, la $f$ e' qui sviluppabile in serie di T.
\end{exemp}


\section{Spazi metrici}
Per il concetto di spazio metrico vedi topolodia.pdf.\\
\newline
\subsection{Spazio $\mathbb{R}$ a $n$ dimensioni}
Spazio $(\mathbb{R}^n, d)$, dove \begin{align*}
	&d:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n \longrightarrow  \mathbb{R}^+\\
	&d((x_1,x_2,\dots,x_n), (y_1,y_2,\dots,y_n))= \sqrt{\sumin {(x_i-y_i)^2}}
\end{align*}

\begin{prop}
\ilabel{diseguaglianza di Cauchy-Schwartz}
\label{schwartzi}
Diseguaglianza di Cauchy-Schwartz: 
\[
\sumin a_ib_i \le  \sqrt{\sumin a_i^2}\sqrt{\sumin b_i^2}\qq \forall
(a_1,\dots,a_n),(b_1,\dots,b_n)\in\mathbb{R}^n
\]
e scegliendo $(b_1,\dots,b_n)=(1,1,\dots,1)$ si ha 
\eal{&
\sumin a_i \le  \sqrt{n}\sqrt{\sumin a_i^2}\qq \forall
(a_1,\dots,a_n)\in\mathbb{R}^n
}
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
\begin{prova}
	Poniamo $A=\sqrt{\sumin a_i^2},\; B=\sqrt{\sumin b_i^2}$\\
Supponiamo che esistano almeno una coppia di $a_i,b_i\neq 0$, altrimenti la
diseguaglianza risulta ovvia $(0\le 0)$. Osserviamo che 
\[
\alpha\beta\le \frac{1}{2}\alpha^2+\frac{1}{2}\beta^2
\]
infatti,
\begin{align*}
&0\le (\alpha-\beta)^2\;\Leftrightarrow \;
0\le \alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta\;\Leftrightarrow \;
2\alpha\beta \le  \alpha^2+\beta^2\\
&\alpha\beta \le \frac{1}{2}\alpha^2+\frac{1}{2}\beta^2
\end{align*}
Poniamo allora \begin{align*}
	&\alpha=\frac{a_i}{A},\;\;\beta=\frac{b_i}{B}
\end{align*}
e abbiamo
\begin{align*}
	&\frac{a_1b_1}{AB} \le \frac{a_1^2}{2A^2}+\frac{b_1^2}{2B^2}\\
	&\frac{a_2b_2}{AB} \le \frac{a_2^2}{2A^2}+\frac{b_2^2}{2B^2}\\
	&\vdots\\
	&\frac{a_nb_n}{AB} \le \frac{a_n^2}{2A^2}+\frac{b_n^2}{2B^2}
\end{align*}
sommiamo membro a membro ottenendo:
\begin{align*}
	&\frac{\sumin a_ib_i}{AB} \le  \sumin \frac{a_i^2}{2A^2}+\frac{b_i^2}{2B^2}=
	\frac{1}{2A^2}\obrace{\sumin a_i^2}{=A^2}+\frac{1}{2B^2}\obrace{\sumin
	b_i^2}{=B^2}\\\\
	&\frac{\sumin a_ib_i}{AB} \le \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\\
	&\sumin a_ib_i \le  AB\\
	&\sumin a_ib_i \le \sqrt{\sumin a_i^2}\sqrt{\sumin b_i^2}
\end{align*}
\qed
\end{prova}
\end{prova}
\begin{prop}
	La funzione 
	\eal{
	&d:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n \longrightarrow  \mathbb{R}^+\\
	&d((x_1,x_2,\dots,x_n), (y_1,y_2,\dots,y_n))= \sqrt{\sumin {(x_i-y_i)^2}}
	}
	e' una metrica.
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf\step{}{Dimostriamo che $d$ e' una metrica}
\begin{prova}
Dimostriamo solo la diseguaglianza triangolare, le altre proprieta' sono
ovvie. Dobbiamo dimostrare quindi che:
\[
\sqrt{\sumin {(x_i-y_i)^2}} \le  \sqrt{\sumin{(x_i-z_i)^2}}
+\sqrt{\sumin{(z_i-y_i)^2}}
\]

Procediamo:
\begin{align*}
&\sumin (x_i-y_i)^2=\sumin \left[(x_i-z_i)+(z_i-y_i)\right]^2=
\sumin (x_i-z_i)^2 + \sumin (z_i-y_i)^2+2\sumin (x_i-z_i)(z_i-y_i)\\
\end{align*}
Per la diseguaglianza di Cauchy-Schwartz:
\begin{align*}
	&\sumin (x_i-z_i)(z_i-y_i) \le  \sqrt{\sumin
	(x_i-z_i)^2}\sqrt{\sumin (z_i-y_i)^2}
\end{align*}
quindi
\begin{align*}
&\sumin (x_i-z_i)^2 + \sumin (z_i-y_i)^2+2\sumin (x_i-z_i)(z_i-y_i)\\
&\qq\le \sumin (x_i-z_i)^2 + \sumin (z_i-y_i)^2+ 2\sqrt{\sumin
(x_i-z_i)^2}\sqrt{\sumin (z_i-y_i)^2}=\\
&\qq\left[\sqrt{\sumin (x_i-z_i)^2}+\sqrt{\sumin (z_i-y_i)^2}\right]^2\\
&\sumin (x_i-y_i)^2\le \left[\sqrt{\sumin (x_i-z_i)^2}+\sqrt{\sumin
(z_i-y_i)^2}\right]^2\\
&\sqrt{\sumin (x_i-y_i)^2}\le  \sqrt{\sumin (x_i-z_i)^2}+\sqrt{\sumin
(z_i-y_i)^2}
\end{align*}
\qed
\end{prova}
\end{prova}
\subsection{Spazio di funzioni}
\ilabel{spazio metrico C zero}
Dato l'intervallo $[a,b]\subseteq \mathbb{R}$, definiamo
\begin{align*}
&\sczero{[a,b]}=\left\{ f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}\;|\; f\T{ e' continua in } [a,b]\right\}\\
&d:\sczero{[a,b]}\times \sczero{[a,b]} \longrightarrow  \mathbb{R}^+\\
&\qq d(f,g)=\max_{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)|
\end{align*}
Per il thm di Weierstrass, la $d$ e' ben definita.
\begin{prova}
	\pf\step{}{dimostriamo che $d$ e' una metrica}
\begin{prova}
	\step{}{$d(f,g)=0\;\Leftrightarrow \;f=g$}
\begin{prova}
\begin{align*}
&d(f,g)=0\;\Rightarrow \; \max_{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)|=0\\
&0\le |f(x)-g(x)| \le  \max_{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)| =  0 \;\forall x \in
[a,b]\\
&|f(x)-g(x)|=0\;\Leftrightarrow \;f(x)=g(x)\;\forall x \in [a,b]\\
&\\
&f=g\;\Rightarrow \;d(f,g)=\max_{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)|=0
\Rightarrow 
\end{align*}
\end{prova}
\step{}{Diseguaglianza triangolare}
\begin{prova}
La Ts e':
\begin{align*}
&d(f,g)\le d(f,h)+d(h,g)\\
&\max_{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)| \le  \max_{x\in [a,b]}|f(x)-h(x)| + \max_{x\in [a,b]}|h(x)-g(x)|\;\forall x \in [a,b]\\
&\\
&|f(x)-g(x)|=|f(x)-h(x)+h(x)-g(x)|\le |f(x)-h(x)|+|h(x)-g(x)|
\le\\&\qq  \ubrace{\max_{x\in [a,b]}|f(x)-h(x)| + \max_{x\in [a,b]}|h(x)-g(x)|}{M}\;\;\forall
x\in [a,b]
\end{align*}
quindi $M$ e' un maggiorante di $\pgra{|f(x)-g(x)|}$, poiche' il suo massimo e'
il minimo dei maggioranti si ha
\begin{align*}
&\max_{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)| \le M=\max_{x\in [a,b]}|f(x)-h(x)| + \max_{x\in
[a,b]}|h(x)-g(x)|\\
&d(f,g)\le d(f,h)+d(h,g)
\end{align*}
\end{prova}
\end{prova}\qed
\end{prova}
\subsection{Seconda diseguaglianza triangolare}
\ilabel{diseguaglianza triangolare II}
\[
|d(x,z)-d(z,y)|\le  d(x,y) \le  d(x,z)+d(z,y)
\]
\begin{prova}
	\pf\step{}{Dim $|d(x,z)-d(z,y)|\le  d(x,y)$}
\begin{prova}
\begin{align*}
&|d(x,z)-d(z,y)|\le  d(x,y)\;\Leftrightarrow \;
-d(x,y)\le d(x,z)-d(z,y)\le  d(x,y)\\
\end{align*}
\step{}{Dim $d(x,z)-d(z,y)\le  d(x,y)$}
\begin{prova}
Per la prima diseg. triangolare:
\begin{align*}
&d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)\\
&d(x,z)-d(y,z)\le d(x,y)\\
&d(x,z)-d(z,y)\le d(x,y)
\end{align*}
\end{prova}
\step{}{Dim $-d(x,y)\le d(x,z)-d(z,y)$}
\begin{prova}
\begin{align*}
&d(z,y) \le  d(z,x)+d(x,y)\\
&d(z,y) -  d(z,x)\le d(x,y)\\
&-d(x,y)\le d(z,x) -d(z,y)\\
&-d(x,y)\le d(x,z) -d(z,y)\\
\end{align*}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\end{prova}
\subsection{Insieme limitato}
Siamo in uno spazio metrico $(S,d)$, allora
\begin{align*}
&I(x,r):=\pgra{y\in S\;|\;d(x,y)<r}\\
&C(x,r):=\pgra{y\in S\;|\;d(x,y)\le r}\\
&\Gamma(x,r):=\pgra{y\in S\;|\;d(x,y) = r}
\end{align*}
E' ovvio che 
\[
\pgra{x}\subseteq I(x,r) \subseteq C(x,r) \subseteq I(x,r+\varepsilon)\;\;\forall
\varepsilon >0
\]
Un insieme $X\subseteq S$ si dice limitato $\;\Leftrightarrow \;\exists
I(x,r):\;X\subseteq I(x,r)$\\
Valgono le seguenti prop.:
\begin{enumerate}
	\item $X$ limitato, $Y\subseteq X\;\Rightarrow \;Y$ limitato
	\item $X$ limitato $\;\Rightarrow \;X\cap Y$ limitato
	\item $X$ limitato, $Y$ limitato $\;\Rightarrow \;X\cup Y$ limitato
		\begin{prova}
			\pf
		Per Hp
		\begin{align*}
		&X\subseteq I(x,r)\\
		&Y\subseteq I(y,r')
		\end{align*}
		consideriamo
		$I(y,m)$, dove
		$m=\max\pgra{d(x,y)+r, r'}$.
		\step{}{Dim $X\cup Y \subseteq I(y,m)$}
\begin{prova}
\begin{align*}
&y'\in Y \>y'\in I(y,m)\T{ [poiche' $r'\le m$]}\\
&x'\in X\\
&d(x',x)<r,\;d(x',y)\le d(x',x)+d(x,y) < r+d(x,y)\le m\\
&d(x',y)<m\>x'\in I(y,m)
\end{align*}
\end{prova}
\qed
		\end{prova}
\end{enumerate}

\subsection{Diametro}
\label{sec:diametro}
Diametro di $X\subseteq S,\; X\neq \emptyset $:
\[
\diam X = \sup \pgra{ d(x,y)\;|\;x,y\in S}
\]
si ha:
\begin{enumerate}
	\item $0\le \diam X \le \infty $
	\item $X$ e' limitato$\;\Leftrightarrow \;\diam X < +\infty $
		\begin{prova}
			\pf \step{}{Dim $\Rightarrow $}
\begin{prova}
	\begin{align*}
&X\T{ lim. } \;\Rightarrow \;X\subseteq I(z,r)\;\Rightarrow \;
\forall x\in X\;d(x,z)<r\\
&\forall x,y\in X\;d(x,z)<r,\;d(y,z)<r\;\Rightarrow
\;d(x,z)+d(z,y)<2r\;\Rightarrow \;d(x,y)<2r\;\Rightarrow \;\\
&\;\;d(x,y)\le \ubrace{\diam X \le 2r}{\T{il sup e' il min dei magg.}} < +\infty  \;\forall x,y\in X
	\end{align*}
\end{prova}
\step{}{Dim $\Leftarrow $}
\begin{prova}
Basta prendere $r=\diam X$, e si ha $X \subseteq I(x, r+\varepsilon)$ con $x$ un qualsiasi
pt. $\in X$ e $\varepsilon>0$:
\begin{align*}
&y\in X\;\Rightarrow \;d(x,y)\le  \diam X\;\Rightarrow \;y\in
I(x,r+\varepsilon)
\end{align*}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\end{enumerate}
\subsection{Interno, esterno, frontiera, derivato, chiusura}
\def\fr#1{{\fron{#1}}}
\def\de#1{{\accu{#1}}}
\def\int#1{{\den{#1}}}
\def\ex#1{{\ext{#1}}}
\def\rp{{\mathbb{R}^p}}
\def\rdue{{\mathbb{R}^2}}
\def\ove#1{{\overline{#1}}}

Dato $X,Y\subseteq S$ (nota \footnote{alcune dimostrazioni sono svolte negli
appunti di topologia})
\begin{align*}
&x\T{ e' interno a }X\;\Leftrightarrow \;\exists I(x,r) \subseteq X\\
&\qq\den{X}=\pgra{x\in X\;|\;x\T{ e' interno a X }}\\
&x\T{ e' esterno a }X\;\Leftrightarrow \;\exists I(x,r) \subseteq S\setminus X\\
&\qq\ext{X}=\pgra{x\in X\;|\;x\T{ e' esterno a X}}\\
&x\T{ e' di frontiera per X}\;\Leftrightarrow \;\forall I(x,r)\;\;I(x,r)\cap
X\neq \emptyset ,\;I(x,r)\cap S\setminus X\neq \emptyset \\
&\qq\fron{X}=\pgra{x\in X\;|\;x\T{ e' di frontiera per X}}\\
&x\T{ e' di accumulazione per X}\;\Leftrightarrow \;\forall I(x,r)\;\;
\exists q\in X,\;q\neq x:\;q\in I(x,r)\cap X\\
&\qq \accu{X}=\pgra{x\in X\;|\;x\T{ e' di accumulazione per X}}\\
&\\
&X\T{ e' discreto }\;\Leftrightarrow \;\accu{X}=\emptyset \\
&X\T{ e' chiuso }\;\Leftrightarrow \;\accu{X}\subseteq X \\
&X\T{ e' aperto }\;\Leftrightarrow \;X=\den{X} \\
&X\T{ e' perfetto }\;\Leftrightarrow \;\accu{X}= X \\
&\\
&\overline{X}=X\cup \accu{X}\;\;\T{ (chiusura)}\\
&\\
&x\T{ e' isolato per X }\;\Leftrightarrow \;x\in X,\;x\notin
\accu{X}\;\Leftrightarrow \;\exists I(x,\varepsilon)\cap X=x
\end{align*}
Proprieta':
\begin{enumerate}
	\item $\den{X}=\ext{S\setminus X}$
	\item $\ext{X}=\den{(S\setminus X)}$
	\item $\fron{X}=\fron{S\setminus X}$
	\item $X\T{ e' perfetto }\;\;\Rightarrow \;X\T{ e' chiuso }$
	\item $X$ e' denso in $Y\;\Leftrightarrow \;Y\subseteq \overline{X}$
	\item \[X\T{ e' un dominio }\;\;\Leftrightarrow  \;
		\begin{cases}
		X\neq \emptyset \\
		X\;\T{ chiuso}\\
		X\subseteq \accu{\den{X}}
		\end{cases}\]
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.4]{fig/sole}
			\end{center}
			Questo insieme mostrato in figura non e' un dominio: $Q$ non
			appartiene al derivato dell'interno, ovvero $Q$ non e'
			un punto di accumulazione dell'interno: l'interno e' il solo cerchio.
	\item $X$ e' connesso $\;\Leftrightarrow \;\nexists U,V\;\T{
		chiusi}:\;
		U\cap V=\emptyset ,\;U\cup V=X$
	\item $X\cup \fron{X}=X\cup \accu{X} = \overline{X}$\\
		Gia' dim. in topologia.
	\item $X$ chiuso $\;\Leftrightarrow \;X=\overline{X}$
	\item $X$ chiuso $\;\Leftrightarrow \;\fron{X}\subseteq {X}$
	\item $X$ aperto $\;\Leftrightarrow \;X\cap \fron{X}=\emptyset $
		\begin{prova}
			\pf Vedi ``1.11.2  Proprieta' della frontiera'' in topologia.
		\end{prova}
	\item 
		\label{propapertoechiuso}
		$X$ aperto e chiuso $\;\Leftrightarrow \;\fron{X}=\emptyset $
		\begin{prova}
			\pf \step{}{Dim $\Rightarrow $}
		\begin{align*}
		&X\T{ aperto}\;\Rightarrow \;X\cap \fron{X} =\emptyset \\
		&X\T{ chiuso}\;\Rightarrow \;\fron{X}\subseteq X\;\Rightarrow
		\;X\cap \fron{X}=\fron{X}\\
		&X\cap \fron{X}=\emptyset\;\Rightarrow \;\fron{X}=\emptyset 
		\end{align*}
		\step{}{Dim $\Leftarrow $}
		\begin{prova}
			\begin{align*}
			&F(X)=\0\>F(X)\(X\>X\T{ e' chiuso}\\
			&F(X)=\0\>F(X)\^X=\0\>X\T{ e' aperto}
			\end{align*}
		\end{prova}
		\end{prova}
	\item L'insieme $\Theta$ degli aperti e $\C$, l'insieme dei chiusi,
		godono delle solite proprieta' viste in topologia.
	\item \label{propxinDXinfinitipunti}
		$x\in D(X)\= \T{ ogni intorno di $x$ si incontra con $X$ in
		infiniti punti}$
		\begin{prova}
			\pf\step{}{Dim $I$}
			\begin{prova}
			$S$ metrizzabile $\> S$ e' normale$\> $ S e'
			$T_1$. Negli spazi $T_1$, vale proprio questa
			proprieta'.
			\end{prova}
			\step{}{Dim $II$}
			\begin{prova}
				Se supp. per assurdo che \eal{&\exists \delta
				>0:\;I(x,\delta)\^
				X\-\{x\}=\{x_1,x_2,\dots,x_n\}}
				allora prendiamo $m=\min
				\pgra{d(x,x_i)\;|\;i=1,2,\dots,n}$ e avremo
				che $I(x,m)\^X=\{x\}$ che e' in assurdo con
				$x\in D(X)$
			\end{prova}
		\end{prova}
	\item Corollario del precedente:
\[
\accu{X}\neq \emptyset \;\Rightarrow \;X\T{ e' infinito}
\]
Non vale il viceversa, prendi ad esempio $X=\mathbb{N}$ in $(\mathbb{R},
d)$.\\
Ulteriore  corollario:
\[
X= \emptyset \;\lor \;X\T{ finito }\;\Rightarrow \;X\T{ e' discreto}
(\accu{X}=\emptyset )
\]
\item $D(A_1\v A_2\v\dots\v A_n)=D(A_1)\v D(A_2)\v \dots\v D(A_n)$
	\begin{prova}
		\pf Vedi ``1.11.1  Proprieta' del derivato'' in topologia.
	\end{prova}
\item $\overline{X},\;\fron{X},\;\accu{X}$ sono insiemi chiusi
	\begin{prova}
	\def\x{{x_0}}
	\def\xx{{\ove {x}}}
		\step{}{Dim che $\fr X$  e' chiuso, ovvero $D(\fron{X}) \( \fr X$}
	\begin{prova}
	Sia $\x\in \de {\fr X}$, allora
	\eal{
	&\forall \delta >0:\;\; \exists \xx \in I(\x,\delta)\^\fr X\-\{\x\}\\
	&\qq r:=\delta-d(\xx, \x)>0\\
	&\xx \in \fr X \> \sist{
	\exists x_1 \in I(\xx, r)\^ X\\
	\exists x_2 \in I(\xx, r)\^ (S\-X)
	}\'\'(1)
	}
	\step{}{$I(\xx, r)\( I(\x,\delta)$}
	\begin{prova}
		sia $x\in I(\xx,r)$,
		\eal{
	&x\in I(\xx,r)\> d(x,\xx) < r\\
	&d(x,\x) \le d(x, \xx)+d(\xx, \x) < r+d(\xx, \x)=\delta\>x\in
	I(\x,\delta)
		}
	\end{prova}
	Quindi,
	\eal{
	&\sist{I(\xx, r)\( I(\x,\delta)\\
	(1)
	} \> \sist{
	\exists x_1 \in I(\xx, \delta)\^ X\\
	\exists x_1 \in I(\xx, \delta)\^ (S\-X)
	}}
	\end{prova}
	\step{}{Dim che $\de X$  e' chiuso, ovvero $D(\de{X}) \( \de X$}
	\begin{prova}
		Sia $\x\in \de{\de X}$, per una proprieta' gia' vista,
qualsiasi intorno $I(\x,\delta)$ si incontra con $\de X$ in infiniti punti
distinti da $\x$. Sia $\xx$ uno di questi punti, cioe' $\xx\in
I(\x,\delta)\^\de X\- \{\x\}$
\step{}{
dim che $I(\xx, r)\( I(\x,\delta)$, dove $r=\delta-d(\x,\xx)$}
\begin{prova}
\eal{&x\in I(\xx, r)\>d(x,\xx) < r\\
&d(x,\x)\le d(\x,\xx)+d(\xx, \x) < r+d(\xx,\x)=\delta\>x\in  I(\x,\delta)}
\end{prova}
Poiche' $\xx\in \de X$, $I(\xx, r)$ si incontra con $X$ in infiniti punti,
allora dato che $I(\xx, r)\( I(\x,\delta)$, anche $I(\x,\delta)$ si incontra
con $X$ in infiniti punti, e quindi, per l'arbitrarieta' di $\delta>0$, si ha $\x\in \de X$.
	\end{prova}
\step{}{Dim che $\ove X$ e' chiuso, ovvero $\de {\ove {X}} \( \ove X$}
\begin{prova}
	\eal{
	&\de {\ove {X}}=\de {X\v \de X}=\de X \v \de {\de X} \( \de X\( X\v
	\de X=\ove X
}
\end{prova}

\end{prova}
	\item $\den{X},\;\ext{X}$ sono insiemi aperti
	\item Sia $A$ un aperto e $C$ un chiuso,\\
		\begin{enumerate}
			\item $A\-C$ \T{ e' un aperto}
			\item $C\-A$ \T{ e' un chiuso}
		\end{enumerate}
		\begin{prova}
			\pf \step{}{$A\-C$ e' aperto}
			\begin{prova}
				Sia $a\in A\-C$.
				\eal{
				&a\in A=\den{A} \> \exists I(a, \delta )\( A\\
				&a\notin C\> a\notin \de C\> \exists I(a, \delta'):\;\;I(a,\delta')\^C=\0\\
				&r:=\min\{\delta,\delta'\}\\
				&I(a,r)\( A\-C\T{, infatti,}\\
				&\qq y\in I(a,r) \( I(a,\delta)\( A\\
				&\qq \T{per assurdo }y\in C \> y\in I(a,\delta')\^C=\0\T{ assurdo}
				}
			\end{prova}
			\step{}{$C\-A$ e' chiuso}
	\begin{prova}
		Sia $c\in \de {C\-A}$,
\eal{
& C\-A \( C\> \de {C\-A} \( \de C\> c\in \de C \ubrace{\(}{C \T{ e' chiuso}}
C\\
&\T{per assurdo } c\in A \> \exists I(c,r)\(A\=I(c,r)\^(C\-A)=\0\>c\notin
\de{C\-A}\T{ assurdo}
}
	\end{prova}
\end{prova}
	\item Dato $x_0$,\\
		cerchio $C(x_0,r)$, $\pgra{x\;|\;d(x,x_0) \ge r}$ sono insiemi
		chiusi
	\item Dato $x_0$,\\
		cerchio $I(x_0,r)$, $\pgra{x\;|\;d(x,x_0) > r}$ sono insiemi
		aperti
	\begin{prova}
		\pf\def\A{{\mathcal{A}}}
		\step{}{$\A=\pgra{x\;|\;d(x,x_0) > r}$ e' aperto}
		\begin{prova}
		Sia $a\in \A$, dimostriamo che $\exists I(a,\delta) \( \A$.\\
		\eal{
		&a\in \A \> d(a,x_0) > r\\
		&s:=d(a,x_0)-r > 0\\
		&I(a, s)\(\A,\T{ infatti, }\\
		&\qq y\in I(a,s)\> d(y,a) < s\= -d(y,a) > -s\\
		&\qq d(x_0,y) \ubrace{\ge}{\T{II dis. triang.} }
		|d(a, x_0)-d(y,a)| > |d(a,x_0)-s|=|r|=r
		}
		\end{prova}
	\end{prova}
\end{enumerate}
\begin{prop}
	\label{proposs2p94}
	Negli spazi metrici euclidei, e in particolar modo in $(\rp, d)$, dato
	un aperto $A$ (per la dim vedi \see{dimproposs2p94})
	\eal{&\den{X} \( \de X \'\forall X \( \rp\\
	& A\( \de A, \T{ infatti }\\
	&\qq A=\den{A} \( \de A
	}
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{propsupYfron}
	In $(\mathbb{R}, d)$, con $d(x,y)=|x-y|$, preso $Y\(\mathbb{R}$
	\[
	\exists \T{ finito }\sup Y\>\sup Y\in \fr Y
	\]
	\[
	\exists \T{ finito }\inf Y\>\inf Y\in \fr Y
	\]
\end{prop}
\begin{prova}
\pf \begin{prova}
\def\y{{y^{*}}}
\def\yy{{\ove {y}}}
Sia $\y=\sup Y$. La ts e':
\[
\forall r>0:\;I(\y, r)\^Y\neq \emptyset \&I(\y,r)\^(\mathbb{R}\setminus Y)\neq
\emptyset 
\]
Per le proprieta' del sup
\begin{align*}
&\forall \varepsilon >0:\;\exists y\in Y:\; \y+ \varepsilon > \y\ge  y> \y
-\varepsilon \\
&\> y\in ]\y-\varepsilon,\y+\varepsilon[\\
&\exists \yy\in ]\y,\y+\varepsilon]\>\yy > \y=\sup Y\ubrace{\>}{\T{per def di
sup}}\yy \notin Y\> ]\y-\varepsilon,\y+\varepsilon[\^(\mathbb{R}\-Y)\neq \0
\end{align*}
Notando che $I(\y,\varepsilon)=]\y-\varepsilon,\y+\varepsilon[$, abbiamo
raggiunto la tesi.
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}
	\label{intabconnesso}
$[a,b]\(\mathbb{R}$ e' connesso.
\end{prop}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
\begin{verbatim}
                
          C1                            C2
                   Y
[-----------|--------------||-----------|---------------]
a           x1             x*           x2              b
\end{verbatim}

	\def\ca{{C_{1}}}
	\def\cb{{C_{2}}}
	\def\x{{x^{*}}}
	\def\xa{{x_{1}}}
	\def\xb{{x_{2}}}
	\def\xab{{[\xa,\xb]}}
	\def\xxb{{]\x,\xb]}}
	\def\ab{{[a,b]}}
	Supponiamo per assurdo che $[a,b]$ non sia connesso, ovvero supponiamo
	che 
\[
\exists \ca,\cb\T{ chiusi }:\;\ca \v \cb =[a,b],\;\;\ca \^\cb=\0
\]
Sia $\xa\in \ca, \;\xb\in \cb$, osserviamo che
\begin{align*}
	&\xa\in \ca,\;\;\ca\^\cb=\0\>\xa\notin \cb\\
	&\sist{\xb\in \cb\\
		\xa \notin \cb}\>\xa\neq \xb
\end{align*}
\step{}{Supponiamo che $\xa<\xb$ e dimostriamo che $[\xa,\xb]\( [a,b]$}
\begin{prova}
\begin{align*}
&\ca\v \cb=\ab\>\sist{ \ca\(\ab \\
		       \cb \( \ab}\\
&\sist{ \xa\in \ca \( \ab\\ 
	\xb \in \cb \( \ab\\
	\xa<\xb } \> a\le \xa < \xb \le b\> \xab \( \ab
\end{align*}
\end{prova}
Sia $Y=\ca \^ \xab$
\begin{align*}
&\xa\in \xab,\;\xa \in \ca\> Y\neq \0
&\ca,\xab \T{ chiusi }\> Y \T{ chiuso}
\end{align*}
Sia $\x=\sup Y$
\step{}{$\xa \le  \x < \xb$}
\begin{prova}
	Intanto osserviamo che $\x\in \mathbb{R}$, infatti
\begin{align*}
&Y\( \xab\>Y \T{ e' limitato }\> \exists \T{ finito } \sup Y
\end{align*}
Inoltre, per la prop \see{propsupYfron}
\begin{align*}
	&\x\in \fr Y \ubrace{\(}{{Y \T{e' chiuso}}} Y\\
	&\x\in Y \> \x \in \ca\\
	&\qq \sist{\x\in \ca\\
	\ca \^ \cb =\0 }\> \x\notin \cb \> \x\neq \xb\'\'(*)\\
	&\x\in Y \> \x \in \xab\\
	&\qq \sist{\x\in \xab\\
	\x\neq \xb } \> \x < \xb
\end{align*}
\end{prova}
\step{}{$\xxb\( \cb$}
\begin{prova}
Sia $x\in \xxb$,
\begin{align*}
	&x > \x\ubrace{\>}{\T{per def. di $\sup$}} x\notin Y\\
	&\sist{x\notin Y=\ca\^\xab\\
		x\in \xxb\(\xab } \> x\notin \ca\\
	&\sist{x\notin \ca\\
		x\in \xxb\(\xab \( \ab\\
		\ca\v\cb=\ab}\> x\in \cb
\end{align*}
\end{prova}
\qedstep
\begin{prova}
	Sia 
	\begin{align*}
		&
		\pgra{x_n}\(\xxb:\;\;\conv{x_n}{\mathbb{R}}{\x}\'\'(1')\\
		&\sist{\pgra{x_n}\(\xxb \(\cb\\
		(1')}
		\ubrace{\>}{\T{prop
		\see{eser13}}}\x\in \ove \cb\ubrace{=}{\T{$\cb$ e' chiuso}}\cb
	\\
	&\x\in \cb,\;\T{ ma } \x\notin \cb \T{ vedi (*)}
	\end{align*}
	assurdo
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\end{prova}

\subsection{Insiemi internamente connessi}
Siamo in $(\mathbb{R}^p,d)$, con $p\ge 2$ e $d$ metrica euclidea. Siano
$a,b\in \mathbb{R}^2$, con $a=(a_1,a_2,\dots,a_p),\;b=(b_1,b_2,\dots,b_p)$,
\[
\T{ segmento $\asse{ab}$}:=\pgra{x\in \mathbb{R}^p\;|\;x_i=a_i+t(b_i-a_i)\;\;t\in [0,1],\;i=1,2,\dots,p} 
\]
\begin{thm}
	\def\x{{x^*}}
	Sia $X\( \rp$, $X\neq \0, X\neq \rp$, e infine $a,b\in \rp$,
	\[
	a\in X,\;b\in\rp\-X\;\Rightarrow \exists \x\in \asse{ab}:\;\x\in\fr X
	\]
\end{thm}
\begin{prova}
	\def\x{{x^*}}
	\def\xx{{\overline{x}}}
	\def\xxx{{\overline{\overline{x}}}}
	\def\t{{t^*}}
	\def\tt{{\overline{t}}}
	\def\sp{{\sum_{i=1}^{p}}}
\pf
\begin{prova}
	\pflet{
	\begin{align*}
		&\x(t)\in \asse{ab},\;\T{ dove }
		\x(t)=(a_1+t(b_1-a_1),a_2+t(b_2-a_2),\dots,a_p+t(b_p-a_p))
		\\
	\end{align*}
	}
	\step{}{Dim un risultato preliminare: \[
	d(x(t), x(t'))=|t'-t|d(a,b)
	\]}
	\begin{prova}
		\begin{align*}
	&\x:=x(t),\; \xx:=x(t')\\
	&d(\x,\xx)=\sqrt{\sp (\x_i-\xx_i)^2}=\sqrt{\sp
	(a_i+t(b_i-a_i)-a_i-t'(b_i-a_i))^2}=\\
	&=
	\sqrt{\sp (t-t')^2(b_i-a_i)^2}=|t-t'|\sqrt{\sp (b_i-a_i)^2}=|t-t'|d(a,b)
		\end{align*}
		\qed
	\end{prova}
	\pflet{
$T=\pgra{t\in [0,1[\;|\;x(t)\in X}$
	}
	allora
	\begin{align*}
		&T\subseteq [0,1[\;\> \;\exists \sup T=:\t\\
		&\x:=x(\t)
	\end{align*}
	Se $b\in \ove X$, allora
	\begin{align*}
		&b\notin X,\;\ove X = X\v \fr X\;\> \;b\in \fr X
	\end{align*}
	e quindi avremmo gia' finito. Supponiamo allora che $b\notin \ove X$,
	ovvero $b \notin \de X$.
	\step{}{Supponiamo che $\x\in X$}
\begin{prova}
	\step{}{$\t < 1$}
	\begin{prova}
	Se per assurdo $\t=1$, si avra'

		\eal{
		&x(\t)=x(1)=b\notin X\=\x\notin X\T{ assurdo}
		}
	\end{prova}
	\qedstep
	\begin{prova}
		Abbiamo visto che $\t < 1$, allora e' anche vero che
		\[
		\t < \min\pgra{1,\;\t+\frac{r}{d(a,b)}}
		\]
		dove $r$ e' un arbitrario numero reale $>0$. Per la densita'
		di $\mathbb{R}$, possiamo prendere un $\tt\in \mathbb{R}$ t.c.
		\[
		\t <\tt< \min\pgra{1,\;\t+\frac{r}{d(a,b)}}
		\]
		poniamo $\xx=x(\tt)$.\\
		Se per assurdo $\xx\in X$,
		\begin{align*}
			&\xx\in X\;\> \; \tt \in T\ubrace{\>}{\t \T{ e' sup}}
			\tt < \t \T{ assurdo}
		\end{align*}
		Vale questa catena di diseguaglianze:
		\[
		\t-\frac{r}{d(a,b)} < \t <\tt< \t+\frac{r}{d(a,b)}
		\]
		da cui segue
		\[
		|\tt-\t|  < \frac{r}{d(a,b)}
		\]
		allora,
		\begin{align*}
		&d(\x,\xx)=d(x(\t),
		x(\tt))=|\t-\tt|d(a,b)<\frac{r}{d(a,b)}d(a,b)=r\\
		&d(\x,\xx)<r\>\xx\in I(\x,r)
		\end{align*}
		Abbiamo percio' dimostrato che
		\[
		\forall r > 0\;I(\x,r)\cap \rp\-X\neq \emptyset 
		\]
		$\x\in X\>\;I(\x,r)\^X\neq \0$, quindi $\x\in F(X)$
	\end{prova}
\end{prova}
\step{}{Supponiamo adesso che $\x\notin X$}
\begin{prova}
Scegliamo
\[
\varepsilon=\frac{r}{d(a,b)}
\]
per la prop del sup, avremo
\begin{align*}
	&\exists \tt \in T:\;\t\ge  \tt > \t -\varepsilon;\;\;x(\tt)\in X\\
	&\t-\varepsilon=\t- \frac{r}{d(a,b)} < \tt \le  \t < \t +
	\frac{r}{d(a,b)}\\
	&\;\> |\t-\tt| < \frac{r}{d(a,b)}\\
	&\\
	&d(x(\t), x(\tt)=|\t-\tt|d(a,b) < \frac{r}{d(a,b)}d(a,b)=r\\
	&\;\>x(\tt)\in I(\x, r)\cap X
\end{align*}
Abbiamo percio' dimostrato che
\[
\forall r > 0\;I(\x,r)\cap X\neq \emptyset 
\]
$\x\notin X\>I(\x,r)\^\rp\-X\neq \0$, quindi $\x\in F(X)$
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\end{prova}
\begin{cor}
	In $(\rp, d)$, gli unici insiemi aperti e chiusi sono $\0, \rp$
\end{cor}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
	\label{corapertochiuso}
	Se per assurdo $\exists X\( \rp, \;X\neq \0$ aperto e chiuso, allora
	per il thm di prima $\fr X\neq \emptyset$, ma per la prop
	\see{propapertoechiuso}, si ha $\fr X = \0$, assurdo.
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\subsubsection{Poligonale}
\ilabel{poligonale}
\def\a#1{{a^{(#1)}}}
\def\aa(#1){{a^{(#1)}}}
In $(\rp, d)$, siano $\a1,\a2, \dots,\a n\in \rp$, due a due distinti, diamo le seguenti
definizioni:
\begin{align*}
	&\a i\T{ e' chiamato \emph{vertice} della poligonale}\\
	&\a 1,\a n\T{ sono i \emph{pt. terminali} poligonale}\\
	&s_i=\ubrace{\a i\aa(i+1)}{\T{segmento}},\;\;i=1,2,\dots,n-1\\
&s_i \T{e' chiamato \emph{lato} della poligonale}\\
&\sum (\a 1, \a 2, \dots, \a n):=\bigcup_{i=1}^{n-1}s_i\T{ e' la poligonale}\\
&\T{ la poligonale e' semplice}\= \T{ ogni suo punto, a eccezione dei vertici,
appartiene a un solo lato}
\end{align*}
\ilabel{internamente connesso}
\begin{defn}
	$X\(\rp$ si dice internamente connesso $\=$
	\[
	\begin{cases}
		\exists x',x''\in X:\;x'\neq x''\\
		\forall x',x''\in X:\;x'\neq x''\;\exists \T{una poligonale
		semplice
		$\sum$ di estremi $x',x''$ t.c.}\;\sum\-\pgra{x',x''} \( \int X
	\end{cases}
	\]
\end{defn}
\begin{prop}
	\eal{&X\T{ e' internamente connesso e chiuso } \> X\T{ e' un dominio connesso}}
\end{prop}
\begin{defn}
	\ilabel{semplicemente connesso}
Dato un	$X\(\mathbb{R}^2$, $X \neq 0$, $X$ aperto, 
\eal{&X \T{ e' semplicemente connesso } \definizione{\=} \sist{X \T{e'
internamente connesso}\\
\forall \T{ poligonale semplice chiusa } \Sigma \( X \T{ si ha } \pi \( X\\
\qq \T{ dove $\pi$ e' il poligono t.c. $F(\pi)=\Sigma$ }
}
}
Data $\Sigma$, l'esistenza e unicita' di $\pi$ e' garantita dal teorema di
Jordan\footnote{teorema che vedremo in Analisi III}.\\

In poche parole, un insieme e' semplicemente connesso quando e' privo di
``buchi''.
\end{defn}
\subsubsection{Insieme convesso}
\ilabel{insieme convesso}
\begin{defn}
	Sia $X\(\rp$ e sia $x=(x_1,\dots,x_p)\in X$,
	\eal{&X\T{ e' convesso rispetto ad $x$ } \definizione{\=} 
	\forall y\in X\-\pgra{x}\;\;xy\( X}
	dove $xy$ e' il segmento di estremi $x,y$.
\end{defn}
\begin{prop}
Sia $X\( \rdue$, aperto non vuoto, allora
\eal{&X\T{ semplicemente connesso } \> X\T{ internamente connesso}\\
&\qq \qq \nLeftarrow }
\end{prop}
\begin{proof}
L'implicazione e' immediata per definizione. Dimostriamo che non vale il
viceversa: consideriamo $X=\rdue\-\pgra{(0,0)}$. $X$ e' chiaramente
internamente connesso, non e' pero' semplicemente connesso: basta considerare
una poligonale $\Sigma$ che racchiude l'origine, ovvero, se $\pi$ e' il
poligono t.c. $F(\pi)=\Sigma$, allora $(0,0)\in \pi$. Quindi
\eal{&(0,0)\in \pi \> \pi \nsubseteq X
}
\end{proof}
\begin{prop}
	\label{propconvessoimplicasemplconnesso}
Sia $X\( \rdue$, aperto non vuoto, allora
\eal{&\exists x\in X:\;\;X\T{ convesso rispetto a } x \> X\T{ semplicemente connesso}\\
&\qq \qq \nLeftarrow }
\end{prop}
\begin{proof}
	\begin{pnecessaria}
Poiche' $X$ e' un aperto non vuoto, esistono almeno due suoi pt. $y,y'$
distinti: se per assurdo $X=\pgra{y}$, allora $X$ sarebbe un chiuso, ma gli
unici insiemi sia aperti che chiusi di $\rp$ sono $\0,\rp$, assurdo.\\
Presi $y,y'\in X:\;y \neq y'$, consideriamo la poligonale $\Sigma=yx\v xy'$.\\
\eal{&X\T{ convesso rispetto a }x \> xy,xy'\( X \> \Sigma\( X \ubrace{=}{X\T{
aperto}} \den{X} 
}
Quindi $X$ e' internamente connesso.\\

Consideriamo adesso una $\Sigma\( X$ poligonale semplice chiusa e sia $\pi$ il
poligono t.c. $F(\pi)=\Sigma$, allora
\eal{&X\T{ convesso rispetto a }x \> \forall y\in X\-\pgra{x}\;\;xy\( X \>
\forall y\in \pi\-\pgra{x}\( X\-\pgra{x} \;\;xy\( X \>\forall y\in
\pi\-\pgra{x} \;\;y\in X
}
e poiche' $x\in X$, possiamo dire
\eal{&\pi \( X }

Quindi $X$ e' semplicemente connesso.
	\end{pnecessaria}
	\step{}{Dim $\nLeftarrow $}
	\begin{prova}
Consideriamo
\eal{&X=\pgra{(x,y)\in \rdue \;|\;x^2+y^2< 4}\-\pgra{(x,y)\in \rdue
\;|\;(x-1)^2+y^2 < 1}}
$X$ e' semp. connesso, ma non e' convesso rispetto ad alcun suo punto $x$: basta
considerare il segmento $xy$ che taglia il cerchio piu' piccolo.\\
	\end{prova}
\end{proof}

\subsection{Successioni}
\def\x{{x^*}}
\def\xx{{\overline{x}}}
\def\xxx{{\overline{\overline{x}}}}
\def\y{{y^*}}
\def\yy{{\overline{y}}}
\def\yyy{{\overline{\overline{y}}}}
\def\t{{t^*}}
\def\tt{{\overline{t}}}
\def\sp{{\sum_{i=1}^{p}}}

Sia $(S,d)$ uno spazio metrico, 
\[
x:\mathbb{N}\longrightarrow S
\]
e' una succesione di elementi di $S$.
Diamo la
seguente def:
\begin{align*}
	&x_n:=x(n)\;\forall n\in \mathbb{N}\\
	&\pgra{x_n}:=\pgra{x_n\;|\;n\in \mathbb{N}}\\
	&\pgra{x_n}\T{ converge a $\x\in S$}\;\Leftrightarrow \;\lim_{n\to +\infty
	} x_n=\x\;\Leftrightarrow \;
	\forall \varepsilon > 0\;\exists v=v(\varepsilon):\;\forall n>v\;d(x_n,\x)<\varepsilon\;
	\Leftrightarrow \;\conv{x_n}{S}{\x}\\
	&\pgra{x_n}\T{ e' limitata}\=\exists\;I(x,r):\;\pgra{x_n}\subseteq I(x,r)
\end{align*}
\begin{prop}
	\[
	\conv{x_n}{S}{\x}\=\conv{d(x_n,\x)}{\mathbb{R}}{0}
	\]
\end{prop}
\begin{defn}
	\[\T{La successione $\pgra{x_n}$ e' di Cauchy }\=
	\forall \varepsilon >0 \;\exists v:\;\forall n,m>v\;\;d(x_n,x_m)<\varepsilon
	\]
\end{defn}
\begin{thm}
	Il limite di una successione convergente e' unico, ovvero
	\[
	\conv{x_n}{S}{\x},\;\conv{x_n}{S}{\xx}\>\x=\xx
	\]
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
	\begin{prova}
		Supponiamo che 
		\begin{align*}
			&\conv{x_n}{S}{\x}\\
			&\conv{x_n}{S}{\xx}
		\end{align*}
		allora
		\begin{align*}
			&\T{per } \frac{\varepsilon}{2} > 0\;\exists v=v(\varepsilon):\;\forall n>v\;d(x_n,\x)<\frac{\varepsilon}{2}\\
			&\T{per } \frac{\varepsilon}{2} > 0\;\exists
			v=v(\varepsilon):\;\forall n>v'\;d(x_n,\xx)<\frac{\varepsilon}{2}\\
			&d(\x,\xx)\le d(x_n,\x)+d(x_n,\xx) <
			\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\\
			&\forall \varepsilon > 0 d(\x,\xx)<\varepsilon\\
			&\qq \T{Se per assurdo: }d(\x,\xx) > 0 \T{ allora }
			d(\x,\xx) < d(\x,\xx), \T{ assurdo }\\
			&\qq \T{quindi } d(\x,\xx)=0\=\x=\xx
		\end{align*}
	\end{prova}
	\qed
\end{prova}
\begin{thm}
	\label{estrattalimitesucc}
	Data $\pgra{x_n}$,
	\[
	\begin{cases}
		\conv{x_n}{S}{\x}\\
		\pgra{x_{k_n}}\T{ estratta}
	\end{cases}\>
	\conv{x_{k_n}}{S}{\x}
	\]
\end{thm}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
	\begin{align*}
		&\conv{x_n}{S}{\x}\=\conv{d(x_n,\x)}{\mathbb{R}}{0}
		\ubrace{\>}{\T{per il thm sulle succ estratte di analI}}
		\conv{d(x_{k_n},\x)}{\mathbb{R}}{0}\>\conv{x_{k_n}}{S}{\x}
	\end{align*}
\end{prova}
\end{prova}
\begin{prop}
	\label{eser13}
	In $(S,d)$, con $X\subseteq S$, $x\in S$,
	\[
	x\in \ove X \= \exists \;\pgra{x_n} \subseteq X:\;\conv{x_n}{S}{x}
	\]
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf\step{}{Dim $\>$}
\begin{prova}
$\ove X=X\v \de X$
\case{$x\in X$}
\begin{prova}
	La successione costante $\pgra{x}\( X$ converge a $x$.
\end{prova}
\case{$x\notin X,\;x\in \de X$}
\begin{prova}
	\begin{align*}
	&x\in \de X\>\forall r > 0\;\;I(x,r)\^ X\-\pgra{x} \neq \0\=\exists\; x_r\in I(x,r) \^ X,\;x_r\neq x\\
	&\forall n \in \mathbb{N}^*\;\exists x_n\in
	I(x,\frac{1}{n})\^X\=x_n\in X\&0\le d(x,x_n)< \frac{1}{n}\\
	&\pgra{x_n}\(X\\
	&\conv{\frac{1}{n}}{\mathbb{R}}{0},\;\conv{0}{\mathbb{R}}{0} \>
	\conv{d(x,x_n)}{\mathbb{R}}{0}\= \conv{x_n}{S}{x}
	\end{align*}
\end{prova}
\end{prova}
\step{}{Dim $\<$}
\begin{prova}
	Per Hp $\exists \pgra{x_n} \subseteq X:\;\conv{x_n}{S}{x}$. La ts e'
	\[
	x\in \ove X =X\v \de X
	\]
	Se $x\in X$ allora abbiamo finito. Supponiamo invece che $x\notin X$ e
	dimostriamo che $x\in \de X$.\\
	Sia $I(x,r)$ un intorno di $x$. Poiche' $\pgra{x_n}$
	converge a $x$, in corrispondenza di $r$:
	\begin{align*}
	&\exists v=v(r)\in \mathbb{N}:\;\forall n > v\;\;d(x,x_n) < r\=x_n\in
	I(x,r)\\
	&x_n\neq x:\;\\
	&\qq \pgra{x_n}\(X\>x_n\in X,\;x\notin X\>x\neq x_n\\
	&\T{in conclusione: }\\
	&\forall r >0:\;\exists x_n\in I(x,r)\^ X\-\pgra{x}\;\;\=\;\;x\in \de X
\end{align*}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}
	\label{eser14}
	In $(S,d)$, con $X\subseteq S$, $x\in S$,
	\[
	x\in \de X \= \exists \;
	\pgra{x_n} \subseteq X,\; x_n\neq x_m\;\forall n\neq m\;\T{ t.c. }\;\conv{x_n}{S}{x}
	\]
\end{prop}
\begin{prova}
\pf
\step{}{Dim $\Rightarrow $}
\begin{prova}
	\begin{align*}
&x\in \de X\> \forall \varepsilon >0:\; \exists x_\varepsilon \in
I(x,\varepsilon)\^X,\;x_\varepsilon\neq x\;\;(1)\\
&(1)\> \T{per $\varepsilon_1=1$ } \exists x_1\neq x: \; x_1\in
I(x,\varepsilon)\^X\=(x_1\in X\&d(x,x_1) < \varepsilon_1=1)\\
&(1)\> \T{per }\varepsilon_2=d(x,x_1) \;\;\;\;\exists x_2\neq x: \; d(x,x_2) < \varepsilon_2\\
&\qq d(x,x_2) < \varepsilon_2=d(x,x_1) \> x_1\neq x_2\\
&(1)\> \T{per }\varepsilon_3=d(x,x_2) \;\;\;\;\exists x_3\neq x: \; d(x,x_3) < \varepsilon_3\\
&\qq d(x,x_3) < \varepsilon_3=d(x,x_2) < d(x,x_1) \;\> x_1\neq x_3,\;x_3\neq x_3\\
&\hdots\\
\end{align*}
abbiamo cosi' costruito la successione desiderata: $\pgra{x_n}$
\end{prova}
\step{}{Dim $\<$}
\begin{prova}
Sia $I(x,r)$ un intorno di $x$. Per Hp:
\[
\exists v=v(r)\in \mathbb{N}:\;\forall n>v\'d(x_n,x)<r
\]
Sia $n=v+1$. Se $x_n\neq x$, allora $x_n\in I(x,r)\^X\-\pgra{x}$, altrimenti sia
$m=v+2$. Per Hp $x_m\neq x_n=x$, quindi $x_m\in I(x,r)\^X\-\pgra{x}$.\\
Abbiamo cosi' dimostrato che 
\[
\forall r>0\;I(x,r)\^X\-\pgra{x}\neq 0\= x\in \de X
\]
\end{prova}
\qed
\end{prova}


\begin{thm}
\[
\pgra{x_n}\T{ convergente }\>\pgra{x_n} \T{ e' di Cauchy}
\]
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
\begin{prova}
	La nostra ts e':
	\[
	\forall \varepsilon >0 \;\exists v:\;\forall n,m>v\;\;d(x_n,x_m)<\varepsilon
	\]
	Per Hp $\conv{x_n}{S}{\x}$,
	\begin{align*}
	&\forall \varepsilon > 0\;\exists v':\;\forall
	n>v'\;d(x_n,\x)<\frac{\varepsilon}{2}\\
	&\T{Poniamo }v=v', \T{ e siano }n,m>v\\
	&d(x_n,x_m)\le d(x_n,\x)+d(\x,x_m)
	<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
	\end{align*}
\end{prova}
\step{}{Dim $\nLeftarrow $}
\begin{prova}
	Sia $S=]0,1]$ il nostro spazio con metrica $d(x,y)=|x,y|$, cioe'
	quella euclidea. Consideriamo
	\[
	\pgra{x_n}=\pgra{\frac{1}{n}}\(S 
	\]
	questa successione (in $S$) e' di Cauchy ma non e' convergente.
	\step{}{E' di Cauchy}
	\begin{prova}
		In $(\mathbb{R},d_e)$, una successione e' convergente sse e'
		di Cauchy. La successione $\pgra{1/n}$ converge a $0$ in
		$\mathbb{R}$ e quindi soddisfa Cauchy:
	\begin{align*}
		&\forall \varepsilon >0 \;\exists v:\;\forall
		n,m>v\;\;\pass{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}<\varepsilon
	\end{align*}
	ma la metrica di $d_e$ e' la stessa che abbiamo usato per $S$, quindi
	$\pgra{1/n}$ e' di Cauchy anche in $s$.
	\end{prova}
	\step{}{Non converge}
	\begin{prova}
		Supponiamo per assurdo che 
		\[
		\conv{x_n}{S}{\x}
		\]
		allora
		\begin{align*}
			& \conv{x_n}{S}{\x}\=\conv{d(x_n,\x)}{\mathbb{R}}{0}\=
			\conv{|x_n,\x|}{\mathbb{R}}{0}\=\conv{x_n}{\mathbb{R}}{\x}\\
			&\qq\conv{\frac{1}{n}}{\mathbb{R}}{0}\\
			&\> \x=0\\
			&\conv{x_n}{S}{\x}, \T{ ma $\x\notin S$, assurdo}
		\end{align*}
	\end{prova}
	\qed
\end{prova}
\end{prova}
\begin{defn}
	\ilabel{spazio completo}
	\[\T{Uno spazio metrico si dice \emph{completo}$\=$}
	\left(\pgra{x_n}\T{ convergente }\=\pgra{x_n} \T{ di Cauchy}\right)\]
	ovvero, e' uno spazio in cui ogni succ. conv. e' di Cauchy, e
	viceversa.
\end{defn}
\begin{exemp}
	$(\mathbb{R},d_e)$ e' completo, mentre $(]0,1],
	d_e),\;\;(\mathbb{Q},d_e)$ non lo sono.
\end{exemp}
\begin{thm}
	\label{thmdirp}
	\def\x#1#2{{x^{(#2)}_{#1}}}
	Sia \[
	\pgra{\x {} n}
	\]
	una successione di elementi di $\rp$, dove
	\[
	\x {} n = (\x 1 n, \x 2 n, \dots, \x p n)\in \rp
	\]
	Ogni $\pgra{\x i n}$ (con i fissato), e' un successione di elementi di
	$\mathbb{R}$.\\
	\begin{align*}
		&\T{Valgono i seguenti teoremi:}\\
		&1.\'\'\pgra{\x {} n } \T{ converge} \= \T{Per }i=1,2,\dots,p\;\;\pgra{\x i n} \T{ converge}\\
		&2\'\'\pgra{\x {} n } \T{ e' di Cauchy} \= \T{Per
		}i=1,2,\dots,p\;\;\pgra{\x i n} \T{ e' di Cauchy}\\
		&\T{e i seguenti corollari, che si rifanno ai risultati di
		analisi I}:\\
		&3.\'\'\pgra{\x {} n} \T{ limitata}\>\exists \pgra{\x {} {k_n}} \T{
		convergente in }\rp\\
		&4.\'\'(\rp, d)\T{ e' completo}
	\end{align*}
\end{thm}
\begin{prova}
	\def\x#1#2{{x^{(#2)}_{#1}}}
	%	\def\xx#1#2{{\ove {x}^{(#2)}_{#1}}}
	\def\Dsum#1#2{{{\sum_{i=1}^{p} \pton{\x {i} #1 - \x i #2}^2}}}
	\def\De#1#2{{\sqrt{\sum_{i=1}^{p} \pton{\x {i} #1 - \x i #2}^2}}}

	\pf 
	\step{}{Dimostriamo il thm $1.$}
\begin{prova}
	\step{}{Dim $\Rightarrow $}
	\begin{prova}
	Per Hp $\pgra{\x {} n}$ converge a un $\x {} *\in \rp$, ovvero
	\eal{&\forall \varepsilon >0\;\;\exists v=v(\varepsilon)\in
	\mathbb{N}:\;\;\forall n>v\;\;\De n * < \varepsilon}
	Osserviamo che 
	\eal{&
	\pton{\x {i} n - \x i *}^2 \le  \Dsum n *\\
	&\sqrt{\pton{\x {i} n - \x i *}^2}=\pass{\x {i} n - \x i *} \le
	\sqrt{\Dsum n *} < \varepsilon\;\;\forall \varepsilon >0
	}
	Questo significa che $\pgra{\x i n}$ converge a $\x i *$
	\end{prova}
\end{prova}
\step{}{Dim $\<$}
\begin{prova}
Per Hp abbiamo che:
\eal{&\forall \frac{\varepsilon}{p}>0\\
&\'\'\exists v_1\in \mathbb{N}:\;\;\forall n > v_1\;\;\pass{\x 1 n - \x 1 *} < \frac{\varepsilon}{p}\\
&\'\'\exists v_2\in \mathbb{N}:\;\;\forall n > v_2\;\;\pass{\x 2 n - \x 2 *} < \frac{\varepsilon}{p}\\
&\hdots\\
&\'\'\exists v_p\in \mathbb{N}:\;\;\forall n > v_p\;\;\pass{\x p n - \x p *} < \frac{\varepsilon}{p}
}
Allora, se consideriamo $v=\min\pgra{v_1,v_2,\dots, v_p}$, avremo che $\forall
n > v$
\eal{&
\pass{\x 1 n - \x 1 *} + \pass{\x 2 n - \x 2 *}  + \dots + \pass{\x p n - \x p
*}<\frac{\varepsilon}{p}+\frac{\varepsilon}{p}+\dots+\frac{\varepsilon}{p}=\varepsilon
}
Inoltre,
\eal{
&\De n * \le  \sum_{i=1}^p\pass{\x 1 n - \x 1 *} 
}
infatti, elevando al quadrato si ottiene
\eal{&
\Dsum n * \le  \sum_{i=1}^{p}\pton {\x 1 n - \x 1 *}^2 + \T{ tutti i vari
doppi prodotti}
}
In conclusione,
\eal{
&\De n * \le  \sum_{i=1}^p\pass{\x 1 n - \x 1 *} <\varepsilon\;\;\forall
\varepsilon > 0
}
che e' la tesi.
\end{prova}
\qed
\step{}{La dimostrazione del thm $2.$ e' analoga a quella del thm $1.$, basta
considerare $\forall n,m>v$, invece che $\forall n>v$, e $\x {} m$, invece che
$\x {} *$}
\step{}{Dimostriamo il thm $3.$}
\begin{prova}
	\def\xz{{x_0}}
	Per Hp
\eal{&\pgra{\x {} n} \T{ limitata}\\
& \exists I(\x {} *, r):\;\;\pgra{\x {} n}\( I(\x {} *, r)\\
& \x {} n \in I(\x {} *, r) \= \De n * < r \'\'\forall n\in \mathbb{N}\'\'(1)
}
dove $\x {} *=(\x 1 *,\x 2 *,\dots,\x p *)\in \rp$.
\step{}{$\pgra{\x 1 n}$ e' limitata da $]\x 1 *-r,\x 1 *+r[$}
\begin{prova}
	Infatti, dalla $(1)$
	\eal{&|\x 1 n-\x 1 *| < \De n * < r \> \x 1 n \in  ]\x 1 *-r,\x 1
	*+r[\'\'\forall n \in \mathbb{N}
	}
\end{prova}
Poiche' $\pgra{\x {1} n}$ e' una successione di $\mathbb{R}$, essendo limitata
esiste una sua estratta $\pgra{\x {1} {k(n)}}$ convergente a un certo $\x
{1} o$.\\ In modo analogo a prima, si vede che
\eal{
&\pgra{\x {2} {k(n)}}\T{ e' limitata, e quindi $\exists \x {2} {k_2k(n)}$ che converge a un } \x {2} o\\
&\pgra{\x {3} {(k_2k)(n)}}\T{ e' limitata, e quindi $\exists \x {3} {k_3k_2k(n)}$ che converge a un } \x {3} o\\
&\dots\\
&\pgra{\x {p} {(k_pk_{p-1}\dots k)(n)}}\T{ e' limitata, e quindi } \exists \x
{p} {(k_{p+1}k_{p}\dots k)(n)} \T{ che converge a un } \x {p} o
}
Quindi, \eal{
&\pgra{(\x {1} {k(n)},  \x {2} {k_2k(n)},  \dots, \x {p} {(k_{p+1}k_{p}\dots
k)(n)})} \T{ e' un'estratta di } \pgra{\x {} n} \T{ che converge a }
\pgra{(\x {1} o, \x {2} o, \dots, \x {n} o)}
}
\qed
\end{prova}
\end{prova}
\begin{exemp}
	$(\rp,d_e)$ e' completo.\\
	Infatti, se consideriamo una successione di Cauchy, tutte le
	successioni componenti saranno di Cauchy. Poiche' queste sono
	successioni in $(\mathbb{R},d_e)$, che e' uno spazio completo, saranno
	anche convergenti. Allora, poiche' tutte le successioni componenti
	sono convergenti, anche la successione composta di $\rp$ lo sara'.
\end{exemp}
\begin{thm}
	Lo spazio\footnote{\vedi{spazio metrico C zero}}
	$(\sczero{[a,b]},d)$
	e' completo.
\end{thm}
\begin{prova}\pf
	\begin{prova}
	Sia $\pgra{f_n}$ una successione di cauchy. Vogliamo dimostrare che e'
	convergente.
	\begin{align*}
&\pgra{f_n}\T{ cauchy}\=
\forall \varepsilon >0 \;\exists v:\;\forall
n,m>v\;\;\left(d(f_n,f_m)<\varepsilon\=\max_{x\in [a,b]}|f_n(x)-f_m(x)| <
\varepsilon\right)\\
&\qq |f_n(x)-f_m(x)|\le \max_{x\in [a,b]}|f_n(x)-f_m(x)| < \varepsilon\;\forall
n,m>v\;\forall x\in[a,b]\'\'(1)\\
&\T{La $(1)$ e' la condizione di unif. conv. di Cauchy per le succ. di funz.
(\vedi{criterio di Cauchy}),
quindi}\\
&(1)\>
\pgra{f_n}\T{ e' unif. conv., in $\mathbb{R}$, a una }f:[a,b]\longrightarrow
\mathbb{R}
	\end{align*}
	\newline
Ci resta ancora da provare che $\pgra{f_n}$ e' conv. nello spazio
$\sczero{[a,b]}$.
\step{}{$f\in \sczero{[a,b]}$}
\begin{prova}
	\begin{align*}
		&\forall n\in \mathbb{N}\;\;\;f_n \in \sczero{[a,b]} \> f_n
		\T{e' continua in }[a,b]\\
		&\;\;\ubrace{\>}{\T{thm \see{tcfls}}} f\T{ e' continua in
		}[a,b]
		\>f\in \sczero{[a,b]}
	\end{align*}
\end{prova}
\qedstep
\begin{prova}
Dimostramo che $\conv{f_n}{S}{f}$.

\begin{align*}
&\conv{f_n}{u.}{f}\=
	\forall \varepsilon > 0\;\exists v'=v'(\varepsilon):\;\forall
	n>v'\;(\forall x \in
	[a,b]\;\;|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\=\\&\qq\qq\qq\qq\qq\qq\qq\qq\qq \max_{x\in
	[a,b]}|f_n(x)-f(x)| <\varepsilon\= d(f_n, f) < \varepsilon)\\
&\T{In conclusione: }\\
&\forall \varepsilon > 0\;\exists v'=v'(\varepsilon):\;\forall n>v'\; d(f_n,
f)<\varepsilon\\
&\T{cioe', }\conv{f_n}{S}{f}
\end{align*}
\end{prova}
	\end{prova}
	\qed
\end{prova}


\subsubsection{Compattezza sequenziale}
\ilabel{insiemi sequenzialmente compatti}
\begin{defn}
	Sia $X$ un sottoinsieme di $(S,d)$.
	\begin{align*}
&\T{$X$ e' sequenzialmente compatto $\=$} X=\0 \T{ oppure } \forall \pgra{x_n}
\subseteq X\'\exists \pgra{x_{k_n}}:\;\conv{x_{k_n}}{S}{\x\in X}\\
&\T{$X$ e' relativamente sequenzialmente compatto} \= \ove X\T{  e' seq.
compatto}
\end{align*}
\end{defn}
\begin{prop}\qq\\
	\label{eser17}
	\pflet{
	\begin{enumerate}
		\item $(S,d)$
		\item $Y\( X \( S$
	\end{enumerate}
	}
	\[
	Y\T{ chiuso }, X\T{ seq. comp. }\>Y\T{ seq. comp.}
	\]
\end{prop}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
	\def\y{{y^{*}}}
	Sia $\pgra{y_n}$ una succ. di elementi di $Y$.
	\begin{align*}
		&\pgra{y_n}\(Y\(X,\;\T{ X seq. comp. }\>\exists
		\pgra{y_{k_n}}:\;\conv{y_{k_n}}{S}{\y \in X}\\
		&\conv{y_{k_n}}{S}{\y }\ubrace{\>}{\T{\vedi{eser13}}} \y\in
		\ove Y\ubrace{=}{Y\T{ e' chiuso}} Y
	\end{align*}
	Abbiamo quindi dimostrato che da 
	successione di
	elementi di $Y$, esiste una estratta convergente a $Y$.
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{thm}
	\label{thmseqcompchiusoelim}
	In $(S,d)$, preso $X\( S$,
\[
X\T{ seq. comp.}\>X\T{ chiuso e limitato}
\]
Non vale il viceversa. In $(\rp, d)$ vale.
\end{thm}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
	\step{}{$X$ e' chiuso}
	\begin{prova}
Sappiamo che $X\( \ove X$. Dimostriamo che $\ove X \( X$, per ottenere $\ove
X=X$.\\
Sia $x\in \ove X$, allora per la prop \see{eser13}, 
\[
\exists \pgra{x_n}\( X:\'\conv{x_n}{S}{x}
\]
Poiche' $X$ e' seq. comp. 
\[
\exists \pgra{x_{k_n}}:\' \conv{x_{k_n}}{S}{\x\in X}
\]
Per il thm \see{estrattalimitesucc} e per l'unicita' del limite $x=\x\in X$
	\end{prova}
	\step{}{$X$ e' limitato}
\begin{prova}
	Supponiamo per assurdo che non lo sia, cioe'
	\[
	\forall I(\x, \varepsilon)\'\exists \xx\in X:\;\xx\notin I(\x, \varepsilon)
	\]
	allora, fissando $\x\in X$,
	\begin{align*}
& I(\x, 1)\'\exists \xx_1\in X:\;\xx_1\notin I(\x, 1)\=d(\x,\xx_n) \ge  1\\
& I(\x, 2)\'\exists \xx_2\in X:\;\xx_2\notin I(\x, 2)\=d(\x,\xx_n) \ge  2\\
&\hdots\\
& I(\x, n)\'\exists \xx_n\in X:\;\xx_n\notin I(\x, n)\=d(\x,\xx_n) \ge
n\'\'(1)\\
	\end{align*}
	Abbiamo cosi' costruito la successione $\succ{\xx_n}\( X$. 
Poiche' $X$ e' seq. comp.
\begin{align*}
	&\exists \succ{\xx_{k_n}}:\'\conv{\xx_{k_n}}{S}{z\in X}\=
	\conv{d(\xx_{k_n}, z)}{\mathbb{R}}{0}\'\'(2)
\end{align*}
Per la prop. triangolare
\begin{align*}
&d(\xx_{k_n}, \x) \le  d(\xx_{k_n}, z)+d(z, \x) \'\'(3)
\end{align*}
Concludiamo:
\begin{align*}
	&(1) \> d(\x,\xx_{k_n}) \ge n \> \limn d(\x,\xx_{k_n}) =+\8\\
&(2) \> \limn d(\xx_{k_n}, z) = 0\\
&\T{allora, prendendo il limite nella $(3)$: } \8 \le d(z,\x)\T{ assurdo}
\end{align*}
\end{prova}
\step{}{Dimostriamo $\nLeftarrow$}
\begin{prova}
	Scegliamo come spazio $S=]0,1]$, con la metrica euclidea, e
	consideriamo come sottoinsieme $X=\pgra{\frac{1}{n}}$.\\
	\step{}{$X$ e' chiuso, poiche' $\de X=\0$}
	\begin{prova}
		Sia $x\in S$ e sia \[m\in \mathbb{N}:\;
		\frac{1}{m+1}<x<\frac{1}{m},\; d\pton{x,
		\frac{1}{m}}<d\pton{x, \frac{1}{n}}\;\forall n\in
		\mathbb{N}\-\pgra{m}\]
		Sia $r>0:\;r<\frac{1}{m}$
	\begin{align*}
		&I(x,r)=\pgra{
		z\in S\;|\;d(z,x)< r\=|z-x|<r\= x+r>z>x-r
		}=]x-r,x+r[\\
		&]x-r,x+r[\^X=\pgra{x},\T{ [poiche' }r<\frac{1}{m}]\\
		&\qq \> x\notin \de X
	\end{align*}
	\end{prova}
	\step{}{$X$ e' limitato}
	\begin{prova}
	Infatti,
	\begin{align*}
	&I(0,1)=]0,2]\)X
	\end{align*}
	\end{prova}
	\step{}{$X$ non e' seq. comp.}
	\begin{prova}
		Supp. per assurdo che lo sia, allora da
		$\pgra{\frac{1}{n}}$ possiamo estrarre
		$\pgra{\frac{1}{k_n}}$ che converge a un $\x\in X$.\\
		Pero', 
		\[
		\conv{\frac{1}{k_n}}{\mathbb{R}}{0}
		\]
		e per l'unicita' del limite $\x=0\in X$, ma questo e' assurdo,
		perche $0\notin X$.
	\end{prova}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\end{prova}
\begin{cor}
\[
X\T{ seq. comp. }\>X \T{ rel. seq. comp.}
\]
\end{cor}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
\begin{align*}
&X\T{ seq. comp. }\>X\T{ chiuso e lim.}\\
&\qq X\T{ chiuso }\= X=\ove X\\
&\ove X \T{ seq. comp. }
\end{align*}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{cor}
	\label{correlseqcomplim}
	$X\T{ rel. seq. comp. }\>X \T{ limitato}$
\end{cor}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
	\begin{align*}
		&X\T{ rel. seq. comp. }\=\ove X\T{ seq. comp.}\>
		\ove X\T{ chiuso e limitato}\\
		&\ove X\T{ limitato}\= \exists I(x,r) \) \ove X\) X\>X \T{ limitato}
\end{align*}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{thm}
	\label{thmrpchiusolimeqseqcomp}
	In $(\rp, d)$, prendendo un sottoinsieme $X$
	\[
	X\T{ chiuso e limitato}\=X\T{ seq. compatto}
	\]
\end{thm}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
	Per il thm \see{thmseqcompchiusoelim}, basta dimostrare $\>$.\\
	Sia $\pgra{x_n}\( X$
\begin{align*}
	&X\T{ limitato}\>\pgra{x_n}\T{ e' lim.}\ubrace{\>}{
	\vedi{thmdirp}} \exists \pgra{x_{k_n}}:\;\conv{x_{k_n}}{\rp}{\x\in
	\rp}\\
	&\ubrace{\>}{\T{\vedi{eser13}}} \x \in \ove X \ubrace{=}{\T{X e'
	chiuso}} X 
\end{align*}
Il che' dimostra che da una successione di elementi di $X$ possiamo estrarne
una convergente in $X$
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{cor}
	\label{correlseqcomplimrp}
	In $(\rp, d)$
	\[
	X\T{ rel. seq. comp}\= \T{ limitato}
	\]
\end{cor}
\begin{prova}
\pf
\step{}{Dim $\>$}
\begin{prova}
	\vedi{correlseqcomplim}
\end{prova}
\step{}{Dim $\<$}
\begin{prova}
	\begin{align*}
&X\T{ lim.}\>\exists I(x,r):\' X\(I(x,r)\(C(x,r)\ubrace{\>}{prop. chiusura}
\ove X \( \ove {C(x,r)}\ubrace{=}{\T{e' chiuso}} C(x,r)\(I(x,r+\varepsilon)\\
&\>\ove X \T{ e' limitato}\\
&\begin{cases}
\ove X \( \rp\\
\ove X \T{ e' limitato}\\
\ove X \T{ e' chiuso}
\end{cases}\ubrace{\>}{\vedi{thmrpchiusolimeqseqcomp}} \ove X \T{ e' seq.
comp.}\=X\T{ e' rel. seq. comp.}
	\end{align*}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{thm}
	di Bolzano.\label{thmdibolzano}\\
In $(S,d)$, $X\(S$,
\[
X\T{ infinito, rel. seq. compatto}\> \de X \neq \0
\]
\end{thm}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
\begin{align*}
&X\T{ infinito}\>\exists x_1\in X\\
&X\T{ infinito}\>\exists x_2\neq x_1\in X\=x_2\in X\-\pgra{x_1}\\
&X\T{ infinito}\>\exists x_3\in X:\;x_3\in X\-\pgra{x_1,x_2}\\
&\hdots\\
&X\T{ infinito}\>\exists x_n\in X:\;x_n\in X\-\pgra{x_1,x_2,\dots,x_{n-1}}\\
&
\begin{cases}
\pgra{x_n}\(X\(\ove X\\
X\T{ rel. seq. comp.}
\end{cases}\>\exists \pgra{x_{k_n}}\(X:\'\conv{x_{k_n}}{S}{\x\in \ove X},\;\T{ con }
x_{k_n}\neq k_{k_m}\;\forall n\neq m
\end{align*}
Abbiamo quindi trovato la succ. $\pgra{x_{k_n}}$ di elementi di $X$, due a due
distinti, percio' per la prop \see{eser14}, si ha $\x\in \de X $.
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{cor}
	In $(\rp, d)$, 
	\[
	X\T{ infinito, limitato }\> \de X\neq \0
	\]
\end{cor}
\begin{prova}
	\pf Segue immediatamente dal thm di prima a dal cor
	\see{correlseqcomplimrp}.
\end{prova}
\subsection{Limiti di funzioni reali}

\begin{defn}
	Sia $(S,d)$ uno spazio metrico, e $(\mathbb{R}, d_e)$ quello
	euclideo\footnote{con $I_e$ indichiamo gli intorni in
	$(\mathbb{R},d_e)$}
	su $\mathbb{R}$. Data la funzione 
	$f:X\longrightarrow \mathbb{R}$, con $X\( S$, e $x_0\in \accu X$
	Diamo le seguenti definizioni:
	\eal{
	&\lim_{x\to x_0} f(x) = l \= \forall \varepsilon > 0\'\exists \delta >0:\'|f(x)-l|<\varepsilon\;\;\forall x\in I(x_0, \delta)\^ X\-\{x_0\}\\
	&\lim_{x\to x_0} f(x) = +\8 \= \forall k > 0\'\exists \delta >0:f(x) >k\;\;\forall x\in I(x_0, \delta)\^ X\-\{x_0\}\\
	&\lim_{x\to x_0} f(x) = -\8 \= \forall k > 0\'\exists \delta >0:f(x) < -k\;\;\forall x\in I(x_0, \delta)\^ X\-\{x_0\}\\
	}
	Si dice che $f$ e' regolare se esiste uno dei limiti sopra indicati.
\end{defn}
\begin{thm}
	\label{thmlimitism}
	Valgono i seguenti teoremi:
	\eal{
	&1.\'\'
		f \T{ regolare } \> \T{ il suo limite e' unico }\\
	&2.\'\' f\T{ convergente } \> 
	\exists h,k\in \mathbb{R}\'
	\exists \delta >
	0:\;\; k\le f(x)\le h\;\;\forall x\in I(x_0, \delta)\^X\-\{x_0\}\\
	&..\qq\qq\qq \T{ovvero la $f$ ristretta all'intorno $I(x_0, \delta)$ e'
	limitata}\\
	&3.\'\'
	\lim_{x\to x_0} f(x) = l < h \> 
	\exists \delta >
	0:\;\;f(x)<h\;\;\forall x\in I(x_0, \delta)\^X\-\{x_0\}\\
	&4.\'\'
	\lim_{x\to x_0} f(x) = l > h \> \exists \delta >
	0:\;\;f(x)<h\;\;\forall x\in I(x_0, \delta)\^X\-\{x_0\}\\
	&5.\'\'
	\sist{f,g,h:X\longrightarrow \mathbb{R}\\
	g(x) \le  f(x) \le  h(x)\;\;\forall x\in X\\
	\lim_{x\to x_0} g(x) = \lim_{x\to x_0} h(x)=l
	}\>  \lim_{x\to x_0}  f(x) = l\\
	&6.\'\'
	\sist{
	\lim_{x\to x_0} g(x) = a\\
	\lim_{x\to x_0} f(x) = b
	}\> \sist{
	lim_{x\to x_0} f(x)g(x) = ab\\
	lim_{x\to x_0} \alpha f(x)+\beta g(x) = \alpha a+ \beta b
	}\\
	&7.\'\'\sist{
	\lim_{x\to x_0} g(x) = a\\
	\lim_{x\to x_0} f(x) = b\\
	g(x)\neq 0\;\;\forall x \in X
	}\> \sist{
	lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{a}{b} }\\
	&8.\'\'\lim_{x\to x_0} f(x) = l,\;Y\(X,\;x_0\in\accu Y \> \lim_{x\to x_0\,x\in Y}\obrace{f(x)/_Y}{\T{f ristretta a Y}} = l
	, \T{ \vedi{thmsottolimite}}\\
	&9.\'\'\sist{Y,Z\(X,\;Z\v Y=X\\x_0\in \accu X\^\accu Y \^\accu
	Z\\\exists\lim_{x\to x_0}f(x)/_Y=\lim_{x\to x_0}f(x)/_Z=l}\>\lim_{x\to
	x_0}f(x)=l
	}
\end{thm}
\begin{thm}
	\label{fcontinuasselimfx}
	\[
	\T{f e' continua in }x_0 \= \exists \lim_{x\to x_0} f(x)= f(x_0)
	\]
	Per la definizione di continuita' \vedi{f di spazi metrici continua}.
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{Dim $\>$}
	\begin{prova}
La tesi e':
\eal{&
\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0) \= \forall \varepsilon > 0\'\exists \delta
>0:\'|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\;\;\forall x\in I(x_0, \delta)\^ X\-\{x_0\}\\
&\qq \T{poiche' }|f(x_0-f(x_0)|=0<\varepsilon \T{ possiamo direttamente
considerare } I(x_0, \delta)\^ X}
Che e' proprio l'ipotesi
\[
\forall \varepsilon >0\'\exists \delta' >0:\' |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon\'
\forall x\in I(x_0,\delta)\^X
\]
con $\delta=\delta'$
\end{prova}
\step{}{Dim $\<$}
\begin{prova}
	basta scambiare tesi e hp nella dimostrazione di prima.
\end{prova}
\qed
\end{prova}

\begin{defn}
	Se $X$ non e' limitato, possiamo dare quest'ulteriore definizione:
	\eal{
	&\lim_{x\to \8} f(x) = l \= \T{ fissato }a \in S\T{ si ha } \forall \varepsilon > 0\'\exists \delta >0:\'|f(x)-l|<\varepsilon \;\;\forall x\in X:\;d(x,a) > \delta \\
	&\lim_{x\to \8} f(x) = +\8 \= \T{ fissato }a \in S\T{ si ha } \forall
	k> 0\'\exists \delta >0:\'f(x) > k \;\;\forall x\in X:\;d(x,a) > \delta \\
	&\lim_{x\to \8} f(x) = -\8 \= \T{ fissato }a \in S\T{ si ha } \forall
	k> 0\'\exists \delta >0:\'f(x) < -k \;\;\forall x\in X:\;d(x,a) > \delta
	}
\end{defn}
\begin{thm}
	Valgono i seguenti teoremi:
	\eal{
	&1.\'\'
		\lim_{x\to \8} f(x) = 0 \=  \lim_{x\to \8} |f(x)| = 0 \\
	&2.\'\'
		\lim_{x\to x_0} f(x) = 0 \=  \lim_{x\to x_0} |f(x)| = 0 \\
	&3.\'\'
		\lim_{x\to \8} f(x) = l \nLeftarrow\!\!\!\>  \lim_{x\to \8}
		|f(x)| = |l|
	}
\end{thm}


\subsection{Continuita'}
\ilabel{f di spazi metrici continua}
Siano $(S,d)$, $(S',d')$ due spazi metrici, sia $f:X\longrightarrow S'$, dove
$X\( S$. Con $I(x,r)$ indichiamo un intorno in $S$, con $I'(x,r)$ uno in $S'$,
analogamente per $d$ e $d'$ indichiamo la metrica nel primo spazio e quella
nel secondo.
\begin{defn}
	\label{defflipschitziana}
\begin{align*}
	&f\T{ e' continua in $\x\in S$ }\= \forall \varepsilon >0\'\exists \delta >0:\' d'(f(x),\;f(\x)) < \varepsilon\' \forall x\in I(\x,\delta)\^X\\
	&f\T{ e' continua in $X$ }\= \T{ e' continua in ogni $\x\in X$,
	ovvero:}\\
	&\qq \forall \x\in X\'\forall \varepsilon >0\'\exists \delta >0:\'
	d'(f(x),\;f(\x)) < \varepsilon\' \forall x\in I(\x,\delta)\^X\\
	&\\
	&f\T{ e' unif. continua in $X$ }\= \forall \varepsilon >0\'\exists \delta >0:\' d'(f(x),\;f(y)) < \varepsilon\' \forall x,y\in X:\; d(x,y) < \delta\\
	&f\T{ e' lipschitziana }\= \exists L>0:\' d'(f(x),\;f(y))\le Ld(x,y)\'\forall x,y\in X
	\\
\end{align*}
\end{defn}
\begin{exemp}
	Un polinomio $P(x_1,x_2,\dots,x_n)$, a $n$ variabili, e' una funzione continua.
\end{exemp}
\begin{prop}
\[
\xymatrix{ 
\T{f. lipschitziana} \ar@{=>}[r] & \T{f. unif. cont.} \ar@{=>}[r] & \T{f. cont.}\\
\T{f. lipschitziana} \ar@{<=}[r]|{/} & \T{f. unif. cont.} \ar@{<=}[r]|{/} & \T{f. cont.}\\}
\]
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{$\T{f. lipschitziana} \> \T{f. unif. cont.} $}
	\begin{prova}
La tesi si ha immediatamente con 
\eal{&\delta = \frac{\varepsilon}{L}}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{thm}
	\label{fcontinuasuccsm}
	Negli spazi metrici $(S,d),\;(S',d')$
	\[
\begin{cases}
f:X\longrightarrow S', \T{ continua in } \x \in X\\
\pgra{x_n}\(X:\;\conv{x_n}{S}{\x}
\end{cases}
\>\conv{f(x_n)}{S'}{f(\x)}
	\]
Non vale il viceversa.
\end{thm}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
	La tesi da dimostrare e':
	\[
\forall \varepsilon >0\'\exists v=v(\varepsilon)\in \mathbb{N}:\;\;d'(
f(x_n),f(\x)) < \varepsilon\'\forall n>v
	\]
Per Hp
\begin{align*}
&f \T{ continua in } \x \in X\=\forall \varepsilon >0\'\exists \delta >0:\'
d'(f(x),\;f(\x)) < \varepsilon\' \forall x\in I(\x,\delta)\^X\'\'(1)\\
&\conv{x_n}{S}{\x} \= \forall \varepsilon' >0\'\exists v'=v'(\varepsilon')\in \mathbb{N}:\;\;
\forall n>v'\' \Big(d( x_n,\x) < \varepsilon'\=x_n\in I(\x,
\varepsilon')\Big)\\
&\T{fissiamo }\varepsilon'=\delta\\
&
\begin{cases}
x_n\in I(\x, \varepsilon')\'\forall n> v'\\
\pgra{x_n} \( X\>x_n\in X\;\forall n\in \mathbb{N}
\end{cases}\ubrace{\>}{\T{per la }(1)} d'(f(x_n),\;f(\x)) < \varepsilon\'\forall
n> v'
\end{align*}
Abbiamo dimostrato la ts con $v=v'$
\qed
\end{prova}
\end{prova}
\begin{thm}
	di Cantor-Heine sulla uniforme continuita' delle funzioni.
	\ilabel{cantor-heine}
	\pflet{
	\begin{enumerate}
		\item $(S,d), \;(S',d')$
		\item $X\(S,\;X\neq \0, X $  sequenzialmente compatto
		\item $f:X\longrightarrow S'$, continua in $X$
	\end{enumerate}
	}
	allora
	\[
	f\T{ e' uniformemente continua in $X$}
	\]
\end{thm}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
La tesi e':
\[
\forall \varepsilon >0\'\exists \delta >0:\' d'(f(x),\;f(y)) < \varepsilon\' \forall x,y\in X:\; d(x,y) < \delta
\]
%\[
%\forall \varepsilon >0\'\exists \delta >0:\;\forall x,y\in X:\;d(x,y) <
%\delta\'\T{ si ha }\'d'(f(x),\;f(y)) < \varepsilon
%\]
supponiamo per assurdo che sia falsa, ovvero supponiamo che
\[
\exists \varepsilon >0:\'\forall \delta >0\'\Big( \exists x,y\in X:\; d(x,y) <
\delta\'\T{ per cui }\' d'(f(x),\;f(y)) \ge \varepsilon\' \Big)
\'\'(1)
\]
\def\xd{{x_{\delta}}}
\def\yd{{y_{\delta}}}
\def\xk#1{{x_{k_#1}}}
\def\yk#1{{y_{k_#1}}}
Poiche' la scelta di $\delta$ e' arbitraria (purche' $>0$), possiamo affermare
\begin{align*}
	&\forall \delta=\frac{1}{n} >0\'\Big( \exists \xd,\yd\in X:\;
	d(\xd,\yd) < \delta=\frac{1}{n}\'\T{ per cui }\' d'(f(\xd),\;f(\yd)) \ge
	\varepsilon\' \Big)\\
	&\forall n\in \mathbb{N}\'\Big( \exists x_n,y_n\in X:\;
	d(x_n,y_n) < \frac{1}{n}\'\T{ per cui }\' d'(f(x_n),\;f(y_n)) \ge
	\varepsilon\' \Big)\'\'(2)
\end{align*}
Quindi si creano le seguenti due successioni a elementi di $X$
\[
\pgra{x_n},\;\pgra{y_n}
\]
Poiche' $X$ e' seq. comp.
\begin{align*}
	&\exists \pgra{\xk n}:\'\conv{\xk n}{S}{\x \in X}\=\conv{d(\xk n,
	\x)}{\mathbb{R}}{0}\'\'(3)
\end{align*}
\step{}{Dimostriamo che pure $\pgra{\yk n}$ converge a $\x$}
\begin{prova}
	Per la dis. triangolare 
\begin{align*}
&0\le  d(\yk n,\x)\le  d(\yk n, \xk n)+d(\xk n, \x)
\end{align*}
per la $(2)$:
\begin{align*}
	&\begin{cases}
	d(x_n, y_n) < \frac{1}{n}\'\forall n\in \mathbb{N}\\
	\limn \frac{1}{n} =0
	\end{cases}\>
	\conv{d(x_n, y_n)}{\mathbb{R}}{0}\>
	\conv{d(\yk n, \xk n)}{\mathbb{R}}{0}
\end{align*}
Per la $(3)$:
\begin{align*}
&\conv{d(\xk n,\x)}{\mathbb{R}}{0}
\end{align*}
Quindi
\begin{align*}
	&0\le  d(\yk n,\x)\le  \obrace{\ubrace{d(\yk n, \xk n)}{\to 0}+\ubrace{d(\xk
	n, \x)}{\to 0}}{\to 0}\> \conv{d(\yk n,\x)}{\mathbb{R}}{0} \=
	\conv{\yk n}{S}{\x}
\end{align*}
\end{prova}
Poiche' $f$ e' continua in $X$, lo sara' in particolar modo in $\x$, per cui
\begin{align*}
&\begin{cases}
f\T{ continua in }\x\\
\pgra{\xk n}\( X\\
\conv{\xk n}{S}{\x \in X}
\end{cases}\ubrace{\>}{\T{thm \see{fcontinuasuccsm}}} 
\conv{f(\xk n)}{S'}{f(\x)} \=
\conv{d'(f(\xk n), f(\x))}{\mathbb{R}}{0}
\\
&\begin{cases}
f\T{ continua in }\x\\
\pgra{\yk n}\( X\\
\conv{\yk n}{S}{\x \in X}
\end{cases}\ubrace{\>}{\T{thm \see{fcontinuasuccsm}}} 
\conv{f(\yk n)}{S'}{f(\x)}\=
\conv{d'(f(\yk n), f(\x))}{\mathbb{R}}{0}
\\
\end{align*}
\qedstep
\begin{prova}
	Per la $(2)$ e per la dis. triang.
\begin{align*}
& \varepsilon \le  d'(f(\xk n),\;f(\yk n)) \le d'(f(\xk n), f(\x))+d'(f(\x),
f(\yk n))\\
&\varepsilon \le  d'(f(\xk n), f(\x))+d'(f(\x),f(\yk n))\'\'\forall n
\in\mathbb{N}
\end{align*}
Prendendo i limiti:
\begin{align*}
	& \ubrace{\varepsilon}{\to \varepsilon} \le
	\obrace{\ubrace{d'(f(\xk n), f(\x))}{\to 0} +\ubrace{d'(f(\x), f(\yk n))}{\to
	0}}{\to 0}\\&\qq \>\varepsilon \le 0
\end{align*}
assurdo.
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\end{prova}
\begin{cor}
\label{corthmcantorheine}
	\[
	f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}, continua\;\>\;f\T{ unif. continua}
	\]
\end{cor}
\begin{prova}
	\pf Immediata conseguenza del thm precedente, del thm
	\see{thmrpchiusolimeqseqcomp} e del fatto che $[a,b]$ e' chiuso e lim.
\end{prova}
\begin{thm}
	\ilabel{weierstrass}
	di Weierstrass.
	\pflet{
	\begin{enumerate}
		\item $(S,d), \;(S',d')$
		\item $X\(S,\;X\neq \0, X $  sequenzialmente compatto in $S$
		\item $f:X\longrightarrow S'$, continua in $X$
	\end{enumerate}
	}allora
	\[
	f(X)\T{ e' sequenzialmente compatto in $S'$}
	\]
\end{thm}
\begin{prova}
\def\xk#1{{x_{k_#1}}}
\def\yk#1{{y_{k_#1}}}
\pf
\begin{prova}
Sia $\pgra{y_n}\( f(X)$.\\
Per def. di immagine
\begin{align*}
&\forall n \in \mathbb{N}\'\exists x_n\in X:\;f(x_n)=y_n\\
&\begin{cases}
\pgra{x_n}\(X\\
X\T{ seq. comp.}
\end{cases}\>\exists \pgra{\xk n}:\;\;\conv{\xk n}{S}{\x\in X}\;\;(1)\\
&\begin{cases}
f\T{ cont. in X}\>f\T{ cont in $\x$}\\
(1)
\end{cases}\ubrace{\>}{\T{\vedi{fcontinuasuccsm}}} \conv{f(\xk
n)}{S'}{f(\x)}\\
&
\begin{cases}
f(\xk n)=\yk n\in f(X)\\
\x \in X\>f(\x)\in f(X)
\end{cases} \> \T{ $f(X)$ e' seq. comp.}
\end{align*}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{cor}
	\label{corweierstrass}
\[
f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}, \T{ continua in }[a,b]\;\>\;
\exists \T{ il max e il min assoluto di } \Im f
\]
Piu' in generale, se $X\( \mathbb{R}^n$ e' chiuso e limitato 
\[
f:X\longrightarrow \mathbb{R}, \T{ continua in }X\;\>\;
\exists \T{ il max e il min assoluto di } \Im f
\]
\end{cor}
\begin{prova}
	\pf
	\begin{prova}
$f$ e' continua, e inoltre per il thm \see{thmrpchiusolimeqseqcomp}, $[a,b]$ e' seq. compatto,
	allora per il thm \see{weierstrass}, anche $\Im f$ lo e'.\\
	Sempre per il thm \see{thmrpchiusolimeqseqcomp}, $\Im f$ e' chiuso e
	limitato.
\begin{align*}
	&\Im f\T{ lim. }\> \exists I(\x,r)=]\x-r,\x+r[:\;\;\Im f \(
	]\x-r,\x+r[ \=\\
	&\'\'\= \forall x\in [a,b]\;\; \x-r <  f(x) < \x+r\\
	&\T{ quindi, $f$ e' lim. sia superiormente che inferiormente}\\
	&f\T{ lim. inferiormente}\> \exists \T{ finito }\sup \Im f\\
	&\begin{cases}
		\exists \T{ finito }\sup \Im f\\
		\Im f \( \mathbb{R}
	\end{cases}\ubrace{\>}{\see{propsupYfron}} \sup \Im f \in \fr {\Im
	f}\'\'(1)\\
	&\Im f \T{ e' chiuso }\> \fr {\Im f} \( \Im f \'\'(2)\\
	&(1), (2)\> \sup \Im f \in \Im f\>\sup \Im f=\max \Im f
\end{align*}
analogamente si vede per l'inf.
\end{prova}
\step{}{Quando $X$ e' chiuso e' limitato}
\begin{prova}
Se $X\( \mathbb{R}^n$ e' chiuso e limitato, allora per il thm
\see{thmrpchiusolimeqseqcomp}, e' sequenzialmente compatto. Quindi per il thm
di Weierstrass \see{weierstrass}, anche $\Im f$ lo e'. A questo punto si
procede esattamente come nel passo precedente.
\end{prova}
\qed	
\end{prova}
\begin{thm}
	\label{thmcontfunzcomposte}
	Continuita' delle funzioni composte.\\
	\pflet{
	\begin{enumerate}
		\item $(S,d),\;(S',d'),\;(S'',d''),\;X\(S,\;Y\(S'$
		\item $f:X\longrightarrow S',\;\T{ continua in } \x\in X$
		\item $g:Y\longrightarrow S'',\;\T{ continua in } \y \in Y$
		\item $f(X)\( Y,\;f(\x)=\y$
	\end{enumerate}
	} allora
	\[
	h(x)=g(f(x)):X\longrightarrow S'',\T{ e' continua in } \x
	\]
\end{thm}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
	La ts e':
\[
\forall \varepsilon >0\'\exists \delta'' >0:\' d''(h(x),\;h(\x)) < \varepsilon\'
 \forall x\in I'(\x,\delta'')\^X\\
\]
Procediamo:
\begin{align*}
&\T{$g$ continua in $\y$ } \= 
 \forall \varepsilon >0\'\exists \delta >0:\' d''(g(y),\;g(\y)) < \varepsilon\'
 \forall y\in I'(\y,\delta)\^Y\'\'(1)\\
 &f\T{ e' continua in $\x$ }\> \T{ per $\varepsilon=\delta  >0$ }\'\exists
 \delta' >0:\' d'(f(x),\;f(\x)) < \delta\'
 \forall x\in I(\x,\delta')\^X\\
 &\qq f(\x)=\y \>  d'(f(x),\;f(\x)) =  d'(f(x),\;\y) <\delta\=f(x)\in
 I'(\y,\delta)\'\'(2)\\
 &\qq f(x)\in f(X) \( Y, \; (2)\>  f(x)\in  I'(\y,\delta)\^Y\'\'(3)\\
&(1),\;(3)
\>
d''(g(f(x)),\;g(\y))<\varepsilon\=d''(h(x),\;h(\x))<\varepsilon\\
&
\end{align*}
che e' la tesi, con $\delta''=\delta'$
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{thm}
In $(S,d)$, con $X\(S$, siano $f,g:X\longrightarrow \mathbb{R}$, continue in
$\x\in X$, allora
\begin{enumerate}
	\item $\forall \alpha,\beta\in \mathbb{R}\'\begin{cases}
			\alpha f(x)+\beta g(x)\T{ e' continua in $\x$}\\
			\alpha f(x)g(x)\T{ e' continua in $\x$}\\
		\end{cases}$
	\item $\forall x \in X\;\;g(x)\neq 0\>\frac{f(x)}{g(x)} \T{ e'
		continua in $\x$}$
	\item $f(\x) >0\>\exists I(\x,r)\^ X:\;\;\forall x\in
		I(\x,r)\;\;f(x) > 0$  %perm segno
		\ilabel{permanenza del segno}
\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{thm}
	\label{Edeglizeri}
	dell'esistenza degli zeri.\\
In $(S,d)$, con $X\(S$ chiuso e connesso, sia $f:X\longrightarrow \mathbb{R}$ continua in
$X$, allora
\[
\exists x',x''\in X:\;f(x') <0,\;f(x'') >0\>\exists \xi\in X:\;f(\xi)=0
\]
\end{thm}
\begin{prova}
	\def\cn{{C_{1}}}
	\def\cp{{C_{2}}}
	Siano
	\[
	\cn=\pgra{x\in X\;|\;f(x)\le 0},\'\'\cp=\pgra{x\in X\;|\;f(x) \ge 0}
	\]
	\begin{align*}
	&f(x') < 0 \> x'\in \cn\> \cn \neq \0\\
	&f(x'') > 0 \> x''\in \cp\> \cp \neq \0
	\end{align*}
	\step{}{$\cn$ e' chiuso}
\begin{prova}
Proviamo che $\ove \cn \( \cn$. Sia $\x\in \ove \cn$,
\begin{align*}
	&\sist{ \cn \( X \> \ove \cn \( \ove X\ubrace{=}{\T{X e' chiuso}}X\\
	\x \in \ove \cn } \>\x \in X\'\'(1)\\
	&\x \in \ove \cn \ubrace{\>}{\T{thm \see{eser13}}} \exists
	\pgra{x_n}\( \cn:\;\conv{x_n}{S}{\x}\'\'(2)\\
	&\sist{\pgra{x_n}\( \cn\( X\\
		f\T{ continua in }\x\\
		(1),\;(2)}\ubrace{\>}{\T{thm \see{fcontinuasuccsm}}}
		\conv{f(x_n)}{\mathbb{R}}{f(\x)}\'\'(3)\\
	&\sist{x_n\in \cn\> f(x_n)\le 0\;\;\forall n \in \mathbb{N}\\
	&	(3)}\ubrace{\>}{\T{thm della perm. del segno}} f(\x) \le
	0\>\x\in \cn\\
	&\pton{\x \in \ove \cn \> \x\in \cn}\> \ove \cn \( \cn \> \cn \T{ e'
	chiuso}
\end{align*}
\end{prova}
\step{}{$\cp$ e' chiuso}
\begin{prova}
	Analogamente a prima.
\end{prova}
\qedstep
\begin{prova}
Notando che $\cn\v\cp=X$,
se per assurdo $\cn\^\cp=\0$, si avrebbe, contro ipotesi, che $X$ non e'
connesso.
\begin{align*}
&\cn\^\cp\neq \0\=\exists \xi\in \cn,\;\xi \in \cp\\
&\sist{
	\xi\in \cn\>f(\xi)\le 0\\
	\xi\in \cp\>f(\xi) \ge 0
}\>f(\xi) =0
\end{align*}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{cor}
	\label{coresistenzadelvalorintermedio}
In $(S,d)$, con $X\(S$ chiuso e connesso, sia $f:X\longrightarrow \mathbb{R}$ continua in
$X$, allora
\[
\exists x',x''\in X,\;\;\exists \gamma \in \mathbb{R}:\;f(x')\le  \gamma \le f(x'')
\>\exists \xi\in X:\;f(\xi)=\gamma
\]
\end{cor}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
Se $\gamma=f(x')$, allora la $\xi$ cercata e' proprio $x'$. Analogamente per
$x''$. Quindi supponiamo che $f(x')<\gamma<f(x'')$.\\
Sia
\def\f{{\varphi}}
\[
\f(x)=f(x)-\gamma:X\longrightarrow S'
\]
$\f$ e' continua in $X$ perche' comb. lineare di funzioni continue in $X$.
Inoltre
\eal{&\f(x')=f(x')-\gamma < 0\\
&\f(x'')= f(x'') -\gamma > 0}
Per il thm \see{Edeglizeri}, \[
\exists \xi\in X:\;\f(\xi)=0\=f(\xi)-\gamma=0\=f(\xi)=\gamma
\]
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{cor}
	\label{thmdeivaloriintermedi}
	teorema dei valori intermedi.
	\eal{&\sist{X\( \mathbb{R}^n, \T{ chiuso, limitato e connesso }\\
	f:X\longrightarrow \mathbb{R} \T{ continua } }
	\> f(X) = [\min f, \max f]
}
o in altri termini, la $f$ assume ogni valore compreso tra il max. e il min.
\end{cor}
\begin{prova}
	\pf
Per il cor di Weierstrass (\vedi{corweierstrass}), 
\eal{&\exists x'\in X:\;\;f(x')=\min f\\
&\exists x'' \in X:\;\;f(x'') = \max f
}
quindi preso un $\gamma\in [\min f, \max f]=[f(x'),f(x'')]$, per la prop \see{coresistenzadelvalorintermedio}, 
\eal{&\exists \xi\in X:\;\;f(\xi)=\gamma \> \gamma\in f(X)}
quindi $[\min f,\max f] \( f(X)$. Ma ovviamente, $f(X)\( [\min f, \max f]$
\qed
\end{prova}
\begin{cor}
	\[
	\sist{
	f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}, \T{ continua in }[a,b]\\
	f(a)<0,\;f(b) > 0}
	\>\exists \xi\in ]a,b[:\;f(\xi)=0
	\]
\end{cor}
\begin{prova}
\pf Immediata conseguenza del thm precedente, e del fatto che $[a,b]$ e'
chiuso e
connesso \vedi{intabconnesso}.
\end{prova}
\section{Derivate parziali}
\def\rd{{\mathbb{R}^{2}}}
\def\df#1{{f_{#1}}}
\def\dg#1{{g_{#1}}}
\def\dfxx{{f_{{xx}}}}
\def\dfxy{{f_{{xy}}}}
\def\dfyy{{f_{{yy}}}}
\def\dfyx{{f_{{yx}}}}
\def\dpf#1{{\frac{\partial f}{\partial #1}}}
\def\dpfp#1#2{{\pton{\frac{\partial f}{\partial #1}}_{#2}}}
\def\P{{(x_0,y_0)}}
\def\Px{{(x,y)}}
\def\Pt{{(x(t),y(t))}}
\def\Pe{{(\xi, \eta)}}
\def\Ird{{I_{\mathbb{R}^2}}}
Sia $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$, dove $A\(\rd$, non vuoto e aperto.\\
Sia $\P\in A$. Poiche' $A$ e' aperto, $A=\den{A}$, e quindi 
\[
\exists \Ird(P,\delta)\(A \> \sist{]x_0-\delta,x_0+\delta[\*\pgra{y_0} \( \Ird(P,\delta)\\
				\pgra{x_0}\*]y_0-\delta, y_0+\delta[ \(
				\Ird(P,\delta)}
\]
Con $f(x,y_0)$ indicheremo la restrizione di $f$ a
$]x-\delta,x+\delta[\*\pgra{y_0}$, mentre con $f(x_0,y)$ la restrizione a
$\pgra{x_0}\*]y_0-\delta, y_0+\delta[$.
\begin{defn}
	\ilabel{derivata parziale}
	Diremo che la $f$ e' derivabile parzialmente in $\P$ rispetto alla
	variabile $x$ sse esiste finito il seguente limite:
	\[
	\df x \P:=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0} 
	\]
	analogamente per $y$:
	\[ 
	\df y \P:=\lim_{y\to y_0}\frac{f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{y-y_0} 
	\]\newline
Se la $f$ e' derivabile, rispetto a $x$, in ogni punto di $A$, allora nasce la funzione
\[
\df x \Px:A\longrightarrow \mathbb{R}
\]
possiamo quindi considerare la sua derivata parziale rispetto a $x$ e rispetto
a $y$:
\begin{align*}
	& \df {xx} \P:=\lim_{x\to x_0}\frac{\df x (x,y_0)-\df x (x_0,y_0)}{x-x_0} \\
	& \df {xy} \P:=\lim_{y\to y_0}\frac{\df x (x_0,y)-\df x (x_0,y_0)}{y-y_0}
\end{align*}
analogamente, se $f$ e' derivabile rispetto a $y$ in $A$:
\begin{align*}
	& \df {yx} \P:=\lim_{x\to x_0}\frac{\df y (x,y_0)-\df y (x_0,y_0)}{x-x_0} \\
	& \df {yy} \P:=\lim_{y\to y_0}\frac{\df y (x_0,y)-\df y (x_0,y_0)}{y-y_0}
\end{align*}
e cosi' via$\dots$.\\
$\df {yx}, \;\df {xy}$ si chiamano \emph{derivate seconde parziali miste}.\\
$\df {xx}, \;\df {yy}$ si chiamano \emph{derivate seconde parziali pure}.\\
\end{defn}
\begin{thm} di Schwartz sull'invertibilita' dell'ordine di derivazione.
	\label{ordinedideriv}
Sia $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$, dove $A\(\rd$, non vuoto e aperto.\\
Sia $\P\in A$. Poiche' $A$ e' aperto, $A=\den{A}$.
	\[
	\sist{
	\forall \Px \in A\;\;\exists \df x \Px\,\df y \Px\,\df {yx} \Px\,\df {xy} \Px\\
	\df {yx} \Px\,\df {xy}\Px\T{ continue in }\P
	}\> \df {yx} \P=\df {xy}\P
	\]
\end{thm}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
\eal{&\P\in A=\den{A}\>\exists \Ird(\P, \delta) \( A\\
&\df {xy}\T{ continua in } \P\> \\
&\'\>\T{ per } \forall \frac{\varepsilon}{2}
>0\'\exists 0<\delta_1<\delta:\;\;\pass{\df {xy} (x,y)-\df {xy} \P} < \varepsilon\;\;\forall
(x,y)\in \Ird(\P, \delta_1)\^A\'\'(1)\\
&\qq \delta_1<\delta\>\Ird(\P, \delta_1)\(\Ird(\P, \delta)\( A\> \Ird(\P,
\delta_1)\^A=\Ird(\P, \delta_1)\\
&\df {yx}\T{ continua in } \P\>\\
&\'\>\T{ per } \forall \frac{\varepsilon}{2}
>0\'\exists 0<\delta_2<\delta_1:\;\;\pass{\df {yx} (x,y)-\df {yx} \P} < \varepsilon\;\;\forall
(x,y)\in \Ird(\P, \delta_2)\^A\'\'(2)\\
&\qq \delta_2<\delta_1\>\Ird(\P, \delta_2)\(\Ird(\P, \delta_1)\( A\> \Ird(\P, \delta_2)\^A=\Ird(\P, \delta_2)\\
}
Poiche' $\delta_2<\delta_1$ le condizioni $(1)$ e $(2)$ sono entrambe
verificate per $\forall (x,y)\in \Ird(\P, \delta_2)$.\\
Siano $\x > x_0,\; \y > y_0:\;(\x,\y)\in I(\P, \delta_2)$
\def\f{{\varphi}}
\eal{
&\f(x)=f(x, \y)-f(x, y_0):[x_0, \x]\longrightarrow \mathbb{R}
}
Questa funzione e' ben posta, e' inoltre derivabile, perche' combinazione
lineare di $f$ con se stessa e perche' per Hp $\exists \df x$. La sua
derivata e':
\eal{
&\f'(x)=\df x (x, \y)-\df x (x, y_0)
}
poiche' e' derivabile, e' anche continua; allora, per il thm di Lagrange
\eal{&\exists \xi\in]x_0,\x[:\;\;\f(\x)-\f(x_0)=\f'(\xi)(\x-x_0)\\
&\' \=\ubrace{f(\x, \y)-f(\x, y_0) - f(x_0, \y)+f(x_0, y_0)}{L}=\pton{\df x (\xi, \y)-\df x
(\xi, y_0)}(\x-x_0)\\
&L=\pton{\df x (\xi, \y)-\df x (\xi, y_0)}(\x-x_0)\'\'(3)
}\newline
Dalle Hp segue che $\exists \df {xy} (\xi,y)\;\;\forall y\in [y_0,\y]$,
quindi, poiche' derivabile, $\df {x}$ e' continua;
applicando il thm di Lagrange a $\df {x} (\xi,y):[y_0,\y]\longrightarrow
\mathbb{R}$:
\def\e{{\eta}}
\eal{
&\exists \e\in ]y_0,\y[:\;\;\df x (\xi, \y)-\df x (\xi, y_0)=\df {xy} (\xi,
\e)(\y-y)
}
sostinuendo in $(3)$:
\eal{
&L=\df {xy} (\xi, \e)(\y-y)(\x-x_0)
}
\def\g{{\psi}}
In modo analogo a tutto il procedimento svolto fin'ora, scegliendo
\eal{&\g(y)=f(\x, y)-f(x_0, y):[y_0, \y]\longrightarrow \mathbb{R}}
si conclude che
\eal{
&\exists \xi_1\in ]x_0, \x[,\;\exists \e_1\in ]y_0,\y[:\;\;L=\df {yx} (\xi_1,
\e_1)(\x-x)(\y-y_0)\\
}
Quindi
\eal{
\frac{L}{(\x-x)(\y-y_0)}=\df {yx}(\xi_1,\e_1) = \df {xy} (\xi, \e)
}
\qedstep
\begin{prova}
\eal{
&(\xi,\e)\in ]x_0, \x[\*]y_0,\y[\\
&(\xi_1,\e_1)\in ]x_0, \x[\*]y_0,\y[\\
&\pass{\df {xy} \P - \df {yx} \P} =
\pass{\df {xy} \P - \df {xy} (\xi, \e) + \df {yx}(\xi_1,\e_1) -\df {yx}
\P}\\
&\qq \le \pass{\df {xy} \P - \df {xy} (\xi, \e) }+\pass{\df
{yx}(\xi_1,\e_1) -\df {yx} \P} \ubrace{<}{\T{per la (1), (2)}}
\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\;\;\forall \varepsilon
>0\\
&\pass{\df {xy} \P - \df {yx} \P} <\varepsilon\;\;\forall \varepsilon >0\>\df
{xy} \P - \df {yx} \P=0\=\df {xy} \P = \df {yx} \P}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\end{prova}
\begin{exemp}
	\def\O{{(0,0)}}
	di funzione che ammette derivate parziali in $x$ e $y$ ma non e'
	continua.\\
	Sia 
	\[
	f(x,y)=\sist{0	& x=0\|y=0\\
		     1	& x\neq 0 \& y\neq 0
		     }:\mathbb{R}^2 \longrightarrow  \mathbb{R}
	\]
	\step{}{$\exists \df x \O\,\df y \O$}
	\begin{prova}
		\eal{
	&\df x \O =\lim_{x\to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0} = 
	\lim_{x\to 0}\frac{0}{x}=0
	&\df y \O =\lim_{y\to 0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y-0} 
	\lim_{y\to 0}\frac{0}{y}=0
	}
	\end{prova}
	\step{}{$f$ non e' continua in $\O$}
	\begin{prova}
	Per assurdo supponiamo che lo sia:
	\[
	\forall \varepsilon > 0 \;\exists \delta > 0:\;\;\pass{f(x,y)-f\O} <
	\varepsilon \'\'\forall (x,y)\in \mathbb{R}^2\^ I(\O, \delta)
	\]
	poiche' $f(x,y) \ge 0\;\;\forall (x,y)\in \mathbb{R}^2$.
	$f\O=0$ e poiche' $I(\O, \delta)\( \rd$,  possiamo scrivere:
	\[
	\forall \varepsilon > 0 \;\exists \delta > 0:\;\; f(x,y) <
	\varepsilon \'\'\forall (x,y)\in I(\O, \delta)
	\]
	allora, per $\varepsilon=\frac{1}{2}$,
	\eal{
	&\T{per } \varepsilon=\frac{1}{2}\exists \delta' > 0:\;\; f(x,y) <
	\frac{1}{2}\'\'\forall (x,y)\in I(\O, \delta')\\
	&\T{Sia } P=\pton{\frac{\delta'}{2}, \frac{\delta'}{2}}\in \rd\\
	&d(P,\O)=\sqrt{\frac{\delta'^2}{4}+\frac{\delta'^2}{4}}=\frac{\delta'}{\sqrt{2}}
	< \delta'\\
	&\'\>P\in I(\O, \delta') \> f(P)< \frac{1}{2}\= 1 < \frac{1}{2} \T{ 
	assurdo}
	}
	\end{prova}
\end{exemp}
\subsubsection{Differenziabilita'}
\ilabel{differenziabilita'}
\pflet{
\begin{enumerate}
	\item $A\(\rd$, aperto e non vuoto
	\item $f:A\longrightarrow \rd$
	\item $(x_0,y_0)\in A \( \de A$
\end{enumerate}
}
\[\T{$f$ si dice differenziabile in $(x_0,y_0)$}
\=\sist{
&\exists \df x (x_0,y_0)\,\df y (x_0,y_0)\\
&\exists \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}\frac{\sigma(x,y)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}} =0
}\]
dove
\def\D{{\Delta}}
\eal{&\T{incrementi: }\\
&\'\'\D x =x-x_0\\
&\'\'\D y=y-y_0\\
&\'\'\D f=f(x,y)-f(x_0,y_0)\\
&\T{differenziale totale di
$f$, relativo al pt. $(x_0,y_0)$:}\\
&\'\'d f=\df x (x_0,y_0)\D x +\df y (x_0,y_0)\D y\\
&\sigma(x,y)=\D f -df
}
\def\xy{{(x_0,y_0)}}
\begin{thm}
	\label{thmdiffimpcont}
	$f$ differenziabile in $\xy\>f$ continua in $\xy$
\end{thm}
\begin{prova}
	\def\O{{(0,0)}}
	\pf \step{}{Dim $\>$}
\begin{prova}
Trasformiamo $\sigma(x,y)$:
\eal{
&\sigma(x,y)=f(x,y)-f(x_0,y_0) -\pton{\df x (x_0,y_0)\D x +\df y (x_0,y_0)\D y}\\
&f(x,y)=\sigma(x,y)+f(x_0,y_0)+\df x (x_0,y_0)\D x +\df y (x_0,y_0)\D y\\
&f(x,y)=\frac{\sigma(x,y)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}+\ubrace{f(x_0,y_0)+\df
x (x_0,y_0)\D x +\df y (x_0,y_0)\D y}{P(x,y)}\'(1)
}
Osserviamo che $P(x,y)$ e' una funzione continua, poiche' e' un polinomio. $d_e(x,x_0)=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$ e' pure una funzione
continua (e' infatti composizione di funzioni
continue).\\
Allora:
\eal{
&\lim_{(x,y)\to \xy} P(x,y)=P\xy=f\xy\\
&\lim_{(x,y)\to \xy} \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} = 0\\
&\lim_{(x,y)\to \xy} \frac{\sigma(x,y)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}=0\T{ [per
Hp]}\\
&(1)\>\lim_{(x,y)\to \xy} f(x,y)=f\xy\ubrace{\>}{\vedi{fcontinuasselimfx}}
f\T{ e' continua in }\xy
}
\end{prova}
\step{}{Dim $\not \Leftarrow $}
\begin{prova}
\[
f(x,y)=\sqrt{|xy|}:\rd \longrightarrow \rd
\]
e' continua in $\O$, possiede $\df x \O,\;\df y \O$, ma non e' differenziabile
in $\O$.
\step{}{E' continua in $\O$}
\begin{prova}
	Composizione di funzioni continue. Inoltre, il radicale ha sempre
	senso.
\end{prova}
\step{}{Dim $\exists \df x \O\,\df y \O$}
\begin{prova}
	\eal{
	& \df x \O = D_{x=0} f(x,0) = D_{x=0} 0 = 0\\
	& \df y \O = D_{y=0} f(0,y) = D_{y=0} 0 = 0}
\end{prova}
\step{}{Non e' differenziabile in $\O$}
\begin{prova}
Supponiamo per assurdo che lo sia, ovvero che
\[
\lim_{(x,y)\to \O}
\frac{\sigma(x,y)}{\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}}
= \lim_{(x,y)\to \O}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}
= \lim_{(x,y)\to \O}\frac{\sqrt{|xy|}}{\sqrt{x^2+y^2}}=0
\'\'(1)
\]
allora
\eal{
&\sigma(x,y)=f(x,y)-f(0,0) -\pton{\df x (0,0)\D x +\df y (0,0)\D y}
=f(x,y)\\
&\T{Sia } Y=\pgra{(x,y)\in \rd\;|\;x=y,\;x\neq 0},\\
&(1)\ubrace{\>}{\vedi{thmlimitism}}
\lim_{(x,y)\to \O\,(x,y)\in Y} \frac{\sqrt{|x^2|}}{\sqrt{2x^2}}\Big|_Y =
\frac{1}{\sqrt{2}}\neq 0
}
assurdo
\end{prova}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{thm}
	\label{thmdifftotale}
	del differenziale totale.\\
	Siano
$A\(\rd$, aperto e non vuoto, $f:A\longrightarrow \rd$, $(x_0,y_0)\in A$

	\ilabel{differenziale!totale}
	\eal{&
	\sist{
\exists \df x (x,y)\'\forall (x,y) \in A\\
\exists \df y \xy\\
\df x \T{ continua in }\xy
}\> f\T{ e' differenziabile in }\xy\> f\T{ e' continua in } \xy\\
&\sist{
\exists \df x (x,y)\'\forall (x,y) \in A\\
\exists \df y (x,y)\'\forall (x,y) \in A\\
\df x\, \df y  \T{ continue in }A
}\> f\T{ e' differenziabile in }A \> f\T{ e' continua in } A
}
\end{thm}
\begin{defn}
	$A\( \rd$, aperto non vuoto.
	\eal{
&\sczero{A}=\pgra{ f:A\longrightarrow \mathbb{R}\;|\; f\T{ continua in } A}\\
&\sczn{1}{A}=\pgra{ f:A\longrightarrow \mathbb{R}\;|\; f\T{ continua in  A,
$\exists$ derivate parziali prime di $f$ e sono funzioni continue in $A$}}\\
&\sczn{2}{A}=\pgra{ f:A\longrightarrow \mathbb{R}\;|\; f\T{ continua in A,
$\exists$ derivate parziali prime, seconde di $f$, tutte continue in $A$}}\\
&\dots\\
&\sczn{n}{A}=\pgra{ f:A\longrightarrow \mathbb{R}\;|\; f\T{ continua in A,
$\exists$ derivate parziali prime, seconde,\dots,n-esime di $f$, continue in $A$}}\\
&\sczn{\8}{A}=\pgra{ f:A\longrightarrow \mathbb{R}\;|\; f\T{ continua in A,
$\exists$ derivate parziali di qualunque ordine di $f$, tutte continue in $A$}}
}
\end{defn}
\begin{thm}
	di derivazione delle funzioni composte.\\
	\label{thmderifcomp}
	\pflet{
	\begin{enumerate}
		\item $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$ differenziabile in
			$(x_0,y_0)\in A$, dove $A\(\rd,\;A\neq \emptyset,
			\;\;A\T{ aperto}$
		\item $x(t):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, derivabile in $t_0\in (a,b)$
		\item $y(t):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, derivabile in $t_0\in (a,b)$
		\item $\forall t\in (a,b)\;\;(x(t),y(t))\in A$
			\label{hp4}
		\item $(x_0,y_0)=(x(t_0), y(t_0))$
	\end{enumerate}
	}
	allora la funzione
	\[
	h(t)=f(x(t),y(t)):(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}
	\]
	e' derivabile in $t_0$, e la sua derivata e'
	\[
	h'(t_0)=f_x(x_0,y_0)x'(t_0)+f_y(x_0,y_0)y'(t_0)
	\]
\end{thm}
\begin{prova}
\pf
\step{}{Lemma:\\
\def\x{{x^\circ}}
Data $f(x)
:X\longrightarrow \mathbb{R}^n,\;\;X\((S,d),\x\in
X$, con $f(x)=(f_1(x),f_2(x),\dots,f_n(x)):X\longrightarrow \mathbb{R}$,
si ha
\[
\T{f e' continua in $\x$ } \= f_i(x)\T{ e' continua in }\x\'\'\forall
i=0,1,\dots,n
\]
}
\begin{prova}
\def\x{{x^\circ}}
	\def\dr{{d_{\mathbb{R}^n}}}
	\def\Ir{{I_{\mathbb{R}^n}}}
	\def\Is{{I_{S}}}
Nota \footnote{Per una dimostrazione alternativa, vedi topologia.pdf - Prodotto e
quozienti - Teorema 3.15 - $f continua \Leftrightarrow p \circ f, q \circ f
sono continue$.}\\
\step{}{Dim $\Rightarrow $}
\begin{prova}
	\eal{&
f\T{ continua in }\x\>\forall \varepsilon > 0\;\exists \delta >0:\;\dr(f(x),
f(\x))<\varepsilon\'\forall x\in \Is(\x,\delta)\^X}
Fissiamo $i$. Si ha:
\eal{&
|f_i(x)-f_i(\x)| \le \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(f_i(x)-f_i(\x))^2} = \dr(f(x),f(\x))
< \varepsilon
}
quindi
\eal{&
\forall \varepsilon > 0\;\exists \delta >0:\;|f_i(x)-
f_i(\x)|<\varepsilon\'\forall x\in \Is(\x,\delta)\^X}
\end{prova}
\step{}{Dim $\<$}
\begin{prova}
Per Hp, fissato $\varepsilon >0$

\eal{&
\sist{
\exists \delta_1>0:\;|f_1(x)-f_1(\x)|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{n}}\'\forall x\in \Is(\x,\delta_1)\^X\\
\exists \delta_2>0:\;|f_2(x)-f_2(\x)|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{n}}\'\forall x\in
\Is(\x,\delta_2)\^X\\
\dots\\
\exists \delta_n>0:\;|f_n(x)-f_n(\x)|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{n}}\'\forall x\in \Is(\x,\delta_n)\^X\\
}}
quindi, prendendo $\delta=\min\pgra{\delta_1,\delta_2,\dots,\delta_n}$,
avremo
\eal{&
\sum_{i=1}^{n}
(f_n(x)-f_n(\x))^2=\dr(f(x),f(\x))^2<\varepsilon^2\=\dr(f(x),f(\x))<\varepsilon\\
}
\qed
\end{prova}
\end{prova}
\step{}{Dimostrazione del teorema}
\begin{prova}
$f$ e' differenziabile in $\P$, quindi
\def\sigxy{{f(x,y)-f(x_0,y_0) - \df x (x_0,y_0)(x-x_0) -\df y (x_0,y_0)(y-y_0)}}
\eal{
&\exists \df x (x_0,y_0)\,\df y (x_0,y_0)\\
&\exists \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}\frac{\sigma(x,y)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}=0\'\'(1)\\
&\sigma(x,y)=\sigxy
}
Sia 
\def\o{{\omega}}
\[
\o(x,y)=\sist{
\frac{\sigma(x,y)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}} & A\-\{\P\}\\
0&\Px=\P
}\'\'(2)
\]
$\o$ e' continua in $\P$, infatti,
\eal{
&\lim_{\Px\to\P} \o \Px = \lim_{(x,y)\to
(x_0,y_0)}\frac{\sigma(x,y)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}\ubrace{=}{(1)}0=\o \P
}
La funzione
\eal{
&\varphi(t):(a,b)\longrightarrow A\\
&\varphi(t)=(x(t), y(t))
}
e' continua in $t_0$, perche' $x(t),y(t)$ sono derivabili (e quindi continue)
in $t_0$.
\\
Ricapitolando:
\eal{
&\sist{
\varphi(t)\T{ continua in } t_0\\
\o\Px \T{ continua in } \P=(x(t_0), y(t_0))=\varphi(t_0)\\
\T{Hp \ref{hp4}} \> \varphi((a,b)) \( A
} \ubrace{\>}{\T{thm \see{thmcontfunzcomposte}}} 
\omega (x(t),y(t))\T{ continua in $t_0$}\\
&\> \exists \lim_{t\to t_0}\o \Pt=\o \P=0\'\'(3)
}
\eal{
&\T{Dalla $(2)$:}\\
&\sigma\Px = \o \Px \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} \'\' \forall \Px \in
A\-\{\P\}\\
&\T{considerando che $\sigma\P =0,\;\;\o \P =0$:}\\
&\sigma\Px = \o \Px \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} \'\' \forall \Px \in A\\
&\T{espandiamo $\sigma$:}\\
&f\Px -f \P
= \o \Px \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} 
+ \df x (x_0,y_0)(x-x_0) +\df y (x_0,y_0)(y-y_0) \\
&\T{poiche' $(x(t),y(t))\in A$, possiamo sostituire $\Px=\Pt$; sostituiamo
anche $\P=(x(t_0),y(t_0))$:}\\
&f \Pt - f(x(t_0),y(t_0)) 
= \o \Pt \sqrt{(x(t)-x(t_0))^2+(y(t)-y(t_0))^2} \\
&\qq\qq + \df x (x(t_0),y(t_0))(x(t)-x(t_0)) +\df y
(x(t_0),y(t_0))(y(t)-y(t_0)) \\
&\T{dividiamo tutto per $t-t_0$:}\\
&\frac{f \Pt - f(x(t_0),y(t_0))}{t-t_0} 
= \o \Pt \frac{\sqrt{(x(t)-x(t_0))^2+(y(t)-y(t_0))^2}}{t-t_0} \\
&\qq\qq + \df x (x(t_0),y(t_0))\frac{(x(t)-x(t_0))}{t-t_0} +\df y
(x(t_0),y(t_0))\frac{(y(t)-y(t_0))}{t-t_0}\\
&\T{ovvero:}\\
&\frac{h(t)-h(t_0)}{t-t_0} 
= \o \Pt \frac{\sqrt{(x(t)-x(t_0))^2+(y(t)-y(t_0))^2}}{t-t_0} \\
&\qq\qq + \df x (x(t_0),y(t_0))\frac{x(t)-x(t_0)}{t-t_0} +\df y
(x(t_0),y(t_0))\frac{y(t)-y(t_0)}{t-t_0}\'\'(4)
}
Adesso calcoliamo i vari limiti:
\eal{
&\lim_{t\to t_0} \frac{h(t)-h(t_0)}{t-t_0} = h'(t_0)\\
&\lim_{t\to t_0} \frac{x(t)-x(t_0)}{t-t_0} = x'(t_0)\\
&\lim_{t\to t_0} \frac{y(t)-y(t_0)}{t-t_0} = y'(t_0)\\
&(3)\>\lim_{t\to t_0}\o \Pt=0\\
&\T{Se $t>t_0$: }\\
&\qq \lim_{t\to t_0} \frac{\sqrt{(x(t)-x(t_0))^2+(y(t)-y(t_0))^2}}{t-t_0} 
=\\
&\qq =\lim_{t\to t_0}
\sqrt{(\frac{x(t)-x(t_0)}{t-t_0})^2+(\frac{y(t)-y(t_0)}{t-t_0})^2}= \\
&\qq =\sqrt{(x'(t_0))^2+(y'(t_0))^2} \\
&\T{Se $t<t_0$: }\\
&\qq \lim_{t\to t_0} -\frac{\sqrt{(x(t)-x(t_0))^2+(y(t)-y(t_0))^2}}{t-t_0} 
=\\
&\qq =-\sqrt{(x'(t_0))^2+(y'(t_0))^2} \\
}
Quindi, prendendo i limiti della $(4)$, avremo:
\eal{
&h'(t_0)
= 0 (\pm \sqrt{(x'(t_0))^2+(y'(t_0))^2}) + \df x (x(t_0),y(t_0))x'(t_0) +\df y
(x(t_0),y(t_0))y'(t_0)
}
ovvero
\[
h'(t_0)=f_x(x_0,y_0)x'(t_0)+f_y(x_0,y_0)y'(t_0)
\]
\qed
\end{prova}
\end{prova}
\subsubsection{Formula di Lagrange e Taylor}
\begin{thm}
	Formula di Lagrange.\\
\pflet{
	\begin{enumerate}
		\item $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$, con
			$A\(\rd,\;A\neq \emptyset, \;\;A\T{ aperto}$
		\item $f\in \sczn{1}{A}$
		\item $\Px,\P\in A,\'\Px\neq \P$
		\item $S$ segmento di estremi $\Px,\P$, contenuto in $A$
	\end{enumerate}
	}
	allora $\exists \Pe\in S\-\pgra{\Px, \P}$ tale che
	\[
	f(x,y)=f(x_0,y_0)+\frac{1}{1!}\pqua{
		\dpa f x (x-x_0)+
		\dpa f y (y-y_0)
	}^{(1)}_{\Pe}
	\]
dove
\[
\pqua{
		\dpa f x (x-x_0)+
		\dpa f y (y-y_0)
	}^{(1)}_{\Pe}=\df x \Pe (x-x_0) + \df y \Pe (y-y_0) 
\]
\end{thm}
\begin{prova}
	\def\Pe{{(\xi, \eta)}}
\pf
\begin{prova}
	Il punto generico di $S$ e':
	\eal{
	&\Pt=(x+t(x-x_0), y+t(y-y_0))\'\'\forall t\in[0,1]\\
	&\Px=(x(0), y(0)),\;\;\P=(x(1), y(1))
	}
	Le derivate delle coordinate:
	\eal{
	&x'(t)=x-x_0\\
	&y'(t)=y-y_0
	}
	Poiche' $f\in \sczn{1}{A}$, per il thm \see{thmdifftotale}, si ha che
	$f$ e' differenziabile e continua in $A$. Allora per il thm
	\see{thmderifcomp}, si ha
	\eal{
&	h(t)=f(x(t),y(t)):[0,1]\longrightarrow \mathbb{R}\\
&h'(t)=f_x(x(t),y(t))x'(t)+f_y(x(t),y(t))y'(t)\'\'\forall t\in [0,1]\\
&\'=f_x(x(t),y(t))(x-x_0)+f_y(x(t),y(t))(y-y_0)\'\'\forall t\in [0,1]
}
Allora per il thm di Lagrange di analisi I:
\eal{
&\exists \tau\in ]0,1[:\;\;\frac{h(1)-h(0)}{1}=h'(\tau)\\
&f(x(1),y(1))-f(x(0),y(0))=
f_x(x(\tau),y(\tau))(x-x_0)+f_y(x(\tau),y(\tau))(y-y_0)\\
&\qq \Pe = (x(\tau), y(\tau))\\
&f \Px - f \P = f_x \Pe(x-x_0) +f_y \Pe (y-y_0)
}
\qed
\end{prova}
\end{prova}
\begin{thm}
	\label{thmtaylorII}
	Formula di Taylor per funzioni reali a due variabili.\\
\pflet{
	\begin{enumerate}
		\item $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$, con
			$A\(\rd,\;A\neq \emptyset, \;\;A\T{ aperto}$
		\item $f\in \sczn{m}{A}$
		\item $\Px,\P\in A,\'\Px\neq \P$
		\item $S$ segmento di estremi $\Px,\P$, contenuto in $A$
	\end{enumerate}
	}
	\def\Pe{{(\xi, \eta)}}
	allora $\exists \Pe\in S\-\pgra{\Px, \P}$ tale che
	\[
	f(x,y)=f(x_0,y_0)+
\pton{	\sum_{i=1}^{m-1} 
	\frac{1}{i!}\pqua{
		\dpa f x (x-x_0)+
		\dpa f y (y-y_0)
	}^{(i)}_{\P}
	}+
	\frac{1}{m!}\pqua{
		\dpa f x (x-x_0)+
		\dpa f y (y-y_0)
	}^{(m)}_{\Pe}
	\]
	ovvero
	\eal{
	&f(x,y)=f(x_0,y_0)+
	\frac{1}{1!}\pqua{
		\dpa f x (x-x_0)+
		\dpa f y (y-y_0)
	}^{(1)}_{\P} +
	\frac{1}{2!}\pqua{
		\dpa f x (x-x_0)+
		\dpa f y (y-y_0)
	}^{(2)}_{\P} + \dots +\\
	&\qq +
	\frac{1}{(m-1)!}\pqua{
		\dpa f x (x-x_0)+
		\dpa f y (y-y_0)
	}^{(m-1)}_{\P} +
	\frac{1}{m!}\pqua{
		\dpa f x (x-x_0)+
		\dpa f y (y-y_0)
	}^{(m)}_{\Pe}
	}
dove
\def\x{{\ove x}}
\def\y{{\ove y}}
\[
\pqua{\dpa f x (x-x_0)+ \dpa f y (y-y_0) }^{(k)}_{(\x,\y)}=
\sum_{h=0}^{k} \binom{k}{h} \pton{\dpa{^k f}{x^h\partial
y^{k-h}}}_{(\x,\y)}(x-x_0)^{h}(y-y_0)^{k-h}
\]dove ${\dpa{^k f}{x^h\partial y^{k-h}}}$ e' la derivata $k-esima$ di $f$
rispetto alla variabile $x$, contata $h$ volte, e rispetto a $y$, contata
$k-h$ volte.
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
	\begin{prova}
		La dimostrazione e' simile a quella della formula di Lagrange:
		basta considerare la funzione $h(t)=f(x(t),y(t))$, e applicare
		ad essa la formula di Taylor per le funzioni a una variabile.
	\end{prova}
	\qed
\end{prova}
\subsubsection{Funzioni a gradiente nullo}
\begin{defn}
	Data la funzione $f:A\longrightarrow \mathbb{R},\;A\(\rd, A\neq \0,\; A\T{
	aperto}$, dicesi gradiente di $f$ in $(x_0,y_0)$
	\[
	\grad f(x_0,y_0):=\nabla f \P := D f \P := (\df x (x_0,y_0), \df y (x_0, y_0))\in \rd
	\]
\end{defn}
\begin{prop}\qq\\
Se $f$ e' costante, ovvero $f(x,y)=c$, allora $\grad f \P = (0,0)$, infatti,
\eal{
		&\df x (x_0,y_0)=D_{x=x_0} f(x, y_0) = D_{x=x_0} c =0
}
non vale il viceversa:
\eal{
&A=A_1\v A_2=\{(x,y)\in \rd \;|\; y>0\}\v\{(x,y)\in \rd\;|\;y<0\}\\
&f(x,y)=\sist{1&(x,y)\in A_1\\
-1&(x,y)\in A_2
}\\
&f/_{A_1},f/_{A_1}\T{ sono costanti }\\
&\sist{\grad f/_{A_1}(x,y)=0&\forall (x,y)\in A_1\\
\grad f/_{A_2}(x,y)=0&\forall (x,y)\in A_2
}\> \grad f(x,y)=0\'\forall (x,y)\in A
}
Se pero', $A$ e' internamente connesso, allora vale il viceversa.
\end{prop}
\begin{thm}\qq\\
	\pflet{
	\begin{enumerate}
		\item $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$, $A\( \rd,A\neq \0,A
			$aperto
		\item $\grad f(x,y)=(0,0)\'\'\forall \Px \in A$, ovvero
			\eal{&
			\sist{
			\exists \df x \Px =0&\forall \Px\in A\\
			\exists \df y \Px =0&\forall \Px\in A}
			}
		\item $A$ e' internamente connesso
	\end{enumerate}}
	allora
	\eal{
	&\exists c\in \mathbb{R}:\;\;f \Px = c\'\forall \Px \in A}
	ovvero, $f$ e' costante.
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
\begin{prova}
	Vogliamo dimostrare che
	$\forall P,Q\in A:P\neq Q$ si ha $f(P)=f(Q)$.\\
	\def\P{{(x_0,y_0)}}
	\def\Q{{(x_1,y_1)}}
	Siano $P=\P,\;Q=\Q$ e sia $S$ il segmento che ha per estremi $P$ e
	$Q$, ovvero
	\[
	S=\pgra{\Px\in A\;|\;\exists t\in [0,1]:\;x=x(t), y=y(t),\;\T{ dove } 
	x(t)=x_0+t(x_1-x_0),\;
	y(t)=y_0+t(y_1-y_0)
	}
	\]
	Distinguiamo due casi
	\case{$S\(A$}
	\begin{prova}
		Sia $h(t)=f(x(t),y(t)):[0,1]\longrightarrow \mathbb{R}$.\\
		$\df x,\df y$ sono funzioni continue perche' costanti. Allora,
		per il thm \see{thmdifftotale}, $f$ e' differenziabile in A.\\
		$x(t),y(t)$ sono derivabili in $[0,1]$ perche' sono
		polinomi.\\
		$\forall t\in [0,1]\;(x(t),y(t))\in S\(A$.\\
		Quindi, per il thm \see{thmderifcomp}, 
		\eal{
		&h'(t)=
		\ubrace{\df x (x(t), y(t))}{=0} x'(t)+\ubrace{\df y (x(t),
		y(t))}{=0} y'(t)=0\\
		&h'(t)=0\'\forall t\in [0,1]\ubrace{\>}{\T{cor. Lagrange
		di Anal. I}} \exists c\in \mathbb{R}:\;h(t)=k\'\forall t\in
		[0,1]\\
		&\>f(x(t),y(t))=c\'\forall t\in [0,1]\\
		&\>f(x(0),y(0))=f(x(1),y(1))=f \P = f \Q
		}
	\end{prova}
	\case{$S\not \( A$}
	\begin{prova}
		Poiche' $A$ e' internamente connesso, esiste una poligonale
		\def\S{{\sum}}
		$\S$, di estremi $P,Q$, tutta contenuta in $A$.\\
		I vertici della poligonale sono:
		\def\Sx#1{{(x^{(#1)}, y^{(#1)})}}
		\eal{
	&\Sx 0, \Sx 1, \dots, \Sx n\\
	&\T{con } \Sx 0 = \P,\'\Sx n = \Q
		}
	i lati della poligonale sono $s_1,s_2,\dots,s_n$, rispettivamente di
	estremi \[(\Sx 0, \Sx 1),\; ( \Sx 1, \Sx 2), \dots,\; (\Sx {n-1}, \Sx
	n)\]
	Se consideriamo il segmento $s_1\( \S \( A$, ci ritroviamo nel caso
	precedente, quindi
	\eal{ &f \Sx 0 = f \Sx 1}
	lo stesso vale per il segmento $s_2, s_3,\dots, s_n$, quindi
	\eal{
	&f \Sx 0 = f \Sx 1 \\
	&f \Sx 1 = f \Sx 2 \\
	&f \Sx 2 = f \Sx 3 \\
	&\dots\\
	&f \Sx {n-1} = f \Sx n
	}
	In conclusione
	\eal{
	&f \Sx 0 = f \Sx n\= f \P =  f \Q
	}
	\end{prova}
\qed
\end{prova}
\end{prova}
\begin{cor}\qq\\
	\label{cordiffdifunzagradientenullo}
	\pflet{
	\begin{enumerate}
		\item $f,g:A\longrightarrow \mathbb{R}$, $A\( \rd,A\neq \0,A
			$aperto
		\item $\grad f(x,y)=\grad g(x,y)\'\'\forall \Px \in A$, ovvero
			\eal{&
			\sist{
			\exists \df x, \dg x,\;\; \df x \Px =\dg x \Px &\forall \Px\in A\\
			\exists \df y, \dg y,\;\; \df y \Px =\dg y \Px &\forall \Px\in A}
			}
		\item $A$ e' internamente connesso
	\end{enumerate}}
	allora
	\eal{
	&\exists c\in \mathbb{R}:\;\;f \Px - g \Px = c\'\forall \Px \in A}
	ovvero, la differenza delle due funzioni e' costante.
\end{cor}
\begin{prova}
	\pf
\begin{prova}
Basta considerare la funzione differenza $\varphi$:
\def\f{{\varphi}}
\eal{
&\f \Px = f \Px - g \Px\\
&\f _x \Px = \df x \Px - \dg x \Px\ubrace{=}{\T{per hp}}0\\
&\f _y \Px = \df y \Px - \dg y \Px=0\\
&\grad \f \Px = (0,0)\'\forall \Px \in A
}
allora, per il thm di prima
\eal{
&\exists c\in \mathbb{R}:\;\f \Px = c \'\forall \Px \in A\=
f \Px - g \Px = c\'\forall \Px \in A}
\qed
\end{prova}
\end{prova}
\subsubsection{Ricerca di minimi e massimi}
\begin{defn}
	Sia $f:X\longrightarrow \mathbb{R}$, dove $X\(\rd,X\neq \0, \P \in
	X$,
	\eal{
&\P \T{ e' un pt. di minimo relativo } \= \exists \delta > 0:\;\;
	f \P \le  f \Px\' \forall (x,y)\in I(\P, \delta)\^X \\
&\P \T{ e' un pt. di massimo relativo } \= 
\exists \delta > 0:\;\; f \P \ge  f \Px\' \forall (x,y)\in I(\P, \delta)\^X \\
&\P\T{ e' un pt. di estremo relativo }\= \P  \T{ e' un pt. di minimo o di massimo relativo }\\
&\P \T{ e' un pt. di minimo assoluto } \= 
	f \P \le f \Px\' \forall (x,y)\in X\\
&\P \T{ e' un pt. di massimo assoluto } \= 
	f \P \ge  f \Px\' \forall (x,y)\in X\\
&\P\T{ e' un pt. di estremo assoluto }\= \P  \T{ e' un pt. di minimo o di massimo assoluto }
}
Le definizioni analoghe per i punti di estremo propri:
\eal{
&\P \T{ e' min. rel. proprio } \= \exists \delta > 0:\;\;
f \P <  f \Px\' \forall (x,y)\in I(\P, \delta)\^X\-\pgra{\P} \\
&\P \T{ e' max. rel. proprio } \= 
\exists \delta > 0:\;\; f \P >  f \Px\' \forall (x,y)\in I(\P,
\delta)\^X\-\pgra{\P} 
}

\end{defn}
\begin{thm}
	di Fermat.\\
	Sia $f:X\longrightarrow \mathbb{R}$, dove $X\(\rd,\den X\neq \0, \P \in
	\den X$,
	\[
	\P \T{ e' un pt. di estremo relativo }, \sist{
	\exists \df x \P \> \df x \P = 0\\
	\exists \df y \P \> \df y \P = 0\\
	}
	\]
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
\begin{prova}
	\case{$\P$ max rel.}
Poiche' $\P$ e' un punto interno, $\exists \delta' > 0:\;\;I ( \P, \delta) \(
X$, inoltre, essendo di massimo relativo $
\exists \delta'' > 0:\;\; f \P \ge  f \Px\' \forall (x,y)\in I(\P,
\delta'')\^X$, allora prendendo $\delta=\min\pgra{\delta', \delta''}$, avremo
\eal{
&f(x,y_0) \le f(x_0,y_0)\'\forall x\in  [ x_0-\delta, x_0+\delta]\\
&\qq \> x_0\T{ e' un max. rel per la funzione a una variabile $f(x,y_0)$} \\
&\qq \ubrace{\>
}{\T{thm. Fermat, Anal I}} \df x (x_0, y_0) = 0
}
Analogamente per $y$.
\end{prova}
\end{prova}
\begin{defn}
	Diremo che il punto $\P\in\den X$ e' un punto stazionario o critico
	$\= \sist{
	\df x \P =0\\
	\df y \P =0
	}$
Il punto e' ``critico'', in quanto, e' possibile che sia un punto di estremo
relativo. I punti non critici, per il thm di Fermat, non possono essere pt. di
estemo relativo.
\end{defn}
\begin{thm}\qq\\
	\pflet{
\begin{enumerate}
	\item $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$, $f\in \sczn{2}{A}$, con $A\(\rd,A\neq \0, A$
		aperto
	\item $\P \in A$ pt. di estremo relativo
\end{enumerate}
	}
	allora
	\begin{enumerate}
		\item $\df x \P =\df y \P =0$
		\item $\P$ max. rel. $\>
			\lambda^2 \df {xx} \P +2\lambda\mu \df {xy} \P + \mu^2\df {yy} \P \le 0\'\forall \lambda,\mu\in \mathbb{R}$
		\item $\P$ min. rel. $\>\lambda^2 \df {xx} \P +2\lambda\mu \df
			{xy} \P + \mu^2\df
			{yy} \P \ge  0\'\forall \lambda,\mu\in \mathbb{R}$
	\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{cor}
	\label{corthmmaxminnec}
Nell Hp del thm precedente, si ha
	\begin{enumerate}
		\item $\df x \P =\df y \P =0$
		\item $\P$ max. rel. $\> \df {xx} \P \le  0, \'\df {yy} \P \le  0$\\
			$\P$ min. rel. $\> \df {xx} \P \ge   0,\'\df {yy} \P
			\ge   0$
		\item \[
			\P\T{ estremo rel. } \>	H \P = \begin{vmatrix}
				\df {xx} \P & \df {xy} \P\\
				\df {yx} \P & \df {yy} \P
			\end{vmatrix} \ge 0
			\]
	\end{enumerate}
	$H \P$ e' chiamato il determinante Hessiano relativo al punto $\P$ e
	alla funzione $f$.\\
	Questo corollario e' utile per capire se un punto non e' di estremo
	relativo: basta controllare che una delle tre condizioni non sia
	verificata.
\end{cor}
\begin{prova}
\def\dfxx{{f_{{xx}} \P}}
\def\dfxy{{f_{{xy}} \P}}
\def\dfyy{{f_{{yy}} \P}}
\def\dfyx{{f_{{yx}} \P}}
\pf
\begin{prova}
Supponiamo che $\P$ sia max. rel., allora per il thm precedente
\eal{
& \lambda^2 \df {xx} \P +2\lambda\mu \df {xy} \P + \mu^2\df {yy} \P \le 0
\'\forall \lambda,\mu\in \mathbb{R}\'\'(*)\\
&\lambda=1,\mu=0\> \df {xx} \P  \le 0 \\
&\lambda=0,\mu=1\> \df {yy} \P  \le 0
}

\case{$\dfxx =0$}
\begin{prova}
\eal{
&H \P \ge 0\= \ubrace{\dfxx}{=0 \T{ per Hp}} \dfyy - \dfxy\dfyx \ge 0\=\\
&\qq f\in \sczn{2}{A} \ubrace{\>}{\T{thm \see{ordinedideriv}}} \dfxy=\dfyx\\
&\= - \dfxy^2 \ge  0 \= \dfxy^2 \le  0\'\'(1)\\
&H \P \ge  0 \= (1)\'\'\\
&(*) \ubrace{\>}{\mu=\dfxy}  2\lambda \dfxy^2 + \dfxy^2\df {yy} \P \le 0 
\'\forall \lambda\in \mathbb{R}\\
&\T{Scegliamo }\lambda=\frac{1-\dfyy}{2}\T{ ottenendo cosi': }\\
& \qq  \dfxy^2(2\lambda +\dfyy)\le 0 \ubrace{\=}{\lambda=\frac{1-\dfyy}{2}}
\dfxy^2 \le 0\\
&\T{la $(1)$ e' cosi' resa vera, e poiche' $H \P \= (1)$, abbiamo dimostrato
la tesi}
}
\end{prova}
\case{$\dfxx < 0$}
\begin{prova}
\eal{
&(*)\ubrace{\>}{\mu=1}  \ubrace{\df {xx} \P}{A}\lambda^2 +\ubrace{2 \df {xy}
\P}{B} \lambda + \ubrace{\df {yy} \P}{C} \le 0
\'\forall \lambda\in \mathbb{R}\\
&A<0,\' A\lambda^2+B\lambda+C \le 0\forall \lambda\in \mathbb{R} \> \Delta \le
0\\
&\qq \T{ se cosi' non fosse, esisterebbero alcune $\lambda$ in cui il
polinomio ammette valori positivi}\\
&\frac{\Delta}{4}=B^2-AC=\dfxy^2-\dfxx\dfyy \le 0 \=\\&
\= \dfxx\dfyy -\dfxy^2 \ge 0\= H \P \ge 0
}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\end{prova}
\begin{prop}
\def\dfxx{{f_{{xx}} \P}}
\def\dfxy{{f_{{xy}} \P}}
\def\dfyy{{f_{{yy}} \P}}
\def\dfyx{{f_{{yx}} \P}}

	Sotto le hp del corollario precedente,
	\[H \P >0 \> \dfxx\neq 0,\;\dfyy\neq 0\] infatti,
	\eal{
	    &H \P >0 \= 0<\dfxx\dfyy-\dfxy^2 \le \dfxx\dfyy \> \\&\dfxx\dfyy >
	    0\>\dfxx\neq 0,\;\dfyy\neq 0
	    }
\end{prop}
\begin{thm}
	\label{thmmaxminsuff}
	condizione sufficiente affinche' un punto sia di estremo relativo.\\
	\pflet{
\begin{enumerate}
	\item $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$, $f\in \sczn{2}{A}$, con $A\(\rd,A\neq \0, A$
		aperto
	\item $H \P > 0$
	\item $\P \in A$, $\df x \P=\df y \P=0$, ovvero $\P$ e' un punto critico
\end{enumerate}
	}
	allora
	\begin{enumerate}
		\item $\dfxx \P <0 \> \P$ e' di max.
			rel. proprio
		\item $\dfxx \P >0 \> \P$ e' di min. rel.
			proprio
	\end{enumerate}
	Nota\footnote{$\dfxx,\dfyy$ hanno lo stesso segno}.
\end{thm}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
Dimostriamo il caso in cui $\dfxx \P <0$.\\
$f\in \sczn{2}{A}\>\dfxx \Px$ e' continua, e quindi e' continua in $\P$:
\eal{&\lim_{\Px \to \P}\dfxx\Px = \dfxx\P <0}
allora per la permanenza del segno:
\eal{&\exists \delta' >0:\'\dfxx\Px < 0 \'\forall \Px \in I(\P,\delta')\'\'(1)}
Nota\footnote{$I(\P,\delta')=I(\P,\delta')\^X$ perche' $(x_0,y_0)$ e' un punto
di $A$, ed $A$ e' un aperto, quindi $\P$ e' un punto interno di $A$}.\\
Consideriamo $H\Px:A\longrightarrow \mathbb{R}$ come funzione:
\eal{&H\Px=\dfxx\Px\dfyy\Px-\dfxy\Px\dfyx\Px\ubrace{=}{f\in \sczn{2}{A}}\dfxx\Px\dfyy\Px-\dfxy\Px^2}
$H\Px$ e' continua, perche' prodotto e differenza di funzioni continue.
Poiche' per Hp $H\P>0$, per la permanenza del segno si avra':
\eal{&\exists \delta'' >0:H\Px > 0 \'\forall \Px \in I(\P,\delta'')\'\'(2)}
Poniamo $\delta=\min\pgra{\delta',\delta''}$. $\delta$ soddisfa sia la $(1)$
che la $(2)$, poiche'
\eal{&I(\P,\delta)\( I(\P,\delta')\^I(\P,\delta'')}
Quello che vogliamo dimostrare e' che
\eal{&f \Px < f \P \'\forall \Px \in I(\P,\delta)}
Utilizziamo la formula di Taylor arrestata alle derivate seconde
(\vedi{thmtaylorII}):
\def\Q{{(x,y)}}
\eal{&\Q\in I(\P,\delta):\Q\neq \P,\;\;S\T{ segmento di estremi $P,Q$}\\
&S\(I(\P,\delta)\(A\\
&\T{per Taylor }
\exists \Pe\in S\-\pgra{\P, \Q}\T{ tale che }\\
&\qq f \Q =f \P +
	\frac{1}{1!}\pqua{
		\dpa f x (x-x_0)+
		\dpa f y (y-y_0)
	}^{(1)}_{\P} +
	\frac{1}{2!}\pqua{
		\dpa f x (x-x_0)+
		\dpa f y (y-y_0)
	}^{(2)}_{\Pe}=\\
&\qq = f \P + 
\ubrace{\df x \P}{=0\;\T{ per Hp}} (x-x_0) + \ubrace{\df y \P}{=0\;\T{ per Hp}} (y-y_0) +\\
&\qq\qq + \dfyy \Pe (y-y_0)^2+2\dfxy \Pe (x-x_0)(y-y_0) + \dfxx\Pe(x-x_0)^2=\\
&\qq = f\P + \dfyy \Pe (y-y_0)^2+2\dfxy \Pe (x-x_0)(y-y_0) + \dfxx\Pe(x-x_0)^2\'\'(3)
}
Notiamo che $\Pe$ e' un punto che soddisfa sia la $(1)$ che la $(2)$.\\
Distinguiamo due casi:
\case{$y-y_0=0$}
\begin{prova}
In questo caso abbiamo dalla $(3)$
\eal{
&\sist{\Q \neq \P \\ y-y_0=0 } \> x\neq x_0\\
&f \Q - f\P = \ubrace{\dfxx\Pe}{<0\;\;(1)}\ubrace{(x-x_0)^2}{> 0}  \> 
f\Q -f\P < 0\=f\Q < f\P
}
e in questo caso abbiamo finito
\end{prova}
\case{$y-y_0\neq 0$}
\begin{prova}
Vogliamo dimostrare  che $f\Q - f\P <0$, ovvero che
\eal{
&f\Q-  f\P \ubrace{=}{(3)} \dfyy \Pe (y-y_0)^2+2\dfxy \Pe (x-x_0)(y-y_0) +
\dfxx\Pe(x-x_0)^2<0
\=\\
&\= \dfyy \Pe +2\dfxy \Pe \frac{x-x_0}{y-y_0} +
\dfxx\Pe\pton{\frac{x-x_0}{y-y_0}}^2 <0 \=\\
&\ubrace{\=}{t=\frac{x-x_0}{y-y_0}} \dfxx\Pe t^2+ 2\dfxy \Pe t+\dfyy \Pe
<0\'\'(4)
}
esaminiamo quest'ultimo polinomio:
\eal{&
\frac{\Delta}{4}=\dfxy \Pe ^2-\dfxx\Pe\dfyy \Pe\ubrace{=}{\T{per la (2)}}-H\Pe <0
}
quindi la $(4)$ e' vera $\forall t\in \mathbb{R},\;\forall (x,y)\in I(\P,
\delta)$
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\end{prova}
\subsubsection{Algoritmo di ricerca dei pt. di max e min}
Sia
$f:A\longrightarrow \mathbb{R}$, $f\in \sczn{2}{A}$, con $A\(\rd,A\neq \0, A$
aperto, 
\begin{enumerate}
	\item Troviamo tutti i punti critici:
		\[
		Pc=\sist{\df x \Px=0\\
		\df y \Px =0}
		\]
	       $Pc$ e' l'insieme di tutti i punti critici. Se e' vuoto, ci
	       fermiamo: non esistono punti di estremo relativo.
      \item Per ogni $\P \in Pc$ calcoliamo $H\P$
	      \begin{enumerate}
		      \item Se $H\P < 0$, allora, per il cor
			      \see{corthmmaxminnec}, $\P$ non e' un estremo
			      relativo
		      \item Se $H\P > 0$, per il thm \see{thmmaxminsuff},
			      \begin{enumerate}
				      \item Se $\dfxx \P <0$, $\P$ e' un max.
					      rel. proprio
				      \item Se $\dfxx \P >0$, $\P$ e' un min.
					      rel. proprio
			      \end{enumerate}
		      \item Se $H\P =0$, allora siamo in un caso dubbio, e non
			      possiamo dire nulla a priori.
	      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsubsection{Generalizzazioni}
I teoremi fin'ora visti si possono estendere a funzioni definite in
$\mathbb{R}^n$.
\def\x{{\mathbf{x}}}
\def\vz{{\underline{0}}}
\begin{enumerate}
	\item 
Si estende la definizione di gradiente:
\eal{&\grad f(\x) \definizione{=}
(f_{x_1}(\x),f_{x_2}(\x),\dots,f_{x_n}(\x))
}
O usando un'altra notazione:
\eal{&\nabla f(\x) \definizione{=}
\pton{
\pton{\dpa f {x_1}}_{\x},
\pton{\dpa f {x_2}}_{\x},
\dots,
\pton{\dpa f {x_n}}_{\x}
}
}
\item
Si definisce la \emph{matrice Hessiana} H:
\eal{&(H)_{ij}(\x)\definizione{=}f_{x_ix_j}(\x)
	\;\;\forall
	i,j=1,\dots,n
	}
	o usando l'altra notazione:
	\eal{&(H)_{ij}(\x)\definizione{=}\pton{\frac{\partial^2 f}{\partial
	x_i\partial x_j}}_{\x}\;\;\forall i,j=1,\dots,n
}
	Se $f\in \sczn{2}{A}$, allora per Schwartz (vedi \see{ordinedideriv}) $H$
	e' una matrice simmetrica.
\end{enumerate}
\def\R{{\mathbb{R}}}
\begin{defn}
	Sia $M\in \R^{n\*n}$ una matrice simmetrica
	\eal{&M\T{ e' definita positiva } \definizione{\=} M_i>0\;\;\forall i=1,\dots,n
	}
dove $M_i$ e' il determinante del minore principale $i$-esimo.\\
Le definizioni di matrice \emph{semidefinita positiva, semidefinita negativa} si
trovano negli appunti di Geometria 2.
\end{defn}
\begin{prop}\label{condnecessariaminimofunziniinRn}
Sia $f:A\longrightarrow \R$, $f\in \sczn{2}{A}$, $A\( \R^n$, aperto non
	vuoto, $\x\in A$. In analogia al cor \see{corthmmaxminnec}, si ha
	\begin{enumerate}
		\item $\grad f=\vz$, dove $\vz=(0,0,\dots,0)$ e' il vettore nullo.
		\item 
			$\x$ max. rel. $\>$  $H(\x)$ e' semidefinita negativa.\\
			$\x$ min. rel. $\>$  $H(\x)$ e' semidefinita
			positiva.
	\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{thm}\label{minimofunzioniinRn}
	Sia $f:A\longrightarrow \R$, $f\in \sczn{2}{A}$, $A\( \R^n$, aperto non
	vuoto, $\x\in A$. In analogia al thm \see{thmmaxminsuff}, si ha
	\eal{&\sist{\grad f(\x) = \vz\\
	H(\x) \T{ definita positiva }
	}  \> \x\T{ e' un punto di minimo relativo proprio } 
	}
\end{thm}


\subsubsection{Max e min assoluto}
\begin{thm}
Sia $f:X\longrightarrow \mathbb{R}$, continua in $X$, con $X\(\rd,X\neq \0$,
chiuso e limitato.\\
$\P$ e' un estremo assoluto $\> \P\in X_1\v X_2\v X_3$, dove
\eal{
&X_1=\pgra{\Px\in \den X\;|\;\exists \df x \Px =0\;\land \;\exists \df y \Px =0}\\
&X_2=\pgra{\Px\in \den X\;|\;\nexists \df x \Px\;\lor \;\nexists \df y \Px}\\
&X_3=\fron{X}
}
In sostanza, per trovare i punti di estremo assoluto, basta cercare in
$X_1 \v X_2 \v X_3$.
\end{thm}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
Osserviamo che:
\eal{&\sist{
X\T{chiuso e limitato}\\
X\(\rd
} \ubrace{\>}{\T{thm \see{thmrpchiusolimeqseqcomp}}} X\T{ seq. compatto }\\
&\sist{X\T{ seq. compatto } \\
f\T{ continua in X} \ubrace{\>}{\T{thm di Weierstrass}} \T{ f \T{ ammette max.
e min. ass.}}}
}
Inoltre,
\eal{&
X\T{ limitato},\;X\neq \0 \> X\neq \rd, X\neq \0 \ubrace{\>}{\T{cor \see{corapertochiuso}}} F(X)=X_3\neq \0
}
E' chiaro che si puo' verificare uno e uno solo dei seguenti casi:
\case{$\P\in X_1$}
\begin{prova}
	\qed
\end{prova}
\case{$\P\in X_2$}
\begin{prova}
	\qed
\end{prova}
\case{$\P\in X\-(X_2\v X_3)$}
\begin{prova}
\eal{&\P\notin X_3=\fron{X},\;\P\in X \> \P\in \den{X}\\
&P\in \den{X},\;\;P\notin X_2 \> \exists \df x \P,\;\exists \df y \P\\
&\P\T{ e' estremo relativo }\ubrace{\>}{\T{per il thm di Fermat}} \df x=\df y
=0 \> \P \in X_1
} \qed
\end{prova}
\end{prova}
\end{prova}
\begin{prop}\qq\\
$X_1$ e' formato dalla soluzioni del sistema
\[
		Pc=\sist{\df x \Px=0\\
		\df y \Px =0}=\pgra{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)}
\]
e possiede spesso un numero finito di punti.\\
$X_2$ pure possiede spesso un numero finito di punti:
\[
X_2=\pgra{(x_1',y_1'),(x_2',y_2'),\dots,(x_m',y_m')}
\]\\
$X_3$ e' la frontiera, e spesso e' una curva del tipo
\[
X_3=\pgra{(x(t),y(t))\;|\;t\in [a,b],\;x(t),y(t)\T{ sono funzioni continue in
}[a,b]}
\]
in questi casi
\[
\max_{X} f=
\max\pgra{f(x_1,y_1),f(x_2,y_2),\dots,f(x_n,y_n), 
f(x_1',y_1'),f(x_2',y_2'),\dots,f(x_m',y_m'),
\max_{t\in [a,b]} h(t)}
\]
dove $h(t)=f(x(t),y(t)):[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$. Il $\max_{t\in
[a,b]} h(t)$ si calcola con lo stesso procedimento, applicato pero' a una funzione a una
sola variabile.
\end{prop}
\begin{exemp}
	$f(x,y)=y^2-x^4:X\longrightarrow \mathbb{R}$, con $X=C((0,0),1)=
	\pgra{(x,y)\in \rd \;|\;x^2+y^2\le 1}$\\
	$f$ e' continua, quindi per Weierstrass ammette minimo e massimo
	assoluti.\\
	\eal{&\df x \Px = -4x^3\'\forall \Px\in X\\
	&\df y \Px = 2y\'\forall \Px\in X\\
	&Pc=\sist{\df x \Px=0 \\
		\df y \Px =0}=
	\sist{-4x^3=0\\
	2y=0}=\pgra{(0,0)}\\
	&X_1=\pgra{(0,0)}\\
	&X_2=\0\\
	&X_3=\pgra{\Px\in\rd\;|\;x^2+y^2=1}=
	\pgra{(x(t),y(t))\in \rd\;|\;x(t)=\cos t,\;y(t)=\sin t,\;t\in[0,2\pi]}\\
	&h(t)=f(x(t),y(t))=\sin^2 t-\cos^4 t\\
	&h'(t)=2\sin t \cos t+4\cos^3 t \sin t =\sin t\cos t(4\cos ^2+2)\\
	&X_1'=\pgra{t\in [0,2\pi]\;|\;h'(t)=0}=
	\pgra{k\pi, k\frac{\pi}{2} \;|\;k=0,1}=\pgra{0, \pi, \frac{\pi}{2}}\\
	&X_2'=\0\\
	&X_3'=\{0,2\pi\}\\
	&\max_X f =\max\{\max f(X_1\v X_2),\max h(X_1'\v X_2'\v X_3')\} =
	\max \pgra{f(0,0), h(0), h(\pi), h(\frac{\pi}{2}), h(2\pi) }=\\
	&=\max \pgra{0, -1, 1}=1\\
	&\min_X f =\min\{\min f(X_1\v X_2),\min h(X_1'\v X_2'\v X_3')\} =
	\min \pgra{f(0,0), h(0), h(\pi), h(\frac{\pi}{2}), h(2\pi) }=\\
	&=\min \pgra{0, -1, 1}=-1
	}
\end{exemp}
\subsection{Derivate direzionali}
Le derivate direzionali estendono il concetto di derivate parziali.\\
Sia $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$, con $A\(\rd, A\neq \0, A$ aperto. Sia
$\P\in A$. Prendiamo una qualsiasi retta $r$ passante per $\P$, definita da:
\[
r:\;\sist{x(t)=x_0+\alpha t\\
y(t)=y_0+\beta t}\'\'\forall t\in \mathbb{R}
\]
con $|\alpha|\le 1,\;|\beta|\le 1,\;\sqrt{\alpha^2+\beta^2}=1$.
Nota\footnote{In sostanza, come vettore direttore stiamo prendendo il vettore
che ha componenti $(\alpha,\beta)$, con $(\alpha,\beta)\in S^1$, dove $S^1$ e' la circonferenza
unitaria.}\\
\eal{&\P\in A \T{ aperto }\> \exists \delta >0:\;I(\P, \delta)\(A}.
La derivata con direzione $r$, in $\P$ e' definita come
\eal{&
\df r \P:=\dpfp r {\P}:=\lim_{t\to 0}\frac{f \Pt-f\P}{t}=\\
&\qq\qq=\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+\alpha t, y_0+\beta t)-f\P}{t}\'\'\forall
t\in]-\delta,\delta[\-\pgra{0}
}
\begin{prova}
\step{}{
Controlliamo che questa definizione abbia senso, ovvero che sia lecito
calcolare $f \Pt$:
}
\begin{prova}
\label{quiPthasenso}
	\eal{&
	d(\Pt, \P)=\sqrt{(x(t)-x_0)^2+(y(t)-y_0)^2}=
	\sqrt{(\alpha t)^2+(\beta t)^2}=|t|\sqrt{\alpha^2+\beta^2}=|t|\\
	&t\in ]-\delta, \delta[\=|t| < \delta
	\> \Pt \in I(\P, \delta)\( A \>\Pt\in A
	}
	Quindi, dato che $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$, $f\Pt$ ha senso.
\end{prova}
\step{}{Osservazione}
\begin{prova}
Prendendo una retta $r$ parallela all'asse $x$, passante per
$\P$, otteniamo la derivata parziale in $x$ per $\P$:
\eal{&\alpha=1,\beta=0\\
&\df r \P=\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t,
y_0)-f\P}{t}\ubrace{=}{t=x-x_0}\frac{f(x,y_0)-f\P}{x-x_0}=\df x \P
}
analogamente per $\df y \P$:
\eal{&\alpha=0,\beta=1\\
&\df r \P=\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0,
y_0+t)-f\P}{t}\ubrace{=}{t=y-y_0}\frac{f(x_0,y)-f\P}{y-y_0}=\df y \P
}
\end{prova}
\end{prova}
\begin{thm}
Sia $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$, con $A\(\rd, A\neq \0, A$ aperto, $\P\in
A$
\eal{&f\T{ differenziabile in }\P\>\exists \df r \P=\df x \P \alpha+\df y \P
\beta\\&\qq\qq\qq\qq\qq\qq\'\'\forall r\T{ retta passante per }\P\T{ con num. direttori
$\alpha,\beta$}}
\end{thm}
\begin{prova}
\pf
\step{}{Dim $\>$}
\begin{prova}
Prendiamo una qualsiasi retta $r$ passante per $\P$, definita da:
\[
r:\;\sist{x(t)=x_0+\alpha t\\
y(t)=y_0+\beta t}\'\'\forall t\in \mathbb{R}
\]
con $|\alpha|\le 1,\;|\beta|\le 1,\;\sqrt{\alpha^2+\beta^2}=1$.\\
\eal{&\P\in A \T{ aperto }\> \exists \delta >0:\;I(\P, \delta)\(A\\
&F(t)=f(x(t),y(t)): ]-\delta,\delta[\longrightarrow
\mathbb{R}\\
&f,\T{ per Hp e' differenziabile in }\P\\
&x'(t)=\alpha,\'y'(t)=\beta\'\forall t\in \mathbb{R}\\
&\forall t\in \Pt\in A\T{  [l'abbiamo visto prima in \see{quiPthasenso}]}\\
&\T{allora, per il thm \see{thmderifcomp}}:\\
&\qq \exists F'(0) = 
\df x \P \alpha+\df y \P \beta\\
&F'(0)=\lim_{t\to 0}\frac{F(t)-F(0)}{t}=
\lim_{t\to 0}\frac{f(x(t),y(t))-f(x_0,y_0))}{t}=\df r \P
}
\qed
\end{prova}
\step{}{Dim $\nLeftarrow $}
\begin{prova}
	\def\O{{(0,0)}}
	Sia 
	\eal{&f(x,y)=\sist{
	\pton{\frac{x^2y}{x^4+y^2}}^2&(x,y)\neq (0,0)\\
	0&(x,y)=(0,0)
	}
	}
	$f$ ammette una qualsiasi derivata direzionale in $\O$, non e' pero'
	differenziabile.
	\step{}{$f$ non e' continua in $(0,0)$}
\begin{prova}
	Calcoliamo il limite della $f$ ristretta a $Y=\pgra{(x,x^2)}$
	\eal{&
	\lim_{\Px \to \O,\;
	      \Px\in Y}f\Px=
	 \lim_{\Px \to \O,\;
	 \Px\in Y}\pton{\frac{x^4}{2x^4}}^2=\frac{1}{4}\\
	 &f\O=0 \;\neq \;\frac{1}{4}\\
	 &\T{per il thm 8. di \see{thmlimitism}: } \lim_{\Px \to \O}f\Px \neq
	 0=f(0,0)
	}
\end{prova}
Allora, per il thm \see{thmdiffimpcont}, $f$ non e' differenziabile in $\P$.
\step{}{$f$ ammette una qualsiasi derivata direzionale in $\O$}
\begin{prova}
Sia $r$ una retta passante per $\O$:
\[
r:\;\sist{x(t)=\alpha t\\
y(t)=\beta t}\'\'\forall t\in \mathbb{R}
\]
\eal{&
\df r \O=
\lim_{t\to 0}\frac{f(\alpha t,\beta t)-f(0,0)}{t}=
\lim_{t\to 0}\frac{f(\alpha t,\beta t)}{t}=\\
&=\lim_{t\to 0}{\frac {{\alpha}^{4}{t^5}{\beta}^{2}}{\left(
{\alpha}^{4}{t}^{2}+{\beta}^{2} \right) ^{2}}}=0
}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\end{prova}





\section{Appendice}
\begin{prova}
\label{dimproposs2p94}
	\pf della proposizione \see{proposs2p94}\\
	\begin{prova}
\def\x{{x^{\circ}}}
\def\xx{{\ove x}}
Sia $\x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\in \den{X}$, vogliamo provare che $\x\in \de X$.\\
Sia $I(\x,\delta')$ un intorno qualsiasi di $\x$, 
Affinche' $\x\in \de X$, si
deve avere
\eal{&\forall \delta' >0:\;\exists \xx\in I(\x,\delta')\^X\-\pgra{\x}}
Fissiamo $\delta'>0$. Poiche' $\x\in \den X$, si ha 
\eal{&\exists \delta''>0:\;I(\x,\delta'')\(X}
Sia $\delta=\min\pgra{\delta',\delta''}$. 
\eal{&\xx=(x_1+\frac{\delta}{2}, x_2,\dots,x_n)\\
&d_{\mathbb{R}^n}(\x,\xx)=|x_1+\frac{\delta}{2}-x_1|=\frac{\delta}{2}<\delta
\>\xx\in I(\x,\delta)\\
&d_{\mathbb{R}^n}(\x,\xx) < \delta \le \delta'' \> \xx \in I(\x,\delta'')\(X\\
&x_1+\frac{\delta}{2}\neq x_1\>\xx \neq \x\\
&\xx\in I(\x,\delta)\^X\-\pgra{\x}
}
\qed
\end{prova}
\end{prova}

\begin{prova}
\pf del thm 8. di \see{thmlimitism}
\label{thmsottolimite}
\begin{prova}
	\eal{
&\lim_{x\to x_0} f(x) = l \> \forall \varepsilon > 0\'\exists \delta >0:\'|f(x)-l|<\varepsilon\;\;\forall x\in I(x_0, \delta)\^ X\-\{x_0\}\\
&y\in I(x_0, \delta)\^ Y\-\{x_0\} \ubrace{\>}{Y\(X} y\in I(x_0, \delta)\^
 X\-\{x_0\}\> |f(x)-l|<\varepsilon
}
Nota: questo lemma e' utile per provare che il limite di una funzione non e'
un certo numero $l$, infatti, in diversi casi risulta piu' semplice
calcolare il limite della restrizione della funzione.
\qed
\end{prova}
\end{prova}


%%%%%%%
\printindex
\end{document}