% File: algebraI.tex % Created: Sat Oct 07 10:00 AM 2006 C % Last Change: Sat Oct 07 10:00 AM 2006 C % % % (c) Copyright 2007 Andrea Lo Pumo aka AlpT % % This source code is free software; you can redistribute it and/or % modify it under the terms of the GNU General Public License as published % by the Free Software Foundation; either version 2 of the License, % or (at your option) any later version. % % This source code is distributed in the hope that it will be useful, % but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of % MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. % Please refer to the GNU Public License for more details. % % You should have received a copy of the GNU Public License along with % this source code; if not, write to: % Free Software Foundation, Inc., 675 Mass Ave, Cambridge, MA 02139, USA. % \documentclass[a4paper]{article} \usepackage{amath} \title{Laboratorio di calcolo} \author{AlpT (@freaknet.org)} \begin{document} \maketitle{} \pagebreak \begin{small} Copyright \copyright 2007 Andrea Lo Pumo aka AlpT $<$alpt@freaknet.org$>$. All rights reserved. This document is free; you can redistribute it and/or modify it under the terms of the GNU General Public License as published by the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later version. This document is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE\@. See the GNU General Public License for more details. You should have received a copy of the GNU General Public License along with this document; if not, write to the Free Software Foundation, Inc., 675 Mass Ave, Cambridge, MA 02139, USA. \end{small} \pagebreak \section{Risoluzione di equazioni} \subsection{Equazioni reciproche} Un'equazione $a_0x^{n}+a_1^{n-1}+\cdots+a_n = 0$ e' detta \textbf{reciproca di prima specie} quando \[ a_0=a_n,\quad a_1=a_{n-1}, \quad a_2=a_{n-2}, \quad \dots \]. E' invece di \textbf{seconda specie} quando \[ a_0=-a_n,\quad a_1=-a_{n-1}, \quad a_2=-a_{n-2}, \quad \dots \]. Nota: quando il monomio e' nel caso $a_i=-a_i$, allora $a_i=0$ \subsubsection{Proprieta'} Nelle equazioni reciproche di prima specie, se esiste una radice $\alpha$ allora esiste la radice $\frac{1}{\alpha}$ \subsubsection{Terzo grado prima specie} \[a_0x^3 + a_1x^2 + a_1x + a_0 = 0\] $x=-1$ e' una radice di questa equazione. \subsubsection{Terzo grado seconda specie} \[a_0x^3 + a_1x^2 - a_1x - a_0 = 0\] $x=1$ e' una radice di questa equazione. \subsubsection{Quarto grado prima specie} \[a_0x^4 + a_1x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0\] Per risolvere questa equazione si adotta questo algoritmo: \begin{enumerate} \item Si divide tutto per $x^2$: \[ a_0x^2 + a_1x + a_2 + \frac{a_1}{x} + \frac{a_0}{x^2} = 0\] \item Si mettono in evidenza i coefficienti uguali: \[ a_0(x^2+\frac{1}{x^2}) + a_1(x + \frac{1}{x}) + a_2 = 0 \] \item Si pone: \[ y = x + \frac{1}{x} \quad \mbox{[1]}\] e \[ y^2-2 = x^2 + \frac{1}{x^2} \qquad\] \item Si riscrive l'equazione in funzione di y: \[ a_0(y^2-2) + a_1y + a_2 = 0 \] \item Si trovano le soluzioni della $y$ \item In base alla [1] si trovano le soluzioni della $x$. \end{enumerate} \subsubsection{Quarto grado seconda specie} \[a_0x^4 + a_1x^3 - a_1x - a_0 = 0\] $x=1$ e' una radice di questa equazione. \subsection{Disequazioni irrazionali} Dati due polinomi $A(x), B(x)$, le disequazioni: \begin{align} &\sqrt[n]{A(x)} < B(x)\\ &\sqrt[n]{A(X)} > B(X) \end{align} Se $n$ e' pari, si risolvono con questi sistemi equivalenti: \[ \sqrt[n]{A(x)} < B(x) \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} A(x) \ge 0\\ B(x) > 0\\ A(x) < B(x)^n \end{cases} \] \[ \sqrt[n]{A(X)} > B(X) \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} A(X) \ge 0\\ B(X) < 0 \end{cases} \lor \;\; \begin{cases} A(x) > B(x)^n\\ B(X) \ge 0 \end{cases} \] \subsection{Formule varie} \begin{enumerate} \item \[ (a+b)^m={\sum_{k=0}}^{m} \binom{n}{k}a^{n-k}b^k \] \item \[ x^n-y^n=(x-y)({\sum_{k=0}}^{n-1} x^{n-1-k}y^{k}) \] \item \[ \arccos y = \frac{\pi}{2} - \arcsin y\;\;\forall y \in [-1,1] \] \begin{proof} $\arccos x, \arcsin x$ hanno le derivate opposte, quindi per il cor. di Lagrange, si ha che $\arccos x, -\arcsin x $ differiscono per una costante $k$. Scegliendo una particolare $x$ (ad esempio $x=0$), si scopre chi e' $k$, ovvero, $k=\frac{\pi}{2}$. \end{proof} \end{enumerate} \section{Funzioni iperboliche} Siano date le seguenti funzioni, che vengono chiamate funzioni trigonometriche iperboliche (vedi figura \see{figtrighyp}) \eal{ &\sinh x: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &\sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2}\\ &\cosh x: \mathbb{R} \longrightarrow [1,+\infty[\\ &\cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2}\\ &\tanh x: \mathbb{R} \longrightarrow ]-1, 1 [\\ &\tanh x = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} } Le loro inverse sono: \eal{& \arcsinh y=\ln(y+\sqrt{y^2+1})\\ &\arccosh y=\ln(y+\sqrt{y^2-1})\qq\qq y \ge 1 \\ &\arctanh y = \frac{1}{2}\log\pton{\frac{1+y}{1-y}} \qq \qq -1 < y < 1 } Valgono le seguenti identita' (\textbf{!nota! }\footnote{tutte le identita' date si possono ricavare da quelle trigonometriche utilizzando la regola di Osborne, che consiste nelle seguenti sostituzioni: \eal{&\cos x \longrightarrow \cosh x\\ & \sin x \longrightarrow \sinh x \\ &\sin^2 x \longrightarrow -\sinh^2 x } Ad esempio: \eal{&\cos^2x+\sin^2x =1 \longrightarrow \cosh^2 x -\sinh^2x =1} Questa regola deve essere usata con le dovute cautele, ad esempio, anche se \eal{& \sin (x +\frac{\pi}{2}) = \sin(x) } non e' vero nella versione iperbolica: \eal{& \sinh (x +\frac{\pi}{2}) \neq \sinh(x) } }) \eal{ &\cosh x > 1 \;\;\forall x\in \mathbb{R}\setminus\{0\},\;\;\;\cosh x =1\;\;\forall x = 0\\ &\sinh x > 0 \;\;\forall x > 0,\;\;\;\sinh x < 0 \;\;\forall x<0,\;\;\sinh x =0\;\;\forall x =0\\ &\cosh^2 x - \sinh ^2 x = 1\qq \qq \T{ identita' fondamentale }\\ &\sinh(-x) = -\sinh (x)\\ &\cosh(-x) = \cosh(x)\\ & \sinh (x + y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y\\ &\sinh (x - y) = \sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y\\ &\sinh (2 x) = 2 \sinh x \cosh x\\ &\cosh (x + y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y\\ &\cosh (x - y) = \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y\\ &\cosh (2 x) = \cosh^2 x + \sinh^2 x \\ &\cosh^2 x = \frac{1 + \cosh (2 x)}{2}\\ &\sinh^2 x = \frac{-1 + \cosh (2 x)}{2}\\ } Dimostriamo l'identita' $ \cosh^2 x - \sinh ^2 x = 1$ \begin{proof} \begin{align*} &\left(\frac{e^x+e^{-x} }{2} \right)^2 - \left( \frac{e^x-e^{-x} }{2}\right)^2 = \\ =&\frac{ e^{2x}+e^{-2x}+2e^{x-x} } { 4 } - \frac{ e^{2x}+e^{-2x}-2e^{x-x} } { 4 } =\\ =&\frac{4}{4}=1 \end{align*} \end{proof} Calcoliamo l'inversa di $\sinh x$ (per l'inversa di $\cosh x, \tanh x$ si procede analogamente): \begin{proof} Dobbiamo risolvere la seguente equazione in $x$: \[ y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \] allora \begin{align*} &2y=e^{x}-\frac{1}{x^x}\\ &2ye^x=e^{2x}-1\\ &t^2-2yt-1=0 \quad \T{ con } t=e^x\\ &t=y\pm\sqrt{y^2+1}\\ &e^x=y-\sqrt{y^2+1}\;\;\;\textrm{imp. perche' $y-\sqrt{y^2+1}<0$}\\ &e^x=y+\sqrt{y^2+1}\;\;\Rightarrow \;\;x=\ln(y+\sqrt{y^2+1}) \end{align*} \end{proof} Dimostriamo la formula di addizione: \begin{proof} \def\exp(#1){{e^{#1}}} \eal{& \sinh (x + y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \= \\ & \= \frac{1}{2}\exp(x+y)-\frac{1}{2}\exp(-x-y) = (\frac{1}{2}\exp(x)-\frac{1}{2}\exp(-x))(\frac{1}{2}\exp(y)+\frac{1}{2}\exp(-y))+(\frac{1}{2}\exp(x)+\frac{1}{2}\exp(-x))(\frac{1}{2}\exp(y)-\frac{1}{2}\exp(-y)) \= \\ & \= \frac{1}{2}\exp(x+y)-\frac{1}{2}\exp(-x-y) = \frac{1}{2}\exp(x+y)-\frac{1}{2}\exp(-x-y) \= 0=0 } \end{proof} Da quest'ultima e dalla $\sinh(-x)=-\sinh(x)$ si deduce la formula di sottrazione. \section{Punti angolosi e cuspidali} Data $f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}, x_0\in]a,b[, $ continua in $x_0$ e $\nexists f'(x_0)$. Chiamiamo derivata destra questo limite: \[ \alpha=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \] e la derivata sinistra: \[ \beta=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \] \subsubsection{Punto angoloso} Se $\alpha, \beta\in \mathbb{R}, \alpha\neq \beta$, allora $p_0=(x_0 f(x_0))$ viene chiamato \emph{punto angoloso} e le rispettive tangenti destra e sinistra sono: \[ y-f(x_0)=\alpha (x-x_0) \]\[ y-f(x_0)=\beta (x-x_0)\] Ad esempio, $f(x)=|x|$, $(0, |0|)$ e' un punto angoloso e le tangenti destra e sinistra sono $y=x,\; y=-x$. \subsubsection{Punto angoloso con tg distinte} Se $\alpha=\pm \infty, \beta\in \mathbb{R}$ (o viceversa), allora $p_0=(x_0 f(x_0))$ viene chiamato \emph{punto angoloso con tangenti distinte} e le rispettive tangenti destra e sinistra sono: \[ y-f(x_0)=\alpha (x-x_0) \] \[ x=x_0 \] (o viceversa)\\ Ad esempio, \[f(x)=\begin{cases} \sqrt{x}&x>0\\ x^2&\le 0 \end{cases}\] $(0,0)$ e' il punto angoloso e le tangenti sono gli assi cartesiani. \subsubsection{Punto cuspidale} Se $\alpha=\pm \infty, \beta=-\alpha$ (cioe' sono tutte e due infiniti ma con segno opposto), allora $p_0=(x_0 f(x_0))$ viene chiamato \emph{punto cuspidale} per $f$. e le rispettive tangenti destra e sinistra sono: \[ x=x_0 \] \[ x=x_0 \] Ad esempio, \[f(x)=\sqrt[3]{x^2}\] $(0,0)$ e' il punto cuspidale e $\alpha=+\infty, \;\beta=-\infty$. \subsubsection{Punto di flesso} Se $\alpha=\beta=\pm \infty$, allora $p_0=(x_0 f(x_0))$ viene chiamato \emph{punto di flesso a tg verticale} per $f$ e le rispettive tangenti destra e sinistra (verticali) coincidono. Ad esempio, \[f(x)=\sqrt[3]{x}\] $(0,0)$ e' il punto di flesso e $\alpha=\beta=+\infty$ \subsection{Lagrange e derivata destra e sinistra} Data $f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, continua in $[a,b]$ e derivabile in $]a,b[\setminus\{x_0\}$, dove $x_0\in ]a,b[$, allora valgono per Lagrange le seguenti proprieta': \begin{enumerate} \item \[\exists \lim_{x\longrightarrow x_0^+}f'(x)\;\Rightarrow \;\lim_{x\longrightarrow x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\rightarrow x_0^+}f'(x)\] Ovvero la derivata destra di $x_0$ e' uguale a $\lim_{x\rightarrow x_0^+}f'(x)$: \[ f_+'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0^+}f'(x)\] \begin{proof} Considerando il teorema di Lagrange, per le $x > x_0$, abbiamo: \[\exists c \in ]x_0,x[:\;\;\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(c) \] Quando $x \to x_0+$, per il teorema del confronto, anche $c\to x_0+$, quindi: \[ \lim_{x\longrightarrow x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{c\rightarrow x_0^+}f'(c)\] Ovviamente questo vale solo se $\exists \lim_{c\rightarrow x_0^+}f'(c)$. \end{proof} \item \[\exists \lim_{x\longrightarrow x_0^-}f'(x)\;\Rightarrow \;\lim_{x\longrightarrow x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\rightarrow x_0^-}f'(x)\] Ovvero la derivata sinistra di $x_0$ e' uguale a $\lim_{x\rightarrow x_0^-}f'(x)$: \[ f_-'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0^-}f'(x)\] \item Se i due limiti di sopra sono equivalenti, allora: \[ \exists \textrm{finito }\lim_{x\longrightarrow x_0^+}f'(x)= \lim_{x\longrightarrow x_0^-}f'(x)=l\;\Rightarrow \;\lim_{x\longrightarrow x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\longrightarrow x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]\[\quad\Rightarrow \;\exists f'(x_0)=l \] \end{enumerate} \section{Appendice} \begin{figure}[h] \begin{center} \includegraphics[scale=0.65]{fig/exp} \end{center} \caption{Potenze} \end{figure} \begin{figure}[h] \begin{center} \includegraphics[scale=0.45]{fig/Sinh_cosh_tanh} \end{center} \caption{Funzioni trigonometriche iperboliche} \label{figtrighyp} \end{figure} \end{document}