% % (c) Copyright 2007 Andrea Lo Pumo aka AlpT % % This source code is free software; you can redistribute it and/or % modify it under the terms of the GNU General Public License as published % by the Free Software Foundation; either version 2 of the License, % or (at your option) any later version. % % This source code is distributed in the hope that it will be useful, % but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of % MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. % Please refer to the GNU Public License for more details. % % You should have received a copy of the GNU Public License along with % this source code; if not, write to: % Free Software Foundation, Inc., 675 Mass Ave, Cambridge, MA 02139, USA. % \documentclass[a4paper]{article} \usepackage{amath} \begin{document} \title{Analisi I} \author{AlpT (@freaknet.org)\\ \small{http://freaknet.org/alpt} } \pagenumbering{roman} \maketitle{} \begin{abstract} Questo testo e' una rielaborazione personale degli appunti presi durante il corso di Analisi I, tenuto dalla Prof.ssa Di Vincenzo presso il dipartimento di Matematica, Catania, A.A. 2006/2007.\\ Nota bene: questo e' uno dei miei primi appunti, quindi e' molto probabile che troverai numerose sviste. Saro' ben lieto di correggere ogni eventuale errore che mi comunicherai. Buon lettura. \begin{center} \verb|^_^| \end{center} \end{abstract} \input{gpl} \clearpage \tableofcontents \clearpage \pagenumbering{arabic} \def\Ll{\mathcal{L}} \def\tg{\tan} \def\sen{\sin} \def\arsinh{\operatorname{arsinh}} \def\arsenh{\operatorname{arsinh}} \def\E{{\exists}} \section{Operazioni} \label{CFBAnalisiI} \subsection{Valore assoluto} \[ |a| = \begin{cases} a & a > 0\\ 0 & a=0 \\ -a & a<0 \end{cases} \] \subsubsection{Proprieta'} \begin{enumerate} \item $|a|=0\quad\Leftrightarrow\quad a=0$ \item $-|a| \le a \le |a|$ \item $|ab| = |a||b|$ \item $|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}$ \item $|a| \le b \quad\Leftrightarrow\quad -b \le a \le b$ \item $|a| \ge b \quad\Leftrightarrow\quad a \le -b \lor a \ge b$ \item $|a+b| \le |a| + |b|\qquad$ (disuguaglianza triangolare) \item $|a+b| \ge ||a| - |b||$ \item $|a| = \sqrt{a^2}$ \item $|a-b| = 0 \quad\Leftrightarrow\quad a=b$ \item $|a| < \varepsilon, \;\; \forall \varepsilon > 0 \quad \Leftrightarrow \quad a=0$ \begin{proof} Dimostriamo per assurdo. Supponiamo che $a\neq 0$. Allora possiamo fissare una $\varepsilon=\frac{|a|}{2}$, che e' sempre $> 0$ E abbiamo: \[ |a| < \frac{|a|}{2} \] Il che e' assurdo, quindi $a=0$. \end{proof} \item Avendo $a,b,\alpha,\beta\in \mathbb{R}$, si ha \[ \begin{cases} \alpha\le a\le \beta\\ \alpha\le b\le \beta \end{cases}\;\Rightarrow \; |a-b| \le \beta-\alpha \] \begin{proof} Sia $\alpha\le a\le b\le \beta$. \begin{align*} &\beta-\alpha=(a-\alpha)+(b-a)+(\beta-b)\\ &|\beta-\alpha|=|a-\alpha|+|b-a|+|\beta-b|\\ &|\beta-\alpha|=|\alpha-a|+|a-b|+|b-\beta|\;\Rightarrow \; |a-b|+\underbrace{|\alpha-a|+|b-\beta|}_{k}=|\beta-\alpha|\\ &\;\Rightarrow \; |a-b| \le |\beta-\alpha| \end{align*} \end{proof} \end{enumerate} i\subsection{Logaritmi} Il logaritmo nasce dal voler risolvere le equazioni esponenziali di tipo: \[ a^x=b \] Analizziamo tutti i casi. \begin{align*} &a=1& 1^x=b\rightarrow \begin{cases} \forall x \in \mathbb{R} & b=1\\ \textrm{non ha sol.} & b\neq 1 \end{cases}\\ &a>0, b\le 0& a^x=b\quad\rightarrow\quad \textrm{non ha sol.}\\ &a>0, b>0& a^x=b \quad\rightarrow\quad x=\log_a{b} \end{align*} Quindi il $\log_a{b}$ e' quel numero reale tale che: \[ a^{\log_a{b}}=b \] Il logaritmo e' definito esclusivamente per: \[ \forall a \in R,\;\;a> 0, a\neq 1 \] \subsubsection{Proprieta'} \begin{enumerate} \item $\log_a{bc}=\log_a{b}+\log_a{c}$ \item $\log_a{b^t}=t\log_a{b}$ \begin{proof} Prova. \begin{align*} &\log_a{b^t}=\log_a{\underbrace{b\cdots b\cdots b\cdots b}_{\textrm{t volte}}}=\underbrace{\log_a{b}+\log_a{b}+\cdots+\log_a{b}}_{\textrm{t volte}}=t\log_a{b} \end{align*} \end{proof} \item $\log_a{\frac{b}{c}}=\log_a{b}-\log_a{c}$ \begin{proof} Ecco qua: \begin{align*} &l_1=\log_a{b},\quad l_2=\log_a{c}\\ &a^{l_1}=b,\quad a^{l_2}=c\\ &\frac{a^{l_1}}{a^{l_2}}=\frac{b}{c}\\ &a^{l_1-l_2}=\frac{b}{c}\\ &l_1-l_2=\log_a{\frac{b}{c}}\\ &\log_a{b}-\log_a{c}=\log_a{\frac{b}{c}} \end{align*} \end{proof} \item $\log_a{b}>0$ se $a>1 \;\;\land \;\;b>1$ oppure se $01 \;\; \land \;\; 01$ \item Se $a>1$ e $0 log_a{y}$. \item $\log_ab = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ \item $x^{\log_a y} = y^{\log_ax}$ \begin{proof} \begin{align*} & x= a^{\log_a x}\\ & x^{\log_a y} = (a^{\log_a x})^{\log_a y} = (a^{\log_a y})^{\log_a x} = y^{\log_a x} \end{align*} \end{proof} \end{enumerate} \section{Limiti} \subsection{Proprieta' d'Archimede} Questa proprieta' afferma che dati due numeri $x,y \in \mathbb{R}^{+}$: \[ \exists n \in \mathbb{N}: \;\; xn>y \] \begin{proof} Per la dimostrazione utilizziamo le troncature. \[ \frac{x}{y}=M,c_1c_2c_3\dots \] Poniamo: \[ n > int\left(\frac{x}{y}\right) = M \] Poiche' $n$ e' maggiore della parte intera di $x/y$ allora sara' sicuramente maggiore di $\frac{x}{y}$: \[ n > \frac{x}{y} \;\;\; \Rightarrow \;\;\; xn\ge y \] \end{proof} \subsection{Densita'} Si dice che l'insieme $T$ e' denso in $\mathbb{R}$ se: \[ \exists t \in T: \;\; a0\\ &y-x>0\\ &\textrm{Per la proprieta' di Archimede}\quad \exists n \in N: \;\;n(y-x)>1\\ &y-x>\frac{1}{n} \label{eq:R}\\ \end{align*} Ora scegliamo il piu' piccolo $m \in \mathbb{Z}$ tale che sia $m> nx$: \[ \exists m \in \mathbb{Z}: \;\;m>nx\quad\Rightarrow \quad m-1 0: |x| \le L\;\;\; \forall x \in X \] \begin{proof} Dimostriamo l'equivalenza delle scritture. \begin{align*} &l\le x \le L\\ &l\le x \le L \le |L| \le |L| + |l|\\ &-|L|-|l| \le -|l| \le l \le x\\ &-(|L|+|l|) \le x \le |L| + |l|\\ &k=|L|+|l|, \;\;\; -k \le x \le k \quad \Leftrightarrow \quad |x| \le k \end{align*} Ora dobbiamo dimostrare l'inverso. \begin{align*} &|x| \le k \quad \Leftrightarrow \quad -k\le x \le k\\ &l=-k,\;\; L=k\\ &l\le x\le L \end{align*} \end{proof} \subsection{Massimo di X} $M$ e' il massimo di X se: \[ M\ge x,\;\forall x \in X \;\; \land \;\; M \in X \] Il massimo di X si indica con \[\max X\] \subsubsection{Proprieta'} \begin{enumerate} \item Se il massimo esiste e' unico. \begin{proof} Supponiamo per assurdo che esistano due massimi $m_1$ e $m_2$, allora e' vero che $m_1 \ge m_2$ e che $m_2 \ge m_1$, ma per la proprieta' antisimmetrica deduciamo che $m_1=m_2$. \end{proof} \end{enumerate} \subsection{Minimo di X} $m$ e' il minimo di X se: \[ m\le x,\;\forall x \in X \;\; \land \;\; m \in X \] Il minimo di X si indica con \[\min X\] \subsubsection{Proprieta'} \begin{enumerate} \item Se il minimo esiste, e' unico. \end{enumerate} \subsection{Estremo superiore} Sia $X\neq 0$ limitato superiormente. L'estremo superiore dell'insieme $X$ e' il minimo dei maggioranti di $X$ e si indica con: \[ \sup X = {\sup x}_{x\in X} \] \subsubsection{Proprieta'} Il $\sup X$ gode di due proprieta' che lo caratterizzano, i.e. se si provano che queste proprieta' sono vere, siamo sicuri che $\sup X$ e' l'estremo superiore di $X$. \begin{enumerate} \item $\sup X \ge x,\;\;\forall x \in X$ \item $\forall \varepsilon > 0,\;\;\exists x \in X: \;\; x>\sup X -\varepsilon$ \end{enumerate} L'ultima proprieta' dice che se esiste il massimo di X, allora coincide con il suo estremo superiore: \[ \exists \max X \quad \Rightarrow \quad \max X = \sup X \] \begin{proof} Per provare questo basta considerare $M=\max X$ come estremo superiore e applicare la definizione. \begin{align*} &M \ge x, \;\;\forall x \in X\quad \textrm{def. stessa di massimo}\\ &\forall \varepsilon > 0\; \exists x \in X: x > M - \varepsilon\\ &x=M,\;\;M>M-\varepsilon \end{align*} \end{proof} \begin{prop}\label{propesistesup} \[ X\textrm{ limitato superiormente }\;\Rightarrow \; \exists\textrm{ finito } \sup X \] Ovvero, se esiste almeno un maggiorante per $X$, allora esiste finito il $\sup X$ \end{prop} \begin{proof} Dimostriamo che esiste sempre il minimo dei maggioranti di $X$. \begin{align*} &B=\left\{ \textrm{insieme dei maggioranti di X} \right\}\\ &A=\mathbb{R}\setminus B\\ &(A,B) \end{align*} Verifichiamo che $(A,B)$ e' una partizione di $\mathbb{R}$. \begin{enumerate} \item $A,B\neq \emptyset$. Per ipotesi $B\neq \emptyset$. Poiche' $X\neq 0$ esiste almeno un $x\in \mathbb{R}$ che non e' maggiorante di $X$ e questo $x$ si trovera' in $A$, quindi $A\neq 0$. \item $A \cap B = \emptyset$. Questo e' vero per costruzione, infatti, $(\mathbb{R}\setminus B) \cap B = (\mathbb{R} \cap B) \setminus (B\cap B) = B \setminus B = \emptyset$ \item $A \cup B = \mathbb{R}$. Anche questo e' vero per costruzione. \item $\forall a \in A, \forall b \in B\;\;aa, \;\;\forall a \in A\\ &xa\quad\rightarrow \quad b>a \] Che e' quello che volevamo dimostrare \end{enumerate} Ok, adesso sappiamo che $(A,B)$ e' una partizione di $\mathbb{R}$ e quindi esiste l'elemento separatore $L$ tale che: \[ a\le L \le b,\;\;\forall a\in A,\forall b\in B \] Dato che $L \le b\; \forall b\in B$, allora $L$ e' un il minorante di tutti gli elementi di $B$. Se riusciamo a dimostrare che $L\in B$, allora potremo affermare che $L$ e' il minimo dei maggioranti di $X$. Supponiamo per assurdo che non lo sia: \[ L \notin B \] Ma se $L$ non e' in $B$, allora non e' un maggiorante per l'insieme $X$, ovvero \[ \exists x \in X: \;\; x>L \] Per la densita' di $\mathbb{R}$ possiamo scegliere un $\alpha$ compreso tra $x$ e $L$: \[ L<\alphaL$, quindi dato che $L$ e' l'elemento separatore di $(A,B)$, deduciamo che $\alpha \in B$. Ma, prima abbiamo detto che $\alpha 0,\;\;\exists x \in X: \;\; x<\inf X +\varepsilon$ \end{enumerate} In altre parole \eal{&\inf X\T{ e' l'estremo inferiore di }X\= \sist{1.\;\;\inf X \le x,\;\;\forall x \in X\\ 2.\;\;\forall \varepsilon > 0,\;\;\exists x \in X: \;\; x-\eps <\inf X } } \end{prop} \begin{proof} Dimostriamo la caratterizzazione dell'$\inf$. La definizione di $\inf $ e': \eal{& \inf X\T{ e' l'estremo inferiore di }X \= \sist{1'.\;\; \inf X \le x\;\;\forall x\in X\\ 2'.\;\;m\le x\;\;\forall x\in X \> m\le \inf X \;\;\T{[$\inf X$ e' il max dei minoranti]}} } Poiche' la $1.$ e' chiaramente equivalente alla $1'.$, bastera' dimostrare l'equivalenza tra la $2.$ e la $2'.$ \step{}{Dim $2'. \>2.$} \begin{prova} Fissiamo un $\eps >0$, dobbiamo dimostrare che: \eal{& \exists x^* \in X: \;\; x^*-\eps <\inf X } \def\x{{\ove x}} \step{passoanoninA}{ Sia $A$ un insieme limitato inferiormente, $A \neq \0$. Fissato $\eps >0$, si ha: \eal{&\exists \ove a\in A:\;\;\ove a - \eps \notin A} } \begin{prova} infatti, se per assurdo $\forall a\in A\;\;a-\eps \in A$, si ha: \eal{&a_1:=a-\eps \in A\\ &a_2:=a_1-\eps \in A=a-2\eps \in A\\ &\dots\\ &a_n:=a-n\eps \in A\\ &\qq \> a-n\eps \in A \;\;\forall n=1,2,\dots\\ &A\T{ limitato inferiormente } \> \exists l\in \mathbb{R}:\;l\le a\;\;\forall a\in A \> l\le a-n\eps \;\;\forall n=1,2,\dots\;\;(*)\\ &\T{Sia } n_0 \in \mathbb{N}^*:\;\;n_0 >\frac{a-l}{\eps } \T{ ovvero } n_0\eps > a-l\= l> a-n_0\eps\;\;(**) \\ &(*) \> l\le a-n_0\eps \T{ assurdo contro (**)} } \end{prova} \def\x{{\underline{x}}} \def\X{{\underline{X}}} \step{}{Sia $\X=\pgra{x\in X\;|\;x-\eps \notin X}$, si ha \eal{&\X \neq \0\\ &\x:=\inf\X \T{ e' finito } }\lineapiccola\\ } \begin{prova} Il \sref{passoanoninA} garantisce che $\X \neq \0$. \eal{&X\T{ limitato inferiormente } \> \exists l:\;\;l\le x\;\;\forall x\in X \ubrace{\>}{\X\( X} l\le x\;\;\forall x\in \X\>\\& \> \X\T{ e' limitato inferiormente } \ubrace{\>}{\see{propesisteinf}} \inf \X\T{ e' finito } } \end{prova} \step{passouvexminoreditutti}{$\x\le x\;\;\forall x\in X$} \begin{prova} Supponiamo per assurdo che $\exists x\in X:\;\;\x > x$. \eal{&X':=X\^]-\8,\x[\\ &x<\x,\;x\in X \> x\in X' \> X' \neq \0\;\;\\ &X' \( X,\;\;\T{ $X$ limitato inferiormente } \> X'\T{ limitato inferiormente }\;\;\\ &\qq \ubrace{\>}{\sref{passoanoninA}} \exists x'\in X':\;x'-\eps \notin X'\\ &x'\in X' \> x' < \x \ubrace{\>}{\eps >0} x'-\eps < x'< \x\;\> x'-\eps \in ]-\8,\x[\;(1)\\ &x' - \eps \notin X'=X\^]-\8,\x[ \> x'-\eps \notin X \| x'-\eps \notin ]-\8,\x[ \ubrace{\>}{(1)} x'-\eps \notin X \> x'\in \X\;\;(1.1)\\ &\x = \inf \X \> \x \le x \;\forall x\in \X \ubrace{\>}{(1.1)} \x \le x'\;\;(2)\\ &(1),(2) \> x' < \x \le x' \;\;\T{ assurdo } } \end{prova} \def\xx{{x^*}} \step{}{$\exists \xx\in X:\;\x>\xx-\eps $} \begin{prova} Per il \sref{passouvexminoreditutti}, abbiamo \eal{&\x\le x\;\;\forall x\in X \ubrace{\>}{2'.} \x \le \inf X\;\;(3) } Supponiamo per assurdo $\forall x\in X\;\;\x \le x- \eps$, allora \eal{&\forall x\in X\;\;\x \le x- \eps \ubrace{\>}{\X\(X} \x \le x- \eps \;\;\forall x\in \X \= \x + \eps \le x \;\;\forall x\in \X \ubrace{\>}{2'.} \x +\eps \le \inf \X = \x \= \eps \le 0\;\;\T{ assurdo } } Quindi, abbiamo \eal{&\exists \xx\in X:\;\xx-\eps < \x \ubrace{\le }{(3)} \inf X } Abbiamo cosi' ottenuto la tesi. \end{prova} \end{prova} \step{}{Dim $2.\>2'.$} \begin{prova} \def\x{{x_{\eps }}} Consideriamo un minorante $m$ di $X$. Per Hp abbiamo: \eal{&\forall \eps >0 \;\exists \x \in X:\;\;\x-\eps <\inf X\\ &m \le x\;\;\forall x\in X \> m\leftarrow \x < \inf X + \eps \;\;\forall \eps > 0 \\ &m< \inf X + \eps \;\;\forall \eps > 0 } Da cui prendendo il limite per $\eps \to 0$, \eal{&m< \inf X + \eps \ubrace{\>}{\see{confrontolimitifunzioni}} \lim_{\eps \to 0} m \le \lim_{\eps \to 0} (\inf X + \eps) \= m\le \inf X} \end{prova} \end{proof} \begin{prop} Se esiste il minimo di $X$, allora coincide con il suo estremo inferiore. \[ \exists \min X \quad \Rightarrow \quad \min X = \inf X \] \end{prop} \subsection{X illimitato superiormente} $X$ e' illimitato superiormente se non ha un estremo superiore. Questo fatto si indica con: \[ \sup X = + \infty \] Possiamo scrivere, la negazione dell'estremo superiore: \[ \sup X = + \infty\quad \Leftrightarrow \quad \forall k > 0,\;\; \exists x \in X:\;\; x>k \] \subsection{X illimitato inferiormente} $X$ e' illimitato inferiormente se non ha un estremo inferiore. Questo fatto si indica con: \[ \inf X = - \infty \] Possiamo scrivere, la negazione dell'estremo inferiore: \[ \inf X = - \infty\quad \Leftrightarrow \quad \forall k > 0,\;\; \exists x \in X:\;\; x< -k \] \subsection{Insiemi numerici separati} $X$ e $Y$ sono separati se: \[ \forall x \in X,\;\; \forall y \in Y:\;x\le y \] \subsubsection{Proprieta'} Se $X$, $Y$ sono separati: \begin{enumerate} \item $X$ e' limitato superiormente, $Y$ inferiormente. \item $\sup X \le \inf Y$ \begin{proof} Per definizione: \[ \forall x\in X, \;\forall y \in Y\;\; x\le y \] Questo vuol dire che tutti gli elementi di $Y$ sono dei maggioranti per $X$. Quindi $X$ e' limitato superiormente e poiche' $\sup X$ e' il minimo dei suoi maggioranti, allora: \[ \sup X \le y, \;\; \forall y \in Y \] Ma questo significa che $Y$ e' limitato inferiormente e che $\sup X$ e' un suo minorante. Ma allora il massimo dei minoranti di $Y$ sara' sicuramente maggiore o uguale di $\sup X$, ovvero: \[ \sup X \le \inf Y \] \end{proof} \end{enumerate} \subsection{Insiemi contigui} $X,Y$ sono separati e non nulli. \[X,Y \equiv \textrm{\emph{contigui}} \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0: \;\exists y\in Y, \;x\in X\;\;:y-x<\varepsilon\] \subsubsection{Proprieta'} \[X,Y \equiv \textrm{(separati) e contigui} \quad \Leftrightarrow \quad \sup X=\inf Y\] \begin{proof} Intanto poiche' i due insiemi sono separati scriviamo: \begin{align*} &\sup X \le \inf Y\\ &\inf Y - \sup X \ge 0\\ &|\inf Y - \sup X|=\inf Y - \sup X \end{align*} Ora scriviamo la definizione dei due insiemi contigui: \[ \forall \varepsilon >0: \;\exists y'\in Y, \;x'\in X\;\;:y'-x'<\varepsilon \] Tenendo presente il significato di $\sup X$ e $\inf Y$ possiamo scrivere: \begin{align*} &\inf Y \le y'\\ &\sup X \ge x'\\ &-\sup X \le -x'\\ \end{align*} Sommiamo ambo i membri della prima e della terza disuguaglianza: \[ \inf Y - \sup X \le y'-x' \le \varepsilon \] Ovvero: \[ |\inf Y - \sup X| \le \varepsilon, \;\; \forall \varepsilon >0 \] E per le proprieta' del valore assoluto possiamo dedurre che: \[ |\inf Y - \sup X| = 0 \;\;\Leftrightarrow \;\; \inf Y = \sup X \] Adesso dimostriamo l'inverso, ovvero partendo da $\inf Y = \sup X$ possiamo dedurre che $X$ e $Y$ sono contigui.\\ Scriviamo allora le definizioni del $\sup X$ e dell'$\inf Y$ usando un $\varepsilon$ oppurtuno: \begin{align*} &\forall \frac{\varepsilon}{2} > 0,\;\; \exists x'' \in X: \;\; x''>\sup X -\frac{\varepsilon}{2}\\ &\forall \frac{\varepsilon}{2} > 0,\;\; \exists y'' \in Y: \;\; y''<\sup X+\frac{\varepsilon}{2} \end{align*} Allora \begin{align*} &-x''< -\sup X + \frac{\varepsilon}{2}\\ &y''< \inf Y + \frac{\varepsilon}{2}\\ &y''-x'' < \underbrace{\inf Y - \sup X}_{0} + \varepsilon\\ &y''-x'' < \varepsilon \end{align*} \end{proof} \section{I numeri Complessi} \subsection{$\mathbb{C}$} Un numero complesso e' una coppia ordinata $(a,b)$ di due numeri reali. \begin{itemize} \item $a$ e' la parte reale, e $b$ quella immaginaria. \item $(a,0)$ corrisponde al reale $a$ \item $(0,b)$ e' l'immaginario puro $b$ \item $(0,1)=i$ e' l'unita' immaginaria \end{itemize} \subsubsection{Proprieta'} \begin{enumerate} \item $(a,b) = (c,d) \quad \Leftrightarrow \quad a=c \land b=d$ \item $i^2=-1, \; i^3=-i,\; i^4=1,\;i^5=i, \;\dots $ \end{enumerate} \subsection{Addizione} Si definisce in questo modo: \[ (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) \] \subsubsection{Proprieta'} \begin{enumerate} \item Gode della proprieta' commutativa e associativa \item $(0,0)=0_c$ e' l'elemento neutro dell'addizione: $z+0_c=0_c+z=z$ \end{enumerate} \subsection{Moltiplicazione} Si definisce in questo modo: \[ (a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,bc+ad) \] \subsubsection{Proprieta'} \begin{enumerate} \item Gode della proprieta' commutativa, associativa e distributiva rispetto alla somma \item $(1,0)$ e' l'elemento neutro della moltiplicazione: $z(1,0)=(1,0)z=z$ \item $i^2=-1, \; i^3=-i,\; i^4=1,\;i^5=i, \;\dots $ \item $zw=0 \quad \Leftrightarrow \quad z=0 \lor w=0$ \begin{proof} \begin{align*} &z=(a,b),\;\; w=(c,d)\\ &zw=(ac-bd, bc+ad)=(0,0)\quad \Leftrightarrow \quad ac-bd=0 \land bc+ad=0\\ &\begin{cases} ac-bd=0\\ bc+ad=0 \end{cases} \Leftrightarrow \\ &\begin{cases} (ac-bd)^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcd=0\\ (bc+ad)^2=b^2c^2+a^2d^2+2abcd=0 \end{cases} \Leftrightarrow \\ &\begin{cases} a^2c^2 + b^2d^2 + b^2c^2 + a^2d^2=0 \end{cases}\\ &a^2(c^2+d^2)+b^2(d^2+c^2)=0\\ &(a^2+b^2)(c^2+d^2)=0\\ &a^2+b^2=0 \lor c^2+d^2=0\\ &z=0 \lor w=0 \end{align*} \end{proof} \end{enumerate} \subsection{Forma algebrica} Possiamo scrivere un num complesso in una forma piu' comoda: \[ z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(0,1)(b,0)=a+ib \] \subsection{Coniugato di $z$} \[ z=(a,b), \quad \overline{z}=(a,-b)=a-ib \] \subsubsection{Proprieta'} \begin{enumerate} \item $\overline{\overline{z}}=\overline{z}$ \item $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$ \item $\overline{zw}=\overline{z}\overline{w}$ \item $\overline{\frac{z}{w}}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}$ \item $z+\overline{z}=2a$ \item $z\overline{z}=a^2+b^2$ \end{enumerate} \subsection{Divisione} Si definisce cosi': \[ \frac{z}{w} = \frac{a+ib}{c+id}=\frac{a+ib}{c+id}\frac{\overline{w}}{\overline{w}}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+i\frac{bc-ad}{c^2+d^2} \] \subsection{Rappresentazione cartesiana} Poche' un complesso e' una coppia di reali, possiamo rappresentarli sul piano, cioe', a ogni complesso corrisponde un punto del piano cartesiano. \subsection{Modulo} Dato $z=a+ib$ il suo modulo e': \[ \rho=|z|=\sqrt{a^2+b^2} \] Il modulo di $z$ corrisponde alla distanza del segmento che va dall'origine fino a $(a,b)$. \subsubsection{Proprieta'} La cosa figa e' che ha le stesse proprieta' del valore assoluto: \begin{enumerate} \item $|z|=0 \;\Leftrightarrow \; z=0+i0$ \item $|zw|=|z| |w|$ \item $|\frac{z}{w}| = \frac{|z|}{|w|}$ \item $| |z| - |w| | \le |z+w| \le |z| + |w|$ \end{enumerate} \subsection{Argomento} L'argomento di $z$ si indica con $\theta$ e corrisponde all'angolo che forma la retta $\overline{PO}$ con l'asse delle $x$.\\ Poiche' e' un angolo: $\theta=\theta+2k\pi, \;k\in\mathbb{Z}$.\\ L'\emph{argomento principale} e' $\theta$ compreso tra $\pi$ e $-\pi$. \subsection{Forma trigonometrica} Adesso abbiamo tutti gli elementi per esprimere $z$ in forma trigonometrica, ovvero usando le coordinate polari: \begin{align*} &a=\rho \cos\theta\\ &b=\rho \sin\theta\\ &z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta) \end{align*} \subsubsection{Proprieta} Dato $z=\rho(\cos\theta +i\sin\theta)$ e $w=r(\cos\phi +i\sin\phi)$ \[ z=w \;\Leftrightarrow\; \rho=r \land \theta=\phi+2k\pi \] \subsubsection{Moltiplicazione} \begin{align*} &z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)\\ &w=r(\cos\phi+i\sin\phi)\\ &zw=r\rho\left( (\cos\theta\cos\phi-\sin\theta\sin\phi)+i(\cos\theta\sin\phi+\sin\theta\cos\phi) \right)=\\ &\;\;\;\;\;=r\rho(\cos(\theta+\phi)+i\sin(\theta+\phi)) \end{align*} \subsubsection{Divisione} \[ \frac{z}{w}=\frac{\rho}{r}(\cos(\theta-\phi)+i\sin(\theta-\phi)) \] \subsubsection{Potenza} Si vede subito che usando la formula della moltiplicazione per $n$ volte si ricava: \[ z^n=\rho^n(\cos n\theta+i\sin n\theta) \] Si puo' generalizzare con $n \in \mathbb{Z}$. \subsubsection{Radice n-esima} \[ \sqrt[n]{z}=w_k=\sqrt[n]{\rho}\left[ \cos\left( \frac{\theta+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left( \frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \right] \] per $k \in Z$.\\ Si nota subito che ammette infinite soluzioni. Quelle distinte sono date da $k=0,1,\dots,n-1$.\\ Nel piano cartesiano, tutte le radici appartengono alla circonferenza di centro $(0,0)$ che ha raggio $r=\sqrt[n]{\rho}$. Le radici distinte si dispongono nei vertici di un poligono regolare di $n$ lati. % % EOF % \section{Funzioni} Le funzioni che analizzeremo in analisi matematica sono del tipo: \[ f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \] ovvero, sono funzioni reali.\\ Con $f(A)$ indichiamo la sua immagine. \subsection{Funzione limitata} Una funzione e' limitata superiormente se $f(A)$ e' un insieme limitato superiormente, e' invece limitata inferiormente se $f(A)$ e' limitato inferiormente.\\ E' limitata se: \[ \exists h,k: \; h\le f(x) \le k,\;\;\forall x \in A \] che equivale a scrivere: \[ \exists L > 0: \;\;|f(x)|\le L,\;\;\forall x \in A \] \subsection{Massimo e punto di massimo} Data $f: A \longrightarrow \mathbb{R}$, il massimo di $f(x)$, se esiste e' $\max f(A) = M$, ed e' definito come: \[ M \ge f(x), \;\forall x \in A\;\;\land\;\; M\in f(A) \Leftrightarrow \exists x_M \in A:\;f(x_M)=M \] $x_m$ viene chiamato punto di massimo e' puo' anche non essere unico. \subsection{Minimo e punto di minimo} Data $f: A \longrightarrow \mathbb{R}$, il minimo di $f(x)$, se esiste e' $\min f(A) = m$, ed e' definito come: \[ m \le f(x), \;\forall x \in A\;\;\land\;\; m\in f(A) \Leftrightarrow \exists x_m \in A:\;f(x_m)=m \] $x_m$ viene chiamato punto di minimo e' puo' anche non essere unico. \section{Successioni} Una successione e' una funzione: \[ f: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R} \] Si usa la notazione $a_n$ che equivale a: \[ f(n)=a_n \] $a_n$ si chiama \emph{termine della successione}. Per indicare l'intera successione: \[ (a_n)_{n\in\mathbb{N}} = \{ a_n \} = \{a_1, a_2,\dots\} \] \subsection{Limite di successione} \[ \lim_{n \to +\infty} {a_n} =l \;\in R \;\Leftrightarrow \; \forall \varepsilon > 0\;\exists v \in \mathbb{N}:\; n>v\;\; |a_n-l| < \varepsilon \] Se il limite $l$ esiste, allora la successione si dice convergente a $l$. \\ Se $l=0$ allora si dice che la successione e' infinitesima. \\ \[ \lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty\;\Leftrightarrow\; \forall k > 0\;; \exists v \in \mathbb{N}: \;n>v,\;\; a_n > k \] In questo caso la successione e' divergente positivamente e non e' limitata superiormente. \\ \[ \lim_{n \to +\infty} a_n = -\infty\;\Leftrightarrow\; \forall k > 0\;; \exists v \in \mathbb{N}: \;n>v,\;\; a_n < -k \] In questo caso la successione e' divergente negativamente e non e' limitata negativamente. \\ Se la succesione rientra in uno di questi tre casi appena descritti, allora si dice che e' regolare, altrimenti si dice che e' oscillante o non regolare. \subsection{Unicita' del limite} Se esiste il limite di $\{a_n\}$ allora e' unico. \begin{proof} Per assurdo supponiamo che esista un altro limite $m$ e quindi scriviamo: \[\forall \frac{\varepsilon}{2} > 0\;\exists v \in \mathbb{N}:\; n>v\;\; |a_n-l| < \frac{\varepsilon}{2}\] \[\forall \frac{\varepsilon}{2} > 0\;\exists v \in \mathbb{N}:\; n>v\;\; |a_n-m| < \frac{\varepsilon}{2}\] Proseguiamo cosi': \begin{align*} &|l-m|=|(l-a_n)+(a_n-m)| \le |l-a_n| + |a_n-m| \le \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\\ &|l-m| < \varepsilon, \;\;\forall \varepsilon > 0 \;\; \Leftrightarrow \;\; |l-m|=0 \Rightarrow l=m \end{align*} Quindi i due limiti coincidono. \end{proof} \subsection{Permanenza del segno} \label{PermSegno} Se un limite e' positivo (negativo), allora da un certo punto in poi, nella successione, tutti i termini saranno positivi (negativi). \[ \lim_{n \to +\infty} a_n = l > 0 \;\; \Rightarrow \;\; \exists v \in \mathbb{N}: n>v,\; a_n>0 \] \begin{proof} Ipotesi: $l>0$ \begin{align*} &\varepsilon=l > 0,\; \exists v \in \mathbb{N}: \; n>v, \; |a_n-l| < l\\ &-l < a_n -l < l \; \Rightarrow \; 0 < a_n < 2l\; \Rightarrow a_n>0 \end{align*} \end{proof} Il corollario dice che: \[ \lim_{n \to +\infty} a_n = l > M \;\; \Rightarrow \;\; \exists v \in \mathbb{N}: n>v,\; a_n>M \] L'inverso del teorema della permanenza del segno dice che se i termini sono positivi, allora il limite e' $\ge 0$: \[ a_n > 0 \;\; \Rightarrow \;\; l\ge 0 \] \begin{proof} Per assurdo supponiamo $l < 0$. Per il teorema della permanenza del segno: $\exists v \in \mathbb{N}:\;\forall n> v\;\;a_n < 0$, il che' e' assurdo. \end{proof} \subsection{Successione convergente e limitata} \label{sec:teorem_suc_conv_lim} Se la successione $\{a_n\}$ e' convergente, allora e' limitata. Non e' pero' vero il contrario. \begin{proof} Hp: $lim_{n \to +\infty} a_n = a$\\ Ts: $\{a_n\} \equiv \textrm{limitata}$\\ Riscriviamo l'Hp secondo la definizione, usando un $\varepsilon$ opportuno: \[ \varepsilon=1 : \exists v \in N : \;n >v\;\; |a_n-a|<1 \] \begin{align*} &|a_n|=|a_n-a+a| \le |a_n-a|+|a| < 1+|a|\\ &|a_n| \le 1+|a|\;\;\forall n>v\\ &M=\max\{|a_1|, |a_2|, \dots, |a_v|, 1+|a|\} > 0\\ &|a_n| \le M \;\; \forall n \in \mathbb{N} \end{align*} L'ultima e' proprio la definizione di insieme numerico limitato: \[ \exists M > 0: |x| \le M\;\;\; \forall x \in X \] \end{proof} \begin{proof} Con un controesempio dimostriamo che non e' vero il contrario: \[ \{ (-1)^n \} \] Questa successione e' limitata, ma e' oscillante. \end{proof} \subsection{Limite di successioni prodotto} \subsubsection{Successione infinitesima per una successione limitata} \label{sec:prod_infinitesima} Se $\lim_{n \to +\infty} a_n =0$ e $\{b_n\}$ e' limitata, allora \[ \lim_{n \to +\infty} a_nb_n = 0 \] \begin{proof} Hp: $\{b_n\}$ e' limitata: \[\exists \;\; L > 0: \;\forall n \in \mathbb{N}, \;\;|b_n|\le L\] e inoltre \[\lim_{n \to +\infty} a_n=0\]\\ Dobbiamo dimostrare che: \[\forall \varepsilon > 0\; \exists v \in \mathbb{N}: n>v,\;\;|a_nb_n - 0| < \varepsilon\] Cominciamo: \begin{align*} &|a_nb_n|=|a_n| |b_n| \le L|a_n|,\;\;\forall n\in \mathbb{N}\\ &\lim_{n \to +\infty} a_n=0 \;\;\Rightarrow \;\; \frac{\varepsilon}{L}>0 \; \exists v_1\in\mathbb{N}: n>v_1,\;\;|a_n-0|<\frac{\varepsilon}{L}\\ &L|a_n|<\varepsilon\\ &|a_nb_n|\le L|a_n|< \varepsilon,\;\; n>v_1\;\;\Rightarrow \;\;|a_nb_n| < \varepsilon \end{align*} $|a_nb_n| < \varepsilon$ e' proprio la tesi. Possiamo anche osservare che $v=v_1$ dato che quest'ultima diseguaglianza vale solo per $n>v_1$. \end{proof} Alcuni esempi: \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{(-1)^n}{n}=\lim_{n \to +\infty} (-1)^n \frac{1}{n}0 \] oppure: \[ \lim_{n \to +\infty} {\sin(n^3-7) \over n} = 0 \] \subsection{Teorema del limite assoluto} \[ \lim_{n \to +\infty} a_n=l \;\;\Rightarrow \;\; \lim_{n \to +\infty} |a_n|=|l| \] Non vale il viceversa, ad esempio: \[ \{(-1)^n\} \] e' oscillante ma \[\lim_{n \to +\infty} |(-1)^n|=1\]. \subsection{Successione infinitamente grande} Una successione $\{a_n\}$ si dice \emph{infinitamente grande} se \[ \{a_n\} \equiv \textrm{\emph{infinitamente grande}} \Leftrightarrow \lim_{n \to +\infty} |a_n| = +\infty \] \textbf{Teorema}. Se \[ \lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty \;\lor \; \lim_{n \to +\infty} a_n = -\infty \;\;\Rightarrow \;\; \{a_n\} \equiv \textrm{\emph{infinitamente grande}} \] \begin{proof} Dimostriamo solo un caso.\\ Hp: \[\lim_{n \to +\infty} a_n = -\infty\] Ts: \[\lim_{n \to +\infty} |a_n| = +\infty\] Per definizione: \begin{align*} &\forall k > 0\; \exists v\in\mathbb{N}:n>v\;\;a_n< -k\\ &\forall k > 0\; \exists v_1\in\mathbb{N}:n>v_1\;\;|a_n|> k\\ &|a_n|=-a_n > k\;\; \Rightarrow |a_n|>k \end{align*} \end{proof} Non vale sempre il viceversa, ad esempio: \[ \lim_{n \to +\infty} |n(-1)^n| = +\infty \] ma \[ \lim_{n \to +\infty} n(-1)^n \] e' oscillante e quindi non ha limite. \subsection{Operazioni con i limiti} Se i seguenti limiti esistono e sono \textbf{finiti} \[ \lim_{n \to +\infty} a_n=a\;\;\;\lim_{n \to +\infty}b_n=b \] allora valgono le seguenti relazioni: \begin{enumerate} \item \[ \lim_{n \to +\infty}(a_n+b_n)=a+b \] \item \[ \lim_{n \to +\infty}(a_nb_n)=ab \] \item \[ \lim_{n \to +\infty}\left({a_n \over b_n}\right)={a\over b},\;\;\;\;b\neq 0 \] \end{enumerate} \begin{proof} Dimostriamo la (2).\\ Dobbiamo dimostrare che \[ \forall \varepsilon > o\;\exists v \in \mathbb{N}:\;n>v,\;\;|a_nb_n-ab|<\varepsilon \] Se $a=0$, il teorema e' vero, perche' ci riconduciamo a un prodotto di una successione infinitesima per una limitata (vedi \ref{sec:prod_infinitesima}).\\ Supponiamo quindi $a\neq 0$: \begin{align*} &|a_nb_n-ab|=|a_nb_n-ab_n+ab_n-ab|\le |a_nb_n-ab_n|+|ab_n-ab| = |a_n-a| |b_n| + |a| |b_n-b| \end{align*} Poiche' $\{b_n\}$ converge a $b$, per il teorema \ref{sec:teorem_suc_conv_lim}, $b_n$ e' limitata, cioe': \[ \exists L>0 : |b_n| < L, \;\;\forall n \in \mathbb{N} \] allora: \[ |a_n-a| |b_n| + |a| |b_n-b| \le L|a_n-a| + |a| |b_n-b| \] Per ipotesi: \[ \lim_{n \to +\infty}a_n=a \;\Rightarrow \; \frac{\varepsilon}{2L} >0\;\exists v_1:\; n>v_1\;\;|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2L} \] \[ \lim_{n \to +\infty}a_n=b \;\Rightarrow \; \frac{\varepsilon}{2|a|} >0\;\exists v_2:\; n>v_2\;\;|b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2|a|}\] Scegliamo $v'=\max(v_1,v_2)$. \[ |a_nb_n-ab|0, \;+\infty\cdot l=+\infty$ \item $l<0, \;+\infty\cdot l=-\infty$ \item $l>0, \;-\infty\cdot l=-\infty$ \item $l<0, \;-\infty\cdot l=+\infty$ \item $+\infty\cdot +\infty=+\infty$ \item $-\infty\cdot -\infty=+\infty$ \item $\pm\infty\cdot 0=\textrm{forma indeterminata}$ \item $k>0,\;\;n^k \to +\infty$ \item $k<0,\;\;n^k=\frac{1}{n^k} \to -\infty$ \end{enumerate} \subsubsection{Successione reciproca} \begin{enumerate} \item $\frac{1}{+\infty}=0$ \item $\frac{1}{0^{+}}=+\infty$ \item $\frac{1}{0^{-}}=-\infty$ \end{enumerate} \subsubsection{Successione quoziente} \begin{enumerate} \item ${\infty \over 0^+} = +\infty$ \item ${\infty \over 0^-} = -\infty$ \item $l>0\;\;{l \over 0^+} = +\infty$ \item $l<0\;\;{l \over 0^+} = -\infty$ \item $l>0\;\;{l \over 0^-} = -\infty$ \item $l<0\;\;{l \over 0^-} = +\infty$ \item ${l \over \pm\infty} = 0$ \item ${\infty \over \infty}=\textrm{forma indeterminata}$ \item ${0 \over 0}=\textrm{forma indeterminata}$ \item \[\frac{a_0n^p+a_1n^{p-1}+\dots+a_p}{b_0n^r+b_1n^{r-1}+\dots+b_r} \to \begin{cases} \frac{a_0}{b_0} & p=r\\ \infty\cdot \frac{a_0}{b_0} & p > r\\ 0 & p < r \end{cases} \] \end{enumerate} \subsubsection{Successione esponenziale} \begin{enumerate} \item \[ a^n \rightarrow \begin{cases} +\infty & a>0\\ 1 & a=1\\ 0 & -1 < a < 1\\ \nexists\\ \nexists \end{cases} \] \item $0^0,\;1^0,\;\infty^0$ sono forme indeterminate \end{enumerate} \subsubsection{Forme indeterminate} \begin{enumerate} \item $+\infty-\infty$ \item $\infty\cdot 0$ \item ${\infty \over \infty},\;{0 \over 0}$ \item $0^0,\;\infty^0,\;1^\infty$ \end{enumerate} \subsection{Successioni monotone} \[ \textrm{$\{a_n\}$ e' monotona di tipo} \begin{cases} \textrm{crescente}&a_n a_{n+1}\\ \textrm{non crescente} & a_n \ge a_{n+1}\\ \end{cases} \] \subsubsection{Proprieta'} \begin{enumerate} \item Una successione crescente e' sempre limitata inf. e $\min\{a_n\}=a_1$, inoltre \[ \lim_{n \to +\infty} a_n = \begin{cases} \sup\{a_n\} & \textrm{se limitata sup.}\\ +\infty & \textrm{se non e' limitata sup.} \end{cases} \] \item Una successione decrescente e' sempre limitata sup. e $\max\{a_n\}=a_1$, inoltre \[ \lim_{n \to +\infty} a_n = \begin{cases} \inf\{a_n\} & \textrm{se limitata inf.}\\ -\infty & \textrm{se non e' limitata inf.} \end{cases} \] \end{enumerate} \subsection{Teoremi di confronto} \subsubsection{Confronto di successioni convergenti} \[ \begin{matrix} a_n \rightarrow l \;\land\; c_n \rightarrow l \;\;, l \in \mathbb{R}\\ a_n\le b_n\le c_n \;\; \Rightarrow \;\; b_n \rightarrow l \end{matrix} \] il viceversa vale solo in alcuni casi particolari, e cioe': \subsubsection{Confronto di successioni divergenti} \begin{prop} \[ \begin{matrix} a_n\rightarrow +\infty\\ a_n \le b_n \;\Rightarrow \; b_n \rightarrow +\infty \end{matrix} \] e anche: \[ \begin{matrix} b_n\rightarrow -\infty\\ a_n \le b_n \;\Rightarrow \; a_n \rightarrow -\infty \end{matrix} \] \end{prop} \begin{proof} Dimostriamo il primo confronto.\\ La tesi e' che $b_n \rightarrow +\infty$, cioe' \[ \forall k > 0\;\; \exists v \in \mathbb{N}:\;n > v\;\;\;b_n>k \] Per Hp sappiamo che: \[ k > 0\;\; \exists v' \in \mathbb{N}:\;n > v'\;\;\;a_n>k \] Inoltre sempre per Hp $a_n \le b_n$ e quindi: \[ b_n\ge a_n > k\;\; \Rightarrow \;\; b_n>k \] Che e' quello che volevamo dimostrare. In definitiva, l'indice $v$ cercato e' \[v=v'\] \end{proof} \subsection{Successione estratta} Date le seguenti successioni, \begin{align*} &\{a_n\} \;\equiv\; \textrm{succ.}\\ &\{k_n\} \;\equiv \;\textrm{succ. crescente} \end{align*} la \emph{successione estratta} da $\{a_n\}$ e': \[ \{a_{k_n}\} \] \subsubsection{Esempio} \begin{align*} &k_n=2n\\ &\{a_{k_n}\}=\{a_2, a_4, a_6, \dots\} \end{align*} \subsubsection{Teorema sulle succ. estratte} Questo teorema dice semplicemente che se una successione $a_n \rightarrow l$ allora anche la sua estratta $a_{k_n} \rightarrow l$. cioe': \begin{align*} &\{a_n\} \;\equiv\; \textrm{succ.}\\ &\{k_n\} \;\equiv \;\textrm{succ. crescente}\\ &a_n \rightarrow l \;\;\Rightarrow \;\; a_{k_n} \rightarrow l \end{align*} Non vale sempre il viceversa. Alcuni casi in cui vale il viceversa sono quando: $k_n=n+c$ dove $c$ e' una costante, oppure quando $a_{2n+1}\rightarrow l \;\;\land\;\; a_{2n} \rightarrow l$. \subsection{Teorema di Bolzano-Weierstrass} \[ \{a_n\} \equiv \textrm{limitata} \;\; \Rightarrow\;\; \textrm{esiste sempre una sua estratta convergente} \] Cioe': \[ \exists h,m:\;\;h\le a_n\le m\;\Rightarrow \; \exists a_{k_n}:\;a_{k_n}\longrightarrow l \] Un corollario: se $a_n$ e' limitata da $h,m$, si ha \[ a_n \rightarrow l \;\;\Rightarrow \;\; h\le l\le m \] \subsection{Criterio di convergenza di Cauchy} Cauchy, il dice che: \[ \{a_n\} \equiv\textrm{convergente}\;\;\Leftrightarrow \;\;\forall \varepsilon > 0\;\;\exists v\in \mathbb{N}: \;\forall n,m>v\;\;|a_n-a_m|<\varepsilon \] \begin{proof} Dimostriamo $\Rightarrow$. Ovvero la tesi e': \[\forall \varepsilon > 0\;\;\exists v\in \mathbb{N}: \;\forall n,m>v\;\;|a_n-a_m|<\varepsilon\].\\ Per Hp $a_n \rightarrow l$, cioe' \[ {\varepsilon \over 2} >0\; \exists v' \in \mathbb{N}: \;p>v \;\; |a_n-l| <{\varepsilon \over 2} \] Adesso riconduciamoci alla Ts: \begin{align*} &|a_n-a_m|=|a_n-a_m-l+l|=|a_n-l-a_m+l|\\ &|a_n-l-a_m+l|\le |a_n-l| + |a_m-l|\\ &|a_n-l| + |a_m-l| < {\varepsilon \over 2} + {\varepsilon \over 2} \qquad n,m>v'\\ &|a_n-a_m| \le |a_n-l| + |a_m-l| < \varepsilon\;\Rightarrow \; |a_n-a_m| < \varepsilon\\ &v=v' \end{align*} \end{proof} \begin{proof} Dimostriamo $\Leftarrow $.\\ Dimostrare alcuni singoli passi: \begin{enumerate} \item Dimostriamo che $\{a_n\}$ e' limitata.\\ Per Hp: \[ \varepsilon=1\;\exists v: \;n,m > v \;\;|a_n-a_m|<1 \] \begin{align*} &|a_n-a_m|<1\\ &\textrm{fissiamo }m=v+1>v\\ &-1v \end{align*} L'ultima diseguaglianza e' vera per $n>v$. Se lo fosse per $\forall n \in \mathbb{N}$, allora equivarrebbe alla definizione di ins. numerico limitato. Poniamo:\\ \[M=\max\{|a_1|,|a_2|,\dots,|a_v|,L\}\] Allora e' vero che: \[ |a_n| \le M\;\;\forall n\in \mathbb{N} \] cioe', $\{a_n\}$ e' limitata. \item Dimostriamo per induzione che se $(k_n)$ e' crescente, allora $k_n \ge n,\;\;\forall n\in \mathbb{N}$.\\ Base: per $n=1$, e' vera poiche' $k_1 \ge 1$. (nota che in $\mathbb{N}$ non stiamo includendo lo 0).\\ Hp: supponiamo che $k_n \ge n$\\ Tesi: Per l'Hp di crescenza $k_n < k_{n+1}$, per l'Hp induttiva $n \le k_n$, allora \[ n\le k_nn \] Ma poiche stiamo lavorando in $\mathbb{N}$: \[ k_{n+1} \ge n+1 \] \item Ora poiche' $(a_n)$ e' limitata, per Bolzano e' vero che esiste una sua estrazione convergente. Cioe', $\exists a_{k_n} \rightarrow y_0$. Se dimostriamo che anche $a_n \rightarrow y_0$ allora abbiamo finito.\\ Per quanto detto $a_{k_n}$ e' convergente: \[ {\varepsilon \over 2} >0\;\exists v': \;n>v'\;\;|a_{k_n}-y_0|<{\varepsilon\over 2} \] Inoltre, per Hp soddisfa la condizione di Cauchy: \[ {\varepsilon \over 2} > 0\;\;\exists v''\in \mathbb{N}: \;n,m>v''\;\;|a_n-a_m|<{\varepsilon \over 2} \] Quest'ultima relazione vale per $n>v''$, e per quanto abbiamo visto nel passo 2 $k_n \ge n$, allora: \[ k_n\ge n>v'' \;\Rightarrow \;k_n>v'' \] Quindi possiamo porre $m=k_n>v''$: \[ |a_n-a_{k_n}|<{\varepsilon \over 2} \] Ora (per la prima volta) espandiamo $|a_n-y_0|$: \[ |a_n-y_0|=|a_n-y_0+a_{k_n}-a_{k_n}|\le |a_n-a_{k_n}|+|a_{k_n}-y_0| \] Adesso prendiamo $v'''=\max(v',v'')$. In questo modo abbiamo un indice che verifica sia la relazione di convergenza che quella di cauchy e possiamo scrivere: \[ |a_n-y_0| \le |a_n-a_{k_n}|+|a_{k_n}-y_0| < {\varepsilon\over 2}+{\varepsilon\over 2}=\varepsilon\;\;\forall n>v''' \] Cioe': \[ |a_n-y_0| < \varepsilon \;\;\forall n>v''' \] Che e' proprio quello che volevamo dimostrare. \end{enumerate} \end{proof} \section{Limiti di funzioni} \subsection{Intorno} %intorno \[ \textrm{Intorno di $x_0$ di raggio $\delta > 0$}=I_\delta(x_0)=\{x \in \mathbb{R} :\;\;|x-x_0|<\delta\}=\{x \in \mathbb{R} :\;\;x_0-\delta0\;\exists \delta >0:\forall x \in (a,b),x\neq x_0,\;\;|x-x_0|<\delta:\;\;|f(x)-l|<\varepsilon\\ &\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty\;\;\Leftrightarrow \;\; \forall k>0\;\exists \delta >0:\forall x \in (a,b),x\neq x_0,\;\;|x-x_0|<\delta:\;\;f(x)>k\\ &\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty\;\;\Leftrightarrow \;\; \forall k>0\;\exists \delta >0:\forall x \in (a,b),x\neq x_0,\;\;|x-x_0|<\delta:\;\;f(x)< -k \end{align} Se non si verificano questi tre casi, allora la successione e' oscillante.\\ Per i limiti delle funzioni valgono tutti i teoremi delle successioni, tranne quello che dice che se una successione e' convergente allora e' limitata. \subsection{Limiti divergenti positivamente} In questo caso la funzione e' definita nell'intervallo $(a,+\infty[\setminus\{x_0\}$, dove $x_0 \in ]a,b[$. \begin{align} &\lim_{x \to +\infty} f(x) = l\;\;\Leftrightarrow \;\; \forall \varepsilon>0\;\exists x' >0:\forall x > x',\;\;|f(x)-l|<\varepsilon\\ &\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\;\;\Leftrightarrow \;\; \forall k>0\;\exists x' >0:\forall x>x',\;\;f(x)>k\\ &\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\;\;\Leftrightarrow \;\; \forall k>0\;\exists x' >0:\forall x>x',\;\;f(x)< -k \end{align} \subsection{Limiti divergenti negativamente} In questo caso la funzione e' definita nell'intervallo $]-\infty,b)\setminus\{x_0\}$, dove $x_0 \in ]a,b[$. \begin{align} &\lim_{x \to -\infty} f(x) = l\;\;\Leftrightarrow \;\; \forall \varepsilon>0\;\exists x' >0:\forall x < x',\;\;|f(x)-l|<\varepsilon\\ &\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\;\;\Leftrightarrow \;\; \forall k>0\;\exists x' >0:\forall xk\\ &\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\;\;\Leftrightarrow \;\; \forall k>0\;\exists x' >0:\forall x l\le m} \end{prop} \begin{proof} \def\l{{\lim_{x\to x_0}}} Se $l=m$, allora la tesi e' vera, supponiamo $l \neq m$. Supponiamo per assurdo che $l>m$. \eal{& \l f(x) = l \= \forall \varepsilon>0\;\exists \delta_1 >0: \;\;|f(x)-l|<\varepsilon\;\;\; \forall x \in X\^]x_0 - \delta_1,\;x_0+\delta_1[ \\ &\l g(x) = m \= \forall \varepsilon>0\;\exists \delta_2 >0: |g(x)-m|<\varepsilon\;\;\; \forall x \in X\^]x_0 - \delta_2,\;x_0+\delta_2[ } Sia $\delta=\min\pgra{\delta_1,\delta_2}$, si ha \eal{& \sist{ |f(x)-l|<\varepsilon\= -\eps < f(x)-l<\eps \\ |g(x)-m|<\varepsilon\= -\eps < g(x)-m<\eps \\ }\;\;\forall x\in ]x_0-\delta,x_0+\delta[\^X\\ &-\eps < f(x) - l \ubrace{<}{f(x)m} g(x) -m < \eps \;\;\forall x\in ]x_0-\delta,x_0+\delta[\^X\> \\ &\> -\eps < g(x) -l < \eps \;\;\forall x\in ]x_0-\delta,x_0+\delta[\^X \;\;(1) } Per l'arbitrarieta' di $\eps$, la $(1)$ equivale a $\l g(x)=l$ e quindi \eal{&\l g(x)=m,\;\l g(x) =l \ubrace{\>}{\T{unicita' del limite}} m=l} assurdo. \end{proof} \subsection{Intorno destro (sinistro)} Dato l'intorno $x_0$ e il suo raggio $\delta$, \[ x_0^+=\{x\in\mathbb{R}|\;x_0 0\; \exists \delta > 0:\;x\in(a,b)\setminus\{x_0\} \;\;|x-x_0|<\delta\; \Rightarrow \;|f\left( g(x) \right)-\overline{l}|<\varepsilon \] Per Hp $\lim_{y\to y_0}f(x)=\overline{l}$, cioe': \[ \varepsilon > 0\; \exists \rho > 0:\;y\in(\alpha,\beta)\setminus\{y_0\} \;\;|y-y_0|<\rho\; \Rightarrow \;|f\left( y \right)-\overline{l}|<\varepsilon \] e sempre per Hp $\lim_{x\to x_0}g(x)=y_0$; prendendo un $\varepsilon$ opportuno, otteniamo:: \[ \rho > 0\; \exists \rho' > 0:\;x\in(a,b)\setminus\{x_0\} \;\;|x-x_0|<\rho'\; \Rightarrow \;|g\left( x \right)-y_0|<\rho \] e poiche' $|g\left( x \right)-y_0|<\rho$ equivale alla condizione di sopra $|y-y_0|<\rho$ possiamo sostituire $y=g(x)$ ottenendo che per $g(x) \in (\alpha,\beta)\setminus\{y_0\}$: \[|f\left( g(x) \right)-\overline{l}|<\varepsilon\] Quindi il $\delta$ cercato e' $\delta=\rho'$ \end{proof} \subsection{Limiti di funzioni e successioni} Data $f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=l, \;l\in \mathbb{R} \;\;\Leftrightarrow \;\;\left(\forall \{x_n\}: x_n\in(a,b)\setminus\{x_0\}\;\forall n \in \mathbb{N}:\;\lim_{n\to+\infty}x_n=x_o\;\Rightarrow \;\lim_{n\to+\infty}f(x_n)=l\right) \] Questa e' una caratterizzazione dei limiti delle funzioni e vale per $l \in \overline{\mathbb{R}}$ e anche per $x=\pm\infty$ \begin{proof} In questa dimostrazione, consideriamo sono $l \in \mathbb{R}$.\\ Dimostriamo $\Rightarrow $.\\ Dobbiamo dimostrare che se \[ \{x_n\}: x_n\in(a,b)\setminus\{x_0\}\;\forall n \in \mathbb{N}:\;\lim_{n\to+\infty}x_n=x_o\] allora \[lim_{n\to+\infty}f(x_n)=l\] Ovvero, la nostra tesi equivale a: \[ \forall \varepsilon > 0\;\exists v \in \mathbb{N}: \;\;n>v\;\Rightarrow \;|f(x_n)-l|<\varepsilon \] Per Hp sappiamo che $\lim_{x\to x_0}f(x)=l$, cioe' \[ \forall \varepsilon> 0\;\exists \delta > 0:\;\forall x \in (a,b)\setminus\{x_0\}:\;|x-x_0|<\delta\;\Rightarrow \;|f(x)-l|<\varepsilon \] Adesso prendiamo una successione $\{x_n\}$ t.c. $\lim_{n\to+\infty}x_n=x_o$, cioe': \[ \varepsilon=\delta>0\;\exists v_1>0:\;n>v_1\;\Rightarrow\;|x_n-x_0|<\delta \] Se poniamo come condizione che $n>v_1,\;x_n\in(a,b)\setminus\{x_0\}:\;|x_n-x_0|<\delta$, allora possiamo concludere che \[ |f(x_n)-l|<\varepsilon, \;\;\forall n>v_1 \] Quindi $v=v_1$. \end{proof} \begin{proof} Dimostriamo il viceversa.\\ Ora la nostra tesi e' \[ \lim_{x\to x_o}f(x)=l \] cioe': \[ \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0: \; \forall x\in(a,b)\setminus\{x_0\},\;|x-x_0|<\delta\;\Rightarrow \;|f(x)-l|<\varepsilon \] Utilizziamo una dimostrazione per assurdo e neghiamo la tesi: \[ \exists \varepsilon > 0 \; \forall \delta > 0: \;\exists x\in(a,b)\setminus\{x_0\},\;|x-x_0|<\delta\;\Rightarrow \;|f(x)-l|\ge \varepsilon \] Per contraddire l'Hp, dobbiamo pero' prima ricondurci alle sue condizioni, cioe' dobbiamo rientrare nel caso in cui: \[ \{x_n\}: x_n\in(a,b)\setminus\{x_0\}\;\forall n \in \mathbb{N}:\;\lim_{n\to+\infty}x_n=x_o\] Allora adesso costruiamo la seguente successione: \begin{align*} &\delta=1\;\;\;\exists \varepsilon > 0 \; \forall 1 > 0: \;\exists x_1\in(a,b)\setminus\{x_0\},\;|x_1-x_0|<1\;\Rightarrow \;|f(x_1)-l|\ge \varepsilon\\ &\delta={1\over 2}\;\;\;\exists \varepsilon > 0 \; \forall {1 \over 2} > 0: \;\exists x_2\in(a,b)\setminus\{x_0\},\;|x_2-x_0|<{1 \over 2 }\;\Rightarrow \;|f(x_2)-l|\ge \varepsilon\\ & \vdots\\ &\delta={1\over n}\;\;\;\exists \varepsilon > 0 \; \forall {1\over n} > 0: \;\exists x_n\in(a,b)\setminus\{x_0\},\;|x_n-x_0|<{1\over n}\;\Rightarrow \;|f(x_n)-l|\ge \varepsilon\\ \end{align*} Cioe': \[ \{x_n\}:x_n\in (a,b)\setminus\{x_0\}, \;|x_n-x_0|<\frac{1}{n},\;\;\forall n \in \mathbb{N} \] Siccome: \[ 0<|x_n-x_0|<\frac{1}{n} \] per il teorema del confronto, \[ \lim_{n\to +\infty}|x_n-x_0|=0 \] Questo implica che: \[ \lim_{n\to+\infty}x_n=x_0 \] A questo punto siamo riusciti a ricondurci nelle condizioni richieste dall'Hp, ora la contraddiceremo, trovando l'assurdo.\\ Per Hp: \[ \lim_{n\to+\infty}f(x_n)=l \] cioe': \[ \forall \varepsilon > 0\;\exists v \in \mathbb{N}: \;\;n>v\;\Rightarrow \;|f(x_n)-l|<\varepsilon \] Ma poiche' prima abbiamo trovato $|f(x_n)-l|\ge \varepsilon$, allora abbiamo trovato l'assurdo.\\fin. \end{proof} \subsection{Limiti notevoli} \begin{align*} &\lim_{x\to 0}\frac{\sen x}{x}=1\\ &\lim_{x\to 0 }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}\\ &\lim_{x\to \pm\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e\\ &\lim_{x\to 0} (1+x)^{\frac{1}{x} }=e\\ &\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^a-1}{x}=a\\ &\lim_{x\to 0} \frac{\log_a(1+x)}{x}=\log_a e,\;\;a>0,a\neq 1\\ &\lim_{x\to 0} \frac{a^x-1}{x}=\ln a,\;\;a>0 \end{align*} \begin{proof} Dimostriamo $\lim_{x\to 0}\frac{\sen x}{x}=1$\\. \begin{figure}[h] \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{fig/senx_x} \end{center} \end{figure} $x$ e' l'angolo $BOA$.\\ $|BB'|=2|\sen x|$ per il postulato di archimede e' minore dell'arco $|(BAB')|$. Sempre per il postulato di archimede $|(B'A)| < |B'T'|+|T'A|$ e quindi: \begin{align*} & 2|\sen x| < |(BAB')| < |B'T'|+|T'A| + |AT|+|BT| = |B'T| +|TT'| + |TB|\\ & |B'T| +|TT'| + |TB| < |HT|+|TT'|+|T'G| = 2|\tg x| \end{align*} ovvero: \[ 2|\sen x| < 2|x| < 2|\tg x| = 2\big|\frac{\sen x}{\cos x}\big| \] dividendo per $2|\sen x|$: \[ 1<\frac{|x|}{|\sen x|} < \frac{1}{|\cos x|} \] elvando per $-1$: \[ |\cos x| < \frac{|\sen x|}{|x|} < 1 \] restringendo la x a $]-\frac{\pi}{2}, +\frac{\pi}{2}[$ possiamo eliminare il valore assoluto e quindi: \[ \cos x < \frac{\sen x}{x} < 1 \] Prendendo i limiti $x \to 1, \; 1 \to 1$ quindi per il confronto $\lim_{x\to 0}\frac{\sen x}{x}=1$ \end{proof} \section{Funzioni continue} Data una funzione $f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, e $c\in (a,b),\;\;\exists f(c)$, allora \[ f\equiv\textrm{continua in $c$}\;\Leftarrow \;\;\exists \lim_{x\to c}f(x)=f(c) \] Una funzione e' continua in un insieme numerico $X$, se e' continua in ogni suo punto. \subsubsection{Esempio} Dimostriamo che $\sin x$ e' continua in $]-\infty,+\infty[$.\\ Per definizione di continuita': \[ \forall \varepsilon >0 \exists \delta>0: x\in]-\infty,+\infty[,\;\;|x-x_0|<\delta\;\Rightarrow \;|\sin x - \sin x_0| <\varepsilon \] Con la formula di prostaferesi: \[ |\sin x - \sin x_0|=|2\sin\frac{x-x_0}{2}\cos\frac{x+x_0}{2}|=2|\sin\frac{x-x_0}{2}| |\cos\frac{x+x_0}{2}| \] Considerando la proprieta' del seno che $|\sin x | \le |x|, \;\;\forall x \in \mathbb{R}$, e che $\cos x < 1$ \begin{align*} &2|\sin\frac{x-x_0}{2}| |\cos\frac{x+x_0}{2}| \le 2 \cdot|\frac{x-x_0}{2}|\cdot 1\\ &|\sin x - \sin x_0| \le |x-x_0| < \varepsilon\\ \end{align*} Quindi $\delta=\varepsilon$. \subsection{Teorema dell'esistenza degli zeri} Data la funzione continua \[ f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R} \] se esistono due punti: \[ \exists x_1, x_2 \in (a,b),\;\;x_10$ e $f(x_2)<0$. Sia $X$ il seguente insieme: \[ X=\left\{x\in ]x_1,x_2[ |\;f(x)>0 \right\} \] $X\neq \emptyset$, perche' almeno $f(x_1)>0$, inoltre, $X \subseteq [x_1,x_2[$ e quindi $x_2$ e' un suo maggiorante. Quindi, \[ \sup X = x_0 \] Ovviamente $x_1\le x_0 \le x_2$.\\ \begin{enumerate} \item Supponiamo che $f(x_0)>0$: \[ f(x_0)>0\;\Rightarrow \;x_0 \in X\; \Rightarrow \; x_0\neq x_2\;\Rightarrow \;x_0 < x_2 \] Consideriamo il limite a $x_0^+$ da destra: \[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0) > 0 \] questo perche' $f$ e' continua per Hp. Allora per la permanenza del segno, a partire da un certo punto i valori di $f(x)$ saranno positivi: \[ \E \delta > 0, \; \forall x \in (x_0, x_0+\delta)\subseteq [x_1, x_2[, \Rightarrow \;\;f(x)>0 \] Prendiamo una $t\in (x_0, x_0+\delta)$: \[ x_00\;\Rightarrow \;t\in X \] ma questo e' assurdo, perche' se $t \in X$ allora $t$ non puo' essere $t > x_0$, ovvero $t$ non puo' superare il $\sup X$.\\ Quindi deduciamo che $f(x_0)\le 0$ \item Supponiamo allora che $f(x_0)<0$, e come prima arriviamo alla permanenza del segno partendo dal limite a $x_0^-$: \[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0) < 0 \] \[ \E \delta > 0, \; \forall x \in (x_0-\delta, x_0)\subseteq [x_1, x_2[, \Rightarrow \;\;f(x)<0 \] Sia $t\in (x_0-\delta, x_0)$, allora \[t 0, \;\exists t \in (x_0-\delta, x_0)\subset [x_1,x_2[ | \; t>x_0-\varepsilon \] Allora $f(t)<0$ perche' $t \in (x_0-\delta, x_0) $. Inoltre, $t \in X$ e quindi $f(t)>0$, ma questo e' assurdo.\\ Deduciamo quindi che non e' vero che $f(x_0) < 0$ \end{enumerate} Siccome non e' vero che $f(x_0)< 0$ e che $f(x_0)> 0$, allora $f(x_0)=0$. \end{proof} \subsubsection{Corollario} Il corollario sostituisce semplicemente lo zero con un numero $\gamma \in (a.b)$, cioe' \[ \exists x_1, x_2 \in (a,b),\;\;x_1 \gamma \] allora, esiste almeno un punto $x_0$ \[ \exists x_0 \in ]x_1,x_2[|\;f(x_0)=\gamma \] \begin{proof} Usiamo la funzione continua $F(x)$: \[ F(x)=f(x)-\gamma:\;(a,b)\longrightarrow \mathbb{R} \] \[ F(x_1)=f(x_1)-\gamma<0 \] \[ F(x_1)=f(x_2)-\gamma>0 \] Allora per il teorema di prima, \[ \exists x' \in (a,b)|\;F(x')=0 \] Cioe', \[ F(x')=0=f(x')-\gamma\;\;\Leftrightarrow f(x')=\gamma \] \end{proof} \subsection{Teorema dei valori intermedi} Data la solita $f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, continua, e preso un $\gamma$ \[ \inf (a,b)< \gamma< \sup (a,b) \] allora, \[ \exists x_0 \in (a,b)| \; f(x_0)= \gamma \] Poiche' $\gamma$ puo' essere scelto a piacere, questo significa che la funzione assume tutti i valori tra il suo $\inf$ e il suo $\sup$. \subsection{Limiti di funzioni continue e successioni} Data $f:(a.b)\longrightarrow \mathbb{R}$ e $c\in(a,b)$, $f$ e' continua in $c$ se e solo se accade che: \[ \forall \{x_n\}, \;x_n\in(a,b),\;\forall n \in \mathbb{N},\;\lim_{n\to+\infty}x_n=c\;\Rightarrow \;\lim_{n\to+\infty}f(x_n)=f(c) \] \subsection{Teorema di continuita' delle funzioni composte} Date \[ f:(\alpha, \beta)\longrightarrow \mathbb{R} \] \[ g:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R} \] $f$ continua in $g(x_0)$ e $g$ continua in $x_0$, allora il teorema dice che $f\circ g$ e' continua in $x_0$, cioe' \[ \lim_{x\to x_0}f(g(x))=f(g(x_0)) \] \subsection{Teorema di Weierstrass} Data $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ e continua in $[a,b]$, allora la $f$ assume sia il massimo che il minimo dell'intervallo $[a,b]$, cioe': \begin{align*} &\exists x_1 \in [a,b]: \;\;f(x_1)=\sup(f([a,b]) )= \max(f([a,b])\\ &\exists x_0 \in [a,b]: \;\;f(x_0)=\inf(f([a,b]) )= \min(f([a,b]) \end{align*} \begin{proof} Dimostriamo solo la seconda proprieta'.\\ Poniamo $M=\sup(f([a,b]) )$ \begin{enumerate} \item Consideriamo il caso in cui $M=+\infty$, ovvero quando $f$ e' illimitata superiormente: \[ \forall n \in \mathbb{N} \; \exists x_n \in [a,b]: \;f(x_n) > n \] Poiche' $n \to +\infty$, allora per il teorema del confronto anche $\lim_{n \to \infty}f(x_n) =+\infty=M$. \item Se invece, $M \in \mathbb{R}$, allora, consideriamo la seconda proprieta' del sup: \[\forall n > 0,\; \frac{1}{n} > 0 \; \exists x_n \in [a,b]: \;f(x_n) > M - \frac{1}{n} \] Poiche' $M$ e' il sup di $[a,b]$ scriviamo: \[ M -\frac{1}{n} < f(x_n) < M, \;\;\forall n \in \mathbb{N} \] Allora per $n \to +\infty$, $M -\frac{1}{n} \to M$ e pure $M \to M$, quindi per il teorema del confronto segue che $\lim_{n\to +\infty}f(x_n) = M $ \end{enumerate} In entrambi i casi abbiamo visto che $\lim_{n\to +\infty}f(x_n) = M $.\\ Adesso per il teorema di Bolzano possiamo prendere una estratta di $x_n$ che converge a un numero $x_0 \in [a,b]$, ovvero: \[ \exists {x_{k_n} } : \;\lim_{n \to \infty}x_{k_n}=x_0 \in [a,b] \] Per il teorema sui limiti delle estratta e per la caratterizzazione delle funzioni continue tramite successioni, deduciamo che \[ \lim_{n \to \infty}f(x_{k_n})=\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0) \] Per il thm delle succ. estratte: \[ \lim_{n\to +\infty}f(x_n) = M\;\Rightarrow \;\lim_{n \to \infty}f(x_{k_n})=M \] quindi $M=f(x_0)$ ovvero $f(x_0)=M=\sup(f([a,b] )$, ma poiche' $f(x_0) \in f([a,b])$ allora $M$ e' anche un massimo, quindi: $M=\sup(f([a,b] )=\max(f([a,b] )$ \end{proof} \subsection{Punti di discontinuita'} Data $f:X\longrightarrow \mathbb{R}$ e $x_0\in DX$, $x_0$ si dice punto di discontinuita' se accade uno dei seguenti eventi: \begin{enumerate} \item $x_0 \notin X$ \item $\nexists \textrm{finito }lim_{x\to x_0}f(x)$ \item La $f$ non e' continua in $x_0$:\[ x_0\in X, \;\;lim_{x\to x_0}f(x)\neq f(x_0) \] \end{enumerate} Diremo che la discontinuita' di $x_0$ e' eliminabile se non e' vero il caso (2), cioe' se $\exists \textrm{finito }lim_{x\to x_0}f(x)$. In questo caso e' possibile estendere $f(x)$ in modo da renderla continua in $x_0$. Basta prendere questa funzione: \[ g(x)=\begin{cases} f(x)&x\neq x_0\\ \lim_{x\to x_0}f(x)&x=x_0 \end{cases} \] Si dice che $g$ e' un prolungamento per continuita' di $f$.\\ Analizziamo adesso le diverse specie di discontinuita'. Prima di tutto diamo queste ipotesi: \[ X \subset \mathbb{R} \] \[ X_{x_0}^+ := X \cap ]x_0, +\infty[ \] \[ X_{x_0}^- := X \cap ]-\infty,x_0[ \] prendiamo un punto $x_0 \in DX_{x_0}^+ \cap X_{x_0}^-$ \subsubsection{Discontinuita' di prima specie} Data $f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, $x_0$ e' un punto di discontinuita' di prima specie se: \[ \exists \lim_{x \to x_0^-}f(x), \lim_{x \to x_0^+}f(x) \] \[ \lim_{x \to x_0^-}f(x) \neq \lim_{x \to x_0^+}f(x) \] Il salto di $f$ in $x_0$ indica la seguente quantita': \[ s=|\lim_{x \to x_0^-}f(x) - \lim_{x \to x_0^+}f(x)| \] \subsubsection{Discontinuita' di seconda specie} Data $f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, $x_0$ e' un punto di discontinuita' di seconda specie se: \[ \lim_{x \to x_0^{\pm}}f(x)=\pm \infty \] Se consideriamo la restrizione $f/_{X_{x_0}^+}$ e' di seconda specie se: \[ \lim_{x \to x_0^+}f(x)=\pm \infty \] \subsubsection{Discontinuita' di terza specie} Data $f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, $x_0$ e' un punto di discontinuita' di terza specie se: \[ \nexists \lim_{x \to x_0^{\pm}}f(x) \] Se consideriamo la restrizione $f/_{X_{x_0}^+}$ e' di terza specie se: \[ \nexists \lim_{x \to x_0^+}f(x) \] \section{Funzioni monotone} $ \textrm{$f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$ e' monotona di tipo}$\\ \[\begin{cases} \textrm{crescente}& \forall x_1, x_2 \in (a,b), \;x_1 f(x_2)\\ \textrm{non crescente} & \forall x_1, x_2 \in (a,b), \;x_1 0\; \exists \delta >0: \;\forall x,y \in (a,b), \;|x-y|<\delta\;\;\Rightarrow\;\; |f(x)-f(y)|<\varepsilon \] Ovvero, a valori ``vicini'' nel dominio di $f(x)$ corrispondono valori vicini in nell'immagine $\Im f$. Per abbreviare usiamo \emph{u.c.} (uniformemente continua). \begin{thm} \[ f \equiv \textrm{u.c in (a,b)}\;\Rightarrow \;f\equiv \textrm{continua in (a,b)} \] \begin{proof} Prendiamo un generico punto del dominio $c \in (a,b)$. Dobbiamo dimostrare che: \[ \forall \varepsilon >0 \exists \rho>0: x\in(a,b),\;\;|x-c|<\rho\;\Rightarrow \;|f(x) - f(c)| <\varepsilon \] Per Hp: \[ \forall \varepsilon > 0\; \exists \delta >0: \;\forall x',x'' \in (a,b), \;|x'-x''|<\delta\;\;\Rightarrow\;\; |f(x')-f(x'')|<\varepsilon \] Allora siccome questo vale per ogni $x', x''$ basta scegliere \[ x'=x,\;\;x''=c \] e quindi otteniamo che: \[ |f(x) - f(c)| < \varepsilon \] Quindi il $\rho$ che volevamo trovare e' $\rho=\delta$. \end{proof} Non vale sempre il viceversa di questo teorema. \end{thm} \begin{thm} Il teorema di Cantor dice che: \[ f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}, \;\textrm{continua in $[a,b]$}\;\Rightarrow \;f\equiv \textrm{u.c} \] Cioe' se $f$ e' limitata e chiusa in $[a,b]$ allora e' $u.c.$ in $[a,b]$. I corollari sono: \begin{enumerate} \item \[ \begin{cases} f:[a,+\infty[\longrightarrow \mathbb{R}, \;\textrm{continua in $[a,+\infty[$}\\ \exists \lim_{x\to+\infty}f(x)=l\in\mathbb{R} \end{cases}\;\Rightarrow \;f\equiv \textrm{u.c. in $[a,+\infty[$} \] \item \[ \begin{cases} f:]-\infty,b]\longrightarrow \mathbb{R}, \;\textrm{continua in $]-\infty,b]$}\\ \exists \lim_{x\to-\infty}f(x)=l\in\mathbb{R} \end{cases}\;\Rightarrow \;f\equiv \textrm{u.c. in $]-\infty,b]$} \] \item \[ \begin{cases} f:]-\infty,+\infty[\longrightarrow \mathbb{R}, \;\textrm{continua in $]-\infty,+\infty[$}\\ \exists \lim_{x\to-\infty}f(x)=l\in\mathbb{R}\\ \exists \lim_{x\to+\infty}f(x)=L\in\mathbb{R} \end{cases}\;\Rightarrow \;f\equiv \textrm{u.c. in $]-\infty,+\infty[$} \] \end{enumerate} \end{thm} \section{Derivata} Data la funzione $f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$ e un punto $c\in ]a,b[$, il rapporto incrementale di $f$ su $c$ e' la seguente funzione: \[ R(x)=\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \] La derivata prima nel punto $c$ di $f$ e' il limite finito \[ f'(c)=\lim_{x\to c}R(x)=\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \] La derivata $f'(c)$ corrisponde al coefficiente angolare della retta tangente al grafico di $f$ nel punto $c$, quindi la retta tangente e' data da: \[ y-f(x)=f'(c)(x-c) \] Se in ogni punto di $c\in (a,b)$ esiste $f'(c)$ allora si dice che $f$ e' derivabile in $(a,b)$.\\ Ponendo $h=x-c,\; \;x= h+c$ e' possibile esprimere la derivata in un altro modo: \[ \lim_{x \to c} h= 0 \] \[ f'(c)=\lim_{h\to 0} \frac{f(h+c)-f(c)}{h} \] \begin{thm} Se $f$ e' derivabile in $c\in]a,b[$ allora e' continua in $c$. \[ \exists f'(c)\;\Rightarrow \;f\equiv\textrm{continua in $c$} \] \begin{proof} Per Hp: \[ \exists f'(c)=\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \] Consideriamo \[ f(x)-f(c)= \frac{ f(x)-f(c)}{(x-c)}(x-c) \] Poiche' \[ \lim_{x \to c}x-c = 0 \] sara' \[ \lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}(x-c)=\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \lim_{x \to c}x-c = f'(c)\cdot 0 = 0 \] Quindi \[ \lim_{x \to c}f(x)-f(c)=0 \; \Leftrightarrow \; \lim_{x \to c}f(x)= f(c) \] Cioe' la tesi. \end{proof} \end{thm} Data la funzione $f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, si dice che $f$ e' derivabile in $a$ se: \[ \exists \textrm{finito}\;\lim_{x\to a+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \] e' derivabile in $b$ se: \[ \exists \textrm{finito}\;\lim_{x\to b-}\frac{f(x)-f(b)}{x-b} \] Se $f$ e' derivabile in $(a,b)$ possiamo calcolarne la derivata prima $f'(x)$. Se $f'(x)$ e' derivabile in $(a,b)$, possiamo calcolare la derivata seconda di $f$ ovvero $f''(x)$, e cosi' via. La derivata n-esima si indica con $f^{(n)}(x)$. \subsection{Derivate notevoli (regole di derivazione)} \begin{align*} &D[f(x)+g(x)] = f'(x)+g'(x) & D[f(x)g(x)] = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\ &D[kf(x)]=kf'(x) & D\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\\ &Dx^\alpha=\alpha x^{\alpha-1} & Da^x = a^x\log_e a \\ &D\log_a x = \frac{1}{x}\log_a e & D\ln x = \frac{1}{x}\\ &D\sqrt[n]{x}=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} & D\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ &D\sin x= \cos x & D\cos x=-\sin x\\ &\sin'' x = - \sin x,\;\;\sin ''' x = - \cos x, \;\; \sin^{(4)} x=\sin x\\ &D\tan x = \frac{1}{\cos^2 x} = 1+\tan^2 x & D\cot x = -\frac{1}{\sin^2 x} = -(1+\cot^2 x)\\ &D\left[\arcsin y\right]=\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} & D\left[\arccos y\right]=-\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}\\ &D\left[\arctan y\right]=\frac{1}{1+y^{2}} & D\left[\textrm{arccot }y\right]=-\frac{1}{1+y^{2}}\\ &D\left[\arsinh y\right]=\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}\\ \end{align*} \subsubsection{Alcune dimostrazioni} \begin{proof} Dimostriamo $D\sin x= \cos x$.\\ \begin{align*} D\sin x=&\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ =&\lim_{h\to 0}\frac{\sin (x+h)-\sin x)}{h}\\ =&\lim_{h\to 0}\frac{2\sin\frac{x+h-x}{2}\cos\frac{x+h+x}{2} }{h}\\ =&\lim_{h\to 0}\frac{\sin\frac{h}{2} }{\frac{h}{2}}\cos(\frac{h}{2}+x)\\ =&\lim_{h\to 0}\cos(\frac{h}{2}+x)=\cos x \end{align*} \end{proof} \begin{proof} Dimostriamo $D[f(x)g(x)] = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$. \begin{align*} &F(x)=f(x)g(x)\\ D[f(x)g(x)]_{x=c}=&\lim_{x\to c} \frac{F(x)-F(c)}{x-c}\\ =&\lim_{x\to c} \frac{f(x)g(x)-f(c)g(c)}{x-c}\\ =&\lim_{x\to c} \frac{f(x)g(x)-f(c)g(x)-f(c)g(c)+f(c)g(x)}{x-c}\\ =&\lim_{x\to c} g(x)\frac{f(x)-f(c)}{x-c}+f(c)\frac{g(x)-g(c)}{x-c}\\ =&\lim_{x\to c} g(c)\frac{f(x)-f(c)}{x-c}+f(c)\frac{g(x)-g(c)}{x-c}\\ =&g(c)\lim_{x\to c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}+g(c)\lim_{x\to c}\frac{g(x)-g(c)}{x-c}\\ =&g(c)f'(c)+f(c)g'(c) \end{align*} \end{proof} \begin{proof} \label{proofdaseny} Dimostriamo che \[ D\left[\arcsin y\right]=\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} \] per Hp sappiamo che $\sin x $ e' continua e derivabile, e' anche invertibile in $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, la sua inversa $\arcsin y$ e' continua. Quindi usando il teorema di derivazione delle funzioni inverse, deduciamo che \[ D\left[\arcsin y\right]=\frac{1}{\sen'x}=\frac{1}{\cos x} \] per le $x\in ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ (altrimenti $\cos x=0$). Per l'identita' fondamentale della trigonometria appiamo che $\cos x = \pm \sqrt{1-\sin^2 x}$ e poiche' stiamo considerando $\cos x>0$, scegliamo solo il segno $+$: \[ D\left[\arcsin y\right]=\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 x}} \] Infine, poiche' $\sin x = y$, abbiamo: \[ D\left[\arcsin y\right]=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}} \] \end{proof} \begin{proof} Dimostriamo che \[D\left[\arccos y\right]=-\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}\] Si procede come la dimostrazione precedente, quindi: per Hp sappiamo che $\cos x $ e' continua e derivabile, e' anche invertibile in $[0, \pi]$, la sua inversa $\arccos y$ e' continua. Quindi usando il teorema di derivazione delle funzioni inverse, deduciamo che \[ D\left[\arccos y\right]=\frac{1}{\cos'x}=\frac{1}{-\sen x}=\frac{1}{-\sen(\arccos y)} \] per le $y \in ]-1,1[$. Per l'identita' fondamentale della trigonometria appiamo che $\sin x = \pm \sqrt{1-\cos^2 x}$ e poiche' stiamo considerando $\sin x>0$, scegliamo solo il segno $+$: \[ D\left[\arccos y\right]=\frac{1}{-\sen(\arccos y)}= \frac{1}{-\sqrt{1-\cos^2{\arccos y}}}= \frac{1 }{-\sqrt{1-y^2}} \] \end{proof} \begin{proof} Dimostriamo che \[ D\log_a x = \frac{1}{x}\log_a e \] Prima di tutto osserviamo che la funzione e' definita in \[ f(x)=\log_a x: ]0, +\infty[\longrightarrow \mathbb{R}, a>0, a\neq 1 \] calcoliamo il limite del rapporto incrementale: \begin{align*} &\lim_{h\to 0}\frac{f(h+x)-f(x)}{h} =\\ =&\lim_{h\to 0}\frac{\log_a(h+x) - \log_a(x)}{h}\\ =&\lim_{h\to 0}\frac{\log_a \frac{h+x}{x}}{h}\\ =&\lim_{h\to 0}\frac{\log_a\left(\frac{h}{x}+1\right)}{h}\\ =&\lim_{h\to 0}\frac{\log_a\left(\frac{h}{x}+1\right)}{\frac{h}{x}}\frac{1}{x}\\ =&\frac{1}{x}\log_a e \end{align*} \end{proof} \begin{proof} Dimostriamo che \[ Da^x = a^x\log_e a \] Prima di tutto osserviamo che la funzione e' definita in \[ f(x)=a^x: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}, a>0, a\neq 1 \] calcoliamo il limite del rapporto incrementale: \begin{align*} &\lim_{h\to 0}\frac{f(h+x)-f(x)}{h} =\\ =&\lim_{h\to 0}\frac{a^{h+x} - a^x}{h}\\ =&\lim_{h\to 0}a^{x}\frac{a^h - 1}{h}\\ =&\lim_{h\to 0}a^{x}\frac{a^h - 1}{h}\\ =&a^x\log_e a \end{align*} \end{proof} \begin{proof} Dimostriamo che \[ Dx^\alpha=\alpha x^{\alpha-1} \] Prima di tutto osserviamo che la funzione e' definita in \[ f(x)=x^\alpha: ]0, +\infty[\longrightarrow \mathbb{R} \] calcoliamo il limite del rapporto incrementale: \begin{align*} &\lim_{h\to 0}\frac{f(h+x)-f(x)}{h} =\\ =&\lim_{h\to 0}\frac{(h+x)^\alpha - x^\alpha}{h}\\ =&\lim_{h\to 0}x^\alpha\frac{\frac{h+x}{x}^\alpha - 1}{h}\\ =&\lim_{h\to 0}x^{\alpha-1}\frac{\frac{h+x}{x}^\alpha - 1}{\frac{h}{x}}\\ =&\lim_{h\to 0}x^{\alpha-1}\frac{\left(\frac{h}{x}+1\right)^\alpha - 1}{\frac{h}{x}}\\ =&\alpha x^{\alpha-1} \end{align*} \end{proof} \begin{proof} Dimostriamo che \[ D[\arsinh y]=\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}} \] $\sinh x$ e' crescente e continua in $\mathbb{R}$, quindi per il teorema (\ref{thm_mono_inv}) anche $\arsinh y$ e' crescente e continua in $\mathbb{R}$. Quindi possiamo applicare il teorema (\ref{thm_deriv_inv}). Calcoliamo \[ D[\sinh x]=D\left[\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right]=\frac{1}{2}\left( e^x+e^{-x} \right)=\cosh x \] e allora: \[ D\left[\arsinh y\right]=\frac{1}{\cosh x} \] poiche' l'idendita' fondamentale dice che \[ \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \] \[ \cosh x = \pm \sqrt{1+\sinh^2 x} \] (siamo solo interessati nelle soluzioni positive), quindi: \[ D\left[\arsinh y\right]=\frac{1}{\cosh x}= \frac{1}{\sqrt{1+\sinh^2 x}} \] e poiche' $\sinh x=y$, arriviamo alla tesi: \[ D\left[\arsinh y\right]=\frac{1}{\sqrt{1+y^2}} \] \end{proof} \subsection{Derivate di funzioni composte} Date \[ f:(\alpha, \beta)\longrightarrow \mathbb{R} \] \[ g:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R} \] $f$ derivabile in $y_0 \in (\alpha, \beta)$ e $g$ derivabile in $x_0 \in (a,b)$, \[ g(x) \in (\alpha, \beta)\;\forall x \in (a,b),\;\;\land \; g(x_0)=y_0 \] allora la funzione \[ F(x)=f(g(x) ) \] \[ F'(x_0)=f'(g(x_0) )g'(x_0) \] \section{Funzioni invertibili} Data $f:X\longrightarrow Y$, $Z=f(X)=\left\{f(x)|\;x\in X\right\}$, allora: \[ f\equiv\textrm{invertibile}\;\Leftrightarrow\;\forall y \in Z\;\exists! x\in X: \;f(x) =y\]\[\Leftrightarrow \;\textrm{l'equazione }f(x)=y\textrm{ nell'incognita $x$, ammette una sola soluzione} \] se $f$ e' biettiva, allora e' invertibile.\\ Per controllare graficamente l'invertibilita' di $f(x)$, basta controllare che ogni parallela all'asse delle $x$, incontri al massimo un solo punto del grafico di $f(x)$.\\ Se $f$ e' invertibile possiamo definire la sua funzione inversa: \[ f^{-1}:Z\longrightarrow X \] \[ f^{-1}(y)=x,\;\;\textrm{dove $x$ e' l'unica soluzione dell'equazione $f(x)=y$ nell'incognita $x$} \] \subsubsection{Proprieta'} \begin{enumerate} \item $f^{-1}(f(x) ) = x, \;\;\forall x\in X$ \item $f(f^{-1}(y) )= y,\;\;\forall y \in Z$ \begin{proof} Sia $y\in Z$, allora \[ \exists ! x\in X: \; f(x)=y \] quindi \begin{align*} &f^{-1}(y)=x\\ &f(f^{-1}(y) ) = f(x) = y\\ &f(f^{-1}(y) ) = y \end{align*} \end{proof} \end{enumerate} \subsection{Monotonia e invertibilita'} \label{thm_mono_inv} \[ f\equiv\textrm{monotona crescente (decrescente)}\;\Rightarrow \;f\equiv\textrm{invertibile} \] \begin{proof} La tesi e':\[ \forall y \in \mathbb{Z}\;\exists! x\in X: \;f(x) =y \] Dimostriamo per assurdo, neghiamo quindi la tesi: \[ \exists y \in \mathbb{Z}\;\exists x_1, x_2 \in X:\;f(x_1)=f(x_2)=y \] A questo punto sfruttiamo l'ipotesi di monotonia, supponendo $x_1 < x_2$: \[ f(x_1)< f(x_2)\;\Rightarrow \;y 0 \exists \delta > 0: \;y\in Z, y \neq y_0, |y-y_0| < \delta \Rightarrow \Big| \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0} - \frac{1}{f'(x_0)} \Big| < \varepsilon \] per Hp sappiamo che \[ \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0) \] e prendendo il limite reciproco otteniamo che (2): \[ \varepsilon > 0 \exists \rho > 0: x\in (a,b), x\neq x_0, |x-x_0| < \rho \Rightarrow \Big| \frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)} - \frac{1}{f'(x_0)} \Big| < \varepsilon \] Poiche' la $f$ e' invertibile, e' anche iniettiva e quindi $f(x)\neq f(x_0)$, cioe' $f(x)-f(x_0)\neq 0$, quindi quel denominatore ha senso. Sempre per Hp sappiamo che $f^{-1}$ e' continua in $y_0$, cioe': \[ \lim_{y\to y_0} f^{-1}(y) = f^{-1}(y_0) \] ovvero: \[ \rho > 0 \exists \delta' > 0: y\in Z, y\neq y_0, |y-y_0| < \delta' \Rightarrow |f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)| < \rho \] Per Hp sappiamo che $f(x_0)=y_0$, quindi $f^{-1}(y_0)=x_0$, sostituiamo: \[ \rho > 0 \exists \delta' > 0: y\in Z, y\neq y_0, |y-y_0| < \delta' \Rightarrow |f^{-1}(y)-x_0| < \rho \] considerando le $y$ tali che \[y\in Z, y\neq y_0, |y-y_0| < \delta' \], possiamo sostituire $x=f^{-1}(y)$ nella (2) perche' le sue condizioni $x\in (a,b), x\neq x_0, |x-x_0| < \rho$ vengono rispettate: \[ \Big| \frac{f^{-1}(y)-x_0}{f(f^{-1}(y))-f(x_0)} - \frac{1}{f'(x_0)} \Big| < \varepsilon \] sostituendo $f(f^{-1}(y) ) = y, \; f(x_0)=y_0, \; x_0=f^{-1}(y_0)$: \[ \Big| \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0} - \frac{1}{f'(x_0)} \Big| < \varepsilon \] e ponendo $\delta=\delta'$ otteniamo proprio la (1). \end{proof} Con questo teorema possiamo dimostrare che \[ D\left[\arcsin x\right]=\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} \] vedi \ref{proofdaseny}.\\ Questo teorema si completa in questo modo: \[ f'(x_0)=0 \;\Rightarrow \; \lim_{y\to y_o}\left|\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}\right|=+\infty \] ovvero $D[f^{-1}(y_0)]$ non esiste.\\ Se invece $f(x_0)$ non e' derivabile, allora: \[ \lim_{x\to x_o}\left|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right|=+\infty\;\Rightarrow \;D[f^{-1}(y_0)]=0 \] \subsection{Teorema di Rolle} Data $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ continua in $[a,b]$ e derivabile in $]a,b[$ \[ f(a)=f(b)\;\;\Rightarrow \;\; \exists c \in ]a,b[:\;f'(c)=0 \] ovvero, esistera' almeno un punto in cui la derivata si annulla.\\ Geometricamente Rolle dice che ci deve essere almeno un punto del grafico in cui la sua tangente e' parallela all'asse delle $x$. \subsection{Teorema di Cauchy} Date $f,g:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ continue in $[a,b]$ e derivabili in $]a,b[$ \[ g'(x)\neq 0,\;\forall x \in ]a,b[\;\;\Rightarrow \;\;\exists c \in ]a,b[: \;{f(b)-f(a) \over g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} \] nota che $g(b)\neq g(a)$ perche' se cosi' fosse, per Rolle, si avrebbe che $\exists c \in ]a,b[:\;g'(c)=0$ ma questo e' assurdo contro Hp. \subsection{Teorema di Lagrange} Data $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ continua in $[a,b]$ e derivabile in $]a,b[$ accade che \[ \exists c \in ]a,b[:\;\;\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \] Geometricamente, Lagrange dice che esistera' almeno un tangente al grafico parallela alla retta passante per i punti $(a, f(a)), \;(b, f(b))$. \begin{proof} Consideriamo $g(x)=x$, allora per Cauchy: \[ \exists c\in ]a,b[:\;{f(b)-f(a) \over g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} \] e quindi \[ \exists c\in ]a,b[:\;{f(b)-f(a) \over b-a} = \frac{f'(c)}{1} \] \end{proof} \subsubsection{Corollario I} Data $f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, derivabile in $(a,b)$, allora si ha \[ f(x)=k \in \mathbb{R}\;\; \forall x \in (a,b) \Leftrightarrow \;\;f'(x)=0\;\; \forall x \in (a,b) \] \begin{proof} Abbiamo gia' visto che $D[f(x)=k]=0$, quindi dimostriamo $\Leftarrow $.\\ Consideriamo la restrizione \[ f:[x_1, x_2]\longrightarrow \mathbb{R} \] con $x_1 0 : \;\forall x \in (x_0-\delta, x_0+\delta)\;\Rightarrow \;\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}<0 \] Poiche' $f$ e' crescente, nel caso in cui $x0 \] Invece, nel caso in cui $x>x_0$, $f(x) > f(x_0)$ e quindi: \[ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0 \] Ma tutti questi due casi sono assurdi. \item Anche qui procediamo per assurdo, e quindi supponiamo che \[ \exists [x_1, x_2] \subseteq (a,b): \;f'(x)=0\;\forall x \in [x_1, x_2] \] Da $f'(x)=0$ deduciamo che $f$ e' costante, ma questo e' assurdo perche' $f$ e' crescente. \end{enumerate} Dimostriamo adesso $\Leftarrow $.\\ Per il corollario III di Lagrange deduciamo che \[ \forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}\; x_1 < x_2\;\Rightarrow \; f(x_1)\le f(x_2) \] ora supponiamo per assurdo che $\exists x', x'' \in (a,b): f(x')=f(x'')$ allora considerando la restrizione $f:[x',x'']$ e adoperando Rolle: \[ \exists c \in [x',x'']: \;f'(c)=0 \] ma questo e' in contrasto con l'Hp, quindi deve essere che $f(x_1)\neq f(x_2)$, in conclusione: \[ \forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}\; x_1 < x_2\;\Rightarrow \; f(x_1) < f(x_2) \] \end{proof} \subsection{Teorema di De l'Hopital} Date $f,g: (a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, continue in $c\in (a,b)$: \[ f(c)=g(c)=0\;\land \;\exists f'(x),g'(x)\neq 0\;\forall x \in (a,b)\setminus\{c\}\;\land \; \exists \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L \in \overline{\mathbb{R}} \] \[ \qquad \Rightarrow \;g(x)\neq 0\;\forall x \in (a,b)\setminus\{c\}\;\land \;\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L \] In sostanza, se abbiamo un limite che si presenta nella forma indeterminata $\frac{0}{0}$, possiamo usare l'Hopital e calcolarne il valore. Nota che la non esistenza del limite del quoziente delle derivate comunque non implica la non esistenza del limite del quoziente originale. \begin{proof} Dimostriamo intanto che \[g(x)\neq 0\;\forall x \in (a,b)\setminus\{c\}\] e procediamo per assurdo supponendo che \[ \exists x_0 \in (a,b)\setminus\{c\}|\;g(x_0)= 0 \] supponendo per convenienza $x_0 < c$, usiamo la restrizione $g: [x_0, c]$. Poiche' $g(x_0)=g(c)=0$ per Rolle: \[ \exists x'\in]x_0, c[:\;g'(x')=0 \] e questo e' in contrasto con l'Hp \[g'(x)\neq 0\;\forall x \in (a,b)\setminus\{c\}\] Adesso possiamo procedere a dimostrare \[ \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L \] per definizione di limite: \[ \forall \varepsilon > 0 \;\exists \delta>0:\; \forall x \in (a,b)\setminus\{c\},\;|x-c|<\delta\;:\; \left|\frac{f'(x)}{g'(x)}-L\right| < \varepsilon \] lavorando in $\forall x \in (a,b)\setminus\{c\},\;|x-c|<\delta$ usiamo la seguente restrizione: \[ f,g:[c,x]\longrightarrow \mathbb{R} \] e applichiamo Cauchy: \[ \exists t \in ]c,x[:\;\frac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}=\frac{f'(t)}{g'(t)} \] e poiche' $f(c)=g(c)=0$ abbiamo: \[ (*)\quad\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(t)}{g'(t)} \] inoltre, dato che \[ t\in]c,x[\;\Rightarrow \; |t-c|\le |x-c| \le \delta\;\Rightarrow \; |t-c|<\delta \] e poiche' $t$ sottosta' alle condizioni del limite possiamo scrivere \[ \left|\frac{f'(t)}{g'(t)}-L\right| <\varepsilon \] ritornando a $(*)$ e sottraendo membro a membro $L$ e prendendone il valore assoluto: \[ \left|\frac{f(x)}{g(x)}-L\right|=\left|\frac{f'(t)}{g'(t)}-L\right| <\varepsilon \] che e' quello volevamo dimostrare. \end{proof} \section{Massimi e minimi relativi} Data $f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R},\;\;x_0\in]a,b[$, \[ x_0\equiv\textrm{ punto di massimo relativo}\;\Leftrightarrow \;\exists \delta>0:\;\forall x \in (x_0-\delta, x_0+\delta)\cap (a,b)\Rightarrow f(x)\le f(x_0) \] \[ x_0\equiv\textrm{ punto di minimo relativo}\;\Leftrightarrow \;\exists \delta>0:\;\forall x \in (x_0-\delta, x_0+\delta)\cap (a,b)\Rightarrow f(x) \ge f(x_0) \] \[ x_0\equiv\textrm{ massimo relativo proprio}\;\Leftrightarrow \;\exists \delta>0:\;\forall x \in (x_0-\delta, x_0+\delta)\cap (a,b)\Rightarrow f(x)< f(x_0) \] \[ x_0\equiv\textrm{ minimo relativo proprio}\;\Leftrightarrow \;\exists \delta>0:\;\forall x \in (x_0-\delta, x_0+\delta)\cap (a,b)\Rightarrow f(x) > f(x_0) \] Se $x_0$ e' un punto di massimo assoluto, allora e' anche massimo relativo.\\ Si dice che $x_0$ e' un estremo relativo quando e' o un massimo relativo o un minimo.\\ $x_0$ e' un estremo relativo \emph{proprio} quando solo per $x=x_0$ vale la diseguaglianza all'interno dell'intorno. \subsection{Teorema di Fermat} \label{thmdifermat} Data $f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R},\;\;x_0\in]a,b[$ \[ x_0\equiv\textrm{ estremo relativo},\;\;\exists f'(x_0)\;\Rightarrow \;f'(x_0)=0 \] \begin{proof} Supponiamo per convenienza che $x_0$ sia di massimo relativo: \[ \exists \delta>0:\;\forall x \in I_\delta=(x-\delta, x+\delta)\cap (a,b)\Rightarrow f(x)\le f(x_0) \] Lavoriamo sul segno del rapporto incrementale di $f$: \[ (*)\quad r(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \begin{cases} \le 0&x\in I_\delta,\;x>x_0\\ \ge 0&x\in I_\delta,\;x 0$, cioe' \[ \lim_{x \to x_0} r(x) > 0 \] allora per la permanenza del segno: \[ \exists \rho < \delta\;\forall x \in I_\rho,\;x\neq x_0,\;r(x) > 0 \] ma questo e' in contrasto con $(*)$, lo stesso vale considerando $f'(x)<0$. Quindi, poiche' $f'(x)$ e' un numero, l'unica possibilita' rimasta e' che necessariamente $f'(x)=0$ \end{proof} Non vale sempre il viceversa del teorema, infatti, per $f(x)=x^3$: \[f'(x)=3x^2=0\;\Leftrightarrow \;x=0\] ma $x=0$ non e' affatto un punto di estremo relativo, dato che $f(x)$ e' crescente.\\ Inoltre, un punto potrebbe essere di estremo, ma non avere derivata, ad esempio $f(x)=|x|$ ha per minimo assoluto $x=0$, ma $\nexists f'(0)$. \begin{thm} Data $f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R},\;\;x_0\in]a,b[$ \[ \exists f'(x)\forall x \in (a,b),\;f'(x_0)=0,\;\exists \delta >0:\begin{cases} f'(x) > 0 &x\in (x_0-\delta, x_0)\cap(a,b)\\ f'(x) < 0 &x\in (x_0, x_0+\delta)\cap(a,b) \end{cases} \] \[ \qquad \Rightarrow \;x_0 \textrm{ e' di massimo relativo proprio}\] Ovviamente $x_0$ e' di minimo relativo proprio se i segni di $f'(x)$ sono invertiti. \end{thm} \begin{thm} \label{8154816j} Data $f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R},\;\;x_0\in]a,b[$ \[ \exists f'(x)\forall x \in (a,b),\;f'(x_0)=0,\;\;\;\;\exists f''(x_0), f''(x_0)<0 \]\[\qquad\;\Rightarrow \;x_0 \textrm{ e' di massimo relativo proprio} \] \begin{proof} Per Hp: \[ \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}=f''(x_0)<0 \] quindi per la permanenza del segno: \[ \exists \delta>0:\;\forall x \in I_\delta=(x-\delta,x+\delta)\cap(a,b), x\neq x_0\;\Rightarrow \;\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}<0 \] Se $x> x_0,\; x\in I_\delta$, allora il denominatore di sopra e' sempre positivo, quindi deve per forza essere: \[ f'(x)-f'(x_0) < 0\;\Rightarrow \;f'(x)<\left(f'(x_0)=0\right) \] Se invece $x< x_0,\; x\in I_\delta$, allora deve essere: \[ f'(x)-f'(x_0) > 0\;\Rightarrow \;f'(x) > 0 \] Allora poiche' \[ f'(x) \begin{cases} > 0&x< x_0,\; x\in I_\delta\\ <0&x> x_0,\; x\in I_\delta \end{cases} \] per il teorema precedente, concludiamo che $x_0$ e' di massimo relativo proprio, che e' quello che volevamo dimostrare. \end{proof} \end{thm} \section{Concavita', convessita' e flessi} Data $f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$, derivabile in $f'(x_0), \;x_0\in]a,b[$, la retta tg al grafico di $f$ ($G_f$) nel punto $x_0$ divide il piano cartesiano in due semipiani. Chiamiamo $\pi_1$ quello di sopra e $\pi_2$ quello di sotto.\\ $G_f$ volge la concavita' verso l'alto (convessita' verso il basso) se \[ \exists \delta> 0:\;\forall x \in (x_0-\delta, x_0+\delta)\cap (a,b),\;\;G_f \in \pi_1 \] poiche' $t$, la retta tangente, e' definita da $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$, la relazione analitica diventa: $f(x) > f'(x_0)(x-x_0) +f(x_0)$.\\ La concavita' e' rivolta verso il basso se: \[ \exists \delta> 0:\;\forall x \in (x_0-\delta, x_0+\delta)\cap (a,b),\;\;G_f \in \pi_2 \;\Leftrightarrow \;f(x) \le f'(x_0)(x-x_0) +f(x_0) \] Se invece la situazione e' mista, allora $x_0$ e' un punto di flesso: \[ x_0 \equiv \textrm{punto di flesso}\;\Leftarrow \; \exists \delta > 0: \begin{cases} \;\forall x \in (x_0-\delta, x_0)\cap (a,b),\;\;G_f \in \pi_1\\ \forall x \in (x_0, x_0+\delta)\cap (a,b),\;\;G_f \in \pi_2 \end{cases} \] Vale anche nel caso opposto, cioe' $G_f \in \pi_2$ per il primo intorno e $G_f \in \pi_1$ per il secondo. \begin{thm}\label{thmconcavita} Usando le derivate possiamo capire dove sono i punti di flesso di una funzione e che concavita' ha in un punto.\\ Hp: \[ f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R},\;\;\exists f'(x)\;\forall x \in (a,b),\;x_0\in]a,b[\] Sotto queste Hp valgono i seguenti teoremi: \begin{align*} &\exists f''(x_0) <0 \;\Rightarrow \;\textrm{in $x_0$ la concavita' e' verso il basso}\\ &\exists f''(x_0) >0 \;\Rightarrow \;\textrm{in $x_0$ la concavita' e' verso l'alto} \end{align*} \begin{proof} Dimostriamo solo il primo (che e' analogo al secondo).\\ La tesi e': \[ \exists \delta> 0:\;\forall x \in (x_0-\delta, x_0+\delta)\cap (a,b),\;\;f(x) \le f'(x_0)(x-x_0) +f(x_0) \] Definiamo la seguente funzione: \[ F(x)=f(x)-f'(x_0)(x-x_0)-f(x_0)\] Calcoliamone la derivata prima: \[ F'(x)=f'(x)-\underbrace{(f'(x_0))'(x-x_0)}_{\textrm{$f'(x_0)$ e' una const, quindi $(f'(x_0))'=0$}}-f'(x_0)-0=f'(x)-f'(x_0) \] Calcoliamo $F''(x)$ in $x_0$: \[ F''(x)=f''(x)\;\Rightarrow \;F''(x_0)=f''(x_0) \] allora \[ \begin{cases} F'(x_0)=f'(x_0)-f'(x_0)=0\\ F''(x_0)=f''(x_0)<0 \end{cases} \] Per il teorema \ref{8154816j}, $x_0$ e' un punto di massimo relativo per $F$, quindi per definizione di max rel: \[ \exists \rho >0 :\;\forall x \in (x-\rho, x+\rho)\cap (a,b),\;\Rightarrow \;F(x_0) \ge F(x) \] quindi convertendo in $f()$: \begin{align*} &F(x_0) \ge F(x)\;\Rightarrow\; \;f(x_0)-f'(x_0)(x_0-x_0)-f(x_0) \ge f(x)-f'(x_0)(x-x_0)-f(x_0)\\ &0 \ge f(x)-f'(x_0)(x-x_0)-f(x_0)\\ &f(x) \le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) \end{align*} Che e' proprio quello che volevamo dimostrare. Quindi, in definitiva, \[ \delta=\rho \] \end{proof} \end{thm} \begin{thm} Hp: \[ f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R},\;\;\exists f'(x)\;\forall x \in (a,b),\;x_0\in]a,b[\] \[ \exists f''(x)\;\forall x\in (a,b)\;f''(x_0)=0,\;\;\exists f'''(x_0)\neq 0 \] \[ \qquad \Rightarrow \; x_0 \textrm{ e' un punto di flesso} \] \end{thm} \section{Asintoti} Data la $f:(a,+\infty)\longrightarrow \mathbb{R}$, la retta $r$ e' un suo asintoto se \[ \lim_{x\to +\infty}d\left((x, f(x)), r\right)=0 \] ovvero se la distanza tra i punti di $G_f$ e la retta $r$, tende a $0$.\\ Esistono diversi tipi di asintoti: \begin{enumerate} \item $r$ e' asintoto orizzontale se \[ \lim_{x\to \infty}f(x)=m \] In questo caso \[ r: \;y=m \] e anche \[ d\left((x, f(x)), r\right)=|f(x)-m| \] \item $r$ e' asintoto verticale destro se \[ \lim_{x\to c^+}f(x)=\pm \infty,\;c\in \mathbb{R} \] In questo caso \[ r:\;x=c \] e anche \[ d\left((x, f(x)), r\right)=|x-c| \] $r$ e' asintoto verticale sinistro se \[ \lim_{x\to c^-}f(x)=\pm \infty,\;c\in \mathbb{R} \] \item Se \[ \lim_{x\to\infty}=\infty \] allora possono essere eventuali asintoti obliqui.\\ \[ r:\;y=mx+n \equiv \textrm{ as. obliquo}\;\Leftrightarrow \;\begin{cases} \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=m\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\\ \lim_{x\to\infty}f(x)-mx=n\in\mathbb{R} \end{cases} \] in questo caso \[ d\left((x, f(x)), r\right)=\frac{|f(x)-mx-n|}{\sqrt{1+n^2}} \] \end{enumerate} L'algoritmo di ricerca di asintoti e' il seguente: \begin{verbatim} if f non e' limitata sup OR inf: if lim_{x to infty} f(x) = m: allora y=m e' l'asintoto orizzontale else si cercano gli asintoti obliqui else if f non e' definito nel punto P: si cercano gli algoritmi verticali in P \end{verbatim} \section{Studio del grafico di una funzione} L'algoritmo per disegnare il grafico e' il seguente: \begin{verbatim} Trova il Campo di Esistenza Studia le simmetrie funzione pari: f(-x)=f(x) simmetrica rispetto a y funzione dispari: f(-x)=-f(x) simmetria centrale rispetto a (0,0) Intersezione con gli assi f(x) = 0 f(0) = y Studia il segno f(x) > 0 Ricerca di asintoti Ricerca di massimi, minimi, flesso, crescenza, decrescenza Concavita', convessita' \end{verbatim} \end{document}