% File: repr.tex % % (c) Copyright 2008 Andrea Lo Pumo aka AlpT % % This source code is free software; you can redistribute it and/or % modify it under the terms of the GNU General Public License as published % by the Free Software Foundation; either version 2 of the License, % or (at your option) any later version. % % This source code is distributed in the hope that it will be useful, % but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of % MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. % Please refer to the GNU Public License for more details. % % You should have received a copy of the GNU Public License along with % this source code; if not, write to: % Free Software Foundation, Inc., 675 Mass Ave, Cambridge, MA 02139, USA. % %\documentclass[12pt]{book} %\pagestyle{headings} \documentclass[12pt, a4paper]{article} %%% Orientamento %%% %\usepackage[landscape]{geometry} %%% %%% \usepackage{amath-tesi} \usepackage[italian]{babel} \usepackage{pdfpages} \begin{document} %\title{\Huge {Il teorema di Burnside}} %\author{Andrea Lo Pumo} \date{} \ifpdf \includepdf{tesi-mainpage.pdf} \fi \pagenumbering{roman} \clearpage \tableofcontents \clearpage \pagenumbering{arabic} \include{defs} %\def\accento#1{\'{#1}} \def\Poiche{Poich\'{e} } \def\poiche{poich\'{e} } \def\est{\`{e} } \def\Est{\`{E} } \def\perche{perch\'{e} } \def\unita{unit\`{a} } \def\unitans{unit\`{a}} \def\dira{dir\`{a} } \def\cio{ci\`{o} } \def\cioe{cio\`{e} } \def\cosi{cos\`{i} } \def\Cosi{Cos\`{i} } \def\sara{sar\`{a} } \def\arbitrarieta{arbitrariet\`{a} } \def\proprieta{propriet\`{a} } \def\verra{verr\`{a} } \def\pero{per\`{o} } \def\piu{pi\`{u} } \def\piuNS{pi\`{u}} \section{Introduzione} %Un gruppo finito \est una struttura estremamente semplice: \est un insieme finito, con %una operazione $\.$ che rispetta solo tre \proprieta. %La Teoria dei Caratteri arricchisce le semplici strutture dei gruppi finiti % %arricchendole con % %rendendole meno spigolose. %strutture piu' %un ponte che collega le semplici strutture dei gruppi finiti %a quelle delle algebre e dei moduli. %consente uno studio dettagliato dei gruppi finiti %attraverso %studio dei %gruppi finiti a quello delle algebre e dei moduli. %a quello un arricchimento della teoria dei %gruppi finiti %%La teoria dei caratteri e' un ottimo strumento\dots Il teorema di Burnside \est uno dei teoremi \piu noti della teoria dei caratteri: attraverso un elegante uso delle \proprieta algebriche dei caratteri, dimostra che per un gruppo non risolubile devono esistere almeno tre primi distinti che dividono il suo ordine.\\ William Burnside (2 Luglio 1852 - 21 Agosto 1927) \est stato un matematico inglese, conosciuto come uno dei primi studiosi della teoria dei gruppi finiti. \mbox{Burnside}, nato a Londra, frequent\`{o} l'Universit\`{a} di Cambridge, dove dieci anni dopo insegn\`{o} come lecturer. Alla fine dell'800, la teoria dei gruppi non era un campo largamente studiato, tuttavia, durante la sua carriera, Burnside fu un ricercatore molto attivo e pubblic\`{o} \piu di 150 articoli che ottennero diffusi riconoscimenti. La parte principale del lavoro di Burnside riguarda le rappresentazioni dei gruppi. I suoi contributi hanno permesso lo sviluppo di alcuni aspetti fondamentali della teoria. Uno dei suoi risultati \piu noti \est il cosidetto Teorema $p^aq^b$, che dimostra come ogni gruppo finito il cui ordine \est divisibile da meno di tre primi sia risolubile.\\ In questa tesi presenteremo la dimostrazione classica del teorema di Burnside. Nel secondo capitolo richiameremo i concetti e i risultati fondamentali sulle algebre, i moduli, le algebre di gruppo e le rappresentazioni. Vedremo che adoperando il teorema di Maschke \est possibile costruire su ogni gruppo finito un'algebra semisemplice. Per questo motivo, ci interesseremo \piu particolarmente del teorema di Wedderburn, che consente di ``spezzettare'' un'algebra semisemplice in una somma di strutture \piu facili da gestire. Tramite le rappresentazioni, per lo studio delle algebre semisemplici di gruppo, potremo far ricorso a strumenti \piu concreti, come le matrici. Per questioni di brevit\`{a}, tutte le dimostrazioni della prima parte saranno omesse. Nel terzo capitolo, definiremo i caratteri come una versione ridotta delle rappresentazioni e studieremo le loro \proprieta che risulteranno utili per l'analisi dei gruppi finiti. Presenteremo due teoremi fondamentali che riguardano i caratteri: il primo afferma che i caratteri sono tutte e sole quelle funzioni di classe che si possono scrivere come combinazione lineare intera degli elementi di $\oname{Irr}(G)$; il secondo mostra che i caratteri indotti da due rappresentazioni sono uguali se e solo se le rappresentazioni sono simili. Il quarto capitolo \est dedicato alle relazioni che intercorrono tra gli interi algebrici e i caratteri. Ad esempio, vedremo che un carattere valutato in un elemento del suo gruppo \est un intero algebrico che appartiene ad un'estensione finita di $\mathbb{Q}$. Nell'ultimo capitolo, \sara presentata la dimostrazione del teorema di Burnside, in cui verranno applicati tutti i risultati ottenuti nei capitoli precedenti: l'espressione che caratterizza il carattere regolare $\rho_G$ come somma di caratteri irriducibili, la possibilit\`a di scrivere un carattere come somma di radici $n$-esime dell'unit\`a, la relazione che intercorre tra le classi di coniugio del gruppo di un carattere fissato. Infine, un passo decisivo della dimostrazione sar\`a costituito dall'applicazione delle propriet\`a che scaturiscono dal considerare i caratteri come dei particolari interi algebrici dell'estensione $\mathbb{Q}(\xi)$. %%Def per la bibliografia \def\martinisaacfinitegroup{[1]} \def\citealgebra{[2]} \def\interialgebrici{[3]} \input{parteI-noproof-tesi-DANNA} \input{parteII-DANNA} %%%%%%%%%%%%%%%% % Bibliography % %%%%%%%%%%%%%%%% % \clearpage %\pagebreak %\phantomsection \addcontentsline{toc}{chapter}{Bibliography} \begin{large} \textbf{Bibliografia} \end{large} \qq\\ %\begin{thebibliography}{99} %Riferimenti bibliografici \begin{description} \item[{[1]}] %\bibitem{martinisaacfinitegroup} I. M. Isaacs, \emph{Character theory of finite groups}. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2006. \item[{[2]}] %\bibitem{citealgebra} Giulia Maria Piacentini Cattaneo, \emph{Algebra, un approccio algoritmico}. Zanichelli, 1996. \item[{[3]}] Hancock, H. \emph{Foundations of the Theory of Algebraic Numbers}, Vol. 1: Introduction to the General Theory. New York: Macmillan, 1931. % I. M. Isaacs, \emph{Algebra: A graduate course}, Brooks/Cole Publishing Co., Pacific Grove, CA, 1994. \end{description} %\end{thebibliography} \end{document}