\section{Caratteri}
\begin{defn}
	Sia $\Xr:G\longrightarrow \GL(n,\C)$ una rappresentazione. E sia
	definita la seguente funzione:
	\eal{&\X:G\longrightarrow \C\NN
	g\mapsto \Tr \Xr(g)}
	dove $\Tr$ e' la traccia\footnote{La traccia della matrice
	$M$ e' l'elemento:
	\eal{&\Tr M = \sum_{i}M_{ii}}}
	della matrice $\Xr(g)$.
	A volte, per indicare che $\X$ e' la
	traccia di $\Xr$ scriveremo
	\eal{&\X=\Tr\Xr
	}
	Chiameremo $\X$ il \iemph{carattere} di
	$\Xr$.
\end{defn}
\begin{prop}\label{propsimilistessatraccia}
	\eal{&1\;\;\Tr(AB)=\Tr(BA),\;\;\Tr(\inv M X M) = \Tr(X)\NN
	2.\;\;\Xr \sim \Yr \> \Tr \Xr = \Tr \Yr\NN
	3.\;\;\X(1)=n=\dim \Xr
	}
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{Dim. $1.$}
	\begin{prova}
		\eal{&\Tr(\inv M X M)  \ubrace{=}{\Tr(AB)=\Tr(BA)}  \Tr(M(\inv
		M X)) = \Tr(X)
		}
	\end{prova}
	\step{}{Dim. $2.$}
	\begin{prova}
		\eal{&\Xr\sim \Yr \= \exists M:\;\Xr = \inv M \Yr M
		\ubrace{\>}{1.} \Tr \Xr=\Tr \Yr  }
	\end{prova}
	\step{}{Dim. $3.$}
	\begin{prova}
		\eal{&\X(1)=\Tr\Xr(1)=\Tr I = n}	
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{defn}
	Sia $G$ un gruppo finito.
\eal{&\X \T{ e' un carattere di G } \definizione{\=}
\X \in \ch G \definizione{ \= } \exists \Xr\T{ rappresentazione di
}G:\;\X=\Tr \Xr\NN
\X\T{ e' irriducibile } \definizione{ \= }\exists \Xr\T{ rappresentazione
irriducibile t.c. } \X=\Tr \Xr\NN
\ch G \T{ e' l'insieme di tutti i caratteri di G}\NN
\Irr(G) \T{ e' l'insieme di tutti i caratteri irriducibili di G}
	}
\end{defn}
\begin{rem}
	Sia $\X:G\longrightarrow \C$ una carattere di $G$. Poiche'
	$\Tr:\mat(n,\C)\longrightarrow \C$ e' una applicazione lineare, possiamo estendere
	per linearita' $\X$ su tutta l'algebra $\CG$:
	\eal{&\X\pton{\sum_{g\in G}\lambda_gg}=
	\Tr\Xr\pton{\sum_{g\in G}\lambda_gg}
	=\Tr\pton{\sum_{g\in G}\lambda_g\Xr(g) }= \sum_{g\in G}\lambda_g\Tr\Xr(g)
	= \sum_{g\in G}\lambda_g\X(g)
	}
\end{rem}
\def\a{{\alpha}}
\def\b{{\beta}}
\begin{lem}\label{lemmatensore}
	Siano date $A,C\in \mat(n,F),\;\;B,D\in \mat(m,F)$, e poniamo
		\eal{&
A \otimes B\;\definizione{ = }\;\begin{bmatrix}
			a_{11}B & a_{12}B & \dots & a_{1n}B\\
			\vdots &  & & \vdots\\
			a_{n1}B & a_{n2}B & \dots & a_{nn}B
		\end{bmatrix}\in 	\mat({nm},F)
		}
		dove $a_{ij}=A_{ij}$ e' l'elemento di posto $i,j$ di $A$.\\
		Nota: $A\otimes B$ e' una matrice a blocchi.\\
		Si ha:
		\eal{& (A\otimes B)(C\otimes D)  = AC \otimes BD
}
\end{lem}
\begin{proof}
	\eal{&\T{Sia } \pgra{e_{ij}}_{1\le i,j\le n }\T{ la base canonica di }
	\mat(n,F) \NN
	A\otimes B = \sum_{i,j}a_{ij}(e_{ij}\otimes B)\in
	\mat({nm},F)\;\;(1.1)\NN
	C\otimes D = \sum_{i',j'}c_{i'j'}(e_{i'j'}\otimes D)\in
	\mat({nm},F)\;\;(1.2)\NN
	%\T{ e } \pgra{e_{ij}'}_{1\le i,j\le m } \T{ quella di }\mat(m,F)\NN
	(e_{ij}\otimes B) (e_{i'j'}\otimes D) = \delta_{i'j}e_{ij'} \otimes
	BD\;\;(2)\NN
	(A\otimes B)(C\otimes D)  \ubrace{=}{(1.1),(1.2)} 
	\sum_{i,j,i',j'} a_{ij}c_{i'j'}(e_{ij}\otimes B)(e_{i'j'}\otimes D)
	\ubrace{=}{(2)}  \sum_{i,j,i',j'} a_{ij}c_{i'j'}\delta_{i'j}e_{ij'} \otimes
        BD = \NN
	=\sum_{i,j,j'} a_{ij}c_{jj'}e_{ij'} \otimes
	BD = 
	\sum_{i,j'}\pton{\sum_ja_{ij}c_{jj'}} e_{ij'} \otimes BD  = 
	\sum_{i,j'}(AC)_{ij'}e_{ij'} \otimes BD  = AC \otimes BD
}
\end{proof}
\begin{prop}\label{propsommadicaratteri}
	\eal{&\a,\b\in \ch G \> \a+\b,\;\;\a\b\in \ch G}
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{$\a+\b\in \ch G$}
	\begin{prova}
	Siano $\Xr,\Yr$ rappresentazioni tali che
	\eal{&\a=\Tr\Xr,\;\;\b=\Tr\Yr}
	La matrice a blocchi
	\eal{&Z=
	\begin{bmatrix}
		\Xr & \uline 0\\
		\uline 0&\Yr
	\end{bmatrix}
	}
	e' una rappresentazione per $\a+\b$. Infatti,
	\eal{&Z(ab)= 
	\begin{bmatrix}
		\Xr(ab) & \uline 0\\\
		\uline 0&\Yr(ab)
	\end{bmatrix}=
	\begin{bmatrix}
		\Xr(a)\Xr(b) & \uline 0\\
		\uline 0&\Yr(a)\Yr(b)
	\end{bmatrix}
	=	\begin{bmatrix}
		\Xr(a) & \uline 0\\
		\uline 0&\Yr(a)
	\end{bmatrix}
	\begin{bmatrix}
		\Xr(b) & \uline 0\\
		\uline 0&\Yr(b)
	\end{bmatrix}
=Z(a)Z(b)
	}
	Infine,
	\eal{&\Tr Z = \Tr\Xr + \Tr \Yr = \a + \b \> \a+\b \in \ch G}
	\end{prova}
	\step{}{$\a\b\in \ch G$}
	\begin{prova}
		Sia $Z=\Xr\otimes \Yr$. $Z$ e' una rappresentazione di $G$,
		infatti,
		\eal{&(\Xr\otimes \Yr)(ab)
		=\Xr(ab)\otimes \Yr(ab) = (\Xr(a)\Xr(b))\otimes (\Yr(a)\Yr(b))
		\ubrace{=}{\see{lemmatensore}} (\Xr(a)\otimes
		\Yr(a))(\Xr(b)\otimes \Yr(b)) = Z(a)Z(b)
		}
		Infine, dalla definizione di $\otimes$, e' chiaro che
		\eal{&\Tr Z = (\Tr \Xr)(\Tr \Yr)= \a\b
		}
		Quindi, $\a\b\in \ch G$.
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{thm}\label{thmchiestirr}
	\eal{&\Irr(G) = \pgra{\X_1,\dots,\X_k}}
	dove $\X_i$ sono i caratteri dati dal teorema di Wedderburn per le
	rappresentazioni \vedi{thmdiwedderburnperlerappr}, e  $k=|\cl(G)|$
\end{thm}
\begin{proof}
	Per ipotesi sappiamo gia' che vale l'inclusione $\)$. Dimostriamo la
	$\($.
	\eal{&\X \in \Irr(G) \> \exists \Xr\T{ rappr. irrid. di }G:\;\;\X=\Tr
	\Xr\NN
	\Xr\T{ irriducibile } 
	\ubrace{\>}{\see{thmdiwedderburnperlerappr}} \exists !i:\;\;\Xr\sim
	\Xr_i  \ubrace{\>}{\see{propsimilistessatraccia}} 
	\Tr\Xr=\Tr\Xr_i \> \X=\Tr\Xr_i \= \X=\X_i
	}
\end{proof}
\begin{defn}
	Sia $G$ un gruppo. Definiamo l'insieme delle \iemph{funzioni di
	classe}:
	\eal{&\cf(G)\definizione{=} \pgra{f:G\longrightarrow \C\;|\;f(x^y)=f(x)\;\;\forall x,y\in G} }
	O equivalentemente:
	\eal{&\cf(G)= \pgra{f:G\longrightarrow \C\;|\;\;|f(\cl(x))|=1\;\forall x\in G} }
In altre parole, le funzioni di classe sono quelle funzioni costanti sulle
classi di coniugio.\\
E' facile notare che $\cf(G)$ e' un $\C$-spazio vettoriale.
\end{defn}
\begin{prop}\label{chincf}
	\eal{&\ch(G)\( \cf(G)}
	Ovvero i caratteri sono delle funzioni di classe.
\end{prop}
\begin{proof}
	Sia $\X\in \ch(G)$
	\eal{&\X(x^y)=\Tr\Xr(x^y)=\Tr\pton{\inv{\Xr(y)}\Xr(x)\Xr(y)}
	\ubrace{=}{\see{propsimilistessatraccia}} \Tr\Xr(x) = \X(x)
	}
\end{proof}
\def\d{{\delta}}
\begin{prop}\label{basenaturaledicfG}
	Sia $\cl(G)=\pgra{K_1,\dots,K_k}$, $k=|\cl(G)|$. Posto 
	\eal{&\d_i:G\longrightarrow \C\NN
	\d_i(s)=\sist{1&s\in K_i\\
	0&s\notin K_i
	}}
	allora
	\eal{&\pgra{\d_1,\dots,\d_k}}
	e' una base di $\cf(G)$.
\end{prop}
\begin{proof}
	E' chiaro che $\d_i\in \cf(G)$.
	\step{}{Dimostriamo che $\cf(G)=\gen{\d_1,\dots,\d_k}$}
	\begin{prova}
Siano $x_1,\dots,x_k\in G$ t.c. $x_i\in K_i$.
\eal{&f\in \cf(G),\;\;x\in K_i \> f(x)=f(x)\d_i(x)\NN
x\in K_i\> x\notin K_j,\T{ con } j \neq i \> \d_j(x)=0\NN
\qq \> \forall x\in K_i \;f(x)= f(x)\d_i(x) + \sum_{j \neq
i}f(x)\d_j(x)\;\;(1)\NN
x\in K_i \> f(x)=f(y)\;\;\forall y\in K_i \> f(x)=f(x_i)\;\;(2)
		}
Quindi
\eal{&x\in K_i \> f(x) \ubrace{=}{(1)} \sumik f(x)\d_i(x) \ubrace{=}{(2)} \sumik f(x_i)\d_i(x)
}
Poiche' $\pgra{K_i}_i$ e' una partizione di $G$, possiamo concludere che
\eal{&f= \sumik f(x_i) \d_i\in \gen{\d_1,\dots,\d_k}
}
	\end{prova}
	\step{}{$\d_1,\dots,\d_k$ sono linearmente indipendenti}
	\begin{prova}
		Sia
		\eal{&a_1\d_1+\dots+a_k\d_k=0}
		una combinazione lineare nulla, scegliendo $x\in K_i$ si ha
		\eal{&a_i=0}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{prop}\label{irrGestbase}
	Sia $G$ un gruppo finito.
	\eal{&|\Irr(G)|=|\cl(G)|\NN
	\Irr(G)\T{ e' una base di }\cf(G)}
\end{prop}
\begin{proof}
	Sia $k=|\cl(G)|$.
	Per il thm \see{thmchiestirr} abbiamo $|\Irr(G)|=k$.
	Poiche'
	\eal{&\dim \cf(G)  \ubrace{=}{\see{basenaturaledicfG}}k \NN
	\Irr(G) \( \ch (G) \ubrace{\(}{\see{chincf}} \cf(G)
	}
	basta dimostrare che $\Irr(G)=\pgra{\X_1,\dots,\X_k}$ e' un insieme di
	vettori linearmente indipendenti.\\
	Per il teorema \see{thmdiwedderburnperlerappr} abbiamo
	\eal{&1=e_1+\dots+e_k,\;\;e_i=1_{B_i}\NN
	\X_i(e_j)=\delta_{ij} \X_i(1)\;\;\;\;(1)
	}
Consideriamo una combinazione lineare nulla di $\X_1,\dots,\X_k$:
\eal{&a_1\X_1+\dots+a_k\X_k=0}
e valutiamola in $e_j$:
\eal{&0=\sumik a_i\X_i(e_j) = a_j\X_j(1)  \ubrace{\>}{\X_j(1)=\dim B_i \neq 0}
a_j=0
}
Per l'arbitrarieta' di $j$ concludiamo che $a_j=0\;\;\forall j=1,\dots,k$.
\end{proof}
\begin{thm}\label{combinazioneinteradicaratteri}
	Sia $\Irr(G)=\pgra{\X_1,\dots,\X_k}$. Si ha
	\eal{&\X \in \ch G \= \X=\sumik m_i\X_k,\T{ con } m_i\in
	\mathbb{N} \;\;\;\forall i=1,\dots,k\NN
	\T{Inoltre, }\;\;\exists i:\;m_i>0
	}
	Quindi i caratteri sono tutte e sole quelle funzioni di classe che si
	possono scrivere come combinazione lineare intera degli elementi di
	$\Irr(G)$.
\end{thm}
\begin{proof}
	\BEGINsufficiente
	Per la proposizione \see{propsommadicaratteri}, la somma di caratteri
	e' ancora un carattere. Poiche' $\Irr(G)\( \ch G$, la combinazione
	lineare intera
$	\sumik m_i\X_i $ e' ancora un carattere. 
	\END
	\BEGINpnecessaria
	\eal{&\X\in \ch G \> \X =\Tr \Xr\NN
	\Xr\ubrace{\sim}{\see{thmdiwedderburnperlerappr}}
	 \diag(\Xr_{i_1},\dots,\Xr_{i_r}) \T{ matrice diagonale a
	 blocchi } \> \NN
	 \qq \> \X=\Tr \Xr = \sum_{j=1}^{r} \Tr\Xr_{i_r}
	 = \sum_{j=1}^r \X_{i_r}  \ubrace{=}{\T{per opportuni }m_i\in
	 \mathbb{N}} \sumik m_i\X_i
	}
	Infine,
	\eal{&\X(1)=\dim \Xr \neq 0 \> \X \neq 0\>\sumik m_i\X_i \neq 0\>\exists
	j:\;m_j>0}
	\END
\end{proof}
\def\r{{\rho}}
\begin{defn}
	Sia $\Xr:G\longrightarrow \GL(n,\C)$ la rappresentazione indotta dal
	modulo $\cc\CG$, secondo una qualsiasi base. Il carattere
	\eal{&\r_G=\Tr\Xr 
	}
	e' il \iemph{carattere regolare}.
\end{defn}
\begin{prop}\label{rhog}
	\eal{&1.\;\;\r_G= \sum_{\X\in \Irr(G)}\X(1)\X\NN
	2.\;\;\r_G(g) = \sist{|G|&  g=1\\
0&g \neq 1
	}
}
In particolare, abbiamo
\eal{&\r_G(1)= \sum_{\X\in \Irr(G)} \X(1)^2 = |G|
}
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{Dim. $1.$}
	\begin{prova}
		Per il corollario \see{wedderpergroupalgebra}
, si ha
\eal{&\cc \CG \simeq n_1I_1\oplus \dots \oplus n_kI_k
\ubrace{\>}{\see{simileadiagonaleablocchi}}
\Xr\sim \diag(\ubrace{\Xr_1,\dots,\Xr_1}{n_1\T{
volte}},\dots,\ubrace{\Xr_k,\dots,\Xr_k}{n_k\T{ volte}})
\> \X=\Tr \Xr = \sumik n_i\Tr\Xr_i =\sumik n_i\X_i \;\;(2)\NN
\X_i(1) \ubrace{=}{\see{thmdiwedderburnperlerappr}} n_i\;\;(3)\NN
(2),(3) \> \X=\sumik \X_i(1)\X_i \ubrace{=}{\see{thmchiestirr}} 
\sum_{\X\in \Irr(G)}\X(1)\X
}
	\end{prova}
	\step{}{Dim. $2.$}
	\begin{prova}
Come base di $\cc\CG$ da cui indurre $\Xr$ scegliamo direttamente
$G=\pgra{g_1,\dots,g_n}$. La seguente
dimostrazione sara' indipendente da questa scelta perche' la traccia $\Tr$ e'
uguale per matrici simili.\\
Sia $g_{i'}=g_i\.g$, si ha
\eal{&g_i\.g=g_{i'}\in G\;\;\forall g\in G
\> [g_i\.g]_G = e_{i'}(g)\T{ per qualche } 1\le i'\le n\NN
\T{ dove } e_{i'}(g)=(0,0,\dots,0,\ubrace{1}{\T{posto }i'},0,0, \dots,0)\NN
e_{i'}(g)=e_{h'}(g)\=[g_i\.g]_G =[g_h\.g]_G \= g_i\.g =g_h\.g \= g_i=g_h\=  h=i\NN
\Xr(g)=M_G(r_g)=\begin{bmatrix}
	[g_1\.g]_G\\
	\vdots\\
	[g_n\.g]_G\\
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
	e_{1'}(g)\\
	\vdots\\
	e_{n'}(g)
\end{bmatrix}
}
Quindi $\Xr(g)$ e' una matrice di permutazione. Inoltre,
\eal{&\Xr(g)_{ii}=\pton{[g_i\.g]_G}_i
= \pton{e_{i'}(g)}_i = \delta_{ii'}
= \sist{1&i=i'\= g_i=g_{i'} \= g_i=g_ig\=g=1\\
0&\T{altrimenti}}\;\;(1)\NN
\X(g)=\Tr\Xr(g)=\sumin \Xr(g)_{ii}  \ubrace{=}{(1)}
\sist{1+1+\dots+1=|G|&g=1\\
0&\T{ altrimenti}
}
}
\end{prova}
\end{proof}
\begin{thm}\label{Gaberlianossechiest1}
	\eal{&G\T{ e' abeliano }  \= \X(1)=1\;\;\forall \X\in \Irr(G)
	}
\end{thm}
\begin{rem}
	Questo e' il primo teorema che permette di ricavare informazioni sul
	gruppo $G$ esaminando solo i caratteri irriducibili.
\end{rem}
\begin{proof}
	\eal{&G\T{ abeliano }  \= |\cl(g)|=1 \;\forall g\in G
	\ubrace{\=}{\cl(G)\T{ e' una partizione di }G}  |\cl(G)| = |G|\NN
	|\Irr(G)|  \ubrace{=}{\see{thmchiestirr}} 
	|\cl(G)| = |G| \;\;(1)\NN
	\r_G(1) \ubrace{=}{\see{rhog}} \sum_{\X\in \Irr(G)} \X(1)^2 = |G| =|\Irr(G)| 
	\ubrace{\=}{\X(1)\in \N,\;\X(1) \neq 0} \X(1)=1\;\;\forall \X\in \Irr(G)
	}
\end{proof}
\begin{thm}\label{riducibilessesommadichar}
	Sia $\X\in \ch G$
	\eal{&\X\in \Irr(G) \= \X \neq \a+\b\;\;\forall\a,\b\in \ch G}
\end{thm}
\begin{proof}
	\BEGINpnecessaria
	Supponiamo per assurdo $\X=\a+\b$, 
	\eal{&\a,\b\in \ch G \> \X=\a+\b\in\ch G\NN
	\a\in \ch G 
	\ubrace{\>}{\see{combinazioneinteradicaratteri}} 
	\a=\sum_{\Y\in \Irr(G)}m_{\Y}\Y,\T{ con almeno un }m_{\Y}\in
	\N^{*}\;\;(1)\NN
	\T{Analogamente per }\b\;\;(1.1)\NN
	\qq \> \X=\a+\b= \sum_{\Y\in \Irr(G)}(m_{\Y}+m_{\Y}')\Y
	}
	Sia $a_{\Y}=m_{\Y}+m_{\Y}'$. Per la $(1)$ e $(1.1)$, i casi
	sono due: almeno due $a_{\Y}$ sono distinti da zero, o almeno un $a_{\Y}\ge
	2$. In ogni caso, poiche' $\X\in \Irr(G)$,  si ha un assurdo contro
	l'indipendenza lineare degli 	elementi di $\Irr(G)$
	(\vedi{irrGestbase}).
	\END
	\BEGINsufficiente
	Supponiamo per assurdo che $\X\notin \Irr(G)$
	\eal{&\X\in \ch G \> \X=\sum_{\Y\in \Irr(G)}m_{\Y}\Y,\T{ con almeno un
	}m_{\Y}\in     \N^{*}\NN
	\X\notin \Irr(G) \> \X \neq \Y
	\;\;\forall \Y\in \Irr(G) 
	}
	Poiche' $\X$ non deve coincidere con alcun $\Y$, deve esistere almeno
	un $m_{\Y}\ge 2$ oppure due $m_{\Y},m_{\Y'} \neq 0$. Quindi $\X$ e' somma
	di almeno due caratteri. Questo e' assurdo
	contro ipotesi.
	\END
\end{proof}
\begin{thm}Siano $\Xr,\Yr$ due rappresentazioni di $G$ e $\X,\Y$ i rispettivi
	caratteri. Si ha
	\eal{&\Xr \sim \Yr \= \X = \Y
	}
\end{thm}
\begin{proof}
	\BEGINpnecessaria
	\vedi{propsimilistessatraccia}
	\END
	\BEGINsufficiente
	Procediamo analogamente a quanto abbiamo fatto nella dimostrazione di
	\see{combinazioneinteradicaratteri}.
	\eal{&
	\Xr\ubrace{\sim}{\see{thmdiwedderburnperlerappr}}
	\ubrace{ \diag(\Xr_{i_1},\dots,\Xr_{i_r})}{ \T{ matrice diagonale a
	blocchi }} 
	 \ubrace{\sim}{\T{riordinando i blocchi}}
	 \diag(\ubrace{\Xr_{1},\dots,\Xr_{1}}{d_1\T{ volte}},\dots,
	 \ubrace{\Xr_{k},\dots,\Xr_{k}}{d_k\T{ volte}})\;\;(1)\NN
	 \T{Nota: qualche $d_i$ potrebbe essere nullo}\NN
\qq \> \X=\Tr \Xr =\sumik d_i\X_i\NN
\T{Analogamente abbiamo: }\NN
\qq \Yr\sim\diag(\ubrace{\Xr_{1},\dots,\Xr_{1}}{d_1'\T{ volte}},\dots,
         \ubrace{\Xr_{k},\dots,\Xr_{k}}{d_k'\T{ volte}})\;\;(2)\NN
	 \qq \Y=\Tr \Yr =\sumik d_i'\X_i\NN
	 \sist{\X=\Y\T{ per ipotesi}\\
	 \pgra{\X_1,\dots,\X_k}\T{ sono linearmente indipendenti }
	 } 	 \> d_i=d_i'\;\;\forall i=1,\dots,k\NN
	 \qq \> \Xr \ubrace{\sim}{(1)} \diag(\ubrace{\Xr_{1},\dots,\Xr_{1}}{d_1\T{ volte}},\dots,
         \ubrace{\Xr_{k},\dots,\Xr_{k}}{d_k\T{ volte}}) 
	 \ubrace{\sim }{(2)} \Yr
	}
	\END
\end{proof}


\def\oX{\ove{\X}}

\begin{prop}\label{Xgsommadixi}
	Sia $g\in G$ e $\Xr$ una rappresentazione di $G$. Sia  $o(g)=m$
	l'ordine di $g$. Si  ha
	\eal{&1.\;\;\Xr(g)\sim
	\diag(\xi_1,\dots,\xi_n),\;\;\;n=\X(1),\;\;\xi_i\in
	\C\;\;\forall i=1,\dots,n\NN
	2.\;\;\X(g)=\sum_{i=1}^n \xi_i\NN
	3.\;\;\xi_i^m=1\;\;\forall i=1,\dots,n\NN
	4.\;\;|\X(g)|\le \X(1)\NN
	5.\;\;\X(\inv g)=\ove{\X(g)}\;\;\T{ dove } \ove \xi \T{ e' il complesso
	coniugato di }\xi
	}
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{Dim. $1.$ e $2.$}
	\begin{prova}
	Sia $H=\gen g$ il gruppo generato da $g$ e sia $\Yr=\Xr_{|H}$.
	\eal{&H\T{ abeliano }  \ubrace{\=}{\see{Gaberlianossechiest1}} 
	\Y_1(1)=\ldots=\Y_k(1)=1 \> \Y_i(h)\in\C\;\;\forall h\in H \;\;(1)
	\NN
	\qq 	\T{ dove } \Irr(H)=\pgra{\Y_1,\dots,\Y_k}\NN
	\Yr\ubrace{\sim}{\see{thmdiwedderburnperlerappr}}
	\ubrace{ \diag(\Yr_{i_1},\dots,\Yr_{i_n})}{ \T{ matrice diagonale a
	blocchi }} \T{ con } n=\dim \Yr=\Yr(1)=\Xr(1),\;\;1\le i_j\le k\;\;\forall j=1,\dots,n\NN
	\T{Poniamo } \xi_j=\Yr_{i_j}(g)
	}
Per la $(1)$, la matrice diagonale a blocchi, simile a $\Yr$,  e' una semplice
matrice quadrata, quindi
\eal{& \Xr(g) = \Yr(g) \sim \diag(\xi_1,\dots,\xi_n)\NN
\X(g)=\Tr \Xr(g)= \sum_{j=1}^n\xi_j
}
	\end{prova}
	\step{}{Dim. $3.$}
	\begin{prova}
		\eal{&m=o(g) \> g^m=1 \= 1=\Yr_{i_j}(g^m)=\Yr_{i_j}(g)^m  \=
		\xi_j^m=1
		}		
	\end{prova}
	\step{}{Dim. $4.$}
	\begin{prova}
		\eal{&\xi_j^m=1  \> |\xi_j|^m =1 \>  |\xi_j|=1\;\;(2)\NN
		|\X(g)|=\pass{\sum_{j=1}^n\xi_j
		}\le \sum_{j=1}^n |\xi_j|  \ubrace{=}{(2)} n=\X(1)
}
	\end{prova}
	\step{}{Dim. $5.$}
	\begin{prova}
		\eal{& \xi_j\ove{\xi_j}
		=|\xi_j|^2  \ubrace{=}{(2)}  1  \>
		\ove{\xi_j}=\inv{\xi_j}\;\;(3)\NN
		\ove{X(g)} = \sum_{j=1}^n\ove{\xi_j}  = \sum_{j=1}^n\inv{\xi_j} 
= \sum_{j=1}^n\inv{\Yr_{i_j}(g)} =  
\sum_{j=1}^n{\Yr_{i_j}(\inv g)} = 
\Yr(\inv g)=\Xr(\inv g)
		}
	\end{prova}
\end{proof}
\def\TTR{{^{\tau}}}
\begin{prop}
Sia $\X\in \ch G $. Poniamo:
\eal{&\oX:G\longrightarrow \C\NN
g\mapsto \oX(g)
}
dove $\ove \xi$ e' il coniugato complesso di $\xi$.\\
Si ha:
\eal{&1.\;\;\ove \X\in \ch G\NN
2.\;\;\X\in \Irr(G) \= \oX \in \Irr(G)\NN
3.\;\;\oX(g)=\Tr\Xr(\inv g)\TTR
}
dove $A \TTR$ e' la trasposta della matrice $A$.
\end{prop}
\begin{proof}
Sia 
\eal{&\Yr:G\longrightarrow \GL(n,\C)\NN
g\mapsto \Xr(\inv g)\TTR
}
$\Yr$ e' una rappresentazione:
\eal{&\Yr(ab)= \Xr(\inv {(ab)})\TTR
= \Xr(\inv b\inv a)\TTR = \pton{\Xr(\inv b)\Xr(\inv a)}\TTR =
\Xr(\inv a)\TTR \Xr(\inv b)\TTR = \Yr(a)\Yr(b)
}
Inoltre,
\eal{&\Tr\Yr(g)= \Tr\Xr(\inv g)\TTR =\Tr \Xr(\inv g) = \X(\inv g)
\ubrace{=}{\see{Xgsommadixi}} \ove{\X(g)}=\oX(g)
}
Quindi $\oX\in \ch G$.\\
Infine,
\eal{&\X\T{ riducibile }  \ubrace{\=}{\see{riducibilessesommadichar}}  \X =\alpha+\beta,\;\;\T{ con } \alpha,\beta\in \ch
G \= \oX=\ubrace{\ove{\alpha}}{\in \ch G}+\ubrace{\ove{\beta}}{\in \ch G},\;\;
\ubrace{\=}{\see{riducibilessesommadichar}} \oX\T{ riducibile }
}
\end{proof}

\def\a{{\alpha}}
\def\b{{\beta}}
\def\R{{\mathbb{R}}}
\begin{lem}\label{lemmaab1}
	$\a,\b\in \C$
	\eal{&|\a+\b| = |\a|+|\b| \> \a = \lambda \b\;\;\T{ con }\lambda\in \R}
\end{lem}
\begin{proof}
\eal{&|\a+\b|= |\a|+|\b| \>
|\a+\b|^2= |\a|^2+|\b|^2+2|\a| | \b|\;\;(1)\NN
|\a+\b|^2= (\a+\b)\ove{(\a+\b)} = \a\ove \a + \a\ove\b + \b\ove \a + \b\ove\b
= |\a|^2+|\b|^2+2\a\ove\b \NN
\qq  \ubrace{\>}{(1)} |\a| | \b| = \a\ove\b = \ubrace{\a \.\b}{\T{prodotto
Hermitiano in }\C} \>
(\a\.\b)^2  
= 
( |\a| | \b| )^2 = \sqrt{(\a\.\a)}^2\sqrt{(\b\.\b)}^2=
(\a\.\a)(\b\.\b) \=\NN
\= (\a\.\b)^2=(\a\.\a)(\b\.\b)
\ubrace{\>}{\T{Disuguaglianza di Schwartz}} \a\parallel \b \= \exists
\lambda\in \R:\;\;\a=\lambda \b
	}
Nota: $\a\parallel \b$ indica che $\a,\b$ sono due vettori paralleli.
\end{proof}
\begin{lem}\label{lemab2}
	$\a_1,\dots,\a_t\in \C$, $t\ge 1$
	\eal{&\sist{|\a_i|=1\;\;\forall i=1,\dots,t\\
	|\a_1+\dots+\a_t| = t } \> \a_i=\a_1\;\;\forall i=1,\dots,t}
\end{lem}
\begin{proof}
	Procediamo per induzione su $t$.
	\case{$t=1$}
	\begin{prova}
		Vera.
	\end{prova}
	\case{$t=2$}
	\begin{prova}
		\eal{&|\a+\b|=2=|\a|+|\b|  \ubrace{\>}{\see{lemmaab1}} 
		\exists l\in \R:\;\;\a=l\b\NN
		|l\b+\b|=2 \= \ubrace{|\b|}{=1} |l+1| = 2
		\=  l+1=\pm 2 \= l=1  \|  l=-3\;\;(1)\NN
		\a=l\b \> \ubrace{|\a|}{=1} = |l | \ubrace{|\b|}{=1}
		\=  |l | = 1 \> l=\pm 1\;\;(2)\NN
		(1),(2) \> l=1 \> \a=\b
		}
	\end{prova}
	\case{$t\> t+1$}
	\begin{prova}
		\eal{&t+1=|\a_1+\dots+\a_t+\a_{t+1}|
		\le |\a_1+\dots+\a_t| + {|\a_{t+1}|}
		\le |\a_1|+\dots + |\a_{t+1}| 
		\ubrace{=}{|\a_i|=1}  
		t+1 \>\NN
		\> |\a_1+\dots+\a_t+\a_{t+1}|  = |\a_1+\dots+\a_t| +
		\ubrace{|\a_{t+1}|}{=1}  =
		t+1
		\>  |\a_1+\dots+\a_t|  = t  \ubrace{\>}{\T{Hp induttiva}} 
		\a_1=\a_2=\dots=\a_t
		}
		Analogamente si vede che
		\eal{&|\a_1+\dots+\a_t+\a_{t+1}|=
		|\a_2+\dots+\a_t+\a_{t+1}|+|\a_1| \> \a_2=\a_3=\dots=\a_{t+1}
		}
In definitiva, poiche' $t\ge 3$, 
\eal{&\a_1=\a_2=\dots=\a_{t+1}}
	\end{prova}
\end{proof}

\begin{defn}
	Sia $\X\in \ch G$. Definiamo il \emph{nucleo} e il \emph{centro} di
	$\X$:
	\eal{&\ker \X\definizione{=} \ker \Xr\NN
	Z(\X)\definizione{=} \pgra{g\in G\;|\;\exists \lambda_g\in \C:\;\;\Xr(g)=\lambda_g I}
	} 
	Nota: la definizione di $\ker \X$ e', come vedremo, indipendente dalla
	particolare scelta di $\Xr$.
\end{defn}
\begin{thm}\label{thmcentrokerndichi}
	Sia $\Xr:G\longrightarrow \GL(n,\C)$ una rappresentazione. Valgono le
	seguenti proposizioni:
	\eal{&1.\;\;\ker \Xr=\pgra{g\in G\;|\;\X(g)=\X(1)}\NN
	2.\;\;Z(\X)\ubrace{\tleq}{\T{sottogruppo normale}} G\NN
	3.\;\;Z(\X)= \pgra{g\in G\;|\;
	\exists \lambda_g\in U_m:\;\;\Xr(g)=\lambda_g I,\;\T{ con
	}m=o(g),\;\;U_m\T{ gruppo delle radici $m$-esime dell'unita'} }\NN
	4.\;\; Z(\X)	= \pgra{g\in G\;|\;|\X(g)|=|\X(1)|}
	}
\end{thm}
\begin{proof}
	\step{p1}{Dim. $1.$}
	\begin{prova}
		\step{}{Dim. $\($}
		\begin{prova}
	\eal{&g\in \ker \Xr \> \Xr(g)=I \> \X(g)=\X(1) \> g\in \pgra{g\in
	G\;|\;\X(g)=\X(1)}
			}
		\end{prova}
		\step{}{Dim. $\)$}
		\begin{prova}
Sia $g\in \pgra{g\in
        G\;|\;\X(g)=\X(1)}$,
	\eal{&\X(g) \ubrace{=}{\see{Xgsommadixi}} \xi_1+\dots+\xi_n=\X(1)
	=n\NN
	\T{ dove }\xi_i\in U_{o(g)},\;\;|\xi_i|=1\NN
	\qq  \ubrace{\>}{\see{lemab2}}  \xi_i=\xi_1\;\;\forall i=1,\dots,n
	\> \X(g) = n\xi_1=\X(1)\xi_1 \NN
	n=\X(1)=\X(g)=\X(1)\xi_1=n\xi_1  \> \xi_1=1 \> \xi_i=1\;\;\forall i\NN
	\Xr(g)\ubrace{\sim}{\see{Xgsommadixi}}
	\diag(\xi_1,\dots,\xi_n)=\diag(1,\dots,1)=I \> \Xr(g) =I \> g\in \ker
	\Xr
	}
		\end{prova}
	\end{prova}
	\step{}{Dim. $2.$}
	\begin{prova}
		\step{}{$Z(\X)\le G$ \T{ sottogruppo}}
		\begin{prova}
			Siano $a,b\in Z(\X)$
			\eal{&
			\Xr(ab)=\Xr(a)\Xr(b)=\lambda_a\lambda_bI 
			\> ab\in Z(\X)
			}
			E poiche' $G$ e' finito, questo basta per dimostrare
			che $Z(\X)\le G$.
		\end{prova}
		\step{}{$Z(\X)\tleq G$}
		\begin{prova}
	Sia $g\in Z(\X),\;h\in G$
\eal{&\Xr(\inv h g h) = \inv{\Xr(h)}\Xr(g)\Xr(h)
= \inv{\Xr(h)}\lambda_gI \Xr(h)= \inv{\Xr(h)} \Xr(h)\lambda_gI 
=  \lambda_gI \> \inv h g h \in Z(\X)}
		\end{prova}
			\end{prova}
			\step{}{Dim. $3.$}
			\begin{prova}
		\step{}{Dim. $\($}
		\begin{prova}
			Sia $g\in Z(\X)$ e $m=o(g)$
		\eal{&
		I=\Xr(1)  \ubrace{=}{g^m=1} 
		\Xr(g^m) = \Xr(g)^m \ubrace{=}{g\in Z(\X)} 
		\lambda_g^mI \= \lambda_g^mI =I \= 
		\lambda_g^m=1 \> \lambda_g\in U_m
		}
		\end{prova}
		\step{}{Dim. $\)$}
		\begin{prova}
			Basta rileggere la definizione dei due insiemi.
		\end{prova}	
			\end{prova}
	\step{}{Dim. $4.$}
		\begin{prova}
			\step{}{Dim $\($}
			\begin{prova}
				\eal{&g\in Z(\X)  \ubrace{\>}{3.}  
				\Xr(g)=\lambda_gI,\;\;\lambda_g\in U_m
				\> \X(g)= \lambda_g n \>
				|\X(g)|=\ubrace{|\lambda_g|}{=1} n  = n =
				\X(1)=|\X(1)|
				}
			\end{prova}
			\step{}{Dim $\)$}
			\begin{prova}
Sia $g\in G$ tale che $|\X(g)|=|\X(1)|$
\eal{&\X(g) \ubrace{=}{\see{Xgsommadixi}} \xi_1+\dots+\xi_n,\;\;\T{ con
}n=\X(1)\NN
|\X(g)|=|\X(1)|=n\NN
\qq \> |\xi_1+\dots+\xi_m|=n  \ubrace{\>}{\see{lemab2}} \xi_i=\xi_1\;\;\forall
i=1,\dots,n\NN
	\Xr(g)\ubrace{\sim}{\see{Xgsommadixi}}
	\diag(\xi_1,\dots,\xi_n)=\diag(\xi_1,\dots,\xi_1)=\xi_1I\NN
\Xr(g)\sim \xi_1I \= \Xr(g)=\inv M  \xi_1I M = 
\xi_1I
	\> g\in Z(\X)
}
			\end{prova}
		\end{prova}
\end{proof}
\begin{prop}\label{lambdaomogruppi}
	La funzione
	\eal{&\lambda:Z(\X)\longrightarrow \C^*\NN
	g\mapsto \frac{\X(g)}{\X(1)}}
	e' un omomorfismo di gruppi. Inoltre, e' facile verificare che
	\eal{&\ker \lambda = \ker \X}
\end{prop}
\begin{proof}
	\eal{&g\in Z(\X)  \ubrace{\>}{\see{thmcentrokerndichi}} 
	\Xr(g)=\lambda_gI \> \X(g)=\lambda_g\X(1)  \ubrace{\>}{\X(1) \neq 0} 
	\lambda_g=\frac{\X(g)}{\X(1)}=\lambda(g)\NN
	\T{Quindi }\lambda(g)=\lambda_g\;\;\;\forall g\in Z(\X)\NN
	\Xr(ab)=\Xr(a)\Xr(b)=\lambda_aI\lambda_bI=\lambda_a\lambda_bI
	\> \X(ab)=\lambda_a\lambda_b \X(1) \> 
	\lambda_a\lambda_b  =\frac{\X(ab)}{\X(1)} = \lambda_{ab}
	}
\end{proof}
\begin{prop}\label{centrodichibanale}
	\eal{&\sist{G\T{ non abeliano, }semplice \\
	\X\in \Irr(G)\-\pgra{1_G} }\> Z(\X)=\pgra{1}
	}
	dove $1_G$ e' il carattere irriducibile banale: 
	\eal{&1_G(g) = 1\;\;\forall g \in G}
\end{prop}
\begin{proof}
	Se per assurdo $\ker \X=G$, si avrebbe
	\eal{&\forall g\in G \X(g) =\X(1) = n = n 1_G(g)  \> \sist{\X\T{
	riducibile} & n>1\\
	\X=1_G&n=1}
	}
	In ogni caso abbiamo un assurdo.
	\eal{&\sist{\ker \X \tleq G\\
	\ker \X  \neq  G\\
	G\T{ semplice } }\> \ker \X = 1  \ubrace{\=}{\see{lambdaomogruppi}} 
	\ker \lambda = 1 \NN
	Z(\X) \tleq G \> Z(\X) = 1  \|  Z(\X)=G
	}
	Supponiamo per assurdo che $Z(\X)=G$, allora
	\eal{&\ker \lambda =1 \> G=Z(\X) \simeq H \le  \C^* \> G\T{ abeliano }
	}
	Assurdo.
\end{proof}
\section{Interi algebrici}
\def\Z{{\mathbb{Z}}}
\def\Q{{\mathbb{Q}}}
\begin{defn}
	Sia $\a\in \C$
	\eal{&\a\T{ e' un intero algebrico }  \= \exists f(x)\in \Z[x]\;\;\T{
	monico: }\;f(\a)=0 }
	Sia $R$ l'insieme di tutti gli interi algebrici.
\end{defn}
\begin{prop}\label{RQZ}
	\eal{&R\^\Q=\Z}
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{Dim $\)$}
	\begin{prova}
		Sia $z\in \Z$. $z$ e' radice del polinomio $x-z$. Poiche'
		$\Z\(\Q$ si ha la tesi.
	\end{prova}
	\step{}{Dim $\($}
	\begin{prova}
Sia $\a\in \Q,\;f(x)\in \Z[x],\;f(\a)=0$
\eal{&\a\in \Q \> \a=\frac{r}{s},\;\;(r,s)=1\NN
f(\a)=0 \= \pton{\frac{r}{s}}^n+
a_{n-1}\pton{\frac{r}{s}}^{n-1}+
\dots + a_0 =0 \=\NN
\ubrace{\=}{\T{moltiplicando per  }s^n}  r^n + a_{n-1}r^{n-1}s + 
a_{n-2}r^{n-2}s^2+ \dots +a_0s^n=0
\= r^n=s\mu \=s\div r^n \;\;(1)\NN
\T{Sia }p\T{ un primo t.c. } p \div s  \ubrace{\>}{(1)} p \div r\NN
\T{Per l'arbitrarieta' di p si ha }\;\;s\div r  \ubrace{\>}{(r,s)=1} s=\pm
1\>\a=\pm r\in \Z
		}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{defn}
	Sia $S$ un anello tale che $\Z\(S$
	\eal{&S\T{ e' finitamente generato come $\Z$-modulo } \definizione{\=}
	\exists Y\( S:\;\;S=\gen Y _{\Z},\;\;|Y|<\8}
	ovvero,
	\eal{&Y=\pgra{y_1,\dots,y_k}\NN
	\forall s\in S\;\;\exists z_1,\dots,z_k\in \Z:\;\;s=z_1y_1+\dots+z_ky_k}
\end{defn}
\begin{lem}\label{esisteSanelloinZC}
	Sia $Y=\pgra{\a_1,\dots,\a_t}\( R$, allora
	\eal{&
	 \exists S\T{ anello: }\Z\(S\(\C,\;Y\(S,\;\;S\T{ finitamente
	generato come $\Z$-modulo}
	}
\end{lem}
\begin{proof}
	\eal{&\a_i\in R \> \exists f_i\in \Z[x],\;\exists n_i\in
	\N:\;\;\a_i^{n_i}=f(\a_i) = a_0+a_1\a_i+\dots+a_{n_i-1}\a_i^{n_i-1}
	\> \a_i^{n_i}\in \gen{Z}_{\Z}\;\;(1)\NN
	\T{dove abbiamo posto } Z= \pgra{1,\a_i,\dots,\a_i^{n_i-1}}\NN
	\a_i^{n_i+1} = \a_if(\a_i) = a_0\a_i+a_1\a_i^2+a_2\a_i^3 + \dots +
	a_{n_i-1}\ubrace{\a_i^{n_i}}{\in \gen{Z}_\Z} \in
	\gen{Z}_\Z\NN
	\vdots\NN
	\a_i^{m} \in \gen{Z}_\Z\;\;\forall m \ge n_i\;\;(1.1)
	}
	Sia 
	\eal{&
	X=\pgra{\a_1^{m_1}\.\a_2^{m_2}\cdots\a_{t}^{m_t}\;|\;0\le m_i\le
	n_i-1\;\;\forall i=1,\dots,t}\NN
	S=\gen{X}_\Z}
Poiche' $S\(\C$, per dimostrare che $S$ e' un anello, basta vedere che $a,b\in S\> ab\in S$,
e in  particolare che $x,y\in X\> xy\in S$:
\eal{&x,y\in X \> x=\a_1^{m_1}\.\a_2^{m_2}\cdots\a_{t}^{m_t},
\;\;y= \a_1^{m_1'}\.\a_2^{m_2'}\cdots\a_{t}^{m_t'}
\> xy =\a_{1}^{m_1+m_1'}\.\a_2^{m_2+m_2'} \cdots a_{t}^{m_t+m_t'}
}
Se esiste un $i:\;\;m_i+m_i'$, possiamo applicare la $(1.1)$ per avere
$\a_i^{m_i+m_i'}\in \gen{Z}_\Z\(S$. Cosi' procedendo per ogni $i$, riusciamo
ad abbassare tutti gli esponenti, ottenendo una combinazione lineare intera.
Quindi $xy \in S$.
\end{proof}
\begin{thm}\label{SinR}
	Sia $S$ un  anello finitamente generato come $\Z$ modulo, tale che
	$\Z\(S\( \C$. Allora,
	\eal{&S\( R}
\end{thm}
\begin{proof}
\eal{&S\T{ f.g. come $\Z$ modulo } \> \exists
Y\(S,\;|Y|<\8:\;\;S=\gen{Y}_\Z\NN
Y=\pgra{x_1,\dots,x_n}
}
Sia $s\in S$. Mostriamo che $s\in R$.
\eal{&S\T{ anello } \> \forall i=1,\dots,n \;\;\;sx_i \in S=\gen{Y}_{\Z}\>\forall
i=1,\dots,n\;\; \exists a_{i1},\dots,a_{in}\in
\Z:\;\;sx_i= \sum_{j=1}^na_{ij}x_j\;\;\forall i=1,\dots,n\;\;\;\;(1)\NN
\T{Sia  }A \in \mat(n,\Z):\;\;A_{ij}=a_{ij}\NN
\T{Sia } X = \begin{pmatrix}
	x_1\\
	\vdots\\
	x_n
\end{pmatrix}\NN
(1) \= sX=AX  \ubrace{\>}{X \neq 0}  X\T{ autovettore di }A,\;\;s\T{ autovalore }
}
$s$ e'  quindi radice
del polinomio caratteristico di $A$, che e' un polinomio monico di $\Z[x]$.
Possiamo cosi' concludere che $s\in R$.\\

Nota: $X \neq 0$ perche' altrimenti si avrebbe:
\eal{&1\in S = \gen{Y}_{\Z}  \ubrace{=}{X=0} \gen{0}_\Z \>  1=0
}
assurdo.
\end{proof}
\begin{cor}\qq\\
	\label{Ranello}
	$R$ e' un anello.
\end{cor}
\begin{proof}
	Sia $\a,\b\in R$ e poniamo $Y=\pgra{\a,\b}$. Per
	\eal{&Y \( R  \ubrace{\>}{ \see{esisteSanelloinZC}} 
	\exists S\T{ anello f.g. come $\Z$-modulo t.c. } \Z\(S\(\C,\;\;Y\( S
	\ubrace{\>}{\see{SinR}} Y\( S \( R  \ubrace{\>}{S\T{ anello }} 
	\a-\b,\;\;\a\b\in S\( R
	}	
\end{proof}

\def\exp#1{{\oname{exp}(#1)}}
\begin{defn}
	Sia $G$ un gruppo finito, poniamo
	\eal{&\exp G \definizione{=} \mcm\pton{o(g)\;|\;g\in G}
	}
\end{defn}

\begin{prop}\label{XinQ}
	Sia $m=\exp G$, si ha
	\eal{& \X\in \ch G \> 	\X(g)\in R\^\Q_{m} }
dove $\Q_m$ e' la seguente \emph{estensione} di $\Q$:
	\eal{&\Q_m=\Q(\xi),\;\;\gen{\xi}=U_{m}
	}
	Nota\footnote{In realta' vale un risultato molto piu' generale: il
	teorema di Brauer afferma che esiste un rappresentazione $\Xr$ di $\X$
	del tipo $\Xr:G\longrightarrow \GL(n,\Q_m)$
	%%TODO: aggiungi citazione thm 10.3 pg 161 
	}
\end{prop}
\begin{proof}
	\eal{&\X(g) \ubrace{=}{\see{Xgsommadixi}}  \xi_1+\dots+\xi_f\NN
	\xi_i\in U_{o(g)} \= \xi_i^{o(g)}=1  \> \xi_i\in R  \ubrace{\>}{R\T{
	anello }} \X(g)\in R \NN
	}
	D'altronde, per definizione di $m$,
	\eal{&
	o(g)\div m \> U_{o(g)}\( U_m=\gen{\xi} \> \xi_i = \xi^{j}\T{ per un
	qualche }j \> \xi_i	\in \Q(\xi)
	\> \X(g)\in \Q(\xi)
	}
\end{proof}
\def\K{{\hat{K}}}
\begin{prop}\label{KiKj}
	Sia $\cl(G) = \pgra{K_1,\dots,K_k}$, allora

	\eal{&\sh{K_i}\sh{K_j}=\sum_{r=1}^ka_{ijr}\sh{K_r}\in Z(\CG)\NN
	\T{ dove } a_{ijr}=
|\pgra{(x_i,x_j)\;|\;x_ix_j=x_r,\;\;x_i\in K_i,\;x_j\in K_j }|
	\T{ con }x_r\in K_r\T{
	fissato }\NN
	a_{ijr}\in \mathbb{N}
	}
\end{prop}
\begin{proof}
	Per la proposizione \see{basediZFG}, $B=\pgra{\sh{K_1},\dots,\sh{K_k}}$  e'
	un base di $Z(\CG)$. 
	Posto $K_{r}=\pgra{g_{r1},\dots,g_{rt_r}}$, si ha
	\eal{&\sh{K_i}\sh{K_j} \in Z(\CG)\NN
	\sh{K_i}\sh{K_j}    \ubrace{=}{B\T{ base}} 
	\sum_{r=1}^ka_{ijr}\sh{K_r}  \ubrace{=}{\T{def di }\sh{K_r}} 
	\sum_{r=1}^ka_{ijr}\sum_{h=1}^{t_r} g_{rh} 
	= \sum_{r=1}^k\sum_{h=1}^{t_r}a_{ijr}g_{rh} \;\;(1)\NN
	K_1,\dots,K_k\T{ classi di coniugio } \>
	\pgra{g_{rh}\;|\;r,h}=G,\;\;g_{rh} \neq g_{r'h'} \T{ per }
	(r,h) \neq (r',h')\;\;(2)\NN
	\T{Posto }a_{g_{rh}}=a_{ijr}, \T{ per la $(1)$ e $(2)$ si ha:}\NN
	\qq   \sh{K_i}\sh{K_j}   = \sum_{g\in G }a_gg\;\;(1.1)\NN
	\T{Inoltre, }
a_{ijr}  = a_{g_{rh}} \;\;\forall h=1,\dots,t_r \= a_{ijr} =
a_{x_{r}}\;\;\forall x_r\in K_r\;\;(1.2)
}
	D'altra parte, il prodotto $ \sh{K_i}\sh{K_j}  $ si puo' scrivere
	come:
	\eal{&
	 \sh{K_i}\sh{K_j}  =
	  \sum_{h=1}^{t_i} \sum_{s=1}^{t_j} g_{ih}g_{js}\NN
	  \T{Sia } g_{ihjs}=g_{ih}g_{js}\in G\NN
	   \sh{K_i}\sh{K_j}  =   \sum_{h=1}^{t_i} \sum_{s=1}^{t_j}  g_{ihjs} 
	   = \sum_{g\in G}b_{g}g\;\;(3)\NN
	   \T{ dove } b_{g}=|\pgra{(h,s)\;|\;g_{ihjs}  = g }|
}
Confrontando la $(1.1)$ e la $(3)$, per l'indipendenza lineare di $G$, si ha
\eal{&a_g = b_g \;\;(4)\NN
a_{ijr}  \ubrace{=}{(1.2)}  a_{x_r}   \ubrace{=}{(4)}  b_{x_r}\;\;\forall x_r\in K_r
\NN
b_{x_r}  = |\pgra{(h,s)\;|\;g_{ihjs}  = x_r }|=|\pgra{(h,s)\;|\;g_{ih}g_{js}  =
x_r }|
= |\pgra{(x_i,x_j)\;|\;x_ix_j=x_r,\;\;x_i\in K_i,\;x_j\in K_j
}|\NN
\qq \> a_{ijr}  =
|\pgra{(x_i,x_j)\;|\;x_ix_j=x_r,\;\;x_i\in K_i,\;x_j\in K_j }|
}
\end{proof}
\def\w{{\omega}}
\begin{prop}\label{omegadiX}
	Sia $\X\in \Irr(G)$, $K\in \cl(G)$ e $\Xr,\Yr$ due rappresentazioni di
	$G$ che inducono $\X$. Allora, si ha
	\eal{&1.\;\;\Xr(\sh{K})= \w_{\Xr}(\sh K)I,\;\;\T{ con }\w_{\Xr}(\sh
	K)\in \C\NN
	2.\;\;\w_{\X}(\sh K)\definizione{=} \w_{\Xr}(\sh K) = \w_{\Yr}(\sh K)
	= \frac{|K|}{\X(1)}\X(x_k)\;\;\forall x_k\in K\NN
	3.\;\;\w_{\X}(\sh K) = \frac{\X(\sh K)}{\X(1)}
	}
\end{prop}
\def\w{{\omega}}
\begin{proof}
	\step{}{Dim. $1.$}
	\begin{prova}
		\eal{&
		\sh K \in \pgra{\sh K_1,\dots, \sh K_k} \ubrace { \( }{
		\see{basediZFG}} Z(\CG) \> x\sh K =\sh K x \;\;\forall x\in
		\CG \> \Xr(g\sh K)= \Xr(\sh K g) \;\;\forall g\in G
		\= \NN
		\=
		\Xr(\sh K)\Xr(g) =
		\Xr(g) \Xr(\sh K) \;\;\forall g\in G
		\ubrace{\>}{\see{MXreqXrM}} \Xr(\sh K)=\lambda I}
		E ponendo $\w_{\Xr}(\sh K)=\lambda$ si ha la tesi.
	\end{prova}
	\step{}{Dim. $2.$}
	\begin{prova}
		\eal{&\X(\sh K ) = \X\pton{\sum_{x_k\in K}x_k}
		\ubrace{=}{\X\T{ e' additiva}} 
		\sum_{x_k\in K}\X(x_k) \ubrace{=}{\X\T{ funzione di classe}} 
		 \X(x_k)|K|\;\;(1)\NN
		 \X(\sh K)=\Tr\Xr(\sh K)= \Tr( \w_{\Xr}(\sh K) I)
		 = \w_{\Xr}(\sh K) \Tr I  = \w_{\Xr}(\sh K)  \X(1)\;\;(2)\NN
		 (1),(2) \> \w_{\Xr}(\sh K)  =  \frac{\X(x_k)}{\X(1)}|K|
		}
		Ripetendo lo stesso ragionamento con $\Yr$, si perviene allo
		stesso risultato. Quindi
		\eal{&\w_{\Xr}(\sh K) = \w_{\Yr}(\sh K)
		}
		ovvero, $\w_{\X}(\sh K)$ e' indipendente dalla scelta della
		rappresentazione.
	\end{prova}
	\step{}{Dim. $3.$}
	\begin{prova}
	Basta rileggere la $(2)$.	
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{thm}\label{thmomegadiX}
Dato $\X\in \Irr(G)$, si ha
	\eal{&
	1.\;\;\w_{\X}:Z(\CG)\longrightarrow \C\T{ e' un omomorfismo di algebre}\NN
	\qq \sh K \mapsto \w_\X(\sh K)\qq \forall K\in  \cl(G)\NN
	\qq \sum_{K\in \cl(G)} a_{K}\sh K \mapsto \sum_{K\in \cl(G)} a_{K}\w_\X(\sh K)\NN
	2.\;\;\w_\X(\sh K)\in R\;\;\forall K\in \cl(G)
	}
\end{thm}
\begin{proof}
	\step{}{Dim. $1.$}
	\begin{prova}
		Sia $x\in Z(\CG)$, per la prop \see{basediZFG} abbiamo
		\eal{&x=\sumik a_K\sh K \NN
		\Xr(x) = \sumik a_K\Xr(\sh K) 
		\ubrace{=}{\see{omegadiX}} 
		\sumik a_K \w_{\Xr}(\sh K)I  =
		\pton{\sumik a_K \w_{\Xr}(\sh K)}I  
		\definizione{=} 
		\w_{\Xr}\pton{\sumik a_K\sh K}I = \w_{\Xr}(x)I\NN
		\T{In definitiva, }\Xr(x)= \w_{\Xr}(x)I \;\;\forall x\in  Z(\CG)\;\;(1)\NN
		\Xr:\CG\longrightarrow \mat(n,\C) \T{ omomorfismo di algebre } 
		\ubrace{\>}{(1)} \w_{\Xr}(x)\T{ omomorfismo di algebre}
		}
	\end{prova}
	\step{}{Dim. $2.$}
	\begin{prova}
Sia $S$ l'insieme cosi' definito:
\eal{&S=\gen{\pgra{\w_{\X}(\sh K)\;|\;K\in \cl(G)}}_{\Z}
}
\step{}{$S$ e' un anello finitamente generato come $\Z$ modulo e tale che
$\Z\(S \( \C$}
\begin{prova}
	Per definizione $S$ e' finitamente generato come $\Z$ modulo.
	\step{}{$\Z\(S$}
	\begin{prova}
		\eal{&\pgra{1} \in \cl(G) 
		\> \sh {\pgra{1}} = 1 \NN
		\w_\X(1) = \w_\X(\sh {\pgra{1}})  \ubrace{=}{\see{omegadiX} }
		\frac{\X(\sh{ \pgra{1}})}{\X(1)}=\frac{\X(1)}{\X(1)}=1\NN
		\qq \> 1 \in S  \ubrace{\>}{S\T{ f.g. come $\Z$-mod}}  \Z \( S
		}
	\end{prova}
	\step{}{$(S,+)$ e' un gruppo abeliano}
	\begin{prova}
		Direttamente dalla definizione.
	\end{prova}
	\step{}{$S$ e' chiuso rispetto al prodotto}
	\begin{prova}
		\eal{&a,b\in S \> a=\sum_{i} a_i \w_\X(\sh {K}),\;\;b=
		\sum_{i} b_i\w_\X(\sh {K'}),\;\;a_i,b_i\in \Z\;\forall i\NN
		ab = 
		\sum_{i,j}a_ib_j \w_\X(\sh {K}) \w_\X(\sh {K'}) 
		\ubrace{=}{\w_\X\T{ omo.}} \sum_{i,j}a_ib_j \w_\X(\sh {K}\sh
		{K'}) 
		\ubrace{=}{\see{KiKj}} 
		\sum_{i,j}a_ib_j \w_\X\pton{\sum_{h=1}^k c_h \sh {K_h}} = \NN
\qq 		\T{ dove } c_h\in \mathbb{N}\( \Z \;\;\forall
		h=1,\dots,k,\;\;\cl(G)=\pgra{K_1,\dots,K_h}\NN
		=  \sum_{i,j}\sum_{h=1}^k \ubrace{a_ib_jc_h}{\in \Z}
		\w_\X\pton{\sh {K_h}}  \in S
		}
	\end{prova}
\end{prova}
\qedstep
\begin{prova}
Per il passo precedente e per il teorema \see{SinR}, si ha
\eal{&\w_\X(\sh K) \in S\( R
	}
\end{prova}
	\end{prova}
\end{proof}
\section{Teorema di Burnside}
\begin{lem}\label{lemmadiburnside}
	Sia $\X\in \Irr(G)$, $x\in G$ e $K=\cl(x)$. Si ha
	\eal{&(|K|,\X(1))=1 \> \X(x)=0  \|  x \in Z(\X)}
\end{lem}
\def\G{{\mathcal{G}}}
\begin{proof}
	\def\s{{\sigma}}
	Sia $m=o(x)$, $e=\exp G$, 
	\eal{&\X(x)  \ubrace{=}{\see{Xgsommadixi}} 
	\xi^{a_1}+\dots+\xi^{a_n}\NN
	\T{ dove } U_{m}=\gen{\xi}, \;\;n=\X(1)\NN
	\T{Per la \see{XinQ} si ha: }\X(x)\in \Q_e\^R,\T{ con
	}e=\exp G\;\;(1)\NN
	\T{Sia } \w\in \C:\;\;U_e=\gen{\w},\T{ quindi } \xi=\w^{j},\T{ per
	qualche $j$}\;\;(1.1)
	}
	Supponiamo che $x\notin Z(\X)$ e dimostriamo che $\X(x)=0$.
	\eal{&x\notin Z(\X)
	\ubrace{\>}{\see{thmcentrokerndichi},\see{Xgsommadixi}}
	|\X(x)| < \X(1)=n\;\;(2)\NN
	\frac{|\X(x)|}{\X(1)} <  1\;\;(2.1)
	}
	Sia $\G=\G(\Q_e, \Q)$ il gruppo di Galois relativo all'estensione di
	campi $\Q\(\Q_e=\Q(\w)$.\\
	L'estensione $Q\(\Q(\w)$ e' ciclotomica, ed e' quindi una estensione
	di Galois. Per il teorema fondamentale della teoria di Galois, segue
	che
	\eal{&\Q_e^{\G}=\Q\;\;(3)\NN
	\T{dove } \Q_e^{\G} = \pgra{q\in \Q_e\;|\;\s(q)=q\;\;\forall \s \in
	\G}
	}
	Sia $\s\in \G$. Poiche' $\s$ e' un automorfismo di $\Q_e$, possiamo
	affermare le seguenti proposizioni:
	\eal{&\a^k=1 \> \s(\a)^k=1\;\;(4)\NN
	\a\in R \> \s(\a)\in R\T{, infatti: }\;\;(5)\NN
	\qq \a \in R \> \exists f\in \Z[x]\T{ monico t.c. }f(\a)=0\NN
	\qq f(\s(\a))= \s(f(\a))= 0 \> \s(\a)\in R
	}
	Sfruttiamo adesso l'ipotesi $(|K|,\X(1))=1$:
	\eal{&(|K|,\X(1))=1  \ubrace{\>}{\T{identita' di Bezout}} 
	\exists a,b\in \Z:\;\;a|K|+b\X(1) =1   \ubrace{\=}{\T{moltiplicando
	ambo i membri}}  a|K|\frac{\X(x)}{\X(1)}
	+b\X(x) = \frac{\X(x)}{\X(1)} \= \NN
\qq \qq 	x\in K,\;\X\in \Irr(G)  \ubrace{\>}{ \see{omegadiX} } |K|\frac{\X(x)}{\X(1)} 
= \w_\X(\sh K) \ubrace{\in}{\see{thmomegadiX}} R\NN
\= a  \w_\X(\sh K) + b\X(x) = \frac{\X(x)}{\X(1)}   \;\;(6)\NN
\w_\X(\sh K) \in R,\;\X(x)\in R \> \frac{\X(x)}{\X(1)}  \in R \;\;(6.1)}
Sia $\a=\frac{\X(x)}{\X(1)}$. Osserviamo che
\eal{&(2.1) \> |\a| <  1\;\;(2.2)\NN
(6.1)\> \a\in R  \ubrace{\>}{(5)}  \s(\a)\in R \;\;\forall \s\in \G\;\;(6.2)\NN
\s(\a) = \frac{\s(\X(x))}{\s(\X(1))}  \ubrace{=}{\X(1)=n\in \Q,\;\;(3)} 
\frac{\s(\X(x))}{\X(1)}\NN
\s(\X(x))= \s(\xi)^{a_1}+\dots+\s(\xi)^{a_n}  \ubrace{=}{(4)} 
\zeta^{a_1} + \dots + \zeta ^{a_n},\T{ con } \gen{\zeta}= U_{m}\NN
|\s(\X(x))| = |\zeta^{a_1} + \dots + \zeta ^{a_n}|
\le  |\zeta^{a_1} | + \dots + | \zeta ^{a_n}| 
= 1+\dots+1 = n\NN
|\s(\a)| = \frac{|\X(x)|}{|\X(1)|}\le \frac{n}{n}=1\;\;(7)
}
Consideriamo la norma di $\a$ secondo $\G$, ovvero sia 
\eal{&\b= \prod_{\s\in \G} \s(\a)}
abbiamo
\eal{&\s=\id \> |\s(\a)| = |\a| \ubrace{<}{(2.2)} 1 \;\;(2.3)\NN
|\b| = \prod_{\s\in \G} |\s(\a)|  
=|\a|\prod_{\s\in \G:\;\s \neq \id}|\s(\a)| \ubrace{<}{(2.3)} 1\;\;(7.1)
}
Infine,
\eal{&\s(\b) \ubrace{=}{\G\T{ e' un gruppo}}  \b\;\;\forall \s \in \G\>\b\in
\Q_e^{\G}=\Q \NN
(6.2)  \ubrace{\>}{R\T{ e' un anello } }  \b\in R\NN
\qq \> \b\in R\^\Q  \ubrace{=}{\see{RQZ} }  \Z  \ubrace{\>}{(7.1)}  \b=0
\> \exists \s\in \G:\;\;\s(\a)=0  \ubrace{\=}{\s\T{ e' biettiva }} \a=\inv
\s(0)=0\NN
\a = 0 \= \frac{\X(x)}{\X(1)} =0 \= \X(x)=0
}
\end{proof}
\begin{thm}\label{thmclassepotenzaprimoburnside}
	Sia $x\in G$, allora
	\eal{&
	\sist{x \neq 1\\
	|\cl(x)|=p^a,\;\T{ $p$ primo }\\
	a>0} \> G\T{ non e' semplice }
	}
	Questo teorema coinvolge solamente la teoria dei gruppi, eppure, non
	si conosce attualmente una sua dimostrazione che non faccia ricorso
	alla teoria dei caratteri.
\end{thm}
\begin{proof}
	\def\r{{\rho}}
	Supponiamo per assurdo che $G$ sia semplice. Sia $\X\in
	\Irr(G)\-\pgra{1_G}$. Si ha
	\eal{&\sist{
	|\cl(x)|=p^a > 1  \> G\T{ non e' abeliano } \\
	G\T{ semplice } \\
	\X\in  \Irr(G)\-\pgra{1_G}
	}  \ubrace{\>}{\see{centrodichibanale}} 
	Z(\X)=\pgra{1}\;\;(0)\NN
	\r_G(x)  \ubrace{=}{\see{rhog}} 
	\sum_{\X\in \Irr(G)}\X(1)\X(x)  \ubrace{=}{x \neq 1} 0\;\;(1)\NN
	\r_G(x) = \sum_{\X\in \Irr(G)}\X(1)\X(x) = \NN
	=
	1+\sum_{\X\in\Irr(G)\-\pgra{1_G}}\X(1)\X(x)
	= 1+\ubrace{\sum_{\X\in\Irr(G)\-\pgra{1_G},\;\;p/
	\X(1)}\X(1)\X(x)}{A}
	+ \ubrace{\sum_{\X\in\Irr(G)\-\pgra{1_G},\;\;p\T{ non divide }
	\X(1)}\X(1)\X(x)}{B}\;\;(2)
	}
	Sia $K=\cl(x)$,
	\eal{&|K|= p^a,\;p\ndiv \X(1) \> (|K|,\X(1) ) =1 \> \X(x) =0 \| x\in
	\Z(\X)=\pgra{1}   \=\NN
	\ubrace{\=}{x \neq 1}  \X(x)=0 \;\;\;\forall \X\in
	\Irr(G)\-\pgra{1_G}:\;\;p\ndiv \X(1) \> B=0\NN
	B=0,\;(2),\;(1) \> 0=\r_G(x)=1+\sum_{\X\in\Irr(G)\-\pgra{1_G},\;\;p/
        \X(1)}\X(1)\X(x)\=\NN
	\= 1+p\ubrace{\sum_{\X\in\Irr(G)\-\pgra{1_G},\;\;p/
	\X(1)}\ubrace{\frac{\X(1)}{p}}{\in \Z}\ubrace{\X(x)}{\in
	R}}{=\gamma\in R} =0
	\= \gamma=-\frac{1}{p}\in R\^ \Q  \ubrace{=}{\see{RQZ}} \Z
	\> p=\pm 1 
	}
	Assurdo, in quanto $p$ e' un primo.
\end{proof}
\begin{thm}\ilabel{Burnside!teorem di}(Burnside)
	\label{thmdiburnside}
	\eal{&|G|=p^aq^b,\;\;p,q\T{ primi },\;\;a,b>0 \> G\T{ non e' semplice }}
\end{thm}
\begin{proof}
	Distinguiamo due casi:
	\case{$p=q$}
	\begin{prova}
		\eal{&|G|=p^{a+b},\;a,b>0 \> G\T{ $p$-gruppo },\;|G| > 1 \>\NN
		\>  \exists \T{ una catena di sottogruppi normali non banali } 
		\> G\T{ non e' semplice }}
	\end{prova}
	\case{$p \neq q$}
	\begin{prova}
	Sia $P$ un $p$ sottogruppo di Sylow di $G$. Si ha
	\eal{&\sist{|P|=p^a,\;\;p\ndiv q^b\\
	\frac{|G |}{|P|}=q^b}\;\;(1)\NN
	b>0  \ubrace{\>}{(1)} P<G }
	Inoltre,
	\eal{&P\T{ $p$-gruppo } \> Z(P) \neq 1 \> \exists x\in
	Z(P)\-\pgra{1}}
	Se $\nexists x\in Z(P):\;\;|\cl_G(x)|> 1$, allora
	\eal{&x\in Z(G) \= |\cl_G(x)|=1\;\;(*)\NN
	\forall x\in Z(P)\;\;|\cl_G(x)|=1  \> Z(P)\(Z(G)\NN
	1 \neq Z(P) \( Z(G) \tleq G 
	\> Z(P) \tleq G\;\;(**)\NN
	Z(P) = G \> Z(G)=G\> G\T{ abeliano } \> P\tleq G  \ubrace{\>}{1 \neq P \neq G}
	G\T{ non semplice }\NN
	1 \neq Z(P)  \neq  G  \ubrace{\>}{(**)}  G\T{ non semplice}
	}
	Possiamo quindi supporre che $\exists x\in Z(P):\;\;|\cl_G(x)|> 1$.
	Sia $C_G(x)$ il centralizzante di $x$ in $G$, allora
	\eal{&
	P \ubrace{\le  }{x\in Z(P)} C_G(x)\tleq  G  \>
	\frac{|C(x)|}{|P|}
	\pass{\frac{G}{C(x)}} = \frac{|G|}{|P|}
	\>     \pass{\frac{G}{C(x)}} \div  \frac{|G|}{|P|}  = q^b\;\;(2)\NN
	|\cl(x)| = \frac{|G|}{|C(x)|}  \ubrace{=}{(2)}  q^c,\;\;c\le
	b\;\;(3)\NN
	|\cl(x)|  = q^c \ubrace{>}{\T{per ipotesi}} 1 ,\;\;x \neq 1
	\ubrace{\>}{\see{thmclassepotenzaprimoburnside}} G\T{ non e' semplice
	} 
	}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{cor}
	\eal{&|G|=p^aq^b,\;\;p,q\T{ primi } \> G\T{ e' risolubile }}
\end{cor}
\begin{proof}
Procediamo per induzione forte su $n=|G|$.\\
I casi in cui $a=0$ oppure $b=0$ sono immediati perche'
\eal{&G\T{ $p$-gruppo } \> G\T{ e' risolubile }}
Supponiamo quindi $a,b>0$.
Sia $1\le N< G$ un sottogruppo normale di $G$. Se per assurdo $N=1$,
$G$ sarebbe semplice. Questo e' pero' in contrasto con il teorema
\see{thmdiburnside}. Quindi,
\eal{&N>1 \> \pass{\frac{G}{N}} < n,\;\;\pass{\frac{G}{N}} =p^{a'}q^{b'}  \ubrace{\>}{\T{ipotesi induttiva}} 
\frac{G}{N}\T{ e' risolubile }\NN
N< G \> |N|=p^{a''}q^{b''} < n  \ubrace{\>}{\T{ipotesi induttiva} }
N\T{ e' risolubile }\NN
\sist{N\tleq G\\
\frac{G}{N}\T{ e' risolubile }\\
N\T{ e' risolubile }}  \> G\T{ risolubile }
}
\end{proof}


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