\pagebreak
\section{Caratteri}
Le algebre di gruppo e le rappresentazioni consentono di applicare
 tecniche della teoria degli anelli e dell'algebra lineare allo studio dei
gruppi.
L'idea fondamentale della teoria dei caratteri \est quella di considerare solo
una piccola parte delle informazioni che si possono ricavare dalle
rappresentazioni.  Tale parziale informazione, denominata
\emph{carattere}, \est d'altra parte \piu facilmente gestibile. Quindi, i {caratteri}, pur essendo una
versione ridotta delle rappresentazioni, si rivelano uno strumento
indispensabile per lo studio dei gruppi finiti e permettono
di dedurre  risultati notevoli, come ad esempio il teorema di Burnside.\\


Nota: con $G$ indicheremo sempre un gruppo finito.
\begin{defn}
	Sia $\Xr:G\longrightarrow \GL(n,\C)$ una rappresentazione. Sia
	definita la seguente funzione:
	\eal{&\X:G\longrightarrow \C\NN
	g\mapsto \Tr \Xr(g)}
	dove $\Tr$ \est la traccia\footnote{La traccia della matrice
	$M$ \est l'elemento:
	\eal{&\Tr M = \sum_{i}M_{ii}}
	}
	della matrice $\Xr(g)$.
	A volte, per indicare che $\X$ \est la
	traccia di $\Xr$ scriveremo
	\eal{&\X=\Tr\Xr
	}
	Chiameremo $\X$ il \iemph{carattere} di
	$\Xr$.
\end{defn}
\begin{defnotaz}
	Per indicare una matrice diagonale, utilizzeremo la seguente
	notazione:
	\eal{&\diag(a_{11},\dots,a_{nn}) \T{ \est la matrice quadrata }
	(a_{ij})=(a_{ii}\delta_{ij}),\T{ dove  }\delta_{ij}=
	\sist{1&i=j\\0&i \neq j} }

\end{defnotaz}
\pagebreak
\begin{prop}\label{propsimilistessatraccia}
	Sia $\X$ una rappresentazione e siano $A,B,M,X$ matrici quadrate,
	allora si ha
	\eal{&1\;\;\Tr(AB)=\Tr(BA),\;\;\Tr(\inv M X M) = \Tr(X)\NN
	2.\;\;\Xr \sim \Yr \> \Tr \Xr = \Tr \Yr\NN
	3.\;\;\X(1)=n=\dim \Xr
	}
\end{prop}
\begin{proof}\qq\\
	\nostep{}{$1.$}
	\begin{prova}
		\eal{&\Tr(\inv M X M)  \ubrace{=}{\Tr(AB)=\Tr(BA)}  \Tr(M(\inv
		M X)) = \Tr(X)
		}
	\end{prova}
	\nostep{}{$2.$}
	\begin{prova}
		\eal{&\Xr\sim \Yr \= \exists M:\;\Xr = \inv M \Yr M
		\ubrace{\>}{1.} \Tr \Xr=\Tr \Yr  }
	\end{prova}
	\nostep{}{$3.$}
	\begin{prova}
		\eal{&\X(1)=\Tr\Xr(1)=\Tr I = n}	
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{defn}
	Sia $G$ un gruppo finito.
\eal{&\X \T{ \est un carattere di G } \definizione{\=}
\X \in \ch G \definizione{ \= } \exists \Xr\T{ rappresentazione di
}G:\;\X=\Tr \Xr\NN
\X\T{ \est irriducibile } \definizione{ \= }\exists \Xr\T{ rappresentazione
irriducibile t.c. } \X=\Tr \Xr\NN
\ch G \T{ \est l'insieme di tutti i caratteri di G}\NN
\Irr(G) \T{ \est l'insieme di tutti i caratteri irriducibili di G}
	}
\end{defn}
\begin{rem}
	Sia $\X:G\longrightarrow \C$ una carattere di $G$. 
	\Poiche
	$\Tr:\mat(n,\C)\longrightarrow \C$ \est una applicazione lineare,
	possiamo estendere $\X$
	per linearit\`a su tutta l'algebra $\CG$:
	\eal{&\X\pton{\sum_{g\in G}\lambda_gg}=
	\Tr\Xr\pton{\sum_{g\in G}\lambda_gg}
	=\Tr\pton{\sum_{g\in G}\lambda_g\Xr(g) }= \sum_{g\in G}\lambda_g\Tr\Xr(g)
	= \sum_{g\in G}\lambda_g\X(g)
	}
\end{rem}
\def\a{{\alpha}}
\def\b{{\beta}}
\pagebreak
\begin{lem}\label{lemmatensore}
	Siano date $A,C\in \mat(n,F),\;\;B,D\in \mat(m,F)$ e  definiamo la
	matrice a blocchi
		\eal{&
A \otimes B\;\definizione{ = }\;\begin{bmatrix}
			a_{11}B & a_{12}B & \dots & a_{1n}B\\
			\vdots &  & & \vdots\\
			a_{n1}B & a_{n2}B & \dots & a_{nn}B
		\end{bmatrix}\in 	\mat({nm},F)\;,
		}
		dove $a_{ij}=A_{ij}$ \est l'elemento di posto $i,j$ di $A$.\\
		Si ha:
		\eal{& (A\otimes B)(C\otimes D)  = AC \otimes BD
}
\end{lem}
\begin{proof}
	\eal{&\T{Sia } \pgra{e_{ij}}_{1\le i,j\le n }\T{ la base canonica di }
	\mat(n,F) \NN
	A\otimes B = \sum_{i,j}a_{ij}(e_{ij}\otimes B)\in
	\mat({nm},F)\;\;(1.1)\NN
	C\otimes D = \sum_{i',j'}c_{i'j'}(e_{i'j'}\otimes D)\in
	\mat({nm},F)\;\;(1.2)\NN
	%\T{ e } \pgra{e_{ij}'}_{1\le i,j\le m } \T{ quella di }\mat(m,F)\NN
	(e_{ij}\otimes B) (e_{i'j'}\otimes D) = \delta_{i'j}e_{ij'} \otimes
	BD\;\;(2)\NN
	(A\otimes B)(C\otimes D)  \ubrace{=}{(1.1),(1.2)} 
	\sum_{i,j,i',j'} a_{ij}c_{i'j'}(e_{ij}\otimes B)(e_{i'j'}\otimes D)
	\ubrace{=}{(2)}  \sum_{i,j,i',j'} a_{ij}c_{i'j'}\delta_{i'j}e_{ij'} \otimes
        BD = \NN
	=\sum_{i,j,j'} a_{ij}c_{jj'}e_{ij'} \otimes
	BD = 
	\sum_{i,j'}\pton{\sum_ja_{ij}c_{jj'}} e_{ij'} \otimes BD  = 
	\sum_{i,j'}(AC)_{ij'}e_{ij'} \otimes BD  = AC \otimes BD
}
\end{proof}
\begin{prop}\label{propsommadicaratteri}
	Siano $\a$ e $\b$ due caratteri; allora``
	\eal{& \a+\b,\;\;\a\b\in \ch G}
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{$\a+\b\in \ch G$}
	\begin{prova}
	Siano $\Xr,\Yr$ rappresentazioni tali che
	\eal{&\a=\Tr\Xr,\;\;\b=\Tr\Yr.}
	La matrice a blocchi
	\eal{&Z=
	\begin{bmatrix}
		\Xr & \uline 0\\
		\uline 0&\Yr
	\end{bmatrix}\\
	}
	\est una rappresentazione per $\a+\b$. Infatti,\\
	\eal{&Z(ab)= 
	\begin{bmatrix}
		\Xr(ab) & \uline 0\\\
		\uline 0&\Yr(ab)
	\end{bmatrix}=
	\begin{bmatrix}
		\Xr(a)\Xr(b) & \uline 0\\
		\uline 0&\Yr(a)\Yr(b)
	\end{bmatrix}
	=	\begin{bmatrix}
		\Xr(a) & \uline 0\\
		\uline 0&\Yr(a)
	\end{bmatrix}
	\begin{bmatrix}
		\Xr(b) & \uline 0\\
		\uline 0&\Yr(b)
	\end{bmatrix}=\NN
=Z(a)Z(b)
	}
	Infine,
	\eal{&\Tr Z = \Tr\Xr + \Tr \Yr = \a + \b \> \a+\b \in \ch G.}
	\end{prova}
	\step{}{$\a\b\in \ch G$}
	\begin{prova}
		Sia $Z=\Xr\otimes \Yr$. $Z$ \est una rappresentazione di $G$,
		infatti,\\
		\eal{&(\Xr\otimes \Yr)(ab)
		=\Xr(ab)\otimes \Yr(ab) = (\Xr(a)\Xr(b))\otimes (\Yr(a)\Yr(b))
=\NN
\ubrace{=}{\seelem{lemmatensore}} (\Xr(a)\otimes
		\Yr(a))(\Xr(b)\otimes \Yr(b)) = Z(a)Z(b)
		}
		Infine, dalla definizione di $\otimes$, \est chiaro che
		\eal{&\Tr Z = (\Tr \Xr)(\Tr \Yr)= \a\b
		}
		Quindi, $\a\b\in \ch G$.
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{thm}\label{thmchiestirr}
	Sia $G$ un gruppo finito; allora
	\eal{&\Irr(G) = \pgra{\X_1,\dots,\X_k}}
	dove i simboli $\X_i$ indicano i caratteri dati dal teorema di Wedderburn per le
	rappresentazioni (vedi \seethm{thmdiwedderburnperlerappr}), e  $k=|\cl(G)|$
\end{thm}
\begin{proof}
	Per ipotesi sappiamo gi\`a che vale l'inclusione $\)$. Dimostriamo
	l'inclusione opposta.
	\eal{&\X \in \Irr(G) \> \exists \Xr\T{ rappr. irrid. di }G:\;\;\X=\Tr
	\Xr\NN
	\Xr\T{ irriducibile } 
	\ubrace{\>}{\T{Teor. }\seeT{thmdiwedderburnperlerappr}} \exists !i:\;\;\Xr\sim
	\Xr_i  \ubrace{\>}{\T{Prop. }\seeT{propsimilistessatraccia}} 
	\Tr\Xr=\Tr\Xr_i \> \X=\Tr\Xr_i \= \X=\X_i
	}
\end{proof}
\begin{defn}
	Sia $G$ un gruppo. Definiamo l'insieme delle \iemph{funzioni di
	classe}:
	\eal{&\cf(G)\definizione{=} \pgra{f:G\longrightarrow \C\;|\;f(x^y)=f(x)\;\;\forall x,y\in G} }
	O equivalentemente:
	\eal{&\cf(G)= \pgra{f:G\longrightarrow \C\;|\;\;|f(\cl(x))|=1\;\forall x\in G} }
In altre parole, le funzioni di classe sono quelle funzioni costanti sulle
classi di coniugio.\\
\Est facile notare che $\cf(G)$ \est un $\C$-spazio vettoriale.
\end{defn}
\pagebreak
\begin{prop}\label{chincf}
	I caratteri sono delle funzioni di classe, ovvero
	\eal{&\ch(G)\( \cf(G)}
\end{prop}
\begin{proof}
	Sia $\X\in \ch(G)$
	\eal{&\X(x^y)=\Tr\Xr(x^y)=\Tr\pton{\inv{\Xr(y)}\Xr(x)\Xr(y)}
	\ubrace{=}{\seeprop{propsimilistessatraccia}} \Tr\Xr(x) = \X(x)
	}
\end{proof}
\def\d{{\delta}}
\begin{prop}\label{basenaturaledicfG}
	Sia $\cl(G)=\pgra{K_1,\dots,K_k}$, $k=|\cl(G)|$. Posto 
	\eal{&\d_i:G\longrightarrow \C\NN
	\d_i(s)=\sist{1&s\in K_i\\
	0&s\notin K_i
	}}
	allora
$\pgra{\d_1,\dots,\d_k}$
	\est una base di $\cf(G)$.
\end{prop}
\begin{proof}
	\Est chiaro che $\d_i\in \cf(G)$.
	\step{}{Dimostriamo che $\cf(G)=\gen{\d_1,\dots,\d_k}$}
	\begin{prova}
Siano $x_1,\dots,x_k\in G$ t.c. $x_i\in K_i$.
\eal{&f\in \cf(G),\;\;x\in K_i \> f(x)=f(x)\d_i(x)\NN
x\in K_i\> x\notin K_j,\T{ con } j \neq i \> \d_j(x)=0\NN
\qq \> \forall x\in K_i \;f(x)= f(x)\d_i(x) + \sum_{j \neq
i}f(x)\d_j(x)\;\;(1)\NN
x\in K_i \> f(x)=f(y)\;\;\forall y\in K_i \> f(x)=f(x_i)\;\;(2)
		}
Quindi
\eal{&x\in K_i \> f(x) \ubrace{=}{(1)} \sumik f(x)\d_i(x) \ubrace{=}{(2)} \sumik f(x_i)\d_i(x)
}
\Poiche $\pgra{K_i}_i$ \est una partizione di $G$, possiamo concludere che
\eal{&f= \sumik f(x_i) \d_i\in \gen{\d_1,\dots,\d_k}
}
	\end{prova}
	\step{}{$\d_1,\dots,\d_k$ sono linearmente indipendenti:}
	\begin{prova}
		sia
		\eal{&a_1\d_1+\dots+a_k\d_k=0}\\
		una combinazione lineare nulla, scegliendo $x\in K_i$ si ha
		\eal{&a_i=0}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{prop}\label{irrGestbase}
	Sia $G$ un gruppo finito.
	\eal{&|\Irr(G)|=|\cl(G)|\NN
	\Irr(G)\T{ \est una base di }\cf(G)}
\end{prop}
\begin{proof}
	Sia $k=|\cl(G)|$.
	Per il \seethm{thmchiestirr} abbiamo $|\Irr(G)|=k$.
	\Poiche\\
	\eal{&\dim \cf(G)  \ubrace{=}{\seeprop{basenaturaledicfG}}k \NN
	\Irr(G) \( \ch (G) \ubrace{\(}{\seeprop{chincf}} \cf(G)
	}\\
	basta dimostrare che $\Irr(G)=\pgra{\X_1,\dots,\X_k}$ \est un insieme di
	vettori linearmente indipendenti.\\
	Per il \seethm{thmdiwedderburnperlerappr} abbiamo\\
	\eal{&1=e_1+\dots+e_k,\;\;e_i=1_{B_i}\NN
	\X_i(e_j)=\delta_{ij} \X_i(1)\;\;\;\;(1)
	}\\
Consideriamo una combinazione lineare nulla di $\X_1,\dots,\X_k$:
\eal{&a_1\X_1+\dots+a_k\X_k=0}
e valutiamola in $e_j$:
\eal{&0=\sumik a_i\X_i(e_j) = a_j\X_j(1)  \ubrace{\>}{\X_j(1)=\dim B_i \neq 0}
a_j=0
}
Per l'\arbitrarieta di $j$ concludiamo che $a_j=0\;\;\forall j=1,\dots,k$.
\end{proof}
\begin{thm}\label{combinazioneinteradicaratteri}
	Sia $\Irr(G)=\pgra{\X_1,\dots,\X_k}$. Si ha
	\eal{&\X \in \ch G \= \X=\sumik m_i\X_i,\T{ con } m_i\in
	\mathbb{N} \;\;\;\forall i=1,\dots,k}
Inoltre, esiste $i$ tale che $m_i>0$. 
	Quindi i caratteri sono tutte e sole quelle funzioni di classe che si
	possono scrivere come combinazione lineare intera degli elementi di
	$\Irr(G)$.
\end{thm}
\begin{proof}
	\BEGINsufficiente
	Per la \seeprop{propsommadicaratteri}, la somma di caratteri
	\est ancora un carattere. \Poiche $\Irr(G)\( \ch G$, la combinazione
	lineare intera
$	\sumik m_i\X_i $ \est ancora un carattere. 
	\END
	\qq\\
	\BEGINpnecessaria
	\eal{&\X\in \ch G \> \X =\Tr \Xr\NN
	\Xr\ubrace{\sim}{\seethm{thmdiwedderburnperlerappr}}
	 \diag(\Xr_{i_1},\dots,\Xr_{i_r}) \T{ matrice diagonale a
	 blocchi } \> \NN
	 \qq \> \X=\Tr \Xr = \sum_{j=1}^{r} \Tr\Xr_{i_r}
	 = \sum_{j=1}^r \X_{i_r}  \ubrace{=}{\T{per opportuni }m_i\in
	 \mathbb{N}} \sumik m_i\X_i
	}
	Infine,
	\eal{&\X(1)=\dim \Xr \neq 0 \> \X \neq 0\>\sumik m_i\X_i \neq 0\>\exists
	j:\;m_j>0}
	\END
\end{proof}
\def\r{{\rho}}
\begin{defn}
	Sia $\Xr:G\longrightarrow \GL(n,\C)$ la rappresentazione indotta dal
	modulo $\cc\CG$, secondo una qualsiasi base. Il carattere
	\eal{&\r_G=\Tr\Xr 
	}
	\est detto il \iemph{carattere regolare} di $G$.
\end{defn}
\begin{prop}\label{rhog}
	Il carattere regolare di $G$ soddisfa le seguenti \proprieta
	\eal{&1.\;\;\r_G= \sum_{\X\in \Irr(G)}\X(1)\X\NN
	2.\;\;\r_G(g) = \sist{|G|&  g=1\\
0&g \neq 1
	}
}
In particolare, abbiamo
\eal{&\r_G(1)= \sum_{\X\in \Irr(G)} \X(1)^2 = |G|
}
\end{prop}
\begin{proof}\qq\\
	\nostep{}{$1.$}
	\begin{prova}
		Per il \seecor{wedderpergroupalgebra}
, si ha
\eal{&\cc \CG \simeq n_1I_1\oplus \dots \oplus n_kI_k
\ubrace{\>}{\seep{simileadiagonaleablocchi}}
\Xr\sim \diag(\ubrace{\Xr_1,\dots,\Xr_1}{n_1\T{
volte}},\dots,\ubrace{\Xr_k,\dots,\Xr_k}{n_k\T{ volte}})
\>\NN
\> \X=\Tr \Xr = \sumik n_i\Tr\Xr_i =\sumik n_i\X_i \;\;(2)\NN
\X_i(1) \ubrace{=}{\seethm{thmdiwedderburnperlerappr}} n_i\;\;(3)\NN
(2),(3) \> \X=\sumik \X_i(1)\X_i \ubrace{=}{\seethm{thmchiestirr}} 
\sum_{\X\in \Irr(G)}\X(1)\X
}
	\end{prova}
	\nostep{}{$2.$}
	\begin{prova}
Scegliamo $G=\pgra{g_1,\dots,g_n}$ come base di $\cc\CG$ da cui indurre $\Xr$. La seguente
dimostrazione \sara indipendente da questa scelta \perche la traccia non
cambia per matrici simili.\\
Sia $g_{i'}=g_i\.g$; si ha
\eal{&g_i\.g=g_{i'}\in G\;\;\forall g\in G
\> [g_i\.g]_G = e_{i'}(g)\T{ per qualche } 1\le i'\le n\NN
\T{ dove } e_{i'}(g)=(0,0,\dots,0,\ubrace{1}{\T{posto }i'},0,0, \dots,0)\NN
e_{i'}(g)=e_{h'}(g)\=[g_i\.g]_G =[g_h\.g]_G \= g_i\.g =g_h\.g \= g_i=g_h\=  h=i\NN
\Xr(g)=M_G(r_g)=\begin{bmatrix}
	[g_1\.g]_G\\
	\vdots\\
	[g_n\.g]_G\\
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
	e_{1'}(g)\\
	\vdots\\
	e_{n'}(g)
\end{bmatrix}\\
}
Quindi $\Xr(g)$ \est una matrice di permutazione. Inoltre,
\eal{&\Xr(g)_{ii}=\pton{[g_i\.g]_G}_i
= \pton{e_{i'}(g)}_i = \delta_{ii'}
= \sist{1&i=i'\= g_i=g_{i'} =g_ig\=g=1\\
0&\T{altrimenti}}\;\;(1)\NN
\X(g)=\Tr\Xr(g)=\sumin \Xr(g)_{ii}  \ubrace{=}{(1)}
\sist{1+1+\dots+1=|G|&g=1\\
0&\T{ altrimenti}
}
}
\end{prova}
\end{proof}
\begin{flushleft}
Il seguente teorema \est il primo risultato che permette di
ricavare informazioni sul gruppo $G$ esaminando solo i caratteri
irriducibili.
\end{flushleft}
\begin{thm}\label{Gaberlianossechiest1}
	\eal{&G\T{ \est abeliano }  \= \X(1)=1\;\;\forall \X\in \Irr(G)
	}
\end{thm}
\begin{proof}
	\eal{&G\T{ abeliano }  \= |\cl(g)|=1 \;\forall g\in G
	\ubrace{\=}{\cl(G)\T{ \est una partizione di }G}  |\cl(G)| = |G|\NN
	|\Irr(G)|  \ubrace{=}{\seethm{thmchiestirr}} 
	|\cl(G)| = |G| \NN
	\r_G(1) \ubrace{=}{\T{Prop. }\seeT{rhog}} \sum_{\X\in \Irr(G)} \X(1)^2 = |G| =|\Irr(G)| 
	\ubrace{\=}{\X(1)\in \N,\;\X(1) \neq 0} \X(1)=1\;\;\forall \X\in \Irr(G)
	}
\end{proof}
\pagebreak
\begin{thm}\label{riducibilessesommadichar}
	Sia $\X\in \ch G$
	\eal{&\X\in \Irr(G) \= \X \neq \a+\b\;\;\forall\a,\b\in \ch G}
\end{thm}
\begin{proof}
	\BEGINpnecessaria
	Supponiamo per assurdo $\X=\a+\b$, 
	\eal{&\a,\b\in \ch G \> \X=\a+\b\in\ch G\NN
	\a\in \ch G 
	\ubrace{\>}{\seethm{combinazioneinteradicaratteri}} 
	\a=\sum_{\Y\in \Irr(G)}m_{\Y}\Y,\T{ con almeno un }m_{\Y}\in
	\N^{*}\;\;(1)}
Analogamente per $\b$: 
\eal{&
	\b\in \ch G 
	\ubrace{\>}{\seethm{combinazioneinteradicaratteri}} 
	\b=\sum_{\Y\in \Irr(G)}m_{\Y}'\Y,\T{ con almeno un }m_{\Y}'\in
	\N^{*}\;\;(2)}
	Quindi,
	\eal{& \X=\a+\b= \sum_{\Y\in \Irr(G)}(m_{\Y}+m_{\Y}')\Y
	}
	Sia $a_{\Y}=m_{\Y}+m_{\Y}'$. Per la $(1)$ e $(2)$, i casi
	sono due: almeno due $a_{\Y}$ sono distinti da zero, o almeno un $a_{\Y}\ge
	2$. In ogni caso, \poiche $\X\in \Irr(G)$,  si ha un assurdo contro
	l'indipendenza lineare degli 	elementi di $\Irr(G)$
	(\vedi{irrGestbase}).
	\END
	\BEGINsufficiente
	Supponiamo per assurdo che $\X\notin \Irr(G)$
	\eal{&\X\in \ch G \> \X=\sum_{\Y\in \Irr(G)}m_{\Y}\Y,\T{ con almeno un
	}m_{\Y}\in     \N^{*}\NN
	\X\notin \Irr(G) \> \X \neq \Y
	\;\;\forall \Y\in \Irr(G) 
	}
	\Poiche $\X$ non deve coincidere con alcun $\Y$, deve esistere almeno
	un $m_{\Y}\ge 2$ oppure due $m_{\Y},m_{\Y'} \neq 0$. Quindi $\X$ \est somma
	di almeno due caratteri. Assurdo.
	\END
\end{proof}
\pagebreak
\begin{thm}Siano $\Xr,\Yr$ due rappresentazioni di $G$ e $\X,\Y$ i rispettivi
	caratteri. Si ha:
	\eal{&\Xr \sim \Yr \= \X = \Y
	}
\end{thm}
\begin{proof}
	\BEGINpnecessaria
Segue immediatamente dalla \seeprop{propsimilistessatraccia}
	\END
	\BEGINsufficiente
	Procediamo analogamente a quanto abbiamo fatto nella dimostrazione del
	\seethm{combinazioneinteradicaratteri}.
	\eal{&
	\Xr\ubrace{\sim}{\seethm{thmdiwedderburnperlerappr}}
	\ubrace{ \diag(\Xr_{i_1},\dots,\Xr_{i_r})}{ \T{ matrice diagonale a
	blocchi }} 
	 \ubrace{\sim}{\T{riordinando i blocchi}}
	 \diag(\ubrace{\Xr_{1},\dots,\Xr_{1}}{d_1\T{ volte}},\dots,
	 \ubrace{\Xr_{k},\dots,\Xr_{k}}{d_k\T{ volte}})\;\;(1)\NN
	 \T{(qualche $d_i$ potrebbe essere nullo). Ne segue che:}\NN
\qq  \X=\Tr \Xr =\sumik d_i\X_i\NN
\T{Analogamente abbiamo: }\NN
\qq \Yr\sim\diag(\ubrace{\Xr_{1},\dots,\Xr_{1}}{d_1'\T{ volte}},\dots,
         \ubrace{\Xr_{k},\dots,\Xr_{k}}{d_k'\T{ volte}})\;\;(2)\NN
	 \qq \Y=\Tr \Yr =\sumik d_i'\X_i\NN
	 \sist{\X=\Y\T{ per ipotesi}\\
	 \pgra{\X_1,\dots,\X_k}\T{ sono linearmente indipendenti }
	 } 	 \> d_i=d_i'\;\;\forall i=1,\dots,k\NN
	 \qq \> \Xr \ubrace{\sim}{(1)} \diag(\ubrace{\Xr_{1},\dots,\Xr_{1}}{d_1\T{ volte}},\dots,
         \ubrace{\Xr_{k},\dots,\Xr_{k}}{d_k\T{ volte}}) 
	 \ubrace{\sim }{(2)} \Yr
	}
	\END
\end{proof}


\def\oX{\ove{\X}}
\pagebreak
\begin{prop}\label{Xgsommadixi}
	Sia $g\in G$ e $\Xr$ una rappresentazione di $G$. Sia  $o(g)=m$
	l'ordine di $g$. 
	Si  ha
	\eal{&1.\;\;\Xr(g)\sim
	\diag(\xi_1,\dots,\xi_n),\;\;\;n=\X(1),\;\;\xi_i\in
	\C\;\;\forall i=1,\dots,n\NN
	2.\;\;\X(g)=\sum_{i=1}^n \xi_i\NN
	3.\;\;\xi_i^m=1\;\;\forall i=1,\dots,n\NN
	4.\;\;|\X(g)|\le \X(1)\NN
	5.\;\;\X(\inv g)=\ove{\X(g)}\;\;\T{ dove } \ove \xi \T{ \est il
	coniugato complesso
	di }\xi
	}
\end{prop}
\begin{proof}\qq\\
	\nostep{}{$1.$ e $2.$}
	\begin{prova}
	Sia $H=\gen g$ il gruppo generato da $g$ e sia $\Yr=\Xr_{|H}$.\\
	\eal{&H\T{ abeliano }  \ubrace{\=}{\seethm{Gaberlianossechiest1}} 
	\Y_1(1)=\ldots=\Y_k(1)=1 \> \Y_i(h)\in\C\;\;\forall h\in H \;\;(1)
	\NN
	\T{ dove } \Irr(H)=\pgra{\Y_1,\dots,\Y_k}\NN
	\Yr\ubrace{\sim}{\seethm{thmdiwedderburnperlerappr}}
	\ubrace{ \diag(\Yr_{i_1},\dots,\Yr_{i_n})}{ \T{ matrice diagonale a
	blocchi }} \NN
	\T{ con } n=\dim \Y=\Y(1)=\X(1),\;\;1\le i_j\le
	k\;\;\T{ per ogni } j\\
	}
Poniamo $\xi_j=\Yr_{i_j}(g)$.
Per la $(1)$, la matrice diagonale a blocchi, simile a $\Yr$,  \est una semplice
matrice quadrata, quindi\\
\eal{& \Xr(g) = \Yr(g) \sim \diag(\xi_1,\dots,\xi_n)\NN
\X(g)=\Tr \Xr(g)= \sum_{j=1}^n\xi_j
}
	\end{prova}
	\nostep{}{$3.$}
	\begin{prova}
		\eal{&m=o(g) \> g^m=1 \= 1=\Yr_{i_j}(g^m)=\Yr_{i_j}(g)^m  \=
		\xi_j^m=1
		}		
	\end{prova}
	\nostep{}{$4.$}
	\begin{prova}
		\eal{&\xi_j^m=1  \> |\xi_j|^m =1 \>  |\xi_j|=1\;\;(2)\NN
		|\X(g)|=\pass{\sum_{j=1}^n\xi_j
		}\le \sum_{j=1}^n |\xi_j|  \ubrace{=}{(2)} n=\X(1)
}
	\end{prova}
	\pagebreak
	\nostep{}{$5.$}
	\begin{prova}
		\eal{& \xi_j\ove{\xi_j}
		=|\xi_j|^2  \ubrace{=}{(2)}  1  \>
		\ove{\xi_j}=\inv{\xi_j}\;\;(3)\NN
		\ove{X(g)} = \sum_{j=1}^n\ove{\xi_j}  = \sum_{j=1}^n\inv{\xi_j} 
= \sum_{j=1}^n\inv{\Yr_{i_j}(g)} =  
\sum_{j=1}^n{\Yr_{i_j}(\inv g)} = 
\Yr(\inv g)=\Xr(\inv g)
		}
	\end{prova}
\end{proof}
\def\TTR{{^{\tau}}}
\begin{prop}
Sia $\X\in \ch G $. Poniamo:
\eal{&\oX:G\longrightarrow \C\NN
g\mapsto \oX(g)
}
dove $\ove \xi$ \est il coniugato complesso di $\xi$.\\
Si ha:
\eal{&1.\;\;\ove \X\in \ch G\NN
2.\;\;\X\in \Irr(G) \= \oX \in \Irr(G)\NN
3.\;\;\oX(g)=\Tr\Xr(\inv g)\TTR
}
dove $A \TTR$ \est la trasposta della matrice $A$.
\end{prop}
\begin{proof}
Sia 
\eal{&\Yr:G\longrightarrow \GL(n,\C)\NN
g\mapsto \Xr(\inv g)\TTR
}
$\Yr$ \est una rappresentazione, quindi:\\
\eal{&\Yr(ab)= \Xr(\inv {(ab)})\TTR
%= \Xr(\inv b\inv a)\TTR 
= \pton{\Xr(\inv b)\Xr(\inv a)}\TTR =
\Xr(\inv a)\TTR \Xr(\inv b)\TTR = \Yr(a)\Yr(b)\\
}
Inoltre,
\eal{&\Tr\Yr(g)= \Tr\Xr(\inv g)\TTR =\Tr \Xr(\inv g) = \X(\inv g)
\ubrace{=}{\seeprop{Xgsommadixi}} \ove{\X(g)}=\oX(g)
}
Quindi $\oX\in \ch G$.
Infine,
\eal{&\X\T{ riducibile }  \ubrace{\=}{\seethm{riducibilessesommadichar}}  \X =\alpha+\beta,\;\;\T{ con } \alpha,\beta\in \ch
G \= \oX=\ubrace{\ove{\alpha}}{\in \ch G}+\ubrace{\ove{\beta}}{\in \ch
G},\;\;\=\NN
\ubrace{\=}{\seethm{riducibilessesommadichar}} \oX\T{ riducibile }
}
\end{proof}

\def\a{{\alpha}}
\def\b{{\beta}}
\def\R{{\mathbb{R}}}
\pagebreak
\begin{lem}\label{lemmaab1}
Siano	$\a,\b\in \C$. Si ha:
	\eal{&|\a+\b| = |\a|+|\b| \> \a = \lambda \b\;\;\T{ con }\lambda\in \R}
\end{lem}
\begin{proof}Indichiamo con $\a\.\b$ il prodotto Hermitiano in $\C$. Si hanno le seguenti implicazioni:
\eal{&|\a+\b|= |\a|+|\b| \>
|\a+\b|^2= |\a|^2+|\b|^2+2|\a| | \b|\;\;(1)\NN
|\a+\b|^2= (\a+\b)\ove{(\a+\b)} = \a\ove \a + \a\ove\b + \b\ove \a + \b\ove\b
= |\a|^2+|\b|^2+2\a\ove\b \NN
  \ubrace{\>}{(1)} |\a| | \b| = \a\ove\b = {\a \.\b}
\>
(\a\.\b)^2  
= 
( |\a| | \b| )^2 = \sqrt{(\a\.\a)}^2\sqrt{(\b\.\b)}^2=
(\a\.\a)(\b\.\b) \=\NN
\= (\a\.\b)^2=(\a\.\a)(\b\.\b)
\ubrace{\>}{\T{Disug. di Schwartz}} \a\parallel \b \= \exists
\lambda\in \R:\;\;\a=\lambda \b
	}
(dove $\a\parallel \b$ indica che $\a,\b$ sono due vettori paralleli).
\end{proof}
\begin{lem}\label{lemab2}
	$\a_1,\dots,\a_t\in \C$, $t\ge 1$
	\eal{&\sist{|\a_i|=1\;\;\forall i=1,\dots,t\\
	|\a_1+\dots+\a_t| = t } \> \a_i=\a_1\;\;\forall i=1,\dots,t}
\end{lem}
\begin{proof}
	Procediamo per induzione su $t$.
	\case{$t=1$}
	\begin{prova}
		Vera.
	\end{prova}
	\case{$t=2$}
	\begin{prova}
		\eal{&|\a+\b|=2=|\a|+|\b|  \ubrace{\>}{\seelem{lemmaab1}} 
		\exists l\in \R:\;\;\a=l\b\NN
		|l\b+\b|=2 \= \ubrace{|\b|}{=1} |l+1| = 2
		\=  l+1=\pm 2 \= l=1  \|  l=-3\;\;(1)\NN
		\a=l\b \> \ubrace{|\a|}{=1} = |l | \ubrace{|\b|}{=1}
		\=  |l | = 1 \> l=\pm 1\;\;(2)\NN
		(1),(2) \> l=1 \> \a=\b
		}
	\end{prova}
	\case{$t\> t+1$}
	\begin{prova}
		\eal{&t+1=|\a_1+\dots+\a_t+\a_{t+1}|
		\le |\a_1+\dots+\a_t| + {|\a_{t+1}|}
		\le |\a_1|+\dots + |\a_{t+1}| =\NN
		\ubrace{=}{|\a_i|=1}  
		t+1 
		\> |\a_1+\dots+\a_t+\a_{t+1}|  = |\a_1+\dots+\a_t| +
		\ubrace{|\a_{t+1}|}{=1}  =
		t+1\>\NN
		\>  |\a_1+\dots+\a_t|  = t  
		\ubrace{\>}{\T{Hp induttiva}} 
		\a_1=\a_2=\dots=\a_t
		}
		\pagebreak

		Analogamente si vede che
		\eal{&|\a_1+\dots+\a_t+\a_{t+1}|=
		|\a_2+\dots+\a_t+\a_{t+1}|+|\a_1| \> \a_2=\a_3=\dots=\a_{t+1}
		}
In definitiva, \poiche $t\ge 3$, 
\eal{&\a_1=\a_2=\dots=\a_{t+1}}
	\end{prova}
\end{proof}

\begin{defn}
	Sia $\X\in \ch G$. Definiamo il \emph{nucleo} e il \emph{centro} di
	$\X$ nel seguente modo:
	\eal{&\ker \X\definizione{=} \ker \Xr\NN
	Z(\X)\definizione{=} \pgra{g\in G\;|\;\exists \lambda_g\in \C:\;\;\Xr(g)=\lambda_g I}
	} 
	Nota: la definizione di $\ker \X$ \est, come vedremo, indipendente dalla
	particolare scelta di $\Xr$.
\end{defn}
\begin{thm}\label{thmcentrokerndichi}
	Sia $\Xr:G\longrightarrow \GL(n,\C)$ una rappresentazione. Valgono le
	seguenti proposizioni:
	\eal{&1.\;\;\ker \Xr=\pgra{g\in G\;|\;\X(g)=\X(1)}\NN
	2.\;\;Z(\X)\ubrace{\tleq}{\T{sottogruppo normale}} G\NN
	3.\;\;Z(\X)= \pgra{g\in G\;|\;
	\exists \lambda_g\in U_m:\;\;\Xr(g)=\lambda_g I,\;\T{ con
	}m=o(g)},\;\NN
	\T{dove $U_m$ \est il gruppo delle radici $m$-esime dell'\unita }\NN
	4.\;\; Z(\X)	= \pgra{g\in G\;|\;|\X(g)|=|\X(1)|}
	}
\end{thm}
\begin{proof}\qq\\
	\nostep{p1}{$1.$ Proviamo la doppia inclusione}
	\begin{prova}
		\step{}{($\($)}
		\begin{prova}
	\eal{&g\in \ker \Xr \> \Xr(g)=I \> \X(g)=\X(1) \> g\in \pgra{g\in
	G\;|\;\X(g)=\X(1)}
			}
		\end{prova}
		\step{}{($\)$)}
		\begin{prova}
Sia $g\in \pgra{g\in
        G\;|\;\X(g)=\X(1)}$,
	\eal{&\X(g) \ubrace{=}{\seeprop{Xgsommadixi}} \xi_1+\dots+\xi_n=\X(1)
	=n\NN
	\T{ dove }\xi_i\in U_{o(g)},\;\;|\xi_i|=1\NN
	\qq  \ubrace{\>}{\seelem{lemab2}}  \xi_i=\xi_1\;\;\forall i=1,\dots,n
	\> \X(g) = n\xi_1=\X(1)\xi_1 \NN
	n=\X(1)=\X(g)=\X(1)\xi_1=n\xi_1  \> \xi_1=1 \> \xi_i=1\;\;\forall i\NN
	\Xr(g)\ubrace{\sim}{\T{Prop. }\seeT{Xgsommadixi}}
	\diag(\xi_1,\dots,\xi_n)=\diag(1,\dots,1)=I \> \Xr(g) =I \> g\in \ker
	\Xr
	}
		\end{prova}
	\end{prova}
	\nostep{}{$2.$}
	\begin{prova}
		\step{}{$Z(\X)\le G$ \T{ sottogruppo}}
		\begin{prova}
			Siano $a,b\in Z(\X)$
			\eal{&
			\Xr(ab)=\Xr(a)\Xr(b)=\lambda_a\lambda_bI 
			\> ab\in Z(\X)
			}
			E \poiche $G$ \est finito, questo basta per dimostrare
			che $Z(\X)\le G$.
		\end{prova}
		\step{}{$Z(\X)\tleq G$}
		\begin{prova}
	Sia $g\in Z(\X),\;h\in G$
\eal{&\Xr(\inv h g h) = \inv{\Xr(h)}\Xr(g)\Xr(h)
= \inv{\Xr(h)}\lambda_gI \Xr(h)= \inv{\Xr(h)} \Xr(h)\lambda_gI 
=  \lambda_gI \>\NN
\> \inv h g h \in Z(\X)}
		\end{prova}
			\end{prova}
			\nostep{}{$3.$}
			\begin{prova}
		\step{}{($\($)}
		\begin{prova}
			Sia $g\in Z(\X)$ e $m=o(g)$
		\eal{&
		I=\Xr(1)  \ubrace{=}{g^m=1} 
		\Xr(g^m) = \Xr(g)^m \ubrace{=}{g\in Z(\X)} 
		\lambda_g^mI \= \lambda_g^mI =I \= 
		\lambda_g^m=1 \> \lambda_g\in U_m
		}
		\end{prova}
		\step{}{($\)$)}
		\begin{prova}
			Basta rileggere la definizione dei due insiemi.
		\end{prova}	
			\end{prova}
	\nostep{}{$4.$}
		\begin{prova}
			\step{}{$(\()$}
			\begin{prova}
				\eal{&g\in Z(\X)  \ubrace{\>}{3.}  
				\Xr(g)=\lambda_gI,\;\;\lambda_g\in U_m
				\> \X(g)= \lambda_g n \>
				|\X(g)|=\ubrace{|\lambda_g|}{=1} n  = n =\NN
				=
				\X(1)=|\X(1)|
				}
			\end{prova}
			\step{}{$(\))$}
			\begin{prova}
Sia $g\in G$ tale che $|\X(g)|=|\X(1)|$
\eal{&\X(g) \ubrace{=}{\seeprop{Xgsommadixi}} \xi_1+\dots+\xi_n,\;\;\T{ con
}n=\X(1)\NN
|\X(g)|=|\X(1)|=n\NN
\qq \> |\xi_1+\dots+\xi_m|=n  \ubrace{\>}{\seelem{lemab2}} \xi_i=\xi_1\;\;\forall
i=1,\dots,n\NN
	\Xr(g)\ubrace{\sim}{\seeprop{Xgsommadixi}}
	\diag(\xi_1,\dots,\xi_n)=\diag(\xi_1,\dots,\xi_1)=\xi_1I\NN
\Xr(g)\sim \xi_1I \= \Xr(g)=\inv M  \xi_1I M = 
\xi_1I
	\> g\in Z(\X)
}
			\end{prova}
		\end{prova}
\end{proof}
\pagebreak
\begin{prop}\label{lambdaomogruppi}
	La funzione
	\eal{&\lambda:Z(\X)\longrightarrow \C^*\NN
	g\mapsto \frac{\X(g)}{\X(1)}}
	\est un omomorfismo di gruppi. Inoltre, si ha:
	\eal{&\ker \lambda = \ker \X}
\end{prop}
\begin{proof}Si ha:
	\eal{&g\in Z(\X)  \ubrace{\>}{\seethm{thmcentrokerndichi}} 
	\Xr(g)=\lambda_gI \> \X(g)=\lambda_g\X(1)  \ubrace{\>}{\X(1) \neq 0} 
	\lambda_g=\frac{\X(g)}{\X(1)}=\lambda(g)\\}
	Quindi $\lambda(g)=\lambda_g$ per ogni $g\in Z(\X)$. In conclusione,
	otteniamo, 
	\eal{&\Xr(ab)=\Xr(a)\Xr(b)=\lambda_aI\lambda_bI=\lambda_a\lambda_bI
	\> \X(ab)=\lambda_a\lambda_b \X(1) \> 
	\lambda_a\lambda_b  =\frac{\X(ab)}{\X(1)} = \lambda_{ab}
	}
\end{proof}
\begin{prop}\label{centrodichibanale}
	\eal{&\sist{G\T{ non abeliano, }semplice \\
	\X\in \Irr(G)\-\pgra{1_G} }\> Z(\X)=\pgra{1}
	}
	dove $1_G$ \est il carattere irriducibile banale: 
	\eal{&1_G(g) = 1\;\;\forall g \in G}
\end{prop}
\begin{proof}
	Se per assurdo $\ker \X=G$, si avrebbe
	\eal{&\forall g\in G \X(g) =\X(1) = n = n 1_G(g)  \> \sist{\X\T{
	riducibile} & n>1\\
	\X=1_G&n=1}
	}
	In ogni caso abbiamo un assurdo. Ne segue che
	\eal{&\sist{\ker \X \tleq G\\
	\ker \X  \neq  G\\
	G\T{ semplice } }\> \ker \X = 1  \ubrace{\=}{\seeprop{lambdaomogruppi}} 
	\ker \lambda = 1 \NN
	Z(\X) \tleq G \> Z(\X) = 1  \|  Z(\X)=G\\
	}
	Supponiamo per assurdo che $Z(\X)=G$, allora\\
	\eal{&\ker \lambda =1 \> G=Z(\X) \simeq H \le  \C^* \> G\T{ abeliano }
	}
	Assurdo.
\end{proof}
\pagebreak
\section{Interi algebrici}
Un passo decisivo della dimostrazione del teorema di Burnside si compie considerando le \proprieta che scaturiscono dal considerare i caratteri come dei particolari \emph{interi algebrici}. 
In questo capitolo daremo le definizioni di base e quelle \proprieta di cui
faremo uso per lo studio dei caratteri e che applicheremo immediatamente nel
\seethm{thmomegadiX}. Per ulteriori approfondimenti si rimanda a \interialgebrici. 
\\

\def\Z{{\mathbb{Z}}}
\def\Q{{\mathbb{Q}}}
\begin{defn}
	Sia $\a\in \C$; diremo che 
	\eal{&\a\T{ \est un \iemph{intero algebrico} }  \= \exists f(x)\in \Z[x]\;\;\T{
	monico: }\;f(\a)=0 }
\end{defn}
\begin{prop}\label{RQZ}
	Sia $R$ l'insieme di tutti gli interi algebrici. Si ha:
	\eal{&R\^\Q=\Z}
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{$(\))$}
	\begin{prova}
		Sia $z\in \Z$. $z$ \est radice del polinomio $x-z$. \Poiche
		$\Z\(\Q$, si ha la tesi.
	\end{prova}
	\step{}{$(\()$}
	\begin{prova}
Sia $\a\in \Q,\;f(x)\in \Z[x],\;f(\a)=0$:
\eal{&\a\in \Q \> \a=\frac{r}{s},\;\;(r,s)=1\NN
f(\a)=0 \= \pton{\frac{r}{s}}^n+
a_{n-1}\pton{\frac{r}{s}}^{n-1}+
\dots + a_0 =0 \=\NN
\=
%\ubrace{\=}{\T{moltiplicando per  }s^n} 
r^n + a_{n-1}r^{n-1}s + 
a_{n-2}r^{n-2}s^2+ \dots +a_0s^n=0
\= r^n=s\mu \=s\div r^n \;\;(1)}
Sia $p$ un primo tale che $p \div s$; dalla $(1)$ segue che $p \div r$.
Per l'\arbitrarieta di p si ha $s\div r$ e dunque, \poiche $(r,s)=1$, si
ottiene $ s=\pm
1$, \cioe $\a=\pm r\in \Z$.
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{defn}
	Sia $S$ un anello tale che $\Z\(S$
	\eal{&S\T{ \est \emph{finitamente generato} come $\Z$-modulo } \definizione{\=}
	\exists Y\( S:\;\;S=\gen Y _{\Z},\;\;|Y|<\8,}
	ovvero, esiste un insieme finito $Y=\pgra{y_1,\dots,y_k}\( S$ tale che
	\eal{&
	\forall s\in S\;\;\exists z_1,\dots,z_k\in \Z:\;\;s=z_1y_1+\dots+z_ky_k}
\end{defn}
\pagebreak
\begin{lem}\label{esisteSanelloinZC}
	Sia $Y=\pgra{\a_1,\dots,\a_t}\( R$, allora
	\eal{&
	 \exists S\T{ anello: }\Z\(S\(\C,\;Y\(S,\;\;S\T{ finitamente
	generato come $\Z$-modulo}
	}
\end{lem}
\begin{proof}
	\eal{&\a_i\in R \> \exists f_i\in \Z[x],\;\exists n_i\in
	\N:\;\;\a_i^{n_i}=f(\a_i) = a_0+a_1\a_i+\dots+a_{n_i-1}\a_i^{n_i-1}
	\> \NN
	\>\a_i^{n_i}\in \gen{Z}_{\Z}\;\;(1)\NN
	\T{dove abbiamo posto } Z= \pgra{1,\a_i,\dots,\a_i^{n_i-1}}\NN
	\a_i^{n_i+1} = \a_if(\a_i) = a_0\a_i+a_1\a_i^2+a_2\a_i^3 + \dots +
	\ubrace{a_{n_i-1}\a_i^{n_i}}{\in \gen{Z}_\Z} \in
	\gen{Z}_\Z\\}
Per induzione si vede facilmente che vale lo stesso per le potenze $\a_i^m$,
con $m\ge n_i$.
	Sia 
	\eal{&
	X=\pgra{\a_1^{m_1}\.\a_2^{m_2}\cdots\a_{t}^{m_t}\;|\;0\le m_i\le
	n_i-1\;\;\forall i=1,\dots,t}\NN
	S=\gen{X}_\Z}
\Poiche $S\(\C$, per dimostrare che $S$ \est un anello, basta vedere che $a,b\in S\> ab\in S$,
e in  particolare che $x,y\in X\> xy\in S$:
\eal{&x,y\in X \> x=\a_1^{m_1}\.\a_2^{m_2}\cdots\a_{t}^{m_t},
\;\;y= \a_1^{m_1'}\.\a_2^{m_2'}\cdots\a_{t}^{m_t'}\>\NN
\> xy =\a_{1}^{m_1+m_1'}\.\a_2^{m_2+m_2'} \cdots \a_{t}^{m_t+m_t'}
}
Se esiste un $i:\;\;m_i+m_i'>n_i$, abbiamo osservato che 
$\a_i^{m_i+m_i'}\in \gen{Z}_\Z\(S$. \Cosi procedendo per ogni $i$, riusciamo
ad abbassare tutti gli esponenti, ottenendo una combinazione lineare
intera degli elementi di $X$.
Quindi $xy \in S$.
\end{proof}
\begin{thm}\label{SinR}
	Sia $S$ un  anello finitamente generato come $\Z$ modulo, tale che
	$\Z\(S\( \C$. Allora,
	\eal{&S\( R}
\end{thm}
\begin{proof}
\eal{&S\T{ f.g. come $\Z$ modulo } \> \exists
Y\(S,\;|Y|<\8:\;\;S=\gen{Y}_\Z\NN
Y=\pgra{x_1,\dots,x_n}
}
Sia $s\in S$. Mostriamo che $s\in R$.
\eal{&S\T{ anello } \> \forall i=1,\dots,n \;\;\;sx_i \in
S=\gen{Y}_{\Z}\>\NN
\>\forall
i=1,\dots,n\;\; \exists a_{i1},\dots,a_{in}\in
\Z:\;\;sx_i= \sum_{j=1}^na_{ij}x_j\;\;\forall i=1,\dots,n\;\;\;\;(1)}
\eal{&\T{Sia  }A \in \mat(n,\Z):\;\;A_{ij}=a_{ij}\NN
\T{Sia } X = \begin{pmatrix}
	x_1\\
	\vdots\\
	x_n
\end{pmatrix};\T{ per la definizione di $Y$, gli elementi $x_i$ non
sono tutti nulli.}\NN
\T{Dunque: }
(1) \= sX=AX  \>  X\T{ autovettore di }A,\;\;s\T{ autovalore };
}

$s$ \est  quindi radice
del polinomio caratteristico di $A$, che \est un polinomio monico di $\Z[x]$.  Possiamo \cosi concludere che $s\in R$.
\end{proof}
\begin{cor}
	\label{Ranello}
	L'insieme
	$R$ degli interi algebrici \est un anello.
\end{cor}
\begin{proof}
	Siano $\a,\b\in R$ e poniamo $Y=\pgra{\a,\b}$. \Poiche 
	$Y\(R$, dal \seelem{esisteSanelloinZC} segue che 
	esiste $S$ anello f.g. come $\Z$-modulo, t.c. $\Z\(S\(\C,\;\;Y\( S$.
	Il \seethm{SinR} implica che $Y\( S \( R$ e dunque $ 
	\a-\b,\;\;\a\b\in S\( R$.
\end{proof}

\def\exp#1{{\oname{exp}(#1)}}
\begin{defn}
	Sia $G$ un gruppo finito, poniamo
	\eal{&\exp G \definizione{=} \mcm\pton{o(g)\;|\;g\in G}
	}
\end{defn}

\begin{prop}\label{XinQ}
	Sia $m=\exp G$, si ha
	\eal{& \X\in \ch G \> 	\X(g)\in R\^\Q_{m} }
dove $\Q_m$ \est la seguente \emph{estensione} di $\Q$:
	\eal{&\Q_m=\Q(\xi),\;\;\gen{\xi}=U_{m}
	}
	Nota\footnote{In realta' vale un risultato molto piu' generale: il
	teorema di Brauer afferma che esiste un rappresentazione $\Xr$ di $\X$
	del tipo $\Xr:G\longrightarrow \GL(n,\Q_m)$
	%%TODO: aggiungi citazione thm 10.3 pg 161 
	}
\end{prop}
\begin{proof}
	\eal{&\X(g) \ubrace{=}{\seeprop{Xgsommadixi}}  \xi_1+\dots+\xi_f\NN
	\xi_i\in U_{o(g)} \= \xi_i^{o(g)}=1  \> \xi_i\in R  \ubrace{\>}{R\T{
	anello }} \X(g)\in R \NN
	}
	D'altronde, per definizione di $m$,
	\eal{&
	o(g)\div m \> U_{o(g)}\( U_m=\gen{\xi} \> \xi_i = \xi^{j}\T{ per 
	qualche }j \> \xi_i	\in \Q(\xi)
	\> \X(g)\in \Q(\xi)
	}
\end{proof}
\def\K{{\hat{K}}}
\pagebreak
\begin{prop}\label{KiKj}
	Sia $\cl(G) = \pgra{K_1,\dots,K_k}$, allora

	\eal{&\sh{K_i}\sh{K_j}=\sum_{r=1}^ka_{ijr}\sh{K_r}\in Z(\CG)}
	 dove $ a_{ijr}=
|\pgra{(x_i,x_j)\;|\;x_ix_j=x_r,\;\;x_i\in K_i,\;x_j\in K_j }|$
con $x_r\in K_r$ fissato. In particolare i coefficienti $a_{ijr}\in
\mathbb{N}$
\end{prop}
\begin{proof}
	Per il \seethm{basediZFG},
	$B=\pgra{\sh{K_1},\dots,\sh{K_k}}$  \est
	un base di $Z(\CG)$. 
	Posto $K_{r}=\pgra{g_{r1},\dots,g_{rt_r}}$, si ha:\\
	\eal{&\sh{K_i}\sh{K_j} \in Z(\CG)\NN
	\sh{K_i}\sh{K_j}    \ubrace{=}{B\T{ base}} 
	\sum_{r=1}^ka_{ijr}\sh{K_r}  \ubrace{=}{\T{def di }\sh{K_r}} 
	\sum_{r=1}^ka_{ijr}\sum_{h=1}^{t_r} g_{rh} 
	= \sum_{r=1}^k\sum_{h=1}^{t_r}a_{ijr}g_{rh} \;\;(1)\NN
	K_1,\dots,K_k\T{ classi di coniugio } \>
	\pgra{g_{rh}\;|\;r,h}=G,\;\;g_{rh} \neq g_{r'h'} \T{ per }
	(r,h) \neq (r',h')\;\;(2)\\}
$\T{Posto }a_{g_{rh}}=a_{ijr}, \T{ per la $(1)$ e la $(2)$ si ha:}$
\eal{&   \sh{K_i}\sh{K_j}   = \sum_{g\in G }a_gg\;\;(1.1)}
$	\T{Inoltre, }$
\eal{&
a_{ijr}  = a_{g_{rh}} \;\;\forall h=1,\dots,t_r \= a_{ijr} =
a_{x_{r}}\;\;\forall x_r\in K_r\;\;(1.2)
}
	D'altra parte, il prodotto $ \sh{K_i}\sh{K_j}  $ si puo' scrivere
	come:
	\eal{&
	 \sh{K_i}\sh{K_j}  =
	 \sum_{h=1}^{t_i} \sum_{s=1}^{t_j} g_{ih}g_{js}}
$  \T{Sia } g_{ihjs}=g_{ih}g_{js}\in G$; allora:
\eal{&
	   \sh{K_i}\sh{K_j}  =   \sum_{h=1}^{t_i} \sum_{s=1}^{t_j}  g_{ihjs} 
	   = \sum_{g\in G}b_{g}g\;\;(3)}
$\T{dove } b_{g}=|\pgra{(h,s)\;|\;g_{ihjs}  = g }|$.\\
Confrontando la $(1.1)$ e la $(3)$, per l'indipendenza lineare di $G$, si ha
\eal{&a_g = b_g \;\;(4)\NN
a_{ijr}  \ubrace{=}{(1.2)}  a_{x_r}   \ubrace{=}{(4)}  b_{x_r}\;\;\forall x_r\in K_r
\NN
b_{x_r}  = |\pgra{(h,s)\;|\;g_{ihjs}  = x_r }|=|\pgra{(h,s)\;|\;g_{ih}g_{js}  =
x_r }|
=\NN
\invisible{b_{x_r}  }= |\pgra{(x_i,x_j)\;|\;x_ix_j=x_r,\;\;x_i\in K_i,\;x_j\in K_j
}|\NN
\qq \> a_{ijr}  =
|\pgra{(x_i,x_j)\;|\;x_ix_j=x_r,\;\;x_i\in K_i,\;x_j\in K_j }|
}
\end{proof}
\def\w{{\omega}}
\begin{prop}\label{omegadiX}
	Sia $\X\in \Irr(G)$, $K\in \cl(G)$ e $\Xr,\Yr$ due rappresentazioni di
	$G$ che inducono $\X$. Allora, si ha:
	\eal{&1.\;\;\Xr(\sh{K})= \w_{\Xr}(\sh K)I,\;\;\T{ con }\w_{\Xr}(\sh
	K)\in \C\NN
	2.\;\;\w_{\X}(\sh K)\definizione{=} \w_{\Xr}(\sh K) = \w_{\Yr}(\sh K)
	= \frac{|K|}{\X(1)}\X(x_k),\;\;\forall x_k\in K\NN
	3.\;\;\w_{\X}(\sh K) = \frac{\X(\sh K)}{\X(1)}
	}
\end{prop}
\def\w{{\omega}}
\begin{proof}
	\nostep{}{$1.$}
	\begin{prova}
		\eal{&
		\sh K \in \pgra{\sh K_1,\dots, \sh K_k} \ubrace { \( }{
		\seethm{basediZFG}} Z(\CG) \> x\sh K =\sh K x, \;\;\forall x\in
		\CG \>\NN
		\> \Xr(g\sh K)= \Xr(\sh K g) \;\;\forall g\in G
		\=
		\Xr(\sh K)\Xr(g) =
		\Xr(g) \Xr(\sh K) \;\;\forall g\in G\>\NN
		\ubrace{\>}{\seeprop{MXreqXrM}} \Xr(\sh K)=\lambda I}
		Ponendo $\w_{\Xr}(\sh K)=\lambda$ si ha la tesi.
	\end{prova}
	\nostep{}{\qq\\$2.$ Si hanno le seguenti catene di uguaglianze:}
	\begin{prova}
		\eal{&\X(\sh K ) = \X\pton{\sum_{x_k\in K}x_k}
		\ubrace{=}{\X\T{ \est additiva}} 
		\sum_{x_k\in K}\X(x_k) \ubrace{=}{\X\T{ funzione di classe}} 
		 \X(x_k)|K|\;\;(1)\NN
		 \X(\sh K)=\Tr\Xr(\sh K)= \Tr( \w_{\Xr}(\sh K) I)
		 = \w_{\Xr}(\sh K) \Tr I  = \w_{\Xr}(\sh K)  \X(1)\;\;(2)\NN
		 (1),(2) \> \w_{\Xr}(\sh K)  =  \frac{\X(x_k)}{\X(1)}|K|
		}
		Ripetendo lo stesso ragionamento con $\Yr$, si perviene allo
		stesso risultato. Quindi
		\eal{&\w_{\Xr}(\sh K) = \w_{\Yr}(\sh K)
		}
		ovvero, $\w_{\X}(\sh K)$ \est indipendente dalla scelta della
		rappresentazione.
	\end{prova}
	\nostep{}{$3.$}
	\begin{prova}
	Basta rileggere la $(2)$.	
	\end{prova}
\end{proof}
\pagebreak
\begin{thm}\label{thmomegadiX}
Dato $\X\in \Irr(G)$, si ha
	\eal{&
	1.\;\;\w_{\X}:Z(\CG)\longrightarrow \C\T{ definito da:
	}\NN
	\qq \sh K \mapsto \w_\X(\sh K)\qq \forall K\in  \cl(G)\NN
	\qq \sum_{K\in \cl(G)} a_{K}\sh K \mapsto \sum_{K\in \cl(G)} a_{K}\w_\X(\sh K)\NN
	\T{\est un omomorfismo di algebre}\NN
	2.\;\;\w_\X(\sh K)\in R,\;\;\forall K\in \cl(G)
	}
\end{thm}
\begin{proof}
	\nostep{}{$1.$}
	\begin{prova}
		Sia $x\in Z(\CG)$; per il \seethm{basediZFG} abbiamo
		\eal{&x=\sumik a_K\sh K \NN
		\Xr(x) = \sumik a_K\Xr(\sh K) 
		\ubrace{=}{\seeprop{omegadiX}} 
		\sumik a_K \w_{\Xr}(\sh K)I  = \NN
		=
		\pton{\sumik a_K \w_{\Xr}(\sh K)}I  
		\definizione{=} 
		\w_{\Xr}\pton{\sumik a_K\sh K}I = \w_{\Xr}(x)I}
	In definitiva, $\Xr(x)= \w_{\Xr}(x)I$ per ogni $x\in  Z(\CG)$ e
	dunque, \poiche 
$\Xr:\CG\longrightarrow \mat(n,\C)$ e' un omomorfismo di algebre, 
anche $\w_{\Xr}(x)$ e' un  omomorfismo di algebre.
	\end{prova}
	\nostep{}{$2.$}
	\begin{prova}
Sia $S$ l'insieme \cosi definito:
\eal{&S=\gen{\pgra{\w_{\X}(\sh K)\;|\;K\in \cl(G)}}_{\Z}
}
{Dimostriamo che $S$ \est un anello finitamente generato come $\Z$ modulo e tale che
$\Z\(S \( \C$. Per definizione $S$ \est finitamente generato come $\Z$ modulo.
	Verifichiamo le altre affermazioni:
}
	\step{}{$\Z\(S$:}
	\begin{prova}
		\eal{&\pgra{1} \in \cl(G) 
		\> \sh {\pgra{1}} = 1 \NN
		\w_\X(1) = \w_\X(\sh {\pgra{1}})  \ubrace{=}{\seeprop{omegadiX} }
		\frac{\X(\sh{ \pgra{1}})}{\X(1)}=\frac{\X(1)}{\X(1)}=1\NN
		\qq \> 1 \in S  \ubrace{\>}{S\T{ f.g. come $\Z$-mod}}  \Z \( S
		}
	\end{prova}
	\step{}{$(S,+)$ \est un gruppo abeliano:}
	\begin{prova}
		Segue direttamente dalla definizione.
	\end{prova}
	\pagebreak
	\step{}{$S$ \est chiuso rispetto al prodotto:}
	\begin{prova}
		\eal{&a,b\in S \> a=\sum_{i} a_i \w_\X(\sh {K}),\;\;b=
		\sum_{i} b_i\w_\X(\sh {K'}),\;\;a_i,b_i\in \Z\;\forall i\NN
		ab = 
		\sum_{i,j}a_ib_j \w_\X(\sh {K}) \w_\X(\sh {K'}) 
		\ubrace{=}{\w_\X\T{ omo.}} \sum_{i,j}a_ib_j \w_\X(\sh {K}\sh
		{K'}) 
		\ubrace{=}{\T{Prop. }\seeT{KiKj}} 
		\sum_{i,j}a_ib_j \w_\X\pton{\sum_{h=1}^k c_h \sh {K_h}} = \NN
\qq 		\T{ dove } c_h\in \mathbb{N}\( \Z \;\;\forall
		h=1,\dots,k,\;\;\cl(G)=\pgra{K_1,\dots,K_h}\NN
		=  \sum_{i,j}\sum_{h=1}^k \ubrace{a_ib_jc_h}{\in \Z}
		\w_\X\pton{\sh {K_h}}  \in S
		}
	\end{prova}
	\step{}{}
\begin{prova}
	Dal fatto che $S$ \est un anello e uno $\Z$-modulo f.g.,  e per il \seethm{SinR}, si ha
\eal{&\w_\X(\sh K) \in S\( R
	}
\end{prova}
	\end{prova}
\end{proof}
\pagebreak
\section{Teorema di Burnside}
In questo ultimo capitolo presenteremo la dimostrazione classica del teorema
di Burnside, utilizzando tutti gli strumenti introdotti nei capitoli
precedenti. \\Iniziamo con il seguente Lemma:

\begin{lem}\label{lemmadiburnside}
	Sia $\X\in \Irr(G)$, $x\in G$ e $K=\cl(x)$. Si ha
	\eal{&(|K|,\X(1))=1 \> \X(x)=0  \|  x \in Z(\X)}
\end{lem}
\def\G{{\mathcal{G}}}
\begin{proof}
	\def\s{{\sigma}}
	Sia $m=o(x)$, $e=\exp G$, 
	\eal{&\X(x)  \ubrace{=}{\seeprop{Xgsommadixi}} 
	\xi^{a_1}+\dots+\xi^{a_n}\NN
	\T{ dove } U_{m}=\gen{\xi}, \;\;n=\X(1)}
Per la \seeprop{XinQ} si ha: $\X(x)\in \Q_e\^R$ con
$e=\exp G$.\\
	Sia $ \w\in \C$ tale che $U_e=\gen{\w}$, quindi  $\xi=\w^{j}$, per
	qualche $j$.
	Supponiamo che $x\notin Z(\X)$ e dimostriamo che $\X(x)=0$.\\
	\eal{&x\notin Z(\X)
	\ubrace{\>}{\seethm{thmcentrokerndichi},\seeprop{Xgsommadixi}}
	|\X(x)| < \X(1)=n\;\;}
	Ne segue:
	\eal{&
	\frac{|\X(x)|}{\X(1)} <  1\;\;(1)
	}
	Sia $\G=\G(\Q_e, \Q)$ il gruppo di Galois relativo all'estensione di
	campi $\Q\(\Q_e=\Q(\w)$.\\
	L'estensione $Q\(\Q(\w)$ \est ciclotomica, ed \est quindi un'estensione
	di Galois. Per il teorema fondamentale della teoria di Galois, segue
	che\\
	\eal{&\Q_e^{\G}=\Q\;}
dove $ \Q_e^{\G} = \pgra{q\in \Q_e\;|\;\s(q)=q\;\;\forall \s \in
	\G
	}$.\\
	Sia $\s\in \G$. \Poiche $\s$ \est un automorfismo di $\Q_e$, possiamo
	affermare le seguenti proposizioni:
	\eal{&\bullet\;\;\a^k=1 \> \s(\a)^k=1\;\;\NN
	\bullet\;\;\a\in R \> \s(\a)\in R\T{, infatti: }\;\;\NN
	\qq \a \in R \> \exists f\in \Z[x]\T{ monico t.c. }f(\a)=0\NN
	\qq f(\s(\a))= \s(f(\a))= 0 \> \s(\a)\in R
	}
	Sfruttiamo adesso l'ipotesi $(|K|,\X(1))=1$:
	\eal{&(|K|,\X(1))=1  \ubrace{\>}{\T{identita' di Bezout}} 
	\exists a,b\in \Z:\;\;a|K|+b\X(1) =1   
	\=\NN
	\=
	  a|K|\frac{\X(x)}{\X(1)}
	  +b\X(x) = \frac{\X(x)}{\X(1)}}
	 Poiche' $x\in K$ e $\X\in \Irr(G)$, dalla \seeprop{omegadiX} segue
	 che  
	 \eal{&|K|\frac{\X(x)}{\X(1)} 
	 = \w_\X(\sh K) \in  R}
	 Dunque l'uguaglianza $(2)$ equivale a 
	 \eal{ a  \w_\X(\sh K) + b\X(x) = \frac{\X(x)}{\X(1)}  }
	 Inoltre:
\eal{&\w_\X(\sh K) \in R,\;\X(x)\in R \> \frac{\X(x)}{\X(1)}  \in R \;\;(3)}
Sia $\a=\frac{\X(x)}{\X(1)}$. Osserviamo che
\eal{&(1) \> |\a| <  1\;\;\NN
(3)\> \a\in R  \>  \s(\a)\in R, \;\;\forall \s\in \G\;\;(5)\NN
\s(\a) = \frac{\s(\X(x))}{\s(\X(1))}  \ubrace{=}{\X(1)=n\in \Q} 
\frac{\s(\X(x))}{\X(1)}.}
Inoltre, ricordando che 
	$U_{m}=\gen{\xi}$ e che $
\X(x)=
	\xi^{a_1}+\dots+\xi^{a_n}$ si ottiene:
\eal{&
\s(\X(x))= \s(\xi)^{a_1}+\dots+\s(\xi)^{a_n}  = 
\zeta^{a_1} + \dots + \zeta ^{a_n},\T{ con } \gen{\zeta}= U_{m}\NN
|\s(\X(x))| = |\zeta^{a_1} + \dots + \zeta ^{a_n}|
\le  |\zeta^{a_1} | + \dots + | \zeta ^{a_n}| 
= 1+\dots+1 = n\NN
|\s(\a)| = \frac{|\X(x)|}{|\X(1)|}\le \frac{n}{n}=1\;\;(6)
}
Consideriamo la norma di $\a$ secondo $\G$, ovvero sia 
\eal{&\b= \prod_{\s\in \G} \s(\a);}
abbiamo
\eal{&\s=\id \> |\s(\a)| = |\a| \ubrace{<}{(4)} 1 \;\NN
|\b| = \prod_{\s\in \G} |\s(\a)|  
=|\a|\prod_{\s\in \G:\;\s \neq \id}|\s(\a)| \ubrace{<}{(6)} 1\;\;(7)
}
Infine,
\eal{&\s(\b) \ubrace{=}{\G\T{ \est un gruppo}}  \b,\;\;\;\;\forall \s \in \G\>\b\in
\Q_e^{\G}=\Q \NN
(5)  \ubrace{\>}{R\T{ \est un anello } }  \b\in R
 \> \b\in R\^\Q  \ubrace{=}{\T{Prop }\seeT{RQZ} }  \Z  \ubrace{\>}{(7)}  \b=0
\>\NN
\> \exists \s\in \G:\;\;\s(\a)=0  \ubrace{\=}{\s\T{ \est biettiva }} \a=\inv
\s(0)=0\NN
\a = 0 \= \frac{\X(x)}{\X(1)} =0 \= \X(x)=0
}
\end{proof}
\pagebreak
L'enunciato del seguente  teorema coinvolge solamente la teoria dei gruppi,
\mbox{eppure}, la sua dimostrazione fa esclusivamente ricorso a concetti provenienti dalla teoria dei caratteri.
\begin{thm}\label{thmclassepotenzaprimoburnside}
	Sia $x\in G$, allora
	\eal{&
	\sist{x \neq 1\\
	|\cl(x)|=p^a,\;\T{ $p$ primo }\\
	a>0} \> G\T{ non \est semplice }
	}
\end{thm}
\begin{proof}
	\def\r{{\rho}}
	Supponiamo per assurdo che $G$ sia semplice. Sia $\X\in
	\Irr(G)\-\pgra{1_G}$. Si ha
	\eal{&\sist{
	|\cl(x)|=p^a > 1  \> G\T{ non \est abeliano } \\
	G\T{ semplice } \\
	\X\in  \Irr(G)\-\pgra{1_G}
	}  \ubrace{\>}{\seeprop{centrodichibanale}} 
	Z(\X)=\pgra{1}\;\;}
	Inoltre si ha:
	\eal{&
	\r_G(x)  \ubrace{=}{\seeprop{rhog}} 
	\sum_{\X\in \Irr(G)}\X(1)\X(x)  \ubrace{=}{x \neq 1} 0\;\;(1)\NN
	\r_G(x) = \sum_{\X\in \Irr(G)}\X(1)\X(x) = \NN
	=
	1+\sum_{\X\in\Irr(G)\-\pgra{1_G}}\X(1)\X(x)=\NN
	= 1+\ubrace{\sum_{\X\in\Irr(G)\-\pgra{1_G},\;\;p/
	\X(1)}\X(1)\X(x)}{A}
	+ \ubrace{\sum_{\X\in\Irr(G)\-\pgra{1_G},\;\;p\T{ non divide }
	\X(1)}\X(1)\X(x)}{B}\;\;(2)
	}
	Sia ora $K=\cl(x)$; allora:
	\eal{&|K|= p^a,\;p\ndiv \X(1) \> (|K|,\X(1) ) =1 \> \X(x) =0 \| x\in
	\Z(\X)=\pgra{1}   \=\NN
	\ubrace{\=}{x \neq 1}  \X(x)=0 \;\;\;\forall \X\in
	\Irr(G)\-\pgra{1_G}:\;\;p\ndiv \X(1) \> B=0}
	Infine da $
	B=0,\;(2),\;(1)$ segue che 
	\eal{&
	0=\r_G(x)=1+\sum_{\X\in\Irr(G)\-\pgra{1_G},\;\;p/
        \X(1)}\X(1)\X(x)\=\NN
	\= 1+p\ubrace{\sum_{\X\in\Irr(G)\-\pgra{1_G},\;\;p/
	\X(1)}\ubrace{\frac{\X(1)}{p}}{\in \Z}\ubrace{\X(x)}{\in
	R}}{=\gamma\in R} =0
	\= \gamma=-\frac{1}{p}\in R\^ \Q  \ubrace{=}{\T{Prop }\seeT{RQZ}} \Z
	\> p=\pm 1 
	}
	Assurdo, in quanto $p$ \est un primo.
\end{proof}
\pagebreak
\begin{thm}\ilabel{Burnside!teorem di}(Burnside)
	Sia $G$ un gruppo finito
	\label{thmdiburnside}
	\eal{&|G|=p^aq^b,\;\;p,q\T{ primi },\;\;a,b>0 \> G\T{ non \est semplice }}
\end{thm}
\begin{proof}
	Distinguiamo due casi:
	\case{$p=q$}
	\begin{prova}
		\eal{&|G|=p^{a+b},\;a,b>0 \> G\T{ $p$-gruppo },\;|G| > 1 \>\NN
		\>  \exists \T{ una catena di sottogruppi normali non banali } 
		\> G\T{ non \est semplice }}
	\end{prova}
	\case{$p \neq q$}
	\begin{prova}
	Sia $P$ un $p$ sottogruppo di Sylow di $G$. Si ha
	\eal{&\sist{|P|=p^a,\;\;p\ndiv q^b\\
	\frac{|G |}{|P|}=q^b}\;\;(1)\NN
	b>0  \ubrace{\>}{(1)} P<G }
	Inoltre,\\
	\eal{&P\T{ $p$-gruppo } \> Z(P) \neq 1 \> \exists x\in
	Z(P)\-\pgra{1}\\}
	Se non esiste un $x\in Z(P)$ tale che $|\cl_G(x)|> 1$, allora
	\eal{&x\in Z(G) \= |\cl_G(x)|=1\;\;(*)\NN
	\forall x\in Z(P)\;\;|\cl_G(x)|=1  \> Z(P)\(Z(G)\NN
	1 \neq Z(P) \( Z(G) \tleq G 
	\> Z(P) \tleq G\;\;(**)\NN
	Z(P) = G \> Z(G)=G\> G\T{ abeliano } \> P\tleq G  \ubrace{\>}{1 \neq P \neq G}
	G\T{ non semplice }\NN
	1 \neq Z(P)  \neq  G  \ubrace{\>}{(**)}  G\T{ non semplice}
	}
	Possiamo quindi supporre che esista un $x\in Z(P)$ tale che $|\cl_G(x)|> 1$.
	Sia $C_G(x)$ il centralizzante di $x$ in $G$, allora
	\eal{&
	P \ubrace{\le  }{x\in Z(P)} C_G(x) \le  G  \>
	\frac{|C(x)|}{|P|}
	\pqua{{G}:{C(x)}} = \frac{|G|}{|P|}
	\>     \pqua{{G}:{C(x)}} \div  \frac{|G|}{|P|}  = q^b\;\;(2)\NN
	|\cl(x)| = \pqua{{G}:{C(x)}}=\frac{|G|}{|C(x)|}  \ubrace{=}{(2)}  q^c,\;\;c\le
	b\;\;(3)\NN
	|\cl(x)|  = q^c \ubrace{>}{\T{per ipotesi}} 1 ,\;\;x \neq 1
	\ubrace{\>}{\seethm{thmclassepotenzaprimoburnside}} G\T{ non \est semplice
	} 
	}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{cor}
	Sia $G$ un gruppo finito
	\eal{&|G|=p^aq^b,\;\;p,q\T{ primi } \> G\T{ \est risolubile }}
\end{cor}
\begin{proof}
Procediamo per induzione forte su $n=|G|$.\\
I casi in cui $a=0$ oppure $b=0$ sono immediati \perche\\
\eal{&G\T{ $p$-gruppo } \> G\T{ \est risolubile }\\}
Supponiamo quindi $a,b>0$.
Sia $1\le N< G$ un sottogruppo normale di $G$. Se per assurdo $N=1$,
$G$ sarebbe semplice. Questo \est \pero in contrasto con il 
\seethm{thmdiburnside}. Quindi,
\eal{&N>1 \> \pass{\frac{G}{N}} < n,\;\;\pass{\frac{G}{N}} =p^{a'}q^{b'}  \ubrace{\>}{\T{ipotesi induttiva}} 
\frac{G}{N}\T{ \est risolubile }\NN
N< G \> |N|=p^{a''}q^{b''} < n  \ubrace{\>}{\T{ipotesi induttiva} }
N\T{ \est risolubile }\NN
\sist{N\tleq G\\
\frac{G}{N}\T{ \est risolubile }\\
N\T{ \est risolubile }}  \> G\T{ risolubile }
}
\end{proof}


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%%TODO: fai un grep dei TODO