\section{Preliminari}
\begin{defn}\label{defanello}.
Sia $A$ un anello (o gruppo). Se $B$ e' un sottoanello (o sottogruppo) di $A$,
scriveremo $B\le A$.\\
\begin{enumerate}
	\item 
Supporremo che in ogni anello unitario, $0_A \neq 1_A$, ovvero che lo zero dell'anello sia diverso dall'elemento unita', cioe'
\eal{&\pgra{0}\subset \pgra{0,1}\( A}
Quindi ogni anello unitario ha almeno $2$ elementi.\\
\item Ogni anello sara' ritenuto implicitamente unitario.
\end{enumerate}
\end{defn}
\begin{rem}
	Tutti gli spazi vettoriali che considereremo saranno di dimensione
	finita.
\end{rem}

\section{Algebre}
\def\l{{\lambda}}
\begin{defn}\label{defalgebra}
	Sia $A$ un $F$-spazio vettoriale finitamente generato e un anello\footnote{usiamo
	la stessa operazione di somma sia nello spazio che nell'anello. NOTA:
	l'anello e' unitario}.
	\eal{&A\T{ e' un'algebra} \definizione{\=} 
	\l (ab)  = (\l a)b = a(\l b) \;\;\forall a,b\in A,\;\forall \l \in F
	} 
\end{defn}
\begin{defn}
Sia $B\( A$, 
\eal{&B \T{ e' una sottoalgebra di } A \definizione{\= }
B \sist{\T{ e' un sottospazio vettoriale di A }\\
\T{ e' un sottoanello di A}\\
1_A\in B}
}
Se $B$ e' una sottoalgebra di $A$ utilizzeremo la seguente notazione:
\eal{&B \SA A
}
\end{defn}
\begin{rem}
	Una sottoalgebra e' un'algebra
\end{rem}
\begin{prop}
	\eal{&B \SA A \= \sist{x-y \in B\\
	\l x \in B\\
	xy\in B\\
	1_A\in B} \;\;\forall x,y\in B,\;\;\forall \l\in F
	}
\end{prop}
\begin{exemp}
	I seguenti insiemi sono delle algebre:
	\begin{enumerate}
		\item $A=\mat(n, F)$
		\item $A=\Hom(V,V)_F$, con $V$ spazio vett. finitamente
			generato.
	\end{enumerate}
\end{exemp}
\begin{defn}
Definiamo il centro dell'algebra $A$:
\eal{&Z(A) = \pgra{ a \in A \;|\; ab=ba\;\;\forall b\in A}
}
\end{defn}
\begin{rem}
	$Z(A) \SA A$
\end{rem}
\begin{prop}\label{zentrobase}
	Sia $e_1,\dots,e_n$ una base di $A$, allora
	\eal{&Z(A)= \pgra{a\in A\;|\;ae_i=e_ia\;\;\forall i=1,\dots,n}
	}
\end{prop}
\begin{defn}
	Sia data una mappa $f:A\longrightarrow B$, con $A,B$ algebre.
\eal{&f\T{ e' un omomorfismo di algebre (alg-hom)}
\definizione{\=} \sist{f\T{ e' una applicazione lineare }\\
f\T{ e' un omomorfismo di anelli}\\
f(1_A)=1_B
} \= \sist{f(\lambda x + \mu y) = \lambda f(x) + \mu f(y)\\
f(xy)=f(x)f(y)\\
f(1_A)=1_B
}\;\;\forall x,y\in A\;\;\forall \lambda,\mu\in F
}
\end{defn}
\begin{exemp}
	Sia $A$ una $F$-algebra, allora la funzione
	\eal{&f:F\longrightarrow  A\\
	&\lambda \mapsto \lambda 1_A}
	e' una omomorfismo di algebre iniettivo.
\end{exemp}
\begin{proof}
E' facile vedere che e' $f$ un omomorfismo, verifichiamo solo che 
$f(\lambda \mu ) =f(\lambda)f(\mu)$
\eal{&f(\lambda \mu) = (\lambda \mu) 1_A  \ubrace{=}{\T{assiomi dei vettori}}
\l (\mu 1_A) =\NN
= \l (1_A (\mu 1_A))  \ubrace{=}{\T{assioma algebra}} 
(\lambda 1_A) (\mu 1_A) = f(\lambda)f(\mu)
}
$f$ e' iniettiva, infatti,
\eal{&\ker f =\pgra{\lambda\in F\;|\; \lambda 1_A =0}\\
&\lambda 1_A =0 \= \lambda =0  \|  1_A =0 \\
&\lambda  \neq 0 \> 1_A =0 \T{ assurdo }\\
&\qq \> \ker f = \pgra{0}
}
\end{proof}
\begin{defn}
	Con $I\tleq A$ indichiamo un ideale (bilatero) di $A$. Con $I\tleqD A$
	un ideale destro di $A$.
\end{defn}
\begin{prop}
	Sia $I\tleqD A$ un ideale destro di $A$, allora
	\eal{&I\tleqD A \> I \le  A}
	ovvero, $I$ e' un sottospazio vettoriale di $A$.
\end{prop}
\begin{proof}
	Basta verificare che $\lambda x \in I\;\;\forall x\in I,\;\forall
	\lambda\in F$.
	\eal{&\l x = \l (x1_A)  \ubrace{=}{\T{Assioma algebra} }
	x(\lambda 1_A) \ubrace{\in}{I \T{ e' ideale destro e }x\in I} I}
\end{proof}
\def\d{{\delta}}
\begin{prop}
	\label{propmat}
	Sia $\pgra{e_{ij}\;|\;i,j=1,\dots,n}$ la base canonica di $\mat(n,F)$,
	ovvero $e_{ij}$ e' la matrice formata tutta da zeri, con $1$ nel posto
	$i,j$.\\
	Sia $a\in \mat(n,F)$
	Si ha, 
	\eal{&1.\;\; e_{ij} e_{kl}= \d_{jk} e_{il}\\
	&2.\;\;ae_{kl} = \sum_{i} a_{ik}e_{il}
	= \begin{bmatrix}
	 0	& \ldots & 0 & a_{1k} & 0      & \ldots & 0 \\
	 0	& \ldots & 0 & a_{2k} & 0      & \ldots & 0 \\
	 \vdots\\
	 0	& \ldots & 0 & a_{nk} & 0      & \ldots & 0 
	\end{bmatrix}\\
	&3.\;\;e_{kl}a = \sum_{i} a_{li}e_{ki}
	= \begin{bmatrix}
	 0	   & &\ldots & 0 \\
	 0	   & &\ldots & 0 \\
	 \vdots\\
	 0	   & &\ldots & 0 \\
	 a_{l1} & a_{l2} & \ldots & a_{ln} \\
	 0	   && \ldots & 0 \\
	 \vdots\\
	 0	   & &\ldots & 0 \\
	\end{bmatrix}\\
	&4.\;\;e_{rs}ae_{kl}= a_{sk}e_{rl}
	}
	Intuitivamente, 
	\begin{enumerate}
		\item $ae_{kl}$ e' la matrice con la colonna $k$-esima di $a$
	messa nella colonna $l$ e con tutti gli altri posti nulli
\item
	$e_{kl}a$ e' la matrice con la riga $l$-esima di $a$ posta nella
	riga $k$ e con tutti gli altri posti nulli.
\item $e_{rs}ae_{kl}$ e' la matrice che ha l'elemento $a_{sk}$ nel posto
	$r,l$. Tutti gli altri suoi elementi sono nulli.
	\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{Dim $2.$}
	\begin{prova}
\eal{
&a=\sum_{i,j} a_{ij} e_{ij}\\
&ae_{kl}=\sum_{i,j} a_{ij} e_{ij}e_{kl}  \ubrace{=}{1.}
\sum_{i,j} a_{ij}  \d_{jk} e_{il} = \sum_{i}a_{ik} e_{il}
		}	
	\end{prova}
	\step{}{Dim $4.$}
	\begin{prova}
		\eal{&
		e_{rs}a  \ubrace{=}{3.} = \sum_{i}a_{si}e_{ri}\\
		&e_{rs}a  e_{kl} =
		(e_{rs}a)  e_{kl}=
		\sum_{i}a_{si}e_{ri}e_{kl} 
		\ubrace{=}{1.}  \sum_{i}a_{si}\d_{ik}e_{rl}
		= a_{sk}e_{rl}
		}	
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{prop}
	\label{matpermut}
	Sia $p_{ij}$ la matrice di permutazione che scambia la riga (colonna)
	$i$ con la riga (colonna) $j$. Allora si ha,
	\eal{&1.\;\;p_{ij}=1- e_{jj}-e_{ii} +e_{ij}+e_{ji}\\
	&2.\;\;p_{ij}a\T{ e' la matrice ottenuta scambiando le righe $i,j$ di
	$a$}\\
	&3.\;\;ap_{ij}\T{ e' la matrice ottenuta scambiando le colonne $i,j$
	di $a$}\\
	&4.\;\;p_{ij}e_{jk}=e_{ik}\\
	&5.\;\;e_{ij}p_{jk}=e_{ik}
	}
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{zentromat}
	\eal{&Z(\mat(n,F))= \pgra{\diag(\l,\l,\dots,\l)\;|\;\l\in F}
	}	
\end{prop}
\begin{proof}
	\eal{&Z(A) \ubrace{=}{\see{zentrobase}}  \pgra{a\in
	A\;|\;ae_{ij}=e_{ij}a\;\;\forall i,j=1,\dots,n}\\
	&ae_{ij}=e_{ij}a  \ubrace{\=}{\see{propmat}} 
\begin{bmatrix}
	 0	& \ldots & 0 & a_{1i} & 0      & \ldots & 0 \\
	 0	& \ldots & 0 & a_{2i} & 0      & \ldots & 0 \\
	 \vdots\\
	 0	& \ldots & 0 & \ubrace{a_{ni}}{\T{colonna $j$}} & 0      & \ldots & 0 
	\end{bmatrix}=  \begin{bmatrix}
	 0	   & &\ldots & 0 \\
	 0	   & &\ldots & 0 \\
	 \vdots\\
	 0	   & &\ldots & 0 \\
	 	 a_{j1} & a_{j2} & \ldots & \ubrace{a_{jn} }{\T{riga $i$}}\\
	 0	   && \ldots & 0 \\
	 \vdots\\
	 0	   & &\ldots & 0 \\
	\end{bmatrix}\\
	& \> \sist{a_{jj}= a_{ii}\\
	a_{ki}=0 & k \neq i\\
	a_{jh}=0 & j \neq h
	}
	}
	E poiche' questo vale per ogni $i,j$, si ha la tesi.
\end{proof}
\begin{defn}
	Sia $A$ un anello,
	\eal{&A \T{ e' semplice } \definizione{\=}
	\sist{\forall I\tleq A \;\;I = A  \|  I = 0\\
	A \neq 0
	}
	}
	In altre parole, $A$ e' semplice quando non ha ideali non banali.
\end{defn}
\begin{thm}
	Sia $A=\mat(n,F)$, con $F$ campo, allora,
	\eal{&A\T{ e' un'algebra semplice}}
\end{thm}
\begin{proof}
	Sia $I\tleq A$  e supponiamo che $I \neq 0$. Dimostriamo che $I=A$.\\
	\eal{&I \neq 0 \> \exists a \neq 0\in I \> \exists a_{rs} \neq 0\\
	&e_{sr}a \in I \T{ perche' $a\in I\tleq A$}\\
	&(e_{sr}a)e_{ss} \in I \\
	& I \ni e_{sr}ae_{ss}  \ubrace{=}{\see{propmat}}  a_{rs}e_{ss}\in I\\
&\ubrace{a_{rs}}{\in F} \neq 0  \> \exists \inv {a_{rs}} \in F\\
&\sist{ a_{rs}e_{ss}\in I \\
I \ubrace{\le}{\T{sott. vettoriale}} A\\
\inv {a_{rs}} \in F\T{ e' uno scalare} } 
\> \inv {a_{rs}} (a_{rs}e_{ss} ) \in I \= e_{ss}\in I\\
&e_{ss}\in I\tleq A  \ubrace{\>}{\T{ideale}}  p_{is}e_{ss}p_{sj} \in I
\= e_{ij}\in I
}
e questo $\forall i,j$. 
Quindi 
\eal{&\pgra{e_{ij}\;|\;i,j}\T{ base di }A \( I \> A=I
}
\end{proof}
\begin{rem}
	Anche se non esistono ideali non banali, possono esistere ideali
	destri o sinistri. Ad esempio, 
	\eal{&I=\pgra{\begin{bmatrix}
		\a & \b \\
		0 & 0
	\end{bmatrix}\;|\; \a,\b\in F}}
	e' un ideale destro di $A=\mat(n,F)$
\end{rem}
\subsection{Moduli}
\begin{defn}
	\ilabel{modulo}
	Sia $A$ un $F$-algebra, e $V$ un $F$-spazio vettoriale, allora
\eal{&V\T{ e' un $A$-modulo, secondo l'operazione $\.:V\*A \longrightarrow  V$
}\definizione{\=}\NN
\qq\definizione{\=}
\sist{1.\;\;v1_{A} = v\\
2.\;\;(v+w)a=va+wa\\
3.\;\;(va)b=v(ab)\\
4.\;\;v(a+b) = va+vb\\
5.\;\;(\l v)a= v(\l a)=\l (va)
} \forall \l\in F,\;\forall a,b\in A,\;\;\forall v,w\in V
	}
In pratica, si puo' pensare $A$ come un particolare insieme di scalari per
$V$ (moltiplicati pero' a destra).
\end{defn}
\begin{exemp}
	\begin{enumerate}
		\item $A=\mat(n,F)$, $V=F^n$ e' un $A$-modulo con l'usuale
			operazione di moltiplicazione tra vettore (riga) e
			matrice\footnote{la moltiplicazione e' a destra: $v\.
			a$, con $a\in A$}
		\item $A$ algebra, $V=A$. Questo $A$-modulo si chiama
			l'$A$-\iemph{modulo regolare}, e si indica con $A^\o$
	\end{enumerate}
\end{exemp}
\begin{defn}
	Sia $V$ un $A$-modulo, e $W\le V$,
	\eal{&W \T{e' un sotto $A$-modulo di $V$}
	\definizione{\=} wa\in W\;\;\forall w\in W\;\forall a\in A
	}
	Per indicare che $W$ e' un $A$-sottomodulo di $V$ useremo la seguente
	notazione:
	\eal{&W \leA V}
\end{defn}
\begin{exemp}
	\label{sottomodulisonoideali}
	I sottomoduli di $A^\o$ sono gli ideali destri.
\end{exemp}
\begin{prop}
	\label{quozmod}
	Sia $V$ un $A$-mod e  $W$ un suo sottomodulo,allora
	\eal{&V/ W \T{ e' un $A$-modulo con l'operazione }
	(v+W)a = va+W
	}
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{L'operazione e' ben definita}
	\begin{prova}
\eal{&v+W=v'+W \> v-v' \in W \> (v-v')\in W 
\ubrace{\>}{W\T{ sottomodulo}}  (v-v')a \in W
\> va+W=v'a+W
}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{exemp}
	Dato $V$ $A$-modulo e $v\in V$, 
	\eal{&vA =\pgra{va\;|\;a\in A}\T{ e' un $A$-sottomodulo }} 
	e in generale 
	\eal{&v_1A+\dots+v_sA\T{ e' un $A$-sottomodulo}
	}
\end{exemp}
\def\r{{\rho}}
\begin{exemp}
	Sia $V$ un $A$-mod, allora l'applicazione
	\eal{&\r:A\longrightarrow  \End_F(V)\\
	&a \mapsto \r_a\\
	&\T{dove } \r_a:V\longrightarrow V\\
	&\qq v \mapsto va
	}
	e' una algebra-omomorfismo.
\end{exemp}
%\begin{proof}
%	\step{}{$\r_a\in \End_F(V)$}
%	\begin{prova}
%	\end{prova}
%	\step{}{$\r$ e' un alg-hom}
%	\begin{prova}
%		
%	\end{prova}
%\end{proof}
\begin{defn}
	Sia $V$ un $A$-modulo, 
	\eal{&\ann_A(V)\definizione{=}\pgra{a\in A\;|\;Va=0}}
	$\ann_A(V)$ e' l'\iemph{annullatore} di $V$ in $A$.
\end{defn}
\begin{prop}
	\eal{&\ann_A(V)\tleq A
	}
\end{prop}
\begin{defn}
	\ilabel{modulo!semplice}
	Sia $V$ un $A$-modulo, 
	\eal{&
	V\T{ e' semplice }\definizione{\=} \T{ gli unici sottomoduli di $V$
	sono $0,V$}}
\end{defn}
\begin{thm}
	Sia $A=\mat(n,F)$, $V=F^n$ $A$-mod con l'usuale moltiplicazione tra
	vettori e matrici,  allora
	\eal{&V\T{ e' semplice }}
\end{thm}
\begin{proof}
	Supponiamo per assurdo che $\exists W\T{ sotto $A$-mod}: 
	0<W<V$, allora
	\eal{&\exists v\in V\- W,\;\;\exists w\in W\-\pgra{0}
	}
	Sia $f$ un endomorfismo t.c.
	\eal{&f(w) = v
	}
	e sia $c\in A$ la sua matrice associata (secondo la base canonica), e quindi 
	\footnote{stiamo usando una diversa notazione notazione per le
	matrici: i vettori sono righe, e se $A$ e' la matrice associata ad
	$f$, $v\TR A = f(v)$
	Come matrice associata intenderemo $B=\TR A$, quindi
	$f(v) =w \Leftrightarrow  vB = f(v)$
	}
\eal{&wc = f(w)=v }
ma essendo $W$ un sottomodulo, 
\eal{&wc\in W \> v\in W }
assurdo contro $v\in V\- W$.

\end{proof}
\begin{defn}
	\ilabel{A-omomorfismo}
Siano $V,W$ due $A$-moduli.
\eal{&f:V\longrightarrow W\T{ e' un A-omomorfismo } \definizione{\=}
\sist{1.\;\;f\T{ e' lineare}\\
2.\;\;f(va)=f(v)a\;\;\forall v\in V,\;\forall a\in A
}
}
Se $f$ e' biettiva, diremo che $f$ e' un $A$-isomorfismo e scriveremo:
\eal{&V\simeqA W}
\end{defn}
\begin{prop}
	\label{AomokerIm}
	Sia $f:V\longrightarrow  W$ un $A$-omomorfismo.
	\eal{&\ker f \T{ e' un  sottomodulo di $V$}\\
	& f(V) \T{ e' un sottomodulo  di $W$}
	}
\end{prop}
\begin{exemp}
	Sia $W$ un $A$-sottomodulo di $V$
	I seguenti sono $A$-omomorfismi:
	\begin{enumerate}
		\item $i:W\longrightarrow V$ \T{ inclusione } 
		\item $\pi:V\longrightarrow V/W$ \T{ surriez. naturale }
	\end{enumerate}
	Sia $U$ un $A$-sottomodulo di $V$ e supponiamo $V=U\oplus V$, allora
	\eal{&\pi_U:V\longrightarrow U\\
	&v=u+v \mapsto u }
	e' un $A$-omomorfismo.
\end{exemp}
\begin{prop}\label{stessoannullatore}
	\eal{&V\simeqA W\>\ann_A(V)=\ann_A(W)}
	Ovvero, moduli isomorfi hanno lo stesso annulatore.
\end{prop}
\begin{proof}
\eal{&V\simeqA W \= \exists f:V\longrightarrow W\T{ $A$-isomorfismo}\\
&a\in \ann_A(V)\=Va=0\= f(Va)=0\= f(V)a=0\= Wa=0\=a\in \ann_A(W)
	}
\end{proof}
\begin{prop}
	Siano $V,W$ degli $A$-mod.
	\eal{&\Hom_A(V,W) \definizione{=} \pgra{f:V\longrightarrow W \;|\;
	f\T{ $A$-omo}} \T{ e' uno spazio vettoriale}\\
	&\End_A(V)\definizione{=} \Hom_A(V,V) \ubrace{\SA}{\T{sotto algebra}} \End_F(V)
	}
\end{prop}
\begin{thm} di Schur.
	\label{thmdischur}
	\ilabel{Schur, teorema di}
	Siano $V,W$ degli $A$-mod.
	\eal{&
	\sist{f:V\longrightarrow W\T{ $A$-omo}\\
	V,W\T{ semplici}\\
	\Im f \neq \pgra{0}}  
	\> f\T{ e' un $A$-isomorfismo }
	}
\end{thm}
\begin{proof}
Per la prop \see{AomokerIm}, $\Im f$ e' un $A$-sottomod di $W$, e poiche' $\Im
f \neq 0$, si ha
\eal{& 0 < \Im f \le W, \;\; W \T{ e' semplice } \> \Im f = W \= f\T{
surriettiva}
}
Analogamente:
\eal{&\Im f  \neq  \pgra{0} \> \ker f < V
\> 0\le  \ker f < V  \ubrace{\>}{V\T{ semplice}} \ker f =\pgra{0}\> f\T{
iniettiva}
}
\end{proof}
\begin{cor}
	\label{cordischur}
	Sia $F$ campo algebricamente chiuso, $V$ $A$-modulo semplice, allora
	\eal{&f\in \End_A(V) \=\exists \l\in F:\;\; f=\lambda \id_V
	}
\end{cor}
\begin{proof}
	\step{}{Dim $\<$}
	\begin{prova}
		\eal{&f(va)= \lambda (va)=(\l v)a = f(v)a
		}
	\end{prova}
	\step{}{Dim $\>$}
	\begin{prova}
		Poiche' $F$ e' chiuso, $f$ ammette almeno un autovettore $v\in
		V\-\pgra{0}$ con
autovalore $\l\in F$ (il polinomio caratteristico ammette radici in $F$).
Allora, 
\eal{&f(v)=\l v\\
&\T{Sia } g=f-\l\id_V \\
&f, \lambda \id_V\in \End_A(V) \> g\in \End_A(V)\\
&g(v) = f(v) - \l v = 0 \> v \in \ker g \> \ker g  \neq 0   }
Allora per il teorema \see{thmdischur} deve essere necessariamente $\Im
g=\pgra{0}$
e quindi
\eal{&f= \l \id_V}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{prop}\label{esistesubmodsemplice}
	\eal{&V\T{ $A$-modulo, $V \neq 0$} \> \exists W \leA V\T{ semplice}}
In altre parole, in un $A$ modulo possiamo sempre trovare un sottomodulo
semplice.
\end{prop}
\begin{proof}
	Se $V$ e' semplice, scegliamo $W=V$, altrimenti possiamo trovare un
	$V_1\leA  V$. A questo punto procediamo per induzione su $V_1$.
	L'induzione dovra' arrestarsi perche' $\dim V<\8$.
\end{proof}
\begin{prop}
	\label{sommainfinitamafinita}
	Sia $I$ un insieme di indici qualunque (anche infinito), e sia $V$
	uno spazio vettoriale finitamente generato. Sia $\pgra{U_i}_{i\in I}$
	una famiglia di sottospazi di $V$. Definiamo la seguente somma:
	\eal{&\sum_{i\in I} U_i \definizione{=} \pgra{\sum_{j\in J} u_j\;|\;J\( I,\;\;|J|<\8}
	}
	allora si ha
	\eal{&V=\sum_{i\in I} U_i  \> \exists \pgra{i_1,\dots,i_m}\(I:\;
	V=U_{i_1}+\dots+U_{i_m}
	}
\end{prop}
\begin{proof}
	Poiche' $V=\sum_{i\in I} U_i $, ogni vettore $v\in V$ si potra'
	scrivere come somma finita di elementi di certi $U_i$:
	\eal{&v=\sum_{j\in J} u_j,\;\;u_j\in U_j\;\;\forall j\in J}
	Quindi considerando la base $\pgra{v_1,\dots,v_n}$ di $V$, avremo
	\eal{&v_k = \sum_{j_k\in J_k} u_{j_k}\;\;\forall k=1,\dots,n
	}
	e quindi
	\eal{&\pgra{v_1,\dots,v_n} \( \sum_{k=1,\dots,n,\;\;j_k\in J_k}U_{j_k}
	}
	e poiche' $|J_k|< \8$, abbiamo la tesi.
\end{proof}
\begin{prop}\label{propmassimalessesemplice}
	Sia $W$ un sottomodulo di $V$.\\
	\eal{&W \T{ e' massimale } \= V/ W \T{ e' semplice}}
\end{prop}
\begin{proof}
	Sia $\pi:V\longrightarrow V/W$ la surriezione naturale,
	\BEGINpnecessaria
		\eal{&\ove U < V/W \< \inv \pi(U) \) W \> W \T{ non e'
		massimale } }
	\END
	\BEGINsufficiente
		\eal{&W < W' < V \> \pi(W') < V/W \> V/W \T{ non semplice}
		}
	\END
\end{proof}
\begin{prop}\label{VsemplicesseVisomAI}
	Sia $V$ un $A$-mod.
	\eal{&V\T{ e' semplice } \= V\simeq A/I \T{ con $I\tleqD A$ massimale
	}}
\end{prop}
\begin{proof}
	\BEGINpnecessaria
		\eal{&V\T{ semplice}, v\in V\-\pgra{0} 
		\> vA=V\\
		&f:A\longrightarrow vA,\;a\mapsto va\T{  e' un $A$-omomorfismo
		surriettivo } \> A/ \ker f \simeq vA=V \;\;(1)\\
		&V\T{ semplice } \> A/ \ker f \T{ semplice}
		\ubrace{\>}{\see{propmassimalessesemplice}} \ker f \T{
		massimale }
		}
		Quindi scegliendo $I=\ker f$ si ha la tesi.\\
		Nota: nell'usare la proposizione
		\see{propmassimalessesemplice}, abbiamo implicitamente
		considerato $A$ come modulo, ovvero, $\cc A$, e fatto
		ricorso all'esempio \see{sottomodulisonoideali}.
	\END
	\BEGINsufficiente
		Si procede utilizzando le stesse idee di prima:
	\eal{&I\tleqD A \T{ massimale } \=
	I \le \cc A \T{ massimale }
	\ubrace{\>}{\see{propmassimalessesemplice}} A/I\T{ semplice }
		}
	\END
\end{proof}
\begin{lem}\label{sommainfinitamafinitaModuli}
	Sia $V$ un $A$-mod, $\pgra{U_i}_{i\in I}$ una famiglia di sotto
	$A$-moduli \underline{semplici}, con $I$ insieme di indici qualsiasi, allora
	\eal{&V=\sum_{i\in I} U_i \> V=U_{i_1}\oplus \cdots \oplus
	U_{i_t}
	}
	\begin{rem}
		Nella proposizione \see{sommainfinitamafinita} ottenevamo un
		risultato analogo. Stavolta, pero', richiedendo la semplicita'
		si $U_i$ e la modularita' di $A$ e $U_i$, otteniamo come
		risultato una somma diretta.
	\end{rem}
\end{lem}
\begin{proof}
	 Sia 
	\def\W{{\mathcal{W}}}
	$\W$ l'insieme di tutti i sottomoduli che si possono scrivere come
	somma diretta di alcuni $U_i$:
	\eal{&\W=\pqua{W=U_{j_1}\oplus \dots \oplus U_{j_t}\;|\;j_1,\dots,j_t\in I}}
sia $W$ il massimale di $(\W, \()$, che sicuramente esiste perche' $\dim V<
\8$.
\step{}{Dimostriamo che $W=V$}
\begin{prova}
	Procediamo per assurdo:
	\eal{&W < V = \sum_{i\in I}U_i \> \exists U_i:\; U_i \not\subseteq W \>\\
	&  \ubrace{\>}{U_i\( W \= U_i=U_i\^ W} U_i\^W< U_i\\
	&\sist{ U_i\^W< U_i\\U_i \T{ simple }} \> U_i\^W = 0 \> W+U_i=W\oplus
	U_i \\
	&W \oplus U_i  \ubrace{=}{\T{def. di W}} (U_{i_1}\oplus \dots \oplus
	U_{i_t}) \oplus U_i
	}
e questo e' in contrasto con la massimalita' di $W$.
\end{prova}
\end{proof}
\begin{thm}\label{thmequivalenzedissemplicitadiV}
	Sia $V$ un $A$-modulo, allora le seguenti condizioni sono equivalenti:
	\eal{&1.\;\;\forall U \leA V \;\exists W \leA V:\;\;V=U\oplus W\\
	&  \;\; \T{(E' possibile completare ogni sottomodulo di $V$)}\\
	&2.\;\; V=\sum_{i\in I}U_i,\T{ con }\;\;U_i \T{ $A$-sottomod semplice}\\
	&3.\;\; V=W_1\oplus \dots \oplus W_k,\T{ con }\;\;W_i \T{ $A$-sottomod semplice
	}\forall i=1,\dots,k
	}
\end{thm}
\begin{proof}
	\step{}{Dim. $2.\= 3.$}
	\begin{prova}
		Basta applicare il lemma \see{sommainfinitamafinitaModuli}.
	\end{prova}
	\step{}{$1.\> 2.$}
	\begin{prova}
		Sia
		\eal{&W=\sum_{U\leA V \T{ semplice }}U}
		se $W=V$ abbiamo la tesi. Supponiamo allora $W<V$. 
		Per la $1.$ abbiamo:
		\eal{&\exists U \leA V:\;\;V= U\oplus W\;\;(1)\\
		&W < V,\;\;(1) \> U > 0
		\ubrace{\>}{\see{esistesubmodsemplice}} \exists U_1 \leA U\T{
		semplice }\\
		&\T{Per definizione di $W$: } U_1 \( W \\
		&\qq \> 0 < U_1 \le W\^ U \> W\^U  \neq 0 }
		assurdo contro $W\oplus U$
	\end{prova}
	\step{}{$2. \> 1.$}
	\begin{prova}
		Per Hp: 
		\eal{&V=\sum_{i\in I}U_i,\T{ con }\;\;U_i \T{ $A$-sottomod semplice}
		}
		Fissato un $U\le V$, sia $W$ un massimale di 
		\eal{&\pgra{W\le V \;|\; W\^U=0}}
		Supponiamo per assurdo che $W+U \neq V$, allora
		\eal{&W+U  \neq  \sum_{i\in I}U_i \> 
		\exists U_i:\;U_i\not\subseteq W+U \> U_i\^ W+U < U_i
		\ubrace{\>}{U_i\T{ e' semplice }} U_i\^(W+U)=0\;\;(2)
		}
		\step{pp}{Dimostriamo che $(W+U_i)\^U=0$}
		\begin{prova}
		Sia $u\in (W+U_i)\^U$, ovvero
		\eal{&u=w+u_i,\;\;u\in U,\;w\in W,\;u_i\in U_i\\
		&\ubrace{u-w}{\in U+W}=\ubrace{u_i}{\in U_i}
		\ubrace{\>}{(2)}  u_i=0 \> u=w \in U\^W  \ubrace{=}{\T{per
		def. di $W$}} 0 
		\> u=0 \\
		&\qq \> (W+U_i)\^U =0
		}
		\end{prova}
		Inoltre, $W+U_i > W$, infatti,
		\eal{& W+U_i = W \> U_i \( W \( W+U \T{ assurdo contro }U_i\not\subseteq W+U
		}
		Quindi, 
		\eal{&\sist{W+U_i > W\\
(W+U_i)\^U=0 
} \> \T{ assurdo contro la massimalita' di }W
		}
	\end{prova}
\end{proof}
\subsection{Moduli semisemplici}
\begin{defn}
	\ilabel{modulo!semisemplice}
	Un $V$ $A$-modulo che soddisfa il teorema
	\see{thmequivalenzedissemplicitadiV} si dira' \emph{semisemplice}.
\end{defn}
\begin{prop}\label{sottomoddisempliceestsemplice}
	\eal{&
	\sist{V\T{ semisemplice }\\
	U\leA  V} \>  U\T{ e' semisemplice }}
	In altre parole, i sottomoduli di moduli semisemplici sono a loro volta
	semisemplici.
\end{prop}
\begin{proof}
	Sia $W\le U$,
	\eal{&V\T{ ssemplice }
	\ubrace{\>}{\see{thmequivalenzedissemplicitadiV}} \exists
	V_0:\;\;V=W\oplus V_0 \>\\
	&\>U\^V=U\^W + U\^V_0  \ubrace{=}{W\( U} W+ (U\^V_0) \\
	& U \ubrace{=}{U\( V} U\^V = W+ (U\^V_0) \ubrace{=}{W\^V_0=0} W\oplus (U\^V_0)
	}
\end{proof}
\begin{prop}\label{quozientedisempliceestsemplice}
	\eal{&
	\sist{V\T{ semisemplice }\\
	U\leA  V} \>  V/U\T{ e' semisemplice }}
	In altre parole, i quozienti di moduli semisemplici sono a loro volta
	semisemplici.
\end{prop}
\begin{proof}
	\eal{&V\T{ ssemplice }
	\ubrace{\>}{\see{thmequivalenzedissemplicitadiV}} \exists
	W:\;\;V=W\oplus U \\
	&W\le V,\;\;V\T{ ssemp. }
	\ubrace{\>}{\see{sottomoddisempliceestsemplice}}  W\T{ ssemp.}}
	Considerando la proiezione naturale $\pi_W:V\longrightarrow W$ si ha il seguente
	$A$-isomorfismo:
	\eal{&V/U \simeq W
	}
	e per la semisemplicita' di $W$ si ha la tesi.
\end{proof}
\begin{prop}
	\label{sommadisemisempliciestsemisemplice}
	\eal{&V=\sum_{i\in I}U_i,\T{ con }U_i\T{ semisemplice } \> V\T{
	semisemplice}}
	In altre parole, la somma di moduli semisemplici e' un modulo
	semisemplice.
\end{prop}
\begin{proof}
	Basta usare il punto $2.$ del thm
	\see{thmequivalenzedissemplicitadiV}.
\end{proof}
\begin{thm}\label{ccAsemisempsseogniVssemp}
	Sia $A$ una $F$-algebra, allora
	\eal{&\cc A \T{ e' semisemplice } \= \T{ Ogni }V\;\T{ $A$-mod e'
	semisemplice }
	}
\end{thm}
\begin{proof}
	\BEGINpnecessaria
		Sia $V$ un $A$-mod e $v\in V$.
		L'applicazione
		\eal{&f:A\longrightarrow vA\\
		&a\mapsto va}
		e' un $A$-omomorfismo surriettivo, quindi
		\eal{&\cc A \T{ ssemp. } \> A/ \ker f\T{ ssemp. } \> 
		A/ \ker f\simeq vA \> vA \T{ ssemp. }\\
		&\sist{V=\sum_{v\in V}vA\\
		vA\T{ ssemp. }\;\;\forall v\in V}
		\ubrace{\>}{\see{sommadisemisempliciestsemisemplice}}  V\T{
		ssemp.}}
	\END
	\BEGINsufficiente
		Basta scegliere $V=\cc A$ per avere la tesi.
	\END
\end{proof}
\subsection{Algebre semisemplici}
\begin{defn}
	Sia $A$ una $F$-algebra,
	\eal{&A\T{ e' semisemplice }\definizione{\=} \cc A\T{ e'
	semisemplice }}
\end{defn}
\begin{prop}\label{Assempssesommadiidealiminimali}
	\eal{&A\T{ e' semisemplice } \= A =\sum_{I\tleqD \cc A,\;I\T{ semp.}}I=
	\sum_{I\tleqD A \T{ minimale }} I
	}
\end{prop}
\begin{proof}
	\eal{&A\T{ e' semisemplice } \= \cc A \T{ e' semisemplice }
	\ubrace{\=}{\see{thmequivalenzedissemplicitadiV}}  \cc A= \sum_{W\le \cc
	A,\;W \T{semp.}} W \;\;(1)
	}
	Ricordando dall'esempio \see{sottomodulisonoideali} che i sottomoduli
	di $\cc A$ sono gli ideali destri $A$, si ha
	\eal{&\cc A  \ubrace{=}{(1)} \sum_{I\tleqD A,\;I\T{ semp.}} I
	}
	Infine, 
	\eal{&I \T{ semplice (come $\cc A$ modulo) } \= I\T{ non ha $\cc
	A$-sottomoduli } \= I\T{ non ha ideali destri  } \=\\
	&\qq \= I\T{ e' un ideale
	destro minimale } }
\end{proof}
\begin{prop}\label{AVidealediA}
	\ilabel{A(V)}
	Sia $V$ un $A$-mod. Definiamo $A(V)$ come la somma di tutti gli ideali
	destri di $A$ che sono $A$-isomorfi a $V$ (nota\footnote{o in altre
	parole, la somma dei sottomoduli di $\cc A$, isomorfi a $V$}):
	\eal{&A(V)\definizione{=} \sum_{I\tleqD \cc A:\;I\simeqA V} I }
	Si ha,
	\eal{&V\T{ semplice } \> A(V)\tleq A}
\end{prop}
\begin{proof}
	\def\I{{\mathcal{I}}}
	Sia $\I=\pgra{I\tleqD \cc A:\;I\simeqA V}$.\\

	Poiche' $A(V)$ e' formato da ideali destri di $A$, bastera' dimostrare che
	$A(V)$ e' un ideale sinistro di $A$, ovvero che
	\eal{&aI \( A(V)\;\;\forall a\in A\;\forall I \in \I}
	Fissiamo un $a$ ed $I$.
	L'applicazione 
	\eal{&l_a:A\longrightarrow A\\
	&x\mapsto ax} e' un $A$-omomorfismo.
	Osserviamo che
	\eal{&I\in \I \> I\simeq V, \;\;V\T{ semplice } \> I\T{ semplice}}
	Sia $f={l_a}_{|I}:I\longrightarrow aI$ la restrizione surriettiva di
	$l_a$ ad $I$.\\
	Esistono due possibilita':
	\begin{itemize}
		\item se $\Im f=0$, allora $aI=0 \( A(V)$
		\item se $\Im f \neq 0$, allora
			\eal{&0\le \ker f < I \ubrace{\>}{I \T{ semplice }}
			\ker f =0\\
			&f\T{ surriettiva}\\
			&\qq \> f\T{ e' un $A$-isomorfismo} \> V\simeq I
			\simeq aI  \ubrace{\>}{\T{def. di $A(V)$}} aI\( A(V)
			}
	\end{itemize}
	In ogni caso, $aI\( A(V)$.
\end{proof}
\begin{prop}\label{Asempliceestssemplice}
Sia $A$ una $F$-algebra, si ha
\eal{&A\T{ semplice } \> A\T{ semisemplice }}
\end{prop}
\begin{proof}
	Sia $0 \neq I \leA \cc A$ semplice, che esiste per la prop
	\see{esistesubmodsemplice}, allora
	\eal{&0<A(I)\ubrace{\tleq}{\see{AVidealediA}} A  \ubrace{\>}{A\T{ semplice }} 
	A=A(I) \definizione{=} \sum_{I\leA \cc A\T{ semp.}}I
	}
	e quindi per il teorema \see{thmequivalenzedissemplicitadiV} si ha la
	tesi.
\end{proof}
\begin{lem}\label{isomadunaddendo}
	Sia $V$ un $A$-mod.
	\eal{&\sist{V=\sum_{i\in I}V_i,\;\;\T{ con } V_i\T{ semplice }\;\forall i\in
	I\\
	W\leA V\T{ semplice }} \> \exists i:\;W\simeqA V_i
	}
\end{lem}
\begin{proof}
	Per il teorema \see{thmequivalenzedissemplicitadiV} si ha
	\eal{&V=V_{i_1}\oplus\dots\oplus V_{i_k},\;\;V_{i_j}\T{ semplice}}
	Sia $\pi_{ij}:V\longrightarrow V_{ij}$ la proiezione naturale.
	\eal{&W\T{ semplice } \> W \neq 0 \> \exists w\in W\-\pgra{0} \>
	\pi_{ij}(w) \neq 0 \T{ per qualche }j\;\;(1)\\
	&\T{Sia }f={\pi_{ij}}_{| W}:W\longrightarrow V_{ij}\\
	&\sist{f\T{ e' un $A$-omomorfismo perche' e' una restrizione di un
	$A$-omomorfismo}\\
	(1) \> \Im f \neq 0\\
	W,V_{ij}\T{ semplici}} \ubrace{\>}{\T{Schur }\see{thmdischur}}
	W\simeqA V_{ij}
	}
\end{proof}
\def\f{{\phi}}
\begin{thm}
	di Wedderburn.\\
	\label{thmdiwedderburn}
	\ilabel{Wedderburn!teorema di}
	Sia $A$ una $F$-algebra \underline{semisemplice}, allora
	\begin{enumerate}
		\item \eal{&V\T{ $A$-mod semplice }\= \exists I \tleqD A \T{
			minimale: }V\simeqA I}
			Ovvero, gli $A$-moduli semplici sono isomorfi ad
			$\cc A$-sottomoduli.
		\item $\exists I_1,\dots,I_k \tleqD A\T{ minimali }$ tale che 
			\eal{&I_i \not\simeq I_j \;\;\forall i \neq j\\
			&I\tleqD A \T{ minimale } \> \exists i:\;I\simeqA I_i
			}
			Ovvero, se consideriamo la relazione d'equivalenza
			indotta da $\simeqA$, otteniamo solo $k$ classi di
			$\cc A$-sottomoduli semplici.
		\item $A=A(I_1)\oplus \dots \oplus A(I_k)$
		\item $\ann_A(I_i) = \sum_{j \neq i}A(I_j)$
		\item $A(I_i)\tleq A\T{ e' minimale } \;\;\forall i=1,\dots,k$
		\item \eal{&\f_i:A(I_i)\longrightarrow \End_F(I_i)
			\ubrace{\simeq}{\T{algebra}}
			\mat(m_i,F),\;\;\;m_i=\dim I_i\\
			&\invisible{\f_i:A}x\mapsto r_x:I_i\longrightarrow I_i\\
			&\invisible{\invisible{\f_i:A}x\mapsto r_x:I}u\mapsto ux
			}
			$\f_i$ e' un algebra-omomorfismo iniettivo.\\
			Inoltre, se $F$ e' algebricamente chiuso, $\f_i$ e'
			biettiva e quindi si ha:
			\eal{&A(I_i)\simeq \End_F(I_i)\simeq \mat(m_i,F)}
			Nota: questi sono isomorfismi di algebre. $A(I_i)$ e'
			un algebra la cui unita' e' $e_i$, dove $(e_1,\dots,e_k)\in
			A(I_1)\*\dots\*A(I_k)$ e' quell'unica $n$-upla t.c.
			\eal{&1=e_1+\dots+e_k}
	\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{proof}
	\step{}{Dim. $1.$}
	\begin{prova}
		\eal{&V\T{ semplice }
		\ubrace{\=}{\see{VsemplicesseVisomAI}}
		V\simeqA A/I,\;\;I,\T{ con }I\tleqD A\NN
		A\T{ semisemplice } \= \cc A\T{ semisemplice }
		\ubrace{\>}{\see{thmequivalenzedissemplicitadiV}} 
		\exists J \le \cc A:\;\;\cc A =I\oplus J
		\> \cc A/I \simeqA J\NN
		\sist{V\simeqA {\cc A}/I \simeqA J\\
		V\T{ semplice } } \> J \T{ semplice } \=J \tleqD A \T{
		minimale }
		}
	\end{prova}
	\def\I{{\mathcal{I}}}
	\step{p2}{Dim $2.$}
	\begin{prova}
		\eal{&\cc A \T{ ssemp}
		\ubrace{\>}{\see{thmequivalenzedissemplicitadiV}} 
		\cc A  = J_1\oplus \dots\oplus J_m \T{ con }J_i\T{ semplice in
		}\cc A\;\;(1)\\
		&I\le \cc A\T{ semplice },\;\;(1)
		\ubrace{\>}{\see{isomadunaddendo}} 
		\exists i:\;I \simeq J_i
		}
		Quindi ogni $\cc A$-sottomodulo semplice e' isomorfo a qualche
		$J_i$. Sia allora $\I=\pgra{I_1,\dots,I_k}\(\pgra{J_1,\dots,J_m}$
		l'insieme di addendi non isomorfi tra loro, ovvero, 
ovvero $I_i\not\simeq I_j\;\;\forall i,j:\;1\le i<j\le k$.\\
I vari $\pgra{I_i}$ sono i rappresentanti delle $k$ classi d'equivalenza
indotte dalla relazione $\simeqA$.
	\end{prova}
	\step{}{Dim $3.$}
	\begin{prova}
Dalla \sref{p2} sappiamo che 
\eal{&A= J_1\oplus \dots\oplus J_m \;\;(2)}
Inoltre, ogni $A$-modulo semplice e' isomorfo a qualche $I_j$, con $1\le j\le
k$. In particolare, ogni $J_h$ sara' isomorfo a qualche $I_j$.
Associamo allora gli addendi della $(2)$ in modo opportuno, sfruttando l'associativita' della somma diretta:
\eal{&B_i\definizione{=}\sum_{j=1,\dots,m,\;\;J_j\simeq I_i}J_j\\
&A=B_1\oplus \dots \oplus B_k
}
$B_i$ e' quindi la somma di tutti i $J_j$ isomorfi a $I_i$. Ricordiamo che
$A(I_i)$ e' la somma di tutti i sottomoduli di $\cc A$ isomorfi ad $I_i$.\\
Dimostriamo che $B_i=A(I_i)$.
\step{pbi}{$B_i\( A(I_i)$}
\begin{prova}
	Per definizione di $A(\cdot)$ (\vedi{AVidealediA}).
\end{prova}
\step{}{$A(I_i)\( B_i$}
\begin{prova}
\eal{&\sist{A=B_1\oplus \dots\oplus B_k\\
B_i\ubrace{\le}{\sref{pbi}} A(I_i)\le A}
\> A(I_i)=B_i\oplus \pton{\ubrace{A(I_i)\^ \bigoplus_{
j \neq
i,\;j=1,\dots,k}B_j}{R}}
	}
	Supponiamo per assurdo che $R \neq 0$.
\eal{&R \neq  0 \> \exists K \leA R\T{ semplice } \NN
%\= K \tleqD R\T{ minimale }\\
\sist{K \le R \le A(I_i) = \sum_{I\tleqD \cc A:\;I\simeqA I_i} I  \ubrace{=}{
I_i\T{ semplice} } \sum_{I\tleqD \cc A:\;I\simeqA I_i,\;I\T{ semplice}} I\\
K\T{ semplice }}  \ubrace{\>}{\see{isomadunaddendo}} 
K \simeqA I,\;\;\T{ per qualche addendo }I  \>\NN
\qq \> 
 K \simeq I \simeq
I_i\;\;(3)\NN
\sist{K\le R\le \bigoplus_{j \neq i,\;j=1,\dots,k}B_j =\bigoplus_{j \neq i,\;j=1,\dots,k}
\sum_{i=1,\dots,m,\;\;J_i\simeq I_j}J_i\\
I_j,K\T{ semplici}}
\ubrace{\>}{\see{isomadunaddendo}} 
\exists j \neq i:\;K\simeq I_j \;\;(3.1)\NN
(3),\;(3.1) \> 0 \neq  I_j\simeq K \simeq I_i \> I_j\simeq I_i
}
Assurdo.
\end{prova}
	\end{prova}
	\step{pp4}{Dim. $4.$}
	\begin{prova}
Nel passo precedente abbiamo dimostrato che
\eal{&A=B_1\oplus\dots\oplus B_k,\;\;(4)\NN
\T{ con }
B_i=A(I_i)\ubrace{\tleq}{I_i\T{ semplice, }\see{AVidealediA}} A
}
Quindi
\eal{&B_i,B_j \tleq A\> B_iB_j\( B_i\^B_j\ubrace{=}{B_i,B_j\T{ addendi della
somma diretta }(4) } \NN
\> b_ib_j=0\;\;\forall i \neq j\;\;(5)\\
&1_A\in A  \ubrace{\>}{(4)} \exists !(e_1,\dots,e_k)\in
B_1\*\dots\*B_k:\;\;1=e_1+\dots+e_k\;\;(6)
}
Moltiplicando a sinistra ambo i membri della $(6)$ per $b_j$ otteniamo:
\eal{&b_j=b_je_1+\dots+b_je_k \ubrace{=}{(5)} b_je_j
}
analogamente moltiplicando a destra:
\eal{&b_j=e_jb_j}
Possiamo cosi' concludere che $B_j$ e' un'algebra la cui unita' e' $e_j$,
ovvero $1_{B_j}=e_j$.\\
Sempre dalla $(5)$ abbiamo:
\eal{&B_j \( \ann_A(B_i) \ubrace{\(}{I_i\(B_i}\ann_A(I_i)
\> \sum_{j \neq i}B_j \( \ann_A(I_i)\;\;(6.1)
}
e quindi 
\eal{&A=B_i\oplus\sum_{j \neq i}B_j  \ubrace{\>}{(6.1)}
\ann_A(I_i)=\pton{\ann_A(I_i)\^B_i}\oplus\sum_{j \neq i}B_j
}
Per avere la tesi basta quindi dimostrare che $\ann_A(I_i)\^B_i=0$.
\step{}{Dim. $\ann_A(I_i)\^B_i=0$}
\begin{prova}
	Sia $b\in \ann_A(I_i)\^B_i=0$. Per vedere che $b=0$ basta utilizzare
	la prop $\see{stessoannullatore}$:
\eal{&b\in \ann_A(I_i)=\ann_A(I)\;\;\forall I\le \cc A:\;I\simeq I_i\;\;(6)\NN
B_ib=A(I_i)b=\sum_{I\le \cc A:\;I\simeq I_i}Ib  \ubrace{=}{(6)}=0\> b\in
\ann_A(B_i)\;\;(7)\\
&b\in B_i  \ubrace{\>}{(5)}  B_jb =0\;\;\forall j \neq i\;\;(7.1)\\
&(7),\;(7.1) \> B_ib=0\;\;\forall i=1,\dots,k\;\;(7.2)\\
&Ab=B_1b\oplus\dots\oplus B_kb \ubrace{=}{(7.2)} 0 \> 1_Ab=0  \= b=0
}
\end{prova}
	\end{prova}
	\step{pp5}{Dim. $5.$}
	\begin{prova}
Sappiamo gia' che 
\eal{&B_i=A(I_i)\tleq A}
Resta da dimostrare la minimalita'.
Supponiamo che $\exists C\tleq A:\;0<C<B_i$, 
\eal{&B_i\tleq A \> B_i \le \cc A,\;\;\cc A\T{ semisemplice } \> B_i\T{
semisemplice}\\
&C<B_i,\;\;B_i\T{ ssemp. }\>\exists R\leA B_i:\;B_i=C\oplus R\;\;(8)\\
&C<B_i \> R \neq 0\\
& \sist{R\leA B_i \= R \tleqD B_i\\C\tleq A}\> RC \( R\^C  \ubrace{=}{(8)} 0 \>
Rc=0\;\;\forall c\in C\;\;(8.1)\\
&R \neq 0 \> \exists J\le R \T{ semplice } \\
&J\(R \( B_i=\sum_{I\le \cc A:\;I\simeq I_i} I
\ubrace{\>}{\see{isomadunaddendo}} J\simeq I_i\\
&Jc=0  \> c\in \ann_A(J) \ubrace{=}{J\simeq I_i} \ann_A(I_i)\\
&c\in B_i\NN
\qq \> c\in B_i\^\ann_A(I_i) \ubrace{=}{\sref{pp4}} 0
}
Per l'arbitrarieta' di $c$ concludiamo che $C=0$.
	\end{prova}
	\step{}{Dim $6.$}
	\begin{prova}
Innanzitutto, e' facile verificare che
\begin{enumerate}
	\item $\f_i$ e' ben posta: $r_x\in \End_F(I_i)$
	\item $\f_i$ e' un alg-omomorfismo
\end{enumerate}
\step{}{$\f_i$ e' iniettivo}
\begin{prova}
	\eal{&\ker \f_i=\pgra{x\in B_i\;|\;r_x\equiv 0 \= ux=0\;\;\forall u\in
	I_i \= I_ix=0\= x\in \ann_A(I_i)} = B_i\^\ann_A(I_i)
	\ubrace{=}{\sref{pp4}} 0
	}
\end{prova}
Supponiamo che $F$ sia algebricamente chiuso e consideriamo l'$A$-omomorfismo 
\eal{&l_x:I_i\longrightarrow I_i\\
&\invisible{l_x:I}u\mapsto xu
}
Poiche' $I_i$ e' semplice, applicando il corollario di Schur
(\vedi{cordischur}) abbiamo
\eal{&l_x=\lambda_x\id,\;\;\T{ per qualche } \lambda_x\in F
}
\step{}{Dim. che $\f_i$ e' surriettiva, ovvero che $\f_i(B_i)=\End_F(I_i)$}
\begin{prova}
\pfsketch{Dimostreremo che $\f_i(B_i)\tleqD \End_F(I_i)$ e che $\id \in
\f_i(B_i)$}
Chiaramente, se $I_i=0$, $\f_i$ e' surriettiva. Supponiamo $I_i \neq 0$.\\
\eal{&B_i\tleq A \> B_iI_i \( B_i\NN
I_i \neq 0 \> e_iI_i \( B_iI_i \> 0<B_iI_i\NN
\qq \> 0<B_iI_i \le B_i \tleq A\NN
I_i\tleqD A,\;B_i \tleq A \> B_iI_i \tleq A\NN
\sist{ 0<B_iI_i \le B_i\\
 B_iI_i \tleq A\\
 B_i\tleq A \T{ minimale (per il \sref{pp5})}
} \> B_iI_i = B_i\;\;(9)
}
Sia $b\in B_i$.
\step{}{Dim. $\f_i(b)f\in\f_i(B_i)\;\;\forall f\in \End_F(I_i)$}
\begin{prova}
	\eal{&b\in B_i  \ubrace{=}{(9)}B_iI_i \> b=\sum_{j\in J}x_jy_j\T{ con
	} x_j\in B_i,\;y_j\in I_i\;\;\forall j\in J,\;\;|J|< +\8}
	Per la linearita' di $\f_i$, basta considerare un solo addendo $xy$ di
	$b$.
	\def\ff{{\f_i}}
	\step{}{Dimostriamo che $\ff(xy)f=r_{xy}f=r_{xf(y)}
=\ff(xf(y))\in \f_i(B_i)$}
	\begin{prova}
		Si ha\footnote{stiamo usando la composizione a sinistra,
		ovvero
		\eal{&fg(x)=g(f(x))}
		}:
		\eal{&(r_{xy}f)(z)=f(r_{xy}(z)) =f(zxy)=f(l_{zx}(y))=
		f(\lambda_{zx}y)  \ubrace{=}{f\in \End_F}
		\lambda_{zx}f(y)=l_{zx}(f(y)) = zxf(y) =r_{xf(y)}(z)
		}
	\end{prova}
	\step{}{Dim. $\id\in \ff(B_i)$}
	\begin{prova}
		\eal{&\ff(e_i)=r_{e_i}\NN
		r_{e_i}(z)=ze_i,\;\;z\in I_i\( B_i,\;\;e_i=1_{B_i} \> ze_i=z
		\> r_{e_i}=z\NN
		\> r_{e_i}=\id
		}
	\end{prova}
	\qedstep
	\begin{prova}
		\eal{&\sist{\ff(B_i)\tleqD \End_F(I_i)\\
		1_{\End_F(I_i)}=\id\in \ff(B_i)} \> \ff(B_i)= \End_F(I_i)
		}
	\end{prova}
\end{prova}

\end{prova}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{cor}
	\eal{&A\T{ algebra semisemplice } \> A\T{ e' somma (diretta) di algebre semplici}}
\end{cor}
\begin{proof}
	Diretta conseguenza della $3.$ del teorema \see{thmdiwedderburn}.
\end{proof}
\begin{cor}
	\label{dimZA}
	\label{dimA}
	Sia $A$ un'algebra \underline{semisemplice} su $F$
	\underline{algebricamente chiuso}. Si ha:
	\eal{&1.\;\;A \simeq \mat(n_1,F)\oplus \dots \oplus\mat(n_k,F)
 \T{ dove
	} n_i=\dim I_i\NN
	2.\;\;k =\dim Z(A)\NN
	3.\;\;\dim A = \sumjn n_j^2
	}
	dove $\pgra{I_1,\dots,I_k}$ sono i rappresentanti delle classi di
	isomorfismo di $A$-moduli semplici.
\end{cor}
\begin{proof}
La $1.$ e' diretta conseguenza del teorema di Wedderburn
(\vedi{thmdiwedderburn}). Dimostriamo la $2.$:
\eal{&1. 
\> Z(A) \simeq Z(\mat(n_1,F))\oplus\dots\oplus Z(\mat(n_k,F))\>
\dim Z(A) = \sumik \dim Z(\mat(n_i,F)) = \sumik 1 = k\NN
1. \> \dim A = \sumik \dim\mat(n_i,F)  =\sumik n_i^2
}
\end{proof}
\section{Algebra di un gruppo}
L'obiettivo di questa sezione sara' quello di sfruttare il teorema di
Wedderburn per ricavare informazioni sui gruppi finiti. Per far cio',
per ogni gruppo finito $G$ costruiremo un'algebra semisemplice strettamente
legata ad esso.

\def\l{{\lambda}}
\def\m{{\mu}}
\begin{defn}
	Sia $G$ un gruppo finito, $F$ un campo. Sia $FG$ l'insieme delle
	combinazioni lineari formali\footnote{possiamo considerare una somma
	formale $\sum_{g\in G}\l_g g$ come la scrittura simbolica di una funzione $\l:G\longrightarrow
	F$ tale che $\l(g)=\l_g$. Avremo cosi' che:
	\eal{&\sum_{g\in G}\l_g g = \sum_{g\in G}\m_g g \leftrightarrow
	\l_g=\m_g\;\;\forall  g\in G
	}
	}
	di $G$ su $F$:
	\eal{&FG\definizione{=} \gen{G}_F  = \pgra{\sum_{g\in G} \l_g g\;|\;\l_g\in F}
	}
	Possiamo rendere $FG$ un'algebra ponendo:
	\eal{&0\definizione{=}\sum_{g\in G}0g\NN
	1\definizione{=}1_F1_G+\sum_{g\in G\-\{1_G\}} 0g}
e	definendo le seguenti
	operazioni:
	\eal{&\sum_{g\in G}\l_g g + \sum_{g\in G}\m_g g 
	\definizione{=}\sum_{g\in G}(\l_g+\m_g) g\NN
	\lambda \. \pton{\sum_{g\in G}\l_g g }
	\definizione{=} \sum_{g\in G}(\lambda \l_g) g \NN
	\pton{	\sum_{g\in G}\l_g g}\.\pton{ \sum_{g\in G}\m_g g}
	\definizione{=} \sum_{g,h\in G}\l_g\m_h g h 
	= \sum_{z\in G}\pton{\sum_{g,h\in G:\;gh=z}\l_g\m_h}z
	\ubrace{=}{h=\inv gz}  \;\;\sum_{z\in G}\pton{\sum_{g\in G}
	\l_g\m_{\inv gz}}z
	}
\end{defn}
\begin{prop}
	\eal{&
	1.\;\;FG\T{ e' un'algebra}\NN
	2.\;\;\dim FG=|G|}
\end{prop}
\begin{proof}
	Per costruzione $FG$ e' uno spazio vettoriale ed e' un anello
	unitario. Anche l'assioma delle algebre e' immediato:
	\eal{&a(\l b)=\l(ab)=(\l a)b}
	Infine, $\dim FG=|G|$ perche' $G$ e' proprio la base dello spazio
	vettoriale $FG$.
\end{proof}
\begin{defn}
	Diamo alcune definizioni per i gruppi.\
	Sia $G$ un gruppo finito e $X\(G$, 
	\eal{&x^g\definizione{=}\inv g x g \;\;\forall x,g\in G\NN
	\ubrace{C_G(x)}{\T{centralizzante di }x}\definizione{=}\pgra{g\in G\;|\;xg=gx}\NN
	\ubrace{x\sim y}{x\T{ coniugato con }y} \definizione{\=} \exists g\in
	G:\;x=y^g\NN
	\ubrace{\cl_G(x)}{\T{classe di coniugio}}\definizione{=}x^G
	\definizione{=}\pgra{x^g\;|\;g\in G}\NN
	\cl(G) \definizione{=} \pgra{\cl_G(x)\;|\;x\in G}\NN
	\sh X \definizione{=}\sum_{x\in X}x
	}
\end{defn}
\begin{thm}\label{basediZFG}
	Sia $\cl(G)=\pgra{K_1,\dots,K_k}$, allora
	\eal{&
	1.\;\;Z(FG)=\gen{\sh{K_1},\dots,\sh{K_k}}\NN
	2.\;\;\pgra{\sh{K_1},\dots,\sh{K_k}}\T{ sono l.i.}\NN
	3.\;\;\dim Z(FG) = k
	}
$\pgra{\sh{K_1},\dots,\sh{K_k}}$ e' quindi una base  dello spazio
	vettoriale  $Z(FG)$.
\end{thm}
\begin{proof}
	\step{}{Dim. $1.$}
	\begin{prova}
		\eal{&x\in Z(FG) \= xy=yx\;\forall y\in FG \ubrace{\=}{\T{$G$
		 base di $FG$}}	xh=hx\;\;\forall h\in G 
		\= \inv h x h =x\;\;(1)\NN
		x\in FG \= x=\sum_{g\in G}\l_gg \= \inv h x h = \sum_{g\in
		G}\l_g\inv h g h  \ubrace{=}{z=\inv h g h,\;\;
		g=hz\inv h} = \sum_{z\in G}\l_{hz\inv h} z\;\;(2)\NN
		\sum_{z\in G}\l_{hz\inv h} z \ubrace{=}{(2)} \inv h x h
		\ubrace{=}{(1)} x=\sum_{z\in G}\l_zz \ubrace{\=}{G\T{ base di }FG} 
		 \l_z=\l_{hz\inv h}\;\;\forall h,z\in G\;\;(3)\NN
		\l_z=\l_{hz\inv h}\;\;\forall h\in G \=
		\l_z=\l_y\;\;\forall y\in \cl(z)\;\;(4)\NN
		\T{Per la $(4)$ possiamo porre: }\l_{\cl(z)}\definizione{=}\l_z\;\;(4.1)\NN
		x=\sum_{z\in G}\l_zz=\sum_{z\in G}\l_{\cl(z)}z\;\;(4.2)
		}
		Raggruppiamo per classe gli addendi nella $(4.2)$:
		\eal{&\T{Sia }H\T{ l'insieme dei rappresentanti di } \cl(G)\NN
		x=\sum_{h\in H}\l_{\cl(h)}\pton{ \sum_{z\in \cl(h)} z  }= 
		\sum_{h\in H}\l_{\cl(h)} \sh{\cl(h)} = \sumik \l_{K_i}\sh{K_i}
		}
		Quindi 
		\eal{& x= \sumik \l_{K_i}\sh{K_i}}
		Poiche' abbiamo usato solo doppie implicazioni, abbiamo
		implicitamente dimostrato la doppia inclusione:
		\eal{&
	Z(FG)=\gen{\sh{K_1},\dots,\sh{K_k}}
		}
	\end{prova}
	\step{}{Dim. $2.$}
	\begin{prova}
		Consideriamo una combinazione lineare nulla:
		\eal{&0=\sum_{K\in \cl(G)} a_K\sh{K} 
		\ubrace{=}{G=\bigcup K_j} \;\sum_{g\in G} a_{\cl(g)}g
		}
		Abbiamo cosi' ottenuto una combinazione lineare nulla di $G$.
		Poiche' $G$ e' una base di $FG$, si deve avere:
		\eal{&a_{\cl(g)}=0\;\;\forall  g\in G  \= a_K=0\;\;\forall
		K\in\cl(G) 
		}
	\end{prova}
\end{proof}
\def\t{{\vartheta}}
\begin{lem}\label{thetaFGomo}
	Sia $f:V\longrightarrow W$ una applicazione lineare, con $V,W$
	$FG$-moduli, allora
	\eal{&\t:V\longrightarrow W\NN
	\invisible{\t: }v\mapsto \sum_{g
	\in G}f(v\inv g)g 
	}
	$\T{ e' un $FG$-omomorfismo}$.\\
	In altre parole, sfruttando l'algebra $FG$, da una applicazione lineare $f$ possiamo indurre un
	$FG$-omomorfismo.
\end{lem}
\begin{proof}
	\begin{itemize}
		\item $\t$ e' lineare (per la linearita' di $f$)
		\item $\t$ e' un $FG$-omo: $\t(va)=\t(v)a$, infatti
			\eal{&\t(va)=\sum_{g\in G}f(va\inv g)g =
			\sum_{g\in G}f(v\inv{(g\inv a)})g\inv a a
			\ubrace{=}{z=g\inv a} \pton{\sum_{z\in G}f(v\inv z)z}a
			=\t(v)a}
	\end{itemize}
\end{proof}
\begin{lem}\label{t2eqt}
	Siano $V,W$ due spazi vettoriali e sia $\t:V\longrightarrow W$ una
	applicazione lineare, con $W\le V$.
	\eal{&\t^2=\t \> V=\Im \t \oplus \ker \t}
\end{lem}
\begin{proof}
\eal{&v=\t(v)+ (v-\t(v))\;\;(1)\NN
\t(v-\t(v))=\t(v)-\t^2(v)  \ubrace{=}{\t^2=\t}  \t(v)-\t(v)=0 \> v-\t(v) \in
\ker \t\;\;(2)\NN
(1),(2) \> v\in \Im \t + \ker \t
}
Dimostriamo che la somma e' diretta:
\eal{&w\in \Im \t \^\ker \t \> w=\t(v)\;\;(3)\NN
0 \ubrace{=}{w\in \ker \t} \t(w)=\t^2(v)=\t(v)  \ubrace{\>}{(3)} w=0\NN
\qq \>  \Im \t \^\ker \t =0
}
\end{proof}
\begin{thm}\ilabel{Maschke!teorema di}
	\label{thmdimaschke}
	di Maschke.\\
	\eal{&\ch F \ndiv |G| \> FG\T{ e' semisemplice }
	}
	dove $\ch F$ e' la caratteristica del  campo $F$.
\end{thm}
\begin{proof}
%	\BEGINpnecessaria
	\eal{&FG\T{ ssemp }  \ubrace{\=}{thm \see{ccAsemisempsseogniVssemp}} 
	\forall V\T{ $FG$-mod \T{ e' ssemp}
	}
	}
	Prendiamo quindi un $V$ $FG$-modulo arbitrario e dimostriamo che e'
	semisemplice, ovvero che $\forall W\leFG V\;\exists U\leFG V:\;V=U\oplus
	W$.\\
	Sia $U_0\le V$ sottospazio vettoriale di $V$ t.c. $V=W\oplus U_0$.
	\step{}{Costruiamo un modulo $U\leFG V$ t.c. $V=W\oplus U$
	}
	\begin{prova}
		Consideriamo la proiezione canonica:
		\eal{&\pi:V\longrightarrow W\NN
		\;\;w+u_0\mapsto w}
		$\pi$ e' lineare e surriettiva. Poiche' $\ch F \ndiv |G|$,
		possiamo considerare la seguente applicazione lineare:
		\eal{&f:V\longrightarrow W\NN
		f(v)=\frac{1}{|G|}\pi(v)
		}
		Per il lemma \see{thetaFGomo} possiamo costruire, a partire da
		$f$, la funzione $\t:V\longrightarrow W$, che risulta essere un $FG$-omomorfismo.
		\eal{&\T{$\t$  $FG$-omomorfismo} \> U\definizione{=}\ker \t 
		\T{ e' un $FG$-modulo}\NN
		w\in W\leFG V \> wg\in W\;\;\forall g\in G
		\ubrace{\>}{\pi_{|W}=\id}  \pi(w\inv g)g = w\inv g  g =
		w\;\;(1)\NN
		\t(w)  \ubrace{=}{def.}\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\pi(w\inv
		g)g \ubrace{=}{(1)}   \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}w =
		\frac{|G|}{ |G|}w= w \> \t_{|W}=\id\;\;(1.1)\NN
		\t(v)\in W\;\;\forall v  \ubrace{\>}{(1.1)}
		\t(\t(v))=\t(v)\;\;\forall v \= \t^2=\t
		}
		Per il lemma \see{t2eqt} abbiamo infine:
		\eal{&V=\Im \t \oplus\ker \t =W\oplus U
		}
	\end{prova}
%	\END
%	\BEGINsufficiente
%	Dimostriamo che
%	\eal{&\ch F \div |G| \> FG\T{ ssemp}}
%	Sia $x=\sh{G}=\sum_{g\in G}g$, si ha
%	\eal{&xh = x\;\;\forall h\in G\;\;(1)\NN
%	x^2=\sum_{h\in G}hx \ubrace{=}{(1)} \sum_{h\in G}x= |G| x
%	\ubrace{=}{\ch F \div |G|} 0 \NN
%	x^2 =0\;\;(2)\NN
%	(1) \> x\in Z(FG) \;\;(3)
%	}
%	\END
\end{proof}
\begin{cor}\label{wedderpergroupalgebra}
	Grazie al teorema di Maschke, se $\ch F\ndiv |G|$,  possiamo applicare
	il teorema di Wedderburn all'algebra semisemplice $FG$. In piu',
	utilizzando il corollario \see{dimZA} e il teorema \see{basediZFG} possiamo dire che:
	\eal{&1.\;\;\T{Se $F$ e' algebricamente chiuso: }\NN
	\invisible{1.\;\;}\qq 1.\;\;FG\simeq \mat(n_1,F)\oplus
	\dots\oplus\mat(n_k,F)\NN
	\invisible{1.\;\;\qq 1.\;\;}\T{ dove }n_i=\dim
	I_i,\;\;\pgra{I_1,\dots,I_k}\T{ rappresentanti delle classi di
	isomorfismo di $FG$-moduli semplici }\NN
	\invisible{1.\;\;}\qq 2.\;\;n_1^2+\dots+n_k^2=\dim FG= |G|\NN
	\invisible{1.\;\;}\qq 3.\;\;k=\dim Z(FG)=|\cl(G)|\NN
	2.\;\; V\T{ $FG$-mod} \> V\simeq m_1I_1\oplus\dots\oplus
	m_kI_k\T{ dove }m_i\ge 0,\;m_iI_i=\ubrace{I_i\oplus\dots\oplus
	I_i}{m_i\T{ volte}}\NN
	3.\;\;FG\simeq n_1I_1\oplus\dots\oplus n_kI_k
	}
\end{cor}
\begin{proof}
	\step{p2}{Dim. $2.$}
	\begin{prova}
		\eal{&\ch F\ndiv |G|  \ubrace{\>}{\see{thmdimaschke}}  FG\T{
		ssemp }  \ubrace{\>}{\see{ccAsemisempsseogniVssemp}} V\T{ ssemp }
		\ubrace{\>}{\see{thmequivalenzedissemplicitadiV}} 
		V=\sum_{i\in I}V_i =V_{j_1}\oplus\dots\oplus V_{j_k},\;\;\T{
		con }V_i\T{ semplice }\forall i\in I
		}
		Per il teorema di Wedderburn, $\forall i\in I \exists I\in
		\pgra{I_1,\dots,I_k}:\;V_i\simeq I$, e quindi la tesi e'
		acquisita.
	\end{prova}
	\step{}{Dim. $3.$}
	\begin{prova}
		\eal{&FG\T{ ssemp }  \ubrace{\>}{\see{thmdiwedderburn}} 
		FG\simeq B_1\oplus\dots\oplus B_k \ubrace{\simeq}{\sref{p2}}
		 m_1I_1\oplus\dots\oplus m_kI_k\NN
		 m_iI_i\simeq B_i \simeq \mat(n_i,F) \> 
		 n_i^2
		 =\dim B_i = \dim m_iI_i=m_i\dim I_i=m_in_i \> n_i=m_i
		}
	\end{prova}
\end{proof}
\section{Rappresentazioni}
\begin{defn}
	Sia $G$ un gruppo finito e $F$ un campo. Chiameremo \iemph{rappresentazione} di G un
	qualsiasi omomorfismo di gruppi $\Xr:G\longrightarrow \GL(n,F)$
	\footnote{$\GL(n,F)=\pgra{M\in
	\mat(n,F)\;|\;\exists \inv M}$}.\\
	La rappresentazione dell'algebra $FG$ sara' un qualsiasi omomorfismo
	di algebre del tipo $\Xr:FG\longrightarrow \mat(n,F)$.\\
	Poniamo inoltre
	\eal{&\dim \Xr\definizione{=} n}
\end{defn}
\begin{prop}\label{propestensionerappr}
	Se $\Xr$ e' una rappresentazione di $G$, l'applicazione
	$\Xr':FG\longrightarrow \mat(n,F)$, ottenuta estendendo linearmente
	$\Xr$, e' una rappresentazione di $FG$.\\
	Viceversa, se $\Xr'$ e' una rappresentazione di $FG$,
	$\Xr=\Xr'_{|G}$ e' una rappresentazione di $G$.
\end{prop}
\begin{proof}
	Ci limitiamo ad osservare perche' $\Xr=\Xr'_{|G}$ e' ben definita,
	ovvero perche' $\Xr(g)\in \GL(n,F)\;\;\forall g\in G$.
	\eal{&1=\Xr(1_G)=\Xr(g\inv g)=\Xr(g)\Xr(\inv g) \> \Xr(\inv
	g)=\inv{(\Xr(g))} \> \Xr(g)\in \GL(n,F)
	}
\end{proof}
\begin{prop}\label{reprtomod}
	Illustriamo adesso un metodo per ottenere un $FG$-modulo da una
	rappresentazione $\Xr$ di $FG$, e viceversa.\\
	\begin{enumerate}
		\item Sia $\Xr:FG\longrightarrow \mat(n,F)$ una rappresentazione
			di $FG$ e sia $V=F^n$. $V$ diventa un $FG$-modulo con
			l'operazione
			\eal{&v\.g=v\Xr(g)}
		\item Sia $V$ un $FG$-modulo. La funzione
			\eal{&f:G\longrightarrow \GL(V)\NN
			g\mapsto r_g:V\longrightarrow V\NN
			\invisible{g\mapsto r_g:}
			v\mapsto v\.g
			}
			e' un omomorfismo di gruppi. Scelta una base
			$B=\pqua{v_1,\dots,v_n}$ di $V$, definiamo la funzione
			\eal{&\Xr:G\longrightarrow \GL(n,F)\NN
			g\mapsto M_B(f(g))= M_B(r_g)
			}
			dove $M_B(r_g)$ e' la matrice associata
			dell'isomorfismo $r_g$, secondo la base $B$, ovvero
			\eal{&\ubrace{(M_B(r_g))_{i}}{\T{riga }i-\T{esima}}
			= \ubrace{[r_g(v_i)]_{B}}{\T{vettore delle componenti
			di }r_g(v_i)\T{ secondo }B}  = 
			[v_i\.g]_B
			}
			In altre parole,
			\eal{&
			v_i\.g=\sumjn x_{ij}(g) v_j \> (\Xr(g))_{ij} =
			x_{ij}(g)
			}
	\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{Dim. $1.$}
	\begin{prova}
		E' facile verificare che $V=F^n$ con l'operazione 
		\eal{&v\.g = v\Xr(g)}
		rispetta gli assiomi dei moduli (\vedi{modulo}).
	\end{prova}
	\step{}{Dim. $2.$}
	\begin{prova}
		\begin{enumerate}
			\item $f$ e' ben definita, ovvero $r_g\in \GL(V)$:
				\eal{&\inv{r_g}=r_{\inv g}\NN
				r_g\T{ e' lineare}
				}
			\item Anche $\Xr$ e' ben definita: le matrici
				associate ad isomorfismi sono invertibili,
				quindi $M_B(r_g)\in \GL(n,F)\;\forall g\in G$.
			\item $f$ e' un omomorfismo di gruppi
			\item $\Xr$ e' un omomorfismo di gruppi, infatti, per le
				proprieta' della matrice associata:
				\eal{&\Xr(gh)=M_{B}(r_{gh})=
				M_B(r_gr_h)=M_B(r_g)M_B(r_h)=\Xr(g)\Xr(h)
				}
		\end{enumerate}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{prop}
	Applicando le due costruzioni esposte in \see{reprtomod} in
	successione (usando la base canonica $B=\pgra{e_1,\dots,e_n}$), si riottiene il modulo o la
	rappresentazione di partenza.
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{Esaminiamo il caso
	\eal{&\T{Rappresentazione }\Xr \longrightarrow \T{Modulo }v\.g \longrightarrow
                        \T{Rappresentazione }\Xr'
	}
	}
	\begin{prova}
		\eal{&
			\Xr \longrightarrow  v\.g:=v\Xr(g)
			\longrightarrow \Xr'(g):=
			\begin{bmatrix}
				e_1\.g\\
				\vdots\\
				e_n\.g
			\end{bmatrix}=
			\begin{bmatrix}
				e_1\Xr(g)\\
				\vdots\\
				e_n\Xr(g)
			\end{bmatrix}=
			\begin{bmatrix}
				(\Xr(g))_{1}\\
				\vdots\\
				(\Xr(g))_n
			\end{bmatrix}=\Xr(g)
			}
	\end{prova}
	\step{}{Esaminiamo il caso
	\eal{&\T{Modulo }v\.g \in V=F^n\longrightarrow\T{Rappresentazione }\Xr
	\longrightarrow \T{Modulo }v\bullet g\in V=F^n
	}
	}
	\begin{prova}
		\eal{&
			v\.g 
			\longrightarrow 
			\Xr(g):=
			\begin{bmatrix}
				[e_1\.g]_B\\
				\vdots\\
				[e_n\.g]_B
			\end{bmatrix}
			\longrightarrow  v\bullet g:=v\Xr(g)
			\ubrace{=}{v=\sumin \l_ie_i}  (\sumin \l_ie_i)\Xr(g) 
			=  \sumin \l_i (e_i\Xr(g))=\NN
			=  \sumin \l_i [e_i\.g]_B = 
			\pqua{\sumin \l_ie_i\.g}_B
			=[v\.g]_B \ubrace{=}{B\T{ base canonica},\;v\in
			V=F^n} v\.g
			}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{defn}\ilabel{rappresentazioni!simili}
	Siano $\Xr,\Yr:G\longrightarrow \GL(n,F)$ due rappresentazioni. Diremo
	che $\Xr,\Yr$ sono \emph{simili} se:
	\eal{&\Xr\sim \Yr\definizione{\=}\exists M\in \GL(n,F):\;\;\Xr(g)=\inv
	M \Yr(g) M=\Yr(g)^{M} \;\;\forall g\in G
	}
\end{defn}
\begin{rem}
	Se $\Xr$ e' una rappresentazione, lo e' anche $\Xr(g)^M$, in quanto la
	coniugazione e' un isomorfismo di gruppi.
\end{rem}
\begin{defn}
	\ilabel{rappresentazioni!irriducibili}
	Sia $\Xr$ una rappresentazione.
	\eal{&
	\Xr\T{ e' riducibile }\definizione{\=}\exists M\in \GL(n,F):\;\forall g\in G \;\Xr(g)
	=\inv M 
	\begin{bmatrix}
		X(g)&Y(g)\\
		\uline{0}&Z(g)
	\end{bmatrix}M\NN
	\qq \T{ con }Z(g)\in \mat(r,F),\;X(g)\in \mat(s,F),\;Y(g)\in F^{s\*r}
	}
	ovvero
	\eal{&
\Xr\T{ e' riducibile }\= \Xr \T{  e' simile ad una matrice a blocchi del tipo }
	\begin{bmatrix}
		X&Y\\
		\uline{0}&Z
	\end{bmatrix}\NN
	}
\end{defn}
\begin{prop}\label{proprapprirridssesemplice}
	Sia $\Xr:G\longrightarrow \GL(n,F)$ una rappresentazione e $V=F^n$ il
	suo modulo indotto, allora
	\eal{&\Xr \T{ irriducibile } \= V\T{ semplice }}
\end{prop}
\begin{proof}
	\BEGINpnecessaria
	Supponiamo per assurdo che $\exists W$ $V$-sottomodulo t.c. $0<W<
	V$.\\
	Sia $\pgra{w_{s+1},\dots,w_n}$ una base di $W$ e completiamola ad una
	base $C=\pgra{w_1,\dots,w_n}$ di $V$. Consideriamo quindi la
	rappresentazione $\Xr'$ indotta dal modulo $V$ secondo la base $C$:
	\eal{&\Xr'(g)=M_C(r_g)\;\;(1)
	}
	Prima di continuare notiamo che:
	\eal{&W\leFG V \> w_i\.g\in W=\gen{w_{s+1},\dots,w_{s_n}}\;\;\forall i\ge
	s+1\;\;(2)\NN
	(2)\> w_i\.g=0w_1+\dots+0w_s+*w_{s+1}+\dots+*w_n \> [w_i\.g]_C=
	(\ubrace{0,\dots,0}{n\T{ volte}}, *,*,\dots,*)\NN
	\T{(con $*$ indichiamo un qualsiasi coefficiente)}\NN
	\Xr'(g)=M_C(r_g)=\begin{bmatrix}
		[w_1\.g]_C\\
		\vdots\\
		[w_n\.g]_C
	\end{bmatrix} \ubrace{=}{\T{e' del tipo}} 
        \begin{bmatrix}                X&Y\\                \uline{0}&Z
	\end{bmatrix}   \;\;(3)
	}
	Infine, sfruttando la prop \see{reprtomod} abbiamo
	\eal{&\Xr(g)=M_B(r_g)\;\;(4)
	}
	dove $B=\pgra{e_1,\dots,e_n}$ e' la base canonica di $V$.
	\\Possiamo cosi' concludere:
	\eal{&\Xr(g) \ubrace{=}{(4)} M_B(r_g)\ubrace{\sim}{\T{basta usare la
	mat. di passaggio}} M_C(r_g)  \ubrace{=}{(2)} \Xr'(g) \ubrace{=}{(4)} 
	 \begin{bmatrix}                X&Y\\                \uline{0}&Z
        \end{bmatrix}\NN
	\qq \> \Xr(g) \T{ non e' irriducibile}
	}
	Assurdo contro ipotesi.
	\END
	\BEGINsufficiente
Supponiamo per assurdo che $\Xr$ sia riducibile, ovvero che
\eal{&\Xr \sim \Yr\equiv          \begin{bmatrix}                X&Y\\
	\uline{0}&Z \end{bmatrix} \= \exists M:\;\Xr(g)=\inv M\Yr(g)M\;\;\;(1)\NN
	\T{ con } X\in \mat(s,F),\;Y\in \mat(n-s,F),\;\uline{0}\in
	F^{n-s\*s}
}
Sia $c_i=M_i$ la riga $i$ di $M$.\\
Poiche' $M$ e' invertibile, fissata $B=\pgra{e_1,\dots,e_n}$ esiste una sola
base $C$ di $V$ tale che $M=P_{C\rightarrow B}$, dove $P_{C\rightarrow B}$ e'
la matrice di passaggio da $C$ a $B$. In particolare, poiche' $B$
e' la base canonica si ha $C=\pgra{c_1,\dots,c_n}$.\\
Sia $h:\;s+1\le h\le n$,
\eal{&
(1) \> \Yr(g)_{hi} =0\;\;\forall i\le s \;\;(1.1)\NN
c_h\.g=c_h\.\Xr(g)=c_h\inv M\Yr(g)M =c_h P_{B\rightarrow C} \Yr(g)
P_{C\rightarrow B} = e_h \Yr(g) P_{C\rightarrow B}=\Yr(g)_h  P_{C\rightarrow
B} =\NN
\ubrace{=}{y:=\Yr(g)_h}  y \begin{bmatrix}
	[c_1]_B\\
	\vdots\\
	[c_n]_B
\end{bmatrix}  \ubrace{=}{B\T{ canonica}}  y \begin{bmatrix}
        c_1\\
        \vdots\\
        c_n
\end{bmatrix} = \sumjn \pton{\sumin y_ic_{ij}}e_j = 
\sumin  y_i \pton{\sumjn c_{ij} e_j} = \sumin y_ic_i 
= \sumin \Yr(g)_{hi}c_i  =\NN
\ubrace{=}{(1.1)} \sum_{i=s+1}^n  \Yr(g)_{hi}c_i 
\in \gen{c_{s+1},\dots,c_n}
}
Abbiamo cosi' dimostrato che 
\eal{&c_h\.g\in \gen{c_{s+1},\dots,c_n} \;\;\forall h:\;s+1\le h\le
n,\;\;\forall g\in G
}
Quindi $W=\gen{c_{s+1},\dots,c_n}$ e' un $FG$-modulo, in particolare e' un
sottomodulo di $\gen{c_1,\dots,c_n}=V$, e questo e' assurdo contro la
semplicita' di $V$.
	\END
\end{proof}
\begin{prop}\label{simileadiagonaleablocchi}
Sia $V$ un $FG$-modulo,  $U,W\leFG V$ e sia $\Xr$ la rappresentazione indotta
da $V$ secondo la base canonica. Infine, sia $B_U=\pgra{u_1,\dots,u_s}$ una base
di $U$ e $B_W=\pgra{w_1,\dots,w_r}$ una base di $W$. Si ha
\eal{&V=W\oplus U \> \Xr\sim \begin{bmatrix}
	\uline W    & \uline{0} \\
	\uline{0} & \uline U \\
\end{bmatrix}\NN
\T{ dove } \uline W,\uline U \T{ sono rispettivamente le rappresentazioni indotte
da }W,U \T{ su }B_W,B_U
}
\end{prop}
\begin{proof}
	La rappresentazione $\Yr$ indotta da $V$ secondo la base $B=B_W\U
	B_U=\pgra{w_1,\dots,w_r,u_1,\dots,u_s}$ e' una matrice a blocchi
	diagonale, infatti,
	\eal{
	&W\leFG V \> w_i\.g \in W=\gen{w_1,\dots,w_r}\NN
U\leFG V	\> u_i\.g \in U=\gen{u_1,\dots,u_s}\NN
	\Yr(g)=\begin{vmatrix}
		[w_1\.g]_B\\
		\vdots\\
		[w_r\.g]_B\\
		[u_1\.g]_B\\
		\vdots\\
		[u_s\.g]_B
	\end{vmatrix}  = \begin{bmatrix}
        \uline W    & \uline{0} \\
        \uline{0} & \uline U \\
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
	M_{B_W}(r_g)  & \uline{0}\\
	\uline{0}     & M_{B_U}(r_g)
\end{bmatrix}
	}
$\Yr$ e $\Xr$ sono simili perche' sono rappresentazioni indotte dallo stesso
modulo $V$.
\end{proof}
\begin{prop}\label{fFGomosseXMeqYM}
	Sia $V,W$ due $FG$-moduli e sia $f:V\longrightarrow W$ una
	applicazione lineare tra essi, allora
	\eal{&
	f\T{ e' un }FG\T{-omomorfismo }\= \Xr(g)M_{B,C}(f)=M_{B,C}(f)\Yr(g)\;\;\forall g\in G
	}
	dove $\Xr,\Yr$ sono le rappresentazioni indotte dai moduli $V,W$
	secondo le basi $B=\pgra{v_i}_{i=1}^n,\;C=\pgra{w_i}_{i=1}^m$, e
	$M_{B,C}(f)$ e' la matrice associata a $f$.
\end{prop}
\begin{proof}
	\eal{&\T{Sia }M=M_{B,C}(f)\NN
	v_i\.g \in V=\gen{B} \> v_i\.g=\sumjn x_{ij}(g)v_j\;\;(1)\NN
	f(v_i)= \sumjn ([v_i]_B M)_jw_j = \sumjn (e_i M)_jw_j
	= \sumjn M_{ij}w_j\;\;(2)\NN
	w_j\.g \in W=\gen{C} \>w_j\.g= \sumkn y_{jk}(g)w_k\;\;(3)\NN
	\Xr(g)=M_B(r_g) \> (\Xr(g))_i=[v_i\.g]_B  \ubrace{=}{(1)}
	(x_{i1}(g),\dots,x_{in}(g))
	\> (\Xr(g))_{ij} = x_{ij}(g)\;\;(4)\NN
	(\Yr(g))_{jk} \ubrace{=}{(3)} y_{jk}(g)\;\;(5)\NN
	f\T{ e' un }FG\T{-omo. } \= 
	f(vg)=f(v)g\;\;\forall g\in G\;\forall v\in V \= 
	f(v_ig)=f(v_i) g\;\;\forall g\in G\;\;\forall v_i\in B\=\NN
	\ubrace{\=}{(1),(2)}  f\pton{\sumjn x_{ij}(g)v_j} = 
	\sumjn M_{ij}w_jg  \ubrace{\=}{f\T{ lineare},\;(3)} 
	\sumjn x_{ij}(g)f(v_j) =      \sumjn M_{ij}\pton{\sumkn
	y_{jk}(g)w_k}\=\NN
	\ubrace{\=}{(2)}   \sumjn x_{ij}(g)\pton{\sumkn M_{jk}w_k} = \sumkn 
	\pton{ \sumjn M_{ij} y_{jk}(g)}w_k \= \NN
	\=\sumkn \pton{\sumjn x_{ij}(g) M_{jk}}w_k = \sumkn
        \pton{ \sumjn M_{ij} y_{jk}(g)}w_k \=\NN
	\ubrace{\=}{\pgra{w_k}_{k=1}^n \T{ base }} 
	\sumjn x_{ij}(g) M_{jk} = \sumjn M_{ij} y_{jk}(g)  \ubrace{\=}{(4),(5)} 
(\Xr(g)M)_{ik}= (M\Yr(g))_{ik} \;\;\forall i,k \= \Xr(g)M=M\Yr(g)}
\end{proof}
\begin{prop}\label{rapprsimssemoduliisom}
	Siano $\Xr,\Yr$ due rappresentazioni di $FG$ e siano $V_1,V_2$ i
	moduli indotti, allora
	\eal{&V_1\simeqFG V_2 \=  \Xr\sim \Yr}
	Ovvero, le rappresentazioni sono simili se e solo se i loro moduli
	indotti sono isomorfi.
\end{prop}
\begin{proof}
	\eal{&\Xr\sim \Yr\= Y=\inv M \Xr M \= \Xr M = M \Yr
	\ubrace{\=}{\see{fFGomosseXMeqYM}} f:V_{1}\longrightarrow V_2\T{ e' un
	}\T{$FG$-omo.}\NN
	\qq \T{ dove } f\T{ e' la mappa  associata a $M$}\NN
	\exists \inv M \= f\T{ isomorfismo}
	}
\end{proof}
\begin{prop}\label{irridXrMeqMYralloraMscalare}
Supponendo di avere
\begin{enumerate}
	\item $\Xr,\Yr:G\longrightarrow \GL(n,F)$ rappresentazioni irriducibili di $G$
	\item $F$ \T{ campo algebricamente chiuso }
	\item $\Xr(g)M=M\Yr(g)\;\;\forall g\in G$ per qualche $M\in
		F^{n\*m}$
\end{enumerate}
si ha
\eal{&M=0\T{ oppure } M=\lambda I,\;\lambda\in F^*,\;\Xr=\Yr,\;n=m
}
\end{prop}
\begin{proof}
	Sia $V=F^n$ il modulo indotto da $\Xr$, $W=F^m$ quello indotto da
	$\Yr$.
	\eal{&\Xr,\Yr \T{ irriducibili }
	\ubrace{\>}{\see{proprapprirridssesemplice}} V,W\T{ semplici}\;\;(1)}
	Sia $f:V\longrightarrow W$ l'applicazione lineare indotta da $M$
	rispetto alle basi canoniche $B,C$ di $V,W$, ovvero:
	\eal{&f(e_i)=e_iM}
	Si ha
	\eal{&\sist{f\T{ lineare }\\
	\Xr(g)M=M\Yr(g)\;\;\forall g\in G}  \ubrace{\>}{\see{fFGomosseXMeqYM}}
	f\T{ e' un }FG\T{-omomorfismo} \;\;(2)\NN
	(1),\;(2) \ubrace{\>}{\see{thmdischur}} f=0 \| f\T{ isomorfismo } 
	} 
	Nel primo caso abbiamo $M=0$. Nel secondo,
	\eal{&\dim V=\dim W \> n=m \> V=W \> \Xr=\Yr\NN
	\sist{f:V\longrightarrow V\\
	V\T{ semplice}\\
	F\T{ alg. chiuso}} \ubrace{\>}{\see{cordischur}} f=\lambda \id 
	\> e_iM=f(e_i) =\lambda e_i  \> M=\lambda I
	}
\end{proof}
\begin{prop}\label{MXreqXrM}
	\eal{&\sist{\Xr \T{ rappr. irriducibile}\\
	\exists M\in \mat(n,F):\;\;M\Xr(g)=\Xr(g)M\;\;\forall g\in G\\
	F\T{ alg. chiuso} } \> M = \lambda I,\;\;\T{ con }\lambda\in F}
	Nota\footnote{Questa proposizione puo' sembrare banale, ma la
	includiamo perche' sara' utile nel seguito}.
\end{prop}
\begin{proof}
	Basta applicare la prop \see{irridXrMeqMYralloraMscalare} con
	$\Yr=\Xr$.
\end{proof}
\begin{prop}\label{nelcentroallorascalare}
	\eal{&\sist{h\in Z(G)\\
	\Xr\T{ rappr. irriducibile}\\
	F\T{ alg. chiuso}} \> \Xr(h)=\lambda I,\T{ con } \lambda\in F
	}
\end{prop}
\begin{proof}
\eal{&h\in Z(G) \= hg=gh\;\;\forall g\in G \>
\Xr(g)\ubrace{\Xr(h)}{M}=\ubrace{\Xr(h)}{M}\Xr(g) \;\;\forall g\in G
\ubrace{\>}{\see{irridXrMeqMYralloraMscalare}} \Xr(h)=\lambda I
	}
\end{proof}
\begin{prop}
	\label{abelianoalloralineare}
	\eal{&\sist{G\T{ abeliano}\\
	\Xr\T{ rappr. irriducibile}\\
	F\T{ alg. chiuso}} \> \dim \Xr = n =1, \T{ ovvero 
	}\Xr:G\longrightarrow F^*
	}
	In questo caso, diremo che $\Xr$ e' lineare.\ilabel{rappresentazione lineare}
\end{prop}
\begin{proof}
	\eal{&G\T{ abeliano } \> Z(G)=G
	\ubrace{\>}{\see{nelcentroallorascalare}} \Xr(h)=
	\lambda_hI\;\;\forall h\in G\NN
	\Xr \T{ irriducibile }  \ubrace{\>}{\see{proprapprirridssesemplice}}
	V=F^n\T{ modulo indotto e' semplice}\NN
	\T{Sia } v\in V\-\pgra{0}\NN
	\gen{v}\leFG V\T{, infatti, }
	\NN
	\qq v\.g = v\Xr(g) = v\lambda_gI=\lambda_gv \in \gen v\NN
	\sist{0<\gen v \le V\\V\T{ semplice}}\> V=\gen v \> \dim V=1
	}
\end{proof}
\begin{rem}
	Da adesso in poi considereremo solo l'algebra $\CG$, cosi' da
	assicurare la chiusura algebrica del campo e la condizione
	\eal{&\ch \C\ndiv |G|}
\end{rem}
\begin{thm}\label{thmdiwedderburnperlerappr}
	di Wedderburn per le rappresentazioni.\\
	Siano $I_1,\dots,I_k$ i
	rappresentanti delle classi di isomorfismo dei $\CG$-moduli semplici e
	siano $\Xr_1,\dots,\Xr_k$ le relative rappresentazioni indotte.
	Allora,
	\eal{&1.\;\;\Xr:G\longrightarrow \GL(n,\C) \T{ rappr. irriducibile } 
	\> \exists !i:\;\Xr\sim \Xr_i\NN
	2.\;\;k=|\cl(G)|,\;\;|G|=n_1^2+\dots+n_k^2,\;\;\T{ con }n_i=\dim
	I_i\NN
	3.\;\;\Yr:G\longrightarrow \GL(n,\C)\T{ rappresentazione }\> 
	\Yr \sim \diag(\Xr_{i_1},\dots,\Xr_{i_r}) \T{ matrice diagonale a
	blocchi}\NN
	4.\;\;\sist{\Xr_i(B_j)=0\;\;\forall j \neq i\\
	\Xr_i(B_i)=\mat(n_i,\C)},\T{ dove } B_i=A(I_i)\NN
	5.\;\;1=e_1+\dots+e_k,\;\;e_i\in B_i \>
	\X_i(e_j)=\X_i(1)\delta_{ij}\NN
	\invisible{5.\;\;\;}\T{dove,
	}\X_i(x)=\Tr\Xr_i(x),\;\;\Tr M \T{ e' la traccia della matrice }M,\;\;\delta_{ij}=\sist{1&i=j\\
	0&\T{altrimenti}}
	}
\end{thm}
\begin{proof}
	\step{}{Dim. $1.$}
	\begin{prova}
		Sia $V$ il modulo indotto da $\Xr$.
		\eal{&\Xr \T{ irrid.} \> V\T{ semplice }
		\ubrace{\>}{\see{thmdiwedderburn}}\exists !i:\;V\simeq I_i
		\ubrace{\>}{\see{rapprsimssemoduliisom}} \Xr\sim \Xr_i  }
	\end{prova}
	\step{}{Dim. $2.$}
	\begin{prova}
		Basta rileggere la \see{wedderpergroupalgebra}, considerando
		che $F=\C$.
	\end{prova}
	\step{}{Dim. $3.$}
	\begin{prova}
		Sia $V$ il modulo indotto da $\Yr$.
		\eal{&V\T{ $\CG$-mod }
		\ubrace{\>}{\see{wedderpergroupalgebra}} 
		V= m_1I_1\oplus \dots\oplus m_kI_k 
		= I_{i_1}\oplus\dots \oplus I_{i_r}\;\;(1)
		}
		Ogni $I_{i_j}$ induce una rappresentazione irriducibile
		$\Yr_{i_j}$,
		\eal{&\Yr_{i_j}\T{ irriducibile }  \ubrace{\>}{1.} 
		\Yr_{i_j}\sim \Xr_{i_j'} 
		%\= \Xr_{j_i} = \inv M_{i_j}  \Yr_{i_j} M_{i_j}\;\;(2)
		}
		Infine, dalla $(1)$, applicando la prop \see{simileadiagonaleablocchi}
		si ha
		\eal{&\Yr\sim \diag(\Yr_{i_1},\dots,\Yr_{i_r})\sim
		\diag(\Xr_{i_1'},\dots,\Xr_{i_r'})
		}
	\end{prova}
	\step{}{Dim. $4.$}
	\begin{prova}
		Sia $C=\pgra{v_1,\dots,v_{n_i}}$ la base di $I_i$ dal quale si
		ottiene la rappresentazione $\Xr_i$. 
		Sappiamo gia' che preso $g\in G$,
		\eal{&\Xr_i(g)=M_C(r_g)}
		vale pero' anche la seguente proposizione: preso $x\in \CG$, 
		\eal{&\Xr_i(x)=M_C(r_x)\;\;(1)}
		infatti,
		\eal{&x=\sum_{g\in G}\l_gg\NN
		\Xr(x) = \sum_{g\in G}\l_g\Xr(g)=
		 \sum_{g\in G}\l_g
		\begin{bmatrix}
			[v_1\.g]_C\\
			\vdots\\
			[v_{n_i}\.g]_C
		\end{bmatrix} = 
		\begin{bmatrix}
                         \sum_{g\in G}\l_g[v_1\.g]_C\\
                        \vdots\\
                        \sum_{g\in G}\l_g [v_{n_i}\.g]_C
                \end{bmatrix}=
		\begin{bmatrix}
                         [v_1\.\sum_{g\in G}\l_gg]_C\\
                        \vdots\\
			[v_{n_i}\.\sum_{g\in G}\l_g g]_C
                \end{bmatrix}=
		\begin{bmatrix}
                         [v_1\.x]_C\\
                        \vdots\\
			[v_{n_i}\.x]_C
		\end{bmatrix}=M_{C}(r_x)
		}
		Per il teorema di Wedderburn (\vedi{thmdiwedderburn}) avevamo
		i seguenti isomorfismi di algebre:
		\def\f{{\phi}}
		\eal{&B_i\stackrel{\f_i}{\longrightarrow }\End_F(I_i)
		\stackrel{f}{\longrightarrow }
			\mat(n_i,\C)\\
			&\invisible{B_i}x\mapsto (r_x:I_i\longrightarrow I_i)
			\mapsto M_C(r_x)\\
			}
		Nota: $f$ e' un isomorfismo di algebre.\\
		Abbiamo,
		\eal{&(1) \> {\Xr_i}_{|B_i}=\f_if  \ubrace{\>}{f,\f_i\T{
		surriettive}} \Xr_i(B_i)= \mat(n_i,\C)}
		Infine, sempre per il teorema di Wedderburn abbiamo che
		$B_iB_j=0$ per $j \neq i$, quindi
		\eal{&x_j\in B_j \> v_hx_j = 0\;\;\forall h=1,\dots,n_i\NN
		\Xr_i(x_j)  \ubrace{=}{(1)}  \begin{bmatrix}
			[v_1\.x_j]_C\\
			\vdots
		\end{bmatrix}=0 \> \Xr_i(B_j)=0
		}
	\end{prova}
	\step{}{Dim. $5.$}
	\begin{prova}
		\eal{&\Xr_i(B_j)=0\;\forall i \neq j \> \Xr_i(e_j)=0 \>
		\X_i(e_j)=0\NN
		e_i=1_{B_i}  \ubrace{\>}{{\Xr_i}_{|B_i}=\f_if\T{ e' un
		alg-omomorfismo}} \Xr_{i}(e_i)=I \> \X_i(e_i)=\X_i(1)
		}
	\end{prova}
\end{proof}