\section{Preliminari}
\begin{defn}\label{defanello}.
Sia $A$ un anello (o gruppo). Se $B$ e' un sottoanello (o sottogruppo) di $A$,
scriveremo $B\le A$.\\
\begin{enumerate}
	\item 
Supporremo che in ogni anello unitario, $0_A \neq 1_A$, ovvero che lo zero dell'anello sia diverso dall'elemento unita', cioe'
\eal{&\pgra{0}\subset \pgra{0,1}\( A}
Quindi ogni anello unitario ha almeno $2$ elementi.\\
\item Ogni anello sara' ritenuto implicitamente unitario.
\end{enumerate}
\end{defn}
\begin{rem}
	Tutti gli spazi vettoriali che considereremo saranno di dimensione
	finita.
\end{rem}

\section{Algebre}
\def\l{{\lambda}}
\begin{defn}\label{defalgebra}
	Sia $A$ un $F$-spazio vettoriale finitamente generato e un anello\footnote{usiamo
	la stessa operazione di somma sia nello spazio che nell'anello. NOTA:
	l'anello e' unitario}.
	\eal{&A\T{ e' un'algebra} \definizione{\=} 
	\l (ab)  = (\l a)b = a(\l b) \;\;\forall a,b\in A,\;\forall \l \in F
	} 
\end{defn}
\begin{defn}
Sia $B\( A$, 
\eal{&B \T{ e' una sottoalgebra di } A \definizione{\= }
B \sist{\T{ e' un sottospazio vettoriale di A }\\
\T{ e' un sottoanello di A}\\
1_A\in B}
}
Se $B$ e' una sottoalgebra di $A$ utilizzeremo la seguente notazione:
\eal{&B \SA A
}
\end{defn}
\begin{rem}
	Una sottoalgebra e' un'algebra
\end{rem}
\begin{prop}
	\eal{&B \SA A \= \sist{x-y \in B\\
	\l x \in B\\
	xy\in B\\
	1_A\in B} \;\;\forall x,y\in B,\;\;\forall \l\in F
	}
\end{prop}
\begin{exemp}
	I seguenti insiemi sono delle algebre:
	\begin{enumerate}
		\item $A=\mat(n, F)$
		\item $A=\Hom(V,V)_F$, con $V$ spazio vett. finitamente
			generato.
	\end{enumerate}
\end{exemp}
\begin{defn}
Definiamo il centro dell'algebra $A$:
\eal{&Z(A) = \pgra{ a \in A \;|\; ab=ba\;\;\forall b\in A}
}
\end{defn}
\begin{rem}
	$Z(A) \SA A$
\end{rem}
\begin{prop}\label{zentrobase}
	Sia $e_1,\dots,e_n$ una base di $A$, allora
	\eal{&Z(A)= \pgra{a\in A\;|\;ae_i=e_ia\;\;\forall i=1,\dots,n}
	}
\end{prop}
\begin{defn}
	Sia data una mappa $f:A\longrightarrow B$, con $A,B$ algebre.
\eal{&f\T{ e' un omomorfismo di algebre (alg-hom)}
\definizione{\=} \sist{f\T{ e' una applicazione lineare }\\
f\T{ e' un omomorfismo di anelli}\\
f(1_A)=1_B
} \= \sist{f(\lambda x + \mu y) = \lambda f(x) + \mu f(y)\\
f(xy)=f(x)f(y)\\
f(1_A)=1_B
}\;\;\forall x,y\in A\;\;\forall \lambda,\mu\in F
}
\end{defn}
\begin{exemp}
	Sia $A$ una $F$-algebra, allora la funzione
	\eal{&f:F\longrightarrow  A\\
	&\lambda \mapsto \lambda 1_A}
	e' una omomorfismo di algebre iniettivo.
\end{exemp}
\begin{defn}
	Con $I\tleq A$ indichiamo un ideale (bilatero) di $A$. Con $I\tleqD A$
	un ideale destro di $A$.
\end{defn}
\begin{prop}
	Sia $I\tleqD A$ un ideale destro di $A$, allora
	\eal{&I\tleqD A \> I \le  A}
	ovvero, $I$ e' un sottospazio vettoriale di $A$.
\end{prop}
\def\d{{\delta}}
\begin{prop}
	\label{propmat}
	Sia $\pgra{e_{ij}\;|\;i,j=1,\dots,n}$ la base canonica di $\mat(n,F)$,
	ovvero $e_{ij}$ e' la matrice formata tutta da zeri, con $1$ nel posto
	$i,j$.\\
	Sia $a\in \mat(n,F)$
	Si ha, 
	\eal{&1.\;\; e_{ij} e_{kl}= \d_{jk} e_{il}\\
	&2.\;\;ae_{kl} = \sum_{i} a_{ik}e_{il}
	= \begin{bmatrix}
	 0	& \ldots & 0 & a_{1k} & 0      & \ldots & 0 \\
	 0	& \ldots & 0 & a_{2k} & 0      & \ldots & 0 \\
	 \vdots\\
	 0	& \ldots & 0 & a_{nk} & 0      & \ldots & 0 
	\end{bmatrix}\\
	&3.\;\;e_{kl}a = \sum_{i} a_{li}e_{ki}
	= \begin{bmatrix}
	 0	   & &\ldots & 0 \\
	 0	   & &\ldots & 0 \\
	 \vdots\\
	 0	   & &\ldots & 0 \\
	 a_{l1} & a_{l2} & \ldots & a_{ln} \\
	 0	   && \ldots & 0 \\
	 \vdots\\
	 0	   & &\ldots & 0 \\
	\end{bmatrix}\\
	&4.\;\;e_{rs}ae_{kl}= a_{sk}e_{rl}
	}
	Intuitivamente, 
	\begin{enumerate}
		\item $ae_{kl}$ e' la matrice con la colonna $k$-esima di $a$
	messa nella colonna $l$ e con tutti gli altri posti nulli
\item
	$e_{kl}a$ e' la matrice con la riga $l$-esima di $a$ posta nella
	riga $k$ e con tutti gli altri posti nulli.
\item $e_{rs}ae_{kl}$ e' la matrice che ha l'elemento $a_{sk}$ nel posto
	$r,l$. Tutti gli altri suoi elementi sono nulli.
	\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{matpermut}
	Sia $p_{ij}$ la matrice di permutazione che scambia la riga (colonna)
	$i$ con la riga (colonna) $j$. Allora si ha,
	\eal{&1.\;\;p_{ij}=1- e_{jj}-e_{ii} +e_{ij}+e_{ji}\\
	&2.\;\;p_{ij}a\T{ e' la matrice ottenuta scambiando le righe $i,j$ di
	$a$}\\
	&3.\;\;ap_{ij}\T{ e' la matrice ottenuta scambiando le colonne $i,j$
	di $a$}\\
	&4.\;\;p_{ij}e_{jk}=e_{ik}\\
	&5.\;\;e_{ij}p_{jk}=e_{ik}
	}
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{zentromat}
	\eal{&Z(\mat(n,F))= \pgra{\diag(\l,\l,\dots,\l)\;|\;\l\in F}
	}	
\end{prop}
\begin{defn}
	Sia $A$ un anello,
	\eal{&A \T{ e' semplice } \definizione{\=}
	\sist{\forall I\tleq A \;\;I = A  \|  I = 0\\
	A \neq 0
	}
	}
	In altre parole, $A$ e' semplice quando non ha ideali non banali.
\end{defn}
\begin{thm}
	Sia $A=\mat(n,F)$, con $F$ campo, allora,
	\eal{&A\T{ e' un'algebra semplice}}
\end{thm}
\begin{rem}
	Anche se non esistono ideali non banali, possono esistere ideali
	destri o sinistri. Ad esempio, 
	\eal{&I=\pgra{\begin{bmatrix}
		\a & \b \\
		0 & 0
	\end{bmatrix}\;|\; \a,\b\in F}}
	e' un ideale destro di $A=\mat(n,F)$
\end{rem}
\subsection{Moduli}
\begin{defn}
	\ilabel{modulo}
	Sia $A$ un $F$-algebra, e $V$ un $F$-spazio vettoriale, allora
\eal{&V\T{ e' un $A$-modulo, secondo l'operazione $\.:V\*A \longrightarrow  V$
}\definizione{\=}\NN
\qq\definizione{\=}
\sist{1.\;\;v1_{A} = v\\
2.\;\;(v+w)a=va+wa\\
3.\;\;(va)b=v(ab)\\
4.\;\;v(a+b) = va+vb\\
5.\;\;(\l v)a= v(\l a)=\l (va)
} \forall \l\in F,\;\forall a,b\in A,\;\;\forall v,w\in V
	}
In pratica, si puo' pensare $A$ come un particolare insieme di scalari per
$V$ (moltiplicati pero' a destra).
\end{defn}
\begin{exemp}
	\begin{enumerate}
		\item $A=\mat(n,F)$, $V=F^n$ e' un $A$-modulo con l'usuale
			operazione di moltiplicazione tra vettore (riga) e
			matrice\footnote{la moltiplicazione e' a destra: $v\.
			a$, con $a\in A$}
		\item $A$ algebra, $V=A$. Questo $A$-modulo si chiama
			l'$A$-\iemph{modulo regolare}, e si indica con $A^\o$
	\end{enumerate}
\end{exemp}
\begin{defn}
	Sia $V$ un $A$-modulo, e $W\le V$,
	\eal{&W \T{e' un sotto $A$-modulo di $V$}
	\definizione{\=} wa\in W\;\;\forall w\in W\;\forall a\in A
	}
	Per indicare che $W$ e' un $A$-sottomodulo di $V$ useremo la seguente
	notazione:
	\eal{&W \leA V}
\end{defn}
\begin{exemp}
	\label{sottomodulisonoideali}
	I sottomoduli di $A^\o$ sono gli ideali destri.
\end{exemp}
\begin{prop}
	\label{quozmod}
	Sia $V$ un $A$-mod e  $W$ un suo sottomodulo,allora
	\eal{&V/ W \T{ e' un $A$-modulo con l'operazione }
	(v+W)a = va+W
	}
\end{prop}
\begin{exemp}
	Dato $V$ $A$-modulo e $v\in V$, 
	\eal{&vA =\pgra{va\;|\;a\in A}\T{ e' un $A$-sottomodulo }} 
	e in generale 
	\eal{&v_1A+\dots+v_sA\T{ e' un $A$-sottomodulo}
	}
\end{exemp}
\def\r{{\rho}}
\begin{exemp}
	Sia $V$ un $A$-mod, allora l'applicazione
	\eal{&\r:A\longrightarrow  \End_F(V)\\
	&a \mapsto \r_a\\
	&\T{dove } \r_a:V\longrightarrow V\\
	&\qq v \mapsto va
	}
	e' una algebra-omomorfismo.
\end{exemp}
\begin{defn}
	Sia $V$ un $A$-modulo, 
	\eal{&\ann_A(V)\definizione{=}\pgra{a\in A\;|\;Va=0}}
	$\ann_A(V)$ e' l'\iemph{annullatore} di $V$ in $A$.
\end{defn}
\begin{prop}
	\eal{&\ann_A(V)\tleq A
	}
\end{prop}
\begin{defn}
	\ilabel{modulo!semplice}
	Sia $V$ un $A$-modulo, 
	\eal{&
	V\T{ e' semplice }\definizione{\=} \T{ gli unici sottomoduli di $V$
	sono $0,V$}}
\end{defn}
\begin{thm}
	Sia $A=\mat(n,F)$, $V=F^n$ $A$-mod con l'usuale moltiplicazione tra
	vettori e matrici,  allora
	\eal{&V\T{ e' semplice }}
\end{thm}
\begin{defn}
	\ilabel{A-omomorfismo}
Siano $V,W$ due $A$-moduli.
\eal{&f:V\longrightarrow W\T{ e' un A-omomorfismo } \definizione{\=}
\sist{1.\;\;f\T{ e' lineare}\\
2.\;\;f(va)=f(v)a\;\;\forall v\in V,\;\forall a\in A
}
}
Se $f$ e' biettiva, diremo che $f$ e' un $A$-isomorfismo e scriveremo:
\eal{&V\simeqA W}
\end{defn}
\begin{prop}
	\label{AomokerIm}
	Sia $f:V\longrightarrow  W$ un $A$-omomorfismo.
	\eal{&\ker f \T{ e' un  sottomodulo di $V$}\\
	& f(V) \T{ e' un sottomodulo  di $W$}
	}
\end{prop}
\begin{exemp}
	Sia $W$ un $A$-sottomodulo di $V$
	I seguenti sono $A$-omomorfismi:
	\begin{enumerate}
		\item $i:W\longrightarrow V$ \T{ inclusione } 
		\item $\pi:V\longrightarrow V/W$ \T{ surriez. naturale }
	\end{enumerate}
	Sia $U$ un $A$-sottomodulo di $V$ e supponiamo $V=U\oplus V$, allora
	\eal{&\pi_U:V\longrightarrow U\\
	&v=u+v \mapsto u }
	e' un $A$-omomorfismo.
\end{exemp}
\begin{prop}\label{stessoannullatore}
	\eal{&V\simeqA W\>\ann_A(V)=\ann_A(W)}
	Ovvero, moduli isomorfi hanno lo stesso annulatore.
\end{prop}
\begin{prop}
	Siano $V,W$ degli $A$-mod.
	\eal{&\Hom_A(V,W) \definizione{=} \pgra{f:V\longrightarrow W \;|\;
	f\T{ $A$-omo}} \T{ e' uno spazio vettoriale}\\
	&\End_A(V)\definizione{=} \Hom_A(V,V) \ubrace{\SA}{\T{sotto algebra}} \End_F(V)
	}
\end{prop}
\begin{thm} di Schur.
	\label{thmdischur}
	\ilabel{Schur, teorema di}
	Siano $V,W$ degli $A$-mod.
	\eal{&
	\sist{f:V\longrightarrow W\T{ $A$-omo}\\
	V,W\T{ semplici}\\
	\Im f \neq \pgra{0}}  
	\> f\T{ e' un $A$-isomorfismo }
	}
\end{thm}
\begin{cor}
	\label{cordischur}
	Sia $F$ campo algebricamente chiuso, $V$ $A$-modulo semplice, allora
	\eal{&f\in \End_A(V) \=\exists \l\in F:\;\; f=\lambda \id_V
	}
\end{cor}
\begin{prop}\label{esistesubmodsemplice}
	\eal{&V\T{ $A$-modulo, $V \neq 0$} \> \exists W \leA V\T{ semplice}}
In altre parole, in un $A$ modulo possiamo sempre trovare un sottomodulo
semplice.
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{sommainfinitamafinita}
	Sia $I$ un insieme di indici qualunque (anche infinito), e sia $V$
	uno spazio vettoriale finitamente generato. Sia $\pgra{U_i}_{i\in I}$
	una famiglia di sottospazi di $V$. Definiamo la seguente somma:
	\eal{&\sum_{i\in I} U_i \definizione{=} \pgra{\sum_{j\in J} u_j\;|\;J\( I,\;\;|J|<\8}
	}
	allora si ha
	\eal{&V=\sum_{i\in I} U_i  \> \exists \pgra{i_1,\dots,i_m}\(I:\;
	V=U_{i_1}+\dots+U_{i_m}
	}
\end{prop}
\begin{prop}\label{propmassimalessesemplice}
	Sia $W$ un sottomodulo di $V$.\\
	\eal{&W \T{ e' massimale } \= V/ W \T{ e' semplice}}
\end{prop}
\begin{prop}\label{VsemplicesseVisomAI}
	Sia $V$ un $A$-mod.
	\eal{&V\T{ e' semplice } \= V\simeq A/I \T{ con $I\tleqD A$ massimale
	}}
\end{prop}
\begin{lem}\label{sommainfinitamafinitaModuli}
	Sia $V$ un $A$-mod, $\pgra{U_i}_{i\in I}$ una famiglia di sotto
	$A$-moduli \underline{semplici}, con $I$ insieme di indici qualsiasi, allora
	\eal{&V=\sum_{i\in I} U_i \> V=U_{i_1}\oplus \cdots \oplus
	U_{i_t}
	}
	\begin{rem}
		Nella proposizione \see{sommainfinitamafinita} ottenevamo un
		risultato analogo. Stavolta, pero', richiedendo la semplicita'
		si $U_i$ e la modularita' di $A$ e $U_i$, otteniamo come
		risultato una somma diretta.
	\end{rem}
\end{lem}
\begin{thm}\label{thmequivalenzedissemplicitadiV}
	Sia $V$ un $A$-modulo, allora le seguenti condizioni sono equivalenti:
	\eal{&1.\;\;\forall U \leA V \;\exists W \leA V:\;\;V=U\oplus W\\
	&  \;\; \T{(E' possibile completare ogni sottomodulo di $V$)}\\
	&2.\;\; V=\sum_{i\in I}U_i,\T{ con }\;\;U_i \T{ $A$-sottomod semplice}\\
	&3.\;\; V=W_1\oplus \dots \oplus W_k,\T{ con }\;\;W_i \T{ $A$-sottomod semplice
	}\forall i=1,\dots,k
	}
\end{thm}
\subsection{Moduli semisemplici}
\begin{defn}
	\ilabel{modulo!semisemplice}
	Un $V$ $A$-modulo che soddisfa il teorema
	\see{thmequivalenzedissemplicitadiV} si dira' \emph{semisemplice}.
\end{defn}
\begin{prop}\label{sottomoddisempliceestsemplice}
	\eal{&
	\sist{V\T{ semisemplice }\\
	U\leA  V} \>  U\T{ e' semisemplice }}
	In altre parole, i sottomoduli di moduli semisemplici sono a loro volta
	semisemplici.
\end{prop}
\begin{prop}\label{quozientedisempliceestsemplice}
	\eal{&
	\sist{V\T{ semisemplice }\\
	U\leA  V} \>  V/U\T{ e' semisemplice }}
	In altre parole, i quozienti di moduli semisemplici sono a loro volta
	semisemplici.
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{sommadisemisempliciestsemisemplice}
	\eal{&V=\sum_{i\in I}U_i,\T{ con }U_i\T{ semisemplice } \> V\T{
	semisemplice}}
	In altre parole, la somma di moduli semisemplici e' un modulo
	semisemplice.
\end{prop}
\begin{thm}\label{ccAsemisempsseogniVssemp}
	Sia $A$ una $F$-algebra, allora
	\eal{&\cc A \T{ e' semisemplice } \= \T{ Ogni }V\;\T{ $A$-mod e'
	semisemplice }
	}
\end{thm}
\subsection{Algebre semisemplici}
\begin{defn}
	Sia $A$ una $F$-algebra,
	\eal{&A\T{ e' semisemplice }\definizione{\=} \cc A\T{ e'
	semisemplice }}
\end{defn}
\begin{prop}\label{Assempssesommadiidealiminimali}
	\eal{&A\T{ e' semisemplice } \= A =\sum_{I\tleqD \cc A,\;I\T{ semp.}}I=
	\sum_{I\tleqD A \T{ minimale }} I
	}
\end{prop}
\begin{prop}\label{AVidealediA}
	\ilabel{A(V)}
	Sia $V$ un $A$-mod. Definiamo $A(V)$ come la somma di tutti gli ideali
	destri di $A$ che sono $A$-isomorfi a $V$ (nota\footnote{o in altre
	parole, la somma dei sottomoduli di $\cc A$, isomorfi a $V$}):
	\eal{&A(V)\definizione{=} \sum_{I\tleqD \cc A:\;I\simeqA V} I }
	Si ha,
	\eal{&V\T{ semplice } \> A(V)\tleq A}
\end{prop}
\begin{prop}\label{Asempliceestssemplice}
Sia $A$ una $F$-algebra, si ha
\eal{&A\T{ semplice } \> A\T{ semisemplice }}
\end{prop}
\begin{lem}\label{isomadunaddendo}
	Sia $V$ un $A$-mod.
	\eal{&\sist{V=\sum_{i\in I}V_i,\;\;\T{ con } V_i\T{ semplice }\;\forall i\in
	I\\
	W\leA V\T{ semplice }} \> \exists i:\;W\simeqA V_i
	}
\end{lem}
\def\f{{\phi}}
\begin{thm}
	di Wedderburn.\\
	\label{thmdiwedderburn}
	\ilabel{Wedderburn!teorema di}
	Sia $A$ una $F$-algebra \underline{semisemplice}, allora
	\begin{enumerate}
		\item \eal{&V\T{ $A$-mod semplice }\= \exists I \tleqD A \T{
			minimale: }V\simeqA I}
			Ovvero, gli $A$-moduli semplici sono isomorfi ad
			$\cc A$-sottomoduli.
		\item $\exists I_1,\dots,I_k \tleqD A\T{ minimali }$ tale che 
			\eal{&I_i \not\simeq I_j \;\;\forall i \neq j\\
			&I\tleqD A \T{ minimale } \> \exists i:\;I\simeqA I_i
			}
			Ovvero, se consideriamo la relazione d'equivalenza
			indotta da $\simeqA$, otteniamo solo $k$ classi di
			$\cc A$-sottomoduli semplici.
		\item $A=A(I_1)\oplus \dots \oplus A(I_k)$
		\item $\ann_A(I_i) = \sum_{j \neq i}A(I_j)$
		\item $A(I_i)\tleq A\T{ e' minimale } \;\;\forall i=1,\dots,k$
		\item \eal{&\f_i:A(I_i)\longrightarrow \End_F(I_i)
			\ubrace{\simeq}{\T{algebra}}
			\mat(m_i,F),\;\;\;m_i=\dim I_i\\
			&\invisible{\f_i:A}x\mapsto r_x:I_i\longrightarrow I_i\\
			&\invisible{\invisible{\f_i:A}x\mapsto r_x:I}u\mapsto ux
			}
			$\f_i$ e' un algebra-omomorfismo iniettivo.\\
			Inoltre, se $F$ e' algebricamente chiuso, $\f_i$ e'
			biettiva e quindi si ha:
			\eal{&A(I_i)\simeq \End_F(I_i)\simeq \mat(m_i,F)}
			Nota: questi sono isomorfismi di algebre. $A(I_i)$ e'
			un algebra la cui unita' e' $e_i$, dove $(e_1,\dots,e_k)\in
			A(I_1)\*\dots\*A(I_k)$ e' quell'unica $n$-upla t.c.
			\eal{&1=e_1+\dots+e_k}
	\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{cor}
	\eal{&A\T{ algebra semisemplice } \> A\T{ e' somma (diretta) di algebre semplici}}
\end{cor}
\begin{cor}
	\label{dimZA}
	\label{dimA}
	Sia $A$ un'algebra \underline{semisemplice} su $F$
	\underline{algebricamente chiuso}. Si ha:
	\eal{&1.\;\;A \simeq \mat(n_1,F)\oplus \dots \oplus\mat(n_k,F)
 \T{ dove
	} n_i=\dim I_i\NN
	2.\;\;k =\dim Z(A)\NN
	3.\;\;\dim A = \sumjn n_j^2
	}
	dove $\pgra{I_1,\dots,I_k}$ sono i rappresentanti delle classi di
	isomorfismo di $A$-moduli semplici.
\end{cor}
\section{Algebra di un gruppo}
L'obiettivo di questa sezione sara' quello di sfruttare il teorema di
Wedderburn per ricavare informazioni sui gruppi finiti. Per far cio',
per ogni gruppo finito $G$ costruiremo un'algebra semisemplice strettamente
legata ad esso.

\def\l{{\lambda}}
\def\m{{\mu}}
\begin{defn}
	Sia $G$ un gruppo finito, $F$ un campo. Sia $FG$ l'insieme delle
	combinazioni lineari formali\footnote{possiamo considerare una somma
	formale $\sum_{g\in G}\l_g g$ come la scrittura simbolica di una funzione $\l:G\longrightarrow
	F$ tale che $\l(g)=\l_g$. Avremo cosi' che:
	\eal{&\sum_{g\in G}\l_g g = \sum_{g\in G}\m_g g \leftrightarrow
	\l_g=\m_g\;\;\forall  g\in G
	}
	}
	di $G$ su $F$:
	\eal{&FG\definizione{=} \gen{G}_F  = \pgra{\sum_{g\in G} \l_g g\;|\;\l_g\in F}
	}
	Possiamo rendere $FG$ un'algebra ponendo:
	\eal{&0\definizione{=}\sum_{g\in G}0g\NN
	1\definizione{=}1_F1_G+\sum_{g\in G\-\{1_G\}} 0g}
e	definendo le seguenti
	operazioni:
	\eal{&\sum_{g\in G}\l_g g + \sum_{g\in G}\m_g g 
	\definizione{=}\sum_{g\in G}(\l_g+\m_g) g\NN
	\lambda \. \pton{\sum_{g\in G}\l_g g }
	\definizione{=} \sum_{g\in G}(\lambda \l_g) g \NN
	\pton{	\sum_{g\in G}\l_g g}\.\pton{ \sum_{g\in G}\m_g g}
	\definizione{=} \sum_{g,h\in G}\l_g\m_h g h 
	= \sum_{z\in G}\pton{\sum_{g,h\in G:\;gh=z}\l_g\m_h}z
	\ubrace{=}{h=\inv gz}  \;\;\sum_{z\in G}\pton{\sum_{g\in G}
	\l_g\m_{\inv gz}}z
	}
\end{defn}
\begin{prop}
	\eal{&
	1.\;\;FG\T{ e' un'algebra}\NN
	2.\;\;\dim FG=|G|}
\end{prop}
\begin{defn}
	Diamo alcune definizioni per i gruppi.\
	Sia $G$ un gruppo finito e $X\(G$, 
	\eal{&x^g\definizione{=}\inv g x g \;\;\forall x,g\in G\NN
	\ubrace{C_G(x)}{\T{centralizzante di }x}\definizione{=}\pgra{g\in G\;|\;xg=gx}\NN
	\ubrace{x\sim y}{x\T{ coniugato con }y} \definizione{\=} \exists g\in
	G:\;x=y^g\NN
	\ubrace{\cl_G(x)}{\T{classe di coniugio}}\definizione{=}x^G
	\definizione{=}\pgra{x^g\;|\;g\in G}\NN
	\cl(G) \definizione{=} \pgra{\cl_G(x)\;|\;x\in G}\NN
	\sh X \definizione{=}\sum_{x\in X}x
	}
\end{defn}
\begin{thm}\label{basediZFG}
	Sia $\cl(G)=\pgra{K_1,\dots,K_k}$, allora
	\eal{&
	1.\;\;Z(FG)=\gen{\sh{K_1},\dots,\sh{K_k}}\NN
	2.\;\;\pgra{\sh{K_1},\dots,\sh{K_k}}\T{ sono l.i.}\NN
	3.\;\;\dim Z(FG) = k
	}
$\pgra{\sh{K_1},\dots,\sh{K_k}}$ e' quindi una base  dello spazio
	vettoriale  $Z(FG)$.
\end{thm}
\def\t{{\vartheta}}
\begin{lem}\label{thetaFGomo}
	Sia $f:V\longrightarrow W$ una applicazione lineare, con $V,W$
	$FG$-moduli, allora
	\eal{&\t:V\longrightarrow W\NN
	\invisible{\t: }v\mapsto \sum_{g
	\in G}f(v\inv g)g 
	}
	$\T{ e' un $FG$-omomorfismo}$.\\
	In altre parole, sfruttando l'algebra $FG$, da una applicazione lineare $f$ possiamo indurre un
	$FG$-omomorfismo.
\end{lem}
\begin{lem}\label{t2eqt}
	Siano $V,W$ due spazi vettoriali e sia $\t:V\longrightarrow W$ una
	applicazione lineare, con $W\le V$.
	\eal{&\t^2=\t \> V=\Im \t \oplus \ker \t}
\end{lem}
\begin{thm}\ilabel{Maschke!teorema di}
	\label{thmdimaschke}
	di Maschke.\\
	\eal{&\ch F \ndiv |G| \> FG\T{ e' semisemplice }
	}
	dove $\ch F$ e' la caratteristica del  campo $F$.
\end{thm}
\begin{cor}\label{wedderpergroupalgebra}
	Grazie al teorema di Maschke, se $\ch F\ndiv |G|$,  possiamo applicare
	il teorema di Wedderburn all'algebra semisemplice $FG$. In piu',
	utilizzando il corollario \see{dimZA} e il teorema \see{basediZFG} possiamo dire che:
	\eal{&1.\;\;\T{Se $F$ e' algebricamente chiuso: }\NN
	\invisible{1.\;\;}\qq 1.\;\;FG\simeq \mat(n_1,F)\oplus
	\dots\oplus\mat(n_k,F)\NN
	\invisible{1.\;\;\qq 1.\;\;}\T{ dove }n_i=\dim
	I_i,\;\;\pgra{I_1,\dots,I_k}\T{ rappresentanti delle classi di
	isomorfismo di $FG$-moduli semplici }\NN
	\invisible{1.\;\;}\qq 2.\;\;n_1^2+\dots+n_k^2=\dim FG= |G|\NN
	\invisible{1.\;\;}\qq 3.\;\;k=\dim Z(FG)=|\cl(G)|\NN
	2.\;\; V\T{ $FG$-mod} \> V\simeq m_1I_1\oplus\dots\oplus
	m_kI_k\T{ dove }m_i\ge 0,\;m_iI_i=\ubrace{I_i\oplus\dots\oplus
	I_i}{m_i\T{ volte}}\NN
	3.\;\;FG\simeq n_1I_1\oplus\dots\oplus n_kI_k
	}
\end{cor}
\section{Rappresentazioni}
\begin{defn}
	Sia $G$ un gruppo finito e $F$ un campo. Chiameremo \iemph{rappresentazione} di G un
	qualsiasi omomorfismo di gruppi $\Xr:G\longrightarrow \GL(n,F)$
	\footnote{$\GL(n,F)=\pgra{M\in
	\mat(n,F)\;|\;\exists \inv M}$}.\\
	La rappresentazione dell'algebra $FG$ sara' un qualsiasi omomorfismo
	di algebre del tipo $\Xr:FG\longrightarrow \mat(n,F)$.\\
	Poniamo inoltre
	\eal{&\dim \Xr\definizione{=} n}
\end{defn}
\begin{prop}\label{propestensionerappr}
	Se $\Xr$ e' una rappresentazione di $G$, l'applicazione
	$\Xr':FG\longrightarrow \mat(n,F)$, ottenuta estendendo linearmente
	$\Xr$, e' una rappresentazione di $FG$.\\
	Viceversa, se $\Xr'$ e' una rappresentazione di $FG$,
	$\Xr=\Xr'_{|G}$ e' una rappresentazione di $G$.
\end{prop}
\begin{prop}\label{reprtomod}
	Illustriamo adesso un metodo per ottenere un $FG$-modulo da una
	rappresentazione $\Xr$ di $FG$, e viceversa.\\
	\begin{enumerate}
		\item Sia $\Xr:FG\longrightarrow \mat(n,F)$ una rappresentazione
			di $FG$ e sia $V=F^n$. $V$ diventa un $FG$-modulo con
			l'operazione
			\eal{&v\.g=v\Xr(g)}
		\item Sia $V$ un $FG$-modulo. La funzione
			\eal{&f:G\longrightarrow \GL(V)\NN
			g\mapsto r_g:V\longrightarrow V\NN
			\invisible{g\mapsto r_g:}
			v\mapsto v\.g
			}
			e' un omomorfismo di gruppi. Scelta una base
			$B=\pqua{v_1,\dots,v_n}$ di $V$, definiamo la funzione
			\eal{&\Xr:G\longrightarrow \GL(n,F)\NN
			g\mapsto M_B(f(g))= M_B(r_g)
			}
			dove $M_B(r_g)$ e' la matrice associata
			dell'isomorfismo $r_g$, secondo la base $B$, ovvero
			\eal{&\ubrace{(M_B(r_g))_{i}}{\T{riga }i-\T{esima}}
			= \ubrace{[r_g(v_i)]_{B}}{\T{vettore delle componenti
			di }r_g(v_i)\T{ secondo }B}  = 
			[v_i\.g]_B
			}
			In altre parole,
			\eal{&
			v_i\.g=\sumjn x_{ij}(g) v_j \> (\Xr(g))_{ij} =
			x_{ij}(g)
			}
	\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{prop}
	Applicando le due costruzioni esposte in \see{reprtomod} in
	successione (usando la base canonica $B=\pgra{e_1,\dots,e_n}$), si riottiene il modulo o la
	rappresentazione di partenza.
\end{prop}
\begin{defn}\ilabel{rappresentazioni!simili}
	Siano $\Xr,\Yr:G\longrightarrow \GL(n,F)$ due rappresentazioni. Diremo
	che $\Xr,\Yr$ sono \emph{simili} se:
	\eal{&\Xr\sim \Yr\definizione{\=}\exists M\in \GL(n,F):\;\;\Xr(g)=\inv
	M \Yr(g) M=\Yr(g)^{M} \;\;\forall g\in G
	}
\end{defn}
\begin{rem}
	Se $\Xr$ e' una rappresentazione, lo e' anche $\Xr(g)^M$, in quanto la
	coniugazione e' un isomorfismo di gruppi.
\end{rem}
\begin{defn}
	\ilabel{rappresentazioni!irriducibili}
	Sia $\Xr$ una rappresentazione.
	\eal{&
	\Xr\T{ e' riducibile }\definizione{\=}\exists M\in \GL(n,F):\;\forall g\in G \;\Xr(g)
	=\inv M 
	\begin{bmatrix}
		X(g)&Y(g)\\
		\uline{0}&Z(g)
	\end{bmatrix}M\NN
	\qq \T{ con }Z(g)\in \mat(r,F),\;X(g)\in \mat(s,F),\;Y(g)\in F^{s\*r}
	}
	ovvero
	\eal{&
\Xr\T{ e' riducibile }\= \Xr \T{  e' simile ad una matrice a blocchi del tipo }
	\begin{bmatrix}
		X&Y\\
		\uline{0}&Z
	\end{bmatrix}\NN
	}
\end{defn}
\begin{prop}\label{proprapprirridssesemplice}
	Sia $\Xr:G\longrightarrow \GL(n,F)$ una rappresentazione e $V=F^n$ il
	suo modulo indotto, allora
	\eal{&\Xr \T{ irriducibile } \= V\T{ semplice }}
\end{prop}
\begin{prop}\label{simileadiagonaleablocchi}
Sia $V$ un $FG$-modulo,  $U,W\leFG V$ e sia $\Xr$ la rappresentazione indotta
da $V$ secondo la base canonica. Infine, sia $B_U=\pgra{u_1,\dots,u_s}$ una base
di $U$ e $B_W=\pgra{w_1,\dots,w_r}$ una base di $W$. Si ha
\eal{&V=W\oplus U \> \Xr\sim \begin{bmatrix}
	\uline W    & \uline{0} \\
	\uline{0} & \uline U \\
\end{bmatrix}\NN
\T{ dove } \uline W,\uline U \T{ sono rispettivamente le rappresentazioni indotte
da }W,U \T{ su }B_W,B_U
}
\end{prop}
\begin{prop}\label{fFGomosseXMeqYM}
	Sia $V,W$ due $FG$-moduli e sia $f:V\longrightarrow W$ una
	applicazione lineare tra essi, allora
	\eal{&
	f\T{ e' un }FG\T{-omomorfismo }\= \Xr(g)M_{B,C}(f)=M_{B,C}(f)\Yr(g)\;\;\forall g\in G
	}
	dove $\Xr,\Yr$ sono le rappresentazioni indotte dai moduli $V,W$
	secondo le basi $B=\pgra{v_i}_{i=1}^n,\;C=\pgra{w_i}_{i=1}^m$, e
	$M_{B,C}(f)$ e' la matrice associata a $f$.
\end{prop}
\begin{prop}\label{rapprsimssemoduliisom}
	Siano $\Xr,\Yr$ due rappresentazioni di $FG$ e siano $V_1,V_2$ i
	moduli indotti, allora
	\eal{&V_1\simeqFG V_2 \=  \Xr\sim \Yr}
	Ovvero, le rappresentazioni sono simili se e solo se i loro moduli
	indotti sono isomorfi.
\end{prop}
\begin{prop}\label{irridXrMeqMYralloraMscalare}
Supponendo di avere
\begin{enumerate}
	\item $\Xr,\Yr:G\longrightarrow \GL(n,F)$ rappresentazioni irriducibili di $G$
	\item $F$ \T{ campo algebricamente chiuso }
	\item $\Xr(g)M=M\Yr(g)\;\;\forall g\in G$ per qualche $M\in
		F^{n\*m}$
\end{enumerate}
si ha
\eal{&M=0\T{ oppure } M=\lambda I,\;\lambda\in F^*,\;\Xr=\Yr,\;n=m
}
\end{prop}
\begin{prop}\label{MXreqXrM}
	\eal{&\sist{\Xr \T{ rappr. irriducibile}\\
	\exists M\in \mat(n,F):\;\;M\Xr(g)=\Xr(g)M\;\;\forall g\in G\\
	F\T{ alg. chiuso} } \> M = \lambda I,\;\;\T{ con }\lambda\in F}
	Nota\footnote{Questa proposizione puo' sembrare banale, ma la
	includiamo perche' sara' utile nel seguito}.
\end{prop}
\begin{prop}\label{nelcentroallorascalare}
	\eal{&\sist{h\in Z(G)\\
	\Xr\T{ rappr. irriducibile}\\
	F\T{ alg. chiuso}} \> \Xr(h)=\lambda I,\T{ con } \lambda\in F
	}
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{abelianoalloralineare}
	\eal{&\sist{G\T{ abeliano}\\
	\Xr\T{ rappr. irriducibile}\\
	F\T{ alg. chiuso}} \> \dim \Xr = n =1, \T{ ovvero 
	}\Xr:G\longrightarrow F^*
	}
	In questo caso, diremo che $\Xr$ e' lineare.\ilabel{rappresentazione lineare}
\end{prop}
\begin{rem}
	Da adesso in poi considereremo solo l'algebra $\CG$, cosi' da
	assicurare la chiusura algebrica del campo e la condizione
	\eal{&\ch \C\ndiv |G|}
\end{rem}
\begin{thm}\label{thmdiwedderburnperlerappr}
	di Wedderburn per le rappresentazioni.\\
	Siano $I_1,\dots,I_k$ i
	rappresentanti delle classi di isomorfismo dei $\CG$-moduli semplici e
	siano $\Xr_1,\dots,\Xr_k$ le relative rappresentazioni indotte.
	Allora,
	\eal{&1.\;\;\Xr:G\longrightarrow \GL(n,\C) \T{ rappr. irriducibile } 
	\> \exists !i:\;\Xr\sim \Xr_i\NN
	2.\;\;k=|\cl(G)|,\;\;|G|=n_1^2+\dots+n_k^2,\;\;\T{ con }n_i=\dim
	I_i\NN
	3.\;\;\Yr:G\longrightarrow \GL(n,\C)\T{ rappresentazione }\> 
	\Yr \sim \diag(\Xr_{i_1},\dots,\Xr_{i_r}) \T{ matrice diagonale a
	blocchi}\NN
	4.\;\;\sist{\Xr_i(B_j)=0\;\;\forall j \neq i\\
	\Xr_i(B_i)=\mat(n_i,\C)},\T{ dove } B_i=A(I_i)\NN
	5.\;\;1=e_1+\dots+e_k,\;\;e_i\in B_i \>
	\X_i(e_j)=\X_i(1)\delta_{ij}\NN
	\invisible{5.\;\;\;}\T{dove,
	}\X_i(x)=\Tr\Xr_i(x),\;\;\Tr M \T{ e' la traccia della matrice }M,\;\;\delta_{ij}=\sist{1&i=j\\
	0&\T{altrimenti}}
	}
\end{thm}