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\section{Preliminari}
In questa prima parte della tesi verranno enunciati, senza dimostrazione, i
teoremi \piu
significativi riguardanti le Algebre e le Rappresentazioni di 
gruppi finiti. Per ulteriori approfondimenti, faremo riferimento a
\martinisaacfinitegroup.

\begin{defn}\label{defanello}
Sia $A$ un anello (o gruppo). Se $B$ \est un sottoanello (o sottogruppo) di $A$,
scriveremo $B\le A$.\\
\begin{enumerate}
	\item 
Supporremo che in ogni anello unitario, $0_A \neq 1_A$, ovvero che lo zero
dell'anello sia diverso dall'elemento \unitans, \cioe
\eal{&\pgra{0}\subset \pgra{0,1}\( A}
Quindi ogni anello unitario ha almeno $2$ elementi.\\
\item Ogni anello \sara ritenuto implicitamente unitario.
\end{enumerate}
\end{defn}
\begin{rem}
	Tutti gli spazi vettoriali che considereremo saranno di dimensione
	finita.
\end{rem}

\subsection{Algebre}
\def\l{{\lambda}}
\begin{defn}\label{defalgebra}
	Sia $A$ un $F$-spazio vettoriale finitamente generato e un anello\footnote{usiamo
	la stessa operazione di somma sia nello spazio che nell'anello. NOTA:
	l'anello \est unitario}.
	\eal{&A\T{ \est un'algebra} \definizione{\=} 
	\l (ab)  = (\l a)b = a(\l b) \;\;\forall a,b\in A,\;\forall \l \in F
	} 
\end{defn}
\begin{defn}
Sia $B\( A$, 
\eal{&B \T{ \est una sottoalgebra di } A \definizione{\= }
B \sist{\T{ \est un sottospazio vettoriale di A }\\
\T{ \est un sottoanello di A}\\
1_A\in B}
}
Se $B$ \est una sottoalgebra di $A$ utilizzeremo la seguente notazione:
\eal{&B \SA A
}
\end{defn}
\begin{rem}
	Una sottoalgebra \est un'algebra
\end{rem}
\begin{defn}
Si definisce centro dell'algebra $A$ il seguente insieme:
\eal{&Z(A) = \pgra{ a \in A \;|\; ab=ba\;\;\forall b\in A}
}
\end{defn}
\begin{rem}
	$Z(A) \SA A$
\end{rem}
\begin{prop}\label{zentrobase}
	Sia $e_1,\dots,e_n$ una base di $A$, allora
	\eal{&Z(A)= \pgra{a\in A\;|\;ae_i=e_ia\;\;\forall i=1,\dots,n}
	}
\end{prop}
\begin{defn}
	Sia data una mappa $f:A\longrightarrow B$, con $A,B$ algebre.
\eal{&f\T{ \est un omomorfismo di algebre (alg-hom)}
\definizione{\=} \sist{f\T{ \est una applicazione lineare }\\
f\T{ \est un omomorfismo di anelli}\\
f(1_A)=1_B
}\NN
\T{ o equivalentemente se: } \sist{f(\lambda x + \mu y) = \lambda f(x) + \mu f(y)\\
f(xy)=f(x)f(y)\\
f(1_A)=1_B
}\;\;\forall x,y\in A\;\;\forall \lambda,\mu\in F
}
\end{defn}
\begin{notaz}
	Con $I\tleq A$ indichiamo un ideale (bilatero) di $A$. Con $I\tleqD A$
	un ideale destro di $A$.
\end{notaz}
\def\d{{\delta}}
\begin{defn}
	Sia $A$ un anello,
	\eal{&A \T{ \est semplice } \definizione{\=}
	\sist{\forall I\tleq A \;\;I = A  \|  I = 0\\
	A \neq 0
	}
	}
\end{defn}
\begin{thm}
	Sia $A=\mat(n,F)$, con $F$ campo, allora,
	\eal{&A\T{ \est un'algebra semplice}}
\end{thm}
\subsection{Moduli}
\begin{defn}
	\ilabel{modulo}
	Sia $A$ un $F$-algebra e $V$ un $F$-spazio vettoriale, allora
\eal{&V\T{ \est un $A$-modulo, secondo l'operazione $\.:V\*A \longrightarrow  V$
}\definizione{\=}\NN
\qq\definizione{\=}
\sist{1.\;\;v1_{A} = v\\
2.\;\;(v+w)a=va+wa\\
3.\;\;(va)b=v(ab)\\
4.\;\;v(a+b) = va+vb\\
5.\;\;(\l v)a= v(\l a)=\l (va)
} \forall \l\in F,\;\forall a,b\in A,\;\;\forall v,w\in V
	}
\end{defn}
\begin{exemp}\invisible{.}
	\begin{enumerate}
		\item $A=\mat(n,F)$, $V=F^n$ \est un $A$-modulo con l'usuale
			operazione di moltiplicazione tra vettore (riga) e
			matrice\footnote{la moltiplicazione \est a destra: $v\.
			a$, con $a\in A$}
		\item $A$ algebra, $V=A$. Questo $A$-modulo si chiama
			l'$A$-\iemph{modulo regolare}, e si indica con $A^\o$
	\end{enumerate}
\end{exemp}
\begin{defn}
	Sia $V$ un $A$-modulo, e $W\le V$,
	\eal{&W \T{ \est un sotto $A$-modulo di $V$}
	\definizione{\=} wa\in W\;\;\forall w\in W\;\forall a\in A
	}
	Per indicare che $W$ \est un $A$-sottomodulo di $V$ useremo la seguente
	notazione:
	\eal{&W \leA V}
\end{defn}
\begin{exemp}
	\label{sottomodulisonoideali}
	I sottomoduli di $A^\o$ sono gli ideali destri.
\end{exemp}
\begin{defn} Sia $V$ un $A$-modulo, chiameremo \emph{annullatore} di $V$ in $A$ il seguente
	insieme:
	\eal{&\ann_A(V)\definizione{=}\pgra{a\in A\;|\;Va=0}}
\end{defn}
\begin{prop}Sia $A$ un anello unitario; allora
	\eal{&\ann_A(V)\tleq A
	}
\end{prop}
\begin{defn}
	\ilabel{modulo!semplice}
	Sia $V$ un $A$-modulo, 
	\eal{&
	V\T{ \est semplice }\definizione{\=} \T{ gli unici sottomoduli di $V$
	sono $0,V$}}
\end{defn}
\begin{thm}
	Sia $A=\mat(n,F)$ e sia $V=F^n$.\\
	$V$ \est un $A$-modulo con l'usuale moltiplicazione tra
	vettori e matrici, inoltre  $V$ \est semplice.
\end{thm}
\begin{defn}
	\ilabel{A-omomorfismo}
Siano $V,W$ due $A$-moduli.
\eal{&f:V\longrightarrow W\T{ \est un A-omomorfismo } \definizione{\=}
\sist{1.\;\;f\T{ \est lineare}\\
2.\;\;f(va)=f(v)a\;\;\forall v\in V,\;\forall a\in A
}
}
Se $f$ \est biettiva, diremo che $f$ \est un $A$-isomorfismo e scriveremo:
\eal{&V\simeqA W}
\end{defn}
\begin{prop}
	Siano $V,W$ degli $A$-moduli.
	\eal{&\Hom_A(V,W) \definizione{=} \pgra{f:V\longrightarrow W \;|\;
	f\T{ $A$-omomorfismo}} \T{ \est uno spazio vettoriale}\\
	&\End_A(V)\definizione{=} \Hom_A(V,V) \T{ \est una sottoalgebra di }
	 \End_F(V)
	}
\end{prop}
\begin{thm} (Schur).
	\label{thmdischur}
	\ilabel{Schur, teorema di}
	Siano $V,W$ degli $A$-moduli. Si ha che:
	\eal{&
	\sist{f:V\longrightarrow W\T{ $A$-omomorfismo}\\
	V,W\T{ semplici}\\
	\Im f \neq \pgra{0}}  
	\> f\T{ \est un $A$-isomorfismo }
	}
\end{thm}
\begin{cor}
	\label{cordischur}
	Sia $F$ un campo algebricamente chiuso, $V$ un $A$-modulo semplice; allora
	\eal{&f\in \End_A(V) \=\exists \l\in F:\;\; f=\lambda \id_V
	}
\end{cor}
\begin{thm}\label{thmequivalenzedissemplicitadiV}
	Sia $V$ un $A$-modulo, allora le seguenti condizioni sono equivalenti:
	\eal{&1.\;\;\forall U \leA V \;\exists W \leA V:\;\;V=U\oplus W\\
	&  \;\; \T{(\Est possibile completare ogni sottomodulo di $V$)}\\
	&2.\;\; V=\sum_{i\in I}U_i,\T{ con }\;\;U_i \T{ $A$-sottomodulo semplice}\\
	&3.\;\; V=W_1\oplus \dots \oplus W_k,\T{ con }\;\;W_i \T{
	$A$-sottomodulo semplice, per ogni
	} i=1,\dots,k
	}
\end{thm}
\subsection{Moduli semisemplici}
\begin{defn}
	\ilabel{modulo!semisemplice}
	Un $A$-modulo $V$ che soddisfa il 
	\seethm{thmequivalenzedissemplicitadiV}
	si \dira \emph{semisemplice}.
\end{defn}
\begin{thm}\label{ccAsemisempsseogniVssemp}
	Sia $A$ una $F$-algebra; allora $\cc A \T{ \est semisemplice}$ se e
	solo se ogni $V\T{ $A$-modulo \est
	semisemplice }$
\end{thm}
\subsection{Algebre semisemplici}
\begin{defn}
	Sia $A$ una $F$-algebra,
	\eal{&A\T{ \est semisemplice }\definizione{\=} \cc A\T{ \est
	semisemplice }}
\end{defn}
\begin{prop}\label{AVidealediA}
	\ilabel{A(V)}
	Sia $V$ un $A$-modulo. Definiamo $A(V)$ come la somma di tutti gli ideali
	destri di $A$ che sono $A$-isomorfi a $V$ (nota\footnote{o in altre
	parole, la somma dei sottomoduli di $\cc A$, isomorfi a $V$}):
	\eal{&A(V)\definizione{=} \sum_{I\tleqD \cc A:\;I\simeqA V} I }
	Si ha:
	\eal{&V\T{ semplice } \> A(V)\tleq A}
\end{prop}
\def\f{{\phi}}
\begin{thm}
	(Wedderburn).
	\label{thmdiwedderburn}
	\ilabel{Wedderburn!teorema di}
	Sia $A$ una $F$-algebra \underline{semisemplice}, allora
	\begin{enumerate}
		\item \eal{&V\T{ $A$-modulo semplice }\= \exists I \tleqD A \T{
			minimale: }V\simeqA I}
			Ovvero, gli $A$-moduli semplici sono isomorfi ad
			$\cc A$-sottomoduli.
		\item Esistono $I_1,\dots,I_k \tleqD A\T{ minimali }$ tale che 
			\eal{&I_i \not\simeq I_j \;\;\forall i \neq j\\
			&I\tleqD A \T{ minimale } \> \exists i:\;I\simeqA I_i
			}
			Ovvero, se consideriamo la relazione d'equivalenza
			indotta da $\simeqA$, otteniamo solo $k$ classi di
			$\cc A$-sottomoduli semplici.
		\item $A=A(I_1)\oplus \dots \oplus A(I_k)$
		\item $\ann_A(I_i) = \sum_{j \neq i}A(I_j)$
		\item $A(I_i)\tleq A\T{ \est minimale}$ per ogni $i=1,\dots,k$
		\item \eal{&\f_i:A(I_i)\longrightarrow \End_F(I_i)
			\ubrace{\simeq}{\T{algebra}}
			\mat(m_i,F),\;\;\;m_i=\dim I_i\\
			&\invisible{\f_i:A}x\mapsto r_x:I_i\longrightarrow I_i\\
			&\invisible{\invisible{\f_i:A}x\mapsto r_x:I}u\mapsto ux
			}
			\est un 
			omomorfismo di algebra iniettivo.\\
			Inoltre, se $F$ \est algebricamente chiuso, $\f_i$
			\est
			biettiva e quindi si ha:
			\eal{&A(I_i)\simeq \End_F(I_i)\simeq \mat(m_i,F)}
			Nota: questi sono isomorfismi di algebre. $A(I_i)$
			\est
			un algebra la cui \unita \est $e_i$, dove $(e_1,\dots,e_k)\in
			A(I_1)\*\dots\*A(I_k)$ \est quell'unica $n$-upla t.c.
			\eal{&1=e_1+\dots+e_k}
	\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{cor}Un'algebra semisemplice \est somma (diretta) di algebre semplici.
\end{cor}
\begin{cor}
	\label{dimZA}
	\label{dimA}
	Sia $A$ un'algebra \underline{semisemplice} su $F$
	\underline{algebricamente chiuso}. Si ha:
	\eal{&1.\;\;A \simeq \mat(n_1,F)\oplus \dots \oplus\mat(n_k,F)
 \T{ dove
	} n_i=\dim I_i\NN
	2.\;\;k =\dim Z(A)\NN
	3.\;\;\dim A = \sumjn n_j^2
	}
	dove $\pgra{I_1,\dots,I_k}$ sono i rappresentanti delle classi di
	isomorfismo di $A$-moduli semplici.
\end{cor}
\subsection{Algebre di gruppo}
L'obiettivo di questa sezione \sara quello di sfruttare il teorema di
Wedderburn per ricavare informazioni sui gruppi finiti. Per far ci\`{o},
per ogni gruppo finito $G$, costruiremo un'algebra semisemplice strettamente
legata ad esso.

\def\l{{\lambda}}
\def\m{{\mu}}
\begin{defn}
	Sia $G$ un gruppo finito, $F$ un campo. Denoteremo con $FG$ l'insieme delle
	combinazioni lineari formali\footnote{possiamo considerare una somma
	formale $\sum_{g\in G}\l_g g$ come la scrittura simbolica di una funzione $\l:G\longrightarrow
	F$ tale che $\l(g)=\l_g$. Avremo \cosi che:
	\eal{&\sum_{g\in G}\l_g g = \sum_{g\in G}\m_g g \leftrightarrow
	\l_g=\m_g\;\;\forall  g\in G
	}
	}
	di $G$ su $F$:
	\eal{&FG\definizione{=} \gen{G}_F  = \pgra{\sum_{g\in G} \l_g g\;|\;\l_g\in F}
	}
	Possiamo rendere $FG$ un'algebra ponendo:
	\eal{&0\definizione{=}\sum_{g\in G}0g\NN
	1\definizione{=}1_F1_G+\sum_{g\in G\-\{1_G\}} 0g}
e	definendo le seguenti
	operazioni:
	\eal{&\sum_{g\in G}\l_g g + \sum_{g\in G}\m_g g 
	\definizione{=}\sum_{g\in G}(\l_g+\m_g) g\NN
	\lambda \. \pton{\sum_{g\in G}\l_g g }
	\definizione{=} \sum_{g\in G}(\lambda \l_g) g \NN
	\pton{	\sum_{g\in G}\l_g g}\.\pton{ \sum_{g\in G}\m_g g}
	\definizione{=} \sum_{g,h\in G}\l_g\m_h g h 
	= \sum_{z\in G}\pton{\sum_{g,h\in G:\;gh=z}\l_g\m_h}z=\NN
	\ubrace{=}{h=\inv gz}  \;\;\sum_{z\in G}\pton{\sum_{g\in G}
	\l_g\m_{\inv gz}}z
	}
\end{defn}
\begin{prop}
	\eal{&
	1.\;\;FG\T{ \est un'algebra}\NN
	2.\;\;\dim FG=|G|}
\end{prop}
\begin{defn}
	Sia $G$ un gruppo finito e $X\(G$; definiamo:
	\eal{&x^g\definizione{=}\inv g x g \;\;\forall x,g\in G\NN
	\ubrace{C_G(x)}{\T{centralizzante di }x}\definizione{=}\pgra{g\in G\;|\;xg=gx}\NN
	\ubrace{x\sim y}{x\T{ coniugato con }y} \definizione{\=} \exists g\in
	G:\;x=y^g\NN
	\ubrace{\cl_G(x)}{\T{classe di coniugio}}\definizione{=}x^G
	\definizione{=}\pgra{x^g\;|\;g\in G}\NN
	\cl(G) \definizione{=} \pgra{\cl_G(x)\;|\;x\in G}\NN
	\sh X \definizione{=}\sum_{x\in X}x
	}
\end{defn}
\begin{thm}\label{basediZFG}
	%%% USATO
	Sia $\cl(G)=\pgra{K_1,\dots,K_k}$, allora
	\eal{&
	1.\;\;Z(FG)=\gen{\sh{K_1},\dots,\sh{K_k}}\NN
	2.\;\;\pgra{\sh{K_1},\dots,\sh{K_k}}\T{ sono l.i.}\NN
	3.\;\;\dim Z(FG) = k
	}
L'insieme $\pgra{\sh{K_1},\dots,\sh{K_k}}$ \est quindi una base  dello spazio
	vettoriale  $Z(FG)$.
\end{thm}
\def\t{{\vartheta}}
\qq\\
\begin{thm}\ilabel{Maschke!teorema di}
	\label{thmdimaschke}
	(Maschke). Sia $\ch F$ la caratteristica del campo $F$. Allora:
	\eal{&\ch F \ndiv |G| \> FG\T{ \est semisemplice }
	}
\end{thm}
	Grazie al teorema di Maschke, se $\ch F\ndiv |G|$,  possiamo applicare
	il teorema di Wedderburn all'algebra semisemplice $FG$. Inoltre,
	utilizzando il \seecor{dimZA} e il \seethm{basediZFG}
	otteniamo il seguente
	\begin{cor}
	\label{wedderpergroupalgebra}
	\eal{&1.\;\;\T{Se $F$ \est algebricamente chiuso: }\NN
	\invisible{1.\;\;}\qq 1.\;\;FG\simeq \mat(n_1,F)\oplus
	\dots\oplus\mat(n_k,F)\NN
	\invisible{1.\;\;\qq 1.\;\;}\T{ dove }n_i=\dim
	I_i,\;\;\pgra{I_1,\dots,I_k}\T{ rappresentanti delle classi di
	isomorfismo }\NN
	\invisible{1.\;\;\qq 1.\;\;\;}\T{di $FG$-moduli semplici; }\NN
	\invisible{1.\;\;}\qq 2.\;\;n_1^2+\dots+n_k^2=\dim FG= |G|;\NN
	\invisible{1.\;\;}\qq 3.\;\;k=\dim Z(FG)=|\cl(G)|.\NN
	2.\;\; V\T{ $FG$-modulo} \> V\simeq m_1I_1\oplus\dots\oplus
	m_kI_k\T{ dove }m_i\ge 0,\;m_iI_i=\ubrace{I_i\oplus\dots\oplus
	I_i}{m_i\T{ volte}}\NN
	3.\;\;FG\simeq n_1I_1\oplus\dots\oplus n_kI_k
	}
\end{cor}
\subsection{Rappresentazioni}
Le algebre di gruppo e i loro moduli sono costruzioni che si basano sugli
spazi vettoriali. Per questo motivo, \est possibile dare una loro
interpretazione concreta tramite l'algebra lineare delle matrici.

In questa sezione
definiremo e studieremo delle particolari applicazioni lineari, chiamate
\emph{rappresentazioni}. Le rappresentazioni sono equivalenti ai moduli e codificano come matrice ogni elemento di un algebra di
gruppo.


\begin{defn}
	Sia $G$ un gruppo finito e $F$ un campo. Chiameremo \iemph{rappresentazione} di G un
	qualsiasi omomorfismo di gruppi $\Xr:G\longrightarrow \GL(n,F)$
	\footnote{$\GL(n,F)=\pgra{M\in
	\mat(n,F)\;|\;\exists \inv M}$}.\\
	La rappresentazione dell'algebra $FG$ \sara un qualsiasi omomorfismo
	di algebre del tipo $\Xr:FG\longrightarrow \mat(n,F)$.

	Poniamo inoltre
	\eal{&\dim \Xr\definizione{=} n}
\end{defn}
\begin{prop}\label{propestensionerappr}
	Se $\Xr$ \est una rappresentazione di $G$, l'applicazione
	$\Xr':FG\longrightarrow \mat(n,F)$, ottenuta estendendo linearmente
	$\Xr$, \est una rappresentazione di $FG$.\\
	Viceversa, se $\Xr'$ \est una rappresentazione di $FG$,
	$\Xr=\Xr'_{|G}$ \est una rappresentazione di $G$.
\end{prop}
	Illustriamo adesso un metodo per ottenere un $FG$-modulo da una
	rappresentazione $\Xr$ di $FG$, e viceversa.
	\begin{prop}\label{reprtomod}\invisible{.}
	\begin{enumerate}
		\item Sia $\Xr:FG\longrightarrow \mat(n,F)$ una rappresentazione
			di $FG$ e sia $V=F^n$. $V$ diventa un $FG$-modulo con
			l'operazione
			\eal{&v\.g=v\Xr(g)}
		\item Sia $V$ un $FG$-modulo. La funzione
			\eal{&f:G\longrightarrow \GL(V)\NN
			g\mapsto r_g:V\longrightarrow V\NN
			\invisible{g\mapsto r_g:}
			v\mapsto v\.g
			}
			\est un omomorfismo di gruppi. Scelta una base
			$B=\pqua{v_1,\dots,v_n}$ di $V$, definiamo la funzione
			\eal{&\Xr:G\longrightarrow \GL(n,F)\NN
			g\mapsto M_B(f(g))= M_B(r_g)
			}
			dove $M_B(r_g)$ \est la matrice associata
			dell'isomorfismo $r_g$, secondo la base $B$, ovvero
			\eal{&\ubrace{(M_B(r_g))_{i}}{\T{riga }i-\T{esima}}
			= \ubrace{[r_g(v_i)]_{B}}{\T{vettore delle componenti
			di }r_g(v_i)\T{ secondo }B}  = 
			[v_i\.g]_B
			}
			In altre parole,
			\eal{&
			v_i\.g=\sumjn x_{ij}(g) v_j \> (\Xr(g))_{ij} =
			x_{ij}(g)
			}
	\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{osserv}
	Applicando in successione le due costruzioni esposte nella
	 \seeprop{reprtomod}  (usando la base canonica $B=\pgra{e_1,\dots,e_n}$), si riottiene il modulo o la
	rappresentazione di partenza.
\end{osserv}
\begin{defn}\ilabel{rappresentazioni!simili}
	Siano $\Xr,\Yr:G\longrightarrow \GL(n,F)$ due rappresentazioni. Diremo
	che $\Xr,\Yr$ sono \emph{simili} se:
	\eal{&\Xr\sim \Yr\definizione{\=}\exists M\in \GL(n,F):\;\;\Xr(g)=\inv
	M \Yr(g) M=\Yr(g)^{M} \qq\forall g\in G
	}
\end{defn}
\begin{rem}
	Se $\Xr$ \est una rappresentazione, lo \est anche $\Xr(g)^M$, in quanto la
	coniugazione \est un isomorfismo di gruppi.
\end{rem}
\begin{defn}
	\ilabel{rappresentazioni!irriducibili}
	Sia $\Xr$ una rappresentazione.
	\eal{&
	\Xr\T{ \est riducibile }\definizione{\=}\exists M\in \GL(n,F):\;\forall g\in G \;\Xr(g)
	=\inv M 
	\begin{bmatrix}
		X(g)&Y(g)\\
		\uline{0}&Z(g)
	\end{bmatrix}M\NN
	\qq \T{ con }Z(g)\in \mat(r,F),\;X(g)\in \mat(s,F),\;Y(g)\in F^{s\*r}
	}
	ovvero
	\eal{&
\Xr\T{ \est riducibile }\= \Xr \T{  \est simile ad una matrice a blocchi del tipo }
	\begin{bmatrix}
		X&Y\\
		\uline{0}&Z
	\end{bmatrix}\NN
	}
\end{defn}
\begin{prop}\label{proprapprirridssesemplice}
	Sia $\Xr:G\longrightarrow \GL(n,F)$ una rappresentazione e $V=F^n$ il
	suo modulo indotto, allora
	\eal{&\Xr \T{ irriducibile } \= V\T{ semplice }}
\end{prop}
\begin{prop}\label{simileadiagonaleablocchi}
Sia $V$ un $FG$-modulo,  $U,W\leFG V$ e sia $\Xr$ la rappresentazione indotta
da $V$ secondo la base canonica. Infine, sia $B_U=\pgra{u_1,\dots,u_s}$ una base
di $U$ e $B_W=\pgra{w_1,\dots,w_r}$ una base di $W$. Si ha
\eal{&V=W\oplus U \> \Xr\sim \begin{bmatrix}
	\uline W    & \uline{0} \\
	\uline{0} & \uline U \\
\end{bmatrix}\NN
\T{ dove } \uline W,\uline U \T{ sono rispettivamente le rappresentazioni indotte
da }W,U \T{ su }B_W,B_U
}
\end{prop}
\begin{prop}\label{fFGomosseXMeqYM}
	Siano $V,W$ due $FG$-moduli e sia $f:V\longrightarrow W$ una
	applicazione lineare tra essi, allora
	\eal{&
	f\T{ \est un }FG\T{-omomorfismo }\= \Xr(g)M_{B,C}(f)=M_{B,C}(f)\Yr(g)\;\;\forall g\in G
	}
	dove $\Xr,\Yr$ sono le rappresentazioni indotte dai moduli $V,W$
	secondo le basi $B=\pgra{v_i}_{i=1}^n,\;C=\pgra{w_i}_{i=1}^m$ e
	$M_{B,C}(f)$ \est la matrice associata a $f$.
\end{prop}
\begin{prop}\label{rapprsimssemoduliisom}
	Siano $\Xr,\Yr$ due rappresentazioni di $FG$ e siano $V_1,V_2$ i
	moduli indotti, allora
	\eal{&V_1\simeqFG V_2 \=  \Xr\sim \Yr}
	Ovvero, le rappresentazioni sono simili se e solo se i loro moduli
	indotti sono isomorfi.
\end{prop}
\begin{prop}\label{MXreqXrM}
	Sia $G$ un gruppo finito.
	\eal{&\sist{\Xr \T{ rappr. irriducibile}\\
	\exists M\in \mat(n,F):\;\;M\Xr(g)=\Xr(g)M\;\;\forall g\in G\\
	F\T{ alg. chiuso} } \> M = \lambda I,\;\;\T{ con }\lambda\in F}
\end{prop}
\begin{prop}\label{nelcentroallorascalare}
	Sia $G$ un gruppo finito.
	\eal{&\sist{h\in Z(G)\\
	\Xr\T{ rappr. irriducibile}\\
	F\T{ alg. chiuso}} \> \Xr(h)=\lambda I,\T{ con } \lambda\in F
	}
\end{prop}
\begin{prop}
	Sia $G$ un gruppo finito.
	\label{abelianoalloralineare}
	\eal{&\sist{G\T{ abeliano}\\
	\Xr\T{ rappr. irriducibile}\\
	F\T{ alg. chiuso}} \> \dim \Xr = n =1, \T{ ovvero 
	}\Xr:G\longrightarrow F^*
	}
	In questo caso, diremo che $\Xr$ \est lineare.\ilabel{rappresentazione lineare}
\end{prop}
\begin{rem}
	Da adesso in poi considereremo solo l'algebra $\CG$, \cosi da
	assicurare la chiusura algebrica del campo e la condizione
%	\eal{&
$	\ch \C\ndiv |G| $
	%}
\end{rem}
Enunciamo infine il teorema di Wedderburn per le rappresentazioni.
\begin{thm}\label{thmdiwedderburnperlerappr}
	(Wedderburn).
	Siano $I_1,\dots,I_k$ i
	rappresentanti delle classi di isomorfismo dei $\CG$-moduli semplici e
	siano $\Xr_1,\dots,\Xr_k$ le relative rappresentazioni indotte.
	Allora,
	\eal{&1.\;\;\Xr:G\longrightarrow \GL(n,\C) \T{ rappresentazione irriducibile } 
	\> \exists !i:\;\Xr\sim \Xr_i\NN
	2.\;\;k=|\cl(G)|,\;\;|G|=n_1^2+\dots+n_k^2,\;\;\T{ con }n_i=\dim
	I_i\NN
	3.\;\;\Yr\T{ rappresentazione }\> 
	\Yr \sim \diag(\Xr_{i_1},\dots,\Xr_{i_r}) \T{ matrice diagonale a
	blocchi}\NN
	4.\;\;\sist{\Xr_i(B_j)=0\;\;\forall j \neq i\\
	\Xr_i(B_i)=\mat(n_i,\C)},\T{ dove } B_i=A(I_i)\NN
	5.\;\;1=e_1+\dots+e_k,\;\;e_i\in B_i \>
	\X_i(e_j)=\X_i(1)\delta_{ij}\NN
	%\invisible{5.\;\;\;}
	\T{dove,
	}\X_i(x)=\Tr\Xr_i(x),\;\;\Tr M \T{ \est la traccia della matrice }M
	\T{ e } \delta_{ij}=1 \T{ se $i=j$ }\NN
	\T{ed \est nullo altrimenti.}
	}
\end{thm}