%        File: complementi.tex
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% (c) Copyright 2007 Andrea Lo Pumo aka AlpT <alpt@freaknet.org>
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\documentclass[a4paper]{article}
%% 	 Orientamento	      %%%
%\usepackage[landscape]{geometry}
%%%			      %%%

\usepackage{xr-hyper}
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\begin{document}
\title{Complementi di Algebra}
\author{AlpT (@freaknet.org)\\
\small{\url{http://freaknet.org/alpt}}
}


\pagenumbering{roman}
\maketitle{}

\begin{abstract}
Questo testo e' una rielaborazione personale degli appunti presi durante
il corso di Complementi di Algebra, tenuto dal Prof. Marco D'Anna\footnote{Sito web del Prof. D'Anna:
\url{http://www.dmi.unict.it/~mdanna/}} presso il dipartimento di
Matematica, Catania, A.A. 2007/2008.\\
Saro' ben lieto di correggere ogni eventuale errore che mi comunicherai.

Buon lettura.
\begin{center}
	\verb|^_^|
\end{center}
\end{abstract}

\input{gpl}

\clearpage
\tableofcontents
\clearpage
\pagenumbering{arabic}

\let\oldsection\section
\renewcommand{\section}[1]{\oldsection{#1}\ilabel{#1}}
\let\oldsubsection\subsection
\renewcommand{\subsection}[1]{\oldsubsection{#1}\ilabel{#1}}
\let\oldsubsubsection\subsubsection
\renewcommand{\subsubsection}[1]{\oldsubsubsection{#1}\ilabel{#1}}

\def\K{{\mathbb{K}}}
\def\N{{\mathbb{N}}}
\def\Z{{\mathbb{Z}}}
\def\R{{\mathbb{R}}}
\def\C{{\mathbb{C}}}
\def\Q{{\mathbb{Q}}}
\def\O{{\mathcal{O}}}
\def\ch{{\operatorname{ch}}}
\def\LT{{\operatorname{LT}}}
\def\.{{\cdot}}
\newcommand{\Ll}[1]{\mathcal{L}\pton{#1}}
\def\SC{{\preceq}}
\def\CS{{\succeq}}
\def\2{{\sqrt{2}}}
\def\3{{\sqrt{3}}}
\newcommand{\pmin}[2]{P_{\T{min}}\pton{#1,#2}}
\def\ind#1{{\tilde{#1}}}
\newcommand\spezz[2]{{CS\pton{#1,#2}}}
\newcommand\FM[2]{{\mathcal{I}\pton{#1,#2}}}
\newcommand\KT[2]{{{#1}^{#2}}}
\newcommand\GG[2]{{\mathcal{G}\pton{#1,#2}}}
\def\o{{\circ}}
\def\ig#1{{i_{G}(#1)}}


%%%%%
%\see{fomodacampoadanelloestiniettiva}
%%

\section{Preliminari}
Utilizzeremo la teoria degli anelli (vedi \AI{sec:anelli}), la teoria dei
gruppi (vedi \AII{Teoria dei gruppi}) e la teoria degli spazi vettoriali
(vedi \AL{sec:spazivettoriali}).
\begin{defn}\label{defanello}.
Sia $A$ un anello (o gruppo). Se $B$ e' un sottoanello (o sottogruppo) di $A$,
scriveremo $B\le A$.\\
Da ora in poi, supporremo che in ogni anello unitario, $0_A \neq 1_A$, ovvero che lo zero dell'anello sia diverso dall'elemento unita', cioe'
\eal{&\pgra{0}\subset \pgra{0,1}\( A}
Quindi ogni anello unitario ha almeno $2$ elementi.\\
Sia $K$ un campo. Se $K'$ e' un sottocampo di $K$, scriveremo $K'\SC K$.\\
\end{defn}
\begin{prop}
	Sia $(A,+,\.)$ un anello, allora, $(A,+)$ e' un gruppo. L'elemento
	neutro e' lo $0$.
\end{prop}
\begin{prop}
	Sia $(K,+,\.)$ un corpo, allora, $(K^*,\.)$ e' un gruppo. L'elemento
	neutro e' $1$.
\end{prop}
\begin{prop}
	Sia $(K,+,\.)$ un campo, allora, $(K^*,\.)$ e' un gruppo abeliano.
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{propstessielementiunita'}
	Sia $K'\(K$ un sottocorpo di $K$, allora $1_{K'}=1_K$, ovvero
	l'elemento unita' di $K'$ coincide con quello di $K$.
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{carattsottocampo}
Sia $K$ campo, e $K'\( K$, allora
\eal{&K'\SC K \= \sist{(K',+)\ubrace{\le}{\T{sotto gruppo}} (K,+)\\
		       (K'^*,\.)\ubrace{\le}{\T{sotto gruppo}}  (K^*,\.)}
\= \forall a\in K'\;\sist{1.\;\;a-b\in K'\;\;\forall b\in K'\\
2.\;\;a\inv b \in K'\;\;\forall b\in K'\-\pgra{0}
}
}
\end{prop}
\begin{defn}
Sia $(a)\tleq A$ l'ideale generato dall'elemento $a$. Alcune volte, per
evitare confunsione, adotteremo la seguente notazione:
\eal{&(a)=\gen a
}
\end{defn}
\begin{prop}\label{propequividealeprimoelprimoelirrid}
Sia $D$ un ED (dominio euclideo) e sia $(p)\tleq D,\;p \neq 0$. Si ha:
\eal{&(p)\T{ massimale } \= (p)\T{ primo } \= p\T{ primo } \= p \T{ irriducibile }
}
\end{prop}
\begin{prop}\label{sottoanellodiundominioestdominio}
	Sia $D$ un dominio, allora
	\eal{&A\le D\> A\T{ dominio}}
\end{prop}
\def\f{{\varphi}}
\begin{prop}
	\label{propestensionediunaimmersione}
	Siano $K$ un campo, $D$ un dominio e sia $\f:D\longrightarrow K$ una
	immersione, allora,
	\eal{&
	f:Q(D)\longrightarrow K\\
	&f\pton{\frac{a}{b}} = \f(a)\inv{\f(b)}
	}
	e' una immersione,
	dove $Q(D)$ e' il campo dei quozienti di $D$.
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{propQDilpiupiccolodeicampicontenenti}
$Q(D)$ e' il
piu' piccolo campo tale che $D\immerso Q(D)$, ovvero e' il piu' piccolo campo
che contiene per immersione $D$, o ancora, preso un generico campo $K$, si ha
\eal{&D\immerso K \> Q(D) \immerso K}
Nota\footnote{con $A\immerso B$, intendiamo che esiste un omomorfismo iniettivo
	da $A$ a $B$}.
\end{prop}
\def\f{{\varphi}}
\begin{prop}\label{QKestK}
	Sia $K$ un campo, allora
	\eal{&Q(K)\simeq K}
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{omomorfismoindotto}
\def\ff{{\ind\f}}
Sia $K,K'$ due campi $\f:K\longrightarrow K'$ un omomorfismo tra essi.
L'applicazione 
\eal{&\ind\f :K[x]\longrightarrow K'[x]\\
&\somma{i=0}{n} a_ix^i \mapsto \somma{i=0}{n} \f(a_i)x^i
}
si chiama omomorfismo indotto da $\f$.\\
$\ff$ e' un omomorfismo. Se $\f$ e' iniettivo o surriettivo, anche $\ff$ lo e'.
\end{prop}

\begin{defn}\label{derivatapolinomio}
	\ilabel{polinomio derivato}
	Sia $K$ un campo e $K[x]$ il dominio euclideo dei polinomi a
	coefficienti in $K$. Preso un 
	\eal{&f(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i \in K[x]}
	definiamo la sua
	derivata:
	\eal{&f'(x)\definizione{=}a_1+2a_2x\dots+na_nx^{n-1}=
	\sum_{i=1}^{n}ia_ix^{i-1}  \in K[x]}
	Dove l'operazione $ia_i$ e':
	\eal{&ia_i=\ubrace{a_i+a_i+\dots+a_i}{i\T{ volte}}}
Attenzione: questa nozione di derivata coincide con quella analitica solo per
opportuni campi $K$.\\
Nota\footnote{In realta', l'operazione $ia_i$ coincide con l'operazione di
moltiplicazione del campo $K$. Vedi \see{prodottonaturalenelsottocampo}
}
\end{defn}
\begin{prop}
Valgono le usuali proprieta' della derivata:
\eal{
&1.\;\;D[f(x)+g(x)]=f'(x)+g'(x)\\
&2.\;\;D[f(x)g(x)]=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\
&3.\;\;D\pqua{f(x)^n}=nf(x)^{n-1}f'(x)\\
&4.\;\;D[f(g(x))]=f'(g(x))g'(x)\\
}
\end{prop}
\begin{prop}\label{gradoderivata}
	\eal{&g'(x)\equiv  0 \|  \deg g'(x)< \deg g(x)
	}
\end{prop}
\begin{prop}\label{critradicimultiple}
Sia $f(x)\in K[x]$, e sia $\alpha$ una radice di $f(x)$, ovvero,
$f(\alpha)=0$, allora si ha
\eal{&\mu_f(\alpha) > 1 \= f'(\alpha)=0
}
dove con $\mu_f(\alpha)$ abbiamo indicato la molteplicita' della radice
$\alpha$ di $f$.\\

Nota: se $\mu_f(\alpha)>1$, allora $\alpha$ viene chiamata \emph{radice
multipla}, altrimenti, se $\mu_f(\alpha)=1$, \emph{radice semplice}.
\end{prop}
\begin{defn}
	Sia $V$ un $K$-spazio vettoriale. Con il simbolo:
	\eal{&\Ll{v_1,v_2,\dots,v_m}_K}
	oppure con 
	\eal{&B=\pgra{v_1,\dots,v_m}\\
	&\Ll{B}_K}
	indichiamo il $K$-sottospazio vettoriale di $V$, generato da
	$\pgra{v_1,v_2,\dots,v_m}$.
\end{defn}

\begin{prop}\label{radiciennesimeunita}
	Sia $f(x)=x^n-a\in \mathbb{C}[x]$, con $a \neq 0$. Tutte e sole le radici di $f(x)$ sono
	\eal{&\sqrt[n]{a}, \sqrt[n]{a}\omega ,\sqrt[n]{a}\omega^2,\dots
	,\sqrt[n]{a}\omega^{n-1}
	}
	dove $\omega$ e' una qualsiasi radice dell'unita' che genera $(U_n,\.)$
	(il gruppo delle radici $n$-esime dell'unita'), ovvero $U_n=\gen
	\omega $.
\end{prop}

\begin{prop}
	\label{binominzp}
Consideriamo il polinomio $x+y\in \Z_n[x,y]$, si ha
\eal{&(x+y)^n=x^n+y^n
}
\end{prop}

\begin{defn}\ilabel{Zorn lemma}
	\label{zorn}
	Lemma di Zorn.\\
	Sia $A$ un POSET, 
	\[\textrm{ogni catena di elementi di A possiede un 
	maggiorante in A}\;\Rightarrow \;\textrm{A possiede elementi massimali} 
	\]
	Il lemma di Zorn e' equivalente all'assioma della scelta.
\end{defn}
\section{Estensione di Campi}
\subsection{Caratteristica}
\def\g{{\gamma}}
\begin{prop}
	\label{propgdiA}
	Sia $A$ un anello unitario, e sia data la seguente funzione:
	\eal{&\g:\mathbb{Z}\longrightarrow A\\
	&\g(z)=\sist{z*1_A &  z > 0\\
	0&z=0\\
	-((-z)*1_A) & z < 0 }
	}
	dove $1_A$ e' l'unita' di $A$, e 
	\eal{&n*a\definizione{=} \ubrace{a+a+\dots+a}{a\T{ volte}}}
	Si ha che $\g(z)$ e' un omomorfismo, inoltre $\g(1)=1_A$.
\end{prop}
\begin{defn}
Sia dato un anello unitario $A$, e sia $\g$ la funzione definita in
\see{propgdiA}, definiamo la \iemph{caratteristica} di $A$:
\eal{&\ch A \T{ e' il generatore non negativo di $\ker \g$, ovvero }\\
&\qq \ker \g\definizione{=}(\ch A)=\pgra{\lambda\ch A\;|\;\lambda\in
\mathbb{Z}},\;\;\ch A \in \mathbb{Z}_+
}
Questa definizione ha senso:
\eal{&\T{tutti gli ideali di $\mathbb{Z}$ sono PID del tipo $(z)$, [vedi
\AI{tuttigliidealidiZsonoPID}]}\;\;(1)\\
&\sist{\ker \g \tleq \mathbb{Z}\\
(1) } \> \exists z\in \ker \g:\;\;\ker \g = (z)
}
Se poi $z \ge 0$, allora $z$ e' unico: infatti, presi $z_1,z_2\ge 0:\;\ker \g
= (z_1)=(z_2)$, si ha
\eal{
&z_1\in (z_2) \> z_1 = \lambda z_2 \=z_2 \div z_1\\
&z_2\in (z_1) \> z_2 = \lambda' z_1 \=z_1 \div z_2\\
&\qq \> z_1 = z_2
}
Quindi, il generatore non negativo di $\ker \g$ e' unico.
\end{defn}
\begin{prop}
	\label{propcarattcaratteristica}
Sia $A$ un anello unitario, e sia dato il seguente insieme\footnote{abbiamo
posto: $\mathbb{Z}_+=\pgra{z\in \mathbb{Z}\;|\;z\ge 0},\;\;
\mathbb{Z}_+^*=\mathbb{Z}_+\setminus\pgra{0}$}:
\eal{&A_0 = \pgra{ r\in \mathbb{Z}_+^* \;| \; r*A = \pgra{ 0 }}
}
dove $r*A = \pgra{ra\;|\;a\in A}$. Si ha,
	\eal{&\ch A =\sist{\min A_0& A_0 \neq \0\\
	0 & A_0=\0
	}}
\end{prop}
\begin{prop}\label{defsemplicedicaratteristica}
	Sia $A$ un anello unitario e sia dato il seguente insieme:
	\eal{&A_1 = \pgra{r\in \Z_+^*\;|\;r*1 =0}}
	allora
	\eal{&\ch A = \sist{\min A_1 & A_1 \neq \0\\
	0& A_1 =\0}
	}
\end{prop}

\begin{defn}\label{defchardominio}
	Sia $D$ un dominio e sia dato il seguente insieme:
\eal{&D_0 = \pgra{ r\in \mathbb{Z}_+^* \;| \; r*D = \pgra{ 0 }}
}
Definiamo la caratteristica di $D$:
	\eal{&\ch D =\sist{\min D_0& D_0 \neq \0\\
	0 & D_0=\0
	}}
	Per quanto abbiamo visto in \see{propcarattcaratteristica}, se $D$ e'
	unitario, possiamo considerare l'omomorfismo
	$\g:\mathbb{Z}\longrightarrow D$, e le due definizioni date di $\ch D$
	coincidono.
\end{defn}
\begin{lem}Dato un anello $A$ e $r,s\in \mathbb{Z}_+^*$ si ha
	\label{lemmacara}
	\eal{&rs*(d_1d_2) = (r*d_1)(s*d_2)
	}
\end{lem}
\begin{prop}
	\label{propcharD}
Si ha:
\eal{&D\T{ dominio } \> \ch D = 0  \| \ch D =1  \|  \ch D=p\\
&D\T{ dominio unitario } \> \ch D =0  \|  \ch D =p
}
con $p$ primo.
\end{prop}

\begin{prop}\label{ereditariacaratteristica}
	La caratteristica di un dominio unitario e' una proprieta'
	ereditaria: sia $D$ un dominio unitario, e $E\( D $ un suo sottodominio unitario, allora
	\eal{&\ch E =\ch D
	}
\end{prop}


\begin{prop}
	\label{propimmersionecaratteristica}
	Sia $K$ un campo, per quanto abbiamo visto in \see{propcharD},
	$\ch K =0  \| \ch K =p$. Inoltre, si ha
	\eal{
	&\ch K =  p\T{ primo }\> \mathbb{Z}_p\immerso K\\ 
	&\ch K =  0 \> \mathbb{Z}\immerso K,\;\;\mathbb{Q}\immerso K
	}
\end{prop}
\def\gg{{\ove \g}}
\begin{defn}
	Dato un campo $K$, definiamo il \iemph{sottocampo fondamentale} (o
	primo) di $K$:
	\eal{&SF(K)\definizione{=} \bigcap_{K'\SC K} K'
	}
	ovvero e' il piu' piccolo sottocampo di $K$.
\end{defn}
\begin{prop}\label{sottocampofondesplicito}
	Sia $K$ un campo.
	Inoltre, si ha
	\eal{&\ch K =  0 \> SF(K)\simeq \mathbb{Q}\\
	&\ch K =  p\T{ primo }\>SF(K) \simeq \mathbb{Z}_p\\
	}
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{prodottonaturalenelsottocampo}
	Sia $K$ campo, e sia $n\in \N^*,\;a\in K$, allora
	\eal{&n*a \definizione{=} \ubrace{a+a+\dots+a}{\T{$n$-volte}} = \ubrace{\ove na}{\T{moltiplicazione in $K$}}\\
	&\T{dove } \ove n = \sist{n&SF(K)=\Q\=\ch K=0\\
	\ubrace{[n]_p}{\T{classe resto mod $p$}}&SF(K)=\Z_p\= \ch K =p}}
	In seguito, per abuso di notazione, scriveremo:
	\eal{&n*a = \ove na =na\\
	& n =\ove n \in \sist{\Z & \ch K=0\\
			\Z_p & \ch K =p}}
\end{prop}

\subsection{Estensioni}
\begin{defn}
Siano $K,F$ due campi, poniamo
\eal{&\T{$K$ e' una estensione di $F$} \definizione{\=} K\)F}
\end{defn}
\begin{prop}
Sia data l'estensione $K\)F$, allora $K$ e' uno spazio vettoriale il cui campo
e' $F$.

Per indicare tale spazio vettoriale, useremo il simbolo $K_F$.
A volte, useremo le seguenti notazioni equivalenti:
\eal{&\dim K_F=\dim_FK = [K:F]
}
\end{prop}
\begin{prop}\label{omomoestapplicazlineare}
Consideriamo le seguenti estensioni di $F$: $K\CS F,\;K'\CS F$. Si ha:
\eal{&
f:K\longrightarrow K'\T{ omomorfismo t.c. } f_{|F}=\id\>
f:K_F\longrightarrow K'_{F} \T{ applicazione lineare }
}
\end{prop}
\begin{defn}
\ilabel{estensione!finita}
Sia data l'estensione $K\CS F$,
\eal{&K\CS F\T{ e' finita }  \definizione{\=}  K_F \T{ ha dimensione finita } \=
\dim K_F=n \in \mathbb{N}
}
\end{defn}
\begin{exemp}\qq\\
	\label{expestfinita}
	\begin{enumerate}
		\item 
$\mathbb{C}\CS \mathbb{R}$ e' una estensione finita, infatti, una base
	per $\C_{\R}$ e' $\pgra{1,i}$, e quindi $\dim \C_\R=2$.
\item $\R\CS \Q$ non e' una estensione finita, infatti, se per assurdo lo
	fosse, esisterebbe una base $\pgra{r_1,\dots,r_n}$ di $\R_\Q$, e
	quindi considerando il $\Q$-spazio vettoriale $\Q^n$, si ha
	\eal{&\sist{\dim \R_\Q=n=\dim \Q^n\\
	\R_\Q,\;\Q^n\T{ sono $\Q$ spazi vettoriali }
	}  \ubrace{\>}{\T{prop.}\;\AL{spazidiugualdimensionesonoisomorfi}}
	\R_\Q \ubrace{\simeq}{\T{isom. vettoriale}} \Q^n \\
	&\R_\Q \simeq \Q^n \> |\R|=|\Q^n|  \ubrace{=}{\T{thm di Cantor }
	\AI{diagonalizzcantor}} |\Q|=|\mathbb{N}|
	}
	e questo e' assurdo perche' $|\mathbb{R}| \neq |\mathbb{N}|$
	\end{enumerate}
\end{exemp}
\begin{thm}
	\label{thmfinitezzadiinclusione}
	\label{transitivitagrado}
Siano $F,K,L$ campi, tali che $L\CS K\CS F$, allora
\eal{& \dim L_F < +\8 \= \sist{\dim K_F< +\8\\\dim L_K< +\8}
}
Se una delle due condizioni e' soddisfatta, si ha:
\eal{&
\dim L_F = \dim L_K \dim K_F\\
&BC\T{ e' una base di }L_F,\;\T{ dove }\\
&\qq B\T{ base di }K_F,\;C\T{ base di }L_K\\
&\qq BC=\pgra{bc\;|\;b\in B,\;c\in C} 
}
\end{thm}

\begin{cor}
\label{thmfinitezzadiinclusioneinduzione}
	\label{transitivitagradoindotto}
Siano $K_1,\dots,K_t$, con $t\ge 3$, campi che formano la seguente catena di estensioni:
\eal{&K_t \CS K_{t-1} \CS \dots \CS K_1}, allora
\eal{&\dim_{K_1} K_t < +\8 \= \sist{
\dim_{K_1} K_2 < +\8\\
\dim_{K_2} K_3 < +\8\\
\vdots\\
\dim_{K_{t-1}} K_t < +\8\\
}
}
e inoltre, se vale una delle due condizioni, si ha
\eal{&\dim_{K_1} K_t = \dim_{K_1} K_2 \dim_{K_2} K_3\dots \dim_{K_{t-1}} K_t=
\prod_{i=1}^{t-1} \dim_{K_{i}} K_{i+1}
}
\end{cor}


\def\a{{\alpha}}
\def\b{{\beta}}
\begin{defn}
Sia $F\SC K$ una estensione di campi, e siano $\a_1,\dots,\a_n\in K$. Definiamo
l'estensione di F generata da $\pgra{\a_1,\dots,\a_n}$:
\eal{&F(\a_1,\dots,\a_n)\definizione{=}
\bigcap \pgra{K'\SC K\;|\;\;\;F\U\pgra{\a_1,\dots,\a_n}\(K'}
}
ovvero, $F(\a_1,\dots,\a_n)$ e' la piu' piccola estensione di $F$ in $K$ che
contiene $\a_1,\dots,\a_n$.\\
Possiamo riguardare $F(\a_1,\dots,\a_n)$ come una sorta di generalizzazione
del campo dei quozienti: $F(\a_1,\dots,\a_n)$ e' il piu' piccolo sottocampo
che si ottieni in $K$ ``aggiungendo'' in $F$ $\a_1,\dots,\a_n$.
\end{defn}
\begin{prop}
\label{estensionedicampiesplicita}
Sia $F\SC K$ una estensione di campi, e siano $\a_1,\dots,\a_n\in K$. Si ha
\eal{&F(\a_1,\dots,\a_n)=
\pgra{\frac{f(\a_1,\dots,\a_n)}{g(\a_1,\dots,\a_n)}\Big|
f(x_1,\dots,x_n), g(x_1,\dots,x_n)\in F[x_1,\dots,x_n],\;\;g(\a_1,\dots,\a_n)
\neq 0
}
	}
NOTA: con $\frac{f}{g}$ stiamo indicando l'operazione $f\inv g$. Poiche'
$f(\a_1,\dots,\a_n),g(\a_1,\dots,\a_n)\in K$, e $K$ e' un campo, la notazione
$\frac{f}{g}$ e' equivalente a $f\inv g$ (infatti\footnote{infatti, 
siano $a,b,c,d\in K$, $b,d$ non nulli, allora
\eal{&\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd} = (ad+bc)\inv d\inv b\\
&a\inv b+c\inv d = (a\inv b+c\inv d)bd\inv b\inv d = (ad+cb)\inv b\inv d 
}
analogamente per la moltiplicazione.
})
\end{prop}

\begin{prop}
	\label{propcoefficienticampoestensione}
	\label{parentesinellestensione}
	Sia $F\SC K$ una estensione, $\a_1,\dots,\a_t\in K$, $t\ge 2$. 
	Posto \eal{&F_1=F\\&F_i=F(\a_1,\dots,\a_{i-1})} si ha 
	\eal{&F_i(\a_i)=F_{i+1}\\
	&F_i(\a_i,\a_{i+1},\dots,\a_n)=F_{n+1}\\
	&\T{ovvero: }\\
	&\qq \big(F(\a_1,\dots,\a_{i-1})\Big)(\a_i)=F(\a_1,\dots,\a_i)\\
	&\qq \big(F(\a_1,\dots,\a_{i-1})\big)(\a_i,\a_{i+1},\dots,\a_n)=F(\a_1,\dots,\a_n)
	} 
In pratica, possiamo togliere tutte le parentesi, mettere assieme le $\a_i$, e
considerare una sola parentesi.
\end{prop}

\begin{defn}
\ilabel{estensione!finitamente generata}
\ilabel{estensione!semplice}
	\eal{&F\SC K\T{ e' un estensione finitamente generata
	}\definizione{\=} \exists \a_1,\dots,\a_n\in
	K:\;\;K=F(\a_1,\dots,\a_n)\\
	&F\SC K \T{ e' un estensione semplice }\=
	\exists \a \in K:\;\;K=F(\a)\\
	&\a\T{ e' un elemento primitivo di }K \T{ su }F \definizione{=} K=F(\a)
	}
In genere, una estensione finitamente generata, la indicheremo con
\eal{&F \SC F(\a_1,\dots,\a_n) }
intendendo l'estensione $F\SC K$, dove 
\eal{&\a_1,\dots,\a_n\in K,\;\;K=F(\a_1,\dots,\a_n)}
\end{defn}
\begin{prop}\label{propfinitaimplicafinitamentegenerata}
	\eal{&F\SC K \T{ estensione finita } \> F\SC K \T{ e' finitamente
	generata }}
	Non vale il viceversa.
\end{prop}

\begin{defn}
\label{algebrico}
\label{trascendente}
\ilabel{elemento!algebrico}
\ilabel{elemento!trascendente}
Sia data l'estensione $F\SC K$ e $\a\in K$.
\eal{&\a \T{ e' algebrico in $F$} \definizione{\=} \exists f(x)\in F[x],\;f(x)
\not\equiv
0:\;\;f(\alpha)=0\\
&\a\T{ e' trascendente } \definizione{\=} \a\T{ non e' algebrico }\\
&F\SC K \T{ e' una estensione algebrica di $F$ } \definizione{\=} \forall \alpha\in
K\;\;\alpha\T{ e' algebrico in }F
}
Usualmente, se non si specifica $F$, si suppone $F=\mathbb{Q}$.
\end{defn}
\begin{exemp}
	\begin{enumerate}
		\item $\sqrt{2}$ e' algebrico in $\mathbb{Q}$, infatti,
			\eal{&f(x)=x^2-2\in
			\mathbb{Q}[x],\;\;f(\sqrt{2})=2
			}
		\item $e,\pi$ sono trascendenti in $\mathbb{Q}$ (lo
			dimostreremo in seguito).\\
			Da questo deduciamo che $\mathbb{Q}\SC \mathbb{R}$ non
			e' una estensione algebrica di $\mathbb{R}$.
		\item $\R\SC \C$ e' una estensione algebrica. Infatti, preso
			$a+ib\in \C$,
			\eal{
			&f(x)=(x-a)^2+b^2 \in \R[x]
			&f(a+ib)=(ib)^2+b^2=-b^2+b^2=0
			}
		\item $\Q  \SC \Q(i) = \pgra{a+ib\;|\;a,b\in \mathbb{Q}}$ e'
			una estensione algebrica. Infatti, preso $a+ib$
			\eal{&f(x)=(x-a)^2+b^2 \in \Q[x]
			&f(a+ib)=(ib)^2+b^2=-b^2+b^2=0
			}
			\def\2{{\sqrt{2}}}
		\item \label{expQradicedidue}
			$\Q \SC \Q(\2)$ e' una estensione algebrica, e' finita,
			e ha dimensione $2$.\\
	\end{enumerate}
\end{exemp}

\begin{prop}
	\label{propestfinitaimplicaalgebrica}
	\eal{&F\SC K \T{ estensione finita } \> F\SC K \T{ e' algebrica }}
	Non vale il viceversa.
\end{prop}

\begin{prop}
	\label{defpolinomiominimo}
Sia $F\SC K$ una estensione, $\a\in K$. Consideriamo gli insiemi:
\eal{&P(\a,F)\definizione{=}\pgra{f(x)\in F[x]\;|\;f(\a)=0,\;f(x)\T{
monico}}\\
&\deg P(\a,F)=\pgra{\deg f(x)\;|\;f(x)\in P(\a,F)}
}
allora
\eal{&\a \T{ algebrico su $F$ } \>
\exists ! p(x)\in P(\a,F):\;\deg p(x)=\min (\deg P(\a,F))
}
In altre parole, $p(x)$ e' il polinomio monico, di grado minimo, tale che
$p(\a)=0$.\\
$p(x)$ viene chiamato \iemph{polinomio minimo} di $\a$ in $F$, e
lo indicheremo con
\eal{&\pmin{\a}{F}\definizione{=}p(x)}
(Nota\footnote{Un polinomio e' monico quando il coefficiente
dell'indeterminata digrado massimo e' 1})\\
Infine, vale
\eal{&\sist{g(x)\in F[x]\\
g(\a)=0} \> p(x)\div g(x)
}
\end{prop}
\begin{defn}
Sia $F\SC K$ una estensione, $\a\in K$, allora
\eal{&F[\a] \definizione{=} \Im \f = \pgra{f(\a)\;|\;f(x)\in F[x]}}
dove $\f$ e' l'omomorfismo visto in \see{polinomio minimo}:
\eal{&\f:F[x]\longrightarrow F(\a)\\
&f(x)\mapsto f(\a)}
\end{defn}
\begin{prop}\label{proppolinomminimoestirriducibile}
	\label{carattpolinomiominimo}
Sia $F\SC K$ una estensione, $\a\in K$, $p(x)\in F[x]$, allora
\eal{&p(x)=\pmin{\a}{F} \=
\sist{p(x)\in F[x],\;\;p(x)\T{ irriducibile in }F[x] \\
p(x)\T{ monico}\\
p(\a) =0
}
}
Inoltre, se una delle due condizioni e' soddisfatta, si ha:
\eal{&\frac{F[x]}{(p(x))}\simeq F[\a]
}
\end{prop}
\begin{exemp}
Sia $\a\in F$, $F$ campo, allora, il polinomio minimo di $\a$ in $F$ e'
\eal{&\pmin{\a}{F}=x-\a
}
infatti,
\eal{&x-\a\in F[x],\T{ e' monico e ha grado minimo }}
\end{exemp}
\begin{exemp}
Sia $F=\Q,\;K=\Q(\2),\;a+\2 b \in K,\;b \neq 0$. Come abbiamo visto in
\see{expQradicedidue}, 
\eal{&f(x)=(x-a)^2-2b^2\in \Q[x]}
e' un polinomio in $\Q[x]$ t.c. $f(\a)=0$. E' monico. Inoltre, e' irriducibile
in $\Q$: se per assurdo fosse riducibile in $\Q$, essendo di secondo grado,
sarebbe diviso da un polinomio di primo grado in $\Q$:
\eal{&(x-\beta)\div f(x),\;\;\beta\in \Q \> f(\beta)=0,\;\;\beta\in \Q
}
ma le uniche radici di $f(x)$ sono $a+\2b,\;a-\2b$, che certamente non sono in
$\Q$.\\ Quindi, $f(x)$ e' irriducibile in $\Q$.
Allora, per la prop. \see{proppolinomminimoestirriducibile}, $f(x)$ e' il
polinomio minimo di $a+\2b$ in $\Q$.
\end{exemp}

\begin{prop}\label{trascendenteestindeterminata}
Sia $F\SC K$ una estensione, con $\a\in K$, allora
\eal{&\a \T{ trascendente su $F$ } \>
F(\a) \simeq F(x),\T{ con $x$ indeterminata }
}
\end{prop}
\begin{prop}\label{trascendenteestindeterminataII}
	Sia $F\SC K$ una estensione e $\a\in K$, si ha
	\eal{&\a\T{ trascendente su }F \> F[x]\simeq F[\a]}
\end{prop}

\begin{lem}
	\label{lemalphaalgebricoimplicaFqalphamodounico}
	Sia $F\SC K$ una estensione, $\a\in K$,\;$p(x)=\pmin{\a}{F}$. Si ha
\eal{&\sist{\a \T{ algebrico in $F$ }\\
	    \deg p(x)  = n}
	    \> 
	    \forall f(\a)\in F[\a]\;\exists ! (a_0,a_1,\dots,a_n)\in
	    F^{n}:\;f(\a)=a_0+a_1\a+a_2\a^2+\dots+a_{n-1}\a^{n-1}
}
\end{lem}
\begin{thm}
	\label{alphaalgebricosseFalphaeqFqalpha}
	Sia $F\SC K$ una estensione, $\a\in K$, allora
	\eal{&\a \T{ e' algebrico su }F\=F(\a)=F[\a]}
\end{thm}
\begin{cor}\label{FsupxisomFa}
	Sia $F\SC K$, $\a\in K$,  $p(x)\in F[x]$
	\eal{&p(x)=\pmin{\a}{F} \> 
\frac{F[x]}{(p(x))}\simeq F[\a] = F(\a)
	}
\end{cor}
\begin{cor}\label{FaisoFb}
	Sia $F\SC K$ una estensione, $p(x)\in F[x],\;\;\a,\b\in K$, si ha
	\eal{&\sist{p(x)\T{ irriducibile in }F\\
	p(\a)=p(\b)=0} \> F(\a)\simeq F(\b)}
	\def\f{{\varphi}}
	Inoltre, 
	\eal{&\f_{|F}=\id\\&\f(\a)=\b}
	dove $\f:F(\a)\longrightarrow F(\b)$ e'
	l'isomorfismo della tesi e $\f_{|F}$ e' la restrizione di $\f$ a $F$.
	In pratica $\f$ sostituisce $\a$ con $\b$.
\end{cor}

\begin{prop}\label{estensionediindeterminateestcampoquozienti}
	\label{FaestQFqa}
Sia $F$ un campo, $\a \in K$, allora
\eal{&F(\a) \simeq Q(F[\a])}
ovvero l'estensione di $F$ generata da $\a$, e' il campo dei
quozienti di $F[\a]$.
\end{prop}

\begin{prop}
	\label{propalphaalgebricosseFalphafinita}
	\label{dimestensestdegpolinminimo}
	Sia $F\SC K$ una estensione, $\a\in K$ e sia $p(x)=\pmin{\a}{F}$, con $\dim p(x)=n$, allora
\eal{&\a\T{ algebrico in }F\= F\SC F(\a)\T{ estensione finita}}
O piu' in dettaglio:
\eal{&\a \T{ algebrico in }F  \= \dim_F F(\a) = n,\;\T{ una base di }F(\a) \T{
e' } \pgra{1,\a,\a^2, \dots,\a^{n-1}}}
\end{prop}
\begin{prop}
Sia $F\SC K$ una estensione, $\a\in K$, allora
\eal{&\a\T{ algebrico in }F\> \dim_FF(\a)=
\min\pgra{t\;|\;\a^t\in\Ll{1,\a,\dots,\a^{t-1}}_F} }
In altre parole, per trovare la dimensione di $F(\a)_F$, si puo' procedere
come segue: 
\begin{enumerate}
	\item si considera $\a^t$
	\item si parte da $t=1$
	\item \label{passogoto} se $\a^t$ e' combinazione lineare dei precedenti
		$1,\a,\a^2,\dots,\a_{t-1}$, ci fermiamo. $t$ e' la dimensione
		cercata.
	\item altrimenti si incrementa $t$ di uno, e si ricomincia dal passo
		\ref{passogoto}
\end{enumerate}
Nota: una volta nota la dimensione di $F(\a)_F$, grazie alla
\see{dimestensestdegpolinminimo}, si puo' ricavare la base di $F(\a)_F$.
\end{prop}

\begin{prop}
	\label{propalphaialgebricheimplicaFalphaifinita}
Sia $F\(K$ una estensione, e siano $\a_1, \dots, \a_t \in K$, allora
\eal{&\a_i\T{ algebrico in }F\;\;\forall i=1,\dots,t\>
\dim_F F(\a_1,\dots,\a_{t}) \le n_1n_2\dots n_t
}
dove
\eal{&n_i=\deg p_i(x),\;\;\;
p_i(x)=\pmin{\a_i}{F}
}
\end{prop}

\begin{cor}
	\label{elemalgebriciimplicaestensalgebrica}
	Nelle ipotesi della prop
	\see{propalphaialgebricheimplicaFalphaifinita}, si ha
	\eal{&\a_i \T{ algebrico in }F\;\;\forall i=1,\dots,t \>
	F\SC F(\a_1,\dots,\a_t)\T{ estensione algebrica}}
\end{cor}


\begin{thm}
	\label{thmfinitassealgebricaefingen}
Sia $F\SC K$ una estensione, allora
\eal{&F\SC K \T{ finita } \= F\SC K \T{ algebrica e finitamente generata }
	}
\end{thm}
\begin{cor}\label{algebricasseognipezzoalgebrico}
Siano $K_1,\dots,K_t$, con $t\ge 3$, campi che formano la seguente catena di estensioni:
\eal{&K_t \CS K_{t-1} \CS \dots \CS K_1}allora
\eal{&K_t \CS K_1 \T{ algebrica } \=
\sist{
K_1 \SC K_2 \T{ algebrica } \\
K_2 \SC K_3 \T{ algebrica } \\
\vdots\\
K_{t-1}\SC K_{t}\T{ algebrica}\\
}
}
\end{cor}
\begin{cor}\label{chiusuraestcampo}
Sia $F\SC K$ estensione di campi, allora il seguente insieme:
\eal{&\ove F = \pgra{\a\in K\;|\;\a\T{ algebrico in }F}}
e' un campo.
\end{cor}

\begin{prop}
	\label{firridssegirrid}
	Sia
	\begin{enumerate}
		\item $F\SC K$
		\item $\a,\b\in K$
		\item $f(x)=\pmin{\a}{F},\;\;g(x)=\pmin{\b}{F}$
	\end{enumerate}
	si ha
	\eal{&f(x)\T{ e' irriducibile in }F(\b)\=g(x)\T{ e' irriducibile in
	}F(\a)}
\end{prop}

\subsection{Campi di spezzamento}
\begin{prop}
	\label{prop1campispezzamento}
	\label{esistecampocontenteradicedifx}
Sia $F$ un campo, $f(x)\in F[x]$, $\deg f(x)=n$. Si ha
\eal{&f(x)\T{ irriducibile in }F[x],\;\;n\ge 1\> 
\exists F',\;K\T{ campi: }F\simeq F'\SC K,\;\dim_{F'}K=n,\; \exists \a\in K:\;f'(\a)=0
}
dove $f'(x)$ e' l'immagine di $f(x)$ tramite l'indotto dell'isomorfismo
$F\simeq F'$.\\

In pratica, a meno di isomorfismi, riusciamo a trovare un campo $K$ che
contiene delle radici di $f(x)$.\\
Nota: a volte, scriveremo direttamente $F\(K,\;f(\a)=0$. Cio' che verra'
dimostrato usando questa scrittura sara' effettivamente valido fino a quando
non faremo esplicitamente ricorso alle proprieta' non algebriche degli
elementi di $K$.
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{esistecampodovefxsispezzalinearmente}
	Sia \begin{enumerate}
		\item $F$ \T{ campo}
		\item $f(x)=a\ove f(x)\in F[x]$, $\ove f(x)$ monico
		\item $n=\deg f(x) \ge 1$
	\end{enumerate}
	allora
\eal{
&\exists F',K\T{ campi: }\sist{F \simeq F'\SC K\\
\dim_{F'}K\le n!\\
\exists \a_1,\dots,\a_n\in	K:\;f'(x)=a'(x-\a_1)(x-\a_2)\dots(x-\a_n)}
}
dove $f'(x),a'$ sono le immagini di $f(x),a$ tramite l'indotto dell'isomorfismo
$F\simeq F'$.

In pratica, a meno di isomorfismi, riusciamo a trovare un campo $K$ in cui
$f'(x)$ si spezza linearmente.

Inoltre, si ha
\eal{&f(x)\T{ riducibile in }F[x] \> \dim_{F'}K< n!
}
o equivalentemente:
\eal{&\dim_{F'}K\ge n! \>f(x)\T{ irriducibile in }F[x]}
ma poiche' $\dim_{F'}K\le n!$, cio' vuol dire che:
\eal{&\dim_{F'}K=n! \>f(x)\T{ irriducibile in }F[x]}
\end{prop}
\begin{defn}
	\ilabel{campo di spezzamento}
	\label{campospezz}
	Sia \begin{enumerate}
		\item $F \SC K$ estensione
		\item $f(x)=a\ove f(x)\in F[x]$, $\ove f(x)$ monico
		\item $n=\deg f(x)$
	\end{enumerate}
	allora
\eal{&K\T{ campo di spezzamento di $f(x)$ su $F$ }\definizione{\=}
\sist{1.\;\;\exists \a_1,\dots,\a_n\in
K:\;f(x)=a(x-\a_1)(x-\a_2)\dots(x-\a_n)\\
2.\;\;K=F(\a_1,\dots,\a_n)
}
}
La condizione $1.$ impone che $f(x)$ si spezzi linearmente in $K$, la $2.$ che
$K$ sia generato da $F$ e da $\a_1,\dots,\a_n$.\\
Nota\footnote{poiche' $n=\deg
f(x)$, per la $1.$ e per Ruffini (vedi \AI{alpiunradiciperRuffini}),
$\a_1,\dots,\a_n$ sono tutte le radici di $f(x)$, anche se alcune potrebbero
non essere distinte.}\\
Nota\footnote{Si ha \eal{&F(\a_1,\dots,\a_n)=F(\ove\a_1,\dots,\ove \a_h)}
dove $\ove\a_1,\dots,\ove \a_h$ sono tutte le $\a_i$, a due a due distinte,
che non stanno in $F$.
}

Per indicare che $K$ e' un campo di spezzamento di $f(x)$ su $F$, scriveremo:
\eal{&K=\spezz{f(x)}{F}
}
\end{defn}
\begin{prop}\label{propcampispezzesistonoamenoisomorfismi}
Sia $F$ campo, $f(x)\in F[x]$. A meno di isomorfismi, un campo di spezzamento
$K$ di $f(x)$ esiste, e $\dim_FK\le n!$, con $n=\deg f(x)$.
\end{prop}
\begin{thm}\label{thmspezzisom}
	\def\P{{\Psi}}
	\def\p{{\psi}}
	\def\ip{{\ind \p}}
Sia \begin{enumerate}
		\item $F \SC K,\;F'\SC K'$ estensioni
		\item $f(x)\in F[x],\;f'(x)\in F'[x]$
		\item $f'(x)=a'\ove f'(x)\in F'[x]$, $\ove f'(x)$ monico
		\item $n=\deg f(x)$
\end{enumerate}
allora
\eal{&\sist{\exists 
\p:F\longrightarrow F' \T{ isomorfismo}\\
f'(x)=\ip(f(x))\\
K=\spezz{f(x)}{F}\\
K'=\spezz{f'(x)}{F'}
}
\> \sist{\exists \P:K\simeq K'\T{ isomorf. }\\
\P_{|F}=\p
}
}
dove $\ip:F[x]\longrightarrow F'[x]$ e' l'indotto di $\p$, $\P_{|F}$ e' la
restrizione di $\P$ a $F$.\\
Possiamo rappresentare il thm graficamente:\\
\xymatrix{K & K'\\
F \ar@{(}[u] \ar@{~>}[r]^{\p} & F'\ar@{(}[u]
}
$\>$ 
\xymatrix{K \ar@{~>}[r]^{\P}& K'\\
F \ar@{(}[u] \ar@{~>}[r]^{\p} & F'\ar@{(}[u]
}
\end{thm}
\begin{cor}\label{unicitacampospezz}
Sia $f(x)\in F[x]$, allora il campo di spezzamento di $f(x)$ in $F$ e' unico,
a meno di isomorfismi, ovvero,
\eal{&\sist{K_1=\spezz{f(x)}{F}\\
K_2=\spezz{f(x)}{F}
} \> K_1\simeq K_2
}
ed e' quindi lecito considerare la scrittura
\eal{&K=\spezz{f(x)}{F}
}
come una effettiva identita'.\\
Nota
\footnote{Nella definizione
\see{campospezz} avevamo detto che la scrittura
\eal{&K=\spezz{f(x)}{F}}
indicava $K$ come \emph{un qualsiasi} campo di spezzamento di $f(x)$ in
$F$. Adesso, invece, possiamo dire che $\spezz{f(x)}{F}$ e' il campo di
spezzamento di $f(x)$ in $F$, ed e' quindi corretto scrivere:
\eal{&K\simeq \spezz{f(x)}{F}
}
che per convenzione, scriveremo come
\eal{&K=\spezz{f(x)}{F}
}
}.
\end{cor}

\begin{prop}
	\label{spezzamentospezzato}
Dato $f(x)\in F[x]$,
\eal{&\sist{K=\spezz{f(x)}{F}\\
F\SC L \SC K} \> K=\spezz{f(x)}{L}
}
\end{prop}


\subsection{Campi chiusi e chiusura}
\begin{defn}\ilabel{campo chiuso}
	Sia $F$ un campo.
	\eal{&F\T{ e' algebricamente chiuso }\definizione{\=} 
	\forall f(x)\in F[x]:\;\deg f(x) \ge 1 \;\;\exists \a\in F:\;f(\a)=0}
\end{defn}
\begin{prop}\label{campochiusocaratt}
	Sia $F$ un campo.
	Le seguenti proposizioni sono equivalenti:
	\eal{&1.\;\;F\T{ e' algebricamente chiuso}\\
	     &2.\;\;\forall f(x)\in F[x]:\;\deg f(x) \ge  1\;\;f(x)\T{ si spezza linearmente in
	     }F\\
	     &3.\;\;f(x)\in F[x]\T{ irriducibile in }F \= \deg f(x)=1\\
	     &4.\;\;F\SC K\T{ estensione algebrica } \= F=K
	     }
\end{prop}
\begin{defn}
	\ilabel{chiusura}
Sia $F\SC \ove F$ una estensione. Poniamo
\eal{&\ove F \T{ si chiama chiusura algebrica di $F$ } \definizione{\=} 
\sist{F\SC \ove F\T{ estensione algebrica }\\
\ove F\T{ algebricamente chiuso}
}}
\end{defn}

\begin{lem}
	\label{lemmafdellachiusura}
	\def\f{{\varphi}}
\def\df{{\Phi}}
\def\bb{{\ove\b}}
Sia 
	\begin{enumerate}
		\item 
	$F\SC L\SC K=L(\a)$, con $\a\in K$ algebrico su L
\item $p(x)=\pmin{\a}{L}$, $n=\deg p(x)$
\item $\f:L\longrightarrow \ove F$ una immersione
\item $\df:L[x]\longrightarrow \ove F[x]$  
	l'omomorfismo indotto da $\f$ (\vedi{omomorfismoindotto}), ovvero
\eal{&\df: L[x]\longrightarrow  \ove F[x]\\
&\somma{i=0}{r} a_ix^i \mapsto \somma{i=0}{r} \f(a_i)x^i
}
\item Sia $\bb$ una radice di $\df(p)$
\item Sia data la seguente legge:
\eal{&f:K=L(\a)\longrightarrow \ove F\\
&b_0+b_1\a+b_2\a^2+\dots+b_{n-1}\a^{n-1} \mapsto \f(b_0)+\f(b_1)\bb+\f(b_2)\bb^2+\dots+\f(b_{n-1})\bb^{n-1}
}
o equivalentemente:
\eal{&h(x)\in  L[x]\\
&f(h(\a)) = \df(h)(\bb)}
	\end{enumerate}
Allora, 
\eal{&f\T{ e' un omomorfismo t.c. }f_{|L}=\f}
\end{lem}


\begin{thm}\label{esistechiusura}
	Sia $F$ un campo, allora
	\begin{enumerate}
		\item $\exists \ove F$ chiusura algebrica di $F$
		\item $F\SC K$ estensione algebrica $\> \exists
			\varphi:K\immerso \ove F,\;\;\varphi_{|F}=\id$
		\item Due chiusure algebriche di $F$ sono isomorfe.
	\end{enumerate}
	Grazie alla $3.$, esiste un'unica chiusura algebrica di $F$ (a meno di
	isomorfismi), che indicheremo con $\ove F$.
\end{thm}
\begin{exemp}\qq\\
	\begin{enumerate}
		\item $\C=\ove \R$, infatti
			\eal{&\R \ubrace{\SC}{\see{expestfinita}}
			\C \T{ e' finita }
			\ubrace{\>}{\see{thmfinitassealgebricaefingen}}
			\R \SC \C \T{ algebrica }\\
			&\C \T{ e' chiuso \vedi{Cestchiuso}}
			}
			quindi $\C=\ove \R$.
		\item $\C \neq \ove \Q$, infatti, anche se $\C$ e' chiuso,
			l'estensione $\Q \( \C$ non e' algebrica: basta
			considerare $e,\pi$ che sono trascendenti su $\Q$.
	\end{enumerate}
\end{exemp}
\begin{prop}\label{condizioneperchiusura}
	Sia
	\begin{enumerate}
		\item $F\SC  K$ una estensione algebrica
		\item $\forall f(x)\in F[x]:\deg f(x) \ge 1 \;\;\;f(x)\T{ si spezza linearmente in }K$
	\end{enumerate}
	allora
	\eal{&K=\ove F
	}
\end{prop}

\begin{prop}\label{chiusureestensionealgebrica}
Sia $F\SC K$ una estensione, allora
\eal{&F\SC K\T{ algebrica } \> \ove K = \ove F
}
\end{prop}
\begin{prop}\label{chiusuraesplicita}
	Sia $F\SC K$ estensione, si ha
	\eal{&K\T{ chiuso } \> \ove F = \pgra{\a\in K \;|\; \a \T{ algebrico
	su } F}}
\end{prop}
\begin{exemp}\label{chiusuradiQ}
	\eal{&\ove \Q = \pgra{\a\in \C\;|\;\a\T{ algebrico in
	}\Q}}
	Basta applicare la prop \see{chiusuraesplicita} considerando
	l'estensione $\Q \SC \C$, e il thm \see{Cestchiuso}.
\end{exemp}
\section{Campi finiti}
\begin{defn}
	Un campo $F$ e' finito $\definizione{\=}$ $|F| < \8$
\end{defn}
\begin{prop}
	\label{ordineKestensionefinitacampofinito}
	Sia $F\SC K $ una estensione, $p,n\in \N$, allora
	\eal{&\sist{|F|=p\\
	\dim_F K=n} \> |K|=p^n
	}
\end{prop}

\begin{prop}
	\label{ordinecampofinito}
	\eal{&K\T{ campo finito } \> \sist{\ch K =p\\
					   |K|=p^n,\;\;p\T{ primo, }n\in
					   \mathbb{N}^*}
	}
\end{prop}
\begin{prop}\label{spezzdicampofinito}
	Sia $K$ campo.
	\eal{&|K|=p^n,\;\;p\T{ primo }\> K=\spezz{x^{p^{n}}-x}{\Z_p}
	=\pgra{\a\;|\;\a^{p^n}-\a=0}
	}
\end{prop}
\begin{cor}
	Siano $K,K'$ campi, allora
	\eal{&|K|=|K'|< \8 \> K\simeq K'}
\end{cor}
\begin{prop}
	\label{cometrovareKpn}
	\def\x{{\ove x}}
	Sia $p,n\in \N^*,\;\;p\T{ primo }$. Sia $f(x)\in \Z_p[x]$, $n=\deg f(x)$
	\eal{&f(x) \T{ irriducibile in }\Z_p \>
	\sist{
	\frac{\Z_p[x]}{(f(x))}\simeq\Z_p(\a)\;\;\T{ e' un campo }\\
	|\Z_p(\a)| = p^n\\
	\dim_{\Z_p}\Z_p(\a)=n
	}
	}
	dove $\a$ e' una radice di $f(x)$.
	Nota: questa proposizione non garantisce l'esistenza di un campo $K$
	con $p^n$ elementi, perche' a priori potrebbero non esistere $f(x)$
	irriducibili in $\Z_p[x]$, di grado $n$.
\end{prop}
\begin{prop}\label{esistecampopn}
	\def\x{{\ove x}}
	Sia $p,n\in \N^*,\;\;p\T{ primo }$. Si ha
	\eal{&\exists K\T{ campo: }|K| = p^n}
	In particolare, usando la prop \see{cometrovareKpn}, se $f(x)\in \Z_p[x]$ e' irriducibile, con $\deg f(x)=n$, un tale $K$ sara'
	\eal{&K=\Z_p(\a),\;\;\T{ con }f(\a)=0 }
\end{prop}
\begin{prop}\label{finitoestciclico}
	Sia $K$ campo,
	\eal{&|K| < \8 \> (K^*,\.)\T{ e' un gruppo ciclico}}
\end{prop}
\begin{prop}
	Sia $p$ primo
	\eal{&\forall n\in \mathbb{N},\;n\ge 2\;\;\exists f(x)\in \Z_p[x]\T{
	irriducibile,\;\;}\deg f(x)=n}
\end{prop}
\subsection{Estensioni separabili}
\begin{defn}
	\ilabel{estensione!separabile}
	Sia $F$ campo, $f(x)\in F[x]$, $\deg f(x)=n$, 
	$\a_1,\dots,\a_n \in \spezz{f(x)}{F[x]}$ le radici di $f(x)$.
	Poniamo
	\eal{&f(x)\T{ e' separabile } \definizione{\=} \a_i \neq
	\a_j\;\;\forall i \neq j
	}
	In altre parole, $f(x)$ e' separabile se tutte le sue radici sono
	distinte. O equivalentemente, se $f(x)$ non ha radici multiple.\\

	Sia $F\SC K$ una estensione, $\a\in K$. Poniamo
	\eal{
	&\a\T{ e' separabile in }F \definizione{\=} \a\T{ e' algebrico su
	}F,\;\;\pmin{\a}{F}\T{ e' separabile}\\
	&F\SC K\T{ e' una estensione separabile } \definizione{\=}
	F\SC K\T{ e' algebrica, }\;
	\forall \a \in K \;\;\a\T{ e' separabile}
	}
\end{defn}
\begin{prop}\label{divalloraseparabile}
	Sia $F[x]$ campo, $f(x),g(x)\in F[x]$, si ha
	\eal{&\sist{f(x)\T{ separabile }\\
	g(x)\div f(x)} \> g(x)\T{ separabile}}
\end{prop}
\begin{prop}\label{MCDinunaestensione}
Sia $F\SC K$ una estensione, $f(x),g(x)\in F[x]$. Siano inoltre
\eal{&d_1(x)=\MCD(f(x),g(x))\in F[x]\T{ il massimo comune divisore
\underline{in $F[x]$},
ovvero }\\
&\qq d_1(x)\div f(x),\;d_2(x)\div g(x) \T{ in }F[x], \T{ ovvero }\\
&\qq \sist{f(x)=\lambda(x)d_1(x),\;\;\lambda(x),d_1(x)\in F[x]\\
	   g(x)=\mu(x)d_2(x),\;\;\mu(x) \in F[x]}\\
&d_2(x) = \MCD(f(x),g(x))\in K[x]
}
allora
\eal{&d_1(x)=d_2(x)}
In pratica, il $\MCD$ non varia all'interno di una estensione.\\
\end{prop}

\begin{prop}\label{irridestseparabilesegprimonozero}
Sia $F$ campo,
\eal{&\sist{g(x)\in F[x]\T{ e' irriducibile}\\
g'(x)\nequiv 0 }
\> g(x)\T{ e' separabile}
}
dove con $g'(x)$ indichiamo la derivata di $g(x)$ (\vedi{derivatapolinomio}).
\end{prop}

\begin{prop}\label{inchzeroirridestseparabile}
Sia $F$ campo,
\eal{&\sist{\ch F=0\\g(x)\in F[x]\T{ e' irriducibile}}
\> g(x)\T{ e' separabile}
}
\end{prop}
\begin{prop}\label{inchzeroestensioneseparabile}
	\label{separabileseFcharzeroFKalgebrica}
	Sia $F$ campo.
	\eal{&
	\sist{\ch F =0\\
	F\SC K \T{ estensione algebrica}
	} \> F\SC K \T{ e' separabile }
	}
\end{prop}
\begin{prop}\label{inchpgirridconpnnestirrid}
Sia $F$ campo, $g(x)\in F[x]$, $n=\deg g(x)$. Si ha 
\eal{&
\sist{\ch F=p\\
g(x)\T{ irriducibile in }F[x]\\
p \ndiv n} \> g(x)\T{ e' separabile}
}
\end{prop}
\begin{thm}\label{nonseparabilessefxeqgxp}
	Sia $F$ campo. $f(x)\in F[x]$ irriducibile. Si ha
	\eal{&f(x)\T{ e' non separabile } \=  \sist{\ch F=p\\
						    \exists g(x)\in
						    F[x]:\;f(x)=g(x^p)}
	}
	con $p$ primo.\\
	La condizione $f(x)=g(x^p)$, equivale a dire che $f(x)$ e' del tipo
	\eal{&f(x)= a_0+a_1 x^p+a_2x^{2p}+\dots + a_nx^{np} =
	\sum_{i=0}^na_ix^{ip}
	}
\end{thm}
\begin{cor}
	Sia $F$ campo, $\ch F=p,\;\;p$ primo. Si ha
	\eal{&f(x)\in F[x]\T{ irriducibile} \> \exists g(x)\in F[x]\T{
	irriducibile e separabile}:\;\;\exists e\in
	\mathbb{N}:\;\;f(x)=g(x^{p^{e}})}
\end{cor}

\begin{prop}
	\label{separabileseFfinitoFKalgebrica}
	Sia $F\SC K$ una estensione
	\eal{&\sist{F \T{ campo finito }\\
	F\SC K \T{ algebrica }} \> F\SC K \T{ e' separabile}}
\end{prop}
\begin{prop}\label{algebricamanonseparabile}
	Sia $F \SC K$ una estensione
	\eal{&F\SC K \T{ separabile } \> F\SC K \T{ algebrica }\\
	&F\SC K \T{ separabile } \nLeftarrow F\SC K \T{ algebrica}
	}
\end{prop}

\begin{thm}\label{FKfingensepestsemplice}
	\label{thmelementoprimitivo}
	Sia $F \SC K$ una estensione,
\eal{&	F\SC K \T{ finitamente generata, separabile}
\>F\SC K \T{ e' semplice }}
In particolare, si ha
\eal{&\sist{\T{$F$ infinito}\\
K=F(\a,\b),\;\;\a,\b\in K\\
F\SC K\T{ separabile}} \> K=F(\a+\lambda \b)\;\;\forall \lambda \in
F:\;\lambda \neq \frac{\a-\a_i}{\b_j-\b}\;\;\forall i=1,\dots,n,\;\;\forall
j=2,\dots,m\\
&\T{dove } (\a=\a_1),\a_2,\dots,\a_n\T{ sono tutte le radici di }\pmin{\a}{F}\\
&\qq (\b=\b_1),\b_2,\dots,\b_m\T{ sono tutte le radici di }\pmin{\b}{F}\\
}
\end{thm}
\begin{exemp}
	Esempio di estensione finita, non separabile e non semplice.\\
	Sia $p$ primo, $t,v$ trascendenti su $\Z_p$, 
	$u=t^p,\;w=v^p$, $F=\Z_p(u,w),\;\;K=\Z_p(t,v)$.\\
	Si ha
	\eal{&F\( K = F(t,v)}
	$t,v$ sono algebrici su $F$, infatti, sono radice dei seguenti
	polinomi:
	\eal{&x^p - u,\;x^p-w\in F[x]}
	\eal{&t,v\T{ algebrici su }F
	\ubrace{\>}{\see{elemalgebriciimplicaestensalgebrica}}  F\SC F(t,v)\T{
	algebrica}  \ubrace{\>}{\see{propalphaialgebricheimplicaFalphaifinita}} 
	F\SC F(t,v) \T{ finita}
	}
	Analogamente a quanto fatto nella dimostrazione
	\see{algebricamanonseparabile} (usando Eisenstein) si vede che 
	\eal{
	&x^p - u=\pmin{t}{F}\;\;(1)\\
	&x^p-w = \pmin{v}{F}\;\;(1.1)\\
	&x^p-w \T{ e' irriducibile su }F(t)\;\;(1.2)
	}
	Supponiamo per assurdo che $F\SC K$ sia semplice, ovvero che $\exists
	\gamma\in K:\;K=F(\gamma)$.
	\eal{&F\(F(t) \( F(t,v)\\
	&(1) \> [F(t):F]=p\\
	&(1.1) \> [F(t,v):F(t)] \le  p\\
	&(1.2) \> \deg \pmin{v}{F(t)} \ge p \= [F(t,v):F(t)] \ge p\\
	&\qq \> [F(t,v):F(t)] =p\\
	&\sist{[F(t):F]=p\\
	[F(t,v):F(t)] =p
	}\> [F(t,v):F]=p^2\;\;\= [K:F] =p^2\;\;(1)
	}
	Si ha
	\def\g{{\gamma}}
	\eal{&\g\in K=F(t,v)  \ubrace{\>}{\see{estensionedicampiesplicita}} 
	\g=\frac{f(t,v)}{g(t,v)}=
	\frac{
	a_{00}+a_{01}v+a_{02}v^2+\dots+a_{10}t+ a_{11}tv+a_{21}t^2v+\dots
	}{
	b_{00}+b_{01}v+b_{02}v^2+\dots+b_{10}t+ b_{11}tv+b_{21}t^2v+\dots
	}
	\\
	&\g^p  \ubrace{=}{\see{binominzp}} 
	\frac{
	a_{00}^p+a_{01}^pv^p+a_{02}^pv^{2p}+\dots+a_{10}^pt^p+
	a_{11}^pt^pv^p+a_{21}^pt^{2p}v^p+\dots
	}{
	b_{00}^p+b_{01}^pv^p+b_{02}^pv^{2p}+\dots+b_{10}^pt^p+
	b_{11}^pt^pv^p+b_{21}^pt^{2p}v^p+\dots
	}
	=\\
	&=
	\frac{
	a_{00}^p+a_{01}^pw+a_{02}^pw^{2}+\dots+a_{10}^pu+
	a_{11}^puw+a_{21}^pu^{2}w+\dots
	}{
	b_{00}^p+b_{01}^pw+b_{02}^pw^{2}+\dots+b_{10}^pu+
	b_{11}^puw+b_{21}^pu^{2}w+\dots
	}  = \frac{\ove f(u,w)}{\ove g(u,w)}\in \Z_p(u,w)=F\>\\
	&\> \gamma\T{ e' radice di } x^p-\frac{\ove f(u,w)}{\ove g(u,w)} \in
	F[x]
	\> \deg \pmin{\g}{F} \le  p\> [F(\g):F] \le p\= [K:F]\le p
	}
	assurdo contro $(1)$.\\
	Quindi $F\SC K$ non e' semplice. Inoltre, poiche' 
	$F\SC K=F(t,v)$ e' finitamente generata ma non semplice, 
	per il thm
	\see{FKfingensepestsemplice}, possiamo dedurre che $F\SC K$ non e'
	separabile.
\end{exemp}
\def\g{{\gamma}}
\begin{thm}
	Sia $F\SC K$ una estensione finita, si ha
	\eal{&F\SC K \T{ e' semplice } \= |\pgra{ L\;:\;F\prec L \prec K}| <\8}
	ovvero $F\SC K$ e' semplice sse esiste un numero finito di campi
	strettamente compresi tra $F$ e $K$.
\end{thm}
\begin{prop}
	\label{campiintermediseparabili}
	\label{separabileimplicapezziseparabili}
	\eal{&\sist{F\SC L \T{ separabile }\\
	F\SC K \SC L}  \> \sist{F\SC K\\K\SC L}\T{ separabili}
	}
\end{prop}
\begin{prop}
	\eal{&\sist{F\SC F(\a_1,\dots,\a_n)\\
	\a_i\T{ separabile su $F$}\;\;\forall i=1,\dots,n}
	 \> F\SC F(\a_1,\dots,\a_n)\T{ e' separabile}
	 }
\end{prop}


\section{Polinomi simmetrici}
\def\xn#1{{x_1,\dots,x_{#1}}}
\def\iin#1{{x_1,\dots,x_{#1}}}
\def\xnn{\xn n}
\def\ll{{\le }}
\begin{defn}
	Sia $F$ campo, $f(\xnn)\in F[\xnn]$, 
	ovvero
	\eal{&f(\xnn ) = \sum \a_{\iin n}x_1^{i_1}x_2^{i_2}\dots x_n^{i_n}}
	$x_1^{i_1}x_2^{i_2}\dots x_n^{i_n}$ si chiama \emph{monomio} di $f$. 
	$\a_{\iin n}x_1^{i_1}x_2^{i_2}\dots x_n^{i_n}$ si chiama
	\emph{termine} di $f$.\\
	Poniamo
	\eal{&\deg \a_{\iin n}x_1^{i_1}x_2^{i_2}\dots x_n^{i_n}x_1^{i_1}x_2^{i_2}\dots x_n^{i_n} \definizione{=}
	i_1+i_2+\dots+i_n
	}
	Dati i due monomi 
	\eal{&a(x_1,\dots,x_n)=x_1^{i_1}x_2^{i_2}\dots x_n^{i_n}\\
	&b(x_1,\dots,x_n) = x_1^{j_1}x_2^{j_2}\dots x_n^{j_n}
	}
	Definiamo il seguente ordinamento, chiamato \iemph{ordinamento lessicografico}:
	\eal{&a \ll b
	\definizione{\=} 
	\deg a < \deg b  \| 
	\sist{\deg a = \deg b\\
	\exists t=\min\pgra{t\;|\;i_t \neq j_t} \> i_t < j_t
	}
	}
\end{defn}
\def\x{{\underline{x}}}
	\begin{prop}
\def\i{{{i}}}
	\def\j{{{j}}}
	\def\k{{{k}}}
	\def\h{{{h}}}
	\label{propordinamento}
	La relazione $\ll$ e' una relazione d'ordine totale sui termini di 
	$F[x_1,\dots,x_n]$ e inoltre, posto
	\eal{&\x=(x_1,\dots,x_n)\\
	&\i=(i_1,\dots,i_n)\in \N^n\\
	&\j=(j_1,\dots,j_n)\in \N^n\\
	&\i+\j = (i_1+j_1,\dots,i_n+j_n)\\
	&\x^\i=x_1^{i_1}x_2^{i_2}\dots x_n^{i_n}
	}
	si ha
	\eal{&1.\;\;\x^\i\ll \x^j \> \x^{\i+\k} \ll \x^{\j+\k}\;\;\forall
	\k\in \N^n\\
	&2.\;\;\sist{\x^\i\ll \x^j\\
	\x^\h \ll \x^\k } \>  
	\> \x^{\i+\h} \ll \x^{\j+\k}\;\;\forall
        \k\in \N^n\\
	&3.\;\;\T{L'insieme } \pgra{\i\in \N^n\;|\;\x^\i \ll \x^\j} \T{ e'
	finito}
	}
\end{prop}
\def\x{{\underline{x}}}
\begin{defn}
	\label{defLT}
	Sia $f(x_1,\dots,x_n)\in F[x_1,\dots,x_n],\;\;\x=(x_1,\dots,x_n)$, $f$
	non nullo.\\
	Definiamo il \iemph{leading term} di $f(\x)$:
	\eal{&\LT(f) \T{ e' il termine  di $f(\x)$ t.c. }
	a \ll \LT(f) \;\;\forall a(\x)\T{ termine di }f(\x)
	}
	ovvero
	\eal{&\LT(f)=\max_{\ll}\pgra{a(\x)\T{ termine di }f(\x)
        }
	}
	Poiche' $\ll$ e' un ordinamento totale (\vedi{propordinamento}),
	$\LT(f)$ esiste ed e' unico.
\end{defn}
\begin{prop}\label{LTprodotto}
	Sia $f,g\in F[\xnn]$, si ha
	\eal{&\LT(fg)=\LT(f)\LT(g)\\
	&\LT(f^m)=\LT(f)^m\;\;\forall m\in \N}
\end{prop}
\def\s{{\sigma}}
\begin{defn}
	\label{polsimelem}
	Sia $f\in F[x_1,\dots,x_n]$, $\x=(x_1,\dots,x_n)$.
	\eal{&f\T{ e' simmetrico }\definizione{\=} 
	f(\x)= f(\s(\x))\;\;\forall \s\in S_n\\
	&\T{ dove } \s(\x) = (x_{\s(1)},x_{\s(2)},\dots,x_{\s(n)})
	}
	$S_n$ gruppo delle permutazioni di $n$ elementi. In pratica un
	polinomio e' simmetrico, se resta uguale effettuando un qualsiasi
	scambio di variabili.\\
	I polinomi simmetrici elementari sono:
	\eal{&\s_1(x_1,\dots,x_n)=x_1+x_2+\dots+x_n\\
	&\s_2(x_1,\dots,x_n)= \sum_{i<j} x_ix_j\\
	&\s_3(x_1,\dots,x_n)= \sum_{i_1<i_2<i_3} x_{i_1}x_{i_2}x_{i_3}\\
	&\dots\\
	&\s_h(x_1,\dots,x_n)= \sum_{i_1<i_2<\dots <i_h} x_{i_1}x_{i_2}\dots x_{i_h}\\
	&\dots\\
	&\s_n(x_1,\dots,x_n)= x_{1}x_{2}\dots x_{n}
	}
	In pratica, i monomi di $\s_h$, sono tutti i possibili monomi formati
	da $h$ indeterminate distinte, ovvero
	\eal{&\ove n=\pgra{1,2,\dots,n}\\
	&\ubrace{\pgra{i_1,\dots,i_h}}{\T{tutti distinti}} \( \ove n \=
	x_{i_1}x_{i_2}\dots x_{i_h} \T{ e' un monomio di }\s_h
	}
	I monomi di $\s_h$ sono quindi in numero \eal{&\binom{n}{h}}
\end{defn}
\begin{prop}\label{LTpsym}
	\eal{&\LT(\s_h)=x_1x_2\dots  x_h}
\end{prop}
\begin{prop}\label{formuleviete}
	\ilabel{formule di Viete'}
	Formule di Viete'.\\
	Sia $f(x)=a_0+a_1x+\dots+x^d\in F[x]$ monico, $K=\spezz{f(x)}{F}$ e siano
	\eal{&\a_1,\dots,\a_d\in K}
	tutte le radici di $f(x)$, 
	allora
	\eal{
	&a_h=(-1)^{d-h} \s_{d-h}(\a_1,\dots,\a_d)\;\;\forall h=0,\dots,d-1
	}ovvero
	\eal{&
f(x)=x^d+\sum_{h=0}^{d-1} (-1)^{d-h} \s_{d-h}(\a_1,\dots,\a_d)x^{h}
	}
	dove $\s_h$ e' il polinomio elementare $h$-esimo.
\end{prop}
\begin{thm}\label{psymcomposizioneconpelementari}
	\label{thmfondamentalepsym}
Sia $f\in F[x_1,\dots,x_n]$ un polinomio simmetrico, $\x=(x_1,\dots,x_n)$. Si
ha
\eal{&\exists ! g\in F[x_1,\dots,x_n]:\;\;g(\s_1(\x),\s_2(\x),\dots,\s_n(\x))
}
Dove $\s_i$ sono i polinomi simmetrici elementari.
\end{thm}

\section{Estensioni normali}
\begin{prop}
	\label{normaliprop1}
	\label{psymrimangonoinFcalcolatinellaradici}
	Sia $F\SC K$ una estensione di campi, $f(x)\in F[x]$,
	$\x=(x_1,\dots,x_d)$, $p(\x)\in F[x_1,\dots,x_d]$, 
	$K= \spezz{f(x)}{F}$.\\
	Si ha
	\eal{&
	p(\x)\T{ simmetrico}
	\> p(\a_1,\dots,\a_d)\in F\\
	&\T{ dove } \a_1,\dots,\a_d\in K\T{ sono tutte le radici di }f(x)
	}
\end{prop}

\begin{defn}
	\ilabel{estensione!normale}
	Sia $F\SC K$ una estensione algebrica
	\eal{&F\SC K\T{ e' normale } \definizione{\=}
	\Big(f(x)\in F[x],\T{ irriducibile, }\;\exists \a_1 \in K:\;f(\a_1)=0 \>
	\forall \a\in \spezz{f(x)}{F}:\;f(\a)=0 \;\;\a\in K
	\Big)
	}
	In altre parole, se $F\SC K$ e' normale, ogni polinomio irriducibile in $F[x]$ con
almeno	una radice in $K$, avra' tutte le altre radici in $K$.
\end{defn}
\begin{lem}\label{lemmanormale}
	Sia $F$ campo. Si ha
	\eal{&\forall f(x)\in F[x]\;\;\;F\SC \spezz{f(x)}{F} \T{ e' normale}
	}
\end{lem}
\begin{exemp}\label{expnonnormale}
	\def\w{{\omega }}
	$\Q\( \Q(\sqrt[3]{2})$ non e' normale, infatti,
	\eal{&x^3-2\T{ e' irrid. in }\Q, \T{ ha $\sqrt[3]{2}\in
	\Q(\sqrt[3]{2})$ come radice}}
	ma tutte le sue altre radici sono
	\eal{&\w\sqrt[3]{2},\w^2\sqrt[3]{2} \notin  \Q(\sqrt[3]{2})}
\end{exemp}
\begin{thm}\label{normalefinitacaratt}
Sia $F\SC K$ una estensione, allora
\eal{&F\SC K\T{ normale, finita } \= 
\exists f(x)\in F[x]:\;\;K=\spezz{f(x)}{F}
}
In particolare, dati $\a_1,\dots,\a_n\in K$ algebrici su $F$, con
$K=F(\a_1,\dots,\a_n)$, si ha
\eal{&F\SC K\T{ normale, finita } \>
K=\spezz{\prod_{i=1}^n\pmin{\a_i}{F}}{F}
}
\end{thm}

\begin{prop}Sia $F\SC K$ una estensione,
	\eal{&[K:F]=2  \> F\SC K\T{ e' normale}
	}
\end{prop}

\section{Gruppo di Galois}
\def\f{{\varphi}}
\begin{defn}\ilabel{gruppo di Galois}
	Sia $F\SC K$ una estensione algebrica. Definiamo i seguenti insiemi:
	\eal{&\FM{K}{F}= \pgra{\f:K\longrightarrow \ove F\;|\;
	\f_{|F}=\id,\;\;\f\T{ omomorfismo}}\\
	&\GG{K}{F} =\pgra{\f:K\longrightarrow K\;|\;\f_{|F}=\id,\;\;\f\T{
	isomorfismo}}\\
	}
	$\GG{K}{F}$ e' chiamato \emph{Gruppo di Galois}.
%	Considerando che $F\( \ove F$, possiamo pensare gli elementi di
%	$\FM{K}{F}$ come gli omomorfismi che estendono l'identita' su $F$.
\end{defn}
\begin{exemp}\label{expFMQiQ}
	\eal{&\FM{\Q(i)}{\Q}=\pgra{\id,\;f}\\
	&\T{con }f(a+ib)=a-ib}
\end{exemp}

\begin{prop}\label{FMGGiniettivelineari}
Sia $F\SC K$ algebrica. Si ha
\eal{&
\f\in  \FM{K}{F} \> \f:K_F\longrightarrow \ove F_F\T{ e' una applicazione
lineare iniettiva }\\
&\f\in  \GG{K}{F} \> \f:K_F\longrightarrow K_F\T{ e' un isomorfismo
vettoriale}
}
\end{prop}

\begin{prop}\label{GGestgruppo}
	\label{GGspezzato}
	\def\o{{\circ}}
	Sia $F\SC K$ algebrica, 
	\eal{&1.\;\;\GG{K}{F} \( \FM{K}{F}\\
	&2.\;\;(\GG{K}{F},\o)\T{ e' un gruppo}\\
	&3.\;\;F\SC L \SC K \> \GG{K}{L} \ubrace{\le}{\T{sottogruppo}}  \GG{K}{F}
	}
	dove $\o$ e' l'operazione di composizione.
\end{prop}
\begin{prop}\label{identitaestesaestensioiniapezzi}
	\eal{&\sist{
	F\SC K \T{ algebrica }\\
	F\SC L \SC K
	}
	\> \FM{K}{L}\( \FM{K}{F}}
\end{prop}
\def\ff{{\tilde{\f}}}
\begin{prop}\label{propradiceimmersioneestesa}
	\def\df{{\Phi}}
	Sia 
	\begin{enumerate}
		\item  $F\SC K$ algebrica, $\a\in K$,	$p(x)=\pmin{\a}{F}$
		\item $\f:F\longrightarrow \ove F$ una immersione e 
\eal{&\df: F[x]\longrightarrow  \ove F[x]\\
&\somma{i=0}{r} a_ix^i \mapsto \somma{i=0}{r} \f(a_i)x^i
}
l'omomorfismo indotto da $\f$ (\vedi{omomorfismoindotto})
		\item $f(x)\in F[x]$, $a\in K$
		\item  $\ff:K\longrightarrow \ove F$ un omomorfismo t.c. $\ff_{|F}=\f$
	\end{enumerate}
allora si ha
\eal{&1.\;\;
\ff(f(a))= \df(f)(\ff(a))\\
&2.\;\;\ff(\a)\T{ e' radice di } \df(p)
}
In particolare, la tesi vale per qualsiasi $\ff\in \FM{K}{F}$ (basta
considerare $\f=\id$), e si ha
\eal{&\ff(f(a))=f(\ff(a))\\
&\ff(\a)\T{ e' radice di } p(x)
}
\end{prop}

\begin{prop}\label{propradiceimmersioneestesaII}
	\def\df{{\Phi}}
	Sia $F\SC K$ algebrica, $\a\in K$,   $p(x)=\pmin{\a}{F}$, $\ff\in
	\FM{K}{F}$, allora si ha
	\eal{&\ff(\a)\T{ e' radice di } p(x)}
Preso $f(x)\in F[x]$, $a\in K$, si ha
\eal{&\ff(f(a))=f(\ff(a))}
\end{prop}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{thm}\label{immersioniestese}
\def\df{{\Phi}}
	Sia 
	\begin{enumerate}
		\item 
	$F\SC K$,\;\;$\a\in K$, $p(x)=\pmin{\a}{F}$, $n=\deg p(x)$
\item $\f:F\longrightarrow \ove F$ una immersione
\item $E=\pgra{\ff:K\longrightarrow \ove F\;|\; \ff_{|F}=\f,\;\;\ff\T{ omomorfismo}}$
\item $\df:F[x]\longrightarrow \ove F[x]$  
l'omomorfismo indotto da $\f$ e $\b_1,\dots,\b_n$ le radici di $\df(p)$ 
	\end{enumerate}
Si ha
	\eal{&
	\sist{K=F(\a)\\
	\a\T{ algebrico su }F} \> \sist{
	|E| \le n\\
	|E|=|\pgra{\ff(\a)\;|\;\ff\in E}|\T{ con biezione }\ff\in E \mapsto \ff(\a)\\
	\pgra{\b_1,\dots,\b_n}=\pgra{\ff(\a)\;|\;\ff\in E}
	}\\
	&\sist{
	K=F(\a)\\
	\a\T{ separabile e algebrico su }F
	} \> |E|=n
	}
\end{thm}


\begin{cor}\label{corimmersioniestese}
Sia $F\SC K$, $\f:F\longrightarrow \ove F$ una immersione. Si ha
\eal{&F\SC K\T{ finita } \> 
\Big|\pgra{\ff:K\longrightarrow \ove F\;|\; \ff_{|F}=\f,\;\;\ff\T{ omomorfismo}}\Big| \le [K:F]
	}
Inoltre, se $F\SC K$ e' anche separabile, allora vale l'uguaglianza.
\end{cor}
\begin{cor}\label{cardinalitaFM}
\eal{
&F\SC K \T{ finita } \> |\GG{K}{F}| \le  |\FM{K}{F}|\le [K:F]\\
	&F\SC K\T{ finita e separabile } \> |\GG{K}{F}| \le |\FM{K}{F}|= [K:F]
}
\end{cor}

\begin{defn}
Sia $F\SC K$ algebrica e $T\( \FM{K}{F}$, definiamo
\eal{&\KT{K}{T}=\pgra{\a\in K\;|\;t(\a)=\a\;\;\forall t\in T}
}
\end{defn}
\begin{prop}\label{propKTFM}
Sia $F\SC K$ algebrica, $L\( K$ e $T\( \FM{K}{F}$, si ha
\eal{&1.\;\;F\SC \KT{K}{T} \SC K\\
&2.\;\;T\( \FM{K}{  \KT{K}{T} }\\
&3.\;\;L\( \KT{K}{  \FM{K}{L} }\\
&4.\;\;\GG{K}{K^{\GG{K}{F}}}=\GG{K}{F}
}
\end{prop}
\begin{prop}\label{LKTFM}
	Sia $F\SC L \SC K$, si ha
	\eal{&F\SC K\T{ separabile, finita } \> L =  \KT{K}{  \FM{K}{L} }
	}
\end{prop}
\begin{cor}\label{corrispondenzapregalois}
	\def\P{{f}}
	Sia $F\SC K$ separabile e finita, allora
	\eal{& \pass{\pgra{L\;|\;F\SC L\SC K }} \le 
 \pass{\pgra{T\;|\;T\( \FM{K}{F}}}}
 In particolare, una funzione iniettiva e'
 \eal{&f(L)=\FM{K}{L}
 }
\end{cor}
\begin{prop}\label{GGeqFMsefinitanormale}
\eal{&F\SC K \T{ finita e normale } \> \GG{K}{F} = \FM{K}{F} }
\end{prop}
\begin{exemp}
\eal{&\GG{\Q(i)}{\Q} = \FM{\Q(i)}{\Q} =\pgra{\id,\;f} \\
&\T{con }f(a+ib)=a-ib 
	}
\end{exemp}

\begin{prop}
	\label{estgaloispolminesplicito}
Sia $F\SC K$, $\a\in K$ e $H \le G=\GG{K}{F}$ sottogruppo.
Supponendo che
\eal{&F\SC K \T{ estensione finita}\\
&\KT{K}{H}=F}
si ha
\eal{&H=\pgra{\f_1,\dots,\f_s}\\
&\qq \T{ con } s < \8,\;\;\f_i \neq \f_j\;\;\forall i \neq j\\
&\pmin{\a}{F} =\prod_{i=1}^{r}(x-\a_i)\\
&\T{ dove abbiamo posto}\\
&\qq\a_i'=\f_i(\a)\in K\;\;\forall i=1,\dots,s\\
&\qq\pgra{\a_1,\dots,\a_r}=\pgra{\a_1',\dots,\a_s'}\\
&\qq\T{ con }r\le s,\;\;\a_i \neq \a_j\;\;\forall i \neq j
}
In particolare, la tesi vale per $H=G$.
\end{prop}

\begin{lem}\label{lemmagammaprimitivoseparabile}
\eal{&
\sist{
F\SC K\T{ algebrica }\\
K=F(\a_1,\dots,\a_n)\\
\a_1,\dots,\a_n\in K,\;\;\T{ separabili su }F
} \> \exists \gamma\in K\T{ separabile su $F$ t.c. }K=F(\gamma)
}
Nota\footnote{a differenza del thm \see{FKfingensepestsemplice},
stiamo affermando che $\gamma$ e' separabile e non stiamo richiedendo che
$F\SC K$ sia separabile.
}
\end{lem}


\begin{thm}\label{thmdefgalois}
	Data $F\SC K$ finita, le seguenti proposizioni sono
	equivalenti:
	\eal{&1.\;\;F\SC K\T{ e' normale e separabile}\\
	&2.\;\;\exists f(x)\in F[x]\T{ separabile t.c. }K=\spezz{f(x)}{F}\\
	&3.\;\; F\SC L\SC K \> |\GG{K}{L}|=[K:L]\\
	&4.\;\;F=\KT{K}{\GG{K}{F}}\\
	&5.\;\; |\GG{K}{F}|=[K:F]
	}
\end{thm}
\begin{defn}
	\ilabel{estensione!di Galois}
	Sia $F\SC K$ una estensione finita.
	\eal{&F\SC K \T{ e' una estensione di Galois }
	\definizione{\=} \T{vale una qualsiasi prop. del thm
	\see{thmdefgalois}}
	}
\end{defn}
\begin{exemp}\label{expestdigalois}
	\def\w{{\omega}}
	\eal{&\Q\( \Q(\2,\3)\\
	&\Q\(\Q(\w,\sqrt[3]{2})}
	sono estensioni di Galois.\\
	\eal{&\Q\( \Q(\sqrt[3]{2})}
	non  e' di Galois.
\end{exemp}
\begin{prop}\label{galoisspezzamento}
	\eal{&\sist{F\SC K\T{ e' di Galois}\\
	F\SC L \SC K} \> L \SC K\T{ e' di Galois, ma non e' detto che pure
	$F\SC L$ lo sia}
	}
\end{prop}
\begin{prop}\label{galoisGGeqFM}
	Sia $F\SC K$ una estensione di Galois. Si ha
	\eal{&\GG{K}{F}=\FM{K}{F}}
\end{prop}
\begin{thm}\ilabel{corrispondenza di Galois}
	\label{corrispondenzagalois}
	Corrispondenza di Galois.\\
	Sia $F\SC K$ una estensione di Galois, allora
	\eal{&\pass{\pgra{L\;|\;F\SC L \SC K }} = 
	\pass{\pgra{H\;|\;H \le   \GG{K}{F}\;\T{ sottogruppo}}}\\
	&\T{In particolare, un funzione biettiva tra i due insiemi e' }\\
	&f(L)=\GG{K}{L}\\
	&\inv f (H)=K^H
	}
\end{thm}

\def\f{{\varphi}}
\def\F{{\Phi}}
\begin{prop}\label{GGimmersoinSn}
	Sia $f(x)\in F[x]$ \underline{separabile}, $K=\spezz{f(x)}{F}$,
	$A=\pgra{\a_1,\dots,\a_n}$ l'insieme delle radici di $f(x)$, $\deg
	f(x)=n$. Si ha la seguente immersione tra gruppi:
	\eal{&\F:\GG{K}{F} \immerso S_n(A) \\
	&\f \mapsto \f_{|A}
	}
	dove $S_n(A)$ e' il gruppo delle permutazioni su $A$, che puo' essere
	visto direttamente come $S_n$.
\end{prop}
\begin{cor}\label{GGimmersoinSncoroll}
	Sia $f(x)\in F[x]$ \underline{separabile}, $K=\spezz{f(x)}{F}$, $\deg f(x)=n$. Si ha 
\eal{&[K:F] = |\GG{K}{F}| \div n!
}
\end{cor}
\def\s{{\sigma}}
\begin{defn}\ilabel{gruppo transitivo}
	Sia $H$ un gruppo di funzioni e $A$ un insieme non vuoto.
	\eal{&H\T{ e' transitivo su }A  \definizione{\=} \forall \a_i,\a_j\in A \;\;\exists \s\in H:\;\s(\a_i)=\a_j
	}
	Rievocando il concetto di orbita (vedi  \AII{Azione di un gruppo})
	possiamo dire:
	\eal{&H\T{ e' transitivo su } A\=
	\O_H(\a)=\pgra{h(\a)\;|\;h\in H}=A\;\;\forall \a\in A
	}
\end{defn}
\begin{prop}\label{transitivosseirriducibile}
	Sia $f(x)\in F[x]$ 
%%\underline{separabile}
, $K=\spezz{f(x)}{F}$, $\deg
	f(x)=n \ge 1$, $G=\GG{K}{F}$, $A$ l'insieme delle radici di $f(x)$.  Si ha 
	\eal{&G\T{ transitivo su } A\= f(x)\T{ irriducibile in }F[x]
}
Nota: se $f(x)$ e' separabile, allora per la \see{GGimmersoinSn}, $G \simeq H
\le  S_n$. Quindi per controllare che $G$ sia transitivo, basta controllare
che $H$ sia transitivo su $\pgra{1,\dots,n}$. Cosi' facendo non dobbiamo considerare $A$ (e quindi le radici
di $f(x)$). Bisogna pero' determinare $H$.
\end{prop}
\begin{thm}\label{thmquozientegalois}
	Sia $F\SC K$ una estensione di Galois e 
	sia $F\SC L\SC K$. Si ha
	\eal{&
	1.\;\;[L:F] = \frac{|\GG{K}{F}|}{|\GG{K}{L}|} = \frac{[K:F]}{[K:L]}\\
	&2.\;\;F\SC L \T{ e' di Galois } \= \GG{K}{L}\le \GG{K}{F}\T{ sottogruppo normale }\\
	&3.\;\;F\SC L\T{ e' di Galois } \> \GG{L}{F} \simeq \frac{\GG{K}{F}}{\GG{K}{L}}\T{ il gruppo quoziente} 
	}
Ponendo $G=\GG{K}{F},\;H=\GG{K}{L},\;\;J=\GG{L}{F}$, diventano:
\eal{&1.\;\;[L:F] = \frac{|G|}{|H|} = \frac{[K:F]}{[K:L]}\\
	&2.\;\;F\SC L \T{ e' di Galois } \= H\le G\T{ sottogruppo normale }\\
	&3.\;\;F\SC L\T{ e' di Galois } \> J \simeq \frac{G}{H}\T{ il gruppo quoziente} 
	}
\end{thm}
\pagebreak
\begin{cor}\label{corquoziente}
Sia $F\SC K$ una estensione di Galois, e sia 
\eal{&G=\GG{K}{F}\\
&H\le G\T{ sottogruppo}
}
allora
\eal{&1.\;\;[K^H:F] = \frac{|G|}{|H|} = \frac{[K:F]}{[K:K^H]}\\
	&2.\;\;F\SC K^H \T{ e' di Galois } \= H\le G\T{ sottogruppo normale }\\
	&3.\;\;F\SC K^H\T{ e' di Galois } \> 
\GG{K^H}{F} 
	\simeq \frac{G}{H}\T{ il gruppo quoziente} 
}
\end{cor}


\def\f{{\varphi}}
\begin{prop}\ilabel{campo coniugato}
	Sia $F\SC K$ di Galois, 
	$F\SC L \SC K$, $\f\in G=\GG{K}{F}$. Si ha 
\eal{&F \SC \f(L) \SC K
	}
	$\f(L)$ si chiama \emph{campo coniugato} di $L$.
\end{prop}
\begin{prop}\label{GGconiugato}
	Sia $F\SC K$ di Galois, $F\SC L \SC K$, $\f\in G=\GG{K}{F}$. Si ha 
	\eal{&\GG{K}{\f(L)} = \f \GG{K}{L} \inv \f\\
	&\T{dove } \f \GG{K}{L} \inv \f\definizione{=}
	\pgra{\f g \inv \f\;|\;g\in \GG{K}{L} }
	}
\end{prop}
\begin{prop}\label{FMimmagine}
Sia 
\begin{enumerate}
	\item 
$F\SC K$, $F\SC L\SC K$
\item $L=F(\a_1,\dots,\a_n)$,
	$\a_1,\dots,\a_n\in K$
\item $\f\in \FM{K}{F}$, con $\f(\a_i)=\b_i\;\;\forall i=1,\dots,n$
\end{enumerate}
Si ha
\eal{&\f(L)=\f(F(\a_1,\dots,\a_n))=F(\b_1,\dots,\b_n)
}
\end{prop}
\subsection{Teorema fondamentale dell'algebra}

\begin{prop}\label{carattTFA}
	\eal{&\C\T{ e' chiuso } \= \pton{f(x)\in  \R[x],\;\deg f(x)\ge 1
	\>\exists \a\in \C:\;\;f(\a)=0}
	}
\end{prop}

\begin{prop}\label{inRhaalmenounarad}
	Sia $f(x)\in \R[x]$, allora
	\eal{&\deg f(x)\T{ dispari } \> \exists \a\in \R:\;\;f(\a)=0
	}
\end{prop}
\begin{prop}
	\eal{&f(x)= a_0+\dots+a_dx^d,\;\;d\T{ dispari}
	}
	Supponiamo $a_d>0$ (analogamente si vede per $a_d<0$).
	Si ha
	\eal{&\lim_{x\to \8} f(x) = \lim_{x\to \8} a_dx^d  \ubrace{=}{a_d>0}
	+\8
	}
	Quindi, definitivamente $f(x)$ sara' positivo. Allora esiste $b\in
	\R:\;f(b)>0$.
	\eal{&\lim_{x\to -\8} f(x) = \lim_{x\to \8} a_dx^d
	\ubrace{=}{a_d>0,\;\;d\T{ dispari}} -\8
	}
Quindi, definitivamente $f(x)$ sara' positivo. Allora esiste $a\in
	\R:\;f(a)<0$.
	\eal{&\sist{f(a)f(b)<0\\
	f\T{ continua }} \ubrace{\>}{\T{thm dell'esistenza dello zero}} 
	\exists \a\in ]\min\pgra{a,b},\;\max\pgra{a,b}[:\;\;f(\a)=0
	}
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{inCdeg2sispezza}
	Sia $f(x)\in \C[x]$
	\eal{&\deg f(x)=2 \> f(x)\T{ si spezza linearmente in }\C[x]
	}
\end{prop}

\begin{thm}
\label{Cestchiuso}
\eal{&\C\T{ e' algebricamente chiuso}}
\end{thm}

\subsection{Estensioni ciclotomiche}
\def\f{{\varphi}}
\def\w{{\omega}}
\begin{prop}\label{osservazionisuUngeneralizzato}
	Osservazione generale su $U_n$ e $x^n-a$.\\
Sia $f(x)=x^n-a\in F[x]$, $F$ campo, $a \neq 0$. Le radici di $f(x)$ sono:
\eal{&b\,\;\w_1 b\,\;\w_2 b\,\;\dots\,\;\w_m b\in  \spezz{f(x)}{F}\\
&\T{dove } b^n=a, \;\;U_n=\pgra{1,\w_1,\dots,\w_m}
}
$(U_n,\.)$ e' il gruppo moltiplicativo delle radici $n$-esime dell'unita' \underline{nel campo
$F$}, ovvero
\eal{&U_n=\pgra{\xi\in \spezz{x^n-1}{F}\;|\;\xi^n-1=0}}
Si distinguono allora i seguenti casi:
\end{prop}

\begin{thm}\label{propprimaestensciclotomica}
	\label{thmestensioniciclotomiche}
Sia $U_n=\gen\w$ il gruppo delle radici $n$-esime dell'unita'.
Poniamo
\eal{
&f(x)=x^n-1\\
&f_m(x)=\prod_{u\in U_n:\;U_m=\gen u} x-u\;\;\;\T{ dove }m\div n\\
&\f\T{ funzione di Eulero, ovvero }\f(n) = |\pgra{m\in \N
\;|\;(m,n)=1,\;m<n}|\\
&\T{dove }(m,n)=\MCD(m,n)
}
si ha
\eal{
&1.\;\;f(x)=\prod_{m\div n} f_m(x)\\
&2.\;\;f_n(x)\in \Z[x],\;\;f_n(x)=\pmin{\w}{\Q}\\
&3.\;\;[\Q(\w):\Q]=\deg f_n(x)=\f(n)\\
&4.\;\;\Q\SC \Q(\w)\T{ e' di Galois }
}
\end{thm}


\begin{prop}\label{QwisomorfoUZn}
Sia $U_n=\gen\w$ il gruppo delle radici $n$-esime dell'unita' e sia
$(U(\Z_n),\.)$ il gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili di $\Z_n$.
Si ha
\eal{&\GG{\Q(\w)}{\Q} \simeq U(\Z_n)
}
\end{prop}

\subsection{Riga e compasso}
\def\E{{\mathbf{E}}}
\newcommand{\cerchio}[3]{\mathcal{C}(#1,\norm{\vec{#2#3}})}
\begin{defn}
	Sia $\E=\R^2$ il piano affine euclideo costruito sullo spazio vettoriale
	$\R^2$ (nota\footnote{e' in pratica l'usuale piano $\R^2$ dotato di
	prodotto scalare e quindi di norma, distanza, angoli. Vedi \GII{Spazio vettoriale euclideo}})

	Una costruzione euclidea (con riga e compasso) e' una successione
	$A_0,\dots,A_n$ di punti, rette e circonferenze, tali che
	\eal{&1.\;\;A_0,A_1\in \E, \T{ ovvero sono due punti del piano}\\
	&2.\;\; A_i\T{ e' una retta } \> \exists j,k<i:\;A_j,A_k\in \E,
	\;\;
	\ove{A_jA_K} = A_i\\
	&\qq \T{dove } \ove{A_jA_K} \T{ e' la retta passante per i punti
	}A_j,A_K\\
	&3.\;\; A_i\T{ e' una circonferenza } \>
	\exists  h,j,k<i:\;A_h,A_j,A_k\in \E,\;\;\cerchio{A_h}{A_j}{A_k} = A_i\\
	&\qq \T{dove } \vec{A_jA_k}\T{ e' il vettore } A_k-A_j\\
	&\qq \qq \norm{\vec{A_jA_k}}\T{ e' la sua norma }\\
	&\qq C(A_h,\norm{\vec{A_jA_k}}) \T{ e' la circonferenza di centro
	$A_h$ e raggio $\norm{\vec{A_jA_k}}$}\\
	&4.\;\;A_i\in \E \> \exists j,k<i:\;A_i,A_j\( \E,\;A_i\in A_j\^A_k,\;\;|A_j\^A_k|<
	+\8
	}
	In pratica, ogni passo della costruzione deve essere realizzato
	mediante elementi a lui precedenti, gia' costruiti. Gli unici due
	punti arbitrari sono quelli iniziali $A_0,A_1$, tutti gli altri si
	devono ricavare tramite intersezioni di oggetti costruiti.
\end{defn}
\def\KE{{\mathbb{E}}}
\begin{defn}
	\eal{&
	a\in \R\T{ e' un numero euclideo }\definizione{\=} 
	\exists A\T{ costruzione euclidea t.c. }\exists i,j:\;A_i,A_j\in
	\E,\;\;\norm{\vec{A_iA_j}}=|a|\\
	&a+ib\in \C\T{ e' un numero euclideo }\definizione{\=} 
	a,b\in \R \T{ sono euclidei}
	}
	Poniamo 
	\eal{&\KE=\pgra{a\in \R\;|\;a\T{ e' euclideo}}\U\pgra{1}
	}
\end{defn}
\begin{prop}\label{costruzionibase}
	Esistono le seguenti costruzioni:
	\begin{enumerate}
		\item Asse del segmento $A_0A_{1}$. Lo indicheremo con
			$\T{Asse}(A_0,A_1)$.
		\item Retta $r$ perpendicolare a una retta $s$ e passante per
			un punto $P$.
			La indicheremo con
	$r=\T{Perp}(s,P)$.
		\item Retta $r$ parallela a $s$ passante per $P$. La
			indicheremo con $r=\T{Parall}(s,P)$.
		\item Segmento di lunghezza $l$ su una retta $r$
			usando come estremo un punto $P\in r$
	\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{prop}\label{sommadiffprodottoradiceinKE}
\eal{&a,b,c\in \KE,\;c \neq 0 \> b\pm
a,\;ab,a\inv c,\;\;\sqrt{|a|}\in \KE
			}
\end{prop}
\begin{prop}\label{KEcampo}
	\eal{&\Q \SC \KE \SC \R}
\end{prop}

\def\EF{{\mathbf{F}}}
\begin{prop}\label{coordinatecostruibili}
Posto $\EF=\KE^2$, $A_0=O=(0,0)$, $A_1=(1,0)$, si ha
\eal{&1.\;\;\T{Le seguenti mappe rendono }\EF\T{ uno spazio affine euclideo
sullo spazio vettoriale }\KE^2\\
&\qq \vec{PQ} = Q-P\;\;\forall P,Q\in \EF\\
&\qq (x,y)\.(x',y')=xx'+yy'\;\;\forall x,y,x',y'\in \KE\\
&2.\;\;\EF=\pgra{P\in \E\;|\;P\T{ e' costruibile a partire da }A_0,A_1}
}
La $2.$ si puo' interpretare cosi': l'insiemi dei punti del piano con coordinate
euclidee e' uguale all'insieme dei punti costruibili del piano.\\
Nota: da ora in poi supporremo $A_0=O=(0,0)$, $A_1=(1,0)$.
\end{prop}
\begin{thm}\label{thmcostruzionieuclidee}
	\eal{&a\in \KE \= \exists \T{ una catena di campi } \Q=K_0 \SC K_1 \SC
	\dots \SC K_t \SC \R\T{ tale che } \sist{a\in K_t\\
	t\ge 1 \> [K_i:K_{i-1}]=2 \;\;\forall i=1,\dots,t}}
\end{thm}
\begin{cor}\label{corthmcostruzioni}
	\eal{&a\in \KE \> a\T{ e' algebrico su }\Q,\;\;\deg
	\pmin{a}{\Q}=2^m,\;\;m\ge 0\\
&}
\end{cor}
\begin{exemp}\qq\\
	\begin{enumerate}
		\item E' impossibile rettificare la circonferenza
		\item E' impossibile quadrare il cerchio
		\item E' impossibile duplicare il cubo
	\end{enumerate}
\end{exemp}

\subsubsection{Ciclotomia}
\begin{prop}\label{weuclideo}
E' possibile costruire un poligono regolare di $n$ lati inscritto nella
circonferenza unitaria $ \= \w\T{ e' euclideo }$, dove  $U_n=\gen{\w}$.
\end{prop}
\begin{prop}\label{weuclideo2}
Sia $U_n=\gen \w$, allora
\eal{&\w=\cos{\frac{2\pi}{n}}+i\sen{\frac{2\pi}{n}}\T{ e' euclideo }
\= \cos{\frac{2\pi}{n}} \in \KE
	}
\end{prop}
\begin{thm}
Sia $U_n=\gen \w$, allora
\eal{&\w\T{ e' euclideo } \= \exists m\ge 0:\;\;\f(n)=2^m
	}
	dove $\f$ e' la funzione di eulero.
\end{thm}
\def\f{{\varphi}}
\begin{prop}
\def\p#1#2{{{#1}^{#2}}}
\def\pi#1{{{p_{#1}}^{s_{#1}}}}
\def\pis#1#2{{{p_{#1}}^{s_{#1}#2}}}
Sia $n=\p 2 {s_0} \pi 1 \dots \pi t$ la fattorizzazione in primi distinti di
$n$, con $s_0\ge 0$, $s_i>0\;\;\forall i=1,\dots,t$, allora
	\eal{&\f(n)= 2^m \=
\sist{s_1=s_2=\dots=s_t=1\\
p_i=2^{2^{h_i}}+1\;\;\forall i=1\dots t
}\\
&\f(n) =2^m \> 
n=\p 2 {s_0}\pton{2^{2^{h_1}}+1} \dots \pton{2^{2^{h_t}}+1}\\
&\T{ con } k_i,h_i\ge 0
}
\end{prop}
\begin{prop}
Sia dato il seguente algoritmo scritto in J\footnote{Vedi
Jsoftware \url{http://www.jsoftware.com/}}
\begin{verbatim}
rc=:3 : '-.  (+./  1 >~ #/.~ ([ #~ 2&|) q: y) +. (-.*./ 1=+/"1#: ~.1-~q: y)'"0
\end{verbatim}
allora
\eal{& \T{rc }n = 1 \= \f(n)=2^m}
\end{prop}

\section{Gruppi risolubili}
\def\e{{\mathbf{e}}}
\begin{defn}
Sia $G$ un gruppo
\eal{&G\T{ e' un gruppo risolubile }\=\\
&\qq\qq \=
\exists \T{catena di gruppi } \pgra{\e}=H_0\le H_1\le \dots\le H_n=G\T{ t.c. }
\sist{H_{i-1}\le H_i\T{ normale }\\
\frac{H_i}{H_{i-1}}\T{ e' abeliano}
}\forall i =1,\dots,n
}
La catena viene chiamata \iemph{catena risolvente}.
\end{defn}
\begin{prop}
	\eal{&1.\;\;G\T{ abeliano } \> G\T{ risolubile}\\
	&2.\;\;G\T{ $p$-gruppo } \>G\T{ risolubile}\\
	&3.\;\;|G|=pq,\;\;p,q\T{ primi } \> G\T{ risolubile}
	}
\end{prop}
\begin{prop}\label{Grisolubilecondizionivarie}
	Sia dato un gruppo $G$ \underline{risolubile}, allora
\eal{&1.\;\;H\le G \> H\T{ risolubile }\\
&2.\;\;N\le G\T{ normale } \> \frac{G}{N}\T{ risolubile}\\
&3.\;\;1< |G| < +\8\> \exists \T{ una catena risolvente } \pgra{\e}=H_0\le
\dots\le H_n =G\T{ t.c. }\pass{\frac{H_i}{H_{i-1}}}=p_i\T{ primo }\;\;\forall
i=1,\dots,n
}
\end{prop}

\begin{prop}
	\label{alloraGrisolubile}
Sia $G$ un gruppo, allora
\eal{&\sist{N\le G\T{ normale}\\
N\T{ risolubile }\\
\frac{G}{N}\T{ risolubile}
} \> G\T{ risolubile}
}
\end{prop}

\begin{thm}
	di Feit-Thompson.\\
Sia $G$ un gruppo, allora
\eal{&|G| \T{ dispari } \> G\T{ risolubile }
	}
\end{thm}

\subsection{Risolubilita' di Sn}
\begin{prop}
	$S_n$ e' risolubile $\forall n=1,\dots,4$
\end{prop}
	\def\c{{\gamma}}
	\def\t{{\tau}}
\begin{thm}
	$S_n$ non e' risolubile $\forall n\ge 5$
\end{thm}

\subsection{Estensioni risolubili}
\def\Trac{{\operatorname{Tr}}}
\def\Norm{{\mathcal{N}}}
\def\trac#1{{\Trac\pton{#1}}}
\def\norm#1{{\Norm\pton{#1}}}
\def\tracKF#1#2#3{{\Trac_{#1,#2}\pton{#3}}}
\def\normKF#1#2#3{{\Norm_{#1,#2}\pton{#3}}}
\def\s{{\sigma}}
\begin{defn}
	Sia $F\SC K$ una estensione algebrica. Definiamo la \iemph{traccia} e
	\iemph{norma}.
	\eal{
	&\Trac_{K,F}:K \longrightarrow \ove F\\\
& \tracKF K F \a = \sum_{\s\in \FM{K}{F}} \s(\a)\\
	&\Norm_{K,F}:K \longrightarrow \ove F\\\
& \normKF K F \a = \prod_{\s\in \FM{K}{F}} \s(\a)\\
	} 
\end{defn}
\begin{prop}\label{tracciainF}
	\eal{&F\SC K\T{ e' di Galois } 
	\> \tracKF K F \a,\;\;\normKF K F \a \in F
	}
\end{prop}
\def\D{{\Delta}}
\begin{defn}\label{defdiscriminante}
Sia $F\SC K$ una estensione finita e separabile. Sia
$B=\pgra{a_1,\dots,a_n}$ una base	dello spazio vettoriale $K_F$
, con $n=\dim K_F=[K:F]$. 
Per il
cor \see{cardinalitaFM} possiamo cosi' enumerare gli elementi di $\FM{K}{F}$:
\eal{&\FM{K}{F}=\pgra{\s_1,\dots,\s_n},\;\;\T{ con }\s_1,\dots,\s_n\T{
distinti fra loro}
}
Sia definita la seguente matrice
\eal{&A\in \ove F^{n\*n}\\
&A_{ij}= \s_i(a_j)}
Definiamo il \iemph{discriminante}:
\eal{&\D\definizione{=}\det A
	}
\end{defn}
\begin{prop}\label{propdiscriminanteD2}
Nelle ipotesi di \see{defdiscriminante} e definita la seguente matrice
\eal{&T\in \ove F^{n\*n}\\
&T_{ij}=\tracKF K F {a_ia_j}
}
si ha
\eal{&1.\;\;\D^2 = \det T\\
&2.\;\;\sist{F\SC K\T{ di Galois}\\
	     \ch F = 0} \> \D  \neq 0
}
\end{prop}
\begin{prop}\label{GGlinindipendente}
Ponendoci nel contesto della def \see{defdiscriminante}, si ha
\eal{&\sist{F\SC K\T{ di Galois}\\
	\ch F =0
	} \> \s_1,\dots,\s_n\T{ sono l.i. su }F,\T{ ovvero }
	\sist{\s_1,\dots,\s_n\in \Hom(K,F)=\T{spazio duale di }K_F\\
	\Ll{\s_1,\dots,\s_n}_{F} = \Hom(K,F)}}
\end{prop}
\def\t{{\tau}}
\begin{prop}\label{propesistebtau}
Sia 
\begin{enumerate}
	\item $F\SC K$ di Galois, $\ch F=0$, con $n=[K:F]$
	\item $G=\GG{K}{F}=\gen \t$
\end{enumerate}
allora, preso $\a\in K$, si ha
\eal{&\normKF K F {\a}=1\= \exists b\in K^{*}:\;\a=\frac{b}{\t(b)}}
\end{prop}
\def\t{{\tau}}
\def\w{{\omega}}
\begin{prop}\label{GGciclicoconomegaallorabninF}
Sia $U_n=\gen \w$ il gruppo delle radici $n$-esime dell'unita'. 
	\eal{&\sist{F\SC K \T{ di Galois, }\ch F=0,\; [K:F]=n\\
	G=\GG{K}{F}=\gen \t\\
	\w \in F 
	} \> \exists b\in K^{*}:\;\;K=F(b)=\spezz{x^n-b^n}{F},\;b^n\in F
}
\end{prop}

\begin{prop}
	\label{GGciclicoconomegaallorabninFinverso}
Sia data l'estensione $F\SC K$ e sia $U_n=\gen \w$ il gruppo delle radici
$n$-esime dell'unita',
	\eal{&\sist{
	K=\spezz{x^n-a}{F},\;\;a\in F^{*}\\
\w\in F,\;\;\ch F =0
} \> 
\sist{F\SC K\T{ e' di Galois}\\
	   G=\GG{K}{F}\T{ e' ciclico}\\
	   [K:F]\div  n
	  }
}
\end{prop}
\begin{defn}\ilabel{estensione ciclica}
	Sia $F\SC K$ una estensione algebrica.
	\eal{&F\SC K \T{ e' ciclica } \definizione{\=} \GG{K}{F}\T{ e'
	ciclico}}
\end{defn}
\begin{thm}\label{estciclicadigaloisconomega}
	Sia \begin{enumerate}
		\item $U_n=\gen{\w}$
		\item $F\SC K$ una estensione, con $\ch F =0$, $\w \in F$
	\end{enumerate}
			allora
	\eal{&K=F(b),\;\;b^{n}\in F^{*} \=
	\sist{F\SC K\T{ e' ciclica e di Galois}\\
	[K:F]\div n
	}}
\end{thm}
\begin{prop}\label{FwimmersoinUZn}
	Sia $F$ campo con $\ch F =0$ e sia $U_n=\gen \w$, allora
	\eal{&1.\;\;F\SC F(\w) \T{ e' di Galois }\\
	&2.\;\;\GG{F(\w)}{F} \immerso (U(\Z_n),\.)\\
	&3.\;\;\GG{F(\w)}{F} \T{ abeliano}
	}
	dove $(U(\Z_n),\.)$ e' il gruppo moltiplicativo degli invertibili di
	$\Z_n$.
\end{prop}
\begin{prop}
Sia
\begin{enumerate}
	\item $F$ campo, $\ch F=0$
	\item $K=\spezz{x^n-a}{F}$, $a\in F^{*}$
\end{enumerate}
allora
\eal{&\GG{K}{F} \T{ e' risolubile}}
\end{prop}
\begin{prop}\label{lemmaKFKwFw}
	Sia
	\begin{enumerate}
		\item $F\SC K$ una estensione di Galois, con $\ch F=0$
		\item $U_n=\gen \w$
	\end{enumerate}
	Allora,
	\eal{&1.\;\;F(\w)\SC K(\w) \T{ e' di Galois}\\
	&2.\;\;\GG{K(\w)}{F(\w)} \immerso \GG{K}{F}\\
	&3.\;\;\GG{K}{F}\T{ risolubile } \= \GG{K(\w)}{F(\w)} \T{ risolubile}
	}
\end{prop}
\subsection{Estensioni risolubili per radicali}
\begin{defn}
Sia $f(x)\in F[x]$, $L=\spezz{f(x)}{F}$, 
\eal{&f(x)\T{ e' risolubile per radicali }\definizione{\=}
\sist{\exists K:\;L\SC K =F(\a_1,\dots,\a_m)\\
a_1\in F\\
\forall i=2,\dots,m\; \exists n_i:\;\;\a_i^{n_i}\in F(\a_1,\dots,\a_{i-1})
}
}
In altre parole, $f(x)$ e' risolubile per radicali, quando riusciamo a
contenere il suo campo di spezzamento, estendendolo con elementi che sono
radici di $x^{n_i}=a_i$, o piu' in dettaglio:
\eal{&\a_1^{n_1}=a_1 \in F \= \a_1=\sqrt[n_1]{a_1}\\
&\qq F\SC F(\a_1)\\
&\a_2^{n_2}=a_2\in F(\a_1) \= \a_2=\sqrt[n_2]{a_2}\\
&\qq F\SC F(\a_1,\a_2)\\
&\dots
}
\end{defn}
\begin{thm}di Galois.\\
	Sia 
	\begin{enumerate}
		\item 
	$f(x)\in F[x]$, $\ch F=0$
\item $K=\spezz{f(x)}{F}$
	\end{enumerate}
	allora
	\eal{&f(x)\T{ e' risolubile per radicali }\=
	\GG{K}{F}\T{ e' risolubile}
	}
\end{thm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\include{esercizi}
\printindex
\end{document}