% File: complementi.tex % % (c) Copyright 2007 Andrea Lo Pumo aka AlpT % % This source code is free software; you can redistribute it and/or % modify it under the terms of the GNU General Public License as published % by the Free Software Foundation; either version 2 of the License, % or (at your option) any later version. % % This source code is distributed in the hope that it will be useful, % but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of % MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. % Please refer to the GNU Public License for more details. % % You should have received a copy of the GNU Public License along with % this source code; if not, write to: % Free Software Foundation, Inc., 675 Mass Ave, Cambridge, MA 02139, USA. % \documentclass[a4paper]{article} %% Orientamento %%% %\usepackage[landscape]{geometry} %%% %%% \usepackage{xr-hyper} \usepackage{amath} \externaldocument[AL-]{alineare}[../lineare/alineare.pdf] \externaldocument[AI-]{algebraI}[../1/algebraI.pdf] \externaldocument[AII-]{algebraII}[../2/algebraII.pdf] \externaldocument[GII-]{geometriaII}[../../geometria/2/geometriaII.pdf] \externaldocument[AIIST-]{studiogruppi}[../2/algebraII.pdf] \ifpdf \newcommand{\AL}[1]{\T{[AL,\ref{AL-#1},pg.\pageref{AL-#1}]}} \newcommand{\AI}[1]{\T{[AI,\ref{AI-#1},pg.\pageref{AI-#1}]}} \newcommand{\AII}[1]{\T{[AII,\ref{AII-#1},pg.\pageref{AII-#1}]}} \newcommand{\AIIST}[1]{\T{[AII,\ref{AIIST-#1},pg.\pageref{AIIST-#1}]}} \newcommand{\GII}[1]{\T{[GII,\ref{GII-#1},pg.\pageref{GII-#1}]}} \else \newcommand{\AL}[1]{\T{[AL,x.y.z,pg.xy]}} \newcommand{\AI}[1]{\T{[AI,x.y.z,pg.xy]}} \newcommand{\AII}[1]{\T{[AII,x.y.z,pg.xy]}} \newcommand{\GII}[1]{\T{[GII,x.y.z,pg.xy]}} \newcommand{\AIIST}[1]{\T{[AII,x.y.z,pg.xy]}} \let\oldlabel\label \renewcommand{\label}[1]{ [#1] \oldlabel{#1}} \fi \begin{document} \title{Complementi di Algebra} \author{AlpT (@freaknet.org)\\ \small{\url{http://freaknet.org/alpt}} } \pagenumbering{roman} \maketitle{} \begin{abstract} Questo testo e' una rielaborazione personale degli appunti presi durante il corso di Complementi di Algebra, tenuto dal Prof. Marco D'Anna\footnote{Sito web del Prof. D'Anna: \url{http://www.dmi.unict.it/~mdanna/}} presso il dipartimento di Matematica, Catania, A.A. 2007/2008.\\ Saro' ben lieto di correggere ogni eventuale errore che mi comunicherai. Buon lettura. \begin{center} \verb|^_^| \end{center} \end{abstract} \input{gpl} \clearpage \tableofcontents \clearpage \pagenumbering{arabic} \let\oldsection\section \renewcommand{\section}[1]{\oldsection{#1}\ilabel{#1}} \let\oldsubsection\subsection \renewcommand{\subsection}[1]{\oldsubsection{#1}\ilabel{#1}} \let\oldsubsubsection\subsubsection \renewcommand{\subsubsection}[1]{\oldsubsubsection{#1}\ilabel{#1}} \def\K{{\mathbb{K}}} \def\N{{\mathbb{N}}} \def\Z{{\mathbb{Z}}} \def\R{{\mathbb{R}}} \def\C{{\mathbb{C}}} \def\Q{{\mathbb{Q}}} \def\O{{\mathcal{O}}} \def\ch{{\operatorname{ch}}} \def\LT{{\operatorname{LT}}} \def\.{{\cdot}} \newcommand{\Ll}[1]{\mathcal{L}\pton{#1}} \def\SC{{\preceq}} \def\CS{{\succeq}} \def\2{{\sqrt{2}}} \def\3{{\sqrt{3}}} \newcommand{\pmin}[2]{P_{\T{min}}\pton{#1,#2}} \def\ind#1{{\tilde{#1}}} \newcommand\spezz[2]{{CS\pton{#1,#2}}} \newcommand\FM[2]{{\mathcal{I}\pton{#1,#2}}} \newcommand\KT[2]{{{#1}^{#2}}} \newcommand\GG[2]{{\mathcal{G}\pton{#1,#2}}} \def\o{{\circ}} \def\ig#1{{i_{G}(#1)}} %%%%% %\see{fomodacampoadanelloestiniettiva} %% \section{Preliminari} Utilizzeremo la teoria degli anelli (vedi \AI{sec:anelli}), la teoria dei gruppi (vedi \AII{Teoria dei gruppi}) e la teoria degli spazi vettoriali (vedi \AL{sec:spazivettoriali}). \begin{defn}\label{defanello}. Sia $A$ un anello (o gruppo). Se $B$ e' un sottoanello (o sottogruppo) di $A$, scriveremo $B\le A$.\\ Da ora in poi, supporremo che in ogni anello unitario, $0_A \neq 1_A$, ovvero che lo zero dell'anello sia diverso dall'elemento unita', cioe' \eal{&\pgra{0}\subset \pgra{0,1}\( A} Quindi ogni anello unitario ha almeno $2$ elementi.\\ Sia $K$ un campo. Se $K'$ e' un sottocampo di $K$, scriveremo $K'\SC K$.\\ \end{defn} \begin{prop} Sia $(A,+,\.)$ un anello, allora, $(A,+)$ e' un gruppo. L'elemento neutro e' lo $0$. \end{prop} \begin{prop} Sia $(K,+,\.)$ un corpo, allora, $(K^*,\.)$ e' un gruppo. L'elemento neutro e' $1$. \end{prop} \begin{prop} Sia $(K,+,\.)$ un campo, allora, $(K^*,\.)$ e' un gruppo abeliano. \end{prop} \begin{prop} \label{propstessielementiunita'} Sia $K'\(K$ un sottocorpo di $K$, allora $1_{K'}=1_K$, ovvero l'elemento unita' di $K'$ coincide con quello di $K$. \end{prop} \begin{proof} $K'^*$, $K^*$ sono dei gruppi rispetto all'operazione $\.$, poiche' $K'\(K$, per definizione, $K'^*$ e' un sottogruppo di $K^*$, e quindi hanno gli stessi elementi unita'. \end{proof} \begin{prop} \label{carattsottocampo} Sia $K$ campo, e $K'\( K$, allora \eal{&K'\SC K \= \sist{(K',+)\ubrace{\le}{\T{sotto gruppo}} (K,+)\\ (K'^*,\.)\ubrace{\le}{\T{sotto gruppo}} (K^*,\.)} \= \forall a\in K'\;\sist{1.\;\;a-b\in K'\;\;\forall b\in K'\\ 2.\;\;a\inv b \in K'\;\;\forall b\in K'\-\pgra{0} } } \end{prop} \begin{proof} \begin{pnecessaria} Per definizione. \end{pnecessaria} \begin{psufficiente} La $1.$ assicura che $(K',+)$ e' un sottogruppo di $(K,+)$ (vedi \AII{sottogruppo!caratterizzazione2}). Si ha anche che \eal{&a-a=0\in K'} La $2.$ assicura che $(K'\-\pgra{0},\.)$ e' un sottogruppo di $(K^*,\.)$ e quindi \eal{ &(K'\-\pgra{0},\.)\ubrace{\le }{\T{sottogruppo}} (K^*,\.) \> \sist{\forall a,b\in K'\;\;ab\in K'\;\;(3)\\ 1_K\in K'\;\;(4)\\ \forall b\in K'\;\;\inv b \in K'\;\;(5)}\\ &(3),\;1. \ubrace{\>}{\AI{caratt2sottoanello}} K'\le K \;\;(6)\\ &(6),\;(4),\;(5)\>K'\T{ e' un sottoanello di $K$, unitario, in cui tutti gli elementi non nulli sono invertibili} } Infine, $\.$ e' commutativa in $K'$, perche' lo e' in $K$.\\ Quindi $K'$ e' un sottocampo di $K$. \end{psufficiente} \end{proof} \begin{defn} Sia $(a)\tleq A$ l'ideale generato dall'elemento $a$. Alcune volte, per evitare confunsione, adotteremo la seguente notazione: \eal{&(a)=\gen a } \end{defn} \begin{prop}\label{propequividealeprimoelprimoelirrid} Sia $D$ un ED (dominio euclideo) e sia $(p)\tleq D,\;p \neq 0$. Si ha: \eal{&(p)\T{ massimale } \= (p)\T{ primo } \= p\T{ primo } \= p \T{ irriducibile } } \end{prop} \begin{proof} Per il thm \AI{thmcatenadiimplicazioniKEDPIDUFD}, $D$ e' un PID, UFD. \eal{& p \T{ irriducibile } \ubrace{\=}{D \T{ UFD }, \;\AI{UFDirridequivprimo}} p\T{ primo } \ubrace{\=}{D\T{ ED },\;\AI{propamassimaleequivaleaprimo}} (p)\T{ massimale } } \end{proof} \begin{prop}\label{sottoanellodiundominioestdominio} Sia $D$ un dominio, allora \eal{&A\le D\> A\T{ dominio}} \end{prop} \begin{proof} L'operazione di $D$ e' commutativa in tutto $D$ e quindi in $A$. Quindi $A$ e' un anello commutativo.\\ Se per assurdo $A$ avesse divisori dello zero, allora questi sarebbero divisori dello zero di $D$. Assurdo. \end{proof} \def\f{{\varphi}} \begin{prop} \label{propestensionediunaimmersione} Siano $K$ un campo, $D$ un dominio e sia $\f:D\longrightarrow K$ una immersione, allora, \eal{& f:Q(D)\longrightarrow K\\ &f\pton{\frac{a}{b}} = \f(a)\inv{\f(b)} } e' una immersione, dove $Q(D)$ e' il campo dei quozienti di $D$. \end{prop} \begin{proof} \def\gg{{f}} \def\g{{\f}} \step{}{$\gg$ e' ben definita} \begin{prova} Sia $b\in D^*$, allora $\g(b)\in D^*$, infatti, se per assurdo $\g(b)=0$, si ha: \eal{&\g(b) =0 \> b\in \ker \g \ubrace{=}{\g\T{ e' iniettiva }} \pgra{0}\> b=0} assurdo.\\ Quindi \eal{&\sist{\g(b) \neq 0\\ K\T{ campo } }\> \exists \inv {\g(b)} = \frac{1}{\g(b)}} Ha quindi senso considerare \eal{&\g(a)\inv{\g(b)}\in K} \end{prova} \step{}{$\gg$ e' ben posta} \begin{prova} Siano $\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'}$, si ha: \eal{&\gg\pton{\frac{a}{b}} = \gg\pton{\frac{a'}{b'}} \= \g(a)\inv{\g(b)} = \g(a')\inv{\g(b')} \= \g(a)\g(b') = \g(a')\g(b) \= \\ &\qq \= \g(ab')=\g(a'b) \< ab'=a'b \= \frac{a}{b}=\frac{a'}{b'} } \end{prova} \step{}{$\gg$ e' un omomorfismo} \begin{prova} \eal{&\gg\pton{\frac{a}{b}+\frac{a'}{b'}}=\gg\pton{\frac{ab'+a'b}{bb' }} = \g(ab'+a'b)\inv{\g(bb')} = (\g(ab')+\g(a'b))\inv{\g(bb')} = \\ &= \g(ab')\inv{\g(bb')}+\g(a'b)\inv{\g(bb')} =\g(a)\g(b')\inv{\g(b')}\inv{\g(b)}+\g(a')\g(b)\inv{\g(b')}\inv{\g(b)} =\\ &=\g(a)\inv{\g(b)}+\g(a')\inv{\g(b')} = \gg\pton{\frac{a}{b}}+\gg\pton{\frac{a'}{b'}} } Infine, \eal{&\gg\pton{\frac{aa'}{bb'}}=\g(aa')\inv{\g(bb')} =\g(a)\g(a')\inv{\g(b)}\inv{\g(b')}=\\ &\ubrace{=}{K\T{ e' comm.}} \g(a)\inv{\g(b)}\g(a')\inv{\g(b')}=\gg\pton{\frac{a}{b}}\gg\pton{\frac{a'}{b'}} } \end{prova} \step{}{$\ker \gg=\ker \g=\pgra{0}$} \begin{prova}\eal{&\ker \gg = \pgra{ \frac{a}{b}\in Q(D)\;|\; \g(a)\inv{\g(b)} = 0 \ubrace{\=}{\g(b) \neq 0} \g(a)=0 \= a\in \ker \g =\pgra{0}\= a=0}=\pgra{0}\\ &\ker \gg = \pgra{0} \> \gg \T{ iniettiva } } \end{prova} \end{proof} \begin{prop} \label{propQDilpiupiccolodeicampicontenenti} $Q(D)$ e' il piu' piccolo campo tale che $D\immerso Q(D)$, ovvero e' il piu' piccolo campo che contiene per immersione $D$, o ancora, preso un generico campo $K$, si ha \eal{&D\immerso K \> Q(D) \immerso K} Nota\footnote{con $A\immerso B$, intendiamo che esiste un omomorfismo iniettivo da $A$ a $B$}. \end{prop} \def\f{{\varphi}} \begin{proof} \eal{&D\immerso K \= \exists \f:D\longrightarrow K\T{ omomorfismo iniettivo} } Allora basta applicare la prop \see{propestensionediunaimmersione} \end{proof} \begin{prop}\label{QKestK} Sia $K$ un campo, allora \eal{&Q(K)\simeq K} \end{prop} \begin{proof} Usando l'identita' $i:K\longrightarrow K$, e applicando la \see{propestensionediunaimmersione}, abbiamo che \eal{& f:Q(K)\longrightarrow K\\ &f\pton{\frac{a}{b}} = a\inv{b} } e' una immersione. E' anche surriettiva, infatti, preso $c\in K$, \eal{&f\pton{\frac{c}{1}} = c } quindi $Q(K)\simeq K$. \end{proof} \begin{prop} \label{omomorfismoindotto} \def\ff{{\ind\f}} Sia $K,K'$ due campi $\f:K\longrightarrow K'$ un omomorfismo tra essi. L'applicazione \eal{&\ind\f :K[x]\longrightarrow K'[x]\\ &\somma{i=0}{n} a_ix^i \mapsto \somma{i=0}{n} \f(a_i)x^i } si chiama omomorfismo indotto da $\f$.\\ $\ff$ e' un omomorfismo. Se $\f$ e' iniettivo o surriettivo, anche $\ff$ lo e'. \end{prop} \begin{proof} \def\ff{{\ind\f}} \step{}{$\ff$ e' un omomorfismo} \begin{prova} Siano $\somma{i=0}{n} a_ix^i,\;\somma{i=0}{m} b_ix^i \in K[x]$, di grado $n,m$. Ponendo \eal{&a_{n+i}=b_{m+i}=0\;\;\forall i=1,2,\dots} si ha \eal{ &\f(a_{n+i})=\f(b_{m+i})=0\;\;\forall i=1,2,\dots\;\;(*)\\ & \somma{i=0}{n} a_ix^i +\somma{i=0}{m} b_ix^i = \sum_{i=1}^{\max\pgra{m,n}} (a_i+b_i)x^i \mapsto \sum_{i=1}^{\max\pgra{m,n}} \f(a_i+b_i)x^i=\\ &\qq = \sum_{i=1}^{\max\pgra{m,n}} (\f(a_i)+\f(b_i))x^i \ubrace{=}{(*)} \somma{i=0}{n} \f(a_i)x^i +\somma{i=0}{m} \f(b_i)x^i } Analogamente per il prodotto: \eal{ & \somma{i=0}{n} a_ix^i \;\.\;\somma{i=0}{m} b_ix^i = \somma{i=0}{n+m}\pton{\somma{j=0}{i}a_jb_{i-j}} x^i \mapsto \somma{i=0}{n+m}\f\pton{\somma{j=0}{i}a_jb_{i-j}} x^i =\\ &\qq = \somma{i=0}{n+m}\pton{\somma{j=0}{i}\f(a_j)\f(b_{i-j})} x^i = \somma{i=0}{n} \f(a_i)x^i \;\.\;\somma{i=0}{m} \f(b_i)x^i } \end{prova} \step{}{$\f$ iniettiva $\>\ff$ iniettiva } \begin{prova} \eal{&\f\T{ iniettiva } \= \ker \f =\pgra{0}\;\;(*)\\ &\ker \ff = \pgra{\somma{i=0}{n} a_ix^i\;|\; \somma{i=0}{n} \f(a_i)x^i\equiv 0 \= \f(a_i)=0\;\forall i \= a_i\in \ker \f \;\forall i \ubrace{\=}{(*)} a_i=0\;\forall i\= \somma{i=0}{n} a_ix^i\equiv 0 } = \pgra{0} } \end{prova} \step{}{$\f$ surriettiva $\>\ff$ surriettiva} \begin{prova} \eal{&\sumin b_ix^i\in K'[x]\>b_i\in K'[x] \ubrace{\>}{\f\T{ surriettiva}} \exists a_i\in K[x]:\;\f(a_i)=b_i\\ &\qq \> \sumin b_ix^i =\sumin \f(a_i)x^i = \ff\pton{\sumin a_ix^i}} \end{prova} \end{proof} \begin{defn}\label{derivatapolinomio} \ilabel{polinomio derivato} Sia $K$ un campo e $K[x]$ il dominio euclideo dei polinomi a coefficienti in $K$. Preso un \eal{&f(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i \in K[x]} definiamo la sua derivata: \eal{&f'(x)\definizione{=}a_1+2a_2x\dots+na_nx^{n-1}= \sum_{i=1}^{n}ia_ix^{i-1} \in K[x]} Dove l'operazione $ia_i$ e': \eal{&ia_i=\ubrace{a_i+a_i+\dots+a_i}{i\T{ volte}}} Attenzione: questa nozione di derivata coincide con quella analitica solo per opportuni campi $K$.\\ Nota\footnote{In realta', l'operazione $ia_i$ coincide con l'operazione di moltiplicazione del campo $K$. Vedi \see{prodottonaturalenelsottocampo} } \end{defn} \begin{prop} Valgono le usuali proprieta' della derivata: \eal{ &1.\;\;D[f(x)+g(x)]=f'(x)+g'(x)\\ &2.\;\;D[f(x)g(x)]=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\ &3.\;\;D\pqua{f(x)^n}=nf(x)^{n-1}f'(x)\\ &4.\;\;D[f(g(x))]=f'(g(x))g'(x)\\ } \end{prop} \begin{proof} Siano \eal{ &f(x)= \sum_{i=0}^na_ix^i\\ &g(x)= \sum_{i=0}^mb_ix^i } \step{}{Dim $1.$} \begin{prova} \eal{&D[f(x)+g(x)]=D\pqua{\sum_{i=0}^na_ix^i+ \sum_{i=0}^mb_ix^i }=\sum_{i=1}^nia_ix^{i-1} + \sum_{i=1}^mib_ix^{i-1}=f'(x)+g'(x) } \end{prova} \step{}{Dim $3.$} \begin{prova} Per induzione su $n$: \eal{&D\pqua{f(x)^n}= D\pqua{f(x)f(x)^{n-1}} \ubrace{=}{2.} f'(x)f(x)^{n-1}+f(x)D\pqua{f(x)^{n-1}} =\\ & \ubrace{=}{\T{Hp indutt.}} f'(x)f(x)^{n-1}+(n-1)f(x)f(x)^{n-2}f'(x)=\\ &= f'(x)\pton{f(x)^{n-1}+(n-1)f(x)f(x)^{n-2}} =\\ &= f'(x)\pton{f(x)^{n-1}+(n-1)f(x)^{n-1}} = nf'(x)\pton{f(x)^{n-1}} } \end{prova} \step{}{Dim $4.$} \begin{prova} \eal{&D\pqua{f(g(x))} = D\pqua{\sum_{i=0}^{n}a_ig(x)^{i}} \ubrace{=}{1.} \sum_{i=0}^n D\pqua{a_ig(x)^{i}} =\\ & \ubrace{=}{2.} \sum_{i=0}^n a_iD\pqua{g(x)^{i}}=\\ &= a_0D\pqua{g(x)^0}+\sum_{i=1}^n a_iD\pqua{g(x)^{i}}=\\ & =\ubrace{a_0D[1]}{=0}+\sum_{i=1}^n a_iD\pqua{g(x)^{i}}=\\ &=\sum_{i=1}^n a_iD\pqua{g(x)^{i}}=\\ & \ubrace{=}{3.} \sum_{i=1}^n ia_ig(x)^{i-1}g'(x)=\\ & =g'(x) \sum_{i=1}^n ia_ig(x)^{i-1} = g'(x)f'(g(x)) } \end{prova} \end{proof} \begin{prop}\label{gradoderivata} \eal{&g'(x)\equiv 0 \| \deg g'(x)< \deg g(x) } \end{prop} \begin{proof} Segue immediatamente dalla definizione di derivata.\\ NB: dobbiamo distinguere i due casi perche' il polinomio nullo non ha grado! \end{proof} \begin{prop}\label{critradicimultiple} Sia $f(x)\in K[x]$, e sia $\alpha$ una radice di $f(x)$, ovvero, $f(\alpha)=0$, allora si ha \eal{&\mu_f(\alpha) > 1 \= f'(\alpha)=0 } dove con $\mu_f(\alpha)$ abbiamo indicato la molteplicita' della radice $\alpha$ di $f$.\\ Nota: se $\mu_f(\alpha)>1$, allora $\alpha$ viene chiamata \emph{radice multipla}, altrimenti, se $\mu_f(\alpha)=1$, \emph{radice semplice}. \end{prop} \begin{proof} \begin{pnecessaria} \eal{&m=\mu_f(\alpha) > 1 \ubrace{\>}{\T{thm di Ruffini} \AI{cor_ruff}} f(x)=(x-\alpha)^mg(x),\;\;g(\alpha) \neq 0\\ &f'(x)=m(x-\alpha)^{m-1}g(x)+(x-\alpha)^mg'(x) \> f'(\alpha)=0 } \end{pnecessaria} \begin{psufficiente} \def\a{{\alpha}} Sempre per Ruffini, \eal{&f(x)=(x-\alpha)g(x),\;\;g(\alpha) \neq 0\\ &f'(x)=g(x)+g'(x)(x-\alpha)\\ &f'(\alpha) \ubrace{=}{\T{Hp}} 0 \= g(\alpha)+g'(\alpha)(\alpha-\alpha)=0 \= g(\alpha)=0 \> g(x)=(x-\a)h(x)\\ &f(x)=(x-\a)^2h(x) \> \mu_f(\a) \ge 2 > 1 } \end{psufficiente} \end{proof} \begin{defn} Sia $V$ un $K$-spazio vettoriale. Con il simbolo: \eal{&\Ll{v_1,v_2,\dots,v_m}_K} oppure con \eal{&B=\pgra{v_1,\dots,v_m}\\ &\Ll{B}_K} indichiamo il $K$-sottospazio vettoriale di $V$, generato da $\pgra{v_1,v_2,\dots,v_m}$. \end{defn} \begin{prop}\label{radiciennesimeunita} Sia $f(x)=x^n-a\in \mathbb{C}[x]$, con $a \neq 0$. Tutte e sole le radici di $f(x)$ sono \eal{&\sqrt[n]{a}, \sqrt[n]{a}\omega ,\sqrt[n]{a}\omega^2,\dots ,\sqrt[n]{a}\omega^{n-1} } dove $\omega$ e' una qualsiasi radice dell'unita' che genera $(U_n,\.)$ (il gruppo delle radici $n$-esime dell'unita'), ovvero $U_n=\gen \omega $. \end{prop} \begin{proof} \eal{&x^n-a=0 \ubrace{\=}{a \neq 0} \frac{x^n}{a}-1=0\= \pton{\frac{x}{\sqrt[n]{a}}}^n-1=0 \ubrace{\=}{y={\frac{x}{\sqrt[n]{a}}}} y^n-1 =0 } Per definizione, tutte le radici di $y^n-1$ sono gli elementi di $U_n$, cioe' \eal{&U_n=\gen \omega = \pgra{1,\omega ,\omega^2,\dots,\omega^{n-1}}} Quindi \eal{&\frac{x}{\sqrt[n]{a}}=y=1,\omega ,\omega^2,\dots,\omega^{n-1} \= x=\sqrt[n]{a}, \sqrt[n]{a}\omega ,\sqrt[n]{a}\omega^2,\dots ,\sqrt[n]{a}\omega^{n-1} } \end{proof} \begin{prop} \label{binominzp} Consideriamo il polinomio $x+y\in \Z_n[x,y]$, si ha \eal{&(x+y)^n=x^n+y^n } \end{prop} \begin{proof} \eal{&(x+y)^{{n}} \ubrace{=}{\T{binom. Newton}} \sum_{i=0}^{{n}}\binom{{n}}{i}x^iy^{{n}-i}=\\ &\qq \binom{{n}}{i} = \frac{{n}!}{i!({n}-i)!}\> n\div \binom{{n}}{i}\;\;\forall i=1,\dots,{n}-1 \> \binom{{n}}{i} =0\;\Z_{n}\;\;\forall i=1,\dots,{n}-1\\ &=x^0y^{{n}-0}+x^{n}y^{0}=x^{n}+y^{n} } \end{proof} \begin{defn}\ilabel{Zorn lemma} \label{zorn} Lemma di Zorn.\\ Sia $A \neq \0$ un POSET, \[\textrm{ogni catena di elementi di A possiede un maggiorante in A}\;\Rightarrow \;\textrm{A possiede elementi massimali} \] Il lemma di Zorn e' equivalente all'assioma della scelta. \end{defn} \section{Estensione di Campi} \subsection{Caratteristica} \def\g{{\gamma}} \begin{prop} \label{propgdiA} Sia $A$ un anello unitario, e sia data la seguente funzione: \eal{&\g:\mathbb{Z}\longrightarrow A\\ &\g(z)=\sist{z*1_A & z > 0\\ 0&z=0\\ -((-z)*1_A) & z < 0 } } dove $1_A$ e' l'unita' di $A$, e \eal{&n*a\definizione{=} \ubrace{a+a+\dots+a}{a\T{ volte}}} Si ha che $\g(z)$ e' un omomorfismo, inoltre $\g(1)=1_A$. \end{prop} \begin{proof} Dobbiamo dimostrare che $\forall m,n\in \mathbb{Z}$, si ha \eal{&\g(m+n)=\g(m)+\g(n)\\ &\g(mn)=\g(m)\g(n)} \case{$m,n>0$} \begin{prova} \eal{&\g(m+n)=(m+n)*1_A=m*1_A+n*1_A } \end{prova} \case{$m>0,n<0$} \begin{prova} \eal{ &\g(m)=m*1_A &\g(n) \ubrace{=}{n<0} = -(-n)*1_A\\ } \case{$m+n=0$} \begin{prova} \eal{&m+n=0\= m=-n\\ &\g(m+n)=\g(0)=0\\ &\g(m)+\g(n)=m*1_A -(-n)*1_A = (\ubrace{1_A+1_A+\dots+1_A}{m\T{ volte}}) -(\ubrace{1_A+1_A+\dots+1_A)}{-n \T{volte}} \ubrace{=}{m=-n} 0 = \g(m+n) } \end{prova} \case{$m+n>0$} \begin{prova} \eal{&m+n>0\= m>-n\\ &\g(m+n)=(m+n)*1_A\\ &\g(m)+\g(n)=m*1_A -(-n)*1_A = (\ubrace{1_A+1_A+\dots+1_A}{m\T{ volte}}) -(\ubrace{1_A+1_A+\dots+1_A)}{-n \T{volte}} = \\ &\qq \ubrace{=}{m>-n} (m-(-n))*1_A=(m+n)*1_A=\g(m+n) } \end{prova} \case{$m+n<0$} \begin{prova} \eal{&m+n<0\= m<-n\\ &\g(m+n)=-(-n-m)*1_A\\ &\g(m)+\g(n)=m*1_A -(-n)*1_A = (\ubrace{1_A+1_A+\dots+1_A}{m\T{ volte}}) -(\ubrace{1_A+1_A+\dots+1_A)}{-n \T{volte}} = \\ & \qq \ubrace{=}{m<-n} -(-n-m)*1_A=\g(m+n) } \end{prova} \end{prova} \case{$m<0,n>0$} \begin{prova} Analogamente a prima. \end{prova} \case{$m,n<0$} \begin{prova} \eal{&m+n<0\\ &\g(m+n)=-(-m-n)*1_A\\ &-(-m)*1_A - (-n)*1_A = -(-m-n)*1_A } \end{prova} Infine, \case{$mn=0$} \begin{prova} \eal{&mn=0\= m =0 \| n=0 \> \g(m)=0\|\g(n)=0\;\;(1)\\ &\g(mn)=0 \ubrace{=}{(1)}\g(m)\g(n) } \end{prova} \case{$mn>0$} \begin{prova} \eal{&\g(mn)=(mn)*1_A\\ &\g(m)\g(n)=m*1_An*1_A=m*1_A(\ubrace{1_A+1_A+\dots+1_A}{n\T{ volte}})= m*1_A+m*1_A+\dots+m*1_A = (nm)*1_A} \end{prova} \case{$mn<0$} \begin{prova} \eal{&mn <0 \> m<0 \XOR n < 0 \> \g(m)=(-m)*1_A \XOR \g(n)= (-n)*1_A\\ &\g(mn)=-(-mn)*1_A\\ &\g(m)=(-m)*1_A \> \g(m)\g(n)=-(-m)*1_An*1_A=-(-m)*1_A(\ubrace{1_A+1_A+\dots+1_A}{n\T{ volte}})=\\ &\qq = -((-m)*1_A+(-m)*1_A+\dots+(-m)*1_A) = -(-nm)*1_A = \g(mn)} \end{prova} \end{proof} \begin{defn} Sia dato un anello unitario $A$, e sia $\g$ la funzione definita in \see{propgdiA}, definiamo la \iemph{caratteristica} di $A$: \eal{&\ch A \T{ e' il generatore non negativo di $\ker \g$, ovvero }\\ &\qq \ker \g\definizione{=}(\ch A)=\pgra{\lambda\ch A\;|\;\lambda\in \mathbb{Z}},\;\;\ch A \in \mathbb{Z}_+ } Questa definizione ha senso: \eal{&\T{tutti gli ideali di $\mathbb{Z}$ sono PID del tipo $(z)$, [vedi \AI{tuttigliidealidiZsonoPID}]}\;\;(1)\\ &\sist{\ker \g \tleq \mathbb{Z}\\ (1) } \> \exists z\in \ker \g:\;\;\ker \g = (z) } Se poi $z \ge 0$, allora $z$ e' unico: infatti, presi $z_1,z_2\ge 0:\;\ker \g = (z_1)=(z_2)$, si ha \eal{ &z_1\in (z_2) \> z_1 = \lambda z_2 \=z_2 \div z_1\\ &z_2\in (z_1) \> z_2 = \lambda' z_1 \=z_1 \div z_2\\ &\qq \> z_1 = z_2 } Quindi, il generatore non negativo di $\ker \g$ e' unico. \end{defn} \begin{prop} \label{propcarattcaratteristica} Sia $A$ un anello unitario, e sia dato il seguente insieme\footnote{abbiamo posto: $\mathbb{Z}_+=\pgra{z\in \mathbb{Z}\;|\;z\ge 0},\;\; \mathbb{Z}_+^*=\mathbb{Z}_+\setminus\pgra{0}$}: \eal{&A_0 = \pgra{ r\in \mathbb{Z}_+^* \;| \; r*A = \pgra{ 0 }} } dove $r*A = \pgra{ra\;|\;a\in A}$. Si ha, \eal{&\ch A =\sist{\min A_0& A_0 \neq \0\\ 0 & A_0=\0 }} \end{prop} \begin{proof} \step{}{Dim. che $\mathbb{Z}_+^*\^\ker \g = A_0$} \begin{prova} Sia $k\in \mathbb{Z}_+^*\^\ker \g$, \eal{&k\in \mathbb{Z}_+^*\^\ker \g \= \sist{k\in \ker \g\( \mathbb{Z}\\ k >0 }\\ &k\in \ker \g \> \g(k)=0 \ubrace{\=}{k> 0} k*1_A =0\\ &\T{Sia }a\in A,\;\;\;(\ubrace{k*1_A}{=0})a=0 \=k*a=0\;\;\forall a \in A \> k\in A_0} Sia adesso, $r\in A_0$, \eal{&r\in A_0 \> r > 0, \;r*1_A =0 \> \g(r)=0 \> r\in \ker \g\\ &r>0, r\in \ker \g \> r\in \mathbb{Z}_+^*\^\ker \g } \lineapiccola\\ \end{prova} \case{$A_0=\0$} \begin{prova} \eal{&\mathbb{Z}_+^*\^\ker \g \( A_0 = \0 \> \mathbb{Z}_+^*\^\ker \g = \0 \= \mathbb{Z}_+\^\ker \g \-\pgra{0} = \0 \ubrace{\>}{0\in \mathbb{Z}_+\^\ker \g} \mathbb{Z}_+\^\ker \g = \pgra{0} \;\; (1)} Si ha anche che $ \mathbb{Z}_-\^\ker \g =\pgra{0}$, infatti, se per assurdo $\exists z\in \ker \g:\;z<0$, allora \eal{&z<0\= -z> 0 \= -z \in \mathbb{Z}_+\\ &z\in \ker g \= \g(z) =0 \= -\g(z)=0\= \g(-z)=0 \= -z\in \ker g \\ &\qq \> -z\in \mathbb{Z}_+\^\ker \g \ubrace{\>}{(1)} -z=0\T{ assurdo contro } z<0 } In conclusione: \eal{&\sist{\ker \g \( \mathbb{Z}\\ \mathbb{Z}_+\^\ker \g = \pgra{0} = \mathbb{Z}_-\^\ker \g \\ \mathbb{Z}=\mathbb{Z}_+\U\mathbb{Z}_-} \> \ker \g = \pgra{0} } Quindi, \eal{&A_0 =\0\> \ker \g = \pgra{0} \= \ker \g = (0) \= \ch A=0} \end{prova} \case{$A_0 \neq \0$} \begin{prova} \eal{ &\mathbb{Z}_+^*\^\ker \g = A_0 \neq \0 \> \ker \g \neq \0 \> \ker \g=(\ch A) \neq \pgra{0} \> \ch A > 0\\ &\ch A \in (\ch A ) = \ker \g \\ &\ch A > 0 \\ &\qq \> \ch A \in \mathbb{Z}_+^*\^\ker \g \( A_0 } Sia $m=\min A_0$, \eal{&\ch A \in A_0 \> m \le \ch A\\ &m \in A_0 \) \mathbb{Z}_+^*\^\ker \g \> m\in (\ch A) \> m = \lambda \ch A\\ &m,\ch A >0 \> \lambda > 0 \> \ch A \le m\\ &\sist{m \le \ch A\\ m\ge \ch A }\> m=\ch A } \end{prova} \end{proof} \begin{prop}\label{defsemplicedicaratteristica} Sia $A$ un anello unitario e sia dato il seguente insieme: \eal{&A_1 = \pgra{r\in \Z_+^*\;|\;r*1 =0}} allora \eal{&\ch A = \sist{\min A_1 & A_1 \neq \0\\ 0& A_1 =\0} } \end{prop} \begin{proof} Sia $c=\ch A$. Sfruttiamo la prop \see{propcarattcaratteristica} \case{$A_0=\0$} \begin{prova} Dimostriamo che anche $A_1=\0$. Se per assurdo $r\in A_1$, allora \eal{&r*1 =0 \> (r*1)a=0\;\;\forall a\in A \= (1+1+\dots+1)a=0\;\;\forall a\= a+a+\dots+a=0 \;\;\forall a\= r*a=0\> r\in A_0\;\;(1) } assurdo contro $A_0 \neq \0$.\\ \end{prova} \step{}{$A_0 \neq 0$} \begin{prova} Per la prop \see{propcarattcaratteristica}, $c=\ch A=\min A_0$, \eal{&c*A=\pgra{0}\=c*a=0\;\;\forall a\in A \=\\ &\= a+a+\dots+a=0\;\;\forall a\in A \ubrace{\=}{A\T{ e' unitario}}(1+1+\dots+1)a=0\;\;\forall a\in A \=\\ &\= (c*1)a=0\;\;\forall a\in A\\ &\T{In particolare, per $a=1$, abbiamo $c*1=0$}\> c\in A_1 } Resta da dimostrare che $c\le r\;\;\forall r\in A_1$. Sia $r\in A_1$, allora \eal{&r*1 =0 \ubrace{\>}{(1)} r\in A_0 \> c=\min A_0 \le r } Quindi $c=\min A_1$. \end{prova} \end{proof} \begin{defn}\label{defchardominio} Sia $D$ un dominio e sia dato il seguente insieme: \eal{&D_0 = \pgra{ r\in \mathbb{Z}_+^* \;| \; r*D = \pgra{ 0 }} } Definiamo la caratteristica di $D$: \eal{&\ch D =\sist{\min D_0& D_0 \neq \0\\ 0 & D_0=\0 }} Per quanto abbiamo visto in \see{propcarattcaratteristica}, se $D$ e' unitario, possiamo considerare l'omomorfismo $\g:\mathbb{Z}\longrightarrow D$, e le due definizioni date di $\ch D$ coincidono. \end{defn} \begin{lem}Dato un anello $A$ e $r,s\in \mathbb{Z}_+^*$ si ha \label{lemmacara} \eal{&rs*(d_1d_2) = (r*d_1)(s*d_2) } \end{lem} \begin{proof} \eal{&rs*(d_1d2)=(rs*d_1)d_2=(s*(r*d_1))d_2=s*(d_2(r*d_1))=(r*d_1)(s*d_2) } \end{proof} \begin{prop} \label{propcharD} Si ha: \eal{&D\T{ dominio } \> \ch D = 0 \| \ch D =1 \| \ch D=p\\ &D\T{ dominio unitario } \> \ch D =0 \| \ch D =p } con $p$ primo. \end{prop} \begin{proof} Supponiamo che $\ch D \neq 0$ e dimostriamo che $\ch D= p$.\\ Se $\ch D =1$, allora non abbiamo nulla da dimostrare. Supponiamo quindi $\ch D \neq 1$ e supponiamo per assurdo che $\ch D = rs$, con $r,s \neq 1$, allora: \eal{&rs*d=0\;\;\forall d\in D \> rs*(d')=0,\;\T{con } d'=dd,\;\;\forall d\in D\\ &rs*(dd)=0 \ubrace{\=}{\see{lemmacara}} (r*d)(s*d)=0 \ubrace{\>}{D\T{ dominio d'integrita'}} r*d =0 \| s*d=0\;\;\forall d\in D \;\;(1) } \step{}{Dim. che \eal{\forall d\in D\;\;r*d =0\; \|\; \forall d\in D\;\;s*d =0}ovvero: r*d=0 per tutte le $d$, oppure $s*d$ per tutte le $d$. (OR inclusivo)} \begin{prova} Se $\forall d\in D\;\;r*d=s*d=0$, non abbiamo nulla da dimostrare. Supponiamo allora che $\exists d\in D^*:\;\;r*d \neq 0,\;\;s*d=0$. Si ha: \eal{&r*d \neq 0 \> r*d' \neq 0\;\;\forall d' \in D^*} infatti, se per assurdo $r*d'=0$, \eal{&r*d'=0 \= (r*d')d=0 \= r*(d'd)=0\= (r*d)d' =0 \ubrace{\>}{\T{D dominio}} r*d=0 \| d'=0 \ubrace{\>}{d'\in D^*} r*d=0 } assurdo contro Hp. Osservando che \eal{&r*d' \neq 0 \ubrace{\>}{(1)} s*d'=0 } concludiamo che \eal{&\forall d'\in D\;\;s*d'=0\;\;(2) } \end{prova} \qedstep \begin{prova} \eal{&(2) \> s\in D_0 \> \min D_0 \le s \= rs\le s \= r=1} assurdo.\\ Quindi, $\ch D$ e' necessariamente primo.\\ Supponendo adesso che $D$ sia unitario, dimostriamo che $\ch D \neq 1$. Infatti, dalla def \see{defchardominio} \eal{&\ch D =1 \> 1\in D_0 \> 1*D=\pgra{0}\= 1*d=0\;\;\forall d\in D\=d=0\;\;\forall d\in D\= D=\pgra{0}} Ma $D$ e' un anello unitario, e quindi, per quanto supposto in \see{defanello}, $\pgra{0,1}\( D,\;\;0 \neq 1$. Assurdo. \end{prova} \end{proof} \begin{prop}\label{ereditariacaratteristica} La caratteristica di un dominio unitario e' una proprieta' ereditaria: sia $D$ un dominio unitario, e $E\( D $ un suo sottodominio unitario, allora \eal{&\ch E =\ch D } \end{prop} \begin{proof} Poiche' $E\( D$ e' un sottodominio unitario abbiamo $1_E=1_D$. Ovvero, $E$ e $D$ hanno la stessa unita'. E quindi, applicando la prop \see{defsemplicedicaratteristica} si ha la tesi. \end{proof} \begin{prop} \label{propimmersionecaratteristica} Sia $K$ un campo, per quanto abbiamo visto in \see{propcharD}, $\ch K =0 \| \ch K =p$. Inoltre, si ha \eal{ &\ch K = p\T{ primo }\> \mathbb{Z}_p\immerso K\\ &\ch K = 0 \> \mathbb{Z}\immerso K,\;\;\mathbb{Q}\immerso K } \end{prop} \def\gg{{\ove \g}} \begin{proof} Essendo $K$ un campo, e' anche un anello unitario. Possiamo allora considerare $\g$ (vedi \see{propgdiA}): \eal{&\ker \g \ubrace{=}{\see{propcarattcaratteristica}} (\ch K) \\ &\g\T{ omomorfismo } \ubrace{\>}{\T{thm omomorf. \AI{corIthmomo}}} \frac{Z}{\ker \g}\simeq \Im \g \= \frac{Z}{(\ch K)}\simeq\Im \g} \case{$\ch K =p$} \begin{prova} \eal{&(\ch K)=(p)\ &\frac{Z}{(\ch K)}\simeq\Im \g \= \mathbb{Z}_p\simeq\Im \g \le K } \end{prova} \case{$\ch K =0$} \begin{prova} \eal{&\ker \g = (\ch K) = (0) \> \g\T{ e' iniettiva } } Consideriamo un'estensione di $\g$: \eal{&\gg:Q(\mathbb{Z})=\mathbb{Q} \longrightarrow K\\ &\gg\pton{\frac{m}{n}} = \g(m)\inv{\g(n)} } Per la prop, \see{propestensionediunaimmersione}, $\gg$ e' una immersione. Allora, per il thm dell'omomorfismo, si ha: \eal{&\frac{\mathbb{Q}}{\ker \gg}=\frac{\mathbb{Q}}{(0)} \simeq \Im \gg \le K } e poiche' $\frac{\mathbb{Q}}{(0)} \simeq \mathbb{Q}$, si ha la tesi, ovvero, \eal{&\mathbb{Q}\simeq \Im \gg \le K } \end{prova} \end{proof} \begin{defn} Dato un campo $K$, definiamo il \iemph{sottocampo fondamentale} (o primo) di $K$: \eal{&SF(K)\definizione{=} \bigcap_{K'\SC K} K' } ovvero e' il piu' piccolo sottocampo di $K$. \end{defn} \begin{prop}\label{sottocampofondesplicito} Sia $K$ un campo. Inoltre, si ha \eal{&\ch K = 0 \> SF(K)\simeq \mathbb{Q}\\ &\ch K = p\T{ primo }\>SF(K) \simeq \mathbb{Z}_p\\ } \end{prop} \begin{proof} \case{$\ch K=p$} \begin{prova} Sia $K'$ un sottocampo di $K$, si ha $\ch K'=p$, infatti, \eal{ &k\in K' \( K \> (\ch K)*k = 0\;\;\forall k\in K'\> \ch K\in K_0' \>K_0' \neq \0 \= \ch K' \neq 0\;\;(1)\\ &K' \T{ campo } \ubrace{\>}{\see{propcharD}} \ch K' =0 \| \ch K' =p \ubrace{\>}{(1)} \ch K'=p } Allora, per la prop. \see{propimmersionecaratteristica}, si ha \eal{&\exists H \le K':\;H\simeq \mathbb{Z}_p\\ &\mathbb{Z}_p=(1) \> H=(1_{K'})=(1_{K}) } Riassumendo: \eal{&\forall K' \SC K\;\;\;\;(1_K)\le K'} Quindi \eal{&SF(K){=} \bigcap_{K'\SC K} K' = (1_K)\simeq \mathbb{Z}_p } \end{prova} \case{$\ch K=0$} \begin{prova} Sia $K'\SC K$, si ha $\ch K'=0$, infatti, considerando $\g:\mathbb{Z}\longrightarrow K$ (\vedi{propgdiA}), e la sua restrizione $\g':\mathbb{Z}\longrightarrow K'$ (nota\footnote{poiche' $K'$ e' un campo, per quanto visto in \see{propgdiA}, $\g'$ e' ancora un omomorfismo}), si ha \eal{&\ker \g = \g^{-1}(1_K) \ubrace{=}{1_K=1_{K'}} \g^{-1}(1_{K'}) = \ker \g'\\ &\ker \g' = \ker \g = (\ch K)=(0) \> \ch K' = 0 } Allora, per la prop. \see{propimmersionecaratteristica}, si ha \eal{ &\exists D \le K':\;D\simeq \mathbb{Z}\\ &\mathbb{Z}=(1_\mathbb{Z}) \> D=(1_{K'})=(1_{K}) \le K'\\ } Riassumendo: \eal{&\forall K' \SC K\;\;\;\; (1_K)\le K' } Quindi \eal{&SF(K){=} \bigcap_{K'\SC K} K' \) (1_K)\\ &\sist{(1_K) \( SF(K)\\(1_K) \T{ dominio}\\SF(K)\T{ campo}} \ubrace{\>}{\see{propQDilpiupiccolodeicampicontenenti}} \exists H \SC SF(K): \;H\simeq Q((1_K)) \ubrace{\simeq}{(1_K)\simeq\mathbb{Z}} \mathbb{Q} } Ma per definizione di $SF(K)$ (il piu' piccolo\dots), si ha: \eal{&H\SC SF(K) \> H=SF(K) \> SF(K)\simeq \mathbb{Q}} \end{prova} \end{proof} \begin{prop} \label{prodottonaturalenelsottocampo} Sia $K$ campo, e sia $n\in \N^*,\;a\in K$, allora \eal{&n*a \definizione{=} \ubrace{a+a+\dots+a}{\T{$n$-volte}} = \ubrace{\ove na}{\T{moltiplicazione in $K$}}\\ &\T{dove } \ove n = \sist{n&SF(K)=\Q\=\ch K=0\\ \ubrace{[n]_p}{\T{classe resto mod $p$}}&SF(K)=\Z_p\= \ch K =p}} In seguito, per abuso di notazione, scriveremo: \eal{&n*a = \ove na =na\\ & n =\ove n \in \sist{\Z & \ch K=0\\ \Z_p & \ch K =p}} \end{prop} \begin{proof} Dimostriamo la tesi a meno di isormorfismi.\\ Per la \see{propimmersionecaratteristica}, $K$ contiene il campo $\Z$ o il campo $\Z_p$. Sia $Z$ il campo contenuto, Ricordando \def\n{{\ove n}} che $\Z$ e $\Z_p$ sono gruppi ciclici generati da $1$, \eal{&\n\in Z \> \n = \ubrace{1_Z+1_Z+\dots+1_Z}{\n\T{ volte}}\;\;(1)\\ &1_Z\in Z \SC K \> 1_Z=1_K \ubrace{\>}{(1)} \n=1_K+1_K+\dots+1_K \in K\\ &n*a\definizione{=} \ubrace{a+a+\dots+a}{\T{$n$-volte}} \ubrace{=}{\T{in $K$ vale la distributiva}} (1_K+1_K+\dots+1_K)a = \ove na } \end{proof} \subsection{Estensioni} \begin{defn} Siano $K,F$ due campi, poniamo \eal{&\T{$K$ e' una estensione di $F$} \definizione{\=} K\)F} \end{defn} \begin{prop} Sia data l'estensione $K\)F$, allora $K$ e' uno spazio vettoriale il cui campo e' $F$. Per indicare tale spazio vettoriale, useremo il simbolo $K_F$. A volte, useremo le seguenti notazioni equivalenti: \eal{&\dim K_F=\dim_FK = [K:F] } \end{prop} \begin{proof} Basta ricordarsi la definizione di spazio vettoriale, campo e che $F\(K\>1_{K}=1_{F}$ (\vedi{propstessielementiunita'}). \end{proof} \begin{prop}\label{omomoestapplicazlineare} Consideriamo le seguenti estensioni di $F$: $K\CS F,\;K'\CS F$. Si ha: \eal{& f:K\longrightarrow K'\T{ omomorfismo t.c. } f_{|F}=\id\> f:K_F\longrightarrow K'_{F} \T{ applicazione lineare } } \end{prop} \begin{proof} Sia $\lambda\in F,\;a\in K$ \eal{&\sist{\lambda\in F\( K,\;\;a\in K\\ f\T{ omomorfismo } } \> f(\lambda a)=f(\lambda)f(a) \ubrace{=}{f_{|F}=\id} \lambda f(a)\\ &\forall \lambda\in F\;\forall a\in K\;\;f(\lambda a)=\lambda f(a)\\ &\forall a,b\in K\;\;f(a+b) \ubrace{=}{f\T{ omomorfismo}} f(a)+f(b) } Infine, poiche' $K_F,K_F'$ sono degli $F$-spazi vettoriali, si ha che $f$ e' una applicazione lineare. \end{proof} \begin{defn} \ilabel{estensione!finita} Sia data l'estensione $K\CS F$, \eal{&K\CS F\T{ e' finita } \definizione{\=} K_F \T{ ha dimensione finita } \= \dim K_F=n \in \mathbb{N} } \end{defn} \begin{exemp}\qq\\ \label{expestfinita} \begin{enumerate} \item $\mathbb{C}\CS \mathbb{R}$ e' una estensione finita, infatti, una base per $\C_{\R}$ e' $\pgra{1,i}$, e quindi $\dim \C_\R=2$. \item $\R\CS \Q$ non e' una estensione finita, infatti, se per assurdo lo fosse, esisterebbe una base $\pgra{r_1,\dots,r_n}$ di $\R_\Q$, e quindi considerando il $\Q$-spazio vettoriale $\Q^n$, si ha \eal{&\sist{\dim \R_\Q=n=\dim \Q^n\\ \R_\Q,\;\Q^n\T{ sono $\Q$ spazi vettoriali } } \ubrace{\>}{\T{prop.}\;\AL{spazidiugualdimensionesonoisomorfi}} \R_\Q \ubrace{\simeq}{\T{isom. vettoriale}} \Q^n \\ &\R_\Q \simeq \Q^n \> |\R|=|\Q^n| \ubrace{=}{\T{thm di Cantor } \AI{diagonalizzcantor}} |\Q|=|\mathbb{N}| } e questo e' assurdo perche' $|\mathbb{R}| \neq |\mathbb{N}|$ \end{enumerate} \end{exemp} \begin{thm} \label{thmfinitezzadiinclusione} \label{transitivitagrado} Siano $F,K,L$ campi, tali che $L\CS K\CS F$, allora \eal{& \dim L_F < +\8 \= \sist{\dim K_F< +\8\\\dim L_K< +\8} } Se una delle due condizioni e' soddisfatta, si ha: \eal{& \dim L_F = \dim L_K \dim K_F\\ &BC\T{ e' una base di }L_F,\;\T{ dove }\\ &\qq B\T{ base di }K_F,\;C\T{ base di }L_K\\ &\qq BC=\pgra{bc\;|\;b\in B,\;c\in C} } \end{thm} \begin{proof} \begin{pnecessaria} \eal{&\dim L_F = n \> \exists B=\pgra{b_1,\dots,b_n}\T{ base di } L_F \> L_F=\Ll{B}_F \\ &K\( L \> K_F\(L_F\T{ sottospazio vettoriale } \> \dim K_F \le \dim L_F \> \dim K_F < +\8\\ &L_F=\Ll{B}_F \ubrace{\>}{F\(K} L_K=\Ll{B}_F \> \dim L_K < +\8 } \end{pnecessaria} \begin{psufficiente} \eal{ &\dim K_F< +\8 \> \exists B=\pgra{b_1,\dots,b_m}\T{ base di }K_F\;\;(1)\\ &\dim L_K< +\8 \> \exists C=\pgra{c_1,\dots,c_n}\T{ base di }L_K\;\;(2) } Dimostriamo che $BC$ e' una base di $L_F$, dove \eal{&BC=\pgra{b_ic_j\;|\;i=1,\dots,m\;\;j=1,\dots,n}} \step{}{Dim. che $L_F=\Ll{BC}_F$} \begin{prova} Poiche' $L$ contiene sia $K$ che $F$ che $BC$, e poiche' le operazioni sono chiuse in $L$ (e' un campo), si ha subito che \eal{&\Ll{BC}_F \( L_F} Dimostriamo l'inclusione inversa. Sia $a\in L$, \eal{&a\in L \ubrace{\>}{(2)} a=k_1c_1+\dots+k_nc_n=\sum_{i=1}^n k_ic_i\\ &k_i\in K \ubrace{\>}{(1)} k_i=f_{1i}b_1+\dots+f_{mi}b_m = \sum_{j=1}^mf_{ji}b_j\\ &a= \sum_{i=1}^n k_ic_i=\sum_{i=1}^n \pton{\sum_{j=1}^mf_{ji}b_j}c_i =\sum_{i=1}^n k_ic_i=\sum_{i=1}^n {\sum_{j=1}^m f_{ji}b_j}c_i\> a\in \Ll{BC} } \end{prova} \step{}{Dim. che i vettori di $BC$ sono indipendenti} \begin{prova} Sia $o=mn$ e consideriamo la generica comb. lin. nulla dei $b_jc_i$: \eal{&\sum_{i=1}^n {\sum_{j=1}^m x_{ji}b_j}c_i =0\;\;(*) } poiche' i $c_i$ sono l.i. si ha che nella $(*)$ i coefficienti dei $c_i$ sono tutti nulli: \eal{&{\sum_{j=1}^m x_{ji}b_j} =0 \;\;\;\forall i=1,\dots,n } ma poiche' i $b_j$ sono l.i., si pure che: \eal{&x_{ji} =0\;\;\;\forall j=1,\dots,m\;\;\forall i=1,\dots,n } Cosi', in definitiva, i coefficienti dei $b_jc_i$ in $(*)$ sono tutti nulli, e quindi i $b_jc_i$ sono l.i. \end{prova} \step{}{$|BC|=mn=\dim K_F\dim L_K$} \begin{prova} Poiche' i $b_jc_i$ sono l.i., sono distinti fra loro, e quindi $|BC|=mn$. \end{prova} \end{psufficiente} \end{proof} \begin{cor} \label{thmfinitezzadiinclusioneinduzione} \label{transitivitagradoindotto} Siano $K_1,\dots,K_t$, con $t\ge 3$, campi che formano la seguente catena di estensioni: \eal{&K_t \CS K_{t-1} \CS \dots \CS K_1}, allora \eal{&\dim_{K_1} K_t < +\8 \= \sist{ \dim_{K_1} K_2 < +\8\\ \dim_{K_2} K_3 < +\8\\ \vdots\\ \dim_{K_{t-1}} K_t < +\8\\ } } e inoltre, se vale una delle due condizioni, si ha \eal{&\dim_{K_1} K_t = \dim_{K_1} K_2 \dim_{K_2} K_3\dots \dim_{K_{t-1}} K_t= \prod_{i=1}^{t-1} \dim_{K_{i}} K_{i+1} } \end{cor} \begin{proof} Procediamo per induzione su $t$. \step{}{$t=3$} \begin{prova} Basta leggere il thm \see{thmfinitezzadiinclusione}, con $L=K_3,\;K=K_2,\;F=K_1$. \end{prova} \step{}{$t-1\>t$} \begin{prova} Per l'ipotesi induttiva abbiamo \eal{&\dim_{K_1} K_{t-1} < +\8 \= \sist{ \dim_{K_1} K_2 < +\8\\ \dim_{K_2} K_3 < +\8\\ \vdots\\ \dim_{K_{t-2}} K_{t-1} < +\8\\ }\;\;\;(*)\\ &\dim_{K_1} K_{t-1} = \prod_{i=1}^{t-2} \dim_{K_{i}} K_{i+1}\;\;(**) } Ma allora, applicando il thm \see{thmfinitezzadiinclusione} a $K_t,K_{t-1},K_1$, si ha \eal{&\dim_{K_1} K_{t} < +\8 \= \sist{\dim_{K_1} K_{t-1} < +\8\\ \dim_{K_{t-1}} K_{t} < +\8\\ } \ubrace{\=}{(*)} \sist{ \dim_{K_1} K_2 < +\8\\ \dim_{K_2} K_3 < +\8\\ \vdots\\ \dim_{K_{t-1}} K_{t} < +\8\\ }\\ &\dim_{K_1} K_{t} = \dim_{K_1} K_{t-1} \dim_{K_{t-1}} K_{t} \ubrace{=}{(**)} \prod_{i=1}^{t-1} \dim_{K_{i}} K_{i+1} } \end{prova} \end{proof} \def\a{{\alpha}} \def\b{{\beta}} \begin{defn} Sia $F\SC K$ una estensione di campi, e siano $\a_1,\dots,\a_n\in K$. Definiamo l'estensione di F generata da $\pgra{\a_1,\dots,\a_n}$: \eal{&F(\a_1,\dots,\a_n)\definizione{=} \bigcap \pgra{K'\SC K\;|\;\;\;F\U\pgra{\a_1,\dots,\a_n}\(K'} } ovvero, $F(\a_1,\dots,\a_n)$ e' la piu' piccola estensione di $F$ in $K$ che contiene $\a_1,\dots,\a_n$.\\ Possiamo riguardare $F(\a_1,\dots,\a_n)$ come una sorta di generalizzazione del campo dei quozienti: $F(\a_1,\dots,\a_n)$ e' il piu' piccolo sottocampo che si ottieni in $K$ ``aggiungendo'' in $F$ $\a_1,\dots,\a_n$. \end{defn} \begin{prop} \label{estensionedicampiesplicita} Sia $F\SC K$ una estensione di campi, e siano $\a_1,\dots,\a_n\in K$. Si ha \eal{&F(\a_1,\dots,\a_n)= \pgra{\frac{f(\a_1,\dots,\a_n)}{g(\a_1,\dots,\a_n)}\Big| f(x_1,\dots,x_n), g(x_1,\dots,x_n)\in F[x_1,\dots,x_n],\;\;g(\a_1,\dots,\a_n) \neq 0 } } NOTA: con $\frac{f}{g}$ stiamo indicando l'operazione $f\inv g$. Poiche' $f(\a_1,\dots,\a_n),g(\a_1,\dots,\a_n)\in K$, e $K$ e' un campo, la notazione $\frac{f}{g}$ e' equivalente a $f\inv g$ (infatti\footnote{infatti, siano $a,b,c,d\in K$, $b,d$ non nulli, allora \eal{&\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd} = (ad+bc)\inv d\inv b\\ &a\inv b+c\inv d = (a\inv b+c\inv d)bd\inv b\inv d = (ad+cb)\inv b\inv d } analogamente per la moltiplicazione. }) \end{prop} \begin{proof} Indichiamo con $G$ il secondo insieme. \step{}{Dim $\)$} \begin{prova} Poiche' le operazioni in $F(\a_1,\dots,\a_n)$ sono chiuse, si ha \eal{&\Ll{\a_1,\dots,\a_n}_F \( F(\a_1,\dots,\a_n)} Gli elementi di $\Ll{\a_1,\dots,\a_n}_F$ sono del tipo: \eal{&f_1\a_1+\dots+f_n\a_n\;\;(*) } Se moltiplichiamo $(*)$ per un $\a_i$, otteniamo un altro elemento di $ F(\a_1,\dots,\a_n)$. Quindi, tutti gli elementi del tipo: \eal{&f(\a_1,\dots,\a_n)\;\;\T{ con } f(x_1,\dots,x_n)\in F[x_1,\dots,x_n]\;\;(1) } stanno in $F(\a_1,\dots,\a_n)$. Poiche' $F(\a_1,\dots,\a_n)$ e' un campo, per ogni suo elemento non nullo contiene il suo inverso: \eal{&g(\a_1,\dots,\a_n) \neq 0 \> \frac{1}{g(\a_1,\dots,\a_n)} \in F(\a_1,\dots,\a_n)\;\;(2) } Ma allora, il prodotto tra un elemento del tipo $(1)$ e uno del tipo $(2)$ sta' sempre in $F(\a_1,\dots,\a_n)$. Ecco quindi che $G\( F(\a_1,\dots,\a_n)$. \end{prova} \step{}{Dim $\($} \begin{prova} \step{}{Dimostriamo che $G \SC K$} \begin{prova} E' chiaro che $G\(K$. Usiamo la caratterizzazione dei sottoanelli: siano $a,b\in G$ \eal{&a-b= \frac{f(\a_1,\dots,\a_n)}{g(\a_1,\dots,\a_n)} - \frac{\ove f(\a_1,\dots,\a_n)}{\ove g(\a_1,\dots,\a_n)} = \frac{f(\a_1,\dots,\a_n)\ove g(\a_1,\dots,\a_n)+\ove f(\a_1,\dots,\a_n)g(\a_1,\dots,\a_n)}{ \ove f(\a_1,\dots,\a_n)\ove g(\a_1,\dots,\a_n) } } che chiaramente appartiene ancora in $G$. Analogamente, $ab\in G$.\\ Poiche' $1_K\in G$, $G$ e' cosi' diventato un sottoanello unitario di $K$.\\ L'inverso di ogni elemento $a\in G^*$ esiste ed e' \eal{& \frac{g(\a_1,\dots,\a_n)}{f(\a_1,\dots,\a_n)} } Chiaramente gli elementi di $G$ commutano ($G\(K$).\\ Ecco che $G\SC K$. \end{prova} \qedstep \begin{prova} E' chiaro che $F\U\pgra{\a_1,\dots,\a_n} G$. Poiche' $G\SC K$, per definizione di $F(\a_1,\dots,\a_n)$ (il piu' piccolo\dots) si ha che \eal{&F(\a_1,\dots,\a_n)\(G } \end{prova} \end{prova} \end{proof} \begin{prop} \label{propcoefficienticampoestensione} \label{parentesinellestensione} Sia $F\SC K$ una estensione, $\a_1,\dots,\a_t\in K$, $t\ge 2$. Posto \eal{&F_1=F\\&F_i=F(\a_1,\dots,\a_{i-1})} si ha \eal{&F_i(\a_i)=F_{i+1}\\ &F_i(\a_i,\a_{i+1},\dots,\a_n)=F_{n+1}\\ &\T{ovvero: }\\ &\qq \big(F(\a_1,\dots,\a_{i-1})\Big)(\a_i)=F(\a_1,\dots,\a_i)\\ &\qq \big(F(\a_1,\dots,\a_{i-1})\big)(\a_i,\a_{i+1},\dots,\a_n)=F(\a_1,\dots,\a_n) } In pratica, possiamo togliere tutte le parentesi, mettere assieme le $\a_i$, e considerare una sola parentesi. \end{prop} \begin{proof} \step{base}{Dim. $F_i(\a_i)=F_{i+1}$} \begin{prova} $F(\a_1,\dots,\a_i)$ e' un sottocampo di $K$ e contiene $F_i,\a_i$, quindi per definizione\footnote{$F_i(\a_i)$ e' il piu' piccolo sottocampo di $K$ che contiene $F_i,\a_i$} \eal{&F_i(\a_i) \( F(\a_1,\dots,\a_i) } $F_i(\a_i)$ e' un sottocampo e contiene $F_i, \a_i$, a sua volta $F_i$ contiene $F,\a_1,\dots,\a_{i-1}$. Allora, per definizione, \eal{&F(\a_1,\dots,\a_i) \( F_i(\a_i)} Quindi, $F_i(\a_i)=F(\a_1,\dots,\a_i)$. \end{prova} \step{}{Dim. $F_i(\a_i,\a_{i+1},\dots,\a_n)=F_{n+1}$} \begin{prova} Poniamo \eal{&\ove \a_j=\a_{i+j-1}\\ &\ove F_1= \ove F= F_i\\ &\ove F_j=\ove F(\ove \a_1,\dots,\ove \a_{j-1})\\ &s_n=2+n-i,\;s_{n}'=n+1 } allora la tesi equivale a \eal{&F_i(\a_i,\a_{i+1},\dots,\a_n)=F_{n+1} \= \\ &\= \ove F (\ove \a_1,\ove \a_2,\dots,\ove \a_{1+n-i}) =F_{n+1}\=\\ &\= \ove F_{2+n-i} = F_{n+1} \= \ove F_{s_n}=F_{s_n'} } Dimostriamo $\ove F_{s_n}=F_{s_n'}$, procedendo per induzione su $n$. \step{}{Base dell'induzione: $n=i$} \begin{prova} \eal{&\ove F_{s_n}=\ove F_{2+n-i} =\ove F_2 = \ove F(\ove \a_1) =F_i(\a_i) \ubrace{=}{\T{\stepref{base}}} F_{i+1} \ubrace{=}{n=i} F_{n+1} =F_{s_n'} } \end{prova} \step{}{$n-1 > i\>n$} \begin{prova} Poiche' $\ove F\SC K,\;\ove \a_1,\dots,\ove \a_n\in K$, possiamo applicare ad essi il passo \stepref{base}:\\ \eal{&\ove F_{s_n}=\ove F_{2+n-i} \ubrace{=}{\T{passo }\T{\stepref{base} applicato a $\ove F,\;\ove \a_1,\dots$}} \ove F_{1+n-i}(\ove \a_{1+n-i}) =\ove F_{s_{n-1}}(\ove \a_{1+n-i})=\\ & \ubrace{=}{\T{Hp induttiva}} F_{s_{n-1}'}(\ove \a_{1+n-i}) =F_{n}(\ove \a_{1+n-i})=F_{n}(\a_{n}) \ubrace{=}{\T{\stepref{base}}} F_{n+1}=F_{s_n'} } \end{prova} \end{prova} \end{proof} \begin{defn} \ilabel{estensione!finitamente generata} \ilabel{estensione!semplice} \eal{&F\SC K\T{ e' un estensione finitamente generata }\definizione{\=} \exists \a_1,\dots,\a_n\in K:\;\;K=F(\a_1,\dots,\a_n)\\ &F\SC K \T{ e' un estensione semplice }\= \exists \a \in K:\;\;K=F(\a)\\ &\a\T{ e' un elemento primitivo di }K \T{ su }F \definizione{=} K=F(\a) } In genere, una estensione finitamente generata, la indicheremo con \eal{&F \SC F(\a_1,\dots,\a_n) } intendendo l'estensione $F\SC K$, dove \eal{&\a_1,\dots,\a_n\in K,\;\;K=F(\a_1,\dots,\a_n)} \end{defn} \begin{prop}\label{propfinitaimplicafinitamentegenerata} \eal{&F\SC K \T{ estensione finita } \> F\SC K \T{ e' finitamente generata }} Non vale il viceversa. \end{prop} \begin{proof} \step{}{Dim. $\>$} \begin{prova} \eal{&F\SC K \T{ estensione finita } \> K_F=\Ll{b_1,\dots,b_n}_F \(F(b_1,\dots,b_n) } Ma per definizione, $K\)F(b_1,\dots,b_n)$ e quindi \eal{&K=F(b_1,\dots,b_n) } \end{prova} \step{}{Dim $\nLeftarrow$} \begin{prova} Consideriamo l'estensione \eal{&F\SC F(x)} dove $x$ e' una indeterminata, e quindi $F(x)=Q(F[x])$.\\ Per costruzione, questa estensione e' finitamente generata, ma non e' finita, perche' $\dim F(x)=+\infty $ (nota\footnote{Lo spazio vettoriale dei polinomi non e' finitamente generato, infatti, \eal{&1,x,x^2,\dots,x^n } sono l.i. $\forall n\in \mathbb{N}$.}) \end{prova} \end{proof} \begin{defn} \label{algebrico} \label{trascendente} \ilabel{elemento!algebrico} \ilabel{elemento!trascendente} Sia data l'estensione $F\SC K$ e $\a\in K$. \eal{&\a \T{ e' algebrico in $F$} \definizione{\=} \exists f(x)\in F[x],\;f(x) \not\equiv 0:\;\;f(\alpha)=0\\ &\a\T{ e' trascendente } \definizione{\=} \a\T{ non e' algebrico }\\ &F\SC K \T{ e' una estensione algebrica di $F$ } \definizione{\=} \forall \alpha\in K\;\;\alpha\T{ e' algebrico in }F } Usualmente, se non si specifica $F$, si suppone $F=\mathbb{Q}$. \end{defn} \begin{exemp} \begin{enumerate} \item $\sqrt{2}$ e' algebrico in $\mathbb{Q}$, infatti, \eal{&f(x)=x^2-2\in \mathbb{Q}[x],\;\;f(\sqrt{2})=2 } \item $e,\pi$ sono trascendenti in $\mathbb{Q}$ (lo dimostreremo in seguito).\\ Da questo deduciamo che $\mathbb{Q}\SC \mathbb{R}$ non e' una estensione algebrica di $\mathbb{R}$. \item $\R\SC \C$ e' una estensione algebrica. Infatti, preso $a+ib\in \C$, \eal{ &f(x)=(x-a)^2+b^2 \in \R[x] &f(a+ib)=(ib)^2+b^2=-b^2+b^2=0 } \item $\Q \SC \Q(i) = \pgra{a+ib\;|\;a,b\in \mathbb{Q}}$ e' una estensione algebrica. Infatti, preso $a+ib$ \eal{&f(x)=(x-a)^2+b^2 \in \Q[x] &f(a+ib)=(ib)^2+b^2=-b^2+b^2=0 } \def\2{{\sqrt{2}}} \item \label{expQradicedidue} $\Q \SC \Q(\2)$ e' una estensione algebrica, e' finita, e ha dimensione $2$.\\ \begin{proof} \step{}{ Dimostriamo intanto che } \begin{prova} \eal{&\Q(\2)= \pgra{a+b\2 \;|\;a,b\in \Q} } Per la prop \see{estensionedicampiesplicita}, sappiamo che \eal{& \Q(\2)= \pgra{\frac{f(\2)}{g(\2)}\Big| f(x), g(x)\in \Q[x],\;\;g(\2) \neq 0 } } Ma un polinomio in $\Q[x]$, calcolato in $\2$, e' del tipo \eal{&f(\2)=a_0+a_12^{\frac{1}{2}}+a_22^{\frac{2}{2}} +a_32^{\frac{3}{2}}+a_42^{\frac{4}{2}}+\dots+a_n2^{\frac{n}{2}} = \\ &= a_0+a_1\2+a_22+a_32\2+a_42^2+\dots+a_n2^{\frac{n}{2}}=\\ &=(a_0+a_22+a_44+\dots) + (a_1+2a_3+4a_5+\dots)\2=\alpha+\beta\2 } Anche l'inverso di $g(\2)$ sara' del tipo $x+y\2$, infatti, \eal{&(a+b\2) (x+y\2) = 1 \= 2by+ax+(ay +bx)\2 =1 \= \sist{ax+2by =1\\bx+ay=0}\;\;(*) } Il determinante della matrice dei coefficienti e' \eal{&\begin{vmatrix} a&2b\\ b&a \end{vmatrix}=a^2-2b^2 } Se per assurdo fosse nullo, si avrebbe: \eal{&a^2-2b^2 = 0\= a^2=2b^2 \= a=\pm \2b \> a \notin \Q } assurdo. Quindi, per Cramer, il sistema $(*)$ ammette un'unica soluzione $(\ove x,\ove y)$, ovvero, $\ove x+\ove y\2$ e' l'inverso di $a+b\2$.\\ Detto questo: \eal{&\frac{f(\2)}{g(\2)} = \frac{\alpha+\beta\2}{g(\2)}= \frac{(\alpha+\beta\2)\inv{g(\2)}}{g(\2)\inv{g(\2)}} = (\alpha+\beta\2)(\ove x+\ove y\2) = \ove \alpha +\ove \beta \2 } Quindi \eal{&\Q(\2) = \pgra{ \ove \alpha +\ove \beta \2\;|\;\ove \alpha,\ove \beta\in \Q} } \end{prova} \step{}{Dimostriamo che $\Q(\2)$ e' algebrico} \begin{prova} Sia $a+b\2\in \Q(\2)$, allora \eal{&f(x)=(x-a)^2-2b^2\in \Q[x]\\ &f(a+b\2)=(b\2)^2-2b^2=2b^2-2b^2=0} \end{prova} \step{}{Dim. che $\Q\(\Q(\2)$ e' finita, e ha dimensione $2$} \begin{prova} $(1,\2)$ e' una base dello spazio vettoriale $\Q(\2)$. Infatti, come abbiamo visto, ogni elemento di $\Q(\2)$ e' del tipo $a+\2b,\;\;a,b\in \Q$, ovvero $\Q(\2)=\Ll{1,\2}_\Q$. Inoltre, $1,\2$ sono linearmente indipendenti, infatti, se per assurdo non lo fossero: \eal{&a+\2b=0 \= b=-\frac{a}{\2} \ubrace{\>}{a \neq 0} b\notin \Q } assurdo contro $b\in \Q$. Quindi $\dim_\Q\Q(\2)=2$. \end{prova} \end{proof} \end{enumerate} \end{exemp} \begin{prop} \label{propestfinitaimplicaalgebrica} \eal{&F\SC K \T{ estensione finita } \> F\SC K \T{ e' algebrica }} Non vale il viceversa. \end{prop} \begin{proof} Sia $\a\in K$. \eal{&F\SC K \T{ finita } \> \dim K_F =n\\ &\T{Sia } A=\pgra{1,\a,\a^2,\dots,\a^n}\(K\\ &\sist{\dim K_F= n\\ |A| = n+1 } \> \T{ gli elementi di $A$ sono l.d. } \=\\ &\qq \= \exists a_0,a_1,\dots,a_n\in F,\;\T{ non tutti nulli: } a_0+a_1\a +a_2\a^2 + \dots + a_n\a^n =0 } Allora, il polinomio cercato e': \eal{&f(x)=a_0+a_1x +a_2x^2 + \dots + a_nx^n } infatti, \eal{&f(x)\in F[x],\;\;f(x)\not\equiv 0,\;\;f(\a)=0} \end{proof} \begin{prop} \label{defpolinomiominimo} Sia $F\SC K$ una estensione, $\a\in K$. Consideriamo gli insiemi: \eal{&P(\a,F)\definizione{=}\pgra{f(x)\in F[x]\;|\;f(\a)=0,\;f(x)\T{ monico}}\\ &\deg P(\a,F)=\pgra{\deg f(x)\;|\;f(x)\in P(\a,F)} } allora \eal{&\a \T{ algebrico su $F$ } \> \exists ! p(x)\in P(\a,F):\;\deg p(x)=\min (\deg P(\a,F)) } In altre parole, $p(x)$ e' il polinomio monico, di grado minimo, tale che $p(\a)=0$.\\ $p(x)$ viene chiamato \iemph{polinomio minimo} di $\a$ in $F$, e lo indicheremo con \eal{&\pmin{\a}{F}\definizione{=}p(x)} (Nota\footnote{Un polinomio e' monico quando il coefficiente dell'indeterminata digrado massimo e' 1})\\ Infine, vale \eal{&\sist{g(x)\in F[x]\\ g(\a)=0} \> p(x)\div g(x) } \end{prop} \begin{proof} Consideriamo il seguente omomorfismo: \eal{&\f: F[x] \longrightarrow F(\a) \SC K\\ &f(x)\mapsto f(\a) } Si ha \eal{ &F[x]\T{ ED } \ubrace{\>}{\AI{thmcatenadiimplicazioniKEDPIDUFD}}F[x] \T{ PID}\;\;(*)\\ &\a\T{ algebrico } \> \exists\;f(x)\in F[x]\-\pgra{0}:\;f(\a)=0 \> \f(f(x))=0 \> f(x)\in \ker \f \ubrace{\>}{f(x)\nequiv 0} \ker \f \neq \pgra{0}\\ &\sist{\ker \f \tleq F[x]\\ \ker \f \neq (0)} \ubrace{\>}{(*)} \exists \ove p(x) \in F[x]\-\pgra{0}:\;\ker f=(\ove p(x))=(p(x)) } Dove $p(x)$ e' il polinomio monico ricavato da $\ove p(x)$, ovvero \eal{&p(x)=\inv a \ove p(x)\\ &\T{dove $a$ e' il coefficiente dell'indeterminata di grado massimo di }\ove p(x)} $p(x)$ e' il polinomio minimo. \step{}{Dim. $p(x)$ ha il grado minimo ed e' unico} \begin{prova} Sia $g(x)\in F[x]\-\pgra{0}:\;g(\a)=0$. \eal{&g(\a)=0 \> g(x)\in \ker \f=(p(x)) \> p(x)\div g(x) \> \exists h(x)\in F[x]:\;\;g(x)=p(x)h(x)\\ &\deg g(x)=\deg p(x)h(x)=\deg p(x)+\deg h(x)\;\;(1) } Se per assurdo $\deg p(x) > \deg g(x)$, si avrebbe: \eal{&\deg p(x) > \deg g(x) \> \deg p(x) + \deg h(x) > \deg g(x) } Assurdo.\\ Quindi si deve avere: \eal{&\deg p(x) \le \deg g(x)\;\;(2)} \step{}{$p(x)$ e' unico} \begin{prova} Adesso, sia $g(x)$ anche monico e di grado minimo. \eal{&(2) \ubrace{\>}{\T{$g(x)$ ha grado minimo}} \deg p(x)=\deg g(x) \ubrace{\>}{(1)} \deg h(x)=0 \= h(x) =c\in F \\ &g(x)=c p(x)} Se per assurdo $c \neq 1$, allora $g(x)$ non sarebbe piu' monico, assurdo. Quindi \eal{& g(x)=p(x)} \end{prova} \end{prova} \end{proof} \begin{defn} Sia $F\SC K$ una estensione, $\a\in K$, allora \eal{&F[\a] \definizione{=} \Im \f = \pgra{f(\a)\;|\;f(x)\in F[x]}} dove $\f$ e' l'omomorfismo visto in \see{polinomio minimo}: \eal{&\f:F[x]\longrightarrow F(\a)\\ &f(x)\mapsto f(\a)} \end{defn} \begin{prop}\label{proppolinomminimoestirriducibile} \label{carattpolinomiominimo} Sia $F\SC K$ una estensione, $\a\in K$, $p(x)\in F[x]$, allora \eal{&p(x)=\pmin{\a}{F} \= \sist{p(x)\in F[x],\;\;p(x)\T{ irriducibile in }F[x] \\ p(x)\T{ monico}\\ p(\a) =0 } } Inoltre, se una delle due condizioni e' soddisfatta, si ha: \eal{&\frac{F[x]}{(p(x))}\simeq F[\a] } \end{prop} \begin{proof} \step{}{Dim $\>$} \begin{prova} Basta dimostrare che $p(x)$ e' irriducibile in $F$.\\ Considerando l'omomorfismo $\f$ visto nella dim. della prop \see{polinomio minimo}, si ha \eal{&\ker \f = (p(x))\\ &\f:F[x]\longrightarrow F(\a) \T{ omomorfismo } \ubrace{\>}{\T{thm omomorf. \AI{corIthmomo}}} \frac{F[x]}{(p(x))}\simeq \Im \f=F[\a] \le F(\a)\;\;(*)\\ &F(\a) \T{ campo } \> F(\a) \T{ dominio } \ubrace{\>}{\see{sottoanellodiundominioestdominio}} \Im \f \T{ dominio } \ubrace{\>}{(*)} \frac{F[x]}{(p(x))}\T{ dominio } \ubrace{\>}{\AI{primosseAPdominio}} (p(x))\T{ primo } \=\\ &\qq \qq \ubrace{\=}{\see{propequividealeprimoelprimoelirrid}} p(x)\T{ irriducibile } } \end{prova} \step{}{Dim $\<$} \begin{prova} Basta dimostrare che $p(x)$ ha grado minimo.\\ Sia $g(x)=\pmin{\a}{F}$, allora \eal{&\ker \f =(g(x)) \\ &p(\a)=0\> p(x)\in \ker \f =(g(x))\= p(x)=h(x)g(x)\\ &\sist{p(x)=h(x)g(x)\\ p(x)\T{ irriducibile } } \> h(x)\T{ invertibile } \| g(x)\T{ invertibile }\=\\ &\qq \= \deg h(x)=0 \| \deg g(x) =0 \ubrace{\>}{\deg g(x) > 0} \deg h(x)=0\=h(x)=c\in F\> p(x)=cg(x)\\ &\sist{p(x)=cg(x)\\ p(x)\T{ monico} } \> c=1 \> p(x)=g(x) } Quindi $p(x)$ e' proprio il polinomio minimo di $\a$. \end{prova} \end{proof} \begin{exemp} Sia $\a\in F$, $F$ campo, allora, il polinomio minimo di $\a$ in $F$ e' \eal{&\pmin{\a}{F}=x-\a } infatti, \eal{&x-\a\in F[x],\T{ e' monico e ha grado minimo }} \end{exemp} \begin{exemp} Sia $F=\Q,\;K=\Q(\2),\;a+\2 b \in K,\;b \neq 0$. Come abbiamo visto in \see{expQradicedidue}, \eal{&f(x)=(x-a)^2-2b^2\in \Q[x]} e' un polinomio in $\Q[x]$ t.c. $f(\a)=0$. E' monico. Inoltre, e' irriducibile in $\Q$: se per assurdo fosse riducibile in $\Q$, essendo di secondo grado, sarebbe diviso da un polinomio di primo grado in $\Q$: \eal{&(x-\beta)\div f(x),\;\;\beta\in \Q \> f(\beta)=0,\;\;\beta\in \Q } ma le uniche radici di $f(x)$ sono $a+\2b,\;a-\2b$, che certamente non sono in $\Q$.\\ Quindi, $f(x)$ e' irriducibile in $\Q$. Allora, per la prop. \see{proppolinomminimoestirriducibile}, $f(x)$ e' il polinomio minimo di $a+\2b$ in $\Q$. \end{exemp} \begin{prop}\label{trascendenteestindeterminata} Sia $F\SC K$ una estensione, con $\a\in K$, allora \eal{&\a \T{ trascendente su $F$ } \> F(\a) \simeq F(x),\T{ con $x$ indeterminata } } \end{prop} \begin{proof} Consideriamo la seguente applicazione: \eal{&\f:F(x)\longrightarrow F(\a)\\ &\frac{f(x)}{g(x)}\mapsto \frac{f(\a)}{g(\a)} } \step{}{$\f$ e' ben posta} \begin{prova} \eal{&\a \T{ trascendente su $F$ } \> \forall g(x)\in F[x]\;\;g(\a) \neq 0 \> \exists \frac{1}{g(\a)} \> \frac{f(\a)}{g(\a)} \in F(\a) } \end{prova} \step{}{$\f$ e' un omomorfismo} \begin{prova} E' immediato. \end{prova} \step{}{$\f$ e' surriettivo} \begin{prova} Per la prop. \see{estensionedicampiesplicita}, abbiamo che \eal{&F(\a)= \pgra{\frac{f(\a)}{g(\a)}\Big| f(x), g(x)\in F[x],\;\;g(\a) \neq 0 }} e quindi, preso un \eal{&\frac{f(\a)}{g(\a)} \in F(\a) } come controimmagine, basta considerare \eal{&\frac{f(x)}{g(x)}} \end{prova} \step{}{$\f$ e' iniettiva} \begin{prova} Considerando che \eal{&\frac{g(x)}{g(x)} \mapsto 1 \> \Im \f \neq \pgra{0} } basta applicare la prop. \AI{fomodacampoadanelloestiniettiva}. \end{prova} \end{proof} \begin{prop}\label{trascendenteestindeterminataII} Sia $F\SC K$ una estensione e $\a\in K$, si ha \eal{&\a\T{ trascendente su }F \> F[x]\simeq F[\a]} \end{prop} \begin{proof} \def\f{{\varphi}} \begin{pnecessaria} Consideriamo l'omomorfismo surriettivo visto in \see{carattpolinomiominimo}: \eal{&\f:F[x] \longrightarrow F[\a]\\ &f(x)\mapsto f(\a) } Si ha \eal{&\ker \f = \pqua{f(x)\in F[x]\;|\;f(\a)=0} \ubrace{=}{\a\T{ trascendente su $F$}} \pgra{0} \> \f \T{ e' iniettiva} } Allora, $\f$ e' un isomorfismo: \eal{&F[x] \simeq F[\a] } \end{pnecessaria} % \begin{psufficiente} % \def\ff{{\phi}} % Se per assurdo $\a$ fosse algebrico, allora % \eal{&\exists p(x) = \pmin{\a}{F} % } % e per la % \see{carattpolinomiominimo} si avrebbe % \eal{&\frac{F[x]}{(p(x))}\simeq F[\a] \simeq F[x]\> % \frac{F[x]}{(p(x))} \ubrace{\simeq}{\ff} F[x] \> \ff\T{ isomorfismo % } % } % Consideriamo la surriezione naturale $\pi$. In questo caso, $\pi$ e' % anche un isomorfismo, infatti, % \end{psufficiente} \end{proof} \begin{lem} \label{lemalphaalgebricoimplicaFqalphamodounico} Sia $F\SC K$ una estensione, $\a\in K$,\;$p(x)=\pmin{\a}{F}$. Si ha \eal{&\sist{\a \T{ algebrico in $F$ }\\ \deg p(x) = n} \> \forall f(\a)\in F[\a]\;\exists ! (a_0,a_1,\dots,a_n)\in F^{n}:\;f(\a)=a_0+a_1\a+a_2\a^2+\dots+a_{n-1}\a^{n-1} } \end{lem} \begin{proof} \step{}{Dimostriamo l'esistenza} \begin{prova} Sia $f(x)\in F[x]$. Poiche' $F[x]$ e' un ED, possiamo dividere $f(x)$ per $p(x)$: \eal{&f(x)=p(x)q(x)+r(x),\;\;\;\deg r(x)< \deg p(x) \| r = 0 \> r(x)=a_0+a_1x+\dots+a_{n-1}x^{n-1}\| r=0 \;\;(*)\\ &f(\a)=\ubrace{p(\a)}{=0}q(\a)+r(\a) = r(\a)\\ &f(\a)=r(\a) %\> \deg f(\a) < \deg p(x)=n \| f=0 } in entrambi i casi, per la $(*)$ si ha: \eal{&\exists (a_0,a_1,\dots,a_{n-1})\in F^{n}:\;f(\a)=a_0+a_1\a+a_2\a^2+\dots+a_{n-1}\a^{n-1} } \end{prova} \step{}{Dimostriamo l'unicita'} \begin{prova} Considerando la solita $\f$ vista in \see{polinomio minimo}, abbiamo \eal{&f(\a)=\ubrace{a_0+a_1\a+a_2\a^2+\dots+a_{n-1}\a^{n-1}}{h(\a)} = \ubrace{b_0+b_1\a+b_2\a^2+\dots+b_{n-1}\a^{n-1}}{g(\a)}\>\\ &\qq \> \f(h(x))=\f(g(x)) \= \f(h(x)) - \f(g(x)) = 0\= \f(h(x)-g(x))=0\= h(x)-g(x)\in \ker \f = (p(x)) \>\\ &\qq \> p(x) \div h(x)-g(x) \> \deg p(x) \le \deg (h(x)-g(x)) \| h(x)-g(x)\equiv 0 \;\;(*)\\ &\deg h(x) \le n-1,\;\;\deg g(x) \le n-1 \> \deg (h(x)-g(x)) \le n-1 < n=\deg p(x) \ubrace{\>}{(*)} h(x)-g(x)\equiv 0\= \\ &\qq h(x)\equiv g(x) \= (a_0,a_1,\dots,a_n) = (b_0,b_1,\dots,b_n) } \end{prova} \end{proof} \begin{thm} \label{alphaalgebricosseFalphaeqFqalpha} Sia $F\SC K$ una estensione, $\a\in K$, allora \eal{&\a \T{ e' algebrico su }F\=F(\a)=F[\a]} \end{thm} \begin{proof} \begin{pnecessaria} Sia $p(x)=\pmin{\a}{F}$, \eal{&p(x) \T{ pol. minimo } \ubrace{\>}{\see{proppolinomminimoestirriducibile}} p(x)\T{ irriducibile } \ubrace{\=}{\see{propequividealeprimoelprimoelirrid} } (p(x))\T{ massimale } \ubrace{\=}{\AI{massimalesseAMcampo}} \frac{F[x]}{(p(x))}\T{ campo} \;\;(*)\\ & \frac{F[x]}{(p(x))} \ubrace{\simeq}{\see{proppolinomminimoestirriducibile}} F[\a] \ubrace{\>}{(*)} F[\a] \T{ campo}\;\;(**)\\ &F[\a] \le F(\a) \le K \ubrace{\>}{(**)} F[\a]\SC K } Per definizione\footnote{$F(\a)$ e' il piu' piccolo sottocampo di $K$ contentente $F,\a$} di $F(\a)$, si ha \eal{&\sist{F\U\pgra{\a} \( F[\a]\\ F[\a]\T{ sottocampo } \> F(\a)\( F[\a] } } Ma d'altronde, proprio per definizione di $F[\a]$, si ha $F[\a]\(F(\a)$, quindi $F(\a)=F[\a]$. \end{pnecessaria} \begin{psufficiente} Se $\a=0$, allora e' chiaro che $\a$ e' algebrico su $F$. Supponiamo che $\a \neq 0$. \eal{&\frac{1}{\a}\in F(\a)=F[\a]\>\frac{1}{\a} = a_0+a_1\a+\dots+a_t\a^{t}\= 0=-1+a_0\a +a_1\a^2+\dots+a_t\a^{t+1} } Quindi, un polinomio in $F[x]$, non nullo, che ha come radice $\a$, e' \eal{&f(x) = -1+a_0x +a_1x^2+\dots+a_tx^{t+1} } \end{psufficiente} \end{proof} \begin{cor}\label{FsupxisomFa} Sia $F\SC K$, $\a\in K$, $p(x)\in F[x]$ \eal{&p(x)=\pmin{\a}{F} \> \frac{F[x]}{(p(x))}\simeq F[\a] = F(\a) } \end{cor} \begin{proof} Osservando che \eal{&p(x)=\pmin{\a}{F} \> p(x)\in F[x],\;p(\a) =0 \> \a\T{ algebrico in } F} basta applicare la \see{carattpolinomiominimo} e la \see{alphaalgebricosseFalphaeqFqalpha}. \end{proof} \begin{cor}\label{FaisoFb} Sia $F\SC K$ una estensione, $p(x)\in F[x],\;\;\a,\b\in K$, si ha \eal{&\sist{p(x)\T{ irriducibile in }F\\ p(\a)=p(\b)=0} \> F(\a)\simeq F(\b)} \def\f{{\varphi}} Inoltre, \eal{&\f_{|F}=\id\\&\f(\a)=\b} dove $\f:F(\a)\longrightarrow F(\b)$ e' l'isomorfismo della tesi e $\f_{|F}$ e' la restrizione di $\f$ a $F$. In pratica $\f$ sostituisce $\a$ con $\b$. \end{cor} \begin{proof} \def\p{{\ove p}} Sia $p(x)=a\p(x)$, con $\p(x)\in F[x]$ monico. Si ha \eal{&p(\a)=p(\b)=0\> \p(\a)=\p(\b)=0\;\;(1)\\ &p(x)\T{ irriducibile in }F \> \p(x)\T{ irriducibile in }F\;\;(2)\\ &\sist{(1),\;(2)\\ \p(x)\T{ monico }} \ubrace{\>}{\see{carattpolinomiominimo}} \p(x)=\pmin{\a}{F}=\pmin{\b}{F} \ubrace{\>}{\see{carattpolinomiominimo}} F[\a] \simeq \frac{F[x]}{(p(x))}\simeq F[\b] \> F[\a]\simeq F[\b]\;\;(3)\\ &\a,\b\T{ algebrici su }F \ubrace{\>}{\see{alphaalgebricosseFalphaeqFqalpha}} F[\a]=F(\a),\;\;F[\b]=F(\b) \ubrace{\>}{(3)} F(\a)\simeq F(\b) } Infine, esaminando gli isorfismi usati abbiamo: \def\f{{\varphi}} \eal{ &\a\in F[\a] \mapsto x+(p(x))\in \frac{F[x]}{(p(x))} \mapsto \b\in F[\b]\\ &\qq \> \f(a)=\b\\ &c\in F\( F[\a] \mapsto c+(p(x))\in \frac{F[x]}{(p(x))} \mapsto c\in F[\b]\\ &\qq \>\f_{|F}=\id } \end{proof} \begin{prop}\label{estensionediindeterminateestcampoquozienti} \label{FaestQFqa} Sia $F$ un campo, $\a \in K$, allora \eal{&F(\a) \simeq Q(F[\a])} ovvero l'estensione di $F$ generata da $\a$, e' il campo dei quozienti di $F[\a]$. \end{prop} \begin{proof} Sia \eal{&D=F[\a]\\ &K=F(\a)} \step{}{$D$ e' un dominio} \begin{prova} \case{$\a$ algebrica su $F$} \begin{prova} Per la \see{alphaalgebricosseFalphaeqFqalpha} si ha: \eal{&F(\a)=F[\a]\\ &F(\a)\T{ e' per definizione un campo} \> F(\a)\T{ dominio} \> F[\a]\T{ dominio}} \end{prova} \case{$\a$ trascendente} \begin{prova} Per la prop \see{trascendenteestindeterminataII} si ha $F[x] \simeq F[\a]$, quindi \eal{&F[x]\T{ dominio} \> F[\a]\T{ dominio} } \end{prova} \end{prova} Quindi, $D$ e' un dominio, $K$ e' un campo. Possiamo allora applicare la prop \see{propestensionediunaimmersione}. Consideriamo la seguente applicazione: \eal{&f:Q(D)\longrightarrow K \\ &\frac{h(\a)}{g(\a)} \mapsto h(\a)\inv{g(\a)} } Applicando la prop. \see{propestensionediunaimmersione}, con $\varphi=\id$, si ha che $f$ e' una immersione.\\ Per la prop \see{estensionedicampiesplicita}, $f$ e' surriettiva.\\ Quindi $Q(D) \simeq K$. \end{proof} \begin{prop} \label{propalphaalgebricosseFalphafinita} \label{dimestensestdegpolinminimo} Sia $F\SC K$ una estensione, $\a\in K$ e sia $p(x)=\pmin{\a}{F}$, con $\dim p(x)=n$, allora \eal{&\a\T{ algebrico in }F\= F\SC F(\a)\T{ estensione finita}} O piu' in dettaglio: \eal{&\a \T{ algebrico in }F \= \dim_F F(\a) = n,\;\T{ una base di }F(\a) \T{ e' } \pgra{1,\a,\a^2, \dots,\a^{n-1}}} \end{prop} \begin{proof} \begin{pnecessaria} \eal{&\a\T{ algebrico } \ubrace{\>}{\see{alphaalgebricosseFalphaeqFqalpha}} F(\a)=F[\a]} a questo punto, basta applicare la proposizione \see{lemalphaalgebricoimplicaFqalphamodounico}, e si ha che una base di $F[\a]$ su $F$ e' proprio \eal{&\pgra{1,\a,\a^2, \dots,\a^{n-1}}} \end{pnecessaria} \begin{psufficiente} \eal{&\dim_FF(\a)=n\>F\SC F(\a)\T{ estensione finita} \ubrace{\>}{\see{propestfinitaimplicaalgebrica}} F\SC F(\a)\T{ estensione algebrica} \> \a\T{ algebrico su }F } \end{psufficiente} \end{proof} \begin{prop} Sia $F\SC K$ una estensione, $\a\in K$, allora \eal{&\a\T{ algebrico in }F\> \dim_FF(\a)= \min\pgra{t\;|\;\a^t\in\Ll{1,\a,\dots,\a^{t-1}}_F} } In altre parole, per trovare la dimensione di $F(\a)_F$, si puo' procedere come segue: \begin{enumerate} \item si considera $\a^t$ \item si parte da $t=1$ \item \label{passogoto} se $\a^t$ e' combinazione lineare dei precedenti $1,\a,\a^2,\dots,\a_{t-1}$, ci fermiamo. $t$ e' la dimensione cercata. \item altrimenti si incrementa $t$ di uno, e si ricomincia dal passo \ref{passogoto} \end{enumerate} Nota: una volta nota la dimensione di $F(\a)_F$, grazie alla \see{dimestensestdegpolinminimo}, si puo' ricavare la base di $F(\a)_F$. \end{prop} \begin{proof} \eal{&\a\T{ algebrico in }F \ubrace{\>}{\see{defpolinomiominimo}} \exists \pmin{\a}{F}} Sia $n=\deg \pmin{\a}{F}$. Per la prop. \see{dimestensestdegpolinminimo}, \eal{&\pgra{1,\a,\a^2,\dots,\a^{n-1}}\T{ e' una base di }F(\a)_F\;\;(1)\\ &\qq \> \dim_F F(\a)=n\\ &\qq \> F(\a)_F=\Ll{1,\a,\a^2,\dots,\a^{n-1}}_F\;\;(1.1) } Poiche' $F(\a)_F$ e' uno spazio vettoriale finitamente generato, l'insieme $T=\pgra{t\;|\;\a^t\in\Ll{1,\a,\dots,\a^{t-1}}_F} $ e' sicuramente non vuoto. Sia allora $m=\min T$.\\ Bisogna dimostrare che $m=n$. Si ha \eal{&\a^n \in F(\a)_F \ubrace{=}{(1.1)}\Ll{1,\a,\a^2,\dots,\a^{n-1}}_F \> n\in T \> m\le n } \step{}{Supponiamo per assurdo che $m \pgra{1,\a,\dots,\a^m} \( \pgra{1,\a,\dots,\a^{n-1}} \ubrace{\>}{(1)} \pgra{1,\a,\dots,\a^m}\T{ sono l.i. } \\ &m=\min T \> m \in T \> \a^m \in \Ll{1,\a,\dots,\a^{m-1}} \> \pgra{1,\a,\dots,\a^m}\T{ non sono l.i.} } Assurdo. \end{prova} \end{proof} \begin{prop} \label{propalphaialgebricheimplicaFalphaifinita} Sia $F\(K$ una estensione, e siano $\a_1, \dots, \a_t \in K$, allora \eal{&\a_i\T{ algebrico in }F\;\;\forall i=1,\dots,t\> \dim_F F(\a_1,\dots,\a_{t}) \le n_1n_2\dots n_t } dove \eal{&n_i=\deg p_i(x),\;\;\; p_i(x)=\pmin{\a_i}{F} } \end{prop} \begin{proof} \step{passoFi}{ Posto \eal{&F_1=F\\&F_i=F(\a_1,\dots,\a_{i-1})} si ha \eal{&F_i(\a_i)= F_{i+1} } } \begin{prova} Basta usare la prop \see{propcoefficienticampoestensione}. \end{prova} \step{passoni}{Dim. che $n_i'\le n_i$, dove $n_i'=\deg p_i'(x)$, con $p_i'(x)=\pmin{ \a_i}{F_i}$ } \begin{prova} Si ha \eal{&p_i(x)\in F[x] \ubrace{\(}{F\(F_i} F_i[x]\\ &p_i'(x)=\pmin{\a}{F_i} \> \deg p_i'(x)=\min(\deg P(\a_i,F_i))\;\;(*)\\ &\sist{p_i(x)\in F_i[x]\\ p_i(\a_i)=0\\ p_i(x)\T{ e' monico}\\ } \> p_i(x)\in P(\a_i,F_i) \ubrace{\>}{(*)} \deg p_i'(x)\le \deg p_i(x) } A priori non possiamo essere sicuri sull'uguaglianza. Mostriamo un esempio: \eal{&\a_1=\2,\;F=\Q,\;F_1=\Q(\2)\\ &p_1(x)=\pmin{\sqrt[4]{2}}{\Q}=x^4-2 } infatti, $x^4-2$ e' monico e irriducibile in $\Q$. La sua fattorizzazione completa e': \eal{&x^4-2=(x-\sqrt[4]{2})(x+\sqrt[4]{2})(x-i\sqrt[4]{2})(x+i\sqrt[4]{2}) } \eal{&p_1'(x)=\pmin{\sqrt[4]{2}}{\Q(\2)}=x^2-\2} E abbiamo \eal{&\deg p_1'(x)=2 < \deg p_1(x)=4} \end{prova} \step{passodimFi}{$\dim_{F_i}F_{i+1} \le n_i$} \begin{prova} \eal{&\a_i\T{ algebrico in }F \ubrace{\>}{F\( F_i} \a_i\T{ algebrico in }F_i \ubrace{\>}{\see{propalphaalgebricosseFalphafinita}} \dim_{F_i}F_i(\a_i) =\deg p_i'(x) =n_i'\ubrace{\le}{\T{\stepref{passoni}}} n_i\\ &\dim_{F_i}F_i(\a_i) \le n_i \ubrace{\=}{\T{\stepref{passoFi}}} \dim_{F_i}F_{i+1} \le n_i } \end{prova} \qedstep \begin{prova} Consideriamo la catena di estensioni: \eal{ &F_1\SC F_2 \SC \dots \SC F_{t+1} } che per il passo \stepref{passoFi} equivale a \eal{& F\SC F(\a_1)\SC F(\a_1,\a_2)\SC \dots \SC F(\a_1,\dots,\a_t) } Per il passo \stepref{passodimFi}, si ha \eal{ &\dim_{F_1} F_2 \le n_1\\ &\dim_{F_2} F_3 \le n_2\\ &\vdots\\ &\dim_{F_t} F_{t+1} \le n_t\\ &\qq \> \dim_{F_1} F_2\dim_{F_2} F_3\dots\dim_{F_t} F_{t+1} \le n_1n_2\dots n_t \ubrace{\=}{\see{thmfinitezzadiinclusioneinduzione}} \dim_{F_1}F_{t+1} \le n_1n_2\dots n_t \=\\ &\qq \ubrace{\=}{\T{\stepref{passoFi}}} \dim_{F}F(\a_1,\dots,\a_t) \le n_1\dots n_t } \end{prova} \end{proof} \begin{cor} \label{elemalgebriciimplicaestensalgebrica} Nelle ipotesi della prop \see{propalphaialgebricheimplicaFalphaifinita}, si ha \eal{&\a_i \T{ algebrico in }F\;\;\forall i=1,\dots,t \> F\SC F(\a_1,\dots,\a_t)\T{ estensione algebrica}} \end{cor} \begin{proof} Immediata conseguenza della prop \see{propalphaialgebricheimplicaFalphaifinita} e della \see{propestfinitaimplicaalgebrica} \end{proof} \begin{thm} \label{thmfinitassealgebricaefingen} Sia $F\SC K$ una estensione, allora \eal{&F\SC K \T{ finita } \= F\SC K \T{ algebrica e finitamente generata } } \end{thm} \begin{proof} \begin{pnecessaria} Diretta applicazione delle proposizioni \see{propestfinitaimplicaalgebrica}, \see{propfinitaimplicafinitamentegenerata}. \end{pnecessaria} \begin{psufficiente} \eal{&F\SC K \T{ f.g. } \> \exists \a_1,\dots,\a_t\in K:\;\; K=F(\a_1,\dots,\a_t)\;\;(*)\\ &F\SC K\T{ algebrica } \> \a_i\T{ algebrico in }F\;\;\forall i=1,\dots,t \ubrace{\>}{\see{propalphaialgebricheimplicaFalphaifinita}} F\SC F(\a_1,\dots,\a_t)\T{ e' finita } \ubrace{\=}{(*)} F\SC K\T{ e' finita } } \end{psufficiente} \end{proof} \begin{cor}\label{algebricasseognipezzoalgebrico} Siano $K_1,\dots,K_t$, con $t\ge 3$, campi che formano la seguente catena di estensioni: \eal{&K_t \CS K_{t-1} \CS \dots \CS K_1}allora \eal{&K_t \CS K_1 \T{ algebrica } \= \sist{ K_1 \SC K_2 \T{ algebrica } \\ K_2 \SC K_3 \T{ algebrica } \\ \vdots\\ K_{t-1}\SC K_{t}\T{ algebrica}\\ } } \end{cor} \begin{proof} Procediamo per induzione su $t$. \step{casobase}{$t=3$} \begin{prova} \begin{pnecessaria} Sia $\a\in K_2$, si ha \eal{&\a \in K_2 \SC K_3 \ubrace{\>}{K_1\SC K_3\T{ algebrica}} \exists f\in K_1[x]\-\pgra{0}:\;f(\a)=0\\ &\qq \> K_1\SC K_2\T{ algebrica} } e quindi $K_1 \SC K_2$ e' algebrica.\\ Sia $\a\in K_3$, come prima si vede che $K_1\SC K_3$ e' algebrica, ma \eal{&K_1 \SC K_3 \T{ algebrica } \ubrace{\>}{ K_1 \( K_2 } K_2 \SC K_3 \T{ algebrica } } \end{pnecessaria} \begin{psufficiente} Sia $\a\in K_3$, \eal{&K_2 \SC K_3 \T{ algebrica } \> \exists f\in K_2[x]\-\pgra{0}:\;f(\a)=0\= \exists a_0,a_1,\dots,a_n\in K_2:\; a_0+a_1\a+\dots+a_n\a^n=0\\ &\sist{ K_1\le K_2\T{ algebrica}\\ a_0,a_1,\dots,a_n\in K_2 } \> a_i\T{ algebrico in $K_1$ } \;\;\forall i=0,1,\dots,n \ubrace{\>}{\see{propalphaialgebricheimplicaFalphaifinita}} K_1 \SC K_1(a_0,a_1,\dots,a_n)\T{ finita}\;\;(1) } Sia $\ove K_1=K_1(a_0,\dots,a_n)$, \eal{&\pqua{a_0,\dots,a_n}\in \ove K_1 \> f(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n\in\ove K_1 [x]\;\;(2) } Consideriamo l'estensione \eal{&\ove K_1\SC \ove K_1(\a) \ubrace{=}{\see{propcoefficienticampoestensione}}= K_1(a_0,\dots,a_n,\a)\\ &\T{$\a$ e' algebrico in $\ove K_1$, infatti, }\;\;(2.1)\\ &\qq f \neq 0,\;f(\a)=0,\;f(x)\ubrace{\in}{(2)} \ove K_1[x]\\ &(2.1) \ubrace{\=}{\see{propalphaalgebricosseFalphafinita}} \ove K_1\SC \ove K_1(\a) \T{ e' finita }\;\;(3)\\ } In conclusione: \eal{&\sist{K_1\SC \ove K_1 \SC \ove K_1(\a) \\ (1),(3)} \ubrace{\>}{\see{thmfinitezzadiinclusione}} K_1\SC \ove K_1(\a)\T{ e' finita} \ubrace{\>}{\see{thmfinitassealgebricaefingen}} K_1\SC \ove K_1(\a)\T{ e' algebrica } \> \a \T{ e' algebrico in }K_1 } Abbiamo cosi' dimostrato, che preso un qualunque $\a\in K_3$, $\a $ e' algebrico in $K_1$, ovvero \eal{&K_1\SC K_3\T{ e' algebrica}} \end{psufficiente} \end{prova} \step{}{$t-1 \> t$} \begin{prova} \eal{&K_1 \SC K_{t-1} \SC K_t \T{ algebrica } \ubrace{\=}{\T{\stepref{casobase}}} \sist{K_1\SC K_{t-1}\T{ algebrica }\\ K_{t-1}\SC K_t\T{ algebrica} } \ubrace{\=}{\T{Hp induttiva}} \sist{ K_1\SC K_2\T{ algebrica}\\ K_2\SC K_3\T{ algebrica}\\ \vdots\\ K_{t-1}\SC K_t\T{ algebrica} }} \end{prova} \end{proof} \begin{cor}\label{chiusuraestcampo} Sia $F\SC K$ estensione di campi, allora il seguente insieme: \eal{&\ove F = \pgra{\a\in K\;|\;\a\T{ algebrico in }F}} e' un campo. \end{cor} \begin{proof} \def\F{{\ove F}} Per la \see{carattsottocampo}, basta provare che \eal{&\forall \a\in \F\;\sist{1.\;\;\a-\b\in \F\;\;\forall \b\in \F\\ 2.\;\;\a\inv \b \in \F\;\;\forall \b\in \F\-\pgra{0} } } Siano $\a,\b\in \F$, allora \eal{&\a,\b\in \F \> \a,\b\T{ algebrici in }F \ubrace{\>}{\see{propalphaialgebricheimplicaFalphaifinita}} F\SC F(\a,\b)\T{ finita } \ubrace{\>}{\see{thmfinitassealgebricaefingen}} F\SC F(\a,\b) \T{ algebrica } \;\;(1)\\ &F(\a,\b)\T{ campo } \> \a-\b,\a\inv \b \in F(\a,\b) \ubrace{\>}{(1)} \a-\b,\a\inv \b \T{ algebrici in }F\> \a-\b,\a\inv \b\in \F } \end{proof} \begin{prop} \label{firridssegirrid} Sia \begin{enumerate} \item $F\SC K$ \item $\a,\b\in K$ \item $f(x)=\pmin{\a}{F},\;\;g(x)=\pmin{\b}{F}$ \end{enumerate} si ha \eal{&f(x)\T{ e' irriducibile in }F(\b)\=g(x)\T{ e' irriducibile in }F(\a)} \end{prop} \begin{proof} \step{}{Dim $\>$} \begin{prova} Sia $\deg f(x)=n,\;\;\deg g(x)=m$, \eal{&f(x)=\pmin{\a}{F} \ubrace{\>}{\see{proppolinomminimoestirriducibile}} \sist{f(\a)=0\\ f(x)\T{ monico }\\ f(x)\in F[x]\(F(\b)[x]}\;\;(1)\\ &\sist{f(x) \T{ irriducibile in }F(\b)\\ (1) } \ubrace{\>}{\see{proppolinomminimoestirriducibile}} f(x)=\pmin{\a}{F(\b)} \ubrace{\>}{\see{propalphaalgebricosseFalphafinita}} [F(\b)(\a):F(\b)]=\deg f(x)=n \= \\ & \ubrace{\=}{\see{propcoefficienticampoestensione}} [F(\a,\b):F(\b)]=n\\ &g(x)=\pmin{\b}{F} \ubrace{\>}{\see{propalphaalgebricosseFalphafinita}} [F(\b):F]=m\\ &\sist{[F(\a,\b):F(\b)]=n\\ [F(\b):F]=m} \ubrace{\>}{\see{transitivitagrado}} [F(\a,\b):F]=mn\;\;(2)\\ &f(x)=\pmin{\a}{F}\> [F(\a):F]=n\\ &f(x)\T{ monico } \> n > 0 \\ &[F(\a,\b):F(\a)][F(\a):F] \ubrace{=}{\see{transitivitagrado}} [F(\a,\b):F] \ubrace{\=}{(2)} [F(\a,\b):F(\a)]n=mn \ubrace{\=}{n \neq 0} [F(\a,\b):F(\a)]=m\=\\ &\= [F(\a)(\b):F(\a)]=m \ubrace{\>}{\see{propalphaalgebricosseFalphafinita}} \deg \pmin{\b}{F(\a)}=m\;\;(3)\\ &\sist{g(\b)=0\\ g(x)\in F[x]\( F(\a)[x]\\ g(x)\T{ monico }\\ \deg g(x) = m = \deg \pmin{\b}{F(\a)} } \ubrace{\>}{\T{unicita' del polin. minimo }\see{defpolinomiominimo} } g(x)=\pmin{\b}{F(\a)}\>\\ & \ubrace{\>}{\see{proppolinomminimoestirriducibile}} g(x)\T{ e' irriducibile in }F(\a) } \end{prova} \step{}{Dim $\<$} \begin{prova} Per il viceversa basta riapplicare la $\>$, scambiando $\a$ con $\b$ e $f$ con $g$. \end{prova} \end{proof} \subsection{Campi di spezzamento} \begin{prop} \label{prop1campispezzamento} \label{esistecampocontenteradicedifx} Sia $F$ un campo, $f(x)\in F[x]$, $\deg f(x)=n$. Si ha \eal{&f(x)\T{ irriducibile in }F[x],\;\;n\ge 1\> \exists F',\;K\T{ campi: }F\simeq F'\SC K,\;\dim_{F'}K=n,\; \exists \a\in K:\;f'(\a)=0 } dove $f'(x)$ e' l'immagine di $f(x)$ tramite l'indotto dell'isomorfismo $F\simeq F'$.\\ In pratica, a meno di isomorfismi, riusciamo a trovare un campo $K$ che contiene delle radici di $f(x)$.\\ Nota: a volte, scriveremo direttamente $F\(K,\;f(\a)=0$. Cio' che verra' dimostrato usando questa scrittura sara' effettivamente valido fino a quando non faremo esplicitamente ricorso alle proprieta' non algebriche degli elementi di $K$. \end{prop} \begin{proof} \def\ff{{\ind\f}} Sia $I=(f(x))$, si ha \eal{&f(x)\T{ irriducibile } \ubrace{\=}{F[x]\T{ ED},\;\see{propequividealeprimoelprimoelirrid}} (f(x))\T{ massimale } \ubrace{\=}{\AI{massimalesseAMcampo}} \frac{F[x]}{I}\T{ campo} } Consideriamo il seguente omomorfismo tra campi: \eal{&\f:F\longrightarrow \frac{F[x]}{I}\\ &a\mapsto a+I } (e' immediato verificare che e' un omomorfismo).\\ $\Im \f \neq \{0\}$, infatti, se per assurdo $\forall a\in F:\;a\in I$, \eal{&a\in I=(f(x)) \>a=h(x)f(x)\>\ubrace{\deg a}{=0} =\deg h(x)f(x)=\deg h(x)+\deg f(x)\= 0=\deg h(x)+\deg f(x) } assurdo perche' $\deg f(x) \ge 1$.\\ \eal{&F\T{ campo },\;\Im f \neq \{0\} \ubrace{\>}{\AI{fomodacampoadanelloestiniettiva}} \f\T{ iniettiva } } Sia $L=\frac{F[x]}{I}$. \step{}{Dim $\exists \a\in L\;f'(\a)=0$} \begin{prova} Adesso troviamo $\a$. Consideriamo l'omomorfismo indotto da $\f$ (\vedi{omomorfismoindotto}): \eal{&\ff:F[t]\longrightarrow L[t]\\ &\f\T{ iniettiva} \ubrace{\>}{\see{omomorfismoindotto}} \ff\T{ iniettiva}\\ &\T{Sia } f'(t)=\ff(f(t)) } $\a=x+I\in L=\frac{F[x]}{I}$ e' la radice cercata, infatti, \eal{&f(t)=\somma{i=0}{n}a_it^i \stackrel{\ff}{\mapsto} f'(t)=\somma{i=0}{n}\f(a_i)t^i = \somma{i=0}{n}(a_i+I)t^i\\ &f'(x+I)=\somma{i=0}{n}(a_i+I)(x+I)^i=\somma{i=0}{n}a_ix^i+I= \pton{\somma{i=0}{n}a_ix^i}+I=f(x)+I \ubrace{=}{f(x)\in I} I } e poiche' $I$ e' lo zero di $L$, si ha che $\a$ e' proprio una radice di $f'(t)$. \end{prova} \step{}{Dim. $\exists F',K:\;F\simeq F' \SC K$} \begin{prova} scegliendo $F'=\Im \f,\;K=F'(\a)$ abbiamo \eal{&\f\T{ iniettiva } \> F\simeq \Im \f=F' \SC F'(\a)=K\\ &F\simeq F'\SC K } \end{prova} \step{}{Dim $\dim_{F'}K =n$} \begin{prova} Se consideriamo la seguente restrizione di $\ff$: \eal{&\ff:F[t]\longrightarrow \Im\ff } otteniamo un isomorfismo ($\ff$ e' iniettiva). Quindi, \eal{&n=\deg f(t) = \deg \ff(f(t))=\deg f'(t)\\ &f(t)\T{ irriducibile } \> f'(t) \T{ irriducibile}} Considerando il polinomio monico $\ove f'(t)$, ricavato da $f'(t)$, si ha \eal{&\sist{\ove f'(\a)=0\\ \ove f'(t)\T{ monico }\\ \ove f'(t)\T{ irriducibile } } \ubrace{\>}{\see{carattpolinomiominimo}} \ove f'(\a)=\pmin{\a}{F'}\\ &f'(\a)=0\>\a\T{ algebrico in }F' \ubrace{\>}{\see{propalphaalgebricosseFalphafinita}} \dim_{F'}F'(\a)=\deg \pmin{\a}{K}=\deg \ove f'(\a)=n\\ &\dim_{F'}F'(\a)=n \= \dim_{F'}K =n } \end{prova} \end{proof} \begin{prop} \label{esistecampodovefxsispezzalinearmente} Sia \begin{enumerate} \item $F$ \T{ campo} \item $f(x)=a\ove f(x)\in F[x]$, $\ove f(x)$ monico \item $n=\deg f(x) \ge 1$ \end{enumerate} allora \eal{ &\exists F',K\T{ campi: }\sist{F \simeq F'\SC K\\ \dim_{F'}K\le n!\\ \exists \a_1,\dots,\a_n\in K:\;f'(x)=a'(x-\a_1)(x-\a_2)\dots(x-\a_n)} } dove $f'(x),a'$ sono le immagini di $f(x),a$ tramite l'indotto dell'isomorfismo $F\simeq F'$. In pratica, a meno di isomorfismi, riusciamo a trovare un campo $K$ in cui $f'(x)$ si spezza linearmente. Inoltre, si ha \eal{&f(x)\T{ riducibile in }F[x] \> \dim_{F'}K< n! } o equivalentemente: \eal{&\dim_{F'}K\ge n! \>f(x)\T{ irriducibile in }F[x]} ma poiche' $\dim_{F'}K\le n!$, cio' vuol dire che: \eal{&\dim_{F'}K=n! \>f(x)\T{ irriducibile in }F[x]} \end{prop} \begin{proof} Chiameremo $P1$ la proposizione \eal{&f(x)\T{ riducibile in }F[x] \> \dim_{F'}K< n!} Procediamo per induzione su $n$. \step{}{$n=1$} \begin{prova} \eal{&n=1 \> f(x)=a(x-\a_1)\in F[x]} Quindi, basta scegliere $K=F$, inoltre \eal{&\dim_FF=1\le n! =1! =1} Poiche' $f(x)$ e' irriducibile, riguardo alla $P1$ non abbiamo nulla da dire. \end{prova} \step{}{$n-1\>n$} \begin{prova} Sia $p(x) \in F[x]$ tale che \eal{&p(x)\div f(x)\=f(x)=ap(x)h(x)\;\;(*)\\ &p(x)\T{ irriducibile in }F[x]\\ &p(x),\;h(x)\T{ monici }} Nota: $p(x)$ esiste perche' $\deg f(x)=n \ge 1$. \eal{&(*)\>\deg p(x) \le n } Se $f(x)$ e' riducibile, possiamo scegliere $p(x)$ in modo da avere: \eal{\deg p(x) < n\;\;(*') } \case{$\deg p(x)=1$} \begin{prova} \eal{&\deg p(x)=1 \> p(x)=(x-\a_1),\;\a_1\in F\\ &\deg p(x)=1 \ubrace{\>}{(*)} \deg h(x)=n-1} Applicando l'ipotesi induttiva su $h(x)$, abbiamo allora \eal{& \exists K,F':\;F\simeq F'\SC K,\;\exists \a_2,\dots,\a_{n}\in K:\;h'(x)=(x-\a_2)(x-\a_3)\dots(x-\a_n),\;\;\dim_{F'}K\le (n-1)!< n!\;\;(+)\\ &\qq\> f'(x)=a'p'(x)h'(x)=a'(x-\a_1)(x-\a_2)(x-\a_3)\dots(x-\a_n) } Nota: per la $(+)$, la $P1$ e' vera. \end{prova} \case{$h=\deg p(x)>1$} \begin{prova} Per la prop \see{prop1campispezzamento}, applicata a $p(x)$, si ha \eal{& \exists F',\;K\T{ campi: }F\simeq F'\SC K,\;\dim_{F'}K=h,\; \exists \a_1\in K:\;p'(\a_1)=0,\;p'(t)\in F'[t]\\ &\a_1\in K,\;p'(t)\in F'[t]\(K[t],\;p'(\a_1)=0 \ubrace{\>}{\T{Ruffini}} p'(t)=(t-\a_1)g'(t)\in K[t]\>\\ &\ubrace{\>}{(*)} f'(t)=a'(t-\a_1)g'(t)h'(t)\in K[t]\>\;\;(**)\\ &\>\deg g'(t)h'(t)=n-1 \>\\ &\ubrace{\>}{\T{Hp induttiva}} \exists \ove K:\;K\SC \ove K,\;\exists \a_2,\dots,\a_{n}\in \ove K:\;g'(t)h'(t)=(x-\a_2)(x-\a_3)\dots(x-\a_n),\;\;\dim_K\ove K\le (n-1)!\\ &\qq \ubrace{\>}{(**)} f'(x)=a'(t-\a_1)(x-\a_2)(x-\a_2)(x-\a_3)\dots(x-\a_n) } Consideriamo: \eal{&F'\SC K \SC \ove K\\ &\dim_{F'}K=h \ubrace{\le}{(*)} n\;\;\;\;(++)\\ &\dim_K \ove K\le (n-1)!\\ &\dim_{F'}K\dim_K\ove K \le n! \ubrace{\=}{\see{thmfinitezzadiinclusione} } \dim_{F'}\ove K\le n! } Quindi $\ove K$ e' proprio il campo cercato.\\ Se $f(x)$ fosse stato riducibile, nella $(++)$, avremmo potuto applicare la $(*')$ al posto della $(*)$, ottenendo cosi' \eal{&\sist{\dim_{F'}K=h \ubrace{<}{(*')} n\\\dim_K \ove K\le (n-1)!} \> \dim_{F'}K\dim_K\ove K < n! \> \dim_{F'}\ove K< n! } quindi la $P1$ e' vera. \end{prova} \end{prova} \end{proof} \begin{defn} \ilabel{campo di spezzamento} \label{campospezz} Sia \begin{enumerate} \item $F \SC K$ estensione \item $f(x)=a\ove f(x)\in F[x]$, $\ove f(x)$ monico \item $n=\deg f(x)$ \end{enumerate} allora \eal{&K\T{ campo di spezzamento di $f(x)$ su $F$ }\definizione{\=} \sist{1.\;\;\exists \a_1,\dots,\a_n\in K:\;f(x)=a(x-\a_1)(x-\a_2)\dots(x-\a_n)\\ 2.\;\;K=F(\a_1,\dots,\a_n) } } La condizione $1.$ impone che $f(x)$ si spezzi linearmente in $K$, la $2.$ che $K$ sia generato da $F$ e da $\a_1,\dots,\a_n$.\\ Nota\footnote{poiche' $n=\deg f(x)$, per la $1.$ e per Ruffini (vedi \AI{alpiunradiciperRuffini}), $\a_1,\dots,\a_n$ sono tutte le radici di $f(x)$, anche se alcune potrebbero non essere distinte.}\\ Nota\footnote{Si ha \eal{&F(\a_1,\dots,\a_n)=F(\ove\a_1,\dots,\ove \a_h)} dove $\ove\a_1,\dots,\ove \a_h$ sono tutte le $\a_i$, a due a due distinte, che non stanno in $F$. } Per indicare che $K$ e' un campo di spezzamento di $f(x)$ su $F$, scriveremo: \eal{&K=\spezz{f(x)}{F} } \end{defn} \begin{prop}\label{propcampispezzesistonoamenoisomorfismi} Sia $F$ campo, $f(x)\in F[x]$. A meno di isomorfismi, un campo di spezzamento $K$ di $f(x)$ esiste, e $\dim_FK\le n!$, con $n=\deg f(x)$. \end{prop} \begin{proof} Per la prop. \see{esistecampodovefxsispezzalinearmente}, si ha \eal{&\exists F',K\T{ campi: }\sist{F \simeq F'\SC K\\ \dim_{F'}K\le n!\\ \exists \a_1,\dots,\a_n\in K:\;f'(x)=a'(x-\a_1)(x-\a_2)\dots(x-\a_n)} } Allora, per soddisfare la $2.$ della def. di campo di spezzamento, scegliamo direttamente $F(\a_1,\dots,\a_n)$ come campo di spezzamento. \end{proof} \begin{thm}\label{thmspezzisom} \def\P{{\Psi}} \def\p{{\psi}} \def\ip{{\ind \p}} Sia \begin{enumerate} \item $F \SC K,\;F'\SC K'$ estensioni \item $f(x)\in F[x],\;f'(x)\in F'[x]$ \item $f'(x)=a'\ove f'(x)\in F'[x]$, $\ove f'(x)$ monico \item $n=\deg f(x)$ \end{enumerate} allora \eal{&\sist{\exists \p:F\longrightarrow F' \T{ isomorfismo}\\ f'(x)=\ip(f(x))\\ K=\spezz{f(x)}{F}\\ K'=\spezz{f'(x)}{F'} } \> \sist{\exists \P:K\simeq K'\T{ isomorf. }\\ \P_{|F}=\p } } dove $\ip:F[x]\longrightarrow F'[x]$ e' l'indotto di $\p$, $\P_{|F}$ e' la restrizione di $\P$ a $F$.\\ Possiamo rappresentare il thm graficamente:\\ \xymatrix{K & K'\\ F \ar@{(}[u] \ar@{~>}[r]^{\p} & F'\ar@{(}[u] } $\>$ \xymatrix{K \ar@{~>}[r]^{\P}& K'\\ F \ar@{(}[u] \ar@{~>}[r]^{\p} & F'\ar@{(}[u] } \end{thm} \begin{proof} \def\P{{\Psi}} \def\p{{\psi}} \def\ip{{\ind \p}} Sia $\ip:F[x]\longrightarrow F'[x]$ l'isomorfismo\footnote{e' un isomorfismo poiche' $\p$ lo' e' (\vedi{omomorfismoindotto})} indotto da $\p$.\\ Osserviamo che poiche' $\ip$ e' un isomorfismo, si ha \eal{&n=\deg f(x)=\deg f'(x)} Sia $m=\dim_FK$. Lavoriamo per induzione su $m$. \step{}{$m=1$} \begin{prova} \eal{&\sist{\dim_FK=m=1=\dim_FF\\ F\(K\T{ sottospazio vett.} } \ubrace{\>}{\AL{altrepropbaseedimensioni}} F=K\\ &F=K=\spezz{f(x)}{F}\>f(x)=a(x-\a_1)(x-\a_2)\dots(x-\a_n)\stackrel{\ip}{\mapsto} f'(x)=a'(x-\a_1')(x-\a_2')\dots(x-\a_n')\in F'[x]\\ &K'=\spezz{f'(x)}{F'} = F'(\a_1',\dots,\a_n') \ubrace{=}{\a_i'\in F'} F'\\ &K=F\stackrel{\p}{\simeq} F'=K'\\ &K\simeq K',\;\;\p_{|F}=\p } \end{prova} \step{}{Tesi induttiva: $\forall h m$} \begin{prova} Supponiamo $m>1$ (dato che per $m=1$ abbiamo gia' dimostrato la tesi). \step{pxnonlineare}{$\exists p(x)\in F[x]:\;\deg p(x)>1,\;p(x)\div f(x),\;p(x)\T{ irriducibile, monico}$} \begin{prova} Se per assurdo, tutti i fattori di $f(x)$ fossero del tipo $x-\a\in F[x]$, allora $f(x)$ si spezzerebbe linearmente in $F[x]$, ovvero, tutte le sue radici $\a_1,\dots,\a_n\in F$, e quindi \eal{&K=\spezz{f(x)}{F}=F(\a_1,\dots,\a_n) \ubrace{=}{\a_i\in F} =F\\ &K=F\>\dim_FK=\dim_FF=1\= m=1 \T{ assurdo contro }m>1 } Quindi deve esistere almeno un suo fattore irriducibile, di grado $>1$. Questo fattore si puo' poi rendere monico. Sia $p(x)$ un tale fattore. \end{prova} \step{gradopx}{ Sia $h=\deg p(x)$, si ha \eal{&n\ge h>1 }} \begin{prova} \eal{& n\ubrace{\ge}{p(x)\div f(x)} h\ubrace{>}{\T{\stepref{pxnonlineare}}}1\;\;(1)} \end{prova} Sia $p'(x)=\ip(p(x))$. \step{passodimezzo}{$\exists \a\in K:\;\frac{F[x]}{(p(x))}\simeq F[\a]=F(\a),\;\;\pmin{\a}{F}=p(x)$ } \begin{prova} \eal{ &K=\spezz{f(x)}{F}\>f(x)=a(x-\a_1)(x-\a_2)\dots(x-\a_n)\in K[x]\;\;(2)\\ &p(x)\div f(x)\>f(x)=p(x)h(x)\;\;(3)\\ } Se per assurdo $\forall i\;h(\a_i)=0$, allora $h(x)$ avrebbe grado $\ge n$, e per la $(3)$, $p(x)$ avrebbe grado $0$. Assurdo contro $h>1$ la $(1)$. Quindi \eal{&\exists \a=\a_{\ove i}:\;f(\a)=0,\;h(\a) \neq 0 \ubrace{\>}{(3)} p(\a)=0} allora \eal{&\sist{p(x)\T{ irriducibile in }F[x]\\ p(\a)=0\\ p(x)\T{ monico}} \ubrace{\>}{\see{carattpolinomiominimo}}p(x)=\pmin{\a}{F},\;\; \frac{F[x]}{(p(x))} \simeq F[\a] \ubrace{=}{\see{alphaalgebricosseFalphaeqFqalpha}} F(\a) } \end{prova} \step{passodimezzo2}{$\exists \a'\in K':\;\frac{F'[x]}{(p'(x))}\simeq F'[\a']=F'(\a')$ } \begin{prova} Basta ripetere la dimostrazione dei passi \stepref{pxnonlineare}, \stepref{passodimezzo}, utilizzando $f'(x),p'(x),F',K'$ al posto di $f(x),p(x),F,K$ \end{prova} \step{passodimezzo3}{$\frac{F[x]}{(p(x))}\simeq\frac{F'[x]}{(p'(x))}$} \begin{prova} Consideriamo il seguente omomorfismo: \eal{&F[x]\stackrel{\ip}{\longrightarrow }F'[x]\stackrel{\pi}{\longrightarrow }\frac{F'[x]}{(p'(x))} } dove $\pi$ e' la surriezione naturale.\\ $\pi\o \ip$ e' un omomorfismo surriettivo perche' $\ip$ e' un isomorfismo e $\pi$ e' surriettivo. Allora, per il thm dell'omomorfismo \AI{corIthmomo}, si ha \eal{&\frac{F[x]}{\ker \pi\o \ip} \simeq \frac{F'[x]}{(p'(x))}\\ &\ker \pi\o \ip = \pgra{g(x)\in F[x]\;|\; \ip(g(x))+\gen{p'(x)} = \gen{p'(x)} \= \ip(g(x)) \in \gen{p'(x)}}=\\ &\qq = \pgra{g(x)\in F[x]\;|\; \ip(g(x)) \in \gen{p'(x)} }= \inv \ip \Big( \gen{p'(x)}\Big) =\gen{\inv\ip(p'(x))}\ubrace{=}{\ip\T{ isomorfismo, }p'(x)=\ip(p(x))} \gen{p(x)}\\ &\frac{F[x]}{(p(x))} \simeq \frac{F'[x]}{(p'(x))} } \end{prova} \def\t{{\tau}} \step{passotau}{$\exists \t:F(\a)\longrightarrow F'(\a')\T{ isomorfismo t.c. }\t_{|F}=\p$} \begin{prova} Dai passi \stepref{passodimezzo}, \stepref{passodimezzo2}, \stepref{passodimezzo3}, segue che: \eal{&F(\a)=F[\a]\simeq \frac{F[x]}{(p(x))} \simeq \frac{F'[x]}{(p'(x))} \simeq F'[\a']=F'(\a')\\ &F(\a)\simeq F'(\a') } Sia $\tau:F(\a)\longrightarrow F'(\a')$ tale isomorfismo. Esaminando gli isomorfismi fin'ora usati, $\tau$ risulta essere: \eal{ &f(\a)\in F[\a] \stackrel{\t}{\mapsto} \ip(f(\a'))\in F'[\a'] \\ &\> a\in F\SC F[\a] \stackrel{\t}{\mapsto} \ip(a)=\p(a)\in F'\\ &\> \t_{|F}=\p } \end{prova} \step{}{$K=\spezz{f(x)}{F(\a)},\;\;[K:F(\a)]}{\T{\stepref{gradopx}}} 1 \\ &\dim_FF(\a) =r >1 &\dim_FK = m\\ &[K:F(\a)][F(\a):F] \ubrace{=}{\see{transitivitagrado}}[K:F] \= [K:F(\a)] =\frac{m}{r} \ubrace{<}{r>1} m } \end{prova} \step{}{$K'=\spezz{f'(x)}{F'(\a')}$} \begin{prova} Analogamente a prima. \end{prova} \qedstep \begin{prova} Riassumiamo graficamente la situazione:\\ \xymatrix{ K & K'\\ F(\a) \ar@{(}[u] \ar@{~>}[r]^{\t} & F'(\a')\ar@{(}[u] }\\ e poiche' $[K:F(\a)]}[r]^{\P}& K'\\ F(\a) \ar@{(}[u] \ar@{~>}[r]^{\t} & F'(\a')\ar@{(}[u] }\\ e inoltre, \eal{&\P_{|F(\a)}=\t \ubrace{\>}{F\(F(\a)} \P_{|F} =\t_{|F} \ubrace{=}{\T{\stepref{passotau}}}\p } \end{prova} \end{prova} \end{proof} \begin{cor}\label{unicitacampospezz} Sia $f(x)\in F[x]$, allora il campo di spezzamento di $f(x)$ in $F$ e' unico, a meno di isomorfismi, ovvero, \eal{&\sist{K_1=\spezz{f(x)}{F}\\ K_2=\spezz{f(x)}{F} } \> K_1\simeq K_2 } ed e' quindi lecito considerare la scrittura \eal{&K=\spezz{f(x)}{F} } come una effettiva identita'.\\ Nota \footnote{Nella definizione \see{campospezz} avevamo detto che la scrittura \eal{&K=\spezz{f(x)}{F}} indicava $K$ come \emph{un qualsiasi} campo di spezzamento di $f(x)$ in $F$. Adesso, invece, possiamo dire che $\spezz{f(x)}{F}$ e' il campo di spezzamento di $f(x)$ in $F$, ed e' quindi corretto scrivere: \eal{&K\simeq \spezz{f(x)}{F} } che per convenzione, scriveremo come \eal{&K=\spezz{f(x)}{F} } }. \end{cor} \begin{proof} Basta applicare il thm \see{thmspezzisom}, scegliendo \eal{&F'=F,\;\psi=\id,\;K'=K_2} \end{proof} \begin{prop} \label{spezzamentospezzato} Dato $f(x)\in F[x]$, \eal{&\sist{K=\spezz{f(x)}{F}\\ F\SC L \SC K} \> K=\spezz{f(x)}{L} } \end{prop} \begin{proof} Siano $\a_1,\dots,\a_n$ tutte le radici di $f(x)$ \eal{ &K=\spezz{f(x)}{F} = F(\a_1,\dots,\a_n) \ubrace{\(}{F\( L} L(\a_1,\dots,\a_n) \ubrace{\(}{L\( K} K(\a_1,\dots,\a_n) \ubrace{=}{\a_i\in K} K\\ & K = L(\a_1,\dots,\a_n) = \spezz{f(x)}{L} } \end{proof} \subsection{Campi chiusi e chiusura} \begin{defn}\ilabel{campo chiuso} Sia $F$ un campo. \eal{&F\T{ e' algebricamente chiuso }\definizione{\=} \forall f(x)\in F[x]:\;\deg f(x) \ge 1 \;\;\exists \a\in F:\;f(\a)=0} \end{defn} \begin{prop}\label{campochiusocaratt} Sia $F$ un campo. Le seguenti proposizioni sono equivalenti: \eal{&1.\;\;F\T{ e' algebricamente chiuso}\\ &2.\;\;\forall f(x)\in F[x]:\;\deg f(x) \ge 1\;\;f(x)\T{ si spezza linearmente in }F\\ &3.\;\;f(x)\in F[x]\T{ irriducibile in }F \= \deg f(x)=1\\ &4.\;\;F\SC K\T{ estensione algebrica } \= F=K } \end{prop} \begin{proof} \step{}{$1.\=2.$} \begin{prova} \eal{&F\T{ chiuso } \> \exists \a \in F:\;f(\a) =0 \ubrace{\>}{\T{thm di Ruffini} \AI{cor_ruff}} f(x)=(x-\a)g(x),\;\;g(x)\in F[x]\\ &\deg f(x)= \deg (x-\a)g(x) = 1+\deg g(x)\\ &\deg g(x) = \deg f(x) -1 } Procediamo per induzione su $n=\deg f(x)$. \case{$n=1$} \begin{prova} \eal{&\deg f(x)= \deg (x-\a)g(x) = 1+\deg g(x)\\ &\deg f(x) =1 \> \deg g(x) =0 \> f(x)=c(x-\a) } \end{prova} \case{$n-1 \> n$} \begin{prova} \eal{&\deg g(x) = n-1 \ubrace{\>}{\T{Hp indutt.}} g(x)=(x-\a_2)(x-\a_3)\dots(x-\a_n),\;\;\a_i\in F\;\;\forall i=2,\dots,n } \end{prova} Il viceversa e' immediato. \end{prova} \step{}{$1.\= 3.$} \begin{prova} \begin{pnecessaria} Sia $f(x)\in F[x]$ irriducibile. Per definizione $\deg f(x) \ge 1$ (in quanto $f(x)$ non e' invertibile). Se per assurdo $\deg f(x) > 1 $, allora \eal{&F\T{ chiuso } \> \exists \a \in F:\;f(\a)=0 \ubrace{\>}{\T{Ruffini}} f(x)=(x-\a)g(x)\\ &\deg f(x) > 1 \> \deg g(x) > 0 \> f(x)\T{ riducibile. Assurdo.} } \end{pnecessaria} \begin{psufficiente} Sia $f(x)\in F[x]$, con $\deg f(x) \ge 1$.\\ Procediamo per induzione su $n =\deg f(x)$.\\ Se $n=1$, allora $f(x)=x-\a\in F[x]$, e quindi $f(\a)=0$.\\ Se $\deg f(x)> 1$, per la $3.$, $f(x)$ e' riducibile in $F[x]$: \eal{&f(x)=g(x)h(x),\;\;g(x),h(x)\in F[x],\; 1 \le \deg g(x)< n \\ &\T{Per Hp induttiva } \exists \a \in F :\;g(\a) =0 \> f(\a)=0 } \end{psufficiente} \step{}{Dim $2.\> 4.$} \begin{prova} Sia $F\SC K$ una estensione algebrica e sia $\a\in K$, allora \eal{& \a\in K \ubrace{\>}{F\SC K\T{ algebrica }} \exists f(x)\in F[x]\-\pgra{0}:\;f(\a)=0\\ &f(\a)=0,\;f \neq 0 \> \deg f \ge 1 } Per la $2.$, tutte le radici di di $f(x)$ stanno in $F$ e quindi \eal{&\a\in F} Per l'arbitrarieta' di $\a$ abbiamo \eal{&K \( F} e poiche' $F\( K$, si ha $F=K$. \end{prova} \step{}{$4.\> 1.$} \begin{prova} Sia $f(x)\in F[x]:\;\deg f(x) \ge 1$.\\ Per la prop \see{esistecampocontenteradicedifx}, si ha \eal{&\exists K:\;F\( K\;\exists \a \in K:\;f(\a)=0 \> \a \T{algebrico in }F \>\\ & \ubrace{\>}{\see{elemalgebriciimplicaestensalgebrica}} F\SC F(\a)\T{ e' algebrica } \ubrace{\>}{4.}F=F(\a) \> \a\in F } Abbiamo quindi trovato un $\a\in F:\;f(\a)=0$. \end{prova} \end{prova} \end{proof} \begin{defn} \ilabel{chiusura} Sia $F\SC \ove F$ una estensione. Poniamo \eal{&\ove F \T{ si chiama chiusura algebrica di $F$ } \definizione{\=} \sist{F\SC \ove F\T{ estensione algebrica }\\ \ove F\T{ algebricamente chiuso} }} \end{defn} \begin{lem} \label{lemmafdellachiusura} \def\f{{\varphi}} \def\df{{\Phi}} \def\bb{{\ove\b}} Sia \begin{enumerate} \item $F\SC L\SC K=L(\a)$, con $\a\in K$ algebrico su L \item $p(x)=\pmin{\a}{L}$, $n=\deg p(x)$ \item $\f:L\longrightarrow \ove F$ una immersione \item $\df:L[x]\longrightarrow \ove F[x]$ l'omomorfismo indotto da $\f$ (\vedi{omomorfismoindotto}), ovvero \eal{&\df: L[x]\longrightarrow \ove F[x]\\ &\somma{i=0}{r} a_ix^i \mapsto \somma{i=0}{r} \f(a_i)x^i } \item Sia $\bb$ una radice di $\df(p)$ \item Sia data la seguente legge: \eal{&f:K=L(\a)\longrightarrow \ove F\\ &b_0+b_1\a+b_2\a^2+\dots+b_{n-1}\a^{n-1} \mapsto \f(b_0)+\f(b_1)\bb+\f(b_2)\bb^2+\dots+\f(b_{n-1})\bb^{n-1} } o equivalentemente: \eal{&h(x)\in L[x]\\ &f(h(\a)) = \df(h)(\bb)} \end{enumerate} Allora, \eal{&f\T{ e' un omomorfismo t.c. }f_{|L}=\f} \end{lem} \begin{proof} \def\f{{\varphi}} \def\df{{\Phi}} \def\bb{{\ove\b}} \step{}{$f$ e' ben posta} \begin{prova} \eal{&\Im \f \( \ove F\\ &\sist{\bb\T{ radice di }\df(p)\\ \df(p)\in \ove F[x]\\ \ove F \T{ chiuso}} \> \bb\in \ove F\\ &\qq \> \f(b_0)+\f(b_1)\bb+\f(b_2)\bb^2+\dots+\f(b_{n-1})\bb^{n-1} \in \ove F } \end{prova} \step{}{$f$ e' una funzione ben definita e le sue due definizioni date nelle Hp sono equivalenti} \begin{prova} \eal{&K=L(\a),\;\;\a\T{ algebrico su }L \ubrace{\>}{\see{propalphaalgebricosseFalphafinita}} \T{$\pgra{1,\a,\dots,\a^{n-1}}$ e' una base di $K_L$} } Quindi ogni elemento di $K$ si scrive in modo unico come \eal{&b_0+b_1\a+b_2\a^2+\dots+b_{n-1}\a^{n-1},\;\;b_i\in L\;\;\forall i } e questo garantisce che \eal{&b,c\in K,\;\;b=c \> f(b)=f(c) } Inoltre, \eal{&h(x)=\sum_{i=0}^{n-1} b_ix^i\\ &f(h(\a)) = f(b_0+b_1\a+b_2\a^2+\dots+b_{n-1}\a^{n-1}) = \f(b_0)+\f(b_1)\bb+\f(b_2)\bb^2+\dots+\f(b_{n-1})\bb^{n-1} = \df(h)(\bb) } \end{prova} \step{}{$f_{|L}=\f$} \begin{prova} \eal{&c\in L \> c=b_0 \> f(c)=f(b_0)=\f(b_0)=\f(c) } \end{prova} \step{}{$f$ e' un omomorfismo} \begin{prova} \step{}{$f(c+d)=f(c)+f(d)$} \begin{prova} \eal{&c,d\in K=L(\a) \>\exists s(x),t(x)\in L[x]:\;\; c=s(\a)=\sum_{i=0}^{n-1} c_i\a^{i},\;\;d=t(\a)=\sum_{i=0}^{n-1} d_i\a^{i}\\ &c+d=\sum_{i=0}^{n-1} (c_i+d_i)\a^{i}\\ &f(c+d)=\sum_{i=0}^{n-1} \f(c_i+d_i)\bb^{i} \ubrace{=}{\f\T{ omomorf.}} \sum_{i=0}^{n-1} (\f(c_i)+\f(d_i))\bb^{i}= \sum_{i=0}^{n-1} \f(c_i)\bb^{i}+\sum_{i=0}^{n-1} \f(d_i)\bb^{i}= f(c)+f(d) } \end{prova} \step{}{ Dim. che $f(cd)=f(c)f(d)$. } \begin{prova} Dividiamo $s(x)t(x)$ per $p(x)$ (in $L[x]$): \eal{&st=pq+r,\;\;r(x)=\sum_{i=0}^{n-1}r_ix^{i}\in L[x]\\ &cd=s(\a)t(\a)=p(\a)q(\a)+r(\a) \ubrace{=}{p(\a)=0} r(\a)\\ &f(cd)=f(r(\a)) \ubrace{=}{\T{per def.}} \df(r)(\bb)\\ &\bb \T{ radice di }\df(p) \> \df(p)(\bb)=0 \;\;(*)\\ &f(cd)= \df(r)(\bb) \ubrace{=}{(*)} \df(r)(\bb) + \df(p)(\bb)\df(q)(\bb) \ubrace{=}{\df\T{ omomorfismo}} \df(r+pq)(\bb) = \df(st)(\bb) =\\ &\ubrace{=}{\df\T{ omomorfismo}} \df(s)(\bb)\df(t)(\bb) \ubrace{=}{\T{per def.}} f(s(\a))f(t(\a)) = f(c)f(d) } \end{prova} \end{prova} \end{proof} \begin{thm}\label{esistechiusura} Sia $F$ un campo, allora \begin{enumerate} \item $\exists \ove F$ chiusura algebrica di $F$ \item $F\SC K$ estensione algebrica $\> \exists \varphi:K\immerso \ove F,\;\;\varphi_{|F}=\id$ \item Due chiusure algebriche di $F$ sono isomorfe. \end{enumerate} Grazie alla $3.$, esiste un'unica chiusura algebrica di $F$ (a meno di isomorfismi), che indicheremo con $\ove F$. \end{thm} \begin{proof} \step{}{Dim $1.$} \begin{prova} \def\F{{\mathcal{F}}} Sia \eal{&\F = \pgra{K\T{ campo }\;|\;F\SC K \T{ estensione algebrica }}} \step{}{$(\F,\SC)$ e' un POSET, dove $\SC$ e' l'inclusione di campi} \begin{prova} Siano $F,K,J\in \F$ \begin{enumerate} \item $F \SC F$ \item $F\SC K,\;K\SC F \> F=K$ \item $F\SC K \SC J\> F\SC J$ \end{enumerate} \end{prova} \step{}{$\exists \ove F\T{ elemento massimale in }\F$} \begin{prova} Cerchiamo di applicare il lemma di Zorn (\vedi{zorn}).\\ Sia $\pgra{K_i}_{i\in I}\( \F$ una catena in $\F$ e consideriamo \eal{&J=\bigcup_{i\in I} K_i} \step{}{ $J$ e' un maggiorante delle catena } \begin{prova} Chiaramente $K_i \( J\;\;\forall i \in I$.\\ Resta da dimostrare che $J\in \F$.\\ $J$ e' un campo: \eal{&a\in J,\;b\in J^* \> \exists K_i, K_j:\;a\in K_i \| b\in K_j\\ &\pgra{K_i}\T{ e' una catena } \> K_i \SC K_j \| K_j \SC K_i\\ & K_i \( K_j \> a+b,ab,-a,\inv b \in K_j \( J \\ & K_j \( K_i \> a+b,ab,-a,\inv b \in K_i \( J } Quindi $J$ e' un campo.\\ $F\SC J$ e' algebrica: \eal{&\a\in J \> \exists K_i:\;\a\in K_i \ubrace{\>}{F\SC K_i\T{ algebrica}} \exists f(x)\in F[x]\-\pgra{0}:\;F(\a)=0\\ &\qq \> F\SC J \T{ e' algebrica } } In definitiva, $J\in \F$. \end{prova} Abbiamo cosi' visto che ogni catena in $\F$ ha un maggiorante $J$, allora per il lemma di Zorn (\vedi{zorn}), $\exists \ove F \in \F$ massimale. \end{prova} \step{}{$\ove F$ e' una chiusura di $F$} \begin{prova} Utilizziamo la $4.$ della prop. \see{campochiusocaratt}: sia $\ove F \SC K$ una estensione algebrica di $\ove F$. Dimostriamo che $\ove F=K$. \eal{&\ove F\in \F \> F\SC \ove F \T{ algebrica }\\ &\ove F \SC K \T{ algebrica } \\ & \qq \ubrace{\>}{\see{algebricasseognipezzoalgebrico}} F\SC K \T{ algebrica } \> K \in \F \\ &\sist{K\in \F\\ \ove F \( K\\ \ove F\T{ massimale in }\F} \> \ove F = K } \end{prova} \end{prova} \step{}{Dim $2.$} \begin{prova} \def\f{{\varphi}} Useremo ancora una volta il lemma di Zorn.\\ Sia \eal{&S=\pgra{(L,\f)\;|\;F\SC L\SC K,\;\;\f:L\longrightarrow \ove F \T{ omomorfismo t.c. }\f_{|F}=\id} } e definiamo la seguente relazione su $S$: \eal{&(L,\f)\le (L',\f')\= \sist{L\( L'\\ {\f'}_{|L}=\f } } \step{}{$(S,\le)$ e' un POSET} \begin{prova} \begin{enumerate} \item $(L,\f)\le (L,\f)$ \item antisimmetria: \eal{&(L,\f)\le (L',\f'),\; \;(L',\f')\le (L,\f) \> \sist{L=L'\\ \f=\f'_{|L}=\f'_{|L'}=\f' } \> (L,\f)=(L',\f')} \item transitivita': \eal{&\sist{L\SC L'\SC L''\\ \pton{\f''_{|L'}=\f'}_{|L}=\f } } \end{enumerate} \end{prova} \step{}{Sia $\pgra{(L_i,\f_i)}_{i\in I}$ una catena di elementi di $S$. Dimostriamo che un maggiorante e' \eal{&(L,\f),\;\T{ dove }\\ &\qq L=\bigcup_{i\in I}L_i\\ &\qq \f(x)=\f_i(x)\T{ se $x\in L_i$} } \lineapiccola\\ } \begin{prova} Chiaramente \eal{&\sist{L_i\( L\\ \f_{|L_i}=\f_i } } resta da dimostrare che $(L,\f)\in S$ \eal{&F\( L_i \( L=\bigcup L_i \ubrace{\(}{L_i\(K\;\;\forall i} K\\ &L\T{ e' un campo: }\\ &\qq a_i\in L_i,\;b_i\in L_j \> a_i\pm b_i,\;a_i\inv b_i \in \sist{L_i& L_i \)L_j\\ L_j&L_j\) L_i} \( L \\ &\> F\SC L \SC K\\ &\f\T{ e' ben definita su tutto $L$ (poiche' $L=\bigcup L_i$)}\\ &\f\T{ e' un omomorfismo: }\\ &\qq \f(a_i+b_j) = \sist{\f_i(a_i+b_j)=\f_i(a_i)+\f_i(b_j)& L_i \)L_j\\ \f_j(a_i+b_j)=\f_j(a_i)+\f_j(b_j) & L_j\) L_i} =\f(a_i)+\f(b_j)\\ &\qq \T{ analogamente per il prodotto} }\lineapiccola\\ \end{prova} \def\F{{\phi}} Abbiamo cosi' visto che ogni catena di elementi di $S$ ammette un maggiorante in $S$, quindi per il lemma di Zorn (\vedi{zorn}) esiste un elemento $(M,\F)$ massimale in $S$. \step{}{Dim. che $M=K$} \begin{prova} \eal{&(M,\F)\in S \>\sist{F\SC M \SC K\\ \F:M\longrightarrow \ove F} } Poiche' $M\( K$, basta dimostrare che $K \( M$. Supponiamo per assurdo che $K\nsubseteq M$, ovvero che $\exists \a\in K:\;\;\a\notin M$. \eal{&\a \notin M \> M \subsetneq M(\a) } \def\df{{\tilde{\F}}} \def\bb{{\ove \b}} Cercheremo adesso un elemento $(M(\a),f)$ che contrasta con la massimalita' di $(M,\F)$.\\ Osserviamo che \eal{&\sist{F\SC K \T{ algebrica}\\ F\SC M \SC K } \ubrace{\>}{\see{algebricasseognipezzoalgebrico}} M\SC K\T{ algebrica}\> \a\in K\T{ e' algebrico su $M$ }\;\;(*)\\ &\F_{|F}=\id,\;\;1\ubrace{\in}{\see{defanello}} M \> \Im \F=\F(M) \neq \pgra{0} \ubrace{\>}{\AI{fomodacampoadanelloestiniettiva}} \F\T{ e' una immersione}\;\;(**) } Sia data la seguente legge: \eal{&f:M(\a)\longrightarrow \ove F\\ &h(x)\in M[x]\\ &f(h(\a)) = \df(h)(\bb)\\ &\T{dove }\\ &\qq \df:M[x]\longrightarrow \ove F[x]\T{ e' l'indotto di }\F \T{ \vedi{omomorfismoindotto}}\\ &\qq p(x)=\pmin{\a}{M}\;\;\T{ che esiste per la $(*)$}\\ &\qq \bb\T{ radice di }\df(p) } Per il lemma \see{lemmafdellachiusura} si ha che \eal{&f\T{ e' un omomorfismo t.c. }f_{|M}=\F\;\;(1)} Quindi \eal{&\sist{f:M(\a)\longrightarrow \ove F\T{ omomorfismo}\\ f_{|F} \ubrace{=}{(1),\;F\(M} \F_{|F}=\id\\ F\SC M \SC M(\a) \ubrace{\SC}{M\(K,\;\a\in K} K } \> (M(\a),f)\in S\\ &\sist{M\( M(\a)\\ f_{|M}=\F\\ (M,\F),(M(\a),f)\in S } \> (M,\F)\le (M(\a),f) \ubrace{\>}{(M,\F)\T{ massimale }} (M,\F) = (M(\a),f) \> M=M(\a) \> \a\in M } e questo e' assurdo contro $\a\notin M$.\\ \lineapiccola \end{prova} Abbiamo cosi' visto che \eal{&K=M\\ &\F:M=K\longrightarrow \ove F\\ &\F_{|F}=\id\\ &\F\T{ e' una immersione (per la (**))} } Quindi la $\f$ cercata e' proprio $\F$. \end{prova} \step{}{Dim $3.$} \begin{prova} Supponiamo che $K$ e $\ove F$ siano due chiusure algebriche di $F$, allora \eal{&F\SC K\T{ e' algebrica } } e quindi, per la $2.$ \eal{&\exists \f:K\longrightarrow \ove F\T{ immersione}\T{ t.c. }\f_{|F}=\id } dimostriamo che $\f$ e' surriettiva, ovvero che $\ove F=\Im \f$.\\ \def\g{{\gamma}} Sia $\g\in \ove F$ \eal{&F\SC \ove F\T{ algebrica } \> \exists p(x)=\pmin{\g}{F}\\ &\sist{p(x)\in F[x]\( K[x] \\ K\T{ chiuso }\\ \g\T{ radice di }p(x) }\> \g\in K \simeq \Im \f\\ &\qq \> \ove F \( K \simeq \Im \f\\ &F\SC \ove F \SC K \> \dim_{F}\ove F \le \dim_F K \ubrace{=}{(*)} \dim_F \Im \f\\ &F\( \Im \f\( \ove F \> \dim_{F}\ove F \ge \dim_F \Im \f\\ &\sist{\Im \f\( \ove F\\ \dim_{F}\ove F= \dim_F \Im \f } \> \ove F=\Im \f } Nota(*)\;\;$\f_{|F}=\id \> F\( \Im \f$, quindi $\Im \f$ e' un $F$ spazio vettoriale, inoltre $\f$ e' un applicazione lineare perche' $\f_{|F}=\id$ (\vedi{omomoestapplicazlineare}). \end{prova} \end{proof} \begin{exemp}\qq\\ \begin{enumerate} \item $\C=\ove \R$, infatti \eal{&\R \ubrace{\SC}{\see{expestfinita}} \C \T{ e' finita } \ubrace{\>}{\see{thmfinitassealgebricaefingen}} \R \SC \C \T{ algebrica }\\ &\C \T{ e' chiuso \vedi{Cestchiuso}} } quindi $\C=\ove \R$. \item $\C \neq \ove \Q$, infatti, anche se $\C$ e' chiuso, l'estensione $\Q \( \C$ non e' algebrica: basta considerare $e,\pi$ che sono trascendenti su $\Q$. \end{enumerate} \end{exemp} \begin{prop}\label{condizioneperchiusura} Sia \begin{enumerate} \item $F\SC K$ una estensione algebrica \item $\forall f(x)\in F[x]:\deg f(x) \ge 1 \;\;\;f(x)\T{ si spezza linearmente in }K$ \end{enumerate} allora \eal{&K=\ove F } \end{prop} \begin{proof} Poiche' per Hp $F\SC K$ e' una estensione algebrica, basta dimostrare che $K$ e' algebricamente chiuso. Usiamo direttamente la definizione.\\ Sia $f(x)\in K[x]:\;\deg f(x) \ge 1 $. Per la prop \see{esistecampocontenteradicedifx}, si ha \eal{&\exists L'\T{ campo}:\;K\SC L',\;\exists \a \in L':\;f(\a)=0\\ &\T{Sia }L=K(\a)\\ &f(\a)=0 \> \a \T{ algebrico in }K \ubrace{\>}{\see{elemalgebriciimplicaestensalgebrica}} K\SC K(\a)\T{ algebrica }\\ &\sist{F\SC K \SC K(\a)\\ F\SC K \T{ algebrica }\\ K\SC K(\a)\T{ algebrica }} \ubrace{\>}{\see{algebricasseognipezzoalgebrico}} F\SC K(\a) \T{ algebrica }\> \a\T{ algebrico in }F \> \exists p(x):=\pmin{\a}{F}\\ &p(x)\in F[x] \ubrace{\>}{\T{Hp}} p(x)=\prod_{i=1}^{\deg p}(x-\a_i),\;\;\a_i\in F\;\;\forall i=1,\dots,\deg p\\ &p(\a)=0\>\exists \alpha_j:\;\a-\a_j =0 \= \a=\a_j\in F } Abbiamo cosi' trovato un $\a\in F:\;f(\a)=0$. \end{proof} \begin{prop}\label{chiusureestensionealgebrica} Sia $F\SC K$ una estensione, allora \eal{&F\SC K\T{ algebrica } \> \ove K = \ove F } \end{prop} \begin{proof} \eal{& \ubrace{F\SC K}{\T{algebrica}},\; \ubrace{K\SC \ove K }{\T{algebrica}} \ubrace{\>}{\see{algebricasseognipezzoalgebrico}} F\SC \ove K \T{ algebrica } } Allora, poiche' $\ove K$ e' chiuso, per definizione si ha che $\ove K$ e' la chiusura algebrica di $F$, ovvero $\ove k= \ove F$. \end{proof} \begin{prop}\label{chiusuraesplicita} Sia $F\SC K$ estensione, si ha \eal{&K\T{ chiuso } \> \ove F = \pgra{\a\in K \;|\; \a \T{ algebrico su } F}} \end{prop} \begin{proof} Sia $G$ il secondo insieme. Dobbiamo dimostrare che $\ove F=G$.\\ Intanto, per la prop \see{chiusuraestcampo}, $G$ e' un campo. Sia $f(x)\in G[x]:\;\deg f(x)\ge 1$, \eal{&f(x)\in G[x] \( K[x] \ubrace{\>}{K\T{ chiuso}} \exists \a \in K:\;f(\a)=0\\ &a \in F \> a \T{ algebrico in F (basta considerare $x-a$)} \> a \in G\\ &\qq \> F\(G\\ &F\SC G\T{ e' per costruzione algebrica} \\ &f(x)\in G[x],\;f(\a)=0\> \a\T{ algebrico in } G \ubrace{\>}{\see{elemalgebriciimplicaestensalgebrica}} G\SC G(\a) \T{ algebrica}\\ &F\SC G\SC G(\a) \ubrace{\>}{\see{algebricasseognipezzoalgebrico}} F\SC G(\a) \T{ algebrica} \> \a \T{ algebrico su }F \> \a \in G } In definitiva, preso un $f(x)\in G[x]$ troviamo $\a\in G:\;f(\a)=0$. Quindi $G$ e' chiuso. \eal{&\sist{G\T{ chiuso}\\ F\SC G\T{ algebrica}} \> G=\ove F } \end{proof} \begin{exemp}\label{chiusuradiQ} \eal{&\ove \Q = \pgra{\a\in \C\;|\;\a\T{ algebrico in }\Q}} Basta applicare la prop \see{chiusuraesplicita} considerando l'estensione $\Q \SC \C$, e il thm \see{Cestchiuso}. \end{exemp} \section{Campi finiti} \begin{defn} Un campo $F$ e' finito $\definizione{\=}$ $|F| < \8$ \end{defn} \begin{prop} \label{ordineKestensionefinitacampofinito} Sia $F\SC K $ una estensione, $p,n\in \N$, allora \eal{&\sist{|F|=p\\ \dim_F K=n} \> |K|=p^n } \end{prop} \begin{proof} \eal{&F^n\T{ e' uno spazio vettoriale su }F\\ & \dim_FK =n = \dim_F F^n \ubrace{\>}{\AL{spazidiugualdimensionesonoisomorfi} } K_{F}\simeq F^n \> |K_{F}| = |F^n |=|F|^n=p^n } \end{proof} \begin{prop} \label{ordinecampofinito} \eal{&K\T{ campo finito } \> \sist{\ch K =p\\ |K|=p^n,\;\;p\T{ primo, }n\in \mathbb{N}^*} } Non vale il viceversa: \eal{&\ch K = p \not\Rightarrow K\T{ finito } } \end{prop} \begin{proof} \BEGINpnecessaria \eal{ &K\T{ campo } \> \ch K=0 \| \ch K =p \;\;(1)\\ &\ch K =0 \ubrace{\>}{\see{sottocampofondesplicito}}\Q \immerso K \T{ assurdo contro $K$ finito }\\ &\ch K \neq 0 \ubrace{\>}{(1)} \ch K=p \ubrace{\>}{\see{sottocampofondesplicito}} \Z_p\SC K\\ &K\T{ finito } \> n=\dim_{\Z_p} K < \8\\ &\sist{|\Z_p|=p\\ \Z_p\( K\T{ estensione finita},\;\;\dim_{\Z_p}K=n} \ubrace{\>}{\see{ordineKestensionefinitacampofinito}} |K|=p^n } \END \step{}{Dim $\not\Leftarrow$} \begin{prova} \eal{&\Z_p(x),\;\;\T{ con $x$ indeterminata, o elemento trascendente su $\Z_p$}\NN |\Z_p(x)| \ubrace{\ge}{\vedi{estensionedicampiesplicita}} |\Z_p[x]| =\8\NN \ch \Z_p(x) \ubrace{=}{\see{ereditariacaratteristica}} \ch \Z_p = p } Abbiamo cosi' trovato un campo infinito con caratteristica $p$. \end{prova} \end{proof} \begin{prop}\label{spezzdicampofinito} Sia $K$ campo. \eal{&|K|=p^n,\;\;p\T{ primo }\> K=\spezz{x^{p^{n}}-x}{\Z_p} =\pgra{\a\;|\;\a^{p^n}-\a=0} } \end{prop} \begin{proof} Sia $f(x)=x^{p^{n}}-x\in \Z_p$. Consideriamo il gruppo moltiplicativo $(K^*,\.)$ \eal{&|K^*|=p^n-1\\ &\a \in K^* \ubrace{\>}{\AII{corlagrangeaallaennesima}} \a^{|K^*|}=1 \= \a^{p^n-1}=1\= \a^{p^n}=\a \= f(\a)=0\\ &\forall \a \in K^* \;f(\a)=0\;\;(1)\\ &f(0)=0\\ &\qq \> K=\pgra{\a_i\;|\;f(\a_i)=0\;\;\forall i=1,\dots,\deg f(x)=p^n}\;\;(2)\\ &(1) \ubrace{\>}{\T{Ruffini}} x-\a\div f(x)\;\;\forall \a \in K^*\;\;(3)\\ &\deg f(x) = p^n \ubrace{\>}{(3)} f(x)=\prod_{i=1}^{p^n}(x-\a_i)\;\;(4)\\ &|K|=p^n < \8 \ubrace{\>}{\see{ordinecampofinito}} \ch K =p \ubrace{\>}{\see{sottocampofondesplicito}} \Z_p\( K \ubrace{\>}{(2)} K=\Z_p(\a_1,\dots,\a_{p^n})\;\;(2.2)\\ &(2.2),\;(4) \> K=\spezz{f(x)}{\Z_p} } \end{proof} \begin{cor}\label{campifinitiisomorfi} Siano $K,K'$ campi, allora \eal{&|K|=|K'|< \8 \> K\simeq K'} \end{cor} \begin{proof} \eal{&|K|=|K'| <\8 \ubrace{\>}{\see{ordinecampofinito}} |K|=|K'|=p^n\\ &|K|=p^n,\;|K'|=p^n \ubrace{\>}{\see{spezzdicampofinito}} K=\spezz{x^{p^n}-x}{\Z_p} = K' \ubrace{\>}{\see{unicitacampospezz}} K\simeq K' } \end{proof} \begin{prop} \label{cometrovareKpn} \def\x{{\ove x}} Sia $p,n\in \N^*,\;\;p\T{ primo }$. Sia $f(x)\in \Z_p[x]$, $n=\deg f(x)$ \eal{&f(x) \T{ irriducibile in }\Z_p \> \sist{ \frac{\Z_p[x]}{(f(x))}\simeq\Z_p(\a)\;\;\T{ e' un campo }\\ |\Z_p(\a)| = p^n\\ \dim_{\Z_p}\Z_p(\a)=n } } dove $\a$ e' una radice di $f(x)$. Nota: questa proposizione non garantisce l'esistenza di un campo $K$ con $p^n$ elementi, perche' a priori potrebbero non esistere $f(x)$ irriducibili in $\Z_p[x]$, di grado $n$. \end{prop} \begin{proof} Poiche' $n>0$, possiamo considerare $f(x)=ag(x),\;\;a,g(x)\in \Z_p[x],\;\;g(x)$\T{ monico}. \eal{&f(x)\T{ irriducibile in }\Z_p \> g(x)\T{ irriducibile in }\Z_p\\ &\T{Per la prop \see{esistecampocontenteradicedifx} } \exists \a:\;g(\a)=0\\ &\sist{g(x)\T{ irriducibile in }\Z_p\\ g(\a)=0\\ g(x)\T{ monico}} \ubrace{\>}{\see{carattpolinomiominimo}} g(x)=\pmin{\a}{\Z_p},\;\;\frac{\Z_p[x]}{(g(x))}\simeq \Z_p[\a] \ubrace{=}{\see{FsupxisomFa}} \Z_p(\a)\qq\T{ che e' un campo}} Osserviamo che $(f(x))=(ag(x))=(g(x))$. Infine, \eal{&g(x)=\pmin{\a}{\Z_p},\;\deg g(x)=\deg f(x)= n\>\\ & \ubrace{\>}{\see{propalphaalgebricosseFalphafinita}} \Z_p(\a)= \Ll{1,\a,\dots,\a^{n-1}}_{\Z_p}= \pgra{a_0+a_1\a+\dots+a_{n-1}\a^{n-1}\;|\;a_i\in\Z_p} } Quindi, poiche' ogni $a_i$ puo' assumere $p$ diversi valori, si ha \eal{&|\Z_p(\a)|=p^n } \end{proof} \begin{prop}\label{esistecampopn} \def\x{{\ove x}} Sia $p,n\in \N^*,\;\;p\T{ primo }$. Si ha \eal{&\exists K\T{ campo: }|K| = p^n} In particolare, usando la prop \see{cometrovareKpn}, se $f(x)\in \Z_p[x]$ e' irriducibile, con $\deg f(x)=n$, un tale $K$ sara' \eal{&K=\Z_p(\a),\;\;\T{ con }f(\a)=0 } \end{prop} \begin{proof} \def\x{{\ove x}} Sia \eal{&f(x)=x^{p^n}-x\in \Z_p[x]\\ &L=\spezz{f(x)}{\Z_p}\\ &K=\pgra{\a\in L\;|\;f(\a)=0} } \step{}{$|K|=p^n$} \begin{prova} Consideriamo il derivato di $f(x)$ (\vedi{derivatapolinomio}) per controllare le radici multiple di $f(x)$: \eal{&f'(x)= p^n x^{p^n-1}-1 \ubrace{=}{\T{siamo in }\Z_p:\;p=0} -1\\ &f'(x) =-1 \neq 0 \;\;\forall x\in \Z_p \ubrace{\>}{\see{critradicimultiple}} \mu_f(\a)=1 \;\;\forall \a\in K\\ &\> \T{tutte le $p^n$ radici di $f(x)$ sono distinte } \> |K|=p^n } \end{prova} \step{}{$K$ e' un campo} \begin{prova} Dimostriamo che $K\SC L$. Per la prop \see{carattsottocampo}, bastera' dimostrare che \eal{&(K,+)\le (L,+),\;\;(K^*,\.)\le (L^*,\.) } \step{}{$(K,+)\le (L,+)$} \begin{prova} Poiche' $K$ e' finito, per la prop \AII{sottogruppo finito!caratterizzazione}, basta dimostrare che \eal{&\forall a,b\in K\;\;a+b\in K} Si ha \eal{&a,b\in K \> f(a)=f(b) = 0 \= a^{p^n}-a=b^{p^n}-b=0\=\sist{a^{p^n}=a\\ b^{p^n}=b }\;\;(1)\\ &(a+b)^p \ubrace{=}{\see{binominzp}} a^p+b^p\\ &(a+b)^{p^2}=\pton{(a+b)^p}^p=(a^p+b^p)^p \ubrace{=}{\see{binominzp}} a^{p^2}+b^{p^2}\\ &\vdots\\ & (a+b)^{{p^n}}= a^{p^n}+b^{p^n}\\ &\\ &(a+b)^{{p^n}} = a^{p^n}+b^{p^n} \ubrace{=}{(1)} a+b\\ &(a+b)^{{p^n}} - (a+b)=0\> f(a+b)=0\> a+b\in K } \end{prova} \step{}{$(K^*,\.)\le (L^*,\.)$} \begin{prova} Poiche' $K^*$ e' finito, per la prop \AII{sottogruppo finito!caratterizzazione}, basta dimostrare che \eal{&\forall a,b\in K^*\;\;ab\in K^*} Si ha \eal{&(ab)^{p^n} \ubrace{=}{L\T{ e' commuttativo}} a^{p^n}b^{p^n} \ubrace{=}{(1)} ab\\ &(ab)^{p^n}-ab=0\= f(ab)=0\> ab\in K^* } \end{prova} \end{prova} \end{proof} \begin{prop}\label{finitoestciclico} Sia $K$ campo, \eal{&|K| < \8 \> (K^*,\.)\T{ e' un gruppo ciclico}} \end{prop} \begin{proof} Sia $m=\mcm\pgra{o(a)\;|\;a\in K^*}$. Sia $h=|K^*|$ Consideriamo $g(x)=x^m-1$. \eal{&\T{Per costruzione }\forall a\in K^*\exists \lambda_a:\;m=\lambda_a o(a)\\ &a^m = a^{\lambda_ao(a)}=1\\ &g(a)=a^m-1=0\;\;\forall a\in K^* \ubrace{\>}{\AI{alpiunradiciperRuffini}} h \le \deg g(x) = m\;\;(1)\\ &a^{h} \ubrace{=}{\AII{corlagrangeaallaennesima}} 1\;\;\forall a\in K^* \> o(a)\div h\;\;\forall a\in K^* \> m\div h \> m\le h\;\;(2)\\ &(1),(2) \> h=m\\ &\sist{(K^*,\.)\T{ abeliano}\\ m=\mcm\pgra{o(a)\;|\;a\in K^*} \ubrace{\>}{\AIIST{esistecconordinemcm}} \exists c\in K^*:\;o(c)=m=h=|K^*| \> K^*=\gen c } } \end{proof} \begin{prop}\label{esistefirriducibileinZpdigradon} Sia $p$ primo \eal{&\forall n\in \mathbb{N},\;n\ge 2\;\;\exists f(x)\in \Z_p[x]\T{ irriducibile,\;\;}\deg f(x)=n} \end{prop} \begin{proof} Per la prop \see{esistecampopn}, \eal{&p\T{ primo}, n\in \mathbb{N} \ubrace{\>}{\see{esistecampopn}} \exists K\T{ campo:\;}|K|=p^n \ubrace{\>}{\see{spezzdicampofinito}} K=\spezz{x^{p^{n}}-x}{\Z_p}\;\;(1)\\ &\sist{|\Z_p|=p\\ (1)\>\Z_p\SC K\\ m=[K:\Z_p] } \ubrace{\>}{\see{ordineKestensionefinitacampofinito} } |K|=p^m \ubrace{=}{(1)} p^n \ubrace{\>}{p>1} n=m=[K:\Z_p]\;\;(2)\\ &\sist{\Z_p\T{ finito}\\ (1)\> \Z_p\SC K\T{ algebrica}} \ubrace{\>}{\see{separabileseFfinitoFKalgebrica}} \Z_p\SC K \T{ separabile} \;\;(3)\\ &\Z_p\SC K\T{ finita} \ubrace{\>}{\see{thmfinitassealgebricaefingen}} \Z_p\SC K\T{ finitamente generata }\;\;(4) \\ &(3),(4) \ubrace{\>}{\see{FKfingensepestsemplice} } K= \Z_{p}(\a)\\ &n \ubrace{=}{(2)} [K:\Z_p] = [\Z_p(\a):\Z_p] \ubrace{=}{\see{propalphaalgebricosseFalphafinita}} \deg \pmin{\a}{\Z_p}\\ &\deg \pmin{\a}{\Z_p} = n } E poiche' il polinomio minimo e' irriducibile, abbiamo la tesi. \end{proof} \begin{prop}\label{CostruzioneCampiFiniti} I campi finiti si possono costruire concretamente. Per costruire il campo $K$ con $|K|=q=p^n$, allora procediamo cosi': \begin{enumerate} \item Cerchiamo $f(x)$ polinomio irriducibile monico in $\Z_p[x]$, con $\deg f(x)=n$. Tale $f(x)$ esiste per la \see{esistefirriducibileinZpdigradon}.\\ Per trovarlo si puo' procedere per forza bruta perche' $|\Z_p[x]|<\8$ \item Allora, per la $\see{cometrovareKpn}$ possiamo porre: \eal{&K=\Z_p(\a) = \Z_p[\a] \ubrace{=}{\see{lemalphaalgebricoimplicaFqalphamodounico}} \pgra{a_0+a_1 \a + a_2\a^2+\dots+a_{n-1}\a^{n-1}\;|\;a_i\in \Z_p}\;\;(*) } \item Infine, per la $(*)$ possiamo rappresentare $K$ come lo spazio vettoriale dei polinomi con grado $\le n-1$: \eal{&K\simeq \Z_p[x]_{n-1} } e in particolar modo come lo spazio vettoriale $\Z_p^n$.\\ Quindi, $K$ diventa semplicemente un insieme di $n$-uple di $\Z_p$. (nota\footnote{chiaramente il prodotto tra due tuple e' il prodotto polinomiale con resto, ovvero \eal{&c=(c_0,\dots,c_{n-1}),\;\;d=(d_0,\dots,d_{n-1})\NN c(x)= c_0+c_1x+\dots+c_{n-1}x^{n-1}, \;\; d(x)= d_0+d_1x+\dots+d_{n-1}x^{n-1}\NN c d = (\T{i coefficienti di }c(\a)d(\a)) }}) \end{enumerate} \end{prop} \subsection{Proprieta' di $x^{p^n}-x$} \begin{prop}\label{fxdividexpnx} Sia $p$ un primo, \eal{&f(x)\in \Z_p[x] \T{ monico, irriducibile, }\deg f=n \> f(x) \div x^{p^n}-x } \end{prop} \begin{proof} \def\a{{\alpha}} \def\b{{\beta}} Sia $g(x)=x^{p^n}-x$.\\ Sia $\a\in \spezz{f(x)}{\Z_p}$ una radice di $f(x)$. \eal{&f(x)\in \Z_p[x]\T{ irrid. } \ubrace{\>}{\see{cometrovareKpn}} |\Z_p(\a)| = p^n \ubrace{\>}{\see{spezzdicampofinito}} \Z_p(\a)=\pgra{\b\;|\;\b^{p^n}-\b=0} \> g(\a)=\a^{p^n}-\a=0\;\;(1)\NN \sist{ f(x)\in \Z_p[x] \T{ monico, irriducibile}\\ f(\beta)=0 } \ubrace{\>}{\see{carattpolinomiominimo}} f(x)=\pmin{\a}{\Z_p} \;\;(2)\NN (1),(2) \ubrace{\>}{\see{defpolinomiominimo}} f(x)\div g(x) } \end{proof} \begin{prop}\label{xpnxseparabile} \eal{&x^{p^n}-x\T{ e' separabile }} \end{prop} \begin{proof} Sia $K$ un campo di $p^n$ elementi (esiste per la \see{esistecampopn}). Sia $g(x)=x^{p^n}-x$ \eal{&|K|=p^n \ubrace{\>}{\see{spezzdicampofinito}} p^n=|K| = |\spezz{g(x)}{\Z_p}| \ubrace{=}{\see{spezzdicampofinito}} |\pgra{\a\;|\;g(\a)=0}| \> |\pgra{\a\;|\;g(\a)=0}|=p^n = \deg g(x) \> g(x)\T{ e' separabile } } \end{proof} \begin{lem} \label{lemmaxpdxdividexpnx} \eal{&d\div n \> x^{p^d}-x \div x^{p^n}-x} \end{lem} \begin{proof} Vale la seguente proprieta': \eal{&a\div b \> (x^a-1)\div (x^b-1)\;\;(1)} infatti \eal{&a\div b \> b=am\NN x^{b}-1 = x^{am}-1 = (x^a-1)(x^{a(m-1)} + x^{a(m-2)} + \dots + 1 ) } Quindi \eal{&d\div n \> \ubrace{\>}{(1)} (p^d-1)\div (p^n-1) \ubrace{\>}{(1)} x^{p^d-1}-1\div x^{p^n-1}-1 \ubrace{\=}{\T{moltiplicando per $x$}} x^{p^d}-x \div x^{p^n}-x } \end{proof} \begin{thm}\label{fattoriirriducibilidiZp} Sia $p$ primo e sia \eal{&x^{p^n} -x = f_1(x)f_2(x)\cdots f_h(x),\;\T{ con } f_i(x)\in \Z_p[x] \T{ monico, irriducibile } \forall i } la decomposizione in fattori irriducibili di $x^{p^n}-x$, allora \eal{&\pgra{f_i(x)\;|\;i=1,\dots,h}=\pgra{f(x)\;|\;f(x)\in \Z_p[x] \T{ irriducibile, monico, }\deg f(x)\div n }} Inoltre, i due insiemi hanno cardinalita' $h$. \end{thm} \begin{proof} \def\a{{\alpha}} \def\b{{\beta}} Sia $A$ il primo insieme e $B$ il secondo.\\ Sia $g(x)=x^{p^n}-x$. Sia \eal{&K=\spezz{x^{p^n}-x}{\Z_p} \ubrace{=}{\see{spezzdicampofinito}} \pgra{\alpha\;|\;\a^{p^n}-\alpha=0}} \step{}{Dim. $A\( B$} \begin{prova} \eal{&f_i(x) \div g(x)=\prod_{\a\in K}{x-\alpha} \> \exists \alpha\in K:\;\;f_i(\alpha)=g(\a)=0\NN f_i\T{ irrid. }, f_i(\alpha)=0 \ubrace{\>}{\see{cometrovareKpn}} [\Z_p(\a):\Z_p]=d=\deg f(x)\NN \Z_p \SC \Z_p(\a) \ubrace{\SC}{\a\in K} K \ubrace{\>}{\see{transitivitagrado}} d \div [K:\Z_p]=n \> f_i(x)\in B } \end{prova} \step{}{$B\(A $} \begin{prova} Sia $f(x)\in B, \deg f= d$, \eal{&f(x) \T{ monico, irriducibile }, \deg f= d \ubrace{\>}{\see{fxdividexpnx}} f(x)\div x^{p^d}-x\ubrace{\div }{\see{lemmaxpdxdividexpnx}} x^{p^n}-x\NN f(x)\div g(x),\;f(x)\T{ monico, irrid. } \> f(x)\in A } \end{prova} \step{}{$|A|=|B|=h$} \begin{prova} Per la \see{xpnxseparabile} sappiamo che $g(x)$ e' separabile. Se per assurdo $\exists i \neq j: \;\;f_i(x)=f_j(x)$ allora \eal{&f_i(x)f_j(x)=f_i(x)^2 \div g(x) \ubrace{\>}{f_i(x)\T{ fattore irrid di }g(x)} \exists \a:\;\;f_i(\a)=f_i(\a)^2=g(\a)=0\> \mu_g(\a)\ge 2\NN \T{ assurdo contro }g(x) \T{ separabile } } Quindi $|A|=h$. \end{prova} \end{proof} \begin{cor}\label{formulanumeroirriducibili} \eal{&\sum_{d:\;d\div n}d\pass{\pgra{f(x)\in \Z_p[x],\T{ monico, irrid, }\deg f=d }} = p^n } \end{cor} \begin{proof} Utilizziamo il thm \see{fattoriirriducibilidiZp}, \eal{&p^n=\deg(x^{p^n}-x)= \deg\pton{f_1(x)\dots f_h(x)} = \sum_{i=1}^h \deg f_i \ubrace{=}{\see{fattoriirriducibilidiZp}} \sum_{f(x)\in \Z_p[x]\T{ irrid, monico, }d=\deg f(x)\div n}d =\NN = \sum_{ d:\;d\div n} \sum_{f(x)\in \Z_p[x]\T{ irrid, monico, },\;\deg f(x)=d} d = \sum_{ d:\;d\div n} \pass{\pgra{f(x)\in \Z_p[x],\T{ monico, irrid, }\deg f=d }}} \end{proof} \begin{prop} Posto \eal{&G_d = \pgra{f(x)\in \Z_p[x],\T{ monico, irrid, }\deg f=d }\NN g_d=|G_d|} si ha \eal{&g_n= \frac{p^n-\sum_{d\div n,\;d g_n=\frac{ p^n - \sum_{d:\;d\div n,\;d}{\see{lemmaxpdxdividexpnx}} x^{p^d}-x \div x^{p^n}-x\;\;(1)\NN |F|=p^d \ubrace{\>}{\see{spezzdicampofinito}} F \simeq \pgra{\a\;|\;\a^{p^d}-\a=0}\ubrace{\(}{(1)} \pgra{\a\;|\;\a^{p^n}-\a=0} \ubrace{\simeq}{\see{spezzdicampofinito}} K } \END \BEGINsufficiente Per la prop \see{ordineKestensionefinitacampofinito} si ha \eal{&p^{n}=|K| \ubrace{=}{\see{ordineKestensionefinitacampofinito}} \pton{p^d}^{[K:F]} = p^{d[K:F]} \> n=d[K:F] \> d\div n } \END \end{proof} \subsection{Estensioni separabili} \begin{defn} \ilabel{estensione!separabile} Sia $F$ campo, $f(x)\in F[x]$, $\deg f(x)=n$, $\a_1,\dots,\a_n \in \spezz{f(x)}{F[x]}$ le radici di $f(x)$. Poniamo \eal{&f(x)\T{ e' separabile } \definizione{\=} \a_i \neq \a_j\;\;\forall i \neq j } In altre parole, $f(x)$ e' separabile se tutte le sue radici sono distinte. O equivalentemente, se $f(x)$ non ha radici multiple.\\ Sia $F\SC K$ una estensione, $\a\in K$. Poniamo \eal{ &\a\T{ e' separabile in }F \definizione{\=} \a\T{ e' algebrico su }F,\;\;\pmin{\a}{F}\T{ e' separabile}\\ &F\SC K\T{ e' una estensione separabile } \definizione{\=} F\SC K\T{ e' algebrica, }\; \forall \a \in K \;\;\a\T{ e' separabile} } \end{defn} \begin{prop}\label{divalloraseparabile} Sia $F[x]$ campo, $f(x),g(x)\in F[x]$, si ha \eal{&\sist{f(x)\T{ separabile }\\ g(x)\div f(x)} \> g(x)\T{ separabile}} \end{prop} \begin{proof} \eal{&f(x)=\prod_{i=1}^{n}(x-\a_i)\\ &f(x)\T{ separabile} \> \a_i \neq \a_j\;\;\forall i \neq j\;\;(1)\\ &g(x)\div f(x) \> \exists i_1,\dots,i_r:\;\;g(X)=\prod_{j=1}^{r}(x-\a_{i_j}) \ubrace{\>}{(1)} g(x)\T{ separabile} } \end{proof} \begin{prop}\label{MCDinunaestensione} Sia $F\SC K$ una estensione, $f(x),g(x)\in F[x]$. Siano inoltre \eal{&d_1(x)=\MCD(f(x),g(x))\in F[x]\T{ il massimo comune divisore \underline{in $F[x]$}, ovvero }\\ &\qq d_1(x)\div f(x),\;d_2(x)\div g(x) \T{ in }F[x], \T{ ovvero }\\ &\qq \sist{f(x)=\lambda(x)d_1(x),\;\;\lambda(x),d_1(x)\in F[x]\\ g(x)=\mu(x)d_2(x),\;\;\mu(x) \in F[x]}\\ &d_2(x) = \MCD(f(x),g(x))\in K[x] } allora \eal{&d_1(x)=d_2(x)} In pratica, il $\MCD$ non varia all'interno di una estensione.\\ \end{prop} \begin{proof} Basta osservare che nei dominii euclidei vale l'algoritmo di divisione. Quindi, possiamo usare l'algoritmo euclideo per il calcolo del MCD.\\ Le operazioni eseguite dall'algoritmo rimangono tutte in $F[x]$ (sono tutte divisioni con resto). Quindi, anche quando calcoliamo il MCD in $K[x]$, in realta' non stiamo mai uscendo da $F[x]$. \end{proof} \begin{prop}\label{irridestseparabilesegprimonozero} Sia $F$ campo, \eal{&\sist{g(x)\in F[x]\T{ e' irriducibile}\\ g'(x)\nequiv 0 } \> g(x)\T{ e' separabile} } dove con $g'(x)$ indichiamo la derivata di $g(x)$ (\vedi{derivatapolinomio}). \end{prop} \begin{proof} Sia $K=\spezz{g(x)}{F}$. Supponiamo per assurdo che $g(x)$ abbia una radice multipla $\a\in K$. Sia \eal{&g'(x)\T{ il derivato di } g(x)\\ &d(x)=\MCD(g(x),g'(x))\in F[x] } Si ha \eal{&\a\T{ radice multipla } \> \mu(\a) > 1 \ubrace{\>}{\see{critradicimultiple}} g'(\a)=0\\ &g(\a)=0,\;\;g'(\a)=0 \> (x-\a)\div g(x),\;\;(x-\a)\div g'(x) \ubrace{\>}{(*)} (x-\a)\div d(x) \> \deg d(x) \ge 1 \;\;(1)\\ } (*) $x-\a\in K[x]$, quindi $x-\a$ divide il $MCD$ calcolato in $K[x]$, che per la prop \see{MCDinunaestensione} coincide con $d(x)$. \eal{&d(x)\div g(x) \> g(x)=d(x)\lambda(x),\;\;\lambda(x)\in F[x]\>\\ &\ubrace{\>}{g(x) \T{ irriducibile in }F[x] } d(x)\T{ invertibile} \| \lambda(x)\T{ invertibile} \= d(x)\equiv c \| \lambda(x)\equiv k \> \deg d(x)=0 \| d(x)=\frac{1}{k}g(x) \> \\ &\ubrace{\>}{(1)} d(x)=\frac{1}{k}g(x)\;\;(2)\\ &d(x)\div g'(x) \ubrace{\=}{(2)} \frac{1}{k}g(x)\div g'(x) \> \deg g(x) \le \deg g'(x)\;\;(2.1)\\ &g'(x) \T{ derivata di }g(x) \ubrace{\>}{\see{gradoderivata}} g'(x)\equiv 0 \| \deg g'(x) < \deg g(x)\>\\ & \ubrace{\>}{g'(x)\nequiv 0\T{ per Hp}} \deg g'(x)<\deg g(x)\T{ assurdo contro $(2.1)$} } \end{proof} \begin{prop}\label{inchzeroirridestseparabile} Sia $F$ campo, \eal{&\sist{\ch F=0\\g(x)\in F[x]\T{ e' irriducibile}} \> g(x)\T{ e' separabile} } \end{prop} \begin{proof} Sia $K=\spezz{g(x)}{F}$. Per la proposizione \see{irridestseparabilesegprimonozero}, basta dimostrare che $g'(x)\nequiv 0$. Supponiamo per assurdo $g'(x)\equiv 0$. \eal{&n=\deg g(x)\\ &g(x)\T{ irriducibile} \> g(x)\nequiv =0,\;\;n\ge 1 \\ &g(x)= \sum_{i=0}^n a_ix^i\> g'(x) = \sum_{i=1}^{n}ia_ix^{i-1} = a_1+2a_2x+\dots+ na_nx^{n-1}\\ &g'(x)\equiv 0 \= a_1=2a_2=\dots=na_n=0 \= \sist{a_1=\\ 2=0 \| a_2=0\\ \dots\\ n=0\| a_n=0 }\;\;(1)\\ &g(x)\nequiv 0 \> \exists j:\;a_j \neq 0 \ubrace{\>}{(1)} j=0 \= \ubrace{1+1+\dots+1}{\T{$j$-volte}}=0 \ubrace{\>}{\see{defsemplicedicaratteristica}} \ch F \neq 0 } assurdo contro ipotesi.\\ \lineapiccola \end{proof} \begin{prop}\label{inchzeroestensioneseparabile} \label{separabileseFcharzeroFKalgebrica} Sia $F$ campo. \eal{& \sist{\ch F =0\\ F\SC K \T{ estensione algebrica} } \> F\SC K \T{ e' separabile } } \end{prop} \begin{proof} Sia $\a \in K$ \eal{&F\SC K\T{ algebrica } \> \a\T{ algebrico in }F\> \exists f(x)=\pmin{\a}{F}\\ &f(x)=\pmin{\a}{F} \ubrace{\>}{\see{carattpolinomiominimo}} f(x)\T{ irriducibile in }F\;\;(1)\\ &\sist{\ch F =0 \\ (1)} \ubrace{\>}{\see{inchzeroirridestseparabile}} f(x)\T{ e' separabile} } Quindi per definizione e per l'arbitrarieta' di $\a$, $F\SC K$ e' separabile. \end{proof} \begin{prop}\label{inchpgirridconpnnestirrid} Sia $F$ campo, $g(x)\in F[x]$, $n=\deg g(x)$. Si ha \eal{& \sist{\ch F=p\\ g(x)\T{ irriducibile in }F[x]\\ p \ndiv n} \> g(x)\T{ e' separabile} } \end{prop} \begin{proof} Sia $K=\spezz{g(x)}{F}$. Per la proposizione \see{irridestseparabilesegprimonozero}, basta dimostrare che $g'(x)\nequiv 0$. \begin{prova} Supponiamo per assurdo $g'(x)\equiv 0$. \eal{ &g(x)\T{ irriducibile} \> g(x)\nequiv =0,\;\;n\ge 1 \\ &g(x)= \sum_{i=0}^n a_ix^i\> g'(x) = \sum_{i=1}^{n}ia_ix^{i-1} = a_1+2a_2x+\dots+ na_nx^{n-1}\\ &g'(x)\equiv 0 \= a_1=2a_2=\dots=na_n=0 \= \sist{a_1=\\ 2=0 \| a_2=0\\ \dots\\ n=0\| a_n=0 }\;\;(1)\\ &\deg g(x) = n \> a_n \neq 0 \ubrace{\>}{(1)} n=0\\ &\sist{n\in \N^*\\ \ch F=p} \ubrace{\>}{\see{prodottonaturalenelsottocampo}} n\in \Z_p \ubrace{\>}{n=0} p\div n } assurdo contro ipotesi. \end{prova} \end{proof} \begin{thm}\label{nonseparabilessefxeqgxp} Sia $F$ campo. $f(x)\in F[x]$ irriducibile. Si ha \eal{&f(x)\T{ e' non separabile } \= \sist{\ch F=p\\ \exists g(x)\in F[x]:\;f(x)=g(x^p)} } con $p$ primo.\\ La condizione $f(x)=g(x^p)$, equivale a dire che $f(x)$ e' del tipo \eal{&f(x)= a_0+a_1 x^p+a_2x^{2p}+\dots + a_nx^{np} = \sum_{i=0}^na_ix^{ip} } \end{thm} \begin{proof} \begin{pnecessaria} \eal{&\T{Per Hp } f(x) \T{ e' irriducibile in }F[x]\;\;(1)\\ &f(x)\T{ non separabile } \ubrace{\>}{\see{inchzeroirridestseparabile}} \ch F \neq 0 \| f(x)\T{ riducibile in }F \ubrace{\>}{(1)} \ch F \neq 0\>\\ &\ubrace{\>}{\see{propcharD}} \ch F =p,\T{ $p$ primo}\\ &f(x) \T{ non separabile } \ubrace{\>}{\see{irridestseparabilesegprimonozero}} f'(x) \equiv 0 \| f(x)\T{ riducibile in }F \ubrace{\>}{(1)} f'(x)\equiv 0 \\ &f(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n\\ &f'(x)=a_1+2a_2x+\dots+na_nx^{n-1} \equiv 0 \= ia_i=0\;\;\forall i= 1,\dots,n \= i=0 \| a_i =0\;\;\forall i=1,\dots,n\;\;(2)\\ &p\ndiv i \= i \neq 0 \ubrace{\>}{(2)} a_i=0\\ &a_i \neq 0\> p\div i\> i=\lambda_ip } Quindi gli unici coefficienti di $f(x)$ sono quelli del tipo $a_{\lambda_ip}$, percio' \eal{&f(x)= \sum_{i:\;a_i \neq 0} a_ix^{i} = \sum a_{\lambda_ip}x^{\lambda_ip}= \sum a_{\lambda_ip}\pton{x^{p}}^{\lambda_i}=g(x^p)\\ &\T{dove }g(x) = \sum a_{\lambda_ip}x^{\lambda_i} } \end{pnecessaria} \begin{psufficiente} \eal{&\ch F=p \ubrace{\>}{\see{prodottonaturalenelsottocampo}} p\in \Z_p \\ &f(x)=g(x^p)\\ &f'(x) = g'(x^p)px^{p-1} \ubrace{\equiv }{p=0\;\;\Z_p} 0 \ubrace{\>}{\see{critradicimultiple} } \forall \a:f(\a)=0\;\;\mu(\a)>1 } \end{psufficiente} \end{proof} \begin{cor} Sia $F$ campo, $\ch F=p,\;\;p$ primo. Si ha \eal{&f(x)\in F[x]\T{ irriducibile} \> \exists g(x)\in F[x]\T{ irriducibile e separabile}:\;\;\exists e\in \mathbb{N}:\;\;f(x)=g(x^{p^{e}})} \end{cor} \begin{proof} Costruiamo la seguente successione di polinomi: Se $f(x)$ e' separabile, basta porre $g(x)=f(x),\;e=0$.\\ Se $f(x)$ non e' separabile, \eal{& \sist{f(x)\in F[x]\T{ irriducibile}\\ f(x)\T{ e' non separabile }} \ubrace{\>}{\see{nonseparabilessefxeqgxp}} \exists g_1(x)\in F[x]:\;f(x)=g_1(x^p) } $g_1(x)$ e' irriducibile, infatti, se per assurdo non lo fosse \eal{&g_1(x)=h(x)k(x) \> f(x)=g_1(x^p)=h(x^p)k(x^p) \> f(x)\T{ riducibile } } assurdo.\\ Se $g_1(x)$ e' separabile, abbiamo finito: $e=1$.\\ Se $g_1(x)$ non e' separabile, allora \eal{& \sist{g_1(x)\in F[x]\T{ irriducibile}\\ g_1(x)\T{ e' non separabile }} \ubrace{\>}{\see{nonseparabilessefxeqgxp}} \exists g_2(x)\in F[x]:\;g_1(x)=g_2(x^p) } e si ha \eal{&f(x)=g_1(x^p) \ubrace{=}{\ch F=p,\;\;\see{binominzp}} g_1(x)^p = g_2(x^p)^p \ubrace{=}{\ch F=p,\;\;\see{binominzp}} \pton{g_2(x)^{p}}^p={g_2(x)^{p^2}}=g_2(x^{p^2})\\ &f(x)=g_2(x^{p^2}) } Se $g_2(x)$ e' separabile, allora $e=2$.\\ Cosi' continuando arriveremo a \eal{&f(x)=g_{j}(x^{p^{j}})\\ &\deg f(x) \ge p^{j}} Se per assurdo, questo procedimento non dovesse avere fine, $f(x)$ avrebbe grado infinito. Assurdo. Quindi $\exists e:\;f(x)=g_{e}(x^{p^{e}})$, $g_e$ separabile. \end{proof} \begin{prop} \label{separabileseFfinitoFKalgebrica} Sia $F\SC K$ una estensione \eal{&\sist{F \T{ campo finito }\\ F\SC K \T{ algebrica }} \> F\SC K \T{ e' separabile}} \end{prop} \begin{proof} Sia $\a\in K$. Dobbiamo dimostrare che $f(x)=\pmin{\a}{F}$ e' separabile.\\ \eal{&F\SC K \T{ algebrica }\> \a \T{ algebrico su }F \> \exists f(x)=\pmin{\a}{F}\\ &\T{Sia }n=\deg f(x)\\ &\a\T{ algebrico su $F$} \ubrace{\>}{\see{propalphaalgebricosseFalphafinita}}\>\dim_F F(\a)=n\\ & \sist{F\SC F(\a)\\ \dim_F F(\a) = n\\ |F| < \8} \ubrace{\>}{\see{ordineKestensionefinitacampofinito} } |F(\a)| =|F|^n <\8 \ubrace{\>}{\see{ordinecampofinito}} \sist{\ch F(\a) = p\\|F(\a)|=p^n, \;p \T{ primo}}\>\\ & \ubrace{\>}{\see{spezzdicampofinito}} F(\a)=\spezz{\ubrace{x^{p^n}-x}{g(x)}}{\Z_p} = \pgra{\b\;|\;g(\b)=0}\;\;(1)\\ &\a \in K \ubrace{\>}{(1)} g(\a)=0 \ubrace{\>}{\see{defpolinomiominimo}} g(x)\in (f(x)) \> g(x)=\lambda(x)f(x)\;\;(2)\\ &\ch F(\a) = p \ubrace{\>}{\see{prodottonaturalenelsottocampo}} p\in \Z_p \\ & g'(x) = p^nx^{p^n-1}-1 \ubrace{=}{p=0\;\;\Z_p} -1 \ubrace{\>}{\see{critradicimultiple}} g(x)\T{ non ha radici multiple } \ubrace{\>}{(2)} f(x)\T{ non ha radici multiple} } \end{proof} \begin{prop}\label{algebricamanonseparabile} Sia $F \SC K$ una estensione \eal{&F\SC K \T{ separabile } \> F\SC K \T{ algebrica }\\ &F\SC K \T{ separabile } \nLeftarrow F\SC K \T{ algebrica} } \end{prop} \begin{proof} \begin{pnecessaria} Per definizione. \end{pnecessaria} \step{}{Dim $\nLeftarrow$} \begin{prova} \pfsketch{ Portiamo un esempio di estensione $F\SC K$ algebrica ma non separabile.\\ Per le prop \see{separabileseFcharzeroFKalgebrica}, \see{separabileseFfinitoFKalgebrica}, $F$ dovra' essere un campo infinito di caratteristica $p$. \\ Per dimostrare l'inseparabilita' di $F\SC K$ dobbiamo trovare un $t\in K: \;\;\pmin{t}{F}$ e' inseparabile.\\} Sia $t$ un elemento trascendente su $\Z_p$. Sia $u=t^p$. \step{p1}{$u$ e' trascendente su $\Z_p$} \begin{prova} Se per assurdo $u$ fosse algebrico su $\Z_p$, allora $\exists f(x)\in \Z_p[x]:\;f(u)=0 \= f(t^p)=0$. \eal{&f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i\\ &f(t^p) = \sum_{i=0}^n a_i\pton{t^p}^i = \sum_{i=0}^n a_i\pton{t}^{i+p} = g(t)\\ &\T{ dove } g(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^{i+p}\in \Z_p[x]\\ &g(t)=f(t^p)=0 \> t\T{ e' algebrico su }\Z_p } assurdo. \end{prova} Sia $F=\Z_p(u),\;\;K=\Z_p(t)$. \eal{&u=t^p \in \Z_p(t) \> \Z_p(u) \( \Z_p(t) \= F\SC K\\ &u=t^p \> x^p-u\in F[x]\T{ ha $t$ come radice }\> t\T{ e' algebrico su }F \ubrace{\>}{\see{elemalgebriciimplicaestensalgebrica}}F\SC F(t)\T{ algebrica}\;\;(1)\\ &F(t)=\Z_p(u,t) \ubrace{=}{u\in \Z_p(t)} \Z_p(t) = K\\ &F(t)=K \ubrace{\>}{(1)} F\SC K \T{ e' algebrica} } Abbiamo cosi' trovato la nostra estensione algebrica $F\SC K$. Resta da dimostrare la sua non separabilita'. Consideriamo il polinomio $f(x)=x^p-u$ \eal{&u\in \Z_p(u)=F \> f(x)\in F[x]} \step{p3}{ $f(x)=\pmin{t}{F}$ } \begin{prova} Usiamo la caratterizzazione \see{carattpolinomiominimo}. Dimostriamo intanto l'irriducibilita'. \step{p31}{$f(x)$ e' irriducibile in $F[x]$} \begin{prova} Sia $F'=\Z_p[u]$ \eal{&u\T{ trascendente in }\Z_p \ubrace{\>}{\see{trascendenteestindeterminataII}} \Z_p[u]\simeq \Z_p[x] \;\;(1)\\ &\Z_p \T{ UFD} \ubrace{\>}{Gauss \AI{thmgaussufd} } \Z_p[x] \T{ UFD} \ubrace{\>}{(1)} \Z_p[u] \T{ UFD} \= F'\T{ UFD} \ubrace{\>}{Gauss \AI{thmgaussufd}} F'[x]\T{ UFD}\;\;(2)\\ &1,u\in F' \> f(x)=x^p-u\in F'[x] } Possiamo allora cercare di applicare il Criterio di Eisenstein (\AI{crieisensteinUFD}). \step{p311}{$u^2\ndiv u$ in $F'$} \begin{prova} Se per assurdo $u^2\div u$ in $F'=\Z_p[u]\simeq\Z_p[x]$, allora, \eal{&u^2\div u \= \exists h(u)\in F':\;u^2h(u)=u \ubrace{\=}{F'\simeq\Z_p[x]} x^2h(x)=x \> 2+\deg h(x)=1 \= \deg h(x)=-1 } assurdo. \end{prova} \step{p312}{$u$ e' primo in $F'$} \begin{prova} \eal{&F'=\Z_p[u]\simeq \Z_p[x]\\ & x\T{ irriducibile in }\Z_p[x] \ubrace{\=}{\Z_p[x]\T{ e' un ED}, \; \see{propequividealeprimoelprimoelirrid}} x\T{ primo in }\Z_p[x] \ubrace{\=}{\Z_p[u] \simeq\Z_p[x]} u\T{ primo in }\Z_p[u] } \lineapiccola\\ \end{prova} Notiamo che $f(x)=x^p-u$ e' primitivo (\AI{defpolprimitivo}), in quanto $x^p$ ha $1$ come coefficiente. \eal{&\sist{ F'\T{ UFD}\\ f(x)\in F'[x]\\ f(x)=x^p-u\T{ primitivo}\\ u\T{ primo in }F'\\ u\div u\\ u^2\ndiv u } \ubrace{\>}{Eisenstein \AI{crieisensteinUFD}} f(x)\T{ e' irriducibile in } F'[x]\;\;(3)\\ &(3) \ubrace{\>}{\AI{irriducibileinUFDestirriducibileinQUFD}} f(x)\T{ e' irriducibile in }Q(F')[x] = Q(\Z_p[u])[x] \ubrace{\simeq}{\see{FaestQFqa}} \Z_p(u)[x]= F[x] } \lineapiccola\\ \end{prova} Nota\footnote{Non possiamo applicare direttamente Eisenstein in $\Z_p(u)$ perche' $u$ non e' primo in $\Z_p(u)$ (e' infatti invertibile)}. Infine, \eal{&f(x)\in F[x]\\ &f(t)=t^p-u=t^p-t^p = 0\\ &f(x)\T{ e' monico}\\ &f(x)\T{ e' irriducibile in }F[x] } e quindi $f(x)=\pmin{t}{F[x]}$ \end{prova} \qedstep \begin{prova} \eal{&f(x)\in F[x] \( K[x] } In $K[x]$, $f(x)=x^p-u$ si puo' scrivere direttamente come \eal{&f(x)=\ubrace{x^p-t^p}{\in K[x]=\Z_p(t)[x]} \ubrace{=}{\see{binominzp}} (x-t)^p \> f(x)\T{ ha una sola radice, che e' multipla}\>\\ &\> f(x)\T{ non e' separabile} } \end{prova} \end{prova} \end{proof} \begin{thm}\label{FKfingensepestsemplice} \label{thmelementoprimitivo} Sia $F \SC K$ una estensione, \eal{& F\SC K \T{ finitamente generata, separabile} \>F\SC K \T{ e' semplice }} In particolare, si ha \eal{&\sist{\T{$F$ infinito}\\ K=F(\a,\b),\;\;\a,\b\in K\\ F\SC K\T{ separabile}} \> K=F(\a+\lambda \b)\;\;\forall \lambda \in F:\;\lambda \neq \frac{\a-\a_i}{\b_j-\b}\;\;\forall i=1,\dots,n,\;\;\forall j=2,\dots,m\\ &\T{dove } (\a=\a_1),\a_2,\dots,\a_n\T{ sono tutte le radici di }\pmin{\a}{F}\\ &\qq (\b=\b_1),\b_2,\dots,\b_m\T{ sono tutte le radici di }\pmin{\b}{F}\\ } \end{thm} \begin{proof} \eal{&F\SC K \T{ fin. gen. } \> \exists \a_1,\dots,\a_n\in K:\;\; K=F(\a_1,\dots,\a_n)\;\;(1)\\ &F\SC K\T{ separabile} \>F\SC K \T{ algebrica}\;\;(2) } \case{$F$ finito} \begin{prova} \eal{&(1),(2) \ubrace{\=}{\see{thmfinitassealgebricaefingen}} F\SC K\T{ finita}\\ &\sist{F\T{ finito}\\ F\SC K\T{ finita}} \ubrace{\>}{\see{ordineKestensionefinitacampofinito}} K\T{ finito} \ubrace{\>}{\see{finitoestciclico}} K^*\T{ e' ciclico}\>\\ &\>\exists \a\in K^*:\;K^*=\gen \a\>K^*\( F(\a) \ubrace{\>}{0\in F(\a)} K\( F(\a)\\ &\sist{F(\a)\( K\T{ [per definizione]}\\ K\( F(\a)} \>K=F(\a) } \end{prova} \case{$F$ infinito} \begin{prova} Procediamo per induzione su $n$. \step{}{$n=1$} \begin{prova} \eal{&(1) \> K=F(\a_1)} quindi $K$ e' semplice. \end{prova} \step{passodue}{$n=2$} \begin{prova} $K=F(\a_1,\a_2)$. Chiamiamo $\a=\a_1,\;\b=\a_2$, e quindi $K=F(\a,\b)$. \eal{&(2) \> \exists f(x)=\pmin{\a}{F},\;\;\exists g(x)=\pmin{\b}{F}\\ &F\SC K \T{ separabile } \> \a,\b \T{ sono separabili } \> \pmin{\a}{F} =f(x),\;\pmin{\b}{F}=g(x)\T{ sono separabili } \>\\ &\qq \> \sist{\T{ le $\pgra{\a_1,\dots,\a_n}$ sono tutte distinte}\;\;(2.0)\\ \T{ le $\pgra{\b_1,\dots,\b_n}$ sono tutte distinte}\;\;(2.1)} } Siano \eal{ &\a_1,\a_2,\dots,\a_n\T{ le radici di f(x)}\\ &\b_1,\b_2,\dots,\b_m\T{ le radici di g(x)} } Sia $M=\spezz{f(x)g(x)}{F}=F(\a_1,\dots,\a_n,\b_1,\dots,\b_n)$. Sia \def\l#1{{\lambda_{#1}}} \eal{&\l{ij}=\frac{\a-\a_i}{\b_j-\b}\in M\;\;\forall i=1,\dots,n,\;\;\forall j=2,\dots,m} Si ha \def\g{{\gamma}} \eal{&F\T{ infinito } \> \exists \l{}\in F:\; \l{} \neq \l{ij}\;\;\forall i,j\= (\b_j-\b)\l{} \neq \a-\a_i\= \a+\b\l{} \neq \a_i+\b_j\l{} \;\;\forall i,j\;\;(3)\\ &\T{Sia }\g=\a+\b\l{}\\ &\T{Sia }h(x)=f(\g-\l{}x) } \step{ppp}{$\b=\b_1$ e' l'unico elemento di $\pgra{\b_1,\dots,\b_m}$ tale che $h(\b)=0$} \begin{prova} $\b$ e' una radice di $h(x)$: \eal{&h(\b)= f(\g-\l{}\b)= f(\a+\b\l{}-\l{}\b)=f(\a) \ubrace{=}{f(x)=\pmin{\a}{F}} 0 } Se $\b_j$, con $j \neq 1$, fosse radice di $h(x)$: \eal{&f(\g-\l{}\b_j)=0\>\exists i:\;\;\a_i= \g-\l{}\b_j \= \a_i=\a+\b\l{}-\l{}\b_j \= \a+\b\l{} = \a_i+\b_j\l{} } assurdo contro $(3)$.\\ \lineapiccola\\ \end{prova} Poiche' \eal{&\g\in F(\g),\;\l{}\in F \> h(x)=f(\g-\l{}x)\in F(\g)[x]\\ &g(x)\in F[x] \(F(\g)[x]\\ &h(x),g(x)\in F(\g)[x] } per la prop. \see{MCDinunaestensione}, possiamo calcolare $d(x)=\MCD(h(x),g(x))$ all'interno di $F(\g)[x]$. \eal{&g(x)=\pmin{\b}{F}\> g(\b)=0\> x-\b\div g(x)\\ &h(\b)=0\> x-\b\div h(x)\\ &\qq \> x-\b\div d(x)\\ &g(x)=(x-\b)(x-\b_2)\dots(x-\b_m)\\ &d(x)\div g(x) \> d(x)\T{ e' del tipo }(x-\b_{j_1})(x-\b_{j_2})\dots(x-\b_{j_s})\;\;(*)\\ &(x-\b_j) \div d(x)\div h(x) \> h(\b_j)=0 \ubrace{\>}{\sref{ppp}} \b_j=\b\\ &\qq \ubrace{\>}{(2.1)} \T{ $\b$ e' l'unico t.c. } x-\b\div d(x) \ubrace{\>}{(*)} d(x)=x-\b\\ &\sist{d(x)\in F(\g)[x]\\d(x)=x-\b} \> \b \in F(\g)\\ &\g=\a+\b\l{} \= \a= \g-\b\l{} \ubrace{\in}{\b,\ubrace{\l{}}{\in F\(F(\g)},\g\in F(\g)} F(\g)\\ &\a,\b\in F(\g) \> K=F(\a,\b)\( F(\g)\\ &\a,\b\in K=F(\a,\b) ,\;\l{}\in F\( K \> \g \in K \> F(\g) \( K\\ &\qq \> K=F(\g) } e quindi $F\SC K$ e' semplice \end{prova} \step{}{Passo induttivo: $P(n-1)\> n$} \begin{prova} \eal{&(1) \> K=F(\a_1,\dots,\a_n) \ubrace{=}{\see{parentesinellestensione}} F(\a_1,\dots,\a_{n-1})(\a_n) \ubrace{=}{\T{Hp induttiva}} F(\b)(\a_n)=F(\b,\a_n) \ubrace{=}{\sref{passodue}} F(\delta) } \end{prova} \end{prova} \end{proof} \begin{exemp} Esempio di estensione finita, non separabile e non semplice.\\ Sia $p$ primo, $t,v$ trascendenti su $\Z_p$, $u=t^p,\;w=v^p$, $F=\Z_p(u,w),\;\;K=\Z_p(t,v)$.\\ Si ha \eal{&F\( K = F(t,v)} $t,v$ sono algebrici su $F$, infatti, sono radice dei seguenti polinomi: \eal{&x^p - u,\;x^p-w\in F[x]} \eal{&t,v\T{ algebrici su }F \ubrace{\>}{\see{elemalgebriciimplicaestensalgebrica}} F\SC F(t,v)\T{ algebrica} \ubrace{\>}{\see{propalphaialgebricheimplicaFalphaifinita}} F\SC F(t,v) \T{ finita} } Analogamente a quanto fatto nella dimostrazione \see{algebricamanonseparabile} (usando Eisenstein) si vede che \eal{ &x^p - u=\pmin{t}{F}\;\;(1)\\ &x^p-w = \pmin{v}{F}\;\;(1.1)\\ &x^p-w \T{ e' irriducibile su }F(t)\;\;(1.2) } Supponiamo per assurdo che $F\SC K$ sia semplice, ovvero che $\exists \gamma\in K:\;K=F(\gamma)$. \eal{&F\(F(t) \( F(t,v)\\ &(1) \> [F(t):F]=p\\ &(1.1) \> [F(t,v):F(t)] \le p\\ &(1.2) \> \deg \pmin{v}{F(t)} \ge p \= [F(t,v):F(t)] \ge p\\ &\qq \> [F(t,v):F(t)] =p\\ &\sist{[F(t):F]=p\\ [F(t,v):F(t)] =p }\> [F(t,v):F]=p^2\;\;\= [K:F] =p^2\;\;(1) } Si ha \def\g{{\gamma}} \eal{&\g\in K=F(t,v) \ubrace{\>}{\see{estensionedicampiesplicita}} \g=\frac{f(t,v)}{g(t,v)}= \frac{ a_{00}+a_{01}v+a_{02}v^2+\dots+a_{10}t+ a_{11}tv+a_{21}t^2v+\dots }{ b_{00}+b_{01}v+b_{02}v^2+\dots+b_{10}t+ b_{11}tv+b_{21}t^2v+\dots } \\ &\g^p \ubrace{=}{\see{binominzp}} \frac{ a_{00}^p+a_{01}^pv^p+a_{02}^pv^{2p}+\dots+a_{10}^pt^p+ a_{11}^pt^pv^p+a_{21}^pt^{2p}v^p+\dots }{ b_{00}^p+b_{01}^pv^p+b_{02}^pv^{2p}+\dots+b_{10}^pt^p+ b_{11}^pt^pv^p+b_{21}^pt^{2p}v^p+\dots } =\\ &= \frac{ a_{00}^p+a_{01}^pw+a_{02}^pw^{2}+\dots+a_{10}^pu+ a_{11}^puw+a_{21}^pu^{2}w+\dots }{ b_{00}^p+b_{01}^pw+b_{02}^pw^{2}+\dots+b_{10}^pu+ b_{11}^puw+b_{21}^pu^{2}w+\dots } = \frac{\ove f(u,w)}{\ove g(u,w)}\in \Z_p(u,w)=F\>\\ &\> \gamma\T{ e' radice di } x^p-\frac{\ove f(u,w)}{\ove g(u,w)} \in F[x] \> \deg \pmin{\g}{F} \le p\> [F(\g):F] \le p\= [K:F]\le p } assurdo contro $(1)$.\\ Quindi $F\SC K$ non e' semplice. Inoltre, poiche' $F\SC K=F(t,v)$ e' finitamente generata ma non semplice, per il thm \see{FKfingensepestsemplice}, possiamo dedurre che $F\SC K$ non e' separabile. \end{exemp} \def\g{{\gamma}} \begin{thm} Sia $F\SC K$ una estensione finita, si ha \eal{&F\SC K \T{ e' semplice } \= |\pgra{ L\;:\;F\prec L \prec K}| <\8} ovvero $F\SC K$ e' semplice sse esiste un numero finito di campi strettamente compresi tra $F$ e $K$. \end{thm} \begin{prop} \label{campiintermediseparabili} \label{separabileimplicapezziseparabili} \eal{&\sist{F\SC L \T{ separabile }\\ F\SC K \SC L} \> \sist{F\SC K\\K\SC L}\T{ separabili} } \end{prop} \begin{proof} Sia $\a\in K$, $f(x)=\pmin{\a}{F}$ \eal{&\sist{\a\in K \( L \\ F\( L \T{ separabile} } \> f(x)\T{ separabile } } Quindi $F\SC K$ e' separabile.\\ Sia $\a\in L$, $f(x)=\pmin{\a}{K}$,\;$g(x)=\pmin{\a}{F}$ \eal{&\sist{f(x)=\pmin{\a}{K},\;g(x)=\pmin{\a}{F}\\ f(\a)=g(\a)=0,\;g(x)\in F[x]\( K[x] } \> f(x)\div g(x) \;\;(1)\\ &F\SC L \T{ separabile } \> g(x)\T{ separabile } \;\;(2)\\ &(1),(2) \ubrace{\>}{\see{divalloraseparabile}} f(x)\T{ separabile }} Quindi $K\SC L$ e' separabile. \end{proof} \begin{prop} \eal{&\sist{F\SC F(\a_1,\dots,\a_n)\\ \a_i\T{ separabile su $F$}\;\;\forall i=1,\dots,n} \> F\SC F(\a_1,\dots,\a_n)\T{ e' separabile} } \end{prop} \begin{proof} \def\g{{\gamma}} Nota: faremo uso di teoremi che verranno dimostrati in seguito (ovviamente questi teoremi non fanno uso di questa stessa proposizione ;)\\ \eal{&\a_i\T{ separabile }\;\forall i \> \sist{ \a_i\T{ algebrico su }F\\ p_i(x)=\pmin{\a_i}{F}\T{ separabile } }\;\;\forall i \>\\ &\ubrace{\>}{\see{elemalgebriciimplicaestensalgebrica}} F\(F(\a_1,\dots,\a_n)\T{ e' algebrica e finitamente generata} \ubrace{\>}{\see{thmfinitassealgebricaefingen}} F\(K \T{ e' finita}\\ &\sist{\a_1,\dots,\a_n\T{ sep. su }F\\ K=F(\a_1,\dots,\a_n)\\ F\( K\T{ algebrica} } \ubrace{\>}{\see{lemmagammaprimitivoseparabile}} \exists \g \in K\T{ separabile su }F\T{ t.c. }K=F(\g)\\ &\g \T{ separabile su F} \> p(x)=\pmin{\g}{F} \T{ e' separabile}\\ &\sist{\T{Sia }J=\spezz{p(x)}{F}\\ p(x)\T{ separabile}\\ p(x)\in F[x] } \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} F\( J\T{ e' di Galois} \> F\( J\T{ e' separabile }\\ &\sist{p(\g)=0\> \g \in J\\ F\( J} \> F(\g) \( J \= K\(J\\ &\sist{F\( K \( J\\ F\(J\T{ separabile }} \ubrace{\>}{\see{campiintermediseparabili}} F\(K \T{ separabile } } \end{proof} \section{Polinomi simmetrici} \def\xn#1{{x_1,\dots,x_{#1}}} \def\iin#1{{x_1,\dots,x_{#1}}} \def\xnn{\xn n} \def\ll{{\le }} \begin{defn} Sia $F$ campo, $f(\xnn)\in F[\xnn]$, ovvero \eal{&f(\xnn ) = \sum \a_{\iin n}x_1^{i_1}x_2^{i_2}\dots x_n^{i_n}} $x_1^{i_1}x_2^{i_2}\dots x_n^{i_n}$ si chiama \emph{monomio} di $f$. $\a_{\iin n}x_1^{i_1}x_2^{i_2}\dots x_n^{i_n}$ si chiama \emph{termine} di $f$.\\ Poniamo \eal{&\deg \a_{\iin n}x_1^{i_1}x_2^{i_2}\dots x_n^{i_n}x_1^{i_1}x_2^{i_2}\dots x_n^{i_n} \definizione{=} i_1+i_2+\dots+i_n } Dati i due monomi \eal{&a(x_1,\dots,x_n)=x_1^{i_1}x_2^{i_2}\dots x_n^{i_n}\\ &b(x_1,\dots,x_n) = x_1^{j_1}x_2^{j_2}\dots x_n^{j_n} } Definiamo il seguente ordinamento, chiamato \iemph{ordinamento lessicografico}: \eal{&a \ll b \definizione{\=} \deg a < \deg b \| \sist{\deg a = \deg b\\ \exists t=\min\pgra{t\;|\;i_t \neq j_t} \> i_t < j_t } } \end{defn} \def\x{{\underline{x}}} \begin{prop} \def\i{{{i}}} \def\j{{{j}}} \def\k{{{k}}} \def\h{{{h}}} \label{propordinamento} La relazione $\ll$ e' una relazione d'ordine totale sui termini di $F[x_1,\dots,x_n]$ e inoltre, posto \eal{&\x=(x_1,\dots,x_n)\\ &\i=(i_1,\dots,i_n)\in \N^n\\ &\j=(j_1,\dots,j_n)\in \N^n\\ &\i+\j = (i_1+j_1,\dots,i_n+j_n)\\ &\x^\i=x_1^{i_1}x_2^{i_2}\dots x_n^{i_n} } si ha \eal{&1.\;\;\x^\i\ll \x^j \> \x^{\i+\k} \ll \x^{\j+\k}\;\;\forall \k\in \N^n\\ &2.\;\;\sist{\x^\i\ll \x^j\\ \x^\h \ll \x^\k } \> \> \x^{\i+\h} \ll \x^{\j+\k}\;\;\forall \k\in \N^n\\ &3.\;\;\T{L'insieme } \pgra{\i\in \N^n\;|\;\x^\i \ll \x^\j} \T{ e' finito} } \end{prop} \begin{proof} Intanto osserviamo che la relazione $\ll$ e' il realta' una relazione su $\N^n$, dove \eal{&i \ll j \= i_1+\dots+i_n < j_1+\dots+j_n \| \sist{i_1+\dots+i_n = j_1+\dots+j_n\\ \exists t=\min\pgra{t\;|\;i_t \neq j_t} \> i_t < j_t } } Basta quindi ragionare sulle $n$-uple.\\ E' facile vedere che $(\N^n,\ll)$ e' una relazione d'ordine totale (e' in pratica quella del dizionario).\\ Infine, Se $i=j$, la $1.$ e' vera. Se $i \neq j$, per dimostrare la $1.$, basta osservare che \eal{& i\ll j \> i_t < j_t \> i_t + k_t < j_t+k_t } La $2.$ si ricava dalla $1.$: \eal{&i \ll j \> i+h \ll j+h\\ &h \ll k \> h +j \ll k+j \\ &\qq \> i+h \ll j+h \ll k+j } Si ha \eal{& A=\pgra{i\in \N^n\;|\;i \ll j} \( \pgra{i\in \N^n\;|\;i_1+\dots+i_n < j_1+\dots+j_n} \U \pgra{i\in \N^n\;|\;i_1+\dots+i_n = j_1+\dots+j_n} =\\ &= \pgra{i\in \N^n\;|\;i_1+\dots+i_n \le j_1+\dots+j_n} } Ma e' chiaro che quest'ultimo insieme e' finito.\\ Nota\footnote{Se la relazione $\ll$ fosse stata puramente lessicografica, senza il controllo sul grado di $\x$, allora la $3.$ diventava falsa, infatti, si avrebbe \eal{&(0,n) \ll (1,0) \;\;\forall n\in \N } Invece, il controllo sul grado garantisce che: \eal{&0+n > 1+0 \;\;\forall n< 1\> (1,0) \ll (0,n)\;\;\forall n> 1 } } \end{proof} \def\x{{\underline{x}}} \begin{defn} \label{defLT} Sia $f(x_1,\dots,x_n)\in F[x_1,\dots,x_n],\;\;\x=(x_1,\dots,x_n)$, $f$ non nullo.\\ Definiamo il \iemph{leading term} di $f(\x)$: \eal{&\LT(f) \T{ e' il termine di $f(\x)$ t.c. } a \ll \LT(f) \;\;\forall a(\x)\T{ termine di }f(\x) } ovvero \eal{&\LT(f)=\max_{\ll}\pgra{a(\x)\T{ termine di }f(\x) } } Poiche' $\ll$ e' un ordinamento totale (\vedi{propordinamento}), $\LT(f)$ esiste ed e' unico. \end{defn} \begin{prop}\label{LTprodotto} Sia $f,g\in F[\xnn]$, si ha \eal{&\LT(fg)=\LT(f)\LT(g)\\ &\LT(f^m)=\LT(f)^m\;\;\forall m\in \N} \end{prop} \begin{proof} Usando la notazione introdotta in \see{propordinamento}, sia \eal{&\LT(f)=a\x^i,\;\;i=(i_1,\dots,i_n)\\ &\LT(g)= b\x^j,\;\;j=(j_1,\dots,j_n)\\ % &\LT(fg)=c\x^{h},\;\;h=(h_1,\dots,h_n) } Si ha \eal{ &\LT(f)\LT(g) = ab \x^{i+j} } Sia $k(x)=c\x^{k},\;\;k=(h_1,\dots,h_n)$ un qualsiasi termine di $fg$. \eal{&k(\x)\T{ termine di }fg \> \exists f_1(\x),g_1(\x)\T{ termini di }f(x),g(x) \T{ t.c } k(\x)=f_1(\x)g_1(\x)\\ &\T{ dove } f_1(\x) = \a\x^r,\;g_1(\x)=\b\x^s\\ & k(\x)=f_1(\x)g_1(\x) \> k(\x) = \a\b\x^{r+s}\\ &\sist{\LT(f) \ll f_1\\ \LT(g) \ll g_1 } \= \sist{a\x^i \ll \a\x^r\\ b\x^j \ll \b\x^s} \ubrace{\>}{\see{propordinamento}} ab\x^{i+j} \ll \a\b\x^{r+s} \= \LT(f)\LT(g) \ll k } Per l'arbitrarieta' di $k(\x)$, termine di $fg$, e per la definizione di $\LT$, si ha quindi \eal{& \LT(f)\LT(g) = \LT(fg) } Infine, \eal{&\LT(f^m)=\LT(ff\dots f)=\LT(f)\LT(f)\dots\LT(f)=\LT(f)^m} \end{proof} \def\s{{\sigma}} \begin{defn} \label{polsimelem} Sia $f\in F[x_1,\dots,x_n]$, $\x=(x_1,\dots,x_n)$. \eal{&f\T{ e' simmetrico }\definizione{\=} f(\x)= f(\s(\x))\;\;\forall \s\in S_n\\ &\T{ dove } \s(\x) = (x_{\s(1)},x_{\s(2)},\dots,x_{\s(n)}) } $S_n$ gruppo delle permutazioni di $n$ elementi. In pratica un polinomio e' simmetrico, se resta uguale effettuando un qualsiasi scambio di variabili.\\ I polinomi simmetrici elementari sono: \eal{&\s_1(x_1,\dots,x_n)=x_1+x_2+\dots+x_n\\ &\s_2(x_1,\dots,x_n)= \sum_{i f(x)=(x-\a_1)(x-\a_2)\dots(x-\a_d)= (x^d + \dots) \;\;(2) } Calcoliamo i termini dentro l'ultima parentesi. \begin{enumerate} \item Termine di grado $d-1$: poiche' dobbiamo arrivare a $x^{d-1}$, dai vari fattori di primo grado dobbiamo selezionare almeno $d-1$ indeterminate $x$. Ad esempio, se nella prima parentesi scegliamo $-\a_1$, in tutte le altre dobbiamo prendere solo $x$, avremo quindi $-\a_1x^{d-1}$.\\ Quindi, ad ogni scelta stiamo scegliendo una $\a_i$ e tutte le altre saranno necessariamente delle $x$. Il termine sara' la somma di tutte le scelte: \eal{&-\a_1x^{d-1}-\a_2x^{d-1}-\dots-\a_dx^{d-1} = -\pton{\sum \a_i}x^{d-1} } E per la def \see{polsimelem}, e' proprio \eal{&-\s_1(\a_1,\dots,\a_d)x^{d-1}} \item Termine di grado $d-2$: ragionando come prima notiamo che ad ogni scelta possiamo scartare arbitrariamente due distinte $\a_i,\a_j$, quindi il termine sara' la somma di tutte le distinte coppie estratte da $\a_1,\dots,\a_d$. Stavolta pero' il segno sara' positivo, perche' $(-\a_i)(-\a_j)=\a_i\a_j$. In definitiva: \eal{&\pton{\sum_{ig(\s(\x)) \T{ e' ancora un termine di }f(\x)\\ &(1) \> g(\s(\x)) = g(x_1,\dots,x_{i-1}, x_{i+1},x_i,x_{i+2},\dots, x_n) = a x_1^{h_1} \dots x_{i-1}^{h_{i-1}}x_{i}^{h_{i+1}}x_{i+1}^{h_i} x_n^{h_n} \\ & \ubrace{\>}{h_{i+1} > h_i} g(\s(\x)) > g(\x) = \LT(f) } assurdo contro la definizione di $\LT$. \end{prova} Sia \def\f{{\varphi}} \eal{&\f_1 = a \s_1^{h_1-h_2} \s_2^{h_2-h_3}\s_{3}^{h_3-h_4} \dots \s_{n-1}^{h_{n-1}-h_n} \s_n^{h_n} } che e' una scelta lecita poiche' $h_1 \ge h_2 \ge \dots \ge h_n$. \eal{&\LT(\f_1) \ubrace{=}{\see{LTprodotto}} a\LT(\s_1^{h_1-h_2}) \dots \LT(\s_{n-1}^{h_{n-1}-h_n}) \LT(\s_n^{h_n}) =\\ & \ubrace{=}{\see{LTprodotto}} a\LT(\s_1)^{h_1-h_2} \dots \LT(\s_{n-1})^{h_{n-1}-h_n} \LT(\s_n)^{h_n} =\\ & \ubrace{=}{\see{LTpsym}} ax_1^{h_1-h_2}(x_1x_2)^{h_2-h_3} (x_1x_2x_3)^{h_3-h_4}\dots (x_1\dots x_{n-1})^{h_{n-1}-h_n}(x_1\dots x_n)^{h_n} =\\ &=x_1^{h_1}x_2^{h_2}\dots x_n^{h_n} = \LT(f)\\ &\LT(\f_1)=\LT(f) \> f-\f_1 =0 \| \LT(f-\f_1) < \LT(f)\;\;(2) } \step{}{$\f_1$ e' simmetrico} \begin{prova} \eal{&\f_1(\x)=a\s_1(\x)^{h_1-h_2}\dots \s_n(\x)^{h_n} \> \\ & \> \f_1(\s(x)) = a\s_1(\s(x))^{h_1-h_2}\dots \s_n(\s(\x))^{h_n} \ubrace{=}{\s_i\T{ e' simmetrico}} a\s_1(\x)^{h_1-h_2}\dots \s_n(\x)^{h_n}=\f_1(\x) } Quindi, effettuando uno scambio di variabili in $\f_1$, \end{prova} Poniamo $f_1=f-\f_1$ \eal{&f,\f_1 \T{ simmetrici} \> f_1 \T{ simmetrico} } Possiamo allora riapplicare l'intero ragionamento fin qui svolto a $f_1$, ottenendo \eal{&f_2=f_1-\f_2 = f-\f_1-\f_2} cosi' procedendo arriviamo a \eal{&f_j=f-(\f_1+\f_2+\dots+\f_j)} Dalla $(2)$ si ha \eal{&f_j=0 \| \LT(f_j) < \LT(f_{j-1}) < \dots < \LT(f_1) < \LT(f)\;\;(2.1)} Quindi se per assurdo $f_j \neq 0\;\;\forall j$, avremo un numero infinito di $f_j$ tali che $\LT(f_j)< \LT(f)$, e questo e' in contrasto con la $3.$ della prop \see{propordinamento}.\\ Quindi $\exists k:\; f_k=0$, ovvero \eal{&f_k=0\= f=\f_1+\dots+\f_k } che, per costruzione degli $\f_i$, e' proprio il polinomio $g(\x)$ della tesi. \end{proof} \section{Estensioni normali} \begin{prop} \label{normaliprop1} \label{psymrimangonoinFcalcolatinellaradici} Sia $F\SC K$ una estensione di campi, $f(x)\in F[x]$, $\x=(x_1,\dots,x_d)$, $p(\x)\in F[x_1,\dots,x_d]$, $K= \spezz{f(x)}{F}$.\\ Si ha \eal{& p(\x)\T{ simmetrico} \> p(\a_1,\dots,\a_d)\in F\\ &\T{ dove } \a_1,\dots,\a_d\in K\T{ sono tutte le radici di }f(x) } \end{prop} \begin{proof} \def\f{{\varphi}} Sia $\a=(\a_1,\dots,\a_d)$. Ricordiamo il seguente omomorfismo di anelli: \eal{&F[x_1,\dots,x_d] \longrightarrow F[\a_1,\dots,\a_d]\\ &g(x_1,\dots,x_d) \stackrel{\phi}{\mapsto } g(\a_1,\dots,\a_d)=g(\a) } Si ha \eal{&p(\x)\T{ simmetrico} \ubrace{\>}{\see{thmfondamentalepsym}} p(\x)=\ove p(\s_1(\x),\s_2(\x),\dots,\s_d(\x))\;\;(1)\\ &\T{Sia $\f(x)$ la parte monica di $f(x)$, ovvero }f(x)=a\f(x),\;\f(x)\T{ monico}\\ &\T{Per la }\see{formuleviete}:\\ &\qq \f(x)=x^d+\sum_{h=0}^{d-1} (-1)^{d-h} \s_{d-h}(\a)x^{h} \ubrace{\>}{\f(x)\in F[x]} \s_i(\a)\in F[x]\;\;\forall i=1,\dots,d \;\;(2) \\ &p(\a) = \phi(p) \ubrace{=}{(1),\;\phi\T{ omomorfismo}} \ove p(\phi(\s_1),\dots,\phi(\s_d)) = p(\s_1(\a),\dots,\s_d(\a))\\ &p(\a) = p(\s_1(\a),\dots,\s_d(\a))\;\;(3)\\ &\sist{p(\x)\in F[x]\\ (3),\;(2) } \> p(\a) \in F } \end{proof} \begin{defn} \ilabel{estensione!normale} Sia $F\SC K$ una estensione algebrica \eal{&F\SC K\T{ e' normale } \definizione{\=} \Big(f(x)\in F[x],\T{ irriducibile, }\;\exists \a_1 \in K:\;f(\a_1)=0 \> \forall \a\in \spezz{f(x)}{F}:\;f(\a)=0 \;\;\a\in K \Big) } In altre parole, se $F\SC K$ e' normale, ogni polinomio irriducibile in $F[x]$ con almeno una radice in $K$, avra' tutte le altre radici in $K$. \end{defn} \begin{lem}\label{lemmanormale} Sia $F$ campo. Si ha \eal{&\forall f(x)\in F[x]\;\;\;F\SC \spezz{f(x)}{F} \T{ e' normale} } \end{lem} \begin{proof} Sia $K=\spezz{f(x)}{F}$. Sia $g(x)\in F[x]$ irriducibile, con $\beta\in K:\;g(\b)=0$. Dimostriamo che tutte le altre radici di $g$ stanno in $K$.\\ Siano \eal{&\a_1,\dots,\a_n\in K\T{ le radici di }f(x)\;\;\;(1) } Si ha \eal{&K=\CS{f(x)}{F} = F(\a_1,\dots,\a_n)\\ &(1) \> \a_1,\dots,\a_n\T{ algebrici su } F \ubrace{\>}{\see{elemalgebriciimplicaestensalgebrica}} F\SC K = F(\a_1,\dots,\a_n) \ubrace{=}{\see{alphaalgebricosseFalphaeqFqalpha}} F[\a_1,\dots,\a_n]\\ &\b\in K = F[\a_1,\dots,\a_n] \> \b=h(\a_1,\dots,\a_n) } Sia \eal{&\a=(\a_1,\dots,\a_n)\\ &\x=(x_1,\dots,x_n),\;\;x_i\T{ indeterminata}\\ &s(x) = \prod_{\s\in S_n} (x-h(\s(\a))\in K[x]\;\;(4) } dove $S_n$ e' il gruppo delle permutazioni di $n$ elementi. E' chiaro che $s(\b)=0$, poiche' $x-h(\a)$ e' un fattore di $s(x)$. \step{ss}{$s(x)\in F[x]$ } \begin{prova} Consideriamo \eal{&S(\x,x) = \prod_{\s\in S_n} (x-h(\s(\x))) \in F[x_1,\dots,x_n,x] \\ &S(\x,x)\T{ e' per costruzione simmetrico nelle variabili }x_1,\dots,x_n\;\;(2)\\ & S(\x,x) \in F[x_1,\dots,x_n][x] \>S(\x,x) = \sum_{i=0}^{n!}p_i(\x)x^i,\;\;p_i(\x)\in F[x_1,\dots,x_n]\;\;\forall i=1,\dots,n!\\ &(2) \> \forall \s \in S_n \;\;S(\x,x)=S(\s(\x),x) \=\forall \s \in S_n \;\;\sum_{i=0}^{n!}p_i(\x)x^i = \sum_{i=0}^{n!}p_i(\s(\x))x^i \= \forall \s \in S_n\; \sist{ p_1(\x)=p_1(\s(\x))\\ p_2(\x)=p_2(\s(\x))\\ \dots\\ p_{d!}(\x)=p_{d!}(\s(\x)) } \> \\ &\>p_i(\x)\T{ e' simmetrico }\;\;\forall i=1,\dots, n! \ubrace{\>}{\see{psymrimangonoinFcalcolatinellaradici} } p_i(\a)\in F\;\;\forall i=1,\dots,n! \> S(\a,x)\in F[x]\\ &s(x)=S(\a,x)\in F[x] } \end{prova} \qedstep \begin{prova} \def\g{{\gamma}} Sia $\g(x)$ la parte monica di $g(x)$, ovvero \eal{&g(x)=b\g(x),\;\;\g(x)\in F[x]\T{ monico},\;\;b \neq 0 } Si ha \def\t{{\tau}} \eal{&g(x)\T{ irrid. in $F[x]$ } \> \g(x)\T{ irrid. in $F[x]$ } \\ &g(\b)=0\> \g(\b)=0\\ &\g(x)\in F[x]\T{ monico}\\ &\qq \ubrace{\>}{\see{carattpolinomiominimo}} \g(x)=\pmin{\b}{F}\;\;(3)\\ &s(\b)=0,\;s(x)\in F[x],\;(3) \ubrace{\>}{\see{defpolinomiominimo}} \g(x)\div s(x) \> \\ &\ubrace{\>}{(4)} \g(x) = (x-\t_1(\a))(x-\t_2(\a))\dots (x-\t_m(\a))\in K[x]\T{ per qualche } \t_1,\dots,\t_m\in S_n \>\\ &\ubrace{\>}{(4)}\t_i(\a)\in K\;\;\forall i=1,\dots,m \\ } Quindi $\g(x)$ ha tutte le radici in $K$. \end{prova} \end{proof} \begin{exemp}\label{expnonnormale} \def\w{{\omega }} $\Q\( \Q(\sqrt[3]{2})$ non e' normale, infatti, \eal{&x^3-2\T{ e' irrid. in }\Q, \T{ ha $\sqrt[3]{2}\in \Q(\sqrt[3]{2})$ come radice}} ma tutte le sue altre radici sono \eal{&\w\sqrt[3]{2},\w^2\sqrt[3]{2} \notin \Q(\sqrt[3]{2})} \end{exemp} \begin{thm}\label{normalefinitacaratt} Sia $F\SC K$ una estensione, allora \eal{&F\SC K\T{ normale, finita } \= \exists f(x)\in F[x]:\;\;K=\spezz{f(x)}{F} } In particolare, dati $\a_1,\dots,\a_n\in K$ algebrici su $F$, con $K=F(\a_1,\dots,\a_n)$, si ha \eal{&F\SC K\T{ normale, finita } \> K=\spezz{\prod_{i=1}^n\pmin{\a_i}{F}}{F} } \end{thm} \begin{proof} \begin{psufficiente} Per il lem \see{lemmanormale}, $F\SC K$ e' normale. Inoltre, \eal{&K=\spezz{f(x)}{F}=F(\a_1,\dots,\a_n)\\ &\a_1,\dots,\a_n\T{ radici di }f(x) \> \a_1,\dots,\a_n\T{ algebrici su } F[x] \ubrace{\>}{\see{propalphaialgebricheimplicaFalphaifinita} } F\SC F(\a_1,\dots,\a_n)=K \T{ finita} } \end{psufficiente} \begin{pnecessaria} \eal{&F\SC K\T{ finita } \> \exists \a_1,\dots,\a_n\in K:\;\;K=F(\a_1,\dots,\a_n)\;\T{ algebrica} \> \exists p_i(x)=\pmin{\a_i}{F}\;\;\forall i=1,\dots,n\\ &\T{Siano date le radici dei $p_i$: }\\ &\qq \a_{11}=\a_1,\a_{12},\dots,\a_{1r_1}\\ &\qq \a_{21}=\a_2,\a_{22},\dots,\a_{2r_2}\\ &\dots\\ &\a_i\in K \ubrace{\>}{F\SC K\T{ normale}} \a_{ij}\in K\;\forall j=1,\dots,r_j\\ &\qq \> K\)\spezz{p_1(x)p_2(x)\dots p_n(x)}{F}\\ &\spezz{p_1(x)p_2(x)\dots p_n(x)}{F} = F(\a_{ij},\;\forall i,j) \) K=F(\a_1,\dots,\a_n)\\ &\qq \> K=\spezz{p_1(x)p_2(x)\dots p_n(x)}{F} } Quindi il polinomio cercato e' \eal{&f(x)=p_1(x)p_2(x)\dots p_n(x) } \end{pnecessaria} \end{proof} \begin{prop}Sia $F\SC K$ una estensione, \eal{&[K:F]=2 \> F\SC K\T{ e' normale} } \end{prop} \begin{proof} \def\f{{\ove f}} Sia $f(x) \in F[x]$ irriducibile, con $\a_1\in K,\;f(\a_1)=0$. \eal{&f(x)=a\ubrace{\f(x)}{\T{monico}}\\ &\f(\a_1)=0,\;\f\in F[x] \T{ irrid.} \ubrace{\>}{\see{carattpolinomiominimo}} \f(x)=\pmin{\a_1}{F} \> [F(\a_1):F]=\deg \f\;\;(1)\\ &\sist{\a_1\in K\\F\SC K } \> F(\a_1)\( K \> F(\( F(\a_1)\( K \> [F(\a_1):F] \le [K:F]=2 \ubrace{\=}{(1)} \deg \f \le 2\\ &\f \T{ irrid. } \> \deg \f \ge 1 } Se $\deg \f=1$, allora \eal{&f(x)= x-\a_1 } e quindi $\f$ ha tutte le radici in $K$.\\ Se $\deg \f=2$, allora \eal{&\f(\a_1)=0 \ubrace{\>}{\T{Ruffini}} x-\a_1\div \f\T{ in }K[x] \ubrace{\=}{\deg \f=2} \f(x)=(x-\a_1)(x-\a_2),\;\;x-\a_2\in K[x] \> \a_1,\a_2\in K[x] } e quindi $f$ ha tutte le radici in $K$.\\ In definitiva, per l'arbitrarieta' di $f(x)$, $F\SC K$ e' normale. \end{proof} \section{Gruppo di Galois} \def\f{{\varphi}} \begin{defn}\ilabel{gruppo di Galois} Sia $F\SC K$ una estensione algebrica. Definiamo i seguenti insiemi: \eal{&\FM{K}{F}= \pgra{\f:K\longrightarrow \ove F\;|\; \f_{|F}=\id,\;\;\f\T{ omomorfismo}}\\ &\GG{K}{F} =\pgra{\f:K\longrightarrow K\;|\;\f_{|F}=\id,\;\;\f\T{ isomorfismo}}\\ } $\GG{K}{F}$ e' chiamato \emph{Gruppo di Galois}. % Considerando che $F\( \ove F$, possiamo pensare gli elementi di % $\FM{K}{F}$ come gli omomorfismi che estendono l'identita' su $F$. \end{defn} \begin{exemp}\label{expFMQiQ} \eal{&\FM{\Q(i)}{\Q}=\pgra{\id,\;f}\\ &\T{con }f(a+ib)=a-ib} \end{exemp} \begin{proof} Stiamo ricercando tutti gli omomorfismi del tipo \eal{&\f:\Q(i)\longrightarrow \ove \Q\\ &\f_{|\Q}=\id } Poiche' $\Q(i)=\pgra{a+ib\;|\;a,b\in \Q}$, \eal{&\f(a+ib)= \f(a)+\f(i)\f(b) \ubrace{=}{\f_{|\Q}=\id} a+b\f(i)\\ &\sist{\f(i^2) = \f(i)^2\\ \f(i^2) \ubrace{=}{i^2=-1} \f(-1)=-1} \> \f(i)^2=-1 \= \f(i)=\pm i } Abbiamo quindi due possibilita. Se scegliamo $\f(i)=i$, allora $\f=\id$, altrimenti $\f=f$.\\ Resta da verificare che $f$ e' un omomorfismo. Intanto $f$ e' una funzione ben definita, perche' ogni elem, di $\Q(i)$ si scrive in modo unico come $a+ib$ (\vedi{lemalphaalgebricoimplicaFqalphamodounico}) \eal{ &f(a+ib+c+id)=f((a+c)+i(b+d))= (a+c)-i(b+d)=a-ib+c-id = f(a+ib)+f(c+id)\\ &f((a+ib)(c+id))=f(ac-bd+i(ad+bc))=ac-bd-i(ad+bc)=(a-ib)(c-id)= f(a+ib)f(c+id) } \end{proof} \begin{prop}\label{FMGGiniettivelineari} Sia $F\SC K$ algebrica. Si ha \eal{& \f\in \FM{K}{F} \> \f:K_F\longrightarrow \ove F_F\T{ e' una applicazione lineare iniettiva }\\ &\f\in \GG{K}{F} \> \f:K_F\longrightarrow K_F\T{ e' un isomorfismo vettoriale} } \end{prop} \begin{proof} \eal{&F\T{ campo } \ubrace{\>}{\see{defanello}} F \neq \pgra{0}\\ &\f \in \FM{K}{F} \> \f_{|F} = \id \ubrace{\>}{F \neq \{0\}} \Im \f \neq \{ 0 \} \ubrace{\>}{\AI{fomodacampoadanelloestiniettiva}} \f\T{ e' iniettiva }\\ &\f \in \FM{K}{F} \> \sist{\f:K\longrightarrow \ove F\\ \f_{|F} = \id\\ F\SC K,\ove F} \ubrace{\>}{\see{omomoestapplicazlineare}} \f\T{ e' una applicazione lineare} } Analogamente nel caso in cui $\f\in \GG{K}{F}$. L'unica differenza e' che per definizione $\f$ e' biettiva. \end{proof} \begin{prop}\label{GGestgruppo} \label{GGspezzato} \def\o{{\circ}} Sia $F\SC K$ algebrica, \eal{&1.\;\;\GG{K}{F} \( \FM{K}{F}\\ &2.\;\;(\GG{K}{F},\o)\T{ e' un gruppo}\\ &3.\;\;F\SC L \SC K \> \GG{K}{L} \ubrace{\le}{\T{sottogruppo}} \GG{K}{F} } dove $\o$ e' l'operazione di composizione. \end{prop} \begin{proof} \def\o{{\circ}} \step{}{Dim $1.$} \begin{prova} Basta dimostrare che $K\( \ove F$ \eal{&F\SC K \T{ algebrica } \ubrace{\>}{\see{chiusureestensionealgebrica}} \ove F = \ove K \) K } \end{prova} \step{}{Dim $2.$} \begin{prova} Siano $f,g\in \GG{K}{F}$ \eal{&fg \T{ e' ancora un omomorfismo}\\ &\pgra{\a \in F \> fg(\a)= f(\a)=\a} \> fg_{|F}=\id\\ &\qq \> fg\in \GG{K}{F}\\ &\o\T{ e' associativa }\\ &\id\T{ e' l'elemento neutro}\\ &f_{|F}=\id \> \Im f \neq \pgra{0} \\ &f\T{ isomorfismo } \> \exists \inv f } \end{prova} \step{}{Dim $3.$} \begin{prova} Intanto osserviamo che \eal{&F\SC K \T{ algebrica } \ubrace{\>}{\see{algebricasseognipezzoalgebrico}} L \SC K \T{ algebrica} } Poiche'$\GG{K}{L}, \GG{K}{F}$ sono entrambi due gruppi con la stessa operazione, basta controllare che $\GG{K}{L} \(\GG{K}{F}$. \eal{&g\in \GG{K}{L} \> \sist{g:K\longrightarrow K\T{ isomorf.}\\ g_{|L}=\id \ubrace{\>}{F\( L} g_{|F}=\id} \>g\in \GG{K}{F} } \end{prova} \end{proof} \begin{prop}\label{identitaestesaestensioiniapezzi} \eal{&\sist{ F\SC K \T{ algebrica }\\ F\SC L \SC K } \> \FM{K}{L}\( \FM{K}{F}} \end{prop} \begin{proof} \eal{&\f\in \FM{K}{L} \> \f_{|L} =\id \ubrace{\>}{F\( L} \> \f_{|F}=\id\\ &F\SC K \T{ algebrica } \ubrace{\>}{\see{algebricasseognipezzoalgebrico}} F\SC L \T{ algebrica } \ubrace{\>}{\see{chiusureestensionealgebrica}} \ove F =\ove L\\ &\f\in \FM{K}{L} \> \f:K\longrightarrow \ove L =\ove F\\ &\sist{\f:K\longrightarrow \ove F,\;\;\T{ omomorfismo}\\\ \f_{|F}=\id} \> \f\in \FM{K}{F} } \end{proof} \def\ff{{\tilde{\f}}} \begin{prop}\label{propradiceimmersioneestesa} \def\df{{\Phi}} Sia \begin{enumerate} \item $F\SC K$ algebrica, $\a\in K$, $p(x)=\pmin{\a}{F}$ \item $\f:F\longrightarrow \ove F$ una immersione e \eal{&\df: F[x]\longrightarrow \ove F[x]\\ &\somma{i=0}{r} a_ix^i \mapsto \somma{i=0}{r} \f(a_i)x^i } l'omomorfismo indotto da $\f$ (\vedi{omomorfismoindotto}) \item $f(x)\in F[x]$, $a\in K$ \item $\ff:K\longrightarrow \ove F$ un omomorfismo t.c. $\ff_{|F}=\f$ \end{enumerate} allora si ha \eal{&1.\;\; \ff(f(a))= \df(f)(\ff(a))\\ &2.\;\;\ff(\a)\T{ e' radice di } \df(p) } In particolare, la tesi vale per qualsiasi $\ff\in \FM{K}{F}$ (basta considerare $\f=\id$), e si ha \eal{&\ff(f(a))=f(\ff(a))\\ &\ff(\a)\T{ e' radice di } p(x) } \end{prop} \begin{proof} \def\df{{\Phi}} \step{p1}{ Dim. $1.$ } \begin{prova} \eal{ &f(x)\in F[x] \> f(x)=\sum_{i=1}^r b_ix^r,\;\;b_i\in F\;\;\forall i=1,\dots,r \> \df(f) \ubrace{=}{(1)} \sum_{i=1}^r \f(b_i)x^r \;\;(1.1)\\ &f(a)=b_0+b_1a+\dots+b_ra^r\\ &\ff(f(a)) \ubrace{=}{\ff\T{ omomorf.}} \ff(b_0)+\ff(b_1)\ff(a)+\dots+\ff(b_r)\ff(a)^r=\\ &\qq \ubrace{=}{\ff_{|F}=\f} \f(b_0)+\f(b_1)\ff(a)+\dots+\f(b_r)\ff(a)^r \ubrace{=}{(1.1)} \df(f)(\ff(a)) } \end{prova} \step{}{Dim $2.$} \begin{prova} \eal{&p(x)=\pmin{\a}{F} \> p(\a)=0,\;\a\in K \> \ff(p(\a))=\ff(0)=0 \ubrace{\=}{\sref{p1}} \df(p)(\ff(\a)) =0 \>\\ &\qq \> \ff(\a)\in \ove F\T{ e' radice di } \df(p) } \end{prova} \end{proof} \begin{prop}\label{propradiceimmersioneestesaII} \def\df{{\Phi}} Sia $F\SC K$ algebrica, $\a\in K$, $p(x)=\pmin{\a}{F}$, $\ff\in \FM{K}{F}$, allora si ha \eal{&\ff(\a)\T{ e' radice di } p(x)} Preso $f(x)\in F[x]$, $a\in K$, si ha \eal{&\ff(f(a))=f(\ff(a))} \end{prop} \begin{proof} Basta rileggere la \see{propradiceimmersioneestesa}. \end{proof} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{thm}\label{immersioniestese} \def\df{{\Phi}} Sia \begin{enumerate} \item $F\SC K$,\;\;$\a\in K$, $p(x)=\pmin{\a}{F}$, $n=\deg p(x)$ \item $\f:F\longrightarrow \ove F$ una immersione \item $E=\pgra{\ff:K\longrightarrow \ove F\;|\; \ff_{|F}=\f,\;\;\ff\T{ omomorfismo}}$ \item $\df:F[x]\longrightarrow \ove F[x]$ l'omomorfismo indotto da $\f$ e $\b_1,\dots,\b_n$ le radici di $\df(p)$ \end{enumerate} Si ha \eal{& \sist{K=F(\a)\\ \a\T{ algebrico su }F} \> \sist{ |E| \le n\\ |E|=|\pgra{\ff(\a)\;|\;\ff\in E}|\T{ con biezione }\ff\in E \mapsto \ff(\a)\\ \pgra{\b_1,\dots,\b_n}=\pgra{\ff(\a)\;|\;\ff\in E} }\\ &\sist{ K=F(\a)\\ \a\T{ separabile e algebrico su }F } \> |E|=n } \end{thm} \begin{proof} \def\df{{\Phi}} Sia \eal{&\df: F[x]\longrightarrow \ove F[x]\\ &\somma{i=0}{r} a_ix^i \mapsto \somma{i=0}{r} \f(a_i)x^i\;\;(1) } l'omomorfismo indotto da $\f$ (\vedi{omomorfismoindotto}).\\ Sia $\ff\in E$. \step{p2}{ Sia $E'=\pgra{\ff(\a)\;|\;\ff\in E}$ . Dim che \eal{&|E| = |E'| } In altre parole, ogni $\ff\in E$ e' completamente determinato da $\ff(\a)$. } \begin{prova} Utilizziamo la seguente funzione: \eal{&e:E\longrightarrow E'\\ &\ff \mapsto \ff(\a) } $e$ e' chiaramente surriettiva. E' anche iniettiva: supponendo che $\ff(\a)=\ff'(\a)$ dimostriamo che $\ff=\ff'$ \eal{ &\a\T{ algebrico su }F \ubrace{\>}{\see{alphaalgebricosseFalphaeqFqalpha}} K=F(\a)=F[\a] \ubrace{=}{\see{propalphaalgebricosseFalphafinita}} \pgra{b_0+b_1\a+b_2\a^2+\dots+b_{n-1}\a^{n-1}\;|\;b_i\in F}\\ &\b\in K \> b=b_0+b_1\a+b_2\a^2+\dots+b_{n-1}\a^{n-1}\\ &\ff(\b)= \ff(b_0)+\ff(b_1)\ff(\a)+\dots+\ff(b_{n-1})\ff(\a)^{n-1} \ubrace{=}{\ff_{|F}=\f} \f(b_0)+\f(b_1)\ff(\a)+\dots+\f(b_{n-1})\ff(\a)^{n-1}\\ &\ff'(\b) = \f(b_0)+\f(b_1)\ff'(\a)+\dots+\f(b_{n-1})\ff'(\a)^{n-1} \ubrace{=}{\ff=\ff'} \f(b_0)+\f(b_1)\ff(\a)+\dots+\f(b_{n-1})\ff(\a)^{n-1} = \ff(\b) } Per l'arbitrarieta' di $b$ abbiamo quindi \eal{& &\forall \b\in K\;\;\ff(\b)=\ff'(\b) \= \ff=\ff' } \lineapiccola\\ \end{prova} Abbiamo \eal{& n=\deg p = \deg \df(p) \> \exists \b_1,\dots,\b_n\T{ radici di }\df(p)\\ &\df(p)\in \ove F[x],\;\;\ove F \T{ chiuso } \ubrace{\>}{\see{campochiusocaratt} } \b_i\in \ove F\;\;\forall i=1,\dots,n\;\;(2)\\ &p(x)=\pmin{\a}{F} \ubrace{\>}{\see{propradiceimmersioneestesa}} \ff(\a)\in \ove F\T{ e' radice di } \df(p) \ubrace{\>}{(2)} \exists i:\;\b_i=\ff(\a) } Quindi, fin qui abbiamo visto che \eal{&\ff \in E \> \ff(\a) \in \pgra{\b_1,\dots,\b_n}\\ & \qq \> \pgra{\ff(\a) \;|\;\ff\in E} \( \pgra{\b_1,\dots,\b_n} \> | \pgra{\b_1,\dots,\b_n} | \ge |\pgra{\ff(\a) \;|\;\ff\in E}| \ubrace{=}{\sref{p2}} |E|\;\;(3)\\ &\b_1,\dots,\b_n\T{ possono non essere distinti } \> |\pgra{\b_1,\dots,\b_n}|\le n \ubrace{\>}{(3)} |E| \le n } che e' la prima parte della tesi. \step{ug3}{Dim. che \eal{&\pgra{\b_1,\dots,\b_n}=\pgra{\ff(\a)\;|\;\ff\in E} }} \begin{prova} Per completare l'uguaglianza in $(3)$, dimostriamo che $\pgra{\b_1,\dots,\b_n}\(\pgra{\ff(\a)\;|\;\ff\in E}$ \def\bb{{\ove\b}} Fissato $1\le k\le n$, $\bb=\b_k$, consideriamo la funzione $f$ definita come \eal{&f:K=F(\a)\longrightarrow \ove F\\ &b_0+b_1\a+b_2\a^2+\dots+b_{n-1}\a^{n-1} \mapsto \f(b_0)+\f(b_1)\bb+\f(b_2)\bb^2+\dots+\f(b_{n-1})\bb^{n-1} } o in altri termini: \eal{&h(x)\in F[x]\\ &f(h(\a)) = \df(h)(\bb)\;\;(4)} Per il lemma \see{lemmafdellachiusura}, applicato a $L=F$, abbiamo che: \eal{&f\T{ e' un omomorfismo t.c. }f_{|F}=\f } quindi \eal{&\sist{f:K\longrightarrow \ove F\\ f_{|F}=\f\\ f\T{ omomorfismo} } \> f\in E } Abbiamo cosi' trovato un elemento $f\in E$ tale che \eal{&f(\a)=\bb} quindi $\bb\in\pgra{\ff(\a)\;|\;\ff\in E}$.\\ Per l'arbitrarieta' di $\bb$ abbiamo quindi \eal{&\pgra{\b_1,\dots,\b_n}\(\pgra{\ff(\a)\;|\;\ff\in E} } e per la $(3)$ \eal{&\pgra{\b_1,\dots,\b_n}=\pgra{\ff(\a)\;|\;\ff\in E}} \end{prova} \step{}{ Supponiamo adesso che $\a$ sia separabile su $F$ e dimostriamo che $|E|=n$. } \begin{prova} \eal{&\f \T{ immersione } \> \f\T{ iniettiva} \ubrace{\>}{\see{omomorfismoindotto}} \df \T{ iniettiva} \> \df:F[x]\longrightarrow \Im \df\T{ e' un isomorfismo}\;\;(*)\\ &\a\T{ separabile} \ubrace{\>}{\T{per def.}} p(x)\T{ separabile } \ubrace{\>}{(*)} \df(p)(x) \T{ separabile } \> \b_1,\dots,\b_n \T{ sono tutte distinte } \> \\ &\>|\pgra{\b_1,\dots,\b_n}|= n\\ &n = |\pgra{\b_1,\dots,\b_n}| \ubrace{=}{\sref{ug3}} |\pgra{\ff(\a)\;|\;\ff\in E}| \ubrace{=}{\sref{p2}} |E|\\ &|E|=n } \end{prova} \end{proof} \begin{cor}\label{corimmersioniestese} Sia $F\SC K$, $\f:F\longrightarrow \ove F$ una immersione. Si ha \eal{&F\SC K\T{ finita } \> \Big|\pgra{\ff:K\longrightarrow \ove F\;|\; \ff_{|F}=\f,\;\;\ff\T{ omomorfismo}}\Big| \le [K:F] } Inoltre, se $F\SC K$ e' anche separabile, allora vale l'uguaglianza.\\ Nota: la dimostrazione e' costruttiva: viene fornito il metodo per costruire l'insieme. \end{cor} \begin{proof} Sia $E$ l'insieme della tesi. Osserviamo intanto che \eal{ &F\SC K\T{ finita } \ubrace{\>}{\see{thmfinitassealgebricaefingen}} F\SC K \T{ finit. gen. e algebrica } } \step{p1}{Supponiamo $F\SC K$ separabile e dimostriamo che $|E|=[K:F]$} \begin{prova} \eal{ &F\SC K \T{ finit. gen. e separabile } \ubrace{\>}{\see{FKfingensepestsemplice}} F\SC K\T{ semplice } \> K=F(\a),\;\a\in K\\ &F\SC K \T{ finita} \> F\SC K\T{ algebrica } \> \a\T{ algebrico su }F } Quindi per il thm \see{immersioniestese} si ha \eal{&|E|=\deg \pmin{\a}{F} \ubrace{=}{\see{propalphaalgebricosseFalphafinita}} [F(\a):F]=[K:F] } \end{prova} \step{p2}{Supponiamo $F\SC K$ non separabile e dimostriamo che $|E|\le [K:F]$} \begin{prova} \eal{&F\SC K \T{ finit. gen. } \> K=F(\a_1,\dots,\a_n)\\ &F \SC K\T{ algebrica } \> \a_1,\dots,\a_n\T{ algebrici su }F } Procediamo per induzione su $n$ \step{}{$n=1$} \begin{prova} Basta applicare il thm \see{immersioniestese}: \eal{&|E|=\deg \pmin{\a_1}{F} \ubrace{=}{\see{propalphaalgebricosseFalphafinita}} [F(\a_1):F]=[K:F] } \end{prova} \step{}{$n-1 \> n$} \begin{prova} Sia $F'=F(\a_1,\dots,\a_{n-1})$, e sia $E'=\pgra{\ff:F'\longrightarrow \ove F\;|\; \ff_{|F}=\f,\;\;\ff\T{ omomorfismo}}$, si ha \eal{&F\SC F' \SC F'(\a_n)} Abbiamo $|E'| \le [F':F]$, infatti, se $F\SC F'$ e' separabile, per il \sref{p1} abbiamo $|E'|=[F':F]$, altrimenti possiamo applicare l'ipotesi induttiva, e abbiamo $|E'|\le [F':F]$. \eal{&E'=\pgra{\f_1',\dots,\f_h'},\;\;h\le [F':F]\;\;\;(1) } Sia $\f_i'\in E'\;\;$, $E_i''=\pgra{\ff':F'(\a_n)\longrightarrow \ove F'\;|\;\ff'_{|F'}=\f_i',\;\ff'\T{ omorf.}}$. \step{p3}{Sia $E''=\bigcup_{i=1}^h E_i''$, si ha $E''=E$} \begin{prova} Dim. $E''\( E$. \eal{&\a_1,\dots,\a_{n-1}\T{ algebrici } \ubrace{\>}{\see{elemalgebriciimplicaestensalgebrica}} F\SC F'=F(\a_1,\dots,\a_{n-1})\T{ algebrica} \ubrace{\>}{\see{chiusureestensionealgebrica}} \ove F'=\ove F\;\;(2)\\ &\ff'\in E_i'' \> \ff'_{|F'}=\f_i' \ubrace{\>}{F\( F'} \ff'_{|F} = {\f_{i}'}_{|F} \ubrace{=}{\f_i'\in E'} \f\;\;(3)\\ &F'(\a_n)=K\\ &\qq \> E_i''= \pgra{\ff':F'(\a_n)\longrightarrow \ove F'\;|\;\ff'_{|F'}=\f_i',\;\ff'\T{ omorf.}} = \\ &\qq \qq = \pgra{\ff':K\longrightarrow \ove F\;|\;\ff'_{|F'}=\f_i',\; \ff'_{|F} = \f,\;\ff'\T{ omorf.}} \( E\\ &\;\;\forall 0\le i\le h \;\;E_i'' \( E \> \bigcup_{i=1}^h E_i'' \( E } Dim. $E\( E''$. Sia $\ff\in E$ e sia $f=\ff_{|F'}$ \eal{&f_{|F} = \ff_{|F}=\f \> f\in E' \> f=\f_j'\\ &\sist{\ff:K=F'(\a_n)\longrightarrow \ove F=\ove F',\;\;\T{ omorfismo}\\ \ff_{|F'}=f=\f_j'}\> \ff \in E_{j}'' \( E'' } \lineapiccola \end{prova} \step{p4}{$|E|\le \sum_{i=1}^h |E_i''|$} \begin{prova} \eal{&E \ubrace{=}{\sref{p3}} E''= \bigcup_{i=1}^h E_i'' \> |E| \le \sum_{i=1}^h |E_i''| } \lineapiccola \end{prova} Applicando il thm \see{immersioniestese} su $\f_i'$ e $F\( F'(\a_n)$, abbiamo \eal{&|E_i''| \le \deg\pmin{\a_n}{F'}=[F'(\a_n):F']\;\;(*) } Quindi \eal{&|E| \ubrace{\le}{\sref{p4}} \sum_{i=1}^h |E_i''| \ubrace{\le }{(*)} h [F'(\a_n):F'] \ubrace{\le }{(1)} [F':F][F'(\a_n):F'] \ubrace{=}{\see{transitivitagrado}} [F'(\a_n):F]=[K:F]\\ &|E|\le [K:F] } \end{prova} \end{prova} \end{proof} \begin{cor}\label{cardinalitaFM} \eal{ &F\SC K \T{ finita } \> |\GG{K}{F}| \le |\FM{K}{F}|\le [K:F]\\ &F\SC K\T{ finita e separabile } \> |\GG{K}{F}| \le |\FM{K}{F}|= [K:F] } \end{cor} \begin{proof} Basta applicare \see{corimmersioniestese}, con $\f=\id$, e la prop \see{GGestgruppo}. \end{proof} \begin{defn} Sia $F\SC K$ algebrica e $T\( \FM{K}{F}$, definiamo \eal{&\KT{K}{T}=\pgra{\a\in K\;|\;t(\a)=\a\;\;\forall t\in T} } \end{defn} \begin{prop}\label{propKTFM} Sia $F\SC K$ algebrica, $L\( K$ e $T\( \FM{K}{F}$, si ha \eal{&1.\;\;F\SC \KT{K}{T} \SC K\\ &2.\;\;T\( \FM{K}{ \KT{K}{T} }\\ &3.\;\;L\( \KT{K}{ \FM{K}{L} }\\ &4.\;\;\GG{K}{K^{\GG{K}{F}}}=\GG{K}{F} } \end{prop} \begin{proof} \step{p1}{Dim $1.$} \begin{prova} \eal{&t\in T\( \FM{K}{F} \> t_{|F} =\id \> t(\a) =\a \;\;\forall \a \in F \> F\( \KT{K}{T} &\KT{K}{T} \( K } Resta da dimostrare che $\KT{K}{T} \SC K$, ovvero che $\KT{K}{T} $ e' un sottocampo di $K$. \eal{&\a,\b\in \KT{K}{T}\\ &t(\a-\b) \ubrace{=}{t\T{ omo.}} t(\a)-t(\b)= \a-\b \\ &\qq \> \a-\b\in \KT{K}{T}\\ &t(\a\inv \b) \ubrace{=}{t\T{ omo.}} t(\a)t(\inv \b)= t(\a)\inv {\pton{t(\b)}} = \a \inv \b\\ &\qq \> \a\inv \b\in \KT{K}{T} } e quindi per la \see{carattsottocampo} si ha la tesi. \end{prova} \step{}{Dim $2.$} \begin{prova} \eal{&t\in T\\ &t_{|\KT{K}{T}} \ubrace{=}{\T{ per definizione di $\KT{K}{T}$}} \id\\ &\sist{\T{\sref{p1}} \> F\SC \KT{K}{T} \SC K \\ F\SC K\T{ algebrica } } \ubrace{\>}{\see{algebricasseognipezzoalgebrico}} F\SC \KT{K}{T}\T{ algebrica} \ubrace{\>}{\see{chiusureestensionealgebrica}} \ove F = \ove{\KT{K}{T}}\\ &\sist{t:K\longrightarrow \ove F = \ove{\KT{K}{T}}\T{ omomorfismo}\\ t_{|\KT{K}{T}}=\id} \> t\in \FM{K}{\KT{K}{T}} } \end{prova} \step{}{Dim $3.$} \begin{prova} \eal{&\a\in L\( K\\ &\pton{\f\in \FM{K}{L} \> \f_{|L}=\id \> \f(\a)=\a}\> \a \in \KT{K}{\FM{K}{L}} } \end{prova} \step{}{Dim. $4.$} \begin{prova} \step{}{Dim $\)$} \begin{prova} \eal{&\f\in \GG{K}{F}\>\sist{\f:K\longrightarrow K\T{ isomorf.}\\ \f_{|F}=\id}\\ &\a\in K^{\GG{K}{F}} \> f(\a)=\a\;\;\forall f\in \GG{K}{F} \> \f(\a)=\a\\ &\qq \> \f_{|K^{\GG{K}{F}}}=\id\\ &\sist{\f:K\longrightarrow K\T{ isomorf.}\\ \f_{|K^{\GG{K}{F}}}=\id } \> \f\in \GG{K}{K^{\GG{K}{F}}} } \end{prova} \step{}{Dim $\($} \begin{prova} \eal{& \f\in \GG{K}{K^{\GG{K}{F}}}\>\sist{\f:K\longrightarrow K\T{ isomorf.}\\ \f_{|K^{\GG{K}{F}}}=\id}\;\;(*)\\ &\GG{K}{F}\ubrace{\(}{\see{GGestgruppo}} \FM{K}{F} \ubrace{\>}{1.} F\SC K^{\GG{K}{F}} \;\;(**)\\ &(*),(**)\>\f_{|F}=\id\\ &\sist{\f:K\longrightarrow K\T{ isomorf.}\\ \f_{|F}=\id} \> \f\in \GG{K}{F} } \end{prova} \end{prova} \end{proof} \begin{prop}\label{LKTFM} Sia $F\SC L \SC K$, si ha \eal{&F\SC K\T{ separabile, finita } \> L = \KT{K}{ \FM{K}{L} } } \end{prop} \begin{proof} Sia $m=[K:L]$ \eal{&F\SC K \T{ separabile, finita } \ubrace{\>}{ \see{separabileimplicapezziseparabili}, \see{transitivitagrado} } L\SC K\T{ separabile, finita } \ubrace{\>}{\see{cardinalitaFM}} | \FM{K}{L} | = [K:L] =m\;\;(1)\\ &L\SC K \ubrace{\>}{\see{propKTFM} } L \SC \KT{K}{\FM{K}{L}} \SC K\;\;(2)\\ &L\SC K\T{ separabile, finita } \ubrace{\>}{\see{separabileimplicapezziseparabili},\see{separabileimplicapezziseparabili}} \KT{K}{\FM{K}{L}} \SC K\T{ separabile, finita } \>\\ &\qq \ubrace{\>}{\see{cardinalitaFM}} \Big|\ubrace{\FM{K}{\KT{K}{\FM{K}{L}}}}{I}\Big| = \pqua{K:\KT{K}{\FM{K}{L}}} \ubrace{\le}{(2),\see{transitivitagrado}} [K:L] =m\;\;(2.1) \\ &|I| \le m\;\;(3)\\ &L\SC K\T{ finita } \ubrace{\>}{\see{thmfinitassealgebricaefingen}} L\SC K\T{ algebrica} \ubrace{\>}{\see{propKTFM}} \FM{K}{L} \( \FM{K}{\KT{K}{\FM{K}{L}}} = I \> |I| \ge |\FM{K}{L} | \ubrace{=}{(1)} m\;\;(1.1)\\ &(1.1),\;(3) \> |I| =m\\ &\sist{L\SC \KT{K}{\FM{K}{L}} \SC K\\ \pqua{K:L}=m\\ \pqua{K:\KT{K}{\FM{K}{L}}} \ubrace{=}{(2.1)} m } \ubrace{\>}{\see{transitivitagrado}} \pqua{\KT{K}{\FM{K}{L}}:L}=1 \> L=\KT{K}{\FM{K}{L}} } \end{proof} \begin{cor}\label{corrispondenzapregalois} \def\P{{f}} Sia $F\SC K$ separabile e finita, allora \eal{& \pass{\pgra{L\;|\;F\SC L\SC K }} \le \pass{\pgra{T\;|\;T\( \FM{K}{F}}}} In particolare, una funzione iniettiva e' \eal{&f(L)=\FM{K}{L} } \end{cor} \begin{proof} \def\P{{\Psi}} Siano $A,B$ i due insiemi della tesi. $f$ e' ben definita, infatti, \eal{&L\in A \> F\SC L \SC K \ubrace{\>}{\see{identitaestesaestensioiniapezzi}} \FM{K}{L}\(\FM{K}{F} \> \FM{K}{L}\in B } Sia $g:B\longrightarrow A$, la seguente funzione: \eal{&g(T)=\KT{K}{T} } E' anch'essa ben definita: \eal{&T\in B \> T\( \FM{K}{F} \ubrace{\>}{\see{propKTFM} } F\SC \KT{K}{T} \SC K \> \KT{K}{T} \in A } Infine, $gf=\id_A$, infatti \eal{&gf(L)=g\pton{\FM{K}{L} } = \KT{K}{\FM{K}{L} } \ubrace{=}{F\SC K\T{ sep. e finita},\;\see{LKTFM}} L } Quindi $f$ e' iniettiva. \end{proof} \begin{prop}\label{GGeqFMsefinitanormale} \eal{&F\SC K \T{ finita e normale } \> \GG{K}{F} = \FM{K}{F} } \end{prop} \begin{proof} \def\f{{\varphi}} Per la prop \see{GGestgruppo}, sappiamo gia' che $\GG{K}{F} \( \FM{K}{F}$. Resta da dimostrare $\)$.\\ Sia $\f\in \FM{K}{F}$ \eal{&F\SC K \T{ finita } \ubrace{\>}{\see{thmfinitassealgebricaefingen}} K=F(\a_1,\dots,\a_n),\;\;\a_i\in K\;\;\forall i\\ &\b\in K \ubrace{\>}{\see{estensionedicampiesplicita}} \b=\frac{f(\a_1,\dots,\a_n)}{g(\a_1,\dots,\a_n)},\;\;f,g\in F[x_1,\dots,x_n]\\ &\f(\b) \ubrace{=}{\f\T{ omomorfismo}} \frac{\f f(\a_1,\dots,\a_n)}{\f g(\a_1,\dots,\a_n)} \ubrace{=}{\f_{|F}=\id,\;\;f,g\in F[x_1,\dots,x_n]} \frac{f(\f(\a_1),\dots,\f(\a_n))}{g(\f(\a_1),\dots,\f(\a_n))}\\ &\qq \> \Im \f = \pgra{ \frac{f(\f(\a_1),\dots,\f(\a_n))}{g(\f(\a_1),\dots,\f(\a_n))}\; \Big| \; f,g\in F[x_1,\dots,x_n],\;\;g(\a_1,\dots,\a_n) \neq 0 }\;\;(1)\\ &F\SC K \T{ finita } \> F\SC K\T{ algebrica } \> \a_i\T{ algebrico su $F$}\;\;\forall i\\ &\T{Sia } p_i(x)=\pmin{\a_i}{F}\\ &\f\in \FM{K}{F} \ubrace{\>}{\see{propradiceimmersioneestesa} } \f(\a_i)\T{ e' radice di }p_i(x)\\ &\sist{p_i(\a_i)=0,\;\a_i\in K\\ p_i(\f(\a_i))=0\\ p_i(x)\T{ irrid. in }F[x]\\ F\SC K \T{ e' normale }} \> \f(\a_i) \in K\\ &\f(\a_i)\in K\;\;\forall i \ubrace{\>}{(1)} \Im \f\( K\;\;(2)\\ &\f\in \FM{K}{F} \ubrace{\>}{\see{FMGGiniettivelineari}} \f:K_F\longrightarrow \ove F_F\T{ e' una applicazione lineare iniettiva}\\ &\qq \> K\ubrace{\simeq}{\T{isom. vettoriale}} \f(K) \> [\f(K):F] = [K:F]\\ % &F\SC K \T{ finita } \ubrace{\>}{\see{thmfinitassealgebricaefingen}} F\SC K \T{ algebrica } \ubrace{\>}{\see{chiusureestensionealgebrica} } \ove F =\ove K \\ &\sist{(2) \> \f(K)\( K\\ [\f(K):F] = [K:F] } \ubrace{\>}{\AL{altrepropbaseedimensioni}} \f(K)=K } Quindi, ricapitolando, \eal{&\f\T{ iniettiva} \> \f:K\longrightarrow \f(K)\T{ isomorfismo }\\ &\f(K)=K \> \f:K\longrightarrow K\\ &\f_{|F}=\id \\ &\qq \> \f \in \GG{K}{F} } \end{proof} \begin{exemp} \eal{&\GG{\Q(i)}{\Q} = \FM{\Q(i)}{\Q} =\pgra{\id,\;f} \\ &\T{con }f(a+ib)=a-ib } \end{exemp} \begin{proof} \eal{&\Q(i)=\spezz{x^2+1}{\Q} \ubrace{\>}{\see{normalefinitacaratt}} \Q\( \Q(i) \T{ e' normale e finita} \ubrace{\>}{\see{GGeqFMsefinitanormale}} \GG{\Q(i)}{\Q} = \FM{\Q(i)}{\Q} =\\ & \ubrace{=}{\see{expFMQiQ}} \FM{\Q(i)}{\Q}=\pgra{\id,\;f}\\ &\T{con }f(a+ib)=a-ib } \end{proof} \begin{prop} \label{estgaloispolminesplicito} Sia $F\SC K$, $\a\in K$ e $H \le G=\GG{K}{F}$ sottogruppo. Supponendo che \eal{&F\SC K \T{ estensione finita}\\ &\KT{K}{H}=F} si ha \eal{&H=\pgra{\f_1,\dots,\f_s}\\ &\qq \T{ con } s < \8,\;\;\f_i \neq \f_j\;\;\forall i \neq j\\ &\pmin{\a}{F} =\prod_{i=1}^{r}(x-\a_i)\\ &\T{ dove abbiamo posto}\\ &\qq\a_i'=\f_i(\a)\in K\;\;\forall i=1,\dots,s\\ &\qq\pgra{\a_1,\dots,\a_r}=\pgra{\a_1',\dots,\a_s'}\\ &\qq\T{ con }r\le s,\;\;\a_i \neq \a_j\;\;\forall i \neq j } In particolare, la tesi vale per $H=G$. \end{prop} \begin{proof} Osserviamo che \eal{&F\SC K \T{ finita } \> |G|\ubrace{\le }{\see{cardinalitaFM}}[K:F] < +\8 \\ &H\( G \> |H|\le |G| < +\8 } Quindi, possiamo scrivere $H=\pgra{\f_1,\dots,\f_s}$ con $\f_i \neq \f_j\;\;\forall i \neq j$.\\ Sia $\a\in K$, e siano \eal{&\a_i'=\f_i(\a)\in K\;\;\forall i=1,\dots,s\\ &\pgra{\a_1,\dots,\a_r}=\pgra{\a_1',\dots,\a_s'}\\ &\T{ con }r\le s,\;\;\a_i \neq \a_j\;\;\forall i \neq j } Sia \eal{&h(x)=\prod_{i=1}^{r}(x-\a_i)\in K[x]} \step{p1}{Dim. $h(x)=\pmin{\a}{F}$} \begin{prova} Sia $\f\in H$, e sia $A=\pgra{\a_1,\dots,\a_r}$ \step{}{Dim. $\f_{|A}:A\longrightarrow A$ e' una biezione, ovvero e' una permutazione su $A$} \begin{prova} \eal{&\T{Per costruzione }\forall \a_i\exists i':\;\;\a_i=\f_{i'}(\a)\\ &\f(\a_i)=\f(\f_{i'}(\a))=\f\circ \f_{i'} (\a) \ubrace{=}{H\T{ e' un gruppo}} \f_j (\a) = \a_{j'}\in A \\ &\qq \> \f_{|A}(A)\( A \;\;(*)\\ &\f\in H\( G=\GG{K}{F} \> \f\T{ e' iniettiva}\;\;(**)\\ &\sist{|A| < \8\\ (*),(**)} \> \f\T{ surriettiva} } \lineapiccola\\ \end{prova} \step{phF}{$h(x)\in F[x]$} \begin{prova} $h(x)$ e' per costruzione simmetrico nelle variabili $\a_1,\dots,\a_r$, quindi non cambia applicandogli l'indotto $\Phi_i$ della permutazione $\f_{i_{|A}}$: \eal{&\Phi_i(h)=h } o piu' in dettaglio: \eal{ &h(x)=a_0+a_1x+\dots+a_rx^r \\ & \Phi_i(h)(x)=\f_i(a_0)+\f_i(a_1)x+\dots+\f_i(a_r)x^r =\\ & \ubrace{=}{\f_i\T{ omomorfismo}} \prod_{j=1}^{r}(x-\f_i(\a_j)) \ubrace{=}{\f_i\T{ permuta gli $\a_j$}} h(x) = a_0+a_1x+\dots+a_rx^r \\ &a_0+a_1x+\dots+a_rx^r = \f_i(a_0)+\f_i(a_1)x+\dots+\f_i(a_r)x^r \= \sist{\f_i(a_0)=a_0\\ \f_i(a_1)=a_1\\ \dots\\ \f_i(a_r)=a_r } \=\f_i(a_j)=a_j\;\;\forall j=1,\dots,r\\ &\f_i(a_j)=a_j\;\;\forall i=1,\dots,s \= \f(a_j)=a_j\;\;\forall\f\in H \> a_j\in \KT{K}{H}\\ &a_j\in \KT{K}{H}\;\;\forall j \> h(x)\in \KT{K}{H}[x] \ubrace{=}{\KT{K}{H}=F} F[x] } \end{prova} Sia $p(x)=\pmin{\a}{F}$ \step{}{$h(x)=p(x)$} \begin{prova} Sempre per costruzione $h(\a_i)=0\;\;\forall i$, cioe' \eal{&h(\f_{i'}(\a))=0\;\;\forall i\\ &\f_{i'}\in H\( G\( \FM{K}{F} \ubrace{\>}{\see{propradiceimmersioneestesaII}} p(\f_{i'}(\a))=0 \= p(\a_i)=0\> x-\a_i\div p(x)\\ &x-\a_i\div p(x)\;\;\forall i=1,\dots,r \> h(x)\div p(x)\\ &\a=\id(\a),\;\id \in H \> \exists k:\;\a=\a_{k}\\ &\sist{h(x)\ubrace{\in}{\sref{phF}} F[x]\\ h(\a)=h(\a_k)=0} \ubrace{\>}{\see{defpolinomiominimo}} p(x)\div h(x)\\ &\sist{h(x)\div p(x)\\p(x)\div h(x)} \> p(x)=h(x) } \end{prova} \end{prova} \end{proof} \begin{lem}\label{lemmagammaprimitivoseparabile} \eal{& \sist{ F\SC K\T{ algebrica }\\ K=F(\a_1,\dots,\a_n)\\ \a_1,\dots,\a_n\in K,\;\;\T{ separabili su }F } \> \exists \gamma\in K\T{ separabile su $F$ t.c. }K=F(\gamma) } Nota\footnote{a differenza del thm \see{FKfingensepestsemplice}, stiamo affermando che $\gamma$ e' separabile e non stiamo richiedendo che $F\SC K$ sia separabile. } \end{lem} \begin{proof} Sfruttiamo la dimostrazione del thm \see{FKfingensepestsemplice}. Osserviamo intanto che le ipotesi garantiscono la $(1)$ e $(2)$ della dim di \see{FKfingensepestsemplice}. \step{}{Supponiamo $F$ finito} \begin{prova} Ripetendo la dimostrazione di \see{FKfingensepestsemplice}, nel caso finito, abbiamo \eal{&F\SC K\T{ finita},\;\;K\T{ finito}\\ &\exists \a\in K\;\;K=F(\a) } Infine, \eal{&\sist{F\T{ finito}\\ F\SC K\T{ algebrica} } \ubrace{\>}{\see{separabileseFfinitoFKalgebrica}} F\SC K\T{ sepabile } \> \a\T{ separabile} } \end{prova} \step{}{Supponiamo $F$ infinito} \begin{prova} Procediamo per induzione su $n$ \step{}{$n=1$} \begin{prova} \eal{&K=F(\a_1),\;\;\a_1\T{ separabile}} \end{prova} \step{n2}{$n=2$} \begin{prova} Poniamo \eal{&\a=\a_1,\;\;\b=\b_1\\ &f(x)=\pmin{\a}{F},\;\;g(x)=\pmin{\b}{F}\\ &\a_1,\a_2,\dots,\a_r\T{ tutte le radici di }f(x)\\ &\b_1,\b_2,\dots,\b_s\T{ tutte le radici di }g(x) } \def\l{{\lambda}} Poiche' $F$ e' infinito \eal{&\exists \l \in F:\;\;\lambda \neq \frac{\a_h-\a_i}{\b_j-\b_q} \;\;\sist{1\le h,i,\le r\\ 1\le j \neq q\le s}\;\;(1)\\ &\> \a_i+\lambda\b_j \neq \a_h+\lambda \b_q\;\;\;\;\forall j \neq q\;\;(1.1) } Inoltre, \eal{&\a\T{ separabile } \> \pmin{\a}{F}=f(x) \T{ separabile } \> \a_1,\a_2,\dots,\a_r\T{ sono distinte } \> \a_i+\lambda\b_j \neq \a_h+\lambda \b_j\;\;\forall i \neq h \\ & \ubrace{\>}{(1.1)} \a_i+\lambda\b_j \neq \a_h+\lambda \b_q\;\; \forall i \neq h \;\;(1.2)\\ &\a_i+\lambda\b_j = \a_h+\lambda \b_q \ubrace{\=}{(1.1),(1.2)} i=h \& h=q\;\;(1.3) } Riusando la dimostrazione del thm \see{FKfingensepestsemplice} nel caso $n=2$, otteniamo \eal{&K=F(\a+\lambda \b) } Nota\footnote{la dimostrazione del thm \see{FKfingensepestsemplice} nel caso $n=2$ funziona anche supponendo che $\a,\b$ siano separabili, senza richiedere che $F\SC K$ sia separabile.} \def\g{{\gamma}} Sia $\g=\a+\lambda\b$. \step{}{Dimostriamo che $\g$ e' separabile su $F$} \begin{prova} Sia \eal{ &s(x)=\prod_{j=1}^{s}f(x-\l \b_j) } \step{}{$s(\g)=0$} \begin{prova} \eal{&s(\a+\lambda\b)= f(\a+\lambda\b-\l \b_1) f(\a+\lambda\b-\l \b_2) \dots \\ &f(\a+\lambda\b-\l \b_1) \ubrace{=}{\b_1=\b} f(\a)=0 } \end{prova} \step{}{$s(x)$ e' separabile} \begin{prova} \eal{&f(x)=(x-\a_1)(x-\a_2)\dots (x-\a_r)\\ &f(x-\l \b_j) = \prod_{i=1}^{r} (x-(\a_i+\l\b_j))\\ &s(x)= \prod_{j=1}^{s}f(x-\l \b_j) = \prod_{j=1}^{s}\prod_{i=1}^{r} (x-(\a_i+\l\b_j)) \>\\ &\> \T{ le radici di $s(x)$ sono }\a_i+\l\b_j \ubrace{\>}{(1.3)} \T{ sono tutte distinte} \> s(x)\T{ e' separabile } } \end{prova} \step{}{$s(x)\in F[x]$} \begin{prova} Poniamo \eal{&S(x_1,\dots,x_s,x)=\prod_{j=1}^{^s}f(x-\l x_j)\in F[x_1,\dots,x_s,x]} dove $x_1,\dots,x_s,x$ sono delle indeterminate. Si ha \eal{& \sist{S\T{ e' simmetrico nella variabili }x_1,\dots,x_s\\ S(x_1,\dots,x_s,x)=\sum_{i=1}^{rs} q_i(x_1,\dots,x_s)x^i} q_i\T{ sono simmetrici} \ubrace{\>}{\see{psymrimangonoinFcalcolatinellaradici}} q_i(\b_1,\dots,\b_s)\in F[x] \;\;\forall i\\ &\> s(x)=S(\b_1,\dots,\b_s,x)\in F[x] } \end{prova} Sia $p(x)=\pmin{\a}{F}$ \eal{&\sist{s(x)\in F[x]\\ s(\a)=0} \ubrace{\>}{\see{defpolinomiominimo}} p(x)\div s(x) \\ &\sist{p(x)\div s(x)\\ s(x)\T{ separabile }} \ubrace{\>}{\see{divalloraseparabile}} p(x)\T{ separabile} } \end{prova} \end{prova} \step{}{$n-1 \> n$} \begin{prova} \eal{&F(\a_1,\dots,\a_n)=F(\a_1,\dots,\a_{n-1})(\a_n) \ubrace{=}{\T{Hp induttiva}} F(\g_1)(\a_n),\;\;\g_1\T{ separabile su }F\\ &\g_1,\a_n\T{ separabili su }F \ubrace{\>}{\sref{n2}} F(\g_1,\a_n) = F(\g_2)\;\;\g_2\T{ separabile}. } \end{prova} \end{prova} \end{proof} \begin{thm}\label{thmdefgalois} Data $F\SC K$ finita, le seguenti proposizioni sono equivalenti: \eal{&1.\;\;F\SC K\T{ e' normale e separabile}\\ &2.\;\;\exists f(x)\in F[x]\T{ separabile t.c. }K=\spezz{f(x)}{F}\\ &\qq \T{in particolare, se $K=F(\a_1,\dots,\a_n),\;\a_i\T{ algebrico} $, un tale $f$ e' }f(x)=\prod_{}^{}\pgra{\pmin{\a_i}{F}\;|\;i=1,\dots,n}\\ &3.\;\; F\SC L\SC K \> |\GG{K}{L}|=[K:L]\\ &4.\;\;F=\KT{K}{\GG{K}{F}}\\ &5.\;\; |\GG{K}{F}|=[K:F] } \end{thm} \begin{proof} \step{}{Dim $1.\>2.$} \begin{prova} Si ha \eal{&F\SC K\T{ finita } \ubrace{\>}{\see{thmfinitassealgebricaefingen}} K=F(\a_1,\dots,\a_n),\;\;\a_i\T{ algebrico }\;\forall i\\ &\T{Sia }p_i(x)=\pmin{\a_i}{F}\;\;\forall i=1,\dots,n\\ &F\SC K\T{ normale, finita} \ubrace{\>}{\see{normalefinitacaratt}} K=\spezz{\prod_{i=1}^{n}p_i(x)}{F}\;\;(1)\\ } Siano dati $q_i(x)\;\;\forall i,\dots,r$ tali che \eal{&\sist{\pgra{q_i(x)\;|\;i=1,\dots,r}=\pgra{p_i(x)\;|\;i=1,\dots,n}\\ q_i(x) \neq q_j(x)\;\;\forall i \neq j\\ r\le n}\;\;(2) } si ha \eal{& \prod_{i=1}^{n}p_i(x) \ubrace{=}{\T{alcuni }p_i(x)\T{ potrebbero essere uguali}} \prod_{i=1}^{r}q_i(x)^{e_i} \ubrace{=}{\T{spezzando i }q_i(x)} \prod_{i=1}^{r}\prod_{j=1}^{n_i}(x-\a_{ij})^{e_i}\;\;(1.0)\\ &\T{ dove }\a_{i1},\dots,\a_{in_i}\T{ sono le radici di }q_i(x)\T{ e quindi, per la $(2)$, sono le radici di qualche $p_j(x)$ }\\ &\a_{ij}\;\;\forall i,j\T{ sono tutte le radici dei vari $q_i(x)$ e quindi anche dei vari $p_j(x)$}\\ &(1) \> K=F(\a_{ij},\;\;\forall i,j)\;\;(1.1) } Sia $f(x)=\prod_{i=1}^{r}q_i(x)$, si ha \eal{&f(x) =\prod_{i=1}^{r}q_i(x) \ubrace{=}{(1.0)} \prod_{i=1}^{r}\prod_{j=1}^{n_i}(x-\a_{ij})\;\;(1.2)\\ &\qq \> \spezz{f(x)}{F} = F(\a_{ij},\;\;\forall i,j) \ubrace{=}{(1.1)} K } Resta da dimostrare che $f(x)$ e' separabile. \eal{&F\SC K \T{ separabile } \> \a_i\T{ separabile }\forall i \> p_i(x)\T{ separabile } \;\;\forall i \> q_i(x)\T{ separabile }\;\;\forall i \> \a_{ij} \neq \a_{ik}\;\;\forall j \neq k\;\;(3)} Se per assurdo, $\exists i \neq h,\;j,k:\;\a_{ij}=\a_{hk}$, con allora \eal{& \sist{q_{h}(\a_{hk})=0=q_i(\a_{ij})\\ q_h,q_{i}\T{ monico}\\ q_h,q_{i}\T{ irriducibile in }F[x] }\> \sist{ q_h(x)=\pmin{\a_{hk}}{F}\\ q_i(x)=\pmin{\a_{ij}}{F} } \ubrace{\>}{\a_{ij}=\a_{hk}} \> q_h(x)=q_i(x) \ubrace{\>}{(2)} i=h\T{ assurdo}\;\;(4) } Quindi \eal{&i \neq h \> \a_{ij} \neq \a_{hk}\;\;(4.1)\\ &(4.1), (3) \> \a_{ij} \neq \a_{hk}\;\;\forall i \neq h \| j \neq k\\ &\a_{ij} = \a_{hk} \= i=h,\;j=k } quindi tutte le $\a_{ij}$ sono tra loro distinte, e quindi dalla $(1.2)$ $f(x)$ e' separabile. \end{prova} \step{}{Dim $2.\>3.$} \begin{prova} Per la $2.$ abbiamo \eal{&K=\spezz{f(x)}{F},\;\;f(x)\in F[x]\;\;(1)\\ &f(x)\T{ separabile}\;\;(1.1)} Siano $\a_1,\dots,\a_n \in K$ tutte le radici di $f(x)$. Si ha \eal{&\sist{K=\spezz{f(x)}{F}\\ F\SC L \SC K} \ubrace{\>}{\see{spezzamentospezzato}} K=\spezz{f(x)}{L} } Abbiamo \def\g{{\gamma}} \eal{&K=\spezz{f(x)}{L} \ubrace{\>}{\see{normalefinitacaratt}} L\SC K\T{ e' normale, finita} \ubrace{\>}{\see{GGeqFMsefinitanormale}} \GG{K}{L}=\FM{K}{L} \> |\GG{K}{L}|=|\FM{K}{L}| \;\;(2)\\ &f(\a_i)=0,\;f(x)\in F[x]\( L[x] \ubrace{\>}{\see{defpolinomiominimo}} p_i(x)=\pmin{\a_{i}}{L}\div f(x)\\ &\sist{p_i(x)\div f(x)\\ (1) \> f(x)\T{ separabile}} \ubrace{\>}{\see{divalloraseparabile}} p_i(x)\T{ separabile} \ubrace{\>}{\T{per def.}} \a_i\T{ separabile su L} \\ &L\SC K\T{ finita } \ubrace{\>}{\see{thmfinitassealgebricaefingen}} L\SC K \T{ algebrica}\\ &\sist{L\SC K \T{ algebrica}\\ \a_i\T{ separabile su }L\;\;\forall i\\ K=\spezz{f(x)}{L} = L(\a_1,\dots,\a_n)} \ubrace{\>}{\see{lemmagammaprimitivoseparabile}} \exists \g \in K\T{ separabile su $L$ t.c. }K=L(\g)\;\;(3)\\ &\g\T{ separabile su }L \> p(x)=\pmin{\g}{L} \T{ separabile } \>(\g_1=\g),\dots,\g_r\T{ radici di }p(x)\T{ sono distinte} \> \\ &\> r=|\pgra{\g_1,\dots,\g_r}| \ubrace{=}{\T{applicando \see{immersioniestese} con $\varphi=\id$}} |\FM{K}{L}| \ubrace{=}{(2)} |\GG{K}{L}| \\ &|\GG{K}{L}|=r=\deg p(x) \ubrace{=}{\see{propalphaalgebricosseFalphafinita}} [L(\g):L] \ubrace{=}{(3)} [K:L]\\ &|\GG{K}{L}|=[K:L] %& %\sist{\g\in K\\ %p(x)\in L[x], \T{ irriducibile } \\ %p(\g)=0\\ %L\SC K \T{ normale }} \> \g_1,\dots,\g_n \in K } \end{prova} \step{}{Dim $3.\>4.$} \begin{prova} Sia $G=\GG{K}{F}$, \eal{&\sist{F\SC K\T{ algebrica}\\ G\ubrace{\(}{\see{GGestgruppo}} \FM{K}{F}} \ubrace{\>}{\see{propKTFM}} F\SC K^G\SC K \;\;(1)\\ &(1),\;F\SC K\T{ finita} \ubrace{\>}{\see{transitivitagrado}} [K:K^G][K^G:F] =[K:F] \;\;(2)\\ &\qq \> l=[K:K^G] \le [K:F]=m\;\;(2.2)\\ & l= [K:K^G] \ubrace{=}{3.\T{ con }L=K^G} |\GG{K}{K^{G}}| \ubrace{\ge }{\see{propKTFM}} |G| \ubrace{=}{3. \T{ con }L=F} [K:F]=m\\ &\qq \> l\ge m\;\;(3)\\ &(2.2),(3) \> l=m \ubrace{\>}{(2)} [K^G:F]=1 \> F=K^G } \end{prova} \step{}{$4.\>1.$} \begin{prova} Sia $G=\GG{K}{F}$, $\a\in K$, $h(x)=\pmin{\a}{F}$, si ha \step{p1}{$h(x) = \prod_{i=1}^{r}(x-\a_i)$, con $\a_1,\dots,\a_r\in K$ distinti fra loro} \begin{prova} \eal{&\sist{F\SC K \T{ finita }\\ K^G \ubrace{=}{4.} F} \ubrace{\>}{\see{estgaloispolminesplicito}} \sist{G=\pgra{\f_1,\dots,\f_s}\\ h(x) = \pmin{\a}{F} =\prod_{i=1}^{r}(x-\a_i)} &\T{ dove}\\ &\qq\a_i'=\f_i(\a)\in K\;\;\forall i=1,\dots,s\\ &\qq\pgra{\a_1,\dots,\a_r}=\pgra{\a_1',\dots,\a_s'}\\ &\qq\T{ con }r\le s,\;\;\a_i \neq \a_j\;\;\forall i \neq j } \end{prova} \step{}{$F\SC K$ e' separabile} \begin{prova} Sia $\a\in K$, $p(x)=\pmin{\a}{F}$. Per \sref{p1} abbiamo che \eal{&\exists \a_1,\dots,\a_r\in K:\;\;p(x)=\prod_{i=1}^{r}(x-\a_i),\;\;\a_i \neq \a_j\;\;\forall i \neq j } quindi $p(x)$ e' separabile \end{prova} \step{}{$F\SC K$ e' normale} \begin{prova} Sia $\ove f(x)\in F[x]$ irriducibile, $\ove f(x)=af(x)$, $f(x)$ monico, e supponiamo $\exists \a\in K:\;\;f(\a)=0$. Sempre per \eal{&\sist{f(x)\in F[x] \T{ irriducibile}\\ f(\a)=0\\ f(x)\T{ monico}} \ubrace{\>}{\see{carattpolinomiominimo}} f(x)=\pmin{\a}{F} \ubrace{=}{\sref{p1}}\prod_{i=1}^{r}(x-\a_i),\;\;\a_i\in K\;\;\forall i } Quindi $f(x)$ ha tutte le radici in $K$.\\ Per l'arbitrarieta' di $f(x)$ deduciamo che $F\SC K$ e' normale. \end{prova} \end{prova} \step{}{$3.\>5.$} \begin{prova} Basta scegliere $L=F$ \end{prova} \step{}{$5.\>4.$} \begin{prova} Sia $G=\GG{K}{F}$, $F'= K^G$. \eal{&G\( \FM{K}{F} \ubrace{\>}{\see{propKTFM}} F\SC K^G=F' \SC K \\ &F\SC K \T{ finita} \ubrace{\>}{\see{transitivitagrado}} F' \SC K \T{ finita},\;\;[K:F]=[K:F'][F':F]\;\;(*) } Possiamo percio' applicare le proposizioni fin'ora dimostrate alla estensione $F'\SC K$. \eal{&\GG{K}{F'} = \GG{K}{K^G} \ubrace{=}{\see{propKTFM}} =G\;\;(1)\\ &K^{\GG{K}{F'}} \ubrace{=}{(1)} K^G= F' \ubrace{\>}{4.\>3.} \pass{\GG{K}{F'}} =[K:F']\;\;(2) &[K:F] \ubrace{=}{5.}| \GG{K}{F} | \ubrace{=}{\see{propKTFM}} \pass{\GG{K}{K^{\GG{K}{F}}}} =\\ & =\pass{\GG{K}{K^G}} \ubrace{=}{(2)} [K:F']\\ &[K:F]=[K:F'] \ubrace{\>}{(*)} [F':F]=1 \> F'=F\= K^G =F } \end{prova} \end{proof} \begin{defn} \ilabel{estensione!di Galois} Sia $F\SC K$ una estensione finita. \eal{&F\SC K \T{ e' una estensione di Galois } \definizione{\=} \T{vale una qualsiasi prop. del thm \see{thmdefgalois}} } \end{defn} \begin{exemp}\label{expestdigalois} \def\w{{\omega}} \eal{&\Q\( \Q(\2,\3)\\ &\Q\(\Q(\w,\sqrt[3]{2})} sono estensioni di Galois.\\ \eal{&\Q\( \Q(\sqrt[3]{2})} non e' di Galois. \end{exemp} \begin{proof} \def\w{{\omega}} \eal{&\Q(\2,\3)=\Q(\2+\3)=\spezz{p(x)}{\Q}\;\;(*)\\ &p(x)=x^4-10x^2+1\in \Q[x]\\ &p(x)=(x-(\2+\3))(x+(\2+\3))(x-(\2-\3))(x+(\2-\3)) \> p(x)\T{ e' separabile }\;\;(**)\\ &(*),(**) \ubrace{\>}{2.\T{ di }\see{thmdefgalois}} \Q\(\Q(\2+\3)\T{ e' di Galois}\\ &\\ &\Q(\w,\sqrt[3]{2})=\spezz{x^3-2}{\Q[x]}\\ &x^3-2=(x-\sqrt[3]{2})(x-\sqrt[3]{2}\omega)(x-\sqrt[3]{2}\omega^2)\> x^3-2\T{ e' separabile}\\ &\qq \ubrace{\>}{2.\T{ di }\see{thmdefgalois}} \Q\(\Q(\w,\sqrt[3]{2})\T{ e' di Galois}\\ &\\ &\Q\( \Q(\sqrt[3]{2})\T{ non e' normale (\vedi{expnonnormale})} \ubrace{\>}{1.\T{ di }\see{thmdefgalois}} \Q\( \Q(\sqrt[3]{2})\T{ non e' di Galois} } \end{proof} \begin{prop}\label{inchzeroCSestdiGalois} Sia $F\SC K$, $f(x)\in F[x]$, si ha \eal{& \sist{\ch F =0\\ K=\spezz{f(x)}{F}} \> F\SC K\T{ e' di Galois} } In pratica, se $\ch F=0$, la separabilita' di $f$ non e' piu' necessaria. \end{prop} \begin{proof} \eal{&K=\spezz{f(x)}{F} \ubrace{\>}{\see{normalefinitacaratt}} F\SC K\T{ e' normale e finita}\\ &F\SC K\T{ finita } \> F\SC K\T{ algebrica}\\ &\sist{F\SC K \T{ algebrica}\\ \ch F =0 } \ubrace{\>}{ \see{inchzeroestensioneseparabile}} F\SC K\T{ e' separabile } \\ &F\SC K\T{ e' finita, normale, separabile } \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} F\SC K\T{ e' di Galois} } \end{proof} \begin{prop}\label{galoisspezzamento} \eal{&\sist{F\SC K\T{ e' di Galois}\\ F\SC L \SC K} \> L \SC K\T{ e' di Galois, ma non e' detto che pure $F\SC L$ lo sia} } \end{prop} \begin{proof} \eal{&F\SC K\T{ e' di Galois} \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} K=\spezz{f(x)}{F},\;\;f(x)\T{ separabile}\\ &\sist{K=\spezz{f(x)}{F}\\ F\SC L \SC K} \ubrace{\>}{\see{spezzamentospezzato}} K=\spezz{f(x)}{L}\\ &\sist{K=\spezz{f(x)}{L}\\f(x)\T{ separabile}}\ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} L \SC K\T{ e' di Galois} } Non e' detto che $F\SC L$ sia di Galois, infatti, l'esempio \see{expestdigalois} mostra che \eal{&\ubrace{\Q}{F} \( \ubrace{\Q(\sqrt[3]{2})}{L} \( \ubrace{\Q(\omega ,\sqrt[3]{2})}{K}\\ &F\SC K\T{ e' di Galois, ma } F\SC L\T{ non lo e'} } \end{proof} \begin{prop}\label{galoisGGeqFM} Sia $F\SC K$ una estensione di Galois. Si ha \eal{&\GG{K}{F}=\FM{K}{F}} \end{prop} \begin{proof} \eal{&F\SC K \T{ di Galois } \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} F\SC K\T{ finita, normale, separabile } \ubrace{\>}{\see{GGeqFMsefinitanormale}} \GG{K}{F}=\FM{K}{F}} \end{proof} \begin{thm}\ilabel{corrispondenza di Galois} \label{corrispondenzagalois} Corrispondenza di Galois.\\ Sia $F\SC K$ una estensione di Galois, allora \eal{&\pass{\pgra{L\;|\;F\SC L \SC K }} = \pass{\pgra{H\;|\;H \le \GG{K}{F}\;\T{ sottogruppo}}}\\ &\T{In particolare, un funzione biettiva tra i due insiemi e' }\\ &f(L)=\GG{K}{L}\\ &\inv f (H)=K^H } \end{thm} \begin{proof} \step{}{$f$ e' ben definita} \begin{prova} \eal{&F\SC L \SC K \ubrace{\>}{\see{GGspezzato}} \GG{K}{L} \le \GG{K}{F} } \end{prova} \step{}{$f$ e' iniettiva} \begin{prova} Sfruttiamo quello che abbiamo gia' visto nella prop. \see{corrispondenzapregalois}, considerando anche la prop \see{galoisGGeqFM} \eal{&F\SC K \T{ di Galois } \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} F\SC K\T{ finita, normale, separabile }\> \\ & \ubrace{\>}{\see{corrispondenzapregalois}} \sist{ \f:\pgra{L\;|\;F\SC L\SC K } \longrightarrow \pgra{T\;|\;T\( \FM{K}{F}}\\ \f(L)=\FM{K}{L}} \T{ e' un funzione iniettiva}\;\;(*)\\ & \sist{F\SC K\T{ di Galois}\\ F \SC L \SC K} \ubrace{\>}{\see{galoisspezzamento}} L \SC K \T{ di Galois } \ubrace{\>}{\see{galoisGGeqFM}} \GG{K}{L}=\FM{K}{L}\\ &\f(L)=\FM{K}{L} = \GG{K}{L} = f(L)\;\;\forall L \> f=\f \ubrace{\>}{(*)} f\T{ iniettiva} } \end{prova} \step{}{$f$ e' surriettiva} \begin{prova} Consideriamo la funzione \eal{ & g:\pgra{H\le \GG{K}{F}}\longrightarrow \pgra{L\:|\;L\SC F\SC K}\\ &g(H)=\KT{K}{H} } E' anch'essa ben definita: \eal{&H\le \GG{K}{F} \ubrace{\>}{\see{propKTFM} } F\SC \KT{K}{H} \SC K } Per dimostrare che $f$ e' surriettiva, proviamo che $fg=\id$, ovvero che \eal{&fg(H)=f(\KT{K}{H}) =\GG{K}{\KT{K}{H}}=H } \step{}{Dim. $\GG{K}{\KT{K}{H}}=H$} \begin{prova} Sia $F'=\KT{K}{H}$ \step{Hcontenuto}{Dim. $H \( \GG{K}{F'}$} \begin{prova} \eal{&\sist{F\SC K\T{ di Galois}\\ F\SC \KT{K}{H} \SC K } \ubrace{\>}{\see{galoisspezzamento}} \KT{K}{H} \SC K \T{ di Galois}\;\;(1)\\ &\ubrace{\>}{\see{galoisGGeqFM} } \FM{K}{\KT{K}{H}}= \GG{K}{\KT{K}{H}} \;\;(2)\\ &H \ubrace{\(}{\see{propKTFM}} \FM{K}{\KT{K}{H}} \ubrace{=}{(2)} \GG{K}{\KT{K}{H}}\;\;(2.1) } \end{prova} Resta da dimostrare $H\)\GG{K}{\KT{K}{H}}$. \step{cardH}{Dim. che $|H|=[K:F']$} \begin{prova} \def\g{{\gamma}} \eal{&(1) \> F'\SC K\T{ di Galois } \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} F'\SC K \T{ finita, separabile} \;\;(1.1)\\ & \ubrace{\>}{\see{thmfinitassealgebricaefingen}} K=F'(\a_1,\dots,\a_n),\;\;\a_1,\dots,\a_n\T{ separabili},\;\;F'\SC K\T{ algebrica}\>\\ & \ubrace{\>}{\see{lemmagammaprimitivoseparabile}} \exists \g\in K\T{ separabile su }F'\T{ t.c. }K=F'(\g)\;\;(3)\\ } Poiche' \eal{&\g\in K\\ &H\ubrace{\le}{\sref{Hcontenuto}} \GG{K}{F'}\\ &(1.1)\> F'\SC K \T{ estensione finita}\\ &F'=\KT{K}{H}} per la prop \see{estgaloispolminesplicito} si ha ha \eal{&H=\pgra{h_1,\dots,h_s}\\ &\qq \T{ con } s < \8,\;\;h_i \neq h_j\;\;\forall i \neq j\;\;(4)\\ &p(x)=\pmin{\g}{F'} =\prod_{i=1}^{r}(x-\g_i)\;\;(4.0)\\ &\T{ dove abbiamo posto}\\ &\qq\g_i'=h_i(\g)\in K\;\;\forall i=1,\dots,s\\ &\qq\pgra{\g_1,\dots,\g_r}=\pgra{\g_1',\dots,\g_s'}\;\;(4.1)\\ &\qq\T{ con }r\le s,\;\;\g_i \neq \g_j\;\;\forall i \neq j\;\;(4.2) } \step{phij}{$h_i(\g) \neq h_j(\g)\;\;\forall i \neq j$} \begin{prova} Per la $(3)$ possiamo applicare il thm \see{immersioniestese} (con $\f=\id$), e abbiamo \eal{ &E=\FM{K}{F'} \ubrace{=}{\see{galoisGGeqFM}} \GG{K}{F'}\\ &|E| = \pass{\pgra{g(\g)\;|\;g\in E}}, \T{ con biezione } g\in E \mapsto g(\g)\;\;(5)\\ &\T{Presi }h_i,h_j\in H\ubrace{\(}{\sref{Hcontenuto}} \GG{K}{F'} = E \\ &\qq h_i(\g)=h_j(\g) \ubrace{\=}{(5)} h_i=h_j \ubrace{\=}{(4)} i=j \\ &\qq \> h_i(\g) \neq h_j(\g)\;\;\forall i \neq j\;\;(6) } \end{prova} Dalla $(6),(4.1),(4.2)$ segue che, a meno di riordinare gli indici, \eal{&r=s,\;\;\g_i=\g_i'\;\;\forall i=1,\dots,r } e quindi \eal{&\deg p(x)=r=s=|H|\\ &p(x)=\pmin{\g}{F'} \ubrace{\>}{\see{propalphaalgebricosseFalphafinita}} [F'(\g):F']=\deg p(x)=|H| \ubrace{\=}{(3)} [K:F']=|H| } \lineapiccola\\ \end{prova} Per concludere, \eal{&(1) \> F'\SC K \T{ di Galos} \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} \pass{\GG{K}{F'}}=[K:F'] \ubrace{=}{\sref{cardH}} |H| \ubrace{\le }{\sref{Hcontenuto}} \pass{\GG{K}{F'}} \> |H|=\pass{\GG{K}{F'}} \\ &\pass{\GG{K}{F'}} = [K:F'] \ubrace{<}{F'\SC K\T{ e' finita}}\8\\ &\sist{|H|=\pass{\GG{K}{F'}} < \8\\ H\( \GG{K}{F'} } \> H=\GG{K}{F'}=\GG{K}{\KT{K}{H}} } \end{prova} \end{prova} \end{proof} \def\f{{\varphi}} \def\F{{\Phi}} \begin{prop}\label{GGimmersoinSn} Sia $f(x)\in F[x]$ \underline{separabile}, $K=\spezz{f(x)}{F}$, $A=\pgra{\a_1,\dots,\a_n}$ l'insieme delle radici di $f(x)$, $\deg f(x)=n$. Si ha la seguente immersione tra gruppi: \eal{&\F:\GG{K}{F} \immerso S_n(A) \\ &\f \mapsto \f_{|A} } dove $S_n(A)$ e' il gruppo delle permutazioni su $A$, che puo' essere visto direttamente come $S_n$. \end{prop} \begin{proof} \step{}{Dim. che $\F$ e' ben posta.} \begin{prova} Presa $\f\in \GG{K}{F}$ dimostriamo che $\f'=\f_{|A}\in S_n(A)$.\\ \eal{ &\f'(\a_i) \in A\T{, infatti } \\ &\qq f(\f'(\a_i))=f(\f(\a_i)) \ubrace{=}{\see{propradiceimmersioneestesaII}} \f(f(\a_i)) = \f(0)=0\\ &\qq f(\f'(\a_i))=0 \> \f'(\a_i)\in A\\ &\f\in \GG{K}{F} \> \f \T{ iniettiva } \> \f'\T{ iniettiva}\\ &\sist{\f':A\longrightarrow A\\ \f'\T{ iniettiva}\\ A\T{ finito}} \> \f'\T{ biettiva}\\ &f(x)\T{ separabile } \> \a_1,\dots,\a_n\T{ sono tutte distinte} \> |A| = n\\ &\sist{ \f'\T{ biettiva}\\|A|=n} \> \f'\in S_n(A) } \end{prova} \step{}{Dim. che $\F$ e' un omomorfismo tra gruppi} \begin{prova} \eal{&\F(fg) = (fg)_{|A} =fg_{|A}\\ &g_{|A}\in S_n(A) \> \Im g_{|A} = A \> fg_{|A}=f_{|A}g_{|A}\\ &\F(f)\o \F(g) = f_{|A} \o g_{|A} = fg_{|A} =\F(fg) } \end{prova} \step{}{$\F$ e' iniettiva} \begin{prova} \eal{&\ker \F = \pgra{f\in \GG{K}{F}\;|\;f_{|A}=\id}\\ &f_{|A}=\id \= f_{|A}(\a_i)=\a_i\;\;\forall i\\ &k\in K =F(\a_1,\dots,\a_n) \ubrace{\>}{\see{estensionedicampiesplicita}} k=\frac{h(\a_1,\dots,\a_n)}{j(\a_1,\dots,\a_n)},\;\;h,j\in F[x_1,\dots,x_n]\\ &f(k) \ubrace{=}{f\T{ omomorfismo }} \frac{fh(\a_1,\dots,\a_n)}{fj(\a_1,\dots,\a_n)} \ubrace{=}{f_{|F}=\id,\;f\T{ omo.}} =\frac{h(f(\a_1),\dots,f(\a_n))}{j(f(\a_1),\dots,f(\a_n))} \ubrace{=}{f_{|A}=\id} \frac{h(\a_1,\dots,\a_n)}{j(\a_1,\dots,\a_n)} = k\\ &f(k) = k\;\;\forall k \in K\> f=\id_K\\ &\T{Quindi, }f_{|A}=\id \= f=\id_K \> \ker \F = \pqua{\id} \> \F\T{ e' iniettiva} } \end{prova} \end{proof} \begin{cor}\label{GGimmersoinSncoroll} Sia $f(x)\in F[x]$ \underline{separabile}, $K=\spezz{f(x)}{F}$, $\deg f(x)=n$. Si ha \eal{&[K:F] = |\GG{K}{F}| \div n! } \end{cor} \begin{proof} \eal{&\sist{f(x)\in F[x] \T{ separabile}\\ K=\spezz{f(x)}{F}} \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} F\( K \T{ di Galois} \> [K:F] = |\GG{K}{F}|\\ } \def\F{{\Phi}} Per la prop. \see{GGimmersoinSn}, abbiamo la seguente immersione tra gruppi: \eal{&\F:\GG{K}{F} \immerso S_n\\ &\Im \F \le S_n \ubrace{\>}{\T{ Lagrange } \AII{thmdilagrange}} |\Im \F| \div |S_n|=n!\\ &|\GG{K}{F}| \ubrace{=}{\F\T{ iniettiva}} |\Im \F|\div n! } \end{proof} \def\s{{\sigma}} \begin{defn}\ilabel{gruppo transitivo} Sia $H$ un gruppo di funzioni e $A$ un insieme non vuoto. \eal{&H\T{ e' transitivo su }A \definizione{\=} \forall \a_i,\a_j\in A \;\;\exists \s\in H:\;\s(\a_i)=\a_j } Rievocando il concetto di orbita (vedi \AII{Azione di un gruppo}) possiamo dire: \eal{&H\T{ e' transitivo su } A\= \O_H(\a)=\pgra{h(\a)\;|\;h\in H}=A\;\;\forall \a\in A } \end{defn} \begin{prop}\label{transitivosseirriducibile} Sia $f(x)\in F[x]$ %%\underline{separabile} , $K=\spezz{f(x)}{F}$, $\deg f(x)=n \ge 1$, $G=\GG{K}{F}$, $A$ l'insieme delle radici di $f(x)$. Si ha \eal{&G\T{ transitivo su } A\= f(x)\T{ irriducibile in }F[x] } Nota: se $f(x)$ e' separabile, allora per la \see{GGimmersoinSn}, $G \simeq H \le S_n$. Quindi per controllare che $G$ sia transitivo, basta controllare che $H$ sia transitivo su $\pgra{1,\dots,n}$. Cosi' facendo non dobbiamo considerare $A$ (e quindi le radici di $f(x)$). Bisogna pero' determinare $H$. \end{prop} \begin{proof} \step{}{Dim $\>$} \begin{prova} Sia $h(x)\in F[x]$ un fattore irriducibile di $f(x)$. Dimostriamo che $h(x)=f(x)$.\\ Sia $\a\in K$ una radice di $h(x)$ \eal{&h(\a)=0\> f(\a) =0 \> \a \in A \ubrace{\>}{G\T{ transitivo su }A} \O_G(\a)=A\\ &\a_i \in A=\O_G(\a) \> \exists \f\in G:\;\f(\a)=\a_i\\ &\f\in G\( \FM{K}{F} \ubrace{\>}{\see{propradiceimmersioneestesaII}} h(\f(\a)) =\f(h(\a))=\f(0)=0 \> \f(\a)=\a_i\T{ radice di }h(x)\\ & \a_i\T{ radice di }h(x)\forall \a_i\in A\;\;(1) } Quindi tutte le radici di $f(x)$ sono radici di $h(x)$, e quindi \eal{&(1) \> f(x)\div h(x)\\ &h(x)\T{ fattore di } f(x) \> h(x)\div f(x)\\ &\qq \> h(x)=f(x) } Percio' $f(x)$ e' irriducibile in $F[x]$. \end{prova} \step{}{Dim $\<$} \begin{prova} Dobbiamo dimostrare che \def\ff{{\psi}} \eal{&\forall \a_i,\a_j\in A \;\;\exists \f\in G:\;\f(\a_i)=\a_j} Abbiamo: \eal{&\sist{f(x)\T{ irrid. in }F[x]\\ \a_i,\a_j\T{ radici di }f(x)} \ubrace{\>}{\see{FaisoFb}} \exists \ff:F(\a_i)\longrightarrow F(\b_i)\T{ isomorfismo t.c. }\sist{\ff(\a_i)=\a_j\\\ff_{|F}=\id}\;\;(1) } Adesso cerchiamo di estendere $\ff$ a una $\f\in G$ usando il thm \see{thmspezzisom}: \eal{&\sist{F\(F(\a_i),F(\a_j)\( K=F(\a_1,\dots,\a_n)\\ K=\spezz{f(x)}{F} } \ubrace{\>}{\see{spezzamentospezzato}} K=\spezz{f(x)}{F(\a_i)}= \spezz{f(x)}{F(\a_j)}\;\;(2) } Sia $\ff':F(\a_i)[x]\longrightarrow F(\a_j)[x]$ l'indotto di $\ff$, abbiamo \eal{&\ff'(f(x)) \ubrace{=}{\ff_{|F}=\id,\;\;f(x)\in F[x]} f(x)\\ &K'=\spezz{\ff'(f(x))}{F(\a_j)} = \spezz{f(x)}{F(\a_j)} \ubrace{=}{(2)} K } Sia $F'=F(\a_i),\;\;F''=F(\a_j)$, e applichiamo il thm \see{thmspezzisom}: \eal{&\sist{ \ff:F'\longrightarrow F'' \T{ isomorfismo}\\ f(x)=\ff'(f(x))\\ F'\SC K \ubrace{=}{(2)} \spezz{f(x)}{F'}\\ F''\SC K'=\spezz{\ff'(f(x))}{F''} } \> \sist{\exists \f:K\simeq K'=K\T{ isomorf. }\\ \f_{|F'}=\ff } } Abbiamo cosi' trovato la nostra $\f$, infatti, \eal{&\a_i\in F(\a_i)=F',\;\;\f_{|F'}=\ff \> \f(\a_i) = \ff(\a_i) \ubrace{=}{(1)} \a_j\\ &\sist{\f:K\longrightarrow K\T{ isomorfismo }\\ \f_{|F} \ubrace{=}{F\(F'} \ff_{|F} \ubrace{=}{(1)} \id} \> \f \in \GG{K}{F}=G } \end{prova} \end{proof} \begin{thm}\label{thmquozientegalois} Sia $F\SC K$ una estensione di Galois e sia $F\SC L\SC K$. Si ha \eal{& 1.\;\;[L:F] = \frac{|\GG{K}{F}|}{|\GG{K}{L}|} = \frac{[K:F]}{[K:L]}\\ &2.\;\;F\SC L \T{ e' di Galois } \= \GG{K}{L}\le \GG{K}{F}\T{ sottogruppo normale }\\ &3.\;\;F\SC L\T{ e' di Galois } \> \GG{L}{F} \simeq \frac{\GG{K}{F}}{\GG{K}{L}}\T{ il gruppo quoziente} } Ponendo $G=\GG{K}{F},\;H=\GG{K}{L},\;\;J=\GG{L}{F}$, diventano: \eal{&1.\;\;[L:F] = \frac{|G|}{|H|} = \frac{[K:F]}{[K:L]}\\ &2.\;\;F\SC L \T{ e' di Galois } \= H\le G\T{ sottogruppo normale }\\ &3.\;\;F\SC L\T{ e' di Galois } \> J \simeq \frac{G}{H}\T{ il gruppo quoziente} } \end{thm} \begin{proof} \step{p0}{Dim $1.$} \begin{prova} \eal{&F\SC K \T{ Galois } \> F\SC K \T{ finita } \ubrace{\>}{\see{transitivitagrado}} [K:L][L:F]=[K:F] \= [L:F]=\frac{[K:F]}{[K:L]}\\ &F\SC K \T{ Galois } \ubrace{\>}{\see{galoisspezzamento}} L\SC K\T{ Galois } \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} [K:L] = |\GG{K}{L}| = |H| \\ &F\SC K \T{ Galois } \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}}[K:F] = |\GG{K}{F}| = |G|\\ &[L:F]=\frac{[K:F]}{[K:L]} = \frac{|G|}{|H|} } \end{prova} \step{}{Dim $2.$} \begin{prova} \def\F{{\phi}} \def\f{{\varphi}} \step{}{Dim $\>$} \begin{prova} Consideriamo la seguente mappa: \eal{&\F:G\longrightarrow J\\ &\f\in G \mapsto \f_{|L} } \step{p1}{$\F$ e' ben posta: $\F(\f)=\f_{|L}\in J = \GG{L}{F}$} \begin{prova} \eal{&F\SC K\T{ algebrica } \ubrace{\>}{\see{algebricasseognipezzoalgebrico}} F\SC L \T{ algebrica }\\ &\T{Per Hp } F\SC L\T{ e' di Galois } \ubrace{\>}{\see{galoisGGeqFM}} \FM{L}{F} = \GG{L}{F} = J\;\;(*)\\ &F\SC K \T{ di Galois } \> F\SC K \T{ algebrica } \ubrace{\>}{\see{chiusureestensionealgebrica}} \ove F = \ove K \\ &\sist{\f_{|L}:L\longrightarrow K\( \ove K =\ove F\\ (\f_{|L})_{|F} \ubrace{=}{F\( L} \f_{|F} \ubrace{=}{\f\in G=\GG{K}{F}} \id\\ \f\in G\> \f\T{ omomorf. } \> \f_{|L}\T{ omomorf.} \\ F \SC L \T{ algebrica} } \> \f_{|L}\in \FM{L}{F} \ubrace{=}{(*)} J } \end{prova} \step{pomo}{$\F$ e' un omomorfismo tra gruppi} \begin{prova} Segue immediatamente dal fatto che $\F$ e' ben posta: \eal{&\F(fg)=(fg)_{|L}= fg_{|L}\\ &\F(f)\o\F(g)= f_{|L}g_{|L}\\ &\F(g)=g_{|L} \ubrace{\in}{\sref{p1}} J=\GG{L}{F}\> g_{|L}:L\longrightarrow L \> f_{|L}g_{|L} = fg_{|L}\\ &\F(f)\o\F(g)= f_{|L}g_{|L} = fg_{|L} = \F(fg) } \end{prova} \step{}{$\ker \F = H$} \begin{prova} \eal{ &\sist{g\in G=\GG{K}{F}\\ \F(g) = \id \= g_{|L} = \id} \ubrace{\=}{F\( L} g\in \GG{K}{L} = H\\ &\T{Quindi } g\in \ker \F \= g\in H } \end{prova} Poiche' $\ker \F$ e' normale, anche $H$ lo e'.\\ \step{}{Dim $3.$} \begin{prova} Applicando il thm dell'omomorfismo tra gruppi (vedi \AII{thmomo}) all'omomorfismo $\F$, si ha \eal{&\frac{G}{\ker \F} \simeq\Im \F \ubrace{\=}{H=\ker \F} \frac{G}{H}\simeq\Im \F } Dimostriamo che $\Im \F=J$: \eal{&\Im \F \simeq \frac{G}{H} \> |\Im \F | = \pass{\frac{G}{H} } \ubrace{=}{\AII{propordinequoziente}} \frac{|G|}{|H|} \ubrace{=}{\sref{p0}} [L:F] \ubrace{=}{F\SC L\T{ Galois}} |\GG{L}{F}| = |J|\\ &\sist{\Im \F \( J\\ |\Im \F | =|J|\\ J\T{ e' finito} } \> \Im \F = J } \end{prova} \end{prova} \step{}{Dim $\<$} \begin{prova} Continuiamo la dimostrazione della $2.$, implicazione $\<$.\\ Dobbiamo dimostrare che $F\SC L$ e' di Galois. Lo faremo usando la caratterizzazione \eal{&[L:F]=|\GG{L}{F}|=|J|} Procediamo: \eal{&F\SC K\T{ di Galois } \ubrace{\>}{\see{galoisspezzamento}} L\SC K \T{ di Galois } \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} L=\KT{K}{\GG{K}{L}}= \KT{K}{H}\;\;(3) } Riconsideriamo la mappa \eal{&\F:G\longrightarrow J\\ &\f\in G \mapsto \f_{|L} } Stavolta, per dimostrare che $\F$ e' ben posta, sfrutteremo la normalita' di $H$. \step{}{$\F$ e' ben posta:$\;\;\Im \F \( J$} \begin{prova} Preso $g\in G$ dimostriamo $ \F(g)=g_{|L}\in J=\GG{L}{F}$ \eal{& g\in G \> \sist{ g_{|F}=\id\\ g_{|L}: L \longrightarrow K\\ g\T{ isomorfismo } \> g_{|L} \T{ immersione } }\;\;(*)\\ &g_{|L}\in \GG{L}{F} \= \sist{g_{|L}: L \longrightarrow L\;\T{ isomorfismo }\\ g_{|F}=\id } \ubrace{\=}{(*)} \Im g_{|L}=L } Quindi, basta verificare che $\Im g_{|L}=L$ \step{}{Dim. $\Im g_{|L}\( L$} \begin{prova} Sia $\a\in L$. \eal{&g(\a) \in L \ubrace{=}{(3)} \KT{K}{H}\= h(g(\a))=g(\a)\;\;\forall h\in H\\ &h(g(\a))=g(\a) \ubrace{\=}{g\T{ isomorfismo }} \inv g h g (\a) = \a\;\;(**)\\ &h\in H \le G\T{ normale } \ubrace{\>}{\T{caratterizz. sottogruppi normali }\AII{propcarattsottnormali}} \inv g h g=h'\in H\\ &(** ) \= h'(\a)=\a \;\;\T{ vero perche' }\a\in L=\KT{K}{H}\\ &\T{Quindi e' vero che } h(g(\a))=g(\a) \;\;\forall h\in H } \end{prova} \step{}{$\Im g_{|L}=L$} \begin{prova} \eal{&\Im g_{|L}\( L \> g_{|L}:L\longrightarrow L\\ &F\SC K\T{ finita } \> F\SC L \T{ finita }\\ &\sist{g_{|L}:L\longrightarrow L\\ (g_{|L})_{|F} \ubrace{=}{F\(L} g_{|F} = \id\\ L_F\T{ spazio vett. di dim. finita} } \ubrace{\>}{\see{omomoestapplicazlineare}} g_{|L}\T{ e' una applicazione lineare e quindi un endomorfismo }\\ &g\T{ iniettiva } \> g_{|L} \T{ iniettiva}\\ &g_{|L}\T{ endomorfismo iniettivo } \ubrace{\>}{\AL{endoiniettivoestisomorfismo}} g_{|L} \T{ e' un isomorfismo vettoriale } \> \Im g_{|L} = L } \end{prova} \end{prova} \step{}{$\F$ e' un omomorfismo tra gruppi} \begin{prova} Si procede come nel passo \verb|<3>2.| \end{prova} \step{}{$\ker \F = H$} \begin{prova} Si procede come nel passo \verb|<3>3.| \end{prova} In definitiva, per il thm dell'omomorfismo: \eal{&\frac{G}{H}\simeq\Im \F \le J\;\;(+)\\ &F\( L \T{ finita } \ubrace{\>}{\see{cardinalitaFM}} [L:F] \ge |\GG{L}{F}|=|J| \ubrace{\ge }{(+)} \pass{\frac{G}{H}} \ubrace{=}{\AII{propordinequoziente}} \frac{|G|}{|H|} \ubrace{=}{\sref{p0}} [L:F]\\ &\qq \> [L:F]=|\GG{L}{F}| \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} F\SC L\T{ e' di Galois} } \end{prova} \end{prova} \end{proof} \pagebreak \begin{cor}\label{corquoziente} Sia $F\SC K$ una estensione di Galois, e sia \eal{&G=\GG{K}{F}\\ &H\le G\T{ sottogruppo} } allora \eal{&1.\;\;[K^H:F] = \frac{|G|}{|H|} = \frac{[K:F]}{[K:K^H]}\\ &2.\;\;F\SC K^H \T{ e' di Galois } \= H\le G\T{ sottogruppo normale }\\ &3.\;\;F\SC K^H\T{ e' di Galois } \> \GG{K^H}{F} \simeq \frac{G}{H}\T{ il gruppo quoziente} } \end{cor} \begin{proof} Utilizzando la corrispondenza di Galois (\vedi{corrispondenzagalois}). abbiamo \eal{&H\le G \> F \SC K^H \le K\\ &\GG{K}{K^H}=H\;\;(1) } Ponendo $L=K^H$, e applicando il thm \see{thmquozientegalois}: \eal{&1.\;\; [K^H:F] = \frac{|\GG{K}{F}|}{|\GG{K}{K^H}|} = \frac{[K:F]}{[K:K^H]}\\ &2.\;\;F\SC K^H \T{ e' di Galois } \= \GG{K}{K^H}\le \GG{K}{F}\T{ sottogruppo normale }\\ &3.\;\;F\SC K^H\T{ e' di Galois } \> \GG{K^H}{F} \simeq \frac{\GG{K}{F}}{\GG{K}{K^H}} } Per la $(1)$, e considerando $G=\GG{K}{F}$: \eal{&1.\;\; [K^H:F] = \frac{|G|}{|H|} = \frac{[K:F]}{[K:K^H]}\\ &2.\;\;F\SC K^H \T{ e' di Galois } \= H\le G\T{ sottogruppo normale }\\ &3.\;\;F\SC K^H\T{ e' di Galois } \> \GG{K^H}{F} \simeq \frac{G}{H} } che e' la tesi. \end{proof} \def\f{{\varphi}} \begin{prop}\ilabel{campo coniugato} Sia $F\SC K$ di Galois, $F\SC L \SC K$, $\f\in G=\GG{K}{F}$. Si ha \eal{&F \SC \f(L) \SC K } $\f(L)$ si chiama \emph{campo coniugato} di $L$. \end{prop} \begin{proof} \eal{&F\( L \( K \> \f(F) \( \f(L) \( \f(K)\\ &\f\in \GG{K}{F} \> \f_{|F}=\id \> \f(F)=F\\ &\f\in \GG{K}{F} \> \f:K\longrightarrow K\T{ surriettiva } \> \f(K)=K } Resta da verificare che $\f(L)$ e' un sottocampo di $K$: siano $a,b\in L,\;b \neq 0$ \eal{&L\T{ campo } \> a-b,a\inv b\in L &\f(a)-\f(b) \ubrace{=}{\f\T{ omomorf. }} \f(\ubrace{a-b}{\in L}) \in \f(L)\\ &\f(a)\f(b) = \f(\ubrace{ab}{\in L})\in \f(L) } \end{proof} \begin{prop}\label{GGconiugato} Sia $F\SC K$ di Galois, $F\SC L \SC K$, $\f\in G=\GG{K}{F}$. Si ha \eal{&\GG{K}{\f(L)} = \f \GG{K}{L} \inv \f\\ &\T{dove } \f \GG{K}{L} \inv \f\definizione{=} \pgra{\f g \inv \f\;|\;g\in \GG{K}{L} } } \end{prop} \begin{proof} \step{}{Dim $\)$} \begin{prova} Sia $g\in \GG{K}{L}$. Dimostriamo che $\f g\inv \f\in \GG{K}{\f(L)}$. \eal{&\f g\inv \f\T{ e' composizione di automorfismi su $K$ } \> \f g\inv \f\T{ e' un automorfismo su $K$} } Resta da verificare che $(\f g\inv \f)_{|\f(L)}=\id$. Sia $b\in \f(L)$ \eal{&b\in \f(L) \> \exists a\in L:\;\f(a)=b\\ &(\f g\inv \f)(b) = \f g\inv \f \f (a) = \f g (a) \ubrace{=}{g_{|L}=\id,\;a\in L} \f (a) = b } Quindi \eal{&\sist{\f g\inv \f:K\longrightarrow K\T{ isomorfismo }\\ (\f g\inv \f)_{|\f(L)}=\id }\> \f g\inv \f \in \GG{K}{\f(L)} } \end{prova} \step{}{Dim $\($} \begin{prova} \def\p{{\psi}} Sia $\p=\inv \f, L'=\f(L)$. \eal{&\f \in G=\GG{K}{F} \ubrace{\>}{G\T{ gruppo }} \p=\inv \f \in G\\ &F\SC L\SC K \ubrace{\>}{\see{campo coniugato} } F\SC L'\SC K } Allora, per quanto dimostrato nel passo precedente, abbiamo \eal{&\p\GG{K}{L'}\inv \p \( \GG{K}{\p(L')} \= \inv \f \GG{K}{\f(L)}\f \( \GG{K}{L} \ubrace{\=}{(*)} \GG{K}{\f(L)} \(\f \GG{K}{L}\inv \f } (*) Infatti, \eal{&\inv \f g \f \in \inv \f \GG{K}{\f(L)}\f \( \GG{K}{L} \> \exists g'\in \GG{K}{L}:\;\;\inv \f g \f =g' \= g=\f g'\inv \f\in \f \GG{K}{L}\inv \f } \end{prova} \end{proof} \begin{prop}\label{FMimmagine} Sia \begin{enumerate} \item $F\SC K$, $F\SC L\SC K$ \item $L=F(\a_1,\dots,\a_n)$, $\a_1,\dots,\a_n\in K$ \item $\f\in \FM{K}{F}$, con $\f(\a_i)=\b_i\;\;\forall i=1,\dots,n$ \end{enumerate} Si ha \eal{&\f(L)=\f(F(\a_1,\dots,\a_n))=F(\b_1,\dots,\b_n) } \end{prop} \begin{proof} \eal{&\f\in \FM{K}{F} \> \f_{|F}=\id\\ &\f\in \FM{K}{F} \ubrace{\>}{\see{FMGGiniettivelineari}} \f\T{ e' iniettiva} \ubrace{\>}{\f\T{ omomorfismo tra anelli}} \Im \f_{|L}= \f(L)\simeq L \\ &\sist{L\T{ campo}\\ \f(L)\simeq L } \> \f(L)=\f(F(\a_1,\dots,\a_n))\T{ campo}\\ &F(\a_1,\dots,\a_n) \ubrace{=}{\see{estensionedicampiesplicita}} \pgra{\frac{f(\a_1,\dots,\a_n)}{g(\a_1,\dots,\a_n)}\Big| f(x_1,\dots,x_n), g(x_1,\dots,x_n)\in F[x_1,\dots,x_n],\;\;g(\a_1,\dots,\a_n) \neq 0}\\ &\f\pton{\frac{f(\a_1,\dots,\a_n)}{g(\a_1,\dots,\a_n)}} \ubrace{=}{\f\T{ omomorfismo }} \frac{\f f(\a_1,\dots,\a_n)}{\f g(\a_1,\dots,\a_n)} \ubrace{=}{\f_{|F}=\id,\;\f\T{ omo.}} \frac{f(\f(\a_1),\dots,\f(\a_n))}{g(\f(\a_1),\dots,\f(\a_n))} =\\ &\qq = \frac{f(\b_1,\dots,\b_n)}{g(\b_1,\dots,\b_n)} \in F(\b_1,\dots,\b_n)\\ &\T{Quindi, }\f(F(\a_1,\dots,\a_n)) \( F(\b_1,\dots,\b_n)\\ &\sist{\b_1,\dots,\b_n\ubrace{ \in}{\b_i=\f(\a_i)} \f(F(\a_1,\dots,\a_n))\\ F\ubrace{\(}{\f_{|F}=\id} \f(F(\a_1,\dots,\a_n))\\ \f(F(\a_1,\dots,\a_n)) \T{ campo } } \> F(\b_1,\dots,\b_n) \( \f(F(\a_1,\dots,\a_n)) } Quindi $F(\b_1,\dots,\b_n)= \f(F(\a_1,\dots,\a_n))$ \end{proof} \subsection{Teorema fondamentale dell'algebra} \begin{prop}\label{carattTFA} \eal{&\C\T{ e' chiuso } \= \pton{f(x)\in \R[x],\;\deg f(x)\ge 1 \>\exists \a\in \C:\;\;f(\a)=0} } \end{prop} \begin{proof} \begin{pnecessaria} \eal{&f(x)\in \R[x] \( \C[x] } Ma $\C$ e' chiuso, e quindi per definizione, $f(x)$ ha una radice in $\C$. \end{pnecessaria} \begin{psufficiente} Consideriamo l'operazione di coniugazione: \eal{&\ove \.:\C\longrightarrow \C\\ &z\mapsto \ove z } $\ove .$ e' un omomorfismo di campi, infatti, \eal{&\ove{a+b}=\ove a+\ove b\\ &\ove {ab}=\ove a\ove b } e' inoltre un isomorfismo (la sua inversa e' se stesso).\\ Quindi per la prop \see{omomorfismoindotto}, anche il suo indotto \def\iove#1{{\widehat{#1}}} \eal{&\iove\. :\C[x]\longrightarrow \C[x] } e' un isomorfismo.\\ Per dimostrare che $\C$ e' chiuso, consideriamo un generico $h(x)\in \C[x]$, con $\deg h(x)\ge 1$, e vediamo che $h(x)$ ha una radice $\a\in \C$. \eal{&\T{Sia }f(x)=h(x)\iove h(x)\\ &\iove f(x) = \iove {h(x)\iove h(x)} \ubrace{=}{\iove{}\T{ omomorfismo}} \iove h(x) \iove {\iove h}(x) = \iove h(x) h(x) =f(x) \\ &\iove f(x) =f(x) \> f(x)\in \R[x] \ubrace{\>}{\T{Hp}} \exists \a\in \C:\;f(\a)=0\= h(\a)\iove h(\a)=0\=h(\a)=0 \| \iove h(\a)=0\;\;(1) } Se $h(\a)=0$, $\a$ e' una radice di $h(x)$. Supponiamo allora che $h(\a) \neq 0$. Per la $(1)$ \eal{&\iove h(\a)=0\> \ove {\iove h(\a)} = \ove 0 \= h(\ove \a)=0 \> \ove \a \T{ e' radice di }h(x) } \end{psufficiente} \end{proof} \begin{prop}\label{inRhaalmenounarad} Sia $f(x)\in \R[x]$, allora \eal{&\deg f(x)\T{ dispari } \> \exists \a\in \R:\;\;f(\a)=0 } \end{prop} \begin{prop} \eal{&f(x)= a_0+\dots+a_dx^d,\;\;d\T{ dispari} } Supponiamo $a_d>0$ (analogamente si vede per $a_d<0$). Si ha \eal{&\lim_{x\to \8} f(x) = \lim_{x\to \8} a_dx^d \ubrace{=}{a_d>0} +\8 } Quindi, definitivamente $f(x)$ sara' positivo. Allora esiste $b\in \R:\;f(b)>0$. \eal{&\lim_{x\to -\8} f(x) = \lim_{x\to \8} a_dx^d \ubrace{=}{a_d>0,\;\;d\T{ dispari}} -\8 } Quindi, definitivamente $f(x)$ sara' positivo. Allora esiste $a\in \R:\;f(a)<0$. \eal{&\sist{f(a)f(b)<0\\ f\T{ continua }} \ubrace{\>}{\T{thm dell'esistenza dello zero}} \exists \a\in ]\min\pgra{a,b},\;\max\pgra{a,b}[:\;\;f(\a)=0 } \end{prop} \begin{prop} \label{inCdeg2sispezza} Sia $f(x)\in \C[x]$ \eal{&\deg f(x)=2 \> f(x)\T{ si spezza linearmente in }\C[x] } \end{prop} \begin{proof} \eal{&f(x)=ax^2+bx+c} Le sue due radici sono \eal{&\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\;\;(1)\\ &\T{dove } \\ &\qq b^2-4ac = \rho(\cos \theta+i\sin \theta)\\ &\qq \sqrt{b^2-4ac} =\sqrt{\rho}\left( \cos\frac{\theta}{2}+i\sin \frac{\theta}{2}\right) } $\sqrt{\rho}\in \R$, infatti, per il thm dei valori intermedi, $x^2$ ammette tutti i valori tra il suo $\inf=0$ e $\sup=+\8$, quindi \eal{&\exists \gamma\in [0,+\8[:\;\gamma^2=\rho\= \gamma=\sqrt{\rho}\in \R} Quindi tutti gli elementi fin'ora esposti stanno in $\C$, e in particolare le radici di $f(x)$ sono in $\C$.\\ Quindi per Ruffini, $f(x)$ si spezza linearmente in $\C$. \end{proof} \begin{thm} \label{Cestchiuso} \eal{&\C\T{ e' algebricamente chiuso}} \end{thm} \begin{proof} Grazie alla prop \see{carattTFA}, basta dimostrare che preso $\Phi(x)\in \R[x],\;\deg \Phi(x) \ge 1$ esiste $\a\in \C:\;\;\Phi(\a)=0$.\\ Se $\Phi(x)$ e' irriducibile in $\C[x]$, sia $f(x)=\Phi(x)$, altrimenti sia $f(x)$ un suo fattore irriducibile e monico in $\C[x]$. Dimostreremo che $f(x)$ ha un radice in $\C$.\\ Sia $L=\spezz{f(x)}{\C}=\C(\a_1,\dots,\a_n)$, dove $\a_1,\dots,\a_n\in L$ sono le radici di $f(x)$. \step{p1}{$\C\SC L$ e' di Galois} \begin{prova} \eal{&\sist{\C\SC L\T{ algebrica }\\ \ch L = 0 } \ubrace{\>}{\see{inchzeroestensioneseparabile}} L\SC \C \T{ e' separabile } \;\;(*)\\ &\sist{f(x)\in \R[x]\( \C[x] \T{ irriducibile }\\ f(\a_1)=0\\ f(x)\T{ monico} } \ubrace{\>}{\see{carattpolinomiominimo}} f(x)=\pmin{\a_1}{\C} \T{ che e' separabile per la $(*)$}\\ &\sist{f(x)\in \C[x]\T{ separabile }\\ L=\spezz{f(x)}{\C} } \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} \C\SC L\T{ e' di Galois} } \end{prova} \step{}{$\R \SC L$ e' di Galois} \begin{prova} Se $f(i)=0 \| f(-i)=0$ sia $g(x)=f(x)$, altrimenti sia $g(x) = f(x)(x^2+1)$. Poiche' $x^2+1$ e' separabile (le sue radici sono $\pm 1$) e anche $f(x)$ e' separabile, $g(x)$ e' ancora separabile.\\ \eal{& \sist{[\R(i):\R]=[\C:\R]=2\\ \R(i)\( \C }\>\R(i)=\C\\ &\spezz{g(x)}{\R} = \R(\a_1,\dots,\a_n,i)=\R(i)(\a_1,\dots,\a_n) \ubrace{=}{\R(i)=\C} \C(\a_1,\dots,\a_n)=L\\ &\sist{L=\spezz{g(x)}{\R}\\ g(x)\T{ separabile } } \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} \R \( L \T{ e' di Galois} } \end{prova} Consideriamo la catena \eal{&\R \SC \C \SC L } abbiamo \eal{&[\C:\R] =2 \ubrace{\>}{\see{transitivitagrado}} 2\div [L:\R] \= [L:\R]=2m=2^{t+1}q,\;\;\T{ con }q\T{ dispari} } In pratica, abbiamo scritto $2m$ mettendo in evidenza tutti i fattori $2$, ovvero \eal{&t+1=\max\pgra{z\in \N\;|\;2^{z}\div [L:\R]}} \step{q1}{Dim. che $q=1$} \begin{prova} \eal{&\R \SC L \T{ di Galois }\;\;(*)\\ &|\GG{L}{\R}| \ubrace{=}{(*),\;\see{thmdefgalois}} [L:\R] = 2^{t+1}q \ubrace{\>}{\AII{thmdisylow}} \exists H \le \GG{L}{\R}:\;\;|H|=2^{t+1} } Per la corrispondenza di Galois (\vedi{corrispondenzagalois}) abbiamo: \eal{&\R \SC L^H \SC L\\ &\GG{L}{L^H}=H\;\;(**) } inoltre \eal{&\R\SC L\T{ di Galois } \ubrace{\>}{\see{galoisspezzamento}} L^H\SC L\T{ di Galois } \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} [L:L^H]=|\GG{L}{L^H}| \ubrace{=}{(**)} |H|=2^{t+1}\\ & \sist{[L:\R] = 2^{t+1}q\\ [L:L^H]=2^{t+1} } \ubrace{\>}{\see{transitivitagrado}} [L^H:\R]=q\\ &\R\SC L \T{ Galois } \> \R \SC L\T{ separabile } \ubrace{\>}{\see{separabileimplicapezziseparabili} } \R\SC L^H\T{ separabile }\\ &\R\SC L^H\T{ finita } \ubrace{\>}{\see{thmfinitassealgebricaefingen}} \R\SC L^H\T{ fin. gen.}\\ &\sist{\R \SC L^H\T{ separabile }\\ \R\SC L^H\T{ fin. gen.} } \ubrace{\>}{\see{FKfingensepestsemplice} } L^H=\R(\b)\\ &\R\SC L^H\T{ finita } \> \R \SC L^H\T{ algebrica } \> \b\T{ algebrico su }\R \> \exists p(x)=\pmin{\b}{\R}\\ & \deg p(x) = [L^H:\R]=q\\ &\sist{\deg p(x)=q\T{ dispari}\\ p(x)\in \R[x] } \ubrace{\>}{\see{inRhaalmenounarad}} \exists r\in \R:\;\;p(r)=0\\ &\sist{p(x)\T{ irriducibile }\\ p(r)=0 } \ubrace{\>}{\T{Ruffini}} \deg p(x)=1\\ &q=[L^H:\R]=\deg p(x) =1 } \end{prova} \step{t0}{$t=0$} \begin{prova} \eal{&\R\SC \C \SC L\\ [L:\R]=2^{t+1}q \ubrace{=}{q=1} 2^{t+1}\\ &\sist{[L:\R]=2^{t+1}\\ [\C:\R]=2 } \> [L:\C]=2^t } Supponiamo per assurdo che $t\ge 1$. \eal{&\C \SC L \T{ e' di Galois (\sref{p1})} \> |\GG{L}{\C}| = [ L:\C] =2^t \> \GG{L}{\C}\T{ e' un }2-gruppo\\ & \ubrace{\>}{\AII{propcatenasottogruppinormaliinGpgruppo}} \exists N \le \GG{L}{\C}\T{ normale}:\;\;|N|=2^{t-1}\;\;(2) } Utilizzando la corrispondenza di Galois (\vedi{corrispondenzagalois}). abbiamo \eal{&\C\SC L^N \le L\\ &\GG{L}{L^N}=N } allora \def\g{{\gamma}} \eal{&\sist{\C\SC L\T{ di Galois}\\ \GG{L}{L^N}=N \le \GG{L}{\C}\T{ normale}\\ } \ubrace{\>}{\see{thmquozientegalois}} \C\SC L^N\T{ e' di Galois} \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} \C\SC L^N\T{ separabile }\\ &\C\SC L \T{ finita } \> \C\SC L^N\T{ finita } \> \C \SC L^N\T{ fin. gen.}\\ &\sist{\C \SC L^N\T{ fin. gen.}\\ \C\SC L^N\T{ separabile } } \ubrace{\>}{\see{thmelementoprimitivo}} \exists \gamma:\;\;L^N=\C(\g)\\ &\C\SC L^N\T{ finita } \>\C\SC L^N\T{ algebrica } \> \g\T{ algebrico su }\C\> \exists q(x)=\pmin{\g}{\C}\\ &\C\SC L\T{ di Galois } \ubrace{\>}{\see{galoisspezzamento}} L^N \SC L \T{ di Galois}\\ &[L:L^N]\ubrace{=}{L^N\SC L\T{ di Galois}, \see{thmdefgalois}} |\GG{L}{L^N}|=|N | \ubrace{=}{(2)} 2^{t-1}\\ &\sist{[L:\C]=2^t\\ [L:L^N]=2^{t-1} } \ubrace{\>}{\see{transitivitagrado}} [L^N:\C] = \frac{2^t}{2^{t-1}}=2\\ &\deg q(x) = \deg \pmin{\g}{\C} = [\C(\g):\C] =[L^N:\C]=2\\ &\sist{\deg q(x)=2\\ q(x)\in \C[x] } \ubrace{\>}{\see{inCdeg2sispezza}} q(x)\T{ e' riducibile in }\C[x] } assurdo contro $q(x)=\pmin{\g}{\C}$. \end{prova} \qedstep \begin{prova} \eal{&[L:\C]=2^t \ubrace{=}{\sref{t0}} 2^0=1\\ &\sist{\C\(L\\ [L:\C] =1 } \> \C=L= \C(\a_1,\dots,\a_n) \> \a_1,\dots,\a_n\in \C } quindi $f(x)$ ha tutte le radici in $\C$. Noi volevamo dimostrare che ne aveva almeno una. \end{prova} \end{proof} \subsection{Estensioni ciclotomiche} \begin{lem}\label{lemqmpiupiccolo} Sia $n\ge 1$, $(n,p)=1$, $p$ primo, $q=p^r$, allora \eal{&n\div q^m -1 \= o(q) \div m } dove $o(q)$ e' l'ordine di $q$ in $U(\Z_n)$, gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili di $\Z_n$.\\ Quindi, \eal{&\min\pgra{m\;|\;n\div q^m-1 } = o(q) } \end{lem} \begin{proof} \eal{&(n,p) =1 \ubrace{\=}{q=p^r} (n,q) =1 \ubrace{\=}{\T{Vedi AI}} q\in U(\Z_n) \NN n\div q^m-1 \= q^m=1 \;\;U(\Z_n) \= o(q)\div m } \end{proof} \def\f{{\varphi}} \def\w{{\omega}} \begin{prop}\label{osservazionisuUngeneralizzato} \ilabel{radici ennesime unita'} Osservazione generale su $U_n$ e $x^n-a$.\\ Sia $f(x)=x^n-a\in F[x]$, $F$ campo, $a \neq 0$. Le radici di $f(x)$ sono: \eal{&b\,\;\w_1 b\,\;\w_2 b\,\;\dots\,\;\w_m b\in \spezz{f(x)}{F}\\ &\T{dove } b^n=a, \;\;U_n=\pgra{1,\w_1,\dots,\w_m} } $(U_n,\.)$ e' l'insieme delle radici $n$-esime dell'unita' \underline{nel campo $F$}, ovvero \eal{&U_n=\pgra{\xi\in \spezz{x^n-1}{F}\;|\;\xi^n-1=0}} $(U_n,\.)$ e' un gruppo moltiplicativo.\\ Si distinguono i seguenti casi: \begin{prova} \case{$\ch F=0$} \begin{prova} Qui, ritroviamo l'$U_n$ classico, ovvero \eal{&U_n=\pgra{\xi\in \C\;|\;\xi^n-1=0}} e le radici di $f(x)$ sono tutte distinte, ovvero $f(x)$ e' separabile.\\ Inoltre, $U_n$ e' ciclico (vedi \AII{Unradiciennesimeunita}) $U_n=\gen \w$, con $|U_n|=n$, quindi le radici di $f(x)$ sono \eal{&b\,\;\w b\,\;\w^2 b\,\;\dots\,\;\w^{n-1} b\in \spezz{f(x)}{F}\\ } \end{prova} \case{$\ch F=p,\;\;p\div n$} \begin{prova} Allora \eal{&U_n=\pgra{1} } e le radici di $f(x)$ si riducono all'unica radice $b$ (quindi $f(x)$ non e' separabile). \end{prova} \case{$\ch F=p,\;\;p\ndiv n,\;\;F \T{ finito }$} \begin{prova} \eal{&1.\;\;U_n\T{ e' ciclico }\NN 2.\;\;U_n \( F \= n\div |F|-1 \NN 3.\;\;\T{Se $|F|=q$, ovvero $F\simeq F_q$, allora }\NN \qq \qq \T{la piu' piccola estensione }F\( K \T{ t.c. } U_n \(K \T{ e' data da un campo $K$ t.c. } |K|=q^m,\;\T{ ovvero } K\simeq F_{q^m} \;\NN \qq \qq \T{ dove } m=o(q)=\T{ordine di $q$ in $U(\Z_n)$} } \end{prova} \case{$\ch F=p,\;\;p\ndiv n,\;\;F\T{ infinito}$} \begin{prova} Cosa si puo' dire? \end{prova} \end{prova} \end{prop} \begin{proof} Sia $K=\spezz{x^n-1}{F}$. \step{}{$(U_n,\.)$ e' un gruppo} \begin{prova} \eal{&1 \ubrace{\neq}{\see{defanello}} 0 \> 0\T{ non e' radice di } x^n-1 \> 0\notin U_n\\ &\sist{U_n \( K\\ 0\notin U_n } \> U_n \( K^{*} } Allora, basta verificare che $(U_n,\.)\le (K^*,\.)$, ovvero che \eal{&a\inv b\in U_n \;\;\forall a,b\in U_n } Quindi, \eal{&a,b\in U_n \> a^n=b^n=1\\ &(a\inv b)^n \ubrace{=}{a,b\in U_n\(K^*\T{ campo}} a^n\inv{(b^{n})} = 1 \> (a\inv b)^n -1 =0 \> a\inv b\in U_n } \end{prova} Siano $(\w_0=1),\w_1,\dots,\w_m$ gli elementi distinti di $U_n$ ($U_n$ e' necessariamente finito perche' $x^n-1$ ammette un numero finito di radici).\\ Poiche' \eal{&(b\w_i)^n=b^n\w_i^n=a \> b\w_i \T{ radice di }x^n-a\\ &\xi\T{ radice di }x^n-a\=\xi^n=a=b^n \ubrace{\=}{a \neq 0\=b \neq 0} \frac{\xi^n}{b^n}=1 \= \pton{\frac{\xi}{b}}^n=1 \= \frac{\xi}{b}\in U_n \= \frac{\xi}{b}=\w_i \= \xi=\w_i b } si ha che \eal{&\pgra{\T{radici di }f(x)=x^n-a}=\pgra{b\w_i\;|\;i=0,\dots,m} } Esaminiamo adesso i vari casi. \case{$\ch F=0$} \begin{prova} $U_n$ e' ciclico: $U_n=\gen \w$, con $|U_n|=n$ (vedi \AII{Unradiciennesimeunita}). Quindi, le radici di $f(x)=x^n-b^n\in F[x]$ sono \eal{&b,\w b,\w^2 b,\dots,\w^{n-1}b} $f(x)$ e' separabile, infatti, \eal{&f'(x) = nx^{n-1} =0 \= n =0 \| x=0 \= \sist{\ch F \neq 0\\ \ch F \div n} \| x=0 \ubrace{\=}{\ch F=0} x=0\;\;(*)\\ &\xi\T{ e' radice multipla di }f(x) \ubrace{\=}{\see{critradicimultiple}} f'(\xi)=0 \ubrace{\=}{(*)} \xi=0 \\ &\qq \ubrace{\>}{\T{le radici di $f(x)$ sono } \w^ib} \exists i:\;\w^ib=0 \ubrace{\=}{b \neq 0} \w^i=0 \ubrace{\=}{K\T{ e' un dominio}} \w=0 } assurdo contro $0\notin U_n$.\\ Quindi $f(x)$ non ha radici multiple, ovvero e' separabile. \end{prova} \case{$\ch F=p,\;\;p\div n$} \begin{prova} \eal{&x^n-1=x^n-1^n \ubrace{=}{\see{binominzp}} (x-1)^n \>U_n=\pgra{1} } e quindi \eal{&b=\w_1 b = \w_2 b = \dots \w_m b } \end{prova} \case{$\ch F=p,\;\;p\ndiv n,\;\;F \T{ finito }$} \begin{prova} \step{unciclico}{$(U_n,\.)$ e' ciclico} \begin{prova} \eal{&\sist{ F^* \T{ e' ciclico } (\vedi{finitoestciclico})\\ U_n \le F^* } \ubrace{\>}{\AII{thmciclicoimpsubciclico} } U_n \T{ ciclico}\;\;(1) } \end{prova} \step{}{Dim. $2.$} \begin{prova} \BEGINpnecessaria \eal{&U_n \le F^*,\;\;U_n,\;F^*\T{ gruppi } \ubrace{\>}{ \T{Lagrange } \AII{thmdilagrange}} n=|U_n| \div |F^*|=|F|-1} \END \BEGINsufficiente \eal{& n\div |F^*|,\;\;F^*\T{ ciclico} \ubrace{\>}{\AII{thmordsottdivn}} \exists ! H \le F^*:\;\;|H|=n\;\;(2)\NN |H| = n \ubrace{\>}{ \T{Lagrange } \AII{thmdilagrange}} h^n=1\;\;\forall h\in H\> H \( U_n \NN \sist{H\( U_n\\ |H|=n=|U_n|} \> U_n=H\le F^*} \END \end{prova} \step{}{Dim $3.$} \begin{prova} Per la prop \see{propestensionidicampifinitiddivn} possiamo scrivere \eal{&F=F_q \( K=F_{q^m} } Per la $2.$ \eal{& U_n \( K \= n\div |K|-1 =q^m -1 \ubrace{\=}{p\ndiv n \= (n,p)=1,\;\T{lemma }\see{lemqmpiupiccolo}} m=o(q)\T{ in }U(\Z_n) } \end{prova} \end{prova} \end{proof} \begin{thm}\label{propprimaestensciclotomica} \label{thmestensioniciclotomiche} Sia $U_n=\gen\w$ il gruppo delle radici $n$-esime dell'unita'. Poniamo \eal{ &f(x)=x^n-1\\ &f_m(x)=\prod_{u\in U_n:\;U_m=\gen u} x-u\;\;\;\T{ dove }m\div n\\ &\f\T{ funzione di Eulero, ovvero }\f(n) = |\pgra{m\in \N \;|\;(m,n)=1,\;m}{\AII{propordinediadivideG}}o(u)\div |U_n|=n \> u\in \pgra{u\in U_n \;|\; o(u)=m,\;\;m\div n} } \end{prova} Allora, \eal{&f(x)=\prod_{i=0}^{n-1}x-\w^i \ubrace{=}{U_n=\gen \w} \prod_{u\in U_n}x-u \ubrace{=}{\sref{pp} } \prod_{u\in U_n:\;\; o(u)=m,\;\;m\div n}x-u =\prod_{m\div n} f_m(x) } \end{prova} \step{PP11}{$\deg f_n(x)=\f(n)$} \begin{prova} Abbiamo visto che \eal{&f_n(x)=\prod_{u\in U_n:\;U_n=\gen u} x-u } Allora, basta contare gli elementi di $\pgra{u\in U_n:\;U_n=\gen u}$. \eal{&u\in U_n=\gen \w \= \exists i:\;\w^i=u,\;\;i f_1(x)=x-1 \T{ che e' irriducibile in }\Q[x]\T{ ed e' anche primitivo} } \end{prova} \step{}{Supponiamo la tesi vera per $11$, l'insieme $\pgra{m\div n,\;m \neq n}$ non e' vuoto. Possiamo quindi considerare: \eal{&g(x)=\prod_{m\div n,\;m \neq n}f_m(x) \> \exists m'}{\T{lemma di Gauss } \AI{lemma_del_gaussino}} \prod_{m\div m'}f_m(x) =g(x)\T{ e' primitivo}\;\;(1)\\ &f(x)=f_n(x)g(x)\\ &\sist{f(x)\in \Z[x]\\ g(x)\in \Z[x] } \> f_n(x)=\frac{f(x)}{g(x)} \in \Q[x] } Con $c(f)$ indichiamo il contenuto del polinomio $f$ (vedi \AI{defpolprimitivo}). Poiche' $f_n(x)\in \Q[x]$, possiamo considerare la sua parte primitiva: \def\ft{{\tilde{f_n}}} \eal{ &f(x)\in \Q[x] \> f(x)=\frac{a_0}{b_0}+ \frac{a_1}{b_1}x+\dots+ \frac{a_r}{b_r}x^r,\;\;a_i,b_i\in \Z\\ &f_n(x)=\frac{b}{d}\ft(x),\;\;\T{ dove }\\ &\qq d=\mcm\pgra{b_0,\dots,b_r},\;\;\\ &\qq b=c(df(x))=\MCD\pgra{d\frac{a_i}{b_i}\;|\;i=0,\dots,r}\\ &\qq \ft(x)=\frac{da_0}{bb_0}+ \frac{da_1}{bb_1}x+\dots+ \frac{da_r}{bb_r}x^r \in \Z[x]\\ &\qq \ft(x)\in \Z[x],\;\ft(x)\T{ primitivo}\\ &\ft(x)\T{ primitivo}, g(x)\T{ primitivo per la (1) } \ubrace{\>}{\T{lemma Gauss }\AI{lemma_del_gaussino}} \ft(x)g(x)\T{ primitivo }\= c(\ft g) =1\\ &x^n-1 =f(x) = f_n(x)g(x) = \frac{b}{d}\ft(x)g(x)\> dx^n-d = b\ft(x)g(x) \> \\ &\> \ubrace{c(dx^n-d)}{=d}=c\pton{b\ft(x)g(x)} \ubrace{=}{c(\ft g) =1} b \> b=d\\ &f_n(x)=\frac{b}{d}\ft(x) \ubrace{=}{d=b} \ft(x)\in \Z[x] \T{ ed e' primitivo} } \end{prova} \step{fnirird}{$f_n(x)$ e' irriducibile in $\Q[x]$} \begin{prova} \step{pinterno}{ Sia $\a$ radice di $f_n(x)$ e sia $p(x)=\pmin{\a}{\Q}$, si ha:\\ \eal{&q\T{ primo t.c. }q\ndiv n \> p(\a^q)=0} Infatti,} \begin{prova} \eal{&f_n(\a)=0\ubrace{\>}{ \see{defpolinomiominimo}}p(x)\div f_n(x)\=p(x)h(x)=f_n(x)\\ &\sist{(q,n)=1\\ U_n=\gen{\a}} \> \gen{\a^q}= U_n \> f_n(\a^q)=0 \= p(\a^q)h(\a^q)=0 \= p(\a^q)=0 \| h(\a^q)=0 } Supponiamo per assurdo che $h(\a^q)=0$ \eal{&h(\a^q)=0 \> \a\T{ e' radice di }h(x^q)=0 \ubrace{\>}{\see{defpolinomiominimo}} p(x)\div h(x^q)\= p(x)l(x)=h(x^q)\\ &\T{Passando in }\Z_q[x],\T{ per la prop }\see{binominzp}\T{ si ha}:\\ &\qq p(x)l(x)=h(x)^q\;\;\T{ in }\Z_q[x]\;\;(+)\\ } Allora, preso un fattore irrididucibile $p'(x)\in \Z_q[x]$ di $p(x)$, si ha \eal{&p'(x) \div p(x) \ubrace{\>}{(+)} p'(x)\div h(x)^q \\ &p'(x)\T{ irriducibile in }\Z_q[x] \ubrace{\=}{\Z_q[x]\T{ ED,\;}, \see{propequividealeprimoelprimoelirrid}} p'(x)\T{ primo in }\Z_q[x]\\ &\sist{p'(x) \div h(x)^q \\ p'(x)\T{ primo }}\> p'(x)\div h(x)\T{ in }\Z_q[x] \> p'(x)k(x)=h(x)\T{ in }\Z_q[x]\\ &p'(x)\div p(x) \> p(x) = p'(x)q'(x)\\ & x^n-1 = f(x)=f_n(x)g(x)=p(x)h(x)g(x)=p'(x)q'(x) p'(x)k(x)g(x)= p'(x)^2q'(x)k(x)g(x)\\ &p'(x)^2\T{ ammette radici doppie } \> x^n-1 \T{ non e' separabile in } \Z_q[x]\\ & D[x^n-1] =nx^{n-1} \ubrace{ \neq }{q\ndiv n} 0\;\;\forall x \neq 0\\ & \T{ma $0$ non e' radice di }x^n-1 \\ & \> \nexists \xi:\;\;\;\xi^n-1=0=D[x^n-1](\xi)\>\\ & \ubrace{\>}{\see{critradicimultiple} }x^n-1 \T{ non ha radici mult. in }\Z_q[x]\> x^n-1 \T{ e' separabile in }\Z_q[x] } Assurdo. \end{prova} \step{}{$f_n(x)\div p(x)$} \begin{prova} \def\g{{\gamma}} Sia $\g$ una radice di $f_n(x)$. Per quanto visto in precedenza \eal{&\a\T{ radice di }f_n(x) \> U_n=\gen \a \> \exists i p_i\ndiv n \;\;\forall i\\ &\a^i= \a^{p_1\dots p_s}=\pton{\pton{\a^{p_1}}^{p_2}}^{\dots} } Sia \eal{\b_k=\pton{\pton{\pton{\a^{p_1}}^{p_2}}^{\dots}}^{p_k}} dimostriamo per induzione che $f_n(\b_k)=p(\b_k)=0\;\;\forall k=1,\dots,s$: \begin{enumerate} \item Base: \eal{&\a\T{ radice di }f_n(x)\>U_n=\gen \a \\ &\sist{(i,n) =1\\p_1\div i} \> (p_1,n)=1\\ &\qq \ubrace{\>}{\AII{corggeneratoressecomprimoconn}} U_n=\gen{\a^{p_1}} \> \a^{p_1}=\b_1\T{ e' radice di }f_n(x)\\ &p_1\T{ primo, }p_1\ndiv n \ubrace{\>}{\sref{pinterno}} p(\a^{p_1})=0\= p(\b_1)=0 } \item \eal{& \b_{k+1}= \b_k^{p_{k+1}}\\ &\T{Per l'Hp induttiva, $\b_k$ e' una radice di $f_n(x)$, allora applicando la base}\\ &\qq \T{(sostituendo $\a$ con $\b_k$ e $p_1$ con $p_{k+1}$) si ha }f_n(\b_{k+1})=0,\\ &\T{Per Hp induttiva }p(\b_k) =0 \> p(x)=\pmin{\b_k}{\Q}\\ &\sist{f_n(\b_k)=0\\ p(x)=\pmin{\b_k}{\Q}\\ p_{k+1}\ndiv n } \ubrace{\>}{\sref{pinterno}} p(\b_k^{p_{k+1}})=0\= p(\b_{k+1})=0} \end{enumerate} In particolare, per $k=s$, abbiamo \eal{&\b_s=\a^{p_1\dots p_s}=\a^i =\g\\ &p(\b_s)=0\= p(\a^i)=0 \= p(\g)=0 } Ricapitolando: abbiamo preso una generica radice $\g$ di $f_n(x)$ e visto che $p(\g)=0$ quindi, per Ruffini \eal{&f_n(x) \div p(x)} e poiche' avevamo gia' visto che $p(x)\div f_n(x)$, si ha $f_n(x)=p(x)$. Quindi \eal{&f_n(x)=p(x)=\pmin{\a}{\Q} \> f(x)\T{ irriducibile in }\Q[x] } \end{prova} \end{prova} \qedstep \begin{prova} \eal{& \sist{f_n(x)\in \Z[x]\(\Q[x]\\ f_n(x)\T{ irriducibile in }\Q[x]\\ f_n(x)\T{ monico}\\ f_n(\w)=0} \ubrace{\>}{\see{carattpolinomiominimo}} f_n(x)=\pmin{\w}{\Q} } che e' la tesi dell'induzione. \end{prova} \end{prova} \end{prova} \step{}{Dim $3.$} \begin{prova} \eal{&[\Q(\w):\Q]=\deg \pmin{\w}{\Q} =\deg f_n(x) \ubrace{=}{\sref{PP11}} \f(n) } \end{prova} \step{}{Dim $4.$} \begin{prova} \eal{&\spezz{f_n(x)}{\Q}= \Q(\w)\\ &\T{Per costruzione $f_n(x)$ e' separabile }\\ &\qq \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} \Q\SC \Q(\w)\T{ e' di Galois} } \end{prova} \end{proof} \begin{prop}\label{QwisomorfoUZn} Sia $U_n=\gen\w$ il gruppo delle radici $n$-esime dell'unita' e sia $(U(\Z_n),\.)$ il gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili di $\Z_n$. Si ha \eal{&\GG{\Q(\w)}{\Q} \simeq U(\Z_n) } \end{prop} \begin{proof} Per il thm \see{thmestensioniciclotomiche}, $\Q\( \Q(\w)$ e' di Galois. \eal{&\Q\(\Q(\w)\T{ Galois } \ubrace{\>}{\see{galoisGGeqFM}} \GG{\Q(\w)}{\Q} =\FM{\Q(\w)}{\Q} } Possiamo quindi usare la prop \see{immersioniestese} per determinare gli elementi di $\FM{\Q(\w)}{\Q}$. Sempre per il thm \see{thmestensioniciclotomiche}, si ha \eal{&\pmin{\w}{\Q}=f_n(x)\\ &\T{le radici di }f_n(x)\T{ sono } \pgra{u\in U_n\;|\;U_n=\gen{u},\;\;} \ubrace{=}{U_n=\gen\w} \pgra{\w^i\in U_n\;|\;U_n=\gen{\w^i},\;\;0\le i\le n-1}=\\ & \ubrace{=}{\AII{corggeneratoressecomprimoconn}} \pgra{u^i\in U_n\;|\;(i,n)=1,\;\;0\le i\le n-1}} quindi gli elementi di $\FM{\Q(\w)}{\Q}$ sono determinati dalle seguenti assegnazioni: \def\p{{\psi}} \eal{&\w\stackrel{\p_i}{\mapsto}\w^i,\;\;\T{ con } (i,n)=1 } Ricordando che \eal{&U(\Z_n)=\pgra{z\in \Z_n\;|\;\exists \inv z } \ubrace{=}{\AI{elementiinvertibiliinZn}} \pgra{z\in \Z_n\;|\;(z,n)=1} } scegliamo quindi la seguente mappa: \eal{&\GG{\Q(\w)}{\Q} \longrightarrow U(\Z_n)\\ &\p_i \stackrel{\F}{\mapsto} i } \def\F{{\Phi}} \step{}{$\F$ e' iniettiva} \begin{prova} \eal{&\F(\p_i)=\F(\p_j)\= i=j\\ &\sist{\p_i(\w)=\w^i \ubrace{=}{i=j} \w^j = \p_j(\w)\\ \p_i,\p_j\in \FM{\Q(\w)}{\Q}} \ubrace{\>}{\see{immersioniestese}} \p_i=\p_j } \end{prova} \step{}{$\F$ e' surriettiva} \begin{prova} \eal{&\Q\( \Q(\w)\T{ di Galois} \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} |\GG{\Q(\w)}{\Q}| = [\Q(\w):\Q] \ubrace{=}{\see{thmestensioniciclotomiche}} \p(n)\\ &|U(\Z_n)| \ubrace{=}{\AI{funzionedieulero}} \p(n)\\ &\sist{ \F:\GG{\Q(\w)}{\Q} \longrightarrow U(\Z_n)\T{ iniettiva}\\ |U(\Z_n)| = |\GG{\Q(\w)}{\Q}| } \> \F\T{ surriettiva} } \end{prova} \step{}{$\F$ e' un omomorfismo di gruppi} \begin{prova} \eal{&\f_i\f_j(\w) = \f_i(\w^j)= \f_i(\w)^j = (\w^i)^j = \w^{ij}\\ &\F(\f_i\f_j)=ij\\ &\F(\f_i)\F(\f_j)=ij } \end{prova} \end{proof} \subsection{Riga e compasso} \def\E{{\mathbf{E}}} \newcommand{\cerchio}[3]{\mathcal{C}(#1,\norm{\vec{#2#3}})} \begin{defn} Sia $\E=\R^2$ il piano affine euclideo costruito sullo spazio vettoriale $\R^2$ (nota\footnote{e' in pratica l'usuale piano $\R^2$ dotato di prodotto scalare e quindi di norma, distanza, angoli. Vedi \GII{Spazio vettoriale euclideo}}) Una costruzione euclidea (con riga e compasso) e' una successione $A_0,\dots,A_n$ di punti, rette e circonferenze, tali che \eal{&1.\;\;A_0,A_1\in \E, \T{ ovvero sono due punti del piano}\\ &2.\;\; A_i\T{ e' una retta } \> \exists j,k \exists h,j,k \exists j,k\T{ il triangolo } DCF \T{ e' isoscele } \> D\hat{C}F \ubrace{=}{\T{angoli alla base del triangolo isoscele}} D\hat{F}C\;\;(1)\\ &\norm{\vec{AC}}=\norm{\vec{AD}}=\norm{\vec{AF}}=\T{raggio di }c_1\\ &\qq \>\T{ i triangoli } ACD,\;ADF,\;ACF \T{ sono isosceli } \> \sist{A\hat{C}D = C\hat{D}A\\ A\hat{D}F=D\hat{F}A\\ A\hat{C}F=C\hat{F}A }\;\;(2)\\ &\sist{A\hat{C}D=A\hat{C}F+C\hat{F}D\\ A\hat{F}D=A\hat{F}C+C\hat{F}D } \;\;(3)\\ &\sist{ C\hat{D}A \ubrace{=}{(2)} A\hat{C}D \ubrace{=}{(3)} A\hat{C}F+C\hat{F}D \\ A\hat{D}F \ubrace{=}{(2)} D\hat{F}A \ubrace{=}{(3)} A\hat{F}C+C\hat{F}D \ubrace{=}{(2)} A\hat{C}F+C\hat{F}D } \> A\hat{D}F = C\hat{D}A \= G\hat{D}F = C\hat{D}G \;\;(4)\\ &(1) \> D\hat{F}G= D\hat{C}G\;\;(1.1)\\ &\sist{C\hat{G}D= \pi - G\hat{C}D-C\hat{D}G\\ D\hat{G}F= \pi - G\hat{D}F-D\hat{F}G\\ } \ubrace{\>}{(4),\;(1.1)} C\hat{G}D=D\hat{G}F\\ &\sist{C\hat{G}D=D\hat{G}F\\ C\hat{G}D+D\hat{G}F \ubrace{=}{C,G,F\T{ sono allineati}} \pi }\>C\hat{G}D=D\hat{G}F=\frac{\pi}{2} } \end{prova} \end{prova} \step{p3}{Dim $3.$} \begin{prova} \begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{fig/parallela} \end{center} Dove \eal{ &A_0=A\\ &A_1=B\\ &A_2=s=l_1=\ove{AB}\T{ la retta data}\\ &H=P\T{ e' il punto dato}\\ &A_3=l_5=\T{Perp}(\ove{AB}, H)\\ &A_4=I\in A_3\^\ove{AB}\\ &A_5=c_3=\cerchio{I}{I}{H}\\ &A_6=J\in c_3\^ \ove{AB}\\ &A_7=c_4=\cerchio{J}{J}{I}\\ &A_8=l_6=\T{Perp}(\ove{AB}, J)\\ &A_9=M\in c_4\^A_8\\ &A_{10}=\ove{HM} } $A_{10}$ e' la retta parallela a $s$ passante per $H$. \end{prova} \step{}{Dim $4.$} \begin{prova} E' dato il segmento $AB$. Dobbiamo riportarlo sulla retta $l_5$ con un estremo in $L$. \begin{center} \includegraphics[scale=0.3]{fig/riporto} \end{center} Prima di tutto riportiamo $HF$ su $\ove{AB}$ senza curarci di $L$. \eal{ &A_0=A\\ &A_1=B\\ &A_2=l_1=\ove{AB}\\ &A_3=E\in \ove{AB}\^l_5\\ &A_4=c_1=\cerchio{E}{E}{A}\\ &A_5=c_2=\cerchio{E}{E}{B}\\ &A_6=H\in c_1\^l_5\\ &A_7=F\in c_2\^l_5\\ } Adesso spostiamo $HF$ a destra, facendo diventare $L$ un estremo. \begin{center} \includegraphics[scale=0.3]{fig/riporto2} \end{center} \eal{ &A_8=\T{Perp}(l_5,H)\\ &A_9=c_3=\cerchio{H}{H}{F}\\ &A_10=D\in c_3\^A_8\\ &A_11=\T{Parall}(l_5,D)\\ &A_12=\T{Perp}(l_5,L)\\ &A_{13}=M\in A_{11}\^A_{12}\\ &A_{14}=c_4=\cerchio{L}{L}{M}\\ &A_{15}=G\in c_4\^l_5 } $LG$ e' il segmento cercato. \end{prova} \end{proof} \begin{prop}\label{sommadiffprodottoradiceinKE} \eal{&a,b,c\in \KE,\;c \neq 0 \> b\pm a,\;ab,a\inv c,\;\;\sqrt{|a|}\in \KE } \end{prop} \begin{proof} \step{}{Dim $b\pm a\in \KE$} \begin{prova} Per Hp $a,b$ sono euclidei, quindi riusciamo a costruire dei segmenti che hanno modulo $|a|,|b|$. Per la prop \see{costruzionibase} riusciamo anche a riportare tali segmenti sulla retta $\ove{A_0A_1}$ in modo che il loro primo estremo sia $A_0$. Vedi figura: \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{fig/sommadiff} \end{center} dove \eal{ &A_0=A\\ &A_2=l_1=\ove{A_0A_1}\\ &\norm{\vec{AB}}=a\\ &\norm{\vec{AC}}=b\\ &A_3=c_1=\cerchio{C}{C}{B}\\ &A_4=D\in c_1\^l_1 } Quindi \eal{ &\norm{\vec{AB}}=b-a } Per la somma riportiamo $AB$ sulla stessa retta $l_1$ con $C$ come estremo sinistro (basta usare la prop \see{costruzionibase}). \end{prova} \step{}{$ab,\;a\inv c\in \KE$} \begin{prova} Per definizione $1\in \KE$. E' allora costruibile un segmento $AB$ di lunghezza $1$.\\ Poiche' $c\in \KE$, per la prop \see{costruzionibase}, possiamo costruire su $\ove{AB}$ il segmento $AC$, con $\norm{\vec{AC}}=c$.\\ Per il passo precedente, $a+c \in \KE$, quindi possiamo costruire il segmento $AD$, con $\norm{\vec{AD}}=a+c$.\\ Allora \begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{fig/prodotto} \end{center} dove \eal{ &c_2=\cerchio{A}{A}{B}\\ &c_3=\cerchio{B}{B}{A}\\ &H\in c_2\^c_3\\ &l_6=\ove{AH}\\ &s_1=\ove{HC}\\ &l_8=\T{Parall}(\ove{HC},D)\\ &I\in l_8\^l_6\\ } Abbiamo: \eal{ &\norm{\vec{AH}}=\norm{\vec{AB}}=1\\ &\norm{\vec{CD}}=\norm{\vec{AD}}-\norm{\vec{AC}}=a\\ &\T{Per il thm di Talete, abbiamo:}\\ & \norm{\vec{AH}}:\norm{\vec{AC}}=\norm{\vec{HL}}:\norm{\vec{CD}} \=1:c=\norm{\vec{HL}}:a \=\norm{\vec{HL}}=\frac{a}{c} =a\inv c } Per il prodotto: invece di riportare $a+c$ su $AD$, riportiamo $a$ su $HL$, cioe' $\norm{\vec{HL}}=a$, avremo cosi': \eal{ &l_8=\T{Parall}(\ove{HC},I)\\ &D\in l_8\^l_1\\ &\norm{\vec{AH}}:\norm{\vec{AC}}=\norm{\vec{HL}}:\norm{\vec{CD}} \=1:c=a:\norm{\vec{CD}} \= \norm{\vec{CD}} =ac } \end{prova} \step{}{$\sqrt{a}\in\KE$, con $a\ge 0$} \begin{prova} Consideriamo la seguente costruzione: \begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{fig/radice} \end{center} dove \eal{&\T{Costruiamo }\ove{AB}\\ &\T{Riportiamo a su $BC$ usando la prop }\see{costruzionibase}\\ &l_1=\T{Asse}(A,C)\\ &D\in l_1\^\ove{AB}\\ &c_1=\cerchio{D}{D}{A}\\ } Per il secondo teorema di Euclide: \eal{&\norm{\vec{AB}}:\norm{\vec{BH}}=\norm{\vec{BH}}:\norm{\vec{BC}} } basta allora scegliere \eal{&\norm{\vec{AB}}=1\\ &\norm{\vec{BC}}=a } per avere \eal{&1:\norm{\vec{BH}}=\norm{\vec{BH}}:a\= \norm{\vec{BH}}^2=a\= \norm{\vec{BH}}=\sqrt{a} } \end{prova} \end{proof} \begin{prop}\label{KEcampo} \eal{&\Q \SC \KE \SC \R} \end{prop} \begin{proof} Per definizione $\KE \( \R$. E' anche un sottocampo: basta applicare la prop \see{carattsottocampo} e la prop \see{sommadiffprodottoradiceinKE}.\\ Infine, poiche' $\KE$ e' un sottocampo di $\R$: \eal{&\ch \KE \ubrace{=}{\see{ereditariacaratteristica}} \ch \R = 0 \ubrace{\>}{\see{propimmersionecaratteristica} } \mathbb{Q}\immerso K } \end{proof} \def\EF{{\mathbf{F}}} \begin{prop}\label{coordinatecostruibili} Posto $\EF=\KE^2$, $A_0=O=(0,0)$, $A_1=(1,0)$, si ha \eal{&1.\;\;\T{Le seguenti mappe rendono }\EF\T{ uno spazio affine euclideo sullo spazio vettoriale }\KE^2\\ &\qq \vec{PQ} = Q-P\;\;\forall P,Q\in \EF\\ &\qq (x,y)\.(x',y')=xx'+yy'\;\;\forall x,y,x',y'\in \KE\\ &2.\;\;\EF=\pgra{P\in \E\;|\;P\T{ e' costruibile a partire da }A_0,A_1} } La $2.$ si puo' interpretare cosi': l'insiemi dei punti del piano con coordinate euclidee e' uguale all'insieme dei punti costruibili del piano.\\ Nota: da ora in poi supporremo $A_0=O=(0,0)$, $A_1=(1,0)$. \end{prop} \begin{proof} Per la prop \see{KEcampo} $\KE$ e' un campo. Possiamo quindi considerare lo spazio affine euclideo $\EF$ sullo spazio vettoriale $\KE^2$: \eal{&\EF=\KE^2\\ &\vec{PQ} = Q-P\;\;\forall P,Q\in \EF\\ &(x,y)\.(x',y')=xx'+yy'\;\;\forall x,y,x',y'\in \KE } Scelto un riferimento $(O,\pgra{\vec X,\vec Y}),\;O\in \EF,\;\vec X,\vec Y\in \KE^2$, a ogni punto $P\in \EF$ possiamo associare le sue coordinate $[P]$. Scegliendo il riferimento canonico $O=(0,0),\;\vec X=(1,0),\vec Y=(0,1)$, abbiamo \eal{&[P] = P } (Nota\footnote{anche se $\KE^2\(\R^2$, non e' vero che $\EF=\KE^2$ e' un sottospazio vettoriale di $\E=\R^2$, infatti il primo e' uno spazio costruito sul campo $\KE$, il secondo e' invece costruito su $\R$ e come vedremo $\KE\subsetneq \R$}) \step{pcoo}{ Fissati $A_0=O=(0,0)$, $A_1=(1,0)$, dimostriamo che \eal{\EF=\pgra{P\in \E\;|\;P\T{ e' costruibile a partire da }A_0,A_1} } } \begin{prova} \step{}{$\($} \begin{prova} Costruiamo gli assi $X$ e $Y$: \eal{&X=\ove{A_0A_1}\\ &Y=\T{Perp}{(X,A_0)} } Abbiamo: \eal{&P=(x,y)\in \EF = \KE^2 \> x,y\in \KE \> \exists i,j,h,k:\;\; A_i,A_j,A_h,A_k\in \E,\;\;\norm{\vec{A_iA_j}} = |x|,\;\;\norm{\vec{A_hA_k}} = |x| } Riportiamo i segmenti $A_iA_j$, $A_hA_k$ rispettivamente sull'asse $X$ e $Y$ usando $O$ come primo estremo (\vedi{costruzionibase}) e scegliendo il secondo estremo in modo da rispettare il segno di $x$ e $y$.\\ Dai secondi estremi tracciamo la perpendicolare agli assi e intersechiamo le rette ottenute. Il punto d'intersezione avra' coordinate $(x,y)$.\\ Abbiamo cosi' costruito il punto $P$ a partire da $A_0$, $A_1$. Poiche' $P\in \EF=\KE^2 \( \R^2 = \E$, si ha che $P$ appartiene al secondo insieme. \begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{fig/P} \end{center} \end{prova} \step{}{Dim $\)$} \begin{prova} Sia $P\in \pgra{P\in \E\;|\;P\T{ e' costruibile a partire da }A_0,A_1}$. Quindi $\exists i:\;A_i=P$.\\ Costruiamo gli assi $X,Y$ come prima, e tracciamo la perpendicolare ad essi passante per $P$. Intersecando $X,Y$ con tali perpendicolari otteniamo i punti $Q,R$. Quindi, \eal{&P=(\pm \norm{\vec{OQ}},\pm\norm{\vec{OR}}) } dove i segni devono essere scelti in maniera opportuna. Le coordinate di $P$ sono quindi dei numeri euclidei: $P\in \KE^2=\EF$. \end{prova} \end{prova} \end{proof} \begin{thm}\label{thmcostruzionieuclidee} \eal{&a\in \KE \= \exists \T{ una catena di campi } \Q=K_0 \SC K_1 \SC \dots \SC K_t \SC \R\T{ tale che } \sist{a\in K_t\\ t\ge 1 \> [K_i:K_{i-1}]=2 \;\;\forall i=1,\dots,t}} \end{thm} \begin{proof} \begin{pnecessaria} Sia $a\in \KE$ e $P=(a,0) \in \KE^2=\EF$. Per la prop \see{coordinatecostruibili} $P$ e' costruibile a partire da $A_0,A_1$, ovvero \eal{&\exists A_2,A_3,\dots,A_m\;\T{ costruzione euclidea t.c.}\;\;A_m=P } Siano $P_0,\dots,P_s$ tutti i punti che compaiono nella costruzione, con \eal{&P_0=A_0,P_1=A_1\\ &P_{s-1}=A_{j},\;\;j [K_h:K_{h-1}]=2 \;\;\forall h=1,\dots,t } \;\; \forall i=0,1,\dots,s\;\; \\ &\T{Nota: }(P_i)_1 \T{ e' la prima coordinata del punto $P_i$}, \T{cioe' } P_i=((P_i)_1,(P_i)_2) } } \begin{prova} Per $s=1$, si ha \eal{&P_s=P_1=A_1=(1,0)\in \Q^2 =K_0^2\\ &P_0=A_0=O=(0,0)\in \Q^2=K_0^2 } quindi la tesi e' vera con $t=0$.\\ Supponendo la tesi vera per $s-1$, si ha \eal{& \exists \;\;\Q=K_0\SC K_1 \SC \dots\SC K_t\SC\R \T{ tale che } \sist{ (P_i)_1,\;(P_i)_2 \in K_t\\ t\ge 1 \> [K_h:K_{h-1}]=2 \;\;\forall h=1,\dots,t } \;\; \forall i=0,1,\dots,s-1 } Le rette e circonferenze della costruzione sono state ricavate dai punti $P_0,\dots,P_{s-1}$, che hanno le coordinate in $K_{t}$. Allora, le equazioni di tali rette e circonferenze saranno dei polinomi in $K_t[X,Y]$. Ad esempio, la circonferenza $\cerchio{P_2}{P_2}{P_3}$ e' descritta dall'equazione: \eal{&\ubrace{(X-(P_2)_1)^2+(Y-(P_2)_2)^2-\norm{\vec{P_2P_3}}}{ \in K_t[x]} =0 } Il punto $P_s=(x_s,y_s)$ e' intersezione di due rette o di due circonferenze o di una retta e circonferenza. Le equazioni di tali curve sono di grado $\le 2$ e in $K_t[X,Y]$. Analizziamo il terzo caso: $P_s$ e' dato dalla soluzione di un sistema del tipo: \eal{&a,b,c,d\in K_t\\ &\sist{(X-a)^2+(Y-b)^2-r^2=0\\ (X-c)^2+(Y-d)^2-r^2=0 } \= \sist{ X^2-2Xa+a^2+Y^2-2Yb+b^2-r^2 = 0\\ X^2-2Xc+c^2+Y^2-2dY+d^2-r^2 = 0 } \ubrace{\=}{\T{sottraendo membro a membro}} \NN \= \sist{ (-2a+2c)X+(2d-2b)Y+a^2-d^2+b^2-c^2=0\\ X^2-2cX+c^2+Y^2-2dY+d^2-r^2 = 0 } } ci siamo cosi' ricondotti all'intersezione retta-circonferenza, cioe' a un sistema del tipo: \eal{&a,b,c,d,e\in K_t \sist{ aX+bY+c=0\\ (X-d)^2+(Y-e)^2-r^2=0 } } Ricavando la $X$ o la $Y$ dalla prima equazione e sostituendo nella seconda, arriviamo a un'equazione di secondo grado. Le sue radici saranno del tipo \def\rD{{\sqrt{\Delta}}} \eal{&b,\Delta\in K_t\\ X=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2} \in K_t(\rD)\;\;(1)\\ } Si ha \eal{&\Delta\in K_t \> x^2 -\Delta \in K_t[x]\\ &\rD \T{ e' radice di } x^2-\Delta\;\;(2)\\ &\qq \> \rD\T{ e' algebrico su } K_t \ubrace{\>}{\see{defpolinomiominimo}} \exists p(x)=\pmin{\rD}{K_t}\\ &\qq (2) \> p(x)\div x^2-\Delta \> \deg p(x) \le 2 } Si possono verificare due casi: \case{$\deg p(x)=1$} \begin{prova} Quindi \eal{&p(x)=x-\rD \in K_t[x] \> \rD\in K_t \> K_t(\rD)=K_t\\ &X\ubrace{\in}{(1)} K_t(\rD)=K_t \> Y\in K_t } Ma $X,Y$ sono le coordinate di $P_s$, quindi la catena cercata e' sempre \eal{&K_0\SC \dots \SC K_t} \end{prova} \case{$\deg p(x)=2$} \begin{prova} \eal{&\deg p(x)=2 \> [K_t(\rD):K_t]=2 } Quindi la catena cercata e' \eal{&K_0\SC \dots \SC K_t\SC K_t(\rD) } \end{prova} \end{prova} \end{pnecessaria} \begin{psufficiente} Data la solita catena $\Q=K_0\SC \dots \SC K_t$, supponendo che $a\in K_t$, dimostriamo che $a\in \KE$, ovvero che $K_t\(\KE$.\\ \step{}{ Procediamo induzione su $t$. } \begin{prova} Per $t=0$ \eal{& K_0=\Q\ubrace{\(}{\see{KEcampo}} \KE } Passo induttivo, con $t\ge 1$. \eal{&\T{Poiche' per Hp induttiva }K_{t-1} \( \KE, \T{ basta dimostrare che } K_t\-K_{t-1} \( \KE\\ &\T{Sia }a\in K_t\-K_{t-1}\\ & \> K_{t-1}\subsetneq K_{t-1}(a) \( K_t \> 1 < [ K_{t-1}(a) : K_{t-1}] \le [K_t: K_{t-1}] \ubrace{=}{\T{Per Hp}}2 \> [ K_{t-1}(a) : K_{t-1}] =2 \\ &\qq \ubrace{\>}{\see{transitivitagrado}} [K_t:K_{t-1}(a)=1] \> K_t=K_{t-1}(a)\;\;(3) \\ &[K_t:K_{t-1}]=2 \> K_{t-1}\(K_t \T{ finita } \> \\ &\qq \> K_{t-1}\(K_t \T{ algebrica } a\in K_t\T{ e' algebrico su }K_{t-1} \> \exists p(x)=\pmin{a}{K_{t-1}}\\ &\deg p(x)= [K_{t-1}(a):K_{t-1}] \ubrace{=}{(3)} [K_t:K_{t-1}]=2\> p(x) = cx^2+dx+e,\;\;c,d,e\in K_{t-1}\\ &p(a)=0 \> a = \frac{-d\pm \sqrt{d^2-4ce}}{2}\\ &a\in \K_t\( \R \> d^2-4ce \ge 0\\ &c,d,e\in K_{t-1} \( \KE \ubrace{\>}{\KE\T{ campo }} d^2-4ce\in \KE \ubrace{\>}{d^2-4ce \ge 0,\;\;\see{sommadiffprodottoradiceinKE}} \sqrt{d^2-4ce} \in \KE \ubrace{\>}{\KE\T{ campo }} \frac{-d\pm \sqrt{d^2-4ce}}{2} =a\in \KE } Quindi $a\in \KE$, cioe' la tesi. \end{prova} \end{psufficiente} \end{proof} \begin{cor}\label{corthmcostruzioni} \eal{&a\in \KE \> a\T{ e' algebrico su }\Q,\;\;\deg \pmin{a}{\Q}=2^m,\;\;m\ge 0\\ &} \end{cor} \begin{proof} Per il thm \see{thmcostruzionieuclidee} abbiamo \eal{&a\in K_t\CS \dots \CS K_0=\Q\\ &\T{Se $t=0$ allora }a\in K_0=\Q,\;\;p(x)=\pmin{a}{\Q}=x-a,\;\deg p(x)=1=2^0\\ &\T{Supponiamo }t\ge 1\\ &\sist{\Q=K_0\SC \dots \SC K_t\\ [K_i:K_{i-1}]=2\;\;\forall i=1,\dots,t} \ubrace{\>}{\see{transitivitagradoindotto}} [K_t:K_0]=2^t\\ &[K_t:K_0]\T{ finita } \> [K_t:K_0]\T{ algebrica } \> a\in K_t\T{ algebrico su } K_0=\Q \> \exists p(x)=\pmin{a}{\Q}\\ &\sist{\Q\(\Q(a) \( K_t \\ [K_t:\Q]=2^t } \ubrace{\>}{\see{transitivitagrado}} [\Q(a) :\Q] \div 2^t \> \exists m:\;\;[\Q(a):\Q]=2^m\\ &\deg p(x) = [\Q(a) :\Q] = 2^m } \end{proof} \begin{exemp}\qq\\ \begin{enumerate} \item E' impossibile rettificare la circonferenza \item E' impossibile quadrare il cerchio \item E' impossibile duplicare il cubo \end{enumerate} \end{exemp} \begin{proof} \step{}{Dim $1.$} \begin{prova} Rettificare una circonferenza di raggio $r$ vuol dire costruire un segmento di lunghezza pari al perimetro della circonferenza, ovvero di lunghezza $2\pi r$, o in altri termini, deve essere $2\pi r\in \KE$. Quindi, \eal{&2\pi r\in \KE \ubrace{\>}{2,r\in \KE, \;\KE\T{ campo }} \pi \in \KE\\ &\pi \in \KE \ubrace{\>}{\see{corthmcostruzioni}} \pi \T{ e' algebrico su } \Q } e questo e' assurdo. \end{prova} \step{}{Dim $2.$} \begin{prova} Quadrare il cerchio vuol dire costruire un quadrato di area pari all'area di un cerchio di raggio $r$. Quindi, dobbiamo trovare un $l\in \KE$ tale che $l^2 = \pi r^2$. \eal{&l\in \KE \> l^2 \in \KE \= \pi r^2 \in \KE \> \pi \in \KE \ubrace{\>}{\see{corthmcostruzioni}} \pi \T{ e' algebrico su } \Q } Assurdo. \end{prova} \step{}{Dim $3.$} \begin{prova} Dato un cubo di lato $a$ e volume $a^3$, bisogna trovare un cubo di volume $b^3=2a^3$, e quindi \eal{&b^3 = 2a^3 \= b=\sqrt[3]{2a^3} = \sqrt[3]{2}a\\ &\T{Se per assurdo } b\in \KE \\ &b\in \KE \> \sqrt[3]{2}a \ubrace{\>}{a\in \KE,\;\;\KE \T{ campo}} \> \sqrt[3]{2} \in \KE \\ &\sqrt[3]{2} \in \KE \ubrace{\>}{\see{corthmcostruzioni}} p(x)=\pmin{\sqrt[3]{2}}{\Q} = 2^m \\ &p(x)=\pmin{\sqrt[3]{2}}{\Q} \ubrace{=}{\T{vedi esercizio \see{csdix32}}} x^3-2 \> \deg p(x) =3 } Assurdo. \end{prova} \end{proof} \subsubsection{Ciclotomia} \begin{prop}\label{weuclideo} E' possibile costruire un poligono regolare di $n$ lati inscritto nella circonferenza unitaria $ \= \w\T{ e' euclideo }$, dove $U_n=\gen{\w}$. \end{prop} \begin{proof} Sul piano complesso, le radici $n$-esime dell'unita' si dispongono proprio sui vertici del poligono regolare di $n$-lati, infatti, \eal{&\w=\cos{\frac{2\pi}{n}}+i\sen{\frac{2\pi}{n}}\\ &\w^k = \cos{\frac{2k\pi}{n}}+i\sen{\frac{2k\pi}{n}} } \step{}{Dim $\<$} \begin{prova} Supponiamo che $\w$ sia euclideo. \eal{&\w \T{ euclideo } \= \cos{\frac{2\pi}{n}},\;\sen{\frac{2\pi}{n}} \in \KE \ubrace{\>}{\see{coordinatecostruibili}} P=\pton{\cos{\frac{2\pi}{n}},\;\sen{\frac{2\pi}{n}}} \T{ e' un punto costruibile a partire da }A_0=(0,0),\;A_1=(1,0) } Allora, anche il segmento $PA_1$ e' costruibile. \\ La radice $\w^0=1+i0=1$ corrisponde al punto $(1,0)=A_1$.\\ La radice $\w$ corrisponde al punto $P$.\\ Quindi il segmento $PA_1$ e' il primo lato del poligono.\\ Per costruire gli altri lati, basta usare il compasso: \eal{&c_1=\cerchio{P}{P}{A_1}\\ &\pgra{P_2,\;A_1}= c_1 \^ S^1\\ &\qq S^1 \T{ e' la circonferenza unitaria } } E' facile vedere che il secondo lato del poligono e' $P_2P$.\\ Procedendo in questo modo, si costruiscono tutti gli altri lati. \end{prova} \step{}{$\>$} \begin{prova} Per ipotesi possiamo costruire tutti i vertici del poligono regolare.\\ Possiamo anche supporre che $A_1=(1,0)$ sia un punto di tale poligono (se cosi' non fosse, base ricostruire gli assi).\\ Consideriamo un segmento che abbiamo per estremo $A_1$ e per altro estremo $P=(x,y)$, in modo che $y\ge 0$. Vedi figura per $n=5$: \begin{figure}[h] \begin{center} \includegraphics[scale=0.3]{fig/pentagono} \end{center} \label{fig:pent} \end{figure} E' facile vedere che \eal{&x=\cos{\frac{2\pi}{n}}\\ &y=\sen{\frac{2\pi}{n}} } Quindi, \eal{&P=(x,y)\T{ costruibile } \ubrace{\>}{\see{coordinatecostruibili}} x,y\in \KE \= x+iy \T{ e' euclideo } } \end{prova} \end{proof} \begin{prop}\label{weuclideo2} Sia $U_n=\gen \w$, allora \eal{&\w=\cos{\frac{2\pi}{n}}+i\sen{\frac{2\pi}{n}}\T{ e' euclideo } \= \cos{\frac{2\pi}{n}} \in \KE } \end{prop} \begin{proof} $\>$ si ha per definizione.\\ Per la $\<$, basta osservare che una volta costruito il coseno e' possibile costruire il seno: \begin{enumerate} \item si costruisce la circonferenza unitaria, con gli assi $X,Y$ \item si riporta il coseno nel segmento $OQ$ \item si costruisce la perpendicolare a $X$ passante per $Q$ \item si interseca tale retta con la circonferenza \item l'ordinata del punto $P$ di intersezione e' il seno cercato \item si traccia la perpendicolare a $Y$ per $P$, riportando cosi' l'ordinata di $P$ in un segmento su $Y$ \end{enumerate} \end{proof} \begin{thm} Sia $U_n=\gen \w$, allora \eal{&\w\T{ e' euclideo } \= \exists m\ge 0:\;\;\f(n)=2^m } dove $\f$ e' la funzione di eulero. \end{thm} \begin{proof} \eal{&\w=\cos{\frac{2\pi}{n}}+i\sen{\frac{2\pi}{n}} } Poniamo \eal{&\a=\cos{\frac{2\pi}{n}},\;\;\b=\sen{\frac{2\pi}{n}} } \begin{pnecessaria} \eal{&\w \T{ euclideo } \= \a,\b\in \KE\\ &\a \in \KE \ubrace{\>}{\see{corthmcostruzioni}} \deg \pmin{\a}{\Q}=2^m,\;\;m\ge 0 \> [\Q(\a):\Q]=2^m\;\;(1)\\ &\w=\a+i\b \in \Q(\a,\b,i) \> \Q(\w)\(\Q(\a,\b,i)\;\;(1.1)\\ &\a^2+\b^2=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1 \> \b\T{ e' radice di } x^2+\a^2-1\in \Q(\a)[x]\;\;(2) } \step{pt}{$\exists t\ge 0:\;\;[\Q(\a,\b):\Q]=2^{t}$} \begin{prova} Sia $p(x)=\pmin{\b}{\Q(\a)}$. Partendo dalla $(2)$, distinguiamo due casi: \case{$x^2+\a^2-1$ riducibile in $\Q(\a)[x]$} \begin{prova} \eal{&x^2+\a^2-1=h(x)g(x),\;\;\deg h(x)=\deg g(x)=1,\;\; h(x),g(x)\in \Q(\a)[x] \> h(\b)=0 \| g(\b) =0\\ & \> p(x)\div h(x) \| p(x)\div g(x) \> \deg p(x) = 1 \\ & \> p(x) = x-\b \in \Q(\a)[x] \> \b\in \Q(\a) \> \Q(\a,\b) =\Q(\a)\\ & \> [\Q(\a,\b):\Q]=[\Q(\a):\Q] \ubrace{=}{(1)} 2^m } \end{prova} \case{$x^2+\a^2-1$ irriducibile in $\Q(\a)[x]$} \begin{prova} \eal{&\sist{x^2+\a^2-1 \in \Q(\a)[x], \T{ irrid. }\\ \T{ e' monico }\\ \b \T{ e' una sua radice } } \ubrace{\>}{\see{carattpolinomiominimo} } p(x) =x^2+\a^2-1 \> [\Q(\a)(\b):\Q(\a)]=\deg p(x) = 2 \\ &\sist{\Q \SC \Q(\a)\SC \Q(\a)(\b)\\ [\Q(\a)(\b):\Q(\a)]= 2\\ [\Q(\a):\Q] \ubrace{=}{(1)} 2^m } \ubrace{\>}{\see{transitivitagrado}} [\Q(\a,\b):\Q]=2^{m+1} } \end{prova} \end{prova} \step{}{$\exists r>0:\;\;[\Q(\a,\b,i):\Q]=2^r$} \begin{prova} \eal{&\pmin{i}{\Q(\a,\b)} =x^2+1 \> [\Q(\a,\b)(i):\Q(\a,\b)]=2\;\;(3)\\ & [\Q(\a,\b,i):\Q] \ubrace{=}{\see{transitivitagrado}} [\Q(\a,\b,i):\Q(\a,\b)] [\Q(\a,\b):\Q] \ubrace{=}{(3),\;\sref{pt}} 2\.2^t=2^{t+1} } \end{prova} In conclusione: \eal{& \sist{ \Q \ubrace{\SC}{(1.1)} \Q(\w) \SC \Q(\a,\b,i)\\ [\Q(\a,\b,i):\Q]=2^{r} } \ubrace{\>}{\see{transitivitagrado}} [\Q(\w):\Q] \div 2^r \> [\Q(\w):\Q] =2^{r'} \ubrace{\=}{\see{thmestensioniciclotomiche}} \f(n) = 2^{r'} } \end{pnecessaria} \begin{psufficiente} Supponiamo $\f(n)=2^m$.\\ \eal{&\w \T{ e' euclideo } \ubrace{\=}{\see{weuclideo2} } \a\in \KE } Per dimostrare $\a\in \KE$ useremo il thm \see{thmcostruzionieuclidee}.\\ \def\s{{\sigma}} Consideriamo l'operazione di coniugazione: \eal{&\s:\C\longrightarrow \C\\ &z\mapsto \ove z } $\s$ e' un omomorfismo di campi, infatti, \eal{&\ove{a+b}=\ove a+\ove b\\ &\ove {ab}=\ove a\ove b } e' inoltre un isomorfismo (infatti $\inv \s=\s$). E' chiaro anche che $\s_{|\R}=\id$.\\ Per il thm \see{thmestensioniciclotomiche} sappiamo: \eal{ &\;\;[\Q(\w):\Q]=\f(n) \ubrace{=}{\T{per Hp}} 2^m\;\;(0) \\ &\;\;\Q\SC \Q(\w)\T{ e' di Galois }\;\;(1)} Allora\eal{ &(1) \> \Q\SC \Q(\w) \T{ algebrica } \ubrace{\>}{\see{chiusureestensionealgebrica}} \ove \Q = \ove{\Q(\w)}\;\;(1.1)\\ &(1) \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} |\GG{\Q(\w)}{\Q}| = [\Q(\w):\Q] \ubrace{=}{(0)} 2^m\;\;(1.2) } \def\H{{\mathbb{H}}} Sia $\s'=\s_{|\Q(\w)}$. \eal{ &\s'(\w)=\s'(\a+i\b) =\a-i\b\\ &\s'(\w) \w = (\a-i\b) (\a+i\b) = \a^2 +\b^2 = \cos^2 \theta +\sin^2\theta =1 \> \s'(\w) = \inv \w\\ &k=\deg \pmin{\w}{\Q} = [\Q(\w):\Q]=\f(n)\\ &\w\T{ algebrico } \> \Q(\w)=\pgra{a_0+a_1\w +\dots + a_{k-1}\w^{k-1}\;|\;a_i\in \Q\;\forall i=0,\dots,k-1}\\ & \s'(\ubrace{a_0+a_1\w +\dots + a_{k-1}\w^{k-1}}{\in \Q(\w)}) \ubrace{=}{\s'\T{ omo. },\;\;\s'_{|\R=\id}} a_0+a_1\s'(\w) +\dots + a_{k-1}\s'(\w)^{k-1} = \\ &\qq = a_0+a_1\inv \w +\dots + a_{k-1}(\inv \w)^{k-1} \in \Q(\inv \w) \ubrace{\(}{\inv \w \in \Q(\w)} \Q(\w) \\ &\T{Quindi } \s'(\Q(\w)) \( \Q(\w) \= \Im \s' \( \Q(\w)\\ &\sist{\s':\Q(\w) \longrightarrow \Q(\w)\( \ove{\Q(\w)} = \ove \Q\\ \s\T{ omomorfismo} \> \s'\T{ omomorfismo} \\ \s_{|\R}=\id \> \s'_{|\Q}=\id } \> \\ &\qq \> \s'\in \FM{\Q(\w)}{\Q} \ubrace{=}{(1),\;\see{galoisGGeqFM}} \GG{\Q(\w)}{\Q} \> H=\gen{\s'} \le \GG{\Q(\w)}{\Q}=G \T{ sottogruppo}\\ &\inv{\s'}=\s',\;\;\s' \neq \id \> o(\s')=2 \> |H|=2 \\ &\sist{\GG{\Q(\w)}{\Q} \ubrace{\simeq}{\see{QwisomorfoUZn}} U(\Z_n) \\ U(\Z_n) \T{ abeliano }} \> G=\GG{\Q(\w)}{\Q} \T{ abeliano } \> H \le G\T{ e' normale }\\ &\T{Nota che: } H\le G \> |G| \ge |H|=2 \ubrace{\>}{|G|=2^m} m\ge 1\\ &\sist{H \le G=\GG{\Q(\w)}{\Q}\T{ normale}\\ (1) } \ubrace{\>}{\see{corquoziente}} \sist{\Q \SC \Q(\w)^H \T{ di Galois}\;\;(4)\\ [ \Q(\w)^H : \Q ] = \frac{|G|}{|H|} \ubrace{=}{(1.2)} \frac{2^m}{2} = 2^{m-1}\;\;(4.1)\ }\\ &(4) \> |\GG{ \Q(\w)^H }{\Q}| = [ \Q(\w)^H : \Q ] \ubrace{=}{(4.1)} 2^{m-1}\;\;(4.2)\\ &\T{Poniamo } \H = \Q(\w)^H,\;\;J= \GG{ \H }{\Q}\\ &|J| \ubrace{=}{(4.2)} 2^{m-1} \> J\T{ e' un $2$-gruppo } \>\\ & \ubrace{\>}{\T{thm $p$-gruppi }\AII{propcatenasottogruppinormaliinGpgruppo} } \exists J_0=\pgra{\id} \le J_1 \le \dots \le J_{m-1}=J \T{ tale che } \sist{|J_{i}|=2^i\\J_i\le J\T{ normale }}\forall i=0,\dots,m-1\;\;(5) } \step{as}{$\H \( \R$} \begin{prova} \eal{&\H=\Q(\w)^H = \Q(\w)^{\pgra{\id,\s}} = \pgra{z\in \Q(\w) \;|\; \s(z)=z \= \ove z = z \= z\in \R} = \Q(\w) \^\R } \end{prova} \step{as2}{$\H^J=\Q$} \begin{prova} \eal{&\H^J = \H ^\GG{ \H }{\Q} \ubrace{=}{\T{corrispondenza Galois }\see{corrispondenzagalois}} \Q } \end{prova} \step{as3}{$\a \in \H$} \begin{prova} \eal{& \frac{\w+\s'(\w)}{2} = \frac{\w+\ove\w}{2} = \cos{\frac{2\pi}{n}} = \a \\ &\a= \frac{\w+\ove\w}{2} \in \Q(\w)\\ &\s'(\a) \ubrace{=}{\s'\T{ omomorfismo}} \frac{\s'(\w)+\s'\s'(\w)}{\s'(2)} \ubrace{=}{\s'_{|\Q(\w)}=\id} \frac{\s'(\w)+\w}{2} = \a\\ &\s'(\a)=\a \in \Q(\w) \> \a \in \Q(\w)^{\pgra{\id,\;\s'}} = \Q(\w)^H = \H } \end{prova} Usando la corrispondenza di Galois (\vedi{corrispondenzagalois}), dalla $(5)$ abbiamo \eal{& & \Q \ubrace{=}{\sref{as2}} \H^J = \H^{J_{m-1}} \SC \H^{J_{m-2}} \SC \dots \SC \H^{J_{1}} \SC \H^{J_{0}} = \H^{\pgra{\id}} = \H \ubrace{\(}{\sref{as}} \R\;\;(5.1) } \step{as4}{$ [\H^{J_{i}}:\H^{J_{i+1}}]=2\;\;\forall i=0,\dots,m-2$} \begin{prova} \eal{&[\H:\Q]=[\Q(\w)^H:\Q] \ubrace{=}{ (4.2)} 2^{m-1} \\ &\sist{(5) \> J_i \le J=\GG{ \H }{\Q}\T{ normale} \\ \Q \SC \H\T{ di Galois} } \ubrace{\>}{\see{corquoziente}} \sist{\Q \SC \H^{J_i}\T{ e' di Galois}\;\;(6.1)\\ [ \H^{J_i}:\Q ] = \frac{|J|}{|J_i|} \ubrace{=}{(5)} \frac{ 2^{m-1}}{2^i} =2^{m-1-i}\;\;(6.2) }\\ &(5.1) \> \sist{ \Q \SC \H^{J_{i}} \SC \H\\ [ \H^{J_i}:\Q ] \ubrace{=}{(6.2)} 2^{m-1-i}\\ [\H:\Q] \ubrace{=}{(4.2)} 2^{m-1} } \ubrace{\>}{\see{transitivitagrado}} [\H:\H^{J_{i}}] = 2^i\;\;(7)\\ &\sist{ \H^{J_{i+1}}\( \H^{J_{i}} \( \H\\ [\H:\H^{J_{i}}] \ubrace{=}{(7)} 2^i\\ [\H:\H^{J_{i+1}}] \ubrace{=}{(7)} 2^{i+1} } \ubrace{\>}{\see{transitivitagrado}} [\H^{J_{i}}: \H^{J_{i+1}} ] = \frac{2^{i+1}}{2}=2 } \end{prova} \qedstep \begin{prova} \eal{& \sist{\a\ubrace{\in}{\sref{as3}}\H\\ (5.1) \> \Q = \H^{J_{m-1}} \SC \H^{J_{m-2}} \SC \dots \SC \H^{J_{1}} \SC \H^{J_{0}} = \H \( \R\\ m\ge 1\\ [\H^{J_{i}}:\H^{J_{i+1}}]=2\;\;\forall i=0,\dots,m-2 } \ubrace{\>}{\see{thmcostruzionieuclidee}} \a\in \KE } che e' la tesi. \end{prova} \end{psufficiente} \end{proof} \def\f{{\varphi}} \begin{prop} \def\p#1#2{{{#1}^{#2}}} \def\pi#1{{{p_{#1}}^{s_{#1}}}} \def\pis#1#2{{{p_{#1}}^{s_{#1}#2}}} Sia $n=\p 2 {s_0} \pi 1 \dots \pi t$ la fattorizzazione in primi distinti di $n$, con $s_0\ge 0$, $s_i>0\;\;\forall i=1,\dots,t$, allora \eal{&\f(n)= 2^m \= \sist{s_1=s_2=\dots=s_t=1\\ p_i=2^{2^{h_i}}+1\;\;\forall i=1\dots t }\\ &\f(n) =2^m \> n=\p 2 {s_0}\pton{2^{2^{h_1}}+1} \dots \pton{2^{2^{h_t}}+1}\\ &\T{ con } k_i,h_i\ge 0 } \end{prop} \begin{proof} \def\p#1#2{{{#1}^{#2}}} \def\pi#1{{{p_{#1}}^{s_{#1}}}} \def\pis#1#2{{{p_{#1}}^{s_{#1}#2}}} Supporremo $s_0>0$. La dimostrazione e' analoga nel caso $s_0=0$ (basta non considerare $\p 2 {s_0}$).\\ Per la prop \AI{formulafunzioneeulero}, abbiamo \eal{&\f(n) = n \pton{1-\frac{1}{2}} \left(1-{1 \over p_1}\right)\left(1-{1 \over p_2}\right)\dots\left(1-{1 \over p_t}\right) =\\ & = \p 2 {s_0} \pton{1-\frac{1}{2}} \pi 1 \pton{1-\frac{1}{p_1}} \dots \pi t \pton{1-\frac{1}{p_t}} = \p 2 {s_0-1} \pis 1 {-1}(p_1-1)\dots \pis t {-1}(p_t-1)\\ &\f(n)=2^m \= \sist{s_1=s_2=\dots=s_t=1\\ p_i-1=2^{r_i}\;\;\forall i=1,\dots,t }\;\;(1) } \step{p1}{Dimostriamo che \eal{&2^{r} +1 \T{ primo } \> r=0 \| \exists h\ge 0:\;\;r=2^{h}} (Non vale il vicerversa: $2^{32}+1$ non e' primo) } \begin{prova} Se $r=0$ allora la tesi e' vera. Supponiamo $r \neq 0$.\\ Supponiamo per assurdo che $r$ non sia una potenza di $2$, ovvero \eal{&r=2^{k}d\;\;\T{ con $d$ dispari, }d \neq 1 } allora \eal{& 2^{r} +1 = 2^{2^{k}d} +1 = \pton{2^{2^{k}}}^d +1\;\;(*) } Il polinomio $x^d+1$ ammette $-1$ come radice ($d$ e' dispari), quindi applicando Ruffini otteniamo: \eal{&x^d + 1 = (x+1)(1-x+x^2-x^3 +\dots +x^{d-3}-x^{d-2}+x^{d-1}) } quindi, la $(*)$ diventa: \eal{&x=2^{2^{k}}\\ & 2^r+1 = 2^{2^{k}d} +1 = x^d + 1 = (x+1)(1-x+x^2-x^3 +\dots +x^{d-3}-x^{d-2}+x^{d-1}) } Ma $2^r+1 $ e' primo, quindi \eal{&x+1=\pm 1 \;\|\; 1-x+x^2-x^3 +\dots +x^{d-3}-x^{d-2}+x^{ d-1} =\pm 1 } Analizziamo i vari casi: \eal{&x+1=-1 \= x=-2\T{ assurdo perche' } x=2^{2^{k}}>0\\ &x+1=1\= x=0\T{ assurdo}\\ &\sist{ x+1 >0\\ x^d + 1 >0 } \> 1-x+x^2-x^3 +\dots +x^{d-3}-x^{d-2}+x^{ d-1} = -1 >0 \;\;\T{ assurdo} } Quindi l'unico caso rimasto e': \eal{&-x+x^2-x^3 +\dots +x^{d-3}-x^{d-2}+x^{ d-1} = 0 \ubrace{\=}{x \neq 0} -1+x-x^2 +\dots +x^{d-4}-x^{d-3}+x^{ d-2} =0 \>\\ & \> -1 =0 \;\;\Z_{x} \= x\div 1 \= 2^{2^{k}} \div 1 \> 2^{2^{k}} =1 \T{ assurdo } } \end{prova} Quindi \eal{&p_i-1 =2^{r_i} \= p_i=2^{r_i}+1 \ubrace{\>}{p_i\T{ primo, }\sref{p1}} r_i=0 \| r_i=2^{h_i} \= p_i=2 \| p_i=2^{2^{h_i}}+1 \ubrace{\=}{\T{Per Hp }p_i \neq 2} p_i=2^{2^{h_i}}+1 \;\;(2) } In conclusione, dalla $(1)$ e $(2)$ abbiamo \eal{&\f(n) = 2^m \= \sist{s_1=s_2=\dots=s_t=1\\ p_i=2^{2^{h_i}}+1\;\;\forall i=1,\dots,t } \> n=\p 2 {s_0} \pi 1 \dots \pi t=\p 2 {s_0}\pton{2^{2^{h_1}}+1} \dots \pton{2^{2^{h_t}}+1} } \end{proof} \begin{prop} Sia dato il seguente algoritmo scritto in J\footnote{Vedi Jsoftware \url{http://www.jsoftware.com/}} \begin{verbatim} rc=:3 : '-. (+./ 1 >~ #/.~ ([ #~ 2&|) q: y) +. (-.*./ 1=+/"1#: ~.1-~q: y)'"0 \end{verbatim} allora \eal{& \T{rc }n = 1 \= \f(n)=2^m} \end{prop} %\begin{proof} %\begin{verbatim} %rc n = 1 %-. (+./ 1 >~ #/.~ ([ #~ 2&|) q: n) +. (-.*./ 1=+/"1#: ~.1-~q: n) = 1 %\end{verbatim} %Applicando il not ad ambo i membri: %\begin{verbatim} %(+./ 1 >~ #/.~ ([ #~ 2&|) q: n) +. (-.*./ 1=+/"1#: ~.1-~q: n) = 0 %\end{verbatim} %ovvero %\begin{verbatim} %(+./ 1 >~ #/.~ ([ #~ 2&|) q: n)=0 AND (-.*./ 1=+/"1#: ~.1-~q: n) = 0 %\end{verbatim} %\step{p1}{Esaminiamo %\begin{verbatim} %(+./ 1 >~ #/.~ ([ #~ 2&|) q: n)=0 %\end{verbatim} %} %\begin{prova} %\begin{verbatim} %(+./ 1 >~ #/.~ ([ #~ 2&|) q: n)=0 %(+./ 1 >~ #/.~ ([ #~ 2&|) q: n)=0 %\end{verbatim} %\end{prova} %\end{proof} \section{Gruppi risolubili} \def\e{{\mathbf{e}}} \begin{defn} Sia $G$ un gruppo \eal{&G\T{ e' un gruppo risolubile }\=\\ &\qq\qq \= \exists \T{catena di gruppi } \pgra{\e}=H_0\le H_1\le \dots\le H_n=G\T{ t.c. } \sist{H_{i-1}\le H_i\T{ normale }\\ \frac{H_i}{H_{i-1}}\T{ e' abeliano} }\forall i =1,\dots,n } La catena viene chiamata \iemph{catena risolvente}. \end{defn} \begin{prop} \eal{&1.\;\;G\T{ abeliano } \> G\T{ risolubile}\\ &2.\;\;G\T{ $p$-gruppo } \>G\T{ risolubile}\\ &3.\;\;|G|=pq,\;\;p,q\T{ primi } \> G\T{ risolubile} } \end{prop} \begin{proof} \step{}{Dim $1.$} \begin{prova} Basta scegliere la catena banale $H_0=\pgra{\e}\SC H_1=G$. \end{prova} \step{}{Dim $2.$} \begin{prova} \eal{& G\T{ $p$-gruppo } \ubrace{\>}{\T{thm $p$-gruppi }\AII{propcatenasottogruppinormaliinGpgruppo} } \exists H_0=\pgra{\id} \le H_1 \le \dots \le H_{k}=G \T{ tale che } \sist{|H_{i}|=p^i\\H_i\le G\T{ normale }}\forall i=0,\dots,k\\ &H_{i-1}\le G\T{ normale } \ubrace{\>}{H_i\( G} H_{i-1} \le H_i\T{ normale }\\ &\pass{\frac{H_i}{H_{i-1}}} \ubrace{=}{\AII{propordinequoziente}} \frac{|H_i|}{|H_{i-1}|} = \frac{p^i}{p^{i-1}}=p \T{ primo } \ubrace{\>}{\AII{propordGprimogenerato}} \frac{H_i}{H_{i-1}}\T{ ciclico } \> \frac{H_i}{H_{i-1}}\T{ abeliano} } \end{prova} \step{}{Dim $3.$} \begin{prova} Distinguiamo due casi \case{$p=q$} \begin{prova} \eal{&|G|=pq \ubrace{=}{p=q} =p^2 \ubrace{\>}{\AII{proppgruppikunodue}} G\T{ e' abeliano} \ubrace{\>}{1.} G\T{ e' risolubile} } \end{prova} \case{$p \neq q$} \begin{prova} Possiamo supporre $q>p$. Applichiamo il thm di Cauchy e di Sylow \eal{&\sist{|G|=pq\\ p \neq q} \ubrace{\>}{\T{Sylow }\AII{thmdisylow}} \exists K\le G:\;|K|=q\\ } Sia $t$ il numero di $q$ sottogruppi di Sylow, sempre per il thm \AII{thmdisylow} si ha \eal{&\sist{t\div p \\ t=1\;\;(\mathbb{Z}_q)} \ubrace{\>}{q > p} t=1 } quindi esiste un unico $q$-sottogruppo di Sylow, cioe' $K$.\\ Allora, per la prop \AII{propviceversauniconormale} si ha che $K$ e' normale in $G$.\\ Infine, \eal{&\sist{G\T{ finito}\\ K\T{ normale in $G$}} \ubrace{\>}{\AII{propordinequoziente}} \pass{\frac{G}{K}}=\frac{|G|}{|K|} =\frac{pq}{q}= p \T{ primo } \ubrace{\>}{\AII{propordGprimogenerato}} \frac{G}{K}\T{ ciclico } \> \frac{G}{K}\T{ abeliano}\\ &|K|=q\T{ primo }\> K\T{ ciclico, e quindi abeliano }\> K\simeq \frac{K}{\pgra{\e}}\T{ abeliano} } Quindi come catena possiamo scegliere \eal{&\pgra{\e}\le K \le G } \end{prova} \end{prova} \end{proof} \begin{prop}\label{Grisolubilecondizionivarie} Sia dato un gruppo $G$ \underline{risolubile}, allora \eal{&1.\;\;H\le G \> H\T{ risolubile }\\ &2.\;\;N\le G\T{ normale } \> \frac{G}{N}\T{ risolubile}\\ &3.\;\;1< |G| < +\8\> \exists \T{ una catena risolvente } \pgra{\e}=H_0\le \dots\le H_n =G\T{ t.c. }\pass{\frac{H_i}{H_{i-1}}}=p_i\T{ primo }\;\;\forall i=1,\dots,n } \end{prop} \begin{proof} \eal{&G\T{ risolubile }\>\exists \pgra{\e}=K_0\le K_1\le \dots\le K_n=G\T{ t.c. } \sist{K_{i-1}\le K_i\T{ normale }\\ \frac{K_i}{K_{i-1}}\T{ e' abeliano} }\forall i =1,\dots,n\;\;(1) } \step{}{Dim $1.$} \begin{prova} Consideriamo la catena di gruppi \eal{& H\^ \pgra{\e}=\pgra{\e} \le H\^K_1 \le \dots \le H\^K_n=H\^G=H } dimostriamo che e' la catena risolvente di $H$. \eal{&K_{i-1}\le K_i\T{ normale } \ubrace{\>}{\AII{Hnormalesseunionediorbite}} H\^K_{i-1}\le H\^K_i\T{ normale } } Consideriamo il seguente omomorfismo: \def\f{{\varphi}} \eal{&K_{i}\^H \stackrel{\id}{\longrightarrow} K_i \stackrel{\pi}{\longrightarrow} \frac{K_i}{K_{i-1}}\\ &\f=\pi\o\id,\T{ dove }\pi\T{ e' la surriezione naturale}\\ &\f(k)=kK_{i-1} } si ha \eal{&\ker \f =\pgra{k\in K_{i}\^H \;|\;kK_{i-1} =K_{i-1} \= k\in K_{i-1} } = K_{i}\^H\^ K_{i-1} \ubrace{=}{K_{i-1} \(K_{i}} H\^ K_{i-1} \\ &\f\T{ omomorf.} \ubrace{\>}{\AII{thmomo}} \frac{K_{i}\^H }{\ker \f }=\frac{K_{i}\^H }{ H\^ K_{i-1}}\simeq \Im \f \le \frac{K_i}{K_{i-1}}\\ &\sist{\frac{H\^K_{i} }{ H\^K_{i-1}} \le \frac{K_i}{K_{i-1}}\\ \frac{K_i}{K_{i-1}}\T{ abeliano } } \> \frac{H\^K_{i} }{ H\^K_{i-1}} \T{ abeliano} } \end{prova} \step{}{Dim $2.$} \begin{prova} \eal{&\sist{N\le G\T{ normale}\\ K_i\le G} \ubrace{\>}{\AII{propHnormaleHKnormale}} NK_i\le G } Possiamo cosi' considerare la catena: \eal{&N\pgra{\e}=N \le NK_1 \le \dots \le NK_n=NG=G\\ &\sist{N\( NK_i \(G\\ N\le G\T{ normale}} \> N\le NK_i\T{ normale} } Applicando alla catena la surriezione naturale $\pi: G\longrightarrow \frac{G}{N}$, otteniamo: \eal{&\frac{N}{N}=\pgra{N} \le \frac{NK_1}{N} \le \dots \le \frac{G}{N} } Dimostriamo che questa e' la catena risolvente cercata. \step{pn}{Dim che $\frac{NK_{i-1}}{N} \le \frac{NK_i}{N}$ e' normale} \begin{prova} Applicando il teorema di corrispondenza di gruppi (vedi \AII{corcorrispondenza}) alla surriezione naturale \eal{ &\pi_i:NK_i \longrightarrow \frac{NK_i}{N}\T{ surriez. naturale}} abbiamo \eal{& H\le NK_i\T{ normale t.c. } H\) \ker \pi_i \ubrace{\=}{ \AII{corcorrispondenza} } \pi_i(H) \le \pi_i(NK_i)\T{ normale} \= \frac{H}{N}\le \frac{NK_i}{N}\;\;(2) } In particolare, \eal{&\ker \pi_i=N \( NK_{i-1} \\ &NK_{i-1}\le NK_i\T{ normale } \ubrace{\=}{(2)} \frac{NK_{i-1}}{N} \le \frac{NK_{i}}{N}\T{ normale} } \step{pn2}{Dim. che $NK_{i-1}\le NK_i\T{ normale }$} \begin{prova} Usiamo la caraterizzazione dei sott. normali (vedi \AII{propcarattsottnormali}) \eal{&\T{Siano }n_ik_i\in NK_i,\;\;n_{i-1}k_{i-1}\in NK_{i-1}\\ &(n_ik_i)(n_{i-1}k_{i-1})\inv{(n_ik_i)} = n_ik_in_{i-1}k_{i-1}\inv{k_i}\inv n_i=\\ &\qq N \le G\T{ normale }\> k_{i}N=Nk_{i} \> k_in_{i-1}=n'k_{i}\\ &= n_in' k_ik_{i-1}\inv{k_i}\inv n_i=\\ &\qq K_{i-1}\le K_i\T{ normale } \> k_ik_{i-1}\inv{k_i} =k_{i-1}'\in K_{i-1}\\ &= n_in'k_{i-1}'\inv n_i=\\ &\qq N \le G\T{ normale }\> k_{i-1}'\inv n_i=n_i'k_{i-1}'\\ & = n_in'n_i'k_{i-1}' \in NK_{i-1}\\ &\T{Quindi } \forall b\in NK_{i-1}\forall a\in NK_i\;\;ab\inv a\in NK_{i-1} } \end{prova} \end{prova} \step{}{Dim che \eal{&\frac{\frac{NK_i}{N}}{ \frac{NK_{i-1}}{N}}} e' abeliano } \begin{prova} \eal{&\sist{N\le G\T{ normale} \>N\le NK_i\T{ normale}\\ NK_{i-1}\le NK_{i}\T{ normale}\\ N\(NK_{i-1} } \ubrace{\>}{\AII{thmisomII}} \frac{\frac{NK_i}{N}}{ \frac{NK_{i-1}}{N}} \simeq \frac{NK_i}{NK_{i-1}} \ubrace{=}{\AII{propHKeqKH}} \frac{K_iN}{K_{i-1}N} } Allora, basta dimostrare che $K_iN/K_{i-1}N$ e' abeliano.\\ Consideriamo il seguente omomorfismo: \def\f{{\varphi}} \eal{&K_{i} \stackrel{\id}{\longrightarrow} K_iN \stackrel{\pi}{\longrightarrow} \frac{K_iN}{K_{i-1}N}\\ &\f=\pi\o\id,\T{ dove }\pi\T{ e' la surriezione naturale}\\ &\f(k_i)=k_iK_{i-1}N } $\f$ e' surriettiva, infatti, \eal{&k_inK_{i-1}N \ubrace{=}{N\(K_{i-1}N } k_iK_{i-1}N =\f(k_i) } quindi per il thm dell'omomorfismo (\AII{thmomo}) abbiamo l'isomorfismo $\ove \f$, \eal{&\frac{K_i}{\ker \f} \stackrel{\ove \f}{\simeq} \Im \f= \frac{K_iN}{K_{i-1}N} } inoltre \def\p{{\psi}} \eal{&\ker \f=K_{i} \^K_{i-1}N \) K_{i-1}\\ &K_{i-1}\le K_i\T{ normale } \>\frac{K_i}{K_{i-1}} \T{ gruppo}\\ &\T{Sia}\\ &\qq \p:\frac{K_i}{K_{i-1}} \longrightarrow \frac{K_i}{\ker \f} \\ &\qq \p(k_iK_{i-1})=k_i\ker \f } \step{}{$\p$ e' ben posta ed e' un omomorfismo} \begin{prova} \eal{&\T{Sia }k_iK_{i-1}=k_i'K_{i-1} \= k_i=k_i'k_{i-1}\\ &\p(k_iK_{i-1})=k_i\ker \f = k_i'k_{i-1} \ker \f \ubrace{=}{ K_{i-1}\(\ker \f} k_i'\ker \f =\p(k_i'K_{i-1}) } quindi e' ben posta. \eal{&\p(k_iK_{i-1})\p(k_i'K_{i-1}) =k_i\ker \f k_i'\ker \f=k_ik_i'\ker \f = \p(k_ik_i'K_{i-1}) } quindi e' un omomorfismo. \end{prova} $\p$ e' chiaramente surriettiva.\\ Sia \eal{&\p':\frac{K_i}{K_{i-1}}\longrightarrow \frac{K_iN}{K_{i-1}N}\\ &\p'=\ove \f\o\p\\ &\ove \f,\p\T{ omo. surriettivi } \> \p'\T{ omo. surriettivo} } Possiamo adesso dimostrare l'abelianita' di $\frac{K_iN}{K_{i-1}N}$: \eal{&a',b'\in \frac{K_iN}{K_{i-1}N} \ubrace{\>}{\p'\T{ surr.}}\exists a,b\in \frac{K_i}{K_{i-1}}:\;\p'(a)=a',\;\p'(b)=b' \\ &a,b\in \frac{K_i}{K_{i-1}}\T{ abeliano }\> ab=ba\\ &a'b'=\p'(a)\p'(b) =\p'(ab) =\p'(ba)= \p'(b)\p'(a) =b'a' } \end{prova} \end{prova} \step{}{Dim. $3.$} \begin{prova} Procediamo per induzione forte su $|G|=m'$. \step{}{$|G|=2$} \begin{prova} \eal{&|G|=2 \> G\T{ abeliano }} La catena cercata e': \eal{&\pgra{\e}\le G} \end{prova} \step{}{$|G| = m< m'$} \begin{prova} Sia \eal{&\pgra{\e}=K_0\le \dots \le K_n=G} la catena risolvente di $G$. Poiche' $|G| > 1 \>G \neq \pgra{\e}$, possiamo supporre che gli elementi della catena siano distinti tra loro, ovvero \eal{&K_i \neq K_j\;\;\forall i \neq j\;\;(3)} (togliendo gli elementi non distinti da una catena risolvente otteniamo ancora una catena risolvente). Quindi, \eal{ &\sist{ K_{n-1}\le K_n\T{ normale }\\ |K_n|=|G|< \8 } \ubrace{\>}{\AII{propordinequoziente} } \pass{\frac{K_n}{K_{n-1}}} = \frac{|K_n|}{|K_{n-1}|} \\ & \sist{ K_{n-1} \le K_{n} \\ K_{n-1} \neq K_n } \> |K_{n-1}| < |K_n| \> l=\frac{|K_n|}{|K_{n-1}|} > 1 \> \exists p\T{ primo t.c. }p\div \pass{\frac{K_n}{K_{n-1}}}\;\;(*)\\ &\T{Sia }G'=\frac{K_n}{K_{n-1}},\;\;d=\frac{|G'|}{p}\\ &\sist{ G'\T{ abeliano } \\ d\div |G'| } \ubrace{\>}{\AII{abelianomdividenalloraesistesottogruppo}} \exists H' \le G'\T{ t.c. }|H'|=d\\ &\sist{H' \le G'\\ G'\T{ abeliano } } \> H' \le G'\T{ normale }\;\;(4) } Sia \eal{ &\pi:K_n\longrightarrow \frac{K_n}{K_{n-1}}\T{ surriez. naturale}\\ &H=\inv \pi (H') } Per il thm di corrispondenza (vedi \AII{corcorrispondenza}) applicato a $\pi$, abbiamo \eal{& (4)\= H' \le G' \T{ normale } \ubrace{\=}{\AII{corcorrispondenza}} H=\inv \pi (H')\le G \T{ normale t.c. } H\) \ker \pi=K_{n-1} } Osserviamo che \eal{&H'=\pi(H) \> H' = \frac{H}{K_{n-1}}\\ &\sist{ H \) K_{n-1}\\ H,K_{n-1}\le G\T{ normale } } \ubrace{\>}{\AII{thmisomII}} \frac{\frac{K_n}{K_{n-1}}}{\frac{H}{K_{n-1}}} \simeq\frac{K_n}{H}\\ &\frac{G'}{H'}= \frac{\frac{K_n}{K_{n-1}}}{\frac{H}{K_{n-1}}} \ubrace{\simeq }{\AII{thmisomII}} \frac{K_n}{H}\\ &\qq \> \pass{\frac{K_n}{H}} = \pass{\frac{G'}{H'}} =\frac{|G'|}{|H'|} = \frac{|G'|}{d}=p\\ &\pass{\frac{K_n}{H}}=p\T{ primo} \> \frac{K_n}{H}\T{ abeliano} } Abbiamo cosi' dimostrato che \eal{&H \le K_n=G \T{ normale },\;\;\pass{\frac{G}{H}}=p\T{ primo},\;\; \frac{G}{H}\T{ abeliano} } Infine, \eal{&\sist{H\le G\\ G\T{ risolubile}} \ubrace{\>}{1.} H\T{ risolubile} } Possiamo allora applicare l'Hp induttiva su $H$, ottenendo la catena cercata: \eal{&\pgra{\e} = H_0 \le H_1 \le \dots \le H_{n'-1} \le H \le G } \end{prova} \end{prova} \end{proof} \begin{prop} \label{alloraGrisolubile} Sia $G$ un gruppo, allora \eal{&\sist{N\le G\T{ normale}\\ N\T{ risolubile }\\ \frac{G}{N}\T{ risolubile} } \> G\T{ risolubile} } \end{prop} \begin{proof} $N$ e $\frac{G}{N}$ sono risolubili, quindi abbiamo due catene risolventi: \eal{ &\pgra{\e} = N_0 \le \dots \le N_n = N\\ &\pgra{\e'} = H_0 \le \dots \le H_m = \frac{G}{N} } Sia \eal{&\pi:G\longrightarrow \frac{G}{N}\T{ surriez. naturale}\\ &K_i=\inv \pi(H_i) } Per il thm di corrispondenza (vedi \AII{thmcorrispondenza}): \eal{&H_i \le \frac{G}{N} \= K_i=\inv \pi(H_i) \le G\T{ t.c. } K_i \) \ker \pi = N\;\;(5)\\ &K_0= \inv \pi(H_0) =\inv \pi(\pgra{\e'}) =N\\ &K_m= \inv \pi(H_m) =\inv \pi\pton{\frac{G}{N}} =G } abbiamo allora la catena: \eal{&\pgra{\e} = N_0 \le \dots \le N_n = N = K_0 \le K_1 \le \dots \le K_m =G } Il primo pezzo della catena ($N_0\le \dots\le N$) rispetta, per Hp, le proprieta' di una catena risolvente. Controlliamo che pure il secondo pezzo sia risolvente: \eal{&H_i = \pi(K_i) = \frac{K_i}{N}\;\;(6)\\ &\sist{N\le G\T{ normale }\\ N\( K_i \( G } \> N\le K_i\T{ normale} \> \frac{K_i}{N}\T{ gruppo}\\ &\T{Sia }\pi_i=\pi_{|K_i}:K_i\longrightarrow \frac{K_i}{N} \ubrace{=}{(6)}H_i \T{ surriez. naturale } \\ & H_0\le \dots\le H_m\T{ risolvente }\> H_{i-1}\le H_i\T{ normale } \ubrace{\=}{\T{thm corrispondenza }\AII{corcorrispondenza}} K_{i-1}=\inv {\pi_i}(H_{i-1}) \le K_i\T{ normale } } Verifichiamo l'abelianita': \eal{& \frac{H_{i}}{H_{i-1}} \ubrace{=}{(6)} \frac{\frac{K_i}{N}}{\frac{K_{i-1}}{N}} \ubrace{\simeq}{\AII{thmisomII}} \frac{K_i}{K_{i-1}}\\ &H_0\le \dots\le H_m\T{ risolvente }\> \frac{H_{i}}{H_{i-1}}\simeq \frac{K_i}{K_{i-1}} \T{abeliano } } \end{proof} \begin{thm} di Feit-Thompson.\\ Sia $G$ un gruppo, allora \eal{&|G| \T{ dispari } \> G\T{ risolubile } } \end{thm} \begin{proof} Alcuni commenti riguardanti la dimostrazione: \begin{quote} It takes a professional group theorist about a year of hard work to understand the proof completely\footnote{\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Feit-Thompson\_theorem}} \end{quote} \begin{quote} La dimostrazione originale occupava un intero numero della rivista \emph{Pacific Journal of Mathematics}: FEIT, W. AND THOMPSON , J. G. 1963. Solvability of groups of odd order. Pacific J. Math. 13:775-1029. (vedi\footnote{Paragrafo \emph{Solvable groups} nel capitolo \emph{Subnormal Series; Solvable and Nilpotent Groups } di \url{http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/math594g.html}}) \end{quote} L'intero numero di Pacific J. si puo' scaricare da qui:\\ \verb|http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pjm/1103053941| \end{proof} \subsection{Risolubilita' di Sn} \begin{prop} $S_n$ e' risolubile $\forall n=1,\dots,4$ \end{prop} \begin{proof} \step{}{$n=1,2$} \begin{prova} $S_1,S_2$ sono abeliani e quindi risolubili. \end{prova} \step{}{$n=3$} \begin{prova} Una catena risolvente e' \eal{&\pgra{\id} \le A_3\le S_3 } Infatti, \eal{& |A_3|=\frac{|S_3|}{2} = \frac{6}{2} = 3\T{ primo }\> A_3 \T{ ciclico} \> A_3\simeq \frac{A_3}{\pgra{\id}} \T{ abeliano} \\ &|A_3|=\frac{|S_3|}{2} \> A_3\le S_3 \T{ e' normale }\\ &\pass{\frac{S_3}{A_3}}=2 \> \frac{S_3}{A_3}\T{ ciclico e quindi abeliano} } \end{prova} \step{}{$n=4$} \begin{prova} Una catena risolvente e' \eal{&\pgra{\id}\le V \le A_4 \le S_4 } dove $V$ e' il gruppo Vier: \eal{&V=\pgra{\id, (1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)}\\ &|A_4|=\frac{S_4}{2} \> A_4\le S_4 \T{ normale }\\ &\frac{S_4}{A_4}\T{ ha ordine $2$ e quindi e' abeliano}\\ &V\le A_4\T{ e' normale (vedi \AII{VdiA4})}\\ &\pass{\frac{A_4}{V}}=\frac{|A_4|}{|V|}=\frac{12}{4}=3 \T{ primo }\> \frac{A_4}{V}\T{ abeliano }\\ &\frac{V}{\pgra{\e}}\simeq V\T{ e' abeliano (vedi \AII{VdiA4})} } \end{prova} \end{proof} \def\c{{\gamma}} \def\t{{\tau}} \begin{thm}\label{Snnonestrisolubile} $S_n$ non e' risolubile $\forall n\ge 5$ \end{thm} \begin{proof} \step{}{$A_n$ non e' risolubile} \begin{prova} Poiche', per $n\ge 5$, $A_n$ e' semplice (non ha sottogruppi normali non banali, vedi \AII{Anestsemplice}), l'unica possibile catena risolubile e' \eal{&\pgra{\e}\( A_n} Pero', $A_n$ non e' abeliano, infatti, se lo fosse ogni suo sottogruppo dovrebbe essere normale. \end{prova} \eal{&A_n\T{ non risolubile } \ubrace{\>}{\T{sott. di un gruppo risolubile e' risolubile} \see{Grisolubilecondizionivarie}} \> S_n\T{ non e' risolubile } } \end{proof} \subsection{Estensioni risolubili} \def\Trac{{\operatorname{Tr}}} \def\Norm{{\mathcal{N}}} \def\trac#1{{\Trac\pton{#1}}} \def\norm#1{{\Norm\pton{#1}}} \def\tracKF#1#2#3{{\Trac_{#1,#2}\pton{#3}}} \def\normKF#1#2#3{{\Norm_{#1,#2}\pton{#3}}} \def\s{{\sigma}} \begin{defn} Sia $F\SC K$ una estensione algebrica. Definiamo la \iemph{traccia} e \iemph{norma}. \eal{ &\Trac_{K,F}:K \longrightarrow \ove F\\\ & \tracKF K F \a = \sum_{\s\in \FM{K}{F}} \s(\a)\\ &\Norm_{K,F}:K \longrightarrow \ove F\\\ & \normKF K F \a = \prod_{\s\in \FM{K}{F}} \s(\a)\\ } \end{defn} \begin{prop}\label{tracciainF} \eal{&F\SC K\T{ e' di Galois } \> \tracKF K F \a,\;\;\normKF K F \a \in F } \end{prop} \begin{proof} \eal{&F\SC K\T{ Galois } \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} F=\KT{K}{\GG{K}{F}}\;\;(1)\\ &F\SC K\T{ Galois } \ubrace{\>}{\see{galoisGGeqFM} } \FM{K}{F}=\GG{K}{F}\;\;(2) } Sia $\s\in \FM{K}{F}$, si ha \eal{&\trac \a= \sum_{s\in \FM{K}{F}} s(\a) =\sum_{s\in \GG{K}{F}} s(\a) \ubrace{\in}{s:K\longrightarrow K} K\;\;(2.1)\\ &\s \in \GG{K}{F} \> \s:K\longrightarrow K\\ &\T{Possiamo allora considerare } \s(\trac \a)\\ &\qq \s(\trac \a) \ubrace{=}{\s\T{ omomo.}} \sum_{s\in \GG{K}{F}} \s s(\a) \;\;(3) } Sia $G=\GG{K}{F}$, per il lemma \AII{lemmalagrange} si ha \eal{& G \leftrightarrow \s G=\pgra{\s g\;|\;g\in G} } quindi la $(3)$ diventa \eal{&\s(\trac \a)=\sum_{s\in \GG{K}{F}} \s s(\a) = \sum_{s\in \GG{K}{F}} s(\a) = \trac \a\\ &\> \s(\trac \a) = \trac \a \\ &\T{Per l'arbitrarieta' di }\s\T{ e per la $(2.1)$ si ha quindi } \trac \a \in \KT{K}{\GG{K}{F}} \ubrace{=}{(1)} F } Analogamente si dimostra che $\norm \a\in F$ \end{proof} \def\D{{\Delta}} \begin{defn}\label{defdiscriminante} Sia $F\SC K$ una estensione finita e separabile. Sia $B=\pgra{a_1,\dots,a_n}$ una base dello spazio vettoriale $K_F$ , con $n=\dim K_F=[K:F]$. Per il cor \see{cardinalitaFM} possiamo cosi' enumerare gli elementi di $\FM{K}{F}$: \eal{&\FM{K}{F}=\pgra{\s_1,\dots,\s_n},\;\;\T{ con }\s_1,\dots,\s_n\T{ distinti fra loro} } Sia definita la seguente matrice \eal{&A\in \ove F^{n\*n}\\ &A_{ij}= \s_i(a_j)} Definiamo il \iemph{discriminante}: \eal{&\D\definizione{=}\det A } \end{defn} \begin{prop}\label{propdiscriminanteD2} Nelle ipotesi di \see{defdiscriminante} e definita la seguente matrice \eal{&T\in \ove F^{n\*n}\\ &T_{ij}=\tracKF K F {a_ia_j} } si ha \eal{&1.\;\;\D^2 = \det T\\ &2.\;\;\sist{F\SC K\T{ di Galois}\\ \ch F = 0} \> \D \neq 0 } \end{prop} \begin{proof} \step{p1}{Dim $1.$} \begin{prova} \eal{&\D^2 = \det A \det A \ubrace{=}{\T{prop. determinanti}} \det \TR A \det A \ubrace{=}{\T{Binet}} \det \TR AA\\ &(\TR A A)_{ij} = \sum_{k=1}^{n}(\TR A)_{ik}A_{kj} = \sum_{k=1}^{n}A_{ki}A_{kj} = \sum_{k=1}^{n}\s_{k}(a_i)\s_k(a_j) \ubrace{=}{\s\T{ omom.}} =\sum_{k=1}^{n}\s_{k}(a_ia_j)=\trac{a_ia_j} =T_{ij} \\ &\qq \> \TR A A = T\\ &\D^2 = \det \TR A \det A = \det T } \end{prova} \step{}{Dim $2.$} \begin{prova} Poiche' $\D\in \ove F$, \eal{&\D^2 \neq 0 \= \D \neq 0} Consideriamo la funzione \def\t{{\tau}} \eal{&\t:K_F\*K_F\longrightarrow F\\ &\t(a,b) = \tracKF K F {ab} } \step{}{$\t$ e' ben posta} \begin{prova} \eal{&F\SC K \T{ di Galois } \ubrace{\>}{\see{tracciainF} } \tracKF K F \a \in F\;\;\forall \a in K } \end{prova} \step{}{$\t$ e' una forma bilineare sullo spazio vettoriale $K_F$ (vedi \GII{Forme bilineari}} \begin{prova} \eal{&\t(a+b,c)= \trac{(a+b)c} = \sum_{\s\in \FM{K}{F}} \s((a+b)c) = \sum_{\s\in \FM{K}{F}} \s(ac)+\s(bc)=\\ & = \sum_{\s\in \FM{K}{F}} \s(ac) + \sum_{\s\in \FM{K}{F}} \s(bc) = \t(a,c)+\t(b,c)\\ &\t(a,b+c)= \t(a,b)+\t(a,c)\\ &\mu\in F,\;\;\mu\t(a,b) = \sum_{\s\in \FM{K}{F}} \mu\s(ab) \ubrace{=}{\s_{|F}=\id} \sum_{\s\in \FM{K}{F}}\s(\mu ab) = \t(\mu a,b)=\t(a,\mu b) } \end{prova} \step{}{$T$ e' la matrice associata a $\t$ rispetto alla base $B$} \begin{prova} \eal{&\t(a_i,a_j)=\trac{a_ia_j}=T_{ij}} \end{prova} \step{}{$\t$ e' non degenere} \begin{prova} Usiamo la caratterizzazione \GII{propcarattbnondegenere}: \eal{&\T{Sia }\a\in K_F,\;\a \neq 0\\ &\t(\a,\inv \a) = \trac{\a\inv \a}=\trac 1 = \sum_{\s\in \FM{K}{F}} \s(1) \ubrace{=}{\s_{|F}=\id} \sum_{\s\in \FM{K}{F}} 1 = |\FM{K}{F}| =\\ &\ubrace{=}{F\SC K\T{ di Galois}} [K:F]=n \ubrace{\neq }{\ch F = 0} 0 } \end{prova} \qedstep \begin{prova} \eal{&\t\T{ non degenere },\;T\T{ matrice associata a }\t \> \det T \neq 0 \ubrace{\=}{\sref{p1}} \D^2 \neq 0\=\D \neq 0 } \end{prova} \end{prova} \end{proof} \begin{prop}\label{GGlinindipendente} Ponendoci nel contesto della def \see{defdiscriminante}, si ha \eal{&\sist{F\SC K\T{ di Galois}\\ \ch F =0 } \> \s_1,\dots,\s_n\T{ sono l.i. su }F,\T{ ovvero } \sist{\s_1,\dots,\s_n\in \Hom(K,F)=\T{spazio duale di }K_F\\ \Ll{\s_1,\dots,\s_n}_{F} = \Hom(K,F)}} \end{prop} \begin{proof} \eal{ &F\SC K\T{ Galois } \ubrace{\>}{\see{galoisGGeqFM} } \GG{K}{F}=\FM{K}{F}=\pgra{\s_1,\dots,\s_n}\\ &\GG{K}{F} \ubrace{\(}{\see{FMGGiniettivelineari}} \Hom(K,F)\\ &\sist{F\SC K\T{ Galois}\\ \ch F =0 } \> \D \neq 0 } Consideriamo una c.l. degli $\s_i$: $a_1\s_1+\dots+a_n\s_n$ con $a_1,\dots,a_n\in F$. Dimostriamo che \eal{&a_1\s_1+\dots+a_n\s_n=0 \= a_1=a_2=\dots=a_n=0 } Sia dato il seguente sistema omogeneo nelle incognite $a_1,\dots,a_n$ \eal{&\sist{ a_1\s_1(a_1)+\dots+a_n\s_n(a_1)=0\\ \dots\\ a_1\s_1(a_n)+\dots+a_n\s_n(a_n)=0 } } la sua matrice dei coefficienti e' proprio $\TR A$ e quindi \eal{&\det \TR A = \det A = \D \neq 0 \> \T{ ammette un unica soluzione, quella nulla } \> a_1=a_2=\dots=a_n=0} \end{proof} \def\t{{\tau}} \begin{prop}\label{propesistebtau} Sia \begin{enumerate} \item $F\SC K$ di Galois, $\ch F=0$, con $n=[K:F]$ \item $G=\GG{K}{F}=\gen \t$ \end{enumerate} allora, preso $\a\in K$, si ha \eal{&\normKF K F {\a}=1\= \exists b\in K^{*}:\;\a=\frac{b}{\t(b)}} \end{prop} \begin{proof} Intanto osserviamo che \eal{&F\SC K\T{ di Galois } \> \sist{\FM{K}{F} = G=\gen \t\\ |G|=[K:F]=n} } \step{}{Dim $\<$} \begin{prova} \eal{&G=\gen \t \ubrace{=}{|G|=n} \pgra{\t^0=\id,\t,\dots,\t^{n-1}} \> \norm \a = \prod_{i=0}^{n-1}\t^i(\a)\\ &\t^0(\a)=\a=\frac{b}{\t(b)}\\ &\t(\a) = \frac{\t(b)}{\t^2(b)}\\ &\t^2(\a) = \frac{\t^2(b)}{\t^3(b)}\\ &\dots\\ &\t^{n-1}(\a)= \frac{\t^{n-1}(b)}{\t^{n}(b)} =\frac{\t^{n-1}(b)}{b}\\ & \qq \> \prod_{i=0}^{n-1}\t^i(\a) = \frac{b\t(b)\t^2(b)\dots \t^{n-1}(b) }{\t(b)\t^2(b)\dots \t^{n-1}(b)b} = 1 } \end{prova} \step{}{Dim $\>$} \begin{prova} \def\f{{\varphi}} \eal{&\sist{F\SC K\T{ di Galois},\;\ch F=0\\ G=\gen \t } \ubrace{\>}{\see{GGlinindipendente}} \t^0=\id, \t, \dots,\t^{n-1}\T{ sono l.i. su }F\;\;(1)\\ &\T{Sia }\f=\t^0+\a\t+\a\t(\a)\t^2+\dots+\a\t(\a)\dots\t^{n-2}(\a)\t^{n-1} \in \Hom(K,F)\\ &\f\T{ e' una c.l. di $\t^0,\dots,\t^{n-1}$ i cui coeff. non sono tutti nulli: } (1,\a,\a\t(\a),\dots,\a\t(\a)\dots\t^{n-2}(\a)) \>\\ & \ubrace{\>}{(1)} \f \neq 0\> \exists c\in K:\;\f(c) \neq 0\\ &c \neq 0,\T{ infatti}, \f(0)=0+\a\t(0)+\dots \ubrace{=}{\t_{|F}=\id} 0\\ &\T{Sia }b=\f(c)\\ &\a=\frac{b}{\t(b)} \= \a\t(b) = b \= \a\t(\f(c))=b=\f(c) \\ &\f(c)= c+\a\t(c)+\a\t(\a)\t^2(c)+\dots+\a\t(\a)\dots\t^{n-2}(\a)\t^{n-1}(c)\\ &\a\t(\f(c))= \a\t(c)+\a\t(\a)\t^2(c)+\a\t(\a)\t^2(\a)\t^3(c)+\dots+\ubrace{\a\t(\a)\t^2(\a)\dots\t^{n-1}(\a)}{=\norm\a=1}\ubrace{\t^{n}(c)}{=c} =\f(c)\=\\ & \= \a\t(c)+\a\t(\a)\t^2(c)+\a\t(\a)\t^2(\a)\t^3(c) +\dots+\a\t(\a)\t^2(\a)\dots\t^{n-2}(\a)\t^{n-1}(c) +c=\f(c)\=\T{ vero} } \end{prova} \end{proof} \def\t{{\tau}} \def\w{{\omega}} \begin{prop}\label{GGciclicoconomegaallorabninF} Sia $U_n=\gen \w$ il gruppo delle radici $n$-esime dell'unita'. \eal{&\sist{F\SC K \T{ di Galois, }\ch F=0,\; [K:F]=n\\ G=\GG{K}{F}=\gen \t\\ \w \in F } \> \exists b\in K^{*}:\;\;K=F(b)=\spezz{x^n-b^n}{F},\;b^n\in F } \end{prop} \begin{proof} \eal{&\w \in F,\;U_n=\gen \w \ubrace{\>}{F\T{ campo}} U_n\( F\\ &\t(\inv \w) \ubrace{=}{\t_{|F}=\id,\;\inv \w \in F} = \inv \w \;\;(*)\\ & \norm{\inv \w} \ubrace{=}{G=\gen \t} \prod_{i=0}^{n-1}\t^i(\inv \w ) \ubrace{=}{(*)} \prod_{i=0}^{n-1}\inv \w = \w^{-n}=1\\ &\norm{\inv \w } =1 \ubrace{\>}{\see{propesistebtau}} \exists b\in K^{*}:\;\;\inv \w =\frac{b}{\t(b)}\= \t(b)=\w b \;\;(1)\\ &\t^{i+1}(b) = \t^{i}(\t(b)) \ubrace{=}{(1)} \t^i(\w)\t^i(b)= \w\w^i b=\w^{i+1}b\\ &\> \t^{i}(b)=\w^ib \neq b\;\;\forall i=1,\dots,n-1 \= g(b) \neq b\;\;\forall g\in G\-\pgra{\id}\= \\ & \= (g(b)=b\> g =\id)\;\;(2) } \step{}{$K=F(b)$} \begin{prova} \eal{&F\SC F(b) \SC K \ubrace{\>}{Corrispondenza \see{corrispondenzagalois}} H=\GG{K}{F(b)} \le G\\ &F\SC K \T{ Galois } \ubrace{\>}{\see{galoisspezzamento}} F(b) \SC K\T{ Galois } \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} F(b)=K^{\GG{K}{F(b)}}=K^H\\ &b\in F(b) = K^{H} \> h(b)=b\;\;\forall h\in H \le G \ubrace{\>}{(2)} h=\id \;\;\forall h\in H \= H=\pgra{\id}\\ &F(b)\SC K\T{ Galois } \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} [K:F(b)]=|\GG{K}{F(b)}| = |H|=1\\ &\sist{F(b)\( K\\ \dim K_{F(b)}=1 }\> F(b)=K } \end{prova} \step{}{$b^n \in F$} \begin{prova} \eal{&\t(b^n)= \t(b)^n \ubrace{=}{(1)} \w^n b^n \ubrace{=}{\w^n=1} b^n\\ &\> \t^i(b^n)=b^n\;\;\forall i=0,1,\dots,n-1 \> b^n\in K^{G} \ubrace{=}{F\SC K\T{ di Galois}} F } \end{prova} \step{}{$F(b)=\spezz{x^n-b^n}{F}$} \begin{prova} Le radici di $x^n-b^n$ sono (vedi \see{radiciennesimeunita}) \eal{&b,\;\w b,\;\w^2b,\dots,\w^{n-1}b } quindi \eal{&\spezz{x^n-b^n}{F}=F(b,\;\w b,\;\w^2b,\dots,\w^{n-1}b) \ubrace{=}{\w\in F} F(b) } \end{prova} \end{proof} \begin{prop} \label{GGciclicoconomegaallorabninFinverso} Sia data l'estensione $F\SC K$ e sia $U_n=\gen \w$ il gruppo delle radici $n$-esime dell'unita', \eal{&\sist{ K=\spezz{x^n-a}{F},\;\;a\in F^{*}\\ \w\in F,\;\;\ch F =0 } \> \sist{F\SC K\T{ e' di Galois}\\ G=\GG{K}{F}\T{ e' ciclico}\\ [K:F]\div n } } \end{prop} \begin{proof} Le radici di $f(x)=x^n-a$ sono (\vedi{radiciennesimeunita}) \eal{&b,\w b ,\w^2b ,\dots,\w^{n-1}b \in \spezz{x^n-a}{F}=K\\ &\T{dove } b=\sqrt[n]{a}\\ &\T{Nota: }a\in F^{*} \> a \neq 0 \> b \neq 0\\ &f(x) \ubrace{=}{b^n=a} x^n-b^n,\;\;\ch F=0,\;\;b^n=a \neq 0 \ubrace{\>}{\see{osservazionisuUngeneralizzato}} f(x)\T{ separabile } } \step{}{$F\SC K$ e' di Galois} \begin{prova} \eal{&\sist{f(x)\T{ separabile}\\ K=\spezz{x^n-a}{F}} \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} F\SC K \T{ di Galois} } \end{prova} \step{}{$F\SC K$ e' semplice} \begin{prova} \eal{&K=\spezz{x^n-a}{F} =F(b,\w b ,\w^2b ,\dots,\w^{n-1}b) \ubrace{=}{\w=\frac{\w b}{b}} F(b,\w) \ubrace{=}{\w\in F} F(b) } \end{prova} \def\f{{\varphi}} \eal{&\T{Sia } \f \in G=\GG{K}{F}\\ &\sist{K=\spezz{f(x)}{F}\\ f(x)\T{ separabile}\\ A=\pgra{b,\w b,\dots,\w^{n-1} b}\T{ radici di }f(x)} \ubrace{\>}{\see{GGimmersoinSn}} \f_{|A}\in S_n(A) \> \f(b) \in A \= \exists i:\;\f(b)= \w^i b\;\;(1) } \def\F{{\phi}} Definiamo allora la seguente applicazione: \eal{&\F:G\longrightarrow U_n\\ &\f \mapsto \frac{\f(b)}{b}\\ &\F\T{ e' ben definita perche' }b \neq 0,\;\T{e per la (1) }\exists i:\;\frac{\f(b)}{b}=\w^i } \step{}{$\F$ e' un omomorfismo di gruppi} \begin{prova} Siano $\f_1,\f_2\in G$, con $\f_1(b)=\w^{i}b,\;\f_w(b)=\w^{j}b$, si ha \eal{& \f_1\f_2(b)=\f_1(\w^{j}b)=\f(\w)^j\f(b) \ubrace{=}{{\f_2}_{|F}=\id,\;\w\in F} \w^j\f_1(b) =\w^j\w^ib=\w^{i+j}b\\ &\F(\f_1\f_2)=\frac{\f_1\f_2(b)}{b} = \w^{i+j}\\ &\F(\f_1)\F(\f_2) =\frac{\f_1(b)}{b}\frac{\f_2(b)}{b} = \w^{i}\w^{j} = \w^{i+j} = \F(\f_1\f_2) } \end{prova} \step{}{$\F$ e' iniettiva} \begin{prova} \eal{&\ker \F = \pgra{\f \in G \;|\; \frac{\f(b)}{b}=1\= \f(b)=b}\\ &K=F(b)=\pgra{a_0+a_1 b+\dots+a_rb^r\;|\;a_i\in F},\;\;\f(a_0+a_1 b+\dots+a_rb^r) \ubrace{=}{\f_{|F}=\id} a_0+a_1\f(b)+\dots+a_r\f(b)^r =\\ &\qq \ubrace{=}{\f(b)=b} a_0+a_1 b+\dots+a_rb^r \> \pton{\f(b)=b\> \f=\id_K}\\ &\qq \> \ker \F = \pgra{\id_K} \> \F\T{ iniettiva} } \end{prova} \qedstep \begin{prova} \eal{&\F \T{ iniettiva } \> G\simeq \Im \F \le U_n \ubrace{\>}{\T{Lagrange} \AII{thmdilagrange}} |G| \div |U_n| \ubrace{=}{\see{osservazionisuUngeneralizzato}} n\\ &F\SC K\T{ di Galois } \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} |G|=[K:F] \> [K:F] \div n\\ &\sist{U_n=\gen \w \T{ ciclico }\\ \Im \F \le U_n} \ubrace{\>}{\AII{thmciclicoimpsubciclico}} \Im\F\simeq G \T{ ciclico } } \end{prova} \end{proof} \begin{defn}\ilabel{estensione ciclica} Sia $F\SC K$ una estensione algebrica. \eal{&F\SC K \T{ e' ciclica } \definizione{\=} \GG{K}{F}\T{ e' ciclico}} \end{defn} \begin{thm}\label{estciclicadigaloisconomega} Sia \begin{enumerate} \item $U_n=\gen{\w}$ \item $F\SC K$ una estensione, con $\ch F =0$, $\w \in F$ \end{enumerate} allora \eal{&K=F(b),\;\;b^{n}\in F^{*} \= \sist{F\SC K\T{ e' ciclica e di Galois}\\ [K:F]\div n }} \end{thm} \begin{proof} \step{}{Dim $\> $} \begin{prova} \eal{ &\spezz{x^n-b^n}{F} \ubrace{=}{\see{radiciennesimeunita}} F(b,\w b, \w^2 b, \dots, \w^{n-1} b) \ubrace{=}{\w=\frac{\w b}{b}} F(\w,b) \ubrace{=}{\w\in F} F(b)\\ &\sist{K=F(b)=\spezz{x^n-b^n}{F},\;\;b^n\in F^*\\ \w\in F,\;\;\ch F=0 } \ubrace{\>}{\see{GGciclicoconomegaallorabninFinverso}} \sist{F\SC K\T{ e' di Galois}\\ G=\GG{K}{F}\T{ e' ciclico}\\ [K:F]\div n } } cioe' la tesi. \end{prova} \step{}{Dim $\<$ } \begin{prova} \eal{& m=[K:F]\div n \> m\lambda =n\\ &\w \in F,\;U_n=\gen \w \> U_n \( F\\ &x^m=1 \> (x^m)^\lambda =1 \= x^{n} =1 \\ &\qq \> U_m \le U_n \(F\\ &\T{Sia } \w'\T{ t.c. }U_m=\gen{\w'}\\ &\sist{ F\SC K \T{ di Galois },\;\ch F=0,\;[K:F]=m\\ F\SC K \T{ e' ciclica}\\ \w'\in U_m\( F } \ubrace{\>}{\see{GGciclicoconomegaallorabninF}} \exists b\in K^{*}:\;\;K=F(b),\;b^n\in F } che e' la tesi. \end{prova} \end{proof} \begin{prop}\label{FwimmersoinUZn} Sia $F$ campo con $\ch F =0$ e sia $U_n=\gen \w$, allora \eal{&1.\;\;F\SC F(\w) \T{ e' di Galois }\\ &2.\;\;\GG{F(\w)}{F} \immerso (U(\Z_n),\.)\\ &3.\;\;\GG{F(\w)}{F} \T{ abeliano} } dove $(U(\Z_n),\.)$ e' il gruppo moltiplicativo degli invertibili di $\Z_n$. \end{prop} \begin{proof} \step{}{Dim. $1.$} \begin{prova} \eal{&\sist{F(\w) = \spezz{x^n-1}{F}\\ \ch F=0,\;\;1 \neq 0 \ubrace{\>}{\see{osservazionisuUngeneralizzato}} x^n-1 \T{ separabile} } \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} F\SC F(\w) \T{ di Galois} } \end{prova} \step{}{Dim $2.$} \begin{prova} Si procede analogamente alla prop. \see{QwisomorfoUZn}, considerando pero' che \eal{&\ch F =0 \> \Q \SC F \> \pmin{\w}{F}\div \pmin{\w}{\Q} } e quindi non vale la surriettivita'. L'iniettivita' continua a valere, quindi \eal{&\GG{F(\w)}{F} \immerso (U(\Z_n),\.) } \end{prova} \step{}{Dim $3.$} \begin{prova} $U(\Z_n)$ e' un gruppo abeliano, quindi ogni suo sottogruppo e' abeliano. \end{prova} \end{proof} \begin{prop} Sia \begin{enumerate} \item $F$ campo, $\ch F=0$ \item $K=\spezz{x^n-a}{F}$, $a\in F^{*}$ \end{enumerate} allora \eal{&\GG{K}{F} \T{ e' risolubile}} \end{prop} \begin{proof} Per la prop \see{osservazionisuUngeneralizzato}, $x^n-a$ e' separabile e le sue radici distinte sono \eal{&b,\w b,\dots,\w^{n-1}b\\ &b\in K,\;b^n=a,\;\;U_n=\gen\w\\ &a \neq 0\> b \neq 0 } quindi \eal{&K=\spezz{x^n-a}{F}=F(b,\w b,\dots,\w^{n-1}b) \ubrace{=}{\w=\frac{\w b}{b}} F(b,\w)\\ &F\SC F(\w)\SC F(\w,b)=K } Sia $G=\GG{K}{F},\;\;H=\GG{K}{F(\w)},\;\;J=\GG{F(\w)}{F}$ \eal{&\ch F =0,\;U_n=\gen\w \ubrace{\>}{\see{FwimmersoinUZn}} \sist{ F\SC F(\w)\T{ di Galois}\\ J\T{ e' abeliano}}\;\;(1)\\ &\sist{x^n-a\T{ separabile}\\ K=\spezz{x^n-a}{F} } \> F\SC K \T{ di Galois }\\ &\sist{U_n=\gen \w\\ K=F(\w)(b),\;\;\ch F(\w)=\ch F = 0, \;\w\in F(\w)\\ b^n=a\in F^{*}\( F(\w)^{*}} \ubrace{\>}{\see{estciclicadigaloisconomega}} F(\w) \SC K\T{ e' ciclica }\\ &F(\w) \SC K\T{ ciclica } \ubrace{\>}{\T{per def.}} H=\GG{K}{F(\w)}\T{ ciclico } \> H\T{ abeliano }\;\;(2)\\ &\sist{F\SC K\T{ di Galois}\\ (1) \> F\SC F(\w)\T{ Galois }} \ubrace{\>}{\see{thmquozientegalois}} \sist{\frac{G}{H}\simeq J\;\;\T{ che e' abeliano }\\ H\le G\T{ normale}} \;\;(1.1) } Per la $(2)$ e $(1.1)$, la seguente catena \eal{&\pgra{\e}\le H \le G } e' risolvente per $G$. \end{proof} \begin{prop}\label{lemmaKFKwFw} Sia \begin{enumerate} \item $F\SC K$ una estensione di Galois, con $\ch F=0$ \item $U_n=\gen \w$ \end{enumerate} Allora, \eal{&1.\;\;F(\w)\SC K(\w) \T{ e' di Galois}\\ &2.\;\;\GG{K(\w)}{F(\w)} \immerso \GG{K}{F}\\ &3.\;\;\GG{K}{F}\T{ risolubile } \= \GG{K(\w)}{F(\w)} \T{ risolubile} } \end{prop} \begin{proof} \step{p1}{Dim $1.$} \begin{prova} \eal{&F\SC K\T{ di Galois } \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} \exists f(x)\in F[x]\T{ separabile t.c. } K=\spezz{f(x)}{F}=F(\b_1,\dots,\b_m)\\ &K(\w)=F(\w,\b_1,\dots,\b_m) =\spezz{f(x)}{F(\w)}\\ &\sist{f(x)\T{ separabile}\\ K(\w)=\spezz{f(x)}{F(\w)} } \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} F(\w)\SC K(\w)\T{ di Galois} } \end{prova} \step{p2}{Dim $2.$} \begin{prova} Consideriamo la seguente applicazione: \def\F{{\phi}} \def\f{{\varphi}} \eal{&\F:\GG{K(\w)}{F(\w)} \longrightarrow \GG{K}{F}\\ &\f\mapsto \f_{|K} } \step{}{$\F$ e' ben posta} \begin{prova} \eal{&F\SC K\T{ Galois} \> \GG{K}{F} = \FM{K}{F}\\ &\sist{F\SC K \SC K(\w)\\ F\SC K,\;\;K\SC K(\w)\T{ algebriche }} \ubrace{\>}{\see{algebricasseognipezzoalgebrico}} F\SC K(\w)\T{ algebrica} \ubrace{\>}{\see{chiusureestensionealgebrica}} \ove F =\ove{K(\w)}\\ &\f\in \GG{K(\w)}{F(\w)}\> \Im \f_{|K} \( K(\w) \(\ove{K(\w)} =\ove F\\ &\sist{\f_{|K}:K\longrightarrow \ove F\\ \f_{|F}=\id\\ \f_{|K}\T{ omomorfismo} } \> \f_{|K}\in \FM{K}{F} = \GG{K}{F} } \end{prova} \step{}{$\F$ e' un omomorfismo} \begin{prova} \eal{&\F(fg)=(fg)_{|K}\\ &\F(g)\in \GG{K}{F} \= g_{|K}\in \GG{K}{F} \> \Im g_{|K} \(K\\ &\F(f)\F(g)=f_{|K}g_{|K} \ubrace{=}{\Im g_{|K} \( K} (fg)_{|K}=\F(fg) } \end{prova} \step{}{$\F$ e' iniettiva} \begin{prova} \eal{&\ker \F =\pgra{\f\in\GG{K(\w)}{F(\w)}\;|\;\f_{|K}=\id }\\ &\sist{\f\in \GG{K(\w)}{F(\w)}\>\f_{|F(\w)}=\id\\ \f_{|K}=\id}\;\;(1)\\ &K(\w)= \pgra{a_0+a_1\w+\dots+a_r\w^r\;|\;a_i\in K}\\ &\f(a_0+a_1\w+\dots+a_r\w^r) \ubrace{=}{\f_{|K}=\id} =a_0+a_1\f(\w)+\dots+a_r\f(\w)^r \ubrace{=}{\f_{|F(\w)}=\id} = a_0+a_1\w+\dots+a_r\w^r \\ &\qq \> \f=\id \\ &\ker \F = \pgra{\id} \> \F\T{ iniettiva} } \end{prova} \end{prova} \step{}{Dim. $3.$} \begin{prova} \begin{pnecessaria} \eal{&\sref{p2} \> \GG{K(\w)}{F(\w)} \simeq H \le \GG{K}{F}\\ &\sist{\GG{K}{F}\T{ risolubile}\\ H\le \GG{K}{F}} \ubrace{\>}{\see{Grisolubilecondizionivarie}} H\T{ risolubile} } \end{pnecessaria} \begin{psufficiente} \step{digal}{Dimostriamo intanto che $F\SC K(\w)$ e' di Galois.} \begin{prova} \eal{&\sist{\ch F =0 \\ F\SC K(\w) \T{ algebrica } } \ubrace{\>}{\see{inchzeroestensioneseparabile}} F\SC K(\w)\T{ separabile}\\ &F\SC K \T{ Galois } \> F\SC K\T{ finita}\\ &K\SC K(\w)\T{ algebrica e fin. gen. } \ubrace{\>}{\see{thmfinitassealgebricaefingen}} K\SC K(\w)\T{ finita }\\ &F \SC K,\;K\SC K(\w) \T{ finite } \ubrace{\>}{\see{transitivitagrado}} F\SC K(\w)\T{ finita}\\ &F\SC K(\w) \T{ separabile e finita} \ubrace{\>}{\see{cardinalitaFM}} |\FM{K(\w)}{F}|=[K(\w):F] \;\;(3) } \step{ppp}{Dim $\FM{K(\w)}{F}=\GG{K(\w)}{F}$} \begin{prova} Per la prop \see{GGestgruppo} abbiamo gia' l'inclusione $\)$. Dimostriamo la $\($.\\ Sia $\f\in \FM{K(\w)}{F}$. \step{}{Dim $\Im \f\( K(\w)$} \begin{prova} \eal{&K(\w)=\pgra{a_0+a_1\w+\dots+a_r\w^r\;|\;a_i\in K}\\ &\f(a_0+a_1\w+\dots+a_r\w^r) =\sum_{i=0}^{r} \f(a_i)\f(\w)^i\\ } Analogamente a quanto visto nel \sref{p2} abbiamo: \eal{&\sist{\Im \f_{|K}\( \ove F\\ \f_{|K}\T{ omomorfismo}\\ \f_{|F}=\id } \> \f_{|K}\in \FM{K}{F} = \GG{K}{F} \> \f_{|K}:K\longrightarrow K \> \f(a_i)\in K\\ &\sist{\Im \f_{|F(\w)} \( \ove F\\ %\ubrace{=}{F\SC F(\w)\T{ e' alg.}} \ove{F(\w)}\\ \f_{|F(\w)}\T{ omomorfismo}\\ \f_{|F} =\id } \> \f_{|F(\w)}\in \FM{F(\w)}{F} \ubrace{=}{ F\SC F(\w)\T{ di Galois per la prop \see{FwimmersoinUZn}} } \NN \qq\qq =\GG{F(\w)}{F} \> \Im \f_{|F(\w)}\( F(\w) \> \f(\w) \in F(\w)\\ &\qq \> \f(a_i)\f(\w) \in K\U F(\w) \( K(\w)\> \Im \f\( K(\w) } \lineapiccola\\ \end{prova} Quindi \eal{&\sist{\f\in \FM{K(\w)}{F}\\ \Im \f \( K(\w)} \ubrace{\>}{\see{FMGGiniettivelineari}} \f\T{ endomorfismo iniettivo} \>\\ &\qq \ubrace{\>}{\AL{endoiniettivoestisomorfismo}} \f\T{ isomorfismo vettoriale } \> \f\T{ biettiva}\\ & \sist{\Im \f\( K(\w)\\ \f\T{ omomorfismo}\\ \f_{|F}=\id\\ \f\T{ biettiva} } \> \f\in \GG{K(\w)}{F} } Per l'arbitrarieta' di $\f$ abbiamo cosi' dimostrato che $\FM{K(\w)}{F}\( \GG{K(\w)}{F}$. \end{prova} Ritornando alla $(3)$: \eal{&|\GG{K(\w)}{F}| \ubrace{=}{\sref{ppp}} |\FM{K(\w)}{F}| \ubrace{=}{(3)} [K(\w):F] \NN |\GG{K(\w)}{F}| = [K(\w):F] \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} F\SC K(\w)\T{ di Galois} } \end{prova} Concludiamo: \eal{&\GG{F(\w)}{F} \T{ abeliano (\vedi{FwimmersoinUZn})} \> \GG{F(\w)}{F}\T{ risolubile }\;\;(4) \NN \sist{F\SC K(\w) \T{ di Galois (\sref{digal})}\\ F\SC F(\w) \T{ di Galois (\vedi{FwimmersoinUZn})}\\ F\SC F(\w)\SC K(\w)\\ F\SC K\SC K(\w) } \ubrace{\>}{\see{thmquozientegalois}} \sist{\GG{K}{F} \simeq \frac{\GG{K(\w)}{F}}{\GG{K(\w)}{K}}\;\;(5.1)\\ \GG{F(\w)}{F} \simeq \frac{\GG{K(\w)}{F}}{\GG{K(\w)}{F(\w)}}\;\;(5.2)} \NN (4),(5.2),\;\GG{K(\w)}{F(\w)}\T{ risolubile per Hp} \ubrace{\>}{\see{alloraGrisolubile} } \GG{K(\w)}{F}\T{ risolubile }\;\;(5.3) \NN (5.1),\;(5.3) \ubrace{\>}{\see{Grisolubilecondizionivarie}} \GG{K}{F}\T{ risolubile } } \end{psufficiente} \end{prova} \end{proof} \subsection{Estensioni risolubili per radicali} \begin{defn} Sia $f(x)\in F[x]$, $L=\spezz{f(x)}{F}$, \eal{&f(x)\T{ e' risolubile per radicali }\definizione{\=} \sist{\exists K:\;L\SC K =F(\a_1,\dots,\a_m)\\ \exists n_1:\;\a_1^{n_1}\in F\\ \forall i=2,\dots,m\; \exists n_i:\;\;\a_i^{n_i}\in F(\a_1,\dots,\a_{i-1}) } } In altre parole, $f(x)$ e' risolubile per radicali, quando riusciamo a contenere il suo campo di spezzamento, estendendolo con elementi che sono radici di $x^{n_i}=a_i$, o piu' in dettaglio: \eal{&\a_1^{n_1}=a_1 \in F \= \a_1=\sqrt[n_1]{a_1}\\ &\qq F\SC F(\a_1)\\ &\a_2^{n_2}=a_2\in F(\a_1) \= \a_2=\sqrt[n_2]{a_2}\\ &\qq F\SC F(\a_1,\a_2)\\ &\dots } L'estensione $F\SC K$ e' l'\emph{estensione che risolve }$f(x)$ \emph{per radicali}. \end{defn} \begin{lem}\label{lemmaGfrisolubile} Sia \begin{enumerate} \item $f(x)\in F[x]$, $\ch F=0$ \item $K=\spezz{f(x)}{F}$ \end{enumerate} allora \eal{&f(x)\T{ e' risolubile per radicali }\> \exists F \SC E \T{ estensione di Galois che risolve }f(x)\T{ per radicali, \T{ ovvero }}\NN \qq\qq \qq \sist{\exists E:\;\spezz{f(x)}{F}\SC E=F(\a_1,\dots,\a_m)\\ \forall i=1,\dots,m\; \exists n_i:\;\;\a_i^{n_i}\in F_{i-1}\\ F_0=F,\;\;F_{i}=F_{i-1}(\a_i)\;\;\forall i=1,\dots,m\\ F\SC E\T{ di Galois} } } \end{lem} \begin{proof} Poiche' $f(x)$ e' risolubile per radicali, si ha \eal{& \exists E:\;K\SC E=F(\a_1,\dots,\a_m)\\ &\forall i=1,\dots,m\; \exists n_i:\;\;\a_i^{n_i}\in F_{i-1}\;\;(1)\\ &F_0=F,\;\;F_{i}=F_{i-1}(\a_i)\;\;\forall i=1,\dots,m } \pfsketch{Aggiungeremo adesso altri $\a_i$ in modo da avere una estensione piu' grande, risolvente e di Galois} \begin{prova} Siano $\s_1,\dots,\s_t$ gli elementi distinti di $\FM{E}{F}$. Sia $m':\;m \a_i^{n_i}\in F_{i-1} \> \s_h(\a_i^{n_i}) \in \s_h(F(\a_1,\dots,\a_{i-1}) ) \ubrace{=}{\see{FMimmagine}} F(\s_h(\a_1),\dots,\s_h(a_{i-1})) \( E_{j-1}\\ &\a_{j}^{n_i}=\s_h(\a_i)^{n_i} \ubrace{=}{\s_h\T{ omomo.}} \s_h(\a_i^{n_i}) \in E_{j-1} } Quindi basta scegliere $n_j=n_i$. \end{prova} \step{}{Dimostriamo che $F\SC E_t$ e' di Galois} \begin{prova} \eal{&\sist{\ch F =0 \\ F\SC E_t\T{ algebrica } } \ubrace{\>}{\see{inchzeroestensioneseparabile}} F\SC E_t\T{ e' separabile}\\ &F\SC E_t\T{ separabile e finita } \> |\FM{E_t}{F}| = [E_t:F] } \def\f{{\varphi}} Dimostriamo che $\FM{E_t}{F}=\GG{E_t}{F}$. Per la prop \see{GGestgruppo}, l'inclusione $\)$ e' vera. Dimostriamo la $\($. Sia $\f\in \FM{E_t}{F}$ \eal{&E_t= F(\a_1,\dots,\a_m,\;\s_{h}(\a_i)\;\;\forall i,h:\;m \s_h:E \longrightarrow E_t\\ &\f\circ\s_h : E\longrightarrow E_t \longrightarrow \ove F\\ &\qq \> \f\s_h \in \FM{E}{F} \> \exists j:\;\f\s_h =\s_j\;\;(*)\\ &\f(E_t) = F(\f\s_{h}(\a_i)\;\;\forall i,h:\;m \f:E_t\longrightarrow E_t \> \f\in \GG{E_t}{F}\\ &\T{Quindi } \FM{E_t}{F} \( \GG{E_t}{F}\\ &\FM{E_t}{F}=\GG{E_t}{F} } Allora, \eal{& |\GG{E_t}{F}| = |\FM{E_t}{F}| = [E_t:F] \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} F\SC E_t\T{ e' di Galois } } \end{prova} \end{prova} \end{proof} \begin{thm}di Galois.\\ \label{frisolubilesseGrisolubile} Sia \begin{enumerate} \item $f(x)\in F[x]$, $\ch F=0$ \item $K=\spezz{f(x)}{F}$ \end{enumerate} allora \eal{&f(x)\T{ e' risolubile per radicali }\= \GG{K}{F}\T{ e' risolubile} } \end{thm} \begin{proof} \step{}{Dim $\<$} \begin{prova} % \pfsketch{ %Aggiungiamo $\w$ all'estensione $F\SC K$ cosi' da studiare $F(\w)\SC K(\w)$. %Da qui troveremo una catena di campi intermedi tra $F$ e $F(\w)$ %} Per il thm \see{normalefinitacaratt}, $F\SC K$ e' finita. Sia $G=\GG{K}{F}$. \eal{&\sist{ \ch F=0\\ K=\spezz{f(x)}{F} } \ubrace{\>}{\see{inchzeroCSestdiGalois},\see{thmdefgalois}} \sist{F\SC K\T{ di Galois}\\ n=[K:F]=|G|=|\GG{K}{F}|}\;\;(1) } %Se $|G|=1$, allora %\eal{&[K:F]=1 \> F=K=\spezz{f(x)}{F} %} %e quindi $f(x)$ e' banalmente risolubile per radicali.\\ %Supponiamo allora $|G| > 1$.\\ Sia $U_n=\gen \w $ il gruppo delle radici $n$-esime dell'unita' (nel campo $F$). \eal{& \sist{F\SC K\T{ di Galois},\;\ch F =0\\ U_n=\gen \w\\ \GG{K}{F} \T{ risolubile } } \ubrace{\>}{\see{lemmaKFKwFw}} \sist{F(\w)\SC K(\w)\T{ di Galois}\;\;(2.1)\\ \GG{K(\w)}{F(\w)} \simeq H \le G\;\;(2.2)\\ \GG{K(\w)}{F(\w)}\T{ risolubile}\;\;(2.3)} } \def\G{{\Gamma}} Sia $\G=\GG{K(\w)}{F(\w)}$. Se $|\G|=1$, allora \eal{&1=|\G| \ubrace{=}{F(\w)\SC K(\w)\T{ Galois}} [K(\w):F(\w)] \> K(\w)=F(\w) \NN \sist{\spezz{f(x)}{F}=K\SC K(\w)=F(\w)\\ \w^n = 1 \in F} \ubrace{\>}{\T{per def.}} f(x)\T{ e' risol. per radicali} } Supponiamo adesso che $|\G| > 1$. \eal{& \sist{(2.3)\\ 1<|\G|<+\8 }\ubrace{\>}{\see{Grisolubilecondizionivarie}} \exists \T{ catena risolvente }\pgra{\id}=\G_0 \le \dots\le \G_m=\G\T{ t.c. } \pass{\frac{\G_i}{\G_{i-1}}} = p_i\T{ primo}\;\;\forall i\;\;(3) \NN p_i= \pass{\frac{\G_i}{\G_{i-1}}} =\frac{|\G_i|}{|\G_{i-1}|} \= p_i |\G_{i-1}| = |\G_i| \> p_i\div |\G_i| \ubrace{\div}{\G_i\le \G} |\G| \ubrace{\div}{(2.2)} |G| \ubrace{=}{(1)} n \NN p_i\div n\;\;\forall i=1,\dots,m\;\;(3.1)\\ \NN \pass{\frac{\G_i}{\G_{i-1}}} = p_i\T{ primo} \> \frac{\G_i}{\G_{i-1}}\T{ ciclico}\;\;(3.2) } Sia $E_i=K(\w)^{\G_i}$. Per il thm di Corrispondenza di Galois (\vedi{corrispondenzagalois}), applicato alla catena $(3)$, abbiamo \eal{&F(\w)=E_{m}\SC \dots \SC E_0=K(\w) } \step{pn}{$E_{i}\SC E_{i-1}$ e' ciclica e di Galois, inoltre $\GG{E_{i-1}}{E_i} \simeq \frac{\G_i}{\G_{i-1}}$} \begin{prova} \eal{&\sist{F(\w)\SC K(\w)\T{ di Galois }\\ F(\w) \SC E_{i} \SC K(\w) } \ubrace{\>}{\see{galoisspezzamento}} E_{i} \SC K(\w) \T{ di Galois} \NN \sist{ E_i\SC K(\w)\T{ di Galois }\\ \G_{i-1} \ubrace{\le}{\T{pezzo della catena risolvente}}\G_{i}\T{ normale}\\ \G_{i} \ubrace{=}{\T{corrispondenza}} \GG{K(\w)}{K(\w)^{\G_{i}}} = \GG{K(\w)}{E_{i}} } \ubrace{\>}{\see{corquoziente}} E_i \SC K(\w)^{\G_{i-1}}=E_{i-1}\T{ e' di Galois}\> \NN \ubrace{\>}{\see{corquoziente}} \GG{K(\w)^{\G_{i-1}}}{E_i} \simeq \frac{\GG{K(\w)}{E_{i}}}{\G_{i-1}} = \frac{\G_i}{\G_{i-1}} \T{ che e' ciclico per la (3.2)}\NN \GG{E_{i-1}}{E_i}= \GG{K(\w)^{\G_{i-1}}}{E_i} \simeq \frac{\G_i}{\G_{i-1}} \T{ ciclico } \> E_i \SC E_{i-1}\T{ e' ciclica} } \end{prova} \step{pm}{$[E_{i-1}:E_{i}]\div n$} \begin{prova} \eal{&E_{i}\SC E_{i-1}\T{ di Galois } \> [E_{i-1}:E_{i}] = |\GG{E_{i-1}}{E_{i}}| \ubrace{=}{\sref{pn}} \pass{\frac{\G_i}{\G_{i-1}} } = p_i\ubrace{\div}{(3.1)} n } \end{prova} \qedstep \begin{prova} \eal{& \sist{\w\in F(\w)=E_m \SC E_i\\ \ch E_i=\ch F = 0,\;\;U_n=\gen \w\\ E_{i}\SC E_{i-1}\T{ e' ciclica e di Galois (\sref{pn})}\\ [E_{i-1}:E_i]\div n\;\T{ (\sref{pm})} } \ubrace{\>}{\see{estciclicadigaloisconomega} } \exists b_i\in E_{i-1}:\;E_{i-1}=E_i(b_i),\;\;b_i^{n}\in E_i } Quindi \eal{&F\SC F(\w)=E_m \SC E_{m}(b_m) = E_{m-1} \SC E_{m-1}(b_{m-1}) = E_{m-2} \SC \dots \SC E_{1}(b_1)=E_0=K(\w)\\ &F\SC F(\w) \SC F(\w,b_m) \SC F(\w,b_m,b_{m-1}) \SC \dots \SC F(\w,b_m,b_{m-1},\dots, b_1) =E_0=K(\w)\\ &\sist{\spezz{f(x)}{F}=K\SC K(\w)=F(\w,b_m,b_{m-1},\dots, b_1)\\ b_i^n \in F(\w,b_m,\dots,b_{i+1})\;\;\forall i=1,\dots,m-1\\b_m^n\in F(\w),\;\;\w^n=1\in F\\ } \ubrace{\>}{\T{per def.}} f(x)\T{ e' risolubile per radicali} } \end{prova} \end{prova} \step{}{Dim $\>$} \begin{prova} Per il lemma \see{lemmaGfrisolubile} si ha \eal{& \exists E:\;K=\spezz{f(x)}{F}\SC E=F(\a_1,\dots,\a_m)\NN \forall i=1,\dots,m\; \exists n_i:\;\;\a_i^{n_i}=b_i\in F_{i-1}\NN F_0=F,\;\;F_{i}=F_{i-1}(\a_i)\;\;\forall i=1,\dots,m\NN F\SC E\T{ di Galois} } \def\w{{\omega}} Sia $n=\mcm\pgra{n_1,\dots,n_m},\;\;U_n=\gen{\w}$, si ha \eal{& \sist{ \ch F=0\\ K=\spezz{f(x)}{F} } \ubrace{\>}{\see{inchzeroCSestdiGalois}} F\SC K \T{ e' di Galois} \ubrace{\>}{\see{lemmaKFKwFw}} F(\w)\SC K(\w)\T{ di Galois }\\ &F\SC E \T{ di Galois } \ubrace{\>}{\see{lemmaKFKwFw}} F(\w)\SC E(\w)\T{ di Galois } \\ &\T{Sia } F'=F(\w),\;F_i'=F(\w),\;K'=K(\w),\;E'=E(\w)\\ &\sist{F'\SC K' \SC E'\\ F'\SC E'\T{ di Galois}\\ F'\SC K' \T{ di Galois } } \ubrace{\>}{\see{thmquozientegalois}} \GG{K'}{F'}\simeq \frac{\GG{E'}{F'}}{\GG{E'}{K'}}\;\;(1) } Inoltre, sempre per la prop \see{lemmaKFKwFw}, si ha \eal{&\GG{K}{F}\T{ risolubile } \ubrace{\=}{\see{lemmaKFKwFw}} \GG{K'}{F'}\T{ risolubile}\;\;(2) } Per la $(2)$ e poiche' vale la seguente implicazione: \eal{&\GG{E'}{F'}\T{ risolubile } \ubrace{\>}{\see{Grisolubilecondizionivarie}} \frac{\GG{E'}{F'}}{\GG{E'}{K'}} \simeq \GG{K'}{F'}\T{ risolubile } } basta dimostrare che $\GG{E'}{F'}\T{ e' risolubile }$. \step{}{$\GG{E'}{F'}$ e' risolubile} \begin{prova} \def\G{{\Gamma}} \eal{&\sist{F' \SC F_i' \SC E'\\ F'\SC E'\T{ di Galois } } \ubrace{\>}{\see{galoisspezzamento}} F_{i}'\SC E'\T{ di Galois }\\ &F_{i+1}' = F_{i+1}(\w) =F_{i}(\w,\a_{i+1})=F_{i}'(\a_{i+1})\\ &n_{i+1}\div n=\mcm\pgra{n_1,\dots,n_m} \> U_{n_{i+1}} \( U_n \ubrace{\(}{U_n=\gen\w,\;\w\in F_{i'}} F_{i}'\\ &\sist{ F_{i+1}' = F_{i}'(\a_{i+1})\\ \a_{i+1}^{n_{i+1}}\in F_{i}'\\ U_{n_{i+1}} \( F_{i}'\\ \ch F=0 } \ubrace{\>}{\see{estciclicadigaloisconomega}} F_{i}'\SC F_{i+1}' \T{ e' ciclica e di Galois }\;\;(3)\\ &\qq \> \GG{F_{i+1}'}{ F_{i}'}\T{ e' ciclico}\;\;(3.1)\NN \sist{F_{i}'\SC E'\T{ di Galois }\\ F_{i}'\SC F_{i+1}' \T{ di Galois} } \ubrace{\>}{\see{thmquozientegalois}} \frac{\GG{ E'}{F_{i}'}}{\GG{E'}{F_{i+1}'}} \simeq \GG{F_{i+1}'}{F_{i}'} \T{ ciclico per la (3.1), e quindi abeliano}\;\;(3.2) } Applicando la corrispondenza di Galois (\vedi{corrispondenzagalois}) alla catena di campi \eal{&F'\SC F_1'\SC \dots \SC F_m'=E' } otteniamo la catena di gruppi \eal{&\pgra{\id} \SC \GG{E'}{F_{m-1}} \SC \dots \SC \GG{E'}{F'} } che per la $(3.2)$ e' una catena di gruppi che rende $\GG{E'}{F'}$ un gruppo risolubile. % \spezz{x^{n_{i+1}}-b_{i+1}}{F_i'}\T{, infatti} \\ % &\qq \T{ le radici di } x^{n_{i+1}}-b_{i+1}\T{ sono } % \a_{i+1}, \w_{n_{i+1}} \a_{i+1}, \dots, \w_{n_{i+1}}^{n_{i+1}-1} % \a_{i+1}\NN % \qq \T{ dove } U_{n_{i+1}}=\gen {\w_{n_{i+1}}} % \ubrace{\(}{n_{i+1}\div n=\mcm{n_i\;\;\forall i}} U_n\\ % &\qq\T{ quindi }\spezz{x^{n_{i+1}}-b_{i+1}}{F_i'} % =F_i'(\w_{n_{i+1}}, \a_{i+1}) \ubrace{=}{\w_{n_{i+1}}\in F_i'=F_i(\w)} % F_i'(\a_{i+1})=F_{i+1}' \end{prova} \end{prova} \end{proof} \begin{lem}\label{lemmanonome1} \eal{&\forall p\ge 5\T{ primo }\;\;\exists f(x)\in \Q[x]\T{ irriducibile}:\;\; \deg f =p,\;\; \sist{\a_1,\dots,\a_{p-2} \in \R\\ \a_{p-1},\a_{p}\in \C\-\R}\\ &\T{dove } \a_1,\dots,\a_p\T{ sono le radici di }f } \end{lem} \begin{proof} Siano $c,a_1,\dots,a_{p-2}\in 2\Z^*$ numeri pari non nulli, con $c\ge 2,\;\;a_10 \= c > -\sum_{1\le i (a_i+1)^2+c \ge 2\NN i=j \> |a_i+1-a_j| \ge 1\NN i \neq j \> a_i}{a_i,a_j\T{ pari}} \> |a_i+1-a_j| \ge 1\NN \qq \> |g(a_i+1) | \ge 2\\ &g(a_{i}+1) <0 \> g(a_{i}+1) \le -2\;\;(*)\\ &f(a_i)=g(a_i)+2 \ubrace{=}{a_i\T{ e' radice di }g(x)} 2 >0\\ &f(a_i+1) =g(a_i+1)+2 \ubrace{<}{(*)} \le 0 } Se $f(a_i+1)=0$, allora $a_i+1$ e' radice di $f$, altrimenti \eal{&f(a_i) > 0,\;\;f(a_i+1)<0 \ubrace{\>}{\T{thm esistenza degli zeri}} \exists \xi_i\in \R:\;a_i<\xi 0$} \begin{prova} Osservando che \eal{&g(a_i+1)> 0\NN g(a_i)=0\NN g(a_{i\pm 1})=0\NN a_{i-1} 0\;\;(*) } ma e' anche \eal{&\sum_{1\le h \exists \a\in \A^\C:\;f(\a)=0,\;f(\ove \a )=0 \\ &\qq \ove \a \T{ coniugata di }\a } Quindi $f(x)$ ha almeno due radici complesse. \end{prova} \eal{& \sist{\deg f =p \> |A| \le p\\ |A\^\R| \ge p-2\\ |A\^\C\-\R | \ge 2 } \> |A\^\C\-\R| =2 } Ovvero, $f(x)$ ha solo due radici complesse. \end{proof} \begin{prop}\label{propnonome1} \eal{& \forall p\ge 5\T{ primo } \exists f(x)\T{ irrid. in }\Q[x]\T{ t.c. }\GG{L}{\Q} \simeq S_p(A)\\ &\T{ dove } L=\spezz{f(x)}{\Q},\;\;A\T{ e' l'insieme delle radici di }f(x) } \end{prop} \begin{proof} Per il lemma \see{lemmanonome1} esiste $f(x)\in \Q[x]$ irriducibile, con due sole radici complesse, con $\deg f=p$.\\ Sia $L=\spezz{f(x)}{\Q}$. \eal{&\ch \Q = 0 \> \Q \SC L\T{ separabile } \ubrace{\>}{f(x)\T{ irrid.}} f(x)\T{ separabile } \> \Q \SC L\T{ di Galois} \;\;(1)\\ &f(x)\T{ irrid. } \> \deg f=p \div [L:\Q] \ubrace{=}{(1)} |\GG{L}{Q}| \ubrace{\>}{\T{thm Cauchy }\AII{thmdicauchy}} \exists g\in \GG{L}{Q} :\;o(g) = p } Sia $A=\pgra{\a_1,\dots,\a_p}$ l'insieme delle radici di $f(x)$, dove $\a_1,\a_2$ sono le due radici complesse (coniugate tra loro). Per la prop \see{GGimmersoinSn} abbiamo \eal{&\GG{L}{Q} \le S_p(A) } \footnote{stiamo pensando $\GG{L}{Q} $ come un vero sottogruppo di $S_p(A)$, in realta' e' solo immerso in $S_p(A)$. La dimostrazione pero' rimane invariata.} $g$ e' un $p$-ciclo di $S_p(A)$, infatti, \eal{&g=\g_1\dots\g_r,\;\;\g_1,\dots,\g_r\T{ cicli disgiunti}\\ &o(g)=p = \mcm\pgra{l(\g_i)\;|\;i=1,\dots,r} \ubrace{\>}{p\T{ primo}} \exists ! i:\;l(\g_i)=p,\;\T{ tutte le altre sono di lunghezza }1\\ &\qq \> g=\g_i \> l(g)=p } \def\t{{\tau}} Sia $\t'$ la coniugazione complessa e sia $\t=\t'_{|L}$. Si ha \eal{&\sist{\t\in \FM{L}{\Q} = \GG{L}{\Q} \\ \t(\a_1)=\a_2,\;\;\t(\a_i) \ubrace{=}{\a_i\in \R} \a_i\;\;\forall i>2 } \> \t=(\a_1,\a_2)\T{ trasposizione}\\ &g\T{ $p$-ciclo di } S_p(A)\> g\T{ muove tutti gli elementi di }A\> g=(\dots, \a_1, \dots, \a_2, \dots) \> \exists i:\;g^i(\a_1)=\a_2 \\ &o(g^i)=\frac{o(g)}{\MCD(o(g),i)}=\frac{p}{(p,i)} = 1,p,\;\;g^i \neq \id \> g^i\T{ e' un $p$-ciclo}\\ &\T{Sia }g'=g^i \in \GG{L}{\Q} } A meno di rinominare gli indici di $\a_3,\dots,\a_r$, possiamo scrivere \eal{& g'=(\a_1,\a_2,\a_3,\dots,\a_r) \in \GG{L}{\Q} } Infine, abbiamo \eal{& \sist{\t=(\a_1,\a_2),\;\;g'=(\a_1,\a_2,\a_3,\dots,\a_p) \in \GG{L}{\Q}\\ S_p(A) \ubrace{=}{\AII{Sngenerato}} \gen{\t,g'} } \> S_p(A) \( \GG{L}{\Q} \( S_p(A) \> S_p(A)= \GG{L}{\Q} } \end{proof} \begin{thm} \eal{&\forall p\ge 5\exists f(x)\in\Q[x]\T{ irriducibile, $\deg f=p$ t.c. $f(x)$ non e' risolubile per radicali} } Con questo teorema possiamo quindi affermare che non esistono formule che risolvono qualsiasi polinomio di grado $\ge 5$ e che facciano uso delle operazioni $+,-,*,/,\sqrt{}$. \end{thm} \begin{proof} Basta applicare la prop \see{propnonome1}, il thm \see{Snnonestrisolubile} e il thm \see{frisolubilesseGrisolubile}. (nota \footnote{ \eal{&K=\spezz{f(x)}{\Q}\\ &\ch \Q =0,\;\;\Q\SC K\T{ algebrica } \ubrace{\>}{\see{inchzeroestensioneseparabile}} \Q\SC K\T{ separabile } \ubrace{\>}{f(x)\in \Q[x]\T{ irriducibile} } \> f(x)\T{ separabile } }}) \end{proof} \subsection{Discriminante} \def\x{{\ove x}} \def\D{{\Delta}} \def\Ds{{\Delta_{\T{\small{sym}}}}} \def\Dp{{\delta}} \def\rD#1{{\sqrt{\D}(#1)}} \def\rDp#1{{\sqrt{\Dp(#1)}}} \def\s{{\sigma}} \def\sgn{{\oname{sgn}}} \begin{defn} Sia $F$ campo, $\x=(x_1,\dots,x_n)$ indeterminate, con $n\ge 2$. Definiamo il discriminante: \eal{&\D(\x)\definizione{=} \prod_{1\le i \rD{\s(\x)}=\sgn(\s)\rD\x\\ &\qq \T{dove }\s(\x)=(x_{\s(1)},\dots,x_{\s(n)}),\;\;\sgn(\s)=\sist{1&\s\T{ pari}\\ -1&\s\T{ dispari}} } Essendo $\D(\x)$ simmetrico, per il thm \see{thmfondamentalepsym}, si ha \eal{&\exists ! \Ds\in F[\x]:\;\D(\x)=\Ds(\s_1(\x),\s_2(\x),\dots,\s_n(\x)) } \end{prop} \begin{proof} \step{}{Dim $1.$} \begin{prova} \eal{&\D(\x)=\prod_{1\le i \D(\x) =(x_1-x_2)^2 =\s_1^2-4\s_2\\ } dove $\s_1,\s_2\in F[x_1,x_2]$ sono i polinomi simmetrici elementari. \end{exemp} \begin{proof} \eal{&\D(\x) =(x_1-x_2)^2 = x_1^2+x_2^2 -2x_1x_2 = (x_1+x_2)^2 -4x_1x_2=\s_1^2-4\s_2 } \end{proof} \begin{defn} Sia dato il polinomio monico \eal{& f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n \in F[x]} Se $n\ge 2$, definiamo il \ilabel{discriminante di f}: \eal{&\Dp(f)= \Ds(-a_1,\dots,(-1)^ia_i,\dots,(-1)^na_n)\in F } dove $\D(\x)\in F[\x]$, e $\Ds(\x)$ e' dato dalla prop \see{propDiscrim}.\\ Per $n \le 1$, poniamo $\Dp(f)=1$.\\ Infine, con $\rDp f$ indichiamo una qualsiasi radice di $x^2-\Dp(f)$. \end{defn} \begin{exemp} Continuiamo l'esempio \see{Dn2}. Per $n=2$ si ha \eal{&\Ds(\s_1,\s_2)= \s_1^2-4\s_2\\ &\Dp(x^2+bx+c) = \Ds(-b,c)=b^2-4c } \end{exemp} \begin{prop}\label{propDp} Sia $\a=(\a_1,\dots,\a_n)$ il vettore delle radici del polinomio monico $f(x)\in F[x]$. Si ha \eal{&1.\;\; \Dp(f) = \prod_{1\le i \rDp f=\pm \prod_{1\le i \f(\rDp f ) = \sgn(\f')\rDp f\\ &\qq \T{ dove }\f'\T{ e' l'immagine di $\f$ tramite l'immersione }G=\GG{L}{F} \immerso S_n, \T{ ovvero }G \simeq G'\le S_n\\ &2.\;\;\T{Se }\ch F \neq 2\T{ si ha }\NN \qq G'\le A_n \= \rDp f\in F } \end{prop} \begin{proof} \step{}{Dim $1.$} \begin{prova} Per la prop \see{propDp} si ha \eal{& \rDp f = \pm \rD \a } supponiamo dapprima che $ \rDp f = + \rD \a$.\\ Sia $\a=(\a_1,\dots,\a_n)$ il vettore delle radici di $f$. \eal{ &\rD{\f'(\x)} \ubrace{=}{\see{propDiscrim}} \sgn(\f')\rD\x\;\;(1)\\ &\f(\rDp f ) = \f(\rD \a) \ubrace{=}{\f\T{ permuta le }\a_i} \rD{\f'(\a)} \ubrace{=}{(1)} \sgn(\f')\rD\a \ubrace{=}{\see{propDp}} \sgn(\f')\rDp f } Si procede in modo analogo nel caso $ \rDp f = -\rD \a$. \end{prova} \step{}{Dim $2.$} \begin{prova} \eal{ &f(x)\T{ separabile },\;\;L=\spezz{f(x)}{F} \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} F\SC L\T{ di Galois } \> L^{\GG{L}{F}} =F \;\;\\ &\f(\rDp f ) \ubrace{=}{1.} \sgn(\f')\rDp f\;\;(2)\\ &G'\le A_n \= \f'\in A_n \;\;\forall \f'\in G'\= \sgn(\f') =1 \;\;\forall \f'\in G'\ubrace{\=}{(2),\;(*)} \NN \=\f(\rDp f ) = \rDp f\;\;\forall \f\in G \= \rDp f \in L^{\GG{L}{F}} =F } (*) NOTA: nell'implicazione $\<$ stiamo implicitamente sfruttando l'ipotesi $\ch F \neq 2$, infatti, solo in $\ch F=2$ si ha \eal{&1+1=0 \> 1 = -1 \\ &\rDp f = \sgn(\f')\rDp f \ubrace{\>}{f\T{ separabile}\> \Dp(f) \neq 0 } \sgn(\f')=1=-1 } Quindi in $\ch F=2$ non sappiamo distinguere il segno di $\f'$. \end{prova} \end{proof} \begin{prop} Sia $f(x)\in F[x]$ monico, irriducibile, separabile\footnote{per la prop \see{propDp}, \eal{&f\T{ separabile }\Leftrightarrow \Dp(f) \neq 0}}, $\deg f=3$, $L=\spezz{f(x)}{F}$, $\ch F \neq 2$.\\ Si ha \eal{&\GG{L}{F} \simeq \sist{A_3 \= \rDp f \in F\\ S_3 \= \rDp f\notin F } } \end{prop} \begin{proof} Sia $\a$ una radice di $f(x)$, \eal{&f(x)\T{ separabile },\;\;L=\spezz{f(x)}{F} \ubrace{\>}{\see{thmdefgalois}} F\SC L\T{ di Galois } \> [L:F]=|\GG{L}{F}|\\ &f(x)\T{ irriducibile } \> [F(\a):F]=3 \ubrace{\>}{F\SC F(\a)\SC L} 3\div [L:F]=|\GG{L}{F}| \ubrace{\div}{\see{GGimmersoinSncoroll}} |S_3|=3! =6\NN \> |\GG{L}{F}| =3,6 \= \GG{L}{F} \simeq A_3, S_3\NN \GG{L}{F} \simeq A_3 \ubrace{\>}{\see{proppenultimadelcorso}} \rDp f\in F\NN \GG{L}{F} \simeq S_3 \ubrace{\>}{A_3 < S_3} \GG{L}{F} \not\immerso A_3 \ubrace{\>}{\see{proppenultimadelcorso}} \rDp f\notin F } \end{proof} %\subsection{Link utili} %\begin{enumerate} % \item \url{http://www.jmilne.org/math/index.html} % \item \url{http://www.dmi.unict.it/~mdanna/} % \item \url{http://www.dmi.unict.it/~strano/} %\end{enumerate} % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \include{esercizi} \printindex \end{document}