\section{Proposizioni varie}
\begin{prop}
	\label{proptuttiordine2}
	Dato un $G$ con $|G|\ge 2$,
	\eal{&\forall a\in G\;\;a^2=\e \> G\T{ e' abeliano }, |G|=2^{k}
	}
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{propordinediab}
	Dati $a,b\in G$,
\eal{&\sist{o(a)=m,\;\;o(b)=n,\;\;(m,n)=1\\
ab=ba}\> o(ab)=mn}
\end{prop}
\begin{prop}\label{esistecconordinemcm}
	Sia $G$ abeliano, $a,b\in G$, allora
	\eal{&\exists c\in G:\;o(c) =\mcm\pgra{o(a),o(b)}
	}
\end{prop}

\begin{prop}
Dati $H,K \le  G$ 
	\eal{&\sist{|H|=p\T{ primo}\\
	p\ndiv |K|} \> H\^K=\pgra{\e}
	}
\end{prop}

\begin{prop}
	\eal{&\sist{G=\gen{a,b}\\
	o(a)=o(b)=4\\
	a^2=b^2=(ab)^2}\>G\simeq \mathbb{H}}
	dove $\mathbb{H}$ e' il gruppo dei quaternioni.\\
	Nota: la condizione $(ab)^2=b^2$ equivale a: $ba=a^{-1}b$.
\end{prop}
\pagebreak
\section{Studio dei gruppi}
In questa sezione studieremo i gruppi di ordine $1,\dots,15$.
\begin{prop}
	$|G|=1$ allora $G=\pgra{\e}$, e non abbiamo molto da dire.\\
	$|G|=2$ allora $G=\pgra{\e, a}=\gen a$ e $G\simeq\mathbb{Z}_2$ per il
	thm \see{ognigruppociclicoisomorfoZn}\\
	$|G|=3$ allora $G=\pgra{\e,a,b}=\gen a=\gen b  \simeq \mathbb{Z}_3$ perche' $3$ e' un primo
	e quindi applichiamo la prop \see{propordGprimogenerato}.\\
\end{prop}
\begin{prop}
	$|G|=4$\\
	Si possono verificare due casi:
	\eal{&G=\gen a\simeq \mathbb{Z}_4\;\|\;G=\pgra{\e,a,b,c} \T{ con }o(a)=o(b)=o(c)=2}
	Nel secondo caso $G$ si chiama \emph{gruppo Vier}.
	\label{gruppo Vier}
	In ogni caso, $G$ e' abeliano.
\end{prop}
\begin{prop}
	$|G|=5$ allora $G=\gen a \simeq \mathbb{Z}_5$
	(\see{propordGprimogenerato} e \see{ognigruppociclicoisomorfoZn}) 
\end{prop}
\begin{prop}
	$|G|=6$
Si possono verificare solo due casi:
\eal{&G\simeq \mathbb{Z}_6 \| G \simeq S_3}
\end{prop}
\begin{prop}
	$|G|=7$ allora $G$ e' ciclico e $G\simeq \mathbb{Z}_7$ 
		(\see{propordGprimogenerato} e
		\see{ognigruppociclicoisomorfoZn}) 
\end{prop}
\begin{prop}
	$|G|=8$, si hanno questi casi
	\case{$G$ abeliano}
	\case{$G$ non abeliano}
\end{prop}
\begin{prop}
	$|G|=9$.\\
	$G$ e' abeliano, e si hanno questi casi:
	\case{$G$ e' ciclico}
	\case{$G=\gen{a,b}, \;\;o(a)=o(b)=3$ }
\end{prop}
\begin{prop}
	$|G|=10$, 
si hanno questi due soli casi:
\case{$G$ e' ciclico}
\case{$G\simeq D_{5}$}
\end{prop}
\begin{prop}
	$|G|=11$ e' ciclico poiche' $11$ e' primo.
\end{prop}
\begin{prop}
	$|G|=12$
\end{prop}

\begin{prop}
	$|G|=13$ e' ciclico poiche' $13$ e' primo.
\end{prop}
\begin{prop}
	$|G|=15 \> G$ e' ciclico.
\end{prop}