%        File: algebraII.tex
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% (c) Copyright 2007 Andrea Lo Pumo aka AlpT <alpt@freaknet.org>
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%

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{xr-hyper}
\usepackage{amath}

%%%% algebra defs
\def\.{\cdot}
\def\e{\textbf{e}}
\def\cong{{\equiv}}
\def\congs{{\equiv_s}}
\def\congd{{\equiv_d}}
\def\ig#1{{i_{G}(#1)}}
\def\mid{\div}
\def\nmid{\ndiv}
\def\St{{\operatorname{St}}}
%%%%

\def\Lagrange{{\T{Lagrange \see{thmdilagrange}}}}

\externaldocument[AL-]{alineare}[../lineare/alineare.pdf]
\externaldocument[AI-]{algebraI}[../1/algebraI.pdf]
\ifpdf
\newcommand{\AL}[1]{\T{[AL,\ref{AL-#1},pg.\pageref{AL-#1}]}}
\newcommand{\AI}[1]{\T{[AI,\ref{AI-#1},pg.\pageref{AI-#1}]}}
\else
\newcommand{\AL}[1]{\T{[AL,x.y.z,pg.xy]}}
\newcommand{\AI}[1]{\T{[AI,x.y.z,pg.xy]}}
\fi


\begin{document}
\title{Algebra II}
\author{AlpT (@freaknet.org)}

\pagenumbering{roman}
\maketitle{}

\begin{abstract}
Questo testo e' una rielaborazione personale degli appunti presi durante
il corso di Algebra II, tenuto dal Prof. Rosario Strano presso il dipartimento di
Matematica, Catania, A.A. 2007/2008.\\
Saro' ben lieto di correggere ogni eventuale errore che mi comunicherai.

Buon lettura.
\begin{center}
	\verb|^_^|
\end{center}
\end{abstract}

\input{gpl}
\clearpage
\tableofcontents
\clearpage
\pagenumbering{arabic}


\let\oldsection\section
\renewcommand{\section}[1]{\oldsection{#1}\ilabel{#1}}
\let\oldsubsection\subsection
\renewcommand{\subsection}[1]{\oldsubsection{#1}\ilabel{#1}}
\let\oldsubsubsection\subsubsection
\renewcommand{\subsubsection}[1]{\oldsubsubsection{#1}\ilabel{#1}}


\section{Teoria dei gruppi}
\ilabel{gruppoide}
\begin{defn}
Un \textbf{gruppoide} $(M,\.)$ e' un insieme non vuoto $M$ dotato di un'operazione binaria
interna $\.$, ovvero
\eal{&M\neq \0\\
&\.:M\times M\longrightarrow M
}
E' da notare che $\.$ deve essere definita per ogni coppia $(a,b)$ con $a,b\in
M$ e deve essere ben definita\footnote{se gli elementi sono delle classi,
l'immagine della coppia non deve dipendere dai rappresentanti degli elementi.
Ad esempio, la legge
\eal{&\pton{\frac{x}{y}+\frac{t}{z}} \longrightarrow \frac{x+t}{y+z}
}
con $x,y,z,t \in \mathbb{Q}_{>0}$, non e' ben posta:
\eal{&\pton{\frac{3}{4},\frac{4}{1}}\longrightarrow \frac{7}{5}\\
&\pton{\frac{6}{8},\frac{12}{3}}\longrightarrow \frac{18}{11}
}
}.
\end{defn}
\begin{defn}
\ilabel{semigruppo}
Un \textbf{semigruppo} $(S,\.)$ e' un gruppoide dotato della proprieta' associativa:
\eal{
&\forall a,b,c\in S\;\;a\.(b\.c)=(a\.b)\.c
}
\end{defn}
\begin{prop}
Per la proprieta' associativa, presi $a_1,\dots,a_n\in S$ e fissati $1\le i
\le  n,\;\;1\le j\le n$,
si ha 
\eal{&
(a_1\cdots a_{i-1})\. (a_i\cdots a_n )
=
(a_1\cdots a_{j-1})\. (a_j\cdots a_n )
}
In altre parole, usando le parentesi per specificare un qualsiasi ordine delle
moltiplicazioni, non cambia il risultato (f.e., $(ab)cd=a(bc)d$)
\end{prop}
\begin{defn}
	\ilabel{operazioni}
	\ilabel{potenza}
In un semigruppo $(S,\.)$, definiamo l'operazione di potenza:
\eal{&a^0=1\\
&a^n=a\.a^{n-1},\;\;n\in \mathbb{N}
}
\end{defn}
\begin{prop}
Valgono le seguenti proprieta':
\eal{&a^m\.a^n=a^{m+n}\\
&(a^{m})^n=a^{mn}
}
\end{prop}
\begin{defn}
	\ilabel{elemento unita'}
	In un semigruppo puo' esistere l'\textbf{elemento unita'} $e$:
	\eal{&e\T{e' elem. unita' di S} \= \forall a \in S\;\;a\.e=e\.a=a }
\end{defn}
\begin{prop}
L'elemento unita', se esiste, e' unico.
\end{prop}
\begin{defn}
	\ilabel{inverso}
In un semigruppo $(S,\.)$ con unita' $\e$,
l'elemento \textbf{inverso} $a'$ di $a\in S$ e' t.c.
\eal{&a\in S\T{ e' invertibile } \= \; \exists a'\in S:\;\;aa'=a'a=\e}
$a'$ e' chiamato inverso di $a$ e si indica con $\inv a$.
\end{defn}
\begin{prop}
	L'elemento inverso e' unico.
\end{prop}
\begin{defn}
	\ilabel{gruppo}
Un gruppo $(G,\.)$ e' un semigruppo dotato di elemento unitario, in cui tutti
gli elementi sono invertibili, esplicitamente:
\eal{&G\neq \0\\
&\.:G\times G\longrightarrow G\\
&\forall a,b,c \in G\;\;(ab)c=a(bc)\\
&\exists \e\in G:\;\forall a\in G\;\;a\e=\e a=a\\
&\forall a\in G\;\exists \inv a\in G:\;\;a\inv a=\inv a a=\e
}
Se vale la proprieta' commutativa, il gruppo viene detto \emph{abeliano}:
\eal{&\forall a,b\in G\;\;ab=ba}
\end{defn}
\begin{defn}
	\index{operazioni}
	\ilabel{potenza gruppo}
In un gruppo $(G,\.)$, possiamo estendere la potenza definita nei semigruppi:
\eal{
&a^{-n}=\inv {(a^{n})} = (\inv a)^n,\;\;n\in \mathbb{N}
}
quindi, in generale, e' ben definito l'elemento $a^z,\;\;z\in \mathbb{Z}$.\\
\end{defn}

\begin{prop}
Valgono le seguenti proprieta':
\eal{&a^m\.a^n=a^{m+n},\;\;m,n\in\mathbb{Z}\\
&(a^{m})^n=a^{mn}\\
&\inv{(ab)}=\inv b\inv a
}
\end{prop}

\begin{prop}
Valgono le leggi di cancellazione (a sinistra e a destra) in un qualsiasi
gruppo:
\eal{&ab=ac\;\> \;b=c\\
&ba=ca \> b=c
}
\end{prop}
\begin{thm}
	\label{thmsgruppofinitoegruppo}
	Se $(S,\.)$ e' un semigruppo finito, in cui valgono le due leggi di cancellazione,
	allora $(S,\.)$ e' anche un gruppo.
\end{thm}

\begin{exemp}
\eal{(\mathbb{N},\.),
(\mathbb{Z},\.),
(\mathbb{Q},\.),
(\mathbb{R},\.)
}sono tutti gruppi abeliani, pero' e' difficile estrarre da essi gruppi
finiti, infatti se prendiamo un elemento $a\in G$ deve poi esistere $a\.a$, e
poi ancora $a\.a\.a$. Da $\mathbb{Z}$ possiamo estrarre $\pgra{-1,0,1}$.
\end{exemp}
\begin{exemp}
	\label{Unradiciennesimeunita}
Un gruppo finito estratto da $(\mathbb{C}, \.)$ sono le radici n-esime
dell'unita': $U_n=\pgra{x\in \mathbb{C}\;|\;x^n=1}$.
\end{exemp}
\begin{exemp}
	\label{expUn}
	$(\mathbb{Z}_n,+)$ e' un gruppo finito abeliano.\\
	$(\mathbb{Z}_n,\.)$ non e' in generale un gruppo finito abeliano (non
	tutti gli elementi hanno un inverso). Se
	consideriamo pero' $(U_n, \.)$ ne otteniamo uno, dove
	\eal{&U_n=\pgra{a\in \mathbb{Z}_n\;|\;mcd(a,n)=1}}
	Si ha $|U_n|=\varphi(n)$ dove, $\varphi$ e' la funzione di Eulero.
\end{exemp}
\begin{exemp}
	Adesso vediamo dei gruppi non abeliani.\\
\begin{enumerate}
	\item gruppo lineare generale: $(GL_n(\mathbb{R}),\.)$, dove
		\eal{&GL_n(\mathbb{R})=\pgra{
		M^{n\times n}(\mathbb{R}) \T{ matrice}\;|\; \det M\neq 0}}
	\item gruppo speciale lineare: $(Sl_n(\mathbb{R}),\.)$, dove
		\eal{&GL_n(\mathbb{R})=\pgra{
		M^{n\times n}(\mathbb{R}) \T{ matrice}\;|\; \det M=1}}\\
		Per verificare che e' un gruppo, basta ricordarsi che 
		\eal{&\det \pton{\inv M}=\inv{\pton{\det M}}}
	\item gruppo ortogonale: $(O_n(\mathbb{R}),\.)$, dove
		\eal{&O_n(\mathbb{R})=\pgra{
		M^{n\times n}(\mathbb{R}) \T{ matrice}\;|\; M\TR M =
		I^{n\times n}\= \TR M = \inv M
		}}		\\
		Qui stiamo trattando le matrici ortogonali
		(vedi \AL{propmatortogonale}).\\
		Verifichiamo che $\.$ e' una operazione:
\eal{&M,N\in O_n\=\TR M =\inv M,\;\TR N=\inv N\\
&\TR(MN)=\TR N \TR M=\inv N\inv M=\inv{(MN)}\=\TR(MN)=\inv{(MN)}\=MN\in O
		}
	\item gruppo ortogonale speciale:
\eal{&SO_n(\mathbb{R})=\pgra{
		M^{n\times n}(\mathbb{R}) \T{ matrice}\;|\; \TR M = \inv
		M,\;\;\det M = 1}\\
&O_n(\mathbb{R})\-SO_n(\mathbb{R})=\pgra{M^{n\times n}(\mathbb{R}) \T{ matrice}\;|\; \TR M = \inv
M,\;\;\det M = -1}
}
$SO_n$ e' un sottogruppo di $O_n$. 
	$SO_n$ sono le rotazioni, mentre $O_n(\mathbb{R})\-SO_n(\mathbb{R})$ i ribaltamenti (nota \footnote{
	$O_n(\mathbb{R})\-SO_n(\mathbb{R})$ non e' un gruppo: $I$ non ci sta'
	perche' $\det I=1$}\\
Imponendo le condizioni, si vede che l'elemento generale di $SO$ e'
\eal{&
M=\begin{pmatrix}
	\cos \vartheta &\sen \vartheta \\
	-\sen \vartheta &\cos \vartheta
\end{pmatrix}}

\end{enumerate}
\end{exemp}
\subsection{Gruppi e sottogruppi ciclici}
\begin{defn}
	Dato il gruppo $(G,\.)$, e il sottoinsieme $H\( G$, $H\neq \0$
	\eal{&H \le  G \= H\T{ e' un sottogruppo di }G\= (H,\.) \T{ e' un gruppo} }
\end{defn}
\begin{prop}
\ilabel{sottogruppo!caratterizzazione1}
Dato il gruppo $(G,\.)$, e $H\(G$, si ha
\eal{&H \le  G\=
\sist{1.\;\;\forall a,b\in H,\;\;a\.b\in H\\
2.\;\;e\in H\\
3.\;\;\forall a\in H\;\;\exists \inv a \in H
}}
Nota: nella seconda condizione, $\e$ indica l'elemento neutro di $G$.
Nella terza condizione, $\inv a$ indica l'inverso di $a$ in $G$, ovvero
$\inv a a =a\inv a = \e$.
\end{prop}
\begin{thm}
\ilabel{sottogruppo!caratterizzazione2}
Dato il gruppo $(G,\.)$, si ha
	\eal{&H\le G\=\forall a,b\in H\;\;a\inv b \in H}
\end{thm}
\begin{prop}
	\ilabel{sottogruppo finito!caratterizzazione}
	Caratterizzazione dei sottogruppi finiti.\\
Dato il gruppo $(G,\.)$, e $S\(G,\;\;|S|\in \mathbb{N}$, si ha
\eal{&S\le G\= \forall a,b\in S\;\;ab\in S }
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{propcontenutostessacardinalita}
	Sia dato il gruppo finito $G$, si ha
	\eal{&\sist{H\le G\\|H|=|G|} \> H=G}
\end{prop}

\begin{defn}
	Il seguente sottogruppo si chiama \emph{centro} di G\ilabel{centro}:
	\eal{&Z(G)=\pgra{g\in G\;|\; gx=xg\;\;\forall x\in G}
	}
	ed e' in sostanza, l'insieme
	di tutti gli elementi di $G$ che commutano con tutti gli elementi di
	$G$.\\

	Il sottogruppo
	\eal{&C(G,x) = \pgra{g\in G\;|\;gx=xg}}
	si chiama \emph{centralizzante} di $x$, 
	ed e' in sostanza, l'insieme
	di tutti gli elementi di $G$ che commutano con $x$.\\

	E' chiaro che 
	\eal{&Z(G) \( C(G,x)}
\end{defn}
\begin{prop}
	\label{propintsottgruppi}
Dato il gruppo $(G,\.)$
\eal{H,J\le G \> H\^J \le  G}
\end{prop}
\begin{prop}
Dato il gruppo $(G,\.)$ e $H,J \le  G$,
\eal{H\v J\le G \= H\(J\| J\( H}
\end{prop}

\begin{defn}
	\ilabel{sottogruppo generato}
Dato un gruppo $(G, \.)$ e un suo sottoinsieme $X$, si definisce $\gen X$ come
il piu' piccolo sottogruppo di $G$ contentene $X$, ovvero:
\eal{&\exists H \le G:\;X\( H\>\gen X \( H}
\end{defn}
\begin{prop}
\eal{&\gen X=\bigcap_{X\( H \le G} H }
\end{prop}
\begin{thm}
\label{carattsottogruppogenerato}
\eal{&\gen X=\pgra{t_1t_2\dots t_r \;|\;t_i\in X\| \inv {t_i} \in X,\;r\in
\mathbb{N}}= {\pgra{t_1^{z_1}t_2^{z_2}\dots t_r^{z_r} \;|\;t_i\in X,\;z_i\in
\mathbb{Z},\;r\in \mathbb{N}^*}}
}
o in forma equivalente se $X$ e' finito:
\eal{&X=\pgra{x_1,x_2,\dots,x_n}\\
&\gen X=\Big\{
(x_1^{m_{11}}x_2^{m_{21}}\dots x_n^{m_{n1}})
(x_1^{m_{12}}x_2^{m_{22}}\dots x_n^{m_{n2}})\dots
(x_1^{m_{1r}}x_2^{m_{2r}}\dots x_n^{m_{nr}})
\;|\;m_{1i},m_{2i},\dots,m_{ni}\in
\mathbb{Z},\\
&\qq\qq\;i=1,\dots,r,\;\;r=1,2,\dots\Big\}
}
se l'elemento $x_1$ ha ordine finito, allora il suo esponente $m_{1i}$ variera'
variera' da $0$ a $o(x_1)-1$ (definiremo l'ordine piu' avanti (vedi \see{ordine})).
\end{thm}
\begin{exemp}\qq\\
	\begin{enumerate}
		\item $\gen \0 = \pgra{\e}$\\\pf per def: tutti i sottogruppi
			contengono $\0$, quindi il piu' piccolo e'
			$\pgra{\e}$.
		\item 
	In $(\mathbb{Z}, +)$, il sottogruppo generato $\gen{2,3}$ e'
	\eal{&\gen{2,3}=\pgra{2s+3t\;|\;s,t\in \mathbb{Z}}}
infatti, per la proposizione di prima,
\eal{&\gen{2,3}=\pgra{2\.3,2\.2\.3,2\.3\.3,2\.3\.2\.2,\dots}}
inoltre, $(\mathbb{Z}, +)$ e' abeliano, e quindi i 2 e 3 si possono
\emph{raccogliere}.
	\end{enumerate}
\end{exemp}
\begin{defn}
Dato $(G,\.)$, $g\in G$,
\eal{&\gen g=\pgra{g^i\;|\;i\in \mathbb{Z}}}
inoltre, $\gen g$ verra' chiamato sottogruppo ciclico generato da $g$.\\
$\gen g$ potra' essere un sottogruppo ciclico finito o infinito:\\
e' infinito nel caso in cui esiste una corrispondenza biunivoca tra $\gen g$ e
$\mathbb{Z}$, ovvero
\eal{&\forall i,j\in \mathbb{Z}:i\neq j\;\T{si ha}\;g^i\neq g^j }
e' invece finito quando
\eal{&\exists i,j\in \mathbb{Z}:i\neq j\;\;g^i=g^j}
\end{defn}
\begin{defn}
\ilabel{ordine}
Dato $(G,\.),\; g\in G$,
\eal{&o(g) \T{ , chiamato \emph{ordine o periodo di g}, e' (se esiste) il piu'
piccolo intero $p>0$ t.c. }g^p=\e}
se $p$ non esiste si pone $o(g)=\infty$.\\
La cardinalita' di un gruppo finito e' chiamata sempre \emph{ordine}:
$o(G)=|G|$.
\end{defn}
\begin{exemp}
	In $(\mathbb{C}^*, \.)$, 
	\eal{&(i)=\pgra{1,i,-1,-i},\;\;o(i)=4}
\end{exemp}

\begin{thm}
\label{thmogeqcardg}
Dato $(G,\.)$, $g\in G$ si ha
\eal{&o(g)=|\gen g|}
\end{thm}

\begin{prop}
	\label{propieqjmodzp}
	Se $\gen g$ e' un sottogruppo ciclico finito di $G$, di ordine $p$, si ha
	\eal{&g^i=g^j\= i=j\;\;(\mathbb{Z}_p)
	}
\end{prop}
\begin{cor}
\label{corpropieqjmodzp}
Dalla precedente proposizione, con $p=o(g)$, si ha:
\begin{enumerate}
	\item $g^i=\e\= p\mid i$
	\item $\inv{(a^i)}= a^{p-i}$
\end{enumerate}
\end{cor}
\begin{prop}
	Dato $(G,\.)$ gruppo \textbf{abeliano}, si 
ha \eal{G_f=(\pgra{g\in G\;|\;o(g) \in \mathbb{N}}, \.) \le  G}
\end{prop}
\begin{defn}
Un gruppo $(G,\.)$ si dice ciclico $\=\exists g\in G:\;G=\gen g$ 
\end{defn}
\begin{thm}
	\label{thmciclicoimpsubciclico}
	\eal{&	(G,\.)\T{ gruppo ciclico } \> H \le G \T{ e' pure un gruppo
	ciclico}\\
	&\nLeftarrow }
	Piu' in dettaglio, se $G=\gen g$, allora $H=\gen{g^m}$ con $m=\min \pgra{t\in
	\mathbb{N}^*\;|\;g^t\in H}$
\end{thm}
\begin{prop}
	\label{propciclicoimpabeliano}
\eal{&(G,\.) \T{ gruppo ciclico} \> G\T{ gruppo abeliano}}
Non vale il viceversa.
\end{prop}

\begin{prop}\label{carattgruppiciclici}
	Caratterizzazione dei gruppi ciclici finiti.\\
Dato il gruppo $(G,\.),\;\;|G|=n$, 
\eal{&g\in G,\;\;o(g)=n \= G=\gen g}
\end{prop}

\begin{thm}
\label{thmordsottdivn}
Dato il gruppo ciclico $G=\gen g,\;\;|G|=n$, 
\eal{&1.\;\;S \le  G \> |S|\mid n\\
&\T{
Ovvero, se $S$ e' un sottogruppo di $G$ allora, il suo ordine divide l'ordine
di $G$}\\
&2.\;\;m\in \mathbb{N},\;\;m\mid n \> \exists ! S \le G:\;\;|S|=m, \T{
inoltre } S=\gen{g^{\frac{n}{m}}} }
\end{thm}
\begin{cor}Dato $G$ ciclico,
\eal{&\pgra{S \le  G} \stackrel{f}{\longleftrightarrow} \pgra{m\in
	\mathbb{Z} \;|\;m\mid n}\\
	&\T{con $f$ biunivoca}
}
Ovvero, i sottogruppi di $G$ e i divisori del suo ordine, sono in relazione
biunivoca. $f$ e' proprio $f(S)=|S|$
\end{cor}
\begin{thm}
\label{thmmcdord}
Dato un gruppo ciclico $G=\gen g$ di ordine $|G|=n$, si ha
\eal{&o(g^m)=\frac{n}{(m,n)}}
dove $(m,n)=MCD(m,n)$.
\end{thm}
\begin{cor}
	\label{corggeneratoressecomprimoconn}
Dato	$G=\gen g,\;\;|G|=n$,
\eal{&G=\gen{g^m}\= (m,n)=1
	}
\end{cor}
\begin{exemp}
\ilabel{esempio!tutti i sottogruppi di (Z,+)}
	Tutti i sottogruppi di $(\mathbb{Z},+)$ sono del tipo $x\mathbb{Z}$
	con $x\in \mathbb{Z}$.\\
	\eal{&\mathbb{Z}=\gen{1}\\
	&S\le \mathbb{Z} \> S=\gen{x\cdot 1}=\gen{x}=\pgra{zx\;|\;z\in
	\mathbb{Z}}=x\mathbb{Z}
	}
\end{exemp}
\subsection{Laterali modulo H}
Sia $(G,\.)$ un gruppo e $H\le G$. Definiamo i seguenti insiemi:
\eal{&aH=\pgra{ah\;|\;h\in H}\\
&Ha=\pgra{ha\;|\;h\in H}}
chiamati rispettivamente laterale sinistro e destro di $a$ rispetto ad $H$.\\
E' ovvio che nel caso generale $aH\neq Ha$.\\
Osserviamo che $a \in aH$:
\eal{&H\le G\>\e \in H \> a\e=a\in aH}
Si ha anche:
\eal{&\e H =H}
\begin{prop}
L'insieme \eal{&\pgra{aH}_{a\in  G}} e' una partizione di $G$, ovvero 
\eal{&1.\;\;\bigcup_{a\in G}aH = G\\
&2.\;\;\T{Presi }a,b\in G\\
&\qq\qq aH\neq bH \> aH\^ bH=\0\\
&\;\;\;\;\T{o equivalentemente}\\
&\qq\qq aH=bH \< aH\^bH \neq \0
}
\end{prop}
\begin{defn}
\ilabel{modulo H}
Da ogni partizione nasce la relazione d'equivalenza indotta da essa. Definiamo
quindi le seguenti relazioni:
\eal{&
a\congs b\;\;(H)\= aH=bH \= aH\^bH \neq \0\\
&\qq \= \exists h_1 \in H \exists h_2\in H:\;ah_1=bh_2,\;\;h=h_2\inv {h_1}\in H\\
&\qq \= a=bh\= \inv b a=h\\
&a\congd b\;\;(H)\= Ha=Hb \= Ha\^Hb  \neq \0\\
&\qq \= \exists h_1 \in H\exists h_2\in H:\;h_1a=h_2b,\;\;h=\inv{h_1}h_2\in H\\
&\qq \=a=hb\= a\inv b=h
}
rispettivamente chiamate ``\emph{$a$ congruo $b$ modulo $H$ a destra}'' e 
``\emph{$a$ congruo $b$ modulo $H$ a sinistra}''
\end{defn}
\begin{prop}
\eal{&\big|\pgra{aH}_{a\in  G}\big|=\big|\pgra{Ha}_{a\in  G}\big|}
ovvero \eal{&\exists \varphi:\pgra{aH}_{a\in  G}\leftrightarrow
\pgra{Ha}_{a\in  G}} e precisamente
\eal{&\varphi(aH)=H\inv a}
\end{prop}
\begin{defn}
	Per la precedente proposizione possiamo definire la seguente
	quantita':
	\eal{&\ig H = \big|\pgra{aH}_{a\in  G}\big|=\big|\pgra{Ha}_{a\in
	G}\big|}
	che viene chiamata \xlabel{indice di H in G}.\\
	$\ig H$ sara' $\le +\infty $.
\end{defn}
\begin{prop}
\label{propigeq2}
	\eal{&\ig H =2\> aH=Ha,\;\forall a\in G}
\end{prop}
\begin{lem}
	\label{lemmalagrange}
	\eal{&\forall a\in G\;\;|aH|=|H|, \T{ infatti, la seguente mappa e'
	biettiva:}\\
	&\varphi:H\leftrightarrow aH\\
	&\varphi(h)=ah
}
\end{lem}

\subsubsection{Teorema di Lagrange}
\begin{thm} di Lagrange.
\label{thmdilagrange}
\eal{& (G,\.)\T{ gruppo finito }, H\le G \> |G|=|H|\cdot \ig H}
In altre parole, se $H$ e' un qualsiasi sottogruppo di $G$, allora il suo
ordine e indice dividono $|G|$.\\
Attenzione, non vale il viceversa, ovvero se $m/|G|$, non necessariamente
esiste un sottogruppo di ordine $m$. 
\end{thm}
\begin{prop}
	\label{propordinediadivideG}
	Dato $G$ di ordine finito, 
	\eal{&a\in G \> o(a)\mid |G|}
\end{prop}
\begin{cor}
\label{coroGestpprimobanali}
	\eal{& \T{$|G|=p$, $p$ primo } \= \pton{H \le  G\> H=\pgra{\e}\| H=G }}
La seconda proposizione equivale a dire che gli unici sottogruppi di $(G,\.)$
sono quelli banali: $\pgra{\e},G$.
\end{cor}
\begin{cor}
	\label{propordGprimogenerato}
	$(G,\.)$ finito,
dove $p$ e' un primo, si ha
\eal{&|G|=p, \T{$p$ primo } \> \forall a\in G:\;a \neq \e,\;\;G=\gen a
	}
In altre parole, se $|G|$ e' primo, allora $G$ e' ciclico, anzi e' generato da
qualsiasi suo elemento diverso da $\e$.
\end{cor}
\begin{cor}
	\label{corlagrangeaallaennesima}
	\eal{&|G|=n \> \forall a \in G\;\;a^n=\e}
\end{cor}
\begin{cor}
	\label{coraexpordGeste}
	Dal teorema di Lagrange discende naturalmente il teorema di Eulero e
	quello di Fermat:
	\eal{&(a,n)=1 \> a^{\varphi(n)}=1\;\;(\mathbb{Z}_n)\\
	&\T{p } primo \> a^{p-1}=1\;\;(\mathbb{Z}_p)
	}
\end{cor}

\subsection{Gruppo simmetrico}
\def\o{{\circ}}
\begin{defn}
Sia $X$ un insieme, e sia
\eal{&S(X)=\pgra{f:X\longrightarrow X\;|\;f\T{ biunivoca}}}
$(S(X),\o)$ e' un gruppo, dove $\o$ e' la composizione tra funzioni. Ogni sottogruppo di $S(X)$ viene chiamato 
\emph{gruppo di trasformazioni}.
\ilabel{gruppo di trasformazioni}
\ilabel{S(X)}
Ad esempio, $\operatorname{Aff}(\mathcal{A})$ e' un gruppo di trasformazione
(vedi geometria II).
\end{defn}
\def\s{{\sigma}}
\begin{defn}
Se $X$ e' finito, $S(X)$ lo indicheremo con $S_n$, dove $n=|X|$.\\
$S_n$ e' quindi l'insieme delle permutazioni di $n$ elementi, percio'
\eal{&|S_n|=n!}
$S_n$ non e' abeliano.\\
Indicheremo gli elementi di $S_n$ con i numeri interi, anche se tutte le
proposizioni che enuncieremo valgono nel caso generale.\\
Per indicare una permutazione $\s\in S_n$, useremo la seguente notazione:
\eal{&\sigma=\begin{pmatrix}
	1&2&\ldots&n\\
	i_1&i_2&\ldots&i_n
\end{pmatrix}\;\=\;\sist{\s(1)=i_1\\
\s(2)=i_2\\
\vdots\\
\s(n)=i_n}\\
&\T{ dove } i_j\in X,j=1,2,\dots,n;\;\;i_m \neq i_n\;\;\forall n \neq m
}
\end{defn}
\def\O{{\mathcal{O}_{\s}}}
\begin{defn}
	Dato $x,y\in X,\;\;\s\in S_n$ definiamo la seguente relazione:
	\eal{&x\sim y \= \exists i\in \mathbb{Z}:\;y=\s^i(x)}
	e' una relazione d'equivalenza.\\
	La classe d'equivalenza di $x$ si indica con $\O(x)$ e viene chiamata
	\emph{orbita} di $x$ sotto l'azione di $\s$.
	\ilabel{orbita}
\end{defn}
\begin{prop}
	Dato $x\in X$,
	\eal{&\exists m\in \mathbb{Z}:\;\;\s^m(x)=x}
\end{prop}
\begin{prop}
\label{proporbita}
	\eal{&\O(x)=\pgra{x,\s(x),\s^2(x),\dots,\s^{m-1}(x)}}
	dove $m$ e' il minimo intero tale che $\s^m(x)=x$.
\end{prop}
\def\c{{\gamma}}
\begin{defn}
Sia $x\in X$ e $m$ il piu' piccolo intero tale che $\s^m(x)=x$.\\
Diremo ciclo $\c$ di $\s$, generato da $x$, la seguente permutazione:
\eal{&\c:X\longrightarrow X\\
&\c(y)=\sist{\s(y)&y\in \O(x)\\
		y&y\notin \O(x)} }
che indicheremo semplicemente con
\eal{&\c=(x,\s(x),\s^2(x),\dots,\s^{m-1}(x))}
La proposizione \see{proporbita} ci garantisce che $\c$ e' biunivoca.\\
Equivalentemente possiamo dire:
\eal{&
\c=\begin{pmatrix}
x	&\s(x)	&\ldots&\s^{m-1}(x)	&x_1&x_2&\ldots&x_{n-m}\\
\s(x)	&\s^2(x)&\ldots&\s^m(x)=x	&x_1&x_2&\ldots&x_{n-m}
\end{pmatrix}
}
Dove $x_1,x_2,x_{n-m}$ sono gli elementi di $X\-\O(x)$.\\
$m$ si chiama \emph{lunghezza} del ciclo e si puo' indicare con $l(\c)$\\
Con $m$-ciclo intendiamo un ciclo di lunghezza $m$.\\

Siano $\c_1,\c_2$ due cicli generati da $x_1,x_2$,
\eal{&\c_1,\c_2\T{ sono disgiunti } \definizione{\=}\O(x_1)\^\O(x_2)=\0
}
\end{defn}
\begin{exemp}
	\eal{&\s=\begin{pmatrix}
		1&2&3&4\\
		3&1&2&4
	\end{pmatrix}\\
	&\O(1)=\pgra{1,3,2}\\
	&\O(4)=\pgra{4}\\
	&\T{cicli: }(1,3,2),(4)\\
	&(1,3,2)=(3,2,1)=\begin{pmatrix}
		1&3&2\\
		3&2&1
	\end{pmatrix}\\
	&(3,1,2)\T{ non e' un ciclo di }\s
	}
\end{exemp}
\begin{prop}
Il prodotto di cicli disgiunti e' commutativo, cioe' $\c_i\c_j=\c_j\c_i$.
\end{prop}
\begin{thm}
\label{thmpermutprodottocicli}
Sia $\s\in S_n$, e siano $\c_1,\c_2,\dots,\c_k$ tutti i suoi cicli
disgiunti, allora
\eal{&\s=\c_1\o\c_2\o\dots\o\c_k}
cioe', $\s$ e' prodotto dei suoi cicli.
\end{thm}
\begin{prop}
	\label{proplunghezzordine}
	L'ordine di un ciclo $\c$ e' pari alla sua lunghezza:
	\eal{&o(\c)=l(\c)}
\end{prop}
\begin{thm}
	\label{thmordinepermutazione}
Data la permutazione $\s=\c_1\c_2\dots\c_k$, prodotto di cicli disgiunti, si ha
\eal{&o(\s)=\mcm(l(\c_1),l(\c_2),\dots,l(\c_k))
}
cioe', l'ordine di una permutazione e' pari al mcm delle lunghezze dei suoi
cicli.
\end{thm}
\begin{cor}
	\ilabel{trasposizione}
Ogni permutazione e' prodotto di trasposizioni.
Una trasposizione e' un ciclo di lunghezza $2$.
\end{cor}
\begin{exemp}
\eal{&(1,4,2,3)=(1,3)(1,2)(1,4)=(3,1,4,2)=(3,2)(3,4)(3,1)}
come si nota da questo esempio, la scrittura di un ciclo come prodotto di
trasposizioni non e' unica.
\end{exemp}
\begin{defn}
	\ilabel{permutazione pari}
Sia $\s$ una permutazione
\def\t{{\tau}}
\eal{&\s\T{ e' pari } \definizione{\=} \exists \t_1,\dots,\t_{2h}\T{
trasposizioni t.c. }\s=\t_1\t_2\cdots \t_{2h}}
Ovvero, $\s$ e' pari se si puo' scrivere come prodotto di un numero pari di
trasposizioni.
\end{defn}
\begin{thm}\label{thmunicitascritturapermutazpari}
Se una permutazione $\s\in S_n$ e' esprimibile come prodotto di un numero pari di
trasposizioni, allora ogni sua altra scrittura come prodotto di trasposizioni
sara' pari.
%Per questo motivo, la definizione di \emph{permutazione pari} data sopra ha
%senso, perche' indipendente dalla scrittura usata.
\end{thm}

\begin{prop}\label{permparicaratterizz}
Data la permutazione $\s=\c_1\c_2\dots\c_c$,  con $\c_i$ ciclo $\forall
i=1,\dots,c$, si ha
%prodotto di cicli disgiunti, 
\eal{&\s\T{ e' pari } \= L-c\T{ e' pari }\\
&L= \sum_{i=1}^cl(\c_i)}
\end{prop}

\begin{prop}
	\label{AndiSn}
	\eal{&A_n=\pgra{\s\in S_n\;|\;\s\T{ e' pari}}\\
	&A_n \le S_n}
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{propnumpermpari}
	\eal{&|A_n|=|S_n\-A_n|=\frac{|S_n|}{2}=\frac{n!}{2}}
\end{prop}

\def\t{{\tau}}
\def\sc#1{{\operatorname{sc}\pton{#1}}}
\begin{defn}
	Sia $\s\in S_n$ espressa come prodotto dei suoi cicli disgiunti:
	\eal{&\s=\c_1\o\c_2\o\dots\o\c_k}
	diremo che la struttura ciclica di $\s$ e' la seguente tupla
	\textbf{non ordinata}:
	\eal{
		&\sc \s=(l(\c_1), l(\c_2),\dots,l(\c_k))
	}
\end{defn}
\begin{defn}
	Diremo che $\s\in S_n$ e' una coniugata di $\s'\in S_n$ sse esiste una
	permutazione $\t \in S_n$ t.c.
	\eal{&\s'=\t\s\inv \t}
\end{defn}
\begin{thm}
\label{thmsymconiugata}
In $S_n$,
\eal{\T{$\s$ coniugata $\s' \= \sc\s=\sc{\s'}$}}
\end{thm}
\begin{exemp}
	\label{expconiugatapratica}
Se $\s=(1,3,2)(5,4)$, allora' la sua coniugata $\s'$ sara'
$\s'=(\t(1),\t(3),\t(2))(\t(5),\t(4))$.\\
Viceversa, consideriamo $\s'=(5,4,1)(2,3)$, che e' una permutazione con la stessa struttura ciclica di
$\s$, allora una $\t$ t.c. $\s'=\t\s\inv t$ sara':
\eal{&\t(1)=5\\
&\t(3)=4\\
&\t(2)=1\\
&\t(5)=2\\
&\t(4)=3
}
ovvero
\eal{&\t=(1,5,2)(3,4)}
\end{exemp}
\begin{prop}
L'\emph{essere coniugato} e' una relazione di equivalenza.
\end{prop}
\begin{prop}
Data $P$ partizione di $S_n$ secondo la relazione d'equivalenza data prima,
ovvero $P$ e' l'insieme di tutte le classi coniugate, si ha
\eal{&|P|=|\pgra{\T{strutture cicliche di $S_n$}}|}
\end{prop}
\begin{prop}
\label{propnumstruttcicliche}\qq\\
\eal{&|\pgra{\T{strutture cicliche di $S_n$}}|=p(n)=\ove p(1,n)\\
&\ove p(k,n)=\sist{0 & n < k\\
		   1 & n = k\\
		   \ove p(k, n-k) + \ove p(k+1, n)&n>k}
}
dove $p(n)$ e' il numero di partizioni dell'intero $n$.\\
Una
partizione di un intero $n$ e' una tupla \textbf{non ordinata} di numeri positivi $n_1\ge n_2\ge
\dots\ge n_k$ t.c. $n=n_1+n_2+\dots+n_k$. Ad esempio, tutte le partizioni di
$4$ sono: $\pgra{(4),(3,1),(2,2),(2,1,1),(1,1,1,1)}$, inoltre
$p(4)=|\pgra{(4),(3,1),(2,2),(2,1,1),(1,1,1,1)}|=5$.
\end{prop}
\begin{prop}
	Il numero di permutazioni di $S_n$ che hanno tutte una prefissata
	struttura ciclica $(m_1,m_2,\dots,m_k)$ e':
	\eal{
	&Pc(m_1,m_2,\dots,m_k)=\frac{1}{k!}\prod_{i=1}^k C(m_i, n-\sum_{j=0}^{i-1}m_{j})\\
	&C(k,n):=\frac{n!}{k(n-k)!}\\
	&m_0:=0
	}
\end{prop}

\begin{prop}\label{Sngenerato}
	\eal{&S_n=\gen{(1,2),(2,3),(3,4),\dots,(n-1,n)}=\gen{(1,2),(1,2,3,\dots,n)}}
\end{prop}
\begin{prop}Sia $n>2$, allora
	\eal{&{Z}(S_n)=\pgra{\id}}
	Ovvero, il centro di $S_n$ e' banale.\\
	Da qui si capisce perche' $S_n$ non e' abeliano.
\end{prop}

\begin{exemp}\label{studiodiS3}
Studiamo $S_3$.\\
\eal{&S_3=\pgra{(1),\;(1,2),(2,3),(1,3),(1,2,3), (1,3,2)}\\
&|S_3|=3! = 6\\
&A_3=\pgra{(1),(1,2,3),(1,3,2)}\\
&|A_3| \ubrace{=}{\see{propnumpermpari}}  \frac{3!}{2}=3\\
&H_1=\pgra{(1),(1,2)}\\
&H_2=\pgra{(1),(2,3)}\\
&H_3=\pgra{(1),(1,3)}\\
&\pgra{H \le S_3}=\pgra{\pgra{\e=(1)}, A_3, H_1,H_2,H_3}
}
Il diagramma delle inclusioni dei sottogruppi:\\
\xymatrix{& & S_3\ar@{<-}[dll]\ar@{<-}[dl]\ar@{<-}[dr]\ar@{<-}[drr]\\
A_3\ar@{<-}[drr] & H_1\ar@{<-}[dr] & & H_2\ar@{<-}[dl] & H_3\ar@{<-}[dll]\\
& & \pgra{\e}
}
I laterali sinistri di $H_1$:
\eal{&|S_3|=6 \ubrace{=}{Lagrange\see{thmdilagrange} }
|H_1|\ig{H_1} \> \ig{H_1}=3\\
&\pgra{aH_1}_{a\in S_3}=\pgra{
H_1, (1,2)H_1, (2,3)H_1,(1,3)H_1,(1,2,3)H_1, (1,3,2)H_1
}=\\
&=\pgra{H_1, \pgra{(2,3), (2,3)(1,2)=(1,3,2)},
\pgra{(1,3), (1,3)(1,2)=(1,2,3)}}=\\
&=\pgra{H_1,  \pgra{(2,3), (1,3,2)}, \pgra{(1,3), (1,2,3)}}
\\
&\pgra{H_1a}_{a\in S_3}=\pgra{
H_1, H_1(1,2), H_1(2,3),H_1(1,3),H_1(1,2,3), H_1(1,3,2)
}=\\
&=\pgra{H_1, \pgra{(2,3), (1,2)(2,3)=(1,2,3)},
\pgra{(1,3),(1,2)(1,3)=(1,3,2)}}=\\
&=\pgra{H_1, \pgra{(2,3), (1,2,3)}, \pgra{(1,3), (1,3,2)}}
\\
&\pgra{aH_1}_{a\in S_3} \neq \pgra{H_1a}_{a\in S_3}
}
Quindi, questo e' anche un esempio di laterali destri non coincidenti con
laterali sinistri.
\step{}{$A_3\le S_3$  e' normale ed e' l'unico sottogruppo di ordine $3$}
\end{exemp}
\begin{exemp}
	\label{VdiA4}
	In $S_4$ consideriamo
	\eal{&V=\pgra{\id, (1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)}
	}  
$V$, chiamato gruppo Vier, e' il gruppo formato dalle permutazioni di $S_4$ che hanno la
struttura ciclica $(- -)(- -)$ (con l'aggiunta di $\id$).\\
$V\le A_4$ e' normale.\\
$V$ e' abeliano.
\end{exemp}

\begin{lem}\label{lemmaAn3cicli}
		\eal{&1.\;\;\s\in A_n\-\pgra{\id},\;\;n\ge 3 \> \s\T{ e' prodotto di $3$-cicli}\\
		&2.\;\;n\ge 5,\;\;\s_1,\s_2 \T{ $3$-cicli di }S_n \> \s_1,\s_2
		\T{ sono coniugati in }A_n, \T{ ovvero }
		\exists \s\in A_n:\;\s_1=\s\s_2\inv \s
}
\end{lem}
\begin{defn}\ilabel{gruppo semplice}
	Sia $G$ un gruppo.
	\eal{&G\T{ e' semplice } \definizione{\=} \T{ gli unici sottogruppi
	normali sono } \pgra{\e},G}
\end{defn}
\begin{prop}\label{Anestsemplice}
	$A_n$ e' semplice $\forall n\ge 5$
\end{prop}

\subsection{Gruppi diedrali}
\begin{defn}
	Il gruppo diedrale $D_n$ e' un gruppo di trasformazioni, ovvero un
	sottogruppo di $(S(X),\o)$, dove $X$ e' un poligono regolare di $n$
	lati.
\end{defn}
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.4]{fig/Pentagon_reflection}
		\includegraphics[scale=0.4]{fig/Pentagon_rotation}
	\end{center}
\begin{prop}
	\label{cardinalitadiedrale}
	\eal{|D_n|=2n}
\end{prop}
\begin{prop}
	\eal{&D_n \le S_n\\
	&n=3 \= D_n=S_n}
\end{prop}
\begin{prop}
	Sia $r=r_1$, e $s$ un qualsiasi ribaltamento, allora
\eal{&R\le D_n,\; R=\gen r\\
&o(r^k)=\frac{n}{(k,n)}\\
&o(s)=2
	}
\end{prop}
\begin{lem}
	\label{lemmadiedrale}
In $D_n$,
\eal{&sr=r^{n-1}s=r^{-1}s\\
	     &s_{i}=rs_{i-1}r\\
	     &s_i=r^js_{i-j}r^j\;\;\forall j\in \mathbb{N}
	     }
Dove $r=r_1$ e $s$ e' un qualsiasi ribaltamento.
\end{lem}
\begin{thm}
	\label{thmdiedralegenerato}
	\eal{&
	D_n=\gen{r,s}=\pgra{r^{i}s^{j}\;|\;i=0,1,\dots,n-1,\; j=0,1}
	}
	dove $s$ e' un qualsiasi ribaltamento.
\end{thm}
\begin{prop}
\label{propDnnonabeliano}
	$D_n$, con $n>2$ non e' abeliano.
\end{prop}

\begin{prop}
	\eal{&Z(D_n)=\sist{\pgra{\e}&n\T{ dispari }\\
	\pgra{\e, r^{\frac{n}{2}}} &n\T{ pari}}}
\end{prop}
\subsection{Sottogruppi normali}
\begin{defn}
	Dato $(G,\.)$
	\eal{&H\le G\T{ e' normale }\= aH=Ha\;\;\forall a\in G}
\end{defn}
\begin{exemp}
	$Z(G)$ e' un sottogruppo normale di $G$ (\vedi{centro})
\end{exemp}
\begin{prop}
	Se $G$ e' abeliano, ogni suo sottogruppo e' normale.\\
\end{prop}
\begin{prop}
\label{propHnormaleGmezzi}
	\eal{&H\le G,\;|H|=\frac{|G|}{2} \> H\T{ normale}
	}
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{propcarattsottnormali}
	caratterizzazione dei sottogruppi normali: dato $H\le G$, le seguenti
	condizioni sono equivalenti:
	\eal{&1.\;\;H \T{ e' normale }\\
	&2.\;\;ah\inv a\in H\;\;\forall a\in G\;\;\forall h\in H \\
	&3.\;\;aH\inv a = H\;\forall a\in G\\
	&\qq \T{ dove $aH\inv a$ e' il \emph{gruppo coniugato} di $H$, ovvero e' il
	seguente gruppo: } aH\inv a=\pgra{ah\inv a\;|\;h\in H}\\
	&4.\;\;H\T{ e' unione di classi di coniugazione }}
	\ilabel{gruppo coniugato}
\end{prop}
\begin{prop}\label{normaleintersezioneconsottogruppo}
Sia $J,K\le G$,
	\eal{&H\le K\T{ normale } \> H\^J \le K\^J\T{ normale}
	}
\end{prop}


\begin{prop}\ilabel{compatibile col prodotto}
	\eal{&\T{$H\le G$ e' normale $\> \T{la relazione d'equiv }\cong (H),\;\T{ e'
	compatibile col prodotto, ovvero }
	$}\\
	&\qq \sist{a\cong b\;\;(H)\\c\cong d\;\;(H)} \> ac\cong bd\;\;(H) }
	dove $\cong (H)$ e' la relazione modulo H definita in \see{modulo H},
	che in questo caso coincide sia con $\congs$ che con $\congd$.
\end{prop}
\begin{prop}
Dato $(G,\.)$
\eal{&\sim \T{ e' una rel. d'equiv. su $G$ compatibile col prodotto } \>
\exists! H \le G \T{ normale t.c.}\;\;\sim \T{ coincide con }\cong (H)
	}
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{propuniconormale}
$|G|=n$
\eal{&\sist{m\div n\\
\exists !H\le G:\;\;|H|=m} \> H\T{ e' normale }}
Nota: il viceversa vale solo se $H$ e' un sottogruppo di Sylow normale (vedi
\see{propviceversauniconormale})
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{propHKnormaliHintKestealloracommutano}
	\eal{&\sist{H,K\le G\T{ normali }\\
	H\^ K = \pgra{\e}\\
	a\in H,\;b\in K} \> ab=ba }
\end{prop}




\begin{exemp}
$A_n \le  S_n$  e' un sottogruppo normale. (Per la def di $A_n$ vedi
\see{AndiSn})
\end{exemp}
\subsection{Gruppo quoziente}
\begin{defn}
Dato il gruppo $(G,\.)$ sia $H\le G$ normale.\\
	\eal{&G/H = \pgra{aH}_{a\in G}}
	si chiama \emph{gruppo quoziente} di $G$ rispetto al sottogruppo
	normale $H$.\\
	Si tratta dell'insieme quoziente di $G$ rispetto alla relazione
	d'equivalenza modulo $H$.
\end{defn}
\begin{prop}
	\label{propGquozHgruppo}
	\eal{(G/H,\.)}
	e' un gruppo,
	dove $\.$ e' l'operazione definita nel seguente modo:
	\eal{&aH\.bH = abH
	}
\end{prop}
\begin{exemp}
Consideriamo $(\mathbb{Z},+)$. Esso e' un gruppo ciclico generato da $-1$ o da
$1$. Poiche' e' ciclico, e' anche abeliano (prop
\see{propciclicoimpabeliano}).
Poiche' e' ciclico, ogni suo sottogruppo e' ciclico .\\
Consideriamo allora $H=\gen n=n\mathbb{Z}$\\
Esso e' ciclico e quindi abeliano e quindi normale.\\
Possiamo allora costruire il gruppo quoziente:
\eal{&\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\pgra{a+n\mathbb{Z}\;|\;a\in \mathbb{Z}}=
\mathbb{Z}_n
}
Quindi $(\mathbb{Z}_n,+)$, con l'operazione definita in
\see{propGquozHgruppo}, e' un gruppo! Il suo ordine e' $n$.\\
$\mathbb{Z}_n$ e' ciclico: $\mathbb{Z}_n=\gen{1+n\mathbb{Z}}=\gen{\ove 1}$,
dove con $\ove 1$ indichiamo la classe di resto di $1$.\\
Allora, per il cor \see{corggeneratoressecomprimoconn}, i suoi generatori sono
del tipo $m+n\mathbb{Z}=\ove m$ con $(m,n)=1$.\\
Consideriamo $8\mathbb{Z}$.\\
I suoi generatori sono:
\eal{&1, 3,5,7
}
I suoi sottogruppi avranno ordine:
\eal{&1,2,4,8 }
essi sono 
\eal{&\pgra{0+8\mathbb{Z}}=\pgra{[0]_8}\\
&\pgra{[0]_8,[4]_8}\\
&\pgra{[0]_8,[2]_8,[4]_8,[6]_8}\\
&\mathbb{Z}_8
}
\end{exemp}
\begin{prop}
	\label{propordinequoziente}
Dato $G$ finito e $H\le G$ normale, allora
\eal{&\Big|\frac{G}{H}\Big| = \frac{|G|}{|H|}}
\end{prop}
\begin{prop}\label{prop11051}
Dato $G$ qualsiasi, $H,K\le G:\;H\(K,\;H\T{ normale in  G}$, si ha
\eal{&K\T{ normale in } G \= \frac{K}{H}\T{ normale in } \frac{G}{H}
}
\end{prop}
\subsection{Gruppo prodotto}
\begin{defn}
$	HK=\pgra{hk\;|\;h\in H, \;k\in K}$
\end{defn}
\begin{prop}
\label{propHKgen}
Siano $H,K\le G$
	\eal{&HK\le G\= HK =\gen{H\U K}}
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{propHKeqKH}
Dati $H,K \le G$
\eal{&HK\le G \= HK=KH
}
\end{prop}

\begin{prop}
\label{propHnormaleHKnormale}
Siano $H,K\le G$
\eal{&H \T{ normale }  \| K\T{ normale } \> HK \le  G\\
&H,K\T{ normali }   \> HK \le  G\T{ normale} }
\end{prop}

\begin{prop}\label{propproHKnormalibanalialloraprodottointerno}
	Dati $G$ gruppo finito, $H,K\le G$ sottogruppi, con $K$ normale, si ha
	\eal{&\sist{H\^K =\pgra{\e}\\
	|G|=|H| |K| } \> G=HK
	}
\end{prop}

\begin{prop}Dato $G$ e $H,K\le G$,
	\label{propprodinternomodounico}
	\eal{
	&\sist{G=HK\\
	H\^K=\pgra{\e}
	} 
	\= \forall g\in G\;\exists
	!(h,k)\in H\*K:\;\;g=hk}
\end{prop}


\subsubsection{Prodotto interno ed esterno}
\begin{defn}
Sia dati due gruppi $(G, \.), (G', *)$, allora, definendo l'operazione 
\eal{&\*:G\*G'\*G\*G' \longrightarrow  G\*G'\\
&(g_1,g_1')\*(g_2,g_2') = (g_1g_2,g_1'g_2')
}
$(G\*G',\*)$ e' un gruppo e si chiama \emph{prodotto esterno} dei gruppi $G,G'$
\end{defn}
\begin{defn}
	Sia dato $G$ gruppo, se
	\eal{&H,K \le  G\T{ normali tali che }\sist{H\^K = \pgra{\e }\\
	G=HK}}
	allora diremo che $G$ e' prodotto interno di $H,K$.
\end{defn}
\begin{prop}
\label{prodestestinterno}\qq\\
$(G\*G',\.)$, il gruppo prodotto esterno di $G,G'$, e' prodotto interno di
$i_1(G),i_2(G')$, dove $i_1,i_2$ sono i seguenti omomorfismi
iniettivi (vedi \see{Omomorfismo tra gruppi})
\eal{
&i_1:G \longrightarrow  G\*G'\\
&i_1(g)=(g,\e')\\
&i_2:G' \longrightarrow  G\*G'\\
&i_2(g')=(\e,g')\\
}
Inoltre, poiche' $i_1,i_2$ sono iniettivi, abbiamo
\eal{&G\simeq i_1(G)\\
&G'\simeq i_2(G')
}
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{propprodinternocommutano}
Sia $G$ prodotto interno di $H,K$, allora gli elementi di $H,K$ commutano tra
loro, ovvero
\eal{&hk=kh\;\;\forall h\in H\forall k\in K}
\end{prop}
\begin{thm}
	\label{thmprodintestisomorfismo}
Dato il gruppo $G$ prodotto interno di $H,K$, si ha
	\eal{&G\simeq H\*K}
dove $H\*K$ e' il prodotto esterno di $H,K$.\\
In particolare, un isomorfismo e': 
\eal{&f:H\*K \longrightarrow  G\\
&f(h,k) = hk}
\end{thm}
\begin{exemp}
	Consideriamo il gruppo ciclico $G=(\mathbb{Z}_6,+)$.
	\eal{&G=\gen {1} \> G\T{ ciclico } \> G\T{ abeliano } \> \forall H \le  G\;\;H\T{
	normale } \\
	&t\div |G|=6  \ubrace{\>}{\see{thmordsottdivn}}  \exists !  H \le
	G:\;\;|H|=t}
quindi gli unici sottogruppi non banali di $G$ sono:
\eal{&H,K\le G,\;\;|H|=3,\;\;|K|=2\\
&H=\pgra{0, 2,4},\;\;K=\pgra{0,3}
}
abbiamo: 
\eal{
&H\^K=\pgra{0}\\
&|HK|  \ubrace{=}{\see{propordineprodottoHK}} \frac{|H| |K| }{|H\^K| }=
\frac{3\.2}{1}= 6 \> HK = G 
}
Quindi $G$ e' un prodotto interno di $H,K$, e per il thm
\see{thmprodintestisomorfismo}, si ha 
\eal{&\mathbb{Z}_6 \simeq H\*K}
e inoltre per la prop \see{propprodinternomodounico}, ogni $g\in
\mathbb{Z}_6$ si puo' scrivere in modo unico come somma di un elemento di $H$ e
di $K$: ad esempio, $5$ si puo' scrivere unicamente come $5=3+2$.
\end{exemp}

\subsubsection{Prodotto a piu' fattori}
\begin{defn}
	Possiamo estendere per induzione il prodotto esterno tra due gruppi al
	prodotto esterno tra $t$ gruppi. Poniamo:
	\eal{&(G_1\*G_2\*\dots\*G_t,\*) \definizione{=} 
	(G_1\*G_2\*\dots\*G_{t-1},\*) \* (G_t,\.)
	}
	Si dimostrano tutte le proprieta' che abbiamo gia' visto per il
	prodotto tra due gruppi.\\
	Analogamente si estende la definizione di prodotto interno: dato $A$
	ed $H_1,\dots,H_p\le A$ normali,  
	\eal{&
	A\T{ e' loro prodotto interno  } \definizione{\=}
	A\T{ e' prodotto interno di }
	H_i \T{ e } H_1H_2\dots H_{i-1}H_{i+1} \dots H_t\;\;\forall
	i=1,2,\dots,t
	 \=\\
	 &\qq \=
	 \sist{ H_i\^ (H_1H_2\dots H_{i-1}H_{i+1}\dots H_t)=\pgra{\e}\;\;\forall
	 i=1,2,..t\\
	 A=H_1H_2\dots H_t} \= \\
	 &\qq \=\forall a\in A\;\;\exists
	 !(h_1,h_2,\dots,h_t)\in
	 H_1\*H_2\*\dots\*H_t:\;\;a=\prod_{i=1}^{t}h_i
	}

	Poiche' per il thm \see{thmprodintestisomorfismo}  sussiste un
	isomorfismo tra il prodotto interno ed esterno, e poiche' per il thm
	\see{thmprodintestisomorfismo} un prodotto esterno e' anche un
	prodotto interno, in seguito, a volte, non specificheremo se $G$ e' un
	prodotto interno o esterno.
\end{defn}
\begin{prop}
	\label{propmultifattcard}
Sia  $G=G_1\*G_2\*\dots\*G_t$, allora
\eal{&
|G| < +\infty \= |G_i| < +\8 \;\;\forall i=1,2,\dots,t
}
E in particolare, se $|G|< +\8$, si ha
\eal{&|G|=\prod_{i=1}^{t}|G_i|}
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{propmultifattabelian}
Sia  $G=G_1\*G_2\*\dots\*G_t$, allora
\eal{&
G \T{ e' abeliano } \= G_i \T{ e' abeliano } \;\;\forall i=1,2,\dots,t
}
\end{prop}

\begin{prop}
Sia  $G=G_1\*G_2\*\dots\*G_t$, allora e' facile verificare che:
	\eal{&Z(G)=Z(G_1)\*Z(G_2)\*\dots\*Z(G_t)}
\end{prop}

\begin{prop}
	\label{propmultifattordineg}
Sia  $G=G_1\*G_2\*\dots\*G_t$, allora preso $g=(g_1,\dots,g_t)\in G$
\eal{&
o(g) < +\8 \= o(g_i) < +\8 \;\;\forall i=1,2,\dots,t
}
E in particolare, se $o(g)< +\8$, si ha
\eal{&o(g) = \mcm(o(g_1),o(g_2),\dots,o(g_t))
}
\end{prop}
\begin{prop}
\label{propmultifattciclico}
Sia  $G=G_1\*G_2\*\dots\*G_t$, finito, allora 
\eal{&
\sist{G\T{ e' ciclico } \\
G=\gen{g}} \= \sist{ G_i\T{ e' ciclico }\;\;\forall i=1,2,\dots,t\\
G_i=\gen{g_i}\\
(|G_i|,|G_j|)=(o(g_i),o(g_j))=1\;\;\forall i \neq j}}
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{propisodiZnprodottoZmconZnm}
	Considerando $(\mathbb{Z}_n,+),\;\;(\mathbb{Z}_m,+)$, si ha
	\eal{&(n,m) =1 \= \mathbb{Z}_n\*\mathbb{Z}_m\simeq \mathbb{Z}_{nm}}
	e in particolare, l'isomorfismo e'
	\eal{&\phi([i]_{nm}) = ([i]_n,[i]_m)
	}
\end{prop}
\begin{prop}\label{propG1prodG2estciclico}
Dati $G_1,G_2$ gruppi ciclici di ordine $n,m$,
\eal{&(n,m) =1 \= G_1 \* G_2 \T{ e' ciclico }}	
\end{prop}

\subsection{Omomorfismo tra gruppi}
\begin{defn}
	\label{omomorfismo}
Dati due gruppi $(G,\.),(G',*)$,
\eal{&f:G\longrightarrow G'\T{ e' un omomorfismo }\= 
f(a\.b)=f(a)* f(b)
}
Nota: da ora in poi indicheremo con il solo simbolo $\.$ le due operazioni. \\
Se $f$ e' iniettiva, si dira' \emph{immersione}.\\
Se $f$ e' surriettiva, si dira' \emph{epimorfismo}.\\
Se $f$ e' biettiva, si dira' \emph{isomorfismo}.\\
\ilabel{immersione}
\ilabel{isomorfismo}
\ilabel{epimorfismo}

Definiamo l'insieme di tutti gli omomorfismi da $G$ a $G'$:
\eal{&\Hom(G,G') \definizione{=} \pgra{f:G\longrightarrow G'\T{ omomorfismo}}}
\ilabel{Hom}
\end{defn}
\begin{prop}
	\eal{&1.\;\;f(\e)=\e'\\
	&2.\;\;\inv{(f(a))}=f(\inv a)\\
	&3.\;\;f,g\T{ omomorfismi } \> f\o g \T{ omomorfismo }
	}
	dove $\e$ e' l'elemento unita' di $G'$.
\end{prop}
\begin{exemp}
	\eal{&f:(\mathbb{Z},+)\longrightarrow (\mathbb{Q},+)\\
	&f(z)=z+1}
	non e' un omomorfismo perche' $f(0)=0+1 \neq 0$.
\end{exemp}
\begin{defn}
\label{kernel}
\eal{&\ker f = \pgra{a\in G \;|\;f(a)=\e'} }
di sicuro $\e\in \ker f$.
\end{defn}
\begin{prop}
	$\ker f = \pgra{\e}\= f\T{ e' iniettiva}$
\end{prop}
\begin{prop}
\label{propvarisottogruppiconfomo}
	\eal{&\Im f \le  G'\\
	&\ker f \le  G\\
	&H\le G \> f(H) \le G'\\
	&H'\le G' \> \inv f(H')\le G}
	dove $\inv f(H')$ e' la controimmagine di $H'$
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{propHnormalefHnormale}
	Sia $f:G\longrightarrow G'$ un omomorfismo,
	\eal{&f\T{ surriettivo, }H\le G\T{ normale } \> f(H)\T{ e' normale}}
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{propH'normalef-1Hnormale}
Sia $f:G\longrightarrow G'$ un omomorfismo,
\eal{&H' \le  G'\T{ normale } \> \inv f(H') \le G\T{ normale }
	}
\end{prop}
\begin{cor}\label{kerfnormale}
	Sia $f:G\longrightarrow G'$ omomorfismo.
	\eal{&\ker f \le  G\T{ e' normale}}
\end{cor}
\begin{prop}
	\label{propGciclicoalloraImfciclico}
	Sia $f:G\longrightarrow G'$ un omomorfismo e sia $g\in G$, si ha
	\eal{&1.\;\;G\T{ ciclico } \> \Im f  \T{ ciclico}\\
	&2.\;\;o(g)< +\8 \> o(f(g))\div o(g) }
Se $f$ e' un isomorfismo, $f$ preserva ogni proprieta' di $G$ e
quindi $o(f(g))=o(g)$.
\end{prop}
\begin{prop}
	Sia $G=\gen g$, allora
	\case{$|G|=n$}
	\case{$|G|=+\8$}
Dove $\Hom(G,G')$ e' l'insieme definito in \see{Hom}.\\
In altre parole, quando $G$ e' ciclico, conosciamo esplicitamente tutti gli
omomorfi da $G$ a $G'$.
\end{prop}
\def\f{{\varphi}}
\begin{thm}
	\label{thmomo}
	\ilabel{teorema omomorfismo}
Dato un omomorfismo $f:G\longrightarrow G'$, si ha
	\[
\xymatrix{ G \ar[d]^{\pi} \ar[r]^f & G'\\ G/_{\ker f} \ar[ur]_{\f} }
\]
con $f=\f \o \pi$ e $\pi(a)=a\ker f$.\\
Inoltre, $\f$ 
e' un omomorfismo, ed e' iniettiva.\\
	\label{corthmomo}
Se consideriamo la restrizione del codominio di $\f$ alla sua
	immagine:
	\eal{&\f:G/ \ker f \longrightarrow  \Im \f
	}
abbiamo che $\f$ e' un isomorfismo e quindi
\eal{&G/ \ker f  \simeq\Im \f=\Im f
}
In particolare, 
\eal{&f\T{ surriettiva} \> \Im f= G' \> G/ \ker f  \simeq G'}
\end{thm}
\begin{cor}
	\label{corcardGkerIm}
Se $G$ e' finito, dato $f:G\longrightarrow G'$ omomorfismo si ha
\eal{&
\Big|\frac{G}{\ker f}\Big|= \frac{|G|}{|\ker f | }=|\Im f | 
}
	o equivalentemente
	\eal{&
|G|=|\ker f | |\Im f| \= 
	\ig {\ker f} = |\Im f|}
\end{cor}
\begin{cor}
	Dal cor \see{corcardGkerIm} segue immediatamente che
	\eal{&|\Im f| \div |G|
	}
Inoltre, se $G'$ e' finito, per Lagrange, si ha
\eal{&|\Im f | \div |G'| }
\end{cor}
\begin{thm}
\label{ognigruppociclicoisomorfoZn}
Ogni gruppo ciclico e' isomorfo a $\mathbb{Z}_n$ o a $\mathbb{Z}$.\\

	Sia $G=\gen{a}$ un gruppo ciclico finito, con $|G|=n$, allora
	\eal{&(G,\.)\simeq(\mathbb{Z}_n,+)
	}
	Se invece, $G=\gen{a}$ e' un gruppo ciclico infinito, allora
	\eal{&(G,\.)\simeq(\mathbb{Z},+)
	}
\end{thm}

\begin{exemp}
	\eal{&(\mathbb{R}/_{\gen{2\pi}}, +) \simeq (S^1, \.)}
	dove $S^1$ e' la sfera unitaria a una dimensione, ovvero la circonferenza
	unitaria.
\end{exemp}
\begin{thm}
	teorema dell'isomorfismo I.\\
	\ilabel{teorema isomorfismo I}
	\label{thmisomI}
Dati  $H,K\le G$, 
\eal{&K \T{ normale in }G \> \frac{H}{H\^ K }\simeq \frac{HK}{K}
}
\end{thm}
\begin{cor}
	\label{propordineprodottoHK}
	Dati $H,K\le G$ finiti\footnote{$G$ non e' necessariamente finito}, con $K$ normale, si ha
\eal{&|HK| = \frac{|H| |K|}{|H\^K|}
}
\end{cor}
\begin{cor}
	\def\p{{\psi}}
Dati $H,K\le G$, con $K$ normale in $G$, si ha:
\eal{&\p\T{ e' surriettiva } \= G=HK
}
dove 
\eal{&\p:H\longrightarrow\frac{G}{K}\\
&\p(h)=hK}
\end{cor}

\begin{thm}
	dell'isomorfismo II.\\
	\ilabel{teorema isomorfismo II}
	\label{thmisomII}
Dati $H,K \le G$, entrambi normali, 
\eal{&H \( K \> \frac{G/H}{K/H}\simeq \frac{G}{K}
}
\end{thm}
\begin{prop}
	Nelle ipotesi del teorema precedente (\see{thmisomII}), considerando
	\begin{center}
	\xymatrix{
	\frac{K}{H} \ar[r]^i& \frac{G}{H}\ar[r]^{\varphi} & \frac{G}{K}
	\ar[dl]^{\beta} \\
	&	\pgra{\e} \ar[ul]^{\alpha} & 
	}
	\end{center}
	con 
	\eal{&\alpha(\e)=H\\
	&\beta(aK)=\e\;\;\forall aK \in  \frac{G}{K}
	}
	si ha che in ogni posto della sequenza, l'immagine dell'omomorfismo
	precedente e' uguale al nucleo dell'omomorfismo successivo.\\
	Si suole dire che questa e' una \emph{sequenza esatta corta} di 4
	omomorfismi.\\
Questo tipo di sequenze viene studiato in algebra omologica.
\end{prop}
\def\f{{\varphi}}
\begin{thm}
	teorema di corrispondenza.\\
	\label{thmcorrispondenza}
	Dato l'omomorfismo $\f:G\longrightarrow G'$, surriettivo, si ha
	\eal{&
	|\pgra{H\le G\;|\;H\) \ker \f}|=
	|\pgra{H' \le  G'}|
	}
	La biezione $f$ tra i due insiemi e' indotta da $\f$ stessa:
	\eal{&
f:M\longrightarrow N\\
&f(H)=\f(H)
}
dove $M,N$ sono i due insiemi.
\end{thm}
\begin{cor}
	\label{corcorrispondenza}
Se consideriamo solo i sottogruppi normali di $G$ e $G'$, il thm di
corrispondenza vale ancora, ovvero
\eal{&|\pgra{H'\le G'\T{ normale }}| = |\pgra{H\le G\T{ normale } \;|\; H\)
\ker \f}
}
\end{cor}

\begin{exemp}
Se $|G'|=p$, dove $p$ primo, 
\eal{&|G'|=p\T{ primo }  \ubrace{\=}{\see{coroGestpprimobanali}} \pton{H' \le
G'\> H'=\pgra{\e}\| H'=G' } \=  N=\pgra{\pgra{\e},G'}
}
Allora, per il thm di corrispondenza \see{thmcorrispondenza},
\eal{&|M|=|N|=2 \> M=\pgra{\ker \varphi,G}
}
\end{exemp}

\subsubsection{Teorema di Cayley}
\begin{thm}
	\ilabel{cayley}
	teorema di Cayley.\\
	\eal{&\exists f:G\longrightarrow S(G)\T{ immersione }
	}
	Un'immersione e' un omomorfismo iniettivo.\\
	Equivalentemente, possiamo dire che $f:G\longrightarrow \Im f$ e' un
	omomorfismo, con $\Im f\le S(G)$.\\
	Inoltre, una tale immersione e'
	\eal{&f(a)=T_a\\
	&T_a(x)=ax}
	$T_a$ si chiama traslazione sinistra tramite $a$.
\end{thm}
\begin{exemp}
Sia $|G|=8$, allora
\eal{&G\stackrel{f}{\longrightarrow} S(G) \simeq S_8}
\end{exemp}
\begin{thm}
	teorema di Cayley generalizzato.\\
	\label{cayleyII}
	Sia $(G,\.)$ un gruppo. 
	Preso un $H\le G$, sia $G/_sH=\pgra{aH}_{a\in G}$ l'insieme quoziente
	su $G$ indotto dalla relazione d'equivalenza $\congs (H)$ (vedi
	\see{modulo H}). Allora, 
	\eal{&\exists f:G\longrightarrow S(G/_sH)\T{ omomorfismo}}
	Valgono inoltre le seguenti proprieta':
	\begin{enumerate}
		\item $f$ potrebbe non essere iniettivo.
		\item $K=\ker f \( H$
		\item $K$ e' il piu' grande sottogruppo normale in $G$, contenuto in
			$H$:
			\eal{&N\( H \T{ normale in G } \> N\( K}
		\item $\ker f=\pgra{a\in G\;|\;\forall x\in G\;\;axH=xH}$
	\end{enumerate}
\end{thm}

\begin{cor}
	\label{corcayley1}
	\eal{&\sist{H\le  G,\;\;|H|=p\T{ primo}\\
	 |G|\nmid \ig H!
	 } \> H\T{ e' normale }}
\end{cor}
\begin{cor}
	\label{corcayley2}
	\eal{&\sist{|G|=pq,\;\;p\ge q,\;\;p \T{ primo }\\
	H\le G,\;|H|=p
	}  \> H\T{ normale } }
\end{cor}
\begin{exemp}
	$ |G|=5\.4=20,\;|H|=5 \> H\T{ normale }$
\end{exemp}

\begin{exemp}
	\label{gruppodiordinepari}
$G$ gruppo, $|G|=2n$, allora

		$\exists H\le G:\;|H|=2$\\
Se inoltre $n$ e' dispari, si ha 
	
$\exists H \le G:\;|H|=n$
\end{exemp}


\subsection{Azione di un gruppo}
\def\O{{\mathcal{O}}}
\ilabel{azione}
\begin{defn}
Sia dato un gruppo $G$ e un insieme $X$, definiamo l'\emph{azione} $*$ del
gruppo $G$ su $X$ come la funzione:
\eal{&*:G\*X \longrightarrow X\\
&(g,x)\mapsto g*x
}
che rispetta le seguenti proprieta':
\eal{&\e*x=x\;\;\forall x\in X\\
&(a\.b)*x=a*(b*x) \;\;\forall a,b\in G\;\;\forall x\in X
}
In altre parole, ogni elemento $g\in G$ puo' essere visto come la funzione:
\eal{&g*:X\longrightarrow X}
che porta un elemento di $X$ in un altro elemento di $X$.\\
\end{defn}
\begin{prop}
	\label{propgazestbiettiva}
	La funzione $g*:X\longrightarrow X$ e' biettiva, ovvero $g* \in
	S(X)$, e inoltre
	\def\f{{\varphi}}
	\eal{&\f:G\longrightarrow S(X)\\
	&\f(g)=g*}
	e' un omomorfismo tra gruppi.
\end{prop}
\begin{defn}
	Definiamo lo stabilizzatore di $x$:
	\eal{&\St(x)=\pgra{g\in G\;|\;g*x=x}}
	certamente $\e\in \St(x)$.
\end{defn}
\begin{prop} 
	$\St(x) \le  G$\\
	Ovvero, lo stabilizzatore di $x$ e' un sottogruppo di $G$.
\end{prop}
\begin{defn}
	Definiamo l'\emph{orbita} di $x\in G$:
	\eal{&\O(x)=\pgra{g*x\;|\;\forall g\in G}
	}
	ovvero e' l'insieme di tutti gli elementi di $X$ a cui $x$ e'
	associato tramite una $g*$.\\
	Poiche' $\e*x=x$, $x\in \O(x)$.\\
	Se $\O(x)=X$, $\O(x)$ si dira' transitiva.
\end{defn}
\begin{prop}
	\label{propOpartizione}
L'insieme di tutte le orbite e' una partizione di $X$.
\end{prop}
\begin{prop}\qq\\
	\label{propcardOeqcardSt}
Per ogni $x\in X$, si ha
\eal{	|\O(x)| = \ig {\St(x)} }
	Nota: questo vale sia nel caso finito che in quello infinito.
\end{prop}
\begin{cor}
	\label{corazionelagrange}
	\label{corpropcardOeqcardSt}
Se $G$ e' finito, dalla precedente proposizione e dal teorema di Lagrange, si
ha:
\eal{&|G|= |\St(x)|\ig{\St(x)}\\
&|G| =|\St(x)| |\O(x) |
}
\end{cor}
\begin{exemp}
Con	$G$, $X=G$ consideriamo l'azione
\eal{&T:G\* X \longrightarrow X\
&T(g,x) =gx}
chiamata \emph{traslazione}
\ilabel{traslazione}
si ha
\eal{&\O(x)=X\T{ infatti}\\
&\qq y\in X=G \> gx=y \= g=y\inv x\\
&\St(x)=\pgra{\e}
}
\end{exemp}
\begin{lem}
	\label{lemmacauchy} Dato $|G|$, con $|G|=p$ primo, si ha:
	\eal{&1.\;\;
	\forall x\in X \;\;|\O(x)|=1\|  |\O(x)|=p\\
	&2.\;\;|X|=\lambda p,\;\exists x\in X:\;|\O(x)|=1 
	\> |Y|=\mu p \ge  p,\;\;\T{ dove } Y=\pgra{y\in X\;|\;|\O(y)|=1}
	}
	In sostanza, la seconda proposizione dice che se $|X|$ e' un multiplo
	di $p$ e se esiste almeno un $x$ la cui orbita ha un solo elemento,
	allora il numero di tutti gli $y\in Y$ la cui orbita ha un solo
	elemento e' un multiplo di $p$.\\
	(ovviamente $\lambda,\mu \neq 0$).
\end{lem}
\begin{thm}
	di Cauchy.\ilabel{thmdicauchy}
	\label{thmcauchy} \ilabel{teorema di Cauchy}
	\eal{&|G|=n,\;p\T{ primo}, p\div n \> \exists H\le G:\;|H|=p\\
	&\exists H\le G:\;|H|=p \= \exists a\in G:\;o(a)=p \= \exists a\in
	G:\;\sist{a^p=\e\\
	a \neq \e}
	}
\end{thm}

\subsubsection{Azione di coniugio}
Con $G$, $X=G$, consideriamo la seguente azione\footnote{e' immediato
verificare che si tratta di una azione}:
\eal{&g*x=g x \inv g}
che viene detta \emph{azione di coniugio} o di coniugazione.\\
\ilabel{coniugio}
\begin{prop}
	\label{propazcentraliz}
$\St(x)= C(x)$\\
dove $C(x)$ e' il centralizzante di $x$ (vedi \see{centro})
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{propazioneZcentro}
	\eal{&\O(x)=\pgra{x}\=x\in Z(G)}\\
	Poiche' per la prop \see{propOpartizione} $\O(x)$ e' una classe, si ha
	che ogni elemento del centro individua una classe.
\end{prop}
\begin{prop}
	\ilabel{equazione di classe}\label{equclasse}
	Se $G$ e' finito, si ha \emph{l'equazione di classe}:
\eal{&|G|=
|Z(G)| + \sum_{z\in F
} |\O(z)| = 
|Z(G)| + \sum_{z\in F
} \frac{|G|}{|C(z)|}\\
&F=f(\pgra{\O(x)\;|\;x\notin Z(G)})\\
&f:\pgra{\O(x)}_{x\in X}\longrightarrow X\T{ tale che } f(\O(x))\in
\O(x)
}
In altre parole, la sommatoria e' estesa a tutti gli elementi esterni a $Z(G)$
e presi uno per orbita.
\end{prop}
\begin{prop}\label{Hnormalesseunionediorbite}
$H\le G$ normale $ \= $ H  e' unione di orbite.
\end{prop}
\section{p-gruppo}
\begin{defn}
	\eal{&G\T{ e' un $p$-gruppo} \definizione{\=} |G|=p^k,\;\;p\T{
	primo},\;k>0}
\end{defn}
\begin{prop}
\label{propcaratpgruppo}
\eal{&G\T{ e' un $p$-gruppo} \= \forall a\in G\-\{\e\}\;\exists i\in
\mathbb{N}:\;\;o(a) = p^i}
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{propcardorbitadixpgruppi}
	Sia $X$ l'insieme su cui agisce $G$, si ha
\eal{&G\T{ $p$-gruppo},\;|G|=p^k \> \forall x\in X\;\;\exists
t:\;|\O(x)|=p^t,\;\;0\le t\le k }
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{proppgruppoZnonbanale}
	\eal{&G\T{ $p$-gruppo } \> \pgra{\e}  \subsetneq
	Z(G),\;\;|Z(G)|=p^t,\;\;1\le t\le k}
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{propcatenasottogruppinormaliinGpgruppo}
Dato $G$ con $|G|=p^k$, $p$ primo, allora
\eal{& \exists H_1,H_2,\dots,H_k \le G\T{ normali }\T{ tali che }\\
&\qq \pgra{\e}\( H_1 \( H_2 \( \dots \( H_k=G\\
&\qq |H_i|=p^i,\;\;i=1,2,\dots,k}
Si suol dire che esiste una catena di sottogruppi normali di $G$, di ordine
$1,p,\dots,p^k$.
\end{prop}

\begin{prop}
	\label{proppgruppikunodue}
Studiamo i $p$-gruppi di ordine $p^k,\;k=1,2$:
\end{prop}

\begin{prop}
	\label{propgruppo2p}
Dato $G$ con $|G|=2p$, con $p>2$ primo, si hanno questi due soli casi:
\case{$G$ e' ciclico}
\case{$G\simeq D_p$}
\end{prop}
\subsection{Teorema di Sylow}
\begin{thm}
	di Sylow \ilabel{teorema di Sylow}\label{thmdisylow}\\
Sia $G$, $|G|=n$ e 
$k=\max\pgra{i\in \mathbb{N}\;|\;p^i\div  n}$, con $p$ primo, allora valgono le seguenti proposizioni:
\begin{enumerate}
	\item $\exists H \le G:\;|H|=p^k$\\
		$H$ viene chiamato \emph{$p$-sottogruppo} di Sylow
	\item $H,H'$ sono due $p$-sottogruppi di Sylow, allora
		\eal{&\exists a\in G:\;\;H'=aH\inv a}
		ovvero $H,H'$ sono coniugati
	\item Sia $K\le G$, si ha
		\eal{&|K|=p^i,\;i\le k \> \exists H\T{ $p$-sott. di Sylow tale
		che }K\( H}
	\item Sia $t$ il numero di $p$-sottogruppi di Sylow, allora
		\eal{&t\div m,\;\;t=1\;\;(\mathbb{Z}_p)}
		dove $m$ e' t.c.:
		\eal{&n=p^k m,\;\;(m,p)=1}
		Nota\footnote{Il numero $m$ nasce cosi':
		\eal{&p^k\div n \> n=p^km}
		se per assurdo $(m,p)>1$, poiche' $p$ e' primo si avrebbe:
		$m=p^t$, e quindi, $n=p^{k+t}$, ma questo e' assurdo perche'
		$p^k$ e' il massimo delle potenze di $p$ che dividono $n$.
		}
\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{prop}
\label{propviceversauniconormale}
$|G|=n$, $|H|=m$, $H\le G\T{ di Sylow}$
\eal{&{
H\T{ normale } \=
\T{ H e' l'unico sottogruppo di ordine $m$ }
}}
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{propcarddiGprodottodiprimi}
	\eal{&\sist{|G|=pq,\;\;q>p,\;\T{ primi }\\
	p\ndiv q-1} \> G=\gen{ab}\T{ dove, $o(a)=p,\; o(b)=q$ }
	}
\end{prop}

\section{Classificazione degli abeliani}
\begin{lem}
	\label{lemmaclassificazione}
	Sia $G$ un gruppo abeliano, con $|G|=p^r$, $p$ primo, allora
	\eal{&G\simeq H_1\* H_2 \* \dots \* H_t}
	dove ogni $H_i$ e' un gruppo ciclico.
\end{lem}
\begin{thm}
	\label{thmclassgruppiabeliani}
	Dato un gruppo abeliano finito $G$, tale che $|G|=n$, allora se
	$n=p_1^{r_1}p_2^{r_2}\dots p_t^{r_t}$ e' la fattorizzazione di $n$, si ha
	che 
	\eal{&\forall i=1,2,\dots, n \;\;\;\exists ! H_i\le
	G:\;\;|H_i|=p_i^{r_i}\\
	&G\simeq H_1\*H_2\*\dots\*H_t\\
	&\T{dove } H_i \simeq K_{i1}\*K_{i2}\*\dots\*K_{it_i}\;\;i=1,2,\dots,t\\
	&\qq K_{ij} \T{ e' ciclico }\;\;\forall i,j
	}
	In altre parole, $G$ e' isomorfo al prodotto di gruppi ciclici.
\end{thm}
\begin{exemp}
	In congiunzione con le prop.  \see{propisodiZnprodottoZmconZnm},\see{propG1prodG2estciclico}, il thm
\see{thmclassgruppiabeliani} permette di classificare
tutti i gruppi abeliani.\\
Ad esempio, consideriamo $G$ abeliano, con $|G|=84$, avremo
\eal{&|G|=84=2^2\.3\.7\\
&G\simeq H_1 \* H_2 \* H_3,\;\;\;
|H_1|=3, |H_2|=7, |H_3|=4
\\
&H_1\T{ ciclico } \> H \simeq \mathbb{Z}_3\\
&H_2\T{ ciclico } \> J \simeq \mathbb{Z}_7\\
&H_3 \simeq \T{prod. gruppi ciclici} \> H_3 \simeq \mathbb{Z}_4  \| H_3
\simeq \mathbb{Z}_2\*\mathbb{Z}_2
}
Quindi, questi sono gli unici casi possibili:
\eal{
&G\simeq \mathbb{Z}_3\*\mathbb{Z}_7\*\mathbb{Z}_4 \simeq \mathbb{Z}_{84}\\
&G\simeq \mathbb{Z}_3\*\mathbb{Z}_7\*\mathbb{Z}_2\*\mathbb{Z}_2 \simeq
\mathbb{Z}_{42}\*\mathbb{Z}_2
}
\end{exemp}
\begin{prop}\label{abelianomdividenalloraesistesottogruppo}
	Sia dato $G$ abeliano, $|G|=n$, allora si ha
	\eal{& m \div n \> \exists H \le G:\;|H| = m}
\end{prop}
\begin{prop}
Sia dato $G$ abeliano, $|G|=n$, allora si ha
\eal{&\forall p\T{ primo }:\;p\div n \;\;\exists ! H\le G:\;\;|H| =p \= G\T{
e' ciclico}
	}
\end{prop}

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\include{studiogruppi}
\include{esercizi}
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\end{document}