%        File: algebraII.tex
%
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% (c) Copyright 2007 Andrea Lo Pumo aka AlpT <alpt@freaknet.org>
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%

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{xr-hyper}
\usepackage{amath}

\def\Z{{\mathbb{Z}}}
%%%% algebra defs
\def\.{\cdot}
\def\e{\textbf{e}}
\def\cong{{\equiv}}
\def\congs{{\equiv_s}}
\def\congd{{\equiv_d}}
\def\ig#1{{i_{G}(#1)}}
\def\mid{\div}
\def\nmid{\ndiv}
\def\St{{\operatorname{St}}}
%%%%

\def\Lagrange{{\T{Lagrange \see{thmdilagrange}}}}

\externaldocument[AL-]{alineare}[../lineare/alineare.pdf]
\externaldocument[AI-]{algebraI}[../1/algebraI.pdf]
\ifpdf
\newcommand{\AL}[1]{\T{[AL,\ref{AL-#1},pg.\pageref{AL-#1}]}}
\newcommand{\AI}[1]{\T{[AI,\ref{AI-#1},pg.\pageref{AI-#1}]}}
\else
\newcommand{\AL}[1]{\T{[AL,x.y.z,pg.xy]}}
\newcommand{\AI}[1]{\T{[AI,x.y.z,pg.xy]}}
\fi


\begin{document}
\title{Algebra II}
\author{AlpT (@freaknet.org)}

\pagenumbering{roman}
\maketitle{}

\begin{abstract}
Questo testo e' una rielaborazione personale degli appunti presi durante
il corso di Algebra II, tenuto dal Prof. Rosario Strano presso il dipartimento di
Matematica, Catania, A.A. 2007/2008.\\
Saro' ben lieto di correggere ogni eventuale errore che mi comunicherai.

Buon lettura.
\begin{center}
	\verb|^_^|
\end{center}
\end{abstract}

\input{gpl}
\clearpage
\tableofcontents
\clearpage
\pagenumbering{arabic}


\let\oldsection\section
\renewcommand{\section}[1]{\oldsection{#1}\ilabel{#1}}
\let\oldsubsection\subsection
\renewcommand{\subsection}[1]{\oldsubsection{#1}\ilabel{#1}}
\let\oldsubsubsection\subsubsection
\renewcommand{\subsubsection}[1]{\oldsubsubsection{#1}\ilabel{#1}}


\section{Teoria dei gruppi}
\ilabel{gruppoide}
\begin{defn}
Un \textbf{gruppoide} $(M,\.)$ e' un insieme non vuoto $M$ dotato di un'operazione binaria
interna $\.$, ovvero
\eal{&M\neq \0\\
&\.:M\times M\longrightarrow M
}
E' da notare che $\.$ deve essere definita per ogni coppia $(a,b)$ con $a,b\in
M$ e deve essere ben definita\footnote{se gli elementi sono delle classi,
l'immagine della coppia non deve dipendere dai rappresentanti degli elementi.
Ad esempio, la legge
\eal{&\pton{\frac{x}{y}+\frac{t}{z}} \longrightarrow \frac{x+t}{y+z}
}
con $x,y,z,t \in \mathbb{Q}_{>0}$, non e' ben posta:
\eal{&\pton{\frac{3}{4},\frac{4}{1}}\longrightarrow \frac{7}{5}\\
&\pton{\frac{6}{8},\frac{12}{3}}\longrightarrow \frac{18}{11}
}
}.
\end{defn}
\begin{defn}
\ilabel{semigruppo}
Un \textbf{semigruppo} $(S,\.)$ e' un gruppoide dotato della proprieta' associativa:
\eal{
&\forall a,b,c\in S\;\;a\.(b\.c)=(a\.b)\.c
}
\end{defn}
\begin{prop}
Per la proprieta' associativa, presi $a_1,\dots,a_n\in S$ e fissati $1\le i
\le  n,\;\;1\le j\le n$,
si ha 
\eal{&
(a_1\cdots a_{i-1})\. (a_i\cdots a_n )
=
(a_1\cdots a_{j-1})\. (a_j\cdots a_n )
}
In altre parole, usando le parentesi per specificare un qualsiasi ordine delle
moltiplicazioni, non cambia il risultato (f.e., $(ab)cd=a(bc)d$)
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf per induzione su $n$, e per fissare le idee supponiamo $i<j$
	\eal{&n=3: \T{ vera per def. di prop. associativa}\\
	&Hp: 3<m<n \T{ vera}\\
	&n:\;\; 
	(a_1\cdots a_{i-1})\. \ubrace{(a_i\cdots a_n )}
	{\T{qui vale l'Hp ind.}}=
	(a_1\cdots a_{i-1})\. (a_i\cdots a_j)\.(a_{j+1}\cdots a_n )\\
	&\qq \ubrace{=}{\T{prop. ass.}} 
	((a_1\cdots a_{i-1})\. (a_i\cdots a_j))\.(a_{j+1}\cdots a_n )=
	((a_1\cdots a_{i-1})\. (a_i\cdots a_{j-1})\.a_j)\.(a_{j+1}\cdots a_n)=\\
	&\qq = (((a_1\cdots a_{i-1})\. (a_i\cdots a_{j-1})\.a_j))\.(a_{j+1}\cdots a_n)=\\
	&\qq = ((a_1\cdots a_{j-1})\.a_j)\.(a_{j+1}\cdots a_n)
	= (a_1\cdots a_{j-1})\.(a_j\.(a_{j+1}\cdots a_n))=\\
	&\qq= (a_1\cdots a_{j-1})\.(a_j\cdots a_n)}
	\qed
\end{prova}
\begin{defn}
	\ilabel{operazioni}
	\ilabel{potenza}
In un semigruppo $(S,\.)$, definiamo l'operazione di potenza:
\eal{&a^0=1\\
&a^n=a\.a^{n-1},\;\;n\in \mathbb{N}
}
\end{defn}
\begin{prop}
Valgono le seguenti proprieta':
\eal{&a^m\.a^n=a^{m+n}\\
&(a^{m})^n=a^{mn}
}
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
	\eal{&a^m\.a^n=\ubrace{a\cdots a}{m \T{volte}}\ubrace{a\cdots a}{n
	\T{volte}}=\ubrace{a\cdots a}{m+n \T{volte}}=a^{m+n}\\
	&(a^{m})^n=\ubrace{a^{m}\cdots a^m}{n \T{volte}}=
	a^{\obrace{m+\dots+m}{n\T{ volte}}}=
	a^{mn}
}
\end{prova}
\begin{defn}
	\ilabel{elemento unita'}
	In un semigruppo puo' esistere l'\textbf{elemento unita'} $e$:
	\eal{&e\T{e' elem. unita' di S} \= \forall a \in S\;\;a\.e=e\.a=a }
\end{defn}
\begin{prop}
L'elemento unita', se esiste, e' unico.
\begin{prova}
	\pf Supponiamo che ne esistano due diversi $e,e'$, allora per
	definizione $ee'=e',\;e'e=e,\;ee'=e'e,\;e'=e$.
\end{prova}
\end{prop}
\begin{defn}
	\ilabel{inverso}
In un semigruppo $(S,\.)$ con unita' $\e$,
l'elemento \textbf{inverso} $a'$ di $a\in S$ e' t.c.
\eal{&a\in S\T{ e' invertibile } \= \; \exists a'\in S:\;\;aa'=a'a=\e}
$a'$ e' chiamato inverso di $a$ e si indica con $\inv a$.
\end{defn}
\begin{prop}
	L'elemento inverso e' unico.
	\begin{prova}
		\pf Supponiamo che ne esistano due distinti $a',a''$, ovvero
\eal{&aa'=a'a=aa''=a''a=\e\\
&aa'=aa''\=a'aa'=a'aa''\=(a'a)a'=(a'a)a''\=a'=a''}
	\end{prova}
\end{prop}
\begin{defn}
	\ilabel{gruppo}
Un gruppo $(G,\.)$ e' un semigruppo dotato di elemento unitario, in cui tutti
gli elementi sono invertibili, esplicitamente:
\eal{&G\neq \0\\
&\.:G\times G\longrightarrow G\\
&\forall a,b,c \in G\;\;(ab)c=a(bc)\\
&\exists \e\in G:\;\forall a\in G\;\;a\e=\e a=a\\
&\forall a\in G\;\exists \inv a\in G:\;\;a\inv a=\inv a a=\e
}
Se vale la proprieta' commutativa, il gruppo viene detto \emph{abeliano}:
\eal{&\forall a,b\in G\;\;ab=ba}
\end{defn}
\begin{defn}
	\index{operazioni}
	\ilabel{potenza gruppo}
In un gruppo $(G,\.)$, possiamo estendere la potenza definita nei semigruppi:
\eal{
&a^{-n}=\inv {(a^{n})} = (\inv a)^n,\;\;n\in \mathbb{N}
}
quindi, in generale, e' ben definito l'elemento $a^z,\;\;z\in \mathbb{Z}$.\\
\end{defn}
\begin{prova}
	\step{}{Dimostriamo che $\inv {(a^{n})} = (\inv a)^n$}
\begin{prova}
\eal{&\T{l'inverso di $a^n$ e' proprio $(\inv a)^n$, infatti,}\\
&a^n(\inv a)^n=
\ubrace{a\cdots a}{\T{n volte}} \ubrace{\inv{a}\cdots \inv{a}}{\T{n volte}} = \e
}
\end{prova}
\end{prova}

\begin{prop}
Valgono le seguenti proprieta':
\eal{&a^m\.a^n=a^{m+n},\;\;m,n\in\mathbb{Z}\\
&(a^{m})^n=a^{mn}\\
&\inv{(ab)}=\inv b\inv a
}
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
	\eal{&ab\inv b\inv a = a\e\inv a = a\inv a=\e\=(\inv b \inv a) \T{ e'
	l'inverso di } ab}
\end{prova}

\begin{prop}
Valgono le leggi di cancellazione (a sinistra e a destra) in un qualsiasi
gruppo:
\eal{&ab=ac\;\> \;b=c\\
&ba=ca \> b=c
}
\begin{prova}
	\pf
	\eal{&
ab=ac\>\inv a a b = \inv a a c\=\e b=\e c\=b=c\\
&ba=ca\>ba\inv a = ca\inv a\=b\e=c\e \= c=b\\
	}
\end{prova}
\end{prop}
\begin{thm}
	\label{thmsgruppofinitoegruppo}
	Se $(S,\.)$ e' un semigruppo finito, in cui valgono le due leggi di cancellazione,
	allora $(S,\.)$ e' anche un gruppo.
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{Prima di tutto troviamo l'elemento unitario $\e$}
	\begin{prova}
Poiche' $S$ e' finito, possiamo scrivere
\eal{&S=\pgra{a_1,a_2,\dots,a_n\;|\;n\in \mathbb{N}}}
Fissiamo $a\in S$ e consideriamo l'insieme 
\eal{&S_a=\pgra{aa_1, aa_2,\dots,aa_n}}
Gli elementi di $S_a$ sono a due a due distinti: se cosi' non fosse
esisterebbero $a_i,a_j\in S:a_i\neq a_j,\;aa_i=aa_j$, ma per la legge di cancellazione,
$a_i=a_j$, assurdo. Quindi, $|S_a|=|S|$ e in definitiva, 
\eal{&\sist{
S_a\( S\\
|S_a|=|S|\\
\forall a_i,a_j\in S:\;a_i\neq a_j\;\;\;aa_i\neq aa_j
}
\> S_a=S
}
\def\as{{{}_aS}}
\def\sa{{S_a}}
Analogamente si ha ${}_aS=\{a_1a, a_2a,\dots,a_na\}=S$.\\
Procediamo:
\eal{&a\in S \= a\in \as,\sa \= a=aa_i=a_ja\;\;(1)\\
&\forall b \in S\;\;b=a\ove{a_i}=\ove{a_j}a\;\;(2)\\
&\qq (1) \ubrace{\>}{\T{molt. membro a mebro}} a\ove{a_i}=a_j\ubrace{a\ove{a_i}}{b}=a_jb\;\;(3)\\
&\qq (2),(3) \> b=a\ove{a_i}=a_jb\=b=a_jb\\
&\\
&\qq (1),(2) \>
b=\ove{a_j}a=\ubrace{\ove{a_j}a}{b}a_i=ba_i\\
&\qq \> b=ba_i\\
&\\
&\forall b \in  S\;\;b=ba_i=a_jb\;\;(4)
}
Ci resta da far vedere che $a_i=a_j$:
\eal{
&(4)\>a_ja_i=a_i\\
&(4)\>a_ja_i=a_j\\
&a_i=a_j
}
quindi $a_i=a_j=\e$ e' il nostro elemento neutro.
\end{prova}
\step{}{Dimostriamo che $G$ e' un gruppo}
\begin{prova}
Allora, $\e\in S=S_a\> \exists a_i\in S:\; \e=aa_i\;\;(1)$. Analogamente, se avessimo
moltiplicato a destra gli elementi di $S$ per $a$, avremmo trovato che
$\e=a_ka\;\;(2)$. Da questo segue:
\eal{&\e a_i\ubrace{=}{(2)} a_kaa_i \ubrace{= }{(1)} a_k\e\=a_i=a_k=:\inv a
}
Percio', ogni elemento e' invertibile.
	\end{prova}
	\step{}{Esempio}
	\begin{prova}
In $(\mathbb{N},+)$ valgono le leggi di cancellazione, ma di certo non e' un
gruppo, quindi $\mathbb{N}$ e' infinito.
	\end{prova}
\end{prova}

\begin{exemp}
\eal{(\mathbb{N},\.),
(\mathbb{Z},\.),
(\mathbb{Q},\.),
(\mathbb{R},\.)
}sono tutti gruppi abeliani, pero' e' difficile estrarre da essi gruppi
finiti, infatti se prendiamo un elemento $a\in G$ deve poi esistere $a\.a$, e
poi ancora $a\.a\.a$. Da $\mathbb{Z}$ possiamo estrarre $\pgra{-1,0,1}$.
\end{exemp}
\begin{exemp}
	\label{Unradiciennesimeunita}
Un gruppo finito estratto da $(\mathbb{C}, \.)$ sono le radici n-esime
dell'unita': $U_n=\pgra{x\in \mathbb{C}\;|\;x^n=1}$.
\begin{prova}
	\step{}{Dimostriamo che e' un gruppo}
	\begin{prova}
Intanto, elenchiamo le radici $n$-esime:
\eal{&x_0=1\\
&x_1=\cos{\frac{2\pi}{n}}+i\sen{\frac{2\pi}{n}}\\
&x_2=\cos{\frac{4\pi}{n}}+i\sen{\frac{4\pi}{n}}=x_1^2\\
&x_3=\cos{\frac{6\pi}{n}}+i\sen{\frac{6\pi}{n}}=x_1^3\\
&\dots\\
&x_k=x_1^k\\
&x_n=\cos{\frac{2\pi}{1}}+i\sen{\frac{2\pi}{1}}=1=x_0 }
\begin{enumerate}
	\item $\.$ e' un'operazione: \eal{&x,y\in U_n\=x_i=x=x_1^i,y=x_1^j\\
		&x\.y=x_1^i\.x_1^j=x_1^{i+j}\in  U_n}
	\item $\.$ e' associativa: lo e' in $\mathbb{C}$, e quindi a maggior
		ragione in $U_n$
	\item L'elemento neutro e' $x_0=1$
	\item Poiche' il semigruppo fin qui definito e' finito, per il thm
		\see{thmsgruppofinitoegruppo}, $U_n$ e' un gruppo. Od anche:
\eal{&x_i\in U_j \T{ ha l'inverso in $\mathbb{C}$: }
\frac{1}{x_i}, \T{ che e' l'inverso in $U_n$: }\\
&x_i^n=1\>\pton{\frac{1}{x_i}}^n=1;\;\;\frac{x_i}{x_i}=1=x_0
}
\end{enumerate}
	\end{prova}
\end{prova}
\end{exemp}
\begin{exemp}
	\label{expUn}
	$(\mathbb{Z}_n,+)$ e' un gruppo finito abeliano.\\
	$(\mathbb{Z}_n,\.)$ non e' in generale un gruppo finito abeliano (non
	tutti gli elementi hanno un inverso). Se
	consideriamo pero' $(U(\Z_n), \.)$ ne otteniamo uno, dove
	\eal{&U(\Z_n)=\pgra{a\in \mathbb{Z}_n\;|\;mcd(a,n)=1}}
	Si ha $|U(\Z_n)|=\varphi(n)$ dove, $\varphi$ e' la funzione di Eulero.
\end{exemp}
\begin{exemp}
	Adesso vediamo dei gruppi non abeliani.\\
\begin{enumerate}
	\item gruppo lineare generale: $(GL_n(\mathbb{R}),\.)$, dove
		\eal{&GL_n(\mathbb{R})=\pgra{
		M^{n\times n}(\mathbb{R}) \T{ matrice}\;|\; \det M\neq 0}}
	\item gruppo speciale lineare: $(Sl_n(\mathbb{R}),\.)$, dove
		\eal{&GL_n(\mathbb{R})=\pgra{
		M^{n\times n}(\mathbb{R}) \T{ matrice}\;|\; \det M=1}}\\
		Per verificare che e' un gruppo, basta ricordarsi che 
		\eal{&\det \pton{\inv M}=\inv{\pton{\det M}}}
	\item gruppo ortogonale: $(O_n(\mathbb{R}),\.)$, dove
		\eal{&O_n(\mathbb{R})=\pgra{
		M^{n\times n}(\mathbb{R}) \T{ matrice}\;|\; M\TR M =
		I^{n\times n}\= \TR M = \inv M
		}}		\\
		Qui stiamo trattando le matrici ortogonali
		(vedi \AL{propmatortogonale}).\\
		Verifichiamo che $\.$ e' una operazione:
\eal{&M,N\in O_n\=\TR M =\inv M,\;\TR N=\inv N\\
&\TR(MN)=\TR N \TR M=\inv N\inv M=\inv{(MN)}\=\TR(MN)=\inv{(MN)}\=MN\in O
		}
	\item gruppo ortogonale speciale:
\eal{&SO_n(\mathbb{R})=\pgra{
		M^{n\times n}(\mathbb{R}) \T{ matrice}\;|\; \TR M = \inv
		M,\;\;\det M = 1}\\
&O_n(\mathbb{R})\-SO_n(\mathbb{R})=\pgra{M^{n\times n}(\mathbb{R}) \T{ matrice}\;|\; \TR M = \inv
M,\;\;\det M = -1}
}
$SO_n$ e' un sottogruppo di $O_n$. 
	$SO_n$ sono le rotazioni, mentre $O_n(\mathbb{R})\-SO_n(\mathbb{R})$ i ribaltamenti (nota \footnote{
	$O_n(\mathbb{R})\-SO_n(\mathbb{R})$ non e' un gruppo: $I$ non ci sta'
	perche' $\det I=1$}\\
Imponendo le condizioni, si vede che l'elemento generale di $SO$ e'
\eal{&
M=\begin{pmatrix}
	\cos \vartheta &\sen \vartheta \\
	-\sen \vartheta &\cos \vartheta
\end{pmatrix}}
\begin{prova}
	\pf
\eal{&M=\begin{pmatrix}
	a&b\\c&d
\end{pmatrix}\\
&\sist{\det M =1 \= ad-bc=1\\
\begin{pmatrix}
	a&b\\c&d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
	a&c\\b&d
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
	1&0\\0&1
\end{pmatrix}}
\=
\sist{
ad-bc=1\\
a^2+b^2=1\\
ac+bd=0\\
c^2+d^2=1
}\\
&\sist{
a=\cos \vartheta,\;\;b=\sin \vartheta \\
c=\cos \varphi,\;\;d=\sin \varphi \\
-\cos \vartheta\sin \varphi+\sin \vartheta \cos \varphi=-1\=\sin(\vartheta
-\varphi)=-1\\
\cos \vartheta\cos \varphi+\sin \varphi\sin \vartheta=0\=\cos(\vartheta
-\varphi)=0
}\\
&\qq \> \vartheta -\varphi = -{\pi \over 2}\=
\varphi=\vartheta + \frac{\pi}{2}\\
&\sist{a=\cos \vartheta,\;\;b=\sin \vartheta \\
c=-\sin \vartheta ,\;\;d=\cos \vartheta \\
}
}
\qed
\end{prova}

\end{enumerate}
\end{exemp}
\subsection{Gruppi e sottogruppi ciclici}
\begin{defn}
	Dato il gruppo $(G,\.)$, e il sottoinsieme $H\( G$, $H\neq \0$
	\eal{&H \le  G \= H\T{ e' un sottogruppo di }G\= (H,\.) \T{ e' un gruppo} }
\end{defn}
\begin{prop}
\ilabel{sottogruppo!caratterizzazione1}
Dato il gruppo $(G,\.)$, e $H\(G$, si ha
\eal{&H \le  G\=
\sist{1.\;\;\forall a,b\in H,\;\;a\.b\in H\\
2.\;\;e\in H\\
3.\;\;\forall a\in H\;\;\exists \inv a \in H
}}
Nota: nella seconda condizione, $\e$ indica l'elemento neutro di $G$.
Nella terza condizione, $\inv a$ indica l'inverso di $a$ in $G$, ovvero
$\inv a a =a\inv a = \e$.
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf\step{}{Dim $\>$}
\begin{prova}
Intanto, $H$ essendo un gruppo, non e' un insieme vuoto.\\
Per definizione, la $1.$ e' vera.\\
Poiche' $H$ e' un gruppo, \eal{&
\exists \e_h \in H:\;\;\forall a\in H\;\;\e_ha=a\e_h=a\;\;(1)
}
sia $\e$ l'elemento unita' di $G$. Si ha che $\e_h=\e$, infatti,
\eal{&\e_h\e_h=\e_h\\
&\inv{\e_h}\e_h\e_h = \inv{\e_h}\e_h\\
&\e \e_h = \e \\
&H \ni \e_h=\e \> \e \in H
}
quindi la $2.$ e' vera.\\
Dim. la $3.$: sia $a\in H$, sia $a_1$ l'inveso di $a$ in $H$ e $a_2$ l'inverso
di $a$ in $G$, 
\eal{&{aa_1=\e_h=\e=aa_2 } \= \ubrace{a_1}{\in H}=a_2\in H
}
\end{prova}
\step{}{Dim $\<$}
\begin{prova}
\eal{&H\neq \0\\
&\qq \e \in H \> H\neq 0\\
&\.:H\times H\longrightarrow H\\
&\qq\T{per la $1.$}\\
&\forall a,b,c \in H\;\;(ab)c=a(bc)\\
&\qq \T{poiche' $\.$ e' la stessa operazione di $(G,\.)$, che e' un gruppo, e
quindi rimane associativa in }H\\
&\exists \e\in H:\;\forall a\in H\;\;a\e=\e a=a\\
&\qq \T{per la $2.$}\\
&\forall a\in H\;\exists \inv a\in H:\;\;a\inv a=\inv aa=\e\\
&\qq \T{per la $3.$}\\
}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{thm}
\ilabel{sottogruppo!caratterizzazione2}
Dato il gruppo $(G,\.)$, si ha
	\eal{&H\le G\=\forall a,b\in H\;\;a\inv b \in H}
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf\step{}{Dim $\>$}
\begin{prova}
	\eal{&
\sist{H \le  G \> \forall b\in H\;\;\inv b \in H\\
H \le G \> \forall a,c\in H a\.c\in H
}\>a\inv b \in H
}
\end{prova}
\step{}{Dim $\<$}
\begin{prova}
\eal{&\T{Hp} \> b\inv{b}=\e \in H\;\;(1)\\
&\T{Hp}, (1) \> \e\inv{b} = \inv{b} \in H\;\;(2)\\
&\T{Hp}, (2) \> \forall a,\inv{b}\in H\;\;a\inv{\inv{b}}=ab\in H
}
Quindi, per \see{sottogruppo!caratterizzazione1}, $H$ e' un sottogruppo di $G$
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}
	\ilabel{sottogruppo finito!caratterizzazione}
	Caratterizzazione dei sottogruppi finiti.\\
Dato il gruppo $(G,\.)$, e $S\(G,\;\;|S|\in \mathbb{N}$, si ha
\eal{&S\le G\= \forall a,b\in S\;\;ab\in S }
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{Dim $\>$}
\begin{prova}
	Per definizione.
\end{prova}
\step{}{Dim $\<$}
\begin{prova}
L'Hp equivale a dire che $S$ e' un semigruppo ($\.$ e' associativa
perche' lo e' in $(G,\.)$). Inoltre, per $S$ valgono le due
leggi di cancellazione, perche' valgono per $G$. Allora, per il thm
\see{thmsgruppofinitoegruppo}, $S$ e' un gruppo, ed essendo $S\( G$, possiamo
affermare che $S\le G$
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}
	\label{propcontenutostessacardinalita}
	Sia dato il gruppo finito $G$, si ha
	\eal{&\sist{H\le G\\|H|=|G|} \> H=G}
\end{prop}
\begin{proof}
$H\le G\>H\(G$, quindi basta dimostrare $G\(H$.\\
\eal{&|G|= |G\-H \U H |   \ubrace{=}{G\-H\^H =\0}  |G\-H| + |H| = |G\-H| + |G| \= |G\-H|= 0 \= G\-H =
\0 \= G\( H }
\end{proof}

\begin{defn}
	Il seguente sottogruppo si chiama \emph{centro} di G\ilabel{centro}:
	\eal{&Z(G)=\pgra{g\in G\;|\; gx=xg\;\;\forall x\in G}
	}
	ed e' in sostanza, l'insieme
	di tutti gli elementi di $G$ che commutano con tutti gli elementi di
	$G$.\\

	Il sottogruppo
	\eal{&C(G,x) = \pgra{g\in G\;|\;gx=xg}}
	si chiama \emph{centralizzante} di $x$, 
	ed e' in sostanza, l'insieme
	di tutti gli elementi di $G$ che commutano con $x$.\\

	E' chiaro che 
	\eal{&Z(G) \( C(G,x)}
\end{defn}
\begin{prova}
\pf
\step{}{Dimostriamo che $Z(G)$ e' un sottogruppo usando la caratterizzazione
\see{sottogruppo!caratterizzazione2}}
\begin{prova}
Siano $x,y\in Z(G)$,
\eal{&\inv y g = \inv{(\inv g y)} \ubrace{=}{y\in {Z}} \inv{(y\inv g)} =
g\inv y \> \inv y \in Z\\
&x\inv y g  \ubrace{=}{\inv y\in Z}  xg\inv y  \ubrace{=}{x\in
{Z}} gx\inv y \> x\inv y \in {Z}
}
Quindi $Z(G)$ e' un sottogruppo di $G$.
\end{prova}
\step{}{Dimostriamo che $C(G,x) \le G$}
\begin{prova}
	\eal{&a,b\in C(x) \> ax=xa,\;bx=xb\\
	&(a\inv b)x=x(a\inv b) \= a\inv b x b\inv a \inv x = \e \=\\
	& \qq  \ubrace{\=}{xb=bx}  a\ubrace{\inv b b}{=\e} x \inv a \inv x = \e \=\\
	& \qq  \= ax\inv a \inv x = \e  \ubrace{\=}{ax=xa} x\inv x = \e \= \e
	=\e }
	Quindi $(a\inv b)x=x(a\inv b)$ e' vera.\\
	Allora, $a\inv b\in C(G,x)$.
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}
	\label{propintsottgruppi}
Dato il gruppo $(G,\.)$
\eal{H,J\le G \> H\^J \le  G}
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
\begin{prova}
Usiamo la caratterizzazione \see{sottogruppo!caratterizzazione2}: siano
$a,b\in H\^J$
\eal{&a,b\in H\^J\\
&\sist{a\in H,\;a\in J \\
b\in H\> \inv b \in H\\
b\in J\> \inv b \in J}\> \sist{a\inv b \in H\\
a\inv b \in J
}\> a\inv b \in H\^J
	}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}
Dato il gruppo $(G,\.)$ e $H,J \le  G$,
\eal{H\v J\le G \= H\(J\| J\( H}
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf\step{}{Dim $\<$}
\begin{prova}
\eal{&H\(J\| J\( H \> H\v J=J\le G\|H\v J=H \le G
}
\end{prova}
\step{}{Dim $\>$}
\begin{prova}
	Procediamo dimostrando la contronominale, cioe'
\eal{&H\v J\nless G \< H\nsubseteq J\& J\nsubseteq H}
Allora,
\eal{&H\nsubseteq J \& J\nsubseteq H \> \sist{ \exists a\in H,\;a\notin J\\
\exists b\in J,\;\notin H}\>a,b\in H\v J}
Se per assurdo $ab\in H\v J$ si avrebbe:
\case{$ab=c\in H$}
\begin{prova}
\eal{
&b=\ubrace{\inv a}{\in H} \ubrace{c}{\in H} \> b\in H
}
assurdo contro $b\notin H$.
\end{prova}
\case{$ab=c\in J$}
\begin{prova}
\eal{
&a=c\ubrace{\inv b}{\in J}\> a\in J
}
assurdo contro $a\notin J$.
\end{prova}
\end{prova}
\qed
\end{prova}

\begin{defn}
	\ilabel{sottogruppo generato}
Dato un gruppo $(G, \.)$ e un suo sottoinsieme $X$, si definisce $\gen X$ come
il piu' piccolo sottogruppo di $G$ contentene $X$, ovvero:
\eal{&\exists H \le G:\;X\( H\>\gen X \( H}
\end{defn}
\begin{prop}
\eal{&\gen X=\bigcap_{X\( H \le G} H }
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
	\begin{prova}
Prima di tutto osserviamo che per la prop \see{propintsottgruppi} si ha
$\gen X\le G$. Dimostriamo che e' il piu' piccolo: supponiamo $X\( H'$.
\eal{
&X\( H' \> H'\in \pgra{H\le G\;|\;X\( H} \> 
\pton{\bigcap_{X\( H \le G} H}  \( H' \= \gen X \( H'
}
	\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{thm}
\label{carattsottogruppogenerato}
\eal{&\gen X=\pgra{t_1t_2\dots t_r \;|\;t_i\in X\| \inv {t_i} \in X,\;r\in
\mathbb{N}}= {\pgra{t_1^{z_1}t_2^{z_2}\dots t_r^{z_r} \;|\;t_i\in X,\;z_i\in
\mathbb{Z},\;r\in \mathbb{N}^*}}
}
o in forma equivalente se $X$ e' finito:
\eal{&X=\pgra{x_1,x_2,\dots,x_n}\\
&\gen X=\Big\{
(x_1^{m_{11}}x_2^{m_{21}}\dots x_n^{m_{n1}})
(x_1^{m_{12}}x_2^{m_{22}}\dots x_n^{m_{n2}})\dots
(x_1^{m_{1r}}x_2^{m_{2r}}\dots x_n^{m_{nr}})
\;|\;m_{1i},m_{2i},\dots,m_{ni}\in
\mathbb{Z},\\
&\qq\qq\;i=1,\dots,r,\;\;r=1,2,\dots\Big\}
}
se l'elemento $x_1$ ha ordine finito, allora il suo esponente $m_{1i}$ variera'
variera' da $0$ a $o(x_1)-1$ (definiremo l'ordine piu' avanti (vedi \see{ordine})).
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf Poniamo $Y:=\pgra{t_1t_2\dots t_r \;|\;t_i\in X\;\lor
	\;\inv{t_i}\in X,\;r\in \mathbb{N}}$ 
\step{}{Dim. $Y\le G$ usando la caratterizzazione
\see{sottogruppo!caratterizzazione2}}
\begin{prova}
Siano $a,b\in Y$
\eal{
&a\in Y \= \exists r\in \mathbb{N}:\;\;a=t_1t_2\dots t_r \\
&b\in Y \= \exists s\in \mathbb{N}:\;\;b=u_1u_2\dots u_s \\
&\inv b = \inv{\pton{u_1u_2\dots u_s}} = \inv{u_s}\inv{u_{s-1}}\dots\inv{u_1}\\
&a\inv{b}=t_1t_2\dots t_r\inv{u_s}\inv{u_{s-1}}\dots\inv{u_1}\> a\inv{b}\in Y
}
\end{prova}
\step{}{Dim che $Y$ e' il piu' piccolo sottogruppo contenente $X$}
\begin{prova}
Sia $X\( Z\le G$. Prendiamo $a\in Y$,
\eal{&a\in Y\= \exists r\in \mathbb{N}:\;\;a=t_1t_2\dots t_r\\
&\sist{X\( Z\\
t_i \in X\;\lor \;\inv{t_i}\in X,\;\;\forall 1\le i\le r\\
Z\le  G
} \> \T{un qualsiasi prodotto } t_it_j \in Z\;\;\forall 1\le i,j\le r\>
a\in Z\> Y \( Z
}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{exemp}\qq\\
	\begin{enumerate}
		\item $\gen \0 = \pgra{\e}$\\\pf per def: tutti i sottogruppi
			contengono $\0$, quindi il piu' piccolo e'
			$\pgra{\e}$.
		\item 
	In $(\mathbb{Z}, +)$, il sottogruppo generato $\gen{2,3}$ e'
	\eal{&\gen{2,3}=\pgra{2s+3t\;|\;s,t\in \mathbb{Z}}}
infatti, per la proposizione di prima,
\eal{&\gen{2,3}=\pgra{2\.3,2\.2\.3,2\.3\.3,2\.3\.2\.2,\dots}}
inoltre, $(\mathbb{Z}, +)$ e' abeliano, e quindi i 2 e 3 si possono
\emph{raccogliere}.
	\end{enumerate}
\end{exemp}
\begin{defn}
Dato $(G,\.)$, $g\in G$,
\eal{&\gen g=\pgra{g^i\;|\;i\in \mathbb{Z}}}
inoltre, $\gen g$ verra' chiamato sottogruppo ciclico generato da $g$.\\
$\gen g$ potra' essere un sottogruppo ciclico finito o infinito:\\
e' infinito nel caso in cui esiste una corrispondenza biunivoca tra $\gen g$ e
$\mathbb{Z}$, ovvero
\eal{&\forall i,j\in \mathbb{Z}:i\neq j\;\T{si ha}\;g^i\neq g^j }
e' invece finito quando
\eal{&\exists i,j\in \mathbb{Z}:i\neq j\;\;g^i=g^j}
\end{defn}
\begin{prova}
	\pf E' facile rendersi conto con la prop.
	\see{carattsottogruppogenerato} che
	\eal{&\gen g=\pgra{g^i\;|\;i\in \mathbb{Z}}}.
\end{prova}
\begin{defn}
\ilabel{ordine}
Dato $(G,\.),\; g\in G$,
\eal{&o(g) \T{ , chiamato \emph{ordine o periodo di g}, e' (se esiste) il piu'
piccolo intero $p>0$ t.c. }g^p=\e}
se $p$ non esiste si pone $o(g)=\infty$.\\
La cardinalita' di un gruppo finito e' chiamata sempre \emph{ordine}:
$o(G)=|G|$.
\end{defn}
\begin{exemp}
	In $(\mathbb{C}^*, \.)$, 
	\eal{&(i)=\pgra{1,i,-1,-i},\;\;o(i)=4}
\end{exemp}

\begin{thm}
\label{thmogeqcardg}
Dato $(G,\.)$, $g\in G$ si ha
\eal{&o(g)=|\gen g|}
\end{thm}
\begin{prova}
\pf Distinguiamo due casi.
\case{$o(g)=\infty$}
\begin{prova}
	\eal{&o(g)=\infty \> \forall p \in \mathbb{Z}_{>0}:\;g^p\neq \e\;\;(*)\\
	&\T{sia }i,j\in \mathbb{Z}:i> j\=i-j>0,\;\;\ubrace{\>}{(*)}
	g^{i-j}\neq \e \= g^ig^{-j}\neq \e\=g^i\neq g^j\\
	&\forall i,j\in \mathbb{Z}:i\neq j\;\;g^i\neq g^j
}
ovvero, $\gen g$ e' infinito (in relazione biunivoca con $\mathbb{Z}$).
\end{prova}
\case{$o(g)=p$}
\begin{prova}
Vogliamo dimostrare che 
\eal{&\gen g=\pgra{g^0, g^1,\dots, g^{p-1}}}
poniamo $H:=\pgra{g^0, g^1,\dots, g^{p-1}}$, 
\step{}{Dim. che $\forall i,j\in \mathbb{Z}_{\ge 0}:0\le j<i< p,\;i\neq j\;\T{si ha
}\;g^i\neq g^j$, ovvero gli elementi di $H$ sono a due a due distinti. Cosi'
facendo, mostreremo che $|H|=p$
}
\begin{prova}
Supponiamo per assurdo che $g^i=g^j$
\eal{&g^i=g^j\= g^{i-j} =\e\\
&j<i<p\>0<i-j<p-j<p \> i-j<p
}
assurdo, perche' $i-j<p$ e $p$ e' il periodo, quindi il piu' piccolo intero
positivo t.c. $g^p=\e$.
\end{prova}
\step{}{Dim. che $\gen g=H$}
\begin{prova}
Di sicuro $H\( \gen g$.\\
Prendiamo $a\in \gen g\= a=g^i,\;i \in \mathbb{Z}$. Utilizziamo l'algoritmo di
divisione: $\exists! q,r \in \mathbb{Z}:\;i=qp+r,\;\;0\le r<p$.
\eal{&
g^i=g^{qp+r}=g^{qp}g^r=\pton{g^{p}}^qg^r=\e^qg^r=g^r\;\;(**)\\
&0\le r<p, (**) \> g^i\in H}
\end{prova}
\end{prova}
\qed
\end{prova}

\begin{prop}
	\label{propieqjmodzp}
	Se $\gen g$ e' un sottogruppo ciclico finito di $G$, di ordine $p$, si ha
	\eal{&g^i=g^j\= i=j\;\;(\mathbb{Z}_p)
	}
\end{prop}
\begin{prova}
\pf
\step{}{Dim $\>$}
\begin{prova}
\eal{&g^i=g^j\=g^{i-j}=\e\\
&\exists !q,r:\;i-j=pq+r,\;0\le r<p\\
&\e=g^{i-j}=g^{pq+r}=\pton{g^{p}}^q+g^r=g^r \>g^r = \e \= r=0\\
&i-j=pq+r=pq \> i=j\;\;(\mathbb{Z}_p) 
}
\end{prova}
\step{}{Dim $\<$}
\begin{prova}
	\eal{&i=j\;\;(\mathbb{Z}_p)\= i-j=kp \> g^{i-j}=g^{kp}\>
	g^{i-j}=\e\>g^{i}=g^{j}
	}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{cor}
\label{corpropieqjmodzp}
Dalla precedente proposizione, con $p=o(g)$, si ha:
\begin{enumerate}
	\item $g^i=\e\= p\mid i$
		\begin{prova}
			\pf $g^i=\e=g^p \= i=p=0\;\;(\mathbb{Z}_p)\=i=pq\= p\mid i$
		\end{prova}
	\item $\inv{(a^i)}= a^{p-i}$
		\begin{prova}
			\pf
			$\inv{a^i}=a^{-i}\ubrace{=}{-i=p-i\;\;\mathbb{Z}_p}
			a^{p-i}$
		\end{prova}
\end{enumerate}
\end{cor}
\begin{prop}
	Dato $(G,\.)$ gruppo \textbf{abeliano}, si 
ha \eal{G_f=(\pgra{g\in G\;|\;o(g) \in \mathbb{N}}, \.) \le  G}
\end{prop}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
Usiamo la caratterizzazione \see{sottogruppo!caratterizzazione2}:
\eal{&a,b\in G_f\= a,b\in G \land  p=o(a),q=o(b)\in \mathbb{N}:\;\\
&\pton{ab^{-1}}^{qp}\ubrace{=}{\T{per l'abelianita'}}
\pton{a^p}^qb^{-qp}=\pton{b^{q}}^{-p}=\e \>o(a\inv b) < qp
}
Nota\footnote{In un gruppo non abeliano $(ab)^2=abab$, in uno abeliano
$(ab)^2=a^2b^2$}
\end{prova}
\end{prova}
\begin{defn}
Un gruppo $(G,\.)$ si dice ciclico $\=\exists g\in G:\;G=\gen g$ 
\end{defn}
\begin{thm}
	\label{thmciclicoimpsubciclico}
	\eal{&	(G,\.)\T{ gruppo ciclico } \> H \le G \T{ e' pure un gruppo
	ciclico}\\
	&\nLeftarrow }
	Piu' in dettaglio, se $G=\gen g$, allora $H=\gen{g^m}$ con $m=\min \pgra{t\in
	\mathbb{N}^*\;|\;g^t\in H}$
\end{thm}
\begin{prova}
\pf
\step{}{Dim $\>$}
\begin{prova}
	Se $H=\pgra{\e}$, allora la tesi e' vera. Supponiamo che $\pgra{\e}\subset
	H$ e consideriamo i seguenti insiemi:
	\eal{&\qq T=\pgra{t\in \mathbb{N}\;|\;g^t\in H}\\
	&\qq T^*=T\-\pgra{0}}
	\step{}{Dim $T\neq \0$}
	\begin{prova}
\eal{
&(G,\.)\T{ gruppo ciclico } \> \exists g\in G:\;G=\gen g\\
&h\in H\-\pgra{\e} \( G \> h=g^i\in H\> g^{-i}\in H\\
&\max\pgra{i,-i}=t\in \mathbb{N}\\
&g^t\in H \> t\in T
}
\end{prova}
Sia $m=\min T^*$, che esiste perche' $\mathbb{N}$ e' ben ordinato.
\step{}{Dim $\gen{g^m}=H$}
\begin{prova}
$\gen{g^m}\(H$ e' vera perche' $g^m\in H$ e quindi $(g^m)^k\in H$.\\
Sia $g^j\in H$. Per dimostrare che $H=\gen{g^m}$ bastera' vedere che
$g^j=(g^m)^q=g^{mq}$.\\ Dividiamo $j$ per $m$:
\eal{&j=mq+r,\;0\le r<m\;\;(*)\\
&g^j=g^{mq}g^r\=g^r=\ubrace{g^{j}}{\in H}\ubrace{\pton{g^{m}}^{-q}}{\in H} \in
H\> g^r\in H \> r\in T\\
&r\in T \> r=0
}
allora, $r=0$, altrimenti dalla $(*)$ si avrebbe un assurdo contrario al fatto che $m=\min
T$. In definitiva,
\eal{&g^j=g^{mq}=\pton{g^{m}}^q\> g^j\in \gen{g^m}}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\end{prova}
\begin{prop}
	\label{propciclicoimpabeliano}
\eal{&(G,\.) \T{ gruppo ciclico} \> G\T{ gruppo abeliano}}
Non vale il viceversa.
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf\step{}{Dim $\>$}
\begin{prova}
\eal{&(G,\.)\T{ gruppo ciclico } \> \exists g\in G:\;G=\gen g\\
&\T{siano }a,b\in G. \T{ vogliamo dimostrare che }ab=ba\\
&a,b\in G=\gen g \> a=g^i,b=g^j\\
&ab=g^ig^j=g^{i+j}=g^{j+i}=g^{j}g^{i}=ba
	}
\end{prova}
\step{}{Dim $\<$}
\begin{prova}
Consideriamo il seguente gruppo abeliano:
\eal{&(G=\pgra{0,1,2,3},\.)}
\begin{center}
\begin{tabular}[h]{r|cccc}
	$\cdot$ & 0 & 1 & 2 & 3\\\hline
	  0& 0 & 1 & 2 & 3\\
	  1& 1 & 0 & 3 & 2\\
	  2& 2 & 3 & 0 & 1\\
	  3& 3 & 2 & 1 & 0\\
\end{tabular}
\end{center}

Quindi $\e=0$, e $\inv a = a\;\;\forall a \in G$.\\
L'ordine di ogni elemento e' $2$, ma $|G|=4$, quindi per la prop
\see{carattgruppiciclici} $G$ non e' ciclico.
\end{prova}
\qed
\end{prova}

\begin{prop}\label{carattgruppiciclici}
	Caratterizzazione dei gruppi ciclici finiti.\\
Dato il gruppo $(G,\.),\;\;|G|=n$, 
\eal{&g\in G,\;\;o(g)=n \= G=\gen g}
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
\step{}{Dim $\<$}
\begin{prova}
	\eal{&|\gen g|=|G|=n \ubrace{\>}{\T{\see{thmogeqcardg}}} o(g)=n }
\end{prova}
\step{}{Dim $\>$}
\begin{prova}
	\eal{&\sist{\gen g \le  G \> \gen g\( G\\
	|\gen g|=|G|\in \mathbb{N}} \> \gen g=G}
\end{prova}
\qed
\end{prova}

\begin{thm}
\label{thmordsottdivn}
Dato il gruppo ciclico $G=\gen g,\;\;|G|=n$, 
\eal{&1.\;\;S \le  G \> |S|\mid n\\
&\T{
Ovvero, se $S$ e' un sottogruppo di $G$ allora, il suo ordine divide l'ordine
di $G$}\\
&2.\;\;m\in \mathbb{N},\;\;m\mid n \> \exists ! S \le G:\;\;|S|=m, \T{
inoltre } S=\gen{g^{\frac{n}{m}}} }
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{Dim $1.$}
\begin{prova}
(Nota \footnote{Questo punto che stiamo dimostrando e' un fatto particolare di
uno piu' generale: $S\le G\>|S| \div |G|$, anche se $G$ non e' un gruppo
ciclico. (vedi il thm di Lagrange \see{thmdilagrange})})
\eal{&S \le  G\ubrace{\>}{\T{thm \see{thmciclicoimpsubciclico}}}
S=\gen{g^i},\;\;i=\min T^*\\
&|G|=n \= |\gen g|=n \ubrace{\>}{\see{thmogeqcardg}} o(g)=n\> g^n=\e\\
&(g^{i})^n=(g^{n})^i=\e^i=\e \ubrace{\>}{\T{ cor \see{corpropieqjmodzp}}} 
o(g^i)\mid n \ubrace{\= }{\see{thmogeqcardg}} |S| \mid n
}
\end{prova}
\step{}{Dim $2.$}
\begin{prova}
\eal{&\T{Sia } S=\gen{g^{\frac{n}{m}}}\\
&|S|=m,\;\T{ infatti, }\\
&\qq \pton{g^{\frac{n}{m}}}^{i} =g^{\frac{n}{m}i} = \e \=
\frac{n}{m}i=0\;\mathbb{Z}_n\= \frac{n}{m}i=\lambda n \= i=\lambda m \\
&\qq \T{quindi, il piu' piccolo $i>0:\; \pton{g^{\frac{n}{m}}}^{i}=\e $ e'
$m$, ovvero, $o \pton{g^{\frac{n}{m}}} = |S| = m$
}}
Dim che $S$ e' unico. Supponiamo che $\exists H \le G, |H|=m$.\\
\eal{&H \le G \ubrace{\>}{\T{thm \see{thmciclicoimpsubciclico}}}
H=\gen{g^i},\;\;i=\min T^*\\
&|H|=m \ubrace{\> }{\see{thmogeqcardg}}  o(g^i)=m \= \pton{g^i}^m=\e\\
&g^{im}=\e \ubrace{\>}{\T{ cor \see{corpropieqjmodzp}}} o(g) \mid mi\= n\mid
mi  \= nk = mi \= i = \frac{n}{m}k\\
&\> g^{i}=g^{\frac{n}{m}k} = \pton{g^{\frac{n}{m}}}^k \> g^{i} \in (g^{\frac{n}{m}})=S
}
quindi $H \( S$. Poiche' pero' $|H|=|S|=m$, si ha $H=S$.
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{cor}Dato $G$ ciclico,
\eal{&\pgra{S \le  G} \stackrel{f}{\longleftrightarrow} \pgra{m\in
	\mathbb{Z} \;|\;m\mid n}\\
	&\T{con $f$ biunivoca}
}
Ovvero, i sottogruppi di $G$ e i divisori del suo ordine, sono in relazione
biunivoca. $f$ e' proprio $f(S)=|S|$
\end{cor}
\begin{prova}
\pf Immediata conseguenza del thm \see{thmordsottdivn}.
\end{prova}
\begin{thm}
\label{thmmcdord}
Dato un gruppo ciclico $G=\gen g$ di ordine $|G|=n$, si ha
\eal{&o(g^m)=\frac{n}{(m,n)}}
dove $(m,n)=MCD(m,n)$.
\end{thm}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
	\eal{&k=o(g^m)=|\gen{g^m}|  \ubrace{\>}{thm \see{thmordsottdivn}}
	k\div n 
\= kd' = n \> d' \mid n\\
&k=\frac{n}{d'}\\
&\e=\pton{g^m}^{k}={g}^{mk} \>
o(g)\mid mk \= n \mid m\frac{n}{d'}  \= n\mu = m\frac{n}{d'} \= d'\mu=m \= d' \mid m\\
	}
	Quindi $d'\mid m,\;\;d'\mid n$, ci resta solo da provare che e' il
	massimo dei divisori.
Sia $d=(m,n)$. Dimostriamo che $d=d'$.\\
\eal{&
\sist{d=(m,n)\\
d'\mid m\\
d' \mid n} \> d \ge d' \= \frac{n}{d} \le  \frac{n}{d'}=k\;\;(1)\\
&\pton{g^m}^{\frac{n}{d}}=\pton{g^n}^{\frac{m}{d}}=\e
\ubrace{\>}{\see{corpropieqjmodzp} } 
\> o(g^{m})\div \frac{n}{d}   \> o(g^m) \le  \frac{n}{d} \> k\le
\frac{n}{d}\;\;(2)\\
&(1),(2)\> \frac{n}{d} = k\\
&\T{Per la $(1)$ l'unica possibilita' che rimane e' l'uguaglianza.}\\
&\frac{n}{d} =  k\= \frac{n}{d}=\frac{n}{d'} \= d=d'\\
&k=o(g^m)=\frac{n}{(m,n)}
}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{cor}
	\label{corggeneratoressecomprimoconn}
Dato	$G=\gen g,\;\;|G|=n$,
\eal{&G=\gen{g^m}\= (m,n)=1
	}
\end{cor}
\begin{prova}
\pf
\step{}{Dim $\>$}
\begin{prova}
\eal{&G=\gen{g^m} \> |G|=|\gen{g^m}| \ubrace{\>}{\see{thmogeqcardg}} 
o(g^m)=n \ubrace{\>}{\see{thmmcdord}} n=\frac{n}{(m,n)}\=1=\frac{1}{(m,n)}\>
(m,n)=1\\
}
\end{prova}
\step{}{Dim $\<$}
\begin{prova}
	\eal{&o(g^m) \ubrace{=}{\see{thmmcdord}}
	\frac{n}{(m,n)}=n\ubrace{\>}{\see{carattgruppiciclici}} \gen{g^m}=G
} 
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{exemp}
\ilabel{esempio!tutti i sottogruppi di (Z,+)}
	Tutti i sottogruppi di $(\mathbb{Z},+)$ sono del tipo $x\mathbb{Z}$
	con $x\in \mathbb{Z}$.\\
	\eal{&\mathbb{Z}=\gen{1}\\
	&S\le \mathbb{Z} \> S=\gen{x\cdot 1}=\gen{x}=\pgra{zx\;|\;z\in
	\mathbb{Z}}=x\mathbb{Z}
	}
\end{exemp}
\subsection{Laterali modulo H}
Sia $(G,\.)$ un gruppo e $H\le G$. Definiamo i seguenti insiemi:
\eal{&aH=\pgra{ah\;|\;h\in H}\\
&Ha=\pgra{ha\;|\;h\in H}}
chiamati rispettivamente laterale sinistro e destro di $a$ rispetto ad $H$.\\
E' ovvio che nel caso generale $aH\neq Ha$.\\
Osserviamo che $a \in aH$:
\eal{&H\le G\>\e \in H \> a\e=a\in aH}
Si ha anche:
\eal{&\e H =H}
\begin{prop}
L'insieme \eal{&\pgra{aH}_{a\in  G}} e' una partizione di $G$, ovvero 
\eal{&1.\;\;\bigcup_{a\in G}aH = G\\
&2.\;\;\T{Presi }a,b\in G\\
&\qq\qq aH\neq bH \> aH\^ bH=\0\\
&\;\;\;\;\T{o equivalentemente}\\
&\qq\qq aH=bH \< aH\^bH \neq \0
}
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf\step{}{Dim $1.$}
	\begin{prova}
\eal{&\forall a\in G\;\;a\in aH \> G\( \bigcup_{a\in G}aH\\
&ah\in aH,\;h\in H\le G \>ah\in G\> \pton{\bigcup_{a\in G}aH} \( G
}
	\end{prova}
\step{}{Dim $2.$}
\begin{prova}
Siano $a,b\in G:\;aH\^bH\neq \0$.
	\eal{&aH\^bH\neq \0 \> \exists c \in aH\^bH \= c=ah=bh'\;\;(1)}
\step{}{Dim $aH\(bH$}
\begin{prova}
\eal{&ah_1\in aH\\
&ah_1\ubrace{=}{(1)} b \ubrace{h'\inv hh_1}{\in H} \in bH
}	
\end{prova}
\step{}{Dim $bH\(aH$}
\begin{prova}
\eal{&bh_2\in bH\\
&bh_2\ubrace{=}{(1)} a\ubrace{h\inv {h'}h_2}{\in H} \in aH
}	
\end{prova}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{defn}
\ilabel{modulo H}
Da ogni partizione nasce la relazione d'equivalenza indotta da essa. Definiamo
quindi le seguenti relazioni:
\eal{&
a\congs b\;\;(H)\= aH=bH \= aH\^bH \neq \0\\
&\qq \= \exists h_1 \in H \exists h_2\in H:\;ah_1=bh_2,\;\;h=h_2\inv {h_1}\in H\\
&\qq \= a=bh\= \inv b a=h\\
&a\congd b\;\;(H)\= Ha=Hb \= Ha\^Hb  \neq \0\\
&\qq \= \exists h_1 \in H\exists h_2\in H:\;h_1a=h_2b,\;\;h=\inv{h_1}h_2\in H\\
&\qq \=a=hb\= a\inv b=h
}
rispettivamente chiamate ``\emph{$a$ congruo $b$ modulo $H$ a destra}'' e 
``\emph{$a$ congruo $b$ modulo $H$ a sinistra}''
\end{defn}
\begin{prop}
\eal{&\big|\pgra{aH}_{a\in  G}\big|=\big|\pgra{Ha}_{a\in  G}\big|}
ovvero \eal{&\exists \varphi:\pgra{aH}_{a\in  G}\leftrightarrow
\pgra{Ha}_{a\in  G}} e precisamente
\eal{&\varphi(aH)=H\inv a}
\end{prop}
\begin{prova}
\pf
\step{}{$\varphi$ e' ben posta:\;$aH=bH\>\varphi(aH)=\varphi(bH)$}
\begin{prova}
\eal{&aH=bH\= \inv b a = h \= \inv a b=\inv h=h' \= \inv a =h'\inv b \= H\inv
a = H\inv b
}
\end{prova}
\step{}{Dim l'inniettivita', ovvero $f(aH)=f(bH) \>aH=bH$}
\begin{prova}
\eal{&f(aH)=f(bH)\=H\inv a=H\inv b \ubrace{\=}{\see{modulo H}} \inv a =h\inv b\= a=b\inv h\\
&ah'\in aH\\
&ah'=b\inv h h'\in bH\\
&aH\( bH}
analogamente per l'altra inclusione (basta scambiare $a$ con $b$).
\end{prova}
\step{}{Dim la surriettivita, ovvero $\forall b\in G\;\;\exists a\in
G:\;\varphi(aH)=Hb$}
\begin{prova}
	\eal{&\varphi(aH)=Hb\= H\inv a =Hb \= \inv a =h b \= a=\inv
	{b}\inv{h} \= aH=\inv{b}H
}
quindi l'incognita cercata e' $\inv{b}H$
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{defn}
	Per la precedente proposizione possiamo definire la seguente
	quantita':
	\eal{&\ig H = \big|\pgra{aH}_{a\in  G}\big|=\big|\pgra{Ha}_{a\in
	G}\big|}
	che viene chiamata \xlabel{indice di H in G}.\\
	$\ig H$ sara' $\le +\infty $.
\end{defn}
\begin{prop}
\label{propigeq2}
	\eal{&\ig H =2\> aH=Ha,\;\forall a\in G}
\end{prop}
\begin{prova}
\pf Poiche' $H$ e' di sicuro una classe, l'altra sara' necessariamente $G\-H$.
Questo vale sia nel caso sinistro che in quello destro. Allora, 
\eal{&a\notin H \= aH  \neq  H  \ubrace{\=}{\ig H =2} aH=G\- H\\
&a\notin H \= Ha \ubrace{=}{\ig H =2} G\-H=aH\\
&a\in H \= aH = H = Ha
}
Quindi,
\eal{&\forall a\in H\;\;aH=Ha}
\end{prova}
\begin{lem}
	\label{lemmalagrange}
	\eal{&\forall a\in G\;\;|aH|=|H|, \T{ infatti, la seguente mappa e'
	biettiva:}\\
	&\varphi:H\leftrightarrow aH\\
	&\varphi(h)=ah
}
\end{lem}
\begin{prova}
	\def\f#1{{\varphi}\pton{#1}}
\pf \step{}{Dim $\varphi$ iniettiva: $\forall h_1,h_2\in H:\;h_1\neq
h_2\;\;\f {h_1}\neq \f {h_2}$}
\begin{prova}
\eal{&\f{h_1}=ah_1\\
&\f{h_2}=ah_2
}
se per assurdo $\f{h_1}=\f{h_2}$ si avrebbe
\eal{&ah_1=ah_2\=h_1=h_2}
assurdo
\end{prova}
\step{}{E' surriettiva: $\forall ah\in aH:\;\exists h\in H:\;\f{h}=ah$}
\begin{prova}
	\T{ovviamente}
\end{prova}
\qed
\end{prova}

\subsubsection{Teorema di Lagrange}
\begin{thm} di Lagrange.
\label{thmdilagrange}
\eal{& (G,\.)\T{ gruppo finito }, H\le G \> |G|=|H|\cdot \ig H}
In altre parole, se $H$ e' un qualsiasi sottogruppo di $G$, allora il suo
ordine e indice dividono $|G|$.\\
Attenzione, non vale il viceversa, ovvero se $m/|G|$, non necessariamente
esiste un sottogruppo di ordine $m$. 
\end{thm}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
Dal lemma \see{lemmalagrange}, segue che tutti i laterali hanno la stessa
cardinalita' di $H$. Poiche' $G$ e' partizionato da $\ig H$ classi, avremo che
tutti i suoi elementi sono in numero $|H|\. \ig H$
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}
	\label{propordinediadivideG}
	Dato $G$ di ordine finito, 
	\eal{&a\in G \> o(a)\mid |G|}
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
	\eal{&o(a) \ubrace{=}{\see{thmogeqcardg}} |\gen a|\\
	&\gen a \le G  \ubrace{\>}{Lagrange \see{thmdilagrange}} |\gen a|\mid
	|G| \= o(a) \mid |G|
	}
	\qed
\end{prova}
\begin{cor}
\label{coroGestpprimobanali}
	\eal{& \T{$|G|=p$, $p$ primo } \= \pton{H \le  G\> H=\pgra{\e}\| H=G }}
La seconda proposizione equivale a dire che gli unici sottogruppi di $(G,\.)$
sono quelli banali: $\pgra{\e},G$.
\end{cor}
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{Dim $\>$}
\begin{prova}
	\eal{&
	H\le G  \ubrace{\>}{\T{Lagrange \see{thmdilagrange}}} |H|\div |G|\= |G|=h|H|\\
	&\sist{|G|=p\T{ primo}\\
	p=h|H|} \> |H|=1 \| |H| =p  \> |H|=\pgra{\e}\| |H|=G
	}

\end{prova}
	\step{}{Dim $\<$} 
	\begin{prova}
		Usando il thm di Cauchy (\vedi{thmdicauchy}), la tesi e'
		immediata:
		\eal{&p\T{non primo }\> \exists q\T{ primo: }q\div p \=q\div
		|G|  \ubrace{\>}{\T{Cauchy }\see{thmdicauchy}} \exists H\le
		G:\;|H|=q\T{ assurdo contro Hp} }
		Dimostriamo adesso la tesi senza ricorrere a Cauchy.
	\step{}{$G$ e' finito}
\begin{prova}	
Supponiamo per assurdo che $G$ sia infinito, allora $\exists a\in G:\;a \neq
\e,\;\;\gen a \T{ infinito }$, cioe'
\eal{& a^i \neq a^j\;\;\forall i \neq j}
Da $\gen a $ possiamo estrarre il seguente sottogruppo:
\eal{&H=\pgra{a^{2i}\in \gen a\;|\;i\in \mathbb{Z}}
}
Ma per Hp $H=G\| H=\pgra{\e}$. Ma da tutte e due i casi abbiamo un assurdo.
\end{prova}
\step{}{$G$ e' ciclico}
\begin{prova}
	Se $G=\pgra{\e}$, $G$ e' ciclico. Supponiamo $\pgra{\e}\subset G$.
	\eal{&a\in G:\;a \neq \e\\
	&\gen a \le G  \ubrace{\>}{\T{Hp}} \gen a = \pgra{\e} \| \gen a = G}
	poiche' e' assurdo che $\gen a = \pgra{\e}$, si ha $\gen a = G$.
	Quindi $G$ e' ciclico. Anzi, e' generato da un qualsiasi elemento $a
	\neq \e$.
\end{prova}
\step{}{$|G|=p$ e' primo}
\begin{prova}
Se per assurdo non lo fosse, si avrebbe $p=hk,\;\;1<h,k<p$.
\eal{&\sist{p=hk\= h\div p \\
G\T{ e' ciclico}
}  \ubrace{\>}{thm \see{thmordsottdivn}} 
\exists ! S\le G:\;|S| = h
}
ma questo e' assurdo, perche' per Hp $|S|=1\| |S|=|G|$.
\end{prova}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{cor}
	\label{propordGprimogenerato}
	$(G,\.)$ finito,
dove $p$ e' un primo, si ha
\eal{&|G|=p, \T{$p$ primo } \> \forall a\in G:\;a \neq \e,\;\;G=\gen a
	}
In altre parole, se $|G|$ e' primo, allora $G$ e' ciclico, anzi e' generato da
qualsiasi suo elemento diverso da $\e$.
\end{cor}
\begin{prova}
	\pf
	\eal{&a \neq \e \> \gen a  \neq \pqua{\e}\;\;(1)\\
	&\sist{\gen a \le G\\|G|=p} \ubrace{\>}{\see{coroGestpprimobanali}}
	\gen a =G \| \gen a =\pgra{e} \ubrace{\>}{(1)}\gen a =G 
	}
\qed
\end{prova}
\begin{cor}
	\label{corlagrangeaallaennesima}
	\eal{&|G|=n \> \forall a \in G\;\;a^n=\e}
\end{cor}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
	\eal{&\gen a \le  G \ubrace{\>}{\T{Lagrange \see{thmdilagrange}}} 
	|\gen a |  \ubrace{=}{\see{thmogeqcardg}}  o(a)\div |G|=n\= \\
	&\qq \=
	o(a)h=n \= a^{o(a)h}=a^n
	\=
	\pton{a^{o(a)}}^h=a^n\=\e=a^n\\
	}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{cor}
	\label{coraexpordGeste}
	Dal teorema di Lagrange discende naturalmente il teorema di Eulero e
	quello di Fermat:
	\eal{&(a,n)=1 \> a^{\varphi(n)}=1\;\;(\mathbb{Z}_n)\\
	&\T{p } primo \> a^{p-1}=1\;\;(\mathbb{Z}_p)
	}
\end{cor}
\begin{prova}
	\pf\step{}{Dim Eulero}
\begin{prova}
	Consideriamo $(\mathbb{Z}_n,\.)$. Sappiamo dall'esempio \see{expUn}
	che in generale non e' un gruppo. Pero', $(U(\Z_n), \.)$ lo e'. Sia $a\in
	U(\Z_n)$,
	\eal{
	&(a,n)=1 \> [a]\in U(\Z_n)\\
	&[a]^{|U(\Z_n)|} \ubrace{=}{cor \see{corlagrangeaallaennesima}} \e=[1]\=
	[a]^{\varphi(n)}=[1]\= a^{\varphi(n)}=1\;\;(\mathbb{Z}_n)
	}
\end{prova}
\step{}{Dim Fermat}
\begin{prova}
	\eal{&p\T{ primo } \> \varphi(p)=p-1\\
	&(a,p)=1 \> a^{p-1}=1\;\;(\mathbb{Z}_p)}
\end{prova}
\qed
\end{prova}

\subsection{Gruppo simmetrico}
\def\o{{\circ}}
\begin{defn}
Sia $X$ un insieme, e sia
\eal{&S(X)=\pgra{f:X\longrightarrow X\;|\;f\T{ biunivoca}}}
$(S(X),\o)$ e' un gruppo, dove $\o$ e' la composizione tra funzioni. Ogni sottogruppo di $S(X)$ viene chiamato 
\emph{gruppo di trasformazioni}.
\ilabel{gruppo di trasformazioni}
\ilabel{S(X)}
Ad esempio, $\operatorname{Aff}(\mathcal{A})$ e' un gruppo di trasformazione
(vedi geometria II).
\end{defn}
\begin{prova}
\pf\step{}{Dimostriamo che $(S(X),\o)$ e' un gruppo}
\begin{prova}
	\begin{enumerate}
		\item Innanzitutto $S(X) \neq 0$ dato che esiste almeno
			$\id\in S(X)$, dove $\id$ e' l'identita'.
		\item $\o$ e' un'operazione interna ben definita, poiche'
			composizione di funzioni biettive e' una funzione
			biettiva.
		\item $\o$ e' associativa.
		\item $\id$ e' l'elemento neutro:
			\eal{&f\o\id=\id\o f=f}
		\item $\inv f$ e' l'inverso di $f$, infatti, $\inv f \o f =
			f\o \inv f=\id$.
	\end{enumerate}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\def\s{{\sigma}}
\begin{defn}
Se $X$ e' finito, $S(X)$ lo indicheremo con $S_n$, dove $n=|X|$.\\
$S_n$ e' quindi l'insieme delle permutazioni di $n$ elementi, percio'
\eal{&|S_n|=n!}
$S_n$ non e' abeliano.\\
Indicheremo gli elementi di $S_n$ con i numeri interi, anche se tutte le
proposizioni che enuncieremo valgono nel caso generale.\\
Per indicare una permutazione $\s\in S_n$, useremo la seguente notazione:
\eal{&\sigma=\begin{pmatrix}
	1&2&\ldots&n\\
	i_1&i_2&\ldots&i_n
\end{pmatrix}\;\=\;\sist{\s(1)=i_1\\
\s(2)=i_2\\
\vdots\\
\s(n)=i_n}\\
&\T{ dove } i_j\in X,j=1,2,\dots,n;\;\;i_m \neq i_n\;\;\forall n \neq m
}
\end{defn}
\def\O{{\mathcal{O}_{\s}}}
\begin{defn}
	Dato $x,y\in X,\;\;\s\in S_n$ definiamo la seguente relazione:
	\eal{&x\sim y \= \exists i\in \mathbb{Z}:\;y=\s^i(x)}
	e' una relazione d'equivalenza.\\
	La classe d'equivalenza di $x$ si indica con $\O(x)$ e viene chiamata
	\emph{orbita} di $x$ sotto l'azione di $\s$.
	\ilabel{orbita}
\end{defn}
\begin{prop}
	Dato $x\in X$,
	\eal{&\exists m\in \mathbb{Z}:\;\;\s^m(x)=x}
\end{prop}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
	Poiche' $X$ e' finito,
	\eal{&\exists h,k\in \mathbb{N}_{>0}:\;\s^h(x)=\s^k(x)\\
	&\T{applicando $\s^{-k}$ ad ambo i membri: } \s^{h-k}(x)=\s^0(x)=\id(x)=x
	} 
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}
\label{proporbita}
	\eal{&\O(x)=\pgra{x,\s(x),\s^2(x),\dots,\s^{m-1}(x)}}
	dove $m$ e' il minimo intero tale che $\s^m(x)=x$.
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
\begin{prova}
	Basta ripetere i passi della dimostrazione del thm \see{thmogeqcardg}
	nel caso finito, effettuando le seguenti sostituzioni:
	\eal{&p\longrightarrow m\\
	&\.\longrightarrow \o\\
	&\gen{g} \longrightarrow \O(x)
	}
	e adoperando $g$ come se fosse $\s(x)$
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\def\c{{\gamma}}
\begin{defn}
Sia $x\in X$ e $m$ il piu' piccolo intero tale che $\s^m(x)=x$.\\
Diremo ciclo $\c$ di $\s$, generato da $x$, la seguente permutazione:
\eal{&\c:X\longrightarrow X\\
&\c(y)=\sist{\s(y)&y\in \O(x)\\
		y&y\notin \O(x)} }
che indicheremo semplicemente con
\eal{&\c=(x,\s(x),\s^2(x),\dots,\s^{m-1}(x))}
La proposizione \see{proporbita} ci garantisce che $\c$ e' biunivoca.\\
Equivalentemente possiamo dire:
\eal{&
\c=\begin{pmatrix}
x	&\s(x)	&\ldots&\s^{m-1}(x)	&x_1&x_2&\ldots&x_{n-m}\\
\s(x)	&\s^2(x)&\ldots&\s^m(x)=x	&x_1&x_2&\ldots&x_{n-m}
\end{pmatrix}
}
Dove $x_1,x_2,x_{n-m}$ sono gli elementi di $X\-\O(x)$.\\
$m$ si chiama \emph{lunghezza} del ciclo e si puo' indicare con $l(\c)$\\
Con $m$-ciclo intendiamo un ciclo di lunghezza $m$.\\

Siano $\c_1,\c_2$ due cicli generati da $x_1,x_2$,
\eal{&\c_1,\c_2\T{ sono disgiunti } \definizione{\=}\O(x_1)\^\O(x_2)=\0
}
\end{defn}
\begin{prova}
	\pf\step{}{$\c$ e' biunivoca}
	\begin{prova}
E' iniettiva: analizziamo solo il caso $y,y'\in \O(x)$\\
$y \neq y' \> (\c(y) \neq \c(y')\=\s(y) \neq \s(y'))$. Quest'ultima e' vera
perche' in $\O(x)$ gli elementi sono due a due distinti (\see{proporbita}).\\
E' surriettiva: per costruzione di $\c$ e sempre per il fatto che in $\O(x)$ gli elementi
sono due a due distinti.
	\end{prova}
\end{prova}
\begin{exemp}
	\eal{&\s=\begin{pmatrix}
		1&2&3&4\\
		3&1&2&4
	\end{pmatrix}\\
	&\O(1)=\pgra{1,3,2}\\
	&\O(4)=\pgra{4}\\
	&\T{cicli: }(1,3,2),(4)\\
	&(1,3,2)=(3,2,1)=\begin{pmatrix}
		1&3&2\\
		3&2&1
	\end{pmatrix}\\
	&(3,1,2)\T{ non e' un ciclo di }\s
	}
\end{exemp}
\begin{prop}
Il prodotto di cicli disgiunti e' commutativo, cioe' $\c_i\c_j=\c_j\c_i$.
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
\begin{prova}
Sia $\O[\c_j]$ l'orbita che da' luogo a $\c_j$, e $\O[\c_i]$ quella di $\c_i$,
cioe' $y\in \O[\c_j]\>\s(y)=\c_j(y)$.\\
Per definizione di ciclo, abbiamo:
\eal{
&\c_j(y)=\sist{\s(y)&y\in \O[\c_j]\\ y&y\notin\O[\c_j]}\\
&\c_i(y)=\sist{\s(y)&y\in \O[\c_i]\\ y&y\notin\O[\c_i]}\\
&\T{Poiche' }y\in \O[\c_i] \> y\notin \O[\c_j],\;\;\s(y)\in \O[\c_i]\>\s(y)\notin \O[\c_j]\\
&\qq 
\c_j(\c_i(y))=\sist{
\s(y)&y\in\O[\c_i]\\
\sist{\s(y)&y\in \O[\c_j]\\
y&y\notin \O[\c_j]
}&y\notin \O[\c_i]
}\\
&\qq \c_i(\c_j(y))=\sist{
\s(y)&y\in\O[\c_j]\\
\sist{\s(y)&y\in \O[\c_i]\\
y&y\notin \O[\c_i]
}&y\notin \O[\c_j]
}
}
si nota subito che le due composizioni sono uguali, ad esempio,
\eal{&y\in \O[\c_j] \> \c_i(\c_j(y))=\s(y)\\
&y\in \O[\c_j] \> y\notin \O[\c_i] \> \c_j(\c_i(y))=\sist{\s(y)&y\in \O[\c_j]\\
y&y\notin \O[\c_j]
},\;y\in \O[\c_j] \> \c_j(\c_i(y))=\s(y)\\
&\c_i(\c_j(y))=\c_j(\c_i(y))
}
\end{prova}
\end{prova}
\begin{thm}
\label{thmpermutprodottocicli}
Sia $\s\in S_n$, e siano $\c_1,\c_2,\dots,\c_k$ tutti i suoi cicli
disgiunti, allora
\eal{&\s=\c_1\o\c_2\o\dots\o\c_k}
cioe', $\s$ e' prodotto dei suoi cicli.
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
\step{}{Dimostriamo il teorema}
\begin{prova}
	Dobbiamo dimostrare che
\eal{&\s(x)=\c_1\c_2\dots\c_k(x)\;\;\forall x\in X
	}
	Fissiamo $x\in X$.
Poiche' $\c_1,\dots,\c_k$ sono tutti i cicli disgiunti di $\s$, esistera' un
$\c_i$ associato all'orbita $\O(x)$, cioe'
\eal{&\c_i=(x,\s(x),\s^2(x),\dots,\s^{m-1}(x))}
dove $m$ e' la lunghezza di $\c_i$.\\
Poiche' i cicli sono disgiunti, \eal{&\forall y\in \O(x)\;\forall j \neq
i\;y\notin \O[\c_j]\;\;(1)}. Dove con
$\O[\c_j]$ indichiamo l'orbita che da' luogo a $\c_j$. Quindi
\eal{&(1) \> \forall j \neq i\;\;\c_j(x)=x}
allora, se $i<k$, vale la seguente:
\eal{&\c_1\c_2\dots\c_i\dots\c_k(x)=\c_1\c_2\dots\c_i(x)\\
&\c_i(x)=\s(x)\in  \O(x) \ubrace{\>}{(1)} \s(x) \notin \O[\c_j]\forall j \neq
i\\
&\c_1\c_2\dots\c_i(x)=
\c_1\c_2\dots\c_{i-1}\s(x)=\s(x)
}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}
	\label{proplunghezzordine}
	L'ordine di un ciclo $\c$ e' pari alla sua lunghezza:
	\eal{&o(\c)=l(\c)}
\end{prop}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
	Basta osservare che
\eal{
&y\in \O(x) \> \s(y)\in \O(x) \> \c^i(y)=\sist{\s^i(y)&y\in \O(x)\\
		y&y\notin \O(x)}\\
		&\pton{y\in \O(x) \= \exists k:\;\s^k(x)=y} \>  \c^i(y)=
\sist{\s^{i+k}(x)&\exists k:\;\s^k(x)=y\\
y&\T{ altrimenti }}
		}
Percio' per definizione di lunghezza, otteniamo:
\eal{&\c^m(y)=\sist{\s^{m+k}(x)=\s^k(\s^m(x))=\s^k(x)=y&\exists
k:\;\s^k(x)=y\\y&\T{ altrimenti }} =\sist{y\\y}=\id(y)
}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{thm}
	\label{thmordinepermutazione}
Data la permutazione $\s=\c_1\c_2\dots\c_k$, prodotto di cicli disgiunti, si ha
\eal{&o(\s)=\mcm(l(\c_1),l(\c_2),\dots,l(\c_k))
}
cioe', l'ordine di una permutazione e' pari al mcm delle lunghezze dei suoi
cicli.
\end{thm}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
Siano dati i seguenti oggetti:
\eal{&m_i=l(\c_i),\;\;i=1,2,\dots,k\\
&M=\mcm(l(\c_1),l(\c_2),\dots,l(\c_k))=\mcm(m_1,m_2,\dots,m_k)\\
&q_i=\frac{M}{m_i}\;\;i=1,2,\dots,k\\
&N=o(\s)
}
Allora
\eal{&
(\s)^M=(\c_1\c_2\dots\c_k)^M \ubrace{=}{(!)}\c_1^M\c_2^M\dots\c_k^M=
\c_1^{m_1q_1}\c_2^{m_2q_2}\dots\c_k^{m_kq_k}=\\
&\qq =(\c_1^{m_1})^{q_1}(\c_2^{m_2})^{q_2}\dots(\c_k^{m_k})^{q_k}
\ubrace{=}{\see{proplunghezzordine}} \id\\
&\qq  \ubrace{\>}{\see{corpropieqjmodzp}} N\div M
}
Nota: l'uguaglianza $(!)$ e' valida perche' il prodotto di cicli disgiunti e'
commutativo.\\
E' anche vero che:
\eal{&\e=\s^N=(\c_1\c_2\dots\c_k)^N=\c_1^N\c_2^N\dots\c_k^N\\
&\c_1^N\c_2^N\dots\c_k^N=\e  \ubrace{\>}{(2)} \c_i^N=\e,\;i=1,2,\dots,k\;\;(3)\\
}
(2) se per assurdo esistesse un $\c_{j_1}^N \neq \id$, allora affinche'
$\c_1^N\c_2^N\dots\c_k^N=\e$, dovrebbe almeno esistere il suo inverso nel
prodotto, cioe' un
$\c_{j_2}^N=\c_{j_1}^{-N}$. Ma questo e' assurdo perche' $\c_{j_1}^{-N}$ non
e' disgiunto da $\c_{j_1}^{N}$.
Quindi,
\eal{&(3) \ubrace{\>}{{\see{corpropieqjmodzp}}} m_i\div N,\;i=1,2,\dots,k\>
M\div N\\
&N\div M,\;M\div N \> M=N
}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{cor}
	\ilabel{trasposizione}
Ogni permutazione e' prodotto di trasposizioni.
Una trasposizione e' un ciclo di lunghezza $2$.
\end{cor}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
	Un ciclo $\c=(x,\s(x),\dots,\s^{m-1}(x))$ si puo' esprimere come prodotto di
trasposizioni: \eal{&
\c=(x,\s^{m-1}(x))(x,\s^{m-2}(x))\dots(x,\s(x))}
graficamente:
\eal{&
(x,\s^{m-1}(x))(x,\s^{m-2}(x))\dots(x,\s(x))=\\
&\qq =
\begin{pmatrix}
	x	&	\s(x)	&	\s^2(x)	&\s^3(x)&\ldots	&\s^{m-1}(x) \\
	\s(x)	&	x	&	\s^2(x) &\s^3(x)&\ldots	&\s^{m-1}(x) \\
	\s(x)	&	\s^2(x)	&	x	&\s^3(x)&\ldots	&\s^{m-1}(x) \\
	\s(x)	&	\s^2(x)	&	\s^3(x)	&x	&\ldots	&\s^{m-1}(x) \\
	\vdots&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots\\
	\s(x)	& 	\s^2(x) &	\s^3(x) &\s^4(x)&\ldots	&\s^m(x)=x
\end{pmatrix} =\\
& \qq =\begin{pmatrix}
x	&	\s(x)	&	\s^2(x)	&\s^3(x)&\ldots	&\s^{m-1}(x) \\
\s(x)	& 	\s^2(x) &	\s^3(x) &\s^4(x)&\ldots	&\s^m(x)=x
\end{pmatrix} =\\
& \qq = \c
}
%\xymatrix{
%x\ar[dr]	& x\ar[ddr]        & x\ar[dddr]    & \dots & x\ar[ddddr]	& x\\
%\s(x) \ar[ur]	& \s(x) \ar[r] 	   & \s(x)\ar[r]   & \dots & \s(x)\ar[r]	& \s(x)\\
%\s^2(x)\ar[r]   & \s^2(x) \ar[uur] & \s^2(x)\ar[r] & \dots & \s^2(x)\ar[r] 	&\s^{2}(x)\\
%\vdots		&\vdots		   &\vdots	   & \vdots & \vdots  	   	& \vdots  \\
%\s^{m-1}(x)\ar[r]   & \s^{m-1}(x) \ar[r] & \s^{m-1}(x)\ar[r] & \dots & \s^{m-1}(x)\ar[uuuur] &\s^{m-1}(x)\\
% & & & & & &
%}\\
e quindi per il thm \see{thmpermutprodottocicli} si ha la tesi.
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{exemp}
\eal{&(1,4,2,3)=(1,3)(1,2)(1,4)=(3,1,4,2)=(3,2)(3,4)(3,1)}
come si nota da questo esempio, la scrittura di un ciclo come prodotto di
trasposizioni non e' unica.
\end{exemp}
\begin{defn}
	\ilabel{permutazione pari}
Sia $\s$ una permutazione
\def\t{{\tau}}
\eal{&\s\T{ e' pari } \definizione{\=} \exists \t_1,\dots,\t_{2h}\T{
trasposizioni t.c. }\s=\t_1\t_2\cdots \t_{2h}}
Ovvero, $\s$ e' pari se si puo' scrivere come prodotto di un numero pari di
trasposizioni.
\end{defn}
\begin{thm}\label{thmunicitascritturapermutazpari}
Se una permutazione $\s\in S_n$ e' esprimibile come prodotto di un numero pari di
trasposizioni, allora ogni sua altra scrittura come prodotto di trasposizioni
sara' pari.
%Per questo motivo, la definizione di \emph{permutazione pari} data sopra ha
%senso, perche' indipendente dalla scrittura usata.
\end{thm}
\begin{prova}
\def\t{{\tau}}
\pf{Costruiamo un polinomio $P$ a cui possiamo applicare trasposizioni
$\tau$ e il cui segno viene influenzato proprio da $\t$.\\
Faremo poi vedere che applicando un numero pari di trasposizioni, avra' segno
positivo.
}
\begin{prova}
Definiamo il polinomio:
\eal{&
P(x_1,x_2,\dots,x_n)=\prod_{1\le  i<j\le  n}(x_i-x_j)
}
e l'azione di $\s$ su di esso:
\eal{&\s(P(x_1,x_2,\dots,x_n)):=P(x_{\s(1)},x_{\s(2)},\dots,x_{\s(n)})}
Ad esempio,
\eal{&P(x_1,x_2,x_3,x_4)=
((x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4))((x_2-x_3)(x_2-x_4))(x_3-x_4)\\
&(1,3,2,4)(P)=((x_3-x_4)(x_3-x_2)(x_3-x_1))((x_4-x_2)(x_4-x_1))(x_2-x_1)\\
&\T{dove }(1,3,2,4) \T{ e' un ciclo}.
}
Sia $\t=(i,j)$ una qualsiasi trasposizione, con $1\le i<j\le n$. Siano
$a,b\in \mathbb{N}:\;1\le a,b\le n,\;a,b \neq i,j$. Esaminiamo cosa accade ai monomi di $P$ quando
gli applichiamo $\t$:
\[
\begin{array}{ll}
a<j	&\t(x_a-x_j)=x_a-x_i=\sist{x_a-x_i & a< i\\
				   -(x_i-x_a) & a > i}\\
a>j>i	&\t(x_j-x_a)=x_i-x_a\\
a<i<j	&\t(x_a-x_i)=x_a-x_j\\
a>i	&\t(x_i-x_a)=x_j-x_a=\sist{x_j-x_a & a>j\\
				   -(x_a-x_j) & a <j}\\
	&\t(x_i-x_j)=x_j-x_i=-(x_i-x_j)\\
a<b	&\t(x_a-x_b)=x_a-x_b\\
a>b	&\t(x_b-x_a)=x_b-x_a\\
\end{array}
\]
Quindi, il segno influenza solo i fattori dove c'e' almeno un $x_i,x_j$. Piu'
precisamente $\t(x_a-x_j)$ cambia segno quando $i<a<j$, $\t(x_i-x_a)$ quando
$i<a<j$, e $\t(x_i-x_j)$ in ogni caso.\\
Allora ci saranno un totale di
\eal{&(j-i-1)+(j-i-1)+1=2(j-i-1)+1}
cambiamenti di segno. Indipendentemente da $i,j$ e quindi da $\t$, il numero
di cambiamenti e' sempre dispari. Da questo deduciamo che se applichiamo $k$
trasposizioni, il segno sara' positivo se $k\in 2\mathbb{N}$, negativo
altrimenti.	
\end{prova}
\qedstep
\begin{prova}
	Poiche' $\s$ e' prodotto di trasformazioni (\see{trasposizione}),
	avremo:
	\eal{&\s(P)=\pm P}
Se per assurdo $\s$ e' esprimibile una volta come permutazione pari e un'altra
come permutazione dispari, avremo:
\eal{&\s(P)=+P\\
&\s(P)=-P}
Il che' e' assurdo, perche' $\s$ e' una funzione e quindi associa ad ogni
elemento del suo dominio uno ed un solo elemento del codominio.
\end{prova}
\qed
\end{prova}

\begin{prop}\label{permparicaratterizz}
Data la permutazione $\s=\c_1\c_2\dots\c_c$,  con $\c_i$ ciclo $\forall
i=1,\dots,c$, si ha
%prodotto di cicli disgiunti, 
\eal{&\s\T{ e' pari } \= L-c\T{ e' pari }\\
&L= \sum_{i=1}^cl(\c_i)}
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
Scriviamo ogni ciclo $\c_i$ come prodotto di trasposizioni utilizzando
il metodo visto nella dimostrazione del cor \see{trasposizione}. Quindi, ogni
ciclo di lunghezza $l_i=l(\c_i)$ lo esprimiamo come prodotto di $l_i-1$
trasposizioni.
Quindi, in totale avremo
\eal{&\sum_{i=1}^{c} (l_i-1) = (\ubrace{\sum_{i=1}^{c} l_i}{L}) -c= L-c}
trasposizioni.
\begin{pnecessaria}
	Se $\s$ e' pari, per il thm \see{thmunicitascritturapermutazpari}
	$L-c$ deve essere pari.
\end{pnecessaria}
\begin{psufficiente}
Per Hp $L-c$ e' pari, quindi siamo riusciti a esprimere $\s$ come prodotto di
un numero pari di trasposizioni.
\end{psufficiente}
\qed
\end{prova}

\begin{prop}
	\label{AndiSn}
	\eal{&A_n=\pgra{\s\in S_n\;|\;\s\T{ e' pari}}\\
	&A_n \le S_n}
\end{prop}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
\def\ty{{\vartheta}}
\def\t{{\tau}}
Siano $\s_1,\s_2\in A_n$, che esprimiamo come prodotto di trasposizioni:
\eal{
&\s_1=\t_1\t_2\dots\t_{2k}\\
&\s_2=\ty_1\ty_2\dots\ty_{2h}\\
&\s_1\s_2=\t_1\t_2\dots\t_{2k}\ty_1\ty_2\dots\ty_{2h}=\t_1'\t_2'\dots\t_{2(h+k)}'\in A_n
}
$A_n$ e' finito, quindi per la caratterizzazione \see{sottogruppo finito!caratterizzazione}
$A_n \le S_n$.
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}
	\label{propnumpermpari}
	\eal{&|A_n|=|S_n\-A_n|=\frac{|S_n|}{2}=\frac{n!}{2}}
\end{prop}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
\def\r{{\rho}}
Per il thm di Lagrange
(\see{thmdilagrange}), abbiamo:
\eal{&|S_n|=|A_n| \ig{A_n} }
d'altra parte, prendendo $\r\in A_n,\;\s\in S_n$,  $\s\r$ o sta' in $A_n$ o in $S_n\-A_n$,
cioe' $\r\s$ e' una permutazioni pari o dispari. Quindi le uniche classi
modulo $A_n$ sono $A_n$ e $S_n\-A_n$, ovvero $\ig{A_n} =2$, percio'
\eal{&|A_n|=\frac{|S_n|}{2} }
Infine, $|S_n\-A_n|=|S_n|-|A_n|=\frac{|S_n|}{2}$
\end{prova}
\qed
\end{prova}

\def\t{{\tau}}
\def\sc#1{{\operatorname{sc}\pton{#1}}}
\begin{defn}
	Sia $\s\in S_n$ espressa come prodotto dei suoi cicli disgiunti:
	\eal{&\s=\c_1\o\c_2\o\dots\o\c_k}
	diremo che la struttura ciclica di $\s$ e' la seguente tupla
	\textbf{non ordinata}:
	\eal{
		&\sc \s=(l(\c_1), l(\c_2),\dots,l(\c_k))
	}
\end{defn}
\begin{defn}
	Diremo che $\s\in S_n$ e' una coniugata di $\s'\in S_n$ sse esiste una
	permutazione $\t \in S_n$ t.c.
	\eal{&\s'=\t\s\inv \t}
\end{defn}
\begin{thm}
\label{thmsymconiugata}
In $S_n$,
\eal{\T{$\s$ coniugata $\s' \= \sc\s=\sc{\s'}$}}
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf\step{}{Dim $\>$}
\begin{prova}
\eal{&\s'=\t\s\inv \t\\
&\s'(\t(x))=\t\s\inv \t\t(x)=\t(\s(x))\\
&\s'(\t(x))=\t(\s(x))
}
Ovvero, il corrispondente in $\s'$ del successivo di $x$ in $\s$, cioe' $\t(\s(x))$,
e' il successivo in $\s'$ del corrispondente di $x$ in $\s'$.\\
Quindi ogni ciclo di $\s$ ha la stessa lunghezza del ciclo corrispondente in
$\s'$.  Questo dimostra che $\s,\s'$ hanno la stessa struttura ciclica.\\
Ad esempio, se $\s=(1,3,2)(5,4)$, allora' la sua coniugata $\s'$ sara'
$\s'=(\t(1),\t(3),\t(2))(\t(5),\t(4))$.
\end{prova}
\step{}{Dim $\<$}
\begin{prova}
\def\OO{{\mathcal{O}}}
Sia $\OO$ la famiglia di tutte le orbite di $\s$, e $\OO'$ quella di $\s'$.\\
Come abbiamo visto prima, condizione caratteristica di $\t$, e' che 
\eal{&\forall O\in \OO \;\forall x\in O \;\;\;\s'(\t(x))=\t(\s(x))}
allora poniamo $y=\t(x)$, e abbiamo
\eal{&\t(\s(x))=\s'(y)}
a questo punto, poiche' $\t$ deve essere biunivoca, imponiamo che $y\in
O'\in \OO'$, dove $|O'|=|O|$. Per ipotesi $O'$ esiste sicuramente.\\
Abbiamo cosi' definito $\t$: $\t$ e' una qualsiasi permutazione di $S_n$ tale
che:
\[
\begin{array}{rcl}
x\in O\in \OO &\mapsto& y\in O'\in \OO'\\
\s(x)\in O &\mapsto& \s'(y) \in O'\\
\T{ con } |O|=|O'|& &
\end{array}
\]
Ricapitolando:
\begin{enumerate}
	\item prendiamo una qualsiasi orbita $O\in \OO$
	\item prendiamo un qualsiasi elemento $x\in O$
	\item prendiamo una qualsiasi orbita $O'\in \OO':\;|O|=|O'|$
	\item prendiamo un qualsiasi elemento $y\in O'$
	\item poniamo $\t(x)=y,\;\t(\s(x))=\s'(y)$
\end{enumerate}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{exemp}
	\label{expconiugatapratica}
Se $\s=(1,3,2)(5,4)$, allora' la sua coniugata $\s'$ sara'
$\s'=(\t(1),\t(3),\t(2))(\t(5),\t(4))$.\\
Viceversa, consideriamo $\s'=(5,4,1)(2,3)$, che e' una permutazione con la stessa struttura ciclica di
$\s$, allora una $\t$ t.c. $\s'=\t\s\inv t$ sara':
\eal{&\t(1)=5\\
&\t(3)=4\\
&\t(2)=1\\
&\t(5)=2\\
&\t(4)=3
}
ovvero
\eal{&\t=(1,5,2)(3,4)}
\end{exemp}
\begin{prop}
L'\emph{essere coniugato} e' una relazione di equivalenza.
\end{prop}
\begin{prova}
	\def\r{{\rho}}
\pf
\step{}{Riflessivita': $\s\sim \s$}
\begin{prova}
	$\s=\id\s\inv \id$
\end{prova}
\step{}{Simmetria: $\s\sim \s'\>\s'\sim \s$}
\begin{prova}
\eal{&\s'=\t\s\inv\t\>\inv\t\s'\t=\s}
\end{prova}
\step{}{Transitivita': $\s\sim\s',\s'\sim \s''\>\s\sim \s''$}
\begin{prova}
	\eal{&\s'=\t\s\inv\t,\;\s''=\r\s'\inv {\r}\\
	& \> \s''=\r(\t\s\inv\t)\inv {\r}=(\r\t)\s(\inv\t\inv{\r})
	}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}
Data $P$ partizione di $S_n$ secondo la relazione d'equivalenza data prima,
ovvero $P$ e' l'insieme di tutte le classi coniugate, si ha
\eal{&|P|=|\pgra{\T{strutture cicliche di $S_n$}}|}
\end{prop}
\begin{prova}
\pf\begin{prova}
Diretta conseguenza del thm \see{thmsymconiugata}: se $\s,\s'$ sono coniugate,
allora hanno la stessa struttura ciclica e viceversa, per ogni classe di $P$
esiste una ed una sola struttura ciclica di $S_n$.
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}
\label{propnumstruttcicliche}\qq\\
\eal{&|\pgra{\T{strutture cicliche di $S_n$}}|=p(n)=\ove p(1,n)\\
&\ove p(k,n)=\sist{0 & n < k\\
		   1 & n = k\\
		   \ove p(k, n-k) + \ove p(k+1, n)&n>k}
}
dove $p(n)$ e' il numero di partizioni dell'intero $n$.\\
Una
partizione di un intero $n$ e' una tupla \textbf{non ordinata} di numeri positivi $n_1\ge n_2\ge
\dots\ge n_k$ t.c. $n=n_1+n_2+\dots+n_k$. Ad esempio, tutte le partizioni di
$4$ sono: $\pgra{(4),(3,1),(2,2),(2,1,1),(1,1,1,1)}$, inoltre
$p(4)=|\pgra{(4),(3,1),(2,2),(2,1,1),(1,1,1,1)}|=5$.
\end{prop}
\begin{prova}
\pf\step{}{Dimostriamo la prima uguaglianza}
\begin{prova}
Consideriamo $\s\in S_n$ come prodotto di cicli disgiunti.
Poiche' la lunghezza di ogni ciclo e' $\le n$ e poiche' i cicli sono disgiunti, al massimo la somma delle loro lunghezze e'
$n$:
\eal{&\s=\c_1\c_2\dots \c_k\\
&h=\sum_{i=1}^{k}l(\c_i) \le  n }
La differenza $n-h$ puo' essere pero' ``recuperata'' adoperando il ciclo
identita' $(x)$, con $x$ un qualsiasi elemento di $S_n$, senza cosi' cambiare $\s$:
\eal{&\s=\c_1\c_2\dots \c_k\ubrace{(x)(x)\dots(x)}{n-h\T{ volte}}
\longrightarrow
l(\c_1)+l(\c_2)+\dots+l(\c_k)+\ubrace{1+1+\dots+1}{n-h\T{ volte}}=h+n-h=n
}
Quindi la tupla non ordinata $(l(\c_1),l(\c_2),\dots,l(\c_k),\ubrace{1+1+\dots+1}{n-h\T{ volte}})$
e' una partizione di $n$. Ma per definizione, e' anche una struttura ciclica.
Abbiamo cosi' mostrato che a ogni struttura ciclica corrisponde una
partizione di $n$.  Analogamente, si vede che vale il viceversa.\\
\end{prova}
\step{}{Dimostriamo $p(n)=\ove p(1,n)$}
\begin{prova}
$\ove p(k,n)$ e' il numero di partizioni di $n$ formate da elementi tutti
$\ge k$. Quindi $\ove p(1,n)$ e' proprio $p(n)$.\\
Dimostriamo allora che $\ove p(k,n)$ e' quanto detto.\\
Fissiamo $k$ positivo. Possono verificarsi tre casi:
\case{$n<k$}
\begin{prova}
In questo caso non esistono partizioni di $n$ che hanno un elemento $\ge k$.
Quindi $p(k,n)=0$
\end{prova}
\case{$n=k$}
\begin{prova}
In questo caso esiste una sola partizione di $n$ che ha un elemento $\ge k=n$,
ovvero un elemento $=n$. Essa e' proprio la partizione $(n)$. Quindi
$p(k,n)=1$.
\end{prova}
\step{}{$n>k$}
\begin{prova}
Poiche' $n>k$ possiamo scrivere: $n=(n-k)+k$.\\
A questo punto possiamo esaminare quante partizioni del numero $(n-k)$ esistano che abbiano elementi
tutti $\ge k$, cosi' ad esempio, se $(k_1,k_2,\dots,k_t)$ e' una tale
partizione, potremo scrivere:
\eal{&n=\ubrace{(k_1+k_2+\dots+k_t)}{=n-k}+k\;\;(1)}
Tali partizioni saranno in numero $\ove p(k,n-k)$.\\
Le partizioni di $n$ di tipo $(1)$, hanno tutte almeno un elemento $=k$.
Allora, poiche' la definizione di $\ove p(k,n)$ richiede anche partizioni di
$n$ con elementi tutti $>k$, contiamo tutte le partizioni di $n$ che hanno
elementi tutti $\ge k+1$, ossia $\ove p(k+1,n)$.\\
Concludendo: $\ove p(k,n)=\ove p(k,n-k)+\ove p(k+1,n)$
\end{prova}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}
	Il numero di permutazioni di $S_n$ che hanno tutte una prefissata
	struttura ciclica $(m_1,m_2,\dots,m_k)$ e':
	\eal{
	&Pc(m_1,m_2,\dots,m_k)=\frac{1}{k!}\prod_{i=1}^k C(m_i, n-\sum_{j=0}^{i-1}m_{j})\\
	&C(k,n):=\frac{n!}{k(n-k)!}\\
	&m_0:=0
	}
\end{prop}
\begin{prova}
\pf
\step{}{
	Contiamo intanto quante permutazioni si possono esprimere con un ciclo di
lunghezza $m$.\\
	}
\begin{prova}
Consideriamo $X=\pgra{x_1,x_2,\dots,x_n}$. 
Possiamo esprimere ogni $k$-ciclo con una $k$-upla di elementi di $X$ (cosi' come abbiamo fatto in
precedenza).
Vediamo quante sono tutte le possibili $k$-uple distinte di elementi di $X$:
\eal{&\T{
Tutte le disposizioni semplici di $k$ elementi di $X$ }\\&\T{in tuple ordinate di $k$ elementi, sono
} \frac{n!}{(n-k)!} }
Pero', un $k$-ciclo, a differenza di una tupla ordinata, resta uguale a se 
stesso anche se lo trasliamo a sinistra, ad esempio $(a,b,c)=(b,c,a)$.
Tutte le traslazioni a sinistra distinte sono $k$.\\
Quindi, poiche' le disposizioni semplici considerano anche l'ordine di
disposizione degli elementi, cioe' $(a,b,c) \neq (a,c,b),\;(a,b,c) \neq
(b,c,a)$, nel nostro conteggio dobbiamo considerare una sola volta tutti le $k$
traslazioni di ogni tupla. Quindi, basta dividere per $k$ il numero di disposizioni
semplici, e otteniamo:
\eal{& C(k,n):=\frac{n!}{k(n-k)!} }
\end{prova}
\step{}{Consideriamo anche il prodotto di cicli disgiunti}
\begin{prova}
Siano $T_1,T_2,\dots,T_h$ rispettivamente gli insiemi di tutti i cicli di lunghezza $m_1,m_2,\dots,m_h$.\\
Supponiamo che i cicli di un $T_i$ siano tutti disgiunti dai cicli di un $T_j$, con $i \neq j$.\\
Quello che dobbiamo fare e' contare tutti i possibili prodotti del tipo:
\eal{&t_1t_2\dots t_h\\
&t_i\in T_i,\;i=1,2,\dots,h}
Scegliamo un $m_1$-ciclo come primo fattore. Tutte le possibili scelte sono:
$C(m_1, n)$.\\
Adesso scegliamo un $m_2$-ciclo come secondo fattore.
Poiche' i cicli $m_1$ sono disgiunti da quelli $m_2$, adesso ogni $m_2$-ciclo
che sara' possibile formare avra' a disposizione $n-m_1$ elementi di $X$.
Quindi tutte le possibili scelte rimaste di $m_2$ cicli sono in numero: 
$C(m_2, n-m_1)$.\\
Cosi' procedendo arriviamo fino all'ultimo fattore $m_h$-ciclo. Le possibili
scelte per l'ultimo fattore saranno: $C(m_h, n-(m_1+\dots+m_{h-1}))$.\\

Allora, il numero totale delle scelte possibili e':
\eal{&{C(m_1,n)C(m_2, n-m_1)C(m_3,n-(m_1+m_2))\dots C(m_h, n-(m_1+\dots+m_{h-1}))}}
Considerando pero' che il prodotto tra cicli disgiunti e' commutativo, non
dobbiamo contare i prodotti che sono permutazione di altri prodotti, quindi
bastera' dividere per $h!$:
\eal{&
Pc(m_1,m_2,\dots,m_h)=\\
&\qq =\frac{1}{h!}\pton{C(m_1,n)C(m_2, n-m_1)C(m_3,n-(m_1+m_2))\dots C(m_h, n-(m_1+\dots+m_{h-1}))}}
che e' la tesi.
\end{prova}
\qed
\end{prova}

\begin{prop}\label{Sngenerato}
	\eal{&S_n=\gen{(1,2),(2,3),(3,4),\dots,(n-1,n)}=\gen{(1,2),(1,2,3,\dots,n)}}
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $G=\gen{(1,2),(2,3),(3,4),\dots,(n-1,n)}$. E' chiaro che $G\(S_n$
\eal{&(1,s),(s,s+1) \in G \> (1,s)(s,s+1)(1,s)=(1,s+1) \in G\\
&\T{quindi, }\forall s\in{2,\dots,n}\;\;(1,s)\in G\\
&(1,r)(1,s)(1,r)=(r,s) \in G\\
&\T{quindi, } \forall s\in {2,\dots,n},\;\;\forall r\in {1,\dots,n}\;\;(r,s)\in G
}
Quindi $G$ contiene tutte le possibili trasposizioni di $n$ elementi. Essendo
un gruppo contiene tutti i loro prodotti, e poiche' ogni $\s \in S_n$ e'
prodotto di trasposizioni, si ha $G\)S_n$.\\
\def\s{{\sigma}}
Infine, sia $\t=(1,2,3,\dots,n)$. Considerando che $\t^i(x)=x+i$, per il thm \see{thmsymconiugata} (vedi anche
\see{expconiugatapratica}), si ha
\eal{&\t^i(1,2)\t^{-i}=(1+i,2+i)\;\;\forall i=0,1,\dots,n-2\\
&\qq \> (1,2),(2,3),(3,4),\dots,(n-1,n)
\in \gen{(1,2),(1,2,3,\dots,n)}\\
&\qq \> S_n=\gen{(1,2),(2,3),(3,4),\dots,(n-1,n)} \(
\gen{(1,2),(1,2,3,\dots,n)} \( S_n
}
\end{proof}
\begin{prop}Sia $n>2$, allora
	\eal{&{Z}(S_n)=\pgra{\id}}
	Ovvero, il centro di $S_n$ e' banale.\\
	Da qui si capisce perche' $S_n$ non e' abeliano.
\end{prop}
\begin{proof}
\def\O{{\mathcal{O}}}
	\eal{&\s\in Z(S_n) \= \forall \tau \in S_n\;\;\tau \s=\s\tau\=
	\forall \tau\in S_n\;\;\tau\s\inv \tau=\s\;\;(1)}
	Se per assurdo, $\s \neq \id$, ovvero $\exists i\in
	\pgra{1,\dots,n}:\s(i)=j,\;j \neq i$. Scegliendo 
	\eal{&\tau=(x,i),\T{ dove } x \notin\pgra{i,j}\T{ [scelta lecita
	perche' $n>2$]}}
	abbiamo
	\eal{&\T{Sia }\s'=\tau\s\inv \tau\\
	&\s'=\tau\s\inv \tau \= \s'\tau=\tau \s\\
	&\s'(\tau(x))=\tau(\s(x)) \= \s'(i) = \tau(\s(x))
	}
	\case{$\s(x)=x$}
	\begin{prova}
		\eal{&\s'(i)=\tau(x)=i \neq j \>\s' \neq \s }
		assurdo contro la $(1)$
	\end{prova}
	\case{$\s(x) \neq x$}
	\begin{prova}
		\case{$\s(x)=i$}
		\begin{prova}
	\eal{&\s'(i)=\tau(\s(x))=\tau(i)=x \neq j\>\s' \neq \s
			}
			assurdo contro la $(1)$
		\end{prova}
		\case{$\s(x)\notin\{x,i\}$}
		\begin{prova}
		\eal{&\sist{x \neq i\\
		\s(i)=j}  \ubrace{\>}{\s\T{ biettiva }} \s(x) \neq j\\
		&\sist{\s(x)\notin\pgra{x,i}\\
		\tau=(x,i)} \> \tau(\s(x))=\s(x)\\
			&\s'(i)=\tau(\s(x))=\s(x) \neq j \> \s' \neq \s}
			assurdo contro la $(1)$
		\end{prova}
	\end{prova}
Tutti questi assurdi derivano dall'aver supposto $\s \neq \id$. Quindi,
$\s=\id$.
\end{proof}

\begin{exemp}\label{studiodiS3}
Studiamo $S_3$.\\
\eal{&S_3=\pgra{(1),\;(1,2),(2,3),(1,3),(1,2,3), (1,3,2)}\\
&|S_3|=3! = 6\\
&A_3=\pgra{(1),(1,2,3),(1,3,2)}\\
&|A_3| \ubrace{=}{\see{propnumpermpari}}  \frac{3!}{2}=3\\
&H_1=\pgra{(1),(1,2)}\\
&H_2=\pgra{(1),(2,3)}\\
&H_3=\pgra{(1),(1,3)}\\
&\pgra{H \le S_3}=\pgra{\pgra{\e=(1)}, A_3, H_1,H_2,H_3}
}
Il diagramma delle inclusioni dei sottogruppi:\\
\xymatrix{& & S_3\ar@{<-}[dll]\ar@{<-}[dl]\ar@{<-}[dr]\ar@{<-}[drr]\\
A_3\ar@{<-}[drr] & H_1\ar@{<-}[dr] & & H_2\ar@{<-}[dl] & H_3\ar@{<-}[dll]\\
& & \pgra{\e}
}
I laterali sinistri di $H_1$:
\eal{&|S_3|=6 \ubrace{=}{Lagrange\see{thmdilagrange} }
|H_1|\ig{H_1} \> \ig{H_1}=3\\
&\pgra{aH_1}_{a\in S_3}=\pgra{
H_1, (1,2)H_1, (2,3)H_1,(1,3)H_1,(1,2,3)H_1, (1,3,2)H_1
}=\\
&=\pgra{H_1, \pgra{(2,3), (2,3)(1,2)=(1,3,2)},
\pgra{(1,3), (1,3)(1,2)=(1,2,3)}}=\\
&=\pgra{H_1,  \pgra{(2,3), (1,3,2)}, \pgra{(1,3), (1,2,3)}}
\\
&\pgra{H_1a}_{a\in S_3}=\pgra{
H_1, H_1(1,2), H_1(2,3),H_1(1,3),H_1(1,2,3), H_1(1,3,2)
}=\\
&=\pgra{H_1, \pgra{(2,3), (1,2)(2,3)=(1,2,3)},
\pgra{(1,3),(1,2)(1,3)=(1,3,2)}}=\\
&=\pgra{H_1, \pgra{(2,3), (1,2,3)}, \pgra{(1,3), (1,3,2)}}
\\
&\pgra{aH_1}_{a\in S_3} \neq \pgra{H_1a}_{a\in S_3}
}
Quindi, questo e' anche un esempio di laterali destri non coincidenti con
laterali sinistri.
\step{}{$A_3\le S_3$  e' normale ed e' l'unico sottogruppo di ordine $3$}
\begin{prova}
\eal{&|A_3|=\frac{|S_3|}{2}  \ubrace{\>}{\see{propHnormaleGmezzi}  }
A_3\le S_3\T{ normale }\\
&\sist{|S_3|=3\.2,\;\;|A_3|=3\\
A_3\T{ e' un $3$-sottogruppo di Sylow}\\
A_3\T{ e' normale }
}  \ubrace{\>}{\see{propviceversauniconormale}} A_3\T{ e' l'unico sott.gruppo
di ordine }3
}
\end{prova}
\end{exemp}
\begin{exemp}
	\label{VdiA4}
	In $S_4$ consideriamo
	\eal{&V=\pgra{\id, (1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)}
	}  
$V$, chiamato gruppo Vier, e' il gruppo formato dalle permutazioni di $S_4$ che hanno la
struttura ciclica $(- -)(- -)$ (con l'aggiunta di $\id$).\\
$V\le A_4$ e' normale.\\
$V$ e' abeliano.
\end{exemp}
\begin{proof}
	\step{}{Dim. che $V\le A_4$}
	\begin{prova}
\eal{&\T{Sia }a\in V\-\pgra{\id}\\
&a\T{ pari (per la prop \see{permparicaratterizz})} 
\> a\in A_4 \> V\-\pgra{\id}\( A_4 \> V\(A_4\\
&\T{Sia } a=(1,2)(3,4),\;b=(1,3)(2,4),\;c=(1,4)(2,3)\\
&ab=c\T{ [si verifica]}\\
&o(a)=o(b)=o(c) \ubrace{=}{\see{thmordinepermutazione}} \mcm(2,2)=2\\
&\> a^2=\e,\;a=\inv a,\; b^2=\e,\;b=\inv b\\
&(ab)^2=c^2=\e \= abab=\e \= ab=\inv{(ab)}=\inv b\inv a=ba\\
&\sist{ab=ba\\
o(a)=o(b)=2} \> \gen{a,b} = \pgra{a^ib^j \;|\;i,j=0,1} = \\
&\qq =
\pgra{a^0b^0=\id,\;a^1b^0=a,\;a^0b^1=b,\;a^1b^1=ab=c}=\pgra{\id,a,b,c}=V
}
Quindi $V$ e' un gruppo contenuto in $A_4$
	\end{prova}
	\step{}{Dim che $V$ e' normale in $A_4$}
	\begin{prova}
Usiamo la caratterizzazione \see{propcarattsottnormali}
\eal{&\T{Sia }a\in V,\;g\in A_4\\
&\sc{ga\inv g} \ubrace{=}{\see{thmsymconiugata}} \sc a=(--)(--) \> ga\inv g\in V
}
	\end{prova}
	\step{}{$V$ e' abeliano}
	\begin{prova}
		\eal{&|V|=2^2  \ubrace{\>}{\see{proppgruppikunodue}}
		V\T{ abeliano}}
	\end{prova}
\end{proof}

\begin{lem}\label{lemmaAn3cicli}
		\eal{&1.\;\;\s\in A_n\-\pgra{\id},\;\;n\ge 3 \> \s\T{ e' prodotto di $3$-cicli}\\
		&2.\;\;n\ge 5,\;\;\s_1,\s_2 \T{ $3$-cicli di }S_n \> \s_1,\s_2
		\T{ sono coniugati in }A_n, \T{ ovvero }
		\exists \s\in A_n:\;\s_1=\s\s_2\inv \s
}
\end{lem}
\begin{proof}
	\step{}{Dim $1.$}
	\begin{prova}
\eal{&\s\in A_n\-{\id} \> \s=\t_1\cdots \t_{2h},\;\;\t_i\T{ trasposizione
	}\;\;(*)}
Se $n=3$, consideriamo $a,b,c\in \pqua{1,2,n=3}$ distinti tra loro.
Se $n>3$, consideriamo
	$a,b,c,d\in\pgra{1,\dots,n}$ distinti tra loro. Abbiamo i seguenti
	casi:
\eal{
&\t_i\t_{i+1}=(a,b)(a,c)=(a,c,b)\\
&\t_i\t_{i+1}=(a,b)(a,b)=\id\\
&\t_i\t_{i+1}=(a,b)(c,d)=(a,c,b)(c,d,a))\;\;[\T{questo nel caso $n>3$}]
}
Quindi sostituendo a due a due le trasposizioni in $(*)$ otteniamo solo il
prodotto di tre cicli.\\
Nota: se $n=2$, allora $|A_2|=\frac{|S_2|}{2}=1 \> A_2=\pgra{\id}$ e quindi
non possiamo considerare $\s\in A_n\-{\id} $.
	\end{prova}
	\step{}{Dim $2.$}
	\begin{prova}
Siano
\eal{&\s_1=(a,b,c),\;\;\s_2=(d,e,f)\\
&\t\in S_n:\;\t(a)=d,\;\t(b)=e,\;\t(c)=f
}
Per il thm \see{thmsymconiugata} (vedi anche \see{expconiugatapratica}),
abbiamo
\eal{&\s_2=\t\s_1\inv \t 
}
se $\t$ e' pari, allora la tesi e' vera. Supponiamo $\t$ dispari. 
Poiche' $n\ge 5$, possiamo trovare $g,h\in \pgra{1,\dots,n}$ distinti tra loro
e da $a,b,c$,
allora prendendo la permutazione $\t'=(g,h)\t$, abbiamo (sempre per il thm
\see{thmsymconiugata})
\eal{&\s_2=\t'\s_2\inv {\t'}\\
&\t'\T{ pari } \> \t'\in A_n
}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{defn}\ilabel{gruppo semplice}
	Sia $G$ un gruppo.
	\eal{&G\T{ e' semplice } \definizione{\=} \T{ gli unici sottogruppi
	normali sono } \pgra{\e},G}
\end{defn}
\begin{prop}\label{Anestsemplice}
	$A_n$ e' semplice $\forall n\ge 5$
\end{prop}
\begin{proof}
\def\g{{\gamma}}
\def\b{{\beta}}
\def\s{{\sigma}}
	Supponiamo per assurdo che 
	\eal{&\exists H\le A_n\T{ normale, }\pgra{\e}\subsetneq H\subsetneq
	A_n}
	\pfsketch{Troveremo un $3$-ciclo $\s\in H$. Poiche' tutti i $3$-cicli
	sono coniugati in $A_n$ (lemma \see{lemmaAn3cicli}) avremo che
	$H=A_n$.\\
	\lineapiccola\\}
Sia $\s\in H\-\pgra{\e}$ l'elemento che fissa il maggior numero di elementi, ovvero,
\def\fix{{\operatorname{Fix}}}
\eal{&\fix:S_n\longrightarrow \mathcal{P}(S_n)\\
&\fix(s)=\pgra{i\in \pgra{1,\dots,n}\;|\;s(i)=i}\\
&|\fix(\s)|=\max\pgra{|\fix(h)|\;|\;h\in H\-\pgra{\e}}
}
\step{}{$\s$ e' un $3$-ciclo}
\begin{prova}
Scriviamo $\s$ come prodotto di cicli disgiunti:
\eal{&\s=\s_1\dots\s_t}
Supponiamo per assurdo che $\s$ non sia un $3$-ciclo, allora abbiamo i seguenti casi:
\begin{enumerate}
	\item $\exists \s_i:\;l(\s_i)\ge 3$.\\
		Abbiamo i seguenti sottocasi:
		\begin{enumerate}
			\item $\s=\g,\;l(\g)>3$, anzi sappiamo che
				\eal{&\s\in A_n\> \s\T{ pari } \> l(\g)  \neq
				4 \> l(\g) \ge 5
				}
				Quindi, $\s$ e' un ciclo del tipo
				\eal{&\s=(a_1,\dots,a_5,\dots)
				}
				dove gli $a_i$ sono distinti fra loro.
			\item $\s=\s_1\dots\s_t$ con almeno un $\s_i$ di
				lunghezza $\ge 3$ e un altro $\s_j \neq \id$.
				Quindi, $\s$ e' del tipo
				\eal{&\s=\s_i \s_j \dots 
				= (a_1,a_2,a_3,\dots)(a_4,a_5,\dots)\dots
				}
		\end{enumerate}
	\item $l(s_i)<2\;\;\forall i=1,\dots,t$.
		Quindi, escludendo gli $s_i$ di lunghezza $1$ (le identita'),
		$\s$ e' del tipo
		\eal{&\s=\t_1\t_2\dots\t_r,\;\;\t_i\T{ permutazione }\\
		&\s \neq \e \> r\ge 1
		}
		inoltre,
		\eal{&\s\in A_n \> r=2k,\;k\ge 1
		}
		ovvero
		\eal{&\s=(a_1,a_2)(a_3,a_4)\dots }
		Poiche' $n\ge 5$, possiamo considerare un $a_5$ distinto da
		$a_1,\dots,a_4$.
\end{enumerate}
In ogni caso, possiamo considerare il ciclo pari
\eal{&\b=(a_3,a_4,a_5)\in A_n
}
abbiamo
\eal{&H\T{ normale in }A_n \> \b\s\inv \b \in H  \ubrace{\>}{H\T{ gruppo}}
\ubrace{\b\s\inv \b \inv \s}{\g} \in H
}
\step{p1}{$\g \neq \id$}
\begin{prova}
	Distinguiamo i due casi:
	\begin{enumerate}
		\item 
\eal{
&\s=(a_1,\dots,a_5,\dots) \| \s=(a_1,a_2,a_3,\dots)(a_4,a_5,\dots)\dots\;\;(*)\\
&\g(a_3)= \b\s\inv \b \inv \s (a_3)  \ubrace{=}{(*)}  \b\s\inv \b (a_2)
= \b\s(a_2) = \b(a_3)=a_4\\
&\g(a_3)=a_4,\;\;a_3 \neq a_4 \> \g \neq \id
}
\item
\eal{&\s=(a_1,a_2)(a_3,a_4)\dots\\
&\g(a_3)= \b\s\inv \b \inv \s (a_3)=\b\s\inv \b (a_4)
= \b\s(a_3)=\b(a_4) = a_5\\
&\g(a_3)=a_5,\;\;a_3 \neq a_5 \> \g \neq \id
	}
	\end{enumerate}
\end{prova}
\step{p2}{$|\fix(\g)| > |\fix(\s)|$}
\begin{prova}
Distinguiamo i due casi:
\begin{enumerate}
	\item Per costruzione di $\b$ abbiamo
		\eal{&\fix(\s) \( \fix(\b)
		}
	infatti,
	\eal{
&\s=(a_1,\dots,a_5,\dots) \| \s=(a_1,a_2,a_3,\dots)(a_4,a_5,\dots)\dots\;\;(*)\\
&\s(a_i)=a_i \> a_i\notin \pgra{a_3,a_4,a_5} \> \b(a_i)=a_i
}
inoltre, per qualsiasi permutazione $\t$, si ha
\eal{&\fix(\inv \t)=\fix(\t),\T{ infatti }\\
	&\qq \t(a_i)=a_i \= a_i=\inv \t(a_i)
	}
quindi,
\eal{&\fix(\s) \(\fix(\b) \> \fix(\s)=\fix(\s)\^\fix(\b)\( \fix(\b\s\inv \b
\inv \s)=\fix(\g) \\
&\fix(\s)\(\fix(\g)
}
Dimostriamo che l'inclusione e' stretta:
\eal{&\g(a_2)= \b\s\inv \b \inv \s(a_2) = 
\b\s\inv \b (a_1) = \b\s(a_1) = \b(a_2) = a_2 \> a_2\in \fix(\g)\\
&\s(a_2)=a_3 \> a_2\notin \fix(\s)
}
\item 
\eal{&
\s=(a_1,a_2)(a_3,a_4)\dots\\
&\s(a_i)=a_i \> a_i\notin \pgra{a_3,a_4}\\
&\qq  \ubrace{\>}{\b=(a_3,a_4,a_5)}  \fix(\s)\-\pgra{a_5}\( \fix(\b)\\
& \fix(\s)\-\pgra{a_5} =  \fix(\s)\-\pgra{a_5}\^ \fix(\b) 
\( \fix(\g)
}
Quindi, se $a_5\in \fix(\s)$ oppure no, si ha
\eal{&
 |\fix(\s)|-1 \le |\fix(\g)|  \|  |\fix(\s)| \le |\fix(\g)|
}
In ogni caso, $\g$ fissa due elementi in piu' di $\s$:
\eal{&\g(a_1)=a_1,\;\;\g(a_2)=a_2\\
&\s(a_1)=a_2,\;\s(a_2)=a_1
}
quindi
\eal{&\fix(\s)\-\pgra{a_5}\( \fix(\b)\-\pgra{a_1,a_2} 
\>  |\fix(\s)|-1 \le  |\fix(\g)|-2
   \|   |\fix(\s)| \le |\fix(\g)| -2 \> \\
   &\>
|\fix(\s)| < |\fix(\g)|
}
\end{enumerate}
\end{prova}
Il \spasso{p1} e \spasso{p2} sono in constrasto con la massimalita' di
$|\fix(\s)|$. Abbiamo cosi' trovato l'assurdo. Quindi $\s$ e' un $3$-ciclo.
\end{prova}
\qedstep
\begin{prova}
Sia $\s'$ un $3$-ciclo di $S_n$, 
\eal{&
\s,\s'\T{ $3$-cicli },\;n\ge 5  \ubrace{\>}{\see{lemmaAn3cicli}} 
\exists a\in A_n:\;\s'=a\s\inv a \ubrace{\in}{H\le A_n\T{ normale}} H\\
&\qq \> \T{Tutti i tre cicli sono in }H \T{ [e quindi anche i loro prodotti]} \ubrace{\>}{\see{lemmaAn3cicli}} 
A_n\( H \\
&\sist{A_n\(H\\
H\le A_n} \> A_n=H
}
E questo e' assurdo.
\end{prova}
\end{proof}

\subsection{Gruppi diedrali}
\begin{defn}
	Il gruppo diedrale $D_n$ e' un gruppo di trasformazioni, ovvero un
	sottogruppo di $(S(X),\o)$, dove $X$ e' un poligono regolare di $n$
	lati.
\end{defn}
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.4]{fig/Pentagon_reflection}
		\includegraphics[scale=0.4]{fig/Pentagon_rotation}
	\end{center}
\begin{prop}
	\label{cardinalitadiedrale}
	\eal{|D_n|=2n}
\end{prop}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
I possibili elementi di $D_n$ sono le rotazioni del poligono per angoli di 
\eal{&r_k=\frac{2\pi}{n}k\\
&R=\pgra{r_k\;|\;k=0,2,\dots,n-1}
}
e i ribaltamenti lungo gli assi e le bisettrici del poligono:
\eal{&n\T{ pari},\;n=2k\\
&\qq S=\pgra{k \T{ ribaltamenti lungo gli assi e altri  k ribaltamenti lungo
le bisettrici}}\\
&n\T{ dispari}:\;\T{ le bisettrici coincidono con gli assi }\\
&\qq S=\pgra{\T{ ribaltamenti lungo le $n$ bisettrici} }\\
&|S|=n
}
Quindi, in totale $|D_n|=2n$.\\
Nota: $r_n=r_0=\e$
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}
	\eal{&D_n \le S_n\\
	&n=3 \= D_n=S_n}
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
\begin{prova}
Possiamo associare a ogni elemento di $D_n$ la relativa permutazione di
vertici. In questo modo, ogni $d\in D_n$ puo' essere pensato come un $\s\in
S_n$. Quindi $D_n \(S_n$. Non vale sempre il viceversa perche':
\eal{&|D_n|=2n,\;\;|S_n|=n!\\
&2n=n! \= n=3
}
Poiche' $D_n$ e' un gruppo con la medesima operazione di $S_n$ ed e' un
sottoinsieme di $S_n$, per definizione $D_n\le S_n$.\\
Nel caso di $n=3$ (il triangolo), scrivendo i vertici in senso antiorario abbiamo:
\eal{
&r_1 \longleftrightarrow  (1,2,3)\\
&r_2 \longleftrightarrow  (1,3,2)\\
&r_3=\e \longleftrightarrow (1)\\
&s_1 \longleftrightarrow (2,3)\\
&s_2 \longleftrightarrow (1,3)\\
&s_3 \longleftrightarrow (1,2)\\
}
dove $s_i$ e' il ribaltamento secondo la bisettrice dell'angolo al vertice
$i$.
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}
	Sia $r=r_1$, e $s$ un qualsiasi ribaltamento, allora
\eal{&R\le D_n,\; R=\gen r\\
&o(r^k)=\frac{n}{(k,n)}\\
&o(s)=2
	}
\end{prop}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
Chiaramente si ha che 
\eal{&r\o r\o \dots\o r=r^k =r_{k}}
E quindi
\eal{&R=\pgra{r_k\;|\;k=0,1,\dots,n-1}
=\pgra{r^k\;|\;k=0,1,\dots,n-1}=\gen r\\
&R\le D_n
}
Allora, per il thm \see{thmmcdord}, si ha
\eal{&o(r^k)=\frac{n}{(k,n)}}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{lem}
	\label{lemmadiedrale}
In $D_n$,
\eal{&sr=r^{n-1}s=r^{-1}s\\
	     &s_{i}=rs_{i-1}r\\
	     &s_i=r^js_{i-j}r^j\;\;\forall j\in \mathbb{N}
	     }
Dove $r=r_1$ e $s$ e' un qualsiasi ribaltamento.
\end{lem}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
Alla rotazione $r$ associamo la permutazione $(1,2,\dots,n)$\\
Al ribaltamento $s_i$ possiamo associare:
\eal{&\sist{ n = 2k+2&n\T{ pari}\\
	     n = 2k+1&n\T{ dispari}
	   }\\
&s_i\rightarrow (i,i)(i+1,i-1)(i+2,i-2)\dots(i+(k-1),i-(k-1))(i+k,i-k)\\
&\T{ dove le addizioni si intendo in $\mathbb{Z}_n$}
}
quindi se come $s$ scegliamo $s_1$, abbiamo:
\eal{ &s\rightarrow (2,n)(3,n-1)\dots(k,n-k+2)(k+1,n-k+1) }
Calcoliamo la coniugata $r'$ di $r$ secondo $s$ usando il thm
\see{thmsymconiugata} (vedi es. \see{expconiugatapratica}):
\eal{&r'=sr\inv s=(1,n,n-1,\dots,2) }
ovvero
\eal{&r'=\inv r}
quindi
\eal{&\inv r=sr\inv s\= sr=\inv r s=r^{n-1} s }
Nota: $\inv r=r^{n-1}$ perche' $r\in R=\gen r$ e per il cor
\see{corpropieqjmodzp}.\\
In generale abbiamo:
\eal{
&s_i \rightarrow  (i+1,i-1)(i+2,i-2)\dots(i+k-1,i-(k-1))(i+k,i-k)\\
&s(i+1)=i-1,\;\dots,s(i+k)=i-k,s(i+(k+1))=i-(k+1),\dots\\
&s_ir\inv {s_i}=(i-1,i-2,\dots,i-k,i-(k+1),\dots,i)=\inv r\\
&s_ir=r^{n-1} s_i
}
Nota, poiche' : $i-(k+1)=i+k,\;\;i-(k+2)=i+(k-1)$
Calcoliamo la coniugata di $s_i$ secondo $r$:
\eal{&rs_ir=(i+2,i)(i+3,i-1)\dots(i+k,i-(k-2))(i+k+1,i-(k-1))=s_{i+1}\\
&s_{i+1}=rs_ir\\
&\T{ dove $i+1$ e' in $\mathbb{Z}_n$}
}
allora, adoperando l'ultima relazione trovata:
\eal{&s_i=rs_{i-1}r\\
&s_{i-1}=rs_{i-2}r\\
&s_i=r^2s_{i-2}r^2
}
e per induzione
\eal{&
s_i=r^js_{i-j}r^j\;\;\forall j\in \mathbb{N}
}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{thm}
	\label{thmdiedralegenerato}
	\eal{&
	D_n=\gen{r,s}=\pgra{r^{i}s^{j}\;|\;i=0,1,\dots,n-1,\; j=0,1}
	}
	dove $s$ e' un qualsiasi ribaltamento.
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
\step{}{Dimostriamo $D_n=\gen{r,s}$}
\begin{prova}
Per definizione $\gen{r,s}\(D_n$. Dimostriamo quindi che $D_n\(\gen{r,s}$.\\
Ovviamente, $r,s\in D_n\> r,s\in \gen{r,s}$.\\ 
Supponiamo $s=s_i$.\\
Prendiamo allora $s_j\in D_n$,
\eal{&s_j \ubrace{=}{lemma \see{lemmadiedrale}} r^{j-i}s_{i}r^{j-i} \> s_j\in
\gen{r,s}
}
ora rimangono solo i prodotti tra elementi di $D_n$:
\eal{
&r^as_j = r^ar^{j-i}s_{i}r^{j-i} \in \gen{r,s}\\
&s_jr^a = r^{j-i}s_{i}r^{j-i}r^a \in \gen{r,s}\\
}
\end{prova}
\step{}{Dimostriamo $\gen{r,s}=\pgra{r^{i}s^{j}\;|\;i=0,1,\dots,n,\; j=0,1}$}
\begin{prova}
Di certo il secondo insieme sta' nel primo. Dimostriamo il viceversa.\\
Per il thm \see{carattsottogruppogenerato} conosciamo esattamente $\gen{r,s}$:
\eal{&
\gen{r,s} = \pgra{r^{a_{1}}s^{b_{1}}
r^{a_{2}}s^{b_{2}}\dots
r^{a_{r}}s^{b_{r}},\;a_i,b_i\in \mathbb{Z},\;r=1,2,\dots}
}
ma poiche' conosciamo gli ordini di $r$ e $s$ possiamo dire che
$a_i=0,1,2,\dots,n-1,\;\;b_i=0,1$.\\
Notiamo che i casi in cui $b_i=0$, si riducono a prodotti del tipo
$r^{a_{i}}r^{a_{i+1}}\dots=r^{a_{i}+a_{i+1}}\dots$, quindi possiamo
direttamente supporre $b_i=1$.\\
Abbiamo:
\eal{&sr\ubrace{=}{lemma \see{lemmadiedrale}}\inv r s \;\;(1)\\
&
r^{\alpha}sr^{\beta}= r^{\alpha}srr^{{\beta}-1} \ubrace{=}{(1)} 
r^{\alpha}r^{-1}sr^{{\beta}-1}=
r^{\alpha}r^{-2}sr^{{\beta}-2}=\dots=r^{{\alpha}}r^{-{\beta}}s=r^{{\alpha}-{\beta}}s\\
&\>
r^{a_1}sr^{a_2}
sr^{a_3}s\dots
r^{a_r}s=
r^{a_1-a_2}\ubrace{ss}{=\e}r^{a_3}\dots
r^{a_r}s=
r^{a_1-a_2+a_3}\dots
r^{a_r}s=
r^{a_1-a_2+a_3-a_4+\dots+a_{r}}s
}
dove abbiamo supposto $r$ dispari, con $r$ pari si avrebbe:
\eal{&
r^{a_1-a_2+a_3-a_4+\dots+a_{r-1}-a_r}s
}
chiaramente tutte le somme le stiamo facendo in $\mathbb{Z}_n$, perche' $n$ e'
anche l'ordine di $r$.\\
La tesi e' acquisita.
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}
\label{propDnnonabeliano}
	$D_n$, con $n>2$ non e' abeliano.
\end{prop}
\begin{prova}
\pf
si ha
\eal{&sr \ubrace{=}{lemma\see{lemmadiedrale}} \inv r s}
ma $r \neq \inv r$ se $n>2$
\qed
\end{prova}

\begin{prop}
	\eal{&Z(D_n)=\sist{\pgra{\e}&n\T{ dispari }\\
	\pgra{\e, r^{\frac{n}{2}}} &n\T{ pari}}}
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{Scelto $0<i<n$, dimostriamo che 
	\eal{&
	sr^{i}=r^{i}s \= r^{i} = r^{\frac{n}{2}}
	}
	}
	\begin{prova}
	Sia $i\in \pgra{1,\dots,n-1}$,
	\eal{
	&sr^i=srr^{i-1} \ubrace{=}{\see{lemmadiedrale}}
	r^{-1}sr^{i-1}=r^{-2}sr^{i-2}=\dots=r^{-i}s\\
	&sr^{i}=r^{i}s\= r^{-i}s=r^{i}s \=r^{-i}=r^i\=
	-i=i\;\;\mathbb{Z}_n\= 2i=0\;\;\mathbb{Z}_n\= 2i=\lambda n\\
	&0< i < n\= 0< 2i < 2n\= 0< \lambda n < 2n \= 0<\lambda < 2 \= \lambda
	= 1\\
	&2i=\lambda n =n \= i=\frac{n}{2}\\
	&sr^{i}=r^{i}s \= r^{i} = r^{\frac{n}{2}}\;\;(1)
	}
\end{prova}
\qedstep
\begin{prova}
Per il thm $\vedi{thmdiedralegenerato}$, tutti gli elementi di $D_n$
sono del tipo $s^jr^i$, con $j=0,1$ e $i=0,1,\dots,n-1$.\\
Vediamo quali possono stare in $Z(D_n)$:
\begin{enumerate}
	\item $s$ non puo' starci: come visto nel passo precente
		\eal{&i \neq \frac{n}{2} \> sr^i \neq r^is \> s\notin Z
		}
	\item $sr^i$ non puo' starci:
		\eal{&sr^i\in Z\= (sr^i)(s^{j'}r^{i'})=(s^{j'}r^{i'})(sr^i)
		\;\;\forall s^{j'}r^{i'} \in D_n
		}
		Scegliamo $j'=0$,
		\eal{& (sr^i)(s^{j'}r^{i'})=(s^{j'}r^{i'})(sr^i)
		\ubrace{\=}{j'=0} 
		sr^{i+i'}=r^{i'}sr^i \= 	sr^{i'}=r^{i'}s
			}
		e come abbiamo gia' visto
		\eal{&i' \neq \frac{n}{2} \> sr^{i'} \neq r^{i'}s 
		}
	\item Gli ultimi elementi da considerare sono quelli del tipo $r^h$.
	\eal{&r^h\in Z\=  r^h(s^jr^i)=(s^jr^i)r^h\;\;\forall s^jr^i\in
	D_n\;\;(2)
		}
		E' chiaro che se scegliamo $j=0$, allora la $(2)$ e'
		verificata. Sia allora $j=1$,
\eal{&r^h(sr^i)=(sr^i)r^h\=
r^hs=sr^h \= h=\frac{n}{2}
		}
		Quindi $r^{\frac{n}{2}}$ e' l'unico elemento di tipo $r^h$ che
		commuta con tutti gli altri.
\end{enumerate}
In definitiva, l'unico elemento che commuta con tutti gli altri e'
\eal{&r^{\frac{n}{2}}
}
se $n$ e' dispari, tale elemento non esiste.
\end{prova}

Appena commutano $s,r^i$, commutano tutti gli altri elementi, dato che sono
del tipo $r^is^h$, con $i=0,1,\dots,n-1,\;\;h=0,1$. (\vedi{thmdiedralegenerato}).
\end{proof}
\subsection{Sottogruppi normali}
\begin{defn}
	Dato $(G,\.)$
	\eal{&H\le G\T{ e' normale }\= aH=Ha\;\;\forall a\in G}
\end{defn}
\begin{exemp}
	$Z(G)$ e' un sottogruppo normale di $G$ (\vedi{centro})
\end{exemp}
\begin{prop}
	Se $G$ e' abeliano, ogni suo sottogruppo e' normale.\\
\end{prop}
\begin{prop}
\label{propHnormaleGmezzi}
	\eal{&H\le G,\;|H|=\frac{|G|}{2} \> H\T{ normale}
	}
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf 
	\eal{&|H|=\frac{|G|}{2} \ubrace{\>}{Lagrange\see{thmdilagrange}}\ig{H}=2
	\ubrace{\>}{prop \see{propigeq2}}  H\T{ normale}
	}
	\qed
\end{prova}
\begin{prop}
	\label{propcarattsottnormali}
	caratterizzazione dei sottogruppi normali: dato $H\le G$, le seguenti
	condizioni sono equivalenti:
	\eal{&1.\;\;H \T{ e' normale }\\
	&2.\;\;ah\inv a\in H\;\;\forall a\in G\;\;\forall h\in H \\
	&3.\;\;aH\inv a = H\;\forall a\in G\\
	&\qq \T{ dove $aH\inv a$ e' il \emph{gruppo coniugato} di $H$, ovvero e' il
	seguente gruppo: } aH\inv a=\pgra{ah\inv a\;|\;h\in H}\\
	&4.\;\;H\T{ e' unione di classi di coniugazione }}
	\ilabel{gruppo coniugato}
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf 
	\step{}{Dim $2.$}
	\begin{prova}
	
	\step{}{Dim $\>$}
\begin{prova}
Sia $a\in G,\;h\in H$. Per Hp $aH=Ha$.\\
\eal{&ah\in aH=Ha \> ah=\ove h a \= ah\inv a = \ove h \in H
}
\end{prova}
\step{}{Dim $\<$}
\begin{prova}
\step{}{Dim $aH\(Ha$}
\begin{prova}
\eal{&ah\in aH\\
&ah\inv a \ubrace{\in}{\T{ [per Hp]}} H \= ah\inv a = \ove h \= ah=\ove h a
\in Ha \> ah \in Ha\\
&aH\(Ha
}
\end{prova}
\step{}{Dim $aH \) Ha$}
\begin{prova}
\eal{&ha\in Ha\\
&\inv a h a \ubrace{\in}{\T{ [per Hp]}} H \=  
\inv a h a=\ove h \= ha =a \ove h \in aH\\
&Ha\( aH
	}
\end{prova}
\end{prova}
	\end{prova}
\step{}{Dim $3.$}
\begin{prova}
	\step{}{Dim $\>$}
	\begin{prova}
		\eal{&H\T{ normale } \> ah\inv a \in H \;\forall a \in
		G\;\forall h\in H \> aH\inv a \( H\\
		&b=\inv a\\ 
		&h\in H \T{ normale } \> b  h\inv b \in H  \= bh\inv b = h' \=
		h= \inv b h' b =ah' \inv a \in aH\inv a\\
		&\qq \> H \( aH\inv a
		}
	\end{prova}
	\step{}{Dim $\<$}
	\begin{prova}
Preso un qualsiasi $a\in G$
\eal{&aH\inv a = H \> \forall h\in H\;\;ah\inv a \in H 
		}
		e quindi $H$ e' normale.
	\end{prova}
\end{prova}
\step{}{Dim $4.$}
\begin{prova}
Basta usare la prop. \see{Hnormalesseunionediorbite}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}\label{normaleintersezioneconsottogruppo}
Sia $J,K\le G$,
	\eal{&H\le K\T{ normale } \> H\^J \le K\^J\T{ normale}
	}
\end{prop}
\begin{proof}
	\eal{&\T{Sia } a\in H\^J,\;b\in K\^J \\
	&a\in H,\;\;b\in K \ubrace{\>}{H\le K\T{ normale},\;\see{propcarattsottnormali}} 
	ba\inv b \in H\\
	&a,b\in J  \ubrace{\>}{J\T{ gruppo}} ba\inv b \in J\\
	&\qq \> ba\inv b  \in H\^J
	}
	Quindi per la prop \see{propcarattsottnormali} si ha la tesi.
\end{proof}


\begin{prop}\ilabel{compatibile col prodotto}
	\eal{&\T{$H\le G$ e' normale $\> \T{la relazione d'equiv }\cong (H),\;\T{ e'
	compatibile col prodotto, ovvero }
	$}\\
	&\qq \sist{a\cong b\;\;(H)\\c\cong d\;\;(H)} \> ac\cong bd\;\;(H) }
	dove $\cong (H)$ e' la relazione modulo H definita in \see{modulo H},
	che in questo caso coincide sia con $\congs$ che con $\congd$.
\end{prop}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
\eal{&
\sist{a\cong b\;\;(H)\\c\cong d\;\;(H)} \= 
\sist{aH=bH\\
cH=dH} \= \sist{a=bh\\
c=d\ove h} \> ac=bhd\ove h \;\;(1)\\\
&hd\in Hd=dH \< hd=dh_2\\
&(1)  \= ac=bdh_2\ove h\in bdH\= acH=bdH \= ac\cong bd\;\;(H)
	}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}
Dato $(G,\.)$
\eal{&\sim \T{ e' una rel. d'equiv. su $G$ compatibile col prodotto } \>
\exists! H \le G \T{ normale t.c.}\;\;\sim \T{ coincide con }\cong (H)
	}
\end{prop}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
Per Hp presi $a,b,c,d\in G$
\eal{&\sist{a\sim b\\
c\sim d}\>ac\sim bd
}
Consideriamo la classe d'equiv. di $\e$ secondo $\sim$:
\eal{&H=[\e]=\pgra{a\in G\;|\;a\sim\e }
}
\step{}{$H$ e' un sottogruppo di $G$}
\begin{prova}
\eal{&1.\;\;\e\sim \e \> \e \in H\\
&2.\;\;a,b\in H \= \sist{a\sim \e\\
b\sim \e} \ubrace{\>}{Hp} ab\sim \e \= ab \in H\\
&3.\;\;\sist{a\sim \e\\
\inv a \sim \inv a } \> a\inv a \sim \inv a \= \e\sim \inv a  \= \inv a \sim
\e \= \inv a \in H
	}
\end{prova}
\step{}{Dim $H$ e' normale}
\begin{prova}
Utilizziamo la caratterizzazione \see{propcarattsottnormali}. Sia $a\in
G,\;h\in H$.\\
\eal{&h\in H \= h\sim \e  \ubrace{\>}{Hp} ah\sim a \> ah\inv a \sim \e \=
ah\inv a \in H
}
(Nota \footnote{Abbiamo scritto direttamente $h\sim \e  {\>} ah\sim
a$ perche' 
\eal{&\sist{h\sim \e\\
a\sim a}\>ah\sim a
}})
\end{prova}
\step{}{Dim $\cong=\sim$}
\begin{prova}
Quello che dobbiamo dimostrare e':
\eal{&
a\sim b\= a\cong b \;\;(H)\=aH=bH
}
allora,
\eal{&a\sim b \= a\inv b \sim \e  \= a\inv b \in H \= a\inv b = h \= a\cong
b \;\;(H)}
\end{prova}
\step{}{Dim che $H$ e' unico}
\begin{prova}
Prendiamo un altro $J\le G$ normale t.c. $\sim $ coincide con $\cong(J)$.\\
\eal{&a\in J \= a\cong \e \;\;(J) \= a\sim \e \= a\in H\\
&J=H
}
\end{prova}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}
	\label{propuniconormale}
$|G|=n$
\eal{&\sist{m\div n\\
\exists !H\le G:\;\;|H|=m} \> H\T{ e' normale }}
Nota: il viceversa vale solo se $H$ e' un sottogruppo di Sylow normale (vedi
\see{propviceversauniconormale})
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
	Sia $a\in G$. Consideriamo il coniugato $aH\inv a$, e'
	facile vedere\footnote{basta usare la seguente applicazione biettiva:
		\eal{&f:H\longrightarrow aH\inv a\\
		&f(h)=ah\inv a}}
	che $|H|=|aH\inv a|$, e quindi
\eal{&|H| \div n \>  |aH\inv a|\div n }
ma per Hp esiste un solo sottogruppo di ordine $|H|$ che divide $n$, quindi si
deve necessariamente avere:
\eal{&H=aH\inv a}
Per l'arbitrarieta' di $a$ e per la prop \see{propcarattsottnormali} si ha la tesi.
\end{prova}
\begin{prop}
	\label{propHKnormaliHintKestealloracommutano}
	\eal{&\sist{H,K\le G\T{ normali }\\
	H\^ K = \pgra{\e}\\
	a\in H,\;b\in K} \> ab=ba }
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
\begin{prova}
Consideriamo $ab\inv a\inv b\in G$. Questo elemento si chiama
\emph{commutatore} \ilabel{commutatore}.\\
\eal{&\sist{b\in K\\
K\T{ normale }}  \ubrace{\>}{\see{propcarattsottnormali} }ab\inv a \in K\\
&\inv b \in K  \> ab\inv a\inv b\in K\\
&\sist{a\in H \= \inv a \in H\\
H\T{ normale}} \> b\inv a \inv b \in H\\
&a\in H  \>  ab\inv a\inv b \in H\\
&ab\inv a\inv b \in H\^ K=\pgra{\e} \> ab\inv a\inv b=\e \= ab=ba}
\qed
\end{prova}
\end{prova}




\begin{exemp}
$A_n \le  S_n$  e' un sottogruppo normale. (Per la def di $A_n$ vedi
\see{AndiSn})
\end{exemp}
\begin{prova}
	\pf
	\eal{&|A_n| \ubrace{=}{\T{prop \see{propnumpermpari}}}
	\frac{|S_n|}{2}  \ubrace{\>}{\T{prop \see{propHnormaleGmezzi}}} A_n
	\T{ normale}
	}
	\qed
\end{prova}
\subsection{Gruppo quoziente}
\begin{defn}
Dato il gruppo $(G,\.)$ sia $H\le G$ normale.\\
	\eal{&G/H = \pgra{aH}_{a\in G}}
	si chiama \emph{gruppo quoziente} di $G$ rispetto al sottogruppo
	normale $H$.\\
	Si tratta dell'insieme quoziente di $G$ rispetto alla relazione
	d'equivalenza modulo $H$.
\end{defn}
\begin{prop}
	\label{propGquozHgruppo}
	\eal{(G/H,\.)}
	e' un gruppo,
	dove $\.$ e' l'operazione definita nel seguente modo:
	\eal{&aH\.bH = abH
	}
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf\step{}{Prima di tutto dimostriamo che $\.$ e' ben posta}
\begin{prova}
Prendiamo $aH=a'H,\;bH=b'H$. Proviamo che $a'Hb'H=aHbH$.\\
\eal{& \sist{aH = a'H \= a\cong a'\;\;(H)\\
bH = b'H \= b\cong b' \;\;(H)}  \ubrace{\>}{prop \see{compatibile col prodotto}}
ab\cong a'b' \;\;(H)\= abH=a'b'H
}
\end{prova}
\step{}{Dimostriamo che $G/H$ e' un gruppo}
\begin{prova}
	\step{}{$\.$ e' associativa}
	\begin{prova}
	Lo e' perche' $\.$ del gruppo $G$ e' associativa.
	\end{prova}
	\step{}{$\e=\e H=H$}
	\begin{prova}
	Infatti, 
	\eal{&aH\e H=\e H aH = a\e H=\e a H = aH}
	\end{prova}
	\step{}{$\inv{(aH)}=\inv a H$}
	\begin{prova}
Infatti,
\eal{&aH\inv a H=\e H =\inv a H aH
}
	\end{prova}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{exemp}
Consideriamo $(\mathbb{Z},+)$. Esso e' un gruppo ciclico generato da $-1$ o da
$1$. Poiche' e' ciclico, e' anche abeliano (prop
\see{propciclicoimpabeliano}).
Poiche' e' ciclico, ogni suo sottogruppo e' ciclico .\\
Consideriamo allora $H=\gen n=n\mathbb{Z}$\\
Esso e' ciclico e quindi abeliano e quindi normale.\\
Possiamo allora costruire il gruppo quoziente:
\eal{&\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\pgra{a+n\mathbb{Z}\;|\;a\in \mathbb{Z}}=
\mathbb{Z}_n
}
Quindi $(\mathbb{Z}_n,+)$, con l'operazione definita in
\see{propGquozHgruppo}, e' un gruppo! Il suo ordine e' $n$.\\
$\mathbb{Z}_n$ e' ciclico: $\mathbb{Z}_n=\gen{1+n\mathbb{Z}}=\gen{\ove 1}$,
dove con $\ove 1$ indichiamo la classe di resto di $1$.\\
Allora, per il cor \see{corggeneratoressecomprimoconn}, i suoi generatori sono
del tipo $m+n\mathbb{Z}=\ove m$ con $(m,n)=1$.\\
Consideriamo $8\mathbb{Z}$.\\
I suoi generatori sono:
\eal{&1, 3,5,7
}
I suoi sottogruppi avranno ordine:
\eal{&1,2,4,8 }
essi sono 
\eal{&\pgra{0+8\mathbb{Z}}=\pgra{[0]_8}\\
&\pgra{[0]_8,[4]_8}\\
&\pgra{[0]_8,[2]_8,[4]_8,[6]_8}\\
&\mathbb{Z}_8
}
\end{exemp}
\begin{prop}
	\label{propordinequoziente}
Dato $G$ finito e $H\le G$ normale, allora
\eal{&\Big|\frac{G}{H}\Big| = \frac{|G|}{|H|}}
\end{prop}
\begin{proof}
Per il thm di Lagrange (\vedi{thmdilagrange}), 
	\eal{&|G|=|H| \ig{H}}
Poiche' $H$ e' normale, per definizione di $\ig{}$, abbiamo 
	\eal{&\ig {H} = \Big|\frac{G}{H}\Big|}
quindi
\eal{&
	|G|=|H|  \Big|\frac{G}{H}\Big|
}
\end{proof}
\begin{prop}\label{prop11051}
Dato $G$ qualsiasi, $H,K\le G:\;H\(K,\;H\T{ normale in  G}$, si ha
\eal{&K\T{ normale in } G \= \frac{K}{H}\T{ normale in } \frac{G}{H}
}
\end{prop}
\begin{proof}
\begin{pnecessaria}
	\eal{&H\T{ normale in  G} \> \frac{G}{H}\T{ gruppo }\;\;(*)\\
&	(gH)(kH)\inv{(gH)} \ubrace{=}{(*)} gk\inv gH \ubrace{\in}{K\T{ normale
	in }G} \frac{K}{H}
	}
\end{pnecessaria}
\begin{psufficiente}
	Consideriamo  la seguente composizione di surriezioni naturali:\\
	\qq\qq\xymatrix{G\ar@{->}[r]^{\pi_1}& \frac{G}{H}
	\ar@{->}[r]^{\pi_2}&\frac{G/H}{K/H} }\\
Si ha:
\eal{&\ker \pi_2\circ \pi_1 = \pgra{g\in G\;|\;(\pi_2\circ \pi_1)(g)=K/H
\= (gH)\frac{K}{H}=\frac{K}{H}\=gH\in\frac{K}{H}=\pgra{kH\;|\;k\in K}\=
g\in K}=\\
&=G\^K=K
}
Quindi, $K=\ker \pi_2\circ \pi_1$ e' normale in $G$.
\end{psufficiente}
\end{proof}
\subsection{Gruppo prodotto}
\begin{defn}
$	HK=\pgra{hk\;|\;h\in H, \;k\in K}$
\end{defn}
\begin{prop}
\label{propHKgen}
Siano $H,K\le G$
	\eal{&HK\le G\= HK =\gen{H\U K}}
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf\step{}{Dim $\>$}
\begin{prova}
\eal{&H,K \le G\>\e\in H,\;\e\in K
	}
Poiche' $\e k, h\e \in HK$, $H\( HK,\;K\( HK$, ovvero $H\U K\( HK$.\\
Inoltre, $HK$ e' il piu' piccolo sottogruppo contente $H\U K$, infatti,
supponiamo che $\exists J\le G:\;H\U K\( J$.\\
Prendiamo $hk\in HK$.
\eal{&\sist{h\in H\( J\\
k\in K\(\\
J\T{ sottogruppo} 
}\> hk\in J
}
quindi $HK \( J$
\end{prova}
\step{}{Dim $\<$}
\begin{prova}
Per definizione
\eal{&\gen{H\U K} \le G
}
quindi $HK\le G$.
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}
	\label{propHKeqKH}
Dati $H,K \le G$
\eal{&HK\le G \= HK=KH
}
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{Dim $\>$}
	\begin{prova}
		\step{}{Dim $HK\( KH$}
		\begin{prova}
			\eal{&hk\in HK \le G \> \exists \inv{(hk)} = h_1k_1\in
			HK\\
			&hk = \inv{(h_1k_1)}=\inv {k_1}\inv {h_1}\in KH
}		
		\end{prova}
		\step{}{Dim $HK\) KH$}
		\begin{prova}
			\eal{&kh\in KH\\
			&kh=\inv{(\ubrace{\inv h\inv k}{\in HK} )}
			\ubrace{\in}{HK \le G} HK
}		
		\end{prova}
	\end{prova}
	\step{}{Dim $\<$}
	\begin{prova}
Presi $hk,h_1k_1\in HK$ dimostriamo che $hk\inv{(h_1k_1)} \in HK$,
\eal{&hk\inv{(h_1k_1)}=hk\inv{k_1}\inv{h_1}=\\
&\qq\qq hk\inv{k_1} \in HK=KH \> hk\inv{k_1}=k_2h_2\\
&=k_2h_2\inv{h_1}\in KH=HK \> k_2h_2\inv{h_1}=h_3k_3\in HK\\
&hk\inv{(h_1k_1)}=h_3k_3\in HK
}
	\end{prova}
	\qed
\end{prova}

\begin{prop}
\label{propHnormaleHKnormale}
Siano $H,K\le G$
\eal{&H \T{ normale }  \| K\T{ normale } \> HK \le  G\\
&H,K\T{ normali }   \> HK \le  G\T{ normale} }
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{Supponiamo che solo $H$ sia normale}
	\begin{prova}
		\eal{&H\T{ normale } \> HK=KH  \ubrace{\>}{prop.
		\see{propHKeqKH}} HK\le G}
	\end{prova}
	\step{}{Supponiamo che $H$, $K$ siano normali}
	\begin{prova}
Usiamo la caratterizzazione dei gruppi normali \see{propcarattsottnormali},
\eal{&hk\in HK,\;\;a\in G\\
&ahk\inv a = \ubrace{ah \inv a}{\in H} \ubrace{a k\inv a}{\in K} \in HK
}
Nota: $ah \inv a \in H$ perche' $H$ e' normale.
\end{prova}
\qed
\end{prova}

\begin{prop}\label{propproHKnormalibanalialloraprodottointerno}
	Dati $G$ gruppo finito, $H,K\le G$ sottogruppi, con $K$ normale, si ha
	\eal{&\sist{H\^K =\pgra{\e}\\
	|G|=|H| |K| } \> G=HK
	}
\end{prop}
\begin{proof}
\eal{&K\T{ normale }  \ubrace{\>}{\see{propHnormaleHKnormale}} HK \le	G\\
&H\^K =\pgra{\e} \> |H\^K|=1\;\;(*)\\
&\sist{H,K\le G \T{ finiti}\\
K\T{ normale } }  \ubrace{\>}{\see{propordineprodottoHK}  }
	|HK| = \frac{|H| |K|}{|H\^K|}  \ubrace{=}{(*)}  |H| |K| =|G|\\
	&\sist{ HK \le   G\\
	|HK| = |G|\\
	G\T{ finito}}  \ubrace{\>}{\see{propcontenutostessacardinalita}}  HK=G
}
\end{proof}

\begin{prop}Dato $G$ e $H,K\le G$,
	\label{propprodinternomodounico}
	\eal{
	&\sist{G=HK\\
	H\^K=\pgra{\e}
	} 
	\= \forall g\in G\;\exists
	!(h,k)\in H\*K:\;\;g=hk}
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{Dim $\>$}
	\begin{prova}
		Per ipotesi
		\eal{&G=HK,\;\;H\^K=\pgra{\e}}
Sia $g\in G$,
\eal{&g\in G = HK \> g=hk}
supponiamo che $g=h'k'$, allora
\eal{&hk=h'k' \= k=\inv h h' k' \= \ubrace{k\inv{k'}}{\in K} = \ubrace{\inv h h'}{\in H} =: a\\
&a\in K,\;a\in H \> a\in H\^K = \pgra{\e }\> a=\e \= \sist{k\inv{k'}=\e\\
\inv h h' = \e} \= \sist{k=k'\\h=h'}
}
	\end{prova}
	\step{}{Dim $\<$}
	\begin{prova}
Dall'ipotesi segue subito che $G=HK$.
\step{}{$H\^K=\pgra{\e}$}
\begin{prova}
Supponiamo che $g\in H\^K$, allora
\eal{&g\in H\^K \> \sist{(g,\e)\in H\*K\\
(\e,g)\in H\*K}\;\;(1)\\
&g\in G \> \exists ! (h,k) \in H\*K:\;\;g=hk\;\;\;(2) \\
&\sist{g=g\e=\e g\\
(1),
(2) }  \> (h,k)=(g,\e)=(\e,g) \> g=\e
}
\end{prova}
	\end{prova}
\end{proof}


\subsubsection{Prodotto interno ed esterno}
\begin{defn}
Sia dati due gruppi $(G, \.), (G', *)$, allora, definendo l'operazione 
\eal{&\*:G\*G'\*G\*G' \longrightarrow  G\*G'\\
&(g_1,g_1')\*(g_2,g_2') = (g_1g_2,g_1'g_2')
}
$(G\*G',\*)$ e' un gruppo e si chiama \emph{prodotto esterno} dei gruppi $G,G'$
\end{defn}
\begin{proof}
	\step{}{Dim. che $(G\*G',\*)$ e' un gruppo}
	\begin{prova}
\begin{enumerate}
	\item Prop. associativa:
		\eal{&((a,b)\*(c,d))\*(c',d') =
		 (ac,bd)\*(c',d') = (acc',bdd') =
		 (a,b)\*(cc',dd')=(a,b)\*((c,d)\*(c',d'))
			}
		\item Elem. neutro: $(\e,\e')$
		\item Inverso:
			\eal{&(a,b)\*(\inv a, \inv b) = (a\inv a, b\inv b ) =
			(\e,\e') = (\inv a, \inv b)\*(a,b) }
			quindi, 
			\eal{&\inv{(a,b)} = (\inv a, \inv b) }
\end{enumerate}
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{defn}
	Sia dato $G$ gruppo, se
	\eal{&H,K \le  G\T{ normali tali che }\sist{H\^K = \pgra{\e }\\
	G=HK}}
	allora diremo che $G$ e' prodotto interno di $H,K$.
\end{defn}
\begin{prop}
\label{prodestestinterno}\qq\\
$(G\*G',\.)$, il gruppo prodotto esterno di $G,G'$, e' prodotto interno di
$i_1(G),i_2(G')$, dove $i_1,i_2$ sono i seguenti omomorfismi
iniettivi (vedi \see{Omomorfismo tra gruppi})
\eal{
&i_1:G \longrightarrow  G\*G'\\
&i_1(g)=(g,\e')\\
&i_2:G' \longrightarrow  G\*G'\\
&i_2(g')=(\e,g')\\
}
Inoltre, poiche' $i_1,i_2$ sono iniettivi, abbiamo
\eal{&G\simeq i_1(G)\\
&G'\simeq i_2(G')
}
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{$i_1$ e' un omomorfismo iniettivo}
	\begin{prova}
\eal{&i_1(a)i_1(b) = (a,\e')(b,\e') = (ab,\e') = i_1(ab)\\
&\ker i_1 = \pgra{ g\in G\;|\; i_1(g) = (\e,\e') \= (g,\e')=(\e,\e') \= g=\e }
= \pgra{\e}  \> i_1 \T{ e' iniettivo } 
}
\end{prova}
\step{}{Analogamente per $i_2$}
\begin{prova}
\end{prova}
\def\og{{\ove G}}
\def\ogg{{\ove{G}'}}
\step{}{$i_1(G),i_2(G')$ sono normali in $G\*G'$}
\begin{prova}
Poniamo $\og=i_1(G),\;\ogg=i_2(G)$. Utilizziamo la caratterizzazione
\see{propcarattsottnormali}: preso $(g,g')\in G\*G'$ e $(\ove g,\e')\in \og$,
\eal{&(g,g')(\ove g,\e')\inv{(g,g')}  = (g\ove g\inv g , g'\inv g') = (g\ove g
\inv g, \e') \in \og
	}
Analogamente per $\ogg$
\end{prova}
\step{}{$G\*G'=\og\ogg$}
\begin{prova}
		\eal{&G\*G' \ni (g,g') =(g,\e')(\e,g')  \in \og \ogg}
\end{prova}
\end{proof}
\begin{prop}
	\label{propprodinternocommutano}
Sia $G$ prodotto interno di $H,K$, allora gli elementi di $H,K$ commutano tra
loro, ovvero
\eal{&hk=kh\;\;\forall h\in H\forall k\in K}
\end{prop}
\begin{proof}
Diretta conseguenza della definizione e della prop.
\see{propHKnormaliHintKestealloracommutano}
\end{proof}
\begin{thm}
	\label{thmprodintestisomorfismo}
Dato il gruppo $G$ prodotto interno di $H,K$, si ha
	\eal{&G\simeq H\*K}
dove $H\*K$ e' il prodotto esterno di $H,K$.\\
In particolare, un isomorfismo e': 
\eal{&f:H\*K \longrightarrow  G\\
&f(h,k) = hk}
\end{thm}
\begin{proof}
Dimostriamo che $f$ e' un isomorfismo.\\
\step{}{$f$ e' un omomorfismo}
\begin{prova}
Ricordiamo che grazie alla prop. \see{propHKnormaliHintKestealloracommutano},
gli elementi di $H$ e $K$ commutano fra loro.
	\eal{&f((h,k)(h',k'))=f(hh',kk') = hh'kk'\\
	&f(h,k)f(h',k')= hkh'k'=hh'kk'
	}
\end{prova}
\step{}{$f$ e' biettiva}
\begin{prova}
E' iniettiva: 
\eal{&\sist{hk\in G\\
G=HK\\
H\^K=\pgra{\e}} \ubrace{\>}{prop. \see{propprodinternomodounico}} 
\exists !(h,k)\in H\*K:\;\;hk=hk\;\;(1)\\
&f(h,k)=f(h',k') \= hk=h'k'  \ubrace{\>}{(1)} \sist{h=h'\\k=k'}
}
E' surriettiva:
\eal{&g\in G=HK \> \exists (h,k)\in H\*K:\;\;g=hk=f(h,k)}
\end{prova}	
\end{proof}
\begin{exemp}
	Consideriamo il gruppo ciclico $G=(\mathbb{Z}_6,+)$.
	\eal{&G=\gen {1} \> G\T{ ciclico } \> G\T{ abeliano } \> \forall H \le  G\;\;H\T{
	normale } \\
	&t\div |G|=6  \ubrace{\>}{\see{thmordsottdivn}}  \exists !  H \le
	G:\;\;|H|=t}
quindi gli unici sottogruppi non banali di $G$ sono:
\eal{&H,K\le G,\;\;|H|=3,\;\;|K|=2\\
&H=\pgra{0, 2,4},\;\;K=\pgra{0,3}
}
abbiamo: 
\eal{
&H\^K=\pgra{0}\\
&|HK|  \ubrace{=}{\see{propordineprodottoHK}} \frac{|H| |K| }{|H\^K| }=
\frac{3\.2}{1}= 6 \> HK = G 
}
Quindi $G$ e' un prodotto interno di $H,K$, e per il thm
\see{thmprodintestisomorfismo}, si ha 
\eal{&\mathbb{Z}_6 \simeq H\*K}
e inoltre per la prop \see{propprodinternomodounico}, ogni $g\in
\mathbb{Z}_6$ si puo' scrivere in modo unico come somma di un elemento di $H$ e
di $K$: ad esempio, $5$ si puo' scrivere unicamente come $5=3+2$.
\end{exemp}

\subsubsection{Prodotto a piu' fattori}
\begin{defn}
	Possiamo estendere per induzione il prodotto esterno tra due gruppi al
	prodotto esterno tra $t$ gruppi. Poniamo:
	\eal{&(G_1\*G_2\*\dots\*G_t,\*) \definizione{=} 
	(G_1\*G_2\*\dots\*G_{t-1},\*) \* (G_t,\.)
	}
	Si dimostrano tutte le proprieta' che abbiamo gia' visto per il
	prodotto tra due gruppi.\\
	Analogamente si estende la definizione di prodotto interno: dato $A$
	ed $H_1,\dots,H_p\le A$ normali,  
	\eal{&
	A\T{ e' loro prodotto interno  } \definizione{\=}
	A\T{ e' prodotto interno di }
	H_i \T{ e } H_1H_2\dots H_{i-1}H_{i+1} \dots H_t\;\;\forall
	i=1,2,\dots,t
	 \=\\
	 &\qq \=
	 \sist{ H_i\^ (H_1H_2\dots H_{i-1}H_{i+1}\dots H_t)=\pgra{\e}\;\;\forall
	 i=1,2,..t\\
	 A=H_1H_2\dots H_t} \= \\
	 &\qq \=\forall a\in A\;\;\exists
	 !(h_1,h_2,\dots,h_t)\in
	 H_1\*H_2\*\dots\*H_t:\;\;a=\prod_{i=1}^{t}h_i
	}

	Poiche' per il thm \see{thmprodintestisomorfismo}  sussiste un
	isomorfismo tra il prodotto interno ed esterno, e poiche' per il thm
	\see{thmprodintestisomorfismo} un prodotto esterno e' anche un
	prodotto interno, in seguito, a volte, non specificheremo se $G$ e' un
	prodotto interno o esterno.
\end{defn}
\begin{prop}
	\label{propmultifattcard}
Sia  $G=G_1\*G_2\*\dots\*G_t$, allora
\eal{&
|G| < +\infty \= |G_i| < +\8 \;\;\forall i=1,2,\dots,t
}
E in particolare, se $|G|< +\8$, si ha
\eal{&|G|=\prod_{i=1}^{t}|G_i|}
\end{prop}
\begin{prop}
	\label{propmultifattabelian}
Sia  $G=G_1\*G_2\*\dots\*G_t$, allora
\eal{&
G \T{ e' abeliano } \= G_i \T{ e' abeliano } \;\;\forall i=1,2,\dots,t
}
\end{prop}
\begin{proof}
\begin{pnecessaria}
Consideriamo gli omomorfismi
\eal{&G\T{ abeliano } \> \T{ ogni sottogruppo abeliano }\\
&G_j \ubrace{\simeq}{\see{prodestestinterno}} i_j(G_j) \le G \> G_j \T{
abeliano }}
\end{pnecessaria}
\begin{psufficiente}
\eal{&g,g'\in G\\
&gg=(g_1,g_2,\dots,g_t)(g_1',g_2',\dots,g_t') = (g_1g_1',\dots,g_tg_t')
\ubrace{=}{G_i\T{ abeliano }}
 (g_1'g_1,\dots,g_t'g_t) = g'g
	}
\end{psufficiente}
\end{proof}

\begin{prop}
Sia  $G=G_1\*G_2\*\dots\*G_t$, allora e' facile verificare che:
	\eal{&Z(G)=Z(G_1)\*Z(G_2)\*\dots\*Z(G_t)}
\end{prop}

\begin{prop}
	\label{propmultifattordineg}
Sia  $G=G_1\*G_2\*\dots\*G_t$, allora preso $g=(g_1,\dots,g_t)\in G$
\eal{&
o(g) < +\8 \= o(g_i) < +\8 \;\;\forall i=1,2,\dots,t
}
E in particolare, se $o(g)< +\8$, si ha
\eal{&o(g) = \mcm(o(g_1),o(g_2),\dots,o(g_t))
}
\end{prop}
\begin{proof}
\begin{pnecessaria}
Supponiamo $o(g)=n$, e sia
\eal{&m=\mcm(o(g_1),o(g_2),\dots,o(g_t))}
allora
\eal{&g^n = \e \= (g_1^n,g_2^n,\dots,g_t^n)=(\e_1,\e_2,\dots,\e_n) 
\> o(g_i) < +\8 \;\;\forall i=1,2,\dots,t\\
   &  \qq  \>  o(g_i)\div n \; \; \forall i=1,2,\dots,t
   \> m \div n
}
\end{pnecessaria}
\begin{psufficiente}
Per Hp $o(g_i)< +\8$, allora 
\eal{&g^m=(g_1^m,g_2^m,\dots,g_t^m) = \e \> \sist{o(g) < +\8\\
o(g) \div m\= n\div m}
}
questo perche' tra i fattori di $m$ ci sono i multipli di ogni esponente
$e_i$ tale che $g_i^{e_i}=\e_i$
\end{psufficiente}
\qedstep
\begin{prova}
Allora, appena vale una sola delle condizioni si ha che vale anche l'altra  e
quindi
\eal{&\sist{n\div m\\
m\div n } \> n=m
}
\end{prova}
\end{proof}
\begin{prop}
\label{propmultifattciclico}
Sia  $G=G_1\*G_2\*\dots\*G_t$, finito, allora 
\eal{&
\sist{G\T{ e' ciclico } \\
G=\gen{g}} \= \sist{ G_i\T{ e' ciclico }\;\;\forall i=1,2,\dots,t\\
G_i=\gen{g_i}\\
(|G_i|,|G_j|)=(o(g_i),o(g_j))=1\;\;\forall i \neq j}}
\end{prop}
\begin{proof}
	\begin{pnecessaria}
		\eal{&G\T{ ciclico } \> \T{ ogni sottogruppo e' ciclico}\\
&G_j\simeq i_j(G_j) \le  G \> G_j \T{ e' ciclico}\\
&g_i\in G_i \> o(g_i)\div |G_i| \> o(g_i) \le  |G_i| \;\;(*)\\
&G=\gen{g} \> |G| = o(g) 
\ubrace{=}{\see{propmultifattordineg}}  mcm(o(g_1),o(g_2),\dots,o(g_t))  \le 
\prod_{i=1}^{t}o(g_i) \ubrace{\le}{(*)} \prod_{i=1}^{t}|G_i|
\ubrace{=}{\see{propmultifattcard}} |G| \\
&\qq \=  mcm(o(g_1),o(g_2),\dots,o(g_t)) = \prod_{i=1}^{t}o(g_i) =
\prod_{i=1}^{t}|G_i|\;\;(**)\\
& mcm(o(g_1),o(g_2),\dots,o(g_t)) = \prod_{i=1}^{t}o(g_i) \> 
(o(g_i),o(g_j))=1\;\;\forall i \neq j\\
&\prod_{i=1}^{t}o(g_i) =
\prod_{i=1}^{t}|G_i| \> o(g_i)=|G_i| \T{, infatti, }\\
&\qq \sist{
o(g_1) \le  |G_1| \\
o(g_2) \le  |G_2| \\
\dots\\
o(g_t) \le  |G_t|} \;\;\T{ quindi, se per ass. $\exists h:\;\;o(g_h) < |G_h|$,
moltiplicando membro a membro si ha}\\
&\qq\qq \prod_{i=1}^{t}o(g_i) < \prod_{i=1}^{t}|G_i|\T{ assurdo contro (**)}\\
&o(g_i)=|G_i| \> G_i=\gen{g_i}
}
	\end{pnecessaria}
\begin{psufficiente}
Consideriamo $g=(g_1,g_2,\dots,g_t)$,
\eal{&o(g) \ubrace{=}{\see{propmultifattordineg} }
mcm(o(g_1),o(g_2),\dots,o(g_t))  \ubrace{=}{(o(g_i),o(g_j))=1\;\;i \neq j}
\prod_{i=1}^{t} o(g_i)  \ubrace{=}{G_i=\gen{g_i}} 
\prod_{i=1}^{t} |G_i| = |G|\\
&o(g)=|G| \> G=\gen g
}
\end{psufficiente}
\end{proof}
\begin{prop}
	\label{propisodiZnprodottoZmconZnm}
	Considerando $(\mathbb{Z}_n,+),\;\;(\mathbb{Z}_m,+)$, si ha
	\eal{&(n,m) =1 \= \mathbb{Z}_n\*\mathbb{Z}_m\simeq \mathbb{Z}_{nm}}
	e in particolare, l'isomorfismo e'
	\eal{&\phi([i]_{nm}) = ([i]_n,[i]_m)
	}
\end{prop}
\begin{proof}
\eal{&\sist{\mathbb{Z}_n,\mathbb{Z}_m\T{ sono ciclici } \\
\mathbb{Z}_n=\gen 1\\
\mathbb{Z}_m=\gen 1\\
(|\mathbb{Z}_m|=m,|\mathbb{Z}_n|=n)=1
}  \ubrace{\=}{\see{propmultifattciclico}} \mathbb{Z}_n\*\mathbb{Z}_m\T{ e'
ciclico },\;\;\mathbb{Z}_n\*\mathbb{Z}_m=\gen{(1,1)}  \ubrace{\=}{\see{ognigruppociclicoisomorfoZn}} 
\mathbb{Z}_n\*\mathbb{Z}_m \simeq\mathbb{Z}_{nm}
}


Per trovare l'isomorfismo  $\phi$, basta vedere l'isom. usato dalla prop.
\see{ognigruppociclicoisomorfoZn}: prima si definiva l'omomorfismo 
\eal{&f:\mathbb{Z}\longrightarrow G= \gen {(1,1)}\\
&f(i)=([1]_n,[1]_m)^i=([i]_n,[i]_m)}
e poi si usava l'isomorfismo $\phi$ dato dal thm dell'omomorfismo:
\eal{&\phi:\mathbb{Z}/_{ \ker f} = \mathbb{Z}/_{nm\mathbb{Z}}= \mathbb{Z}_{nm} 
\longrightarrow  \mathbb{Z}_n\*\mathbb{Z}_m\\
&\phi([i]_{nm}) =f(i)= ([i]_n,[i]_m)
}
Ed ecco che otteniamo il nostro isomorfismo:
\eal{&\phi([i]_{nm}) =f(i)= ([i]_n,[i]_m)  
}
\end{proof}
\begin{prop}\label{propG1prodG2estciclico}
Dati $G_1,G_2$ gruppi ciclici di ordine $n,m$,
\eal{&(n,m) =1 \= G_1 \* G_2 \T{ e' ciclico }}	
\end{prop}
\begin{proof}
\begin{pnecessaria}
Considerando che ogni gruppo ciclico di ordine $n$ e' isomorfo a
$\mathbb{Z}_n$ (vedi \see{ognigruppociclicoisomorfoZn}), 
\eal{&G_1 \simeq \mathbb{Z}_n,\;\;G_2\simeq \mathbb{Z}_m \> G_1 \* G_2 \simeq 
\mathbb{Z}_n\*\mathbb{Z}_m\\
\\
& (n,m)=1 \> G_1 \* G_2 \simeq \mathbb{Z}_n\*\mathbb{Z}_m
\ubrace{\simeq}{\see{propisodiZnprodottoZmconZnm}} \mathbb{Z}_{nm} \> G_1\*G_2 \T{ e' ciclico } 
}
\end{pnecessaria}
\begin{psufficiente}
	\eal{&G_1\*G_2\T{ ciclico }  \ubrace{\>}{\see{propmultifattciclico}}
	(|G_1|,|G_2|)=1}
\end{psufficiente}
\end{proof}

\subsection{Omomorfismo tra gruppi}
\begin{defn}
	\label{omomorfismo}
Dati due gruppi $(G,\.),(G',*)$,
\eal{&f:G\longrightarrow G'\T{ e' un omomorfismo }\= 
f(a\.b)=f(a)* f(b)
}
Nota: da ora in poi indicheremo con il solo simbolo $\.$ le due operazioni. \\
Se $f$ e' iniettiva, si dira' \emph{immersione}.\\
Se $f$ e' surriettiva, si dira' \emph{epimorfismo}.\\
Se $f$ e' biettiva, si dira' \emph{isomorfismo}.\\
\ilabel{immersione}
\ilabel{isomorfismo}
\ilabel{epimorfismo}

Definiamo l'insieme di tutti gli omomorfismi da $G$ a $G'$:
\eal{&\Hom(G,G') \definizione{=} \pgra{f:G\longrightarrow G'\T{ omomorfismo}}}
\ilabel{Hom}
\end{defn}
\begin{prop}
	\eal{&1.\;\;f(\e)=\e'\\
	&2.\;\;\inv{(f(a))}=f(\inv a)\\
	&3.\;\;f,g\T{ omomorfismi } \> f\o g \T{ omomorfismo }
	}
	dove $\e$ e' l'elemento unita' di $G'$.
\end{prop}
\begin{prova}
\pf
\step{}{Dim $1.$}
\begin{prova}
\eal{&f(\e)=f(\e\e)=f(\e)f(\e)\\
&\inv{(f(\e))}f(\e)=\inv{(f(\e))}f(\e)f(\e)\\
&\e'=f(\e)
}
\end{prova}
\step{}{Dim $2.$}
\begin{prova}
\eal{
&f(\inv a)f(a)=f(\inv a a)=f(\e)=\e'\\
&f(a)f(\inv a)=f(a\inv a)=f(\e)=\e'\\
}
quindi $f(\inv a)$ e' l'inverso di $f(a)$.
\end{prova}
\step{}{Dim $3.$}
\begin{prova}
	\eal{&fg(a\.b)=f(g(a\.b))=f(g(a)\.g(b))=f(g(a))\.f(g(b))}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{exemp}
	\eal{&f:(\mathbb{Z},+)\longrightarrow (\mathbb{Q},+)\\
	&f(z)=z+1}
	non e' un omomorfismo perche' $f(0)=0+1 \neq 0$.
\end{exemp}
\begin{defn}
\label{kernel}
\eal{&\ker f = \pgra{a\in G \;|\;f(a)=\e'} }
di sicuro $\e\in \ker f$.
\end{defn}
\begin{prop}
	$\ker f = \pgra{\e}\= f\T{ e' iniettiva}$
\end{prop}
\begin{prova}
	\step{}{Dim $\<$}
	\begin{prova}
Supponiamo per assurdo che $a \neq e,a\in \ker f$, allora
\eal{&f(a)=\e'\\
&f(\e)=\e'
}
assurdo contro l'iniettivita'.
	\end{prova}
	\step{}{Dim $\>$}
	\begin{prova}
Sia $f(a)=f(b)$ dimostriamo che $a=b$
\eal{&f(a)=f(b)\=f(a)\inv{(f(b))} = \e'  \= f(a\inv b)=\e'\=a\inv b\in \ker f=
\pgra{\e}\>a\inv b=\e\=a=b
}
	\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}
\label{propvarisottogruppiconfomo}
	\eal{&\Im f \le  G'\\
	&\ker f \le  G\\
	&H\le G \> f(H) \le G'\\
	&H'\le G' \> \inv f(H')\le G}
	dove $\inv f(H')$ e' la controimmagine di $H'$
\end{prop}
\begin{prova}
	\step{}{Dim $\Im f \le G$ usando la prop
	\see{sottogruppo!caratterizzazione2}}
	\begin{prova}
\eal{&f(a),f(b) \in \Im f\\
&f(a)\inv{(f(b))} = f(a\inv b)\in \Im f
		}
	\end{prova}
	\step{}{Dim $\ker f \le G$ usando la prop
	\see{sottogruppo!caratterizzazione2}}
	\begin{prova}
\eal{&a,b\in \ker f \= f(a)=f(b)=\e'\\
&f(a\inv b) = f(a)f(\inv b)=\ubrace{f(a)}{=\e'}\inv{(\ubrace{f(b)}{=\e'})}=\e'
}
	\end{prova}
	\step{}{Dim $H\le G \> f(H) \le G'$}
	\begin{prova}
\eal{&f(h_1),f(h_2)\in f(H)\\
&f(h_1)f(h_2)^{-1}=f(\ubrace{h_1\inv {h_2}}{\in H}) \in f(H)
		}
	\end{prova}
	\step{}{Dim $H'\le G' \> \inv f(H')\le G$}
	\begin{prova}
\eal{&h_1,h_2\in \inv f(H')\= f(h_1),f(h_2) \in H' \\
&H' \le  G' \>  f(h_1)f(h_2)^{-1}\in H' \= f(h_{1}\inv {h_2}) \in H' \=
h_{1}\inv {h_2} \in  \inv f(H')
}
	\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}
	\label{propHnormalefHnormale}
	Sia $f:G\longrightarrow G'$ un omomorfismo,
	\eal{&f\T{ surriettivo, }H\le G\T{ normale } \> f(H)\T{ e' normale}}
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
\begin{prova}
Intanto per la prop \see{propvarisottogruppiconfomo}, $f(H)\le G'$
	Usiamo la caratterizzazione dei gruppi normali \see{propcarattsottnormali}
\eal{&h'\in f(H) \= \exists h\in H :\; f(h) =h'\\
&a'\in G'  \ubrace{\>}{\T{ f surriettiva }}  \exists a\in G:\;f(a)=a'\\
&a'h'\inv{(a')} = f(a)f(h)f(a)^{-1}=f(ah\inv a) \in f(H)
}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}
	\label{propH'normalef-1Hnormale}
Sia $f:G\longrightarrow G'$ un omomorfismo,
\eal{&H' \le  G'\T{ normale } \> \inv f(H') \le G\T{ normale }
	}
\end{prop}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
Usiamo la caratterizzazione dei gruppi normali \see{propcarattsottnormali}
\eal{&a\in G\\
&h\in  \inv f(H') \= f(h)\in H'\\
& f(a)f(h)f(a)^{-1} \ubrace{\in}{H'\T{ e' normale}} H' \= f(ah\inv a)\in H'\=
ah\inv a\in \inv f(H')
}
\end{prova}
\end{prova}
\begin{cor}\label{kerfnormale}
	Sia $f:G\longrightarrow G'$ omomorfismo.
	\eal{&\ker f \le  G\T{ e' normale}}
\end{cor}
\begin{prova}
	\pf
	Basta considerare $H'=\pgra{\e'} \le  G'$. $H'$ e' ovviamente normale.
	$\inv f (H')=\ker f$. Per la prop di prima
	\see{propH'normalef-1Hnormale}, $\ker f $ e' normale.
	\qed
\end{prova}
\begin{prop}
	\label{propGciclicoalloraImfciclico}
	Sia $f:G\longrightarrow G'$ un omomorfismo e sia $g\in G$, si ha
	\eal{&1.\;\;G\T{ ciclico } \> \Im f  \T{ ciclico}\\
	&2.\;\;o(g)< +\8 \> o(f(g))\div o(g) }
Se $f$ e' un isomorfismo, $f$ preserva ogni proprieta' di $G$ e
quindi $o(f(g))=o(g)$.
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{Dim $1.$}
	\begin{prova}
		\eal{&G=\gen a\\
		&\Im f =f(G)=f(\gen a)=\pgra{f(a^i)\;|\;i=0,1,\dots}
		=\pgra{f(a)^i\;|\;i=0,1,\dots}=\gen{f(a)}}
	\end{prova}
	\step{}{Dim $2.$}
	\begin{prova}
	Sia $p=o(g)$
	\eal{
	     &g^p=\e\\
	     &f(g^p)=f(\e)=\e \= f(g)^p=\e \= o(f(g))\div p
	    }
	\end{prova}
\end{proof}
\begin{prop}
	Sia $G=\gen g$, allora
	\case{$|G|=n$}
	\begin{prova}
	\eal{&\Hom(G,G') = \pgra{f_h:G\longrightarrow
	G'\;|\;\pton{f_h(g^i)=h^i\;\forall i\in \mathbb{Z}},\;h\in
	G',\;o(h)\div n}}
	\end{prova}
	\case{$|G|=+\8$}
	\begin{prova}
		\eal{&\Hom(G,G') = \pgra{f_h:G\longrightarrow
	G'\;|\;\pton{f_h(g^i)=h^i\;\forall i\in \mathbb{Z}},\;h\in
	G'}}
	\end{prova}
Dove $\Hom(G,G')$ e' l'insieme definito in \see{Hom}.\\
In altre parole, quando $G$ e' ciclico, conosciamo esplicitamente tutti gli
omomorfi da $G$ a $G'$.
\end{prop}
\begin{proof}
	\case{$|G|=n$}
	\begin{prova}
		Chiamiamo $H$ il secondo insieme.
		\step{}{Dim $\Hom(G,G')\(H$}
		\begin{prova}
Sia $f\in \Hom(G,G')$, allora, $f(g^i)=f(g)^i$, e  per la prop
\see{propGciclicoalloraImfciclico} si ha
\eal{&o(f(g))\div o(g)=|G|=n}
Quindi, ponendo $h=f(g)$, si ha $f\in H$
		\end{prova}
		\step{}{Dim $\Hom(G,G')\)H$}
		\begin{prova}
Sia $f\in H$.
\step{}{Dimostriamo che $f$ e' una applicazione ben posta, ovvero, poiche' $G$
e' ciclico, sappiamo che $g^i=g^{i+\lambda n}$, dobbiamo quindi verificare che
$f(g^i)=f(g^{i+\lambda n})$ }
\begin{prova}
	\eal{&o(h)\div n \= n=\mu o(h)\\
	&f(g^{i+\lambda n})=h^{i+\lambda n}=h^ih^{\lambda
	n}=h^i\pton{h^{o(h)}}^{\lambda\mu}=h^i=f(g^i)
	} 
\end{prova}
\step{}{Dimostriamo che $f$ e' un omomorfismo}
\begin{prova}
	\eal{&f(g^ig^j)=f(g^{i+j})=h^{i+j}=h^ih^j=f(g^i)f(g^j)}
\end{prova}
Quindi, $f\in\Hom(G,G')$
		\end{prova}
	\end{prova}
	\case{$|G|=+\8$}
	\begin{prova}
	Si procede in modo analogo a prima.
	\end{prova}
\end{proof}
\def\f{{\varphi}}
\begin{thm}
	\label{thmomo}
	\ilabel{teorema omomorfismo}
Dato un omomorfismo $f:G\longrightarrow G'$, si ha
	\[
\xymatrix{ G \ar[d]^{\pi} \ar[r]^f & G'\\ G/_{\ker f} \ar[ur]_{\f} }
\]
con $f=\f \o \pi$ e $\pi(a)=a\ker f$.\\
Inoltre, $\f$ 
e' un omomorfismo, ed e' iniettiva.\\
	\label{corthmomo}
Se consideriamo la restrizione del codominio di $\f$ alla sua
	immagine:
	\eal{&\f:G/ \ker f \longrightarrow  \Im \f
	}
abbiamo che $\f$ e' un isomorfismo e quindi
\eal{&G/ \ker f  \simeq\Im \f=\Im f
}
In particolare, 
\eal{&f\T{ surriettiva} \> \Im f= G' \> G/ \ker f  \simeq G'}
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{Definiamo $\f$}
\begin{prova}
\eal{&\f(a\ker f) = f(a) }
dove $a\ker f$ e' un laterale di $G/_{\ker f}$. (nota \footnote{Poiche' come
abbiamo visto in \see{kerfnormale}, $\ker f$ e' normale, $G/_{\ker f}$ e' un
gruppo (\vedi{propGquozHgruppo})})\\
Questa definizione e' ben posta, infatti, prendiamo un elemento $b\in a\ker f$
\eal{&b\in a\ker f \= b=ah,\;h\in \ker f \= f(h)=\e'\\
&f(b)=f(ah)=f(a)\ubrace{f(h)}{=\e'} =f(a)\\
&\f(b\ker f )=\f(a\ker f )
}
\end{prova}
\step{}{$\f$ e' un omomorfismo}
\begin{prova}
Poniamo $H=\ker f $
\eal{&\f(aHbH)=\f(abH)=f(ab)=f(a)f(b)=\f(aH)\f(bH)
	}
\end{prova}
\step{}{$\f$ e' iniettiva}
\begin{prova}
\eal{&\f(aH)=\f(bH)\=f(a)=f(b)\=f(a)f(b)^{-1}=\e'\= f(a\inv b)=\e' \= a\inv b
\in \ker f=H\\
& a\inv b \in H \= a\inv b = h \in H \= a=hb \= Ha=Hb  \ubrace{\>}{\ker f \T{
e' normale }} aH=Ha=Hb=bH \= aH=bH
}
\end{prova}
\step{}{Dim $f=\f\o \pi$}
\begin{prova}
\eal{&\f\o\pi (a) =\f(a\ker \f)= f(a)\;\;\forall a \in G
}
quindi $f=\f\o\pi$
\end{prova}
\step{}{Dim $\Im f =\Im \f $}
\begin{prova}
\eal{&f=\f\o\pi \> \Im f = \Im (\f \o \pi)
}
Sia $a\ker f \in G/\ker f$.  Poiche' $\pi$ e' surriettiva, $\exists a\in G:\pi(a)=a\ker f$. Allora,
\eal{&(\f \o \pi)(a)=\f ( a \ker f)\;\;(1)}
E questo vale $\forall a\ker f \in G/\ker f$, quindi $\Im \f \( \Im(\f\o\pi)$.\\
La $(1)$ vale certamente $\forall a\in G$, quindi $ \Im(\f\o\pi) \( \Im \f$.
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{cor}
	\label{corcardGkerIm}
Se $G$ e' finito, dato $f:G\longrightarrow G'$ omomorfismo si ha
\eal{&
\Big|\frac{G}{\ker f}\Big|= \frac{|G|}{|\ker f | }=|\Im f | 
}
	o equivalentemente
	\eal{&
|G|=|\ker f | |\Im f| \= 
	\ig {\ker f} = |\Im f|}
\end{cor}
\begin{cor}
	Dal cor \see{corcardGkerIm} segue immediatamente che
	\eal{&|\Im f| \div |G|
	}
Inoltre, se $G'$ e' finito, per Lagrange, si ha
\eal{&|\Im f | \div |G'| }
\end{cor}
\begin{prova}
	\pf
	Poiche' $\ker f$ e' normale, per definizione di $\ig{}$, abbiamo 
	\eal{&\ig {\ker f} = \Big|\frac{G}{\ker f}\Big|}
Per la prop. \see{propordinequoziente} abbiamo
\eal{&\Big|\frac{G}{\ker f}\Big| = \frac{|G|}{|\ker f |}}
e per il thm \see{thmomo}:
\eal{&\frac{G}{\ker f}   \simeq \Im f \>  \Big|\frac{G}{\ker f}\Big| = |\Im f|}
quindi la tesi:
\eal{&\ig{\ker f } = |\Im f |\\
&|G|=|\ker f ||\Im f |
}
\qed
\end{prova}
\begin{thm}
\label{ognigruppociclicoisomorfoZn}
Ogni gruppo ciclico e' isomorfo a $\mathbb{Z}_n$ o a $\mathbb{Z}$.\\

	Sia $G=\gen{a}$ un gruppo ciclico finito, con $|G|=n$, allora
	\eal{&(G,\.)\simeq(\mathbb{Z}_n,+)
	}
	Se invece, $G=\gen{a}$ e' un gruppo ciclico infinito, allora
	\eal{&(G,\.)\simeq(\mathbb{Z},+)
	}
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{Caso 1}
\begin{prova}
Consideriamo il seguente omomorfismo:
\eal{&f:\mathbb{Z}\longrightarrow G\\
&f(i)=a^i
}
e' un omomorfismo:
\eal{& f(i+i')=a^{i+i'}=a^ia^{i'}=f(i)f(i')}
Vediamo $\ker f$:
\eal{&\ker f = \pgra{i\in \mathbb{Z}\;|\;a^i=\e}=n\mathbb{Z} }
Poiche' $G=\gen {a}=\pgra{a^0,a^1,\dots,a^{n-1}}$, $f$ e' certamente surriettivo. Allora per il cor
\see{corthmomo}, anche $\varphi$ e' surriettiva, e quindi
\eal{&\mathbb{Z}/_{\ker f}=\mathbb{Z}/_{n\mathbb{Z}}=\mathbb{Z}_n \simeq G
}
\end{prova}
\step{}{Caso 2}
\begin{prova}
Poiche' $G$ e' ciclico infinito, $f$ e' anche iniettiva:
\eal{&\ker f = \pgra{i\in \mathbb{Z}\;|\;a^i=\e}=\pgra{0}}
e quindi $f$ e' un isomorfismo.
\end{prova}
\qed
\end{prova}

\begin{exemp}
	\eal{&(\mathbb{R}/_{\gen{2\pi}}, +) \simeq (S^1, \.)}
	dove $S^1$ e' la sfera unitaria a una dimensione, ovvero la circonferenza
	unitaria.
\end{exemp}
\begin{prova}
\pf
\begin{prova}
\def\t{{\theta}}
Consideriamo il seguente omomorfismo:
\eal{&f:(\mathbb{R},+) \longrightarrow  (\mathbb{C},\.)\\
&f(\t)=\cos \t +i\sin\t
}
\step{}{$f$ e' un omomorfismo}
\begin{prova}
\eal{&f(\t+\t')=\cos(\t+\t') +i\sin(\t+\t')
=\cos\t\cos \t' -\sin \t\sin t' +i(\cos\t\sin \t' +\sin \t\cos \t')\\
&f(\t)f(\t')=(\cos \t +i\sin\t)(\cos \t' +i\sin\t')=
\cos\t\cos \t' -\sin \t\sin t' +i(\cos\t\sin \t' +\sin \t\cos \t')\\
&f(\t+\t')=f(\t)f(\t')}
\end{prova}
\step{}{$f$ non e' surriettiva, ne' iniettiva}
\begin{prova}
	\eal{&1+2i \in \mathbb{C},\;\;1+2i \notin \Im f\\
&f(\t)=f(\t+2\pi)
	}
\end{prova}
\step{}{Troviamo il $\ker f$}
\begin{prova}
	\eal{&\ker f = \pgra{\t\in \mathbb{R}\;|\;f(\t)=1=1+i0 \= \cos \t
	=1,\sin \t =0} = \pgra{ 2h\pi\;|\;h\in \mathbb{Z} }= \gen {2\pi} 
	}
\end{prova}
\step{}{Usiamo il thm dell'omomorfismo (\see{thmomo})}
\begin{prova}
Sappiamo che
\eal{&G/ \ker f  \simeq\Im f }
e quindi nel nostro caso
\eal{&\mathbb{R}/_{\gen {2\pi}} \simeq \Im f
}
$\Im f $ e' proprio $S^1$
\end{prova}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{thm}
	teorema dell'isomorfismo I.\\
	\ilabel{teorema isomorfismo I}
	\label{thmisomI}
Dati  $H,K\le G$, 
\eal{&K \T{ normale in }G \> \frac{H}{H\^ K }\simeq \frac{HK}{K}
}
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
	\eal{&\sist{H,K \le  G\\K\T{ normale in } G}   \ubrace{\>}{prop
	\see{propHnormaleHKnormale}} HK\le G\\
	&\sist{K \( HK \le G\\K\T{ normale in } G\\
	} \> K \le  HK,\T{ normale }\;\;(1)
	}
per la $(1)$ possiamo considerare il gruppo quoziente
\eal{&\frac{HK}{K}
}
Consideriamo la seguente composizione di funzioni:\\
\qq\qq\xymatrix{H\ar@{->}[r]^i& HK \ar@{->}[r]^{\pi}&\frac{HK}{K} }\\
dove
\eal{&i(h)=h\e
}
e $\pi$ e' la surriezione naturale. Chiaramente sono tutti e due omomorfismi.\\
\def\f{{\varphi}}
Sia $\f=\pi i$, 
\eal{&\f(h)=\pi i(h)=\pi(h\e)=h\e K=hK}
\step{}{$\f$ e' un omomorfismo perche' composizione di omomorfismi}
\begin{prova}
\end{prova}
\step{}{$\f$ e' surriettiva}
\begin{prova}
	Se prendiamo un $hkK\in \frac{HK}{K}$,
	\eal{&hkK = hK}
	quindi
	bastera' prendere $h$:
	\eal{&\f(h)=hK=hkK
	}
\end{prova}
\step{}{$\ker \f=H\^K$}
\begin{prova}
	\eal{&\ker \f =\pgra{h\in H\;|\;\f(h)=K \= hK=K \= h\in K}=H\^ K
	}
\end{prova}
Allora, per il cor \see{corthmomo}
\eal{&H/_{\ker f }\simeq \frac{HK}{K} \= \frac{H}{H\^K}= \frac{HK}{K} 
}
\qed
\end{prova}
\begin{cor}
	\label{propordineprodottoHK}
	Dati $H,K\le G$ finiti\footnote{$G$ non e' necessariamente finito}, con $K$ normale, si ha
\eal{&|HK| = \frac{|H| |K|}{|H\^K|}
}
\end{cor}
\begin{proof}
Per il thm \see{thmisomI}, si ha
\eal{&\frac{HK}{K} \simeq \frac{H}{H\^K} \> 
\Big|\frac{HK}{K} \Big| = \Big|\frac{H}{H\^K}\Big|
\ubrace{\=}{\see{propordinequoziente}
}\frac{|HK|}{|K|}=\frac{|H|}{|H\^K|} \= |HK| = \frac{|H| |K| }{|H\^K|}
}
\end{proof}
\begin{cor}
	\def\p{{\psi}}
Dati $H,K\le G$, con $K$ normale in $G$, si ha:
\eal{&\p\T{ e' surriettiva } \= G=HK
}
dove 
\eal{&\p:H\longrightarrow\frac{G}{K}\\
&\p(h)=hK}
\end{cor}
\begin{proof}
	\def\p{{\psi}}
Dimostreremo solo il caso in cui $|G|$ e' finito.\\
E' facile verificare che $\p$ e' un omomorfismo.
\begin{pnecessaria}
	\eal{&\ker \p = H\^K\\
	&\p \T{ surr }  \ubrace{\>}{\see{thmomo}} 
	\frac{H}{\ker \p} \simeq \frac{G}{K} \= 
	\frac{H}{H\^K} \simeq \frac{G}{K}
	\ubrace{\>}{\T{Lagrange }\see{thmdilagrange}} 
	\frac{|H| |K|}{|H\^K|} = |G| \ubrace{\=}{\see{propordineprodottoHK}} 
	|HK|= |G|\\
	&\sist{HK\( G\\
	|HK|=|G|} \> HK=G
	}
\end{pnecessaria}
\begin{psufficiente}
	\eal{&G=HK \> \frac{G}{K}=\frac{HK}{K}\ubrace{\simeq}{\see{thmisomI}}
	\frac{H}{H\^K}=\frac{H}{\ker \p}\simeq\Im \p}
\end{psufficiente}
\end{proof}

\begin{thm}
	dell'isomorfismo II.\\
	\ilabel{teorema isomorfismo II}
	\label{thmisomII}
Dati $H,K \le G$, entrambi normali, 
\eal{&H \( K \> \frac{G/H}{K/H}\simeq \frac{G}{K}
}
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
\begin{prova}
	\eal{&\sist{H \( K \\
	H \le  G \T{ normale }\\
	K\le  G } \> H \le  K \T{ normale rispetto a }K
	}
Poiche' $H$ e' normale in $G$, e quindi anche in $K$, ha senso considerare 
\eal{&\frac{K}{H},\;\;\frac{G}{H}}
Poiche' $K\le G$ e' normale, ha senso considerare
\eal{&\frac{G}{K}
}
Inoltre, per la prop \see{prop11051}, ha senso considerare 
\eal{&\frac{G/H}{K/H}}
Sia
\eal{&\f:\frac{G}{H} \longrightarrow \frac{G}{K}\\
&\f(aH) = aK
}
\step{}{$\f$ e' ben posta e surriettiva ed e' un omomorfismo}
\begin{prova}
\eal{&b\in aH \= b=ah \\
&\f(b H )=bK=ahK \ubrace{=}{H\(K} aK=\f(aH)\\
&\f(bH)=\f(aH)
}
E' immediato verificare che $\f$ e' surriettiva ed e' un omomorfismo.
\end{prova}
\step{}{$\ker \f =K/H$}
\begin{prova}
	\eal{&\ker \f=\pgra{gH\;|\;gK=K\=g\in K}=\frac{K}{H}}
\end{prova}
\step{}{Usiamo il cor \see{corthmomo} su $\f$}
\begin{prova}
	\eal{&
	\frac{G/H}{\ker \f} \simeq \frac{G}{K}\=
	\frac{G/H}{K/H} \simeq \frac{G}{K}
	}
\end{prova}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}
	Nelle ipotesi del teorema precedente (\see{thmisomII}), considerando
	\begin{center}
	\xymatrix{
	\frac{K}{H} \ar[r]^i& \frac{G}{H}\ar[r]^{\varphi} & \frac{G}{K}
	\ar[dl]^{\beta} \\
	&	\pgra{\e} \ar[ul]^{\alpha} & 
	}
	\end{center}
	con 
	\eal{&\alpha(\e)=H\\
	&\beta(aK)=\e\;\;\forall aK \in  \frac{G}{K}
	}
	si ha che in ogni posto della sequenza, l'immagine dell'omomorfismo
	precedente e' uguale al nucleo dell'omomorfismo successivo.\\
	Si suole dire che questa e' una \emph{sequenza esatta corta} di 4
	omomorfismi.\\
Questo tipo di sequenze viene studiato in algebra omologica.
\end{prop}
\def\f{{\varphi}}
\begin{thm}
	teorema di corrispondenza.\\
	\label{thmcorrispondenza}
	Dato l'omomorfismo $\f:G\longrightarrow G'$, surriettivo, si ha
	\eal{&
	|\pgra{H\le G\;|\;H\) \ker \f}|=
	|\pgra{H' \le  G'}|
	}
	La biezione $f$ tra i due insiemi e' indotta da $\f$ stessa:
	\eal{&
f:M\longrightarrow N\\
&f(H)=\f(H)
}
dove $M,N$ sono i due insiemi.
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
Poniamo
\eal{&M=\pgra{H\le G\;|\;H\) \ker \f}\\
&N=\pgra{H' \le  G'}
}
\step{}{Dobbiamo far vedere che esiste una funzione biettiva tra $M,N$}
\begin{prova}
Consideriamo 
\eal{
&f:M\longrightarrow N\\
&f(H)=\f(H)\\
&g:N\longrightarrow M\\
&g(H')=\f^{-1}(H')
}
Bastera' dimostrare che
\eal{&f\o g =\id_N\\
&g\o f = \id_M
}
in questo modo, $f,g$ saranno biettive e l'una l'inversa dell'altra.
\step{}{Dim $f\o g =\id_N$}
\begin{prova}
	\step{}{$g(H')=\inv \f (H') \) \ker \f$}
	\begin{prova}
Infatti,
	\eal{&h\in \ker \f \> \f(h) = \e \ubrace{\in}{H'\T{ e' un gruppo}} H'
	\> \f(h) \in H' \> h\in \inv \f(H')}
	\lineapiccola
	\end{prova}
	\eal{&\inv \f (H') \) \ker \f \> \inv \f (H') \in M\\
&f\o g(H')=\f(\f^{-1}(H'))\\
	&\f \T{ surriettiva }  \ubrace{\>}{\T{prop. delle funzioni}
	\AI{propimmagineecontroimmagine} } \f(\f^{-1}(H')) = H'\\
	}
	Quindi 
	\eal{&f\o g=\id_N}
\end{prova}
\step{}{Dim $g\o f=\id_M$}
\begin{prova}
	Prendiamo un $H\in M$ ovvero $H\le G:\;\;H\) \ker \f$
	\eal{&g\o f(H)= \f^{-1}(\f(H))}
	\step{}{Dim $\f^{-1}(\f(H))=H$}
	\begin{prova}
		\step{}{Dim $\($}
		\begin{prova}
Sia $h\in \f^{-1}(\f(H))$, ovvero
\eal{&\f(h) \in \f(H)\= \f(h)=\f(\ove h) \\
&H \le  G  \ubrace{\>}{\see{propvarisottogruppiconfomo}}  \f(H) \le  G'\\
&\sist{\f(h),\f(\ove h)\in \f(H)\\
\f(h)=\f(\ove h)} \> 
\f(h)\f(\ove h)^{-1}=\e'\=\f(h\inv{\ove h})=\e'\\
&\qq \= h\inv{\ove h} \in \ker \f\= h\inv{\ove h}=k\in \ker \f \( H 
\> h\inv{\ove h}=h'\in H \= h=\ubrace{h'}{\in H}\ubrace{\ove h}{\in H}\in H \> h \in H
}
		\end{prova}
		\step{}{Dim $\)$}
		\begin{prova}
Sia $h\in H$
\eal{
&\f(h) \in \f(H) \= h\in \f^{-1}(\f(H))
}
		\end{prova}
	\end{prova}
\end{prova}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{cor}
	\label{corcorrispondenza}
Se consideriamo solo i sottogruppi normali di $G$ e $G'$, il thm di
corrispondenza vale ancora, ovvero
\eal{&|\pgra{H'\le G'\T{ normale }}| = |\pgra{H\le G\T{ normale } \;|\; H\)
\ker \f}
}
\end{cor}
\begin{prova}
	\pf
\begin{prova}
Se consideriamo la stessa funzione biettiva $f$ vista nella dimostrazione del
thm di corrispondenza \see{thmcorrispondenza}, avremo 
\eal{&\sist{H \T{ normale } \le G\\
\f\T{ surriettiva } }  \ubrace{\>}{prop. \see{propHnormalefHnormale} }
\f(H)=f(H)
\T{ normale }\\
&H' \le G'\T{ normale }  \ubrace{\>}{prop. \see{propH'normalef-1Hnormale}}
\f^{-1}(H)=f^{-1}(H)\T{ normale }
} 
Quindi $f$ e' la funzione biettiva cercata.
\end{prova}
\qed
\end{prova}

\begin{exemp}
Se $|G'|=p$, dove $p$ primo, 
\eal{&|G'|=p\T{ primo }  \ubrace{\=}{\see{coroGestpprimobanali}} \pton{H' \le
G'\> H'=\pgra{\e}\| H'=G' } \=  N=\pgra{\pgra{\e},G'}
}
Allora, per il thm di corrispondenza \see{thmcorrispondenza},
\eal{&|M|=|N|=2 \> M=\pgra{\ker \varphi,G}
}
\end{exemp}

\subsubsection{Teorema di Cayley}
\begin{thm}
	\ilabel{cayley}
	teorema di Cayley.\\
	\eal{&\exists f:G\longrightarrow S(G)\T{ immersione }
	}
	Un'immersione e' un omomorfismo iniettivo.\\
	Equivalentemente, possiamo dire che $f:G\longrightarrow \Im f$ e' un
	isomorfismo, con $\Im f\le S(G)$.\\
	Inoltre, una tale immersione e'
	\eal{&f(a)=T_a\\
	&T_a(x)=ax}
	$T_a$ si chiama traslazione sinistra tramite $a$.
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{Consideriamo una sequenza di tutti gli elementi di $G$. E' possibile
	permutarla?}
	\begin{prova}
Per permutare la sequenza e ottenerne una nuova, basta moltiplicare tutti i
suoi elementi per uno stesso elemento $a\in G$: preso $a\in G$ costruiamo la seguente funzione
\eal{&T_a: G\longrightarrow G\\
&T_a(x)=ax}
$T_a$ e' una permutazione, ovvero $T_a\in S(G)$, infatti, 
\step{}{$T_a$ e' iniettiva}
\begin{prova}
	\eal{&T_a(x)=T_a(y) \= ax=ay \= x=y}
\end{prova}
\step{}{$T_a$ e' surriettiva}
\begin{prova}
	Preso $x\in G$, la sua controimmagine e' $\inv a x$, infatti,
	\eal{&T_a(\inv a x) = a\inv a x = x}
\end{prova}
	\end{prova}
	\step{}{Quindi, per ogni elemento $a\in G$ nasce una permutazione
	$T_a\in S(G)$. Questa associazione e' l'omomorfismo cercato.}
	\begin{prova}
Consideriamo la seguente funzione
\eal{&f:G\longrightarrow S(G)\\
&f(a)=T_a}
\step{}{$f$ e' un omeomorfismo}
\begin{prova}
	\eal{&f(ab)=T_{ab}\\
	&T_{ab}(x)=(ab)x=a(bx)=aT_b(x)=T_a(T_b(x))=T_a\o T_b (x)
	\;\;\forall x\in G\\
	&T_{ab}=T_a\o T_b}
\end{prova}
\step{}{$f$ e' iniettiva}
\begin{prova}
\eal{&f(a)=f(b)\= T_a=T_b \> T_a(\e)=T_b(\e) \= a\e=b\e \= a=b
	}
\end{prova}
	\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{exemp}
Sia $|G|=8$, allora
\eal{&G\stackrel{f}{\longrightarrow} S(G) \simeq S_8}
\end{exemp}
\begin{thm}
	teorema di Cayley generalizzato.\\
	\label{cayleyII}
	Sia $(G,\.)$ un gruppo. 
	Preso un $H\le G$, sia $G/_sH=\pgra{aH}_{a\in G}$ l'insieme quoziente
	su $G$ indotto dalla relazione d'equivalenza $\congs (H)$ (vedi
	\see{modulo H}). Allora, 
	\eal{&\exists f:G\longrightarrow S(G/_sH)\T{ omomorfismo}}
	Valgono inoltre le seguenti proprieta':
	\begin{enumerate}
		\item $f$ potrebbe non essere iniettivo.
		\item $K=\ker f \( H$
		\item $K$ e' il piu' grande sottogruppo normale in $G$, contenuto in
			$H$:
			\eal{&N\( H \T{ normale in G } \> N\( K}
		\item $\ker f=\pgra{a\in G\;|\;\forall x\in G\;\;axH=xH}$
	\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
\begin{prova}
	La dimostrazione e' simile a quella del thm \see{cayley}.\\
Intanto, per comodita' poniamo $M=G/_sH$.
	Sia \eal{&
	T_a: M \longrightarrow  M\\
	&T_a(xH)=axH
	}
	\step{}{$T_a\in S(M)$}
	\begin{prova}
	E' iniettiva:
	\eal{&T_a(xH)=T_a(yH)\= axH=ayH }
	dimostriamo che $xH=yH$
	\step{}{Dim $\($}
	\begin{prova}
		\eal{&xh\in xH\\
		&axh\in axH = ayH \> axh = ayh' \= xh=yh' \= xh\in yH
		} 
	\end{prova}
	\step{}{Dim $\)$}
	\begin{prova}
		\eal{&yh\in yH\\
		&ayh\in ayH = axH \> ayh=axh' \= yh=xh' \= yh\in xH}
	\end{prova}
	E' surriettiva: preso $yH\in M$, la sua controimmagine e' $\inv a y
	H$, infatti
	\eal{&T_a(\inv a yH)=a\inv a yH=yH
	}
	\end{prova}
	\step{}{$f$ e' un omomorfismo}
	\begin{prova}
	A questo punto consideriamo
	\eal{&f: G\longrightarrow S(M)\\
	&f(a)=T_a}
	e' un omomorfismo.
	\eal{&
	f(ab)=T_{ab}\\
	&T_{ab}(xH)=abxH=aT_b(xH)=T_a(T_b(xH))=T_a\o T_b(xH)\;\;\forall xH\in
	M\\
	&T_{ab}=T_a\o T_b}
	\end{prova}
	\step{}{$f$ puo' non essere iniettivo.}
	\begin{prova}
	Portiamo un esempio. Consideriamo $G$ con $|G|=35$.\\
	E sia $H\le G$ con $|H|=7$. Per il thm di  Lagrange
	(\vedi{thmdilagrange}), 
	\eal{&\ig H = \frac{|G|}{|H|}=5}
	Ricordiamoci che $\ig H=|G/_sH|=|M|$, quindi
	\eal{&|S(M)|=5 ! =120}\\
	Se per assurdo $f$ fosse iniettiva,
	\eal{&|\Im f|=|G|=35}, ma poiche'
	\eal{&\Im f \le  S(M)}
	risulta, sempre per Lagrange, che $|\Im f|$ e' un divisore di
	$|S(M)|$. Ma questo e' assurdo dato che $35\nmid 120$.
	\end{prova}
	\step{}{$K=\ker f = \pgra{a\in G\;|\:\forall xH\in M\;\;axH=xH}$}
	\begin{prova}
		\eal{&\ker f= \pgra{a\in G\;|\;f(a)=\e'=\id_M }\\
		&f(a) = \id_M \= T_a=\id_M \=   \\
		&\= T_a(xH)=\id_M(xH)\=axH=xH \;\forall xH\in M
		}
	\end{prova}
	\step{}{$K=\ker f\( H$}
	\begin{prova}
		\eal{&k\in \ker f \> kxH=xH \;\forall xH\in M
		\ubrace{\>}{\T{per } x=\e} kH=H \> k\in H 
		}
	\end{prova}
	\step{}{Dimostriamo che 
			\eal{&N\( H \T{ normale in G } \> N\( K}
	}
	\begin{prova}
		Che $\ker f$ sia normale lo sappiamo gia'
		(\vedi{kerfnormale}).\\
		Supponiamo che $N\le H$ normale. Dimostriamo che $N \( K$\\
\eal{&n\in N,\;\;x\in G\\
&nx\in Nx \ubrace{=}{\T{N e' normale}} xN \> nx=xn'\\
&nxH=xn'H \ubrace{=}{N\( H} xH \;\;\forall x\in G \= n\in K
		}
	\end{prova}
\end{prova} 
\qed
\end{prova}

\begin{cor}
	\label{corcayley1}
	\eal{&\sist{H\le  G,\;\;|H|=p\T{ primo}\\
	 |G|\nmid \ig H!
	 } \> H\T{ e' normale }}
\end{cor}
\begin{prova}
	\pf
\begin{prova}
Sia $i=i_G(H)$ e sia $|G|=n$. L'ipotesi dice che $n$ non divide $i!$\\
Per il thm di Cayley \see{cayleyII}, 
\eal{&\exists f:G\longrightarrow S(G/_sH)\T{ omomorfismo}}
\step{}{$f$ non e' iniettivo}
\begin{prova}
Se per assurdo lo fosse, si avrebbe $|\Im f| = n$, ma
\eal{&\Im f \le S(G/_sH) \> |\Im f|=n \T{ divide } |S(G/_sH)|=|G/_sH| ! = \ig
H !\\
&n\mid \ig H!}
assurdo contro ipotesi.
\end{prova}
Analizziamo il $\ker f$:
\eal{&
f\T{ non iniettivo } \> \pgra{\e} \subset \ker f \;\;(1) }
Sempre per il thm di Cayley, 
$\ker f=K$ e' il piu' grande sottogruppo normale di $H$, \\
Per la prop \see{coroGestpprimobanali}, gli unici sottogruppi di $H$ sono
quelli banali, quindi 
\eal{&K \le H \> K=\pgra{\e} \| K=H  \ubrace{\>}{ (1) } K=H
}
In conclusione, $H=\ker f$, ed e' quindi normale.
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{cor}
	\label{corcayley2}
	\eal{&\sist{|G|=pq,\;\;p\ge q,\;\;p \T{ primo }\\
	H\le G,\;|H|=p
	}  \> H\T{ normale } }
\end{cor}
\begin{prova}
	\pf
\begin{prova}
	\eal{&\frac{q!}{pq}=\frac{(q-1)\.(q-2)\dots 3\.2\.1}{p}}
	ma $p\ge q$, quindi $p \neq (q-i)\;\;i=1,2,\dots,q$,
	percio'
	\eal{&pq\nmid q!}
	Poiche' 
	\eal{&
	\ig H  \ubrace{=}{\T{lagrange} \see{thmdilagrange}}
	\frac{|G|}{|H|}= \frac{pq}{p}=q\\
	&pq\nmid q!\= |G|\nmid \ig H ! 
	}
	quindi,
	le ipotesi del cor \see{corcayley1} sono
	rispettate, quindi $H$ e' normale.
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{exemp}
	$ |G|=5\.4=20,\;|H|=5 \> H\T{ normale }$
\end{exemp}

\begin{exemp}
	\label{gruppodiordinepari}
$G$ gruppo, $|G|=2n$, allora

		$\exists H\le G:\;|H|=2$\\
Se inoltre $n$ e' dispari, si ha 
	
$\exists H \le G:\;|H|=n$
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{Dim $1.$}
	\begin{prova}
		Un sottogruppo di ordine $2$ e' del tipo $\pgra{\e, a}$, con
		$a \neq e,\;a^2=\e$, o equivalentemente, con $a \neq
		\e,\;\;a=\inv a$.\\
		Supponiamo per assurdo che non ne
		esistano, ovvero che 
		\eal{&\forall a\in G:\;a \neq \e \;\;a^2 \neq \e\= a \neq \inv
		a
		}
		allora, riusciamo a disporre gli elementi di $G$ in questa
		maniera:
		\eal{&G=\sist{\e\\
		a_1 \neq \inv a_1\\
		a_2 \neq \inv a_2\\
		\dots\\
		}
		}
		ma allora il numero di elementi di $G$ e' dispari. Assurdo
		contro $|G|=2n$
	\end{prova}
	\step{}{Dim $2.$}
	\begin{prova}
	Per Cayley \see{cayley}, abbiamo la seguente immersione $f$:
	\eal{&f:G\longrightarrow S(G)\simeq S_{2n}\\
	&f(a)=T_a
	}
	\step{}{$\Im f \nsubseteq A_{2n}$}
	\begin{prova}
	Basta che troviamo una $f(a)$ che non e' una permutazione pari.\\
Come $a$ prendiamo lo stesso $a$ di prima, ovvero, $a\in G:\;a \neq
\e,\;\;a^2 = \e$.\\
$f(a)=T_a$ non lascia fisso alcun elemento: se per assurdo $T_a(x)=x$,
\eal{&T_a(x)=x\= ax=x \= a=\e}
assurdo contro $a \neq \e$.\\
\eal{&f(a^2)=f(aa) \ubrace{=}{\T{f \T{ e' un omo}}} f(a)f(a)=T_aT_a\\
&a^2=\e \= f(a^2)=f(\e) \= T_aT_a = \id \= T_a^2 = \id }
Quindi $T_a^2$ e' la permutazione identica. \\
\eal{&T_a \neq \id,\;\;T_a^2  = \id \= o(T_a) =2  \ubrace{=}{thm \see{thmordinepermutazione}} 
=\mcm(l(c_1),l(c_2),\dots,l(c_k))
}
dove $c_1, c_2, \dots, c_k$ sono i cicli che compongono $T_a$. \\
Poiche' $T_a$ non lascia fisso alcun elemento, non esiste un ciclo $c_i$ di
ordine $1$ (a parte il ciclo identita'), quindi
\eal{&\mcm(l(c_1),l(c_2),\dots,l(c_k))=2,\;\;l(c_i)>1 \> l(c_i)=2\;\;\forall
i=1,2,\dots,k
}
Percio', sara' del tipo
\eal{&T_a=(a_1 a_1')(a_2 a_2')\dots(a_{n} a_{n}')\\
&\qq \T{ dove gli } a_{i},a_{i}' \T{ sono tutti distinti fra loro}
}
allora, $T_a$ e' formata da $n$ trasposizioni. $n$ e' dispari. Quindi
$T_a\notin A_{2n}$
\end{prova}
\step{}{$\Im f$ ha meta' permutazioni pari e meta' dispari}
\begin{prova}
	Sia $H=A_{2n}\^\Im f$. $H$ e' l'insieme di tutte le permutazioni pari
	di $\Im f$. Sia $T_a=g\notin A_{2n}$ la permutazione dispari che
	abbiamo trovato prima.\\
	Poiche' $g$ e' dispari, $gH$ e' un insieme di permutazioni dispari,
	inoltre, $gH \( \Im f$, infatti:
	\eal{&gH\ni gh=T_aT_{a'} \ubrace{\in}{\Im f\T{ e' un gruppo}}\Im f }
	Anzi, $gH$ e' l'insieme di tutte le permutazioni dispari di $\Im f$,
	infatti,
	sia $b \in \Im f$ una permutazione dispari, allora
	\eal{&g,b\T{ dispari }\> \inv g b \T{ pari }\\
	&\sist{\inv g, b \in \Im f \> \inv g b \in \Im f\\
	\inv g b \T{ pari}\= \inv g b \in A_{2n} } \> \inv g b \in H \= \inv
	g b=h \= b=gh \= b\in gH
	}
	Poiche' esistono solo permutazioni pari o dispari, 
	\eal{&\Im f = H \U gH\\
	&|\Im f| = |H\U gH|  \ubrace{=}{H\^{gH}=\0} |H|+|gH|\\
	&2n = \Im f = |H|+|gH|}
	Per le proprieta' dei laterali, $|gH|=|H|$, quindi
	\eal{&2|H|=2n\= |H|=n\\
	&\sist{f\T{ iniettiva}\\
	H\le \Im f }\> |\inv f (H)|=|H|}
	$\inv f (H)$ e' quindi il sottogruppo cercato, ovvero
	\eal{&|\inv f (H)|=n}
\end{prova}
	\end{prova}
	\qed
\end{prova}
\end{exemp}


\subsection{Azione di un gruppo}
\def\O{{\mathcal{O}}}
\ilabel{azione}
\begin{defn}
Sia dato un gruppo $G$ e un insieme $X$, definiamo l'\emph{azione} $*$ del
gruppo $G$ su $X$ come la funzione:
\eal{&*:G\*X \longrightarrow X\\
&(g,x)\mapsto g*x
}
che rispetta le seguenti proprieta':
\eal{&\e*x=x\;\;\forall x\in X\\
&(a\.b)*x=a*(b*x) \;\;\forall a,b\in G\;\;\forall x\in X
}
In altre parole, ogni elemento $g\in G$ puo' essere visto come la funzione:
\eal{&g*:X\longrightarrow X}
che porta un elemento di $X$ in un altro elemento di $X$.\\
\end{defn}
\begin{prop}
	\label{propgazestbiettiva}
	La funzione $g*:X\longrightarrow X$ e' biettiva, ovvero $g* \in
	S(X)$, e inoltre
	\def\f{{\varphi}}
	\eal{&\f:G\longrightarrow S(X)\\
	&\f(g)=g*}
	e' un omomorfismo tra gruppi.
\end{prop}
\begin{prova}
	\def\f{{\varphi}}
	\pf
	\step{}{$g*$ e' biettiva}
	\begin{prova}
	Infatti, l'inversa di $g*$ e' $\inv g*$,
	\eal{&
	(g*\o \inv g*)(x) = g*(\inv g*(x)) = g*(\inv g*x) = (g\inv g)*x=\e * x = x\\
	&
	(\inv g*\o g*)(x) =\inv  g*(g*(x)) = \inv g*(g*x) = (\inv gg)*x=\e * x = x
	}
	\end{prova}
	\step{}{$\f$ e' un omomorfismo}
	\begin{prova}
\eal{&\f(ab)=(ab)*\\
&\qq \forall x\in X\;\;(ab)*x= a*(b*x) = (a*\o b*)(x) = (\f(a)\o\f(b))(x)\\
&\f(ab)=(ab)*=\f(a)\o\f(b)
		}
	\end{prova}
	\qed
\end{prova}
\begin{defn}
	Definiamo lo stabilizzatore di $x$:
	\eal{&\St(x)=\pgra{g\in G\;|\;g*x=x}}
	certamente $\e\in \St(x)$.
\end{defn}
\begin{prop} 
	$\St(x) \le  G$\\
	Ovvero, lo stabilizzatore di $x$ e' un sottogruppo di $G$.
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
	Usiamo la caratterizzazione \see{sottogruppo!caratterizzazione2}
\eal{&a,b\in \St(x)\\
&b*x = x \= \inv b *(b*x)=\inv b * x \= (\inv bb)*x = \inv b * x \= \e *x=\inv
b * x \= x = \inv b*x \> \inv b \in \St(x)\\
&(a\inv b )*x = a*(\inv b*x) = a*x = x  \> a\inv b \in \St(x)
	}
	\qed
\end{prova}
\begin{defn}
	Definiamo l'\emph{orbita} di $x\in G$:
	\eal{&\O(x)=\pgra{g*x\;|\;\forall g\in G}
	}
	ovvero e' l'insieme di tutti gli elementi di $X$ a cui $x$ e'
	associato tramite una $g*$.\\
	Poiche' $\e*x=x$, $x\in \O(x)$.\\
	Se $\O(x)=X$, $\O(x)$ si dira' transitiva.
\end{defn}
\begin{prop}
	\label{propOpartizione}
L'insieme di tutte le orbite e' una partizione di $X$.\\
Indicheremo con $X/G$ tale insieme.
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
\begin{prova}
La tesi equivale a dire che la relazione
\eal{&y\sim x \= y\in \O(x)}
e' una relazione d'equivalenza. Infatti, $\O(x)$ diventa la classe
d'equivalenza di $x$, e tutte le classi di equivalenza stabiliscono una
partizione in $X$.\\
Dimostriamo quindi che e' una relazione d'equivalenza.
\step{}{$x\sim x$}
\begin{prova}
	\eal{&x\sim x \= x\in \O(x) \T{ vero }}
\end{prova}
\step{}{$x\sim y\> y \sim x$}
\begin{prova}
	\eal{&x\sim y \= x\in \O(y) \= \exists g\in G:\;g*y=x\\
	&\inv g*(g*y)=\inv g *x \\
	&\inv g*(g*y)=(\inv g \.g)*y=\e*y=y\\
	&y=\inv g * x \> y\in \O(x) \= y\sim x}
\end{prova}
\step{}{$x\sim y,\;y\sim z \> x\sim z$}
\begin{prova}
\eal{&x\sim y \= x\in \O(y) \> \exists g\in G:\;g*y=x\\
&y\sim z \= y\in \O(z) \> \exists g'\in G:\;g'*z=y\\
&(g\.g')*z = g*(g'*z)=g*y=x\\
&(g\.g')*z =x \> x\in \O(z) \= x\sim z
	}
\end{prova}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}\qq\\
	\label{propcardOeqcardSt}
Per ogni $x\in X$, si ha
\eal{	|\O(x)| = \ig {\St(x)} }
	Nota: questo vale sia nel caso finito che in quello infinito.
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{Dimostriamo che esiste una funzione biettiva tra $\O(x)$ e
	$\pgra{a\St(x)}_{a\in G}$.
	\footnote{ricordiamoci che $\ig {\St(x)} =|\pgra{a\St(x)}_{a\in G}|$  })}
	\begin{prova}
Consideriamo la seguente funzione:
\eal{&f:\O(x) \longrightarrow G/_{\St(x)}\\
&f(g*x)=g\St(x)
}
\step{}{Dimostriamo che e' ben posta, ovvero che
\eal{&g*x=g'*x \> g\St(x)=g'\St(x)}}
\begin{prova}
\eal{&g*x=g'*x \= \inv g*(g*x) = \inv g*(g' *x)  \=\\
&\qq \=
(\inv g g)*x = (\inv g g')*x \= \e *x = (\inv g g')*x  \= x= (\inv g g')*x  \\
&x= (\inv g g')*x \= \inv g g'\in \St(x) \= \inv gg'=s \= g'=gs \in g \St(x)
\= g'\St(x) =g\St(x)
	}
\end{prova}
Procedendo a ritroso si ha pure che:
\eal{&g*x=g'*x \< g\St(x)=g'\St(x) \=f(g*x)=f(g'*x)
}
ovvero, $f$ e' iniettiva.\\
E' immediato verificare che $f$ e' surriettiva.
	\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{cor}
	\label{corazionelagrange}
	\label{corpropcardOeqcardSt}
Se $G$ e' finito, dalla precedente proposizione e dal teorema di Lagrange, si
ha:
\eal{&|G|= |\St(x)|\ig{\St(x)}\\
&|G| =|\St(x)| |\O(x) |
}
\end{cor}
\begin{exemp}
Con	$G$, $X=G$ consideriamo l'azione
\eal{&T:G\* X \longrightarrow X\
&T(g,x) =gx}
chiamata \emph{traslazione}
\ilabel{traslazione}
si ha
\eal{&\O(x)=X\T{ infatti}\\
&\qq y\in X=G \> gx=y \= g=y\inv x\\
&\St(x)=\pgra{\e}
}
\end{exemp}
\begin{thm}
	(Lemma di Burnside)\\
	Sia $X$ un insieme su cui agisce $G$, poniamo
	\eal{&X^g=\pgra{x\in X\;|\;gx=x}}
	Sia $X/G$ l'insieme di tutte le orbite, 
	si ha:
	\eal{& |X/G| 
	= \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|X^g|
	}
	Questo teorema ha diverse applicazioni in combinatorica, perche'
	permette di contare in maniera alternativa $|X/G|$.
\end{thm}
	\begin{proof}
	\begin{align*}
\sum_{g \in G}|X^g| &= |\{(g,x)\in G\times X \;|\; gx = x\}| = \sum_{x
\in X} |\St(x)|  \ubrace{=}{\see{corpropcardOeqcardSt}}  \sum_{x \in X}
\frac{|G|}{|\O(x)|} =\\
&= |G| \sum_{x \in X}\frac{1}{|\O(x)|}  \ubrace{=}{\see{propOpartizione}}
|G|\sum_{A\in X/G}\sum_{x\in A} \frac{1}{|A|} = |G| \sum_{A\in X/G}
\frac{|A|}{|A|} =\\
                    &= |G| |X/G|
\end{align*}
	\end{proof}
\begin{lem}
	\label{lemmacauchy} Dato $|G|$, con $|G|=p$ primo, si ha:
	\eal{&1.\;\;
	\forall x\in X \;\;|\O(x)|=1\|  |\O(x)|=p\\
	&2.\;\;|X|=\lambda p,\;\exists x\in X:\;|\O(x)|=1 
	\> |Y|=\mu p \ge  p,\;\;\T{ dove } Y=\pgra{y\in X\;|\;|\O(y)|=1}
	}
	In sostanza, la seconda proposizione dice che se $|X|$ e' un multiplo
	di $p$ e se esiste almeno un $x$ la cui orbita ha un solo elemento,
	allora il numero di tutti gli $y\in Y$ la cui orbita ha un solo
	elemento e' un multiplo di $p$.\\
	(ovviamente $\lambda,\mu \neq 0$).
\end{lem}
\begin{prova}
	\pf 
	\begin{prova}
	Preso $x\in X$, per il cor \see{corazionelagrange} si ha
	\eal{&|G|=|\O(x)| | \St(x) | \> |\O(x)|\div |G|=p  \ubrace{\>}{p \T{
	e' primo}} |\O(x)|=1 \| |\O(x)|=p\;\;(1)
	}
	Supponiamo adesso che $|X|=\lambda p$ e che $|\O(x)|=1$. Poniamo
	$k=|Y|$.\\
	Poiche' le orbite formano una partizione di $X$, si ha che $|X|$ e'
	uguale alla somma delle cardinalita' di tutte le orbite. Dalla $(1)$
	sappiamo che le orbite hanno cardinalita' $1$ o $p$. Tutte quelle con
	cardinalita' $1$ sono in $Y$. Con $h$ indichiamo il numero di
	orbite di cardinalita' $p$. Abbiamo quindi
	\eal{&|X| = |Y|+ph = k+ph \= \lambda p=k+ph \> p\div k \=
	k=\mu p 
	}
	Infine, poiche' $\exists x\in X:\;|\O(x)|=1$, si ha $k \neq 0\= \mu
	\ge 1$
	e quindi
	\eal{&\mu \ge  1 \> \mu p \ge  p}
	\qed
	\end{prova}
\end{prova}
\begin{thm}
	di Cauchy.\ilabel{thmdicauchy}
	\label{thmcauchy} \ilabel{teorema di Cauchy}
	\eal{&|G|=n,\;p\T{ primo}, p\div n \> \exists H\le G:\;|H|=p\\
	&\exists H\le G:\;|H|=p \= \exists a\in G:\;o(a)=p \= \exists a\in
	G:\;\sist{a^p=\e\\
	a \neq \e}
	}
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
Intanto,
\eal{&p\div n \= p \lambda = n \;\;(*)
}
	\step{}{Dimostriamo che la tesi e' equivalente a $\exists a\in
        G:\;\sist{a^p=\e\\
        a \neq \e}
	$}
	\begin{prova}
		\eal{&|H|=p \T{ primo }
		\ubrace{\>}{\see{propordGprimogenerato}}
		\exists a\in G:\;H=\gen a  \ubrace{\>}{\see{thmogeqcardg}}  o(a)=
		|H| = p
		}
		dimostriamo il viceversa:
		\eal{&a \neq \e \> o(a) > 1 \\
		& a^p =\e \> o(a)\div p  \ubrace{\>}{o(a)>1,\;\;p\T{ e'
		primo}} o(a) = p \> |\gen{a}|=p\> H=\gen{a}\le G
		}
	\end{prova}
	\step{}{Quindi per dimostrare il teorema di Cauchy, basta far vedere
	che $\exists a \neq \e:\;a^p=e$}
	\begin{prova}
Consideriamo l'insieme 
\eal{&X=\pgra{(y_1,\dots,y_p)\;|\;y_i\in G,\;\prod_{i=1}^{p} y_i = \e}}
$X$ non e' vuoto, perche'
\eal{&
E=(\e,\e,\dots,\e)\in X
}
Se consideriamo l'elemento $a\in G$ della tesi, si ha
\eal{&a^p = \e \= a\.a\. \cdots \. a = \e \= (a,a,\dots,a)\in X}
Quindi il nostro obbiettivo e' trovare un $y\in X:\;y_1=y_2=\dots=y_p,\;y_1
\neq \e$.\\
Osserviamo che 
\eal{&y_1=y_2=\dots=y_p \= 
(y_{1+i},y_{2+i},\dots,y_{p+i})=y\;\;\forall i \in  \pgra{1,2,\dots,p}\;\;(0)
		}
		dove le addizioni negli indici si intendono in $\mathbb{Z}_p$.
Per chiarire le idee:
\eal{&i=0:\;\;(y_1,y_2,\dots,y_{p-1}, y_p)\;\;(1)\\
&i=1:\;\;(y_2,y_3,\dots,y_p,y_1)\\
&i=2:\;\;(y_3,y_4,\dots,y_1,y_2)\\
&\dots
}
Quindi per ogni $i$ stiamo permutando in modo particolare la $p-$upla $y$.\\
Possiamo intendere queste permutazioni, come l'azione di $(\mathbb{Z}_p,+)$ su
$X$ secondo la seguente legge:
\eal{&i*(y_1,y_2,\dots,y_p)=(y_{1+i},y_{2+i},\dots,y_{p+i})
}
\step{}{$*$ e' una azione}
\begin{prova}
infatti,	
\eal{&0*(y_1,y_2,\dots,y_p) \ubrace{=}{(1)} (y_1,y_2,\dots,y_p)\\
&(i+j)*(y_1,y_2,\dots,y_p) = (y_{1+i+j},y_{2+i+j},\dots,y_{p+i+j}) = 
i*(j*(y_1,y_2,\dots,y_p))
}
\end{prova}
Con l'azione possiamo riscrivere la $(0)$ in questo modo:
\eal{& (y_{1+i},y_{2+i},\dots,y_{p+i})=y\;\;\forall i \in \pgra{1,2,\dots,p}
\=  i*y=y\;\forall i\in \mathbb{Z}_p \= \St(y)=\mathbb{Z}_p, \;\O(y)=\pgra{y}
}
Quindi, il nostro obbiettivo e' stato rifinito: \eal{\T{dobbiamo trovare un $y\in X:
\;|\O(y)|=1,\;y \neq E$}}
Contiamo innanzitutto gli elementi di $X$.
\step{}{$|X|=n^{p-1}$}
\begin{prova}
\eal{&y=(y_1,\dots,y_p)\in X \= y_1y_2\dots y_p=\e \= \inv{(y_1\dots
y_{p-1})}={y_p}\;\;(2)}
Quindi, prese le prime $p-1$ componenti di $y$, conosciamo l'ultima.\\
Consideriamo allora
la seguente funzione:
\eal{&f:G^{p-1}\longrightarrow X\\
&(y_1,y_2,\dots,y_{p-1}) \mapsto (y_1,y_2,\dots,y_{p-1},\inv{(y_1y_2\dots
y_{p-1})}) 
}
La sua inversa e'
\eal{&g:X\longrightarrow G^{p-1}\\
&(y_1,\dots,y_p)\mapsto (y_1,y_2,\dots,y_{p-1})}
infatti, 
\eal{&f\o g (y_1,\dots,y_p) = f((y_1,y_2,\dots,y_{p-1})) = 
 (y_1,y_2,\dots,y_{p-1},\inv{(y_1y_2\dots
 y_{p-1})})  \ubrace{=}{(2)}  (y_1,\dots,y_p)\\
&g\o f (y_1,y_2,\dots,y_{p-1})  =  g (y_1,y_2,\dots,y_{p-1},\inv{(y_1y_2\dots
y_{p-1})}) = (y_1,y_2,\dots,y_{p-1})
}
Avendo l'inversa, $f$ e' biettiva e quindi
\eal{&
|X|=|G^{p-1}|=|G|^{p-1}=n^{p-1}
}
\end{prova}
\def\y{{\ove y}}
\eal{&
\sist{
|X|=n^{p-1} \ubrace{=}{(*)}  \lambda^{p-1} p^{n-1} = \mu p\\
|\mathbb{Z}_p|=p\T{ primo }\\
E\in X,\;|\O(E)|=1 
} \ubrace{\>}{\T{lemma \see{lemmacauchy}}} 
|\ubrace{\pgra{y\in X:\;|\O(x)|=1}}{Y}|=kp > 1 \\
&E\in Y,\;|Y| > 1  \> \exists \y\in X:\;\y \neq E,\;|\O(\y)|=1
}
che e' proprio quello che cercavamo.
	\end{prova}
	\qed
\end{prova}

\subsubsection{Azione di coniugio}
Con $G$, $X=G$, consideriamo la seguente azione\footnote{e' immediato
verificare che si tratta di una azione}:
\eal{&g*x=g x \inv g}
che viene detta \emph{azione di coniugio} o di coniugazione.\\
\ilabel{coniugio}
\begin{prop}
	\label{propazcentraliz}
$\St(x)= C(x)$\\
dove $C(x)$ e' il centralizzante di $x$ (vedi \see{centro})
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
	\eal{&\St(x)=\pgra{g\in G\;|\;g*x=x \= gx\inv g = x \= gx=xg}=C(x)}
\end{prova}
\begin{prop}
	\label{propazioneZcentro}
	\eal{&\O(x)=\pgra{x}\=x\in Z(G)}\\
	Poiche' per la prop \see{propOpartizione} $\O(x)$ e' una classe, si ha
	che ogni elemento del centro individua una classe.
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{Dim $\=$}
\begin{prova}
	\eal{&\O(x)=\pgra{x}\= \pton{\;\forall g\in G\;\;\;g*x=x \= gx\inv
	g =x \= gx=xg} \= x\in Z(g)
	}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}
	\ilabel{equazione di classe}\label{equclasse}
	Se $G$ e' finito, si ha \emph{l'equazione di classe}:
\eal{&|G|=
|Z(G)| + \sum_{z\in F
} |\O(z)| = 
|Z(G)| + \sum_{z\in F
} \frac{|G|}{|C(z)|}\\
&F=f(\pgra{\O(x)\;|\;x\notin Z(G)})\\
&f:\pgra{\O(x)}_{x\in X}\longrightarrow X\T{ tale che } f(\O(x))\in
\O(x)
}
In altre parole, la sommatoria e' estesa a tutti gli elementi esterni a $Z(G)$
e presi uno per orbita.
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
	\begin{prova}
Poiche' le orbite formano una partizione di $X$, e poiche' $X=G$, le orbite
formano una partizione di $G$, percio':
\eal{&G=\bigcup_{x\in X} \O(x) = \bigcup_{z\in f(\pgra{\O(x)}_{x\in X})} \O(z) \> |G| = \sum_{z\in f(\pgra{\O(x)}_{x\in X})}
|\O(z)|
}
dobbiamo usare la funzione $f$ perche' altrimenti conteremmo piu' volte una
stessa classe, ovvero commettiamo un errore del tipo $|\O(x)|+|\O(x')|+\dots$
con $x,x'\in \O(x)$.\\
Per la proposizione \see{propazioneZcentro}, ad ogni elemento del centro
corrisponde una classe, quindi possiamo direttamente contare tutte queste
classi contando gli elementi di $Z(G)$:
\eal{&|G| =|Z(G)| + \sum_{z\in f(\pgra{\O(x)}_{x
\notin Z(G)})}
|\O(z)|
}
A questo punto, per il cor \see{corazionelagrange} e la prop
\see{propazcentraliz}, abbiamo
\eal{&{|\O(x)|}=\frac{|G|}{|\St(x)|} \\
&\St(x)=C(x)\\
&{|\O(x)|} = {\frac{|G|}{|C(x)|}}
}
e quindi
\eal{&|G| =|Z(G)| + \sum_{z\in f(\pgra{\O(x)}_{x
\notin Z(G)})}
\frac{|G|}{|C(z)|}
}
	\end{prova}
	\qed
\end{prova}
\begin{prop}\label{Hnormalesseunionediorbite}
$H\le G$ normale $ \= $ H  e' unione di orbite.
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{Dim $\>$}
	\begin{prova}
	\eal{&H \le G  \ubrace{\=}{\see{propcarattsottnormali}}
\forall a\in G\;\forall h \in H \;\;ah\inv a \in H\= a*h \in H\\
&\T{fissato }h\in H\T{ si ha allora } \forall a\in G\;\;a*h\in H \= \O(h) \(
H\\
&\T{e quindi al variare di }h\in H\T{ si ha }\;\forall h\in H \;\;\O(h)\(H \=
\bigcup_{h\in H} \O(h) \( H\\
&\T{ e poiche' } h\in \O(h) \T{ si ha} \bigcup_{h\in H} \O(h) \) H\\
&\T{ e quindi l'uguaglianza }
}
	\end{prova}
	\step{}{Dim $\<$}
	\begin{prova}
		\eal{&H = \bigcup_{x\in I} \O(x)\qq \T{ dove $I$ e' un qualche
		$I\(G$ }\\
&h\in H \> \exists \ove x\in I:\;h\in \O(\ove x)  \ubrace{\=}{\T{$\O(x)$ e' una classe
d'equiv.} } \O(h)= \O(\ove x) \\
&\qq \O(h)= \O(\ove x)  \( \bigcup_{x\in I} \O(x) \( H \\
&h\in H \> \O(h) \( H \;\;(*)}
Dobbiamo dimostrare che 
\eal{&\forall g\in G\;\;\forall h\in H\;\;gh\inv g\in H}
Basta usare la $(*)$:
\eal{
&gh\inv g  =g*h \in \O(h) \ubrace{\(}{(*)} H 
}
	\end{prova}
\qed
\end{prova}
\section{p-gruppo}
\begin{defn}
	\eal{&G\T{ e' un $p$-gruppo} \definizione{\=} |G|=p^k,\;\;p\T{
	primo},\;k>0}
\end{defn}
\begin{prop}
\label{propcaratpgruppo}
\eal{&G\T{ e' un $p$-gruppo} \= \forall a\in G\-\{\e\}\;\exists i\in
\mathbb{N}:\;\;o(a) = p^i}
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{Dim $\>$}
	\begin{prova}
I divisori di $|G|=p^k$ sono 
\eal{&1,p, p^2,\dots,p^k}
e per Lagrange sono gli unici ordini di sottogruppi di $G$, allora, preso
$a\in G\-\pgra{e}$, abbiamo le seguenti possibilita':
\eal{&\gen{a}=p,p^2,\dots,p^k \> o(a)=p,p^2,\dots,p^k}
	\end{prova}
	\step{}{Dim $\<$}
	\begin{prova}
Supponiamo per assurdo che $|G|=p^kq^h$, con $q$ primo distinto da $p$.\\
\eal{&q\div |G|  \ubrace{\>}{\T{Cauchy \see{thmdicauchy}}} \exists a\in
G\-\pgra{\e}:\;o(a)=q \T{ assurdo contro Hp}}
	\end{prova}
	\qed
\end{prova}
\begin{prop}
	\label{propcardorbitadixpgruppi}
	Sia $X$ l'insieme su cui agisce $G$, si ha
\eal{&G\T{ $p$-gruppo},\;|G|=p^k \> \forall x\in X\;\;\exists
t:\;|\O(x)|=p^t,\;\;0\le t\le k }
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
	\begin{prova}
		Per la prop. \see{corazionelagrange},
		\eal{&|\O(x)| \div |G|=p^k  \ubrace{\>}{\T{p e' primo}} |\O(x)|=1 \| |\O(x)|=p^t,\;\;1\le t\le k}
	\end{prova}
	\qed
\end{prova}
\begin{prop}
	\label{proppgruppoZnonbanale}
	\eal{&G\T{ $p$-gruppo } \> \pgra{\e}  \subsetneq
	Z(G),\;\;|Z(G)|=p^t,\;\;1\le t\le k}
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
	\begin{prova}
		\step{}{Dim $1.$}
		\begin{prova}
Consideriamo l'azione di coniugio su $G$.\\
Per l'equazione di classe (vedi \see{equclasse}), si ha
\eal{&|Z(G)|=|G| - \sum_{z\in F}|\O(z)|=p^k-\sum_{z\in F}|\O(z)| \\
&z\in F \> |\O(z)|  \neq 1 \ubrace{\>}{prop \see{propcardorbitadixpgruppi}}
|\O(z)| =p^t \> p\div |\O(z)|
}
$p$ divide tutto il secondo membro, e quindi anche $|Z(G)|$, 
\eal{&\sist{|Z(G)|\ge 1\\
p\div |Z(G)| } \> |Z(G)| \ge  p > 1 }
		\end{prova}
		\step{}{Dim $2.$}
		\begin{prova}
\eal{   &\T{sia }Z=Z(G)\\
	&Z \le G  \ubrace{\>}{\T{Lagrange}} |Z|\div |G|=p^k \> |Z|=p^t,\;\;0\le t\le k\\
	&Z  \neq \pgra{\e} \> |Z|>1 \> 0<t\le k}
		\end{prova}
	\end{prova}
\qed
\end{prova}
\begin{prop}
	\label{propcatenasottogruppinormaliinGpgruppo}
Dato $G$ con $|G|=p^k$, $p$ primo, allora
\eal{& \exists H_1,H_2,\dots,H_k \le G\T{ normali }\T{ tali che }\\
&\qq \pgra{\e}\( H_1 \( H_2 \( \dots \( H_k=G\\
&\qq |H_i|=p^i,\;\;i=1,2,\dots,k}
Si suol dire che esiste una catena di sottogruppi normali di $G$, di ordine
$1,p,\dots,p^k$.
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
Procediamo per induzione su $k$
\step{}{$k=1$}
\begin{prova}
In questo caso, $|G|=p$ e quindi essendo $p$ primo, gli unici sottogruppi di
$G$ sono $\pgra{\e}$ e $G$:
\eal{&\pgra{\e}\(G\\
&|G|=p\T{ primo } \> G\T{ ciclico } \> G\T{ abeliano} \> G\T{ normale}}
\end{prova}
\step{}{$k-1 \> k$}
\begin{prova}
	Per la prop \see{proppgruppoZnonbanale}, abbiamo che
	$|Z(G)|=p^t,\;0<t\le k$
\eal{&|Z|=p^t,t>0 \> p\div |Z|  \ubrace{\>}{\T{thm \see{thmdicauchy}}}
	\exists H_1\( Z:\;|H_1|=p
}
\step{}{$H_1$ e' normale in quanto contenuto nel centro}
\begin{prova}
	\eal{&h\in H_1 \( Z \>\T{ $h$ commuta con tutti gli elem. di }G\\
	&ah\inv a = ha\inv a = h \in H_1
	}
	quindi $H_1$ e' normale.
\end{prova}
Poiche' $H_1$ e' normale, possiamo considerare il gruppo $G/_{H_1}$.\\
Per Lagrange, si ha
\eal{&\Big|\frac{G}{H_1}\Big| = \ig{H_1} = \frac{|G|}{|H_1|}=\frac{p^k}{p}=p^{k-1}}
Allora, possiamo applicare l'ipotesi induttiva su $G/_{H_1}$:
\eal{&\exists \ove H_2,\ove H_3,\dots,\ove H_n \le G/_{H_1}\T{ normali }\\
&\qq \pgra{\ove \e}= \{ H_1\} \( \ove H_2 \( \ove H_3 \( \dots \( \ove
H_{k} =G/_{H_1}\;\;(1)\\
&\qq |\ove H_i|= p^{i-1},\;\;i=2,\dots,k
}
Consideriamo la surriezione naturale
\eal{&\pi:G\longrightarrow G/_{H_1} \\
&\pi(g)=gH_1}
e' facile vedere\footnote{$H_1$ e' l'elemento unita' in $G/_{H_1}$} che 
\eal{&\ker \pi = H_1}
Inoltre, $\pi$ e' un omomorfismo surriettivo, allora per il cor di corrispondenza
\see{corcorrispondenza} $\pi$ e' una biezione tra i seguenti insiemi:
\eal{
&\pgra{\ove H\le G/_{H_1}\; \T{ normale }} \stackrel{\pi}{\longleftrightarrow}  \pgra{H\le G\T{ normale } \;|\; H\) 
\ker \pi =H_1}
}
Dalla $(1)$ abbiamo allora:
\eal{&{\inv \pi(\pgra{H_1})} \( \inv \pi (\ove H_2) \( \inv \pi(\ove H_3) \( \dots \(
\inv \pi(G/_{H_1})\\
&\inv \pi(\pgra{H_1}) = \ker \pi= H_1\\
& H_2:= \inv \pi (\ove H_2)\\
&H_3:= \inv \pi (\ove H_3)\\
&\dots\\
&H_{k}:=\inv \pi(G/_{H_1})=G
}
Quindi abbiamo la nostra catena di sottogruppi normali di $G$:
\eal{&H_1 \( H_2 \( H_3 \( \dots \( H_k =G}
resta da calcolare gli ordini di ogni $H_i$, per $i=2,\dots,k$.\\
Consideriamo la restrizione di $\pi$ ad $H_i$:
\eal{&\pi/_{H_i}:H_i\longrightarrow \pi(H_i)=\ove H_i \\
&\ker \pi/_{H_i} = \pgra{h\in H_i\;|\; \pi/_{H_i}(h) = hH_1=H_1 \= h\in H_1}
= H_1\^H_i \ubrace{=}{H_1 \(
H_i}  H_1\;\;(2)
}
essa e' ancora surriettiva, ed e' un omomorfismo, quindi per il thm
dell'omomorfismo 
\eal{&\frac{H_i}{\ker \pi/_{H_i}} \simeq \ove H_i\\
&\frac{H_i}{\ker \pi/_{H_i}}  \ubrace{=}{(2)}\frac{H_i}{H_1}\simeq \ove H_i\\
&\Big|\frac{H_i}{H_1}\Big| = |\ove H_i|  \ubrace{=}{(1)} p^{i-1}  \ubrace{\=}{Lagrange}
\frac{|H_i|}{|H_1|} =  |\ove H_i| \= |H_i| = p^{i-1}p=p^i}
che e' quello che volevamo
\end{prova}
\qed
\end{prova}

\begin{prop}
	\label{proppgruppikunodue}
Studiamo i $p$-gruppi di ordine $p^k,\;k=1,2$:
\begin{prova}
\case{k=1}
\begin{prova}
	$G$ e' ciclico.
\end{prova}
\case{k=2}
\begin{prova}
	$G$ e' abeliano
	\begin{prova}
	\case{$\exists a\in G:\;o(a)=p^2$}
	\begin{prova}
		$G$ e' ciclico
	\end{prova}
	\case{$\forall a\in G\-\pgra{\e}\;\;o(a)=p$}
	\begin{prova}
		$G=\gen{a,b}=\pgra{a^ib^j\;|\;i,j=0,1,\dots,p-1}$ con $o(a)=o(b)$ 
	\end{prova}
	\end{prova}
\end{prova}
\end{prova}
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{$k=2$}
	\begin{prova}
		\step{}{$G$ e' abeliano}
		\begin{prova}
		Per la prop \see{proppgruppoZnonbanale} $|Z(G)| > 1 $ e poiche' per Lagrange
$|Z(G)|$ divide $|G|=p^2$, si hanno due possibilita': $|Z(G)|=p \|
|Z(G)|=p^2$.\\
\step{}{
Dimostriamo che la prima non si puo' verificare
}
\begin{prova}
\eal{&|Z(G)|=p \> Z(G) \subsetneq G \> \exists a\in G:\;a\notin Z(G)\\
&\sist{G\) C(a) \) Z(G)\\
a\in C(a),\;a\notin Z(G) } \> G\) C(a) \supsetneq Z(G) \> |G| \ge |C(a)| >
|Z(G)| \>  p^2 \ge  |C(a)| > p\\
&\sist{|C(a)|\div |G|=p^2 \T{ [per Lagrange]}\\
p\T{ e' primo }
} \> |C(a)|=p^2 \> C(a)=G \> a\in Z(G)\T{ assurdo }}
Nota: $C(a)$ e' il centralizzante di $a$.\\
\lineapiccola
\end{prova}
Quindi l'unico caso vero e'
\eal{&|Z(G)|=p^2 }
e quindi
\eal{&Z(G)=G \> G\T{ e' abeliano }}
		\end{prova}
		\step{}{Esaminiamo il caso
$\forall a\in G\-\pgra{\e}\;\;o(a)=p$
		}
		\begin{prova}
			\eal{&|\gen{a}|=p \> \gen{a} \neq G \> \exists  b\in
			G\-\gen{a}\\
	&\gen{a} \subsetneq  \gen{a,b} \( G \> p < |\gen{a,b}| \le p^2}
e analogamente a quanto abbiamo visto prima deduciamo che
\eal{&|\gen{a,b}| = p^2 \> \gen{a,b}=G}
poiche' $o(a)=o(b)$, e poiche' $G$ e' abeliano, si ha
\eal{&\gen{a,b}=\pgra{a^ib^j\;|\;i,j=0,1,\dots,p-1}}
		\end{prova}
	\end{prova}
	\qed
\end{prova}

\begin{prop}
	\label{propgruppo2p}
Dato $G$ con $|G|=2p$, con $p>2$ primo, si hanno questi due soli casi:
\case{$G$ e' ciclico}
\case{$G\simeq D_p$}
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
\eal{& 2\div |G|=2p  \ubrace{\>}{thm\see{thmdicauchy}} \exists a\in G:\;\;o(a)=2\\
&p\div |G|=2p  \ubrace{\>}{thm\see{thmdicauchy}} \exists b\in G:\;\;o(b)=p}
Si ha che $a\notin \gen{b}$, infatti, 
\eal{&|\gen{b}|=p\T{ primo }  \ubrace{\>}{prop\see{corggeneratoressecomprimoconn}}
\gen{b}=\gen{b^i} \;\;\forall i=1,2,\dots,p-1\= \gen{b}=\gen{\ove
b}\;\;\forall \ove b\in\gen{b}\-\pgra{\e}\\
&\T{ quindi se per ass. } a\in \gen{b} \> \gen{b}=\gen{a}\T{ assurdo contro
}|\gen{a}|=2}
	\case{$G$ abeliano}
	\begin{prova}
\eal{&G\T{ abeliano } \> ab=ba\\
&
\sist{o(a)=2,\;o(b)=p,\;(p,2)=1\\
ab=ba}  \ubrace{\>}{prop.\;\see{propordinediab}} o(ab)=2p \> G=\gen{ab} \>
G\T{ e' ciclico} }
	\end{prova}
	\case{$G$ non abeliano}
	\begin{prova}
Dimostriamo che $G\simeq D_p$. Il gruppo diedrale $D_p$ e' caratterizzato dalle
seguenti relazioni (vedi \see{cardinalitadiedrale}, \see{lemmadiedrale}, \see{thmdiedralegenerato}):
\eal{&|D_p|=2p\\
&D_p=\gen{a,b},\;\;o(b)=p,\;\;o(a)=2 \\
&ab=b^{-1}a \= ab\inv a = b^{-1} \ubrace{\=}{o(a)=2}  ab a =b^{-1}
}
Le prime due condizioni sono soddisfatte:
\eal{&|G|=2p\\
&|\gen{a,b}|\div |G| \> |\gen{a,b}|=1,2,p,2p\;\;(*)\\
&\sist{\gen{b},\gen{a} \( \gen{a,b}\\
a\notin \gen{b}} \> |\gen{a,b}| \ge p+1  \ubrace{\>}{(*)}  |\gen{a,b}|=2p \> G=\gen{a,b}}
Resta da dimostrare l'ultima condizione.\\
$\gen{b}$ e' normale perche' il suo ordine e' meta di $|G|$,
\eal{&\gen{b} \T{ normale } \> ab\inv a \in \gen {b} \= ab\inv a = b^h\;\;(3)}
A questo punto basterebbe dimostrare che $h=-1$.\\
Prendiamo adesso i coniugati rispetto ad $a$ di ambo i membri dell'ultima uguaglianza:
\eal{& a(ab\inv a ) \inv a = ab^h\inv a\\
&a^2 b a^{-2} = ab^h\inv a =
(ab\inv a) (a b
\inv a ) \dots (a b \inv a)
\ubrace{=}{(3)} (b^h)(b^h) \dots (b^h)=b^{h^2}\\
&a^2 b a^{-2} = b^{h^2} \ubrace{\=}{o(a)=2 \> a^2=\e}  b= b^{h^2} \\
&b^1=b^{h^2}  \ubrace{\>}{\see{propieqjmodzp}}  h^2 = 1 \;\;(\mathbb{Z}_p) \=
h^2 -1 = 0 \;\;(\mathbb{Z}_p) \= (h-1)(h+1) = 0 \;\;(\mathbb{Z}_p) \= h=1 \|
h=-1
}
Se per assurdo $h=1$, si avrebbe dalla $(3)$:
\eal{&ab\inv a = b \= ab=ba}
e come visto nel precedente passo del caso abeliano, $G$ sarebbe ciclico, e
quindi abeliano. Assurdo perche' per ipotesi siamo nel caso non abeliano.\\
Allora, l'unica possibilita' e' $h=-1$, quindi sempre dalla $(3)$:
\eal{&ab\inv a = b^{-1}}
\end{prova}
\qed
\end{prova}
\subsection{Teorema di Sylow}
\begin{thm}
	di Sylow \ilabel{teorema di Sylow}\label{thmdisylow}\\
Sia $G$, $|G|=n$ e 
$k=\max\pgra{i\in \mathbb{N}\;|\;p^i\div  n} \ge 1$, con $p$ primo, allora valgono le seguenti proposizioni:
\begin{enumerate}
	\item $\exists H \le G:\;|H|=p^k$\\
		$H$ viene chiamato \emph{$p$-sottogruppo} di Sylow
	\item $H,H'$ sono due $p$-sottogruppi di Sylow, allora
		\eal{&\exists a\in G:\;\;H'=aH\inv a}
		ovvero $H,H'$ sono coniugati
	\item Sia $K\le G$, si ha
		\eal{&|K|=p^i,\;i\le k \> \exists H\T{ $p$-sott. di Sylow tale
		che }K\( H}
	\item Sia $t$ il numero di $p$-sottogruppi di Sylow, allora
		\eal{&t\div m,\;\;t=1\;\;(\mathbb{Z}_p)}
		dove $m$ e' t.c.:
		\eal{&n=p^k m,\;\;(m,p)=1}
		Nota\footnote{Il numero $m$ nasce cosi':
		\eal{&p^k\div n \> n=p^km}
		se per assurdo $(m,p)>1$, poiche' $p$ e' primo si avrebbe:
		$m=p^t$, e quindi, $n=p^{k+t}$, ma questo e' assurdo perche'
		$p^k$ e' il massimo delle potenze di $p$ che dividono $n$.
		}
\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{Dim $1.$}
	\begin{prova}
Dobbiamo trovare un sottogruppo di ordine $p^k$. Consideriamo l'insieme dei
sottoinsiemi di $G$ di cardinalita' $p^k$:
\eal{&X=\pgra{S\( G\;|\;|S| = p^k}}
e agiamo su di esso tramite la seguente azione:
\eal{&*:G\*X \longrightarrow  X\\
&g*S=gS=\pgra{gs\;|\;s\in S}}
\step{}{$*$ e' una azione}
\begin{prova}
$gS \( G$.\\
Si verifica subito che la mappa 
\eal{&s\mapsto gs}
e' una biezione tra $S$ e $gS$, e quindi $|gS|=|S|$. Percio' $gS\in X$.\\
Infine,
\eal{&\e * S = \e S = S \\
& (g_1\o g_2) * S = (g_1\o g_2) S = g_1(g_2 S )= g_1*(g_2*S)}
\end{prova}
\step{}{Dim. che $\forall S \in X\;\;|\St(S)| \le  |S|=p^k$}
\begin{prova}
\eal{&\St(S)=\pgra{g\in G\;|\;gS=S}\\
&g\in \St(S) \> \forall s \in S\;\; gs \in S
}
Fissando $s$, la mappa 
\eal{&\St(S)\longrightarrow S\\
&g\mapsto gs}
e' iniettiva, infatti
\eal{&g's=gs \> g'=g}
e quindi
\eal{&|\St(S)| \le  |S|}
\end{prova}
\step{}{A questo punto cerchiamo anche un solo $\ove S\in X$ tale che
$|\St(\ove S)| \ge p^k$, cosi' da avere 
\eal{&\sist{|\St(\ove S)| \le  p^k \\
|\St(\ove S)| \ge p^k} \> |\St(\ove S)| = p^k}
E cosi' $\St(\ove S)$ sarebbe il gruppo di ordine $p^k$ cercato.\\
\lineapiccola
}
\begin{prova}
	
\step{}{Si ha $|X|=\binom{n}{p^k}$}
\begin{prova}
Infatti, il numero degli elementi di $X$ e' il numero di tutti i possibili
sottoinsiemi di $p^k$ elementi che si possono formare in $G$.
\end{prova}
\step{}{$p\ndiv \binom{n}{p^k}$}
\begin{prova}
Considerando che $n=mp^k$ abbiamo 
	\eal{&\binom{n}{p^k}=
	\frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-(p^k-1))}{p^k(p^k-1)(p^k-2)\dots 1} =
	\frac{mp^k(mp^k-1)(mp^k-2)\dots(mp^k-(p^k-1))}{p^k(p^k-1)(p^k-2)\dots
	1} = \\
	&= 
	\frac{m(mp^k-1)(mp^k-2)\dots(mp^k-(p^k-1))}{(p^k-1)(p^k-2)\dots 1} 
	}
	\step{}{
Dimostriamo che \eal{&p^t\div mp^k-i \> p^t \div p^k-i}
	con $i=1,\dots,p^k-1$. Cosi' facendo, avremo che tutti i fattori del
	tipo $p^t$ sono sia nel numeratore che nel denominatore e quindi
	vengono semplificati. Non essendoci piu' fattori di tipo $p^t$, avremo
	la tesi:
	\eal{&p\ndiv \binom{n}{p^k}
	}
	\lineapiccola
	}
	\begin{prova}
Se per assurdo $t \ge   k$, allora
\eal{&p^t \div mp^k-i  \ubrace{\>}{t\ge k} p^k \div mp^k-i\\
&\sist{p^k \div mp^k-i\\
	p^k \div p^k } \> p^k \div i\T{ assurdo perche' }i < p^k
}
Quindi $t < k$, allora
\eal{&\sist{p^t \div mp^k-i \\
p^t \div p^k } \> p^t \div i\\
&\sist{p^t\div p^k\\
p^t \div i } \> p^t\div p^k - i
}
	\end{prova}
\end{prova}
\step{}{$\exists \ove S \in X:\;\; p\ndiv |\O(\ove S)| \ubrace{\=}{\T{p primo}}  (p,|\O(\ove S)|)=1$}
\begin{prova}
Se per assurdo
\eal{&\forall S \in X\;\;p\div |\O(S)|}
allora, essendo $|X|$ somma della cardinalita' di tutte le orbite, si avrebbe
\eal{&p\div  |X|}
ma questo e' assurdo contro quanto visto in un passo precedente.\\
\end{prova}
\step{}{$|\St(\ove S)| \ge p^k$}
\begin{prova}
Per il passo precedente, abbiamo che 
\eal{&p\ndiv |\O(\ove S)|  \> \sist{p^k \ndiv |\O(\ove S)| \\
(p^k, |\O(\ove S)|)=1 }}
Per la prop \see{corazionelagrange} abbiamo 
\eal{&|G|=|\St(\ove S) | |\O(\ove S)|\\
&\sist{p^k\div |G|=mp^k\\
p^k \ndiv |\O(\ove S)| \\
(p^k, |\O(\ove S)|)=1 }  \ubrace{\>}{\T{prop. }\AI{sec:divis_prop}}  p^k \div
|\St(\ove S)| \> p^k \le |\St(\ove S)| }

\end{prova}
\end{prova}
\end{prova}
\step{sydim3}{Dim la $3.$}
\begin{prova}
Sia $K\le G:\;\;|K|=p^h,\;\;1\le h\le k$.\\
Consideriamo l'insieme
\eal{&P=\pgra{H \le G\;|\;|H|=p^k}}
ovvero l'insieme di tutti i $p$-sottogruppi di Sylow. Noi vogliamo far vedere
che esiste un qualche $\ove H\in P:\; K\( \ove H$.\\
Consideriamo la seguente azione che fa agire $G$ su $P$:
\eal{&G\*P \longrightarrow  P \\
&g*H=gH\inv g}
$*$ e' l'azione di coniugazione, ed e' ben posta: $gH\inv g\in P$ perche'
$|gH\inv g|=|H|=p^k$.\\
Abbiamo:
\eal{&\St(H)=\pgra{g\in G \;|\;gH\inv g =H }\\
&H \( \St(H) \> |H|=p^k \le   |\St(H)|\\
&\sist{|\St(H)| \ge p^k\\
|\St(H)| \le  G \> |\St(H)| \div |G|=p^km 
} \> |\St(H)|=p^kr,\;\T{ dove } r \div m,\;\;r\ge 1\;\;(0)\\
&|G| \ubrace{=}{\see{corpropcardOeqcardSt}}|\St(H)| |\O(H)| \=
p^km=p^kr|\O(H)|
\= m=r|\O(H)| \> |\O(H)|\div m\;\;(1)\\
&\sist{|\O(H)|\div m\\
(m,p)=1  \ubrace{\=}{p \T{ primo} } p\ndiv m} \>p\ndiv |\O(H)| \=
(\O(H),p)=1\;\;(2)\\
&\qq \T{ piu' in generale si ha: } \lambda \div m \> p \ndiv \lambda
\;\;(2.1)\\
&\qq \T{ infatti, se per assurdo }p\div \lambda \>  p\div \lambda,\;\;\lambda \div m \>
p\div m \T{ assurdo}
}
Prendendo un qualsiasi $H\in P$, consideriamo adesso la seguente azione di coniugazione di $K$ su $\O(H)$
\def\bul{{\bullet}}
\def\OO{{\O_{\bul}}}
\def\Stb{{\St_{\bul}}}
\eal{&K\* \O(H) \longrightarrow  \O(H)\\
&x\bul T = xT\inv x
}
che si puo' intendere come una restrizione dell'azione di prima, perche'
\eal{&K\(G,\;\; \O(H) \( P}
Con $\OO(T)$ indichiamo l'orbita di $T$ indotta dall'azione $\bul$.
\step{sottopassosydim3}{Dim. che $\exists \ove T\in \O(H):\;\;|\OO(\ove T)|=1$}
\begin{prova}
	Supponiamo per assurdo che
	\eal{&\forall \T{ orbita }\OO(T)\;\;\T{ si ha } |\OO(T) | > 1}
	Per il cor \see{corazionelagrange}, si ha
	\eal{&|\OO(T)| \div |K|=p^h \> |\OO(T)| =p^{t},\;\;0\le  t\le h\;\;(*)\\
	&|\OO(T) | > 1 \> 0<t\le h\;\;(**)
	}
	ma allora, poiche'
le orbite creano una partizione dell'insieme su cui si agisce, abbiamo:
\eal{&|\O(H)| = \sum_{}^{}|\OO(T)|  \ubrace{=}{(*)} p^{t_1}+p^{t_2}+\dots\\
&(**) \> p^{t_i} \neq 1}
il secondo membro e' divisibile per $p$ e quindi anche $|\O(H)|$ e' divisibile per $p$, assurdo contro la $(2)$.\\
\lineapiccola
\end{prova}
\def\t{{\ove T}}
\eal{
&|\OO(\t)|=1 \> \forall x\in K\;\;x\bul \t = x\t \inv x = \t \> K\le  \St(\t)\\
&\sist{\t \le  \St(\t) =\pgra{ x\in G\;|\;x\t \inv x = \t}\\
\forall x\in \St(\t)\;\;x\t \inv x =\t
}  \ubrace{\>}{\see{propcarattsottnormali}}  \t \T{ e' normale in $\St(\t)$}
\\
&\t\T{ normale in $\St(\t)$},\;K\le \St(\t)
\ubrace{\>}{\see{propHnormaleHKnormale}} K\t \le \St(\t) \> \frac{K\t}{\t} \le
\frac{\St(\t)}{\t} \>\\
&\qq \> \Big|\frac{K\t}{\t}\Big| \div
\Big|\frac{\St(\t)}{\t}\Big|  \ubrace{=}{\see{corcardGkerIm}}
\frac{|\St(\t)|}{|\t|} \ubrace{=}{(0)} \frac{p^kr}{p^k} = r \div m \>
\Big|\frac{K\t}{\t}\Big| \div m  \ubrace{\>}{(2.1)}  p\ndiv \Big|\frac{K\t}{\t}\Big| \;\;(3)\\
&K\^\t \le K \> |K\^\t | \div |K|=p^h \> |K\^\t| =p^s,\;\;0\le s\le h\\
&t \T{ e' normale in $\St(\t)$}
\ubrace{\>}{\see{thmisomI}  }
\frac{K}{K\^ \t }\simeq \frac{K\t}{\t} \> \Big|\frac{K\t}{\t}\Big| =
\Big|\frac{K}{K\^\t}\Big|   \ubrace{=}{\see{corcardGkerIm}}  \frac{|K|}{|K\^\t|} =
\frac{p^h}{p^s}=p^{h-s} \;\;(4)\\
&(3),(4) \> p\ndiv p^{h-s} \> p^{h-s}=1  \> h-s = 0 \= h=s  \> p^h=p^s \=
|K|=|K\^\t| \\
&\sist{K\^\t \( K\\
 |K|=|K\^\t| } \> K\^\t = K \= K\( \t 
}
che e' quello che volevamo dimostrare.
\end{prova}
\step{}{Dim $2.$}
\begin{prova}
Continuiamo a usare lo stesso linguaggio del passo precedente. La nostra tesi
e'
\eal{&\pton{\forall H\in P \forall H' \in P \> \exists a\in G:\;H'=aH \inv a}
\=  \forall H\in P \;\O(H)=P
}
Come abbiamo visto prima, $\O(H)\(P$. Resta da far vedere che $P\( \O(H)$.\\
\eal{&H'\in P \> |H'|=p^k  \> H'\T{ e' un $p$-gruppo }\ubrace{\>}{\T{ passo
precedente }} H' \(  \ove T\in \O(H)\\
&\sist{H'\( \ove T \\|\ove T|=p^k=|H'|}  \> \ove T=H' \> H' \in \O(H)
}
\end{prova}
\step{}{Dim $4.$}
\begin{prova}
	Osserviamo che $t=|P|$.\\
Nel passo precedente abbiamo dimostrato che 
\eal{&H\in P \> \O(H) = P \>  |\O(H)| = |P|=t }
nel passo \stepref{sydim3}, avevamo mostrato che $|\O(H)|\div m$, quindi
$t\div m$.\\
Ponendo $K=H$, consideriamo l'orbita formata da un solo elemento che avevamo
trovato nel passo \stepref{sydim3}:
\def\OO{{\O_{\bullet}}}
\def\Stb{{\St_{\bullet}}}
$|\OO(\ove T)|$. Una tale orbita e' unica, infatti se per assurdo ne esistesse
un'altra $|\OO(T')|$, si avrebbe
\eal{&
|\OO(T')|=1  \ubrace{\>}{\T{passo \stepref{sydim3}}} 
K=H\( T'  \ubrace{\>}{|H|=|T'|} \> H=T'\\
&|\OO(\ove T)|=1  \ubrace{\>}{\T{passo \stepref{sydim3}}}
K=H\( \ove T  \ubrace{\>}{|H|=|\ove T|} \> H=\ove T\\
&T=T'
}
E per quanto avevamo visto nel sottopasso \verb|<2>.1| del passo
\stepref{sydim3},
abbiamo che $\exists !t_i:\;\;p^{t_i}=1$, mentre tutte le altre sono diverse
da $1$,  ovvero:
\eal{&|P| = |\O(H)| = \sum_{}^{}|\OO(T)| = 1 + p^{t_1'}+p^{t_2'}+\dots \> 
|P|=1\;\;(\mathbb{Z}_p)}
\end{prova}
	\qed
\end{prova}
\begin{prop}
\label{propviceversauniconormale}
$|G|=n$, $|H|=m$, $H\le G\T{ di Sylow}$
\eal{&{
H\T{ normale } \=
\T{ H e' l'unico sottogruppo di ordine $m$ }
}}
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
	\step{}{Dim $\>$}
	\begin{prova}
\eal{&H\T{ normale } \= \forall a\in G\;\;aH\inv a =H\;\;(1)  }
Supponiamo che esista un altro $H'\le G:\;|H'|=|H|$.
\eal{&H\T{ $p$-sottogruppo di Sylow } \> {|H|=p^k}\\
&|H|=|H'|=p^k  \> H,H'\T{ sono $p$-sottogruppi di Sylow }  \ubrace{\>}{thm
\see{thmdisylow}} \T{H,H' sono coniugati } \= \\
&\qq \= \exists a\in G:\;\;H'=aH\inv a  \ubrace{=}{(1)} H \> H'=H 
}
	\end{prova}
	\step{}{Dim $\<$}
	\begin{prova}
		Segue dalla prop \see{propuniconormale}
	\end{prova}
	\qed
\end{prova}
\begin{prop}
	\label{propcarddiGprodottodiprimi}
	\eal{&\sist{|G|=pq,\;\;q>p,\;\T{ primi }\\
	p\ndiv q-1} \> G=\gen{ab}\T{ dove, $o(a)=p,\; o(b)=q$ }
	}
\end{prop}
\begin{prova}
	\pf
\begin{prova}
Per Cauchy,
\eal{&|G|=pq  \ubrace{\>}{\see{thmdicauchy}} \exists H,K \le G:\;|H|=p,\;|K|=q
\\
&|H|=p,\;|K|=q  \ubrace{\>}{\T{prop. }\see{propordGprimogenerato} } 
H=\gen a,\;\;K=\gen b,\;\;o(a)=p,\;\;o(b)=q
}
\step{}{Dimostriamo che $\gen{a}\^\gen{b} =\pgra{\e } $}
\begin{prova}
Per Lagrange, 
\eal{&|\gen{a}\^\gen{b} | \div |G|=pq \> 
|\gen{a}\^\gen{b} | =1,p,q,pq
	}
Nel caso $|\gen a\^ \gen b| = pq$ seguirebbe che
\eal{&\gen a \^ \gen b = G \\
& \sist{\gen a \( G=\gen a \^ \gen b\\
\gen a \^ \gen b \( \gen a } \> \gen a = \gen a \^ \gen b\\
& \T{ analogamente } \> \gen b = \gen a \^ \gen b\\
&\gen a= \gen b
}
assurdo contro $o(a)=3 \neq o(b)=5$.\\
Anche i casi $|\gen{a}\^\gen{b} | =p,q $ sono assurdi, infatti,
\eal{&|\gen{a} \^\gen b |=p \T{ primo } \> \gen a \^ \gen b=\gen c,\;\;o(c)=p
\> c\in \gen a \^\gen b
}
assurdo perche' in $\gen a $, a parte $\e$, ci sono solo elementi di ordine
$p$ e in $\gen b$ solo elementi di ordine $q$.\\
Quindi, in definitiva,
\eal{&|\gen{a}\^\gen{b} | =1 \> \gen{a}\^\gen{b} =\pgra{\e }}
\end{prova}
\step{}{$ab=ba$}
\begin{prova}
Poiche' $|G|=pq=p^1q^1$, i $H$ e $K$ sono rispettivamente dei $p$-sottogruppi,
$q$-sottogruppi di Sylow.\\
Sia $t$ il numero di  $p$-sottogruppi di Sylow. Per il thm di Sylow
\see{thmdisylow} abbiamo:
\eal{&\sist{t\div q  \ubrace{\>}{q \T{ primo }} t=1\; \| \;t=q  \;\;(*)\\
t=1 \;\;(\mathbb{Z}_p) \> t=1\; \| \;t=p+1 \; \| \; t=2p+1\; \| \dots  \|
t=kp+1}}
se per assurdo esiste un $k \neq 0$ tale che $t=kp+1 \div q$, si ha
\eal{&t \neq 1  \ubrace{\>}{(*)}  t=q  \= kp+1 =q \= kp = q-1 \> p \div (q-1)
}
assurdo contro ipotesi. Quindi l'unica possibilita' e' che
\eal{&t=1}
Quindi esiste un unico $p$-sottogruppo di Sylow, cioe' $H$.\\
Sia ora $t$ il numero di $q$ sottogruppi di Sylow, si ha
\eal{&\sist{t\div p \\
t=1\;\;(\mathbb{Z}_q)}  \ubrace{\>}{q > p} t=1 
}
quindi esite un unico $q$-sottogruppo di Sylow, cioe' $K$.\\
Allora, per la prop \see{propviceversauniconormale} si ha che sia $H$ che $K$
sono normali.\\
\eal{&\sist{ H=\gen a,\;K=\gen b  \T{ normali }\\
H\^K =\pgra{\e}} 
\ubrace{\>}{\see{propHKnormaliHintKestealloracommutano} } ab=ba
}
\end{prova}
\qedstep
\begin{prova}
	\eal{&\sist{o(a)=p,\;o(b)=q\\
	ab=ba}  \ubrace{\>}{\see{propordinediab}} o(ab)=pq=|G| \> G=\gen{ab}}	
\end{prova}
\end{prova}
\qed
\end{prova}

\section{Classificazione degli abeliani}
\begin{lem}
	\label{lemmaclassificazione}
	Sia $G$ un gruppo abeliano, con $|G|=p^r$, $p$ primo, allora
	\eal{&G\simeq H_1\* H_2 \* \dots \* H_t}
	dove ogni $H_i$ e' un gruppo ciclico.
\end{lem}
\begin{proof}
	Procediamo per induzione su $r$.\\
	Se $r=0$, $|G|=1$ e quindi $G=\pgra{\e}$.\\
	Se $r=1$, $|G|=p$ e quindi $G$ e' ciclico.\\
	Supponiamo adesso che per $r' < r$ la tesi sia vera e dimostriamo che
	e' vera per $r$.\\
	Consideriamo $s\in G$, t.c. 
	\eal{&o(s) = \max \pgra{o(g)\;|\;g\in G}\;\;(1)\\
	&\T{ sia } S=\gen s 
	}
	Consideriamo un insieme massimale $T$, secondo l'inclusione, del seguente insieme:
	\eal{&\pgra{T'\le G\;|\;T'\^ S = \pgra{\e}}
	}
	Osserviamo intanto che
	\eal{&o(s) \div |G|=p^r \> o(s) = p^{\alpha}\;\;\alpha \le  r}
	\step{}{$G=ST$}
	\begin{prova}
Poiche' $G$ e' abeliamo, $S,T$ sono normali e quindi per la prop.
\see{propHnormaleHKnormale} si ha $ST\le G$.\\
Dimostriamo allora che $G\( ST$.\\
Sia $g\in G$, per la $(1)$ si ha
\eal{& o(g) \div |G|=p^r \> o(g) = p^{\gamma}\\
&o(g) \ubrace{\le}{(1)}  o(s) \> \gamma \le \alpha
}
Il gruppo $H=\gen g \^ ST $ e' tale che
\eal{&H \le  \gen g  \ubrace{\>}{\gen g\T{ ciclico }}  H\T{ ciclico,
}H=\gen{b},\;\;p^\beta= |H|\\
&b \ubrace{=}{\see{thmordsottdivn}} g^{\frac{o(g)}{|H|}} =
g^{p^{\gamma-\beta}}\\
&b\in ST =\gen s T \> b=s^n t \\
&b^{p^{\beta}} = \e  \ubrace{\=}{G\T{ e' abeliano}} s^{np^\beta} t^{p^\beta} =
\e \=  
s^{np^\beta} =  t^{-p^\beta}  \\
&
\ubrace{s^{np^\beta}}{\in S} =  \ubrace{t^{-p^\beta}}{\in T } \> s^{np^\beta}
\in S \^ T = \pgra{\e} \> s^{np^{\beta}} =\e \> \\
& \> o(s)=p^{\alpha} \div
np^{\beta} \> n_1p^{\alpha} = np^{\beta}  \> n=n_1 p^{\alpha-\beta}\\
&b=s^nt \= b=s^{n_1p^{\alpha-\beta}} t \= g^{p^{\gamma-\beta}} = 
s^{n_1p^{\alpha-\beta}} t \\
&t
= g^{p^{\gamma-\beta}} s^{-n_1p^{\alpha-\beta}} = 
\pton{gs^{-n_1p^{\alpha-\gamma}}}^{p^{\gamma-\beta}} \;\;(2)\\
&\T{Sia } 
c = g{s^{-n_1p^{\alpha-\gamma}}}
;\;\;(2) \> c^{p^{\gamma-\beta}} =t
\;\;(2.1)
}
\step{}{Dim. che $\gen c T \^S = \pgra{\e}$}
\begin{prova}
Consideriamo $d\in S\^\gen c T $
\eal{&d\in S=\gen s \> d= s^m\\
&d\in \gen c T \> d= c^ht_1 \\
&s^m = c^h t_1 \= s^m = 
g^h{s^{-hn_1p^{\alpha-\gamma}}} t_1 \= g^h=s^{u}t_1^{-1}\\
&\qq \T{ dove } u = hn_1p^{\alpha-\gamma}+m\\
&\ubrace{g^h}{\in \gen g } = \ubrace{s^ut_1^{-1}}{\in ST } \> 
g^h \in H  = \gen g \^ ST=\gen b=\gen{g^{p^{\gamma-\beta}}}  \> h =
{kp^{\gamma-\beta}} \\
&s^m = c^h t_1 \= s^m = c^{kp^{\gamma-\beta}}  t_1  \ubrace{=}{(2.1)} t^kt_1
\\
&\ubrace{s^m}{\in S } = \ubrace{t^kt_1}{\in T} \> s^m \in S\^T =\pgra{\e} \>
d=s^m=\e
}
\end{prova}
Ovviamente
\eal{&T \( \gen c T }
Ma poiche' $T$ era per definizione l'elemento massimale tra quelli che
intersecati con $S$ davano $\pqua{\e}$, si ha che
\eal{&\gen cT \( T}
e quindi $T=\gen c T$, ovvero $c\in T$.
\eal{&c \in T \> c=t_2  \ubrace{\>}{(2)} 
g{s^{-n_1p^{\alpha-\gamma}}} = t_2 \> g= s^{n_1p^{\alpha-\gamma}} t_2 \in ST 
}
che era quello che volevamo dimostrare. Quindi,
\eal{&G=ST}
	\end{prova}
\qedstep
\begin{prova}
\eal{&G=ST\\
&p^r= |G|=|ST| \ubrace{=}{\see{propordineprodottoHK}}  \frac{|S|
|T|}{|S\^T|}
= p^{\alpha} |T| \> |T| =  p^{r-\alpha}  \ubrace{=}{r':=r-\alpha}  p^{r'} ,\;\;r' < r\;\;(3)\\
&G=ST  \ubrace{\>}{\see{thmprodintestisomorfismo}} G\simeq S\*T=\gen s\*T }
e grazie alla $(3)$, applicando l'ipotesi induttiva, si ha la tesi.
\end{prova}
\end{proof}
\begin{thm}
	\label{thmclassgruppiabeliani}
	Dato un gruppo abeliano finito $G$, tale che $|G|=n$, allora se
	$n=p_1^{r_1}p_2^{r_2}\dots p_t^{r_t}$ e' la fattorizzazione di $n$, si ha
	che 
	\eal{&\forall i=1,2,\dots, n \;\;\;\exists ! H_i\le
	G:\;\;|H_i|=p_i^{r_i}\\
	&G\simeq H_1\*H_2\*\dots\*H_t\\
	&\T{dove } H_i \simeq K_{i1}\*K_{i2}\*\dots\*K_{it_i}\;\;i=1,2,\dots,t\\
	&\qq K_{ij} \T{ e' ciclico }\;\;\forall i,j
	}
	In altre parole, $G$ e' isomorfo al prodotto di gruppi ciclici.
\end{thm}
\begin{proof}
	Per il thm di Sylow (\vedi{thmdisylow}), si ha
	\eal{&\forall i\;\;\exists H_i\le G:\;\;|H_i|=p_{i}^{r_i}}
	e poiche' $G$ e' abeliano, e quindi $H_i$ normale, per la prop.
	\see{propviceversauniconormale} si ha l'unicita' di $H_i$.\\
	Dimostriamo adesso che $G$ e' prodotto interno degli $H_i$: dobbiamo
	verificare le due prop. della definizione:
	\eal{&
\sist{ 1.\;\;H_i \^ (H_1H_2\dots H_{i-1}H_{i+1}\dots H_t)=\pgra{\e}\;\;\forall
	 i=1,2,..t\\
	 2.\;\;G=H_1H_2\dots H_t}}
	 \step{}{Dim. $1.$}
	 \begin{prova}
Sia $c\in H_i\^(H_1\dots)$, allora
\eal{&c\in(H_1H_2\dots H_{i-1}H_{i+1}\dots H_t  \> c=h_1h_2\dots
h_{i-1}h_{i+1} \dots h_t\;\;(1)\\
&h_j\in H_j \ubrace{\>}{\see{corlagrangeaallaennesima}} h_j^{|H_j|} =
h_j^{p_j^{r_j}}= \e \;\;\forall j=1,2,\dots,t\;\;(2)\\
&\T{sia }\pi_i=p_1^{r_1}\dots p_{i-1}^{r_{i-1}} p_{i+1}^{r_{i+1}}\dots
p_t^{r_t}\\
&c^{p_1^{r_1}\dots p_{i-1}^{r_{i-1}} p_{i+1}^{r_{i+1}} \dots p_t^{{r_t}}}
\ubrace{=}{G\T{ abel}} h_1^{\pi_i}h_2^{\pi_i}\dots h_t^{\pi_i} \ubrace{=}{(2)}  
\e \> o(c) \div \pi_i \\
&c\in H_i  \ubrace{\>}{\see{corlagrangeaallaennesima}}  c^{|H_i|}= c^{p_i^{r_i}} \e
\> o(c) \div p_{i}^{r_i}\\
}
ma poiche' $(\pi,p_{i}^{r_i})=1$, si ha
\eal{&\sist{(\pi,p_{i}^{r_i}) =1 \\
o(c) \div \pi\\
o(c) \div p_{i}^{r_i} } \> o(c) \div 1 \> o(c) =1 \\
&o(c)= 1 \> c=\e
}
	 \end{prova}
	 \step{}{Dim. $2.$}
	 \begin{prova}
Consideriamo $G_1=H_1H_2\dots H_t$, allora per quanto abbiamo dimostrato nel
passo precedente, si ha che $G_1$ e' prodotto interno degli $H_i$.
\eal{&G_1\T{ prod. interno di } H_1,H_2,\dots,H_t \ubrace{\>}{\see{thmprodintestisomorfismo}}  G_1 \simeq H_1\* H_2 \* \dots \* H_t \\
&|G_1| = \prod_{i=1}^{t}|H_i| = \prod_{i=1}^{t} p_{i}^{r_i} = n\\
&\sist{G_1 \le  G\\
|G_1|=|G|}  \ubrace{\>}{\see{propcontenutostessacardinalita}} 
G_1=G
}
Quindi
\eal{&G=G_1 \simeq H_1\* H_2 \* \dots \* H_t \;\;(*)}
\end{prova}
\qedstep
\begin{prova}
Ogni $H_i$ e' un gruppo abeliano, con $|H_i|=p_i^{r_i}$, allora, per il lemma
\see{lemmaclassificazione}, si ha che ogni $H_i$ e' isomorfo al prodotto di
gruppi ciclici:
\eal{&H_i\simeq
K_{i1}\*K_{i2}\*\dots\*K_{it_i}
}
Quindi dalla $(*)$ si ha la tesi:
\eal{&G\simeq \prod_{i=1}^{t}\prod_{j=1}^{t_i} K_{ij}
}
\end{prova}
\end{proof}
\begin{exemp}
	In congiunzione con le prop.  \see{propisodiZnprodottoZmconZnm},\see{propG1prodG2estciclico}, il thm
\see{thmclassgruppiabeliani} permette di classificare
tutti i gruppi abeliani.\\
Ad esempio, consideriamo $G$ abeliano, con $|G|=84$, avremo
\eal{&|G|=84=2^2\.3\.7\\
&G\simeq H_1 \* H_2 \* H_3,\;\;\;
|H_1|=3, |H_2|=7, |H_3|=4
\\
&H_1\T{ ciclico } \> H \simeq \mathbb{Z}_3\\
&H_2\T{ ciclico } \> J \simeq \mathbb{Z}_7\\
&H_3 \simeq \T{prod. gruppi ciclici} \> H_3 \simeq \mathbb{Z}_4  \| H_3
\simeq \mathbb{Z}_2\*\mathbb{Z}_2
}
Quindi, questi sono gli unici casi possibili:
\eal{
&G\simeq \mathbb{Z}_3\*\mathbb{Z}_7\*\mathbb{Z}_4 \simeq \mathbb{Z}_{84}\\
&G\simeq \mathbb{Z}_3\*\mathbb{Z}_7\*\mathbb{Z}_2\*\mathbb{Z}_2 \simeq
\mathbb{Z}_{42}\*\mathbb{Z}_2
}
\end{exemp}
\begin{prop}\label{abelianomdividenalloraesistesottogruppo}
	Sia dato $G$ abeliano, $|G|=n$, allora si ha
	\eal{& m \div n \> \exists H \le G:\;|H| = m}
\end{prop}
\begin{proof}
	\step{}{Dim. l'esistenza}
	\begin{prova}
Scomponiamo $n$: 
	\eal{&n=p_1^{r_1}p_2^{r_2}\dots p_{t}^{r_t}\\
	&m \div n \> m=p_1^{s_1}p_2^{s_2}\dots p_{t}^{s_t},\;\;0\le s_i \le  r_i
	}
Per il thm \see{thmclassgruppiabeliani} si ha:
\eal{&G\simeq H_1\* H_2\* \dots \*H_t,\;\;\;|H_i| = p^{r_i}}
Ogni $H_i$ e' un $p$-gruppo, quindi per la prop.
\see{propcatenasottogruppinormaliinGpgruppo}
\eal{&\exists M_i \le H_i:\;\;|M_i| = p^{s_i}\\
&\prod_{i=1}^{t} M_i \le  H_1\* H_2\* \dots \*H_t \simeq G \>
\exists M \le  G:\;\;\prod_{i=1}^{t} M_i \simeq M\\
&|M| = \Big| \prod_{i=1}^{t} M_i \Big|  = \prod_{i=1}^{t} |M_i| =
\prod_{i=1}^{t} p^{s_i} = m
}
\end{prova}
\step{}{Dim. la non unicita'}
\begin{prova}
	Consideriamo $|G|=4$. Si hanno due casi: $G\simeq \mathbb{Z}_4\; \|
	G\simeq \mathbb{Z}_2\*\mathbb{Z}_2$.\\ Consideriamo il secondo caso,
	e poniamo $m=2$. Troviamo pero' due sottogruppi di $G$  di ordine $2$:
	\eal{&\pgra{(0,1),(0,0)},\;\;\pgra{(1,1),(0,0)}
	}
\end{prova}
\end{proof}
\begin{prop}
Sia dato $G$ abeliano, $|G|=n$, allora si ha
\eal{&\forall p\T{ primo }:\;p\div n \;\;\exists ! H\le G:\;\;|H| =p \= G\T{
e' ciclico}
	}
\end{prop}
\begin{proof}
\begin{pnecessaria}
Per il thm \see{thmclassgruppiabeliani} si ha:
\eal{&G\simeq H_1\* H_2\* \dots \*H_t,\;\;\;|H_i| = p_i^{r_i}\\
&H_i \simeq K_{i1}\*K_{i2}\*\dots\*K_{it_i}\;\;i=1,2,\dots,t\\
&\qq K_{ij} \T{ e' ciclico },\;|K_{ij}| = p_i^{s_{j}}\;\;\forall i,j
}
Fissiamo un $i$, e supponiamo per assurdo che $t_i \ge 2$. Per il thm di Cauchy 
\eal{&p_i \div p_i^{s_i}  \ubrace{\>}{\see{thmdicauchy}} \exists K_{ij}' \le
K_{ij}:\;\;|K_{ij}|=p_i\;\;\forall j=1,\dots,t_i
}
Al variare di $j$, possiamo allora formare i seguenti sottogruppi di $G$:
\eal{&\pgra{(\e,\e,\dots,\e,\ubrace{k} {\T{posizione }j},\e, \dots,\e) 
\;|\; k\in K_{ij}'}}
che sono in numero $t_i$. Ma questo e' in contrasto contro l'ipotesi
dell'unicita' di $H$, sottogruppo di ordine $p$.\\
Abbiamo cosi' visto che $t_i=1$, e quindi che $H_i$ e' ciclico. \\
Infine, poiche'
\eal{&(|H_i|,|H_h|)=1\;\;\forall i \neq h}
per il thm \see{propmultifattciclico} si ha la tesi.
\end{pnecessaria}
\begin{psufficiente}
	Per il thm \see{thmordsottdivn}.
\end{psufficiente}
\end{proof}

%%%%%%
\include{studiogruppi}
\include{esercizi}
\printindex
\end{document}